محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

المحاضرة الثالثة

:Density الكثافة *تذكر*

انخفاض (الخ.. الطائرات –الجسور )تتطلب العدد من المنشآت الهندسة والمعدات واألجهزة

.ف الوزن وهذا عتمد بشكل كبر على كثافة المواد الت تصنع منها هذه المعدات

kg/m3الكثافة ه مقدار فزائ تعبر عن كتلة واحدة الحجوم وتقاس ب : بالتعرف

الحجم /الكتلة = أي أن الكثافة

:Modes of loadingحاالت التحميل

أثناء عملها ، و تعلق السلوك (Loads)تتعرض معظم المعدات والمنشآت الهندسة لألحمال

.المرن أثناء االستعمال بطرقة تطبق تلك األحمال

:تصمم معظم المعدات لتتحمل أنواع مختلفة من األحمال البسطة

. Tension الشد -

. Compressionالضغط -

.Bendingاالنحناء -

.Torsionالفتل -

.Internal pressureالضغط الداخل -

غالبا إثر نوع واحد من أنواع األحمال السابقة على المنشؤة ، وف هذه الحالة من التحمل

: وذلك حسب(Standard)صبح لدنا مصطلحات قاسة

.شكل العنصر المعرض للتحمل -

.(الخ.... فتل- انحناء- ضغط–شد )نوع الحمل المطبق -

( :1)وفقا لهذا التصنف جب أن نعرف مصطلحات قاسة كما ف الشكل

Tie ● : قضب معرض لحمل شد محوري.

Column ● : قضب معرض لحمل ضغط محوري.

Beam ● :جائز معرض لعزم انحناء M والذي بدوره ولد إجهاد شد محوري ف العناصر

وهو الخط المركزي ف حال اعتبرنا أن المقطع )الواقعة على أحد طرف المحور المحاد

.، وإجهاد ضغط محوري ف العناصر الواقعة على الطرف اآلخر من المحور (متناظر

Shaft ● : قضب معرض لعزم فتلT والذي بدوره ولد إجهاد قص .

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

Shell ● : قضب اسطوان مصمت أو مجوف، معرض لتغرات ف الضغط سواء كان هذا

.( ضغط–شد ) وهنا تولد لدنا إجهاد ثنائ Po أو خارج Piالضغط داخل

.حاالت التحمل واإلجهاد الموافق : (1)الشكل

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

: Stress and strain and their moduli اإلجهاد واالنفعال والمعامالت الرابطة بينهما

بن حاالت اإلجهاد واالنفعال الموافقة لكل حالة تحمل ف مرحلة المرونة(2)الشكل

:عطى اإلجهاد بالعالقة: (a,b-1) كما ف الشكل حالة الشد والضغط- 1

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

F : حمولة الشد المحورة المطبقة مقاسة بN وتكون موازة للمحور الهندس للعنة كما هو

(a-2)موضح بالشكل

A : مساحة المقطع العرض للعنصر المدروسm2.

Mpaواحدة اإلجهاد: تذكر*

:االنفعال الحاصل كون عبارة عن استطالة العنصر باتجاه الشد، هنا االنفعال عطى بالعالقة

كما ف الشكلLoوالطول األصل (االستطالة الحاصلة)أي كنسبة بن التغر ف الطول

(2-a).

عند تطبق إجهاد ضغط كون االنفعال الحاصل مساوي لالنفعال ف حالة الشد ولكن بإشارة

.سالبة للداللة على حدوث تقلص ف المادة بدال من االستطالة

وكما (ف مرحلة المرونة أي تكون العالقة خطة)أما العالقة الت تربط بن اإلجهاد واالنفعال

":بقانون هوك"درسنا سابقا عبر عنها

E : معامل ونغ وقدر بGPa

Share Stress نشؤ لدنا إجهاد قص (c-1)كما ف الشكل : حالة تطبيق عزم انحناء- 2

:عطى بالعالقة

على جانب واحد من وجوه المكعب وموازة Fsأن وجود قوة القص (b-2)نالحظ ف الشكل

له، نحتاج إلى ثالث قوى أخرى للحفاظ على التوازن ، وهذه القوى مجتمعة ه الت تولد حالة

.القص ف العنصر

wاالنفعال الحاصل عند تطبق إجهاد قص تجلى بحدوث قص أو تمزق ف العنصر ببعد قدره

:وعطى بالعالقة" Ƴ"ورمز له ب " "Share strainوسمى انفعال القص

. وذلك ألن االنفعال الحاصل غالبا ماكون صغر جدا tan(Ƴ) = Ƴأخذنا القمة

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

:بالتال العالقة الت تربط إجهاد القص بانفعال القص ه

G : معامل القصShare modulus وقدر ب GPa.

