material de apoyo. matemáticas 3
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Semestre agosto/diciembre 2015TRANSCRIPT
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
ESCUELA PREPARATORIA DOS
MATERIAL DE APOYO DE MATEMÁTICAS 3
Elaborado por:
Karla López Miranda
Wilbert Canto Escoffié
Enrique Rodríguez Tut
Edgar Sansores Gutiérrez
Carlos Navarrete Solís
Revisado y corregido por:
Astrid Calderón Pérez
Sandy Rubio Escalante
Wilbert Canto Escoffié
Enrique Rodríguez Tut
Edgar Sansores Gutiérrez
Carlos Navarrete Solís
Junio 2015.
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TRIGONOMETRÍA ..................................................................................................................................... 4
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ........................................................................................................ 5
Razones trigonométricas .................................................................................................................. 5
Teorema de Pitágoras .......................................................................................................................... 6
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS .................................................................................................. 12
Ley de los senos .................................................................................................................................. 13
Ley de los cosenos .............................................................................................................................. 18
Caso ambiguo de triángulos oblicuángulos ............................................................................................ 21
Aplicación de triángulos en la solución de problemas ................................................................... 22
CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA .............................................................. 38
Distancia entre dos puntos .................................................................................................................... 38
Punto medio ......................................................................................................................................... 39
Pendiente de una recta ...................................................................................................................... 39
EJEMPLOS .......................................................................................................................................... 41
EJERCICIOS PROPUESTOS ........................................................................................................... 45
Lugar geométrico ................................................................................................................................. 48
Ejemplos ............................................................................................................................................. 49
Lugares geométricos más conocidos ................................................................................................. 52
EJERCICIOS SOBRE LUGARES GEOMÉTRICOS ...................................................................... 54
Ejercicios Adicionales ......................................................................................................................... 57
LÍNEA RECTA ...................................................................................................................................... 58
EJERCICIOS SOBRE LINEA RECTA ............................................................................................. 61
Rectas y puntos notables de un triángulo ......................................................................................... 63
Mediatrices y circuncentro ......................................................................................................... 63
Medianas y baricentro .................................................................................................................. 65
EJERCICIOS SOBRE LINEAS Y PUNTOS NOTABLES .............................................................. 66
CIRCUNFERENCIA ............................................................................................................................ 70
EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS ................................................................................. 74
PARÁBOLA .......................................................................................................................................... 76
APLICACIONES DE PARÁBOLA ..................................................................................................... 81
EJERCICIOS SOBRE PARÁBOLAS ............................................................................................... 84
LA ELIPSE ............................................................................................................................................ 88
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EJERCICIOS SOBRE ELIPSES ....................................................................................................... 92
BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................................... 93
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TRIGONOMETRÍA
Es el estudio de las relaciones entre los
ángulos y los lados de un triángulo
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
TEOREMA DE PITÁGORAS
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
LEY DE SENOS
LEY DEL COSENO
Figura 1: Resumen de contenidos
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TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Razones trigonométricas
Las seis razones definidas anteriormente se llaman Razones Trigonométricas del
ángulo en cuestión. Si nos basamos en la figura de arriba, las funciones
trigonométricas quedarían representadas de la siguiente manera
Con respecto al ángulo A Con respecto al ángulo B
c
aASen
c
bBSen
c
bACos
c
aBCos
b
aATg
a
bBTg
a
bACtg
b
aBCtg
b
cASec
a
cBSec
a
cACsc
b
cBCsc
En todo triángulo rectángulo se cumple que:
1. El SENO (Sen) de cualquier ángulo agudo es la
razón entre el lado opuesto y la hipotenusa.
2. El COSENO (Cos) de cualquier ángulo agudo es la
razón entre el lado adyacente y la hipotenusa.
3. La TANGENTE (Tg) de cualquier ángulo agudo es
la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente.
4. La COTANGENTE (Ctg) de cualquier ángulo
agudo es la razón entre el lado adyacente y el lado
opuesto.
5. La SECANTE (Sec) de cualquier ángulo agudo es
la razón entre la hipotenusa y el lado adyacente.
6. La COSECANTE (Csc) de cualquier ángulo agudo
es la razón entre la hipotenusa el lado opuesto.
Figura 2: Razones
trigonométricas
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Teorema de Pitágoras
EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES
IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS.
EJEMPLOS
1. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12cm y 16cm. Determina las
razones trigonométricas del menor ángulo agudo, y con base en alguna de ellas
determina la medida del ángulo.
Solución: Primero dibuja tu triángulo rectángulo que cumpla con la condición
dada. Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos la hipotenusa:
Entonces, siguiendo las definiciones de las razones trigonométricas:
𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐
Teorema de Pitágoras
Figura 3: Teorema de Pitágoras.
Figura 4: Ejemplo 1.
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Para determinar el ángulo A, usaremos la razón seno:
(
)
2. En un triángulo rectángulo
Determina las razones trigonométricas
seno, coseno y tangente del ángulo A.
Solución: Dibuja tu triángulo rectángulo que cumpla con la condición dada.
De acuerdo a la definición de secante podemos considerar que la hipotenusa mide 5
y el cateto adyacente al ángulo A es igual a 4.
Aplicando el teorema de Pitágoras podemos obtener el cateto faltante:
Despejando obtenemos:
Entonces, siguiendo las definiciones de las razones trigonométricas:
En tu calculadora, usa shift (o 2nd f ) sin
Figura 5: Ejemplo 2.
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Respuesta
racionalizada
Figura 6: Ejemplo 3.
3. Si , determina las razones trigonométricas tangentes y cosecante del
ángulo B.
Solución: Recuerda que
Por tanto
Dibuja tu triángulo rectángulo que cumpla con la condición dada.
De acuerdo a la definición de coseno podemos considerar que la hipotenusa mide
2 y el cateto adyacente al ángulo A es igual a 1.
Aplicando el teorema de Pitágoras podemos obtener el cateto faltante:
Despejando obtenemos: √
Entonces, siguiendo las definiciones de las razones trigonométricas:
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√ √
4. Resuelve el siguiente triángulo rectángulo.
Solución:
En la figura observamos que nos dan un
ángulo (H) y el cateto adyacente a él (m=12)
Utilizando
Despejando: ( )
Para determinar utilizaremos la tangente:
Despejando
( )
El ángulo
EJERCICIOS
Figura 7: Ejemplo 4.
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1. Para cada uno de los siguientes incisos determina los valores de las
demás razones trigonométricas.
a)
b)
c)
d)
2. Resuelve cada uno de los siguientes triángulos rectángulos
a)
b)
c)
d)
𝑺
𝑽
𝑻
𝒕
𝒗
𝟏𝟖
28°
𝑨
𝑪 𝑩
𝒄
𝟔
𝟖
𝑨
𝟐𝟏
𝟔𝟎
𝑩
𝑪 9
15
𝒂
𝑨
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e) Siendo
y , halla .
f) Siendo
, halla .
3. Resuelve cada uno de los siguientes triángulos rectángulos, apegándote al
esquema del triángulo de la figura.
a) Dado
b) Dado
c) Dado
d) Dado
e) Dado
Respuestas ej. 3
1.
2.
3.
4.
5.
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TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Para resolver triángulos
oblicuángulos podemos aplicar
La ley de los senos
a) Dados dos ángulos y el lado comprendido entre ellos
(A, c, B)
b) Dados dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos
(A, B, a o b)
CASO AMBIGUO
c) Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (a, b, A o
B)
La ley de los cosenos
a) Dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
(a, C, b)
b) Dados los tres lados (a, b, c)
Figura 8: Ejemplos de triángulos oblicuángulos.
Figura 9: Casos para la resolución de triángulos oblicuángulos.
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Ley de los senos
En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos.
Si ∆ABC es un triángulo oblicuángulo con lados a, b y c, entonces
Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del
triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese
cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó
para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no
podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las
partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo
y lo discutiremos más adelante.
Figura 10: Ley de senos
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Ejemplo 5: Dado dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos (AAL).
Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentra el ángulo y los lados
faltantes.
El tercer ángulo del triángulo es
C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130°
Por la ley de los senos,
Por las propiedades de las proporciones
Ejemplo 6: Dado dos ángulos y el lado entre ellos (ALA).
Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentra el ángulo y los lados faltantes.
Figura 11: Ejemplo 5.
Figura 12: Ejemplo 6.
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El tercer ángulo del triángulo es:
C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°
Por la ley de los senos,
Por las propiedades de las proporciones
Ejemplo 7: Dos soluciones existen
Dado a = 6. b = 7 y A = 30°. Encuentre los otros ángulos y el lado.
h = b sin A = 7 sin 30° = 3.5
h < a < b por lo tanto, hay dos triángulos posibles.
Figura 13: Ejemplo 7.
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Por la ley de los senos,
Hay dos ángulos entre 0° y 180° cuyo seno es aproximadamente 0.5833, 35.69° y
144.31°.
Si B ≈ 35.69° Si B ≈ 144.31°
C ≈180° – 30° – 35.69° ≈ 114.31° C ≈ 180° – 30° – 144.31° ≈ 5.69°
Ejemplo 8: Una solución existe
Dado a = 22, b =12 y A = 40°. Encuentre los otros ángulos y el lado.
a > b
Figura 14: Ejemplo 8.
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Por la ley de los senos,
B es agudo.
C ≈ 180° – 40° – 20.52° ≈ 119.48°
Por la ley de senos,
Si en un triángulo conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL) o
si conocemos 3 lados de un triángulo (LLL), no podemos usar la ley de los senos
porque no podemos establecer ninguna proporción. En estos dos casos debemos
usar la ley de los cosenos.
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Ley de los cosenos
La ley de los cosenos establece que el cuadrado de un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del
ángulo que forman:
Es decir: –
Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es
un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene
el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley
de los cosenos.
La ley de los cosenos también puede establecerse como
– ( )( )
– ( )( )
Figura 15: Ley del coseno
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Ejemplo 9: Dos lados y el ángulo comprendido (LAL)
Dado , y . Determina el lado y ángulos faltantes.
√
√ ( )( )
Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.
Figura 16: Ejemplo 9.
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Ejemplo 10: Tres lados-LLL
Dado , y Determina las medidas de los ángulos.
Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso, ese
es el lado b.
( )( )
Ya que el es negativo, sabemos que es un ángulo obtuso.
Ya que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso,
sabemos que el ángulo A y el ángulo C ambos son agudos.
Para encontrar los otros dos ángulos, es más sencillo usar la ley de los senos.
Figura 17: Ejemplo 10.
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Caso ambiguo de triángulos oblicuángulos
Sobre el caso ambiguo, si en la expresión
Ocurre que
{ o ha soluci n
Tiene una soluci n Tiene dos soluciones un ángulo agudo uno o tuso
Cuando el ángulo es agudo, tiene una solución sí . Por otra parte, si
entonces puede tener tres alternativas:
1) sin solución
2) una solución
3) dos soluciones
Si el ángulo A es obtuso, tiene una solución si .
No tiene solución si
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Aplicación de triángulos en la solución de problemas
Las técnicas para la resolución de triángulos rectángulos pueden aplicarse
para resolver diversas situaciones cotidianas de medición. En los siguientes ejemplos
podrás apreciar algunas de estas aplicaciones.
Algo importante en el planteamiento de
los problemas relacionados con el
cálculo de alturas por medio de la
trigonometría es la correcta disposición
de los ángulos de referencia del
observador y del punto observado.
Observa con mucho cuidado la figura de
la izquierda y recuerda, para futuras
aplicaciones cada uno de los dos
ángulos mencionados en ella.
Tanto el ángulo de elevación como el
ángulo de depresión son medidos con
respecto a una línea horizontal. Siempre
con respecto a la horizontal
Ángulo de Depresión
Ángulo de Elevación
Figura 18: Ángulo de
elevación y de depresión.
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Ejemplo 11:
Para determinar la altura de una
torre transmisora que se
encuentra sobre un cerrito, un
topógrafo se sitúa a 30 metros de
la torre sobre el suelo nivelado.
Si el topógrafo mide que el
ángulo de elevación a la cúspide
de la torre es de 40º, y si la
elevación del montículo de tierra
es de dos metros con respecto al
suelo nivelado. ¿Qué tan alta es
la torre?
De acuerdo a los datos, aplicaremos la función tangente:
Entonces ( )
La altura total con respecto al suelo es 27.173m
H
40°
30
Figura 19: Ejemplo 11.
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Ejemplo 12:
Calcula cuánto mide el radio del círculo
inscrito y el del círculo circunscrito en el
pentágono regular cuyos lados miden 24
cm. cada uno.
Solución: Calculamos el ángulo central del
pentágono
y lo bisecamos:
Para encontrar el radio de la circunferencia
inscrita (r) usamos la razón
Despejando , tenemos:
Para encontrar el radio de la circunferencia circunscrita (R) usamos la razón
Despejando , tenemos:
R 𝒓 36°
12
24
Figura 20: Ejemplo 12.
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Ahora, es tu turno. Resuelve los siguientes problemas:
2. La torre Eiffel, símbolo de la ciudad
de París fue terminada el 31 de marzo
de 1889; era la torre más alta hasta que
inició la era de las torres de televisión.
Encuentra la altura de la torre Eiffel, (sin
contar la antena de tele-visión que está
en su cúspide) usando la información
proporcionada en la figura de la
izquierda.
3. Sobre la azotea de una iglesia se
encuentra una cruz monumental como
se muestra en la figura. Se hacen dos
observaciones desde el nivel de la calle
y a 30 pies desde el centro del edificio.
El ángulo de elevación hasta la base de
la cruz es de 45º y el ángulo medido
hasta el extremo de la cruz es de 47.2º
¿cuánto mide la cruz?
85° 21’
80 pies
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4. Una escalera de doce metros
de longitud puede colocarse de
tal manera que alcance una
ventana de diez metros de
altura de un lado de la calle y,
haciendo girar la escalera sin
mover su base, puede alcanzar
una ventana que está a seis
metros de altura en el otro lado
de la calle. Halla el ancho de la
calle.
5. El ingeniero Juan está construyendo la entrada de una casa con un techo en
forma de dos aguas como se ilustra. Juan quiere saber la longitud del mismo
para calcular la cantidad de tejas que va a utilizar. Halla la longitud del techo.
6.5m
25° 50°
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6. Dos puestos de observación están alineados con una torre. Desde el más
lejano el ángulo de elevación al punto más alto de la torre es de 18º y desde el
más cercano situado a 20 metros del anterior es de 26º30’ al mismo punto.
Halla la distancia del puesto de observación más lejano a la torre.
7. Para determinar la longitud máxima MN de un lago ubicado en su terreno, un
agricultor uso el sig. Procedimiento: ubicó un punto R fuera del lago, a 80m del
extremo M y a 115m del extremo midi el ángulo MR que es de 73º20’
como se muestra. Halla la longitud MN.
20m
26°30’ 18°
73°20’ 115m 80m
M
N
R
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8. Para subir una caja desde la cuneta de una carretera hasta la cinta asfáltica se
utiliza un tablón de 2.5m de longitud como se muestra. El ángulo que forma la
cuneta con el desplante de la carretera es de 125º y la longitud del desplante es
de 0.80m. halla la distancia del inicio del desplante a donde se apoya el tablón.
9. Halla la longitud del radio de la circunferencia circunscrita a un octágono
regular si su diagonal de menor longitud es de 42cm.
.80m 2.5m
125°
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10. Dos cazadores parten de un mismo punto uno hacia al norte y otro hacia el
noreste ¿Qué distancia los separa en el instante en que el primero ha caminado
0.8 km y el segundo 0.56 km?
..
