material de matemáticas iv (mat iv 2013) de la usb del profesor humberto f. valera castro
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Universidad Simn Bolvar Matemticas IV
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2 Matemticas IV
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Matemticas IV
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UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR
Caracas 2012
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8 Matemticas IV
INDICE GENERAL
CONTENIDOS
Capitulo 1
1. Sucesiones . 9
1.1 Lmite de una sucesin 10
1.2 Sucesiones montonas y acotadas .. 16
Capitulo 2
2. Series infinitas 13
2.2 Serie geomtrica .. 20
Teorema 2.1 Criterio del trmino n-simo ..... 23
2.3 Criterio de convergencia para series de trminos positivos . 29
2.3.2 Criterio de comparacin directa .. 33
2.3.3 Criterio de comparacin en el lmite . 34
2.3.4 Criterio del cociente .. 37
2.4 Series alternas .. 40
2.4.1 Criterio de series alternas 40
2.5 Convergencia absoluta y condicional .. 42
2.5.2 Criterio del cociente absoluto ..... 45
2.5.3 Criterio de la raz . 46
Resumen de los criterios de convergencia . 48
2.6 Series de potencias .. 49
2.7 Derivacin e integracin de series de potencias 53
2.8 Serie de Taylor 58
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9 Matemticas IV
2.8.1 Convergencia de la serie de Taylor 59
Capitulo 3
3. Ecuaciones diferenciales ordinarias 65
3.1 Nociones bsicas acerca de las ecuaciones diferenciales .. 66
3.1.1 Ley de Newton sobre enfriamiento de un cuerpo . 66
3.1.2 Desplazamiento de un resorte .. 67
3.2 Algunos problemas que conducen a una ecuacin diferencial 71
3.2.1 Trayectorias ortogonales . 72
3.2.2 Crecimiento y decrecimiento o desintegracin . 74
3.2.1 Mezclas . 75
3.2.4 Circuitos elctricos . 76
3.3 Campos direccionales y elaboracin de curvas integrales .. 81
3.4 Existencia y unicidad de las soluciones .. 84
3.5 Ecuaciones diferenciales de primer orden .. 86
3.6 Ecuaciones homogneas . 90
3.7 Ecuaciones diferenciales de primer orden . 93
3.8 Ecuacin de Bernolli 95
3.9 Cambio de variable . 98
3.10 Reduccin a una ecuacin a variable separable 102
3.11 Reduccin a una ecuacin a homognea .. 103
3.12 Reduccin de orden 107
Capitulo 4
4. Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden .. 113
4.1 Principio de superposicin . 115
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10 Matemticas IV
4.3 Algunos problemas que conducen a un sistema de ecuaciones
diferenciales lineales .. 116
4.3.1 Mezcla .. 116
4.3.2 Redes elctricas 118
4.5 Solucin de sistemas lineales homogneos
con coeficientes constantes 130
4.5.1.1 Valores propios reales y distintos ... 131
4.5.1.2 Valores propios reales distintos . 135
4.6 Repaso de nmeros complejos .. 142
4.6.1.3 Valores propios complejos .. 144
Capitulo 5
5. Sistemas de ecuaciones diferenciales no homogneos 151
5.1 Mtodo de Variacin de parmetros . 152
Capitulo 6
6. Ecuaciones diferenciales de orden n a coeficientes constantes 159
6.1 Solucin de ecuaciones diferenciales lineales homognea
a coeficientes constantes 164
6.2 Mtodo de los coeficientes indeterminados .. 170
6.3 Mtodo de variacin de parmetros ... 173
6.5 Ecuacin de Euler 179
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11 Matemticas IV
Parte I
Sucesiones y Series numricas
Series de Potencias
Series de Taylor y Maclaurin
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12 Matemticas IV
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13 Matemticas IV
Captulo 1
1. Sucesiones
Definicin 1.1
Una sucesin es una funcin cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos y cuyo rango
es un conjunto de nmeros reales. Por tanto, si S es una sucesin, entonces a cada entero n le
corresponde un nmero real (), es decir, (1), (2), , (),
Con la notacin de subndice en lugar de funcional, podemos escribir
1, 2, , ,
donde 1 es el primer trmino, 2 es el segundo y es el n-simo trmino.
Podemos indicar una sucesin 1, 2, , , mediante {}=1 , o simplemente {}.
Se puede especificar una sucesin dando suficientes trminos iniciales para establecer un
patrn, como
1, 4, 7, 10, 13,
mediante una frmula explicita para el n-simo trmino, como en
= 3 2, 1
O mediante una frmula recursiva
1 = 1, = 1 + 3, 2
Observe que cada una de estas ilustraciones describe la misma sucesin.
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14 Matemticas IV
Otras frmulas explicitas y los primeros trminos de la sucesiones que generan
1. = 1 1
, 1: 0,
1
2,2
3,3
4,4
5,
2. = 1 +(1)
, 1: 0,
3
2,2
3,5
4,4
5,7
6,6
7
3. = (1) +
1
, 1: 0,
3
2, 2
3,5
4, 4
5,7
6, 6
7
4. = 0,9999, 1: 0,9999, 0,9999, 0,9999, 0,9999
Observe que las sucesiones { } { } se apilan cerca de 1, es decir que convergen a 1, pero
{ } { } no convergen a 1.
Para que una sucesin converja a 1, primero debe ocurrir que los valores de la sucesin se
acerquen a 1. Pero deben hacer ms que estar cerca; deben permanecer cerca, para toda n ms
all de cierto valor. Esto descarta la sucesin { }. Aunque la sucesin { } no converge a 1,
es correcto decir que converge a 0,9999. La sucesin { } no converge; decimos que diverge.
1.1 Lmite de una sucesin
Una sucesin {} se dice que converge a L y escribimos
=
si para todo > 0, existe un nmero > 0 tal que | | <
Si no existe nmero finito L, se dice que sta diverge o que es divergente.
Ejemplo 1.1.1
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Demuestre que si p es un entero positivo, entonces
1
= 0
Con base en el trabajo previo, esto es casi obvio, pero daremos una demostracin formal.
Sea > 0, elijamos N como cualquier nmero mayor que 1
Entonces
| | = |1
0| =
1
1
1
(1
) =
Si comparamos la definicin de lmite de una sucesin {} con la definicin de lmite de una
funcin () cuando x crece indefinidamente. Las dos definiciones son casi idnticas; sin
embargo, cuando decimos que
() = , la funcin est definida para todos los nmeros
reales mayores que algn nmero real R, mientras que cuando consideramos
= el
valor de n se limita a enteros positivos. Tenemos, sin embargo, el siguiente teorema
Teorema 1.1
Sea f una funcin de una variable real tal que
() =
Si {} es una sucesin tal que () = para todo entero positivo n, entonces
=
Ejemplo 1.1.2
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Determine si la sucesin
{2
2 1}
Converge o diverge
Consideremos la funcin
() =2
2 1
aplicando la regla de LHopital dos veces tenemos que
2
2 1=
2
(2)2=
2
(2)22= 0
Como () = para todo entero positivo n el teorema anterior nos permite concluir que
2
2 1= 0
, {2
2 1} 0.
Observacin: El inverso del teorema anterior no es cierto. Es decir, es posible que la sucesin
{} converja a L aunque () no converja a L.
Por ejemplo,
= 0, ( )
Pero
, ( )
No existe
Teorema 1.2
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17 Matemticas IV
Si { } { } son sucesiones convergentes y k una constante, entonces
)
=
)
=
)
( ) =
)
( . ) =
.
)
=
,
0
Ejemplo 1.1.3
Determinar si la sucesin
{2
2 + 1
}
es convergente.
2
2 + 1
=
2 + 1
Ahora bien, la sucesin
{
2 + 1}
Es convergente, ya que
lim
2 + 1=1
2
Veamos si la sucesin
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18 Matemticas IV
{
}
es convergente, para ello calculemos
=
1
=
= , 0
= 1
Por lo tanto
(
2 + 1
) = (
2 + 1) (
) =
2
luego la sucesin converge
Teorema 1.3 (Teorema del emparedado)
Suponga que {} y {} convergen a L y que para (K es un entero fijo).
Entonces {} tambin converge a L.
Ejemplo 1.1.4
Demuestre que
3
= 0
Para 1,
1
3
1
Como
(1
) = 0
(1
) = 0
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19 Matemticas IV
Entonces
3
= 0
Teorema 1.4
Si
|| = 0, entonces
= 0.
Demostracin
Como || ||, y usando el teorema del emparedado, se tiene que
= 0
Ejemplo 1.1.5
Demuestre que si 1 < < 1, entonces
= 0.
Si = 0, el resultado es trivial, de modo que suponemos lo contrario.
Entonces
1
||> 1
1
||= 1 +
Para algn nmero > 0.
Ahora bien, por la frmula del binomio,
1
||= (1 + ) = 1 + + ( )
As,
0 || 1
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20 Matemticas IV
Como
(1
) =
1
(1
) = 0
El teorema del emparedado implica que
|| = 0
O, en forma equivalente,
|| = 0
Entonces
= 0
1.2 Sucesiones montonas y acotadas
Hasta ahora hemos determinado la convergencia de una sucesin hallando su lmite. Veremos
un mtodo para decidir la convergencia o divergencia sin necesidad de conocer el lmite.
