materi 2 matematika teknik 1 - suthami.files.wordpress.com · materi 2 matematika teknik 1...
TRANSCRIPT
MATERI 2
MATEMATIKA TEKNIK 1
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
1
Persamaan diferensial orde satu
Persamaan diferensial menyatakan hubungan dinamik antara
variabel bebas dan variabel tak bebas, maksudnya
hubungan tersebut memuat besaran besaran yang berubah,
dan karena itu persamaan persamaan diferensial sering
muncul dalam persoalan - persoalan teknik .
2
Persamaan diferensial orde satu
3
Orde suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan
tertinggi yang terdapatd alam persamaan diferensial
tersebut.
Persamaan diferensial orde satu
4
Setelah mempelajari persamaan diferensial orde
satu maka diharapkan dapat :
1. Dapat menyelesaikan persamaan diferensial
orde satu dengan bermacam macam metode.
2. Dapat menyelesaikan keadaan transien
rangkaian RL atau rangkaian RC.
Pemecahan Persamaan Diferensial Orde Satu
5
Pemecahan Persamaan Diferensial Orde Satu :
1. Metode Integrasi Langsung.
2. Metode Pemisahan Variabel.
3. Metode Persamaan Homogen – dengan Substitusi y = vt
4. Metode Faktor Integral – Persamaan diferensial linear.
5. Metode Persamaan Bernoulli.
Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu
6
Rangkaian RL
Contoh :
Pada rangkaian Gambar 1 Switch S menutup pada t = 0, arus pada induktor pada saat switch menutup adalah nol.
Tentukanalah arus yang mengalir pada induktor dan plotlah arus Vs waktu.
Dik. E = 12 V, R = 1,2 ohm, L = 250mH.
1. Metode Integrasi Langsung
Metode Penyelesaian PDB1
1. Metode Integrasi Langsung
8
Dalam bentuk :
Contoh
1.
2.
3.
923 2 xxdx
dy
Tabel Integral9
Basic Integrals with Exponentials
2. Metode Pemisahan Variabel
Metode Penyelesaian PDB2
2. Metode Pemisahan Variabel
11
Persamaan dalam bentuk :
Contoh
1.
2.
dttfdyyF )( )(
3. Metode Persamaan Homogen – dengan
Substitusi y = vx
Metode Penyelesaian PDB3
3. Metode Persamaan Homogen – dengan Substitusi y = vx
13
Jika :
dttfdyyF )( )(
Metode Persamaan Homogen – dengan
Substitusi y = vx
3. Metode Persamaan Homogen – dengan Substitusi y = vt
14
Jika suatu persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan
antara faktor y disebelah kiri dan faktor t disebelah kanan
maka dapat dilakukan dengan cara substitusi (y = vt).
Kunci utama untuk menggunakan metode substitusi y = vt
adalah persamaan diferensial tersebut haruslah homogen.
Persamaan diferensial dikatakan homogen jika pangkat t dan
pangkat y yang terlibat dalam masing masing suku sama
derajatnya.
Contoh
1.t
yt
dt
dy
3
4. Metode Faktor Integral – Persamaan
diferensial linear
Metode Penyelesaian PDB4
4. Metode Faktor Integral – Persamaan
diferensial linear16
Persamaan diferensial yang berbentuk :
dengan : P dan Q adalah fungsi atau Konstanta
Faktor Integral
Contoh
1.
2. dengan x = 0 ; y = 4; 241
ydx
dy
x
4. Metode Faktor Integral – Persamaan
diferensial linear17
5. Metode Persamaan Bernoulli
Metode Penyelesaian PDB5
5. Metode Persamaan Bernoulli
19
Ide dasar metode persamaan Bernoulli diambil dari
metode Faktor Integrasi
Dalam bentuk :
Penyelesaian persamaan Bernoulli adalah dengan
mengubahnya menjadi bentuk metode Faktor
Integrasi yaitu
5. Metode Persamaan Bernoulli
20
Langkah :
1. Membagi kedua ruas persamaan Bernoulli dengan yn ,
sehingga menghasilkan :
..........................................(1)
2. Substitusi persamaan (1) dengan z = y1-n sehingga
3. Persamaan (1) dikalikan dengan (1 – n) sehingga
persamaan (1) menjadi :
QPydt
dyy nn 1
dt
dyyn
dt
dz n 1
QnPyndt
dyyn nn 111 1
5. Metode Persamaan Bernoulli
21
Contoh:
1.
2.
3. dikalikan dengan (1 – n) = –1
Faktor
Integral
LATIHAN22
Latihan23
1.
2.
3.
4.
5.
TUGAS24
25
Aplikasi Persamaan Diferensial Orde
Satu
HOW??26
Rangkaian Listrik27
Prinsip dasar kelistrikan
Potensial yang dihasilkan pada resistor adalah, ER= I.R
Potensial yang dihasilkan pada induktor adalah, EL = L. dI/dt
Potensial yang dihasilkan pada kapasitor adalah, EC = Q/C,
Rangkaian Listrik28
Persamaan Umum
Rangkaian RL Seri
Rangkaian Listrik29
Contoh Rangkaian RL Seri
Pada rangkaian Gambar 1 Switch S menutup pada t = 0, arus
pada induktor pada saat switch menutup adalah nol. Tentukanlah
arus yang mengalir pada induktor dan plotlah arus Vs waktu.
Dik. E = 12 V, R = 1,2 ohm, L = 250mH.
Rangkaian Listrik30
Persamaan Umum
Rangkaian RC Seri
Rangkaian Listrik31
Contoh Rangkaian RC Seri
Switch S pada gambar 7 menutup pada t = 0, keadaan awal
kapasitor Vc = 0, tentukanlah tegangan pada kapasitor dan
plotlah tegangan terhadap waktu.
E = 12 volt, R = 2,2 ohm, C = 220F .
TUGAS 232
Tugas 233
1.
tentukan I, Jika pada saat I(t=0)=0
2. Tentukan Seperti diatas, Jika E = 4te-8t
3. Tentukan Seperti diatas, Jika E = 16 sin 8t (Tegangan berupa Sumber AC)
Diketahui. E = 128 V, R = 4 ohm, L = 1 H.
Tugas 234
4.
tentukan q dan I, Jika pada saat t=0 nilai q=0
5. Tentukan Seperti diatas, Jika E = 20te-2t
6. Tentukan Seperti diatas, Jika E = 50 cos 2t (Tegangan berupa Sumber AC)
Diketahui. E = 30V, R = 100 ohm, C = 0,1 F.
Tugas 235
7.
Tugas 236
8.
Penerapan Dalam Ekonomi Teknik37
Penerapan Dalam Ekonomi Teknik38
Contoh :
Uang sejumlah 250 Juta didepositokan dengan
bunga 18% tiap tahun dan bertambah secara
kontinu. Berapa jumlah uang setelah setelah 22
tahun.
Referensi39
Stroud, K.A., Matematika untuk Teknik. Jakarta:
Penerbit Erlangga, 1987.
Buku ajar matematika Teknik I Jurusan Teknik Elektro
Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
Diktat matematika Teknik I Jurusan Teknik Elektro
Fakultas Teknik Universitas Mataram