11. El piloto de un avión vuela a una altura de 5000 metros sobre el nivel del mar.
Descubre una isla y observa que el ángulo de depresión donde inicia la isla es
de 39º y el punto donde termina la isla tiene un ángulo de depresión de 27º.
Hallar. el largo de la isla.
0.56km
0.8km
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12. Desde el extremo superior de una torre de 42 metros de altura, el ángulo de
depresi n al extremo superior de otra torre es de 21º50’. Si entre am as torres
hay una distancia de 72 metros, hallar la altura de la segunda torre.
13. Desde la cúspide de un faro de 52 metros de altura, se observa que los
ángulos de depresión de dos barcos que se encuentran alineados con el son
de 16º10’ 35º respectivamente. Encontrar la distancia entre los barcos.
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14. Dos observadores de una altura de 1.65 metros cada uno, distantes entre sí
200 metros, en un plano horizontal tienen un ángulo de elevación a un globo
sin movimiento ha an que son de 42º 33º30’ Calcula la altura del globo con
respecto al suelo.
15. Un observador mide que el ángulo de elevación a la parte más alta de un faro,
visto desde cierto lugar (A), es de 28º, avanza 30 metros hacia la torre y el
ángulo de elevación es de 47º ¿cuántos metros le faltan para llegar al pies de
la torre? Y ¿cuál es la altura de la torre?
A
30 metros
d
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16. Dos lados de un paralelogramo miden: 9 centímetros y 12 centímetros respectivamente y
uno de sus ángulos es de 130º haya las medidas de las diagonales y ángulo obtuso que
forman estas.
16. La base de un trapecio es de 24 centímetros y 40 centímetros la más grande;
los ángulos que se forman en la base mayor son de 53º y 67º. Calcula el área
del trapecio.
12 cm
9 cm
40 cm
24 cm
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Ejercicios adicionales
1. Los ojos de un jugador de baloncesto están a seis pies del suelo. El jugador se
encuentra en la línea de tiro libre que está a quince pies de la canasta. ¿Cuál es
el ángulo de elevación de los ojos del jugador si la canasta se encuentra a diez
pies del suelo?
R 14º 54’
2. A 75 metros de la base de una antena el ángulo de elevación a su parte más alta
es de 34º20’ Calcula la altura de esta torre, si la altura del aparato con que se
midió el ángulo es de 11.5 metros.
h = 62.7255
3. La torre Sears de Chicago tiene una altura de 1454 pies y está situada a una milla
de distancia de la costa del lago Michigan. Un observador en un barco mide un
ángulo de elevación a la parte superior de la torre mencionada y ve que es de
cinco grados. ¿Qué tan lejos de la orilla está el barco?
D = 2.15 millas
4. El ángulo de elevación a la cúspide de un obelisco es de 35º en el momento en
que proyecta una sombra de 789 pies de largo. ¿Qué tan alto es el obelisco?
H= 555 pies
5. Un hombre observa desde un globo que las visuales a las bases de dos torres
que están apartadas por una distancia de un kilómetro medido sobre el plano
horizontal forman un ángulo de 70º. Si el observador está exactamente sobre la
vertical del punto medio de la distancia entre las dos torres, calcula la altura del
globo.
h = 714.074
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6. El pie de una escalera de cinco metros de largo dista 1.9 metros de una pared
vertical en la cual se apoya; halla el ángulo formado por ambas.
A = 22º 21' 1"
7. La escalera de un carro de bomberos puede extenderse hasta una longitud
máxima de 24m cuando se levanta un ángulo de 65º. Si la base de la escalera
está a dos metros sobre el suelo, ¿qué altura sobre éste puede alcanzar la
escalera?
h = 23.751
8. Desde la cúspide de un faro de 52m. de altura se observa que los ángulos de
depresión a dos botes alineados en el mismo sentido son de 16º 10’ 35º
respectivamente. Encuentra la distancia entre los botes.
d = 105.1109 m
9. A una distancia de 105 pies de la base de una torre, se observa que el ángulo de
elevaci n a su cúspide es de 38º 25’. Halla su altura.
h = 83.1717 pies
10. Calcula el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de
radio 18 cm.
P = 108 cm
11. Calcula el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 12
cm.
A = 374. 123
12. La longitud del lado de un octágono regular es 12 cm. Halla los radios de los
círculos inscrito y circunscrito a él.
Circunscrita. : 15.679 cm Inscrita: 14.485 cm
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13. Si la diagonal de un pentágono regular es 32.835 cm, ¿cuál es el radio de círculo
circunscrito a él?
R = 17.2624 cm
14. Halla la longitud del lado de un hexágono regular circunscrito en un círculo cuyo
diámetro es 18 cm.
L = 10.3923 cm
15. Si una cuerda cuya longitud es de 41.368 cm subtiende un arco de 145º 37’
¿cuál es el radio del círculo?
R = 21.649 cm
16. Calcula el área de un terreno en forma de triángulo isósceles cuya altura es de 24
cm los ángulos en la ase miden 32º 20’.
A = 909.96
17. La diagonal mayor de un paralelogramo mide 75 cm, uno de sus lados mide 48
cm. Am as líneas forman un ángulo de 24º 45’. Calcula el área del paralelogramo.
A = 965.31 cm2
18. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de cinco metros de lado?
D = 7.07 m
19. Si el lado de un hexágono regular mide 16cm, calcula cuánto mide su apotema.
20. La torre de un guardabosque tiene una altura de 90 metros. Desde ahí se percata
de dos incendios; el primero se localiza en dirección Oeste, con un ángulo de
depresión de 34.6º y el otro, hacia el Este con un ángulo de depresión de 58.3º.
¿Qué distancia lineal hay entre los dos incendios?
D = 186.06 m
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21. Un observador advierte que desde cierta posición, el ángulo de elevación al
extremo superior de un edificio es de 25º 10’; camina 50 metros hacia él entonces
el ángulo es de 52º ¿Qué distancia le falta para llegar al pie del edificio y cuál es la
altura del mismo?
D = 29 m h= 37.1185m
22. Dos hombres que están en el campo en un llano, separados 3,000 metros uno
del otro, observan un helicóptero. Sus ángulos de elevación con respecto al objeto
volador son 60º y 75º. Determina la altura a que se encuentra en ese momento el
helicóptero.
h = 3,549.038 m
23. Un puente de 24 metros de largo une dos colinas cuyas laderas forman con el
horizonte ángulos de 23º y 32º. ¿Cuál es la altura del puente con respecto al
vértice del ángulo formado por las dos laderas?
h = 8.066 m
24. Los bases de un trapecio miden 78.23 y 106 centímetros respectivamente; los
ángulos agudos que forman en la ase ma or son 57º 30’ 69º 40’. ¿Cuánto miden
los lados no paralelos del trapecio?
25. Sobre un peñasco situado en la ribera de un río se levanta una torre de 125
metros de altura. Desde el extremo superior de la torre el ángulo de depresión de un
punto situado en la orilla opuesta es de 28º40’ desde la ase de la torre el ángulo
de depresi n del mismo punto es 18º 20’. Encuentra el ancho del río la altura del
peñasco.
26. Dos lados de un paralelogramo son 83 cm y 140 cm y una de las diagonales
mide 189 cm. Calcula los ángulos internos del paralelogramo.
113º 24’ 22” B 66º 35’ 38”
27. Calcula el perímetro y el área de un paralelogramo si una de sus diagonales mide
18 metros y los ángulos que forma ésta con los lados del paralelogramo son de 35º y
49º.
P = 48. 0816 cm. A = 141.026 cm2
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28. La torre inclinada de Pisa forma un ángulo de 8.3º con la vertical. El ángulo de
elevación a la parte superior de la torre desde un punto situado a 298 metros de la
base de la torre es de 42º Calcula la altura perpendicular sobre el piso de la parte
superior de la misma.
h = 237.1673 m
29. Dos barcos zarpan simultáneamente del mismo punto; uno navega hacia el Norte
con una velocidad de 32 Km/h y el otro hacia el Noreste a 20 Km/h. ¿Qué distancia
habrá entre ellos al cabo de 45 minutos de viaje?
d = 17.08 km.