Definicin 1.2
Una sucesin {} se dice que es
a) Creciente si +1, 1
b) Decreciente si +1, 1
Si una sucesin es creciente o decreciente, se llama montona
Ejemplo 1.2.1
Determinar si la sucesin
=2
1 +
es montona
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Comparemos con +1
=2
1 + 0 podemos multiplicar ambos lados de la desigualdad por(1 + ) (2 + ) sin
invertir el signo de la desigualdad
2(2 + ) < (1 + )(2 + 2) 4 + 2 < 2 + 4 + 22 0 < 2
Como la desigualdad final es vlida, podemos invertir los pasos para concluir que la
desigualdad original es tambin vlida.
Definicin 1.3
Una sucesin {} es acotada si existe un nmero real M tal que || para todo n.
Llamamos a M una cota superior de la sucesin.
Ejemplo 1.2.2
Las sucesiones {} = {3 + (1)} y {} = {
2
1+} son acotadas, puesto que
|3 + (1)| 4 |2
1 + | 2
Teorema 1.5
Una sucesin montona y acotada es convergente
El teorema asegura que las sucesiones divergentes o son no acotada o no montonas.
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Ejemplo 1.2.3
Demuestre que la sucesin
=2
2
Converge usando el teorema 1.5
Los primeros trminos de esta sucesin son
1
2, 1,9
8, 1,25
32,9
16,49
128,
Para 3, la sucesin parece ser decreciente ( +1), un hecho que estableceremos a
continuacin.
2
2>( + 1)2
2+1 2 >
( + 1)2
2 22 > 2 + 2 + 1 2 2 > 1 ( 2) > 1
Es claro que esta ltima desigualdad es cierta para 3.
Como la sucesin es decreciente y est acotada por abajo por cero, el teorema de la sucesin
montona y acotada garantiza la convergencia.
Es fcil usar la regla de LHopital para mostrar que el lmite es cero
Ejemplo 1.2.4
La sucesin
1
2,4
3,9
4,16
5, ,
2
+ 1,
es montona, pero no acotada, pues
2
+ 1=
Por su parte, la sucesin divergente
2, 4, 2, 4, , {3 + (1)}, ..
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es acotada, pero no montona
Captulo 2
2. Series infinitas
Definicin 2.1
Si {} es una sucesin, y
= 1 + 2 + 3 ++ =
=1
Entonces la sucesin {} se llama serie infinita (o simplemente serie). Esta serie infinita se
representa por
=1
= 1 + 2 + 3 ++ +
Los nmeros 1, 2, 3, , , se denominan trminos de la serie. Los nmeros
1, 2, 3, , , se llaman sumas parciales de la serie.
Observacin: Para algunas series conviene empezar el ndice en = 0. Representaremos una
serie por . As que el punto inicial del ndice ( = 0 = 1) se deducir del
contexto.
Definicin 2.2.
Si la sucesin de sumas parciales {} converge a S, diremos que la serie converge.
Llamaremos a S suma de la serie y escribimos
= 1 + 2 + 3 ++ +
Si {} diverge, diremos que la serie es divergente.
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Observacin: Una serie no es ms que una sucesin de sumas parciales, de manera que las
siguientes propiedades son consecuencia directa de sus anlogos en sucesiones.
2.2 Serie geomtrica
Una serie de la forma
1
=1
= + + 2 + 3 +
donde 0, es una serie geomtrica de razn r.
Ejemplo 2.2.1
Demuestre que una serie geomtrica converge y tiene suma
=
1 , || < 1,
Pero diverge si || 1.
Sea = + + 2 ++ 1. Si = 1, = , lo cual crece sin lmite, de modo
que {} diverge.
Si 1, podemos escribir
= ( + + 2 ++ 1) ( = +
2 ++ )
=
Entonces
=
1 =
1
1
Si || < 1, entonces
= 0 y as
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=
=
1
Si || > 1 o = 1, la sucesin {} diverge y y en consecuencia, tambin lo hace la
sucesin {}.
Ejemplo 2.2.2
Calcule la suma de las siguientes series geomtricas
. 4
3+4
9+4
27+4
81+
. 0,515151 = 51
100+
51
10.000+
51
1.000.000+
. =
1 =
43
1 13
= 2
. =
1 =
51100
1 1100
=
5110099100
=51
99=17
33
El procedimiento de la parte (b) sugiere como mostrar que cualquier decimal peridico
representa un nmero racional.
Ejemplo 2.2.3
Determine si las siguientes series geomtricas convergen o divergen
. 3
2
=0
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. (3
2)
=0
. 3
2
=0
= 3
21
=1
=3(1
2)1
=0
=1
2 = 3
Como || < 1, la serie converge y
3
2
=0
=3
1 12
= 6
. (3
2)
=0
, =3
2> 1
Ejemplo 2.2.4
Se suelta una bola desde una altura de 6 metros y empieza a rebotar alcanzando en cada
rebote 3
4 de la altura del rebote anterior. Hallar la distancia total que recorrer esa bola.
Al tocar suelo la primera vez la bola ha recorrido una distancia 1 = 6. En los rebotes
siguientes sea la distancia recorrida subiendo y bajando, es decir,
2 = 6(3
4) + 6 (
3
4) = 12 (
3
4)
3 = 6(3
4) (3
4) + 6 (
3
4) (3
4) = 12 (
3
4)2
4 = 6(3
4) (3
4) (3
4) + 6 (
3
4) (3
4) (3
4) = 12 (
3
4)3
Continuando ese proceso, tenemos que la distancia vertical total recorrida es
= 6 + 12 (3
4) + 12 (
3
4)2
+ 12 (3
4)3
+
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Ahora bien,
6 = 6 + 12 = 6 + 12 (3
4)0
,
entonces
= 6 + 12 (3
4)0
+ 12 (3
4) + 12 (
3
4)2
+ 12 (3
4)3
+ = 6 +12
=1
(3
4)1
= 6 +12
1 34
= 6 + 48 = 42, =3
4< 1 = 12
En muchos casos no es posible obtener una expresin para en trminos de n y, por lo tanto
debemos conocer otros mtodos para determinar la convergencia o divergencia de la serie.
Teorema 2.1 (criterio del trmino n-simo para divergencia)
0
,
=1
En forma equivalente:
=1
,
= 0.
Demostracin:
Sea la n-sima suma parcial y
=
Observe que = 1.
1 = lim
= ,
=
lim
1 = = 0
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Ejemplo 2.2.5
Demuestre que la serie
3
33 + 22
=1
diverge.
=
3
33 + 22=
1
3 +2
=1
3
As, por el criterio del n-simo trmino, la serie diverge.
El reciproco del criterio del trmino n-simo es falso. Es decir, si
= 0, la serie no
necesariamente es convergente. En otras palabras, es posible tener una serie divergente para
la cual
= 0. Un ejemplo importante de serie divergente es la serie armnica
1
=1
= 1 +1
2+1
3++
1
+
Sin duda
1
= 0
Sin embargo, la serie diverge, como demostraremos a continuacin.
Ejemplo 2.2.6
Demuestre que la serie armnica diverge.
Mostraremos que , crece si cota.
= 1 +1
2+1
3+1
4+1
5+ +
1
-
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29 Matemticas IV
= 1 +1
2+ (1
3+1
4) + (
1
5+1
6+1
7+1
8) + (
1
9+ +
1
16) ++
1
> 1 +1
2+2
4+4
8+8
16++
1
= 1 +
1
2+1
2+1
2+1
2+ +
1
Es claro que al hacer n suficientemente grande, podemos introducir en la ltima expresin
tantos 1
2 como queramos. As, crece sin lmite, de modo que {} diverge. Por lo tanto, la
serie armnica diverge.
Ejemplo 2.2.7
Dada la serie
1
( + 1)
=1
hallar los primeros cuatro trminos de la sucesin de sumas parciales {}, determinar una
frmula para en trminos de n y diga si la serie converge o diverge.
Como = 1 +
As tenemos que los primeros cuatro trminos de la sucesin de sumas parciales son:
1 = 1 =1
1.2=1
2
2 = 1 + 2 =1
2+1
2.3=2
3
3 = 2 + 3 =2
3+1
3.4=3
4
4 = 3 + 4 =3
4+1
4.5=4
5
Ahora bien,
=1
( + 1)=
+
+ 1,
-
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usando fracciones simples, de donde = 1, = 1
Luego
=1
1
+ 1
As
1 = 1 1
2, 2 =
1
21
3, 3 =
1
31
4, , 1 =
1
11
, =
1
1
+ 1
Ahora bien, puede escribirse en forma telescpica, en la que cada trmino tras el primero
se cancela con su sucesor.
= (1 1
2) + (
1
21
3) + (
1
31
4) + + (
1
11
) + (
1
1
+ 1) = 1
1
+ 1
=
+ 1
Luego la sucesin de sumas parciales para la serie dada es
{} = {
+ 1},
Adems
+ 1= 1,
Entonces la serie converge y
1
( + 1)
=1
= 1
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31 Matemticas IV
Teorema 2.2 (Linealidad de las series convergentes)
=1
=1
,
=1
(
=1
+ )
tambin convergen y
)
=1
=
=1
) (
=1
+ ) =
=1
+
=1
Demostracin:
Por hiptesis
=1
=1
Existen.
As,
)
=1
=
=1
=
=1
=
=1
=
=1
) ( + )
=1
=
( + )
=1
=
[
=1
+
=1
]
=
=1
+
=1
=
=1
+
=1
-
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32 Matemticas IV
Corolario 2.2
1.
=1
=1
( + )
=1
2.
