materia de matematicas basica

MATEMTICAS BSICA II

Porcentajes.

Es la proporcin en base 100.

Ejemplo:

9% que de cada 100 unidades recibo 9 tanto por ciento.

0.09 tanto por uno.

Representacin del porcentaje (%)

Tanto porciento Tanto por uno

10% 0,40

20% 0,43

30% 0,09

Del porcentaje (%) transformar al tanto por uno:

Porcentaje Tanto por uno

50% 0,50

12% 0,12

160% 1,60

400% 4

6% 0,06

Para realizar esto se divide para 100 y se simplifica el signo del porcentaje.

Tambin podemos decir que recorre la como hacia la izquierda dos espacios.

Del tanto por uno transformar al porcentaje (%):

Tanto por uno Porcentaje

3,24 324%

0,07 7%

0,70 70%

5,32 532%

4,25 425%

Para realizar esta operacin se multiplica para y se aumenta el signo del

porcentaje.

Tambin se recorre la coma hacia la derecha dos espacios.

Ejemplos de prctica:

4 % 0,0475

1 1/8% 0,0113

7 % 0,075

5 % 0,0525

Como calcular el porcentaje (%).

Podemos calcularle haciendo la regla de 3.

Determine:

Hallar el 10% de 900:

900 100%

X 10% X = 900 10%

100% X = 90


310 100%

X 13% X = 310 13%

100% X = 40,3


530 100%

X 19% X = 530 19%

100% X = 100,7


X = 0,20 (750)

X = 150

Qu porcentaje de 500 es 60?

500 100%

60 X X = 60 100%

500 X = 12%


480 100%

90 X X = 90 100%

480 X = 18,75%


600 100%

35 X X = 35 100%

600 X = 5,83%

De qu cantidad es 60 el 12%?

60 12%

X 100% X = 60 100%

12% X = 500


50 19%

X 100% X = 50 100%

19% X = 263,16


35 14%

X 100% X = 35 100%

14% X = 250

Calcular el porcentaje de quien estudia pasa y de quien no estudia

Quien estudia pasa

Quien no estudia X X = ()

X = no pasa

UTILIDAD

U = P.V - P.C

U = utilidad

P.V = precio de venta

P.C = precio de compra

Ejemplo:

Hallar la utilidad de 1 pantaln cuyo precio de costo es de $35 y desea

vender con una utilidad del 20% sobre el precio de costo.

Datos:

P.C = 35 U = 0.20 (35) 35+7 = $ 42 se vende

P.V = ? U = $ 7

U = 0,20 P.C

Hallar en precio de venta al que se debe marcar 1 vestido si se adquiere en

$170 y desea obtener una utilidad del 40% sobre el precio de venta.

Datos:

P.C = 170 U = P.V P.C

P.V = ? 0.40P.V = P.V -170

U = 0,40 P.V 170 = P.V 0,40P.V

170 = 0,60 P.V

170/0,60 = P.V

P.V = $ 283,33

Hallar a qu precio se adquiri 1 rueda que se vendi en $145 con una

utilidad del 15% con el precio de compra.

Exprese la utilidad en funcin al precio de venta.

Exprese la utilidad en funcin al precio de compra.

Datos:

P.V = 145 U = P.V P.C

U = 0,15 P.C 0,15 P.C = 145 P.C

P.C = ? P.C + 0,15 P.C = 145

1,15 P.C = 145

P.C = 145/1,15

P.C = $ 126,09

La utilidad en funcin al precio de compra.

U = 0,15 (126,09) 126,09 100%

U = 18,91 18,91 X X = 15%

La utilidad en funcin al precio de venta.

145 100%

18,91 X X = 13%

APLICACIN DE PORCENTAJES

Los porcentajes se utilizan generalmente para los pagos de una factura.

Ejemplo:

Hallar el valor de la factura de la venta de una cocina cuyo precio de lista es

$650 sobre el cual se ofrece un descuento del 9% por la venta al contado.

Datos:

P.V = 650 650 100% P.F = P.V d

D = 9% X 9% X = 58,5 P.F = 650 58,5

P.F = ? P.F = $ 591,56

Directo

P.F = P.V ( 1 d )

P.F = 650 (1- 0,09)

P.F = 650 ( 0,91)

P.F = $ 591,50

Un almacn vende refrigeradoras cuyo precio de lista es de $ 720 y ofrece un

descuento del 17% por la compra al contado. Hallar al valor de la factura.

Datos:

P.V = 720 V.F = P.V (1 d )

D = 17% V.F = 720 (1 0,17)

P.F = ? V.F = 720 ( 0,83)

V.F = $ 597,60

Hallar el valor de la factura de una bicicleta cuyo precio de lista es de $390 y

se ofrece un descuento de 4 % por la compra al contado.

Datos:

P.V = 390 P.F = P.V (1- D)

D = 4 % P.F = 390 (1 0,045)

P.F = ? P.F = 390 (0,955)

P.F = $ 372,45

Hallar el valor de la facture de un electrodomstico cuyo precio de lista es de

$190 y se aplica un descuento del 3 % y se cobra un impuesto adicional

del 8%.

Datos:

P.V = 190 P.F = P.V (1 - d) (1 + imp.)

D = 3 % P.F = 190 (1 - 0, 0375) (1 + 0, 08)

Imp. = 8% P.F = 190 (0, 9625) (1, 08)

P.F = $ 197, 51

Hallar el valor de la facture de un artculo cuyo precio de lista es $790 se

aplica un descuento del 9 % por la compra al contado y se cobra el

respectivo IVA.

Datos:

P.V = 790 P.F = P.V (1 - d) (1 + IVA)

D = 9 % P.F = 790 (1 - 0,0925) (1 + 0,12)

IVA = 12% P.F = 190 (0,9075) (1,12)

P.F = $ 802,96

Hallar el precio de la factura de un documento cuyo precio de lista es $670 y

se aplica un descuentos especiales del 10% y 7% respectivamente con el

impuesto que rige aqu en el pas.

Datos:

P.V = 670 P.F = 670 (1 - 0,10) (1 0,07) (1 + 0,12)

D= 10% y 7% P.F = 670 (0,90) (0,93) (1,12)

IVA = 12% P.F = $ 628,08

Hallar el precio de la factura por la compra de 5 radios cuyo precio de lista

individual es de $130 y se aplica descuentos especiales de 3%, 7% y 15%

respectivamente y un impuesto del 6% aparte del impuesto vigente.