والذي نتج (c-2)متعدد المحاور ممثل ف الشكل : حالة إجهاد ناشئ عن ضغط هيدروليكي-3

من تطبق قوى شد أو ضغط متساوة على جمع أوجه المكعب، وكل وجه من أوجه المكعب

:محمل بنفس الحالة من اإلجهاد أي

. مساحة الوجه /القوة على كل وجه = اإلجهاد على كل وجه

، كون االنفعال الحاصل عبارة عن V على عنصر حجمه Pعند تطبق ضغط هدروستاتك

volumetric strain, or)تغر ف حجم هذا العنصر وسمى االنفعال الحجم

dilatation) ورمز له ب∆:

δV : التغر ف حجم العنصر

V : الحجم األصل

:العالقة بن اإلجهاد واالنفعال ف هذه الحالة ه

K : معامل التمددbulk modulus" " قدر بGPa.

المنشآت والمعدات الهندسة ذات األشكال المعقدة مكن أن تتعرض لعدة :(1)مالحظة هامة *

أنواع من التحمل وبالتال تولد لدنا توزعات معقدة من اإلجهاد ، ولكن مهما كانت الحالة

القص كما – الضغط –الشد : معقدة فإن اإلجهاد وبؤي عنصر مكن اعتباره مزج من حاالت

.(2)ف الشكل

ضغط - قص– ضغط –شد ) المعامالت ف جمع حاالت التحمل (:2)مالحظة هامة

: معامل بواسون vترتبط مع بعضها بعالقات كالتال حث (هدرولك

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

Standard solution to elastic problems"" الحلول القياسية لمشاكل مرحلة المرونة

جب أن تفكر أوال كونك مهندس (الخ- .... آالت– هاكل –جسور )ف المنشآت الهندسة

بالخواص المكانكة الت جب أن تتواجد ف تصممك لك قوم بعمله بؤفضل شكل ممكن، من

… Strength – Stiffness – Ductility: هذه الخواص نذكر

ه مفتاح عملة التصمم الناجحة، ابتداء من مرحلة الدراسة النظرة ، Modeling :النمذجة

.ومرحلة اختار خصائص المادة المثلى للتصمم، انتهاء باختار المادة

ف التصمم نحصل على قم دققة لإلجهادات واالنفعاالت واحتماالت Modelingبعملة

وبالتال سمح بؤفضل اختار للمواد الت سوف تإدي العمل الذي صممت ... الفشل واالنتقاالت

.ألجله بؤفضل أداء

: ف التصمم ومراحلها بالترتب ه Modelingدرسنا ف المحاضرة السابقة عناصر عملة

1 -Translation

2-Embodiment

3- Detail

وذلك ( المعامالت– االنفعال –اإلجهاد ) هنا سوف ندرس إمكانة نمذجة بارامترات التحمل

.في مرحلة المرونة

: Elastic extension or compressionحالة التمدد أو االنضغاط المرن - 1

( A ومساحة مقطع عرض Loبطول Tie( إجهاد الشد أو الضغط المطبق بشكل محوري على

ɛ= σ/ E: بالتال االنفعال الحاصل كون F / A = σ هو (3)كما هو موضح بالشكل

ɛ = δ / Lo: ونعلم أن االنفعال رتبط مع االستطالة بالعالقة

:ه (االستطالة ف حالة إجهاد شد) δ والتشوه Fبالتال العالقة بن الحمل

: تعطى بالعالقة Stiffnessونعلم أن الصالبة

نالحظ من هذه العالقة أن شكل المقطع العرض ال إثر على الصالبة وذلك ألن اإلجهاد

.موزع بشكل منتظم على المقطع

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

. حالة االستطالة المرنة(A-3)الشكل

:Elastic bendingحالة االنحناء المرن - 2

نالحظ حدوث تشوه ف محورها الهندس حث تقوس M بعزم انحناء Beamعندما تحمل

(b – 3) كما ف الشكل k وهذا التقوس عبر عنه ب )تحول من خط مستقم إلى منحن)

:وعطى بالعالقة

u : اإلزاحة الموازة للمحورy.