=1
=1
( + )
=1
Ejemplo 2.2.8
1. =1
=
1
, + =
2
( + ) =
2
= 2
1
que es divergente.
1. =1
=
1
, + = ( + ) = 0
que es convergente.
-
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2.3 Criterios de convergencia para series de trminos positivos
En sta seccin restringiremos nuestra atencin a las series con trminos positivos (o al menos
no negativos)
2.3.1 Criterio de la integral
Si f es una funcin positiva, continua, decreciente para todo 1 y suponga que = ()
para todo entero positivo n. Entonces, la serie
=1
converge si slo si la integral impropia
()
1
converge
Ejemplo 2.3.1.1 (Criterio de la serie p)
Demuestre que la serie-p
1
=1
Converge si > 1 y diverge si 0 < < 1
0, () =1
, [1,)
Consideremos la integral impropia
1, 1
1
= lim
1
1
= lim
[1
1 ]1
= lim
[1 1
1 ]
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34 Matemticas IV
= {
< 1
1
1 > 1
= 1, 1
1
= lim
1
1
= lim
[]1 = lim
[] =
Luego la serie-p
1
=1
Converge si > 1 y diverge si 0 < 1
Ejemplo 2.3.1 .2
Determine si
1
=2
Converge o diverge
2, () =1
, [2,) .
Ahora bien,
1
2
= lim
1
2
= lim
[()]2 =
As,
1
=2
diverge
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35 Matemticas IV
Cmo aproximar la suma de una serie
Hasta ahora hemos estado interesados en si una serie converge o diverge. Salvo por unos casos
especiales, tal como la serie geomtrica o una serie telescpica, no hemos abordado la
pregunta de a que si converge una serie a qu converge. En general, sta es una pregunta
difcil, pero en este momento podemos utilizar el mtodo sugerido por el criterio de la integral
para aproximar la suma de una serie.
Si utilizamos la n-sima suma parcial para aproximar a la suma de la serie
= 1 + 2 + 3 +
Entonces el error que cometemos es
= = +1 + +2 +
Sea () una funcin con las propiedades de que = () y f sea positiva, continua y
decreciente en [1,); condiciones del teorema de la integral. Con base en estas condiciones
= +1 + +2 + < ()
Podemos utilizar este resultado para determinar una cota superior del error implicado al
utilizar los primeros n trminos para aproximar la suma S de la serie, y podemos utilizarla
para determinar qu tan grande debe ser n para aproximar a S con una precisin deseada.
Y
= ()
+1 +2
n n+1 n+2 n+3 n+4 x
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36 Matemticas IV
Ejemplo 2.3.1.3
Determine una cota superior para el error al utilizar la suma de los primeros 20 trminos para
aproximar la suma de la serie convergente
= 1
3 2
=1
() =1
3 2 , [1,)
El error satisface
20 = 1
3 2
=20+1
< 1
3 2
20
= lim
[21 2 ]20
=
2
20 0,44721
Incluso con 29 trminos el error es un tanto grande
Ejemplo 2.3.1.4
Qu tan grande debe ser n, de modo que la suma parcial se aproxime a la suma de la serie
del ejemplo anterior con error no mayor que 0,005?
El error satisface
= 1
3 2
=+1
< 1
3 2
= lim
[21 2 ]
=2
As, para garantizar que el error sea menor que 0,005, necesitamos tener
2
< 0,005 >
2
0,005 > (
2
0,005)2
= 4002 = 160.000
-
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37 Matemticas IV
2.3.2 Criterio de comparacin directa
Sean 0 para toda
.
=1
,
=1
.
=1
,
=1
Ejemplo 2.3.2.1
Determine la convergencia o divergencia de las siguientes series
1. 1
2 + 3
=1
2. 1
2 +
=1
1. La serie dada tiene cierto parecido a
1
3
=1
serie geomtrica convergente
Comparando trmino a trmino, resulta que
=1
2 + 3 0, entonces ambas series convergen o divergen
2. = 0
=1
,
=1
3. =
=1
,
=1
-
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39 Matemticas IV
Ejemplo 2.3.3.1
Determine si las series dada convergen o divergen
1. 4 1
2 + 2
=1
2. 2 + 5
43 + 3
=1
3. 1
2 +
=1
1. Sea
=4 1
2 + 2
para construir tomemos los trminos de potencia mxima tanto en el numerador, como
en el denominador de es decir,
=
2=
1
3 2
Comparemos la serie dada con la serie-p convergente
1
3 2
=1
Puesto que
=
=
4 1
2 + 213 2
=
42 3 2
2 + 2= 4 > 0
Entonces la serie dada converge
-
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40 Matemticas IV
2. Comparemos la serie dada con
2
3
=1
=2
2
=1
,
,
2
2 0 ( )
Ahora bien,
=
=
2 + 543 + 32
2
=
22 + 52
432 + 32=
1 +52
4 +32
=1
4
Por lo tanto la serie es divergente, ya que > 0
3. Comparando con la serie armnica divergente
1
=1
.
Tenemos que
=
=
12 +
1
=
2 + =1
2
Luego la serie diverge, ya que > 0
-
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41 Matemticas IV
2.3.4 Criterio del cociente
=1
+1
=
I. Si < 1, la serie es convergente.
II. Si > 1, la serie diverge.
III. Si = 1, no se puede concluir nada
Ejemplo 2.3.4.1
Determine si la serie
2
!
=1
es convergente.
Usando el criterio del cociente, tenemos que
=
+1
=
2+1
( + 1)!2
!
=
2+1!
2( + 1)!=
2
( + 1)= 0 < 1
Por lo tanto la serie converge
Ejemplo 2.3.4.2
Determine la convergencia de la serie
2
20
=1
-
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42 Matemticas IV
=
+1
=
2+1
( + 1)20
2
20
=
2+120
2( + 1)20=
2 (
+ 1)20
= 2 > 1
Concluimos que la serie dada diverge.
Ejemplo 2.3.4.3
Determine si la serie
!
=1
Convergen o diverge.
=
+1
=
( + 1)!
( + 1)+1!=
(
+ 1)
Ahora bien,
( + 1
)
=
(1 +1
)
=
Luego,
(
+ 1)
=
1
( + 1) =
1
(1 +1) =
1
< 1
Por lo tanto, la serie dada converge.
-
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43 Matemticas IV
Resumen
Para verificar la convergencia o divergencia de una serie con trminos positivos, observe
con cuidado .
1. Si
0, concluya del criterio del trmino n-simo que la serie diverge.
2. Si incluye !, , trate de usar el criterio del cociente.
3. Si incluye slo potencias constantes de n, trate de usar el criterio de comparacin del
lmite. En particular, si es una expresin racional en n, use este criterio con como el
cociente de los trminos principales del numerador y el denominador.
4. Si los criterios anteriores no funcionan, trate con el criterio de comparacin directa, el
criterio de la integral.
5. Algunas series exigen un manejo inteligente o un truco para determinar su convergencia o
divergencia.
-
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44 Matemticas IV
2.4 Series alternas
Tras estudiar las series de trminos positivos, consideramos en sta seccin las series que
contienen trminos positivos y negativos. Las ms sencillas son las series alternas, cuyos
trminos alternan en signo.
Definicin 2.4.1
Si > 0 para todo entero positivo n, entonces la serie
(1)+1
=1
= 1 2 + 3 4 ++ (1)+1 +
y
(1)
=1
= 1 + 2 3 + 4 ++ (1) +
Se llana series alternas o alternadas.
2.4.1 Criterio de series alternas
Sea
(1)+1
=1
Una serie alterna con > +1 para todo n ( decreciente).
= 0, .
Ejemplo 2.4.1
Probar que la serie
-
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45 Matemticas IV
(1)+1
=1
es convergente
Veamos si es decreciente
=1
>
1
+ 1= +1,
para todo entero positivo, adems
1
= 0
Entonces la serie alterna converge.
Ejemplo 2.4.2
Determinar si son o no convergente las series
1. (1)
2
=1
2. (1)+1 (3 + 2
42 3)
=1
1. Calculemos
2=
1
1
=
= , ( )
Entonces
0
Por lo tanto no podemos aplicar el criterio de series alternas, pero por el criterio del
trmino n-simo la serie diverge.
2. Tenemos que
3 + 2
42 3= 0
Veamos si es decreciente
-
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Sea
() =3 + 2
42 3
Entonces
() =122 16 + 9
(42 3)2< 0, 122 16 9 < 0, ,
luego f es decreciente para todo x real. En consecuencia
=3 + 2
42 3
es decreciente.
Por lo tanto la serie dada es convergente.
2.5 Convergencia absoluta y condicional
Una serie puede tener trminos positivos y negativos sin ser alterna, como ocurre con
2
=1
= 1
1+ 2
4+ 3
9+
Un modo de obtener informacin sobre su convergencia es investigar la de la serie
|
2|
=1
Por comparacin directa, tenemos | | 1 para todo n, as que
|
2|
1
2, 1
Luego, por el criterio de comparacin directa, la serie
-
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|
2|
=1
converge. Pero la cuestin es: converge la serie original o no?
Definicin 2.5.1
Se dice que la serie
=1
||
=1
.
Una serie que es convergente, pero no absolutamente, se dice que es condicionalmente
convergente.
Teorema 2.5.1
||
=1
,
=1
Es decir Convergencia absoluta implica convergencia.
El inverso del teorema 2.8.1 no es cierto. Por ejemplo, la serie armnica alterna
(1)
=1
converge, por el criterio de series alternas. Sin embargo, la serie armnica diverge.