Datos:

P.V = 650 P.F = 650 (1-0,03) (1 0,07) (10,15) (1+0,06) (1+0,12)

D = 3%, 7% y 15% P.F = 650 ( 0,97 ) ( 0,93 ) ( 0,85 ) ( 1,06 ) ( 1,12 )

Imp. = 6% P.F = $ 591,71

IVA = 12%

CALCULO DE LA n Y CALCULO DE LA i

Calcule i de las siguientes expresiones:

(1 + i )19 = 3,379942

i = (3, 379942)1/19

i = 6, 6197%

(2 + i)25 +3/4 = ( 7 2/3 )2 + 6

(2 + 1)25 = 45,361

i = (45,361)1/25

i = -83, 5157%

( 1 + i )7 + 8 1/3 15 = ( 7 + 1/5 )3 + ( )2 8

( 1 + i )7 = 372,4772

i = (372, 4772)1/7

i = 132, 9699%

Calcule n de las siguientes expresiones:

( 1 + 3/2 )n = ( 4 + 5/9 )2 9 3/7

(2,5)n = 13,9325

n log (2,5) = log ( 13,9325 )

n = log( 13,9325 )

log( 2,5 )

n = 2,65

( 2 )2 + 9 1/3 = ( 5 2/3 )n

14,3958 = ( 4,33 )n

n log ( 4,33 ) = log ( 14,3958 )

n = log( 14,3958 )

log(4,33 )

n = 1,8197

PROGRESIONES

Ejemplos:

3, 7, 11, 15, 19, 27 progresin aritmtica creciente/ascendente

9, 15, 21, 27, 33, 39 progresin aritmtica creciente/ascendente

4, 11, 18, 25, 32, 39, 46 progresin aritmtica creciente/ascendente

70, 73, 76, 79, 82, 85, 88 progresin aritmtica creciente/ascendente

93, 88, 83, 78, 73 progresin aritmtica decreciente/descendente

2, 5/3, 4/3, 1, 2/3, 1/3, 0, -1/3 progresin aritmtica decreciente/descendente

Calculo de la diferencia

Seleccionamos dos trminos consecutivos de la progresin aritmtica y restamos

el segundo menos el primero.

Ejemplos:

7/4, 5/9, -23/36, -11/6, -109/36 progresin aritmtica decreciente/descendente

d = 5/9 7/4

d = - 43/36

8/3, 9/2, 19/3, 46/6, 10 progresin aritmtica creciente/ascendente

d = 9/2 8/3

d = 11/6

7/4, 3/5, -11/20, -17/10, -57/20 progresin aritmtica decreciente/descendente

d = 3/5 7/4

d = - 23/20

Calculo del ensimo trmino

3, 8, 13, 18, 23

a1; a1 + d; a1 +2d

Ejemplo:

29 T = a1 + 28d

= 3 + 28(5)

= 143

112 T = a1 + 111d

= 3 + 111(5)

= 558

an = a1 + ( n 1 ) d

an = ultimo termino

a1 = primer termino

n = numero de termino

d = diferencia

Calculo de la suma de trminos

S = n/2 ( a1 + an )

S = sumatoria

n = numero de termino

a1 = primer termino

an = ultimo termino

Hallar el trmino 30 y la suma respectiva de la siguiente progresin:

4, 13

Datos:

a1 = 4 an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )

n = 30 an = 4 + ( 30 1 ) 9 S = 30/2 ( 4 + 265 )

d = 13 4 = 9 an = 265 S = 15 ( 269 )

an = ? S = 4035

S = ?


6, 10

Datos:

a1 = 6 an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )

n = 23 an = 6 + ( 23 1 ) 4 S = 23/2 ( 6+ 95 )

d = 4 an = 94 S = 11,5 ( 100 )

an = ? S = 1150

S = ?


1/2, 3/5

Datos:

a1 = 1/2 an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )

n = 24 an = 1/2 + ( 24 1 ) 1/10 S = 24/2 ( 1/2 + 2,8 )

d = 1/10 an = 2,8 S = 12 ( 33/10 )

an = ? S = 198/5

S = ?


1/4, 6/5

Datos:

a1 = 1/4 an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )

n = 27 an = 1/4 + ( 27 1 ) 19/20 S = 27/2 ( 1/4 + 24,95)

d = 19/20 an = 24,95 S = 13,5 ( 269 )

an = ? S = 1701/5

S = ?

Hallar los trminos que faltan en la progresin siguiente:

Datos:

a1 = 4 an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )

n = 30 an = 4 + ( 30 1 ) d 420 = 30/2 ( 4 + 4 + 29d )

d = ? an = 4 + 29d 420 = 15 ( 8 + 29d )

an = ? an = 4 + 29(20/29) 420 = 120 +435d

S = 420 an = 24 300 = 435d

300/435 = d

d = 20/29

Hallar los trminos que faltan en la progresin siguiente:

Datos:

a1 = ? an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )

n = ? 21 = a1 + ( n 1 ) 5 520 = n/2 (a1 + 21)

d = 5 21 = a1 + 5n -5 1040 = n (a1 + 21)

an = 21 26 = a1 + 5n 1040= n (26 5n +21)

S = 520 26 5n = a1 1040 = n ( 47 5n )

1040 = 47n 5n2

5n2 47n + 1040 = 0

= 2 4

2

=(47) 2209 4(5)(1040)

2(5)

No existe progresin

Las edades de 4 amigas estn en progresin aritmtica creciente de modo

que sumado la edad de la primera con la ltima tenemos 81 y multiplicados

los mismos nos da 1368 determine las edades de las amigas.

a1 + a1 + 3d = 81 a1 (a1 + 3d) = 1368

2 a1 + 3d = 81 a12 + 3 a1d = 1368

d = 81 - 2a1 / 3 a12 + 3 a1 (81 - 2 a1 / 3) = 1368

a12 + 81a1 - 2a12 = 1368

a12 - 81a1 +1368 = 0

= 2 4

2

=81 6561 5472

2

a1 = 57

a2 = 24

Calcule 3 nmeros en progresin aritmtica que suman 27 siendo las sumas

de sus cuadrados 511/2

a1 d + a1 + a1 + d = 27 (a1 + d )2 + a12 + (a1 + d )2 = 511/2

3 a1 = 27 ( 9 + d )2 + 81+ ( 9 + d )2 = 511/2

a1 = 9 81 18d + d2 81 + 81 + 18d + d2 = 511/2

243 + 2d2 = 511/2

2d2 = 511/2 - 243

2d2 = 25/2

2 = 25

4

d = 5/2

El cuarto numero de una progresin aritmtica es 10 y es sexto es 16 escriba

la progresin

a4 = a1 + 3d -10 = -a1 - 3d 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19

a6 = a1 + 5d 16 = a1 + 5d

6 = // 2d

d = 3

Escriba 3/2 aritmticos entre 3 y 23

Datos:

a1 = 3 an = a1 + ( n 1 ) d 3, 8, 13, 18, 23

d = 23 = 3 + (4) d

an = 23 23 = 3 + 4d

n = 5 20 = 4d

d = 5

Evelyn adquiere una computadora y se compromete a pagar el primer mes

$180 el Segundo $195 el tercero $210 y as sucesivamente. Determine el

precio de la computadora si Evelyn lo hizo en 1 ao y medio.

Datos:

a1 = 180 S = n/2 ( 2a1 + (n-1) d )

n = 18 S = 9 ( 360 + 255 )

d = 15 S = 5535

PROGRESIONES GEOMTRICAS

3, 12, 48, 192

4, 16, 64, 256, 1024.

16, 8, 4, 2, 1, , .

2, -12, 72, -432, 2592

Calculo de la razn

Seleccionamos dos elementos consecutivos d la progresin geomtrica y se

divide el segundo para el primero.

r = 48/12 r = 2592/-432 r = /

r = 4 r = -6 r =

Es progresin geomtrica creciente cuando la razn es un nmero entero

Es progresin geomtrica decreciente cuando la razn es una fraccin.

Calculo del ensimo o ltimo trmino y la suma

an = a1 . r n - 1 a1 - a1 . r n

an = ltimo trmino 1 r

a1 = primer trmino

r = razn a1 - an . r

n = nmero de trminos 1 r

S = sumatoria

Hallar el trmino 36 y la suma respectiva de la progresin siguiente

3, 15, 75

Datos

a1 = 3 an = a1 . r n 1 S = 1 1 .

