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Universidade Federal Rural de PernambucoDepartamento de Matemática
Disciplina: Cálculo M IProfa Yane Lísley
Material de Apoio
Roteiro para Esboçar uma Curva1
A lista a seguir pretende servir como um guia para esboçar uma curva à mão. Nem todos os itens
são relevantes para cada função. (Por exemplo, uma curva pode não ter uma assíntotas ou possuir
simetria.) No entanto, o roteiro fornece todas as informações necessárias para fazer um esboço que
mostre os aspectos mais importantes da função.
A. Domínio - É frequentemente útil começar determinando o domínio D de f, isto é, o conjunto
dos valores de x para os quais f(x) está de�nida.
B. Intersecções com os Eixos - A intersecção com o eixo y é f(0). Para encontrarmos as
intersecções com o eixo x, fazemos y = 0 e isolamos x. (Você pode omitir esse passo se a
equação for difícil de resolver.)
C. Simetria
(i) Se f(−x) = f(x) para todo x ∈ D, isto é, a equação da curva não muda se x for substituído
por −x, então f é uma função par, e a curva é simétrica em relação ao eixo y. Isso signi�ca
que nosso trabalho �ca cortado pela metade. Se soubermos como é a curva para x ≥ 0,
então precisaremos somente re�etir em torno do eixo y para obter a curva completa.
Alguns exemplos são: y = x2, y = x4, y = |x| e cosx.
(ii) Se f(−x) = −f(x) para todo x ∈ D, então f é uma função ímpar e a curva é simétrica
em relação à origem. Novamente, podemos obter a curva completa se soubermos como
ela é para x ≥ 0 . [Gire 180◦ em torno da origem]. Alguns exemplos simples de funções
ímpares são y = x, y = x3, y = x5 e y = senx.
(iii) Se f(x+ p) = f(x) para todo x ∈ D, onde p é uma constante positiva, então f é chamada
função periódica, e o menor desses números p é chamado período. Por exemplo, y = senx
tem o período 2p e y = tg x tem período p. Se soubermos como é o grá�co em um intervalo
de comprimento p, então poderemos usar a translação para esboçar o grá�co inteiro.1Retirado do livro Cálculo (vol.1), James Stewart.
D. Assíntotas
(i) Assíntotas horizontais. Lembre-se de que se limx→±∞ f(x) = L, então a reta y = L é
uma assíntota horizontal da curva y = f(x). Se resultar que limx→+∞ f(x) = +∞(ou
−∞), então não temos uma assíntota à direita, o que também é uma informação,
proveitosa no esboço da curva.
(ii) Assíntotas verticais. Lembre-se de que a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo
menos uma das seguintes a�rmativas for verdadeira:
limx→a+ f(x) = +∞ limx→a+ f(x) = −∞
limx→a− f(x) = +∞ limx→a− f(x) = −∞
(Para as funções racionais, você pode localizar as assíntotas verticais igualando a zero o
denominador, após ter cancelado qualquer fator comum. Mas para outras funções esse
método não se aplica.) Além disso, ao esboçar a curva é muito útil saber exatamente
qual das a�rmativas acima é verdadeira. Se f(a) não estiver de�nida, mas a for uma
extremidade do domínio de f , então você deve calcular limx→a+ f(x) ou limx→a− f(x),
seja esse limite in�nito ou não.
(iii) Assíntotas oblíquas. Conforme discutido em sala e explicado mais adiante no exemplo
6.
E. Intervalos de Crescimento ou Decrescimento - Use o Teste C/D. Calcule f ′(x) e encontre
os intervalos nos quais f ′(x) é positiva (f é crescente) e os intervalos nos quais f ′(x) é negativa
(f é decrescente).
