MATEMÁTICAS 3º ESO G

CÓDIGO DEL CLASSROOM 2wgdydp El alumno/a que copie las actividades obtendrá un 0 en

dicha entrega.

Deben de copiarse TODOS los enunciados y TODOS los

apartados del ejercicio. Además, TODAS las cuentas que se

hagan deben de estar en el ejercicio (nada de hacer cuentas

en un folio aparte)

Semana del 16 al 22 de marzo

Tema 11: CUERPOS GEOMÉTRICOS

Día 1: Portada y copiar los cuadros. Día 2: Leer la página 208 y 209 , actividad 2.

Día 3: Leer las páginas 210, 211, 212 y 213. Día 4: Leer las páginas 214, 215 y 216. Actividades 1, 2, 3 de la página 217. • https://www.youtube.com/watch?v=s6_9AH4LJ20&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=150

• https://www.youtube.com/watch?v=xEMRUbFRr4Y&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=151

• https://www.youtube.com/watch?v=2ZykgjPnaS4&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=153

• https://www.youtube.com/watch?v=l1zCTPwM44s&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=154

• https://www.youtube.com/watch?v=yvifsG-YuRo&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=155

•• https://www.youtube.com/watch?v=B-hvBqg4V9A&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=157

• https://www.youtube.com/watch?v=XwS5ygTwPAA&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=159

• https://www.youtube.com/watch?v=ngvBXEirB9Q&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=160

Día 5: Página 217, actividades 4, 5, 6 y 7. • https://www.youtube.com/watch?v=X8pCrkRhqcc&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=156

• https://www.youtube.com/watch?v=2EXOSTZX4LI&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=158

Semana del 23 al 29 de marzo

Día 1: Leer las páginas 218 y 219, actividades 1, 2, 3 y 4. • https://www.youtube.com/watch?v=VPiTCiZWSNs&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=161

• https://www.youtube.com/watch?v=5at1YbSD0Uw&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=162

• https://www.youtube.com/watch?v=8RKxq4yHjoI&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=163

• https://www.youtube.com/watch?v=YxNAhopyCdM&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=164

• https://www.youtube.com/watch?v=_apLVwqqd2g&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=165

• https://www.youtube.com/watch?v=CzrMVrcDcyc&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=166

Día 2: Leer las páginas 220 y 221. Actividades 3,4, 5 y 6 de la página 229.

Tema 12: TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Día 3: Portada y copiar los cuadros. Día 4: Leer las páginas 232, 233, 234 y 235, actividades 2, 3 y 4. • https://www.youtube.com/watch?v=YXj0nGT0Ck4• https://www.youtube.com/watch?v=65Gbl94R2jA• https://www.youtube.com/watch?v=XVv23C7f9ek• https://www.youtube.com/watch?v=_t0BODzO6GIDía 5: Leer las páginas 236 y 237, actividad 2.

Semana del 30 al 5 de abril

Lunes 30 :Ver si es posible TVE 2 entre las 13:00 y las 14:00 e ir adelantando trabajo del martes.

Martes 31: Leer la página 238, actividad 2. Leer página 239, actividad 1. Leer 240 y 241 https://www.youtube.com/watch?v=c1xawdDEDrwhttps://www.youtube.com/watch?v=QW602kH52Ec

Tema 13: TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Miércoles 1: Portada y copiar los cuadros. Jueves 2: Leer las páginas 256 y 257, actividades 1, 2, 3 y 4. https://www.youtube.com/watch?v=hBWk03yutOk&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=117youtube.com/watch?v=5pwsHOi4zMQ&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=118Viernes 3: Leer las páginas 258 y 259 , actividades 1y 2. https://www.youtube.com/watch?v=11sFf6zOQ2s&list=PLOa7j0qx0jgMJ69LLu0N_1bbXVLvkB_Xm&index=3https://www.youtube.com/watch?v=tIRgjy_xwI8&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=119

Semana del 13 al 19 abril

Tema 14: PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

Lunes 13 : Ver los vídeos para corregir el tema 11 Martes 14: Entregar todas las actividades del tema 11. Miércoles 15: Portada y copiar los cuadros.

Jueves 16: Leer la página 268, actividades 1 y 2. https://www.youtube.com/watch?v=f9_tkalWDFU&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=120

Viernes 17: Leer la página 269, actividades 3 y 4. https://www.youtube.com/watch?v=QaD6xzHOOFM&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=121Entregar todas las actividades del tema 12.

Semana del 20 al 26 abril

Lunes 20 : Leer la página 270, actividad 1.Leer la página 271, actividad 3. https://www.youtube.com/watch?v=8kmESo7ZZFs&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=122https://www.youtube.com/watch?v=RTImPOjDEU0&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=123https://www.youtube.com/watch?v=2fzJP1Bd5MU&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=128https://www.youtube.com/watch?v=71yCZXT7L_E&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=129https://www.youtube.com/watch?v=ISbnLcFFrNY&list=PLOa7j0qx0jgMJ69LLu0N_1bbXVLvkB_Xm&index=2

Martes 21: Entregar las correcciones del tema 11 Miércoles 22: Leer la página 272, actividad 1.Leer la página 273, actividad 3. https://www.youtube.com/watch?v=xac1nmVmIM0&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=125https://www.youtube.com/watch?v=dTb6R-6S1Eo&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=126https://www.youtube.com/watch?v=6BZCZIVYEs4&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=127Jueves 23: Leer la página 275, actividad 2. Leer la página 276, actividades 1 y 2. https://www.youtube.com/watch?v=2TybQGts1J8&list=PLiluzf_xWOqhMKNapxoQf3xgTSkdcJxc2&index=130https://www.youtube.com/watch?v=h2tdhAgLLAw&list=PLOa7j0qx0jgMJ69LLu0N_1bbXVLvkB_XmViernes 24: Leer la página 277, actividades 3 y 4. https://www.youtube.com/watch?v=Kj9g-BC2YSg&list=PLOa7j0qx0jgMJ69LLu0N_1bbXVLvkB_Xm&index=4

Entregar las correcciones del tema 12

Semana del 27 de abril al 3 de mayo

Lunes 27 : Autoevaluación, actividades 1, 2, 3 y 4 de la página 283. Martes 28: REPASO UNIDAD 5 POLINOMIOS Miércoles 29: UNIDAD 5 Actividades de la página 1 a la 3. Jueves 30: UNIDAD 5 Actividades de la página 4 a la 5. Viernes 1: UNIDAD 5 Actividades de la página 6 a la 8.

Entregar todas las actividades del tema 13.

Semana del 4 al 10 de mayo

Lunes 4: UNIDAD 5 Actividades de la página 9 a la 10. Martes 5: REPASO UNIDAD 6 ECUACIONES Miércoles 6: UNIDAD 6 Actividades de la página 1 a la 3. Jueves 7: UNIDAD 6 Actividades de la página 4 a la 6. Viernes 8: UNIDAD 6 Actividades de la página 7 a la 10. Entregar las correcciones del tema 13. Entregar todas las actividades del tema 14.

Semana del 11 al 17 de mayo REPASO UNIDAD 7 SISTEMAS

Lunes 11: UNIDAD 7 Actividades de la página 1 a la 3. Martes 12: Entregar todas las actividades de REPASO UNIDAD 5. Miércoles 13:UNIDAD 7 Actividades de la página 4 a la 6. Jueves 14: UNIDAD 7 Actividades de la página 7 a la 8. Viernes 15: UNIDAD 7 Actividades de la página 9 a la 10. Entregar las correcciones del tema 14.

Semana del 18 al 24 de mayo REPASO UNIDAD 7 SISTEMAS SEGUNDO PDF

Lunes 18: UNIDAD 7 (2) Actividades de la página 1 a la 2. Martes 19:Entregar todas las actividades de REPASO UNIDAD 6. Entregar todas las CORRECCIONES de REPASO UNIDAD 5. Miércoles 20:UNIDAD 7 (2) Actividades de la página 3 a la 4. Jueves 21: UNIDAD 7 (2) Actividades de la página 5 a la 6. Viernes 22:

Semana del 25 al 31 de mayo Lunes 25: UNIDAD 7 (2)Actividades de la página 7 a la 8. Martes 26: Entregar todas las actividades de REPASO UNIDAD 7. Entregar todas las CORRECCIONES de REPASO UNIDAD 6. Miércoles 27:UNIDAD 7 (2) Actividades de la página 9 a la 10. Jueves 28: Viernes 29:

Semana del 1 al 7 de junio REPASO ÁLGEBRA UNIDADES 5-7

Lunes 1: REPASO ÁLGEBRA Actividades 1-5 Martes 2: Entregar todas las CORRECCIONES de REPASO UNIDAD 7. Miércoles 3: REPASO ÁLGEBRA Actividades 6-10 Jueves 4: Viernes 5: Entregar todas las actividades de REPASO UNIDAD 7 (2)

FECHAS DE ENTREGA

Forma de entregar las tareas:

• Entregar antes de la fecha puesta en la tabla.

