matemÁtica questões de 05 a 08 sejam, nessa ordem, três ... · mat. – 6 2º vestibular ufop...
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MAT. – 6
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 05 a 08
05. Suponha que os números reais 1,1 r− e 1 r+ sejam, nessa ordem, três termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 0r ≠ .
Determine r de modo que as imagens )1(),1( frf − e (1 )f r+ desses números pela
função 2( ) 3f x x= sejam, nessa ordem, três termos consecutivos de uma progressão geométrica.
MAT.– 7
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO A
06. Mostre que, dado um número inteiro positivo n, o número complexo niw )31( +=
é um número real somente quando n for múltiplo de 3.
MAT. – 8
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO A
07. A única sala de cinema de uma cidade tem capacidade para 400 expectadores. A média de público nos finais de semana é de 80 pessoas por sessão. Para aumentar a presença do público, o diretor do cinema resolveu reduzir o preço do ingresso, que custava R$ 6,00. Observou que, para cada redução de R$ 0,50 no preço do ingresso, o público aumentava em 40 pessoas. Baseando-se nessa observação, responda às questões propostas.
A) Qual deve ser o valor do ingresso para que o faturamento do cinema seja
máximo?
B) Esse valor corresponde à expectativa de um público de quantas pessoas?
MAT.– 9
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO A
08. Na figura abaixo, temos representado um cubo de volume igual a 3
3
4m e um prisma
cujas bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Sabendo que M e N são os pontos
médios dos segmentos AD e BC respectivamente, determine o volume desse
prisma (em 3m ).
A
BC
D
E H
N
GF
M
.
.
.
.
. .
. .
.
.
MAT. – 6
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO B
MATEMÁTICA
Questões de 05 a 08
05. Na figura abaixo, temos representado um cubo de volume igual a 3
3
4m e um prisma
cujas bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Sabendo que M e N são os pontos
médios dos segmentos AD e BC respectivamente, determine o volume desse
prisma (em 3m ).
A
BC
D
E H
N
GF
M
.
.
.
.
. .
. .
.
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MAT.– 7
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO B
06. Suponha que os números reais 1,1 r− e 1 r+ sejam, nessa ordem, três termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 0r ≠ .
Determine r de modo que as imagens )1(),1( frf − e (1 )f r+ desses números pela
função 2( ) 3f x x= sejam, nessa ordem, três termos consecutivos de uma progressão geométrica.
MAT. – 8
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO B
07. Mostre que, dado um número inteiro positivo n, o número complexo niw )31( +=
é um número real somente quando n for múltiplo de 3.
MAT.– 9
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO B
08. A única sala de cinema de uma cidade tem capacidade para 400 expectadores. A média de público nos finais de semana é de 80 pessoas por sessão. Para aumentar a presença do público, o diretor do cinema resolveu reduzir o preço do ingresso, que custava R$ 6,00. Observou que, para cada redução de R$ 0,50 no preço do ingresso, o público aumentava em 40 pessoas. Baseando-se nessa observação, responda às questões propostas.
A) Qual deve ser o valor do ingresso para que o faturamento do cinema seja máximo?
B) Esse valor corresponde à expectativa de um público de quantas pessoas?
MAT. – 1
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 01 a 12
01. Reescreva a expressão 23 xxx
xxx, em que x é um número real positivo, como uma
potência racional de x, isto é, na forma qpx /
, onde p e q são dois números inteiros.
02. Uma empresa divulga que a média salarial de seus empregados é de R$ 1.060,00. Há 40 funcionários recebendo R$ 415,00, 9 recebendo R$ 1.200,00 e 3 recebendo R$ 2.600,00. Além desses funcionários, há dois membros do Conselho Diretor da empresa que recebem salários iguais. Qual é o valor desse salário?
MAT. – 2
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
03. Uma urna contém nove bolas numeradas de 0 a 8. Uma pessoa retira aleatoriamente uma dessas bolas da urna, anota o número obtido e, em seguida, devolve a bola à urna. As bolas são então novamente misturadas, e o procedimento é repetido por mais duas vezes. Calcule a probabilidade de que a soma dos três números anotados ao final do experimento seja igual a 8.