F. Valores Máximos e Mínimos Locais - Encontre os números críticos de f [os números c nos
quaisf ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe]. Use então o Teste da Primeira Derivada. Se f ′ muda de
positiva para negativa em um número crítico c, então f(c) é um máximo local. Se f ′ muda de
negativa para positiva em c, então f(c) é um mínimo local. Apesar de ser usualmente preferível
usar o Teste da Primeira Derivada, você pode usar o Teste da Segunda Derivada se f ′(c) = 0 e
f ′′(c) 6= 0 . Então f ′′(c) > 0 implica que f(c) é um local mínimo, enquanto f ′′(c) < 0 implica
que f(c) é um máximo local.
G. Concavidade e Pontos de In�exão - Calcule f ′′(x) e use o Teste da Concavidade. A curva
é côncava para cima se f ′′(x) > 0, e côncava para baixo se f ′′(x) < 0. Os pontos de in�exão
ocorrem quando muda a direção da concavidade.
H. Esboço da Curva Usando as informações nos itens A-G, faça o grá�co. Coloque as assíntotas
como linhas tracejadas. Marque as intersecções com os eixos, os pontos de máximo e de mínimo
e os pontos de in�exão. Então, faça a curva passar por esses pontos, subindo ou descendo de
acordo com E, com a concavidade de acordo com G e tendendo às assíntotas. Se precisão
adicional for desejada próximo de algum ponto, você poderá calcular o valor da derivada aí. A
tangente indica a direção na qual a curva segue.
Exemplos
(Para as funções racionais, você pode localizar as assíntotas verticais igualando a zero odenominador, após ter cancelado qualquer fator comum. Mas para outras funções esse mé-todo não se aplica.) Além disso, ao esboçar a curva é muito útil saber exatamente qual dasafirmativas em é verdadeira. Se f (a) não estiver definida, mas a for uma extremidadedo domínio de f, então você deve calcular ou , seja esse limiteinfinito ou não.
(iii) Assíntotas oblíquas. Elas serão discutidas no fim desta seção.
E. Intervalos de Crescimento ou Decrescimento Use o Teste C/D. Calcule f �(x) e encon-tre os intervalos nos quais f �(x) é positiva (f é crescente) e os intervalos nos quais f �(x) énegativa (f é decrescente).
F. Valores Máximos e Mínimos Locais Encontre os números críticos de f [os números c nosquais f �(c) � 0 ou f �(c) não existe]. Use então o Teste da Primeira Derivada. Se f � mudade positiva para negativa em um número crítico c, então f (c) é um máximo local. Se f � mudade negativa para positiva em c, então f (c) é um mínimo local. Apesar de ser usualmentepreferível usar o Teste da Primeira Derivada, você pode usar o Teste da Segunda Derivadase f �(c) � 0 e . Então f �(c) � 0 implica que f (c) é um local mínimo, enquantof �(c) � 0 implica que f (c) é um máximo local.
G. Concavidade e Pontos de Inflexão Calcule f �(x) e use o Teste da Concavidade. A curvaé côncava para cima se f �(x) � 0, e côncava para baixo se f �(x) � 0. Os pontos de infle-xão ocorrem quando muda a direção da concavidade.
H. Esboço da Curva Usando as informações nos itens A–G, faça o gráfico. Coloque as as-síntotas como linhas tracejadas. Marque as intersecções com os eixos, os pontos de má-ximo e de mínimo e os pontos de inflexão. Então, faça a curva passar por esses pontos, su-bindo ou descendo de acordo com E, com a concavidade de acordo com G e tendendo àsassíntotas. Se precisão adicional for desejada próximo de algum ponto, você poderá cal-cular o valor da derivada aí. A tangente indica a direção na qual a curva segue.
Use o roteiro para esboçar a curva .A. O domínio é
B. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.C. Uma vez que f (�x) � f (x), a função f é par. A curva é simétrica em relação ao eixo y.
D.
Portanto, a reta y � 2 é uma assíntota horizontal.Uma vez que o denominador é zero quando , calculamos os seguintes limites:
Consequentemente, as retas x � 1 e x � �1 são assíntotas verticais. Essa informação so-bre os limites e as assíntotas permite-nos traçar um esboço preliminar na Figura 5 mostrandoas partes da curva próximas das assíntotas.