30. Calcula la longitud de cada diagonal de un pentágono regular cuyos lados miden
6 cm.
Diagonal = 9.7082 cm
31. Dos trenes parten simultáneamente de la misma estación en vías férreas
rectilíneas que se cortan formando un ángulo de 57º 20’. Sus velocidades son de 45
y 60 km/h, respectivamente. ¿A qué distancia se encontrarán entre sí al cabo de 36
minutos de viaje?
d = 31.2366 km
32. Las diagonales de un paralelogramo miden 24 cm y 16 cm respectivamente;
formando un ángulo de 140º. Calcula los lados del paralelogramo.
L1 = 18.84 cm L2 = 7.8 cm
33. Dos lados de un paralelogramo miden 9 cm y 12 cm. y uno de sus ángulos es
de 128º. Calcula las medidas de las diagonales.
d1 = 18.9204 cm d2 = 9.5926 cm
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CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
En la geometría analítica utilizamos unos principios fundamentales que son muy
importantes e indispensables durante el curso ya que son el sustento de todo lo que
realicemos a partir de este momento los cuales denominamos Conceptos Básicos;
estos son: distancia entre dos puntos, punto medio, pendiente de una recta,
paralelismo y perpendicularidad. Existen otros como distancia de un punto a una
recta o la razón de un segmento que no abordaremos en este curso.
Distancia entre dos puntos
En geometría se define la distancia entre dos puntos como la longitud del segmento
de recta que une a dichos puntos. Esto nos hace recordar uno de los postulados de
la Geometría Euclidiana: “La distancia más corta entre dos puntos es la recta
que los une”
Para poder calcular la distancia entre dos puntos, vamos a echar mano de la
trigonometría que estudiamos recientemente. Observa la siguiente figura:
Por medio del teorema de Pitágoras
se cumple que
√( ) ( )
Esta es la fórmula analítica para
calcular la distancia entre dos
puntos.
Figura 21: Distancia entre dos puntos
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Punto medio
Como el mismo nombre lo indica, es el punto que divide al segmento en dos partes
iguales. Para calcular las coordenadas del punto medio de cualquier segmento, se
promedian las coordenadas de los extremos
( )
Pendiente de una recta
Considera el siguiente problema.
Dos caminantes se encuentran deambulando y cuando llegan al pie de una montaña,
deciden separarse sin cambiar de sentido en su andar. Cuando el que siguió sobre el
suelo nivelado ha avanzado 300 metros, su compañero, quien subió por la montaña,
ha alcanzado una altura de 200 metros. Calcula la pendiente de la ladera de la
montaña.
Analizando este sencillo problema, notamos que para calcular la inclinación del
terreno (lo cual también se llama pendiente del terreno) se aplica la función tangente.
Pues bien, cuando consideramos solamente líneas rectas, vemos que se forma un
triángulo rectángulo y el ángulo de inclinación de la montaña varía de acuerdo con
las medidas de los catetos. Lo anterior nos conduce a una definición más formal y
analítica de la pendiente de una recta:
La pendiente de una recta es la tangente trigonométrica del ángulo de
inclinación de dicha recta.
Figura 22: Punto medio
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Si aplicamos la razón
tangente veremos que el
planteamiento quedaría así:
donde m es la tangente
trigonométrica del ángulo
de inclinación de la recta
Con la pendiente de una recta podemos definir los conceptos de paralelismo y
perpendicularidad
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, es decir:
Dos rectas son perpendiculares cuando la pendiente de una es la inversa recíproca
de la otra, es decir,
Figura 23: Pendiente entre dos puntos.
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EJEMPLOS
13. Encuentra el perímetro del triángulo cuyos vértices son ( ),
(– – ) (– ) Solución:
√( ( )) ( ( ))
√ √
√( ( )) ( ) √ √
√( ( )) ( ) √ √
Figura 24: Ejemplo 13.
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14. Demuestra que el triángulo cuyos vértices son
( ) (– – ) (– – ) es isósceles.
Solución:
Calculemos las distancias
√ √
√ √
√ √
Observa que
Por lo tanto el triángulo es Isósceles
15. El punto ( ) es un extremo del segmento cuyo punto medio es ( ).
Cuáles son las coordenadas del otro extremo del segmento.
Solución:
Las coordenadas del otro extremo son ( )
Figura 25: Ejemplo 14.
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16. Determina el punto que pertenece al eje y que equidista de los puntos
(– – ) ( ).
Solución:
Puesto que está sobre el eje sus coordenadas son ( )
Entonces
√( ( )) ( ( ))
√( ) ( )
√ √
√ √
Simplificando: . Por lo tanto el punto C tiene coordenadas ( )
17. Demostrar que el cuadrilátero con vértices (– ) ( ) ( – ) y
(– – ) es un paralelogramo.
Calculamos las pendientes de los cuatro lados:
Los lados opuestos AD y BC son paralelos porque .
Lo mismo sucede con los lados AB y DC ( )
Conclusión: el cuadrilátero ABCD es paralelogramo.
Este ejercicio también puede resolverse usando distancia entre dos puntos.
¡Inténtalo!
Eleva al cuadrado para
eliminar las raíces.
Si C equidista de A y de
B, entonces: AC=BC
Figura 26: Ejemplo 17.
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18. Comprueba que el triángulo ( – ) ( ) ( ) es rectángulo.
Después de graficar, observa donde parece que se encuentra el ángulo recto;
en este caso parece ser que el ángulo recto se encuentra en C.
Para que sea rectángulo el triángulo debe cumplir que
y
Obsérvese que:
( )( )
Por tanto el triángulo es rectángulo en el ángulo C.
19. Calcula el valor que debe tener para que los puntos ( ), ( ) y
( ) estén alineados.
Solución:
Si los puntos deben de estar sobre la misma recta entonces
– ( )
Para que estén alineados las coordenadas deben ser:
( ) ( ) ( )
ien
( ) ( ) ( )
Este ejercicio también puede resolverse usando distancia entre dos puntos.
¡Inténtalo!
Figura 27: Ejemplo 18.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Halla el perímetro de los triángulos cuyos vértices son los puntos:
a) ( ) ( ) ( ) P = 23.56
b) ( ) ( ) ( ) P = 20.67
c) ( ) ( ) ( ) P = 20.74
2.- Demuestra que los triángulos dados por las coordenadas de sus vértices son
isósceles:
a) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) ( )
c) ( ) ( ) ( )
3.- Demuestra que los triángulos dados por las coordenadas de sus vértices son
rectángulos.
Halla sus áreas.
a) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) ( )
c) ( ) ( ) ( )
4.- Demuestra, mediante la fórmula de distancia, que los siguientes puntos son
colineales.
a) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) ( )
c) ( ) ( ) ( )
5.- Halla el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto: P (-3, 6).
R= ( ) ( )
6.- Halla el punto de abscisa 2 que diste √ unidades del punto P (1,5).
R= ( ) ( )
7.- Halla el punto de ordenada 4 que diste √ unidades del punto P (-4, 6)
R= ( ) ( )
8.- Demuestra que las rectas que unen los puntos medios de los lados adyacentes
del cuadrilátero cuyo vértices son A( -3,2 ) B( 5,4 ) C( 7,-6 ) y D( -5,-4 ), forman otro
cuadrilátero cuyo perímetro es igual a la suma de las diagonales del primero.
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9.- Demuestra que las rectas que unen los puntos medios de dos lados AB y AC de
los triángulos siguientes son paralelas al tercer lado y mide la mitad de los mismos.
a) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) ( )
c) ( ) ( ) ( )
10.- Demuestra que los puntos medios de los lados consecutivos de cualquier
cuadrilátero forman un paralelogramo. Las siguientes son las coordenadas de los
vértices.
a) ( ) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) ( ) ( )
c) ( ) ( ) ( ) ( )
11.- Los siguientes puntos son los vértices de unos triángulos isósceles. Demuestra
que dos de las medianas son de igual longitud.
a) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) ( )
12.- Demuestra que los puntos siguientes son los vértices de un triángulo rectángulo.
a) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) ( )
13.- Demuestra que los puntos siguientes son vértices de un paralelogramo.
a) ( ) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) ( ) ( )
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EJERCICIOS ADICIONALES
1. Encuentra el punto de ordenada 4 que está situado a 50 unidades del punto
( )
2. Encuentra las coordenadas de un punto del eje que equidiste de los puntos
fijos ( ) y ( ).