1

n = 36 an = 3 . 535 S = 3 3 . 536

15

r = 5 an = 8,73x1024 S = 1,09x1025

an = ?

S = ?

S =

S =

Hallar el trmino 40 y la suma respectiva de la progresin siguiente.

7, 18, 112

Datos

a1 = 7 an = a1 . r n 1 S = 1 1 .

1

n = 40 an = 7 . 439 S = 7 7 . 440

14

r = 4 an = 2,11x1024 S = 2,82x1024

an = ?

S = ?


3, 9/5

Datos

a1 = 3 an = a1 . r n 1 S = 1 1 .

1

n = 25 an = 3 . 3/524 S = 3 3 . 3/525

13/5

r = 3/5 an = 1,42x10-5 S = 2,99

an = ?

S = ?


4, 12

Datos

a1 = 4 an = a1 . r n 1 S = 1 1 .

1

n = 15 an = 4 . 314 S = 4 4 . 315

13

r = 3 an = 19131876 S = 28697818

an = ?

S = ?

Hallar los trminos que faltan:

Datos

a1 = ? an = a1 . r n 1 S = 1 . r

1

n = ? 620 = a1 . 4n 1 1040 = 1 620 .4

14

r = 4 620/-640 = 4n 1 1040 = 1 2480

3

an = 620 31/-32 = 4n 1 -3120 = 1 2480

S = 1040 log(31/-32) = (n 1) log 4 1 = -2480 + 3120

1 = -640

No existe progresin


Datos

a1 = 5 an = a1 . r n 1 S = 1 . r

1

n = 7 240 = 5 . r6 S = 5 240 .1,90

11,90

r = ? r =486

S = 501, 11

an = 240 r = 1,90

S = ?


Datos

a1 = 10 an = a1 . r n 1 S = 1 1 .

1

n = 9 an = 10 . r8 200 = 10 10 . 9

1

r = ? 200 200r = 10 10r9

an = ? 200 10 = - 10r9 + 200r

S = 200 190 = 10r ( r8 + 20)

19r -1 = r8 + 20

18r7 = 20

r7 = 20/18

No existe progresin

Aplicaciones

Cierta maquina tena un valor actual de $ 25000 al final de cada ao se deprecia

un 15%, se desea calcular su valor despus de 6 aos de uso.

Datos:

C = 25000 a1 = C (1 d)

d = 0,15 a1 = 25000(0,85)

n = 6 a1 = 21250

a1 = 21250 an = a1 . r n 1

r = 0,85 an = 21250 (0,85) 5

n = 6 an = $ 9428,74

an = ?

Una persona adquiere una mquina en $35000 y sufre una depreciacin

mensual del 9% del costo que tena al principio del mes. Hallar el valor de la

mquina despus de 4 aos de uso.

Datos:

C = 35000 a1 = C (1 d)

d = 0,09 a1 = 35000(0,91)

n = 48 a1 = 31850

a1 = 31850 an = a1 . r n 1

r = 0,91 an = 31850 (0,91) 47

n = 48 an = $ 378,49

an = ?

Progresiones armnicas

Son el inverso de la progresin aritmtica.

5, 8, 11, 14, 17, 20 progresin aritmtica

1/5, 1/8, 1/11, 1/14, 1/17, 1/20 progresin armnica

an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )

Se hace 1 sobre y se transforma a progresin armnica

Ejemplo

Hallar el termino 30 y la suma de los primeros trminos de la progresin

siguiente.

1/2 , 1/7 progresin armnica

2, 7 se transforma a progresin aritmtica

Datos

a1 = 2 an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )

n = 30 an = 2 +(29)5 S = 15 (2 + 147)

d = 5 an = 147 S = 2235

an = ? an = 1/147 S = 1/2235 progresin armnica

S = ?

Hallar el termino 18 y la suma de los primeros trminos de la progresin

siguiente.

3, 6, 9 progresin aritmtica

Datos

a1 = 3 an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )

n = 18 an = 3 +(17) 3 S = 9 (3 + 54)

d = 3 an = 54 S = 513

an = ? an = 1/54 S = 1/513 progresin armnica

S = ?

Inters simple

La Institucin financiera recibe tasa pasiva

Los usuarios pagan tasa activa

Cuando la persona realiza prstamos es una tasa pasiva

Cuando la persona deposita, invierte es una tasa activa

Generalmente la tasa del inters est dado t = I/C este es a un ao.

Ejemplo:

Hallar la tasa de inters que genera un capital de $650 si su inters es $30.

Datos

I = 30 i =

C = 650 i = 30

650

i = ? i = 4,61%

Inters

Hallar la tasa de inters que genera un capital de $950 si su inters es $170.

Datos

I = 170 i =

C = 950 i = 170

950

i = ? i = 17,895%

El inters simple se calcula con la siguiente formula:

I = C . i . t

I = inters simple

C = capital

i = tasa de inters

t = tiempo

Hallar el inters que genera un capital de $1950 colocados a una tasa de

inters del 19% durante 3 aos

Datos

C = 1950 I = C . i . t

i = 0,19 I = 1950 . 0,19 . 3

t = 3 I = 111,5

I = ?


inters del 6 3/4% durante 1 ao y medio

Datos

C = 23230 I = C . i . t

i = 0,0675 I = 23230 . 0,0675 . 1.5

t = 1,5 I = 2352,04


inters del 6 4/5% durante 9 meses

Datos

C = 2870 I = C . i . t

i = 0,068 I = 2870 . 0,068 . 9/12

t = 9 meses I = 146,37

I = ?


inters del 13 1/4% durante 17 meses

Datos

C = 15690 I = C . i . t

i = 0,1325 I = 15690 . 0,1325 . 17/12

t = 17meses I = 2945,14

I = ?


inters del 8% durante 1/4 de ao

Datos

C = 17615 I = C . i . t

i = 0,08 I = 17615 . 0,08 . 3/12

t = 3 meses I = 352,3

I = ?


inters del 2% durante 120 das

Datos

C = 300 I = C . i . t

i = 0,02 I = 300 . 0,02 . 120/365

t = 120 das I = 1,97

Tipos de inters simple

Inters simple exacto

Inters simple ordinario

Inters simple exacto.- cuando realizamos el ao calendario es decir (365-366

das)

Inters simple ordinario.- cuando se usa el ao comercial es decir (360 das)

Calculo del tiempo

1. Tiempo exacto

2. Tiempo aproximado

Hay que restar la fecha final con la fecha inicial.

Ejemplo.

Hallar el tiempo transcurrido desde el 5 de mayo del 2013 hasta el 1 de marzo

del ao siguiente en forma exacta y en forma aproximada.

Tiempo aproximado Tiempo exacto

a m d 60

2014 03 01 -125

2013 05 05 -65

+365

2013 15 01 pido un ao 300 das

2013 05 05

El tiempo exacto va hacer siempre

2013 14 31 pido un mes mayor al tiempo aproximado

2013 05 05

// 09 26

T.A = 9(30) +26

T.A = 296 das

Hallar el tiempo transcurrido desde el 20 de abril del 2002 hasta el 25 de

febrero del 2004 en forma exacta y en forma aproximada.


a m d 56

2004 02 25 -110

2002 04 20 -54

+730

2003 14 25 pido un ao 676 das

2002 04 20

1 10 05

T.A = 360 +10(30) + 5

T.A = 665 das

Hallar el tiempo transcurrido desde el 17 de agosto del 2003 hasta el 10 de

marzo del 2004 en forma exacta y en forma aproximada.


a m d 69

2004 03 10 -229

2003 08 17 +366

206 das

2003 15 10 pido un ao

2003 08 17

2003 14 40 pido un mes

2003 08 17

// 6 23

T.A = 203 das

Hallar el inters simple de un capital de $ 970 colocados con un tasa del 9%

durante el 6 de mayo del 2013 hasta el 5 de abril del 2014 en sus 4 formas.