عبر المقطع σ واإلجهاد المحوري ɛولد هذا االنحناء تغر خط لالنفعال المحوري

العرض وذلك بوجود الشد على جانب والضغط على الجانب اآلخر، تكون قمة اإلجهاد

عن المحور y، وتزداد قمته مع ازداد المسافة (المحاد ) مساوة للصفر عند المحور الهندس

وبالتال (ف اإلتجاهن)وبالتال تزداد مقاومة المادة لإلنحناء كلما ابتعدنا عن المحور المحاد

(قارن أهمة شكل المقطع مع الحالة السابقة )*.شكل المقطع العرض للعنة مهم جدا *

حالة االنحناء المرن(b – 3)الشكل

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

ف عنة مصنوعة من مادة Mعطى اإلجهاد الناتج عن العزم : Beamف حالة المرونة للـ

: بالعالقة التالة Eلها معامل ونغ

I : عزم عطالة المقطع وعبر عن مقاومة المقطع لالنحناء

y :المسافة الت تقاس عمودا ابتداء من المحور الهندس.

b(y) : عرض المقطع عند المسافةy.

. ألربع مقاطع هندسة I عالقة عزم العطالة 1بن الجدول

. ألربع مقاطع هندسة شائعةIمساحة المقطع العرض والعزم (1)الجدول

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

ثالث حاالت لتوزع الحموالت، وكل حالة من حاالت التحمل تسبب توزع (4)بن الشكل

.M(x)مختلف للعزم

ثالث حاالت للتحمل والتثبت (4)الشكل

: بالعالقةStiffness ، تعطى الصالبة F مع حمل L بطول Beamمن أجل

) C1 والفرق فقط ف قمة الثابت 4هذه العالقة صححة لكل حاالت التحمل المبنة ف الشكل

( .4)وقمه معطة ف الشكل ( تعلق بتوزع الحموالت C1الثابت

:Elastic torsionحالة الفتل المرن - 3

ذو مقطع عرض ثابت على طوله، إجهاد قص Shaft المطبق على نهات Tولد عزم الفتل

(c-3)كما ف الشكل

تتغر مع )من اجل المقاطع الدائرة، تتغر قمة إجهاد القص مع االبتعاد عن المحور الهندس

:كما ف العالقة (rالقطر

K : مقاومة المقطع للفتل( مكافئة لIف حالة االنحناء ) ومن السهل حسابها ف المقاطع ،

: حث عطى بالعالقةJالدائرة حث تكون مساوة لعزم العطالة القطب

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

ظهر قم السابق (1) ، الجدول J أقل من قمة Kأما ف حالة المقاطع الغر دائرة تكون قمة

K ألربع أشكال قاسة

الفتل المرن(c – 3)الشكل

، وترتبط نسبة (4) كما ف الشكل θ بزاوة L ذو الطول Barإدي إجهاد القص إلى فتل الـ

:مع إجهاد القص وعزم الدوران بالعالقة ((θ / Lالفتل إلى الطول

G : معامل القص ، وتسمى النسبةT / θ لكل واحدة طول والمساوة لـ Gkبصالبة الفتل .