3. Los puntos ( ) ( ) ( ) son vértices del paralelogramo .
Encuentra el vértice D.
4. Encuentra el valor de para que los puntos ( ) ( ) ( ) sean
colineales.
5. Dado el triángulo cuyos vértices son ( ) ( ) ( ), demuestra que
la recta que une los puntos medios de los lados AB y AC mide la mitad del lado BC y
es paralela a él.
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Lugar geométrico
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas
propiedades geométricas; éste que puede estar dado por una ecuación de la forma
F(x,y) = 0.
. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos
que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas
propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Estos son varios ejemplos de lugares geométricos en el plano:
El lugar geométrico de los P que equidistan a dos puntos fijos A y B (los dos
extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz.
Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que interseca perpendicularmente a un
segmento AB en su punto medio ((A + B) / 2).
La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos
rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan
dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de equidistar a
las dos anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar
geométrico que sigue a continuación.
Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares geométricos:
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto
determinado, el centro, es un valor dado (el radio).
Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a
dos puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del
semieje mayor de la elipse).
La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a
su distancia a una recta llamada directriz.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la
diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante
(positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.
Figuras muy complejas pueden ser descritas mediante el lugar geométrico generado
por los ceros de una función o de un polinomio. Por ejemplo, las cuadráticas están
definidas como el lugar geométrico de los ceros de polinomios cuadráticos. En
general, los lugares geométricos generados por los ceros del conjunto de polinomios
reciben el nombre de variedad algebraica, las propiedades de dichas variedades se
estudian en la geometría algebraica.
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Ejemplos
20. Determina la ecuación del lugar geométrico formado por el conjunto de todos los puntos ( ) que equidistan de los puntos ( ) ( ).
Solución
El punto ( ) equidista de A (1,1) y B (5,3) si y sólo si
Por lo tanto, el lugar geométrico es la recta
La ecuación obtenida representa una línea recta llamada mediatriz y se intersecta
con el segmento en el punto medio ( ).
Figura 28: Ejemplo 20.
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21. Determina el lugar geométrico de los puntos ( ) cuya distancia al punto ( ) es dos veces su distancia al punto ( ).
Solución
Los puntos A, B y P aparecen en la figura 28, junto con una curva que pasa por P y
que representa el lugar geométrico buscado. Como
| | | | | | | |
( ) ( ) [( ) ( ) ]
( )
Desarrollando binomios:
Reduciendo términos:
Dividiendo entre 3:
Así, el lugar geométrico es una circunferencia con centro (- 1,5) y radio = √ .
Figura 28: Ejemplo 21.
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22. Hallar el lugar geométrico de los puntos ( ) cuya distancia a la recta es igual a la distancia al punto A (3,0).
Solución
Los puntos A, P y la recta se muestran en la figura 29. Como la distancia de P a la
recta es | | | | y la distancia de P al punto A es | | √( )
tenemos que
( ) ( )
El lugar geométrico es una parábola y se muestra en la figura 29.
Figura 29: Ejemplo 22.
𝑥
𝑷
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Lugares geométricos más conocidos
Parábola
Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una
recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco
DT = DF
Elipse
Figura 30: Elementos de la parábola.
Figura 31: Elementos de la elipse
centro.
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La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las
distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva
QF1 + QF2 = 2a
Hipérbola
Una hipérbola es el lugar geométrico de los
puntos de un plano tales que el valor
absoluto de la diferencia de sus distancias a
dos puntos fijos, llamados focos, es igual a
la distancia entre los vértices, la cual es una
constante positiva. Las asíntotas de la
hipérbola se muestran como líneas
discontinuas (figura 32) que se cortan en el
centro de la hipérbola, C. Los dos puntos
focales se denominan F1 y F2, la línea que
los une es el eje transversal. La delgada
línea perpendicular que pasa por el centro
es el eje conjugado. Las dos líneas gruesas
en paralelas al eje conjugado (por lo tanto,
perpendicular al eje transversal) son las dos
directrices, D1 y D2. La excentricidad e
(e>1), es igual al cociente entre las
distancias desde un punto P de la hipérbola
a uno de los focos y su correspondiente
directriz. Los dos vértices se encuentran en
el eje transversal a una distancia ±a con
respecto al centro.
| |
Figura 32: Elementos de la hipérbola.
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EJERCICIOS SOBRE LUGARES GEOMÉTRICOS
1. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidisten de
A (-2,3) y B (3,-1).
R: 10x - 8y + 3 = 0
2. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidisten de
A(-3,1) y B (7,5).
R: 5x + 2y – 16 = 0
3. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya pendiente con
A (-4,5) es 2/3.
R: 2x - 3y + 23 = 0
4. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya pendiente de
la recta formada por los puntos (3,-1) y (0,6) es igual a la pendiente de la
recta formada por P(x, y) y (0,6)
R: 7x + 3y -18 = 0
5. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya
distancia al origen es igual a 3
R: x2 + y2 = 9
6. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya
distancia al punto fijo C (-2,3) es igual a 4
R: x2 + y2 + 4x - 6y – 3 = 0
7. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya
distancia al punto fijo C (2,-1) es igual a 5
R: x2 + y2 - 4x + 2y – 20 = 0
8. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya suma
de los cuadrados de sus distancias a los puntos A (0,0) y B (2,-4) es igual a
20
R: x2 + y2 - 2x + 4y = 0
9. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y)
equidistantes del punto fijo F (3,2) y del eje Y
R: y2 – 4y – 6x +13 = 0
10. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y)
equidistantes del punto fijo F (2,3) y de la recta x= – 2
R: y2 – 8x – 6y + 9 = 0
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11. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal
manera que la suma de sus distancias a los puntos F1 (-4,0) y F 2 (4,0) es
siempre igual a 10 unidades.
R: 9x2 + 25y2 = 225
12. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal
manera que la diferencia de sus distancias a los puntos F 1 (-5,0) y F 2 (5,0)
es siempre igual a 8 unidades.
R: 9x2 – 16y2 = 144
13. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal
manera que la diferencia de sus distancias a los puntos fijos F1 (1,- 4) y F 2
(1,4) es siempre igual a 6 unidades
R: 9x2 – 7y2 – 18x + 72 =0
14. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal
manera que la suma de sus distancias a los puntos fijos F1 (2,-3) y F 2 (2,3) es
siempre igual a 8 unidades.
R: 16x2 + 7y2 – 64x – 48 =0
15. Dados los puntos fijos P1 (2,4) y P2 (5,-3) encuentra el lugar geométrico de
los puntos P(x, y) tales que la pendiente de PP1 sea igual a la pendiente de
PP2 más una unidad.
R: x2 + 3y – 16 = 0
16. Dados los puntos A (0,-2), B (0,2) y C (0,0) encuentra el lugar geométrico de
los puntos P(x, y) de tal manera que el producto de las pendientes de PA y PB
es igual a la pendiente de PC
R: y2 – x y – 4 =0
17. Dados los puntos A (-2,3) y B (3,1) encuentra la ecuación del lugar
geométrico de los puntos P(x, y) de tal manera que la pendiente de PA sea el
recíproco con signo contrario de la pendiente de la pendiente de PB.
R: x2 + y2 – x – 4y – 3 =0
18. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto P(x, y) que se mueve
de tal manera que su pendiente al punto A (2,3) es igual a ½.