-
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Ejemplo 2.5.1
Determinar si son convergentes las siguientes series y en caso afirmativo si lo hacen
absolutamente o condicionalmente.
1. (1)
(+1)2
3
=1
2. (1)
( + 1)
=1
1. Observe que
(1)
(+1)2
3
=1
= 1
31
9+1
27+1
811
243
luego no es alterna. Sin embargo, ntese que
|(1)
(+1)2
3|
=1
=1
3
=1
es una serie geomtrica convergente, ya que la razn =1
3< 1. En consecuencia, la
serie dada converge absolutamente, entonces por el teorema 2.8.1 es convergente.
2. (1)
( + 1)
=1
= 1
2+1
31
4+ .
Por el criterio de series alternas converge, ya que es decreciente, adems
= 0.
Sin embargo, la serie
-
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49 Matemticas IV
|(1)
( + 1)| =
1
( + 1)
=1
=1
Es divergente, puesto que comparndola con la serie armnica tenemos que
1( + 1)
1
=
( + 1)=
Por lo tanto, la serie dada converge condicionalmente.
2.5.2 Criterio del cociente absoluto
=1
|+1| =
I. Si < 1, la serie es absolutamente convergente.
II. Si > 1, la serie diverge.
III. Si = 1, no se puede concluir nada
Ejemplo 2.5.2.1
Determine la convergencia de la serie
(1)
+ 1
=1
|+1| =
|
(1)+1 + 1 + 1(1)
| =
+ 1
( + 1)=
(
+ 1) + 1
= 1
No se sabe nada. Usemos el criterio de series alternas.
-
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Para probar que es decreciente, tomemos
() =
+ 1
Entonces
() =1
( + 1)2< 0, > 1.
Luego f es decreciente, adems
+ 1=
1
2= 0 ( )
Por lo tanto, la serie es convergente.
2.5.3 Criterio de la raz
=1
||
=
I. Si < 1, la serie es absolutamente convergente.
II. Si > 1, la serie diverge.
III. Si = 1, no se puede concluir nada
Ejemplo 2.5.3.1
Determine si la serie
2
=1
converge o diverge.
-
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51 Matemticas IV
Ya que
||
=
|2
|
=
2 3
=
2
= 0 < 1
el criterio de la raz asegura su convergencia.
Ejemplo 2.5.3.2
Determine si la serie
3
3
=1
converge o diverge
En primer lugar, tenemos
||
=
3
33
=
3
3=1
3
3
Este lmite es indeterminado de la forma 0 , aplicamos la regla de LHopital:
=
3 = (
3 ) =
(3 ) =
(3
) =
3
=0
Entonces,
3 = 1
Por lo tanto,
1
3
3 =1
3< 1
Y el criterio asegura la convergencia de la serie.
-
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52 Matemticas IV
Criterio Serie Converge Diverge
n-simo
1
0
Series geomtricas
1
1 Si || < 1, =
1 Si || 1
Series telescpicas ( +1)
1
= 0
Series-p
1
1
> 1 0 < 1
Series alternas (1)
1
0 < +1
= 0
De la integral
f continua, positiva
y decreciente
1
()
1
()
1
Comparacin directa
1
nn ba 0 y
1n
nb
converge
nn ab 0 y
1n
nb
diverge
Comparacin en el lmite
=
1
0
1
0
1
Cociente
|+1| =
1
< 1 > 1
-
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53 Matemticas IV
Raz
||
=
1
< 1 > 1
2.6 Series de potencias
Una serie de potencias en ( ) es una serie de la forma
( )
=0
= 0 + 1( ) + 2( )2 ++ ( )
+
Cuando = 0 la serie se convierte en una serie de potencias en x, la cual es
=0
= 0 + 1 + 22 ++
+
Observe que ( )0 = 1, aun cuando = , por conveniencia.
Como una serie de potencias tiene trminos variables, puede verse como una funcin de x,
() = ( )
=0
Cuyo dominio es el conjunto de x para el cual la serie converge.
Los tres ejemplos que siguen, muestran cmo usar el criterio del cociente para determinar los
valores de x para los cuales la serie de potencias converge.
Ejemplo 2.6.1
Determine los valores de x para los cuales la serie de potencias
( + 1)2
=0
es convergente.
Usando el criterio del cociente tenemos:
-
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54 Matemticas IV
|+1| =
|
+1
( + 2)2+1
( + 1)2
| =
|
2| ( + 1
+ 2) =
||
2
Por lo tanto, la serie de potencias es absolutamente convergente cuando ||
2< 1, es decir,
cuando || < 2 y diverge cuando || > 2.
Cuando = 2 = 2, falla el criterio.
Sin embargo, cuando = 2, la serie de potencias dada se convierte en la serie armnica
1
+ 1
=0
,
que es divergente; y cuando = 2, es la serie alterna armnica
(1)
+ 1
=0
,
que es convergente.
Concluimos que la serie de potencias dada es:
Convergente si 2 < 2, absolutamente convergente si 2 < < 2, condicionalmente
convergente si = 2 y diverge si > 2 < 2.
Ejemplo 2.6.2
Determine los valores de x para los cuales la serie de potencias
!
=0
es convergente.
-
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55 Matemticas IV
|+1| =
|
+1
( + 1)!
!
| =
|+1!
( + 1)!| =
||
+ 1= 0 < 1
Concluimos que la serie de potencias dada es absolutamente convergente para todo x real.
Ejemplo 2.6.3
Determine los valores de x para los cuales la serie de potencias
!
=0
es convergente.
|+1| =
|( + 1)! +1
! | =
( + 1)|| = {
0 = 0
0
Concluimos que la serie de potencias dada converge solo para = 0.
En cada uno de nuestros ejemplos, el conjunto de convergencia fue un intervalo (degenerado
en el ltimo ejemplo). Este ser siempre el caso. Por ejemplo, es imposible que una serie de
potencias tenga un conjunto de convergencia que consista en dos partes desconectadas (como
[0,1] [3,4])
Teorema 2.6.1
=0
.
Entonces, se cumple exactamente una de las siguientes condiciones:
1. La serie converge slo cuando = 0
-
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56 Matemticas IV
2. La serie es absolutamente convergente para todos los valores de x.
3. Existe > 0 tal que la serie converge para || < y diverge para || >
=0
( )
=0
, 2.6.1
las condiciones (1). , (3). se convierten en
1. La serie converge cuando = .
3. Existe > 0 tal que la serie converge para | | < y diverge para | | > .
El conjunto de x para los cuales una serie converge se llama intervalo de convergencia de la
serie de potencias. El nmero R se llama radio de convergencia ( =
|
+1|)
Ejemplo 2.6.4
Determine el intervalo de convergencia de la serie
( 2)
1
|+1| =
|( + 1)( 2)+1
! ( 2)| = | 2|
+ 1
= | 2|
Entonces la serie converge absolutamente si | 2| < 1, es decir 1 < < 3.
Analicemos que pasa en los extremos del intervalo
Cuando = 1, la serie se transforma en
(1)
1
,
la cual es divergente, ya que 0
nlmn
-
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Cuando = 3, la serie es
1
,
la cual tambin diverge.
As, la serie dada tiene como dominio el intervalo (1,3).
2.7 Derivacin e integracin de series de potencias
Sabemos que el intervalo de convergencia de una serie de potencias es el dominio de una
funcin (), la suma de la serie. La pregunta ms obvia con respecto a () es la de si se
puede dar una frmula simple para ella. Lo hemos hecho para una, la serie geomtrica.
=0
=
1 , 1 < < 1
Una mejor pregunta que se puede hacer ahora es si hay algo que decir con respecto a las
propiedades de (). Por ejemplo es diferenciable? es integrable? La respuesta a ambas
preguntas es afirmativa.
Teorema 2.7.1
Si la funcin dada por
() = ( )
=0
= 0 + 1( ) + 2( )2 ++ ( )
+
Tiene radio de convergencia > 0, es continua en el intervalo ( , + ), derivable e
integrable. Entonces, la derivada y la integral de f viene dada por
1. () = ( )1
=0
-
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58 Matemticas IV
2. ()
0
= + 1
( )+1
=0
El radio de convergencia de la serie obtenida por derivacin o integracin es el mismo que el
de la serie original.
Ejemplo 2.7.1
Determine el intervalo de convergencia de
(), () ()
0
, () =
1
Para ()
|+1| =
|+1
( + 1)| = ||
+ 1= || < 1
Cuando = 1 tenemos la serie alterna armnica
(1)
=0
, .
Cuando = 1, la serie armnica
1
=0
, .
As el intervalo de convergencia de () es [1,1).
Por el teorema 2.12.1 sabemos que cada serie de stas tiene radio de convergencia = 1.
Considerando el intervalo (1,1) se tiene:
() = 1
1
=1
1
Cuyo intervalo de convergencia es (1,1), ya que diverge para = 1.
-
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59 Matemticas IV
()
0
=
0
1
=+1
( + 1)
1
Cuyo intervalo de convergencia es [1,1], ya que para = 1, la serie es
(1)+1
( + 1)
1
,
que converge absolutamente y para = 1, la serie es
1
( + 1)
1
,
que tambin converge.
As, el intervalo de convergencia de la integral es[1,1]
Ejemplo 2.7.2
Obtenga una representacin de series de potencias de
1
(1 )2
Sabemos que
1
1 =
=0
= 1 + + 2 ++ + || < 1
Derivando ambos miembros, obtenemos
1
(1 )2=1
=1
= 1 + 2 + 32 ++ 1 + || < 1
Ejemplo 2.7.3
Pruebe que
=
!