MAT. – 3
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
04. Três números reais a, b e c são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão aritmética e três números reais x, y e z são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica. Nessas condições, mostre que
.bacacb zyxzyx =
MAT. – 4
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
05. O campeonato brasileiro de futebol (série A), edição 2008, foi disputado por 20 equipes no sistema de pontos corridos, de forma contínua, em turno (19 jogos de ida, da 1ª à 19ª rodada) e returno (19 jogos de volta, da 20ª à 38ª rodada). Sagrou-se campeão o clube que acumulou o maior número de pontos ganhos em toda a disputa. O gráfico abaixo apresenta o número de gols marcados e sofridos pela equipe campeã em 2008 ao longo das 38 rodadas. Observe-o para responder às questões propostas.
Número de gols marcados e sofridos pelo clube campeão em 2008.
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
Rodadas
Gol
s
gols marcados gols sofridos
Fonte :< http://www.cbf.com.br>. Acesso em 16 fev. 09.
A) Considere que cada vitória vale três pontos, empate, um ponto e derrota, nenhum ponto. Quantos pontos o campeão somou no returno do campeonato?
MAT. – 5
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
B) Suponha que a Confederação Brasileira de Futebol tenha premiado o primeiro colocado com 4 milhões de reais, o segundo, com 2 milhões de reais e o terceiro, com 1 milhão de reais. Quantas possibilidades existiam, na ocasião da abertura do campeonato, para a distribuição desses três prêmios?
C) A Confederação Brasileira de Futebol regulamentou que os quatro últimos clubes, em termos de pontuação, fossem rebaixados para a série B do campeonato brasileiro. Quantas possibilidades existiam, na ocasião da abertura do campeonato, para a composição das equipes rebaixadas?
MAT. – 6
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
06. Um polinômio )(XP de grau cinco e com coeficientes reais é divisível por 2)3( −X e satisfaz 0)( =iP , 8)1( −=P e 96)1( −=−P . Encontre ).0(P
MAT. – 7
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
07. O ponto )2,0( é vértice de um hexágono regular com centro na origem do sistema de coordenadas. Determine os números complexos correspondentes aos vértices desse hexágono.
MAT. – 8
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
08. Na figura apresentada a seguir, temos que °= 50Â e 70AB cm= . Pergunta-se: qual é o número de pontos C r∈ , tais que 60BC cm= ?
50°
70
A
B
r.
.
MAT. – 9
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
09. Determine os valores do parâmetro real α para os quais o sistema linear abaixo admita infinitas soluções:
−=++−=++
=−+
1023
12
12
zyx
zyx
zyx
αα
α
MAT. – 10
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
10. Calcule o comprimento da corda da circunferência que possui centro na origem do plano cartesiano e raio igual a 1, determinada pelos pontos onde ela intercecta a parábola de equação 2y x= .
MAT. – 11
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
11. Determine a expressão, cujo logaritmo na base 9 é
627
24239 )
1(log)
22
3(log7log5,0 −++−−+
a
ia ,
onde a representa um número real positivo.
MAT. – 12
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
12. A figura abaixo mostra um cubo no qual destacamos três vértices: A, B e C. Sabendo-se que o perímetro do triângulo ABC∆ é igual a (2 2 6)cm+ + , determine
o volume desse cubo (em 3cm ).
B
C
A
.
.
.
MAT. – 1
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GRUPO 5 – TIPO B
MATEMÁTICA
Questões de 01 a 12
01. Um polinômio )(XP de grau cinco e com coeficientes reais é divisível por 2)3( −X e satisfaz 0)( =iP , 8)1( −=P e 96)1( −=−P . Encontre ).0(P
MAT. – 2
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GRUPO 5 – TIPO B
02. O ponto )2,0( é vértice de um hexágono regular com centro na origem do sistema de coordenadas. Determine os números complexos correspondentes aos vértices desse hexágono.
MAT. – 3
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GRUPO 5 – TIPO B
03. Na figura apresentada a seguir, temos que °= 50Â e 70AB cm= . Pergunta-se: qual é o número de pontos C r∈ , tais que 60BC cm= ?
50°
70
A
B
r.
.
MAT. – 4
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GRUPO 5 – TIPO B
04. Determine os valores do parâmetro real α para os quais o sistema linear abaixo admita infinitas soluções:
−=++−=++
=−+
1023
12
12
zyx
zyx
zyx
αα
α
MAT. – 5
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GRUPO 5 – TIPO B
05. Calcule o comprimento da corda da circunferência que possui centro na origem do plano cartesiano e raio igual a 1, determinada pelos pontos onde ela intercecta a parábola de equação 2y x= .