R: x – 2y + 4 = 0
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19. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal
manera que la diferencia de sus distancias a los puntos F 1 (-3,0) y F 2 (3,0)
es siempre igual a 4 unidades.
R: 5x2 – 4y2 = 20
20. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal
manera que la suma de sus distancias a los puntos F1 (0,-3) y F2 (0,3) es
siempre igual a 10 unidades.
R: 25x2 + 16y2 = 400
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Ejercicios Adicionales
1. Determina el lugar geométrico de los puntos ( ) que equidistan a los
puntos A (-1,2) y B (-2,1)
2. Determina el lugar geométrico de los puntos ( ) cuya distancia a la recta
es igual a la distancia al punto A (3,3).
3. Determina el lugar geométrico de los puntos ( ) tales que su distancia al
punto A (1,1) es dos veces su distancia al punto B (1,4).
4. Determina el lugar geométrico de los puntos ( ) cuya suma de distancias a
los puntos A (-3,0) y B (3,0) es 10.
5. Determina el lugar geométrico de los puntos ( ) tales que el producto de
sus distancias a dos puntos fijos A (-3,0) y B (3,0) es 9.
6. Determina el lugar geométrico de los puntos ( ) tales que su distancia al
punto A (7,1) es k veces su distancia al punto B(1,4) . ¿Qué sucede para
valores de k muy pequeños? ¿Qué sucede para k =1? y ¿qué sucede para
valores de k muy grandes?
7. Considera los puntos A (2,0), B (0,0) y C (1,√ ) los cuales forman un
triángulo equilátero. Determina el lugar geométrico de los puntos ( ) tales
que la suma de las distancias d PA y d PB es igual a la distancia d PC
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LÍNEA RECTA
Para obtener la ecuación de una recta se puede manejar
Ecuación punto pendiente ( )
Pendiente ordenada
Para obtener la misma en la forma general
Como posibles casos se tiene
Dado un punto y la pendiente
Dados dos puntos
Dado un punto y una recta
Ejemplo 23: Halla la ecuación de la recta que pasa por ( ) y tiene .
Solución:
Tomando la primera ecuación sustituimos los datos
( )
( ( ))
( ) ( )
Igualando a cero y dejando
positiva a la
Figura 33: Ejemplo 23.
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Ejemplo 24. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos
( ) ( )
Solución
Primero debemos hallar la pendiente de la recta con la formula
correspondiente
Con el valor de y cualquiera de los puntos dados
Procedemos como en el ejemplo anterior
( )
( )
Igualando a cero y dejando positiva a la x
Figura 34: Ejemplo 24.
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Ejemplo 25. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ) y
que es perpendicular con
Solución: Como la recta pedida es perpendicular a la recta dada se debe
cumplir que
De la recta dada se tiene que
Por lo que se tiene que
( )
Con este valor de
y el punto dado hallamos la ecuación:
( )
( )
( ( ))
( ) ( )
Igualando a cero y dejando positiva a la x
Figura 35: Ejemplo 25.
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EJERCICIOS SOBRE LINEA RECTA
De acuerdo con los ejemplos anteriores ahora resuelve los ejercicios que se dan a
continuación.
1.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ) y tiene .
2.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ) y tiene
.
3.- Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( ) ( ).
4.- Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( ) ( ).
5.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ) y es paralela a la recta
.
6.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ) y es paralela a la recta
.
7.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ) y es perpendicular a la
recta .
8.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ) y es perpendicular a la
recta .
9.- Determina el valor de para que las rectas dadas a continuación sean paralelas.
a) con
b) con ( )
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10.- Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las
rectas cuyas ecuaciones son y y que
además cumpla cada una de las siguientes condiciones:
a) Pase por el punto P( 4,2 )
b) Sea paralela a la recta cuya ecuación es
c) Pase por el punto P(-3,-5 )
d) Sea perpendicular a la recta cuya ecuación es
e) Pase por el origen.
f) Su pendiente sea –4
g) Sea horizontal
h) Sea vertical.
11.- Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P( -5,1 ) y que además es
paralela a la recta cuya ecuación es
12.- Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P( -5,6 ) y que además es
perpendicular a la recta que une a los puntos: A( -1,-4 ) con B( 3,5 ).
13.- Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ) y que es
perpendicular a la recta cuya ecuación es:
a)
b)
c)
15.- Calcula el valor de en la ecuación para que la recta
pase por el punto ( )
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Rectas y puntos notables de un triángulo
Mediatrices y circuncentro
Figura 36: Mediatrices y circuncentro.
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Alturas y ortocentro
Figura 37: Alturas y ortocentro.
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Medianas y baricentro
Figura 38: Medianas y baricentro
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EJERCICIOS SOBRE LINEAS Y PUNTOS NOTABLES
1. Del triángulo con vértices en los puntos ( ) ( ) ( )
Halla:
a) La ecuación del lado AC
b) La ecuación de la mediana que pasa por A
c) La ecuación de la mediatriz del lado AB
d) La ecuación de la altura que pasa por B
2. Del triángulo con vértices en los puntos ( ) ( ) ( )
Halla:
a) La ecuación del lado BC
b) La ecuación de la mediana que pasa por C
c) La ecuación de la mediatriz del lado AC
d) La ecuación de la altura que pasa por A
3. En cada uno de los siguientes incisos, se te proporcionan tres puntos que son
los vértices de un triángulo. En cada caso calcula lo que se te pide a
continuación:
1) Las ecuaciones de los tres lados.
2) Las ecuaciones de las medianas y las coordenadas del baricentro
3) Las ecuaciones de las alturas y las coordenadas del ortocentro
4) Las ecuaciones de las mediatrices y las coordenadas del circuncentro
a) A(-2,1) B(4,7) y C(6,-3)
b) A(4,5) B(3,-2) y C(1,-4)
c) A(8,-2) B(6,2) y C(3,-7)
d) A(1,1) B(1,3) y C(9,2)
e) A(-4,-3) B(-1,-7) y C(0,0)
f) A(1,2) B(3,1) y C(-3,-1)
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Respuestas del ejercicio 3
a b
Lados
x - y + 3 = 0
5x+ y - 27 = 0
x + 2y = 0
Medianas
7x + 5y -27= 0
x - 7y+ 9 = 0
4x - y - 9 = 0
Baricentro 3
5,3
8
Alturas
x + y - 3 = 0
x - 5y + 7 = 0
2x - y - 1 = 0
Ortocentro 3
5,3
4
Mediatrices
x + y - 5 = 0
x - 5y + 5 = 0
2x - y - 5 = 0
Circuncentro 3
5,3
10
Lados
7x - y - 23 = 0
x - y - 5 = 0
3x - y - 7 = 0
Medianas
4x - y- 11 = 0
5x + y - 13 = 0
11x -5y- 31 = 0
Baricentro
31,
38
Alturas
x + y - 9 = 0
x + 3y + 3 = 0
x + 7y+ 27 = 0
Ortocentro 6,15
Mediatrices
x + 7y - 14 = 0
x + y + 1 = 0
x + 3y - 4 = 0
Circuncentro
25,
27
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c d
Lados
2x + y - 14 = 0
3x - y - 16 = 0
x - y - 10 = 0
Medianas
x - 7y - 22 = 0
7x - 4y - 49 = 0
13x - y - 76 = 0
Baricentro 4
7,3
17
Alturas
x + 3y - 2 = 0
x + y - 8 = 0
x - 2y - 17 = 0
Ortocentro ( 11 , 3 )
Mediatrices
x - 2y - 7 = 0
x + 3y + 3 = 0
x + y - 1 = 0
Circuncentro ( 3 , -2 )
Lados
x - 1 = 0
x + 8y - 25 = 0
x - 8y +7 = 0
Medianas
3x - 8y+ 5 = 0
3x + 8y - 27 = 0
y - 2 = 0
Baricentro 2,3
11
Alturas
8x - y - 7 = 0
8x + y- 11 = 0
y - 2 = 0
Ortocentro 2,8
9
Mediatrices
y - 2 = 0
16x- 2y-75 = 0
16x+2y - 83 = 0
Circuncentro 2,16
79
e f
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Lados
4x+ 3y + 25= 0
7x - y = 0
3x - 4y = 0
Medianas
x + 7y +25 = 0
11x+ 2y+ 25= 0
2x - y = 0
Baricentro
310,
35
Alturas
x+ 7y+25 = 0
4x + y + 25 = 0
3x - 4y = 0
Ortocentro 3
10,3
5
Mediatrices
6x - 8y- 25 = 0
x + 7y+25 = 0
8x+ 6y+25 = 0
Circuncentro
Lados
3x+ y- 5 = 0
x + 4y+13 = 0
2x - 3y+ 4 = 0
Medianas
5x - 2y - 1 = 0
4x + 5y + 8= 0
x - 7y - 9 = 0
Baricentro
Alturas
4x - y - 2 = 0
3x + 2y - 1 = 0
x - 3y - 1 = 0
Ortocentro
Mediatrices
x - 3y - 5 = 0
4x - y + 1 = 0
3x + 2y+ 6 = 0
Circuncentro
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CIRCUNFERENCIA
Dentro del tema de circunferencia se presentan dos posibles casos:
Dado centro ( ) y radio
Piden Ecuación
Utilizar la ecuación ordinaria ( ) ( )
Dada la ecuación general
Piden Centro y radio
Utilizar (
)
√
o completar trinomios cuadrados perfectos
Ejemplo 26.- Hallar la ecuación de la circunferencia con ( ) y radio 3.