• Primeramente se debe acabar todo el tema.

• Se envía por correo aolival742@maralboran.es o se sube al classroom.

• Cuando el profesor suba los vídeos de las correcciones se deben ver los vídeos y con un bolígrafo

rojo poner un tic de que esta bien y/o corregir los fallos para volver a enviarlos

Se valorará positivamente el trabajo, el esfuerzo y el autoaprendizaje de cada uno del alumnado.

Quien tenga dudas de algunos contenidos o actividades lo podéis preguntar en el tablón del classroom, a un familiar o al profesor en esta dirección: aolival742@maralboran.es . Además, podéis buscar videos en YOUTUBE, donde aparecen multitud de profesores que explican muy bien y paso a paso todo.

a. Fecha de entrega. Viene indicada de color verde en la programación, cada tema hay que entregarlo dos veces, una con las actividades realizadas y una segunda vez después de ver los vídeos realizados por el profesor y siempre antes de la fecha expuesta a lo largo del documento. b. Canal de devolución: A ser posible en el google classroom, pero también esta la posibilidad de enviarlas al correo aolival742@maralboran.es

1ª ENTREGA 2ª ENTREGA CORRECCIÓN

TEMA 11 14 de abril 21 de abrilTEMA 12 17 de abril 24 de abrilTEMA 13 1 de mayo 8 de mayoTEMA 14 8 de mayo 15 de mayo

REPASO UNIDAD 5 13 de mayo 19 de mayoREPASO UNIDAD 6 19 de mayo 26 de mayoREPASO UNIDAD 7 26 de mayo 2 de junio

REPASO UNIDAD 7 (2) 5 de junioREPASO 5-7

c. Modo de devolución: Lo ideal sería escanear todo el tema completo e enviar mediante un único pdf. También, será válido hacer una foto al cuaderno, procurando:

• Hacer una foto de la página completa ( no trozos de folio). • Intentar que sea en el orden del que se han mandado las tareas. • No mezclar los temas. • Adjuntar todos los archivos en el mismo mensajes.

d. Tipo de tarea: Se evaluará positivamente el esfuerzo, el trabajo y el autoaprendizaje de cada uno de los alumnos y alumnas.e. Forma en la que será corregida: El profesor revisará el trabajo enviado por el alumnado, además, publicará en el classroom unos videos de elaboración propia en el que explicará y resolverá las tareas realizadas por el alumnado para que el propio alumno se la puede corregir yaprender por sí mismo de sus errores. Que tendrá que volver a enviar una vez que haya realizado la corrección del tema y dentro de la fecha programada por el profesor.

1

OBJETIVO 1

RECONOCER EL GRADO, EL TÉRMINO Y LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO5NOMBRE: CURSO: FECHA:

• Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de monomios, que son los términosdel polinomio.

• Un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes.

• El grado de un polinomio reducido coincide con el grado de su término de mayor grado.

• Un polinomio es completo cuando tiene términos de todos los grados inferiores al grado del polinomio.En caso contrario, es incompleto.

Dado el polinomio P(x) = 5x2 − 3x + 2x + 1 − 3:

a) Obtén el polinomio reducido.

b) Determina el grado del polinomio.

c) ¿Cuántos términos tiene el polinomio? ¿Cuál es su término independiente?

d) ¿Es un polinomio completo? Si el polinomio es incompleto, di qué término falta.

a) Para reducir un polinomio hay que resolver las operaciones que se puedan:

P(x) = 5x2 − 3x + 2x + 1 − 3 = P(x) = 5x2 − x − 2 Polinomio reducido

b) El grado del polinomio es 2: P(x) = 5x 2 − x − 2.

c) El polinomio tiene tres términos y −2 es el término independiente.

P(x) = 5x2 − x − −2 es el término independiente.

Tiene tres términos.

d) P(x) = − − es un polinomio completo.20

x1

5x2

2

2

F

EJEMPLOF

F

F

F

¿Es Q(x) = 7x3 + 2x2 + 3 un polinomio completo o incompleto?

Q(x) = + + Es un polinomio incompleto, pues no tiene término de grado 1.30

2x2

2

7x3

3

EJEMPLO

Calcula el polinomio reducido.

a) P(x) = 4 − 3x2 + x − x2 + 1

b) P(x) = x4 − 4 − 3x2 + x − x2 + 1 − 3x4 − 3x

1

14243

678

Grado

Grado

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3ºESO

2

OBJETIVO 2

DETERMINAR EL VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO5NOMBRE: CURSO: FECHA:

El valor numérico de un polinomio P(x), para cierto valor de la variable x = a, se obtiene sustituyendo xpor a y operando.

En un polinomio, por ejemplo, P(x) = 2x2 + 1, se puede dar cualquier valor a la x.

Para x = 2 ⎯→ P(2) = 2 ⋅ (2)2 + 1 = 2 ⋅ 4 + 1 = 8 + 1 = 9

El valor numérico del polinomio para x = 2 es 9.

Para x = 10 → P(10) = 2 ⋅ (10)2 + 1 = 2 ⋅ 100 + 1 = 200 + 1 = 201

El valor numérico del polinomio para x = 10 es 201.

EJEMPLO

Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para x = 1.

a) P(x) = x + 1

x = 1 → P( ) = ( ) + 1

b) P(x) = x2 + 1

c) P(x) = x3 + 1

d) P(x) = x4 + 1

1

Calcula el valor numérico de cada polinomio para el valor de la variable indicado.

a) A(x) = x + 1, para x = 1.

b) B(x) = 4x5 − 6x2 + 3, para x = −1.

c) C(x) = −9x4 + 7x2 + 5, para x = 1.

d) D(x) = x3 + x2 + x + 2, para x = −2.

2

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3

5OBJETIVO 3

REALIZAR SUMAS Y RESTAS CON POLINOMIOS

NOMBRE: CURSO: FECHA:

• La suma de dos polinomios se calcula sumando los términos semejantes de ambos.

• La resta de dos polinomios se obtiene sumando el primero con el polinomio opuesto del segundo.

• Recuerda que la regla básica de las sumas y restas de polinomios es que solo se pueden sumary restar los términos semejantes.

Suma los siguientes polinomios: P(x) = 3x3 − 2x2 + 5x − 3 y Q(x) = 4x2 − 3x + 2.

Se puede realizar de dos maneras:

• En línea: solo se suman los elementos iguales.

P(x) + Q(x) = 3x3 = 3x3 + 2x2 + 2x − 1

P(x) + Q(x) = 3x3 + 2x2 + 2x − 1

• En columna: hay que poner en columna los términos semejantes.

P(x) = 3x3 − 2x2 + 5x − 3

+ Q(x) = 4x2 − 3x + 2

P(x) + Q(x) = 3x3 + 2x2 + 2x − 1

+ 2− 3x+ 4x2− 3+ 5x− 2x2

EJEMPLO

Resta los siguientes polinomios: P(x) = 3x3 − 5x2 + 5 y Q(x) = 5x2 − 2x + 7.

Se puede realizar de dos maneras:

• En línea: el signo negativo delante del paréntesis afecta a todos los términos.

P(x) − Q(x) = 3x3 − 5x2 + 5 − (5x2 − 2x + 7) =

= 3x3 + 2x = 3x3 − 10x2 + 2x − 2

P(x) − Q(x) = 3x3 − 10x2 + 2x − 2

• En columna: hay que poner en columna los términos semejantes.

P(x) = 3x3 − 5x2 + 2x + 5

− Q(x) = − (5x2 − 2x + 7)

P(x) − Q (x) = 3x3 − 10x2 + 2x − 2

− 7− 5x2+ 5− 5x2

EJEMPLO

Dados los polinomios P(x) = x 3 − 2x + 1 y Q(x) = x 2 − 3x + 2, halla P(x) + Q(x) y P(x) −Q(x),resolviendo las operaciones en línea y en columna.

1

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4

5Calcula la suma y resta de cada par de polinomios.

a) P(x) = 3x + 2x2 − x − 4 Q(x) = x3 − x2 − 9x + 3

P(x) = P(x) =

+ Q(x) = − Q(x) =

P(x) + Q(x) = P(x) − Q(x) =

b) P(x) = x7 − 8x4 + 3 Q(x) = x5 + 3x3 − 6

P(x) = P(x) =

+ Q(x) = − Q(x) =

P(x) + Q(x) = P(x) − Q(x) =

c) P(x) = 10x4 + x2 + 1 Q(x) = x5 +7x2 − x

P(x) = P(x) =

+ Q(x) = − Q(x) =

P(x) + Q(x) = P(x) − Q(x) =

d) P(x) = −x4 − x3 − 2 Q(x) = −3x4 − 2x3 − x − 5

P(x) = P(x) =

+ Q(x) = − Q(x) =

P(x) + Q(x) = P(x) − Q(x) =

e) P(x) = −3x3 − 2x2 − 2 Q(x) = 6x4 − x3 − 3x + 7

P(x) = P(x) =

+ Q(x) = − Q(x) =

P(x) + Q(x) = P(x) − Q(x) =

2

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5

5OBJETIVO 4

REALIZAR MULTIPLICACIONES CON POLINOMIOS

• El producto de dos polinomios se halla multiplicando cada uno de los monomios de un polinomiopor los monomios del otro, y sumando, después, los polinomios obtenidos en esas multiplicaciones.