MAT. – 6
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO B
06. Determine a expressão, cujo logaritmo na base 9 é
627
24239 )
1(log)
22
3(log7log5,0 −++−−+
a
ia ,
onde a representa um número real positivo.
MAT. – 7
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO B
07. A figura abaixo mostra um cubo no qual destacamos três vértices: A, B e C. Sabendo-se que o perímetro do triângulo ABC∆ é igual a (2 2 6)cm+ + , determine
o volume desse cubo (em 3cm ).
B
C
A
.
.
.
MAT. – 8
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO B
08. Reescreva a expressão 23 xxx
xxx, em que x é um número real positivo, como uma
potência racional de x, isto é, na forma qpx /
, onde p e q são dois números inteiros.
09. Uma empresa divulga que a média salarial de seus empregados é de R$ 1.060,00. Há 40 funcionários recebendo R$ 415,00, 9 recebendo R$ 1.200,00 e 3 recebendo R$ 2.600,00. Além desses funcionários, há dois membros do Conselho Diretor da empresa que recebem salários iguais. Qual é o valor desse salário?
MAT. – 9
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GRUPO 5 – TIPO B
10. Uma urna contém nove bolas numeradas de 0 a 8. Uma pessoa retira aleatoriamente uma dessas bolas da urna, anota o número obtido e, em seguida, devolve a bola à urna. As bolas são então novamente misturadas, e o procedimento é repetido por mais duas vezes. Calcule a probabilidade de que a soma dos três números anotados ao final do experimento seja igual a 8.
MAT. – 10
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO B
11. Três números reais a, b e c são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão aritmética e três números reais x, y e z são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica. Nessas condições, mostre que
.bacacb zyxzyx =
MAT. – 11
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO B
12. O campeonato brasileiro de futebol (série A), edição 2008, foi disputado por 20 equipes no sistema de pontos corridos, de forma contínua, em turno (19 jogos de ida, da 1ª à 19ª rodada) e returno (19 jogos de volta, da 20ª à 38ª rodada). Sagrou-se campeão o clube que acumulou o maior número de pontos ganhos em toda a disputa. O gráfico abaixo apresenta o número de gols marcados e sofridos pela equipe campeã em 2008 ao longo das 38 rodadas. Observe-o para responder às questões propostas.
Número de gols marcados e sofridos pelo clube campeão em 2008.
0
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
Rodadas
Gol
s
gols marcados gols sofridos
Fonte :< http://www.cbf.com.br>. Acesso em 16 fev. 09.
A) Considere que cada vitória vale três pontos, empate, um ponto e derrota, nenhum ponto. Quantos pontos o campeão somou no returno do campeonato?
MAT. – 12
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GRUPO 5 – TIPO B
B) Suponha que a Confederação Brasileira de Futebol tenha premiado o primeiro colocado com 4 milhões de reais, o segundo, com 2 milhões de reais e o terceiro, com 1 milhão de reais. Quantas possibilidades existiam, na ocasião da abertura do campeonato, para a distribuição desses três prêmios?
C) A Confederação Brasileira de Futebol regulamentou que os quatro últimos clubes, em termos de pontuação, fossem rebaixados para a série B do campeonato brasileiro. Quantas possibilidades existiam, na ocasião da abertura do campeonato, para a composição das equipes rebaixadas?
MAT. – 6
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GRUPO 6 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 07 a 12
07. Encontre as soluções complexas da equação 04)41( 24 =−−+ ixix .
MAT – 7
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
08. Um cubo é seccionado por um plano que passa por uma das diagonais de sua base
inferior e por um único vértice de sua base superior. Sabendo que o valor da área da
região determinada pela intersecção entre o cubo e o plano é igual a 2
4
6cm ,
calcule o comprimento de uma das diagonais do cubo.
MAT. – 8
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
09. As retas r e s são paralelas. Em r , destacam-se 3 pontos e, em s , 5 pontos. A distância entre os pontos consecutivos da reta r é de 2 centímetros e a distância entre os pontos consecutivos da reta s é de 1 centímetro. Com base nesses dados, resolva os itens seguintes:
A) Quantos são os triângulos com vértices nos 8 pontos acima?
B) Suponha que a distância entre as retas r e s é de cm3 . Agrupando-se os triângulos do item A em conjuntos de triângulos de mesma área, qual é a área dos triângulos que estão no conjunto com maior número de elementos?