2013 15 35 95 ISE con T.A

2013 05 06 -126 I = 970 (0,09) (329/365)

// 10 29 +365 I = 78,69

T.A = 329 das T.E = 334 das ISE con T.E

I = 970 (0,09) (334/365)

ISO con T.A I = 79,89

I = 970 (0,09) (339/360)

I = 79,78

ISO con T.E

I = 970 (0,09) (334/360)

I = 80,99

Hallar el inters simple de un capital de $ 12510 colocados con un tasa del

7 % durante el 6 de agosto del 2011 hasta el 23 de noviembre del 2013 en

sus 4 formas.

2013 11 23 327 ISE con T.A

2011 08 06 -218 I = 12510 (0,0775) (828/365)

2 3 17 +731 I = 2199,36


I = 12510 (0,0775) (840/365)


I = 12510 (0,0775) (828/360)

I = 2229,91

ISO con T.E

I = 12510 (0,0775) (840/360) cobra la institucin financiera

I = 2262,23

Calcular el inters que gana un capital de $7000 con una tasa de inters de 3

% anual desde el 27 de febrero hasta el 3 de diciembre del mismo ao.

11 33 ISE con T.A

02 27 337 I = 7000 (0,035) (276/365)

9 6 -58 I = 185,26


I = 7000 (0,035) (279/365)


I = 7000 (0,035) (276/360)

I = 187,83

ISO con T.E

I = 7000 (0,035) (279/360)

I = 189,88

Hallar el inters simple de un capital de $6800 colocados con un tasa del 5%

desde el 30 de septiembre 2007 hasta el 1 de abril del 2014 del siguiente ao.

2007 15 31 91 ISE con T.A

2007 09 30 -273 I = 6800 (0,05) (182/365)

// 6 1 +366 I = 169,53


I = 6800 (0,05) (184/365)


I = 6800 (0,05) (182/360)

I = 171,89

ISO con T.E

I = 6800 (0,05) (184/360)

I = 173,78

Monto simple

M = C + I M = C ( 1 + i . t ) i = I/C I = C.i.t

1 ao = 360 das = 2 semestres = 4 trimestres = 2.4 quimestres

Hallar el monto de un capital de $3700 colocados con una tasa del 5% anual

a 11 meses.

Datos

C = 3700 M = C ( 1 + i . t )

i = 0,05 M = 3700 (1 + 0,05(11/12))

t = 11 meses M = 3869,58

Hallar el monto de un capital de $4800 colocados con una tasa del 2,7%

mensual desde el 10 de abril hasta el 23 de diciembre del mismo ao.

Datos

C = 3700 M = C ( 1 + i . t )

i = 0,05 M = 4800 (1 + 0,027(257/30))

t = 357 M = 5910,24

-100

257 das

Hallar el monto de un capital de $6900 colocados con una tasa del 11%

semestral desde el 10 de agosto hasta el 29 de noviembre del mismo ao.

Datos

C = 6900 M = C ( 1 + i . t )

i = 0,11 M = 6900 (1 + 0,11(111/180))

t = 333 M = 7368,05

-222

111 das


trimestral desde el 6 de agosto del 2002 hasta el 3 de febrero del siguiente

ao.

Datos

C = 7000 M = C ( 1 + i . t )

i = 0,17 M = 7000 (1 + 0,17(181/80))

t = 34 M = 9393,22

-218

365

181 das


desde el 15 de marzo hasta el 3 de noviembre del siguiente ao.

Datos

C = 13000 M = C ( 1 + i . t )

i = 0,19 M = 13000 (1 + 0,19(598/360))

t = 307 M = 17102,94

-74

365

598 das

Hallar el monto de un capital de $12800 colocados con una tasa del 0,25%

diario desde el 3 de mayo hasta el 1 de diciembre del mismo ao.

Datos

C = 12800 M = C ( 1 + i . t )

i = 0,0025 M = 12800 (1 + 0,0025(212))

t = 335 M = 19584

-123

212 das

Calculo del capital

Tambin se lo conoce como valor presente, valor actual.

C =

1+ .

Grafica de tiempo y valores.

Valor presente

Valor Valor al

Valor nominal vencimiento

Tiempo fecha de fecha de

Suscripcin vencimiento

Fecha de negociacin

Ejemplo:

Determine el valor actual al da d hoy de un documento de $350 que vence en

200 das plazo considerando una tasa de inters del 7%.

336,90 350

0 200

1

C =

1+ .

C = 350

1+0,07 (200

360)

C = 336,90

Monto

En el ejercicio anterior calcule el valor presente 40 das antes de su

vencimiento.

336,90 350

0 160 -40 200

C =

1+ .

C = 350

1+0,07 (40

360)

C = 347,30

Hallar el valor presente de un documento de $2800 suscrito en 7 de abril con

una tasa del 1% mensual hasta el 7 de octubre del mismo ao, el 15 de julio

del mismo ao considerando una tasa de inters del 17%

2800 2970,80

7/abril 15/julio 7/octubre

97 196 280

t) 280 M = C ( 1 + i . t ) C =

1+ .

- 97 M = 2800 (1 + 0,01(183/30)) C = 2970,80

1+0,17 (84

360)

183 das M = 2970,80 C = 2857,45

t) 280

-146

84 das

El 13 de febrero se firma un documento $5100 con vencimiento en 230 das

plazo con una tasa del 20% trimestral calcule el valor actual, el 5 de junio del

mismo ao considerando una tasa de inters del 16% semestral.

i = 0,20 trimestral

5100 7706,67

13/febrero 5/junio 1/octubre

44 156 274

i = 0,16 semestral

M = C ( 1 + i . t ) t) 274 C =

1+ .

M = 5100 (1 + 0,20(230/90)) -156 C = 7706,67

1+0,16(118

180)

M = 7706,67 118 das C = 6975,06

Un documento de $9300 se firma el 13 de noviembre del 2007 con una tasa

de inters del 1% mensual desde su suscripcin, el documento vence el 5 de

marzo del siguiente ao determine el valor actual de ese documento el 2 de

febrero si se aplica una tasa del 9% semestral.

i = 0,01 mensual

9300 9650,30

13/noviembre/2007 2/febrero 5/marzo

317 33 64

i = 0,09 semestral

t ) 64 M = C ( 1 + i . t ) t) 64 C =

1+ .

-317 M = 9300 (1 + 0,01 (111/30)) -33 C = 9650,30

1+0,09(31

180)

366 M = 9650,30 31 das C = 9503,00

113 das

Un documento de $8600 se firma el 5 de junio para meses plazo con una

tasa 3% mensual determine el valor actual, el 12 de octubre con una tasa del

9% semestral

i = 0,03 mensual

8600 10406

5/junio 12/octubre 5/enero

156 285 5

i = 0,09 semestral

M = C ( 1 + i . t ) t) 5 C =

1+ .