• Para multiplicar dos polinomios es necesario aplicar la propiedad distributiva.

Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = 7x3 + 2x2 + x − 7 y Q(x) = x2 + 3.

Vamos a resolverlo multiplicando en línea:

P(x) ⋅ Q(x) = (7x3 + 2x2 + x − 7) ⋅ (x 2 + 3) =

=

= 7x5+ 21x3 + 2x4 + 6x2 + x3 + 3x − 7x2 − 21 =

= 7x5+ 2x4 + 22x3 − x2 + 3x − 21

P(x) ⋅ Q(x) = 7x5 + 2x4 + 22x3 − x2 + 3x − 21

− 7 ⋅ x2 − 7 ⋅ 3+ x ⋅ x2 + x ⋅ 3+ 2x2 ⋅ x2 + 2x2 ⋅ 37x3 ⋅ x2 + 7x3 ⋅ 3

EJEMPLO

Multiplica los siguientes polinomios.

a) P(x) = 5x2 − 7x + 3 y Q(x) = 2x2 + 1

P(x) ⋅ Q(x) = (5x2 − 7x + 3) ⋅ (2x2 + 1) Multiplicamos los monomios.

=

= Sumamos los términossemejantes.

P(x) ⋅ Q(x) =

b) P(x) = x3 − 1 y Q(x) = 5x2 − x + 2

+−

1

F

F

F

NOMBRE: CURSO: FECHA:

Se multiplican todos los monomios de un polinomiopor los monomiosdel otro polinomio.

Se suman los términos semejantes.

F

F

F

F F

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6

5Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = 7x3 + 2x2 + x − 7 y Q(x) = x2 + 3.

Resolvemos el ejercicio multiplicando en columna:

7x3 + 2x2 + x − 7

� x2 + 3

21x3 + 6x2 + 3x − 21

7x5 + 2x4 + 21x3 − 7x2 + 3x − 21

P(x) ⋅ Q(x) = 7x5 + 2x4 + 22x3 − 7x2 + 3x − 21

EJEMPLO

Producto de 3 por 7 x3 + 2 x2 + x − 7

Producto de x2 por 7 x3 + 2 x2 + x − 7

Suma de monomios semejantes

F

F

F

Multiplica los polinomios: P (x) = 5x 2 − 3x + 4 y Q(x) = 3x + 2.

5x2 − 3x + 4

� 3x + 2

P(x) ⋅ Q(x) =

2

Calcula el producto del polinomio R(x) = x 3 − 1 y el monomio S(x) = x + 3,utilizando la propiedad distributiva.

3

Halla el producto de los siguientes polinomios.

a) R(x) = x3 − 1 y S(x) = x

b) R(x) = x4 − x + 1 y S(x) = x2 + 1

4

Producto de 2 por 5 x2 − 3 x + 4

Producto de 3 x por 5 x2 − 3x + 4

Suma de monomios semejantes

F

F

F

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7

5OBJETIVO 5

REALIZAR DIVISIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE: CURSO: FECHA:

• Lo primero que hay que tener en cuenta para dividir los polinomios P(x) y Q(x) es que el gradodel polinomio P(x) debe ser mayor o igual que el del polinomio Q(x).

• En estas condiciones, dados dos polinomios P(x) y Q(x), existen otros dos polinomios C(x) y R(x)que cumplen:

P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x)

P(x) es el polinomio dividendo.

Q(x) es el polinomio divisor.

C(x) es el polinomio cociente.

R(x) es el polinomio resto.

• Si el resto de la división es nulo, es decir, si R(x) = 0:

– La división es exacta.

– El polinomio P(x) es divisible por Q(x).

• En caso contrario, se dice que la división no es exacta.

Divide los siguientes polinomios: P(x) = 5x3 + 3x2 + 5x − 7 y Q(x) = x2 + 5.

Polinomio dividendo: P(x) = 5x3 + 3x2 + 5x − 7

Polinomio divisor: Q(x) = x2 + 5

Polinomio cociente: C(x) = 5x + 3

Polinomio resto: R(x) = −20x – 22

En este caso, la división no es exacta, ya que el resto obtenido es distinto de cero.

EJEMPLO

5x3 + 3x2 + 5x − 7 x2 + 5

Hay que elegir un monomio que multiplicadopor x2 nos dé 5 x3:

⋅ x2 = 5 x3. En este caso, = 5x.F

−5x3 + 3x2 + 25x − 7 x2 + 5

−5x3 + 3x2 − 25x 5x + 3

−5x3 + 3x2 − 20x − 72

Multiplicamos 5x por cada uno de los términos del polinomio cociente (x2 + 5), cambiamos de signolos resultados y los colocamos en su columna. A continuación, sumamos.

Hay que buscar un monomio que multiplicadopor x2 nos dé 3x2, en este caso 3.

Multiplicamos 3 por x2 + 5, cambiamos de signo los resultados y los colocamos en su columna. A continuación, sumamos.

Hay que buscar un monomio que multiplicado por x2 nos dé 20x, pero no existe ninguno. Por tanto, la división finaliza.

FFF F

−5x3 + 3x2 + 25x − 27 x2 + 5

−5x3 + 3x2 − 25x 5x + 3

−5x3 + 3x2 − 20x − 272

−5x3 −3x2 − 20x − 152

−5x3 + 3x2 − 20x − 22

F F

FF

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8

Calcula las divisiones de polinomios y señala si son exactas o enteras.

a) P(x) = x − 1, Q(x) = x c) P(x) = x2 − 1, Q(x) = x + 1

b) P(x) = x2 − 5x + 6, Q(x) = x − 2 d) P(x) = x3 − 3x2 + 2x, Q(x) = x

1

Haz las divisiones y comprueba que P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x).

a) P(x) = x3 − 1, Q(x) = x c) P(x) = x3 − 1, Q(x) = x2 − 2

b) P(x) = x3 − 1, Q(x) = x + 1 d) P(x) = x3 + 1, Q(x) = x3

2

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9

5OBJETIVO 6

IDENTIFICAR Y DESARROLLAR IGUALDADES NOTABLES

NOMBRE: CURSO: FECHA:

CUADRADO DE UNA SUMA• El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero

por el segundo, más el cuadrado del segundo.(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2

• Esto se puede hacer como una multiplicación normal:

(a + b)2 = (a + b) ⋅ (a + b) = a ⋅ a + a ⋅ b + a ⋅ b + b ⋅ b = a2 + 2ab + b2F F

F FF

(x + 3)2 = (x + 3) ⋅ (x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9

(4x + y)2 = (4x + y) ⋅ (4x + y) = 16x2 + 4xy + 4xy + y2 = 16x2 + 8xy + y2

EJEMPLO

Desarrolla estas igualdades.

a) (x + 2y)2 = (x + 2y) ⋅ (x + 2y) =

b) (3x3 + 3)2 =

c) (2x + 3y)2 =

d) (4a + b2)2 =

1

(2y − 3)2 = (2y − 3) ⋅ (2y − 3) = 4y2 − 6y − 6y + 9 = 4y2 − 12y + 9

(x 2 − 2) = (x 2 − 2) ⋅ (x 2 − 2) = x4 − 2x2 − 2x2 + 4 = x4 − 4x2 + 4

EJEMPLO

Desarrolla las siguientes igualdades.

a) (6x − 4y)2 = (6x − 4y) ⋅ (6x − 4y) =

b) (5x4 − 2)2 =

c) (2x − 3y)2 =

d) (4x3 − a2)2 =

2

CUADRADO DE UNA DIFERENCIA• El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero

por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

• Esto se puede hacer como una multiplicación normal:

(a − b)2 = (a − b) ⋅ (a − b) = a ⋅ a − a ⋅ b − a ⋅ b + b ⋅ b = a2 − 2ab + b2

F F

FF

6447448

F6447448

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10

5PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA DIFERENCIA

• El producto de una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el cuadradodel segundo.

(a + b) ⋅ (a − b) = a2 − b2

• Esto se puede hacer como una multiplicación normal:

(a + b)2 ⋅ (a − b) = a ⋅ a − a ⋅ b + a ⋅ b + b ⋅ b = a2 − b2

F F

FF

(3x + 2) ⋅ (3x − 2) = 9x2 − 6x + 6x − 4 = 9x2 − 4

(5x − 3y) ⋅ (5x + 3y) = 25x2 + 15xy − 15xy − 9y2 = 25x2 − 9y2

EJEMPLO

Desarrolla las siguientes igualdades.

a) (7x + x4) ⋅ (7x − x 4) =

b) (y + x2) ⋅ (y − x2) =

c) (x + x3) ⋅ (x – x3) =

d) (a4 – b ) ⋅ (a4 + b) =

3

Desarrolla.

a) (x + 5)2 =

b) (2y − 7)2 =

c) (3xy + 2yz) ⋅ (3xy − 2yz) =

d) (abc + 1)2 =

e) (7 − 3x)2 =

f) (9v + 2z) ⋅ (9v – 2z) =

g) (3xy + x3)2 =

4

Desarrolla las igualdades.

a) (4x + 2)2 − (5x + 1) ⋅ (2x − 3) =

b) (x + 3)2 − (x − 2)2 =

5

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Resuelve la ecuación por transposición: 6x + 8 = 3x −4.