Barتطبق عزم الدوران على (4)الشكل

.قارن بين دراستي الفتل واإلنحناء والحظ تشابه العالقات الرياضية : مالحظة

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

:Material indices for elastic designمعايير اختيار المادة في التصميم المرن

:خطوات التصمم كما درسناها سابقا ه

1 -Translation

2 -Screening

3- Ranking

4- Documentation

. درست بالتفصل بالمحاضرة السابقةTranslationمرحلة -

المفروضة واستبعاد Constraints تتعلق بتحقق المادة للقود Screeningمرحلة -

.المواد الت ال تحققها

.Objective تتعلق بـ Rankingمرحلة -

: بصالبة عالية وأخف وزن Tieخطوات تصميم : مثال

Minimizing weight: a light, stiff tie-rod:

بدون أن ستطل F وجب أن تحمل قوة شد L0طوله محدد , tieعنصر (5)الشكليبين

باإلضافة لذلك S=F/δجب أن تكون على األقل stiffnessصالبته . δ ألكثر من بشكل مرن

والمطلوب هو أن . كونه عنصر خاضع للتحمل toughnessفإنه جب أن ملك متانة كافة

مع العلم أن المقطع العرض لهذا القضب عتبر بارامتر . بأقل وزن ممكنكون هذا العنصر

:من أجل ذلك نقوم بالخطوات التالة .... free variableقابل للتغر

:الخطوة األولى

( 2من المحاضرة ): من أجل تصمم هذا العنصر translationنبدأ أوال بكتابة مرحلة

والمبنة ف الجدول التال

Lo وطول A بمقطع عرض Tie( 5)الشكل

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

Translation

:الخطوة الثانية

وفق القود المحددة وهنا تبدأ أول مرحلة الستبعاد المواد أي أن جمع Screeningنقوم بعملة

كف سنقوم بالـ . لغى استخدامها ف التصمم Constraintsالمواد الت ال تحقق الـ

Screening !!!!! عن طرق استخدام برنامجCES EduPack..

:الخطوة الثالثة

والقام بعملة material indexف هذه الخطوة سوف نقوم بتحدد معار اختار المادة

Ranking ....

نكتب العالقة الت توصف المقدار المطلوب أن كون أكبر أو أقل مامكن وتستنتج هذه -

(.translation - objective)العالقة من مرحلة

ف مثالنا هذا المقدار هو الوزن لذلك نكتب العالقة الخاصة بالوزن وتسمى هذه العالقة -

(تابع الهدف المراد تحققه ) أي Objective Functionبـ

ρ : كثافة المادة.

A : مساحة المقطع العرض.

من هذه المعادلة نالحظ انه نستطع إنقاص الكتلة بإنقاص المقطع العرض ، ولكن -

والت Sجب أال ننسى القد بؤن المقطع العرض جب أن كون كاف لتؤمن الصالبة

: تعطى بالعالقة

منخفض ، نحتاج لمقطع Eنالحظ من معادلة الصالبة أنه إذا امتلكت المادة معامل ونغ *

مرتفعة نحتاج E كبر للحصول على الصالبة الكافة، وبالعكس، إذا كان A عرض

. لمقطع عرض صغر

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

نقوم ... اآلن حتى نتمكن من معرفة أي من هاتن الحالتن تعطنا خفة أكبر ف الوزن -

من معادلة الصالبة وهو ف حالتنا free variableبالتخلص من المقدار المتغر

وذلك من خالل استنتاج قمتها من تابع الهدف والتعوض ف معادلة الصالبة Aالمقطع

: وبالتال نحصل على

بصالبة كافة سكون مصنع من Tie محددن ، وبالتال أخف وزن Lo و Sنعلم أن كل من

.(ρ / E) مادة ذات أقل قمة

: وكون مساوي للنسبة السابقة أي Material index""هنا نكون قد حددنا مإشر المادة

ه الخار األفضل ، شرط أن توافق مع قود Mtالمواد ذات القمة العالة ل * نستنتج*

.(الحاجة لبعض المتانة: ف مثالنا)التصمم األخرى

نالحظ مما سبق أنه للحصول على معار اختار المادة كون هدفنا دائما التخلص : مالحظة هامة

وبن المخطط التال مراحل الوصول الى معار المادة بشكل مختصر . Free Variablesمن الـ

واستنتاج المواد الت تعطنا أكبر Ranking نستطع القام بمرحلة Mانطالقا من معار المادة