=0
,
-
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Ya vimos que la serie
!
=0
es absolutamente convergente para todo x. Por lo tanto, si () es la funcin definida por
() =
!
=0
tiene dominio(,). Luego para todos los valores de x tenemos que
() = 1
( 1)!
=1
=
!
=0
= ()
Entonces vemos que () = () para todo x real, es decir, () = .
Ejemplo 2.7.4
Encuentre una representacin en serie de potencias de
2
0
Sabemos que
=
!
=0
para todo x real, entonces sustituyendo x por 2, tenemos que
2=
(1)2
!
=0
, .
Luego integrando obtenemos
2
0
=(1)2
!
0
=0
=(1)2+1
! (2 + 1)!
=0
.
Ejemplo 2.7.5
-
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61 Matemticas IV
Encuentre una representacin en serie de potencias de para .
Recuerde que
= 1
1 + 2
0
Sabemos que,
1
1 =
=0
= 1 + + 2 ++ + || < 1
Reemplazando x por 2, obtenemos
1
1 + 2=(1)2
=0
= 1 2 + 4 6 ++ (1)2 + || < 1
Por lo tanto,
= 1
1 + 2
0
= (1)2
0
=(1)2+1
2 + 1,
=0
=0
|| < 1
Ejemplo 2.7.6
Encuentre una representacin en serie de potencias de para (1 + ).
Sabemos que
1
1 =
=0
= 1 + + 2 ++ + || < 1
Al integrar trmino a trmino se obtiene
1
1
0
=
0
=0
=+1
+ 1
=0
= +2
2+3
3+
+1
+ 1+
Esto es,
-
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62 Matemticas IV
(1 ) =+1
+ 1
=0
= +2
2+3
3+
+ || < 1
Si reemplazamos x por x en la ltima y multiplicamos por -1, obtenemos
(1 + ) = (1)+1
+ 1
=0
= 2
2+3
3+
(1)+1
+ 1+ || < 1
2.8 Serie de Taylor
En la seccin anterior obtuvimos series de potencias para varias funciones usando series
geomtricas junto con derivadas o integracin trmino a trmino. En esta seccin
desarrollaremos un procedimiento general para hallar series de potencias para una funcin
con derivadas de todo orden.
Si f viene representada por una serie de potencias
() =
=0
= 0 + 1 + 22 ++
+ . (1)
Cuyo radio de convergencia es > 0, de lo antes visto sabemos que f tiene derivada de todos
los rdenes en (, ).
() = 1 + 22 + 332 ++
1 + . (2)
() = 22 + 2.33 + 3.442 ++ ( 1)
2 + (3)
() = 2.33 + 2.3.44 + + ( 1)( 2)3 + (4)
Si hacemos = 0 en (1), (2), (3), (4) obtenemos
(0) = 0
(0) = 1
(0) = 22 2 =(0)
2!
-
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(0) = 2.33 3 =(0)
3!
En general,
=()(0)
!
para todo entero positivo n
Esta frmula es vlida cuando = 0, si consideramos que 0(0) = (0) = 1 y 0! = 1 As
podemos escribir la serie de potencias de f en x como
() =()(0)
!
1
= (0) + (0) +(0)
2!2 ++
()(0)
! +
Ms general, si consideramos la serie de potencias de f en ( ) tenemos que
()()( )
!
1
= () + () +()
2!( )2 ++
()()
!( ) +
Esta serie se llama serie de Taylor de f en c. Cuando = 0 se llama Serie de Maclaurin.
2.8.1 Convergencia de la serie de Taylor
Dada una funcin f, podemos representarla por medio de una serie de potencias en ( )
(que debe ser, necesariamente, la serie de Taylor)?
Teorema 2.8.1
Sea f una funcin con derivadas de todos los rdenes en algn intervalo ( , + ) . La
serie de Taylor
()()( )
!
1
= () + () +()
2!( )2 ++
()()
!( ) +
Representa a la funcin f en el intervalo ( , + ) si y slo si
-
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() =
(+1)()( )+1
( + 1)!= 0
donde c es algn punto en ( , + )
Ejemplo 2.8.1
Determine la serie de Maclaurin de () = y demuestre que representa a para
todo x.
() = (0) = 0
() = (0) = 1
() = (0) = 0
() = (0) = 1
() = (0) = 0
() = (0) = 1
El esquema se repite tras la tercera derivada, luego la serie de potencias es
() =()(0)
!
1
= (0) + (0) +(0)
2!2 ++
()(0)
! +
= 3
3!+5
5!7
7!+ =
(1)2+1
(2 + 1)!
=0
Y ser vlida para todo x, siempre que podamos demostrar que
() =
(+1)()+1
( + 1)!= 0
-
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Ahora bien,
|(+1)()| = | | |(+1)()| = | |
por lo tanto,
0 () ||+1
( + 1)!
,
!= 0 ,
!
.
() = 0
Ejemplo 2.8.2
Determine la serie de Maclaurin de () = de dos maneras distintas y demuestre que
representa a cosh para todo x.
Mtodo 1. ste es el mtodo directo
() = (0) = 1
() = (0) = 0
() = (0) = 1
() = (0) = 0
Por lo tanto,
= 1 +2
2!+4
4!+6
6!+ =
2
2!
=0
() = 0 .
Sea B un nmero cualquiera tal que || . Entonces
-
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66 Matemticas IV
| | | +
2|
2+
2
2+
2=
Mediante un razonamiento anlogo, | | .
Ya que (+1)() = (+1)() = , concluimos que
|()| = |(+1)()+1
( + 1)!|
||+1
( + 1)!
La ltima expresin tiende a cero cuando .
Mtodo 2. Utilizando el hecho de que
= +
2
Sabemos que
=
!
=0
= 1 + +2
2!+3
3!+4
4!+
=(1)
!
=0
= 1 +2
2!3
3!+4
4!+
Ahora bien, sumando estas dos series y dividiendo por 2 se obtiene
= +
2= 1 +
2
2!+4
4!+6
6!+ =
2
2!
=0
-
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67 Matemticas IV
Parte II
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
-
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68 Matemticas IV
-
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69 Matemticas IV
Captulo 3
3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
En cursos anteriores nos hemos encontrado frecuentemente con la palabra ecuacin la cual
utilizamos en muy variadas ocasiones, por ejemplo:
1. Las ecuaciones: 2 3 + 2 = 0, 3 1 = 0,
2. Las ecuaciones = 0, = , =
En estos casos se trata de hallar que son las incgnitas de las ecuaciones.
Existen numerosos problemas de la Matemtica, la Fsica, la Ingeniera, que conducen a
plantear ecuaciones pero donde ahora las incgnitas ya no son nmeros sino objetos
matemticos: matrices, funciones, aplicaciones lineales.
Entre estas ecuaciones se encuentran las denominadas ecuaciones diferenciales en las cuales
la (s) incgnita (s) que se presentan son funciones, y se llaman diferenciales puesto que en
dichas ecuaciones figuran las derivadas de las funciones incgnitas.
El ejemplo ms sencillo de ecuacin diferencial se encuentra en la determinacin de primitivas
de una funcin f, lo cual simplemente viene dado por el Primer teorema fundamental del
Clculo y que permite relacionar la derivacin con la integracin:
Si f es una funcin continua [, ], entonces la funcin F definida por:
() = ()
es derivable y () = () (, ).
-
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70 Matemticas IV
As, dada f, la funcin = () satisface la ecuacin
= que es el ejemplo, de los ms
simples, de ecuacin diferencial de orden uno, donde la funcin incgnita F figura a travs de
su derivada.
Nuestro objetivo en este curso es estudiar algunos tipos de ecuaciones diferenciales para los
cuales existen procedimientos cannicos de resolucin. Debemos sealar que sta es una de las
ramas de la Matemtica que ms profundamente se ha estudiado desde unos 300 aos, siendo
la Mecnica Celeste la primera rea donde se aplic intensamente la teora de las ecuaciones
diferenciales.
3.1 Nociones bsicas acerca de las ecuaciones diferenciales
Comencemos con dos ejemplos que conducirn a plantear una ecuacin diferencial y as stos
motivarn algunas definiciones que luego daremos.
3.1.1 Ley de Newton sobre enfriamiento de un cuerpo
De acuerdo con la ley de Newton sobre enfriamiento o calentamiento de un cuerpo, la
rapidez a la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la
temperatura del cuerpo y la temperatura del medio ambiente.
Sea = () la temperatura del cuerpo en un tiempo cualquiera t. La velocidad de
enfriamiento del cuerpo, es decir, la tasa instantnea de cambio de temperatura es dada por la
derivada.
Luego si denotamos por A la temperatura del aire que rodea al cuerpo, entonces el enunciado
del problema nos dice que
, ,
= ( )
-
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71 Matemticas IV
= ( ) (1)
donde c es la constante de proporcionalidad. Siendo > 0 (la temperatura del cuerpo
mayor que la del aire que lo rodea), entonces, como la temperatura () decrece a medida que
transcurre el tiempo, ya que el cuerpo se est enfriando, se tiene que < 0, y por esto,
frecuentemente, se escribe la ecuacin (1) como:
= ( ) (2)
El problema consiste en hallar una tal funcin () que satisfaga (2) y adems los otros datos
del problema.