M = 8600 (1 + 0,03(7)) -285 C = 10406

1+0,09(85

180)

M = 10406 365 C = 9981,77

85 das

Un documento de $5800 se suscribe el 7 de enero con una tasa del 14% a 7

meses plazo hallar el valor actual a 3 meses antes de su vencimiento si la

tasa es del 20% trimestral.

i = 0,14 anual

5800 6273,66

7/enero 3 meses antes 5/enero

7 219

i = 0,20 trimestral

M = C ( 1 + i . t ) t) 188 C =

1+ .

M = 5800 (1 + 0,14(7/12)) -127 C = 6273,66

1+0,20(1)

M = 6273,66 61 das C = 5228,05

Hallar el valor actual de un documento firmado por $20000 con una tasa del

15% semestral desde el 11 de noviembre del 2007 hasta el 23 de febrero del

siguiente ao, el 4 de enero de 1908 con una tasa del 22% trimestral.

i = 0,15 semestral

20000 21750

11/noviembre/2007 4/enero 23/febrero

315 4 54

i = 0,22 trimestral

t ) 54 M = C ( 1 + i . t ) t) 54 C =

1+ .

-315 M = 20000(1 + 0,15 (105/180)) - 4 C = 21750

1+0,22(50

90)

366 M = 21750 50 das C = 19381,19

105 das

Calculo de la tasa de inters

i =

. cuando no se conoce el monto i =

. cuando se conoce el monto

Hallar la tasa de inters de un documento de $3800 que genera un inters de

$ 60 en 170 das.

Datos

C = 3800 i =

.

I = 60 i = 60

3800 (170

360)

t = 170 das i = 3,34%

Determine a que tasa de inters mensual se debe colocar un capital de $9500

para obtener el triple en 280 das.

Datos

C = 9500 i =

.

t = 280 das i = 28500 9500

9500 (280

30)

M = 28500 i = 21,4286%

Hallar a que tasa de inters trimestral se debe colocar un capital de $12500

para que produzca $17100 desde el 4 de noviembre del 2007 hasta el 20 de

marzo del 2010.

Datos

C = 12500 i =

.

M = 17100 i = 17100 12500

12500 (867

90)

t = 79 i = 3,82010%

-308

+1096

867 das

Hallar a que tasa de inters semestral se debe colocar un capital de $2000

para que produzca veces ms colocados desde 7 de octubre hasta el 30 de

diciembre del mismo ao.

Datos

C = 2000 i =

.

M = 3500 i = 3500 2000

2000 (84

180)

t = 364 280 = 84 das i = 160, 7143%

Hallar a que tasa a la que se debe colocar un capital de $15000 para que

produzca $22000 durante 11 meses.

Datos

C = 15000 i =

.

M = 22000 i = 22000 15000

15000 (11

12)

t = 11 meses i = 50, 9191%

Hallar a que tasa de inters semestral se debe colocar un capital de $8000

para que me genere $11300 durante 7 meses.

Datos

C = 8000 i =

.

M = 11300 i = 11300 8000

8000 (7

6)

t = 7 meses i = 35, 3571%

Calculo del tiempo

t =

. cuando no se conoce el monto t =

. cuando se conoce el monto

Hallar en que tiempo un capital de $ 7200 produce un inters de $ 350 con

una tasa del 9%.

t =

.

t = 350

7200(0,09)

t = 0, 5401 aos

t = 194 das

t = 6 meses, 14 das, 11horas.

En qu tiempo un capital de $ 6400 se convirti en $ 13800 con una tasa del

15% semestral.

t =

.

t = 138006400

6400(0,15)

t = 7,70 semestres

t = 1388 das

t = 4 meses, 7 das, 2 horas.

En qu tiempo un capital de $ 2200 se convierte en $ 3000 con una tasa del

3% mensual.

t =

.

t = 30002200

2200(0,03)

t = 4 meses, 3 das, 15 horas.

t = 364 das

Inters de saldos deudores

En muchas instituciones y casas comerciales que operan con crdito utilizando

mecanismos para calcular el inters sobre saldos deudores es decir sobre saldos

que quedan despus de reducir cada cuota que se paga.

Existen 2 mtodos que son:

Acumulacin de inters ( mtodo lagarto)

Acumulacin de intereses sobre saldos deudores.

Ejemplos:

Una cooperativa de ahorro y crdito otorga un prstamo por $ 8000 a 13

meses plazo con una tasa del 3% mensual determine el valor de la cuota fija

que se debe pagar por los 2 mtodos.

Mtodo lagarto. Mtodo de Saldos Deudores.

M = C (1 + i . t) VCSI =

# I1 = C . i . t

M = 8000 (1 + 0,03(13)) VCSI = 8000

13 I1 = 8000(0,03)(1)

M = 11120 VCSI = 615,38 I1 = 240

VCF =

# C1 = VCSI + I1 I2 = C . i . t

VCF = 11120

13 C1 = 615,38 + 240 I2 = 7384,42 (0,03)(1)

VCF = 855,38 C1 = 855,38 I2 = 221,53

I = M C C2 = VCSI + I2 U = a1 + (n 1) d

I = 11120 8000 C2 = 615,38 + 221,53 U = 855,38 + 12 (-18,47)

I = 3120 C2 = 836,91 U = 633,74

S = n/2 (a1 + U) CFM = S/# cuotas

S = 13/2 (855,38 + 633,74) CFM = 9679,28/13

S = 9679,28 CFM = 744,56

CFM = a1 + U / 2 I = S - C

CFM = 855,38 + 633,74 / 2 I = 9679,28 - 8000

CFM = 744,56 I = 1679,28

i = I / C . t i = 1679,28 / 8000(13) i = 1,6151%

Una empresa comercial vende autos cuyo precio es de $17000 con una

entrada del 30% y el saldo a 4 aos plazo con una tasa del 19%. Determine el

valor de la cuota fija mensual que se debe cancelar por los dos mtodos.


C = 17000(0,70) VCSI =

# I1 = C . i . t

C = 11900 VCSI = 11900

48 I1 = 11900(0,19)(1/12)

VCSI = 247,92 I1 = 188,42

M = C (1 + i . t) C1 = VCSI + I1 I2 = C . i . t

M = 11900 (1 + 0,19(4)) C1 = 247,92 + 188,42 I2 = 11652,08 (0,19)(1/12)

M = 20944 C1 = 436,34 I2 = 184,49

VCF =

# C2 = VCSI + I2 U = a1 + (n 1) d

VCF = 20944

4 C2 = 615,38 + 184,49 U = 436,34 + 47 (-3,93)

VCF = 436,33 C2 = 432,41 U = 251,63

I = M C S = n/2 (a1 + U) CFM = S / # cuotas

I = 20944 11900 S = 48/2 (436,34 + 251,63) CFM = 16511,52/48

I = 9044 S = 16511,52 CFM = 343,99

CFM = a1 + U / 2 I = S - C

CFM = 436,34 251,63 / 2 I = 16511,52 - 11900

CFM = 343,99 I = 4611,28

i = I / C . t i = 4611,28/ 11900(4) i = 9,687%

Una persona adquiere una casa en $ 35000 da como entrada el 18% y el resto

se compromete a cancelar en 5 aos 6 meses con una tasa del 21%.

Determine el valor de la cuota mensual por los dos mtodos.


