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ETPC FP 351981 R Rafanell
CAMPOS DE LAS MATEMATICAS Wikipedia
Meta-lenguajesUna de las mayores dificultades que encuentran los alumnos para la comprensioacuten de los conceptos propios de las ldquociencias fiacutesicasrdquo es el que se conoce por meta-lenguajes
Los campos de las Matemaacuteticas como los campos de la Fiacutesica tienen expresiones de uso universal Ejemplo
2 + 2 = 4
Esto seraacute entendido en cualquiera de las 51 lenguas disponibles en Wikipedia Una Enciclopedia que pretende ser universal i libre
No seraacute lo mismo aunque tenga el mismo significado
Dos mas dos igual a cuatro
Sin conocimiento de la lengua castellana no podremos identificar las dos expresiones
Ejemplos de ldquometa-lenguajerdquo
La misma palabra tiene significados diferentes seguacuten se observe desde lo que denominamos popularmente como ldquoletrasrdquo o lo que conocemos como ldquocienciardquo
Concepto ldquoLetrasrdquo ldquoCienciardquo
Caacutelculo Conjetura especulacioacuten Accioacuten y efecto de calcularmesoacuten Establecimiento puacuteblico donde se
da habitacioacuten y comidaPartiacutecula sub-atoacutemica
razoacuten Facultad del ser humano entendida a veces como equivalente y otras veces como contrapuesta al entendimiento
Aquella en que se comparan dos teacuterminos para encontrar la diferencia entre ambos
Etc
El apunte que sigue pretende dar entrada a este meta-lenguaje propio de las Ciencias Fiacutesico-Matemaacuteticas
Se ruega a los alumnos que expresen sus opiniones por escrito sobre este trabajo con las correcciones que seguacuten ellos habriacutea que hacer en el mismo
Se tendraacuten en cuenta ndash dentro lo razonable ndash para posibles modificaciones io ampliaciones
Matemaacuteticas De Wikipedia la enciclopedia libre
Matemaacuteticas (en castellano se usa comuacutenmente en plural para referirse al estudio y ciencia) del griego μάθημα maacutethema ciencia conocimiento aprendizaje μαθηματικoacuteς mathematikoacutes amante del conocimiento
Es el estudio de patrones en las estructuras de entes abstractos y en las relaciones entre ellas
Algunos matemaacuteticos se refieren a ella como la laquoReina de las Cienciasraquo
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Aunque la matemaacutetica sea la supuesta laquoReina de las Cienciasraquo ella misma no se considera una ciencia natural
Principalmente los matemaacuteticos definen e investigan estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la matemaacutetica debido a que tales estructuras pueden proveer por ejemplo una generalizacioacuten elegante o una uacutetil herramienta para caacutelculos frecuentes
Ademaacutes muchos matemaacuteticos estudian sus aacutereas de preferencia simplemente por razones esteacuteticas viendo asiacute la matemaacutetica como una forma del arte en vez de una ciencia praacutectica o aplicada
Sin embargo las estructuras que los matemaacuteticos investigan frecuentemente siacute tienen su origen en las ciencias naturales y muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas particularmente en la Fiacutesica
La matemaacutetica es un arte pero tambieacuten una ciencia de estudio
Informalmente se puede decir que la matemaacutetica es el estudio de los laquonuacutemeros y siacutembolosraquo Es decir es la investigacioacuten de estructuras abstractas definidas axiomaacuteticamente utilizando la loacutegica y la notacioacuten matemaacutetica
Es tambieacuten la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas
Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes y de los meacutetodos por los cuales de acuerdo con estas relaciones las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas
Otros puntos de vista pueden encontrarse en la Filosofiacutea matemaacutetica
No es infrecuente encontrar a quien describe la matemaacutetica como una simple extensioacuten de los lenguajes naturales humanos que utiliza una gramaacutetica y un vocabulario definidos con extrema precisioacuten cuyo propoacutesito es la descripcioacuten y exploracioacuten de relaciones conceptuales y fiacutesicas
Recientemente sin embargo los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una direccioacuten diferente los lenguajes naturales (como el espantildeol y el franceacutes) y los lenguajes formales (como la matemaacutetica y los lenguajes de programacioacuten) son estructuras que son de naturaleza baacutesicamente diferente
Vocabulario segun aparicion en el texto anteriorgriego
Relativo u originario de Grecia (paiacutes)Idioma originario de la antigua Grecia Veacutease idioma griego eswikipediaorgwikiGriego
patrones
Los patrones permiten establecer un vocabulario comuacuten de disentildeo cambiando el nivel de abstraccioacuten a colaboraciones entre clases y permitiendo comunicar experiencia sobre dichos problemas y soluciones Son tambieacuten un gran mecanismo de comunicacioacuten para transmitir la experiencia de los ingenieros y disentildeadores experimentados a los maacutes noveles convirtieacutendose en unas de las viacuteas para la gestioacuten del conocimiento
ciencia
La ciencia (del latiacuten scientia conocimiento) es un proceso de adquisicioacuten de conocimiento y la organizacioacuten ordenada del conocimiento adquirido a traveacutes del proceso cientiacutefico La
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ciencia constituye un meacutetodo sistemaacutetico de adquirir conocimiento sobre la naturaleza en todos sus aspectos El meacutetodo utilizado se denomina meacutetodo cientiacutefico eswikipediaorgwikiCiencia
estructuras
En matemaacuteticas a menudo el progreso consiste en reconocer la misma estructura en diversos contextos - de modo que un meacutetodo que la aprovecha tenga muacuteltiples usos De hecho eacutesta es una manera normal de proceder en ausencia de estructura reconocible (que puede sin embargo estar oculta) los problemas tienden a caer en esa clasificacioacuten combinatoria de materias que requieren argumentos especiales eswikipediaorgwikiEstructura_(teorC3ADa_de_las_categorC3ADas)
arte
El teacutermino arte procede del teacutermino latino ars En la Antiguumledad se consideroacute el arte como la pericia y habilidad en la produccioacuten de algo En la Modernidad en cambio comienza a distinguirse entre artesaniacutea y bellas artes y equivalentemente entre artesano y artista Asiacute el artesano practica las artes uacutetiles se dedica a hacer objetos que tienen una clara utilidad El artista se dedica a las bellas artes y sus objetos o praacutecticas tienen un caraacutecter ornamental expresivo o de reflexieswikipediaorgwikiArte
Fiacutesica
La fiacutesica (del griego phisis naturaleza) es la ciencia de la naturaleza en el sentido maacutes amplio
eswikipediaorgwikiFC3ADsica
axiomaacuteticamente
En Los Elementos de Euclides se establecen nueveaxiomas (lo valioso en griego) para la geometriacutea Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre siacuteSi se suma lo mismo a cantidades iguales los totales son igualesSi se quita lo mismo a cantidades iguales los restos son igualesSi a cosas desiguales se antildeaden cosas iguales los totales seraacuten desiguales Los dobles de una misma cosa son iguales entre siacuteLas unidades de una misma cosa son iguales entre siacute Las cosas que seeswikipediaorgwikiAxioma
loacutegica
El lenguaje puede emplearse de distintas formas para pedir algo o para avisar a alguien para describir algo que hemos visto o simplemente para expresar una sensacioacuten como cuando gritamos al quemarnos La loacutegica es un uso especial del lenguaje que estaacute relacionado con el sentido y la exactitud de lo que decimos En concreto es la disciplina que estudia la estructura fundamento y uso de las expresiones del conocimiento humano eswikipediaorgwikiLC3B3gica
notacioacuten matemaacutetica
El propoacutesito de esta paacutegina es explicar la notacioacuten matemaacutetica para los que no esteacuten familiarizados con ella eswikipediaorgwikiNotaciC3B3n_matemC3A1tica
Filosofiacutea matemaacutetica
Existen baacutesicamente dos modos de hacer filosofiacutea Uno recibe el nombre de Filosofiacutea continental y al otro se le ha denominado Filosofiacutea analiacutetica Ni siquiera existe acuerdo completo en este punto pues algunos filoacutesofos de una y otra corriente negaraacuten que exista otro
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modo de hacer filosofiacutea que no sea el suyo y afirmaraacuten que lo otro no es filosofiacutea eswikipediaorgwikiFilosofC3ADa
lenguaje
El lenguaje es la capacidad del ser humano para comunicarse mediante un sistema de signos o lengua para ello No se debe confundir con lengua o idioma que es la representacioacuten de dicha capacidadLos lenguajes son explicados de una manera faacutecil aunque reduciendo sus alcances e importancia para la formacioacuten de nuestro mundo formas de representar cosasLa mayoriacutea de las veces el teacutermino se refiere a los lenguajes que los humanos utilizan para comunicarse es decir las lenguas naturales yaeswikipediaorgwikiLenguaje
lenguajes de programacioacuten
Programacioacuten es el acto de crear un programa de computadora un conjunto concreto de instrucciones que una computadora puede ejecutar El programa se escribe en un lenguaje de programacioacuten aunque tambieacuten se pueda escribir directamente en lenguaje de maacutequina con cierta dificultad Un programa se puede dividir en diversas partes que pueden estar escritas en lenguajes distintos eswikipediaorgwikiProgramaciC3B3n
Aritmeacutetica
Aritmeacutetica es la parte de las matemaacuteticas que estudia los nuacutemeros y las operaciones hechas con ellos eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica
Geometriacutea
La geometriacutea es una rama de la matemaacutetica que estudia las propiedades las figuras en el plano o en el espacio eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa
Trigonometriacutea
La trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
Secciones coacutenicas
Se denomina seccioacuten coacutenica a la curva interseccioacuten de un cono con un plano que no pasa por su veacutertice eswikipediaorgwikiSecciones_cC3B3nicas
Aacutenaacutelisis matemaacutetico
El anaacutelisis es una rama de las matemaacuteticas que estudia los nuacutemeros reales los complejos y sus funciones Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulacioacuten rigurosa del Caacutelculo y estudia conceptos como la continuidad la integracioacuten y la diferenciabilidad de diversas formas
aacutelgebra
Aacutelgebra es la parte de la matemaacutetica que tiene por objeto de estudio la cantidad considerada de la forma maacutes general posible eswikipediaorgwikiC381lgebra
geometriacutea analiacutetica
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La geometriacutea analiacutetica es la rama de las matemaacuteticasque usa el aacutelgebra para describir y analizar figuras geomeacutetricasAsiacute por ejemplo la geometria analitica plana describe una elipse centrada en el origen de un sistema de coordendas cartesianas con la siguiente expresioacuten donde a y b son constantes que se identifican como los semiejes mayor y menor de la elipse eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_analC3ADtica
caacutelculo
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
caacutelculo de probabilidades
La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se deacute un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento entre 0 y 100)
El valor cero corresponde al suceso imposible lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el nuacutemero 7 es cero (al menos si es un dado certificado por la OMD Organizacioacuten Mundial de Dados)
El valor uno corresponde al suceso seguro lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier nuacutemero del 1 al 6 es igual a uno (100)
El resto de sucesos tendraacute probabilidades entre cero y uno que seraacute tanto mayor cuanto maacutes probable sea que dicho suceso tenga lugar
Sigue
Tabla de contenidos 1 Categoriacuteas
o 11 Fundamentos y Meacutetodos
o 12 Investigacioacuten Operativa
o 13 Nuacutemeros
o 14 Matemaacutetica del cambio
141 Anaacutelisis
o 15 Estructuras matemaacuteticas
151 Espacios
152 Matemaacutetica finita
o 16 Matemaacutetica aplicada
o 17 Teoremas y conjeturas famosas
o 18 Historia de las matemaacuteticas El mundo de los matemaacuteticos
o 19 Matemaacuteticas recreativas
2 Historia
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3 Crisis histoacutericas de las matemaacuteticas
4 Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticos
5 Conceptos errados
6 Enlaces relacionados
7 Enlaces externos
CategoriacuteasSe dice que la matemaacutetica abarca tres aacutembitos
1 Aritmeacutetica
2 Geometriacutea incluyendo la Trigonometriacutea y las Secciones coacutenicas
3 Aacutenaacutelisis matemaacutetico en el cual se hace uso de letras y siacutembolos y que incluye el aacutelgebra la geometriacutea analiacutetica y el caacutelculo
(Algunos especialmente los probabilistas agregan a esta lista el caacutelculo de probabilidades)
Cada una de estas categoriacuteas se divide a su vez en pura o abstracta en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente sin relacioacuten a la materia y en aplicada la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales y por consecuencia se relaciona con consideraciones fiacutesicas
Las numerosas ramas de la matemaacutetica estaacuten muy interrelacionadas he aquiacute una lista de secciones que tendremos de considerar en su estudio
CategoriacuteasC1 Fundamentos y Meacutetodos C2 Investigacioacuten Operativa C3 NuacutemerosC4 Matemaacutetica del cambio C5 AnaacutelisisC6 Estructuras matemaacuteticas C7 Espacios C8 Matemaacutetica finita C9 Matemaacutetica aplicadaC10 Teoremas y conjeturas famosas C11 Historia de las matemaacuteticas C12 Matemaacuteticas recreativas
DEFINICIONES Para buscar definicionesPulsar CRTL + B
Pulsar C+nordm en ventana
Pulsar ldquoBuscar siguienterdquo
6
Pulsar ldquocerrarrdquo
C1 Fundamentos y MeacutetodosFilosofiacutea de las matemaacuteticas ndash
La filosofiacutea de las matemaacuteticas es una rama de la filosofiacutea que realiza reflexiones acerca de la naturaleza de los nuacutemeros y de las operaciones mentales implicadas en el caacutelculo Es una actividad muy antigua abordada por todo buen filoacutesofo pues las matemaacuteticas constituyen histoacutericamente la base del pensamiento eswikipediaorgwikiFilosofC3ADa_de_las_matemC3A1ticas
Intuicioacuten matemaacutetica ndash
Llegados a este punto se puede definir queacute es intuicioacuten matemaacutetica La intuicioacuten matemaacutetica no es un meacutetodo de demostracioacuten Es soacutelo una guiacutea heuriacutestica wwwciberdocenciagobpeindex phpid=1056ampa=articulo_completo - 35k -
Constructivismo matemaacutetico ndash
El Constructivismo matemaacutetico es muy coherente con la Pedagogiacutea Activa y se apoyaen la Psicologiacutea Geneacutetica se interesa por las condiciones en las cuales wwwmineducaciongovcolineamientos matematicasdesarrolloaspid=4 -
Fundamentos de las matemaacuteticas ndash
El gran fundamento de las matemaacuteticas es el principio de contradiccioacuten o identidadque es el teorema que una y la misma afirmacioacuten no puede ser i no ser verdadwwwschillerinstituteorgnewspanish InstitutoSchillerCienciaEnterrarMatematicashtml -
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Subconjuntos flojos ndash
Los subconjuntos flojos (o partes flojas de un conjunto) fueron inventados paramodelizar la representacioacuten humana de los conocimientos ( p ej para medir wwwciencianetVerArticulo Subconjunto-difusoidArticulo=dsfjuu4jftelevgpcyw0285
Loacutegica simboacutelica ndash
loacutegica simboacutelica Definicioacuten Se denomina asiacute al empleo en computacioacuten deexpresiones loacutegicas con significado preestablecido de manera de evitar clubtelepoliscomohcopsymbolichtml
Loacutegica difusa ndash
En la loacutegica claacutesica una proposicioacuten soacutelo admite dos valores puede ser verdadera o falsa Por eso se dice que la loacutegica usual es binaria Pero existen otras loacutegicas que admiten ademaacutes un tercer valor posibleLa loacutegica difusa (o borrosa) es una de ellas que se caracteriza por querer cuantificar esta incertidumbre Si P es una proposicioacuten se le puede asociar un nuacutemero v(P) en el intervalo [0 1] tal que Salta a la vista la semejanza con la teoriacutea de las probabilidades eswikipediaorgwikiLC3B3gica_difusa
Teoriacutea de modelos ndash
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La teoriacutea de modelos como estudio de estructuras matemaacuteticas en general Pedro Hernaacuten Zambrano Universidad Nacional de Colombia ndash Universidad Sergio Arboleda wwwusergioarboledaeducocivilizarmatematicas
Teoriacutea de las categoriacuteas ndash
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
Demostracioacuten matemaacutetica ndash
Una sucecioacuten coherente de pasos que basados en un conjunto de premisas p1p2pn llamado Hipoacutetesis permite asegurar el cumplimiento de una tesisEstos pasos deben estar fundamentados teoacutericamente (ya sea por axiomas o por teoremas anteriormente demostrados)Mediante este proceso se demuestra un teorema o se desmienteExisten difernetes tipos de demostraciones que son utilizadas comunmente en matemaacuteticas Demostracioacuten por contraposicioacuten Demostracioacuten por reduccioacuten al absurdo hellipeswikipediaorgwikiDemostraciC3B3n_matemC3A1tica
Axiomaacutetica ndash
Conjunto de proposiciones deducidas loacutegicamente de algunos principios no demostrables y que seguacuten algunos puede fundar el anaacutelisis geograacutefico Varios tipos de aximaacutetica han sido propuestos
eswikipediaorgwikiAxiomaticaC3B3n
Induccioacuten ndash
Induccioacuten significaEn el aacutembito del meacutetodo cientiacutefico la induccioacuten es la accioacuten y efecto de extraer a partir de determinadas observaciones o experiencias particulares el principio general que en ellas estaacute impliacutecitoEn el aacutembito de las matemaacuteticas la induccioacuten matemaacutetica es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones o una proposicioacuten que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores usualmente en el conjunto de los enteros naturales eswikipediaorgwikiInducciC3B3n
C2 Investigacioacuten Operativa
Investigacioacuten operativa ndash
Investigacioacuten Operacional (Reino Unido) Ciencias de la Decisioacuten Ciencia deSistemas disciplinas Investigacioacuten Operacional Estadiacutestica y Sistemas de wwwbvumsanetedubocpcibdownload GI-720Investigacion20operacionalpdf
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de juegos ndash
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los
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investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
Programacioacuten entera ndash
La Programacioacuten Entera surge por considerar el mismo formato descrito para laprogramacioacuten lineal pero considerando que las variables del problema se wwwoptimosusachclPHhtm
Programacioacuten lineal ndash
La programacioacuten lineal es el estudio de modelos matemaacuteticos orbitastarmediacom~ariveralinealhtm -
Simulacioacuten ndash
Simulacioacuten es la experimentacioacuten con un modelo de una hipoacutetesis de trabajo La experimentacioacuten puede ser un trabajo de campo o de laboratorio El modelo de meacutetodo usado para la simulacioacuten seria teoacuterico conceptual o sisteacutemico eswikipediaorgwikiSimulaciC3B3n
Optimizacioacuten ndash
La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Meacutetodo del Siacutemplex
El meacutetodo del Simplex nos facilitaraacute la obtencioacuten de la solucioacuten oacuteptima mediante laelaboracioacuten de un criterio que nos permitiraacute saber si una solucioacuten wwwunizares3wapuntes04pdf
C3 Nuacutemeros
Nuacutemeros ndash
Un nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero Nuacutemero natural ndash
Nuacutemero entero ndash
Los nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una estructura algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmero_entero
Nuacutemero racional ndash
Se llama nuacutemero racional a todo aquel nuacutemero que puede ser expresado como resultado de la divisioacuten de dos nuacutemeros enteros con el divisor distinto de 0El conjunto de los racionales se nota ℚ por quotient o sea cociente en varios idiomas europeosEste conjunto de nuacutemeros es superconjunto de los nuacutemeros enteros de los nuacutemeros decimales y es un subconjunto de los nuacutemeros reales Los nuacutemeros racionales cumplen la propiedad arquimediana esto es para
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cualquier pareja de nuacutemeros eswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional
Nuacutemero irracional ndash
Tras separar los nuacutemeros componentes de la recta real en tres categoriacuteas(naturales enteros y racionales)puede parecer que se ha terminado con la clasificacioacuten de los nuacutemeros pero eso no es asiacute Quedanhuecos por rellenar en la recta Se trata de los nuacutemeros irracionales eswikipediaorgwikiNC3BAmero_irracional
Nuacutemero real ndash
Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmero_real
Nuacutemero complejo ndash
Los Nuacutemeros Complejos son una extensioacuten natural de los nuacutemeros reales la recta real puede ser vista como un subconjunto del plano de los nuacutemeros complejos Cada nuacutemero complejo seriacutea un punto en este plano Usando las definiciones que siguen se hacen posibles la suma la resta la multiplicacioacuten y la divisioacuten entre estos puntos eswikipediaorgwikiNC3BAmero_complejo
Cuaterniones ndash
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
Octoniones ndash
Los octoniones son la extensioacuten no asociativa de los cuaterniones Fueron descubiertos por John T Graves en 1843 e independientemente por Arthur Cayley quien lo publicoacute por primera vez en 1845 Son llamados a veces nuacutemeros de Cayley eswikipediaorgwikiOctoniones
Sedeniones ndash
Los sedeniones forman una aacutelgebra de dimensioacuten 16 sobre los nuacutemeros reales y se obtienen aplicando la Construccioacuten de Cayley-Dickson sobre los octoniones eswikipediaorgwikiSedeniones
Nuacutemeros hiperreales ndash
Los nuacutemeros hiperreales o reales no estaacutendar son una extensioacuten de los nuacutemeros reales R en doacutende se antildeaden nuacutemeros infinitamente grandes asiacute como nuacutemeros infinitesimales eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_hiperreales
Nuacutemeros infinitos ndash
El concepto del infinito aparece en varias ramas de las matemaacuteticas entre otras en la geometriacutea (punto al infinito de la geometriacutea proyectiva) en el anaacutelisis (liacutemites infinitos o liacutemites al infinito) y en los nuacutemeros (nuacutemeros ordinales y nuacutemeros cardinales) dentro de la teoriacutea de conjuntos eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_infinitos
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Diacutegito ndash
Un diacutegito (palabra proveniente del latiacuten con el significado de dedo) es cada una de las cifras que componen un nuacutemero en un sistema determinado Ej 157 en el sistema decimal se compone de los diacutegitos 1 5 y 7 eswikipediaorgwikiDC3ADgito
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Nuacutemero p-aacutedico
Dado un nuacutemero entero primo p se llama valor absoluto p-aacutedico de un enteropositivo n al inverso de p r donde es p personalesyacomcasanchimatpadicos01pdf
C4 Matemaacutetica del cambio
Caacutelculo ndash
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de ZenoacutenhellipeswikipediaorgwikiCC3A1lculo
Caacutelculo vectorial ndash
El caacutelculo vectorial es un campo de las matemaacuteticas referidas al anaacutelisis real multivariable de vectores en 2 o maacutes dimensiones Consiste en una serie de foacutermulas y teacutecnicas para solucionar problemas muy uacutetiles para la ingenieriacutea y la fiacutesica eswikipediaorgwikiCC3A1lculo_vectorial
Anaacutelisis ndash
Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm Ecuacioacuten diferencial ndash
Sistemas dinaacutemicos ndash
En ingenieriacutea y matemaacuteticas un sistema dinaacutemico es un proceso determinista en el cual el valor de una funcioacuten cambia de acuerdo a una regla definida en teacuterminos del valor actual de la funcioacuten eswikipediaorgwikiSistemas_dinC3A1micos
Teoria del caos --
La teoriacutea del caos es la denominacioacuten popular de la rama de las matemaacuteticas y la fiacutesica que trata ciertos tipos de comportamientos aleatorios (caoacuteticos) de los sistemas dinaacutemicos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_del_caos
Lista de funciones ndash
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Excell pone a nuestra disposicioacuten un gran cantidad de funciones que permiten realizar operaciones no soacutelo matemaacuteticas sino tambieacuten numeacutericas estadiacutesticas monetarias de fecha con caracteres etc Tambieacuten se pueden disentildear nuevas funciones incorporaacutendolas a las ya existenteswwwportal-uraldecomdicfhtm
Logaritmo
Logaritmo en matemaacuteticas es el exponente o potencia a la que un nuacutemero fijo llamado base se ha de elevar para dar un nuacutemero dadoSe llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de x rarr 1x que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1 eswikipediaorgwikiLogaritmo
C5 Anaacutelisis
Sucesiones ndash En matemaacuteticas las sucesiones de nuacutemeros son una herramienta muy importante Ayudaraacute a ir reconociendo distintos patrones y estructuras
Series ndash
Dentro de cada Clase de Contratos Serie son aquellas Opciones que tienen el mismo Precio de Ejercicio y la misma Fecha de Vencimiento y aquellos Futuros que tienen la misma Fecha de Vencimientowwwmeffcominstitutoglosariosglosarihtm
Anaacutelisis real ndash
El anaacutelisis real es la rama de las matemaacuteticas que tiene que ver con los nuacutemeros reales y las funciones de los nuacutemeros reales Se puede verlo como extensioacuten rigorosa del caacutelculo que estudia maacutes profundamente las sucesiones y sus liacutemites continuidad derivacioacuten integracioacuten y sucesiones de funciones eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_real
Anaacutelisis Complejo ndash
El anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
Anaacutelisis funcional ndash
El anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
Aacutelgebra de operadores
C6 Estructuras matemaacuteticas
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Aacutelgebra abstracta ndash
El aacutelgebra abstracta es el campo de las matemaacuteticas que estudia las estructuras algebraicas como la de grupo anillo y cuerpoEl teacutermino aacutelgebra abstracta es usado para distinguir este campo del aacutelgebra elemental o del aacutelgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular foacutermulas y expresiones algebraicas que conciernen a los nuacutemeros reales y nuacutemeros complejos eswikipediaorgwikiC381lgebra_abstracta Teoriacutea de nuacutemeros ndash
Aacutelgebra conmutativa ndash
In algebra astratta lalgebra commutativa egrave il settore che studia strutture algebriche commutative (o abeliane) come gli anelli commutativi i loro ideali e strutture piugrave ricche costruite sui suddetti anelli come i moduli e le algebre Attualmente costituisce la base algebrica della geometria algebrica e della teoria algebrica dei numeri itwikipediaorgwikiAlgebra_commutativa
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Teoriacutea de grupos ndash
La teoriacutea de grupos estudia las propiedades de los grupos y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificacioacuten de eacutestos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grupos
Monoides ndash
Un monoide es un magma (ie un par (M) donde M es un conjunto y una operacioacuten binaria) que cumple Es cerrada en M esto es el resultado de ab pertenece a M para cualesquiera a y b de M Existe una identidad esto es un elemento e tal que cumple ae=ea=a La operacioacuten es asociativa eswikipediaorgwikiMonoide
Anaacutelisis ndash
[analysis] f (General) Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm
Topologiacutea ndash
Quizaacute quieras entrar directamente a ver queacute es un Espacio topoloacutegico o ver el glosario de topologiacutea) eswikipediaorgwikiTopologC3ADa
rama sumamente desarrollada de la matemaacutetica pura estudia las propiedades de los objetos matemaacuteticos (pej las figuras geomeacutetricas) que no se alteran con transformaciones continuas del objetowwwastrocosmoclglosarioglosar-thtm
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Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de las categoriacuteas
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
C7 Espacios
Topologiacutea ndash
Diccionario elemental de algunos de algunos de los teacuterminos relacionados con la Topologiacutea Jacques Lacan httpwwwinsmesglosariogrglosarionsmkeep_ upperphp3url=httpwwwrussellcomarespacios_ tematicosDiccionariotopologiaDiccionario_topologiahtmavizoracomglosarios3htm
Geometriacutea ndash
conjunto de reglas que describen la estructura del espacio en una regioacuten dada La geometriacutea euclidiana claacutesica se aplica a las superficies planas o al espacio laquoplanoraquo las geometriacuteas no euclidianas se aplican a las superficies curvas o al espacio curvo y pueden incluir fenoacutemenos tan improbables como triaacutengulos cuyos veacutertices totalizan maacutes o menos de 180 gradoswwwastrocosmoclglosarioglosar-ghtm
Teoriacutea de haces ndash
En matemaacuteticas un haz F sobre un espacio topoloacutegico dado X proporciona para cada conjunto abierto U de X un conjunto F(U) de estructura maacutes rica A su vez dichas estructuras F(U) son compatibles con la operacioacuten de restriccioacuten desde un conjunto abierto hacia subconjuntos maacutes pequentildeos y con la operacioacuten de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor Un prehaz es similar a un haz pero con eacutel puede no ser posible la operacioacuten de pegado Los haces nos permiten diseswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_haces
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
La Topologiacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas en la que se usan las herramientas del Aacutelgebra abstracta para estudiar los espacios topoloacutegicos eswikipediaorgwikiTopologC3ADa_algebraica
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
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La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
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Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
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Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
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El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
- Matemaacuteticas De Wikipedia la enciclopedia libre
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- Categoriacuteas
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- Pulsar C+nordm en ventana
- Pulsar ldquoBuscar siguienterdquo
- Pulsar ldquocerrarrdquo
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- C8 Matemaacutetica finita
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- C9 Matemaacutetica aplicada
- C10 Teoremas y conjeturas famosas
- C11 Historia de las matemaacuteticas
- C12 Matemaacuteticas recreativas
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- Historia
- Crisis histoacutericas de las matemaacuteticas
- Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticos
- Conceptos errados
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- Tabla de contenidos
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- Fracciones
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- Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
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- Tabla de contenidos
- Introduccioacuten
- Definicioacuten
- Implementacioacuten
- Ejemplo
- Historia
- Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
- Temas relacionados
- Disciplinas relacionadas
- Enlaces externos
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Aunque la matemaacutetica sea la supuesta laquoReina de las Cienciasraquo ella misma no se considera una ciencia natural
Principalmente los matemaacuteticos definen e investigan estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la matemaacutetica debido a que tales estructuras pueden proveer por ejemplo una generalizacioacuten elegante o una uacutetil herramienta para caacutelculos frecuentes
Ademaacutes muchos matemaacuteticos estudian sus aacutereas de preferencia simplemente por razones esteacuteticas viendo asiacute la matemaacutetica como una forma del arte en vez de una ciencia praacutectica o aplicada
Sin embargo las estructuras que los matemaacuteticos investigan frecuentemente siacute tienen su origen en las ciencias naturales y muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas particularmente en la Fiacutesica
La matemaacutetica es un arte pero tambieacuten una ciencia de estudio
Informalmente se puede decir que la matemaacutetica es el estudio de los laquonuacutemeros y siacutembolosraquo Es decir es la investigacioacuten de estructuras abstractas definidas axiomaacuteticamente utilizando la loacutegica y la notacioacuten matemaacutetica
Es tambieacuten la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas
Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes y de los meacutetodos por los cuales de acuerdo con estas relaciones las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas
Otros puntos de vista pueden encontrarse en la Filosofiacutea matemaacutetica
No es infrecuente encontrar a quien describe la matemaacutetica como una simple extensioacuten de los lenguajes naturales humanos que utiliza una gramaacutetica y un vocabulario definidos con extrema precisioacuten cuyo propoacutesito es la descripcioacuten y exploracioacuten de relaciones conceptuales y fiacutesicas
Recientemente sin embargo los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una direccioacuten diferente los lenguajes naturales (como el espantildeol y el franceacutes) y los lenguajes formales (como la matemaacutetica y los lenguajes de programacioacuten) son estructuras que son de naturaleza baacutesicamente diferente
Vocabulario segun aparicion en el texto anteriorgriego
Relativo u originario de Grecia (paiacutes)Idioma originario de la antigua Grecia Veacutease idioma griego eswikipediaorgwikiGriego
patrones
Los patrones permiten establecer un vocabulario comuacuten de disentildeo cambiando el nivel de abstraccioacuten a colaboraciones entre clases y permitiendo comunicar experiencia sobre dichos problemas y soluciones Son tambieacuten un gran mecanismo de comunicacioacuten para transmitir la experiencia de los ingenieros y disentildeadores experimentados a los maacutes noveles convirtieacutendose en unas de las viacuteas para la gestioacuten del conocimiento
ciencia
La ciencia (del latiacuten scientia conocimiento) es un proceso de adquisicioacuten de conocimiento y la organizacioacuten ordenada del conocimiento adquirido a traveacutes del proceso cientiacutefico La
2
ciencia constituye un meacutetodo sistemaacutetico de adquirir conocimiento sobre la naturaleza en todos sus aspectos El meacutetodo utilizado se denomina meacutetodo cientiacutefico eswikipediaorgwikiCiencia
estructuras
En matemaacuteticas a menudo el progreso consiste en reconocer la misma estructura en diversos contextos - de modo que un meacutetodo que la aprovecha tenga muacuteltiples usos De hecho eacutesta es una manera normal de proceder en ausencia de estructura reconocible (que puede sin embargo estar oculta) los problemas tienden a caer en esa clasificacioacuten combinatoria de materias que requieren argumentos especiales eswikipediaorgwikiEstructura_(teorC3ADa_de_las_categorC3ADas)
arte
El teacutermino arte procede del teacutermino latino ars En la Antiguumledad se consideroacute el arte como la pericia y habilidad en la produccioacuten de algo En la Modernidad en cambio comienza a distinguirse entre artesaniacutea y bellas artes y equivalentemente entre artesano y artista Asiacute el artesano practica las artes uacutetiles se dedica a hacer objetos que tienen una clara utilidad El artista se dedica a las bellas artes y sus objetos o praacutecticas tienen un caraacutecter ornamental expresivo o de reflexieswikipediaorgwikiArte
Fiacutesica
La fiacutesica (del griego phisis naturaleza) es la ciencia de la naturaleza en el sentido maacutes amplio
eswikipediaorgwikiFC3ADsica
axiomaacuteticamente
En Los Elementos de Euclides se establecen nueveaxiomas (lo valioso en griego) para la geometriacutea Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre siacuteSi se suma lo mismo a cantidades iguales los totales son igualesSi se quita lo mismo a cantidades iguales los restos son igualesSi a cosas desiguales se antildeaden cosas iguales los totales seraacuten desiguales Los dobles de una misma cosa son iguales entre siacuteLas unidades de una misma cosa son iguales entre siacute Las cosas que seeswikipediaorgwikiAxioma
loacutegica
El lenguaje puede emplearse de distintas formas para pedir algo o para avisar a alguien para describir algo que hemos visto o simplemente para expresar una sensacioacuten como cuando gritamos al quemarnos La loacutegica es un uso especial del lenguaje que estaacute relacionado con el sentido y la exactitud de lo que decimos En concreto es la disciplina que estudia la estructura fundamento y uso de las expresiones del conocimiento humano eswikipediaorgwikiLC3B3gica
notacioacuten matemaacutetica
El propoacutesito de esta paacutegina es explicar la notacioacuten matemaacutetica para los que no esteacuten familiarizados con ella eswikipediaorgwikiNotaciC3B3n_matemC3A1tica
Filosofiacutea matemaacutetica
Existen baacutesicamente dos modos de hacer filosofiacutea Uno recibe el nombre de Filosofiacutea continental y al otro se le ha denominado Filosofiacutea analiacutetica Ni siquiera existe acuerdo completo en este punto pues algunos filoacutesofos de una y otra corriente negaraacuten que exista otro
3
modo de hacer filosofiacutea que no sea el suyo y afirmaraacuten que lo otro no es filosofiacutea eswikipediaorgwikiFilosofC3ADa
lenguaje
El lenguaje es la capacidad del ser humano para comunicarse mediante un sistema de signos o lengua para ello No se debe confundir con lengua o idioma que es la representacioacuten de dicha capacidadLos lenguajes son explicados de una manera faacutecil aunque reduciendo sus alcances e importancia para la formacioacuten de nuestro mundo formas de representar cosasLa mayoriacutea de las veces el teacutermino se refiere a los lenguajes que los humanos utilizan para comunicarse es decir las lenguas naturales yaeswikipediaorgwikiLenguaje
lenguajes de programacioacuten
Programacioacuten es el acto de crear un programa de computadora un conjunto concreto de instrucciones que una computadora puede ejecutar El programa se escribe en un lenguaje de programacioacuten aunque tambieacuten se pueda escribir directamente en lenguaje de maacutequina con cierta dificultad Un programa se puede dividir en diversas partes que pueden estar escritas en lenguajes distintos eswikipediaorgwikiProgramaciC3B3n
Aritmeacutetica
Aritmeacutetica es la parte de las matemaacuteticas que estudia los nuacutemeros y las operaciones hechas con ellos eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica
Geometriacutea
La geometriacutea es una rama de la matemaacutetica que estudia las propiedades las figuras en el plano o en el espacio eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa
Trigonometriacutea
La trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
Secciones coacutenicas