Solución
Con los datos sustituimos en la ecuación ordinaria
( ) ( )
( ) ( ( ))
( ) ( )
Desarrollando:
Reduciendo términos e igualando a cero:
Figura 39:.Ejemplo 26
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Ejemplo 27.- Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como uno de
sus diámetros el segmento que une los puntos ( ) ( )
Solución:
Con los puntos dados hallamos el centro aplicando punto medio
Con el centro ( ) y cualquiera de los puntos dados hallamos la longitud
del radio
√( ) ( ) √
Con centro ( ) y radio √ hallamos la ecuación
( ) ( ) (√ )
Desarrollando obtenemos
Figura 40:.Ejemplo 27
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Ejemplo 28.- Halla el centro y radio de la circunferencia
Solución:
Este ejemplo corresponde al segundo caso así que debemos hallar el centro y
radio.
Con las formulas (
)
√
hallamos estos
(
) (
) ( )
√
√( ) ( ) ( )
√
√
√
Figura 41:.Ejemplo 28
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Ejemplo 29.- Obtenga la ecuación de la recta que pasa por el centro de la
circunferencia 0 y por el punto ( )
Solución:
Este ejemplo corresponde al segundo caso así que debemos hallar el centro
Con las formulas (
) hallamos centro
(
) (
) ( )
Con el centro obtenido y el punto dado hallamos pendiente y posteriormente la
ecuación de la recta pedida
( )
Figura 42:.Ejemplo 29
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EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS
1.- Calcula la ecuación desarrollada de la circunferencia cuyos datos son:
a) ( ) b) ( )
c) ( ) d) ( )
2.- Calcula la ecuación desarrollada de la circunferencia en la cual los extremos de
un diámetro son los puntos:
a) ( ) ( )
b) ( ) ( )
c) ( ) ( )
d) ( ) ( )
3.- Calcula la ecuación desarrollada de la circunferencia cuyo centro esté en el
punto ( ) y que pase por el punto ( )
4.- Calcula la ecuación desarrollada de la circunferencia que pase por el origen y
que tenga su centro en el punto ( ).
5.- Calcula la ecuación desarrollada de la circunferencia que tenga su centro en el
punto ( ) y que sea tangente al eje Y.
6.- Calcula la ecuación desarrollada de la circunferencia que tenga su centro en el
punto ( ) y que pase por el origen.
7.- Calcula la ecuación desarrollada de la circunferencia cuyo centro está en el
origen y que pasa por el punto ( ).
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8.- Calcula la ecuación desarrollada de la circunferencia que sea tangente a los dos
ejes coordenados, que tenga su centro en el primer cuadrante y que su radio sea
8.
9.- Calcula la ecuación desarrollada de la circunferencia que pase por el origen, su
radio sea 10, que la abscisa de su centro sea y de tal manera que su centro
esté en el primer cuadrante.
10.- Calcula la ecuación desarrollada de la circunferencia cuyo diámetro es el
segmento de la recta: comprendido entre los dos ejes
coordenados.
11.- Una circunferencia de radio 8, cuyo centro está en el segundo cuadrante, es
tangente a los dos ejes coordenados. Calcula su ecuación desarrollada.
12.- Calcula la ecuación desarrollada de la circunferencia que pasa por el punto
( ) y que es tangente al eje Y.
13.- Calcula el centro y el radio de cada una de las circunferencias siguientes:
a) ( )
b) ( )
c) ( ) 5
d) ( )
e) ( ) 53
f) ( )
g) ( )
h) ( )
i) ( )
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PARÁBOLA
Se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal forma
que siempre equidista de un punto fijo y de una recta fija.
Existen dos casos:
Horizontal Vertical
( ) ( )
| |
Si en las fórmulas el signo es positivo entonces abre hacia la derecha o
hacia arriba según sea horizontal o vertical.
Si en las fórmulas el signo es negativo entonces abre hacia la izquierda o
hacia abajo según sea horizontal o vertical.
El valor de siempre será positivo ya que representa una distancia entre foco
y vértice o entre directriz y vértice.
Se pueden presentar dos tipos de ejercicios
Dados los elementos :
Foco
Directriz
Lado recto
Un punto por donde pasa la parábola
Dada la ecuación encontrar los elementos
Figura 43:.Elementos de la parábola.
Observa de la figura, que
el punto P está a la
misma distancia del foco
y de la directriz
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Ejemplo 30.- Halla la ecuación de la parábola y los elementos faltantes en cada
caso. Considera todos con vértice en el origen:
a) Foco (0,3)
Solución:
Ubicamos en plano cartesiano el foco
y el vértice.
Por la posición del foco la parábola
abre hacia arriba por lo que es de tipo
vertical.
Entonces sustituyendo en la ecuación
correspondiente el valor de se
obtiene
( )
Para los elementos faltantes tenemos:
ecuaci n de la directri
| | | ( )| | |
Figura 44:.Ejemplo 30 a). Planteamiento.
Figura 45:.Ejemplo 30 a).Solución.
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b) Directriz
Solución:
Despejando la incógnita
que representa una recta vertical que
corta al eje x en el punto (
) y que se conoce con el nombre de directriz como ya
se mencionó.
Por lo que el foco queda a la misma distancia del vértice pero en el lado contrario
sobre el eje X, siendo este (
)
Entonces se trata de una parábola horizontal que abre a la izquierda cuya ecuación
es:
Sustituyendo
(
)
multiplicando:
igualando a cero:
El punto (
) es donde la
directriz corta al eje X.
Figura 46:.Ejemplo 30 b).
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c) pasa por el punto (
) y es vertical
Solución:
De acuerdo a la figura 47 se observa que el punto se localiza en el primer cuadrante
Como sabemos que es vertical y debe pasar por este punto entonces abre hacia
arriba y le corresponde la ecuación por lo que sustituyendo el punto en
esta ecuación y despejando obtenemos su valor:
(
)
Ahora con este valor regresamos y sustituimos en la ecuación obteniendo:
( )
Figura 47:.Ejemplo 30 c). Planteamiento.
Figura 48:.Ejemplo 30 c). Planteamiento.
Figura 47:.Ejemplo 30 c). Planteamiento.
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Ejemplo 31.- Encuentra los elementos de la parábola
Solución: Vamos a despejar el término cuadrático para obtener la forma canónica:
La ecuación resultante corresponde a una parábola horizontal que abre hacia la
derecha ( ), entonces .
Despejando
.
Conociendo el valor de hallamos los elementos de la parábola:
( ) ( )
Directri
o
( )
Figura 49:.Ejemplo 31.