C = 35000(0,82) VCSI =

# I1 = C . i . t

C = 28700 VCSI = 28700

66 I1 = 28700 (0,21)(1/12)

VCSI = 434,85 I1 = 502,25

M = C (1 + i . t) C1 = VCSI + I1 I2 = C . i . t

M = 28700(1+0,21(5,5)) C1 = 434,85 + 502,25 I2 = 28700 (0,21)(1/12)

M = 61848,5 C1 = 937,1 I2 = 494,64

VCF =

# C2 = VCSI + I2 U = a1 + (n 1) d

VCF = 61848,5

66 C2 = 434,85 + 494,64 U = 937,1+ 65 (-7,61)

VCF = 937,10 C2 = 929,49 U = 442,45

I = M C S = n/2 (a1 + U) CFM = S / # cuotas

I = 61848,5 28700 S = 66/2 (937,1+ 442,45) CFM = 45525,16 /66

I = 33148,5 S = 45525,16 CFM = 689,78

I = S - C i = I / C . t

I = 45525,16 - 28700 i = 16825,15/ 28700(66)

I = 16825,15 i = 0,8882%

DESCUENTO SIMPLE O RACIONAL

Dr = M C

Hallar el descuento racional de un documento de $5700 firmado el 20 de abril

a 4 meses plazo, si se descuenta el 12 de julio del mismo ao con una tasa

del 11%.

5700 5700

20/abril 12/julio 20/agosto

110 193 232

i = 0,11

t ) 232 C =

1+ . Dr = M C I = C . I . t

-193 C = 5700

1+0,11(39

360)- 4 Dr = 5700 - 5632,87 I = 67,13

39 das C = 5632,87 Dr = 67,13

Determine el descuento racional de un pagare de $9300 firmado el 11 de

mayo a 270 das plazo con una tasa del 15% trimestral, si se descuenta el 5

de enero del siguiente ao con una tasa del 1% mensual.

i = 0,15 trimestral

9300 13485

11/mayo 5/enero 5/febrero

131 5 t)31 das 36

i = 0,01mensual

M =C(1+i . t) C =

1+ . Dr = M C

M = 9300(1+0,15(270/90) C = 13485

1+0,01(31

30)- 4 Dr = 13485-13347,08

M = 13485 C = 13347,08 Dr = 67,13

Un comerciante firma el 5 de agosto del 2007 un pagare por $ 5700 a 235 das

plazo con una tasa del 9%, determine el descuento racional 20 das antes de

su vencimiento con una tasa del 22% semestral.

i = 0,19

5700 6406,96

5/agosto 20 das antes 28/marzo

217 i = 0,22 87

M =C(1+i . t) C =

1+ . Dr = M C

M = 5700(1+0,19(235/360) C = 6406,96

1+0,22(20

180)- 4 Dr = 6406,96 - 6254,08

M = 6406,96 C = 6254,08 Dr = 152,88

DESCUENTO BANCARIO O BURSTIL

Db = M . d . t Cb = M ( 1 d . t ) tasa de descuento

Db = descuento bancario o burstil

M = monto

d = tasa de descuento

t = tiempo

Hallar el descuento bancario de un capital de $8300 firmado el 6 de marzo a

210 das plazo si se descuenta el 5 de junio del mismo ao con una tasa del

11%.

8300 8300

6/marzo 5/junio 2/octubre

65 156 275

Db = M . d . t

Db = 8300(0,11)(119/360)

Db = 301,80

Determine el valor efectivo que recibe una persona que realiza un descuento

de un pagare por $3900 firmado el 15 de mayo a 190 das plazo con una tasa

del 18% si se descuenta el 4 de julio del mismo ao al 20%.

i = 0,17

3900 4249,92

15/mayo 4/julio 21/noviembre

135 185 325

d = 0,20

t = 140

M =C(1+i . t) Db = M . d . t

M = 3900(1+0,17(190/360)) Db = 4249,92(0,20)(140/360)

M = 4249,92 Db = 330,55

C = M Db Cb = M (1-d.t)

C = 4249,92 - 330,55 Cb = 4249,92( 1 0,20 (140/360))

C = 3919,37 Cb = 3919,37

Una persona solicita un prstamo en un banco por $9500 a 200 das plazo,

determine el valor efectivo si se aplica el descuento del 13%

Cb = M (1-d.t) Db = M . d . t

Cb = 9500(1-0,13(200/360)) Db = 9500(0,13)(200/360)

Cb = 8813,89 Db = 686,11

Cuanto debe solicitar una persona en un banco para recibir $5600 que

pagaremos en 13 das plazo con una tasa de descuento del 5%

M =

1 .

M = 5600

10,05 (130

360)

M = 57022,97

ANLISIS ENTRE LA TASA DE INTERS (i) Y LA TASA DE DESCUENTO (d)

1) La tasa de inters ( i ) utilizamos en el descuento racional o matemtico y

aplicamos sobre el capital

2) La tasa de descuento ( d ) aplicamos en el descuento bancario y se aplica

generalmente en el monto

Encuentre el descuento bancario o burstil y el descuento matemtico o

simple de un pagare de $7300 a 205 das plazo si se descuenta 70 das antes

de su vencimiento con una tasa del 1,5% mensual.

Descuento bancario Descuento simple

Cb = M(1 - i . t) C =

1+ .

Cb = 7300(1 0,015(205/30)) C = 7300

1+0,015(205

30)

Cb = 6551,75 C = 6621,32

Db = M C D = M - C

Db = 6551,75 7300 D = 7300 6621,32

Db = 748,25 D = 678,68

Db = M . i . t I = C .i .t

Db = 7300(0,015)(205/30) I = 6621,32(0,015)(205/30)

Db = 748,25 I = 678,68

La relacin entre la tasa de inters y la tasa de descuento podemos hallarla

as.

i =

1 . d =

1 + .

Ejemplo:

A que tasa de inters equivale a una tasa de descuento del 20% durante 8

das

i =

1 .

i = 0,20

1 0,20(8

360)

i = 20,9302%

A que tasa de inters equivale a una tasa de descuento del 9% durante 3

meses

i =

1 .

i = 0,09

1 0,09(3

12)

i = 9,2071%

A que tasa de descuento equivale una tasa de inters de 20,93% durante 80

das

d =

1 + .

d = 0,2093

1 + 0.2093 (80

360)

d = 19,9997%

A que tasa de descuento equivale una tasa de inters de 25% durante 140

das

d =

1 + .

d = 0,25

1 + 0.25 (140

360)

d = 22,7848%

Una persona realiza un descuento de un pagare suscrito a 220 das plazo por

$3800, 70 das antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 7%

ese mismo da el Banco del Pacfico redescuento ese documento en el

Banco Central con una tasa del 3%, determine cuanto recibe la persona y

cuanto el banco.

Persona Banco

Cb = M (1 d . t) Cb = M (1 i . t)

Cb = 3800 (1 0,07 ( 70/360)) Cb = 3800 ( 1 0,03(70/360))

Cb = 3748,28 Cb = 3777,83

ECUACIONES DE VALOR

Se utiliza para resolver problemas de matemticas financiera donde se repasa un

conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento por una o varias

fechas de vencimiento por uno o varios valores previo acuerdo en re-deudas se

aplica en:

1) Remplazar un conjunto de obligaciones o deudas por un solo valor.

2) Comparar ofertas para compra o venta.