Se denomina seccioacuten coacutenica a la curva interseccioacuten de un cono con un plano que no pasa por su veacutertice eswikipediaorgwikiSecciones_cC3B3nicas
Aacutenaacutelisis matemaacutetico
El anaacutelisis es una rama de las matemaacuteticas que estudia los nuacutemeros reales los complejos y sus funciones Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulacioacuten rigurosa del Caacutelculo y estudia conceptos como la continuidad la integracioacuten y la diferenciabilidad de diversas formas
aacutelgebra
Aacutelgebra es la parte de la matemaacutetica que tiene por objeto de estudio la cantidad considerada de la forma maacutes general posible eswikipediaorgwikiC381lgebra
geometriacutea analiacutetica
4
La geometriacutea analiacutetica es la rama de las matemaacuteticasque usa el aacutelgebra para describir y analizar figuras geomeacutetricasAsiacute por ejemplo la geometria analitica plana describe una elipse centrada en el origen de un sistema de coordendas cartesianas con la siguiente expresioacuten donde a y b son constantes que se identifican como los semiejes mayor y menor de la elipse eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_analC3ADtica
caacutelculo
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
caacutelculo de probabilidades
La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se deacute un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento entre 0 y 100)
El valor cero corresponde al suceso imposible lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el nuacutemero 7 es cero (al menos si es un dado certificado por la OMD Organizacioacuten Mundial de Dados)
El valor uno corresponde al suceso seguro lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier nuacutemero del 1 al 6 es igual a uno (100)
El resto de sucesos tendraacute probabilidades entre cero y uno que seraacute tanto mayor cuanto maacutes probable sea que dicho suceso tenga lugar
Sigue
Tabla de contenidos 1 Categoriacuteas
o 11 Fundamentos y Meacutetodos
o 12 Investigacioacuten Operativa
o 13 Nuacutemeros
o 14 Matemaacutetica del cambio
141 Anaacutelisis
o 15 Estructuras matemaacuteticas
151 Espacios
152 Matemaacutetica finita
o 16 Matemaacutetica aplicada
o 17 Teoremas y conjeturas famosas
o 18 Historia de las matemaacuteticas El mundo de los matemaacuteticos
o 19 Matemaacuteticas recreativas
2 Historia
5
3 Crisis histoacutericas de las matemaacuteticas
4 Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticos
5 Conceptos errados
6 Enlaces relacionados
7 Enlaces externos
CategoriacuteasSe dice que la matemaacutetica abarca tres aacutembitos
1 Aritmeacutetica
2 Geometriacutea incluyendo la Trigonometriacutea y las Secciones coacutenicas
3 Aacutenaacutelisis matemaacutetico en el cual se hace uso de letras y siacutembolos y que incluye el aacutelgebra la geometriacutea analiacutetica y el caacutelculo
(Algunos especialmente los probabilistas agregan a esta lista el caacutelculo de probabilidades)
Cada una de estas categoriacuteas se divide a su vez en pura o abstracta en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente sin relacioacuten a la materia y en aplicada la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales y por consecuencia se relaciona con consideraciones fiacutesicas
Las numerosas ramas de la matemaacutetica estaacuten muy interrelacionadas he aquiacute una lista de secciones que tendremos de considerar en su estudio
CategoriacuteasC1 Fundamentos y Meacutetodos C2 Investigacioacuten Operativa C3 NuacutemerosC4 Matemaacutetica del cambio C5 AnaacutelisisC6 Estructuras matemaacuteticas C7 Espacios C8 Matemaacutetica finita C9 Matemaacutetica aplicadaC10 Teoremas y conjeturas famosas C11 Historia de las matemaacuteticas C12 Matemaacuteticas recreativas
DEFINICIONES Para buscar definicionesPulsar CRTL + B
Pulsar C+nordm en ventana
Pulsar ldquoBuscar siguienterdquo
6
Pulsar ldquocerrarrdquo
C1 Fundamentos y MeacutetodosFilosofiacutea de las matemaacuteticas ndash
La filosofiacutea de las matemaacuteticas es una rama de la filosofiacutea que realiza reflexiones acerca de la naturaleza de los nuacutemeros y de las operaciones mentales implicadas en el caacutelculo Es una actividad muy antigua abordada por todo buen filoacutesofo pues las matemaacuteticas constituyen histoacutericamente la base del pensamiento eswikipediaorgwikiFilosofC3ADa_de_las_matemC3A1ticas
Intuicioacuten matemaacutetica ndash
Llegados a este punto se puede definir queacute es intuicioacuten matemaacutetica La intuicioacuten matemaacutetica no es un meacutetodo de demostracioacuten Es soacutelo una guiacutea heuriacutestica wwwciberdocenciagobpeindex phpid=1056ampa=articulo_completo - 35k -
Constructivismo matemaacutetico ndash
El Constructivismo matemaacutetico es muy coherente con la Pedagogiacutea Activa y se apoyaen la Psicologiacutea Geneacutetica se interesa por las condiciones en las cuales wwwmineducaciongovcolineamientos matematicasdesarrolloaspid=4 -
Fundamentos de las matemaacuteticas ndash
El gran fundamento de las matemaacuteticas es el principio de contradiccioacuten o identidadque es el teorema que una y la misma afirmacioacuten no puede ser i no ser verdadwwwschillerinstituteorgnewspanish InstitutoSchillerCienciaEnterrarMatematicashtml -
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Subconjuntos flojos ndash
Los subconjuntos flojos (o partes flojas de un conjunto) fueron inventados paramodelizar la representacioacuten humana de los conocimientos ( p ej para medir wwwciencianetVerArticulo Subconjunto-difusoidArticulo=dsfjuu4jftelevgpcyw0285
Loacutegica simboacutelica ndash
loacutegica simboacutelica Definicioacuten Se denomina asiacute al empleo en computacioacuten deexpresiones loacutegicas con significado preestablecido de manera de evitar clubtelepoliscomohcopsymbolichtml
Loacutegica difusa ndash
En la loacutegica claacutesica una proposicioacuten soacutelo admite dos valores puede ser verdadera o falsa Por eso se dice que la loacutegica usual es binaria Pero existen otras loacutegicas que admiten ademaacutes un tercer valor posibleLa loacutegica difusa (o borrosa) es una de ellas que se caracteriza por querer cuantificar esta incertidumbre Si P es una proposicioacuten se le puede asociar un nuacutemero v(P) en el intervalo [0 1] tal que Salta a la vista la semejanza con la teoriacutea de las probabilidades eswikipediaorgwikiLC3B3gica_difusa
Teoriacutea de modelos ndash
7
La teoriacutea de modelos como estudio de estructuras matemaacuteticas en general Pedro Hernaacuten Zambrano Universidad Nacional de Colombia ndash Universidad Sergio Arboleda wwwusergioarboledaeducocivilizarmatematicas
Teoriacutea de las categoriacuteas ndash
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
Demostracioacuten matemaacutetica ndash
Una sucecioacuten coherente de pasos que basados en un conjunto de premisas p1p2pn llamado Hipoacutetesis permite asegurar el cumplimiento de una tesisEstos pasos deben estar fundamentados teoacutericamente (ya sea por axiomas o por teoremas anteriormente demostrados)Mediante este proceso se demuestra un teorema o se desmienteExisten difernetes tipos de demostraciones que son utilizadas comunmente en matemaacuteticas Demostracioacuten por contraposicioacuten Demostracioacuten por reduccioacuten al absurdo hellipeswikipediaorgwikiDemostraciC3B3n_matemC3A1tica
Axiomaacutetica ndash
Conjunto de proposiciones deducidas loacutegicamente de algunos principios no demostrables y que seguacuten algunos puede fundar el anaacutelisis geograacutefico Varios tipos de aximaacutetica han sido propuestos
eswikipediaorgwikiAxiomaticaC3B3n
Induccioacuten ndash
Induccioacuten significaEn el aacutembito del meacutetodo cientiacutefico la induccioacuten es la accioacuten y efecto de extraer a partir de determinadas observaciones o experiencias particulares el principio general que en ellas estaacute impliacutecitoEn el aacutembito de las matemaacuteticas la induccioacuten matemaacutetica es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones o una proposicioacuten que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores usualmente en el conjunto de los enteros naturales eswikipediaorgwikiInducciC3B3n
C2 Investigacioacuten Operativa
Investigacioacuten operativa ndash
Investigacioacuten Operacional (Reino Unido) Ciencias de la Decisioacuten Ciencia deSistemas disciplinas Investigacioacuten Operacional Estadiacutestica y Sistemas de wwwbvumsanetedubocpcibdownload GI-720Investigacion20operacionalpdf
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de juegos ndash
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los
8
investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
Programacioacuten entera ndash
La Programacioacuten Entera surge por considerar el mismo formato descrito para laprogramacioacuten lineal pero considerando que las variables del problema se wwwoptimosusachclPHhtm
Programacioacuten lineal ndash
La programacioacuten lineal es el estudio de modelos matemaacuteticos orbitastarmediacom~ariveralinealhtm -
Simulacioacuten ndash
Simulacioacuten es la experimentacioacuten con un modelo de una hipoacutetesis de trabajo La experimentacioacuten puede ser un trabajo de campo o de laboratorio El modelo de meacutetodo usado para la simulacioacuten seria teoacuterico conceptual o sisteacutemico eswikipediaorgwikiSimulaciC3B3n
Optimizacioacuten ndash
La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Meacutetodo del Siacutemplex
El meacutetodo del Simplex nos facilitaraacute la obtencioacuten de la solucioacuten oacuteptima mediante laelaboracioacuten de un criterio que nos permitiraacute saber si una solucioacuten wwwunizares3wapuntes04pdf
C3 Nuacutemeros
Nuacutemeros ndash
Un nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero Nuacutemero natural ndash
Nuacutemero entero ndash
Los nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una estructura algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmero_entero
Nuacutemero racional ndash
Se llama nuacutemero racional a todo aquel nuacutemero que puede ser expresado como resultado de la divisioacuten de dos nuacutemeros enteros con el divisor distinto de 0El conjunto de los racionales se nota ℚ por quotient o sea cociente en varios idiomas europeosEste conjunto de nuacutemeros es superconjunto de los nuacutemeros enteros de los nuacutemeros decimales y es un subconjunto de los nuacutemeros reales Los nuacutemeros racionales cumplen la propiedad arquimediana esto es para
9
cualquier pareja de nuacutemeros eswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional
Nuacutemero irracional ndash
Tras separar los nuacutemeros componentes de la recta real en tres categoriacuteas(naturales enteros y racionales)puede parecer que se ha terminado con la clasificacioacuten de los nuacutemeros pero eso no es asiacute Quedanhuecos por rellenar en la recta Se trata de los nuacutemeros irracionales eswikipediaorgwikiNC3BAmero_irracional
Nuacutemero real ndash
Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmero_real
Nuacutemero complejo ndash
Los Nuacutemeros Complejos son una extensioacuten natural de los nuacutemeros reales la recta real puede ser vista como un subconjunto del plano de los nuacutemeros complejos Cada nuacutemero complejo seriacutea un punto en este plano Usando las definiciones que siguen se hacen posibles la suma la resta la multiplicacioacuten y la divisioacuten entre estos puntos eswikipediaorgwikiNC3BAmero_complejo
Cuaterniones ndash
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
Octoniones ndash
Los octoniones son la extensioacuten no asociativa de los cuaterniones Fueron descubiertos por John T Graves en 1843 e independientemente por Arthur Cayley quien lo publicoacute por primera vez en 1845 Son llamados a veces nuacutemeros de Cayley eswikipediaorgwikiOctoniones
Sedeniones ndash
Los sedeniones forman una aacutelgebra de dimensioacuten 16 sobre los nuacutemeros reales y se obtienen aplicando la Construccioacuten de Cayley-Dickson sobre los octoniones eswikipediaorgwikiSedeniones
Nuacutemeros hiperreales ndash
Los nuacutemeros hiperreales o reales no estaacutendar son una extensioacuten de los nuacutemeros reales R en doacutende se antildeaden nuacutemeros infinitamente grandes asiacute como nuacutemeros infinitesimales eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_hiperreales
Nuacutemeros infinitos ndash
El concepto del infinito aparece en varias ramas de las matemaacuteticas entre otras en la geometriacutea (punto al infinito de la geometriacutea proyectiva) en el anaacutelisis (liacutemites infinitos o liacutemites al infinito) y en los nuacutemeros (nuacutemeros ordinales y nuacutemeros cardinales) dentro de la teoriacutea de conjuntos eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_infinitos
10
Diacutegito ndash
Un diacutegito (palabra proveniente del latiacuten con el significado de dedo) es cada una de las cifras que componen un nuacutemero en un sistema determinado Ej 157 en el sistema decimal se compone de los diacutegitos 1 5 y 7 eswikipediaorgwikiDC3ADgito
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Nuacutemero p-aacutedico
Dado un nuacutemero entero primo p se llama valor absoluto p-aacutedico de un enteropositivo n al inverso de p r donde es p personalesyacomcasanchimatpadicos01pdf
C4 Matemaacutetica del cambio
Caacutelculo ndash
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de ZenoacutenhellipeswikipediaorgwikiCC3A1lculo
Caacutelculo vectorial ndash
El caacutelculo vectorial es un campo de las matemaacuteticas referidas al anaacutelisis real multivariable de vectores en 2 o maacutes dimensiones Consiste en una serie de foacutermulas y teacutecnicas para solucionar problemas muy uacutetiles para la ingenieriacutea y la fiacutesica eswikipediaorgwikiCC3A1lculo_vectorial
Anaacutelisis ndash
Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm Ecuacioacuten diferencial ndash
Sistemas dinaacutemicos ndash
En ingenieriacutea y matemaacuteticas un sistema dinaacutemico es un proceso determinista en el cual el valor de una funcioacuten cambia de acuerdo a una regla definida en teacuterminos del valor actual de la funcioacuten eswikipediaorgwikiSistemas_dinC3A1micos
Teoria del caos --
La teoriacutea del caos es la denominacioacuten popular de la rama de las matemaacuteticas y la fiacutesica que trata ciertos tipos de comportamientos aleatorios (caoacuteticos) de los sistemas dinaacutemicos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_del_caos
Lista de funciones ndash
11
Excell pone a nuestra disposicioacuten un gran cantidad de funciones que permiten realizar operaciones no soacutelo matemaacuteticas sino tambieacuten numeacutericas estadiacutesticas monetarias de fecha con caracteres etc Tambieacuten se pueden disentildear nuevas funciones incorporaacutendolas a las ya existenteswwwportal-uraldecomdicfhtm
Logaritmo
Logaritmo en matemaacuteticas es el exponente o potencia a la que un nuacutemero fijo llamado base se ha de elevar para dar un nuacutemero dadoSe llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de x rarr 1x que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1 eswikipediaorgwikiLogaritmo
C5 Anaacutelisis
Sucesiones ndash En matemaacuteticas las sucesiones de nuacutemeros son una herramienta muy importante Ayudaraacute a ir reconociendo distintos patrones y estructuras
Series ndash
Dentro de cada Clase de Contratos Serie son aquellas Opciones que tienen el mismo Precio de Ejercicio y la misma Fecha de Vencimiento y aquellos Futuros que tienen la misma Fecha de Vencimientowwwmeffcominstitutoglosariosglosarihtm
Anaacutelisis real ndash
El anaacutelisis real es la rama de las matemaacuteticas que tiene que ver con los nuacutemeros reales y las funciones de los nuacutemeros reales Se puede verlo como extensioacuten rigorosa del caacutelculo que estudia maacutes profundamente las sucesiones y sus liacutemites continuidad derivacioacuten integracioacuten y sucesiones de funciones eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_real
Anaacutelisis Complejo ndash
El anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
Anaacutelisis funcional ndash
El anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
Aacutelgebra de operadores
C6 Estructuras matemaacuteticas
12
Aacutelgebra abstracta ndash
El aacutelgebra abstracta es el campo de las matemaacuteticas que estudia las estructuras algebraicas como la de grupo anillo y cuerpoEl teacutermino aacutelgebra abstracta es usado para distinguir este campo del aacutelgebra elemental o del aacutelgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular foacutermulas y expresiones algebraicas que conciernen a los nuacutemeros reales y nuacutemeros complejos eswikipediaorgwikiC381lgebra_abstracta Teoriacutea de nuacutemeros ndash
Aacutelgebra conmutativa ndash
In algebra astratta lalgebra commutativa egrave il settore che studia strutture algebriche commutative (o abeliane) come gli anelli commutativi i loro ideali e strutture piugrave ricche costruite sui suddetti anelli come i moduli e le algebre Attualmente costituisce la base algebrica della geometria algebrica e della teoria algebrica dei numeri itwikipediaorgwikiAlgebra_commutativa
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Teoriacutea de grupos ndash
La teoriacutea de grupos estudia las propiedades de los grupos y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificacioacuten de eacutestos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grupos
Monoides ndash
Un monoide es un magma (ie un par (M) donde M es un conjunto y una operacioacuten binaria) que cumple Es cerrada en M esto es el resultado de ab pertenece a M para cualesquiera a y b de M Existe una identidad esto es un elemento e tal que cumple ae=ea=a La operacioacuten es asociativa eswikipediaorgwikiMonoide
Anaacutelisis ndash
[analysis] f (General) Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm
Topologiacutea ndash
Quizaacute quieras entrar directamente a ver queacute es un Espacio topoloacutegico o ver el glosario de topologiacutea) eswikipediaorgwikiTopologC3ADa
rama sumamente desarrollada de la matemaacutetica pura estudia las propiedades de los objetos matemaacuteticos (pej las figuras geomeacutetricas) que no se alteran con transformaciones continuas del objetowwwastrocosmoclglosarioglosar-thtm
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Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de las categoriacuteas
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
C7 Espacios
Topologiacutea ndash
Diccionario elemental de algunos de algunos de los teacuterminos relacionados con la Topologiacutea Jacques Lacan httpwwwinsmesglosariogrglosarionsmkeep_ upperphp3url=httpwwwrussellcomarespacios_ tematicosDiccionariotopologiaDiccionario_topologiahtmavizoracomglosarios3htm
Geometriacutea ndash
conjunto de reglas que describen la estructura del espacio en una regioacuten dada La geometriacutea euclidiana claacutesica se aplica a las superficies planas o al espacio laquoplanoraquo las geometriacuteas no euclidianas se aplican a las superficies curvas o al espacio curvo y pueden incluir fenoacutemenos tan improbables como triaacutengulos cuyos veacutertices totalizan maacutes o menos de 180 gradoswwwastrocosmoclglosarioglosar-ghtm
Teoriacutea de haces ndash
En matemaacuteticas un haz F sobre un espacio topoloacutegico dado X proporciona para cada conjunto abierto U de X un conjunto F(U) de estructura maacutes rica A su vez dichas estructuras F(U) son compatibles con la operacioacuten de restriccioacuten desde un conjunto abierto hacia subconjuntos maacutes pequentildeos y con la operacioacuten de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor Un prehaz es similar a un haz pero con eacutel puede no ser posible la operacioacuten de pegado Los haces nos permiten diseswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_haces
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
La Topologiacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas en la que se usan las herramientas del Aacutelgebra abstracta para estudiar los espacios topoloacutegicos eswikipediaorgwikiTopologC3ADa_algebraica
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
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La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
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Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
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Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
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El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
- Matemaacuteticas De Wikipedia la enciclopedia libre
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- Categoriacuteas
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- Pulsar C+nordm en ventana
- Pulsar ldquoBuscar siguienterdquo
- Pulsar ldquocerrarrdquo
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- C9 Matemaacutetica aplicada
- C10 Teoremas y conjeturas famosas
- C11 Historia de las matemaacuteticas
- C12 Matemaacuteticas recreativas
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- Historia
- Crisis histoacutericas de las matemaacuteticas
- Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticos
- Conceptos errados
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- Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
- Adaptado a WORD por RRafanell 2505
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- Sistemas de numeracioacuten posicionales
- Sistemas de numeracioacuten no posicionales
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- Operaciones con binarios
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- Tabla de contenidos
- Coacutedigo Binario
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- Tabla de contenidos
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- Ejemplos
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- Fracciones
- Tablas de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
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- Tabla de contenidos
- Introduccioacuten
- Definicioacuten
- Implementacioacuten
- Ejemplo
- Historia
- Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
- Temas relacionados
- Disciplinas relacionadas
- Enlaces externos
-
ciencia constituye un meacutetodo sistemaacutetico de adquirir conocimiento sobre la naturaleza en todos sus aspectos El meacutetodo utilizado se denomina meacutetodo cientiacutefico eswikipediaorgwikiCiencia
estructuras
En matemaacuteticas a menudo el progreso consiste en reconocer la misma estructura en diversos contextos - de modo que un meacutetodo que la aprovecha tenga muacuteltiples usos De hecho eacutesta es una manera normal de proceder en ausencia de estructura reconocible (que puede sin embargo estar oculta) los problemas tienden a caer en esa clasificacioacuten combinatoria de materias que requieren argumentos especiales eswikipediaorgwikiEstructura_(teorC3ADa_de_las_categorC3ADas)
arte
El teacutermino arte procede del teacutermino latino ars En la Antiguumledad se consideroacute el arte como la pericia y habilidad en la produccioacuten de algo En la Modernidad en cambio comienza a distinguirse entre artesaniacutea y bellas artes y equivalentemente entre artesano y artista Asiacute el artesano practica las artes uacutetiles se dedica a hacer objetos que tienen una clara utilidad El artista se dedica a las bellas artes y sus objetos o praacutecticas tienen un caraacutecter ornamental expresivo o de reflexieswikipediaorgwikiArte
Fiacutesica
La fiacutesica (del griego phisis naturaleza) es la ciencia de la naturaleza en el sentido maacutes amplio
eswikipediaorgwikiFC3ADsica
axiomaacuteticamente
En Los Elementos de Euclides se establecen nueveaxiomas (lo valioso en griego) para la geometriacutea Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre siacuteSi se suma lo mismo a cantidades iguales los totales son igualesSi se quita lo mismo a cantidades iguales los restos son igualesSi a cosas desiguales se antildeaden cosas iguales los totales seraacuten desiguales Los dobles de una misma cosa son iguales entre siacuteLas unidades de una misma cosa son iguales entre siacute Las cosas que seeswikipediaorgwikiAxioma
loacutegica
El lenguaje puede emplearse de distintas formas para pedir algo o para avisar a alguien para describir algo que hemos visto o simplemente para expresar una sensacioacuten como cuando gritamos al quemarnos La loacutegica es un uso especial del lenguaje que estaacute relacionado con el sentido y la exactitud de lo que decimos En concreto es la disciplina que estudia la estructura fundamento y uso de las expresiones del conocimiento humano eswikipediaorgwikiLC3B3gica
notacioacuten matemaacutetica
El propoacutesito de esta paacutegina es explicar la notacioacuten matemaacutetica para los que no esteacuten familiarizados con ella eswikipediaorgwikiNotaciC3B3n_matemC3A1tica
Filosofiacutea matemaacutetica
Existen baacutesicamente dos modos de hacer filosofiacutea Uno recibe el nombre de Filosofiacutea continental y al otro se le ha denominado Filosofiacutea analiacutetica Ni siquiera existe acuerdo completo en este punto pues algunos filoacutesofos de una y otra corriente negaraacuten que exista otro
3
modo de hacer filosofiacutea que no sea el suyo y afirmaraacuten que lo otro no es filosofiacutea eswikipediaorgwikiFilosofC3ADa
lenguaje
El lenguaje es la capacidad del ser humano para comunicarse mediante un sistema de signos o lengua para ello No se debe confundir con lengua o idioma que es la representacioacuten de dicha capacidadLos lenguajes son explicados de una manera faacutecil aunque reduciendo sus alcances e importancia para la formacioacuten de nuestro mundo formas de representar cosasLa mayoriacutea de las veces el teacutermino se refiere a los lenguajes que los humanos utilizan para comunicarse es decir las lenguas naturales yaeswikipediaorgwikiLenguaje
lenguajes de programacioacuten
Programacioacuten es el acto de crear un programa de computadora un conjunto concreto de instrucciones que una computadora puede ejecutar El programa se escribe en un lenguaje de programacioacuten aunque tambieacuten se pueda escribir directamente en lenguaje de maacutequina con cierta dificultad Un programa se puede dividir en diversas partes que pueden estar escritas en lenguajes distintos eswikipediaorgwikiProgramaciC3B3n
Aritmeacutetica
Aritmeacutetica es la parte de las matemaacuteticas que estudia los nuacutemeros y las operaciones hechas con ellos eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica
Geometriacutea
La geometriacutea es una rama de la matemaacutetica que estudia las propiedades las figuras en el plano o en el espacio eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa
Trigonometriacutea
La trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
Secciones coacutenicas
Se denomina seccioacuten coacutenica a la curva interseccioacuten de un cono con un plano que no pasa por su veacutertice eswikipediaorgwikiSecciones_cC3B3nicas
Aacutenaacutelisis matemaacutetico
El anaacutelisis es una rama de las matemaacuteticas que estudia los nuacutemeros reales los complejos y sus funciones Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulacioacuten rigurosa del Caacutelculo y estudia conceptos como la continuidad la integracioacuten y la diferenciabilidad de diversas formas
aacutelgebra
Aacutelgebra es la parte de la matemaacutetica que tiene por objeto de estudio la cantidad considerada de la forma maacutes general posible eswikipediaorgwikiC381lgebra
geometriacutea analiacutetica
4
La geometriacutea analiacutetica es la rama de las matemaacuteticasque usa el aacutelgebra para describir y analizar figuras geomeacutetricasAsiacute por ejemplo la geometria analitica plana describe una elipse centrada en el origen de un sistema de coordendas cartesianas con la siguiente expresioacuten donde a y b son constantes que se identifican como los semiejes mayor y menor de la elipse eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_analC3ADtica
caacutelculo
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
caacutelculo de probabilidades
La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se deacute un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento entre 0 y 100)
El valor cero corresponde al suceso imposible lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el nuacutemero 7 es cero (al menos si es un dado certificado por la OMD Organizacioacuten Mundial de Dados)
El valor uno corresponde al suceso seguro lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier nuacutemero del 1 al 6 es igual a uno (100)
El resto de sucesos tendraacute probabilidades entre cero y uno que seraacute tanto mayor cuanto maacutes probable sea que dicho suceso tenga lugar
Sigue
Tabla de contenidos 1 Categoriacuteas
o 11 Fundamentos y Meacutetodos
o 12 Investigacioacuten Operativa
o 13 Nuacutemeros
o 14 Matemaacutetica del cambio
141 Anaacutelisis
o 15 Estructuras matemaacuteticas
151 Espacios
152 Matemaacutetica finita
o 16 Matemaacutetica aplicada
o 17 Teoremas y conjeturas famosas
o 18 Historia de las matemaacuteticas El mundo de los matemaacuteticos
o 19 Matemaacuteticas recreativas
2 Historia
5
3 Crisis histoacutericas de las matemaacuteticas
4 Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticos
5 Conceptos errados
6 Enlaces relacionados
7 Enlaces externos
CategoriacuteasSe dice que la matemaacutetica abarca tres aacutembitos
1 Aritmeacutetica
2 Geometriacutea incluyendo la Trigonometriacutea y las Secciones coacutenicas
3 Aacutenaacutelisis matemaacutetico en el cual se hace uso de letras y siacutembolos y que incluye el aacutelgebra la geometriacutea analiacutetica y el caacutelculo
(Algunos especialmente los probabilistas agregan a esta lista el caacutelculo de probabilidades)
Cada una de estas categoriacuteas se divide a su vez en pura o abstracta en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente sin relacioacuten a la materia y en aplicada la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales y por consecuencia se relaciona con consideraciones fiacutesicas
Las numerosas ramas de la matemaacutetica estaacuten muy interrelacionadas he aquiacute una lista de secciones que tendremos de considerar en su estudio
CategoriacuteasC1 Fundamentos y Meacutetodos C2 Investigacioacuten Operativa C3 NuacutemerosC4 Matemaacutetica del cambio C5 AnaacutelisisC6 Estructuras matemaacuteticas C7 Espacios C8 Matemaacutetica finita C9 Matemaacutetica aplicadaC10 Teoremas y conjeturas famosas C11 Historia de las matemaacuteticas C12 Matemaacuteticas recreativas
DEFINICIONES Para buscar definicionesPulsar CRTL + B
Pulsar C+nordm en ventana
Pulsar ldquoBuscar siguienterdquo
6
Pulsar ldquocerrarrdquo
C1 Fundamentos y MeacutetodosFilosofiacutea de las matemaacuteticas ndash
La filosofiacutea de las matemaacuteticas es una rama de la filosofiacutea que realiza reflexiones acerca de la naturaleza de los nuacutemeros y de las operaciones mentales implicadas en el caacutelculo Es una actividad muy antigua abordada por todo buen filoacutesofo pues las matemaacuteticas constituyen histoacutericamente la base del pensamiento eswikipediaorgwikiFilosofC3ADa_de_las_matemC3A1ticas
Intuicioacuten matemaacutetica ndash
Llegados a este punto se puede definir queacute es intuicioacuten matemaacutetica La intuicioacuten matemaacutetica no es un meacutetodo de demostracioacuten Es soacutelo una guiacutea heuriacutestica wwwciberdocenciagobpeindex phpid=1056ampa=articulo_completo - 35k -
Constructivismo matemaacutetico ndash
El Constructivismo matemaacutetico es muy coherente con la Pedagogiacutea Activa y se apoyaen la Psicologiacutea Geneacutetica se interesa por las condiciones en las cuales wwwmineducaciongovcolineamientos matematicasdesarrolloaspid=4 -
Fundamentos de las matemaacuteticas ndash
El gran fundamento de las matemaacuteticas es el principio de contradiccioacuten o identidadque es el teorema que una y la misma afirmacioacuten no puede ser i no ser verdadwwwschillerinstituteorgnewspanish InstitutoSchillerCienciaEnterrarMatematicashtml -
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Subconjuntos flojos ndash
Los subconjuntos flojos (o partes flojas de un conjunto) fueron inventados paramodelizar la representacioacuten humana de los conocimientos ( p ej para medir wwwciencianetVerArticulo Subconjunto-difusoidArticulo=dsfjuu4jftelevgpcyw0285
Loacutegica simboacutelica ndash
loacutegica simboacutelica Definicioacuten Se denomina asiacute al empleo en computacioacuten deexpresiones loacutegicas con significado preestablecido de manera de evitar clubtelepoliscomohcopsymbolichtml
Loacutegica difusa ndash
En la loacutegica claacutesica una proposicioacuten soacutelo admite dos valores puede ser verdadera o falsa Por eso se dice que la loacutegica usual es binaria Pero existen otras loacutegicas que admiten ademaacutes un tercer valor posibleLa loacutegica difusa (o borrosa) es una de ellas que se caracteriza por querer cuantificar esta incertidumbre Si P es una proposicioacuten se le puede asociar un nuacutemero v(P) en el intervalo [0 1] tal que Salta a la vista la semejanza con la teoriacutea de las probabilidades eswikipediaorgwikiLC3B3gica_difusa
Teoriacutea de modelos ndash
7
La teoriacutea de modelos como estudio de estructuras matemaacuteticas en general Pedro Hernaacuten Zambrano Universidad Nacional de Colombia ndash Universidad Sergio Arboleda wwwusergioarboledaeducocivilizarmatematicas
Teoriacutea de las categoriacuteas ndash
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
Demostracioacuten matemaacutetica ndash
Una sucecioacuten coherente de pasos que basados en un conjunto de premisas p1p2pn llamado Hipoacutetesis permite asegurar el cumplimiento de una tesisEstos pasos deben estar fundamentados teoacutericamente (ya sea por axiomas o por teoremas anteriormente demostrados)Mediante este proceso se demuestra un teorema o se desmienteExisten difernetes tipos de demostraciones que son utilizadas comunmente en matemaacuteticas Demostracioacuten por contraposicioacuten Demostracioacuten por reduccioacuten al absurdo hellipeswikipediaorgwikiDemostraciC3B3n_matemC3A1tica
Axiomaacutetica ndash
Conjunto de proposiciones deducidas loacutegicamente de algunos principios no demostrables y que seguacuten algunos puede fundar el anaacutelisis geograacutefico Varios tipos de aximaacutetica han sido propuestos
eswikipediaorgwikiAxiomaticaC3B3n
Induccioacuten ndash
Induccioacuten significaEn el aacutembito del meacutetodo cientiacutefico la induccioacuten es la accioacuten y efecto de extraer a partir de determinadas observaciones o experiencias particulares el principio general que en ellas estaacute impliacutecitoEn el aacutembito de las matemaacuteticas la induccioacuten matemaacutetica es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones o una proposicioacuten que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores usualmente en el conjunto de los enteros naturales eswikipediaorgwikiInducciC3B3n
C2 Investigacioacuten Operativa
Investigacioacuten operativa ndash
Investigacioacuten Operacional (Reino Unido) Ciencias de la Decisioacuten Ciencia deSistemas disciplinas Investigacioacuten Operacional Estadiacutestica y Sistemas de wwwbvumsanetedubocpcibdownload GI-720Investigacion20operacionalpdf
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de juegos ndash
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los
8
investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
Programacioacuten entera ndash
La Programacioacuten Entera surge por considerar el mismo formato descrito para laprogramacioacuten lineal pero considerando que las variables del problema se wwwoptimosusachclPHhtm
Programacioacuten lineal ndash
La programacioacuten lineal es el estudio de modelos matemaacuteticos orbitastarmediacom~ariveralinealhtm -
Simulacioacuten ndash
Simulacioacuten es la experimentacioacuten con un modelo de una hipoacutetesis de trabajo La experimentacioacuten puede ser un trabajo de campo o de laboratorio El modelo de meacutetodo usado para la simulacioacuten seria teoacuterico conceptual o sisteacutemico eswikipediaorgwikiSimulaciC3B3n
Optimizacioacuten ndash
La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Meacutetodo del Siacutemplex
El meacutetodo del Simplex nos facilitaraacute la obtencioacuten de la solucioacuten oacuteptima mediante laelaboracioacuten de un criterio que nos permitiraacute saber si una solucioacuten wwwunizares3wapuntes04pdf
C3 Nuacutemeros
Nuacutemeros ndash
Un nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero Nuacutemero natural ndash
Nuacutemero entero ndash
Los nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una estructura algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmero_entero
Nuacutemero racional ndash
Se llama nuacutemero racional a todo aquel nuacutemero que puede ser expresado como resultado de la divisioacuten de dos nuacutemeros enteros con el divisor distinto de 0El conjunto de los racionales se nota ℚ por quotient o sea cociente en varios idiomas europeosEste conjunto de nuacutemeros es superconjunto de los nuacutemeros enteros de los nuacutemeros decimales y es un subconjunto de los nuacutemeros reales Los nuacutemeros racionales cumplen la propiedad arquimediana esto es para
9
cualquier pareja de nuacutemeros eswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional
Nuacutemero irracional ndash
Tras separar los nuacutemeros componentes de la recta real en tres categoriacuteas(naturales enteros y racionales)puede parecer que se ha terminado con la clasificacioacuten de los nuacutemeros pero eso no es asiacute Quedanhuecos por rellenar en la recta Se trata de los nuacutemeros irracionales eswikipediaorgwikiNC3BAmero_irracional
Nuacutemero real ndash
Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmero_real
Nuacutemero complejo ndash
Los Nuacutemeros Complejos son una extensioacuten natural de los nuacutemeros reales la recta real puede ser vista como un subconjunto del plano de los nuacutemeros complejos Cada nuacutemero complejo seriacutea un punto en este plano Usando las definiciones que siguen se hacen posibles la suma la resta la multiplicacioacuten y la divisioacuten entre estos puntos eswikipediaorgwikiNC3BAmero_complejo
Cuaterniones ndash
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
Octoniones ndash
Los octoniones son la extensioacuten no asociativa de los cuaterniones Fueron descubiertos por John T Graves en 1843 e independientemente por Arthur Cayley quien lo publicoacute por primera vez en 1845 Son llamados a veces nuacutemeros de Cayley eswikipediaorgwikiOctoniones
Sedeniones ndash
Los sedeniones forman una aacutelgebra de dimensioacuten 16 sobre los nuacutemeros reales y se obtienen aplicando la Construccioacuten de Cayley-Dickson sobre los octoniones eswikipediaorgwikiSedeniones
Nuacutemeros hiperreales ndash
Los nuacutemeros hiperreales o reales no estaacutendar son una extensioacuten de los nuacutemeros reales R en doacutende se antildeaden nuacutemeros infinitamente grandes asiacute como nuacutemeros infinitesimales eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_hiperreales
Nuacutemeros infinitos ndash
El concepto del infinito aparece en varias ramas de las matemaacuteticas entre otras en la geometriacutea (punto al infinito de la geometriacutea proyectiva) en el anaacutelisis (liacutemites infinitos o liacutemites al infinito) y en los nuacutemeros (nuacutemeros ordinales y nuacutemeros cardinales) dentro de la teoriacutea de conjuntos eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_infinitos
10
Diacutegito ndash
Un diacutegito (palabra proveniente del latiacuten con el significado de dedo) es cada una de las cifras que componen un nuacutemero en un sistema determinado Ej 157 en el sistema decimal se compone de los diacutegitos 1 5 y 7 eswikipediaorgwikiDC3ADgito
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Nuacutemero p-aacutedico
Dado un nuacutemero entero primo p se llama valor absoluto p-aacutedico de un enteropositivo n al inverso de p r donde es p personalesyacomcasanchimatpadicos01pdf
