materiais compósitos propriedades mecânicas dos materiais ... · materiais compósitos laminados...
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Materiais Compósitos
Propriedades mecânicas dos materiais
Micro - mecânica
Docente: Prof. Manuel Freitas
Departamento de Engenharia MecânicaInstituto Superior Técnico
Materiais Compósitos
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Micro / macromecânica
The term “micromechanics” does not refer to
mechanical behavior at the molecular level.
Looks at components of a composite, the matrix
and the fiber, and tries to predict the behavior of
the assumed homogeneous composite material.
The behavior of the lamina is called
“macromechanics”.
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Fibras
• Produção de fibras de carbono
• Apresentação das fibras de vidro e carbono
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Propriedades mecânicas das fibras (1)
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Propriedades mecânicas das fibras (2)
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Fibras em lâminas
• Alguns arranjos típicos de fibras em cada camada de compósito
a - Fibras unidireccionais contínuas
b - Fibras descontínuas orientadas de modo aleatório
c - Fibras unidirecionais tecidas ortogonalmente
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Tipos de tecidos
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Tipos de matriz
• 1. Good mechanical properties
• 2. Good adhesive properties
• 3. Good toughness properties
• 4. Good resistance to environmental degradation
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Tipos de resina (1)
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Tipos de resina (2)
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Micro-mecânica - FracçãoVolumica
composite ofvolume total
component ithe ofvolume
component ithe of fractionvolume th
thi
i
i
==
=
=
=∑=
V
V
vVV
v
v
i
i
n
i
11
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Micro-mecânica - FracçãoVolumica
f m v
volume fraction of the fiber
volume fraction of the matrix
volume fraction of the voids
ff
mm
vv
v v v 1
Vv
VV
vV
Vv
V
+ + =+ + =+ + =+ + =
= == == == =
= == == == =
= == == == =
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Micro-mecânica – Fracção mássica
th
th
weight fraction of the i component
weight of the i component
total weight of composite
n
ii 1
ii
i
i
w 1
Ww
Ww
W
W
====
====
====
====
========
∑∑∑∑
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Micro-mecânica – Fracção mássica
weight fraction of the fiber
weight fraction of the matrix
weight fraction of the voids
f m
f
m
v
w w 1
w
w
w 0
+ =+ =+ =+ ========== == == == =
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Micro-mecânica – densidade
composite of weighttotal
component ithe ofvolume
component ithe of weight
component ithe of density weight
i
th
th
thi
====ρρρρ========
====
====
========ρρρρ
∑∑∑∑∑∑∑∑ ii
i
i
i
i
VWW
V
W
V
W
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Micro-mecânica – densidade
th
i
weight density of the composite
weight of the i component
volume of the composite
weight density of the composite
cc
c
n
c ii 1
WV
W W
V
v====
ρ = =ρ = =ρ = =ρ = =
= == == == =====
ρ = ρ =ρ = ρ =ρ = ρ =ρ = ρ =∑∑∑∑
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Micro-mecânica – densidade
ffmmc vv ρρρ +=
• Autoclave cured: vv = 0.1 – 1%
• No vacuum bagging: vv = 5% (approx.)