E.
Como quando e quando , f é crescenteem e e decrescente em e .
F. O único número crítico é x � 0. Uma vez que f � muda de positiva para negativa em 0,f (0) � 0 é um máximo local pelo Teste da Primeira Derivada.
�1, ���0, 1���1, 0����, �1��x � 1�x � 0f ��x� � 0�x � �1�x � 0f ��x� � 0
f ��x� ��x 2 � 1��4x� � 2x 2 � 2x
�x 2 � 1�2 ��4x
�x 2 � 1�2
limx l�1
2x 2
x 2 � 1� �� lim
x l�1�
2x 2
x 2 � 1� �
limx l1
2x 2
x 2 � 1� � lim
x l1�
2x 2
x 2 � 1� ��
x � 1
limx l�
2x 2
x 2 � 1� lim
x l�
2
1 � 1�x 2 � 2
�x � x 2 � 1 � 0� � �x � x � 1� � ���, �1� � ��1, 1� � �1, ��
y �2x 2
x 2 � 1EXEMPLO 1
f ��c� � 0
lim x l a f �x�lim x l a� f �x�1
282 CÁLCULO
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:28 AM Page 282
G.
Uma vez que 12x2 4 � 0 para todo x, temos
e . Assim, a curva é côncava para cima nos intervalose e côncava para baixo em (�1, 1). Não há ponto de inflexão, já que 1 e �1 não es-tão no domínio de f.
H. Usando a informação em E–G, finalizamos o esboço da Figura 6.
Esboce o gráfico de .
A. DomínioB. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.C. Simetria: nenhuma.D. Uma vez que
não há assíntota horizontal. Como quando e f (x) é sempre posi-tiva, temos
então a reta x � �1 é uma assíntota vertical.
E.
Vemos que quando x � 0 (note que não está no domínio de f), então o úniconúmero crítico é 0. Como quando e quando , f édecrescente em (�1, 0) e crescente em .
F. Uma vez que e muda de negativa para positiva em 0, f (0) � 0 é um mínimolocal (e absoluto) pelo Teste da Primeira Derivada.
G.
Observe que o denominador é sempre positivo. O numerador é o polinômio quadrático 3x2 8x 8, que é sempre positivo, pois seu discriminante é b2 � 4ac � �32, que é ne-gativo, e o coeficiente de x2 é positivo. Assim, para todo x no domínio de f, oque significa que f é côncava para cima em e não há ponto de inflexão.
H. A curva está esboçada na Figura 7.
Esboce o gráfico de f (x) � xex.A. O domínio é .B. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.C. Simetria: nenhuma.D. Como ambos x e ex tornam-se grandes quando , temos que . Quando
, contudo, e temos um produto indeterminado que requer o uso da Regrade l’Hôspital:
Assim, o eixo x é uma assíntota horizontal.
E.
Uma vez que ex é sempre positiva, vemos que quando e quando x 1 � 0. Logo, f é crescente em e decrescente em .���, �1���1, ��
f ��x� � 0x 1 � 0f ��x� � 0
f ��x� � xex ex � �x 1�ex
limx l��
xex � limx l��
xe�x � lim
x l��
1
�e�x � limx l��
��ex� � 0
ex l 0x l ��lim x l � xex � �x l �
�
EXEMPLO 3
��1, ��f ��x� � 0
f ��x� �2�x 1�3�2�6x 4� � �3x 2 4x�3�x 1�1�2
4�x 1�3 �3x 2 8x 8
4�x 1�5�2
f �f ��0� � 0�0, ��
x � 0f ��x� � 0�1 � x � 0f ��x� � 0�
43f ��x� � 0
f ��x� �2xsx 1 � x 2 � 1�(2sx 1)
x 1�
x �3x 4�2�x 1�3�2
limx l�1
x 2
sx 1� �
x l �1sx 1 l 0
limx l �
x 2
sx 1� �
� �x � x 1 � 0� � �x � x � �1� � ��1, ��
f �x� �x 2
sx 1EXEMPLO 2
�1, �����, �1�f ��x� � 0 &? � x � � 1
� x � � 1&?x 2 � 1 � 0&?f ��x� � 0
f ��x� ��x 2 � 1�2��4� 4x � 2�x 2 � 1�2x
�x 2 � 1�4 �12x 2 4
�x 2 � 1�3
FIGURA 6 Esboço final de y=
x=1x=_1
y=2
2x2
x2-1
x
y
0
FIGURA 7
x=_1x
y
0
œ„„„„y=
x2
x+1
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:30 AM Page 283
G.