3.1.2 Desplazamiento de un resorte
Consideremos un resorte que resiste la comprensin tanto como la extensin y que cuelga o
est sujeto en un extremo a un soporte y en el otro extremo se tiene un cuerpo de masa m
Si se tira del cuerpo desplazndolo una cierta distancia hacia abajo y despus se le suelta,
este adquirir un movimiento el cual suponemos se realiza solamente en la direccin vertical y
S kS
Posicin de equilibrio = 0
( + ())
=
w
-
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72 Matemticas IV
queremos determinar este movimiento en funcin del tiempo t. Elijamos como direccin
positiva del desplazamiento la direccin hacia abajo. Veamos todas las fuerzas que actan
sobre el cuerpo durante el movimiento.
Tenemos la fuerza de gravedad (peso del cuerpo) dada = , donde m es la masa del
cuerpo y g la aceleracin de gravedad.
De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza restauradora que el resorte ejerce sobre la masa es
proporcional a la distancia a la que el resorte se ha estirado o comprimido. Puesto que sta es
igual al desplazamiento de la masa m de su posicin de equilibrio, se deduce que
= ( + ())
La constante positiva de proporcionalidad k se llama la constante de resorte.
Aplicando la 2da. Ley de Newton,
= = =
Como = 0, obtenemos la ecuacin diferencial lineal de segundo orden
=
Es decir,
= 2, =
que gobierna el movimiento vertical libre de un cuerpo.
En el ejemplo anterior se ha despreciado la fuerza de resistencia del medio y por ello se le
llamo movimiento libre. Experimentalmente se ha comprobado que, si la velocidad de la masa
no es muy grande, es proporcional a la velocidad |
|, y su direccin es tal que se opone al
movimiento. Si el cuerpo est bajando, () est aumentando, por lo tanto
> 0 y como
acta hacia arriba, resulta
=
, > 0
-
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73 Matemticas IV
Si el cuerpo est subiendo, () est disminuyendo, por lo tanto
< 0 y como acta hacia
abajo resulta
= (
) =
O sea que en cualquier caso =
> 0. Luego la ecuacin diferencial que rige el
movimiento vertical amortiguado del cuerpo es
=
Es decir,
+ + = 0
EDO lineal de segundo orden.
En esos dos ejemplos observamos que se trata de resolver una ecuacin donde la incgnita es
una funcin de una, o ms variables independientes, y que en dicha ecuacin aparecen
derivadas de la funcin. Tales ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones diferenciales
ordinarias o ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, o simplemente, a las
primeras se les llama ecuaciones diferencial y a las segundas ecuaciones en derivadas
parciales.
Definicin 3.1
Una ecuacin diferencial es una ecuacin en la que interviene una funcin desconocidas y
una o ms de sus derivadas. Si la funcin tiene solamente una variable independiente, la
ecuacin se denomina ecuacin diferencial ordinaria. Si la funcin depende de dos o ms
variable, las derivadas sern parciales, denominndose la ecuacin en este caso ecuacin
diferencial en derivadas parciales.
Adems de por el tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se clasifican por el
orden.
-
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74 Matemticas IV
El orden de una ecuacin diferencial es el de la derivada ms alta que aparece en la ecuacin.
Ambas clasificaciones (tipo y orden) resultan tiles para decidir que procedimiento utilizar
para resolver una ecuacin diferencial dada.
Un problema matemtico tpico de una situacin aplicada sern los problemas de valores
iniciales, consistentes en una ecuacin diferencial de la forma antes citada junto con una
condicin inicial (0) = 0.
Resolver el problema de valor inicial
= (, ), (0) = 0 (4)
Significa encontrar una funcin diferenciable () que satisfaga ambas condiciones de la
ecuacin.
Definicin 3.2
Una funcin = () es solucin de una ecuacin diferencial si al ser sustituida, junto con sus
derivadas, en la ecuacin, la convierte en una identidad.
Ejemplo 3.1.1
Ecuacin Tipo Orden
= 0
Ordinaria 1
= Ordinaria 3
()2 3 = 0 Ordinaria 1
+ = 0 Parcial 2
-
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75 Matemticas IV
Derivando y sustituyendo veramos que = 2, = 32 son soluciones de la ecuacin
diferencial
+ 2 = 0
Definicin 3.3
Si la solucin de la ecuacin diferencial es una funcin = (, ) que depende de alguna
constante arbitraria C (familia uno-paramtrica) entonces la solucin se llama solucin
general
Ejemplo 3.1.2
La funcin = 2, siendo C una constante cualquiera, es la solucin general de la ecuacin
+ 2 = 0
Definicin 3.4
Si en la solucin general se asigna un valor determinado a la constante C, la solucin obtenida
es una solucin particular. El valor de C puede ser obtenido al reemplazar, las coordenadas
de algn punto que satisface la ecuacin diferencial en la solucin hallada; tales coordenadas
del plano reciben el nombre de condiciones iniciales y la solucin es la que satisface las
condiciones iniciales dadas. En ciertas ocasiones, la ecuacin diferencial posee otras soluciones,
denominadas soluciones singulares, ellas no se obtienen de la solucin general.
3.2 Algunos problemas que conducen a una ecuacin diferencial
Dada una familia de curvas F, a veces es importante encontrar una ecuacin diferencial que la
represente, es decir , EDO libre de parmetros, tal que los miembros de la familia F sean todas
las solucione de la ecuacin.
Ejemplo 3.2.1
-
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76 Matemticas IV
Hallar una EDO que represente a la familia de parbolas = 32 + ,
Despejando k de la ecuacin de las parbolas se obtiene
=
32 + 1
Derivando respecto de x
= 6 =6
32 + 1
La EDO que representa a la familia de parbolas dada es entonces
=6
32 + 1
3.2.1 Trayectoria ortogonales
Sea C una curva dada y F una familia uniparamtrica de curvas. Se dice que C es una
trayectoria ortogonal de la familia F si C corta ortogonalmente a todas las curvas de F.
Para determinar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas dada se halla primero
la ecuacin diferencial (, ,
) = 0 para dicha familia. Como
da la pendiente de la recta
tangente a cada curva de la familia en un punto (, ) de la misma, la ecuacin diferencial
para las trayectorias ortogonales a la familia dada debe ser
(, ,
) = 0
Ejemplo 3.2.1.1
Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia F de parbolas de ecuaciones
= 2,
Despejando k de la ecuacin se obtiene
-
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77 Matemticas IV
=
2, 0
Adems,
= 2 =2
2 =
2
Entonces
=2
Es la ecuacin diferencial la familia F, para todo 0. Por lo tanto, la ecuacin diferencial
para las trayectorias ortogonales es
=2
Es decir,
+ 2 = 0, 0
Resolviendo esta EDO se obtiene (como se ver adelante) que
22 + 2 = ,
Son trayectorias ortogonales de la familia dada. Sin embargo, se debe notar que la recta de
ecuacin = 0, es ortogonal a todas las parbolas de la familia en (0,0) (pues cuando =
0, = 2 = 0, es decir, la ente de todas las curvas de F es cero en (0,0)). Las trayectorias
ortogonales de la familia son entonces
0 22 + 2 = ,
-
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3.2.2 Crecimiento y decrecimiento o desintegracin
a) Crecimiento de una poblacin:
La velocidad de crecimiento de una poblacin, es un instante dado, es proporcional a la
poblacin existente en dicho instante.
=
donde P = poblacin existente en el instante t (habitantes)
=
K = constante de proporcionalidad
Y
x
-
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79 Matemticas IV
b) Ley de desintegracin radioactiva:
La intensidad o velocidad de desintegracin de una sustancia radiactiva es proporcional,
en cualquier instante, a la cantidad de sustancia que se halle presente.
=
donde m = masa de sustancia radiactiva presente en el instante t
=
K = constante de proporcionalidad
El signo menos indica que la masa est disminuyendo
3.2.3 Mezclas
UN tanque tiene 100 L de una solucin de agua y sal (salmuera), que contiene 10 Kg de sal
homogneamente mezclados. Se bombea dentro de un tanque a una velocidad de 6 L/min una
solucin que contiene Kg de sal por cada litro de agua. Simultneamente se bombea hacia
afuera el lquido del tanque a una velocidad de 4 L/min. Hallara la cantidad de sal que hay
en el tanque en cada instante t.
Sea () la cantidad de sal presente en el tanque despus de t minutos de haber comenzado
a bombear. Entonces la rapidez de cambio de la cantidad de sal en el tanque es (), y se
cumple
() = (
) (
) =
-
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80 Matemticas IV
Por otro lado ntese que se bombea hacia afuera con menor rapidez que hacia adentro, por lo
que la solucin se acumula con una rapidez de (64)
= 2
.
Por lo tanto, despus de t minutos hay en el tanque (100 + 2) litros solucin, la rapidez con
que sale la sal es
2 = (()
100 + 2) .4 =
4()
100 + 2
Entonces
() = = 6 min. 1 2 4()
100 + 2
Luego
{() = 3
2()
50 +
(0) = 10
3.2.4 Circuitos elctricos
Consideremos el circuito en serie que consta de:
Una resistencia de R ohmios
Un inductor con inductancia de L henrios
6 L/min
4 L/min
-
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81 Matemticas IV
Un condensador, con capacitancia de C faradios
Con una fuente de fuerza electromotriz (tal como una batera o un generador) que
proporciona un voltaje de () voltios en el instante t.