– Regra das Misturas (Rule of Mixtures)
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Espessura das lâminas / Ply and laminate thichness
n
hh
V
mh
ti
ff
of
i
=
=ρ
mof - Gramagem / Fiber weight (gr/m 2)
h i – espessura da camada / ply thickness (mm)
h t – espessura total / laminate thickness (mm)
n – camadas / nº of layers Plano de Simetria
- 45°
90°
+ 45°
0°
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Definitions
Transverse means perpendicular to the fibers or in the T (2) - direction
Longitudinalmeans in the fiber direction or in the L (1) - direction shear
stress transverse
stress allongitudin)(
)(
LT
T
L
τσσ
+
+
strainshear
strain transverse
strain allongitudin
LT
T
L
γεε
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Equações constitutivas
=
2
23
3
32
1
13
3
31
1
12
2
21
12
13
23
33
22
11
12
13
23
32
23
1
13
3
32
21
12
3
31
2
21
1
12
13
23
33
22
11
;;
com
100000
01
0000
001
000
0001
0001
0001
EEEEEE
G
G
G
EEE
EEE
EEE
υυυυυυ
τττσσσ
υυ
υυ
υυ
γγγεεε
===
−−
−−
−−
=
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LTLTLT
T
LLT
TTT
LLL
G
E
E
γτεεν
εσεσ
=
−=
=
=
Assume Linear Behavior
121212
2
112
222
111
γτεεν
εσ
εσ
G
E
E
=
−=
=
=
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Comportamento da Lâmina
LT
LTLT
T
LLT
LL
LT
T
TT
TT
TL
L
LL
G
EE
EE
τγ
εεν
σνσε
σνσε
=
−=
−=
−=
G
EE
E
ν
E
xyxy
y
x
xy
y
yx
x
τγ
εεν
σνσε
σσε
=
−=
−=
−=
Material isotrópico Material ortotrópico
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Micro-mecânica (1)
mLfLL εεε ==
ffmmL VEVEE +=
mmLffLLL AAAF σσσ +==
A
AE
A
AEE
A
A
A
Am
mLmLf
fLfLLLm
mLf
fLL εεεσσσ +=⇔+=
mf AAA +=
f – fibra ; m – matriz
L – direcção das fibras
T – direcção transversal às fibras
Força na direcção das fibras
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Micro-mecânica (1a)
Para o mesmo tipo de carregamento e os mesmos mater iais
( )
( )
( ) LLT
fm
L
L
LTfmT
LfL
f
f
fT
LmL
m
mmT
Efmcompósitomaterialopara
E
E
fibrafematrizmmaterialcadapara
ενσνε
ενσν
ε
ενσνε
−=
−=+
−=−=
−=−=
+
+ )(
)( )(
( ) ( )
( ) ( ) ( )
ffmmLTL
ffTmmTfmT
f
f
f
m
m
m
fm
fm
fmT
VVmatriznaefibranacomumécomo
VV
Vh
hV
h
h
hh
hh
νννε
εεε
ε
+=
+=
∆+
∆=
++∆
=
+
+
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Micro-mecânica (2)
• Força na direcção perpendicular às fibras
mTfTT σσσ ==
m
m
f
f
Tm
m
mTf
f
fT
T
T
mmTffTTc
c
E
V
E
V
EV
EV
EE
VVl
l
+=⇒+=
+==∆
1σσσ
εεε
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Micro-mecânica (3)
• Exemplo da variação do modulo de elasticidade de um compósito (Ec) de fibra de vidro e resina poliester em função da % vol. de fibra (Vf) e dos respectivos módulos Ef (fibra) e Em (matriz)
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Micro-mecânica (4)
mn
mfn
fn
c VEVEE )()()( +=
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Micro-mecânica - Shear modulus
12cσσσσ
∆∆∆∆
2m∆∆∆∆
f∆∆∆∆
2m∆∆∆∆
mfc
c
cc
f
ff
m
mm
G
G
G
ττττ====ττττ====ττττ====ττττ
ττττ====γγγγ
ττττ====γγγγ
ττττ====γγγγ
12c
12c12G
γγγγσσσσ
====
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Micro-mecânica - Shear modulus
2
c 2
m m m m m 2
f f f f f
m f
c m m f f
L
L v L
L v L
v v
∆ = γ∆ = γ∆ = γ∆ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ
∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆γ = γ + γγ = γ + γγ = γ + γγ = γ + γ
Shear Modulus of fiber in 12-plane
Shear Modulus of matrix
f m
12 f 12 m
f 12
m
v v1G G G
G
G
= += += += +
========
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Constantes de elasticidade
m
m
f
f
T E
V
E
V
E+=1
mmffLT VV ννν +=
m
m
f
f
LT G
V
G
V
G+=1
Coef. de Poisson
Módulo de elasticidade transversal
Módulo de rigidez ao corte
ffmmL VEVEE +=Módulo de elasticidade longitudinal
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Propriedades da camada ortotrópica
n
hh
V
gramagemh
ti
ffi
=
=ρ
−
−
=
LT
T
L
LT
TL
LT
T
TL
L
LT
T
L
G
EE
EE
τσσ
ν
ν
γεε
100
01
01
Gramagem (gr/m 2)
h i – espessura da camada elementar
h t – espessura total