MAT – 9
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
10. Eduardo gosta de viajar com sua família durante os feriados. Ele aproveitou uma viagem mais longa para medir o consumo de gasolina de seu carro na estrada de asfalto. Ele já havia constatado que, em estrada de terra, o consumo era alto: 5 quilômetros por litro (km/L). Eduardo viajou 1240 quilômetros, dos quais 110 km foram rodados em estrada de terra. Gastou ao todo 135 litros de gasolina, ao preço médio de R$ 2,50 o litro. Com base nesses dados, responda aos itens seguintes.
A) Qual o gasto médio de combustível em reais, por quilômetro rodado, em estrada de asfalto?
B) Qual o aumento percentual do consumo ao se passar da estrada de asfalto para a de terra?
MAT. – 10
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
11. Para resolver as questões propostas, considere o sistema de equações nas incógnitas x e y :
=−+−=+−
064
072
βα
yx
yx
A) Para que valores de α e de β o sistema é possível e determinado?
B) Escolha um par de valores para α e β , dentre os valores encontrados em A, e resolva o sistema para esse par.
MAT – 11
2º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
12. Um avião se aproxima de uma torre de controle de tráfego aéreo voando à altitude constante e à velocidade também constante de hkm /600 (veja a figura abaixo). Em um
dado instante, o ângulo de elevação do avião medido da torre de controle foi de 30°. Uma nova medida foi realizada exatamente um minuto depois e, desta vez, o ângulo obtido foi de 60°. Considerando a altura da torre d e controle como sendo desprezível, determine com base nestas informações a altitude em que se encontra o avião.
Solo TorreP T .
60°
30°
.
MAT – 7
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GRUPO 6 – TIPO B
MATEMÁTICA
Questões de 07 a 12
07. Eduardo gosta de viajar com sua família durante os feriados. Ele aproveitou uma viagem mais longa para medir o consumo de gasolina de seu carro na estrada de asfalto. Ele já havia constatado que, em estrada de terra, o consumo era alto: 5 quilômetros por litro (km/L). Eduardo viajou 1240 quilômetros, dos quais 110 km foram rodados em estrada de terra. Gastou ao todo 135 litros de gasolina, ao preço médio de R$ 2,50 o litro. Com base nesses dados, responda aos itens seguintes.
A) Qual o gasto médio de combustível em reais, por quilômetro rodado, em estrada de asfalto?
B) Qual o aumento percentual do consumo ao se passar da estrada de asfalto para a de terra?
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GRUPO 6 – TIPO B
08. Para resolver as questões propostas, considere o sistema de equações nas incógnitas x e y :
=−+−=+−
064
072
βα
yx
yx
A) Para que valores de α e de β o sistema é possível e determinado?
B) Escolha um par de valores para α e β , dentre os valores encontrados em A, e resolva o sistema para esse par.
MAT – 9
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GRUPO 6 – TIPO B
09. Um avião se aproxima de uma torre de controle de tráfego aéreo voando à altitude constante e à velocidade também constante de hkm /600 (veja a figura abaixo). Em um
dado instante, o ângulo de elevação do avião medido da torre de controle foi de 30°. Uma nova medida foi realizada exatamente um minuto depois e, desta vez, o ângulo obtido foi de 60°. Considerando a altura da torre d e controle como sendo desprezível, determine com base nestas informações a altitude em que se encontra o avião.
Solo TorreP T .
60°
30°
.
MAT. – 10
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GRUPO 6 – TIPO B
10. Encontre as soluções complexas da equação 04)41( 24 =−−+ ixix .
MAT – 11
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GRUPO 6 – TIPO B
11. Um cubo é seccionado por um plano que passa por uma das diagonais de sua base
inferior e por um único vértice de sua base superior. Sabendo que o valor da área da
região determinada pela intersecção entre o cubo e o plano é igual a 2
4
6cm ,
calcule o comprimento de uma das diagonais do cubo.
MAT. – 12
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GRUPO 6 – TIPO B
12. As retas r e s são paralelas. Em r , destacam-se 3 pontos e, em s , 5 pontos. A distância entre os pontos consecutivos da reta r é de 2 centímetros e a distância entre os pontos consecutivos da reta s é de 1 centímetro. Com base nesses dados, resolva os itens seguintes:
A) Quantos são os triângulos com vértices nos 8 pontos acima?
B) Suponha que a distância entre as retas r e s é de cm3 . Agrupando-se os triângulos do item A em conjuntos de triângulos de mesma área, qual é a área dos triângulos que estão no conjunto com maior número de elementos?