3) Calcular el monto de una serie de depsitos a corto plazo.

4) Calcular el capital de una serie de depsitos a corto plazo.

M1 M2 M3 X C1 C2 C3

t1 t2 t3 F. F t4 t5 t6

E O

M = C(1 + i .t) C C C =

1+ .

M =

1 . H A C = M ( 1 d . t)

A L

Una empresa tiene las siguientes obligaciones: $15000 a 60 das pazo,

$20000 a 120 das pazo, $20000 a 190 das plazo, $30000 a 240 das pazo,

$25000 a 320 das pazo. La empresa desea reemplazar todas estas

obligaciones considerando una tasa del 7% por un solo pago a los 340 das

plazo.

i = 0,07

15000 20000 20000 30000 25000 X

60 120 190 240 320 340

F.F

t1 = 280 X = M1 + M2 + M3 + M4 + M5

t2 = 220 X = 15000(1 + 0,07(280/360)) + 20000(1 + 0,07(220/360)) + 20000(1+

t3 = 150 0,07(130/360)) + 30000(1 + 0,07(100/360)) +25000(1 + 0,07 (20/

t4 = 100 360))

t5 = 20 X = 112936,11

En el problema anterior determine el valor del pago nico si se realiza el da

de hoy.

X 15000 20000 20000 30000 25000

0 60 120 190 240 320

X = C1 + C2 + C3 + C4 + C5

= 15000

(1 + 0,07 (60

360))

+ 20000

(1 + 0,07 (120360))

+ 20000

(1 + 0,07 (190360))

+ 30000

(1 + 0,07 (240360))

+25000

(1 + 0,07 (320360))

X = 105856,41

En el primer problema calcule el valor si lo hacemos en dos pagos iguales a

los 100 y 260 das plazo considrese como fecha focal los 260 das.

15000 X 20000 20000 30000 X 25000

60 100 120 190 240 260 320

F.F

X = M1 - M2 + M3 + M4 + M5 + C1

X = 15000(1+0,07(260/360)) x (1+0,07(160/360)) + 20000(1+0,07(140/360)) +

20000(1+0,07(70/360)) + 30000(1+0,07(20/360)) + 25000

(1+0,07(60

360))

X = 111228,36 1,031x

X + 1,031x = 111228,36

2,031x = 111228,36

X = 111228,36

2,031

X = 54765,32

Una persona debe $1500 a 90 das plazo con una tasa del 13% semestral

$2800 a 170 das plazo con una tasa del 17% trimestral, $4000 a 215 das

plazo con una tasa del 11%. La persona saldar sus deudas por un solo pago

a los 200 das con una tasa de descuento del 2% mensual.

M1 = 1500(1 + 0,13(90/180))

M1 = 1597,50

M2 = 2800(1 + 0,17(170/90))

M2 = 3699,11

M3 = 4000(1 + 0,11(215/360))

M3 = 4262,78

1597,50 3699,11 X 4262,78

90 170 200 215

d = 0,02 mensual F.F

X = M1 - M2 + C1

X = 1597,50

10,02 (110

30) +

3699,11

10,02 (1) + 4262,78 (1 0,02(13/30))

X = 9718,68

El propietario de un terreno recibe 3 ofertas la primera $2000 al contado y

$2000 a un ao plazo, la segunda $1500 al contado y dos letras de $1300

cada uno a 4 y 7 meses plazo, la tercera $2000 al contado una letra de $800 a

4 meses plazo y otra $1700 a 6 meses plazo. Cul de las ofertas sugiere

usted para la venta de ese terreno si se recarga el 3% mensual?

Primera Oferta Segunda Oferta

2000 2000 1500 1300 1300

0 12m 0 4 7 m

X = 2000 + 2000

1+0,03 (12) X = 1500 +

1300

1+0,03 (4) +

1300

1+0,03 (7)

X = 3470,59 X = 3735,1

Tercera Oferta

2000 800 1700

0 4 6 m

X = 2000 + 800

1+0,03 (4) +

1700

1+0,03 (6)

X = 4154,96

Se sugiere la tercera oferta.

Una persona realiza depsitos de $70 mensuales durante 4 meses en un

banco que reconoce el 1,5% mensual. Determine el monto que acumula al

final de los 4 meses.

i = 0,015 X

70 70 70 70

1 2 3 4

F.F

X = 70(1+0,015(3)) + 70(1+0,015(2)) + 70(1+0,015(1)) + 70

X = 286,30

En el problema anterior calcule el monto si la tasa de inters se liquida en

forma anticipada teniendo en cuenta que los intereses sern liquidados en

forma anticipada.

70 70 70 70 X

0 1 2 3 4

F.F

X = 70(1+0,015(4)) + 70(1+0,015(3)) + 70(1+0,015(2)) + 70(1+0,015(1))

X = 290,50

Hallar el clculo del valor original de la deuda de una persona que realiza

una serie de 5 pagos mensuales de $350 para cancelar dicha deuda con una

tasa de inters del 2% mensual.

i = 0,02 mensual

X 350 350 350 350 350

0 1 2 3 4 5

F.F

X = 350

1+0,02 (1) +

350

1+0,02 (2) +

350

1+0,02 (3) +

350

1+0,02 (4) +

350

1+0,02 (5)

X = 1652,12

En el problema anterior determine el valor de la deuda original si la tasa de

inters y los meses se cobra por anticipado.

350 350 350 350 350

0 1 2 3 4

F.F

X = 350 + 350

1+0,02 (1) +

350

1+0,02 (2) +

350

1+0,02 (3) +

350

1+0,02 (4)

X = 1683,94

CUENTAS DE AHORRO

Semestral

Enero Junio Julio Diciembre

1 181 182 365

La propietaria de una cuenta de ahorro realiza las siguientes transacciones

el 7 de enero deposita $1500 para abrir la cuenta, el 13 de febrero deposita

$800, el 15 de marzo retira $600, el 4 de abril deposita $200, el 4 de junio

retira $650, si la cuneta de ahorro gana una tasa de inters del 12%.

Determine el saldo al primer semestre.

Depsitos

I1 = 1500(0,12)(174/360) I2 = 800(0,12)(137/360) I3 =200(0,12)(87/360)

I1 = 87 I2 = 36,53 I3 = 5,80

Deposita

A favor

Retiro

En contra

Retiros

I1 = 600(0,12)(107/360) I2 = 650(0,12)(26/360)

I1 = 21,40 I2 = 5,63

Inters a favor Inters en contra

IA = I1 + I2 + I3 IC = I1 + I2

IA = 87 + 36,53 + 5,80 IC = 21,46 + 5,63

IA = 129,32 IC = 27,03

Inters liquido

IL = IA IC

IL = 129,32 27,03

IL = 102,30

Capital Monto

C = 1500 + 800 + 200 600 650 M = 1250 + 102,30

C = 1250 M = 1352,30 al 30 de junio

FECHA DEPOSITO RETIRO SALDO INTERES +

INTERES -

07 01 1500 1500 87

13 02 800 2300 36,53

15 03 600 1700 21,40

04 04 200 1900 5,80

04 06 650 1250 5,63

162,30 102,30

Al mes de junio

1352,30 129,33 27,03

La propietaria de una cuenta de ahorro realiza las siguientes transacciones

el 3 de enero deposita $1000 para abrir la cuenta, el 5 de febrero deposita

$800, el 4 de marzo retira $650, el 6 de abril retira $200, el 10 de mayo

deposita $800, el 7 de junio retira $900. Si la cuenta de ahorro gana una tasa

de inters del 5%. Determine el saldo al primer semestre.