...CES EduPackهنا بدأ العمل ببرنامج !!!!! كف سنقوم بذلك ... صالبة بؤقل وزن

كتابة الـ objective Function من مرحلة

translation

كتابة المعادلة الخاصة

بالتصميم في مثالنا هي Stifness

التخلص من freeالـ

variables

الحصول على معيار اختيار

Mالمادة

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

:CES EduPack باستخدام برنامج Ranking و Screeningتنفيذ مرحلتي

بن (أو غر مكانكة )درسنا ف المحاضرة السابقة كفة مقارنة خاصة مكانكة

..CES للخاصة على برنامج Barعدة مواد من خالل رسم مخطط من النوع

ف هذه المحاضرة سنقوم بتطبق مرحلةScreening و Ranking الختار أفضل

.مادة لتصمم ما

:Bubbleطرقة رسم مخطط من النوع : أوال

لماذا سنرسم هذا النوع من المخطط ؟؟ اإلجابة بسطة : السإال الذي تبادر الى الذهن أوال هو

لو الحظنا معار اختار المادة الخاص بالمثال .. جدا

مكننا من Bubbleهذا النوع من المخططات .. الكثافة ومعامل ونغ : لوجدنا خاصتن هما

:وبن الشكل التال هذا النوع من المخطط .. مقارنة المواد من خالل خاصتن ف وقت واحد

: CESكفة رسم هذا النوع من المخططات على برنامج

Table : MaterialUniverse ف البداة جب أن تكون قاعدة البانات المفعلة ه- 1

:نتبع سلسة التعلمات التالة - 2

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

- select select form Edu level1materials graph .. ظهر

.لدنا مربع حوار إلدخال الخواص المطلوبة

ومن yف النافذة الخاصة بالمحور -

Attribute نختار young’s

modulus , ف النافذة الخاصة

أضا Attribute ومن Xبالمحور

OKثم .Densityنختار

,ρEنحصل على مخطط -

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

: على المخطط واستنتاج المواد Ranking و Screeningاآلن كفة القام بمرحلة

Constraint برسم خط مستقم على المخطط وفقا لقمة الـ Screeningتم القام بعملة الـ - 1

.. (وجد طرقة أخرى سنقوم بها ف المحاضرة القادمة ) األمر لتنفذ ذلك نختار

الزر الموجود أعلى المخطط )Gradient-line selection للمل 0 نعط القمة (

( E=100Gpaمثال )ومن ثم نقوم برسم الخط وفق القمة المطلوبة

والمواد الت .. الحظ تلون مجموعات المواد الت فشلت ف تحقق الشرط باللون الرمادي

.Resultsمكن معرفة هذه المواد من النافذة .. نجحت بقت ملونة

: M وفقا لمعار المادة Rankingالقام بمرحلة الـ - 2

لمل المسقم وذلك كون القمة ثابتة 0أننا أدخلنا القمة Screening الحظنا ف ف عملة الـ

جب أن نستنتج مل المستقم الذي وفقا له ستم تحدد Rankingاآلن ف عملة الـ .. ومحددة

.. المواد الت تعط أعلى صالبة بؤقل وزن

:من معادلة معار المادة وبؤخذ لوغارتم الطرفن

1= نحصل على معادلة مستقم مله

نحصل .. 0 للمل بدال من القمة 1لذلك نكرر جمع الخطوات السابقة ولكن بإدخال القمة

:على الشكل التال

Density (kg/m^3)100 1000 10000

Yo

un

g's

mo

du

lus (

GP

a)

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

محمد زرزوري.م- ارا سلوم .م- رانه حسن .م

: اآلن المالحظات األهم

وبالتال مادة .. كلما ارتفعنا برسم الخط نحو األعلى كلما زادت قمة معار المادة -

( وزن أقل –صالبة أعلى )أفضل

ف المحاضرات القادمة سنقوم .. هنا جب اإلنتباه أننا قمنا بتنفذ كل مرحلة على حدا -

.Ranking والـ screeningبتنفذ مرحلت الـ

ال ننسى أن كل ما ورد ف المحاضرة من دراسة إجهادة وطرقة تطبق على البرنامج -

فقط بمرحلة المرونة للتصميمتعلق

انتهت المحاضرة

Density (kg/m^3)100 1000 10000

Yo

un

g's

mo

du

lus (

GP

a)

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000