n - camadas
T
TL
L
LT
EE
νν=
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Laminate Orientation Code
• Ply angles given in degrees - 45 or -45• Separated by slashes - 0/90• Listed top to bottom layer• Enclosed in square brackets - [0/90/0]• Subscripts used
– s – symmetric laminate top half given– (0)n – repeat layer n times
• Center layer uses overbar in odd number layer symmetric laminate
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[[[[ ]]]]s45/90/0
(((( ))))[[[[ ]]]]230/0 m
o0
o0
o90
o90
o45o45
o0
o0
o30−−−−o30++++
o30++++
o30−−−−
Laminate Stacking Sequence Examples
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eroe
spac
ial e
Mec
ânic
a
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[[[[ ]]]]s2 90/0/45±±±±o45++++
o90
o45−−−−
o0
o0
o90o0o0
o45−−−−o45++++
(((( ))))[[[[ ]]]]s2 45/90/0
o90
o0
o0o90
o0
o0
o90
o90
o45
Laminate Stacking Sequence Examples
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eroe
spac
ial e
Mec
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[[[[ ]]]]s90/0/45/0 m [[[[ ]]]]45/90/0/30/45/90
Laminate Stacking Sequence Examples
o45++++
o45−−−−
o0
o0
o45++++o45−−−−
o0
o0
o90 o90
o0
o90
o30
o45
o45
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ORIENTAÇÃO DAS FIBRAS
A resistência será máxima quando as fibras estiverem orientadas com o esforço (sendo mínima na direcção perpendicular)
Variação de propriedades com a orientação das fibras para uma liga de Titânio reforçada com fibras de Boro
Constantes segundo qualquer direcção - exemplo
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Propriedades da camada ortotrópica
1
y
x
2
θθθθ++++
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Propriedades da camada ortotrópica
1
y2
θθθθ xθθθθ
θθθθσσσσ sindA2
θθθθσσσσ cosdA1
dAxσσσσ
dAxyσσσσ
θθθθσσσσ sindA12
θθθθσσσσ cosdA12
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Equilibrium
( ) 0cossin
cossincossin
0cossin2
sincos
2212
21
12
22
21
=θ−θσ+
θθσ+θθσ−σ=
=θθσ+
θσ−θσ−σ=
∑
∑
dA
dAdAdAF
dA
dAdAdAF
xyy
xx
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spac
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(((( ))))
2 2x 1 2 12
2 2xy 1 2 12
cos sin 2 sin cos
sin cos sin cos cos sin
σ = σ θ + σ θ − σ θ θσ = σ θ + σ θ − σ θ θσ = σ θ + σ θ − σ θ θσ = σ θ + σ θ − σ θ θ
σ = σ θ θ − σ θ θ + σ θ − θσ = σ θ θ − σ θ θ + σ θ − θσ = σ θ θ − σ θ θ + σ θ − θσ = σ θ θ − σ θ θ + σ θ − θ
Stress Transformation
Similar derivation for σy
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eroe
spac
ial e
Mec
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Transformation in Matrix Form
σσσσ
σσσσ
σσσσ
θθθθ−−−−θθθθθθθθθθθθ−−−−θθθθθθθθ
θθθθθθθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθ−−−−θθθθθθθθ
====
σσσσ
σσσσ
σσσσ
12
2
1
22
22
22
xy
y
x
sincossincossincos
sincos2cossin
sincos2sincos
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eroe
spac
ial e
Mec
ânic
a
Man
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Condensed Matrix Form
and
2 2x 1
2 2y 2
2 26xy
c s 2cs
s c 2cs
cs cs c s
c cos s sin
σ − σσ − σσ − σσ − σ σ = σσ = σσ = σσ = σ − − σ− − σ− − σ− − σσσσσ
= θ = θ= θ = θ= θ = θ= θ = θ
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Transformation Matrix: [T]
[ ] [ ]
σ
σ
σ
=
σ
σ
σ
σ
σ
σ
=
σ
σ
σ−
xy
y
x
xy
y
x
TT
12
2
1
12
2
1
1 or
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eroe
spac
ial e
Mec
ânic
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Matrices
[ ]
[ ]
−−
−=
−−
−
=−
22
22
22
22
22
22
1
2
2
2
2
sccscs
cscs
cssc
T
sccscs
cscs
cssc
T
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enha
ria A
eroe
spac
ial e
Mec
ânic
a
Man
uel F
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s
Strain
[[[[ ]]]]
γγγγεεεε
εεεε
====
γγγγεεεε
εεεε
γγγγεεεε
εεεε
−−−−−−−−
−−−−
====
γγγγεεεε
εεεε
−−−−
2
T
2
or
2sccscs
cs2cs
cs2sc
2
12
2
1
1
xy
y
x
12
2
1
22
22
22
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y