C4 Matemaacutetica del cambio
Caacutelculo ndash
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de ZenoacutenhellipeswikipediaorgwikiCC3A1lculo
Caacutelculo vectorial ndash
El caacutelculo vectorial es un campo de las matemaacuteticas referidas al anaacutelisis real multivariable de vectores en 2 o maacutes dimensiones Consiste en una serie de foacutermulas y teacutecnicas para solucionar problemas muy uacutetiles para la ingenieriacutea y la fiacutesica eswikipediaorgwikiCC3A1lculo_vectorial
Anaacutelisis ndash
Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm Ecuacioacuten diferencial ndash
Sistemas dinaacutemicos ndash
En ingenieriacutea y matemaacuteticas un sistema dinaacutemico es un proceso determinista en el cual el valor de una funcioacuten cambia de acuerdo a una regla definida en teacuterminos del valor actual de la funcioacuten eswikipediaorgwikiSistemas_dinC3A1micos
Teoria del caos --
La teoriacutea del caos es la denominacioacuten popular de la rama de las matemaacuteticas y la fiacutesica que trata ciertos tipos de comportamientos aleatorios (caoacuteticos) de los sistemas dinaacutemicos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_del_caos
Lista de funciones ndash
11
Excell pone a nuestra disposicioacuten un gran cantidad de funciones que permiten realizar operaciones no soacutelo matemaacuteticas sino tambieacuten numeacutericas estadiacutesticas monetarias de fecha con caracteres etc Tambieacuten se pueden disentildear nuevas funciones incorporaacutendolas a las ya existenteswwwportal-uraldecomdicfhtm
Logaritmo
Logaritmo en matemaacuteticas es el exponente o potencia a la que un nuacutemero fijo llamado base se ha de elevar para dar un nuacutemero dadoSe llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de x rarr 1x que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1 eswikipediaorgwikiLogaritmo
C5 Anaacutelisis
Sucesiones ndash En matemaacuteticas las sucesiones de nuacutemeros son una herramienta muy importante Ayudaraacute a ir reconociendo distintos patrones y estructuras
Series ndash
Dentro de cada Clase de Contratos Serie son aquellas Opciones que tienen el mismo Precio de Ejercicio y la misma Fecha de Vencimiento y aquellos Futuros que tienen la misma Fecha de Vencimientowwwmeffcominstitutoglosariosglosarihtm
Anaacutelisis real ndash
El anaacutelisis real es la rama de las matemaacuteticas que tiene que ver con los nuacutemeros reales y las funciones de los nuacutemeros reales Se puede verlo como extensioacuten rigorosa del caacutelculo que estudia maacutes profundamente las sucesiones y sus liacutemites continuidad derivacioacuten integracioacuten y sucesiones de funciones eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_real
Anaacutelisis Complejo ndash
El anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
Anaacutelisis funcional ndash
El anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
Aacutelgebra de operadores
C6 Estructuras matemaacuteticas
12
Aacutelgebra abstracta ndash
El aacutelgebra abstracta es el campo de las matemaacuteticas que estudia las estructuras algebraicas como la de grupo anillo y cuerpoEl teacutermino aacutelgebra abstracta es usado para distinguir este campo del aacutelgebra elemental o del aacutelgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular foacutermulas y expresiones algebraicas que conciernen a los nuacutemeros reales y nuacutemeros complejos eswikipediaorgwikiC381lgebra_abstracta Teoriacutea de nuacutemeros ndash
Aacutelgebra conmutativa ndash
In algebra astratta lalgebra commutativa egrave il settore che studia strutture algebriche commutative (o abeliane) come gli anelli commutativi i loro ideali e strutture piugrave ricche costruite sui suddetti anelli come i moduli e le algebre Attualmente costituisce la base algebrica della geometria algebrica e della teoria algebrica dei numeri itwikipediaorgwikiAlgebra_commutativa
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Teoriacutea de grupos ndash
La teoriacutea de grupos estudia las propiedades de los grupos y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificacioacuten de eacutestos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grupos
Monoides ndash
Un monoide es un magma (ie un par (M) donde M es un conjunto y una operacioacuten binaria) que cumple Es cerrada en M esto es el resultado de ab pertenece a M para cualesquiera a y b de M Existe una identidad esto es un elemento e tal que cumple ae=ea=a La operacioacuten es asociativa eswikipediaorgwikiMonoide
Anaacutelisis ndash
[analysis] f (General) Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm
Topologiacutea ndash
Quizaacute quieras entrar directamente a ver queacute es un Espacio topoloacutegico o ver el glosario de topologiacutea) eswikipediaorgwikiTopologC3ADa
rama sumamente desarrollada de la matemaacutetica pura estudia las propiedades de los objetos matemaacuteticos (pej las figuras geomeacutetricas) que no se alteran con transformaciones continuas del objetowwwastrocosmoclglosarioglosar-thtm
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Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de las categoriacuteas
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
C7 Espacios
Topologiacutea ndash
Diccionario elemental de algunos de algunos de los teacuterminos relacionados con la Topologiacutea Jacques Lacan httpwwwinsmesglosariogrglosarionsmkeep_ upperphp3url=httpwwwrussellcomarespacios_ tematicosDiccionariotopologiaDiccionario_topologiahtmavizoracomglosarios3htm
Geometriacutea ndash
conjunto de reglas que describen la estructura del espacio en una regioacuten dada La geometriacutea euclidiana claacutesica se aplica a las superficies planas o al espacio laquoplanoraquo las geometriacuteas no euclidianas se aplican a las superficies curvas o al espacio curvo y pueden incluir fenoacutemenos tan improbables como triaacutengulos cuyos veacutertices totalizan maacutes o menos de 180 gradoswwwastrocosmoclglosarioglosar-ghtm
Teoriacutea de haces ndash
En matemaacuteticas un haz F sobre un espacio topoloacutegico dado X proporciona para cada conjunto abierto U de X un conjunto F(U) de estructura maacutes rica A su vez dichas estructuras F(U) son compatibles con la operacioacuten de restriccioacuten desde un conjunto abierto hacia subconjuntos maacutes pequentildeos y con la operacioacuten de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor Un prehaz es similar a un haz pero con eacutel puede no ser posible la operacioacuten de pegado Los haces nos permiten diseswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_haces
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
La Topologiacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas en la que se usan las herramientas del Aacutelgebra abstracta para estudiar los espacios topoloacutegicos eswikipediaorgwikiTopologC3ADa_algebraica
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
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La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
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Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
25
En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
26
tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
27
Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
28
Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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modo de hacer filosofiacutea que no sea el suyo y afirmaraacuten que lo otro no es filosofiacutea eswikipediaorgwikiFilosofC3ADa
lenguaje
El lenguaje es la capacidad del ser humano para comunicarse mediante un sistema de signos o lengua para ello No se debe confundir con lengua o idioma que es la representacioacuten de dicha capacidadLos lenguajes son explicados de una manera faacutecil aunque reduciendo sus alcances e importancia para la formacioacuten de nuestro mundo formas de representar cosasLa mayoriacutea de las veces el teacutermino se refiere a los lenguajes que los humanos utilizan para comunicarse es decir las lenguas naturales yaeswikipediaorgwikiLenguaje
lenguajes de programacioacuten
Programacioacuten es el acto de crear un programa de computadora un conjunto concreto de instrucciones que una computadora puede ejecutar El programa se escribe en un lenguaje de programacioacuten aunque tambieacuten se pueda escribir directamente en lenguaje de maacutequina con cierta dificultad Un programa se puede dividir en diversas partes que pueden estar escritas en lenguajes distintos eswikipediaorgwikiProgramaciC3B3n
Aritmeacutetica
Aritmeacutetica es la parte de las matemaacuteticas que estudia los nuacutemeros y las operaciones hechas con ellos eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica
Geometriacutea
La geometriacutea es una rama de la matemaacutetica que estudia las propiedades las figuras en el plano o en el espacio eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa
Trigonometriacutea
La trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
Secciones coacutenicas
Se denomina seccioacuten coacutenica a la curva interseccioacuten de un cono con un plano que no pasa por su veacutertice eswikipediaorgwikiSecciones_cC3B3nicas
Aacutenaacutelisis matemaacutetico
El anaacutelisis es una rama de las matemaacuteticas que estudia los nuacutemeros reales los complejos y sus funciones Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulacioacuten rigurosa del Caacutelculo y estudia conceptos como la continuidad la integracioacuten y la diferenciabilidad de diversas formas
aacutelgebra
Aacutelgebra es la parte de la matemaacutetica que tiene por objeto de estudio la cantidad considerada de la forma maacutes general posible eswikipediaorgwikiC381lgebra
geometriacutea analiacutetica
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La geometriacutea analiacutetica es la rama de las matemaacuteticasque usa el aacutelgebra para describir y analizar figuras geomeacutetricasAsiacute por ejemplo la geometria analitica plana describe una elipse centrada en el origen de un sistema de coordendas cartesianas con la siguiente expresioacuten donde a y b son constantes que se identifican como los semiejes mayor y menor de la elipse eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_analC3ADtica
caacutelculo
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
caacutelculo de probabilidades
La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se deacute un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento entre 0 y 100)
El valor cero corresponde al suceso imposible lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el nuacutemero 7 es cero (al menos si es un dado certificado por la OMD Organizacioacuten Mundial de Dados)
El valor uno corresponde al suceso seguro lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier nuacutemero del 1 al 6 es igual a uno (100)
El resto de sucesos tendraacute probabilidades entre cero y uno que seraacute tanto mayor cuanto maacutes probable sea que dicho suceso tenga lugar
Sigue
Tabla de contenidos 1 Categoriacuteas
o 11 Fundamentos y Meacutetodos
o 12 Investigacioacuten Operativa
o 13 Nuacutemeros
o 14 Matemaacutetica del cambio
141 Anaacutelisis
o 15 Estructuras matemaacuteticas
151 Espacios
152 Matemaacutetica finita
o 16 Matemaacutetica aplicada
o 17 Teoremas y conjeturas famosas
o 18 Historia de las matemaacuteticas El mundo de los matemaacuteticos
o 19 Matemaacuteticas recreativas
2 Historia
5
3 Crisis histoacutericas de las matemaacuteticas
4 Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticos
5 Conceptos errados
6 Enlaces relacionados
7 Enlaces externos
CategoriacuteasSe dice que la matemaacutetica abarca tres aacutembitos
1 Aritmeacutetica
2 Geometriacutea incluyendo la Trigonometriacutea y las Secciones coacutenicas
3 Aacutenaacutelisis matemaacutetico en el cual se hace uso de letras y siacutembolos y que incluye el aacutelgebra la geometriacutea analiacutetica y el caacutelculo
(Algunos especialmente los probabilistas agregan a esta lista el caacutelculo de probabilidades)
Cada una de estas categoriacuteas se divide a su vez en pura o abstracta en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente sin relacioacuten a la materia y en aplicada la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales y por consecuencia se relaciona con consideraciones fiacutesicas
Las numerosas ramas de la matemaacutetica estaacuten muy interrelacionadas he aquiacute una lista de secciones que tendremos de considerar en su estudio
CategoriacuteasC1 Fundamentos y Meacutetodos C2 Investigacioacuten Operativa C3 NuacutemerosC4 Matemaacutetica del cambio C5 AnaacutelisisC6 Estructuras matemaacuteticas C7 Espacios C8 Matemaacutetica finita C9 Matemaacutetica aplicadaC10 Teoremas y conjeturas famosas C11 Historia de las matemaacuteticas C12 Matemaacuteticas recreativas
DEFINICIONES Para buscar definicionesPulsar CRTL + B
Pulsar C+nordm en ventana
Pulsar ldquoBuscar siguienterdquo
6
Pulsar ldquocerrarrdquo
C1 Fundamentos y MeacutetodosFilosofiacutea de las matemaacuteticas ndash
La filosofiacutea de las matemaacuteticas es una rama de la filosofiacutea que realiza reflexiones acerca de la naturaleza de los nuacutemeros y de las operaciones mentales implicadas en el caacutelculo Es una actividad muy antigua abordada por todo buen filoacutesofo pues las matemaacuteticas constituyen histoacutericamente la base del pensamiento eswikipediaorgwikiFilosofC3ADa_de_las_matemC3A1ticas
Intuicioacuten matemaacutetica ndash
Llegados a este punto se puede definir queacute es intuicioacuten matemaacutetica La intuicioacuten matemaacutetica no es un meacutetodo de demostracioacuten Es soacutelo una guiacutea heuriacutestica wwwciberdocenciagobpeindex phpid=1056ampa=articulo_completo - 35k -
Constructivismo matemaacutetico ndash
El Constructivismo matemaacutetico es muy coherente con la Pedagogiacutea Activa y se apoyaen la Psicologiacutea Geneacutetica se interesa por las condiciones en las cuales wwwmineducaciongovcolineamientos matematicasdesarrolloaspid=4 -
Fundamentos de las matemaacuteticas ndash
El gran fundamento de las matemaacuteticas es el principio de contradiccioacuten o identidadque es el teorema que una y la misma afirmacioacuten no puede ser i no ser verdadwwwschillerinstituteorgnewspanish InstitutoSchillerCienciaEnterrarMatematicashtml -
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Subconjuntos flojos ndash
Los subconjuntos flojos (o partes flojas de un conjunto) fueron inventados paramodelizar la representacioacuten humana de los conocimientos ( p ej para medir wwwciencianetVerArticulo Subconjunto-difusoidArticulo=dsfjuu4jftelevgpcyw0285
Loacutegica simboacutelica ndash
loacutegica simboacutelica Definicioacuten Se denomina asiacute al empleo en computacioacuten deexpresiones loacutegicas con significado preestablecido de manera de evitar clubtelepoliscomohcopsymbolichtml
Loacutegica difusa ndash
En la loacutegica claacutesica una proposicioacuten soacutelo admite dos valores puede ser verdadera o falsa Por eso se dice que la loacutegica usual es binaria Pero existen otras loacutegicas que admiten ademaacutes un tercer valor posibleLa loacutegica difusa (o borrosa) es una de ellas que se caracteriza por querer cuantificar esta incertidumbre Si P es una proposicioacuten se le puede asociar un nuacutemero v(P) en el intervalo [0 1] tal que Salta a la vista la semejanza con la teoriacutea de las probabilidades eswikipediaorgwikiLC3B3gica_difusa
Teoriacutea de modelos ndash
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La teoriacutea de modelos como estudio de estructuras matemaacuteticas en general Pedro Hernaacuten Zambrano Universidad Nacional de Colombia ndash Universidad Sergio Arboleda wwwusergioarboledaeducocivilizarmatematicas
Teoriacutea de las categoriacuteas ndash
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
Demostracioacuten matemaacutetica ndash
Una sucecioacuten coherente de pasos que basados en un conjunto de premisas p1p2pn llamado Hipoacutetesis permite asegurar el cumplimiento de una tesisEstos pasos deben estar fundamentados teoacutericamente (ya sea por axiomas o por teoremas anteriormente demostrados)Mediante este proceso se demuestra un teorema o se desmienteExisten difernetes tipos de demostraciones que son utilizadas comunmente en matemaacuteticas Demostracioacuten por contraposicioacuten Demostracioacuten por reduccioacuten al absurdo hellipeswikipediaorgwikiDemostraciC3B3n_matemC3A1tica
Axiomaacutetica ndash
Conjunto de proposiciones deducidas loacutegicamente de algunos principios no demostrables y que seguacuten algunos puede fundar el anaacutelisis geograacutefico Varios tipos de aximaacutetica han sido propuestos
eswikipediaorgwikiAxiomaticaC3B3n
Induccioacuten ndash
Induccioacuten significaEn el aacutembito del meacutetodo cientiacutefico la induccioacuten es la accioacuten y efecto de extraer a partir de determinadas observaciones o experiencias particulares el principio general que en ellas estaacute impliacutecitoEn el aacutembito de las matemaacuteticas la induccioacuten matemaacutetica es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones o una proposicioacuten que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores usualmente en el conjunto de los enteros naturales eswikipediaorgwikiInducciC3B3n
C2 Investigacioacuten Operativa
Investigacioacuten operativa ndash
Investigacioacuten Operacional (Reino Unido) Ciencias de la Decisioacuten Ciencia deSistemas disciplinas Investigacioacuten Operacional Estadiacutestica y Sistemas de wwwbvumsanetedubocpcibdownload GI-720Investigacion20operacionalpdf
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de juegos ndash
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los
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investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
Programacioacuten entera ndash
La Programacioacuten Entera surge por considerar el mismo formato descrito para laprogramacioacuten lineal pero considerando que las variables del problema se wwwoptimosusachclPHhtm
Programacioacuten lineal ndash
La programacioacuten lineal es el estudio de modelos matemaacuteticos orbitastarmediacom~ariveralinealhtm -
Simulacioacuten ndash
Simulacioacuten es la experimentacioacuten con un modelo de una hipoacutetesis de trabajo La experimentacioacuten puede ser un trabajo de campo o de laboratorio El modelo de meacutetodo usado para la simulacioacuten seria teoacuterico conceptual o sisteacutemico eswikipediaorgwikiSimulaciC3B3n
Optimizacioacuten ndash
La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Meacutetodo del Siacutemplex
El meacutetodo del Simplex nos facilitaraacute la obtencioacuten de la solucioacuten oacuteptima mediante laelaboracioacuten de un criterio que nos permitiraacute saber si una solucioacuten wwwunizares3wapuntes04pdf
C3 Nuacutemeros
Nuacutemeros ndash
Un nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero Nuacutemero natural ndash
Nuacutemero entero ndash
Los nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una estructura algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmero_entero
Nuacutemero racional ndash
Se llama nuacutemero racional a todo aquel nuacutemero que puede ser expresado como resultado de la divisioacuten de dos nuacutemeros enteros con el divisor distinto de 0El conjunto de los racionales se nota ℚ por quotient o sea cociente en varios idiomas europeosEste conjunto de nuacutemeros es superconjunto de los nuacutemeros enteros de los nuacutemeros decimales y es un subconjunto de los nuacutemeros reales Los nuacutemeros racionales cumplen la propiedad arquimediana esto es para
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cualquier pareja de nuacutemeros eswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional
Nuacutemero irracional ndash
Tras separar los nuacutemeros componentes de la recta real en tres categoriacuteas(naturales enteros y racionales)puede parecer que se ha terminado con la clasificacioacuten de los nuacutemeros pero eso no es asiacute Quedanhuecos por rellenar en la recta Se trata de los nuacutemeros irracionales eswikipediaorgwikiNC3BAmero_irracional
Nuacutemero real ndash
Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmero_real
Nuacutemero complejo ndash
Los Nuacutemeros Complejos son una extensioacuten natural de los nuacutemeros reales la recta real puede ser vista como un subconjunto del plano de los nuacutemeros complejos Cada nuacutemero complejo seriacutea un punto en este plano Usando las definiciones que siguen se hacen posibles la suma la resta la multiplicacioacuten y la divisioacuten entre estos puntos eswikipediaorgwikiNC3BAmero_complejo
Cuaterniones ndash
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
Octoniones ndash
Los octoniones son la extensioacuten no asociativa de los cuaterniones Fueron descubiertos por John T Graves en 1843 e independientemente por Arthur Cayley quien lo publicoacute por primera vez en 1845 Son llamados a veces nuacutemeros de Cayley eswikipediaorgwikiOctoniones
Sedeniones ndash
Los sedeniones forman una aacutelgebra de dimensioacuten 16 sobre los nuacutemeros reales y se obtienen aplicando la Construccioacuten de Cayley-Dickson sobre los octoniones eswikipediaorgwikiSedeniones
Nuacutemeros hiperreales ndash
Los nuacutemeros hiperreales o reales no estaacutendar son una extensioacuten de los nuacutemeros reales R en doacutende se antildeaden nuacutemeros infinitamente grandes asiacute como nuacutemeros infinitesimales eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_hiperreales
Nuacutemeros infinitos ndash
El concepto del infinito aparece en varias ramas de las matemaacuteticas entre otras en la geometriacutea (punto al infinito de la geometriacutea proyectiva) en el anaacutelisis (liacutemites infinitos o liacutemites al infinito) y en los nuacutemeros (nuacutemeros ordinales y nuacutemeros cardinales) dentro de la teoriacutea de conjuntos eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_infinitos
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Diacutegito ndash
Un diacutegito (palabra proveniente del latiacuten con el significado de dedo) es cada una de las cifras que componen un nuacutemero en un sistema determinado Ej 157 en el sistema decimal se compone de los diacutegitos 1 5 y 7 eswikipediaorgwikiDC3ADgito
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Nuacutemero p-aacutedico
Dado un nuacutemero entero primo p se llama valor absoluto p-aacutedico de un enteropositivo n al inverso de p r donde es p personalesyacomcasanchimatpadicos01pdf
C4 Matemaacutetica del cambio
Caacutelculo ndash
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de ZenoacutenhellipeswikipediaorgwikiCC3A1lculo
Caacutelculo vectorial ndash
El caacutelculo vectorial es un campo de las matemaacuteticas referidas al anaacutelisis real multivariable de vectores en 2 o maacutes dimensiones Consiste en una serie de foacutermulas y teacutecnicas para solucionar problemas muy uacutetiles para la ingenieriacutea y la fiacutesica eswikipediaorgwikiCC3A1lculo_vectorial
Anaacutelisis ndash
Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm Ecuacioacuten diferencial ndash
Sistemas dinaacutemicos ndash
En ingenieriacutea y matemaacuteticas un sistema dinaacutemico es un proceso determinista en el cual el valor de una funcioacuten cambia de acuerdo a una regla definida en teacuterminos del valor actual de la funcioacuten eswikipediaorgwikiSistemas_dinC3A1micos
Teoria del caos --
La teoriacutea del caos es la denominacioacuten popular de la rama de las matemaacuteticas y la fiacutesica que trata ciertos tipos de comportamientos aleatorios (caoacuteticos) de los sistemas dinaacutemicos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_del_caos
Lista de funciones ndash
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Excell pone a nuestra disposicioacuten un gran cantidad de funciones que permiten realizar operaciones no soacutelo matemaacuteticas sino tambieacuten numeacutericas estadiacutesticas monetarias de fecha con caracteres etc Tambieacuten se pueden disentildear nuevas funciones incorporaacutendolas a las ya existenteswwwportal-uraldecomdicfhtm
Logaritmo
Logaritmo en matemaacuteticas es el exponente o potencia a la que un nuacutemero fijo llamado base se ha de elevar para dar un nuacutemero dadoSe llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de x rarr 1x que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1 eswikipediaorgwikiLogaritmo
C5 Anaacutelisis
Sucesiones ndash En matemaacuteticas las sucesiones de nuacutemeros son una herramienta muy importante Ayudaraacute a ir reconociendo distintos patrones y estructuras
Series ndash
Dentro de cada Clase de Contratos Serie son aquellas Opciones que tienen el mismo Precio de Ejercicio y la misma Fecha de Vencimiento y aquellos Futuros que tienen la misma Fecha de Vencimientowwwmeffcominstitutoglosariosglosarihtm
Anaacutelisis real ndash
El anaacutelisis real es la rama de las matemaacuteticas que tiene que ver con los nuacutemeros reales y las funciones de los nuacutemeros reales Se puede verlo como extensioacuten rigorosa del caacutelculo que estudia maacutes profundamente las sucesiones y sus liacutemites continuidad derivacioacuten integracioacuten y sucesiones de funciones eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_real
Anaacutelisis Complejo ndash
El anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
Anaacutelisis funcional ndash
El anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
Aacutelgebra de operadores
C6 Estructuras matemaacuteticas
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Aacutelgebra abstracta ndash
El aacutelgebra abstracta es el campo de las matemaacuteticas que estudia las estructuras algebraicas como la de grupo anillo y cuerpoEl teacutermino aacutelgebra abstracta es usado para distinguir este campo del aacutelgebra elemental o del aacutelgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular foacutermulas y expresiones algebraicas que conciernen a los nuacutemeros reales y nuacutemeros complejos eswikipediaorgwikiC381lgebra_abstracta Teoriacutea de nuacutemeros ndash
Aacutelgebra conmutativa ndash
In algebra astratta lalgebra commutativa egrave il settore che studia strutture algebriche commutative (o abeliane) come gli anelli commutativi i loro ideali e strutture piugrave ricche costruite sui suddetti anelli come i moduli e le algebre Attualmente costituisce la base algebrica della geometria algebrica e della teoria algebrica dei numeri itwikipediaorgwikiAlgebra_commutativa
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Teoriacutea de grupos ndash
La teoriacutea de grupos estudia las propiedades de los grupos y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificacioacuten de eacutestos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grupos
Monoides ndash
Un monoide es un magma (ie un par (M) donde M es un conjunto y una operacioacuten binaria) que cumple Es cerrada en M esto es el resultado de ab pertenece a M para cualesquiera a y b de M Existe una identidad esto es un elemento e tal que cumple ae=ea=a La operacioacuten es asociativa eswikipediaorgwikiMonoide
Anaacutelisis ndash
[analysis] f (General) Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm
Topologiacutea ndash
Quizaacute quieras entrar directamente a ver queacute es un Espacio topoloacutegico o ver el glosario de topologiacutea) eswikipediaorgwikiTopologC3ADa
rama sumamente desarrollada de la matemaacutetica pura estudia las propiedades de los objetos matemaacuteticos (pej las figuras geomeacutetricas) que no se alteran con transformaciones continuas del objetowwwastrocosmoclglosarioglosar-thtm
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Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de las categoriacuteas
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
C7 Espacios
Topologiacutea ndash
Diccionario elemental de algunos de algunos de los teacuterminos relacionados con la Topologiacutea Jacques Lacan httpwwwinsmesglosariogrglosarionsmkeep_ upperphp3url=httpwwwrussellcomarespacios_ tematicosDiccionariotopologiaDiccionario_topologiahtmavizoracomglosarios3htm
Geometriacutea ndash
conjunto de reglas que describen la estructura del espacio en una regioacuten dada La geometriacutea euclidiana claacutesica se aplica a las superficies planas o al espacio laquoplanoraquo las geometriacuteas no euclidianas se aplican a las superficies curvas o al espacio curvo y pueden incluir fenoacutemenos tan improbables como triaacutengulos cuyos veacutertices totalizan maacutes o menos de 180 gradoswwwastrocosmoclglosarioglosar-ghtm
Teoriacutea de haces ndash
En matemaacuteticas un haz F sobre un espacio topoloacutegico dado X proporciona para cada conjunto abierto U de X un conjunto F(U) de estructura maacutes rica A su vez dichas estructuras F(U) son compatibles con la operacioacuten de restriccioacuten desde un conjunto abierto hacia subconjuntos maacutes pequentildeos y con la operacioacuten de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor Un prehaz es similar a un haz pero con eacutel puede no ser posible la operacioacuten de pegado Los haces nos permiten diseswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_haces
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
La Topologiacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas en la que se usan las herramientas del Aacutelgebra abstracta para estudiar los espacios topoloacutegicos eswikipediaorgwikiTopologC3ADa_algebraica
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
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La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
26
tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
27
Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
28
Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
34
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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La geometriacutea analiacutetica es la rama de las matemaacuteticasque usa el aacutelgebra para describir y analizar figuras geomeacutetricasAsiacute por ejemplo la geometria analitica plana describe una elipse centrada en el origen de un sistema de coordendas cartesianas con la siguiente expresioacuten donde a y b son constantes que se identifican como los semiejes mayor y menor de la elipse eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_analC3ADtica
caacutelculo
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
caacutelculo de probabilidades
La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se deacute un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento entre 0 y 100)
El valor cero corresponde al suceso imposible lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el nuacutemero 7 es cero (al menos si es un dado certificado por la OMD Organizacioacuten Mundial de Dados)
El valor uno corresponde al suceso seguro lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier nuacutemero del 1 al 6 es igual a uno (100)
El resto de sucesos tendraacute probabilidades entre cero y uno que seraacute tanto mayor cuanto maacutes probable sea que dicho suceso tenga lugar
Sigue
Tabla de contenidos 1 Categoriacuteas
o 11 Fundamentos y Meacutetodos
o 12 Investigacioacuten Operativa
o 13 Nuacutemeros
o 14 Matemaacutetica del cambio
141 Anaacutelisis
o 15 Estructuras matemaacuteticas
151 Espacios
152 Matemaacutetica finita
o 16 Matemaacutetica aplicada
o 17 Teoremas y conjeturas famosas
o 18 Historia de las matemaacuteticas El mundo de los matemaacuteticos
o 19 Matemaacuteticas recreativas
2 Historia
5
3 Crisis histoacutericas de las matemaacuteticas
4 Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticos
5 Conceptos errados
6 Enlaces relacionados
7 Enlaces externos
CategoriacuteasSe dice que la matemaacutetica abarca tres aacutembitos
1 Aritmeacutetica
2 Geometriacutea incluyendo la Trigonometriacutea y las Secciones coacutenicas
3 Aacutenaacutelisis matemaacutetico en el cual se hace uso de letras y siacutembolos y que incluye el aacutelgebra la geometriacutea analiacutetica y el caacutelculo
(Algunos especialmente los probabilistas agregan a esta lista el caacutelculo de probabilidades)
Cada una de estas categoriacuteas se divide a su vez en pura o abstracta en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente sin relacioacuten a la materia y en aplicada la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales y por consecuencia se relaciona con consideraciones fiacutesicas
Las numerosas ramas de la matemaacutetica estaacuten muy interrelacionadas he aquiacute una lista de secciones que tendremos de considerar en su estudio
CategoriacuteasC1 Fundamentos y Meacutetodos C2 Investigacioacuten Operativa C3 NuacutemerosC4 Matemaacutetica del cambio C5 AnaacutelisisC6 Estructuras matemaacuteticas C7 Espacios C8 Matemaacutetica finita C9 Matemaacutetica aplicadaC10 Teoremas y conjeturas famosas C11 Historia de las matemaacuteticas C12 Matemaacuteticas recreativas
DEFINICIONES Para buscar definicionesPulsar CRTL + B
Pulsar C+nordm en ventana
Pulsar ldquoBuscar siguienterdquo
6
Pulsar ldquocerrarrdquo
C1 Fundamentos y MeacutetodosFilosofiacutea de las matemaacuteticas ndash
La filosofiacutea de las matemaacuteticas es una rama de la filosofiacutea que realiza reflexiones acerca de la naturaleza de los nuacutemeros y de las operaciones mentales implicadas en el caacutelculo Es una actividad muy antigua abordada por todo buen filoacutesofo pues las matemaacuteticas constituyen histoacutericamente la base del pensamiento eswikipediaorgwikiFilosofC3ADa_de_las_matemC3A1ticas
Intuicioacuten matemaacutetica ndash
Llegados a este punto se puede definir queacute es intuicioacuten matemaacutetica La intuicioacuten matemaacutetica no es un meacutetodo de demostracioacuten Es soacutelo una guiacutea heuriacutestica wwwciberdocenciagobpeindex phpid=1056ampa=articulo_completo - 35k -
Constructivismo matemaacutetico ndash
El Constructivismo matemaacutetico es muy coherente con la Pedagogiacutea Activa y se apoyaen la Psicologiacutea Geneacutetica se interesa por las condiciones en las cuales wwwmineducaciongovcolineamientos matematicasdesarrolloaspid=4 -
Fundamentos de las matemaacuteticas ndash
El gran fundamento de las matemaacuteticas es el principio de contradiccioacuten o identidadque es el teorema que una y la misma afirmacioacuten no puede ser i no ser verdadwwwschillerinstituteorgnewspanish InstitutoSchillerCienciaEnterrarMatematicashtml -
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Subconjuntos flojos ndash
Los subconjuntos flojos (o partes flojas de un conjunto) fueron inventados paramodelizar la representacioacuten humana de los conocimientos ( p ej para medir wwwciencianetVerArticulo Subconjunto-difusoidArticulo=dsfjuu4jftelevgpcyw0285
Loacutegica simboacutelica ndash
loacutegica simboacutelica Definicioacuten Se denomina asiacute al empleo en computacioacuten deexpresiones loacutegicas con significado preestablecido de manera de evitar clubtelepoliscomohcopsymbolichtml
Loacutegica difusa ndash
En la loacutegica claacutesica una proposicioacuten soacutelo admite dos valores puede ser verdadera o falsa Por eso se dice que la loacutegica usual es binaria Pero existen otras loacutegicas que admiten ademaacutes un tercer valor posibleLa loacutegica difusa (o borrosa) es una de ellas que se caracteriza por querer cuantificar esta incertidumbre Si P es una proposicioacuten se le puede asociar un nuacutemero v(P) en el intervalo [0 1] tal que Salta a la vista la semejanza con la teoriacutea de las probabilidades eswikipediaorgwikiLC3B3gica_difusa
Teoriacutea de modelos ndash
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La teoriacutea de modelos como estudio de estructuras matemaacuteticas en general Pedro Hernaacuten Zambrano Universidad Nacional de Colombia ndash Universidad Sergio Arboleda wwwusergioarboledaeducocivilizarmatematicas
Teoriacutea de las categoriacuteas ndash
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
Demostracioacuten matemaacutetica ndash
Una sucecioacuten coherente de pasos que basados en un conjunto de premisas p1p2pn llamado Hipoacutetesis permite asegurar el cumplimiento de una tesisEstos pasos deben estar fundamentados teoacutericamente (ya sea por axiomas o por teoremas anteriormente demostrados)Mediante este proceso se demuestra un teorema o se desmienteExisten difernetes tipos de demostraciones que son utilizadas comunmente en matemaacuteticas Demostracioacuten por contraposicioacuten Demostracioacuten por reduccioacuten al absurdo hellipeswikipediaorgwikiDemostraciC3B3n_matemC3A1tica
Axiomaacutetica ndash
Conjunto de proposiciones deducidas loacutegicamente de algunos principios no demostrables y que seguacuten algunos puede fundar el anaacutelisis geograacutefico Varios tipos de aximaacutetica han sido propuestos
eswikipediaorgwikiAxiomaticaC3B3n
Induccioacuten ndash
Induccioacuten significaEn el aacutembito del meacutetodo cientiacutefico la induccioacuten es la accioacuten y efecto de extraer a partir de determinadas observaciones o experiencias particulares el principio general que en ellas estaacute impliacutecitoEn el aacutembito de las matemaacuteticas la induccioacuten matemaacutetica es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones o una proposicioacuten que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores usualmente en el conjunto de los enteros naturales eswikipediaorgwikiInducciC3B3n
C2 Investigacioacuten Operativa
Investigacioacuten operativa ndash
Investigacioacuten Operacional (Reino Unido) Ciencias de la Decisioacuten Ciencia deSistemas disciplinas Investigacioacuten Operacional Estadiacutestica y Sistemas de wwwbvumsanetedubocpcibdownload GI-720Investigacion20operacionalpdf
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de juegos ndash
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los
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investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
Programacioacuten entera ndash
La Programacioacuten Entera surge por considerar el mismo formato descrito para laprogramacioacuten lineal pero considerando que las variables del problema se wwwoptimosusachclPHhtm
Programacioacuten lineal ndash
La programacioacuten lineal es el estudio de modelos matemaacuteticos orbitastarmediacom~ariveralinealhtm -
Simulacioacuten ndash
Simulacioacuten es la experimentacioacuten con un modelo de una hipoacutetesis de trabajo La experimentacioacuten puede ser un trabajo de campo o de laboratorio El modelo de meacutetodo usado para la simulacioacuten seria teoacuterico conceptual o sisteacutemico eswikipediaorgwikiSimulaciC3B3n
Optimizacioacuten ndash
La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Meacutetodo del Siacutemplex
El meacutetodo del Simplex nos facilitaraacute la obtencioacuten de la solucioacuten oacuteptima mediante laelaboracioacuten de un criterio que nos permitiraacute saber si una solucioacuten wwwunizares3wapuntes04pdf
C3 Nuacutemeros
Nuacutemeros ndash
Un nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero Nuacutemero natural ndash
Nuacutemero entero ndash
Los nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una estructura algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmero_entero
Nuacutemero racional ndash
Se llama nuacutemero racional a todo aquel nuacutemero que puede ser expresado como resultado de la divisioacuten de dos nuacutemeros enteros con el divisor distinto de 0El conjunto de los racionales se nota ℚ por quotient o sea cociente en varios idiomas europeosEste conjunto de nuacutemeros es superconjunto de los nuacutemeros enteros de los nuacutemeros decimales y es un subconjunto de los nuacutemeros reales Los nuacutemeros racionales cumplen la propiedad arquimediana esto es para
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cualquier pareja de nuacutemeros eswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional
Nuacutemero irracional ndash