• Si restamos −8 en los dos miembros, eliminamosel término +8 del primer miembro.Esto equivale a pasar directamente el término −8 al segundomiembro como +8.

• Igualmente, para eliminar 3x del segundo miembrolo pasamos al primero como −3x.

• Operamos y, en la ecuación obtenida, 3x = −12, pasamosel 3, que está multiplicando en el primer miembro, dividiendoal segundo miembro.

6x + 8 = 3x − 4

6x − 3x = −4 − 8

3 x = −12

x =�−

3

12� = −4

1

5UNIDAD 5: ECUACIONES RESOLVER ECUACIONES. TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS

NOMBRE: CURSO: FECHA:

• Resolver una ecuación es obtener el valor de la incógnita que cumple la ecuación.

• Para ello se emplea la transposición de términos, pasando todos los términoscon x a un miembro y todos los números al otro. Se deben tener en cuenta las siguientes reglas.

– Regla de la suma: un término que está sumando en un miembro de la ecuación pasa al otro miembrorestando, y si está restando, pasará sumando.

– Regla del producto: un término que está multiplicando en un miembro de la ecuaciónpasa al otro miembro dividiendo, y si está dividiendo, pasará multiplicando.

EJEMPLO

⎯⎯⎯⎯→

6x + 8 = 3x −4

←⎯⎯

←⎯

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 3x + 8 = 5x + 2 d) 4x − 5 = 3x − x + x − 5

b) 3x − 5 = 2x + 4 + x − 9 e) 2x + 5 = 2 + 4x + 3

c) 9x − 11 = 4x + 6 + 5x + 5 f) 6x + 2x + 4 = 3x + 3 − 5x − 9

1

3

+

− −

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2

RESOLVER ECUACIONES CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES5ECUACIONES CON PARÉNTESIS

Para eliminar los paréntesis de una ecuación:

• Si el paréntesis va precedido del signo +, se dejan los términos de su interior tal y como aparecen.

x + (2x −3 + x2) = x + 2x −3 + x2

• Si el paréntesis va precedido del signo −, se cambia el signo de todos los términos de su interior.

x − (2x −3 + x2) = x −2x + 3 − x2

NOMBRE: CURSO: FECHA:

Resuelve la ecuación. 3(x + 5) −7x + 1 = 2x −2

a) Quitamos paréntesis: 3x + 15 − 7x + 1 = 2x − 2

b) Reducimos términos semejantes: −4x + 16 = 2x − 2

c) Transponemos términos: 16 + 2 = 2x + 4x → 18 = 6x

d) Despejamos la x: = x → 3 = x

e) Comprobamos la solución: 3(x + 5) − 7x + 1 = 2x − 2

Si x = z → 3(3 + 5) − 7 ⋅ 3 + 1 = 2 ⋅ 3 − 2

3 ⋅ 8 − 21 + 1 = 6 − 2

24 − 21 + 1 = 4

4 = 4

La solución es correcta, porque el resultado es el mismo número en ambos miembros.

18

6

EJEMPLO

Resuelve la ecuación: 4[(x + 2) ⋅ 4 −7] = 10x − 8.

a) Quitamos paréntesis.

b) Reducimos términos semejantes.

c) Transponemos términos.

d) Despejamos la x.

e) Comprobamos la solución.

La solución es correcta si el resultado final es el mismo número en ambos miembros.

1

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3

5

ECUACIONES CON DENOMINADORES

Para eliminar los denominadores de una ecuación hay que calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores y multiplicar los dos miembros de la ecuación por ese número.

Resuelve la ecuación. =

a) Calculamos el m.c.m.: m.c.m. (2, 5) = 10

b) Multiplicamos la ecuación por 10: (7x − 3) − 10 ⋅ 7 = (x + 7)

5(7x − 3) − 10 ⋅ 7 = 2(x + 7)

c) Quitamos paréntesis: 35x − 15 − 70 = 2x + 14

d) Reducimos términos semejantes: 35x − 85 = 2x + 14

e) Transponemos términos: 35x − 2x = 14 + 85 → 33x = 99

f) Despejamos la x: = 3

g) Comprobamos la solución: =

Si x = 3 → =

=

9 − 7 = 2 → 2 = 2

10

5

18

27−

3 7

5

+7 3 3

27

⋅ −−

x + 7

5

7 3

37

x −−

x =99

33

10

5

10

2

x + 75

7 32

7x − −

EJEMPLO

Resuelve la siguiente ecuación:

a) Calculamos el m.c.m.

b) Multiplicamos la ecuación por el m.c.m.

c) Quitamos paréntesis.

d) Reducimos términos semejantes.

e) Transponemos términos.

f) Despejamos la x.

g) Comprobamos la solución.

3 12

32 1

3x x+ − = +( )

.2

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4

5Resuelve las ecuaciones y comprueba la solución.

a) 3(x − 2) − (2x − 1) = 0

b) 4(x − 3) − 5(x + 8) = 6(x + 3) − 2

c)

d) 32

34 2 1

4

72 4x x

xx−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + − =

++ +( ) ( )

2 1

3

1

7 2

x x x−−

−=

3

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5

5RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

NOMBRE: CURSO: FECHA:

• Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se expresa de la forma:

ax2 + bx + c = 0

a, b, c: números reales; a � 0

• La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado es:

xb b ac

a=− ± −2 4

2

Resuelve la ecuación. x (x + 3) − 2(x + 1) = 4

a) Quitamos paréntesis: x 2 + 3x − 2x − 2 = 4

b) Reducimos términos semejantes: x 2 + x − 2 = 4

c) Como es una ecuación de 2.o grado,pasamos todos los términos a un miembro: x2 + x − 6 = 0

d) Aplicamos la fórmula general. Para ello identificamos los términos:

� → a = 1, b = 1 y c = −6

x1 = = 2 ⎯⎯→ x1 = 2

⎯→

x2 = = −3 ⎯→ x2 = −3

e) Comprobamos las soluciones:

x(x + 3) − 2(x + 1) = 4

Si x1 = 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2(2 + 3) − 2(2 + 1) = 4

2 ⋅ 5 − 2 ⋅ 3 = 4

10 − 6 = 4

4 = 4

x(x + 3) − 2(x + 1) = 4

Si x2 = −3 ⎯⎯⎯→ −3(−3 + 3) − 2(−3 + 1) = 4

−3 ⋅ 0 – 2 ⋅ (−2) = 4

0 + 4 = 4

4 = 4

− −1 5

2

x =− ±1 5

2x =

− ±1 25

2

− +1 5

2

− ± +1 1 24

2x

b b ac

a=− ± −

=− ± − ⋅ ⋅ −

⋅=

2 24

2

1 1 4 1 6

2 1

( )

ax2 + bx + c = 0

x2 + x − 6 = 0

EJEMPLO

F

F

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6

5Resuelve la siguiente ecuación: (x + 1)x − 2(x + 1) = x (1 − x ) − 3x.

(x + 1)x − 2(x + 1) = x (1 − x ) − 3x

+ − − = − − 3x

= 0

→ a = 2, b = 1 y c = −2

Utilizamos la fórmula:

x 1 =

x2 =

Comprobamos si las soluciones son correctas:

(x + 1)x − 2(x + 1) = x (1 − x) − 3x

Si x1 = → ( + 1) − 2 ( + 1) = (1 − ) − 3

=

=

Por tanto, x 1 = es solución.

Si x 2 = → ( + 1) − 2 ( + 1) = (1 − ) − 3

=

=

Por tanto, x 2 = también es solución.=

=

x =− ±1

4

( )

x =− ±1

4

( )

x =− ± +1

4

( ) ( )

x =− ± − ⋅ ⋅ −

⋅1 1 4 2 2

2 2

2 ( )

xb b ac

a=− ± −2 4

2

2x2 + x − 2 = 0

1

F

F

F

F

F

F FF

F F F F F

Quitamos los paréntesis:

Como es una ecuaciónde 2.º grado, pasamostodo a un miembro:

Operamos:

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7

5

Resuelve la ecuación: x (x − 2) + 2x = 4.2

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x2 − 4x + 3 = 0

Comprobamos el resultado:

b) 2x2 − 20x + 50 = 0

Comprobamos el resultado:

x2 =x1 =

x2 =x1 =

3

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8

RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES5NOMBRE: CURSO: FECHA:

Recuerda los cuatro pasos que debes dar para resolver un problema correctamente:

a) Leer detenidamente el enunciado.

b) Plantear el problema.

c) Resolver el problema.

d) Comprobar el resultado.