Depsitos Retiro

I1 = 1000(0,05)(178/360) I1 = 650(0,05)(118/360)

I1 = 24,72 I1 = 10,65

I2 = 800(0,05)(145/360) I2 = 200(0,05)(85/360)

I2 = 16,11 I2 = 2,36

I3 = 800(0,05)(51/360) I3 =900(0,05)(23/360)

I3 = 5,67 I3 = 2,88

Inters a favor Inters en contra

IA = I1 + I2 + I3 IC = I1 + I2 + I3

IA = 24,72 + 16,11 + 5,67 IC = 10,65 + 2,36 + 2,88

IA = 46,56 IC = 15,89

Inters liquido

IL = IA IC

IL = 46,56 15,89

IL = 30,61

Capital a favor Capital en contra

CA = 1000 + 800 + 800 CC = 650 + 200 + 900

CA = 2600 CC = 1750

Capital Liquido Monto Liquido

CL = CA CC ML = CL + IL

CL = 2600 1750 ML = 850 + 30,61

CL = 850 ML = 880,61 al 30 de junio


INTERES -

03 01 1000 1000 24,72

05 02 800 1800 16,11

04 03 650 1150 10,65

06 04 200 950 2,36

10 05 800 1750 5,67

07 - 06 900 850 2,88

30 - 06 30,61 880,61 46,50 15,89

Una persona posee una cuenta de ahorro en una institucin financiera que

posee un saldo de $2800 el 30 de junio y realiza las siguientes

transacciones: el 4 de julio retira $650, el 9 de agosto deposita $600, el 20 de

septiembre retira $350, el 9 de octubre deposita $800, el 3 de noviembre

retira $200, el 20 de diciembre retira $100, si la tasa de inters del 7% liquida

la cuenta semestralmente en el segundo semestre.


INTERES -

30 06 2800 100,18

04 07 650 2150 22,75

09 08 600 2750 16,80

20 09 350 2400 6,94

09 10 800 3200 12,91

03 11 200 3000 2,26

20 - 12 100 2900 0,21

31 - 12 97,73 2997,33 129,89 32,16

Mayra posee una cuenta de ahorro y ha realizado las siguientes

transacciones, el 10 de enero abre la cuenta con $1500, el 4 de febrero

deposita $600, el 9 de marzo retira $800, el 10 de abril deposita $400, el 4 de

junio retira$300, el 2 de julio retira $100, el 15 de agosto deposita $700, el 4

de septiembre retira $300, el 10 de noviembre deposita $700, el 24 de

diciembre retira $400. Determine el saldo al 31 de diciembre si se considera

una tasa del 6 % para el primer semestre y una tasa del 4% para el segundo

semestre, la cuenta se liquida semestralmente.


INTERES -

10 01 1500 1500 42,75

04 02 600 2100 14,60

09 03 800 1300 15,07

10 04 400 1700 5,40

04 06 300 1400 1,30

30 06 46,38 1446,38 62,75 16,37

30 06 1446,38 29,57

02 07 100 1346,38 2,02

15 08 700 2046,38 10,37

04 09 300 1746,38 3,93

10 11 700 2046,38 3,97

31 12 38,01 2084,38 44,27 6,26

INTERES COMPUESTO

La diferencia entre el inters simple y el inters compuesto es que el inters

simple se calcula una sola vez y se utiliza corto plazo y el inters compuesto se

utiliza a largo plazo.

Ejercicio

Determine el monto simple y el inters simple; el monto compuesto y el

inters compuesto de un capital de $4000 con una tasa del 13% durante 5

periodos.

Monto e inters simple. Monto e inters compuesto

M = 4000(1+0,13(5)) Para el primer ao o periodo

M = 6600 M1 = 4000(1+0,13(1))

M1 = 4520

I = 6600 4000 Para el segundo ao o periodo

I = 2600 M2 = 4520 (1+0,13(1))

M2 = 5107,60

Para el tercer ao o periodo

M3 = 5107,60 (1+0,13(1))

M3 = 5771,59

Para el cuarto ao o periodo

M4 = 5771,59 (1+0,13(1))

M4 = 6521,89

Para el quinto ao o periodo

M5 = 6521,89 (1+0,13(1))

M5 = 7369,74

I = 7369,74 4000

I = 3369,74

Variables que intervienen en el inters compuesto (i) tasa de inters efectiva.

=

=

n = (meses que tiene la capitalizacin en un ao) t n = m . t

Ejercicios

Determine el nmero de periodos de convertibilidad (m) y la tasa de inters

(i) durante 9 aos con una tasa del 22% convertible semestralmente.

=

n = m . t

= 0,22

2 n = 2 (9)

i = 11% n = 18 semestres

Determine n e i de un capital colocado a inters compuesto durante 11

aos con una tasa del 17% capitalizable trimestralmente.

=

n = m . t

= 0,17

4 n = 4 (11)

i = 4,25% n = 44 trimestres


aos con una tasa del 19% capitalizable bimensualmente.

=

n = m . t

= 0,19

6 n = 6 (17)

i = 1,66% n = 102 bimestres


aos con una tasa del 11% compuesto quimestralmente.

=

n = m . t

= 0,11

2,4 n = 2,4 (19)

i = 4,583% n = 45,6 quimestres

MONTO COMPUESTO

M = C (1+i)n M = c (1 +

)m . t

Ejercicios

Una empresa obtiene un prstamo de $20000 a 9 aos plazo con una tasa del

15% convertible semestralmente. Determine el monto y el inters compuesto

Datos M = c (1 +

)m . t I = M C

C = 20000 M = 20000 (1 + 0,15

2 )2 . 9 I = 73516,08 20000

j = 0,15 M = 20000 ( 1 + 0,075)18 I = 53516,08

m = 2 M = 73516,08

t = 9

Una empresa obtiene un prstamo de $50000 a 15 aos plazo con una tasa

del 22% convertible trimestralmente. Determine el monto y el inters

compuesto

Datos M = c (1 +

)m . t I = M C

C = 50000 M = 50000 (1 + 0,22

4 )4 . 15 I = 1241988,52 50000

j = 0,22 M = 50000 ( 1 + 0,055)60 I = 1191988,52

m = 4 M = 1241988,52

t = 15

Andrea obtiene un prstamo de $35000 a 20 aos plazo para construir su

casa con una tasa del 14% compuesto bimensualmente. Determine el monto

y el inters que paga.

Datos M = c (1 +

)m . t I = M C

C = 35000 M = 35000 (1 + 0,14

6 )6 .20 I = 555168,66 35000

j = 0,14 M = 50000 ( 1 + 0,0232)120 I = 520168,66

m = 6 M = 555168,66

t = 20

Monto con convertibilidad

Monto compuesto con una tasa de inters en forma instantnea o continua

M = C . e j . t

e = 2,7182

Calcule el monto de un capital de $40000 a inters compuesto durante 20

aos y 9 meses si la tasa de inters es:

a) 7% efectiva

M = 40000 ( 1 + 0,07 )20,75

M = 162844,61

b) 7% convertible semestralmente

M = 40000 ( 1 + 0,035 )41,5

M = 166757,17

c

materia de matematicas basica

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