Tras separar los nuacutemeros componentes de la recta real en tres categoriacuteas(naturales enteros y racionales)puede parecer que se ha terminado con la clasificacioacuten de los nuacutemeros pero eso no es asiacute Quedanhuecos por rellenar en la recta Se trata de los nuacutemeros irracionales eswikipediaorgwikiNC3BAmero_irracional
Nuacutemero real ndash
Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmero_real
Nuacutemero complejo ndash
Los Nuacutemeros Complejos son una extensioacuten natural de los nuacutemeros reales la recta real puede ser vista como un subconjunto del plano de los nuacutemeros complejos Cada nuacutemero complejo seriacutea un punto en este plano Usando las definiciones que siguen se hacen posibles la suma la resta la multiplicacioacuten y la divisioacuten entre estos puntos eswikipediaorgwikiNC3BAmero_complejo
Cuaterniones ndash
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
Octoniones ndash
Los octoniones son la extensioacuten no asociativa de los cuaterniones Fueron descubiertos por John T Graves en 1843 e independientemente por Arthur Cayley quien lo publicoacute por primera vez en 1845 Son llamados a veces nuacutemeros de Cayley eswikipediaorgwikiOctoniones
Sedeniones ndash
Los sedeniones forman una aacutelgebra de dimensioacuten 16 sobre los nuacutemeros reales y se obtienen aplicando la Construccioacuten de Cayley-Dickson sobre los octoniones eswikipediaorgwikiSedeniones
Nuacutemeros hiperreales ndash
Los nuacutemeros hiperreales o reales no estaacutendar son una extensioacuten de los nuacutemeros reales R en doacutende se antildeaden nuacutemeros infinitamente grandes asiacute como nuacutemeros infinitesimales eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_hiperreales
Nuacutemeros infinitos ndash
El concepto del infinito aparece en varias ramas de las matemaacuteticas entre otras en la geometriacutea (punto al infinito de la geometriacutea proyectiva) en el anaacutelisis (liacutemites infinitos o liacutemites al infinito) y en los nuacutemeros (nuacutemeros ordinales y nuacutemeros cardinales) dentro de la teoriacutea de conjuntos eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_infinitos
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Diacutegito ndash
Un diacutegito (palabra proveniente del latiacuten con el significado de dedo) es cada una de las cifras que componen un nuacutemero en un sistema determinado Ej 157 en el sistema decimal se compone de los diacutegitos 1 5 y 7 eswikipediaorgwikiDC3ADgito
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Nuacutemero p-aacutedico
Dado un nuacutemero entero primo p se llama valor absoluto p-aacutedico de un enteropositivo n al inverso de p r donde es p personalesyacomcasanchimatpadicos01pdf
C4 Matemaacutetica del cambio
Caacutelculo ndash
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de ZenoacutenhellipeswikipediaorgwikiCC3A1lculo
Caacutelculo vectorial ndash
El caacutelculo vectorial es un campo de las matemaacuteticas referidas al anaacutelisis real multivariable de vectores en 2 o maacutes dimensiones Consiste en una serie de foacutermulas y teacutecnicas para solucionar problemas muy uacutetiles para la ingenieriacutea y la fiacutesica eswikipediaorgwikiCC3A1lculo_vectorial
Anaacutelisis ndash
Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm Ecuacioacuten diferencial ndash
Sistemas dinaacutemicos ndash
En ingenieriacutea y matemaacuteticas un sistema dinaacutemico es un proceso determinista en el cual el valor de una funcioacuten cambia de acuerdo a una regla definida en teacuterminos del valor actual de la funcioacuten eswikipediaorgwikiSistemas_dinC3A1micos
Teoria del caos --
La teoriacutea del caos es la denominacioacuten popular de la rama de las matemaacuteticas y la fiacutesica que trata ciertos tipos de comportamientos aleatorios (caoacuteticos) de los sistemas dinaacutemicos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_del_caos
Lista de funciones ndash
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Excell pone a nuestra disposicioacuten un gran cantidad de funciones que permiten realizar operaciones no soacutelo matemaacuteticas sino tambieacuten numeacutericas estadiacutesticas monetarias de fecha con caracteres etc Tambieacuten se pueden disentildear nuevas funciones incorporaacutendolas a las ya existenteswwwportal-uraldecomdicfhtm
Logaritmo
Logaritmo en matemaacuteticas es el exponente o potencia a la que un nuacutemero fijo llamado base se ha de elevar para dar un nuacutemero dadoSe llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de x rarr 1x que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1 eswikipediaorgwikiLogaritmo
C5 Anaacutelisis
Sucesiones ndash En matemaacuteticas las sucesiones de nuacutemeros son una herramienta muy importante Ayudaraacute a ir reconociendo distintos patrones y estructuras
Series ndash
Dentro de cada Clase de Contratos Serie son aquellas Opciones que tienen el mismo Precio de Ejercicio y la misma Fecha de Vencimiento y aquellos Futuros que tienen la misma Fecha de Vencimientowwwmeffcominstitutoglosariosglosarihtm
Anaacutelisis real ndash
El anaacutelisis real es la rama de las matemaacuteticas que tiene que ver con los nuacutemeros reales y las funciones de los nuacutemeros reales Se puede verlo como extensioacuten rigorosa del caacutelculo que estudia maacutes profundamente las sucesiones y sus liacutemites continuidad derivacioacuten integracioacuten y sucesiones de funciones eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_real
Anaacutelisis Complejo ndash
El anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
Anaacutelisis funcional ndash
El anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
Aacutelgebra de operadores
C6 Estructuras matemaacuteticas
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Aacutelgebra abstracta ndash
El aacutelgebra abstracta es el campo de las matemaacuteticas que estudia las estructuras algebraicas como la de grupo anillo y cuerpoEl teacutermino aacutelgebra abstracta es usado para distinguir este campo del aacutelgebra elemental o del aacutelgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular foacutermulas y expresiones algebraicas que conciernen a los nuacutemeros reales y nuacutemeros complejos eswikipediaorgwikiC381lgebra_abstracta Teoriacutea de nuacutemeros ndash
Aacutelgebra conmutativa ndash
In algebra astratta lalgebra commutativa egrave il settore che studia strutture algebriche commutative (o abeliane) come gli anelli commutativi i loro ideali e strutture piugrave ricche costruite sui suddetti anelli come i moduli e le algebre Attualmente costituisce la base algebrica della geometria algebrica e della teoria algebrica dei numeri itwikipediaorgwikiAlgebra_commutativa
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Teoriacutea de grupos ndash
La teoriacutea de grupos estudia las propiedades de los grupos y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificacioacuten de eacutestos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grupos
Monoides ndash
Un monoide es un magma (ie un par (M) donde M es un conjunto y una operacioacuten binaria) que cumple Es cerrada en M esto es el resultado de ab pertenece a M para cualesquiera a y b de M Existe una identidad esto es un elemento e tal que cumple ae=ea=a La operacioacuten es asociativa eswikipediaorgwikiMonoide
Anaacutelisis ndash
[analysis] f (General) Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm
Topologiacutea ndash
Quizaacute quieras entrar directamente a ver queacute es un Espacio topoloacutegico o ver el glosario de topologiacutea) eswikipediaorgwikiTopologC3ADa
rama sumamente desarrollada de la matemaacutetica pura estudia las propiedades de los objetos matemaacuteticos (pej las figuras geomeacutetricas) que no se alteran con transformaciones continuas del objetowwwastrocosmoclglosarioglosar-thtm
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Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de las categoriacuteas
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
C7 Espacios
Topologiacutea ndash
Diccionario elemental de algunos de algunos de los teacuterminos relacionados con la Topologiacutea Jacques Lacan httpwwwinsmesglosariogrglosarionsmkeep_ upperphp3url=httpwwwrussellcomarespacios_ tematicosDiccionariotopologiaDiccionario_topologiahtmavizoracomglosarios3htm
Geometriacutea ndash
conjunto de reglas que describen la estructura del espacio en una regioacuten dada La geometriacutea euclidiana claacutesica se aplica a las superficies planas o al espacio laquoplanoraquo las geometriacuteas no euclidianas se aplican a las superficies curvas o al espacio curvo y pueden incluir fenoacutemenos tan improbables como triaacutengulos cuyos veacutertices totalizan maacutes o menos de 180 gradoswwwastrocosmoclglosarioglosar-ghtm
Teoriacutea de haces ndash
En matemaacuteticas un haz F sobre un espacio topoloacutegico dado X proporciona para cada conjunto abierto U de X un conjunto F(U) de estructura maacutes rica A su vez dichas estructuras F(U) son compatibles con la operacioacuten de restriccioacuten desde un conjunto abierto hacia subconjuntos maacutes pequentildeos y con la operacioacuten de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor Un prehaz es similar a un haz pero con eacutel puede no ser posible la operacioacuten de pegado Los haces nos permiten diseswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_haces
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
La Topologiacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas en la que se usan las herramientas del Aacutelgebra abstracta para estudiar los espacios topoloacutegicos eswikipediaorgwikiTopologC3ADa_algebraica
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
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La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
34
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
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Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
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Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
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- Tabla de contenidos
- Categoriacuteas
- Categoriacuteas
-
- C1 Fundamentos y Meacutetodos
- C2 Investigacioacuten Operativa
- C3 Nuacutemeros
-
- C4 Matemaacutetica del cambio
- C5 Anaacutelisis
-
- C6 Estructuras matemaacuteticas
- C7 Espacios
- C8 Matemaacutetica finita
- C9 Matemaacutetica aplicada
-
- C10 Teoremas y conjeturas famosas
- C11 Historia de las matemaacuteticas
- C12 Matemaacuteticas recreativas
- DEFINICIONES Para buscar definiciones
- Pulsar CRTL + B
- Pulsar C+nordm en ventana
- Pulsar ldquoBuscar siguienterdquo
- Pulsar ldquocerrarrdquo
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- Crisis histoacutericas de las matemaacuteticas
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- Implementacioacuten
- Ejemplo
- Historia
- Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
- Temas relacionados
- Disciplinas relacionadas
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3 Crisis histoacutericas de las matemaacuteticas
4 Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticos
5 Conceptos errados
6 Enlaces relacionados
7 Enlaces externos
CategoriacuteasSe dice que la matemaacutetica abarca tres aacutembitos
1 Aritmeacutetica
2 Geometriacutea incluyendo la Trigonometriacutea y las Secciones coacutenicas
3 Aacutenaacutelisis matemaacutetico en el cual se hace uso de letras y siacutembolos y que incluye el aacutelgebra la geometriacutea analiacutetica y el caacutelculo
(Algunos especialmente los probabilistas agregan a esta lista el caacutelculo de probabilidades)
Cada una de estas categoriacuteas se divide a su vez en pura o abstracta en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente sin relacioacuten a la materia y en aplicada la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales y por consecuencia se relaciona con consideraciones fiacutesicas
Las numerosas ramas de la matemaacutetica estaacuten muy interrelacionadas he aquiacute una lista de secciones que tendremos de considerar en su estudio
CategoriacuteasC1 Fundamentos y Meacutetodos C2 Investigacioacuten Operativa C3 NuacutemerosC4 Matemaacutetica del cambio C5 AnaacutelisisC6 Estructuras matemaacuteticas C7 Espacios C8 Matemaacutetica finita C9 Matemaacutetica aplicadaC10 Teoremas y conjeturas famosas C11 Historia de las matemaacuteticas C12 Matemaacuteticas recreativas
DEFINICIONES Para buscar definicionesPulsar CRTL + B
Pulsar C+nordm en ventana
Pulsar ldquoBuscar siguienterdquo
6
Pulsar ldquocerrarrdquo
C1 Fundamentos y MeacutetodosFilosofiacutea de las matemaacuteticas ndash
La filosofiacutea de las matemaacuteticas es una rama de la filosofiacutea que realiza reflexiones acerca de la naturaleza de los nuacutemeros y de las operaciones mentales implicadas en el caacutelculo Es una actividad muy antigua abordada por todo buen filoacutesofo pues las matemaacuteticas constituyen histoacutericamente la base del pensamiento eswikipediaorgwikiFilosofC3ADa_de_las_matemC3A1ticas
Intuicioacuten matemaacutetica ndash
Llegados a este punto se puede definir queacute es intuicioacuten matemaacutetica La intuicioacuten matemaacutetica no es un meacutetodo de demostracioacuten Es soacutelo una guiacutea heuriacutestica wwwciberdocenciagobpeindex phpid=1056ampa=articulo_completo - 35k -
Constructivismo matemaacutetico ndash
El Constructivismo matemaacutetico es muy coherente con la Pedagogiacutea Activa y se apoyaen la Psicologiacutea Geneacutetica se interesa por las condiciones en las cuales wwwmineducaciongovcolineamientos matematicasdesarrolloaspid=4 -
Fundamentos de las matemaacuteticas ndash
El gran fundamento de las matemaacuteticas es el principio de contradiccioacuten o identidadque es el teorema que una y la misma afirmacioacuten no puede ser i no ser verdadwwwschillerinstituteorgnewspanish InstitutoSchillerCienciaEnterrarMatematicashtml -
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Subconjuntos flojos ndash
Los subconjuntos flojos (o partes flojas de un conjunto) fueron inventados paramodelizar la representacioacuten humana de los conocimientos ( p ej para medir wwwciencianetVerArticulo Subconjunto-difusoidArticulo=dsfjuu4jftelevgpcyw0285
Loacutegica simboacutelica ndash
loacutegica simboacutelica Definicioacuten Se denomina asiacute al empleo en computacioacuten deexpresiones loacutegicas con significado preestablecido de manera de evitar clubtelepoliscomohcopsymbolichtml
Loacutegica difusa ndash
En la loacutegica claacutesica una proposicioacuten soacutelo admite dos valores puede ser verdadera o falsa Por eso se dice que la loacutegica usual es binaria Pero existen otras loacutegicas que admiten ademaacutes un tercer valor posibleLa loacutegica difusa (o borrosa) es una de ellas que se caracteriza por querer cuantificar esta incertidumbre Si P es una proposicioacuten se le puede asociar un nuacutemero v(P) en el intervalo [0 1] tal que Salta a la vista la semejanza con la teoriacutea de las probabilidades eswikipediaorgwikiLC3B3gica_difusa
Teoriacutea de modelos ndash
7
La teoriacutea de modelos como estudio de estructuras matemaacuteticas en general Pedro Hernaacuten Zambrano Universidad Nacional de Colombia ndash Universidad Sergio Arboleda wwwusergioarboledaeducocivilizarmatematicas
Teoriacutea de las categoriacuteas ndash
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
Demostracioacuten matemaacutetica ndash
Una sucecioacuten coherente de pasos que basados en un conjunto de premisas p1p2pn llamado Hipoacutetesis permite asegurar el cumplimiento de una tesisEstos pasos deben estar fundamentados teoacutericamente (ya sea por axiomas o por teoremas anteriormente demostrados)Mediante este proceso se demuestra un teorema o se desmienteExisten difernetes tipos de demostraciones que son utilizadas comunmente en matemaacuteticas Demostracioacuten por contraposicioacuten Demostracioacuten por reduccioacuten al absurdo hellipeswikipediaorgwikiDemostraciC3B3n_matemC3A1tica
Axiomaacutetica ndash
Conjunto de proposiciones deducidas loacutegicamente de algunos principios no demostrables y que seguacuten algunos puede fundar el anaacutelisis geograacutefico Varios tipos de aximaacutetica han sido propuestos
eswikipediaorgwikiAxiomaticaC3B3n
Induccioacuten ndash
Induccioacuten significaEn el aacutembito del meacutetodo cientiacutefico la induccioacuten es la accioacuten y efecto de extraer a partir de determinadas observaciones o experiencias particulares el principio general que en ellas estaacute impliacutecitoEn el aacutembito de las matemaacuteticas la induccioacuten matemaacutetica es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones o una proposicioacuten que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores usualmente en el conjunto de los enteros naturales eswikipediaorgwikiInducciC3B3n
C2 Investigacioacuten Operativa
Investigacioacuten operativa ndash
Investigacioacuten Operacional (Reino Unido) Ciencias de la Decisioacuten Ciencia deSistemas disciplinas Investigacioacuten Operacional Estadiacutestica y Sistemas de wwwbvumsanetedubocpcibdownload GI-720Investigacion20operacionalpdf
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de juegos ndash
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los
8
investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
Programacioacuten entera ndash
La Programacioacuten Entera surge por considerar el mismo formato descrito para laprogramacioacuten lineal pero considerando que las variables del problema se wwwoptimosusachclPHhtm
Programacioacuten lineal ndash
La programacioacuten lineal es el estudio de modelos matemaacuteticos orbitastarmediacom~ariveralinealhtm -
Simulacioacuten ndash
Simulacioacuten es la experimentacioacuten con un modelo de una hipoacutetesis de trabajo La experimentacioacuten puede ser un trabajo de campo o de laboratorio El modelo de meacutetodo usado para la simulacioacuten seria teoacuterico conceptual o sisteacutemico eswikipediaorgwikiSimulaciC3B3n
Optimizacioacuten ndash
La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Meacutetodo del Siacutemplex
El meacutetodo del Simplex nos facilitaraacute la obtencioacuten de la solucioacuten oacuteptima mediante laelaboracioacuten de un criterio que nos permitiraacute saber si una solucioacuten wwwunizares3wapuntes04pdf
C3 Nuacutemeros
Nuacutemeros ndash
Un nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero Nuacutemero natural ndash
Nuacutemero entero ndash
Los nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una estructura algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmero_entero
Nuacutemero racional ndash
Se llama nuacutemero racional a todo aquel nuacutemero que puede ser expresado como resultado de la divisioacuten de dos nuacutemeros enteros con el divisor distinto de 0El conjunto de los racionales se nota ℚ por quotient o sea cociente en varios idiomas europeosEste conjunto de nuacutemeros es superconjunto de los nuacutemeros enteros de los nuacutemeros decimales y es un subconjunto de los nuacutemeros reales Los nuacutemeros racionales cumplen la propiedad arquimediana esto es para
9
cualquier pareja de nuacutemeros eswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional
Nuacutemero irracional ndash
Tras separar los nuacutemeros componentes de la recta real en tres categoriacuteas(naturales enteros y racionales)puede parecer que se ha terminado con la clasificacioacuten de los nuacutemeros pero eso no es asiacute Quedanhuecos por rellenar en la recta Se trata de los nuacutemeros irracionales eswikipediaorgwikiNC3BAmero_irracional
Nuacutemero real ndash
Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmero_real
Nuacutemero complejo ndash
Los Nuacutemeros Complejos son una extensioacuten natural de los nuacutemeros reales la recta real puede ser vista como un subconjunto del plano de los nuacutemeros complejos Cada nuacutemero complejo seriacutea un punto en este plano Usando las definiciones que siguen se hacen posibles la suma la resta la multiplicacioacuten y la divisioacuten entre estos puntos eswikipediaorgwikiNC3BAmero_complejo
Cuaterniones ndash
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
Octoniones ndash
Los octoniones son la extensioacuten no asociativa de los cuaterniones Fueron descubiertos por John T Graves en 1843 e independientemente por Arthur Cayley quien lo publicoacute por primera vez en 1845 Son llamados a veces nuacutemeros de Cayley eswikipediaorgwikiOctoniones
Sedeniones ndash
Los sedeniones forman una aacutelgebra de dimensioacuten 16 sobre los nuacutemeros reales y se obtienen aplicando la Construccioacuten de Cayley-Dickson sobre los octoniones eswikipediaorgwikiSedeniones
Nuacutemeros hiperreales ndash
Los nuacutemeros hiperreales o reales no estaacutendar son una extensioacuten de los nuacutemeros reales R en doacutende se antildeaden nuacutemeros infinitamente grandes asiacute como nuacutemeros infinitesimales eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_hiperreales
Nuacutemeros infinitos ndash
El concepto del infinito aparece en varias ramas de las matemaacuteticas entre otras en la geometriacutea (punto al infinito de la geometriacutea proyectiva) en el anaacutelisis (liacutemites infinitos o liacutemites al infinito) y en los nuacutemeros (nuacutemeros ordinales y nuacutemeros cardinales) dentro de la teoriacutea de conjuntos eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_infinitos
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Diacutegito ndash
Un diacutegito (palabra proveniente del latiacuten con el significado de dedo) es cada una de las cifras que componen un nuacutemero en un sistema determinado Ej 157 en el sistema decimal se compone de los diacutegitos 1 5 y 7 eswikipediaorgwikiDC3ADgito
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Nuacutemero p-aacutedico
Dado un nuacutemero entero primo p se llama valor absoluto p-aacutedico de un enteropositivo n al inverso de p r donde es p personalesyacomcasanchimatpadicos01pdf
C4 Matemaacutetica del cambio
Caacutelculo ndash
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de ZenoacutenhellipeswikipediaorgwikiCC3A1lculo
Caacutelculo vectorial ndash
El caacutelculo vectorial es un campo de las matemaacuteticas referidas al anaacutelisis real multivariable de vectores en 2 o maacutes dimensiones Consiste en una serie de foacutermulas y teacutecnicas para solucionar problemas muy uacutetiles para la ingenieriacutea y la fiacutesica eswikipediaorgwikiCC3A1lculo_vectorial
Anaacutelisis ndash
Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm Ecuacioacuten diferencial ndash
Sistemas dinaacutemicos ndash
En ingenieriacutea y matemaacuteticas un sistema dinaacutemico es un proceso determinista en el cual el valor de una funcioacuten cambia de acuerdo a una regla definida en teacuterminos del valor actual de la funcioacuten eswikipediaorgwikiSistemas_dinC3A1micos
Teoria del caos --
La teoriacutea del caos es la denominacioacuten popular de la rama de las matemaacuteticas y la fiacutesica que trata ciertos tipos de comportamientos aleatorios (caoacuteticos) de los sistemas dinaacutemicos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_del_caos
Lista de funciones ndash
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Excell pone a nuestra disposicioacuten un gran cantidad de funciones que permiten realizar operaciones no soacutelo matemaacuteticas sino tambieacuten numeacutericas estadiacutesticas monetarias de fecha con caracteres etc Tambieacuten se pueden disentildear nuevas funciones incorporaacutendolas a las ya existenteswwwportal-uraldecomdicfhtm
Logaritmo
Logaritmo en matemaacuteticas es el exponente o potencia a la que un nuacutemero fijo llamado base se ha de elevar para dar un nuacutemero dadoSe llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de x rarr 1x que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1 eswikipediaorgwikiLogaritmo
C5 Anaacutelisis
Sucesiones ndash En matemaacuteticas las sucesiones de nuacutemeros son una herramienta muy importante Ayudaraacute a ir reconociendo distintos patrones y estructuras
Series ndash
Dentro de cada Clase de Contratos Serie son aquellas Opciones que tienen el mismo Precio de Ejercicio y la misma Fecha de Vencimiento y aquellos Futuros que tienen la misma Fecha de Vencimientowwwmeffcominstitutoglosariosglosarihtm
Anaacutelisis real ndash
El anaacutelisis real es la rama de las matemaacuteticas que tiene que ver con los nuacutemeros reales y las funciones de los nuacutemeros reales Se puede verlo como extensioacuten rigorosa del caacutelculo que estudia maacutes profundamente las sucesiones y sus liacutemites continuidad derivacioacuten integracioacuten y sucesiones de funciones eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_real
Anaacutelisis Complejo ndash
El anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
Anaacutelisis funcional ndash
El anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
Aacutelgebra de operadores
C6 Estructuras matemaacuteticas
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Aacutelgebra abstracta ndash
El aacutelgebra abstracta es el campo de las matemaacuteticas que estudia las estructuras algebraicas como la de grupo anillo y cuerpoEl teacutermino aacutelgebra abstracta es usado para distinguir este campo del aacutelgebra elemental o del aacutelgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular foacutermulas y expresiones algebraicas que conciernen a los nuacutemeros reales y nuacutemeros complejos eswikipediaorgwikiC381lgebra_abstracta Teoriacutea de nuacutemeros ndash
Aacutelgebra conmutativa ndash
In algebra astratta lalgebra commutativa egrave il settore che studia strutture algebriche commutative (o abeliane) come gli anelli commutativi i loro ideali e strutture piugrave ricche costruite sui suddetti anelli come i moduli e le algebre Attualmente costituisce la base algebrica della geometria algebrica e della teoria algebrica dei numeri itwikipediaorgwikiAlgebra_commutativa
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Teoriacutea de grupos ndash
La teoriacutea de grupos estudia las propiedades de los grupos y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificacioacuten de eacutestos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grupos
Monoides ndash
Un monoide es un magma (ie un par (M) donde M es un conjunto y una operacioacuten binaria) que cumple Es cerrada en M esto es el resultado de ab pertenece a M para cualesquiera a y b de M Existe una identidad esto es un elemento e tal que cumple ae=ea=a La operacioacuten es asociativa eswikipediaorgwikiMonoide
Anaacutelisis ndash
[analysis] f (General) Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm
Topologiacutea ndash
Quizaacute quieras entrar directamente a ver queacute es un Espacio topoloacutegico o ver el glosario de topologiacutea) eswikipediaorgwikiTopologC3ADa
rama sumamente desarrollada de la matemaacutetica pura estudia las propiedades de los objetos matemaacuteticos (pej las figuras geomeacutetricas) que no se alteran con transformaciones continuas del objetowwwastrocosmoclglosarioglosar-thtm
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Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de las categoriacuteas
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
C7 Espacios
Topologiacutea ndash
Diccionario elemental de algunos de algunos de los teacuterminos relacionados con la Topologiacutea Jacques Lacan httpwwwinsmesglosariogrglosarionsmkeep_ upperphp3url=httpwwwrussellcomarespacios_ tematicosDiccionariotopologiaDiccionario_topologiahtmavizoracomglosarios3htm
Geometriacutea ndash
conjunto de reglas que describen la estructura del espacio en una regioacuten dada La geometriacutea euclidiana claacutesica se aplica a las superficies planas o al espacio laquoplanoraquo las geometriacuteas no euclidianas se aplican a las superficies curvas o al espacio curvo y pueden incluir fenoacutemenos tan improbables como triaacutengulos cuyos veacutertices totalizan maacutes o menos de 180 gradoswwwastrocosmoclglosarioglosar-ghtm
Teoriacutea de haces ndash
En matemaacuteticas un haz F sobre un espacio topoloacutegico dado X proporciona para cada conjunto abierto U de X un conjunto F(U) de estructura maacutes rica A su vez dichas estructuras F(U) son compatibles con la operacioacuten de restriccioacuten desde un conjunto abierto hacia subconjuntos maacutes pequentildeos y con la operacioacuten de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor Un prehaz es similar a un haz pero con eacutel puede no ser posible la operacioacuten de pegado Los haces nos permiten diseswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_haces
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
La Topologiacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas en la que se usan las herramientas del Aacutelgebra abstracta para estudiar los espacios topoloacutegicos eswikipediaorgwikiTopologC3ADa_algebraica
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
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La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
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Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
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El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
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La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
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Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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- Disciplinas relacionadas
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Pulsar ldquocerrarrdquo
C1 Fundamentos y MeacutetodosFilosofiacutea de las matemaacuteticas ndash
La filosofiacutea de las matemaacuteticas es una rama de la filosofiacutea que realiza reflexiones acerca de la naturaleza de los nuacutemeros y de las operaciones mentales implicadas en el caacutelculo Es una actividad muy antigua abordada por todo buen filoacutesofo pues las matemaacuteticas constituyen histoacutericamente la base del pensamiento eswikipediaorgwikiFilosofC3ADa_de_las_matemC3A1ticas
Intuicioacuten matemaacutetica ndash
Llegados a este punto se puede definir queacute es intuicioacuten matemaacutetica La intuicioacuten matemaacutetica no es un meacutetodo de demostracioacuten Es soacutelo una guiacutea heuriacutestica wwwciberdocenciagobpeindex phpid=1056ampa=articulo_completo - 35k -
Constructivismo matemaacutetico ndash
El Constructivismo matemaacutetico es muy coherente con la Pedagogiacutea Activa y se apoyaen la Psicologiacutea Geneacutetica se interesa por las condiciones en las cuales wwwmineducaciongovcolineamientos matematicasdesarrolloaspid=4 -
Fundamentos de las matemaacuteticas ndash
El gran fundamento de las matemaacuteticas es el principio de contradiccioacuten o identidadque es el teorema que una y la misma afirmacioacuten no puede ser i no ser verdadwwwschillerinstituteorgnewspanish InstitutoSchillerCienciaEnterrarMatematicashtml -
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Subconjuntos flojos ndash
Los subconjuntos flojos (o partes flojas de un conjunto) fueron inventados paramodelizar la representacioacuten humana de los conocimientos ( p ej para medir wwwciencianetVerArticulo Subconjunto-difusoidArticulo=dsfjuu4jftelevgpcyw0285
Loacutegica simboacutelica ndash
loacutegica simboacutelica Definicioacuten Se denomina asiacute al empleo en computacioacuten deexpresiones loacutegicas con significado preestablecido de manera de evitar clubtelepoliscomohcopsymbolichtml
Loacutegica difusa ndash
En la loacutegica claacutesica una proposicioacuten soacutelo admite dos valores puede ser verdadera o falsa Por eso se dice que la loacutegica usual es binaria Pero existen otras loacutegicas que admiten ademaacutes un tercer valor posibleLa loacutegica difusa (o borrosa) es una de ellas que se caracteriza por querer cuantificar esta incertidumbre Si P es una proposicioacuten se le puede asociar un nuacutemero v(P) en el intervalo [0 1] tal que Salta a la vista la semejanza con la teoriacutea de las probabilidades eswikipediaorgwikiLC3B3gica_difusa
Teoriacutea de modelos ndash
7
La teoriacutea de modelos como estudio de estructuras matemaacuteticas en general Pedro Hernaacuten Zambrano Universidad Nacional de Colombia ndash Universidad Sergio Arboleda wwwusergioarboledaeducocivilizarmatematicas
Teoriacutea de las categoriacuteas ndash
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
Demostracioacuten matemaacutetica ndash
Una sucecioacuten coherente de pasos que basados en un conjunto de premisas p1p2pn llamado Hipoacutetesis permite asegurar el cumplimiento de una tesisEstos pasos deben estar fundamentados teoacutericamente (ya sea por axiomas o por teoremas anteriormente demostrados)Mediante este proceso se demuestra un teorema o se desmienteExisten difernetes tipos de demostraciones que son utilizadas comunmente en matemaacuteticas Demostracioacuten por contraposicioacuten Demostracioacuten por reduccioacuten al absurdo hellipeswikipediaorgwikiDemostraciC3B3n_matemC3A1tica
Axiomaacutetica ndash
Conjunto de proposiciones deducidas loacutegicamente de algunos principios no demostrables y que seguacuten algunos puede fundar el anaacutelisis geograacutefico Varios tipos de aximaacutetica han sido propuestos
eswikipediaorgwikiAxiomaticaC3B3n
Induccioacuten ndash
Induccioacuten significaEn el aacutembito del meacutetodo cientiacutefico la induccioacuten es la accioacuten y efecto de extraer a partir de determinadas observaciones o experiencias particulares el principio general que en ellas estaacute impliacutecitoEn el aacutembito de las matemaacuteticas la induccioacuten matemaacutetica es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones o una proposicioacuten que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores usualmente en el conjunto de los enteros naturales eswikipediaorgwikiInducciC3B3n
C2 Investigacioacuten Operativa
Investigacioacuten operativa ndash
Investigacioacuten Operacional (Reino Unido) Ciencias de la Decisioacuten Ciencia deSistemas disciplinas Investigacioacuten Operacional Estadiacutestica y Sistemas de wwwbvumsanetedubocpcibdownload GI-720Investigacion20operacionalpdf
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de juegos ndash
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los
8
investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
Programacioacuten entera ndash
La Programacioacuten Entera surge por considerar el mismo formato descrito para laprogramacioacuten lineal pero considerando que las variables del problema se wwwoptimosusachclPHhtm
Programacioacuten lineal ndash
La programacioacuten lineal es el estudio de modelos matemaacuteticos orbitastarmediacom~ariveralinealhtm -
Simulacioacuten ndash
Simulacioacuten es la experimentacioacuten con un modelo de una hipoacutetesis de trabajo La experimentacioacuten puede ser un trabajo de campo o de laboratorio El modelo de meacutetodo usado para la simulacioacuten seria teoacuterico conceptual o sisteacutemico eswikipediaorgwikiSimulaciC3B3n
Optimizacioacuten ndash
La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Meacutetodo del Siacutemplex
El meacutetodo del Simplex nos facilitaraacute la obtencioacuten de la solucioacuten oacuteptima mediante laelaboracioacuten de un criterio que nos permitiraacute saber si una solucioacuten wwwunizares3wapuntes04pdf
C3 Nuacutemeros
Nuacutemeros ndash
Un nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero Nuacutemero natural ndash
Nuacutemero entero ndash
Los nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una estructura algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmero_entero
Nuacutemero racional ndash
Se llama nuacutemero racional a todo aquel nuacutemero que puede ser expresado como resultado de la divisioacuten de dos nuacutemeros enteros con el divisor distinto de 0El conjunto de los racionales se nota ℚ por quotient o sea cociente en varios idiomas europeosEste conjunto de nuacutemeros es superconjunto de los nuacutemeros enteros de los nuacutemeros decimales y es un subconjunto de los nuacutemeros reales Los nuacutemeros racionales cumplen la propiedad arquimediana esto es para
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cualquier pareja de nuacutemeros eswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional
Nuacutemero irracional ndash
Tras separar los nuacutemeros componentes de la recta real en tres categoriacuteas(naturales enteros y racionales)puede parecer que se ha terminado con la clasificacioacuten de los nuacutemeros pero eso no es asiacute Quedanhuecos por rellenar en la recta Se trata de los nuacutemeros irracionales eswikipediaorgwikiNC3BAmero_irracional
Nuacutemero real ndash
Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmero_real
Nuacutemero complejo ndash
Los Nuacutemeros Complejos son una extensioacuten natural de los nuacutemeros reales la recta real puede ser vista como un subconjunto del plano de los nuacutemeros complejos Cada nuacutemero complejo seriacutea un punto en este plano Usando las definiciones que siguen se hacen posibles la suma la resta la multiplicacioacuten y la divisioacuten entre estos puntos eswikipediaorgwikiNC3BAmero_complejo
Cuaterniones ndash
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
Octoniones ndash
Los octoniones son la extensioacuten no asociativa de los cuaterniones Fueron descubiertos por John T Graves en 1843 e independientemente por Arthur Cayley quien lo publicoacute por primera vez en 1845 Son llamados a veces nuacutemeros de Cayley eswikipediaorgwikiOctoniones
Sedeniones ndash
Los sedeniones forman una aacutelgebra de dimensioacuten 16 sobre los nuacutemeros reales y se obtienen aplicando la Construccioacuten de Cayley-Dickson sobre los octoniones eswikipediaorgwikiSedeniones
Nuacutemeros hiperreales ndash
Los nuacutemeros hiperreales o reales no estaacutendar son una extensioacuten de los nuacutemeros reales R en doacutende se antildeaden nuacutemeros infinitamente grandes asiacute como nuacutemeros infinitesimales eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_hiperreales
Nuacutemeros infinitos ndash
El concepto del infinito aparece en varias ramas de las matemaacuteticas entre otras en la geometriacutea (punto al infinito de la geometriacutea proyectiva) en el anaacutelisis (liacutemites infinitos o liacutemites al infinito) y en los nuacutemeros (nuacutemeros ordinales y nuacutemeros cardinales) dentro de la teoriacutea de conjuntos eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_infinitos
10
Diacutegito ndash
Un diacutegito (palabra proveniente del latiacuten con el significado de dedo) es cada una de las cifras que componen un nuacutemero en un sistema determinado Ej 157 en el sistema decimal se compone de los diacutegitos 1 5 y 7 eswikipediaorgwikiDC3ADgito
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Nuacutemero p-aacutedico
Dado un nuacutemero entero primo p se llama valor absoluto p-aacutedico de un enteropositivo n al inverso de p r donde es p personalesyacomcasanchimatpadicos01pdf
C4 Matemaacutetica del cambio
Caacutelculo ndash
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de ZenoacutenhellipeswikipediaorgwikiCC3A1lculo
Caacutelculo vectorial ndash
El caacutelculo vectorial es un campo de las matemaacuteticas referidas al anaacutelisis real multivariable de vectores en 2 o maacutes dimensiones Consiste en una serie de foacutermulas y teacutecnicas para solucionar problemas muy uacutetiles para la ingenieriacutea y la fiacutesica eswikipediaorgwikiCC3A1lculo_vectorial
Anaacutelisis ndash
Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm Ecuacioacuten diferencial ndash
Sistemas dinaacutemicos ndash
En ingenieriacutea y matemaacuteticas un sistema dinaacutemico es un proceso determinista en el cual el valor de una funcioacuten cambia de acuerdo a una regla definida en teacuterminos del valor actual de la funcioacuten eswikipediaorgwikiSistemas_dinC3A1micos