El perímetro de una parcela rectangular es de 90 metros y mide 5 metros más de largo que de ancho.¿Cuáles son sus dimensiones?

Recordamos antes de empezar dos fórmulas básicas:

Área del rectángulo = b ⋅ a

Perímetro del rectángulo = 2a + 2b

a) Leer detenidamente el enunciado (puede ser útil realizar un dibujo básico o esquema).

b) Plantear el problema: Si el lado menor es x, ¿cuál será el lado mayor si es 5 metros más largoque el menor?

El lado mayor será x + 5.

Por tanto: x ⎯⎯→ lado menor de la parcelax + 5 → lado mayor de la parcela

Como el perímetro de la parcela mide 90 metros → 2x + 2(x + 5) = 90

c) Resolver la ecuación: 2x + 2x + 10 = 90 → 4x = 80 → x = 20

Lado menor: 20 metros Lado mayor: 20 + 5 = 25 metros

d) Comprobar la solución:

2x + 2(x + 5) = 90 2 ⋅ 20 + 2 ⋅ (20 + 5) = 90 → 40 + 2 ⋅ 25 = 90 → 90 = 90x = 20⎯⎯⎯⎯→

EJEMPLO

a

b

Miguel tiene ahora cuatro años más que su primo Ignacio y, dentro de tres años, entre los dos sumarán 20 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

a) Lee despacio el enunciado.

b) Plantea el problema, organizando la información.

HOY DENTRO DE 3 AÑOS

Miguel tiene x + 4 años + 3 años x + 4 + 3

Ignacio tiene x años + 3 años

La suma de ambos números es 20

c) Resuelve el problema.

d) Comprueba el resultado.

F

FF

1

F F

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9

5

Un campo de fútbol mide 30 metros más de largo que de ancho y su área es 7.000 m2.Calcula sus dimensiones.

a) Lee detenidamente el problema.

b) Plantea la ecuación.

Su área es 7.000 m2

c) Resuelve la ecuación.

d) Comprueba el resultado.

= 7.000F

2

Calcula el valor de x sabiendo que el área total de la figura es 53.

a) Lee detenidamente el problema.

b) Plantea la ecuación.

Área 1 Área 2 Área 3 Las tres áreas suman 53.

c) Resuelve la ecuación.

d) Comprueba el resultado.

3

x

x x 5

531

2 3

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10

5Un padre cede a un hijo de su capital, a otro y a un tercer hijo le da el resto,

que son 19.800 €. ¿Cuál era su capital?

14

15

4

Si a mi edad le resto el cuadrado de su quinta parte resultan 6 años. ¿Qué edad tengo?5

Halla dos números consecutivos, tales que añadiendo al cuadrado del mayor la mitaddel menor resulta 27.

6

María dice a Daniel: «Si al cuadrado de mi edad le resto ocho veces mi edad, el resultadoes el triple de la edad que tú tienes». Si la edad de Daniel es 16 años, ¿cuál es la edad de María?

7

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1

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución:

a) Despejar la incógnita en una de las dos ecuaciones.

b) Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

c) Resolver la ecuación con una incógnita que resulta.

d) Sustituir el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener la otra incógnita.

e) Comprobar que la solución obtenida verifica ambas ecuaciones.

NOMBRE: CURSO: FECHA:

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución.

�a) Elegimos para despejar la incógnita x de la segunda ecuación.

x = 10 + y

b) Sustituimos esta incógnita en la primera ecuación.

x + y = 30 (10 + y) + y = 30

c) Resolvemos la ecuación obtenida.

(10 + y) + y = 30

10 + y + y = 30

10 + 2y = 30

2y = 30 − 10

y =

d) Sustituimos el valor y = 10 en la primera ecuación.

x + y = 30

x + 10 = 30

e) Comprobamos la solución obtenida. Para ello hay que sustituir el par de valores (20, 10)en las dos ecuaciones.

� �La solución del sistema es el par de valores x = 20 e y = 10.

Por tanto, el sistema de ecuaciones tiene solución, es decir, es un sistema compatible.

→ Cumple la ecuación.→ Cumple la ecuación.

20 + 10 = 3020 − 10 = 10

x = 20, y = 10⎯⎯⎯⎯⎯⎯→x + y = 30x − y = 10

x = 20

y = 10

20

2

x = 10 + y⎯⎯⎯⎯⎯→

x + y = 30x − y = 10

EJEMPLOF

3ºESO. UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONESRESOLVER SISTEMAS MEDIANTE EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

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6

2

6Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.

�a) Elegimos para despejar la incógnita y en la primera ecuación.

� → y = 5 − x

b) Sustituimos esta incógnita en la segunda ecuación.

x − 2y = 2 x − 2(5 − x) = 2

c) Resolvemos la ecuación obtenida.

d) Sustituimos el valor de x obtenido en una de las ecuaciones, por ejemplo, en la primera.

x + y = 5

+ y = 5

Solución del sistema:

e) Comprobamos la solución del sistema.

y =x =

y =

x =

y = 5 − x⎯⎯⎯⎯⎯→

x + 2y = 5x − 2y = 2

x + 2y = 5x − 2y = 2

1

F

+ = 5

- 2 ⋅ = 2� →

x + 2y = 5x − 2y = 2 � → Si obtenemos este resultado,

los valores de x e y son correctos.5 = 52 = 2� →

Resuelve los sistemas mediante el método de sustitución y comprueba los resultados.

a) � b) �−x + y = 73x − y = 4

x + 3y = 82x − 2y = 9

2

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Solución: x = 5 y = 1 Solución: x = 11/2 y = 25/2

3

6

Resuelve mediante el método de sustitución y comprueba la solución del siguiente sistema.

�a) Sacamos común denominador. b) Quitamos los denominadores.

� �De esta manera obtenemos:

�Ahora resuélvelo tal y como has hecho en ejercicios anteriores. No olvides comprobar la solución.

3x − 1 + 10y = 52y + 3x = 4

3 1

5

10

5

5

5

2

2

3

2

4

2

x y

y x

−+ =

+ =

3 1

5

5 2

5

5 1

5

2

2

3

2

2 2

2

x y

y x

−+

⋅=

⋅

⋅+ =

⋅

3 1

52 1

3

22

xy

yx

−+ =

+ =

3

Resuelve mediante el método de sustitución y comprueba el siguiente sistema.

�x

y

xy

−+ =

+ =

2

34

36

4

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Solución x = 7/6 y = 1/4

Solución: x = 5 y = 3

4

RESOLVER SISTEMAS MEDIANTE EL MÉTODO DE IGUALACIÓN6Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de igualación:

a) Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.

b) Igualar las expresiones obtenidas.

c) Resolver la ecuación de una incógnita que resulta.

d) Sustituir el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener la otra incógnita.

e) Comprobar la solución obtenida.

NOMBRE: CURSO: FECHA:

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación.

�a) Elegimos para despejar la incógnita y de las dos ecuaciones.

2x + 1 = y011 − 3x = y �

b) Igualamos las expresiones obtenidas.

2x + 1 = 11 − 3x

c) Resolvemos la ecuación obtenida.

2x + 1 = 11 − 3x2x + 3x = 11 − 1

5x = 10

d) Sustituimos el valor x = 2 en cualquiera de las ecuaciones. Elegimos la segunda.

3x + y = 11

3 ⋅ 2 + y = 11

6 + y = 11

e) Comprobamos la solución obtenida.

Para ello hay que sustituir el par de valores (2, 5) en las dos ecuaciones.

� �La solución del sistema es el par de valores x = 2 e y = 5.

Por tanto, el sistema de ecuaciones tiene solución, es decir, es un sistema compatible.

→ Cumple la ecuación.→ Cumple la ecuación.

2 ⋅ 2 − 5 = −13 ⋅ 2 + 5 = 11

x = 2, y = 5⎯⎯⎯⎯⎯→2x − y = −13x + y = 11

y = 5

x = 2

2x − y = −13x + y = 11

EJEMPLO

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5

6

Resuelve el sistema mediante el método de igualación y comprueba la solución.

�a) Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones:

�b) Igualamos las ecuaciones obtenidas.

c) Resolvemos la ecuación de una incógnita obtenida.

d) Sustituimos el valor de una de las incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema.

e) Comprobamos la solución.

→→

x + y = 77x − y = 2

x + y = 77x − y = 2

1

Resuelve los siguientes sistemas mediante el método de igualación y compruebalos resultados.

a) � b) �2x + 15y = 104x + 10y = 20

x + 2y = 42x − 4y = 0

2

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Solución: x = 79/2 y = 75/2

Solución: x = 2 y = 1 0y = 0 : Infinitas soluciones

6

6RESOLVER SISTEMAS MEDIANTE EL MÉTODO DE REDUCCIÓN

NOMBRE: CURSO: FECHA:

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de reducción:

a) Buscar un sistema equivalente donde los coeficientes de una misma incógnita sean igualesu opuestos.

b) Restar o sumar las dos ecuaciones obtenidas, eliminando así una incógnita.

c) Resolver la ecuación que resulta.

d) Sustituir el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener la otra incógnita.

e) Comprobar la solución obtenida.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción.