Uma vez que 12x2 4 � 0 para todo x, temos
e . Assim, a curva é côncava para cima nos intervalose e côncava para baixo em (�1, 1). Não há ponto de inflexão, já que 1 e �1 não es-tão no domínio de f.
H. Usando a informação em E–G, finalizamos o esboço da Figura 6.
Esboce o gráfico de .
A. DomínioB. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.C. Simetria: nenhuma.D. Uma vez que
não há assíntota horizontal. Como quando e f (x) é sempre posi-tiva, temos
então a reta x � �1 é uma assíntota vertical.
E.
Vemos que quando x � 0 (note que não está no domínio de f), então o úniconúmero crítico é 0. Como quando e quando , f édecrescente em (�1, 0) e crescente em .
F. Uma vez que e muda de negativa para positiva em 0, f (0) � 0 é um mínimolocal (e absoluto) pelo Teste da Primeira Derivada.
G.
Observe que o denominador é sempre positivo. O numerador é o polinômio quadrático 3x2 8x 8, que é sempre positivo, pois seu discriminante é b2 � 4ac � �32, que é ne-gativo, e o coeficiente de x2 é positivo. Assim, para todo x no domínio de f, oque significa que f é côncava para cima em e não há ponto de inflexão.
H. A curva está esboçada na Figura 7.
Esboce o gráfico de f (x) � xex.A. O domínio é .B. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.C. Simetria: nenhuma.D. Como ambos x e ex tornam-se grandes quando , temos que . Quando
, contudo, e temos um produto indeterminado que requer o uso da Regrade l’Hôspital:
Assim, o eixo x é uma assíntota horizontal.
E.
Uma vez que ex é sempre positiva, vemos que quando e quando x 1 � 0. Logo, f é crescente em e decrescente em .���, �1���1, ��
f ��x� � 0x 1 � 0f ��x� � 0
f ��x� � xex ex � �x 1�ex
limx l��
xex � limx l��
xe�x � lim
x l��
1
�e�x � limx l��
��ex� � 0
ex l 0x l ��lim x l � xex � �x l �
�
EXEMPLO 3
��1, ��f ��x� � 0
f ��x� �2�x 1�3�2�6x 4� � �3x 2 4x�3�x 1�1�2
4�x 1�3 �3x 2 8x 8
4�x 1�5�2
f �f ��0� � 0�0, ��
x � 0f ��x� � 0�1 � x � 0f ��x� � 0�
43f ��x� � 0
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x �3x 4�2�x 1�3�2
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sx 1� �
x l �1sx 1 l 0
limx l �
x 2
sx 1� �
� �x � x 1 � 0� � �x � x � �1� � ��1, ��
f �x� �x 2
sx 1EXEMPLO 2
�1, �����, �1�f ��x� � 0 &? � x � � 1
� x � � 1&?x 2 � 1 � 0&?f ��x� � 0
f ��x� ��x 2 � 1�2��4� 4x � 2�x 2 � 1�2x
�x 2 � 1�4 �12x 2 4
�x 2 � 1�3
FIGURA 6 Esboço final de y=
x=1x=_1
y=2
2x2
x2-1
x
y
0
FIGURA 7
x=_1x
y
0
œ„„„„y=
x2
x+1
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:30 AM Page 283
G.