Teoria del caos --
La teoriacutea del caos es la denominacioacuten popular de la rama de las matemaacuteticas y la fiacutesica que trata ciertos tipos de comportamientos aleatorios (caoacuteticos) de los sistemas dinaacutemicos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_del_caos
Lista de funciones ndash
11
Excell pone a nuestra disposicioacuten un gran cantidad de funciones que permiten realizar operaciones no soacutelo matemaacuteticas sino tambieacuten numeacutericas estadiacutesticas monetarias de fecha con caracteres etc Tambieacuten se pueden disentildear nuevas funciones incorporaacutendolas a las ya existenteswwwportal-uraldecomdicfhtm
Logaritmo
Logaritmo en matemaacuteticas es el exponente o potencia a la que un nuacutemero fijo llamado base se ha de elevar para dar un nuacutemero dadoSe llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de x rarr 1x que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1 eswikipediaorgwikiLogaritmo
C5 Anaacutelisis
Sucesiones ndash En matemaacuteticas las sucesiones de nuacutemeros son una herramienta muy importante Ayudaraacute a ir reconociendo distintos patrones y estructuras
Series ndash
Dentro de cada Clase de Contratos Serie son aquellas Opciones que tienen el mismo Precio de Ejercicio y la misma Fecha de Vencimiento y aquellos Futuros que tienen la misma Fecha de Vencimientowwwmeffcominstitutoglosariosglosarihtm
Anaacutelisis real ndash
El anaacutelisis real es la rama de las matemaacuteticas que tiene que ver con los nuacutemeros reales y las funciones de los nuacutemeros reales Se puede verlo como extensioacuten rigorosa del caacutelculo que estudia maacutes profundamente las sucesiones y sus liacutemites continuidad derivacioacuten integracioacuten y sucesiones de funciones eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_real
Anaacutelisis Complejo ndash
El anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
Anaacutelisis funcional ndash
El anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
Aacutelgebra de operadores
C6 Estructuras matemaacuteticas
12
Aacutelgebra abstracta ndash
El aacutelgebra abstracta es el campo de las matemaacuteticas que estudia las estructuras algebraicas como la de grupo anillo y cuerpoEl teacutermino aacutelgebra abstracta es usado para distinguir este campo del aacutelgebra elemental o del aacutelgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular foacutermulas y expresiones algebraicas que conciernen a los nuacutemeros reales y nuacutemeros complejos eswikipediaorgwikiC381lgebra_abstracta Teoriacutea de nuacutemeros ndash
Aacutelgebra conmutativa ndash
In algebra astratta lalgebra commutativa egrave il settore che studia strutture algebriche commutative (o abeliane) come gli anelli commutativi i loro ideali e strutture piugrave ricche costruite sui suddetti anelli come i moduli e le algebre Attualmente costituisce la base algebrica della geometria algebrica e della teoria algebrica dei numeri itwikipediaorgwikiAlgebra_commutativa
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Teoriacutea de grupos ndash
La teoriacutea de grupos estudia las propiedades de los grupos y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificacioacuten de eacutestos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grupos
Monoides ndash
Un monoide es un magma (ie un par (M) donde M es un conjunto y una operacioacuten binaria) que cumple Es cerrada en M esto es el resultado de ab pertenece a M para cualesquiera a y b de M Existe una identidad esto es un elemento e tal que cumple ae=ea=a La operacioacuten es asociativa eswikipediaorgwikiMonoide
Anaacutelisis ndash
[analysis] f (General) Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm
Topologiacutea ndash
Quizaacute quieras entrar directamente a ver queacute es un Espacio topoloacutegico o ver el glosario de topologiacutea) eswikipediaorgwikiTopologC3ADa
rama sumamente desarrollada de la matemaacutetica pura estudia las propiedades de los objetos matemaacuteticos (pej las figuras geomeacutetricas) que no se alteran con transformaciones continuas del objetowwwastrocosmoclglosarioglosar-thtm
13
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de las categoriacuteas
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
C7 Espacios
Topologiacutea ndash
Diccionario elemental de algunos de algunos de los teacuterminos relacionados con la Topologiacutea Jacques Lacan httpwwwinsmesglosariogrglosarionsmkeep_ upperphp3url=httpwwwrussellcomarespacios_ tematicosDiccionariotopologiaDiccionario_topologiahtmavizoracomglosarios3htm
Geometriacutea ndash
conjunto de reglas que describen la estructura del espacio en una regioacuten dada La geometriacutea euclidiana claacutesica se aplica a las superficies planas o al espacio laquoplanoraquo las geometriacuteas no euclidianas se aplican a las superficies curvas o al espacio curvo y pueden incluir fenoacutemenos tan improbables como triaacutengulos cuyos veacutertices totalizan maacutes o menos de 180 gradoswwwastrocosmoclglosarioglosar-ghtm
Teoriacutea de haces ndash
En matemaacuteticas un haz F sobre un espacio topoloacutegico dado X proporciona para cada conjunto abierto U de X un conjunto F(U) de estructura maacutes rica A su vez dichas estructuras F(U) son compatibles con la operacioacuten de restriccioacuten desde un conjunto abierto hacia subconjuntos maacutes pequentildeos y con la operacioacuten de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor Un prehaz es similar a un haz pero con eacutel puede no ser posible la operacioacuten de pegado Los haces nos permiten diseswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_haces
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
La Topologiacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas en la que se usan las herramientas del Aacutelgebra abstracta para estudiar los espacios topoloacutegicos eswikipediaorgwikiTopologC3ADa_algebraica
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
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La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
26
tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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La teoriacutea de modelos como estudio de estructuras matemaacuteticas en general Pedro Hernaacuten Zambrano Universidad Nacional de Colombia ndash Universidad Sergio Arboleda wwwusergioarboledaeducocivilizarmatematicas
Teoriacutea de las categoriacuteas ndash
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
Demostracioacuten matemaacutetica ndash
Una sucecioacuten coherente de pasos que basados en un conjunto de premisas p1p2pn llamado Hipoacutetesis permite asegurar el cumplimiento de una tesisEstos pasos deben estar fundamentados teoacutericamente (ya sea por axiomas o por teoremas anteriormente demostrados)Mediante este proceso se demuestra un teorema o se desmienteExisten difernetes tipos de demostraciones que son utilizadas comunmente en matemaacuteticas Demostracioacuten por contraposicioacuten Demostracioacuten por reduccioacuten al absurdo hellipeswikipediaorgwikiDemostraciC3B3n_matemC3A1tica
Axiomaacutetica ndash
Conjunto de proposiciones deducidas loacutegicamente de algunos principios no demostrables y que seguacuten algunos puede fundar el anaacutelisis geograacutefico Varios tipos de aximaacutetica han sido propuestos
eswikipediaorgwikiAxiomaticaC3B3n
Induccioacuten ndash
Induccioacuten significaEn el aacutembito del meacutetodo cientiacutefico la induccioacuten es la accioacuten y efecto de extraer a partir de determinadas observaciones o experiencias particulares el principio general que en ellas estaacute impliacutecitoEn el aacutembito de las matemaacuteticas la induccioacuten matemaacutetica es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones o una proposicioacuten que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores usualmente en el conjunto de los enteros naturales eswikipediaorgwikiInducciC3B3n
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Investigacioacuten operativa ndash
Investigacioacuten Operacional (Reino Unido) Ciencias de la Decisioacuten Ciencia deSistemas disciplinas Investigacioacuten Operacional Estadiacutestica y Sistemas de wwwbvumsanetedubocpcibdownload GI-720Investigacion20operacionalpdf
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de juegos ndash
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los
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investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
Programacioacuten entera ndash
La Programacioacuten Entera surge por considerar el mismo formato descrito para laprogramacioacuten lineal pero considerando que las variables del problema se wwwoptimosusachclPHhtm
Programacioacuten lineal ndash
La programacioacuten lineal es el estudio de modelos matemaacuteticos orbitastarmediacom~ariveralinealhtm -
Simulacioacuten ndash
Simulacioacuten es la experimentacioacuten con un modelo de una hipoacutetesis de trabajo La experimentacioacuten puede ser un trabajo de campo o de laboratorio El modelo de meacutetodo usado para la simulacioacuten seria teoacuterico conceptual o sisteacutemico eswikipediaorgwikiSimulaciC3B3n
Optimizacioacuten ndash
La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Meacutetodo del Siacutemplex
El meacutetodo del Simplex nos facilitaraacute la obtencioacuten de la solucioacuten oacuteptima mediante laelaboracioacuten de un criterio que nos permitiraacute saber si una solucioacuten wwwunizares3wapuntes04pdf
C3 Nuacutemeros
Nuacutemeros ndash
Un nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero Nuacutemero natural ndash
Nuacutemero entero ndash
Los nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una estructura algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmero_entero
Nuacutemero racional ndash
Se llama nuacutemero racional a todo aquel nuacutemero que puede ser expresado como resultado de la divisioacuten de dos nuacutemeros enteros con el divisor distinto de 0El conjunto de los racionales se nota ℚ por quotient o sea cociente en varios idiomas europeosEste conjunto de nuacutemeros es superconjunto de los nuacutemeros enteros de los nuacutemeros decimales y es un subconjunto de los nuacutemeros reales Los nuacutemeros racionales cumplen la propiedad arquimediana esto es para
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cualquier pareja de nuacutemeros eswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional
Nuacutemero irracional ndash
Tras separar los nuacutemeros componentes de la recta real en tres categoriacuteas(naturales enteros y racionales)puede parecer que se ha terminado con la clasificacioacuten de los nuacutemeros pero eso no es asiacute Quedanhuecos por rellenar en la recta Se trata de los nuacutemeros irracionales eswikipediaorgwikiNC3BAmero_irracional
Nuacutemero real ndash
Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmero_real
Nuacutemero complejo ndash
Los Nuacutemeros Complejos son una extensioacuten natural de los nuacutemeros reales la recta real puede ser vista como un subconjunto del plano de los nuacutemeros complejos Cada nuacutemero complejo seriacutea un punto en este plano Usando las definiciones que siguen se hacen posibles la suma la resta la multiplicacioacuten y la divisioacuten entre estos puntos eswikipediaorgwikiNC3BAmero_complejo
Cuaterniones ndash
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
Octoniones ndash
Los octoniones son la extensioacuten no asociativa de los cuaterniones Fueron descubiertos por John T Graves en 1843 e independientemente por Arthur Cayley quien lo publicoacute por primera vez en 1845 Son llamados a veces nuacutemeros de Cayley eswikipediaorgwikiOctoniones
Sedeniones ndash
Los sedeniones forman una aacutelgebra de dimensioacuten 16 sobre los nuacutemeros reales y se obtienen aplicando la Construccioacuten de Cayley-Dickson sobre los octoniones eswikipediaorgwikiSedeniones
Nuacutemeros hiperreales ndash
Los nuacutemeros hiperreales o reales no estaacutendar son una extensioacuten de los nuacutemeros reales R en doacutende se antildeaden nuacutemeros infinitamente grandes asiacute como nuacutemeros infinitesimales eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_hiperreales
Nuacutemeros infinitos ndash
El concepto del infinito aparece en varias ramas de las matemaacuteticas entre otras en la geometriacutea (punto al infinito de la geometriacutea proyectiva) en el anaacutelisis (liacutemites infinitos o liacutemites al infinito) y en los nuacutemeros (nuacutemeros ordinales y nuacutemeros cardinales) dentro de la teoriacutea de conjuntos eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_infinitos
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Diacutegito ndash
Un diacutegito (palabra proveniente del latiacuten con el significado de dedo) es cada una de las cifras que componen un nuacutemero en un sistema determinado Ej 157 en el sistema decimal se compone de los diacutegitos 1 5 y 7 eswikipediaorgwikiDC3ADgito
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Nuacutemero p-aacutedico
Dado un nuacutemero entero primo p se llama valor absoluto p-aacutedico de un enteropositivo n al inverso de p r donde es p personalesyacomcasanchimatpadicos01pdf
C4 Matemaacutetica del cambio
Caacutelculo ndash
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de ZenoacutenhellipeswikipediaorgwikiCC3A1lculo
Caacutelculo vectorial ndash
El caacutelculo vectorial es un campo de las matemaacuteticas referidas al anaacutelisis real multivariable de vectores en 2 o maacutes dimensiones Consiste en una serie de foacutermulas y teacutecnicas para solucionar problemas muy uacutetiles para la ingenieriacutea y la fiacutesica eswikipediaorgwikiCC3A1lculo_vectorial
Anaacutelisis ndash
Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm Ecuacioacuten diferencial ndash
Sistemas dinaacutemicos ndash
En ingenieriacutea y matemaacuteticas un sistema dinaacutemico es un proceso determinista en el cual el valor de una funcioacuten cambia de acuerdo a una regla definida en teacuterminos del valor actual de la funcioacuten eswikipediaorgwikiSistemas_dinC3A1micos
Teoria del caos --
La teoriacutea del caos es la denominacioacuten popular de la rama de las matemaacuteticas y la fiacutesica que trata ciertos tipos de comportamientos aleatorios (caoacuteticos) de los sistemas dinaacutemicos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_del_caos
Lista de funciones ndash
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Excell pone a nuestra disposicioacuten un gran cantidad de funciones que permiten realizar operaciones no soacutelo matemaacuteticas sino tambieacuten numeacutericas estadiacutesticas monetarias de fecha con caracteres etc Tambieacuten se pueden disentildear nuevas funciones incorporaacutendolas a las ya existenteswwwportal-uraldecomdicfhtm
Logaritmo
Logaritmo en matemaacuteticas es el exponente o potencia a la que un nuacutemero fijo llamado base se ha de elevar para dar un nuacutemero dadoSe llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de x rarr 1x que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1 eswikipediaorgwikiLogaritmo
C5 Anaacutelisis
Sucesiones ndash En matemaacuteticas las sucesiones de nuacutemeros son una herramienta muy importante Ayudaraacute a ir reconociendo distintos patrones y estructuras
Series ndash
Dentro de cada Clase de Contratos Serie son aquellas Opciones que tienen el mismo Precio de Ejercicio y la misma Fecha de Vencimiento y aquellos Futuros que tienen la misma Fecha de Vencimientowwwmeffcominstitutoglosariosglosarihtm
Anaacutelisis real ndash
El anaacutelisis real es la rama de las matemaacuteticas que tiene que ver con los nuacutemeros reales y las funciones de los nuacutemeros reales Se puede verlo como extensioacuten rigorosa del caacutelculo que estudia maacutes profundamente las sucesiones y sus liacutemites continuidad derivacioacuten integracioacuten y sucesiones de funciones eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_real
Anaacutelisis Complejo ndash
El anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
Anaacutelisis funcional ndash
El anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
Aacutelgebra de operadores
C6 Estructuras matemaacuteticas
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Aacutelgebra abstracta ndash
El aacutelgebra abstracta es el campo de las matemaacuteticas que estudia las estructuras algebraicas como la de grupo anillo y cuerpoEl teacutermino aacutelgebra abstracta es usado para distinguir este campo del aacutelgebra elemental o del aacutelgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular foacutermulas y expresiones algebraicas que conciernen a los nuacutemeros reales y nuacutemeros complejos eswikipediaorgwikiC381lgebra_abstracta Teoriacutea de nuacutemeros ndash
Aacutelgebra conmutativa ndash
In algebra astratta lalgebra commutativa egrave il settore che studia strutture algebriche commutative (o abeliane) come gli anelli commutativi i loro ideali e strutture piugrave ricche costruite sui suddetti anelli come i moduli e le algebre Attualmente costituisce la base algebrica della geometria algebrica e della teoria algebrica dei numeri itwikipediaorgwikiAlgebra_commutativa
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Teoriacutea de grupos ndash
La teoriacutea de grupos estudia las propiedades de los grupos y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificacioacuten de eacutestos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grupos
Monoides ndash
Un monoide es un magma (ie un par (M) donde M es un conjunto y una operacioacuten binaria) que cumple Es cerrada en M esto es el resultado de ab pertenece a M para cualesquiera a y b de M Existe una identidad esto es un elemento e tal que cumple ae=ea=a La operacioacuten es asociativa eswikipediaorgwikiMonoide
Anaacutelisis ndash
[analysis] f (General) Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm
Topologiacutea ndash
Quizaacute quieras entrar directamente a ver queacute es un Espacio topoloacutegico o ver el glosario de topologiacutea) eswikipediaorgwikiTopologC3ADa
rama sumamente desarrollada de la matemaacutetica pura estudia las propiedades de los objetos matemaacuteticos (pej las figuras geomeacutetricas) que no se alteran con transformaciones continuas del objetowwwastrocosmoclglosarioglosar-thtm
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Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de las categoriacuteas
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
C7 Espacios
Topologiacutea ndash
Diccionario elemental de algunos de algunos de los teacuterminos relacionados con la Topologiacutea Jacques Lacan httpwwwinsmesglosariogrglosarionsmkeep_ upperphp3url=httpwwwrussellcomarespacios_ tematicosDiccionariotopologiaDiccionario_topologiahtmavizoracomglosarios3htm
Geometriacutea ndash
conjunto de reglas que describen la estructura del espacio en una regioacuten dada La geometriacutea euclidiana claacutesica se aplica a las superficies planas o al espacio laquoplanoraquo las geometriacuteas no euclidianas se aplican a las superficies curvas o al espacio curvo y pueden incluir fenoacutemenos tan improbables como triaacutengulos cuyos veacutertices totalizan maacutes o menos de 180 gradoswwwastrocosmoclglosarioglosar-ghtm
Teoriacutea de haces ndash
En matemaacuteticas un haz F sobre un espacio topoloacutegico dado X proporciona para cada conjunto abierto U de X un conjunto F(U) de estructura maacutes rica A su vez dichas estructuras F(U) son compatibles con la operacioacuten de restriccioacuten desde un conjunto abierto hacia subconjuntos maacutes pequentildeos y con la operacioacuten de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor Un prehaz es similar a un haz pero con eacutel puede no ser posible la operacioacuten de pegado Los haces nos permiten diseswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_haces
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
La Topologiacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas en la que se usan las herramientas del Aacutelgebra abstracta para estudiar los espacios topoloacutegicos eswikipediaorgwikiTopologC3ADa_algebraica
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
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La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
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Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
34
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
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investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
Programacioacuten entera ndash
La Programacioacuten Entera surge por considerar el mismo formato descrito para laprogramacioacuten lineal pero considerando que las variables del problema se wwwoptimosusachclPHhtm
Programacioacuten lineal ndash
La programacioacuten lineal es el estudio de modelos matemaacuteticos orbitastarmediacom~ariveralinealhtm -
Simulacioacuten ndash
Simulacioacuten es la experimentacioacuten con un modelo de una hipoacutetesis de trabajo La experimentacioacuten puede ser un trabajo de campo o de laboratorio El modelo de meacutetodo usado para la simulacioacuten seria teoacuterico conceptual o sisteacutemico eswikipediaorgwikiSimulaciC3B3n
Optimizacioacuten ndash
La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Meacutetodo del Siacutemplex
El meacutetodo del Simplex nos facilitaraacute la obtencioacuten de la solucioacuten oacuteptima mediante laelaboracioacuten de un criterio que nos permitiraacute saber si una solucioacuten wwwunizares3wapuntes04pdf
C3 Nuacutemeros
Nuacutemeros ndash
Un nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero Nuacutemero natural ndash
Nuacutemero entero ndash
Los nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una estructura algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmero_entero
Nuacutemero racional ndash
Se llama nuacutemero racional a todo aquel nuacutemero que puede ser expresado como resultado de la divisioacuten de dos nuacutemeros enteros con el divisor distinto de 0El conjunto de los racionales se nota ℚ por quotient o sea cociente en varios idiomas europeosEste conjunto de nuacutemeros es superconjunto de los nuacutemeros enteros de los nuacutemeros decimales y es un subconjunto de los nuacutemeros reales Los nuacutemeros racionales cumplen la propiedad arquimediana esto es para
9
cualquier pareja de nuacutemeros eswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional
Nuacutemero irracional ndash
Tras separar los nuacutemeros componentes de la recta real en tres categoriacuteas(naturales enteros y racionales)puede parecer que se ha terminado con la clasificacioacuten de los nuacutemeros pero eso no es asiacute Quedanhuecos por rellenar en la recta Se trata de los nuacutemeros irracionales eswikipediaorgwikiNC3BAmero_irracional
Nuacutemero real ndash
Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmero_real
Nuacutemero complejo ndash
Los Nuacutemeros Complejos son una extensioacuten natural de los nuacutemeros reales la recta real puede ser vista como un subconjunto del plano de los nuacutemeros complejos Cada nuacutemero complejo seriacutea un punto en este plano Usando las definiciones que siguen se hacen posibles la suma la resta la multiplicacioacuten y la divisioacuten entre estos puntos eswikipediaorgwikiNC3BAmero_complejo
Cuaterniones ndash
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
Octoniones ndash
Los octoniones son la extensioacuten no asociativa de los cuaterniones Fueron descubiertos por John T Graves en 1843 e independientemente por Arthur Cayley quien lo publicoacute por primera vez en 1845 Son llamados a veces nuacutemeros de Cayley eswikipediaorgwikiOctoniones
Sedeniones ndash
Los sedeniones forman una aacutelgebra de dimensioacuten 16 sobre los nuacutemeros reales y se obtienen aplicando la Construccioacuten de Cayley-Dickson sobre los octoniones eswikipediaorgwikiSedeniones
Nuacutemeros hiperreales ndash
Los nuacutemeros hiperreales o reales no estaacutendar son una extensioacuten de los nuacutemeros reales R en doacutende se antildeaden nuacutemeros infinitamente grandes asiacute como nuacutemeros infinitesimales eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_hiperreales
Nuacutemeros infinitos ndash
El concepto del infinito aparece en varias ramas de las matemaacuteticas entre otras en la geometriacutea (punto al infinito de la geometriacutea proyectiva) en el anaacutelisis (liacutemites infinitos o liacutemites al infinito) y en los nuacutemeros (nuacutemeros ordinales y nuacutemeros cardinales) dentro de la teoriacutea de conjuntos eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_infinitos
10
Diacutegito ndash
Un diacutegito (palabra proveniente del latiacuten con el significado de dedo) es cada una de las cifras que componen un nuacutemero en un sistema determinado Ej 157 en el sistema decimal se compone de los diacutegitos 1 5 y 7 eswikipediaorgwikiDC3ADgito
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Nuacutemero p-aacutedico
Dado un nuacutemero entero primo p se llama valor absoluto p-aacutedico de un enteropositivo n al inverso de p r donde es p personalesyacomcasanchimatpadicos01pdf
C4 Matemaacutetica del cambio
Caacutelculo ndash
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de ZenoacutenhellipeswikipediaorgwikiCC3A1lculo
Caacutelculo vectorial ndash
El caacutelculo vectorial es un campo de las matemaacuteticas referidas al anaacutelisis real multivariable de vectores en 2 o maacutes dimensiones Consiste en una serie de foacutermulas y teacutecnicas para solucionar problemas muy uacutetiles para la ingenieriacutea y la fiacutesica eswikipediaorgwikiCC3A1lculo_vectorial
Anaacutelisis ndash
Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm Ecuacioacuten diferencial ndash
Sistemas dinaacutemicos ndash
En ingenieriacutea y matemaacuteticas un sistema dinaacutemico es un proceso determinista en el cual el valor de una funcioacuten cambia de acuerdo a una regla definida en teacuterminos del valor actual de la funcioacuten eswikipediaorgwikiSistemas_dinC3A1micos
Teoria del caos --
La teoriacutea del caos es la denominacioacuten popular de la rama de las matemaacuteticas y la fiacutesica que trata ciertos tipos de comportamientos aleatorios (caoacuteticos) de los sistemas dinaacutemicos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_del_caos
Lista de funciones ndash
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Excell pone a nuestra disposicioacuten un gran cantidad de funciones que permiten realizar operaciones no soacutelo matemaacuteticas sino tambieacuten numeacutericas estadiacutesticas monetarias de fecha con caracteres etc Tambieacuten se pueden disentildear nuevas funciones incorporaacutendolas a las ya existenteswwwportal-uraldecomdicfhtm
Logaritmo
Logaritmo en matemaacuteticas es el exponente o potencia a la que un nuacutemero fijo llamado base se ha de elevar para dar un nuacutemero dadoSe llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de x rarr 1x que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1 eswikipediaorgwikiLogaritmo
C5 Anaacutelisis
Sucesiones ndash En matemaacuteticas las sucesiones de nuacutemeros son una herramienta muy importante Ayudaraacute a ir reconociendo distintos patrones y estructuras
Series ndash
Dentro de cada Clase de Contratos Serie son aquellas Opciones que tienen el mismo Precio de Ejercicio y la misma Fecha de Vencimiento y aquellos Futuros que tienen la misma Fecha de Vencimientowwwmeffcominstitutoglosariosglosarihtm
Anaacutelisis real ndash
El anaacutelisis real es la rama de las matemaacuteticas que tiene que ver con los nuacutemeros reales y las funciones de los nuacutemeros reales Se puede verlo como extensioacuten rigorosa del caacutelculo que estudia maacutes profundamente las sucesiones y sus liacutemites continuidad derivacioacuten integracioacuten y sucesiones de funciones eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_real
Anaacutelisis Complejo ndash
El anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
Anaacutelisis funcional ndash
El anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
Aacutelgebra de operadores
C6 Estructuras matemaacuteticas
12
Aacutelgebra abstracta ndash
El aacutelgebra abstracta es el campo de las matemaacuteticas que estudia las estructuras algebraicas como la de grupo anillo y cuerpoEl teacutermino aacutelgebra abstracta es usado para distinguir este campo del aacutelgebra elemental o del aacutelgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular foacutermulas y expresiones algebraicas que conciernen a los nuacutemeros reales y nuacutemeros complejos eswikipediaorgwikiC381lgebra_abstracta Teoriacutea de nuacutemeros ndash
Aacutelgebra conmutativa ndash
In algebra astratta lalgebra commutativa egrave il settore che studia strutture algebriche commutative (o abeliane) come gli anelli commutativi i loro ideali e strutture piugrave ricche costruite sui suddetti anelli come i moduli e le algebre Attualmente costituisce la base algebrica della geometria algebrica e della teoria algebrica dei numeri itwikipediaorgwikiAlgebra_commutativa
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Teoriacutea de grupos ndash
La teoriacutea de grupos estudia las propiedades de los grupos y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificacioacuten de eacutestos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grupos
Monoides ndash
Un monoide es un magma (ie un par (M) donde M es un conjunto y una operacioacuten binaria) que cumple Es cerrada en M esto es el resultado de ab pertenece a M para cualesquiera a y b de M Existe una identidad esto es un elemento e tal que cumple ae=ea=a La operacioacuten es asociativa eswikipediaorgwikiMonoide
Anaacutelisis ndash
[analysis] f (General) Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm
Topologiacutea ndash
Quizaacute quieras entrar directamente a ver queacute es un Espacio topoloacutegico o ver el glosario de topologiacutea) eswikipediaorgwikiTopologC3ADa
rama sumamente desarrollada de la matemaacutetica pura estudia las propiedades de los objetos matemaacuteticos (pej las figuras geomeacutetricas) que no se alteran con transformaciones continuas del objetowwwastrocosmoclglosarioglosar-thtm
13
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de las categoriacuteas
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
C7 Espacios
Topologiacutea ndash
Diccionario elemental de algunos de algunos de los teacuterminos relacionados con la Topologiacutea Jacques Lacan httpwwwinsmesglosariogrglosarionsmkeep_ upperphp3url=httpwwwrussellcomarespacios_ tematicosDiccionariotopologiaDiccionario_topologiahtmavizoracomglosarios3htm
Geometriacutea ndash
conjunto de reglas que describen la estructura del espacio en una regioacuten dada La geometriacutea euclidiana claacutesica se aplica a las superficies planas o al espacio laquoplanoraquo las geometriacuteas no euclidianas se aplican a las superficies curvas o al espacio curvo y pueden incluir fenoacutemenos tan improbables como triaacutengulos cuyos veacutertices totalizan maacutes o menos de 180 gradoswwwastrocosmoclglosarioglosar-ghtm
Teoriacutea de haces ndash
En matemaacuteticas un haz F sobre un espacio topoloacutegico dado X proporciona para cada conjunto abierto U de X un conjunto F(U) de estructura maacutes rica A su vez dichas estructuras F(U) son compatibles con la operacioacuten de restriccioacuten desde un conjunto abierto hacia subconjuntos maacutes pequentildeos y con la operacioacuten de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor Un prehaz es similar a un haz pero con eacutel puede no ser posible la operacioacuten de pegado Los haces nos permiten diseswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_haces
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
La Topologiacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas en la que se usan las herramientas del Aacutelgebra abstracta para estudiar los espacios topoloacutegicos eswikipediaorgwikiTopologC3ADa_algebraica
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
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La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
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Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
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El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
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Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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cualquier pareja de nuacutemeros eswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional
Nuacutemero irracional ndash
Tras separar los nuacutemeros componentes de la recta real en tres categoriacuteas(naturales enteros y racionales)puede parecer que se ha terminado con la clasificacioacuten de los nuacutemeros pero eso no es asiacute Quedanhuecos por rellenar en la recta Se trata de los nuacutemeros irracionales eswikipediaorgwikiNC3BAmero_irracional
Nuacutemero real ndash
Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmero_real
Nuacutemero complejo ndash
Los Nuacutemeros Complejos son una extensioacuten natural de los nuacutemeros reales la recta real puede ser vista como un subconjunto del plano de los nuacutemeros complejos Cada nuacutemero complejo seriacutea un punto en este plano Usando las definiciones que siguen se hacen posibles la suma la resta la multiplicacioacuten y la divisioacuten entre estos puntos eswikipediaorgwikiNC3BAmero_complejo
Cuaterniones ndash
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
Octoniones ndash
Los octoniones son la extensioacuten no asociativa de los cuaterniones Fueron descubiertos por John T Graves en 1843 e independientemente por Arthur Cayley quien lo publicoacute por primera vez en 1845 Son llamados a veces nuacutemeros de Cayley eswikipediaorgwikiOctoniones
Sedeniones ndash
Los sedeniones forman una aacutelgebra de dimensioacuten 16 sobre los nuacutemeros reales y se obtienen aplicando la Construccioacuten de Cayley-Dickson sobre los octoniones eswikipediaorgwikiSedeniones
Nuacutemeros hiperreales ndash
Los nuacutemeros hiperreales o reales no estaacutendar son una extensioacuten de los nuacutemeros reales R en doacutende se antildeaden nuacutemeros infinitamente grandes asiacute como nuacutemeros infinitesimales eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_hiperreales
Nuacutemeros infinitos ndash
El concepto del infinito aparece en varias ramas de las matemaacuteticas entre otras en la geometriacutea (punto al infinito de la geometriacutea proyectiva) en el anaacutelisis (liacutemites infinitos o liacutemites al infinito) y en los nuacutemeros (nuacutemeros ordinales y nuacutemeros cardinales) dentro de la teoriacutea de conjuntos eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_infinitos
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Diacutegito ndash
Un diacutegito (palabra proveniente del latiacuten con el significado de dedo) es cada una de las cifras que componen un nuacutemero en un sistema determinado Ej 157 en el sistema decimal se compone de los diacutegitos 1 5 y 7 eswikipediaorgwikiDC3ADgito
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Nuacutemero p-aacutedico
Dado un nuacutemero entero primo p se llama valor absoluto p-aacutedico de un enteropositivo n al inverso de p r donde es p personalesyacomcasanchimatpadicos01pdf
C4 Matemaacutetica del cambio
Caacutelculo ndash
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de ZenoacutenhellipeswikipediaorgwikiCC3A1lculo
Caacutelculo vectorial ndash
El caacutelculo vectorial es un campo de las matemaacuteticas referidas al anaacutelisis real multivariable de vectores en 2 o maacutes dimensiones Consiste en una serie de foacutermulas y teacutecnicas para solucionar problemas muy uacutetiles para la ingenieriacutea y la fiacutesica eswikipediaorgwikiCC3A1lculo_vectorial
Anaacutelisis ndash
Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm Ecuacioacuten diferencial ndash
Sistemas dinaacutemicos ndash
En ingenieriacutea y matemaacuteticas un sistema dinaacutemico es un proceso determinista en el cual el valor de una funcioacuten cambia de acuerdo a una regla definida en teacuterminos del valor actual de la funcioacuten eswikipediaorgwikiSistemas_dinC3A1micos
Teoria del caos --
La teoriacutea del caos es la denominacioacuten popular de la rama de las matemaacuteticas y la fiacutesica que trata ciertos tipos de comportamientos aleatorios (caoacuteticos) de los sistemas dinaacutemicos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_del_caos
Lista de funciones ndash
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Excell pone a nuestra disposicioacuten un gran cantidad de funciones que permiten realizar operaciones no soacutelo matemaacuteticas sino tambieacuten numeacutericas estadiacutesticas monetarias de fecha con caracteres etc Tambieacuten se pueden disentildear nuevas funciones incorporaacutendolas a las ya existenteswwwportal-uraldecomdicfhtm
Logaritmo
Logaritmo en matemaacuteticas es el exponente o potencia a la que un nuacutemero fijo llamado base se ha de elevar para dar un nuacutemero dadoSe llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de x rarr 1x que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1 eswikipediaorgwikiLogaritmo
C5 Anaacutelisis
Sucesiones ndash En matemaacuteticas las sucesiones de nuacutemeros son una herramienta muy importante Ayudaraacute a ir reconociendo distintos patrones y estructuras
Series ndash
Dentro de cada Clase de Contratos Serie son aquellas Opciones que tienen el mismo Precio de Ejercicio y la misma Fecha de Vencimiento y aquellos Futuros que tienen la misma Fecha de Vencimientowwwmeffcominstitutoglosariosglosarihtm
Anaacutelisis real ndash
El anaacutelisis real es la rama de las matemaacuteticas que tiene que ver con los nuacutemeros reales y las funciones de los nuacutemeros reales Se puede verlo como extensioacuten rigorosa del caacutelculo que estudia maacutes profundamente las sucesiones y sus liacutemites continuidad derivacioacuten integracioacuten y sucesiones de funciones eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_real
Anaacutelisis Complejo ndash
El anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
Anaacutelisis funcional ndash
El anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
Aacutelgebra de operadores
C6 Estructuras matemaacuteticas
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Aacutelgebra abstracta ndash
El aacutelgebra abstracta es el campo de las matemaacuteticas que estudia las estructuras algebraicas como la de grupo anillo y cuerpoEl teacutermino aacutelgebra abstracta es usado para distinguir este campo del aacutelgebra elemental o del aacutelgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular foacutermulas y expresiones algebraicas que conciernen a los nuacutemeros reales y nuacutemeros complejos eswikipediaorgwikiC381lgebra_abstracta Teoriacutea de nuacutemeros ndash
Aacutelgebra conmutativa ndash
In algebra astratta lalgebra commutativa egrave il settore che studia strutture algebriche commutative (o abeliane) come gli anelli commutativi i loro ideali e strutture piugrave ricche costruite sui suddetti anelli come i moduli e le algebre Attualmente costituisce la base algebrica della geometria algebrica e della teoria algebrica dei numeri itwikipediaorgwikiAlgebra_commutativa
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Teoriacutea de grupos ndash
La teoriacutea de grupos estudia las propiedades de los grupos y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificacioacuten de eacutestos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grupos
Monoides ndash