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APLICACIONES DE PARÁBOLA
Ejemplo 32. Un caño de desagüe pluvial se encuentra a una altura de 6m. El agua al
caer forma un arco parabólico que hace contacto a una distancia de 4m con respecto
a la vertical. Una barda de 2m de alto se localiza entre el desagüe y el punto de
contacto del agua con el suelo. ¿Cuál es la máxima separación a la que la barda
debe estar de manera que el chorro pase por encima?
Solución:
Primeramente realizamos una figura lo más representativa posible de la situación
descrita.
El chorro de agua describe una parábola vertical que abre hacia abajo y pasa por el
punto ( ).
6m
4m
2m
X
[
Y
[
6m
4m
2m
𝑄( )
𝑥 𝑅(𝑥 )
Figura 50:.Ejemplo 32. Planteamiento en la
situación real
Figura 51:.Ejemplo 32. Planteamiento en el plano
cartesiano.
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Démonos cuenta que se trata del caso dado un punto y la orientación de la parábola.
Sustituyendo las coordenadas del punto se obtiene:
( )
De aquí sustituimos el valor de para hallar la ecuación
(
)
A partir del origen la coordenada que nos interesa es ( ) ya que la distancia
vertical del origen a la parte superior de la barda es 4
( )
√
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Ejemplo 33. El arco mostrado en la figura tiene una altura máxima de 4 metros y
su ecuación está dada por x2 = - y. en la figura se muestran dos postes
soportando el arco, situados a un metro del vértice. Obtenga la altura de los postes.
Solución:
De la figura y de la ecuación dada podemos apreciar que se trata de una parábola de
tipo vertical
Tenemos coordenadas de los postes en los puntos ( ) ( ) como se puede
apreciar
Así que sustituyendo en la ecuación se obtiene:
( )
Recuerda que el signo negativo obtenido es solo por la orientación de la figura.
Como lo que nos piden encontrar es la medida de la altura tendríamos que restar de
los 4m el valor de y=1 con lo que la altura de los postes seria de 3m
h=?
Figura 52:.Ejemplo 33. Planteamiento en la
situación real
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EJERCICIOS SOBRE PARÁBOLAS
1.- En cada inciso, halla la ecuación desarrollada de la parábola. Halla también la
ecuación de la directriz (si aplica).
a) Su foco es ( )
b) Su foco es ( )
c) Su directriz es
d) Su directriz es
e) Es horizontal y pasa por ( )
f) Es vertical y pasa por ( )
g) Es horizontal y pasa por ( )
h) Es horizontal y pasa por
( )
i) Es vertical y pasa por ( )
j) Es vertical y pasa por ( )
k) El foco está en ( )
2.- En cada uno de los incisos siguientes, calcula las coordenadas del foco, la
longitud del lado recto y la ecuación de la directriz.
a)
( )
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b)
( )
c)
( )
d)
( )
e)
(
)
f)
( )
g) ( )
h)
( )
3) El foco F de una antena parabólica
se localiza a 0.9 m de su vértice. Si su
profundidad es 0.58 m ¿Cuál es su
diámetro o ancho d?
4) Una casa antigua tiene un arco en
forma de parábola cuya base es de 3m
y su punto más alto está a 4m del
suelo. Si desde este punto cuelga una
lámpara cuyo centro C coincide con el
foco
del
arco, a
qué
altura
esta
C?
5) Los focos de las parábolas y2 – 16x=0 y x2 – 32y=0, forman el diámetro de una
circunferencia, encuentra su ecuación y la ecuación de la recta tangente a ella en el
foco de la segunda parábola.
Ejercicios integradores.
1. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: A (–3,2),
B (1, –6) y C (5,2).
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2. Dadas las circunferencias con ecuaciones y
encuentra La longitud de la línea de los
centros y la ecuación de la mediatriz de la línea de los centros
3. Dada la circunferencia x2 + y2 + 8x + 2y + 12 = 0 y la parábola x2 = 8y
encuentra: la ecuación de la mediatriz que une el centro de la circunferencia
con el foco de la parábola y la longitud del segmento centro - foco
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LA ELIPSE
DEFINICIÓN: La elipse es el lugar geométrico de los puntos que se mueven de tal
manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es siempre
constante. Los puntos fijos se llaman focos. Las ecuaciones de la elipse
tienen dos términos cuadráticos y varían de acuerdo con el tipo de la
elipse. La elipse puede ser horizontal o vertical; con el centro en el
origen o fuera de él.
En el presente curso estudiaremos solamente las elipses con centro en el origen.
El siguiente cuadro te muestra los tipos de ecuaciones según la posición de la
elipse.
ELIPSES CON CENTRO EN EL ORIGEN.
CANÓNICA DESARROLLADA
HORIZONTAL
VERTICAL
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Ejemplo 34.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen y que tiene
vértice en ( ) y foco en ( )
Solución:
De acuerdo a la gráfica se puede observar que se trata de una elipse horizontal con
Por lo que hace falta encontrar el valor de b y sustituir posteriormente en la ecuación
correspondiente
Sustituyendo en la ecuación
Figura 53:.Ejemplo 34. Planteamiento
Figura 54:.Ejemplo 34. Solución.
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Ejemplo 35.- Halla la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen, lado
recto igual a 3 y la longitud del eje mayor igual a 12.
Solución:
Sabemos que la longitud del eje mayor es igual a , entonces y el lado recto
es igual a
, entonces
y como sabemos el valor de , tenemos
.
Como la elipse es horizontal sustituimos los valores y en la ecuación
correspondiente:
Ejemplo 36.- Hallar los elementos de la elipse y bosqueja la
gráfica indicando sus elementos.
Solución:
Lo primero que hacemos es pasar la ecuación de la elipse de forma general a forma
canónica:
Figura 55:.Ejemplo 35. Planteamiento
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Tomando en cuenta que el mayor denominador es y se encuentra bajo
entonces tenemos que se trata de una elipse vertical con centro en el origen y que:
Encontramos el valor de c:
√
Con esto obtenemos los elementos:
Vertical ( )
( ) ( )
( ) ( √ )
( ) ( )
( )
√
√
Figura 56:.Ejemplo 35. Solución.
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EJERCICIOS SOBRE ELIPSES
1.- Halla la ecuación desarrollada de la elipse que cumpla las siguientes
características:
a) F( 2,0 ) y A( 4,0 )
b) F( 0,3 ) y A( 0,5 )
c) F(-4,0) y 2a = 12
d) F( 0,4 ) y e = 1/3
e) F( 0,-4 ) y e = 2/3
f) F(4 0) F’(-4 0 ) A(5 0) A’(-5,0)
g) F(0 8) F’(0 -8) A(0 17) A’(0 -17)
h) A(10 0) A’(-10,0) y L.R. = 5
i) F(0 6) F’(0 -6); b = 8
j) F(5 0) F’(-5,0) y e = 5/8
2.- Dada cada una de las ecuaciones siguientes de elipses, calcula las
coordenadas de los vértices, las de los focos, la longitud del lado recto, el
valor de la excentricidad y traza la gráfica aproximada.
a) ( ) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) (√ ) ( √ )
c) ( ) ( ) ( ) ( )
d) ( ) ( ) ( ) ( )
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BIBLIOGRAFÍA
Ayres, F. & Moyer, R. (1991). Trigonometría. 2da Edición. USA: Mc Graw Hill. Serie
Schaum.
Fuenlabrada, S. (2007). Geometría Analítica. México: Mc Graw Hill.
Hernández, M. (1996) Geometría Analítica. México: Mc Graw Hill.
Kindle, J. (1991) Geometría Analítica. USA: Mc Graw Hill. Serie Schaum.
May, J.; Pech, J. & Reyna, L. (2003) Trigonometría y Geometría Analítica Básicas.
México: Ed. Progreso UADY.
Navarro, M. & Preciado, A. (2011) Matemáticas 3, enfoque por competencias.
México: Fernández editores.