Aplicando una de las leyes de Kirchhoff: La suma (algebraica) de las cadas de voltaje a travs
de los elementos de un circuito elctrico es igual al voltaje aplicado.
En consecuencia, la corriente y la carga en el circuito simple RLC de la figura satisfacen la
ecuacin bsica de los circuitos.
+ +
1
= () (1)
Como la relacin entre la carga y la corriente I, es
= , sustituyendo en la ecuacin (1)
obtenemos la ecuacin diferencial lineal de segundo orden, para la carga ()
2
2+
+1
= () (2)
En la mayora de los problemas prcticos en la corriente I, ms que la carga Q, lo que tiene
inters primario, as que podemos derivar ambos miembros de la ecuacin (1) y hacer la
sustitucin
= para obtener
2
2+
+1
=
()
(3)
R (Resistencia) C (capacitancia)
L (Inductancia)
()
-
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82 Matemticas IV
-
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83 Matemticas IV
Parte III
-
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84 Matemticas IV
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
-
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85 Matemticas IV
3.3 Campos direccionales y elaboracin de curvas integrales
Una EDO de primer orden no siempre tiene solucin pero, an cuando la tenga, a veces no es
posible encontrar una frmula explcita de la misma en trminos de funciones elementales. Por
tal motivo los mtodos que conducen a soluciones aproximadas de la ecuacin son de gran
utilidad. Uno de estos mtodos consiste en aproximar grficamente las curvas integrales de la
ecuacin diferencial, cuando sta es de primer orden.
Definicin 3.3.1
La ecuacin diferencial = (, ) da un valor para que representa la pendiente de la
recta tangente a la curva integral = () que pasa por el punto (, ). Si se asigna a cada
punto un pequeo segmento de esta recta tangente (centrado en el punto), el conjunto de todos
estos segmentos se llama campo direccional para la ecuacin diferencial = (, ). Es
decir, la ecuacin diferencial = (, ) determina un campo de direcciones.
-
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86 Matemticas IV
El problema de integracin de la ecuacin = (, ) consiste en hallar una curva cuya
tangente en cada punto tenga la misma direccin que el campo en ese punto.
Definicin 3.3.2
Dada una ecuacin = (, ), una isclina es el lugar geomtrico de todos los puntos en los
cuales las tangentes a las curvas integrales consideradas tienen una misma direccin. La
familia se determina por la ecuacin = (, ) donde k es un parmetro.
-
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87 Matemticas IV
Ejemplo 3.3.1
Usando isclinas, bosqueje las curvas de
= 2 + 2
Haciendo
= , tenemos que las isclinas estn dadas por ecuaciones de la forma
= 2 + 2
Ests ecuaciones son circunferencias centradas en el origen para > 0, se reduce al origen si
= 0 (porque 2 + 2 = 0 = = 0) y no tienen puntos para < 0.
-
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88 Matemticas IV
3.4 Existencia y unicidad de las soluciones
-
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89 Matemticas IV
Antes de perder mucho tiempo tratando de resolver una ecuacin diferencial, es preferible
investigar si la solucin en efecto existe. Quiz tambin queramos saber si hay slo una
solucin de la ecuacin que satisfaga una condicin inicial (es decir, si las soluciones son
nicas).
Ejemplo 3.4.1
Consideremos el siguiente problema de valor inicial
= 2 , (0) = 0
De aqu podemos hacer
2=
Luego integramos y resulta 1() = 2 2() = 0
Las cuestiones relativas a existencia y unicidad tambin afectan a la elaboracin de modelos
matemticos. Supongamos que estamos estudiando un sistema fsico cuyo comportamiento
est completamente determinado por ciertas condiciones iniciales, pero que nuestro modelo
matemtico propuesto involucra una ecuacin diferencial que no tiene solucin nica. Esto
hace surgir de inmediato la pregunta de si el modelo matemtico representa adecuadamente
el modelo fsico.
El siguiente teorema establece las condiciones suficientes para asegurar la existencia y
unicidad de la solucin, de modo que ninguno de los casos extremos (no solucin o soluciones
no nicas) pueda ocurrir.
Teorema: Existencia y unicidad de soluciones
-
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90 Matemticas IV
Sea = (, ) donde f es una funcin continua y derivable en un conjunto D del plano.
Entonces por todo punto (0, 0) pasa una y solamente una solucin de esa ecuacin
diferencial.
Es decir, para todo punto (0, 0), existe una y slo una funcin = () definida en cierto
intervalo que contiene a 0, que es solucin de la ecuacin = (, ) y adems 0 = 0().
Ejemplo 3.4.2
Para la ecuacin
= 2
la funcin (, ) = 2 es continua en toda su extensin, pero la derivada parcial
=1
es discontinua para = 0, y en consecuencia en el punto (0,0). Esto explica la existencia de dos
soluciones diferentes 1() = 2 2() = 0 , cada una de las cuales satisface la condicin
inicial (0) = 0.
3.5. Ecuaciones diferenciales de primer orden
-
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91 Matemticas IV
3.5.1 Ecuaciones a variables separables
La ecuacin de primer orden
= (, )
Se llama a variable separable si (, ) puede escribirse como producto de una funcin de x
y una funcin de y; o, equivalentemente, como un cociente
(, ) =()
() .
En este caso, las variables pueden ser separadas escribiendo de modo informal la ecuacin
() = (), que se entiende que es la notacin compacta de la ecuacin diferencial
()
= ()
Es fcil resolver este tipo de ecuaciones diferenciales simplemente integrando ambos miembros
con respecto a x
() = () +
Ejemplo 3.5.1.1
Determinar en cuanto tiempo se enfriara un cuerpo desde 100C a 20C en aire a 10C,
sabiendo que en el aire a 15 C se enfra desde 200 C a 100C en 40 minutos.
Obtuvimos la ecuacin a variable separable
= ( )
Donde > 0 es constante, A temperatura del aire, = () es la temperatura del cuerpo en
un tiempo t. De all resulta
-
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92 Matemticas IV
=
= +
Luego
( ) = + = + =
donde = (constante arbitraria)
Ntese que cuando = 0 (en minutos), es decir, cuando comenzamos a contar el tiempo, se
tiene (0) = 0 (temperatura inicial), luego 0 = .
Entonces tenemos que
= + (0 )
Ahora utilizando los datos del enunciado para determinar la constante de enfriamiento k:
Si = 40 y = 15 se tiene 0 = 200, = 100, luego
100 = 15 + (200 15)40 40 =85
185 =
1
40 (
17
37)
y por lo tanto,
= + (0 )(140(
1737))
Si ahora = 10, 0 = 100, = 20, se obtiene
20 = 10 + (100 10)(140(
1737))
1
9=
(140(
1737))
Entonces
=40 9
17 37 113
Ejemplo 3.5.1.2
Un cultivo tiene inicialmente una cantidad 0 de bacterias. Para = 1 hora, el nmero de
bacterias medido es 3
20. Si la rapidez de multiplicacin es proporcional al nmero de
-
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93 Matemticas IV
bacterias presentes, determinar el tiempo necesario para que el nmero de bacterias de
triplique.
Sean N = bacterias en un instante t
0 = Cantidad de bacterias en = 0
Tenemos que
=
= = + =
Pero para = 0, (0) = 0,
Entonces 0 = . As () = 0
Para = 1 se tiene 3
20 = 0
o bien
=3
2 = (
3
2) = 0,4055
En consecuencia,
() = 00,4055
Para determinar el valor de t para el que las bacterias se triplican, despejamos t de
30 = 00,4055
Se deduce que
0,4055 = 3 = 3
0,4055 2,71
-
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94 Matemticas IV
Ejemplo 3.5.1.3
Un bloque de cierto material radiactivo tiene originalmente una masa de 100 grs., al
transcurrir 20aos, su masa ha disminuido a 80 grs. Determinar:
a) Cunto tiempo transcurri para que se desintegraran 10 grs.?
b) Cantidad de material presente 50 aos despus del momento inicial.
c) Tiempo de vida media del material.
Sean m = masa del material radiactivo en un instante de tiempo t
0 = 100 (
Tenemos que
=
= = + 1 =
= 0
Calculemos k
(0) = 80 80 = 020 =
(4 5 )
20
a) =?
() = 90 90 = 100 = (9 10 ) =(1 2 )
9,443
b) t = 50 aos,m(50) =?
m(50) = 100e50k = 100e20ln(4 5 ) 20 57,243
c) () =0
2
0
2= 0
=(0,5)
155,314
-
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95 Matemticas IV
3.6 Ecuaciones homogneas
Recordemos que una funcin (, ) se dice homognea de grado un nmero real n, si para
todo > 0, se verifica que
(, ) = (, )
Ejemplo 3.6.1
. (, ) =2 + 2
2 = 1,
(, ) =()2 + ()2
2=(2 + 2)
2= (, )
. (, ) =2 + 2
2 = 0 ()
. (, ) = 3 (
) =
1
3 ()
. (, ) = 23 + 32 + + 1
. (, ) = 3 (
2
)
En muchos casos podemos reconocer si una funcin es homognea examinando el grado de
cada trmino
Ejemplo 3.6.2
. (, ) = 63 22 4
Observe que 6 3 4 y 22 es de grado 4
. (, ) = 2 , ya que 2 2, 1
-
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96 Matemticas IV
Definicin 3.6.1
La ecuacin diferencial = (, ) se dice homognea si la funcin f es homognea de
grado cero.