Un monoide es un magma (ie un par (M) donde M es un conjunto y una operacioacuten binaria) que cumple Es cerrada en M esto es el resultado de ab pertenece a M para cualesquiera a y b de M Existe una identidad esto es un elemento e tal que cumple ae=ea=a La operacioacuten es asociativa eswikipediaorgwikiMonoide
Anaacutelisis ndash
[analysis] f (General) Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm
Topologiacutea ndash
Quizaacute quieras entrar directamente a ver queacute es un Espacio topoloacutegico o ver el glosario de topologiacutea) eswikipediaorgwikiTopologC3ADa
rama sumamente desarrollada de la matemaacutetica pura estudia las propiedades de los objetos matemaacuteticos (pej las figuras geomeacutetricas) que no se alteran con transformaciones continuas del objetowwwastrocosmoclglosarioglosar-thtm
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Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de las categoriacuteas
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
C7 Espacios
Topologiacutea ndash
Diccionario elemental de algunos de algunos de los teacuterminos relacionados con la Topologiacutea Jacques Lacan httpwwwinsmesglosariogrglosarionsmkeep_ upperphp3url=httpwwwrussellcomarespacios_ tematicosDiccionariotopologiaDiccionario_topologiahtmavizoracomglosarios3htm
Geometriacutea ndash
conjunto de reglas que describen la estructura del espacio en una regioacuten dada La geometriacutea euclidiana claacutesica se aplica a las superficies planas o al espacio laquoplanoraquo las geometriacuteas no euclidianas se aplican a las superficies curvas o al espacio curvo y pueden incluir fenoacutemenos tan improbables como triaacutengulos cuyos veacutertices totalizan maacutes o menos de 180 gradoswwwastrocosmoclglosarioglosar-ghtm
Teoriacutea de haces ndash
En matemaacuteticas un haz F sobre un espacio topoloacutegico dado X proporciona para cada conjunto abierto U de X un conjunto F(U) de estructura maacutes rica A su vez dichas estructuras F(U) son compatibles con la operacioacuten de restriccioacuten desde un conjunto abierto hacia subconjuntos maacutes pequentildeos y con la operacioacuten de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor Un prehaz es similar a un haz pero con eacutel puede no ser posible la operacioacuten de pegado Los haces nos permiten diseswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_haces
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
La Topologiacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas en la que se usan las herramientas del Aacutelgebra abstracta para estudiar los espacios topoloacutegicos eswikipediaorgwikiTopologC3ADa_algebraica
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
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La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
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Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
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El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
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La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
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Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
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- Matemaacuteticas De Wikipedia la enciclopedia libre
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- Tabla de contenidos
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- Implementacioacuten
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- Historia
- Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
- Temas relacionados
- Disciplinas relacionadas
- Enlaces externos
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Diacutegito ndash
Un diacutegito (palabra proveniente del latiacuten con el significado de dedo) es cada una de las cifras que componen un nuacutemero en un sistema determinado Ej 157 en el sistema decimal se compone de los diacutegitos 1 5 y 7 eswikipediaorgwikiDC3ADgito
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Nuacutemero p-aacutedico
Dado un nuacutemero entero primo p se llama valor absoluto p-aacutedico de un enteropositivo n al inverso de p r donde es p personalesyacomcasanchimatpadicos01pdf
C4 Matemaacutetica del cambio
Caacutelculo ndash
El caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de ZenoacutenhellipeswikipediaorgwikiCC3A1lculo
Caacutelculo vectorial ndash
El caacutelculo vectorial es un campo de las matemaacuteticas referidas al anaacutelisis real multivariable de vectores en 2 o maacutes dimensiones Consiste en una serie de foacutermulas y teacutecnicas para solucionar problemas muy uacutetiles para la ingenieriacutea y la fiacutesica eswikipediaorgwikiCC3A1lculo_vectorial
Anaacutelisis ndash
Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm Ecuacioacuten diferencial ndash
Sistemas dinaacutemicos ndash
En ingenieriacutea y matemaacuteticas un sistema dinaacutemico es un proceso determinista en el cual el valor de una funcioacuten cambia de acuerdo a una regla definida en teacuterminos del valor actual de la funcioacuten eswikipediaorgwikiSistemas_dinC3A1micos
Teoria del caos --
La teoriacutea del caos es la denominacioacuten popular de la rama de las matemaacuteticas y la fiacutesica que trata ciertos tipos de comportamientos aleatorios (caoacuteticos) de los sistemas dinaacutemicos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_del_caos
Lista de funciones ndash
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Excell pone a nuestra disposicioacuten un gran cantidad de funciones que permiten realizar operaciones no soacutelo matemaacuteticas sino tambieacuten numeacutericas estadiacutesticas monetarias de fecha con caracteres etc Tambieacuten se pueden disentildear nuevas funciones incorporaacutendolas a las ya existenteswwwportal-uraldecomdicfhtm
Logaritmo
Logaritmo en matemaacuteticas es el exponente o potencia a la que un nuacutemero fijo llamado base se ha de elevar para dar un nuacutemero dadoSe llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de x rarr 1x que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1 eswikipediaorgwikiLogaritmo
C5 Anaacutelisis
Sucesiones ndash En matemaacuteticas las sucesiones de nuacutemeros son una herramienta muy importante Ayudaraacute a ir reconociendo distintos patrones y estructuras
Series ndash
Dentro de cada Clase de Contratos Serie son aquellas Opciones que tienen el mismo Precio de Ejercicio y la misma Fecha de Vencimiento y aquellos Futuros que tienen la misma Fecha de Vencimientowwwmeffcominstitutoglosariosglosarihtm
Anaacutelisis real ndash
El anaacutelisis real es la rama de las matemaacuteticas que tiene que ver con los nuacutemeros reales y las funciones de los nuacutemeros reales Se puede verlo como extensioacuten rigorosa del caacutelculo que estudia maacutes profundamente las sucesiones y sus liacutemites continuidad derivacioacuten integracioacuten y sucesiones de funciones eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_real
Anaacutelisis Complejo ndash
El anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
Anaacutelisis funcional ndash
El anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
Aacutelgebra de operadores
C6 Estructuras matemaacuteticas
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Aacutelgebra abstracta ndash
El aacutelgebra abstracta es el campo de las matemaacuteticas que estudia las estructuras algebraicas como la de grupo anillo y cuerpoEl teacutermino aacutelgebra abstracta es usado para distinguir este campo del aacutelgebra elemental o del aacutelgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular foacutermulas y expresiones algebraicas que conciernen a los nuacutemeros reales y nuacutemeros complejos eswikipediaorgwikiC381lgebra_abstracta Teoriacutea de nuacutemeros ndash
Aacutelgebra conmutativa ndash
In algebra astratta lalgebra commutativa egrave il settore che studia strutture algebriche commutative (o abeliane) come gli anelli commutativi i loro ideali e strutture piugrave ricche costruite sui suddetti anelli come i moduli e le algebre Attualmente costituisce la base algebrica della geometria algebrica e della teoria algebrica dei numeri itwikipediaorgwikiAlgebra_commutativa
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Teoriacutea de grupos ndash
La teoriacutea de grupos estudia las propiedades de los grupos y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificacioacuten de eacutestos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grupos
Monoides ndash
Un monoide es un magma (ie un par (M) donde M es un conjunto y una operacioacuten binaria) que cumple Es cerrada en M esto es el resultado de ab pertenece a M para cualesquiera a y b de M Existe una identidad esto es un elemento e tal que cumple ae=ea=a La operacioacuten es asociativa eswikipediaorgwikiMonoide
Anaacutelisis ndash
[analysis] f (General) Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm
Topologiacutea ndash
Quizaacute quieras entrar directamente a ver queacute es un Espacio topoloacutegico o ver el glosario de topologiacutea) eswikipediaorgwikiTopologC3ADa
rama sumamente desarrollada de la matemaacutetica pura estudia las propiedades de los objetos matemaacuteticos (pej las figuras geomeacutetricas) que no se alteran con transformaciones continuas del objetowwwastrocosmoclglosarioglosar-thtm
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Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de las categoriacuteas
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
C7 Espacios
Topologiacutea ndash
Diccionario elemental de algunos de algunos de los teacuterminos relacionados con la Topologiacutea Jacques Lacan httpwwwinsmesglosariogrglosarionsmkeep_ upperphp3url=httpwwwrussellcomarespacios_ tematicosDiccionariotopologiaDiccionario_topologiahtmavizoracomglosarios3htm
Geometriacutea ndash
conjunto de reglas que describen la estructura del espacio en una regioacuten dada La geometriacutea euclidiana claacutesica se aplica a las superficies planas o al espacio laquoplanoraquo las geometriacuteas no euclidianas se aplican a las superficies curvas o al espacio curvo y pueden incluir fenoacutemenos tan improbables como triaacutengulos cuyos veacutertices totalizan maacutes o menos de 180 gradoswwwastrocosmoclglosarioglosar-ghtm
Teoriacutea de haces ndash
En matemaacuteticas un haz F sobre un espacio topoloacutegico dado X proporciona para cada conjunto abierto U de X un conjunto F(U) de estructura maacutes rica A su vez dichas estructuras F(U) son compatibles con la operacioacuten de restriccioacuten desde un conjunto abierto hacia subconjuntos maacutes pequentildeos y con la operacioacuten de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor Un prehaz es similar a un haz pero con eacutel puede no ser posible la operacioacuten de pegado Los haces nos permiten diseswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_haces
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
La Topologiacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas en la que se usan las herramientas del Aacutelgebra abstracta para estudiar los espacios topoloacutegicos eswikipediaorgwikiTopologC3ADa_algebraica
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
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La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
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Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
34
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
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Excell pone a nuestra disposicioacuten un gran cantidad de funciones que permiten realizar operaciones no soacutelo matemaacuteticas sino tambieacuten numeacutericas estadiacutesticas monetarias de fecha con caracteres etc Tambieacuten se pueden disentildear nuevas funciones incorporaacutendolas a las ya existenteswwwportal-uraldecomdicfhtm
Logaritmo
Logaritmo en matemaacuteticas es el exponente o potencia a la que un nuacutemero fijo llamado base se ha de elevar para dar un nuacutemero dadoSe llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de x rarr 1x que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1 eswikipediaorgwikiLogaritmo
C5 Anaacutelisis
Sucesiones ndash En matemaacuteticas las sucesiones de nuacutemeros son una herramienta muy importante Ayudaraacute a ir reconociendo distintos patrones y estructuras
Series ndash
Dentro de cada Clase de Contratos Serie son aquellas Opciones que tienen el mismo Precio de Ejercicio y la misma Fecha de Vencimiento y aquellos Futuros que tienen la misma Fecha de Vencimientowwwmeffcominstitutoglosariosglosarihtm
Anaacutelisis real ndash
El anaacutelisis real es la rama de las matemaacuteticas que tiene que ver con los nuacutemeros reales y las funciones de los nuacutemeros reales Se puede verlo como extensioacuten rigorosa del caacutelculo que estudia maacutes profundamente las sucesiones y sus liacutemites continuidad derivacioacuten integracioacuten y sucesiones de funciones eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_real
Anaacutelisis Complejo ndash
El anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
Anaacutelisis funcional ndash
El anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
Aacutelgebra de operadores
C6 Estructuras matemaacuteticas
12
Aacutelgebra abstracta ndash
El aacutelgebra abstracta es el campo de las matemaacuteticas que estudia las estructuras algebraicas como la de grupo anillo y cuerpoEl teacutermino aacutelgebra abstracta es usado para distinguir este campo del aacutelgebra elemental o del aacutelgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular foacutermulas y expresiones algebraicas que conciernen a los nuacutemeros reales y nuacutemeros complejos eswikipediaorgwikiC381lgebra_abstracta Teoriacutea de nuacutemeros ndash
Aacutelgebra conmutativa ndash
In algebra astratta lalgebra commutativa egrave il settore che studia strutture algebriche commutative (o abeliane) come gli anelli commutativi i loro ideali e strutture piugrave ricche costruite sui suddetti anelli come i moduli e le algebre Attualmente costituisce la base algebrica della geometria algebrica e della teoria algebrica dei numeri itwikipediaorgwikiAlgebra_commutativa
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Teoriacutea de grupos ndash
La teoriacutea de grupos estudia las propiedades de los grupos y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificacioacuten de eacutestos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grupos
Monoides ndash
Un monoide es un magma (ie un par (M) donde M es un conjunto y una operacioacuten binaria) que cumple Es cerrada en M esto es el resultado de ab pertenece a M para cualesquiera a y b de M Existe una identidad esto es un elemento e tal que cumple ae=ea=a La operacioacuten es asociativa eswikipediaorgwikiMonoide
Anaacutelisis ndash
[analysis] f (General) Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm
Topologiacutea ndash
Quizaacute quieras entrar directamente a ver queacute es un Espacio topoloacutegico o ver el glosario de topologiacutea) eswikipediaorgwikiTopologC3ADa
rama sumamente desarrollada de la matemaacutetica pura estudia las propiedades de los objetos matemaacuteticos (pej las figuras geomeacutetricas) que no se alteran con transformaciones continuas del objetowwwastrocosmoclglosarioglosar-thtm
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Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de las categoriacuteas
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
C7 Espacios
Topologiacutea ndash
Diccionario elemental de algunos de algunos de los teacuterminos relacionados con la Topologiacutea Jacques Lacan httpwwwinsmesglosariogrglosarionsmkeep_ upperphp3url=httpwwwrussellcomarespacios_ tematicosDiccionariotopologiaDiccionario_topologiahtmavizoracomglosarios3htm
Geometriacutea ndash
conjunto de reglas que describen la estructura del espacio en una regioacuten dada La geometriacutea euclidiana claacutesica se aplica a las superficies planas o al espacio laquoplanoraquo las geometriacuteas no euclidianas se aplican a las superficies curvas o al espacio curvo y pueden incluir fenoacutemenos tan improbables como triaacutengulos cuyos veacutertices totalizan maacutes o menos de 180 gradoswwwastrocosmoclglosarioglosar-ghtm
Teoriacutea de haces ndash
En matemaacuteticas un haz F sobre un espacio topoloacutegico dado X proporciona para cada conjunto abierto U de X un conjunto F(U) de estructura maacutes rica A su vez dichas estructuras F(U) son compatibles con la operacioacuten de restriccioacuten desde un conjunto abierto hacia subconjuntos maacutes pequentildeos y con la operacioacuten de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor Un prehaz es similar a un haz pero con eacutel puede no ser posible la operacioacuten de pegado Los haces nos permiten diseswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_haces
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
La Topologiacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas en la que se usan las herramientas del Aacutelgebra abstracta para estudiar los espacios topoloacutegicos eswikipediaorgwikiTopologC3ADa_algebraica
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
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La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
28
Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
34
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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- Temas relacionados
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Aacutelgebra abstracta ndash
El aacutelgebra abstracta es el campo de las matemaacuteticas que estudia las estructuras algebraicas como la de grupo anillo y cuerpoEl teacutermino aacutelgebra abstracta es usado para distinguir este campo del aacutelgebra elemental o del aacutelgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular foacutermulas y expresiones algebraicas que conciernen a los nuacutemeros reales y nuacutemeros complejos eswikipediaorgwikiC381lgebra_abstracta Teoriacutea de nuacutemeros ndash
Aacutelgebra conmutativa ndash
In algebra astratta lalgebra commutativa egrave il settore che studia strutture algebriche commutative (o abeliane) come gli anelli commutativi i loro ideali e strutture piugrave ricche costruite sui suddetti anelli come i moduli e le algebre Attualmente costituisce la base algebrica della geometria algebrica e della teoria algebrica dei numeri itwikipediaorgwikiAlgebra_commutativa
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Teoriacutea de grupos ndash
La teoriacutea de grupos estudia las propiedades de los grupos y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificacioacuten de eacutestos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grupos
Monoides ndash
Un monoide es un magma (ie un par (M) donde M es un conjunto y una operacioacuten binaria) que cumple Es cerrada en M esto es el resultado de ab pertenece a M para cualesquiera a y b de M Existe una identidad esto es un elemento e tal que cumple ae=ea=a La operacioacuten es asociativa eswikipediaorgwikiMonoide
Anaacutelisis ndash
[analysis] f (General) Distincioacuten y separacioacuten completa de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos Descomposicioacuten anaacute ἀνά (gr lsquohacia arribarsquo lsquopor completorsquo lsquode nuevorsquo lsquopor partesrsquo) + ly- λύω (gr lsquodescomponerrsquo lyacutesis λύσις lsquodescomposicioacutenrsquo) + -sis (gr) [Leng base gr Antiguo En gr filosoacutefico del s IV anaacutelysis ἀνάλυσις con el mismo significado aparece en lat mediev]clasicasusalesdicciomedanadromohtm
Topologiacutea ndash
Quizaacute quieras entrar directamente a ver queacute es un Espacio topoloacutegico o ver el glosario de topologiacutea) eswikipediaorgwikiTopologC3ADa
rama sumamente desarrollada de la matemaacutetica pura estudia las propiedades de los objetos matemaacuteticos (pej las figuras geomeacutetricas) que no se alteran con transformaciones continuas del objetowwwastrocosmoclglosarioglosar-thtm
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Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de las categoriacuteas
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
C7 Espacios
Topologiacutea ndash
Diccionario elemental de algunos de algunos de los teacuterminos relacionados con la Topologiacutea Jacques Lacan httpwwwinsmesglosariogrglosarionsmkeep_ upperphp3url=httpwwwrussellcomarespacios_ tematicosDiccionariotopologiaDiccionario_topologiahtmavizoracomglosarios3htm
Geometriacutea ndash
conjunto de reglas que describen la estructura del espacio en una regioacuten dada La geometriacutea euclidiana claacutesica se aplica a las superficies planas o al espacio laquoplanoraquo las geometriacuteas no euclidianas se aplican a las superficies curvas o al espacio curvo y pueden incluir fenoacutemenos tan improbables como triaacutengulos cuyos veacutertices totalizan maacutes o menos de 180 gradoswwwastrocosmoclglosarioglosar-ghtm
Teoriacutea de haces ndash
En matemaacuteticas un haz F sobre un espacio topoloacutegico dado X proporciona para cada conjunto abierto U de X un conjunto F(U) de estructura maacutes rica A su vez dichas estructuras F(U) son compatibles con la operacioacuten de restriccioacuten desde un conjunto abierto hacia subconjuntos maacutes pequentildeos y con la operacioacuten de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor Un prehaz es similar a un haz pero con eacutel puede no ser posible la operacioacuten de pegado Los haces nos permiten diseswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_haces
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
La Topologiacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas en la que se usan las herramientas del Aacutelgebra abstracta para estudiar los espacios topoloacutegicos eswikipediaorgwikiTopologC3ADa_algebraica
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
15
La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
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El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
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Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
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Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Teoriacutea de grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_grafos
Teoriacutea de las categoriacuteas
La teoriacutea de las Categoriacuteas es una teoriacutea matemaacutetica de la cual podemos decir en principio que trata de forma abstracta con las estructuras matemaacuteticas y sus relaciones Decimos en principio porque esta teoriacutea ha dado pie a nuevas unificaciones y visiones fundamentales de la matemaacutetica que modificariacutean el propio significado de lo que decimos ser ldquoobjetivordquo Se puede ver un texto que incide en ello y que contiene una versioacuten maacutes simple de la definicioacuten fundamental de lo que es uneswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_las_categorC3ADas
C7 Espacios
Topologiacutea ndash
Diccionario elemental de algunos de algunos de los teacuterminos relacionados con la Topologiacutea Jacques Lacan httpwwwinsmesglosariogrglosarionsmkeep_ upperphp3url=httpwwwrussellcomarespacios_ tematicosDiccionariotopologiaDiccionario_topologiahtmavizoracomglosarios3htm
Geometriacutea ndash
conjunto de reglas que describen la estructura del espacio en una regioacuten dada La geometriacutea euclidiana claacutesica se aplica a las superficies planas o al espacio laquoplanoraquo las geometriacuteas no euclidianas se aplican a las superficies curvas o al espacio curvo y pueden incluir fenoacutemenos tan improbables como triaacutengulos cuyos veacutertices totalizan maacutes o menos de 180 gradoswwwastrocosmoclglosarioglosar-ghtm
Teoriacutea de haces ndash
En matemaacuteticas un haz F sobre un espacio topoloacutegico dado X proporciona para cada conjunto abierto U de X un conjunto F(U) de estructura maacutes rica A su vez dichas estructuras F(U) son compatibles con la operacioacuten de restriccioacuten desde un conjunto abierto hacia subconjuntos maacutes pequentildeos y con la operacioacuten de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor Un prehaz es similar a un haz pero con eacutel puede no ser posible la operacioacuten de pegado Los haces nos permiten diseswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_haces
Geometriacutea algebraica ndash
La Geometriacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas que como sugiere su nombre combina el Aacutelgebra abstracta especialmente el Aacutelgebra conmutativa con la geometriacutea Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
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El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
15
La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
27
Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
28
Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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ecuaciones algebraicas Cuando hay maacutes de una variable aparecen las consideraciones geomeacutetricas que son importantes para entender el fenoacutemeno Podemos decir que la materia en cuestioacuten comienza cuando abandonamos la mera solucioacuten de eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_algebraica
Geometriacutea diferencial ndash
Geometria de curvas y superficies Geometria diferencial de variedades eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_diferencial
Topologiacutea diferencial ndash
La Teoriacutea de Singularidades no es una teoriacutea axiomaacutetica como otras en las que se considera un cierto espacio que verifica unos ciertos axiomas Por el contrario el teacutermino singularidad se utiliza a menudo en distintas ramas de las Matemaacuteticas como Anaacutelisis Topologiacutea Diferencial Sistemas Dinaacutemicos Geometriacutea Algebraica para designar cosas distintas por ejemplo singularidad de una aplicacioacuten diferenciable singularidad de una ecuacioacuten diferencial singularidad de una variedad algebraica Sin embargo en todos los casos la palabra singular refleja una situacioacuten que es contraria a algo que se entiende como regular
Topologiacutea algebraica ndash
La Topologiacutea algebraica es una rama de las matemaacuteticas en la que se usan las herramientas del Aacutelgebra abstracta para estudiar los espacios topoloacutegicos eswikipediaorgwikiTopologC3ADa_algebraica
Aacutelgebra lineal ndash
El Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
Cuaterniones y rotacioacuten en el espacio
Los Cuaterniones son una extensioacuten de los nuacutemeros reales similar a la de los nuacutemeros complejos Mientras que los nuacutemeros complejos son una extensioacuten de los reales por la adicioacuten de la unidad imaginaria i tal que i2 = -1 los cuaterniones son una extensioacuten generada de manera anaacuteloga antildeadiendo las unidades imaginarias i j y k a los nuacutemeros reales y tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicacioacuten eswikipediaorgwikiCuaterniones
C8 Matemaacutetica finita
Combinatoria ndash
Las matemaacuteticas combinatorias son una rama de las matemaacuteticas aplicadas que se ocupan de problemas de conteo de diverso tipo de complejidad Dependiendo de la naturaleza del problema se utilizaraacuten las formulas de combinaciones variaciones permutaciones eswikipediaorgwikiCombinatoria
Teoriacutea de conjuntos ndash
Se denomina Teoriacutea de conjuntos a una rama de las matemaacuteticas El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemaacutetico alemaacuten Georg Cantor en el Siglo XIX eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_conjuntos
Estadiacutestica y Probabilidad ndash
15
La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
16
CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
28
Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
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El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
34
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
La distribucioacuten de probalbilidad que mejor refleja los eventos reales de lluviascortas e intensas corresponde a la de Gumbel en asocio con la serie de revistaingenieriaunivalleeduco
Teoriacutea de la Computacioacuten ndash
La teoriacutea de la computacioacuten es una ciencia en particular una rama de las matemaacuteticas y de la computacioacuten que centra su intereacutes en el estudio y definicioacuten formal de los coacutemputos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_la_computaciC3B3n
Matemaacutetica discreta ndash
Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Criptografiacutea ndash
Del griego kryptos (ocultar) y grafos (escribir) literalmente escritura oculta la criptografiacutea es la arte y ciencia de cifrar y descifrar datos utilizando las matemaacuteticas Haciendo posible intercambiar datos de manera que soacutelo puedan ser leiacutedos por las personas a quienes van dirigidos eswikipediaorgwikiCriptografC3ADa
Teoriacutea de los grafos ndash
Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_los_grafos
Teoriacutea de juegos
La teoriacutea de juegos es un aacuterea de las matematicas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) Los investigadores en teoriacutea de juegos estudian las estrategias oacuteptimas asi como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos Tipos de interaccioacuten semejantemente distintos pueden en realidad presentar estructuras de incentivos similares y por lo tanto representar conjuntamente un mismo juego eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_juegos
C9 Matemaacutetica aplicadaMecaacutenica ndash La Mecaacutenica se define como la rama de la fiacutesica que estudia los estados y movimientos de los cuerpos materiales Se divide en Cinemaacutetica Describe los diferentes tipos de movimientosDinaacutemica Estudia las causas que hacen cambiar los movimientos Esta a su vez se divide en estaacutetica y cineacutetica eswikipediaorgwikiMecC3A1nica
Caacutelculo numeacuterico ndash
16
CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
17
configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
18
Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
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Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
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Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
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Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
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Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
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tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
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CAacuteLCULO NUMEacuteRICO ETSII
Meacutetodos numeacutericos baacutesicos para la resolucioacuten de problemas matemaacuteticos
wwwdmaulpgcesasignaturascalnum-etsiihtml
Optimizacioacuten ndash La optimizacioacuten (tambieacuten denominada programacioacuten matemaacutetica) intenta dar respuesta a un tipo general de problema Encontrar los valores maacuteximos o miacutenimos de una funcioacuten objetivo f1(x1x2xn) las variables estando sujetas a restricciones ( f2(x1x2xn)= 0 o f2(x1x2xn) ge 0 ) eswikipediaorgwikiOptimizaciC3B3n_(matemC3A1ticas)
Matemaacuteticas discreta ndash Matemaacutetica discreta es la parte de las matemaacuteticas encargada del estudio de los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables eswikipediaorgwikiMatemC3A1tica_discreta
Estadiacutestica y probabilidad La estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica_y_Probabilidad
C10 Teoremas y conjeturas famosasTeorema de Fermat ndash El teorema de Fermat para el anaacutelisis matemaacutetico afirma que Si una funcioacuten f tiene un maacuteximo o miacutenimo local en c y si f(c) existe entonces f(c) = 0 eswikipediaorgwikiTeorema_de_Fermat
Hipoacutetesis de Riemann ndash La hipoacutetesis de Riemann formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859 es una conjetura sobre la distribucioacuten de los ceros de la funcioacuten zeta de Riemann ζ(s) y constituye uno de los problemas abiertos maacutes importantes de las matemaacuteticas contemporaacuteneas El Instituto Clay de Matemaacuteticas ofrece dentro del marco de su programa de problemas del milenio 1 milloacuten de doacutelares como premio por una prueba de la conjetura La mayor parte de los matemaacuteticos consideran que la conjetura es ceswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_de_Riemann
Hipoacutetesis del continuo ndash El continuo c es el cardinal de ℝ (conjunto de los nuacutemeros reales) Se dice que un conjunto A tiene la potencia del continuo si card(A) = c eswikipediaorgwikiHipC3B3tesis_del_continuo
clases de complejidad P y NP ndash
La complejidad en tiempo de un problema es el nuacutemero de pasos que toma resolver una instancia de un problema a partir del tamantildeo de la entrada utilizando el algoritmo maacutes eficiente a disposicioacuten Intuitivamente si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en nsup2 pasos se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de nsup2 Por supuesto el nuacutemero exacto de pasos depende de la maacutequina en la que se implementa del lenguaje utilizado y de otros factores Para no tener que hablar del costo exacto de un caacutelculo se utiliza la notacioacuten O Cuando un problema tiene costo en tiempo O(nsup2) en una
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
27
Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
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tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
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Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
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petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
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- Matemaacuteticas De Wikipedia la enciclopedia libre
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configuracioacuten de computador y lenguaje dado este costo sera el mismo en la mayoriacutea de los computadores de manera que esta notacioacuten generaliza la nocioacuten de coste independientemente del equipo utilizado
httpeswikipediaorgwikiComplejidad_computacional
Conjetura de Goldbach ndash La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos maacutes antiguos en matemaacuteticas Su enunciado es el siguiente (Se puede emplear dos veces el mismo nuacutemero primo) eswikipediaorgwikiConjetura_de_Goldbach
Conjetura de los nuacutemeros primos gemelos ndash Dos nuacutemeros primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro maacutes dos unidades Asiacute pues los nuacutemeros primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 oacute 29 y 31 eswikipediaorgwikiConjetura_de_los_nC3BAmeros_primos_gemelos
Teoremas de incompletitud de Goumldel ndash
Hay una antigua afirmacioacuten paradoacutejica llamada paradoja del mentiroso que puede ayudarnos a ilustrar el tema Esta afirmacioacuten es falsa Pasemos a analizar tal afirmacioacuten Si esta es verdadera esto significa que la afirmacioacuten es falsa lo cual contradice nuestra primera hipoacutetesis Por otra parte si la afirmacioacuten es falsa la afirmacioacuten debe de ser verdadera lo cual nos lleva de nuevo a una contradiccioacuten Una versioacuten aun maacutes simple de esta paradoja (como sentildealoacute Lewis Carrol) es la afirmacioacuten siguiente Yo estoy mintiendo En estas afirmaciones se presenta el fenoacutemeno llamado bucle extrantildeo Cualquier suposicioacuten inicial que se haga conduce a una refutacioacuten de eacutesta httpwwwantroposmodernocomwordkurtgodeldoc
Conjetura de Poincareacute ndash La conjetura de Poincareacute es una de las hipoacutetesis maacutes importantes de la topologiacutea matemaacutetica Henri Poincareacute establecioacute dicha conjetura en 1904 alrededor de la esfera tridimensional indicando que era uacutenica y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartiacutean sus propiedades eswikipediaorgwikiConjetura_de_PoincarC3A9
Argumento de la diagonal de Cantor ndash
- Buscar en la web documentos que contengan Argumento de la diagonal de CantorTeorema de Pitaacutegoras ndash El teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el aacutengulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado) eswikipediaorgwikiTeorema_de_PitC3A1goras
Teorema fundamental del caacutelculo ndash El teorema fundamental del caacutelculo integral consiste en la afirmacioacuten de que la derivacioacuten e integracioacuten de una funcioacuten son operaciones inversas Esto significa que toda funcioacuten continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matemaacuteticas denominada caacutelculoUna consecuencia directa de este teorema denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del caacutelculo permite calcular la integral de una funcioacuten utilieswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_cC3A1lculo
Teorema Fundamental del Aacutelgebra ndash Cualquier ecuacioacuten de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solucioacuten ya sea un nuacutemero real o un nuacutemero complejo Posiblemente extrantildee un poco que exista preocupacioacuten en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solucioacuten eswikipediaorgwikiTeorema_fundamental_del_C3A1lgebra
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
26
tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
27
Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
28
Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
34
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
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Teorema de los cuatro colores ndash Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comuacuten que no precisa conocimientos matemaacuteticos Un grafo se parece a la figura siguiente y consta de veacutertices y de aristas que unen algunos de ellos eswikipediaorgwikiTeorema_de_los_cuatro_colores
Lema de Zorn ndash El lema de Zorn tambieacuten conocido como el lema de Kuratowski-Zorn es un teorema en teoriacutea de conjuntos que establece que Estaacute nombrado en honor al matemaacutetico Max Zorn eswikipediaorgwikiLema_de_Zorn
Identidad de Euler llamada identidad de Euler es ciertamente la foacutermula maacutes importante de las matemaacuteticas pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia π es el nuacutemero mas importante de la geometriacutea eswikipediaorgwikiIdentidad_de_Euler
C11 Historia de las matemaacuteticas Historia de las matemaacuteticas ndash Histoacutericamente las matemaacuteticas surgieron con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio eswikipediaorgwikiHistoria_de_las_matemC3A1ticas
Matemaacuteticas en el mundo ndash Matemaacutetica es la disciplina que estudia mediante el razonamiento deductivolas propiedades de los entes abstractos tales como los nuacutemeroslas figuras geomeacutetricasetcasiacute como las relaciones que dichos entes guardan entre siacuteSuele decirse que las matemaacuteticas nacieron en Grecia hacia el antildeo 600 adC Pero esta afrimacioacuten es solo parcialmente verdadSeguacuten las maacutes recientes investigacionespuede afirmarse que existieron focos de cultura matemaacutetica mucho maacutes antiguoso maacutes o menos eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_mundo
Matemaacuteticas en Bizancio ndash A pesar de las medidas rigurosas tomadas por Justiniano contra la escuela de Atenas y del peso de la ortodoxia religiosa subsistioacute en el Imperio romano de Oriente hasta el sXV cierta tradicioacuten cientiacutefica y matemaacutetica Constantino fundoacute la primera universidad bizantina en el antildeo 330 Por entonces la Iglesia contrarrestoacute toda actividad cientiacutefica pero bajo el imperio de los Paleoacutelogos despueacutes de la caiacuteda del Imperio latino ocasionada por la cuarta cruzada (1204-1261)tuvo lugar eswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_Bizancio