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Mec
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Man
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22
2
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1
12
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1
12
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1
1
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y
x
xy
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T
γεε
γεε
γεε
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σσσ
σσσ
Mat
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Man
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reita
s
General Stress-Strain Behavior
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]
γγγγ
εεεε
εεεε
====
σσσσ
σσσσ
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1
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Man
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Mat
eria
is C
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sito
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Eng
enha
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Mec
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Man
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s
Stress-Strain Behavior
γγγγ
εεεε
εεεε
====
σσσσ
σσσσ
σσσσ
xy
y
x
662616
262212
161211
xy
y
x
QQQ
QQQ
QQQ
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is C
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min
ados
Eng
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ial e
Mec
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a
Man
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reita
s
Explicit Relationships
(((( ))))(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
4 4 2 211 11 22 12 66
2 2 4 412 11 22 66 12
4 4 2 222 11 22 12 66
Q Q cos Q sin 2 Q 2Q sin cos
Q Q Q 4Q cos sin Q sin cos
Q Q sin Q cos 2 Q 2Q sin cos
= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ
= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ
= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ
Mat
eria
is C
ompó
sito
sLa
min
ados
Eng
enha
ria A
eroe
spac
ial e
Mec
ânic
a
Man
uel F
reita
s
Explicit Relationships
( )( )
( )( )
( )( )θ+θ+
θθ−−+=
θθ−−+
θθ−−=
θθ−−+
θθ−−=
4466
226612221166
3661222
366121126
3661222
366121116
sincos
sincos22
sincos2
sincos2
sincos2
sincos2
Q
QQQQQ
QQQ
QQQQ
QQQ
QQQQ
Mat
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is C
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sito
sLa
min
ados
Eng
enha
ria A
eroe
spac
ial e
Mec
ânic
a
Man
uel F
reita
s
Constantes segundo qualquer direcção (1)
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−=
LT
T
L
xy
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x
sccscs
cscs
cssc
γεε
γεε
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22
22
−−
−=
LT
T
L
xy
y
x
sccscs
cscs
cssc
τσσ
τσσ
)(
2
2
22
22
22
−
−
=
xy
y
x
xyy
y
x
x
xy
xy
yx
xy
xy
xy
y
yx
x
xy
y
x
GEE
GEE
GEE
τσσ
µη
µν
ην
γεε
1
1
1
c – cos θθθθ
s – sen θθθθ
Mat
eria
is C
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sito
sLa
min
ados
Eng
enha
ria A
eroe
spac
ial e
Mec
ânic
a
Man
uel F
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s
Constantes segundo qualquer direcção (2)
=
−−−
−−−
−−−
xy
y
x
xy
y
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EEE
EEE
EEE
γεε
τσσ
332313
232221
131211
TLLT
TT
TLLT
LL
LTLTLTL
LTLTLTL
LTlLTTL
TLLTLTL
LTLTLTL
LTLTLTL
EE
EEque em
GEscEcEscsE
GEscEsEccsE
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νθ
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+−+−=
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−+−+=
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+++=
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−−
−−−−
−−−−
−−−−
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−−−−
1 e
1
))2)((()(
))2)((()(
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)2(2)(
)2(2)(
222223
222213
442212
222233
224422
224411