Uma vez que 12x2 4 � 0 para todo x, temos
e . Assim, a curva é côncava para cima nos intervalose e côncava para baixo em (�1, 1). Não há ponto de inflexão, já que 1 e �1 não es-tão no domínio de f.
H. Usando a informação em E–G, finalizamos o esboço da Figura 6.
Esboce o gráfico de .
A. DomínioB. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.C. Simetria: nenhuma.D. Uma vez que
não há assíntota horizontal. Como quando e f (x) é sempre posi-tiva, temos
então a reta x � �1 é uma assíntota vertical.
E.
Vemos que quando x � 0 (note que não está no domínio de f), então o úniconúmero crítico é 0. Como quando e quando , f édecrescente em (�1, 0) e crescente em .
F. Uma vez que e muda de negativa para positiva em 0, f (0) � 0 é um mínimolocal (e absoluto) pelo Teste da Primeira Derivada.
G.
Observe que o denominador é sempre positivo. O numerador é o polinômio quadrático 3x2 8x 8, que é sempre positivo, pois seu discriminante é b2 � 4ac � �32, que é ne-gativo, e o coeficiente de x2 é positivo. Assim, para todo x no domínio de f, oque significa que f é côncava para cima em e não há ponto de inflexão.
H. A curva está esboçada na Figura 7.
Esboce o gráfico de f (x) � xex.A. O domínio é .B. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.C. Simetria: nenhuma.D. Como ambos x e ex tornam-se grandes quando , temos que . Quando
, contudo, e temos um produto indeterminado que requer o uso da Regrade l’Hôspital:
Assim, o eixo x é uma assíntota horizontal.
E.
Uma vez que ex é sempre positiva, vemos que quando e quando x 1 � 0. Logo, f é crescente em e decrescente em .���, �1���1, ��
f ��x� � 0x 1 � 0f ��x� � 0
f ��x� � xex ex � �x 1�ex
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EXEMPLO 3
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x � 0f ��x� � 0�1 � x � 0f ��x� � 0�
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x 2
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f �x� �x 2
sx 1EXEMPLO 2
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f ��x� ��x 2 � 1�2��4� 4x � 2�x 2 � 1�2x
�x 2 � 1�4 �12x 2 4
�x 2 � 1�3
FIGURA 6 Esboço final de y=
x=1x=_1
y=2
2x2
x2-1
x
y
0
FIGURA 7
x=_1x
y
0
œ„„„„y=
x2
x+1
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:30 AM Page 283
F. Como e muda de negativa para positiva em , é ummínimo local (e absoluto).
G.
Visto que se e se , f é côncava para cima eme côncava para baixo em . O ponto de inflexão é .
H. Usamos essa informação para traçar a curva da Figura 8.
Esboce o gráfico de .
A. O domínio é .B. A intersecção com o eixo y é . As intersecções com o eixo x ocorrem quando cos
x � 0, ou seja, x � (2n 1) p/2, em que n é um número inteiro.
C. f não é nem par nem ímpar, mas f (x 2p) � f (x) para todo x; logo, f é periódica e temum período 2p. Dessa forma, precisamos considerar somente e então esten-der a curva por translação na parte H.
D. Assíntotas: nenhuma.
E.
Logo, quando . Assim, f é crescente em (7p/6, 11p/6) e decrescente em (0, 7p/6) e
(11p/6, 2p).F. A partir da parte E e do Teste da Primeira Derivada, vemos que o valor mínimo local é
e o valor máximo local é .G. Se usarmos a regra do quociente novamente, obtemos
Como e para todo x, sabemos que quandocos x � 0, ou seja, . Assim, f é côncava para cima em e côn-cava para baixo em e . Os pontos de inflexão são (p/2, 0) e (3p/2, 0).
H. O gráfico da função restrita a é mostrado na Figura 9. Então, nós o estende-mos, usando a periodicidade, para completar o gráfico na Figura 10.
