Materi Pokok 13UJI KEBAIKAN SUAI- KHI-KUADRAT

1. Sebaran Binomial dan Khi-KuadratUntuk menentukan proporsi P = sukses dalam contoh acak berukuran n dari sebaran binomial berbeda nyata dengan proporsi P sukses dari populasi kita dapat menggunakan statistik Z, misalkan dua kejadian A1, A2, yang terjadi dengan peluang sukses = p dan gagal = 2 = 1-p. Suatu peubah acak Y1 = nP1 disebut frekuensi kejadian A1 dan nP1 sebagai nilai harapan frekuensi Y1 ~ b (n, p1), dengan 0 < p1 < 1 dan teorema limit pusat menyatakan

mempunyai sebaran normal N(0,1) untuk

n besar biasanya jika nP1 ≥ 5 dan n(1- P1) ≥ 5.

)P(1nP

nPYZ

11

11

Jika Q1 = Z2 ~ χ2 (1), Y2 = n – Y1 dan P2 = 1- P1 maka Q1 dapat ditulis

1

211

1

211

11

2i1

1 P1n

nPY

nP

)nP(Y

)P(1nP

nPYQ

2

22

21

211

nPY

P1nYn)nP-(Y karena

ι

2ιι

2

1ι2

222

1

211

1 nP

nPYΣ

nP

nPY

nP

nPYQ sehingga

2. Sebaran Multinomial dan Khi-KuadratSecara umum ada k kejadian yang tidak menenggan satu dengan lainnya, A1, A2, …,Ak.

Jika Pi = P(Ai) dan suatu percobaan yang dilakukan n

kali secara bebas dan yi menunjukkan banyaknya hasil pada Ai, dengan i = 1,2,…,k maka fungsi peluang gabungan(Y1, Y2,…,Yk-1) : f (y1, y2,…,yk-1) = P(Y1= y1, Y2= y2,…,Yk-1= yk-

1) dengan y1, y2,…,yk-1 merupakan bilangan bulat positif dan y1+ y2+…+ yk-1 ≤ n

1PΣ i

k

1i

i

2ii

k

1i1k

1k21

y

k

y

2

y

1k21

1k21

nP

nPYΣQ

y...yynyk

P ...PP!...y !y!y

n!)y,...,y,f(y k21

Qk-1 mempunyai sebaran χ2 dengan k-1 derajat bebas.Jika kejadian A1, A2 ,…, Ak dan ingin diuji apakah Pi=P(Ai) sama dengan Pi0, i = 1,2,…,k maka hipotesis nol menjadi H0 : Pi = Pi0, i=1,2,…k dengan statistik uji

dan wilayah kritik qk-1 > χ2α(k-1)

Contoh 10.1.Sebungkus permen berisi 224 biji yang terdiri dari 4 warna yaitu coklat, jingga, hijau, dan kuning. Ujilah hipotesis bahwa mesin mengisi sama banyak untuk setiap warna:H0 : Pc= Pj= Ph = Pk = ¼ atau H0 : P1 = P2 = P3 =P4 = 1/4Hasil pengamatan diperoleh bahwa dari 224 biji dicatat 42 warna coklat, 64 warna jingga, 53 warna hijau, dan 65 warna kuning. Pilih taraf nyata α = 0,05 atau tentukan perkiraan nilai P?

i0

2i0i

k

1i1k nP

nPyΣq

Jawaban:n = 224, nilai harapannya = nPi= 224 (1/4)= 56.

Hasil

c=coklat

j=jingga

h=hijau k=kuning

Frekuensi 42 64 53 65

Peluang 0.25 0.25 0.25 0.25

Nilai harapan nPi 56 56 56 56

56

5665

56

5653

56

5664

56

56-42

nP

nPYΣχ

2222

i

2ii

4

1i

2

Statistik uji

Χ2 = 6,25 < X20,05 (3) H0 tidak dapat ditolak, nilai P ≈ 0,10 atau

X2(3) = 6,251.

Contoh 13.2Peubah acak X melambangkan jumlah partikel alpha yang dikeluarkan oleh barium 133 pada setiap 1/10 detik. Lima puluh pengamatan X melalui alat pengukur dan diperoleh data sebagai berikut :

7 4 3 6 4 4 5 3 5 3

5 5 3 2 5 4 3 3 7 6

6 4 3 11 9 6 7 4 5 4

7 3 2 8 6 7 4 1 9 8

4 8 9 3 9 7 7 9 3 10

Peneliti tertarik untuk menentukan apakah X menyebar secara Poisson. Untuk menguji H0 : X ~ P (X ; λ ), pertama carilah = 5,4 dan sekat nilai pengamatan atas himpunan A1 = {0,1,2,3}, A2 = {4}, A3 = {5}, A4={6}, A5{7}, dan A6{8,9,10,…}

x

Hasil

A1 A2 A3 A4 A5 A6

Frekuensi 13 9 6 5 7 10

Peluang 0,213 0,160 0,173 0,156 0,120 0,178

Nilai harapan (50Pi) 10,65 8,00 8,65 7,80 6,00 8,90

q5 = 2,763 < 9,488 = X20,05 (4) maka tidak dapat menolak H0 pada

taraf nyata 0,05 atau X ~ secara poisson.

8,9

8,910

6,00

6,007

8,65

8,656

8

8,009

10,65

10,6513q

415r22222

5