Matemaacuteticas en el Islam medieval Durante mucho tiempo y auacuten entre los historiadores de la ciencia se ha sostenido que luego de un brillante periacuteodo en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemaacuteticas hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos a comienzos del siglo XVI reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran La percepcioacuten comuacuten del periacuteodo de alrededor de mil antildeos entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo meswikipediaorgwikiMatemC3A1ticas_en_el_Islam_medieval
C12 Matemaacuteticas recreativasCuadrado maacutegico ndash Un cuadrado maacutegico es la disposicioacuten de una serie de nuacutemeros enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los nuacutemeros por columnas filas y diagonales sea la misma la constante maacutegica Usualmente los nuacutemeros empleados para rellenar las casillas son consecutivos de 1 a nsup2 siendo n el nuacutemero de columnas y filas del cuadrado maacutegico eswikipediaorgwikiCuadrado_mC3A1gico
Papiroflexia
19
El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
20
3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
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Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
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El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
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La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
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Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
- Matemaacuteticas De Wikipedia la enciclopedia libre
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- Tabla de contenidos
- Categoriacuteas
- Categoriacuteas
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- C1 Fundamentos y Meacutetodos
- C2 Investigacioacuten Operativa
- C3 Nuacutemeros
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- C4 Matemaacutetica del cambio
- C5 Anaacutelisis
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- C6 Estructuras matemaacuteticas
- C7 Espacios
- C8 Matemaacutetica finita
- C9 Matemaacutetica aplicada
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- C10 Teoremas y conjeturas famosas
- C11 Historia de las matemaacuteticas
- C12 Matemaacuteticas recreativas
- DEFINICIONES Para buscar definiciones
- Pulsar CRTL + B
- Pulsar C+nordm en ventana
- Pulsar ldquoBuscar siguienterdquo
- Pulsar ldquocerrarrdquo
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- Crisis histoacutericas de las matemaacuteticas
- Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticos
- Conceptos errados
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- Adaptado a WORD por RRafanell 2505
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- Sistemas de numeracioacuten posicionales
- Sistemas de numeracioacuten no posicionales
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- Sistema binario
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- Tabla de contenidos
- Operaciones con binarios
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- Binarios a decimales
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- Veacutease tambieacuten
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- Decimales a binarios
- Suma de nuacutemeros binarios
- Resta de nuacutemeros binarios
- Producto de nuacutemeros binarios
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- Coacutedigo binario
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- Tabla de contenidos
- Coacutedigo Binario
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- Prefijo binario
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- Tabla de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Sistema sexagesimal
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- Tabla de contenidos
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- Ejemplos
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- Fracciones
- Tablas de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
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- Definicioacuten
- Implementacioacuten
- Ejemplo
- Historia
- Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
- Temas relacionados
- Disciplinas relacionadas
- Enlaces externos
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El origami (折り紙) es el arte de origen japoneacutes del plegado de papel (literalmente significa Plegar (oru 折る) Papel (kami 紙) en espantildeol de Espantildea se conoce como papiroflexia o hacer pajaritas de papel eswikipediaorgwikiPapiroflexia
Sigue el apunte
HistoriaHistoacutericamente la matemaacutetica surgioacute con el fin de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisioacuten amplia de las matemaacuteticas en el estudio de la estructura el espacio y el cambio
El estudio de la estructura comienza con los nuacutemeros inicialmente los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros
Las reglas que dirigen las operaciones aritmeacuteticas se estudian en el aacutelgebra elemental y las propiedades maacutes profundas de los nuacutemeros enteros se estudian en la teoriacutea de nuacutemeros
La investigacioacuten de meacutetodos para resolver ecuaciones lleva al campo del aacutelgebra abstracta
El importante concepto de vector generalizado a espacio vectorial es estudiado en el aacutelgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio
El estudio del espacio origina la geometriacutea primero la geometriacutea eucliacutedea y luego la trigonometriacutea
La comprensioacuten y descripcioacuten del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el caacutelculo
Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian las ecuaciones diferenciales
Los nuacutemeros usados para representar las cantidades continuas son los nuacutemeros reales
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de funcioacuten matemaacutetica Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz representan un papel clave en este estudio que se denomina Anaacutelisis
Por razones matemaacuteticas es conveniente para muchos fines introducir los nuacutemeros complejos lo que da lugar al anaacutelisis complejo
El anaacutelisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incoacutegnita es una funcioacuten pensaacutendola como un punto de un espacio funcional abstracto
Un campo importante en matemaacuteticas aplicadas es la probabilidad y la estadiacutestica que permiten la descripcioacuten el anaacutelisis y la prediccioacuten de fenoacutemenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias
El anaacutelisis numeacuterico investiga los meacutetodos para realizar los caacutelculos en computadoras
Crisis histoacutericas de las matemaacuteticasLas matemaacuteticas han pasado por tres crisis histoacutericas importantes
1 El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos la existencia de los nuacutemeros irracionales que de alguna forma debilitoacute la filosofiacutea de los pitagoacutericos
2 Aparicioacuten del caacutelculo en el siglo XVII con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
21
lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
25
En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
26
tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
27
Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
28
Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
34
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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3 La tercera fue el hallazgo de las antinomias como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX que atacaban los mismos cimientos de la materia
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORnuacutemerosUn nuacutemero es un siacutembolo que representa una cantidad Los nuacutemeros son ampliamente utilizados en matemaacuteticas pero tambieacuten en muchas otras disciplinas y actividades asiacute como de forma maacutes elemental en la vida diaria eswikipediaorgwikiNC3BAmero
nuacutemeros naturalesUn nuacutemero natural es cualquiera de los nuacutemeros 0 1 2 3 que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Naturales
nuacutemeros enterosLos nuacutemeros enteros son del tipo -59 -3 0 1 5 78 34567 etc es decir los naturales sus opuestos (negativos) y el ceroLos enteros con la adicioacuten y la multiplicacioacuten forman una algebraica llamada anillo Pueden ser considerados una extensioacuten de los nuacutemeros naturales y un subconjunto de los nuacutemeros racionales (fracciones) eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_Enteros
teoriacutea de nuacutemeros Tradicionalmente la teoriacutea de nuacutemeros es la rama de matemaacuteticas puras que estudia las propiedades de los nuacutemeros enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son faacutecilmente comprendidos por los no matemaacuteticos De forma maacutes general este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros Seguacuten los meacutetodos empleados y las preguntas que se intentan contestar la teoriacutea de nuacutemeros se subdivide en varias ramas eswikipediaorgwikiTeorC3ADa_de_nC3BAmeros
vectorUn vector en fiacutesica es un concepto que nos permite describir magnitudes direccionales tales como velocidad aceleracioacuten o fuerza Un vector se representa por un segmento con una flecha para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la magnitud de la flecha) y el punto de donde parte Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) se definen moacutedulo direccioacuten y sentido eswikipediaorgwikiVector_(fC3ADsica)
espacio vectorialHay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (EV) La primera es praacutectica detallada y elemental se hace listando todas las propiedades de los vectores y la segunda es teoacuterica conceptual elaborada y sinteacutetica pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos) eswikipediaorgwikiEspacio_vectorial
aacutelgebra linealEl Aacutelgebra Lineal es la rama de las matemaacuteticas que concierne al estudio de vectores espacios vectoriales transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales son un tema central en las matemaacuteticas modernas por lo que el aacutelgebra
21
lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
22
Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
23
Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
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Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
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Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
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El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
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Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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lineal es usada ampliamente en aacutelgebra abstracta y anaacutelisis funcional El aacutelgebra lineal tiene una representacioacuten concreta en la geometriacutea analiacutetica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencieswikipediaorgwikiC381lgebra_lineal
geometriacutea eucliacutedeaLa geometriacutea eucliacutedea fue la inventada por el matemaacutetico griego claacutesico Euclides alrededor de 300 antildeos antes de jC eswikipediaorgwikiGeometrC3ADa_euclC3ADdea
trigonometriacuteaLa trigonometriacutea (del griego la medicioacuten de los triaacutengulos) es una rama de la matemaacutetica que trabaja con los aacutengulos triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas como seno y coseno eswikipediaorgwikiTrigonometrC3ADa
ciencias naturalesLas ciencias naturales son ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza Las ciencias naturales estudian los aspectos fiacutesicos no humanos del mundoComo grupo las ciencias naturales se distinguen de las ciencias socialespor un lado y de de las artes y humanidades por otro eswikipediaorgwikiCiencias_naturales
caacutelculoEl caacutelculo se deriva de la antigua geometriacutea griega Demoacutecrito calculoacute el volumen de piraacutemides y conos se cree que consideraacutendolos formados por un nuacutemero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequentildeo) y Eudoxo y Arquiacutemedes utilizaron el meacutetodo de agotamiento para encontrar el aacuterea de un ciacuterculo con la exactitud requerida mediante el uso de poliacutegonos inscritos Sin embargo las dificultades para trabajar con nuacutemeros irracionales y las paradojas de Zenoacuten deswikipediaorgwikiCC3A1lculo
ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se utilizan para la resolucioacuten de problemas principalmente de Ciencias Fiacutesicas transformaacutendose posteriormente en capiacutetulos de Matemaacutetica Se utiliza mucho en laboratorios de investigacioacuten serios peritajes de hechos complejos planteos de teoriacuteas y ayudan a arribar a conclusiones que de otra manera seriacutea imposible inducir por experimentos u observacioacuten Luego de obtenido los resultados los experimentos suelen resultar muy aproximados a las predicciones de eacutestos caacutelculos y en el caso de diferir mucho muestran nuevos elementos o variables auacuten no consideradas enriqueciendo las teoriacuteas hasta llegar a la verdad del comportamiento del fenoacutemeno en estudio
nuacutemeros reales Los nuacutemeros reales son nuacutemeros usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos) Se puede pensar en un nuacutemero real como una fraccioacuten decimal posiblemente infinita como 3141592 Los nuacutemeros reales tienen una correspondencia biuniacutevoca con los puntos en una liacutenea eswikipediaorgwikiNC3BAmeros_reales
derivadaSea f una funcioacuten continua y C su curva Sea x = a la abscisa de un punto regular es decir donde C no hace un aacutenguloEn el punto A(a f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
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Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
26
tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
27
Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
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La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
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Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
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Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
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tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
- Matemaacuteticas De Wikipedia la enciclopedia libre
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- Tabla de contenidos
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- C2 Investigacioacuten Operativa
- C3 Nuacutemeros
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- C4 Matemaacutetica del cambio
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- C6 Estructuras matemaacuteticas
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- C8 Matemaacutetica finita
- C9 Matemaacutetica aplicada
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- En programas
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Su coeficiente director o sea su pendiente es facute(a) el nuacutemero derivado de f en a eswikipediaorgwikiDerivada
integralSean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o maacutes generalmente dominio) eswikipediaorgwikiIntegral
anaacutelisis complejoEl anaacutelisis complejo es la rama de las matemaacuteticas que investiga las funciones holomorfas esto es las funciones que estaacuten definidas en alguna regioacuten del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho maacutes fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales Por ejemplo toda funcioacuten holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definieswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_complejo
anaacutelisis funcionalEl anaacutelisis funcional es la rama de las matemaacuteticas y especiacuteficamente del anaacutelisis que trata del estudio de espacios de funciones Tienen sus raiacuteces histoacutericas en el estudio de transformaciones tales como transformacioacuten de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales La palabra funcional se remonta al caacutelculo de variaciones implicando una funcioacuten cuyo argumento es una funcioacuten Su uso en general se ha atribuido a Volterra eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_funcional
estadiacutesticaLa estadiacutestica es la rama de las matemaacuteticas que describe los fenoacutemenos donde no hay un componente absoluto es decir es discreta y sus modelos son estocaacutesticos La estadiacutestica ayuda a todas las demaacutes ciencias a generar modelos matemaacuteticos generales donde se haya considerado el componenete aleatorio eswikipediaorgwikiEstadC3ADstica
variables aleatoriasEn estadiacutestica y teoriacutea de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numeacuterico de un experimento aleatorio Matemaacuteticamente es una aplicacioacuten que da un valor numeacuterico a cada suceso en el espacio de los resultados posibles del experimento eswikipediaorgwikiVariable_aleatoria
anaacutelisis numeacutericoEl anaacutelisis numeacuterico es la rama de la matemaacutetica que se encarga de disentildear algoritmos para a traveacutes de nuacutemeros y reglas matemaacuteticas simples simular procesos matemaacuteticos maacutes complejos aplicados a procesos del mundo real eswikipediaorgwikiAnC3A1lisis_numC3A9rico
antinomiasAntinomia (del griego ἀντί anti- contra y νόμος nomos ley) es un teacutermino empleado en la loacutegica y la epistemologiacutea que en sentido laxo significa paradoja o contradiccioacuten irresoluble
Sigue
Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticosAntiguos
23
Aacutebaco
Aacutebaco de Napier
Regla de caacutelculo
Regla y compaacutes
Caacutelculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores (Lenguajes de programacioacuten y software editar]
Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
24
aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
25
En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
26
tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
27
Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
28
Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
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La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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Conceptos erradosLo que cuenta como conocimiento en matemaacuteticas se determina no mediante experimentacioacuten sino que mediante demostraciones No son por lo tanto las matemaacuteticas una rama de la fiacutesica la ciencia a la que histoacutericamente se encuentra maacutes emparentada puesto que la fiacutesica es una ciencia empiacuterica Por otro lado la experimentacioacuten juega un papel importante en la formulacioacuten de conjeturas razonables por lo que no se excluye a eacutesta de la investigacioacuten en matemaacuteticas
Las matemaacuteticas no son un sistema intelectualmente cerrado donde todo ya esteacute hecho Auacuten existen gran cantidad de problemas esperando solucioacuten
Matemaacuteticas no significa contabilidad Si bien los caacutelculos aritmeacuteticos son importantes en para los contadores los avances en mateacutematica abstracta difiacutecilmente cambiaraacuten su forma de llevar los libros
Matemaacuteticas no significa numerologiacutea La numerologiacutea utiliza la aritmeacutetica modular para nombres y fechas a nuacutemeros a los que se les atribuye emociones o significados esoteacutericos basados en la intucioacuten o en tradiciones
VOCABULARIO SEGUacuteN APARICION EN EL TEXTO ANTERIORdemostraciones
A pesar del enorme valor que tienen las demostraciones visuales para poner en concreto principios abstractos hay que tener mucho cuidado cuando presentamos figuras para mirar y reflexionar en busca de una conclusioacuten de valor matemaacutetico o geomeacutetrico
conjeturasEn Matemaacuteticas se trata de una afirmacioacuten que se supone cierta pero que carece de demostracioacuten hasta la fecha de su formulacioacuten eswikipediaorgwikiConjetura
contabilidadTiene por objeto normar y controlar los sistemas econoacutemicos y financieros de la organizacioacuten el manejo de estos estados financieros los presupuestos los flujos de caja etc Son actividades baacutesicas de contabilidad se debe tener en todo momento informacioacuten fidedigna (exacta y creiacuteble) que permita que la gerencia de la empresa tome decisiones acertadas Es un sistema que permite dar informacioacuten sobre el control del patrimonio institucional y empresarial La contabilidad como control permite ver la realidad de los informes y estados financieroswwwmonografiascomtrabajos16diccionario-comunicaciondiccionario-comunicacionshtml
numerologiacuteaLa numerologiacutea es una pseudociencia que pretende establecer relaciones miacutesticas entre nuacutemeros y personas acciones y otras entidades eswikipediaorgwikiNumerologC3ADa
24
aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
25
En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
26
tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
27
Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
28
Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
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El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
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Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
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La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
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10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
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Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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aritmeacutetica modular
En matemaacuteticas la aritmeacutetica modular es un sistema aritmeacutetico para unas clases de equivalencia de nuacutemeros enteros llamadas clases de congruencia Algunas veces se le llama sugerentemente aritmeacutetica del reloj ya que los nuacutemeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor (el moacutedulo)Por ejemplo cuando el moacutedulo es 12 entonces cualesquiera dos nuacutemeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o congruentes) uno con otro Los nuacutemeros eswikipediaorgwikiAritmC3A9tica_modular
De Diccionario a EnciclopediaEl uso de Google como diccionario aparte de la definicion nos proporciona un enlace a red
Vemos el uso del mismo procedente de una definicion
Sistema de numeracioacuten ndash
Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema Un sistema de numeracioacuten puede representarse como eswikipediaorgwikiSistema_de_numeraciC3B3n
Utilizando este enlace podemos obtener
Sistemas de numeracioacuten De Wikipedia la enciclopedia libre
Adaptado a WORD por RRafanell 2505Un sistema de numeracioacuten es un conjunto de siacutembolos y reglas de generacioacuten que permiten construir todos los nuacutemeros vaacutelidos en el sistema
Un sistema de numeracioacuten puede representarse como N = S + R donde
N es el sistema de numeracioacuten considerado
S son los siacutembolos permitidos en el sistema En el caso del sistema decimal son 019 en el binario son 01 en el octal son 017 en el hexadecimal son 019ABCDEF
R son las reglas de generacioacuten que nos indican queacute nuacutemeros son vaacutelidos y cuaacuteles son no-vaacutelidos en el sistema
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeracioacuten considerado pero una regla comuacuten a todos es que para construir nuacutemeros vaacutelidos en un sistema de numeracioacuten determinado soacutelo se pueden utilizar los siacutembolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeraciacuteon utilizado se antildeade como subiacutendice al nuacutemero)
Ejemplos
el nuacutemero 125(10 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema decimal pero el nuacutemero 12A(10 no lo es ya que utiliza un siacutembolo (A) no vaacutelido en el sistema
el nuacutemero 35(8 es un nuacutemero vaacutelido en el sistema octal pero el nuacutemero 39(8 no lo es ya que el 9 no es un siacutembolo vaacutelido en ese sistema
Esta representacioacuten posibilita la realizacioacuten de sencillos algoritmos para la ejecucioacuten de operaciones aritmeacuteticas
Sistemas de numeracioacuten posicionalesLos sistemas de numeracioacuten usados en la actualidad son posicionales
25
En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
26
tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
27
Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
28
Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
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El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
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Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
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La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
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10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
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Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
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Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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En estos sistemas de numeracioacuten el valor de un diacutegito depende tanto del siacutembolo utilizado como de la posicioacuten que eacutese siacutembolo ocupa en el nuacutemero
En este sistema desempentildea un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya
Un sistema de numeracioacuten de base n significa que tenemos n cifras para escribir los nuacutemeros (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior
Asiacute en el sistema decimal los diacutegitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y antildeadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero
Pero estamos demasiado acostumbrados a que despueacutes del 9 sigue el 10 y luego el 11 que no entendemos bien su significado profundo
Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los aacuterabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cuaacutel es tambieacuten conocido como Sistema Araacutebigo
Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si antildeadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una centena
Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoriacutea ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de numeracioacuten que no son precisamente de Base 10 tales como el Hexadecimal el Octal o el Binario
Tomemos ahora el sistema binario o base 2 con los diacutegitos vaacutelidos (01) y donde dos unidades forman una unidad de orden superior
Contemos como los nintildeos en este sistema 01 ahora al antildeadir 1 tenemos una unidad de orden superior y las unidades a 0 es decir 0110
iexclal 1 le sigue el 10
Sigamos contando 011011 al antildeadir 1 unidad las unidades pasan a dos y forma una unidad de segundo orden y como ya hay una tenemos 2 con lo que se forma una unidad de tercer orden o 100
iexclal 11 le sigue el 100
Asiacute tenemos 101(2 = 5(10
Ejemplos
El nuacutemero 333(10 estaacute formado por un soacutelo siacutembolo repetido tres veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute el primer 3 (empezando por la izquierda) representa un valor de 300 el segundo de 30 y el tercero de 3 dando como resultado el valor del nuacutemero
El nuacutemero
Todos los sistemas usados actualmente usan una base n En un sistema de numeracioacuten de base n existen n siacutembolos Al escribir un nuacutemero en base n el diacutegito d en la posicioacuten i de derecha a izquierda tiene un valor
En general un nuacutemero escrito en base n como
dmdm minus 1d2d1
26
tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
27
Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
28
Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
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Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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- Decimales a binarios
- Suma de nuacutemeros binarios
- Resta de nuacutemeros binarios
- Producto de nuacutemeros binarios
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- Tabla de contenidos
- Coacutedigo Binario
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- Fracciones
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tiene un valor
EL sistema decimal trabaja con diez diacutegitos (0123456789) el sistema de base ocho trabaja con ocho (01234567) El sistema binario o de base dos soacutelo utiliza dos (0 y 1)
Sistemas de numeracioacuten no posicionalesEl sistema de los nuacutemeros romanos no es estrictamente posicional Por esto es muy complejo disentildear algoritmos de uso general (por ejemplo para sumar restar multiplicar o dividir)
Sistema binarioSistema de numeracioacuten en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero dos con lo que disponemos de las cifras cero y uno (0 y 1)
Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo que su sistema de numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
Tabla de contenidos 1 Operaciones con binarios
o 11 Binarios a decimales
111 Veacutease tambieacuten
o 12 Decimales a binarios
o 13 Suma de nuacutemeros binarios
o 14 Resta de nuacutemeros binarios
o 15 Producto de nuacutemeros binarios
2 Veacutease tambieacuten
Operaciones con binariosBinarios a decimalesDado un nuacutemero N binario para expresarlo en decimal se debe escribir cada numero que lo compone (bit) multiplicado por la base del sistema (base = 2) elevado a la posicioacuten que ocupa Ejemplo
10012 = 910lt=gt1 times 23 + 0 times 22 + 0 times 21 + 1 times 20
Bit Acroacutenimo de Binary Digit (diacutegito binario)
Un bit es la unidad miacutenima de informacioacuten empleada en informaacutetica y ofimaacutetica Representa un uno o un cero (abierto o cerrado blanco o negro cualquier sistema de codificacioacuten sirve)
A traveacutes de secuencias de bits se puede codificar cualquier valor discreto como por ejemplo nuacutemeros palabras y imagenes
Cuatro bits forman un diacutegito hexadecimal
Ocho bits conforman un octeto
En ingleacutes es comuacuten llamar byte al octeto si bien originalmente byte se referiacutea a cualquier secuencia de una cantidad fija de bits
El nombre introducido en 1956 en la compantildeiacutea IBM es una desfiguracioacuten de la palabra bite (en ingleacutes literalmente mordisco)
27
Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
28
Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
34
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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- Ejemplos
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- Fracciones
- Tablas de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
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- Tabla de contenidos
- Introduccioacuten
- Definicioacuten
- Implementacioacuten
- Ejemplo
- Historia
- Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
- Temas relacionados
- Disciplinas relacionadas
- Enlaces externos
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Jocosamente el byte de cuatro diacutegitos es llamado nibble (bocadito en ingleacutes)Veacutease tambieacuten
Tipos de datos cubit | Byte | Kilobyte | Megabyte | Gigabyte | Terabyte | Petabyte | Exabyte | Zettabyte | Yottabyte
Decimales a binariosSe divide el nuacutemero decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y asiacute sucesivamente
Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el uacuteltimo cociente es decir el uno final (todo nuacutemero binario excepto el 0 empieza por uno) seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes
Del maacutes reciente hasta el primero que resultoacute
Este nuacutemero seraacute el binario que buscamos
A continuacioacuten se puede ver un ejemplo con el nuacutemero decimal 100 pasado a binario100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2 --------gt 100 =gt 1100100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
Otra forma de conversioacuten consiste en un meacutetodo parecido a la factorizacioacuten en nuacutemeros primos
Es relativamente faacutecil dividir cualquier nuacutemero entre 2 Este meacutetodo consiste tambieacuten en divisiones sucesivas
Dependiendo de si el nuacutemero es par o impar colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha si es impar le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos hasta llegar a 1
Despueacutes soacutelo nos queda coger el uacuteltimo resultado de la columna izquierda (que siempre seraacute 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los diacutegitos de abajo a arriba
Ejemplo100|0
50|0
25|1 --gt al ser impar restaremos 1 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1| -------gt100 =gt 1100100
Suma de nuacutemeros binariosRecordamos las siguientes sumas baacutesicas1 0+0=0
2 0+1=1
3 1+1=10
28
Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
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El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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- Pulsar ldquocerrarrdquo
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Asiacute si queremos sumar 100110101 maacutes 11010101 tenemos 100110101
11010101
-----------
1000001010
Operamos como en decimal comenzamos a sumar desde la derecha en nuestro ejemplo 1+1=10 entonces escribimos 0 y llevamos 1 (Esto es lo que se llama el arrastre carry en ingleacutes)
Se suma este 1 a la siguiente columna 1+0+0=1 y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal)
Resta de nuacutemeros binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal
Pero conviene repasar la operacioacuten de restar en decimal para comprender la operacioacuten binaria que es maacutes sencilla
Los teacuterminos que intervienen en la resta se llaman minuendo sustraendo y diferencia
Las restas baacutesicas 0-0 1-0 y 1-1 son evidentes1 0 ndash 0 = 0
2 1 ndash 0 = 1
3 1 ndash 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal tomando una unidad prestada de la posicioacuten siguiente 10 - 1 = 1 y me llevo 1 lo que equivale a decir en decimal 2 ndash 1 = 1
Esa unidad prestada debe devolverse sumaacutendola a la posicioacuten siguiente
Veamos algunos ejemplosRestamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46
10001 11011001
-01010 -10101011
------ ---------
00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento es faacutecil confundirse
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecaacutenicamente sin detenernos a pensar en el significado del arrastre
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones Dividir los nuacutemeros largos en grupos En el siguiente ejemplo vemos coacutemo se divide una resta larga en tres restas cortas
Restamos 100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
------------- = ----- ----- -----
010000101011 0100 0010 1011
29
Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
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Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
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La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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Utilizando el Complemento a dos La resta de dos nuacutemeros binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo Veamos algunos ejemplos
Hagamos la siguiente resta 91 ndash 46 = 45 en binario 1011011 1011011
-0101110 C246 = 1010010 +1010010
-------- --------
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit que se desborda por la izquierda
Pero como el nuacutemero resultante no puede ser maacutes largo que el minuendo el bit sobrante se despreciaUn uacuteltimo ejemplo Vamos a restar 219 ndash 23 = 196 directamente y utilizando el complemento a dos 11011011 11011011
-00010111 C223 = 11101001 +11101001
--------- --------
11000100 111000100
Y despreciando el bit que se desborda por la izquierda llegamos al resultado correcto 11000100 en binario 196 en decimal
Producto de nuacutemeros binariosEl producto de nuacutemeros binarios es especialmente sencillo ya que el 0 multiplicado por cualquier numero da 0 y el 1 es el elemento neutro del producto
Por ejemplo multipliquemos 10110 por 1001 10110
1001
---------
10110
00000
00000
10110
---------
11000110
Coacutedigo binarioTabla de contenidos 1 Definicioacuten
2 Coacutedigo Binario
o 21 Propiedades
o 22 En programas
30
Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
34
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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Coacutedigo es la correspondencia que asigna a cada siacutembolo de un conjunto dado una determinada correspondencia de otro conjunto seguacuten las reglas determinadas de conversioacuten
Coacutedigo BinarioLos coacutedigos binarios utilizan dos siacutembolos numeacutericos 0 y 1 Ej En el Coacutedigo ASCII se representan letras nuacutemeros siacutembolos y es un coacutedigo de 8 Bits
El proceso de hacer corresponder a cada siacutembolo del alfabeto fuente el coacutedigo se llama codificacioacuten
Al proceso contrario Decodificacioacuten
Propiedades1 Un coacutedigo binario es ponderado cuando a cada diacutegito binario le corresponde un peso seguacuten su posicioacuten
2 Distancia del coacutedigo es la distancia menor (diferencia de bits)
3 Un coacutedigo contiacutenuo es que dos palabras coacutedigo consecutivas son adyacentes Ej Coacutedigos Gray oacute Johnson
4 Coacutedigo ciacuteclico aquel que ademaacutes de ser contiacutenuo la primera palabra y la uacuteltima tambieacuten lo son
En informaacutetica y en conjunto electroacutenica se han empleado a lo largo del tiempo coacutedigos binarios entre ellos BCD (con las variantes Natural Aiken y Exceso 3) y Gray coacutedigos escritos puramente en binario pero usando otras reglas
Los coacutedigos binarios que se utilizan en los sistemas digitales para almacenar informacioacuten hacer operaciones aritmeacuteticas reparar errores
Los coacutedigos binario pueden ser numeacutericos o alfanumeacutericos dependiendo de si soacutelo codifican nuacutemeros o caracteres (incluidos nuacutemeros) respectivamente
A continuacioacuten se tiene una clasificacioacuten de los principales coacutedigos binarios
Coacutedigos Numeacutericos
1 Binario Natural
2 BCD
Ponderado
1 Natural (Coacutedigo decimal codificado en binario)
2 Aiken (Coacutedigo decimal codificado en binario)
3 5 4 2 1
No Ponderado
1 Exceso 3
1 Continuos
1 Gray
2 Johnson
1 Detectores de errores
1 Biquinario
31
2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
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El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
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Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
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La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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2 2 entre 5
3 Con bit de paridad
1 Corrector de errores
1 Hamming
Coacutedigos alfanumeacutericos
1 Coacutedigo ASCII
2 Coacutedigo estaacutendar ISO-8859-1
En programasEl coacutedigo binario de un programa denomindo coacutedigo maacutequina es una codificacioacuten en sistema binario que es el uacutenico que puede ser directamente ejecutado por un ordenador
Sin embargo para los seres humanos programar en coacutedigo maacutequina es molesto y propenso a errores
Incluso con la abreviatura octal o hexadecimal es faacutecil confundir una cifra con otra y trabajoso acordarse del coacutedigo de operacioacuten de cada una de las instrucciones de la maacutequina
Por esa razoacuten se inventaron los lenguajes simboacutelicos o nemoacutenicos que se llaman asiacute porque utilizan siacutembolos para representar o recordar las operaciones a realizar por cada instruccioacuten y las direcciones de memoria sobre las que actuacutea