�a) Obtenemos un sistema equivalente.

Elegimos una incógnita en las dos ecuaciones, en este caso x.

Multiplicamos la primera ecuación por 2.2(x + 2y = 25)

2x + 3y = 40�Ahora el sistema equivalente es:

�b) Restamos las dos ecuaciones del sistema para eliminar la x.

→

c) Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta.

d) Sustituimos el valor obtenido en una de las dos ecuaciones del sistema, en este casoen la primera ecuación.

x + 2y = 25

x + 2 ⋅ 10 = 25

e) Comprobamos el resultado.

� � → �La solución del sistema es el par de valores x = 5 e y = 10.

Por tanto, el sistema de ecuaciones tiene solución, es decir, es un sistema compatible.

25 = 2540 = 40

5 + 2 ⋅ 10 = 252 ⋅ 5 + 3 ⋅ 10 = 40

x = 5, y = 10⎯⎯⎯⎯⎯→x + 2y = 252x + 3y = 40

x = 5

y = 10

2x + 4y = −50

−2x − 3y = −40

+−2x +y = +10

2x + 4y = 50

− (2x + 3x = 40)

+−2x

2x + 4y = 502x + 3y = 40

x + 2y = 252x + 3y = 40

EJEMPLO

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7

6Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción y comprueba el resultado.

�a) Obtenemos un sistema equivalente. Elegimos una incógnita, por ejemplo la y.

Multiplicamos la primera ecuación por 5 y la segunda ecuación por 2.

� � Sistema equivalente.

b) Sumamos las dos ecuaciones para eliminar la y.

c) Resolvemos la ecuación obtenida.

d) Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones del sistema y obtenemosel valor de y.

e) Comprobamos la solución.

x =

15x − 10y = −50

+ 8x + 10y = 280

23x + 10y = 230

15x − 10y = −50

8x + 10y = 280

5(3x − 2y = −10)

2(4x + 5y = 140)

3x − 2y = −104x + 5y = 140

1

Resuelve por el método de reducción el sistema y comprueba el resultado.

�Elegimos una incógnita:

¿Por qué número tenemos que multiplicar las ecuaciones para que esa incógnita desaparezca al sumarlas?

3x + 2y = 262x − 3y = −13

2

FF

(3x + 2y = 26)

(2x − 3y = −13) � →

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Solución: x = 10 y = 20

Solución: x = 4 y = 7

8

6Un alumno realiza un examen de diez preguntas. Por cada pregunta acertada le dan 2 puntos y por cada pregunta que falla le quitan 1 punto. Sabiendo que la calificación final fue de 8 puntos, ¿cuántos aciertos y fallos tuvo?

a) Leemos despacio el problema.

b) Planteamos las ecuaciones y formamos el sistema.

• Elegimos las incógnitas: x = ............................

y = ............................

• Planteamos el problema:

N.o de preguntas acertadas x Puntuación de preguntas acertadas.

N.o de preguntas falladas y Puntuación de preguntas falladas.

Total de preguntas: 10 x + y = Puntuación total: 8.

Primera ecuación Segunda ecuación

• Formamos el sistema de ecuaciones:

� x + y =

c) Ahora resolvemos el sistema. Elegimos el método de resolución más adecuado.

d) Comprobamos el resultado.

F

F

F

1

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RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES

Solución: Acertadas 6, falladas 4

9

6

En un hotel hay 120 habitaciones dobles e individuales. Si el número total de camas es 195, ¿cuántas habitaciones hay de cada tipo?

a) Leemos despacio el problema.

b) Planteamos las ecuaciones y formamos el sistema.

• Elegimos las incógnitas: x = ............................

y = ............................

• Planteamos el problema:

Habitaciones dobles x Camas en habitaciones dobles.

Habitaciones individuales y Camas en habitaciones individuales.

Total de habitaciones: 120 Total de camas: 195.

Primera ecuación Segunda ecuación

• Formamos el sistema de ecuaciones:

�c) Elegimos un método de resolución y resolvemos el problema.

d) Comprobamos el resultado.

F

F

F

2

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Solución: Dobles 75, individuales 45

10

6Calcula dos números cuya suma es 10 y su diferencia es 6.3

En un corral hay 25 ovejas y gallinas y contando las patas hay 80 en total. ¿Cuántas ovejas y gallinas son?

4

Paloma tiene monedas de 2 € y 1 €. Sabiendo que tiene 20 monedas y que el valor de todas es 33 €, calcula el número de monedas que tiene de cada tipo.

MONEDAS VALOR DE LAS MONEDAS

De 1 €

De 2 €

Total de monedas: 20 Valor total: 33 €.

5

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Solución: x = 8, y = 2

Solución: ovejas = 15, gallinas = 10

Solución: x = 13, y = 7

1

~=---i--e:,--~~~~~~~~-.-~~....,,..-,-~~~~~.,,.,,..~,--.....,,..-~~~--~~-----............. ~--....... ~---

6. Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas ·

D sistemas de ecuaciones

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

• Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es un conjunto formado por dos ecuaciones con dos incógnitas que están elevadas a l. Su expresión general es:

{

ax + by = c siendo a, b, c, a', b' y c' números reales .

a'x + b'y = c'

Los números a, b, a' y b' son los coeficientes del sistema, y los números c y c' , los términos independientes .

• La solución de un sistema es una pareja de números tales que al sustituir x e y por ellos verifican las dos ecuaciones del sistema. Un sistema puede tener una solución, ninguna o infinitas soluciones . • • • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

171 Escribe en la forma general el sistema y comprueba si x = 3, y = -1 es solución . • : {3x - y + 1 = 11 : 2y = X - 5 • • En la forma general, los términos independientes quedan en un miembro: • • • • • •

{ 3x - y= 11 - 1

- x + 2y = -5

~ { 3x - y = 10

-x - 2y = -5

• Sustituyendo x • • • • •

3 e y = - 1 se obtiene:

{ 3·3 - (-1) = 10 { 9 + 1 = 10

-2 + 2 · (-1) = -5 ~ - 2 - 2 = - 5 ~ {10= 10

- 4 = -5 • : Se verifica la primera ecuación, pero no la segunda. Por tanto, !no es solución ! • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

172 Escribe la expresión general de cada uno de los sistemas siguientes.

. {2(x - 1)+ 3y - l=x {2x-2+3y-l = x {2x+ 3y - x = 1+ 2 _.. { x + 3y = 3 E1emplo · ~ ~ _

5-(x+2)= y-4 5 - x - 2=y-4 -x-y=-4-5 - x - y=-9

{ 4y + 5 =X+ 4

a) 3x + 2y = 2x - 1 {

1 + y - (2x -y) = O b)

6x + 9y - 3 = 2

2

173 Indica si los valores de x e y son solución del sistema dado en cada caso.

Ejemplo 4x + 3y - ] = X + y + 3

2(y - 1) = 5 - (x - 1) X= - 2, y= 5

{4 · (- 2) + 3 · 5 - 1 = -2 + 5 + 3

2(5 - 1) = 5 - (-2 - 1) {-8 + 15 - 1 = 6 { 6 = 6

~ 2 · 4 = 5 - (-3) ~ 8 = 8

Es solución porque verifica las dos ecuaciones del sistema.

{

2X + 3y = 1 - X - 5y a) 5 + X = 2y + 10

{4(y + 5) = 6 - (2 + x)

b) 2X - 3y = X + 3y - 4

{

X + 2y - 2 = y + 3 c)

X - {y + 1) = 4X - 3y + 9

X= -3, y= 1

x = - 1,y = - 2

x = O, y= 5

17"fComprueba que x ~ 2, y~ O y x ~ 7, y ~ -1 son soluciones del sistema { 10: !;y

4~ _

2 2x

3

6. Sistemas de ecuaciones de primer grado, con dos incógn·,tas

f.l Resolución de sistemas por sustitución

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • • • El método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones consiste en despejar una incógnita • • • • de una de las ecuaciones del sistema y sustituir su valor en la otra ecuación. • • • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •••

175 Resuelve por sustitución el sistema { 4x +( Y -25) = 3

4r(x +

31

)) -2

Y y- x+ = y+ +x

• : Escribimos primero el sistema en la forma general:

: {4x + y - 5 = 3x + 3 - 2y =} {4x + y - 3x + 2y = 3 + 5 =}

: y - X - 2 = 4y + 12 + X y - X - 4y - X = 12 + 2 {

X + 3y = 8

-2x - 3y = 14 • • Despejamos x en una de las ecuaciones: x = B - 3y • : Sustituimos en la otra: -2 · (8 -3y) - 3y = 14 • • Resolvemos la ecuación obtenida: -16 + 6y - 3y = 14 =} 6y - 3y = 14 + 16 =} 3y = 30 =}y = 10 • : Sustituimos el valor de y en la x despejada: x = 8 - 3 · 1 O = 8 - 30 = - 22

: ! La solución es: x = - 22, y = 10 ¡

• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

176:Halla por el método de sustitución la solución de los sistemas siguientes.