0 � x � 2 �3 �2, 2 ��0, �2�
�p�2, 3p�2� �2 � x � 3 �2f ��x� � 01 � sen x � 0�2 sen x�3 � 0
f ��x� � �2 cos x �1 � sen x�
�2 sen x�3
f �11 �6� � 1�s3f �7 �6� � �1�s3
7 �6 � x � 11 �62 sen x 1 � 0 &? sen x � �
12 &?f ��x� � 0
f ��x� ��2 sen x���sen x� � cos x �cos x�
�2 sen x�2 � �2 sen x 1
�2 sen x�2
0 � x � 2
f �0� � 12
�
f �x� �cos x
2 sen xEXEMPLO 4
��2, �2e�2����, �2���2, ��x � �2f ��x� � 0x � �2f ��x� � 0
f ��x� � �x 1�ex ex � �x 2�ex
x � �1 f ��1� � �e�1f �f ���1� � 0FIGURA 8
x
y
1
_1_2
y=xex
(_1, _1/e)
FIGURA 9
y
xππ
2
1
2
2π3π
2
” , ’11π
6
1
œ„3
-”7π
6
1
œ„3, ’
FIGURA 10
y
xπ_π
1
2
2π 3π
Esboce o gráfico de y � ln(4 � x2).A. O domínio é
B. A intersecção com o eixo y é f (0) � ln 4. Para encontrarmos a intersecção com o eixo x,fazemos
Sabemos que , de modo que temos e, portanto, as inter-secções com o eixo x é .s3
4 � x 2 � 1 ? x 2 � 3ln 1 � 0
y � ln�4 � x 2 � � 0
�x � 4 � x 2 � 0� � �x � x 2 � 4� � �x � � x � � 2� � ��2, 2�
EXEMPLO 5
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:32 AM Page 284
F. Como e muda de negativa para positiva em , é ummínimo local (e absoluto).
G.
Visto que se e se , f é côncava para cima eme côncava para baixo em . O ponto de inflexão é .
H. Usamos essa informação para traçar a curva da Figura 8.
Esboce o gráfico de .
A. O domínio é .B. A intersecção com o eixo y é . As intersecções com o eixo x ocorrem quando cos
x � 0, ou seja, x � (2n 1) p/2, em que n é um número inteiro.
C. f não é nem par nem ímpar, mas f (x 2p) � f (x) para todo x; logo, f é periódica e temum período 2p. Dessa forma, precisamos considerar somente e então esten-der a curva por translação na parte H.
D. Assíntotas: nenhuma.
E.
Logo, quando . Assim, f é crescente em (7p/6, 11p/6) e decrescente em (0, 7p/6) e
(11p/6, 2p).F. A partir da parte E e do Teste da Primeira Derivada, vemos que o valor mínimo local é
e o valor máximo local é .G. Se usarmos a regra do quociente novamente, obtemos
Como e para todo x, sabemos que quandocos x � 0, ou seja, . Assim, f é côncava para cima em e côn-cava para baixo em e . Os pontos de inflexão são (p/2, 0) e (3p/2, 0).
H. O gráfico da função restrita a é mostrado na Figura 9. Então, nós o estende-mos, usando a periodicidade, para completar o gráfico na Figura 10.