En el caso que la ecuacin sea dada en la forma
(, ) + (, ) = 0
Ella ser homognea si M y N son funciones homogneas del mismo grado n, ya que colocada
en su forma normal
=(, )
(, ), (, ) 0
Resulta que el cociente es homogneo de grado cero.
Ahora bien, si (, ) es homognea de grado cero, entonces podemos escribir:
= (, ) = (. 1, .
) = 0 (1,
) = (
)
Dicha ecuacin sugiere la sustitucin
=
=
En efecto, haciendo
=
=
+ ,
Sustituyendo en la ecuacin diferencial dada, ella se reduce a una ecuacin a variables
separables.
Ejemplo 3.6.3
Resolver
(2 2) + 3 = 0
-
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97 Matemticas IV
(, ) = 2 2 (, ) = 3 ambas son homogneas de grado 2
(2 2) + 3 = 0
=2 2
3
Si hacemos
=
=
+
Entonces, sustituyendo tenemos
+ =
2(2 1)
32=2 1
3
Entonces
=2 1
3 =
1 22
3
Separando variables e integrando, tenemos
(3
22 + 1) = (
1
)
3
4(22 + 1) = || + ||
(22 + 1)3 = |4| (22 + 1)3 = 4
Devolviendo el cambio se tiene
(22
2+ 1)
3
= 4 (22 + 2
2)
3
= 46
(22 + 2)3= 4
Entonces
2
(22 + 2)3=
-
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98 Matemticas IV
3.7 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Una ecuacin diferencial lineal de primer orden es una ecuacin de la forma
+ () = () (1)
Escribiendo la ecuacin (1) en la forma diferencial
+ [() ()] = 0 (2)
Las ecuaciones lineales tienen la propiedad de que siempre es posible encontrar una funcin
() (factor integrante) tal que al multiplicar la ecuacin (2)
() + ()[() ()] = 0
Es una ecuacin diferencial exacta.
Dicho factor integrante es de la forma
() = ()
Al multiplicar ambos lados de la ecuacin (1) por este factor se obtiene
()
+ ()() = ()() . (3)
Lo cual es equivalente a
(()) = ()() (4)
Esto es cierto debido a que si usamos la regla del clculo para la diferenciacin de un producto,
el lado izquierdo de (4) es
(()) = ()
+
(()) = ()
+ (()())
De (4) obtenemos por integracin la solucin.
-
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99 Matemticas IV
() = ()() + ,
Es decir,
= () [ ()() + ]
Ejemplo 3.7.1
Resolver
4 = 6
Escribiendo la ecuacin como
(4
) = 5
el factor integrante es
() = 4 = 4
Multiplicando la ecuacin por este trmino
4 45 =
y obtenemos
(4) =
Integrando ambos lados, tenemos
4 = +
O bien
= 5 4 + 4
-
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100 Matemticas IV
3.8 Ecuaciones de Bernoulli
Una ecuacin no lineal muy conocida que se reduce a una lineal, con una sustitucin
adecuada, es la ecuacin de Bernoulli:
+ () = () , 1, 0 (1)
Dividiendo la ecuacin (1) por , y multiplicando por (1 ) obtenemos
(1 )
+ (1 )()1 = (1 )() (2)
Luego si hacemos
= 1
= (1 )
Sustituyendo en la ecuacin (2) obtenemos la ecuacin lineal de primer orden
+ (1 )() = (1 )() (3)
Resolviendo (3) y devolviendo el cambio de variable, tenemos que la solucin general de la
ecuacin de Bernoulli es
1(1)() = (1 )() (1)() +
Ejemplo 3.8.1
Resolver
+1
= 2
Para esta ecuacin de Bernoulli, = 2
Dividiendo la ecuacin por 2, y multiplicando por (1 ) = 1, obtenemos
2
1
1 =
-
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101 Matemticas IV
Usando la sustitucin
= 1
= 2
tenemos
1
=
Ecuacin lineal en z, cuyo factor integrante es
() = 1 = 1
Multiplicando por este factor, obtenemos
(1) = 1 1 = + = + = 2 +
Como = 1, se obtiene que
=1
2 +
Ejemplo 3.8.2
Un generador con una fem. de 100 voltios se conecta en serie con una resistencia de 10 ohmios
y un inductor de 2 henrios. Si el interruptor s se cierra en tiempo 0t , establezca una ecuacin
diferencial para la corriente y determine la corriente y determine la corriente en funcin del
tiempo t.
E = 100 voltios, L = 2 henrios, R = 10 ohm, llamando I la corriente en amperios, tenemos:
2
+ 10 = 100
+ 5 = 50 . . 1
Cuyo factor integrante es te5 . Multiplicando la ecuacin por este factor tenemos
5
+ 55 = 505
(5) = 505 5 = 505 +
Entonces,
-
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102 Matemticas IV
() = 10 + 5
Puesto que (0) = 0, entonces, = 10.
As,
() = 10 105
Ejemplo 3.8.3
Una fem. decadente = 2005 se conecta en serie con una resistencia de 20 ohmios y un
condensador de 0,01 faradios. Asumiendo que (0) = 0, encuentre la carga y la corriente en
cualquier tiempo. Muestre que la carga alcanza un mximo, calclelo y halle cuando se
obtiene.
Tenemos que () = 2005, = 0 y = 0,01 = 102.
Sustituyendo
20
+
102= 2005
+ 100 = 2005
+ 5 = 105
E.D. lineal de er1 orden cuyo factor integrante es te5 . De donde,
5
+ 55 = 10
(5) = 10 5 = 10 +
Entonces,
() = 105 + 5
Puesto que (0) = 0 entonces = 0.
De donde
() = 105
Ahora bien, como
=
=
(105) = 105 505
-
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103 Matemticas IV
Para hallar cundo Q es mxima, haga
= 0 , esto es, = 0, es decir,
105 505 = 0 105(1 5) = 0 =1
5 .
Luego
= 10 (1
5) 1 0,74 .
3.9 Cambio de variable
Cuando una ecuacin diferencial de primer orden no se puede reducir fcilmente a una de las
formas estudiadas, es posible reducirlas cambiando una o ambas variables. Veamos algunos
ejemplos tpicos.
Ejemplo 3.9.1
Resuelva la ecuacin diferencial
( + 2) + ( 2) = 0
( + 2) + ( 2) = 0
=
+ 2
2
=
(1 + )
(1 )
= ,
= +
,
=1
(
).
Sustituyendo en la ecuacin tenemos
1
(
) =
(1 + )
(1 )
=
(1 + )
1
=
(1 + )
1
=
(1 + )
(1 )
=
(1
1 +
1 )
=
(
2
1 )
Entonces, obtenemos una ecuacin diferencial a variable separable
-
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104 Matemticas IV
( 1
2) =
2
Ejemplo 3.9.2
Resolver
+ ( ) + 3( )2 = 1
= ,
=
1.
=
+ 1
La ecuacin se reduce a
+ 1 + + 32 = 1
De donde obtenemos la ecuacin de Bernoulli
+ + 32 = 0
Ejemplo 3.9.3
Resuelva la ecuacin diferencial
(
+ 1) =
Multiplicando por en ambos miembros de la ecuacin obtenemos
+ 1 = +
= + ,
=
+ 1.
=
1
Entonces
=
-
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105 Matemticas IV
Que separando variables e integrando tenemos
= (+) =
2
2+
Ejemplo 3.9.4
Resolver
22
= 34 + 2
= 2,
= 22
.
Sustituyendo en la ecuacin diferencial
22
= 34 + 2
= 34 +
y as obtenemos la ecuacin lineal de 1er orden
= 34
cuyo factor integrante es () =
= 1. Luego
= 33 =
3
44 + =
3
45 + 2 =
3
45 +
Finalmente,
= 3
45 +
Ejemplo 3.9.5
Resolver
62 (23 + ) = 0
-
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106 Matemticas IV
Multiplicando por 2 obtenemos
622 3(23 + ) = 0
(23 + )
62= 0
Sea = 3, con lo cual = 32. Sustituyendo en la ecuacin, tenemos que
22 (2 + ) = 0
(2 + )
22= 0
= (
)2
+
2
=
, =
= +
Por lo tanto,
+
= 2 +
1
2
= 2
1
2
=2
2
2
2 =
Entonces,
4
2 12
=
2|2 1| 2|| = || + ||
(2 1)2 = 2
= =
=3
Tenemos
(23
1)
2
= (3
)
2
(23
1)
2
=
6
-
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107 Matemticas IV
3.10 Reduccin a una ecuacin a variable separable
Una ecuacin de la forma
= ( + + ), 0
Puede reducirse a una ecuacin a variable separable mediante la sustitucin
= + + .
Ejemplo 3.10.1
Resuelva la ecuacin diferencial
= ( + + 1)2
Sea = + +
Entonces
= 1 +
=
1
As,
1 = 2
= 2 + 1
2 + 1= = +
Devolviendo el cambio de variable, obtenemos finalmente que
( + + 1) = + + 1 = ( + )
= ( + ) 1
Ejemplo 3.10.2
Resuelva la ecuacin diferencial
= ( + + 1)
1 ( + + 1)
Sea = + +
-
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108 Matemticas IV
Entonces
= 1 +
=
1
As,
1 =
1
=
1 + 1
=
1
1
(1 ) = = +
Luego
+ + 1 ( + 1) = + + 1 ( + + 1) =
3.11 Reduccin a una ecuacin a homognea
Una ecuacin de la forma
= (
1 + 1 + 12 + 2 + 2
) , 0
Puede reducirse a una ecuaci