{5x + 2y = -9 Ejemplo

3x + 4y = - 11

4y - 11 - 3x =} y -11 - 3x

Sustituimos y = 4

5x + 2· -11 - 3x

= - 9 4

20x + -22 - 6X = - 36 =} 20x - 22 - 6x = - 36 =} 14x = -14 =} x = -1 4 4 4

y = -l l - } · (-1) = -/ = - 2 =} La solución es: x = - 1, Y = - 2.

{ 3x + y= 5

a) 6x - 5y = - 4

{ 2x - 5y = 11

b) x + 3y= -11

4

6. Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

177 Resuelve por sustitución los siguientes sistemas.

{6x + 3y - 5 = 1 - 2x + y

Ejemplo 2y +4 = X + 1

{ 6x + 2x + 2y - y = 1 + 5 ___._ { 8x + 2y = 6

Pasando a la forma general: _, - X + y = ] + 4 - X + 2y = -3

-X = - 2y - 3 ~ X = 2y + 3

8 · (2y + 3) + 2y = 6

16y+24 + 2y = 6 ~ 16y + 2y=6-24 ~ lBy= - 18 ~ y =- 1

X = 2 · (-1) + 3 ~ X = 1

a) { 6x + 3y = - 2 + X + 2y

4x - 2y + 7 = 2x + y - 4

{ X+ y + 1 = 2x

b) 3x - 5y + 2 = X + y - 4

La solución es x = 1, y= - 1.

178 R 1 1 . . t . t t ·t . . { 2(y - 2) + 6x = 3y - 5 esue ve e s1gu1en e sis ema por sus I uc1on: (

3)

3 2 X - y - = X - y

5

6. Sisteríias de ecuacioríés "'de P,rimer grado con dos incógnitas

D Resolución de sistemas por reducción

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • • • • • • • •

• El método de reducción consiste en eliminar una incógnita al sumar las ecuaciones del sistema .

• A veces es necesario multiplicar una o las dos ecuaciones del sistema por números, con el fin de consegu ir coeficientes opuestos de alguna incógnita en las ecuaciones y que se eliminen al

• • • • • • • sumar. • •• •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

, ., { 2(x - 3) - 3y = 9 - 3x 1~9 Resuelve por reducc,on: x _ (2 y + 4) = 4 x _ 13

: Escribimos en {2x - 6 - 3y = 9 - 3x ~ {2x - 3y + 3x = 9 + 6 ~ { 5x - 3y = 15

• forma general: x - 2y - 4 = 4x - 13 x - 2y - 4x = - 13 + 4 - 3x - 2y = -9 • • Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 5 para que los coeficientes de x en las • : { 15x - 9y = 45 • ecuaciones sean opuestos: • - 15x - lOy = - 45 • : Sumamos las ecuaciones y despejamos la incógnita que queda: • { 15x - 9y = 45

• - 15x - lOy = -45

! - 19y = O ~ y = _ ~ 9 = O • • Sustituimos el valor de y obtenido en cualquiera de las ecuaciones del sistema y despejamos x: • : 5x - 3 · O = 15 ~ 5x = 15 ~ x = 3 ~ jLa solución es: x = 3, y = o. j • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

180,Resuelve por el método de reducción los siguientes sistemas.

{ 4x + 5y = 6

Ejemplo X - 5y = - 11

Como los coeficientes de la incógnita y ya son opuestos, sumamos las ecuaciones:

{ 4x + 5y = 6

x- 5y= -11

5x = - 5 ~X = - 1 ~4 · (- 1) - 5y = 6~5y = 6 + 4 ~ 5y = 10 ~y= 2

La solución es: x = - 1, y = 2.

{ 3x - 4y = 1

a) 5y - 3x = 1 {

2x + 3 = 7y b)

5 - y = 2x

6

6. Sistemas d~ ecuaciones de primer grado con dos incógnita

181 Calcula la solución de los siguientes sistemas utilizando el método de reducción.

{ Bx + 4y = O

Ejemplo 2 - X - y = 2X + y

{ Bx + 4y = O { Bx + 4y = O

Primero expresamos el sistema en forma general: => - x - y - 2x - y = 2 - 3x - 2y = 2

Multiplicando la segunda ecuación por 2 y sumando: { Bx + 4y = O

- 6x - 4y = 4

2X = 4 => X = 2

Sustituyendo en la primera ecuación del sistema: 8 · 2 + 4y = O=> 4y = - 16 => y = -4.

La solución es: x = 2, y = -4.

{ 6x + 9 y - 2 = 3 + X

a) 2x + y = 4 - 2y

b) {

X + 2y - 1 = 4 + 5x + y

4X + 3y - 2 = X + y - 3

182 H 11 d .6 1 1

. , d {4(x - 2) - 3y = 6 a a por re ucc1 n a so uc1on e: 6x _ (

2 _ y) = _ 1

4

7

6. Sistemas de ecuaciqnes de primer gradQ con dos incógn i tas

D Problemas con sistemas de ecuaciones

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • • • En ocasiones es más cómodo utilizar dos incógnitas para plantear y resolver un problema. En estos • • • • casos hay que plantear dos ecuaciones y resolver el sistema que forman . • • • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

183 En un club deportivo, el número de chicas excede en 8 a la tercera parte del número de chicos. Si en total son 64 personas, ¿cuántos chicos y cuántas chicas hay en el club?

Sean x el número de chicos e y el de ch icas. Como el número de chicas excede en 8 a la tercera

parte del de chicos, escribimos: y = ~ + 8. Como en total son 64, escribimos: x + y = 64.

{

X y= - + 8

A partir de estos datos planteamos el sistema de ecuaciones: 3 X + y = 64

A continuación, como tenemos la y despejada en la primera ecuación, resolvemos el sistema por sustitución:

x + ~ + 8 = 64 =) ~X + ; + ~ = ~ =) 3x + x + 24 = 192 =) 4x = 168 =) x = 42

y = 4J + 8 = 22. Por tanto, 1 hay 42 chicos y 22 chicas. ! •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

184 Eva y su hermano Juan tienen 78 cromos de la misma colección, pero Juan tiene el doble que Eva. ¿Cuántos cromos tiene cada uno?

185 En un pueblo hay problemas de abastecimiento de agua. El Ayuntamiento ha comprado 2 depósitos para almacenarla. La capacidad de u no de ellos excede en 20 000 1 itros la del otro, y entre los dos pueden almacenar 120000 litros de agua. ¿Qué capacidad tiene cada uno de ellos?

186 Halla dos números tales que su diferencia es 18 y que el pequeño es 4 unidades menor que la mitad del mayor.

8

6. Sls emas de ecuaciones ae pri mer gra o con dos incógnitas

187 Con 20 euros puedo comprar 3 tebeos y una revista o 1 tebeo y dos revistas. Halla el precio de un tebeo y de una revista.

188 Ana tiene el triple de euros que Jorge, pero si compra un regalo de 18 euros y se gasta 12 más en material de dibujo, tendrá el mismo dinero que Jorge. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

189 En un centro escolar se va a hacer una excursión de fin de semana. Cada uno de los alumnos que van ha de pagar 20 euros, pero si fueran 10 alumnos más, pagarían 15 euros. ¿Cuántos alumnos van a la excursión? ¿Cuánto cuesta realizarla?

190 Si durante 3 semanas Ana no gasta nada de la paga semanal que le dan sus padres y añade a esa cantidad 5 euros de sus ahorros, se podrá comprar la colección de películas que le gusta. Pero por las buenas notas obtenidas, sus padres le han dado 40 euros, de modo que solo necesita añadir a esa cantidad el dinero de dos pagas semanales. ¿Cuánto cuesta la colección? ¿Cuál es la paga semanal de Ana?

9

191 La base de un triángulo es 3 centímetros menor que el doble de su altura, y la altura es 5 centímetros menor que la base. Halla el área del triángulo.

192 Al dividir un número entre otro da de resto 3 y de cociente 4. Si se sumaran 3 unidades al mayor, el cociente sería 4, y el resto, O. ¿Qué números son?

193 Se quiere forrar el borde de una mesa rectangular. El largo de la mesa es igual al doble del ancho disminuido en su mitad, y si al ancho se le añadieran 40 centímetros, la forma de la mesa sería cuadrada. ¿Cuánta cinta se necesita para forrar el borde de la mesa?

194 La edad de Sara es el doble que la de su hermano Javier, y entre los dos suman 24 años. Su padre tiene 25 años más que Sara, y su madre, 5 veces la edad de Javier. Halla la edad de los padres de Sara.