0 � x � 2 �3 �2, 2 ��0, �2�
�p�2, 3p�2� �2 � x � 3 �2f ��x� � 01 � sen x � 0�2 sen x�3 � 0
f ��x� � �2 cos x �1 � sen x�
�2 sen x�3
f �11 �6� � 1�s3f �7 �6� � �1�s3
7 �6 � x � 11 �62 sen x 1 � 0 &? sen x � �
12 &?f ��x� � 0
f ��x� ��2 sen x���sen x� � cos x �cos x�
�2 sen x�2 � �2 sen x 1
�2 sen x�2
0 � x � 2
f �0� � 12
�
f �x� �cos x
2 sen xEXEMPLO 4
��2, �2e�2����, �2���2, �x � �2f ��x� � 0x � �2f ��x� � 0
f ��x� � �x 1�ex ex � �x 2�ex
x � �1 f ��1� � �e�1f �f ���1� � 0FIGURA 8
x
y
1
_1_2
y=xex
(_1, _1/e)
FIGURA 9
y
xππ
2
1
2
2π3π
2
” , ’11π
6
1
œ„3
-”7π
6
1
œ„3, ’
FIGURA 10
y
xπ_π
1
2
2π 3π
Esboce o gráfico de y � ln(4 � x2).A. O domínio é
B. A intersecção com o eixo y é f (0) � ln 4. Para encontrarmos a intersecção com o eixo x,fazemos
Sabemos que , de modo que temos e, portanto, as inter-secções com o eixo x é .s3
4 � x 2 � 1 ? x 2 � 3ln 1 � 0
y � ln�4 � x 2 � � 0
�x � 4 � x 2 � 0� � �x � x 2 � 4� � �x � � x � � 2� � ��2, 2�
EXEMPLO 5
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:32 AM Page 284
C. Visto que f (�x) � f (x), f é par, e a curva é simétrica em relação ao eixo y.D. Procuramos as assíntotas verticais nas extremidades do domínio. Já quequando e também quando , temos
Assim, as retas x � 2 e x � �2 são assíntotas verticais.
E.
Como quando e quando , f é crescente em(�2, 0) e decrescente em (0, 2).
F. O único número crítico é x � 0. Uma vez que f � muda de positiva para negativa em 0,f (0) � ln 4 é um máximo local pelo Teste da Primeira Derivada.
G.
Uma vez que f �(x) � 0 para todo x, a curva é côncava para baixo em (�2, 2) e não temponto de inflexão.
H. Usando essa informação, esboçamos a curva na Figura 11.
Assíntotas OblíquasAlgumas curvas têm assíntotas que são oblíquas, isto é, não são horizontais nem verticais. Se
onde , então a reta y � mx b é chamada assíntota oblíqua, pois a distância verticalentre a curva y � f (x) e a linha y � mx b tende a 0, como na Figura 12. (Uma situação si-milar existe se .) Para funções racionais, assíntotas oblíquas acorrem quando a dife-rença entre os graus do numerador e do denominador é igual a 1. Neste caso, a equação de umaassíntota oblíqua pode ser encontrada por divisão de polinômios, como no exemplo a seguir.
Esboce o gráfico de .
A. O domínio é .B. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.C. Visto que f (�x) � �f (x), f é ímpar, e seu gráfico, simétrico em relação à origem.D. Como x2 1 nunca é 0, não há assíntota vertical. Uma vez que quando
e quando , não há assíntotas horizontais. Mas a divisão de polinômiosfornece
quando
Logo, a reta y � x é uma assíntota oblíqua.
E.
Uma vez que para todo x (exceto 0), f é crescente em .F. Embora , não muda o sinal em 0, logo não há máximo ou mínimo local.f ��0� � 0 f �
���, ��f ��x� � 0
f ��x� �3x 2�x 2 1� � x 3 � 2x
�x 2 1�2 �x 2�x 2 3��x 2 1�2
x l �f �x� � x � �x
x 2 1� �
1
x
1 1
x 2
l 0
f �x� �x 3
x 2 1� x �
xx 2 1
x l ��f �x� l ��x l �f �x� l �
� � ���, ��
f �x� �x 3
x 2 1EXEMPLO 6
x l ��
m � 0
limx l �
f �x� � �mx b�� � 0
f ��x� ��4 � x 2 ���2� 2x��2x�
�4 � x 2 �2 ��8 � 2x 2
�4 � x 2 �2
0 � x � 2f ��x� � 0�2 � x � 0f ��x� � 0
f ��x� ��2x
4 � x 2
limx l�2
ln�4 � x 2 � � ��limx l2�
ln�4 � x 2 � � ��
x l �2x l 2�
4 � x 2 l 0
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 285
0
y
x
{œ„3, 0}{_œ„3, 0}
x=2x=_2
(0, ln4)
y=ln(4-x2)
FIGURA 11
FIGURA 12
y=ƒ
x
y
0
y=mx+b
ƒ-(mx+b)
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:33 AM Page 285
G.