En la siguiente tabla se muestran varios ejemplos de coacutedigos de operacioacuten junto a su equivalente en nemoacutenico y significado que se aplican a los microprocesadores de Intel
Ejemplos de coacutedigos de operacioacuten
Coacutedigo Nemoacutenico Descripcioacuten
00000101 ADD Sumar al acumular
00101101 SUB Restar al acumular
010000xx INC Incrementar el registro xx
010010xx DEC Decrementar el registro xx
11101011 JMP Salto incondicional
101110xx MOV Cargar registro xx desde memoria
Prefijo binarioLos prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits
Son derivados aunque diferentes de los prefijos del SI como kilo mega giga y otros
La praacutectica espontaacutenea de los cientiacuteficos de la computacioacuten fue acortar los prefijos K M y G para kilobyte megabyte y gigabyte
Sin embargo expresiones como tres megabytes han sido abreviados incorrectamente como 3M y el prefijo deviene en sufijo
32
No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
34
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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- Pulsar C+nordm en ventana
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No obstante el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) con si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones
Tabla de contenidos 1 Uso convencional
2 Norma CEI
3 Veacutease tambieacuten
4 Enlaces externos
Uso convencionalEn la praacutectica popular los prefijos binarios corresponden a nuacutemeros similares mas diferentes de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
Los primeros son potencias con base 2 mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10 Los valores se listan a continuacioacuten
Prefijos en el uso convencional de la informaacutetica
Nombre
Siacutembolo
Potencias binarias y valores decimales
Hexa
Nombre Valores en el SI
unidad 2 0 = 1 16 0 un(o) 10 0 = 1
kilo K 210 = 1 024 16 25 mil 10 3 = 1 000
mega M 220 = 1 048 576 16 5 milloacuten 10 6 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 16 75 millardo 10 9 = 1 000 000 000
tera T 240 = 1 099 511 627 776 1610 billoacuten 1012 = 1 000 000 000 000
peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 16125 billardo 1015 = 1 000 000 000 000 000
exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 1615 trilloacuten 1018 = 1 000 000 000 000 000 00
0
zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 16175 trillard
o1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 1620 cuatrill
oacuten1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Estos son los mismos siacutembolos que los prefijos del SI con la excepcioacuten de K que corresponde al k ya que K es el siacutembolo del kelvin en el SI
El uso convencional sembroacute confusioacuten 1024 no es 1000
Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad de unos 28 230 bytes Los ingenieros en telecomunicaciones tambieacuten los usan una conexioacuten de 1 Mbits transfiere 106 bits por segundo
Sin embargo los fabricantes de disquetes son los mayores embaucadores para ellos el prefijo M no significa (1000 times 1000) como en el SI ni (1024 times 1024) como en informaacutetica
33
El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
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Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
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La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
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tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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- Fracciones
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- Tabla de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Fracciones
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- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Introduccioacuten
- Definicioacuten
- Implementacioacuten
- Ejemplo
- Historia
- Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
- Temas relacionados
- Disciplinas relacionadas
- Enlaces externos
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El disquete comuacuten de 144 MB tiene una capacidad de (144 times 1000 times 1024) bytes de 8 bits (Sin olvidar que los disquetes de 3frac12 pulgadas son en realidad de 90 miliacutemetros)
En la eacutepoca de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusioacuten no era muy peligrosa ya que la diferencia entre 210 y 103 es maacutes o menos 2
En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los perifeacutericos de almacenamiento en la actualidad las diferencias llevan a errores cada vez mayores
Existe tambieacuten confusioacuten respecto de los siacutembolos de las unidades de medicioacuten de la informacioacuten ya que no son parte del SI
La praacutectica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio byte se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un caracter)
En la praacutectica es comuacuten encontrar B por byte u octeto y b por bit lo cual es inaceptable en el SI porque B es el siacutembolo del belio
El uso de o para octeto (byte de ocho bits) tambieacuten traeriacutea problemas porque podriacutea confundirse con el cero
Norma CEIEn 1999 el comiteacute teacutecnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisioacuten Electroteacutecnica Internacional (CEI) publicoacute la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2 Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2 Telecommunications and electronics (IEC 60027-2 Siacutembolos de letras para usarse en tecnologiacutea eleacutectrica - Parte 2 Telecomunicaciones y electroacutenica en ingleacutes)
Esta norma publicada originalmente en 1998 introduce los prefijos kibi mebi gibi tebi pebi y exbi nombres formados con la primera siacutelaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por binario La norma tambieacuten estipula que los prefijos SI siempre tendraacuten los valores de potencias de 10 y nunca deberaacuten ser usados como potencias de 2
Prefijos CEI
Nombre Siacutembolo Factor
kibi Ki 210 = 1 024
mebi Mi 220 = 1 048 576
gibi Gi 230 = 1 073 741 824
tebi Ti 240 = 1 099 511 627 776
pebi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976
A la fecha (2005) esta convencioacuten de nombres todaviacutea no ha ganado amplia difusioacuten
Los nombres ECI estaacuten definidos hasta exbi correspondiente al prefijo SI exa
Los otros prefijos zetta (1021) y yotta (1024) no tienen correspondiente
Por extensioacuten de lo establecido por la norma se puede sugerir zebi (Zi) y yobi (Yi) como prefijos para 270 (1 180 591 620 717 411 303 424) y 280 (1 208 925 819 614 629 174 706 176)
34
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiPrefijo_binario
Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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Sistema octalEl sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Los nuacutemeros octales pueden construirse a partir de nuacutemeros binarios agrupando cada tres diacutegitos consecutivos de estos uacuteltimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal
Por ejemplo el nuacutemero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo agrupariacuteamos como 1 001 010
De modo que el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal
Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos
Es posible que la numeracioacuten octal se usara en el pasado en lugar de la decimal por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares
Esto explicariacutea porqueacute en latiacuten nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus)
Podriacutea tener el significado de nuacutemero nuevo
FraccionesLa numeracioacuten octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones puesto que el uacutenico factor primo para sus bases es 2
Fraccioacuten Octal Resultado en octal
12 12 04
13 13 025252525 perioacutedico
14 14 02
15 15 014631463 perioacutedico
16 16 0125252525 perioacutedico
17 17 0111111 perioacutedico
18 110 01
19 111 007070707 perioacutedico
110 112 0063146314 perioacutedico
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiSistema_octal
Sistema decimalEl sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el que las cantidades se representan utilizando como base el nuacutemero diez por lo que se compone de las cifras cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve (9)
Este conjunto de siacutembolos se denomina nuacutemeros aacuterabes
Es el sistema de numeracioacuten usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten
35
Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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- Ejemplo
- Historia
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Sin embargo contextos como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten de proposito maacutes especiacutefico como el binario o el hexadecimal
Tambieacuten pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como el quinario el duodecimal y el vigesimal
Por ejemplo cuando se cuentan artiacuteculos por docenas o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nuacutemeros (en franceacutes por ejemplo el nuacutemero 80 se expresa como cuatro veintenas)
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base para contar
El sistema decimal es un sistema de numeracioacuten posicional por lo que el valor del diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero
Asiacute
FraccionesAlgunas fracciones muy simples como 13 tienen infinitas cifras decimales
Por eso algunos han propuesto la adopcioacuten del sistema duodecimal en el que 13 tiene una representacioacuten maacutes sencilla
12 = 05
13 = 03333
14 = 025
15 = 02
16 = 01666
17 = 0142857142857
18 = 0125
19 = 01111
Tabla de multiplicar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
36
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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- Ejemplo
- Historia
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9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 10 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 3 7 o 9Las 6 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son muacuteltiplos de 5
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 5)
Sistema duodecimalEl sistema duodecimal es un sistema de numeracioacuten de base 12
Existen sociedades en Gran Bretantildea y en los EEUU que promocionan el uso de la base 12 argumentando lo siguiente
El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12) que son 2 3 4 y 6 mientras que el 10 soacutelo tiene dos factores propios 2 y 5 Debido a esto las
multiplicaciones y divisiones en base 12 son maacutes sencillas (ver maacutes adelante) y por tanto el sistema duodecimal es maacutes eficiente que el decimal
Histoacutericamente el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones Se cree que la observacioacuten de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un antildeo es el motivo por el cual
el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas Algunos ejemplos incluyen el antildeo de 12 meses 12 signos zodiacales 12 animales en la astrologiacutea china etc
Debido a que el 12 es un nuacutemero abundante se emplea con profusioacuten en las unidades de medida por ejemplo un pie son 12 pulgadas una libra troy equivale a 12 onza (unidad de masa)s una docena de artiacuteculos tiene 12 artiacuteculos una gruesa tiene 12 docenas etc
FraccionesLas fracciones en base 12 pueden ser muy sencillas o complicadas
12 = 06
13 = 04
14 = 03
15 = 02497
16 = 02
17 = 0186A35
18 = 016
19 = 014
1A = 012497
1B = 01
Tabla de multiplicar
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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- Fracciones
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- Introduccioacuten
- Definicioacuten
- Implementacioacuten
- Ejemplo
- Historia
- Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100
Buacutesqueda de nuacutemeros primosEn base 12 un nuacutemero primo soacutelo puede acabar en 1 5 7 o BLas 8 posibilidades restantes generan siempre nuacutemeros compuestos
Los acabados en 2 4 6 8 A y 0 son muacuteltiplos de 2
Los acabados en 3 6 9 y 0 son muacuteltiplos de 3
(Las uacutenicas excepciones son los nuacutemeros primos 2 y 3)
Sistema hexadecimalEl sistema hexadecimal un sistema de numeracioacuten vinculado a la informaacutetica ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programacioacuten en bytes que estaacuten compuestos de ocho diacutegitos
A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento funcionan con muacuteltiplos de ocho como 16 o 32
Por este motivo el sistema hexadecimal de 16 diacutegitos es un estaacutendar en la informaacutetica
Como nuestro sistema de numeracioacuten soacutelo dispone de diez diacutegitos debemos incluir seis letras para completar el sistema
Estas letras y su valor en decimal son A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numeacuterico asociado a cada signo depende de su posicioacuten en el nuacutemero y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16
Veamos un ejemplo numeacuterico 3E0A (16) = 3times162 + Etimes161 + 0times160 + Atimes16-1 = 3times256 + 14times16 + 0times1 + 10times00625 = 992625
38
La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
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los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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La utilizacioacuten del sistema hexadecimal en los ordenadores se debe a que un diacutegito hexadecimal representa a cuatro diacutegitos binarios (4 bits = 1 nibble) por tanto dos diacutegitos hexadecimales representaran a ocho diacutegitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad baacutesica de almacenamiento de informacioacuten
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLa buacutesqueda de nuacutemeros primos en base 16 es menos eficiente que en base 10
Un nuacutemero primo puede acabar en cualquiera de estas ocho cifras 1 3 5 7 9 B D o F
La uacutenica excepcioacuten es el nuacutemero primo 2
Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es un sistema de numeracioacuten posicional que emplea la base 60
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia (veacutease Numeracioacuten babiloacutenica) Tambieacuten fue empleado en una forma maacutes moderna por los aacuterabes durante el califato omeya
El nuacutemero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2 3 4 5 6 10 12 15 20 y 30) con lo que se facilita el caacutelculo con fracciones
Noacutetese que 60 es el nuacutemero maacutes pequentildeo que es divisible por 1 2 3 4 y 5
Al contrario que la mayoriacutea de los demaacutes sistemas de numeracioacuten el sexagesimal no se usa mucho en la computacioacuten general ni en la loacutegica pero siacute en la medicioacuten de aacutengulos (veacutease trigonometriacutea) y coordenadas geomeacutetricas
La unidad estaacutendar en sexagesimal es el grado
Una circunferencia se divide en 360 grados
Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a los minutos de arco (160 de grado) y segundos de arco (160 de minuto)
Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medicioacuten del tiempo
Hay 24 horas en un diacutea 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto
Casualmente un antildeo tiene cerca de 360 (60times6) diacuteas
Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal
Para expresar los nuacutemeros en el sistema sexagesimal se sigue un convenio que consiste en emplear los nuacutemeros del sistema decimal (de 0 a 59) separados de dos en dos por comas
Para indicar la coma decimal se empleariacutea un punto y coma sexagesimal
Por ejemplo el nuacutemero 10730 corresponde a 1 + 760 + 30602 = 1125 en decimal
Tabla de contenidos 1 Ejemplos
2 Fracciones
3 Tablas de multiplicar
4 Buacutesqueda de nuacutemeros primos
Ejemplos
39
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
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Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
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- Matemaacuteticas De Wikipedia la enciclopedia libre
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- Categoriacuteas
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- C3 Nuacutemeros
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- C4 Matemaacutetica del cambio
- C5 Anaacutelisis
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- C6 Estructuras matemaacuteticas
- C7 Espacios
- C8 Matemaacutetica finita
- C9 Matemaacutetica aplicada
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- C10 Teoremas y conjeturas famosas
- C11 Historia de las matemaacuteticas
- C12 Matemaacuteticas recreativas
- DEFINICIONES Para buscar definiciones
- Pulsar CRTL + B
- Pulsar C+nordm en ventana
- Pulsar ldquoBuscar siguienterdquo
- Pulsar ldquocerrarrdquo
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- Tabla de contenidos
- Operaciones con binarios
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- Binarios a decimales
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- Veacutease tambieacuten
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- Decimales a binarios
- Suma de nuacutemeros binarios
- Resta de nuacutemeros binarios
- Producto de nuacutemeros binarios
-
- Coacutedigo binario
-
- Tabla de contenidos
- Coacutedigo Binario
-
- Propiedades
- En programas
-
- Prefijo binario
-
- Tabla de contenidos
- Uso convencional
- Norma CEI
-
- Sistema octal
-
- Fracciones
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- Sistema decimal
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- Fracciones
- Tabla de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Fracciones
- Tabla de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Tabla de contenidos
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- Ejemplos
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- Fracciones
- Tablas de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Tabla de contenidos
- Introduccioacuten
- Definicioacuten
- Implementacioacuten
- Ejemplo
- Historia
- Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
- Temas relacionados
- Disciplinas relacionadas
- Enlaces externos
-
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raiacutez cuadrada de 2 Una aproximacioacuten muy buena de este valor es
1414212 = 3054721600 = 1245110 (sexagesimal = 1 + 2460 + 51602 + 10603)
una constante que ya fue utilizada por los matemaacuteticos babilonios del Periodo Babiloacutenico Antiguo (1900 adC - 1650 adC) y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289
Un valor maacutes exacto de es 12451100746060444
La duracioacuten del antildeo tropical en la astronomiacutea neo-babiloacutenica (veacutease Hiparco)
36524579 = 0605144451 (365 + 1460 + 44602 + 51603)
El valor de π que empleaba Ptolomeo
3141666 = 377120 = 30830 (3 + 860 + 30602)
FraccionesComo 60 tiene muchos divisores las fracciones simples suelen tener un desarrollo sexagesimal simple
12 = 030
13 = 020
14 = 015
15 = 012
16 = 010
17 = 0083417
18 = 00730
19 = 00640
110 = 006
111 = 00527162149
112 = 005
113 = 004365523
114 = 004170834
115 = 004
116 = 00345
117 = 00331455256281407
118 = 00320
119 = 0030928251547220618565031344412375341
120 = 003
124 = 00230
125 = 00224
127 = 0021320
40
130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
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Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
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Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
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terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
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- Fracciones
- Tablas de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
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- Tabla de contenidos
- Introduccioacuten
- Definicioacuten
- Implementacioacuten
- Ejemplo
- Historia
- Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
- Temas relacionados
- Disciplinas relacionadas
- Enlaces externos
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130 = 002
132 = 0015230
136 = 00140
140 = 00130
145 = 00120
148 = 00115
150 = 00112
154 = 0010640
159 = 001
160 = 001
Tablas de multiplicarLas tablas de multiplicar en base 60 son relativamente difiacuteciles de memorizar ya que se trata de memorizar 59times602 = 1770 productos distintos
A modo de comparacioacuten en el sistema decimal hay que memorizar 9times102 = 45 productos
Buacutesqueda de nuacutemeros primosLos nuacutemeros primos pueden acabar en las siguientes cifras 01 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 o 59
En otras palabras si tenemos un nuacutemero natural cuya uacuteltima cifra en base 60 es un nuacutemero primo (que no sea 02 03 o 05) el 01 o el 49 entonces ese nuacutemero puede ser primo - y se podriacutea comprobar empleando alguacuten meacutetodo de primalidad
Si no acaba en alguna de esas cifras entonces tiene que ser compuesto
Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
los Diagrama de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos
Tabla de contenidos 1 Introduccioacuten
2 Definicioacuten
3 Implementacioacuten
4 Ejemplo
5 Historia
6 Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
7 Temas relacionados
8 Disciplinas relacionadas
9 Libros sobre Algoritmia
41
10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
42
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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- Tabla de contenidos
- Categoriacuteas
- Categoriacuteas
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- C1 Fundamentos y Meacutetodos
- C2 Investigacioacuten Operativa
- C3 Nuacutemeros
-
- C4 Matemaacutetica del cambio
- C5 Anaacutelisis
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- C6 Estructuras matemaacuteticas
- C7 Espacios
- C8 Matemaacutetica finita
- C9 Matemaacutetica aplicada
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- C10 Teoremas y conjeturas famosas
- C11 Historia de las matemaacuteticas
- C12 Matemaacuteticas recreativas
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- Definicioacuten
- Implementacioacuten
- Ejemplo
- Historia
- Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
- Temas relacionados
- Disciplinas relacionadas
- Enlaces externos
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10 Enlaces externos
IntroduccioacutenEl teacutermino algoritmo no estaacute exclusivamente relacionado con las matemaacuteticas o informaacutetica
En realidad en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas
Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones) para cocinar (se siguen los pasos de la receta)
Tambieacuten existen ejemplos de iacutendole matemaacutetica como el algoritmo de la divisioacuten para calcular el cociente de dos nuacutemeros el algoritmo de Euclides para calcular el maacuteximo comuacuten divisor de dos enteros positivos o incluso el meacutetodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
DefinicioacutenUn algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema
De un modo maacutes formal un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables no ambiguas cuya ejecucioacuten da una solucioacuten de un problema
ImplementacioacutenLos algoritmos no se implementan soacutelo como programas algunas veces en una red neuronal bioloacutegica (por ejemplo el cerebro humano implementa la aritmeacutetica baacutesica o incluso una rata sigue un algoritmo para conseguir comida) tambieacuten en circuitos eleacutectricos en instalaciones industriales o maquinaria pesada
El anaacutelisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computacioacuten y en la mayoriacutea de los casos su estudio es completamente abastracto sin usar ninguacuten tipo de lenguaje de programacioacuten ni cualquier otra implementacioacuten por eso en ese sentido comparte las caracteriacutesticas de las disciplinas matemaacuteticas
Asiacute el anaacutelisis de los algoritmos se centra en los principios baacutesicos del algoritmo no en los de la implementacioacuten particular
Una forma de plasmar (o algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en pseudocoacutedigo
Algunos escritores restringen la definicioacuten de algoritmo a procedimientos que deben acabar en alguacuten momento mientras que otros consideran procedimientos que podriacutean ejecutarse eternamente sin pararse suponiendo el caso en el que existiera alguacuten dispositivo fiacutesico que fuera capaz de funcionar eternamente
En este uacuteltimo caso la finalizacioacuten con eacutexito del algoritmo no se podriacutea definir como la terminacioacuten de eacuteste con una salida satisfactoria sino que el eacutexito estariacutea definido en funcioacuten de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecucioacuten del algoritmo
Por ejemplo un algoritmo que verifica que hay maacutes ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor uacutetil S
i se implementa correctamente el valor devuelto por el algoritmo seraacute vaacutelido hasta que evaluacutee el siguiente diacutegito binario
De esta forma mientras evaluacutea la siguiente secuencia podraacuten leerese dos tipos de sentildeales una sentildeal positiva (en el caso de que el nuacutemero de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario
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Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
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tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
- Matemaacuteticas De Wikipedia la enciclopedia libre
-
- Tabla de contenidos
- Categoriacuteas
- Categoriacuteas
-
- C1 Fundamentos y Meacutetodos
- C2 Investigacioacuten Operativa
- C3 Nuacutemeros
-
- C4 Matemaacutetica del cambio
- C5 Anaacutelisis
-
- C6 Estructuras matemaacuteticas
- C7 Espacios
- C8 Matemaacutetica finita
- C9 Matemaacutetica aplicada
-
- C10 Teoremas y conjeturas famosas
- C11 Historia de las matemaacuteticas
- C12 Matemaacuteticas recreativas
- DEFINICIONES Para buscar definiciones
- Pulsar CRTL + B
- Pulsar C+nordm en ventana
- Pulsar ldquoBuscar siguienterdquo
- Pulsar ldquocerrarrdquo
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- Historia
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- Instrumentos para caacutelculos matemaacuteticos
- Conceptos errados
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- Adaptado a WORD por RRafanell 2505
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- Sistemas de numeracioacuten posicionales
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- Sistema binario
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- Tabla de contenidos
- Operaciones con binarios
-
- Binarios a decimales
-
- Veacutease tambieacuten
-
- Decimales a binarios
- Suma de nuacutemeros binarios
- Resta de nuacutemeros binarios
- Producto de nuacutemeros binarios
-
- Coacutedigo binario
-
- Tabla de contenidos
- Coacutedigo Binario
-
- Propiedades
- En programas
-
- Prefijo binario
-
- Tabla de contenidos
- Uso convencional
- Norma CEI
-
- Sistema octal
-
- Fracciones
-
- Sistema decimal
-
- Fracciones
- Tabla de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Sistema duodecimal
-
- Fracciones
- Tabla de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
-
- Sistema hexadecimal
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- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Tabla de contenidos
-
- Ejemplos
-
- Fracciones
- Tablas de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Algoritmo De Wikipedia la enciclopedia libre
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- Tabla de contenidos
- Introduccioacuten
- Definicioacuten
- Implementacioacuten
- Ejemplo
- Historia
- Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
- Temas relacionados
- Disciplinas relacionadas
- Enlaces externos
-
Finalmente la salida de este algoritmo se define como la devolucioacuten de valores exclusivamente positivos si hay maacutes ceros que unos en la secuencia y en cualquier otro caso devolveraacute una mezcla de sentildeales positivas y negativas
EjemploSe presenta el algoritmo para encontrar el maacuteximo de un conjunto de enteros positivos Se basa en recorrer una vez cada uno de los elementos comparaacutendolo con un valor concreto (el maacuteximo entero encontrado hasta ahora)
En el caso de que el elemento actual sea mayor que el maacuteximo se le asigna su valor al maacuteximo
El algoritmo escrito de una manera maacutes formal esto es en pseudocoacutedigo tendriacutea el siguiente aspecto
ALGORITMO Maximo
ENTRADAS Un conjunto no vaciacuteo de enteros C
SALIDAS El mayor nuacutemero en el conjunto C
maximo larr -infin
PARA CADA elemento EN el conjunto C HAZ
SI item gt maximo HAZ
maximo larr elem
DEVUELVE maximo
Sobre la notacioacuten
larr representa la asignacioacuten entre dos elementos Por ejemplo con maximo larr elem significa que el nuacutemero maximo cambia su valor por el de elem
DEVUELVE termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso maximo)
Como medida de la bondad de un algoritmo se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo
Por eso se ha desarrollado el anaacutelisis de algoritmos para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolucioacuten del gasto de tiempo y memoria en funcioacuten del tamantildeo de los valores de entrada
Por ejemplo el algoritmo anterior tiene un orden de efiniencia en tiempo de O(n) en la notacioacuten O mayuacutescula n es el tamantildeo de la entradas en este caso n es la el nuacutemero de elementos de C
Ademaacutes como el algoritmo necesita recordar un uacutenico valor (el maacuteximo) requiere un espacio de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamantildeo de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo)
HistoriaLa palabra algoritmo proviene del nombre del matemaacutetico persa llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi que vivioacute entre los siglos VIII y IX
Su trabajo consistioacute en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India
43
Sus libros eran de faacutecil comprensioacuten he aquiacute que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento sino el simplificar las matemaacuteticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio puacuteblico
Cabe destacar como eacutel sentildealoacute las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales aacuterabes) y como explicoacute que mediante una especificacioacuten clara y concisa de coacutemo calcular sistemaacuteticamente se podriacutean definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecaacutenicos en vez de las manos (por ejemplo aacutebacos)
Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
Algoritmos paralelos
Algoritmos probabiliacutesticos
Divide y venceraacutes (divide amp conquer en ingleacutes) este tipo de algoritmos particionan el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solucioacuten de cada uno de ellos
para luego despueacutes unirla logrando asiacute la solucioacuten al problema completo
Heuriacutesticas algoritmos que encuentran soluciones a problemas basaacutendose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos
Programacioacuten dinaacutemica
Ramificacioacuten y acotacioacuten tambieacuten conocidos como ramificacioacuten y poda branch and bound Este meacutetodo se basa en la construccioacuten de las soluciones al problema mediante
un aacuterbol impliacutecito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones
Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
Temas relacionados Cota superior asintoacutetica
Cota inferior asintoacutetica
Cota ajustada asintoacutetica
Complejidad computacional
44
Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
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El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
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kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
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petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
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Tambieacuten estudioacute la manera de reducir las operaciones que formaban el caacutelculo Es por esto que aun no siendo eacutel el creador del primer algoritmo el concepto lleva aunque no su nombre siacute su pseudoacutenimo
Asiacute de la palabra algorismo que originalmente haciacutea referencia a las reglas de uso de la aritmeacutetica utilizando diacutegitos araacutebigos se evolucionoacute a la palabra latina derivacioacuten de al-Khwarizmi algobarismus y luego maacutes tarde mutoacute en algoritmo en el siglo XVIII La palabra ha cambiado de forma que en su definicioacuten se incluyen a todos los procedimientos finitos para resolver problemas
Ya en el siglo XIX se produjo el primer algoritmo escrito para un computador La autora fue Ada Byron en cuyos escritos se detallaban la maacutequina analiacutetica en 1842
Es por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque desde Charles Babbage nadie completoacute su maacutequina por lo que el algoritmo nunca se implementoacute
Teacutenicas de disentildeo de algoritmos Algoritmos greedy Informalmente podemos decir que este tipo de algoritmos selecciona los elementos del conjunto de candidatos en un determinado orden hasta encontrar una solucioacuten es decir calcula la solucioacuten al problema tomando en cada paso la opcioacuten maacutes prometedora En la mayoriacutea de los casos la solucioacuten no es oacuteptima
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Vuelta Atraacutes al igual que el meacutetodo ramificacioacuten y acotacioacuten vuelta atraacutes (backtracking en ingleacutes) se construye el espacio de soluciones del problema en un aacuterbol que se examina completamente almacenando las soluciones menos costosas
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pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
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pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
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- Operaciones con binarios
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- Suma de nuacutemeros binarios
- Resta de nuacutemeros binarios
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- Tabla de contenidos
- Coacutedigo Binario
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- Propiedades
- En programas
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- Prefijo binario
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- Tabla de contenidos
- Uso convencional
- Norma CEI
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- Sistema octal
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- Fracciones
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- Sistema decimal
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- Tabla de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Sistema duodecimal
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- Tabla de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Sistema hexadecimal
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- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Ejemplos
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- Fracciones
- Tablas de multiplicar
- Buacutesqueda de nuacutemeros primos
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- Introduccioacuten
- Definicioacuten
- Implementacioacuten
- Ejemplo
- Historia
- Teacutenicas de disentildeo de algoritmos
- Temas relacionados
- Disciplinas relacionadas
- Enlaces externos
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Disciplinas relacionadas Informaacutetica
Inteligencia artificial
Investigacioacuten operativa
Matemaacuteticas
Programacioacuten
Enlaces externos [algoritmianet]
[Teacutecnicas de Disentildeo de Algoritmos] manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de disentildeo de algoritmos (de la Universidad de Maacutelaga)
[Transparencias de la asignatura Esquemas Algoriacutetmicos Campos J]
[Apuntes y problemas de Algoriacutetmica por Domingo Gimeacutenez Caacutenovas]
Algoritmos basicos
Obtenido de httpeswikipediaorgwikiAlgoritmo
Conversion entre bits y bytes1 byte es igual a 8 bits
Final del formulario
Name Symbol Before the standardization After the standardization
bit b 1 bit = 1 bit 1 bit = 1 bit
byte B 1 B = 8 bit 1 B = 8 bit
kilobit kbit kb 1 kbit = 1024 bit 1 kBit = 1000 bit
Kibibit KiBit 1 KiBit = 1024 bit
kilobyte kB 1 kB = 1024 B = Byte 1 kB = 1000 Byte
kibibyte KiB 1 KiB = 1024 Byte
megabit MBit Mb 1 MBit = 1024 KBit 1 MBit = 1000 kBit
mebibit MiBit Mib 1 Mib = 1024 KiBit
megabyte MB 1 MB = 1024 kB 1 MB = 1000 kB
Mebibyte MiBit MiB 1 MiB = 1024 KiB
gigabit GBit Gb 1 GBit = 1024 MBit 1 GBit = 1000 MBit
gibibit GiBit Gib 1 Gib = 1024 MiBit
gigabyte GB 1 GB = 1024 MB 1 GB = 1000 MB
gibibyte GiB 1 GiB = 1024 MiB
terabyte TB 1 TB = 1024 GB 1 TB = 1000 GB
45
tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
Dual ISDN 128 kbits 12 KBytes 10 KBytes
DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
DSL 1024 kbits 125 KBytes 90 KBytes
DSL 2048 kbits 250 KBytes 180 KBytes
DSL 3072 kbits KBytes KBytes
T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
gigabyte (decimal) GB 1000 megabytes
terabit Tbit 1000 gigabits
tebibyte (binary) TiB 1024 gibibytes
terabyte (decimal) TB 1000 gigabytes
petabit Pbit 1000 terabits
pebibyte (binary) PiB 1024 tebibytes
petabyte (decimal) PB 1000 terabytes
exabit Ebit 1000 petabits
exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
47
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- DEFINICIONES Para buscar definiciones
- Pulsar CRTL + B
- Pulsar C+nordm en ventana
- Pulsar ldquoBuscar siguienterdquo
- Pulsar ldquocerrarrdquo
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- Ejemplo
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tebibyte TiB 1 TiB = 1024 GiB
petabyte PB 1 PB = 1024 TB 1 PB = 1000 TB
pebibyte PiB 1 PiB = 1024 TiB
exabyte EB 1 EB = 1024 PB 1 EB = 1000 PB
exbibyte EiB 1 EiB = 1024 PiB
zettabyte ZB 1 ZB = 1024 EB 1 ZB = 1000 EB
zebibyte ZiB 1 ZiB = 1024 EiB
yottabyte YB 1 YB = 1024 ZB 1 YB = 1000 ZB
yobibyte YiB 1 YiB = 1024 ZiB
Conversion Ratos de Transferencia y ancho de banda1 byte es igual a 8 bits
1 byte = 8 bits and 1 kilobyte (K Kb) = 210 bytes = 1024 bytes1 megabyte (M MB) = 220 = 1048576 bytes and 1 gigabyte (G GB) = 230 bytes = 1073741824 bytes1 terabyte (T TB) = 240 bytes = 1099511627776 bytes and 1 petabyte (P PB) = 250 bytes = 1125899906842624 bytes1 exabyte (E EB) = 260 bytes = 1152921504606846976 bytes
Conexion Teoricorata en KBit Optimo
rata en KByte Probablerata en KByte
144 modem 144 kbits 12 KBytes 1 KBytes
288 modem 288 kbits 24 KBytes 2 KBytes
336 modem 336 kbits 3 KBytes 25KBytes
56 k modem 53 kbits 48 KBytes 4 KBytes
Single ISDN 64 kbits 6 KBytes 5 KBytes
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DSL - light 384 kbits 35 KBytes 30 KBytes
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T1 154 Mbiss 150 KBytes 50 Kbytes
46
Cable modem 6 Mbitss 300 KBytes 50 KBytes
Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
kilobyte (decimal) kB 1000 bytes
megabit Mbit 1000 kilobits
mebibyte (binary) MiB 1024 kibibytes
megabyte (decimal) MB 1000 kilobytes
gigabit Gbit 1000 megabits
gibibyte (binary) GiB 1024 mebibytes
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exbibyte (binary) EiB 1024 pebibytes
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Intranet LAN 10 Mbitss 350 KBytes 35 KBytes
100 base-T Lan 100 Mbitss 500 KBytes 50 KBytes
El nuevo Standard IEC
bit bit 0 or 1
byte B 8 bits
kibibit Kibit 1024 bits
kilobit kbit 1000 bits
kibibyte (binary) KiB 1024 bytes
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megabit Mbit 1000 kilobits
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exabit Ebit 1000 petabits
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exabyte (decimal) EB 1000 petabytes
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- Sistema hexadecimal
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- Fracciones
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