19S El perímetro de un triángulo isósceles es de 32 decímetros. El lado desigual es 2 decímetros mayor que cualquiera de los lados iguales. ¿Cuáles son las dimensiones del triángulo?

10

COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO

6. Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

{ 3x + 2y = - 7

1 Estudia si x = -5, y = 4 es solución del sistema X + y - 9 = 2X

2 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por sustitución.

{5x + 4y= -2 {x - 3 + 5y= 7x+y - 5

a) b) 3x - 2y = 12 2x + 5y + 4 = x + 3y - 1

3 Halla por reducción la solución de los siguientes sistemas.

{4x - 5y = 2 { x - y + 1 = 2x + 7

a) b) 3x + 6y = 21 4x + 6 = y + 2

4 Halla dos números sabiendo que el mayor excede en 4 unidades al doble del menor y que se diferencian en 14 unidades.

11

98. 8n = 8n-1 + 8n- 2

~ = 2, 84 = 3, 85 = 5, 86 = 8, a, = 13, 8g = 21, 89 = 34, 810 = 55

99. 83 = -6; 8,, = 18, 85 = -108

100. 16

101. a) 7c b) 3y - 6 c) b2 + .!2 2

102. a) La suma del cubo, el cuadrado y el propio número.

b) Un número al cuadrado menos el triple de dicho número menos cuatro.

c) La suma del producto de dos números y de sus cuadrados.

d) El producto de tres números menos el doble de cada uno de los números.

103. a) -15 b) 10 c) 13

104. P(l) = O; P(2) = -4; P(3) = O n

105. n + 2 375

106. 1

107. Porque el resultado no depende del número elegido.

108. a) 2b3 b) _ _!_ 84

2 21

109. a) 4 z

b) y c) No se puede d) 14b6

110. a) - 488 b) l.! z2 c) -ª. x 3 8

111. a) -y9 b) -5c2

112. a-IV; b-111; c-1; d-11

113. a) 5z2 b) -3/' c) - 12b' d) 1 e

114. 80 = - 3, grado = 4; ordenado

115 Polinomio Grado Coef. a., Ord.

3x2 + x- x5 +9 5 - 1 9 No 6x4-4x3 + 8x2 -

4 6 2 Si - 3x+2 7 +4x- 3x2 - x3 3 - 1 7 No

ix6 - 2x4 +..?.x2 6 4 o Sí 3 9 3

116. Posibles soluciones: a) 4x5

- 3x3 + 8x4 - x2 + 5x

b) x5 + 3x4 -2x3 + x2 + 7x

117. a) - x• - x3 + 3x2 + !x - t 118. x5 + 3x4

- 2x3 + x2 + 6x - 3 119. x• - x3 + 7x2

- x -5

120. x3 + 2x2 + 9x + 1 121. -2x6 + 6x5

- 5x• + 2lx3 - 20x7 + 6x

122. a) 42x4 - 6x3 - 18x + 12

b) - 14x6 + 2x5 + l6x3 - 4 x2

c) 35x8 - 5x7 - 15x5 + l Ox'

123. 12x4 - 34x3 + 18x2

- 26x - 15

124. al 5x4 - 39x3 + 4x2 + l2x

127. a) x• + 2x3 + l3x2 + l2x + 9

b) x3 + 6x7 + l2x + 8

c) - 20x3 + 29x2 - lOx + 1

128. a-11 1; b- 1; c-111; d-11; e-11; f-1

129. a) 36x2 + 24x + 4

b) 25 - 64x4

c) x2 + x6 - 2x4

130. a) 8x b)36

b) -

c) 21

131. a) + c) +, -11

132. 19

133. al Sí

134. a y c

b) Sí

135. a) 3

-1 136. al 4

b) - 1 c) - 8 d) O

3 9 b) 8 c) 14

11 137. a)

38

- 23 138. a) -

6-

3 b) To

b) 38

c) - 43 7

139. 12 unidades

d ) - 33 4

140. 36 € los pantalones y 18 € la camiseta

141. Alumnos: 50. Alumnas: 70

142. 816

143. Ancho: 14 cm. Largo: 20 cm

144. 140 euros

145. 15 minutos

146. a) Sí b) No c) Sí

147. a) - x7 + 5x + 4 = O 8 = - 1; b = 5; e = 4

bl x2 + 5x = O a = l , b = 5; e = O 148. Las dos son soluciones.

149. a) Sí b) No c) No

150. a y c

151. a) ± 6 b) ± 4 c) ± 6 d) ± 2

152. al O y 5 c) O y 7

b) O y 7 d) O y% 153. X= 7 y X = - 6

154. a) x = - 2 y x = - 5 c) x= - 1 y x= - 7 b) X= 2 y X= - 4 d) X= 5 y X= - 4

155.a) x = l yx =-3 c) x = 5y x = -8

b)x = 6yx = - 3

156. a) X = 2 y X = - 7 b) X = 7 y X = 2

157. a) X = 6 y X = -8

158. 17, 18 y -17, - 18

159. 8, 9 y - 8, - 9

160. 12, 14 y - 12, - 14

161. 7, 9 y - 7, - 9

162. Si x = 4, los números son: 9, 11 y 13.

Six= - 7, los números son: -9, -11 y -13.

b) 7x7 + 8x5 - 9x3 + 6x 163. ± 26

c) - 15x6 + 9x5 - 42x4 + 28x3 + x2

- x 164. 6 ó ( - 8)

125. x6 - 9x~ + 27x• - 27x3 165. 11 cm

126. a) (2x + 5x2 )3 166. 6 cm

b) (4X3 - 2X + 1)2 167. 8 y 16 m

c) (3 - x + 5x2 + 2x3 )2 168. Base: 14 cm. Altura: 2 cm

169. Base: 250 m. Altura: 150 m

170. 70,7 cm

171. {3x - y = 10 -x + 2Y = _ 5 No es solución.

172. a) {- x + 4y= - 1 b) { - 2x + 3y= - : x + 2y= - 1 6x + 9y = 5

173. al y b) No. c) Sí.

174. Sóri sóluciones.

175. X = -22, y = 10

176. a) X = 1, y = 2 b) X = -2, y = - ~

177. a) X = -1, y = 3 b) X = 3 , y = 2

178. X = - 1, y = - 5

179. X = 3, y = 0

180. a) X = 3, y = 2 b) X = 2, y = 1 - 10

181. a) X= 7, y= -3

-

b) X= - 1,y= 1

182. X = -1, y = -6

183. 42 chicos y 22 chicas

184. Eva: 26 cromos. Juan: 52 cromos.

185. 50 y 75 litros

186. 10 y 28

187. Tebeo: 4 €. Revista: 9 €

188. Ana: 45 €. Jorge: 15 €

189. 30 alumnos, 600 €

190. Colección: 110 € . Paga de Ana: 35 €

191. 17,5 cm2

192. 8 y 28

193. 4 m

194. Padre: 41 años. Madre: 40 años

195. Lado desigual: 12 dm Lados iguales: 10 dm

196. No

197. Polígonos: b, e, d, e y g

198. 8, e y d

199. al No

200. a) 60º

201. 60°

202. 69°

b) Si

b) 25º

cJ No

c) 5º

203. a) 37 cm b) 29 dm c) 97 m

204. a) 5 cm b) 55 m

205. h = 3,46 cm; b = 10,58 cm

206. 5,3 m 207. 3 ,32 m

208. 9,17 m

209. 17,08 m de cable

210. Ver dibujo en página 80

211.

212.LD 10cm

MATEMÁTICAS 3ºESO ACAD REPASO ÁLGEBRA NOTA:

Nombre Ejercicio nº 1.- Reduce cada una de estas expresiones:

Ejercicio nº 2.- a) Realiza la siguiente división entre polinomios:

(−6x4 + 6x3 + 25x2 − 12x − 3) : (2x2 − 6x + 3) b) Descompón en producto de polinomios de primer grado:

P(x) = x3 + 2x2 − 9x − 18 Ejercicio nº 3.- Resuelve la siguiente ecuación:

Ejercicio nº 4.- Resuelve las ecuaciones siguientes: a) −x2 − 4x + 5 = 0 b) 3x2 + 5x = 0 c) x2 + 1 = 0 Ejercicio nº 5.- Resuelve esta ecuación:

1

Ejercicio nº 6.- Resuelve los siguientes sistemas:

Ejercicio nº 7.- Resuelve el sistema:

Ejercicio nº 8.- Hemos recibido un premio de 12 000 € y vamos a colocarlo en un plan de ahorro combinado que nos ofrece un 5% de interés anual por una parte del dinero y un 3% por el resto. Sabiendo que la primera parte produce anualmente 40 € más que la segunda, ¿a cuánto asciende cada una de las dos partes? Ejercicio nº 9.- Halla los lados de un rectángulo sabiendo que la base excede en 3 cm al doble de la altura; y que su área es de 14 cm2. Ejercicio nº 10.- Las dos cifras de un número suman 14; y, si invertimos el orden de sus cifras, el nuevo número supera en 36 unidades al número inicial. ¿De qué número se trata?

2