Visto que quando ou , montamos a seguinte tabela:
Os pontos de inflexão são e .H. O gráfico de f está esboçado na Figura 13.
(s3 , 34 s3 )(�s3 , �
34 s3 ), �0, 0�
x � s3x � 0f ��x� � 0
f ��x� ��4x 3 6x��x 2 1�2 � �x 4 3x 2 � � 2�x 2 1�2x
�x 2 1�4 �2x�3 � x 2 ��x 2 1�3
Intervalo x f
� � CC em
� � CB em
CC em
� � CB em x � s3
x � �s3 (��, �s3 )�s3 � x � 0 (�s3 , 0)
0 � x � s3 (0, s3 )
f ��x��x 2 1�33 � x 2
(s3 , �)
FIGURA 13
y=x
”_œ„3,- ’3œ„3
4
pontos deinflexão
y=x3
x2+1
x
y
0
”œ„3, ’3œ„3
4
1–54 Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. ,
36. ,
37. ,
38. ,
39. 40.
41. 42.
43. 44. ,
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53. 54.
55. Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula é
onde m0 é a massa de repouso da partícula, m é a massa quandoa partícula se move com velocidade v em relação ao observadore c é a velocidade da luz. Esboce o gráfico de m como uma fun-ção de .
56. Na teoria da relatividade, a energia de uma partícula é
em que m0 é a massa de repouso da partícula, l é seu comprimentode onda e h é a constante de Planck. Esboce o gráfico de E comouma função de l. O que o gráfico mostra sobre a força?
57. Um modelo para dispersão de um rumor é dado pela equação
onde p(t) é a proporção da população que já ouviu o boato notempo t e a e k são constantes positivas.(a) Quando a metade da população terá ouvido um rumor?(b) Quando ocorre a maior taxa de dispersão do boato?(c) Esboce o gráfico de p.
p�t� �1
1 ae�kt
E � sm02 c4 h2 c 2��2
v
m �m0
s1 � v2�c2
y � tg�1� x � 1
x 1y � e3x e�2x
y �ln xx 2y � xe�1�x
y � ln�x 2 � 3x 2�y � ln�sen x�
y � e x�x 2y � �1 e x ��2
y � e2 x � e xy � x � ln x
0 � x � 2 y � e�x sen xy � 1��1 e �x �
y � �1 � x�e xy � arctg�e x�
y �sen x
2 cos xy �
sen x1 cos x
0 � x � �2y � sec x tg x
0 � x � 3 y � 12 x � sen x
� �2 � x � �2y � 2x � tg x
� �2 � x � �2y � x tg x
y � x cos xy � sen3 x
y � s3 x 3 1y � s
3 x 2 � 1
y � x 5�3 � 5x 2�3y � x � 3x1�3
y �x
sx 2 � 1y �
s1 � x 2
x
y � xs2 � x 2y �x
sx 2 1
y � sx 2 x � xy � sx 2 x � 2
y � 2sx � xy � �x � 3�sx
y �x 3
x � 2y �
x 2
x 2 3
y �x
x 3 � 1y �
x � 1
x 2
y � 1 1
x
1
x 2y �x
x 2 9
y �x 2
x 2 9y �
1
x 2 � 9
y �x
x 2 � 9y �
x � x 2
2 � 3x x 2
y �x 2 � 4
x 2 � 2xy �
xx � 1
y � �4 � x 2 �5y � 15 x 5 �
83 x 3 16x
y � x 5 � 5xy � x�x � 4�3
y � 8x 2 � x 4y � 2 � 15x 9x 2 � x 3
y � x 3 6x 2 9xy � x 3 x
4.5 Exercícios
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
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