material teoría de la medida - diego chamorro

Escuela Politecnica Nacional

AMARUN

Escuela de verano 2009

Teorıa de la Medida y de la Integracion

Dr. Diego Chamorro

Matematica e Ingenierıa Matematica

Quito - 2009

AMARUNwww.amarun.net

Comision de Pedagogıa - Diego ChamorroTeorıa de la medida (Nivel 2).

Leccion n1: Integral y sumas de Riemann, problemas y limitacionesEPN, verano 2009

1. Arquımedes de Siracusa (-287 A.C.; -212 A.C.)

Problema: medir el area A bajo la curva f(x) = x2 con x = [0, 1].

0 1n

2n

3n

n−1n

1

1

A

¿Que sabemos medir facilmente? Rectangulos : Area(Rectangulo) = base× altura.

Idea de Arquımedes: aproximar el area A por pequenos rectangulos:dividimos el intervalo [0, 1] en n pequenos subintervalos de longitud 1/n (es la base de los rectangulos):

b1 = [0, 1/n[, b2 = [1/n, 2/n],..., bi = [(i − 1)/n, i/n], bn = [(n− 1)/n, 1],

y de altura hi = f(

in

)

= i2

n2 , con i = 1, ..., n.

De esta forma se tiene una primera aproximacion

A ≈

n∑

i=1

bi × hi =

n∑

i=1

1

n×i2

n2=

1

n3

n∑

i=1

i2 =1

n3

n(n+ 1)(2n + 1)

6

Si hacemos n→ +∞, la aproximacion es cada vez mejor y en el lımite se tiene

A = lımn→+∞

n(n+ 1)(2n + 1)

6n3=

1

3

Verificacion inmediata∫ 10 x

2dx = 1/3!

Limitacion: ¿Como medir funciones mas complicadas?

1

2. Bernhard Riemann (1826-1866)

Idea de Riemann: basicamente la misma, pero empezamos por funciones escalonadas.

A) Integral de funciones escalonadas

Diremos que una funcion ϕ : [a, b] −→ R es escalonada si existe una subdivision P = x0, ..., xn con a = x0 <x1 < ... < xn = b tal que, para todo i ∈ 1, ..., n, ϕ es constante (digamos igual a ci) sobre ]xi−1, xi[. Hablaremosde δ-subdivision si la distancia entre cada unos de los puntos x0, ..., xn es constante e igual a δ.

ϕ

x0 · · · x10

c1

c2

c3

c4

La integral de este tipo de funcion esta entonces dada por la expresion:

∫ b

a

ϕ(x)dx =n

∑

i=1

ci(xi − xi−1). (1)

Lo que corresponde geometricamente a recubrir el area bajo la curva de ϕ por medio de rectangulos, de base(xi − xi−1) y de altura las cantidades ci, para finalmente sumar el area de cada uno de estos rectangulos.

B) Integral de funciones generales

Sea [a, b] un intervalo si P = x0, ..., xn y P ′ = y0, ..., ym son dos subdivisiones de este intervalo diremosque P ′ es un refinamiento de la subdivision P si cada punto de P pertenece a P ′.

Sea f una funcion acotada definida sobre [a, b]. Si P es una subdivision de [a, b] definimos para cada intervalode la subdivision las cantidades

mi = ınff(x) : x ∈ [xi−1, xi] y Mi = supf(x) : x ∈ [xi−1, xi] con i = 1, ..., n.

Podemos entonces formar las sumas superiores e inferiores correspondientes a f y P escribiendo

s(f, P ) =

n∑

i=1

Mi(xi − xi−1) y i(f, P ) =

n∑

i=1

mi(xi − xi−1).

Se tiene entonces la estimacion i(f, P ) ≤ s(f, P ).

Si P2 es un refinamiento de P1 entonces

i(f, P1) ≤ i(f, P2) ≤ · · · ≤ s(f, P2) ≤ s(f, P1).

Observacion 1

1. el supremo de las sumas inferiores notado∫ b

af(x)dx es acotado por cada una de las sumas superiores

2. el ınfimo de las sumas superiores notado∫ b

af(x)dx es acotado por cada una de las sumas inferiores

2

Diremos que una funcion f es Riemann-integrable si se tiene la identidad

∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx.

El valor comun se denomina la integral de Riemann de la funcion f sobre [a, b] y es notado∫ b

af(x)dx.

Una funcion f : [a, b] −→ R es Riemann-integrable si, para todo ε > 0, existen dos funciones escalonadasϕ y ψ tales que:

ϕ(x) < f(x) < ψ(x) para todo x ∈ [a, b] y

∫ b

a

(ψ − ϕ)(x)dx < ε.

Esta formula, conocida como el criterio de Darboux, significa que una funcion es Riemann-integrable si puede seraproximada inferiormente y superiormente por funciones escalonadas.

Observacion 2 Las funciones Riemann-integrables deben ser acotadas.

Sumas de Riemann

Sea f una funcion acotada definida sobre [a, b] y sea Pδ = (xi)1≤i≤n una δ-subdivision de [a, b]. Definimos laSuma de Riemann de f asociada a la subdivision Pδ por

R(f, Pδ) =n

∑

i=1

f(ci)(xi − xi−1), ci ∈ [xi−1, xi[

por construccion se tiene i(f, Pδ) ≤ R(f, Pδ) ≤ s(f, Pδ) y si f es Riemann-integrable entonces se tiene

∫ b

a

f(x)dx = lımδ→0

R(f, Pδ)

Utilidad de las sumas de Riemann: “Resolver” sumas feas por medio de integrales!

Ejemplo: demostrar que se tiene la identidad

lımn→+∞

n∑

i=1

n

n2 + i2=π

4

Observamos quen

n2 + i2=

1

n

1

1 +(

in

)2 =1

nf

(

i

n

)

con f(x) =1

1 + x2

Entoncesn

∑

i=1

n

n2 + i2=

n∑

i=1

1

nf

(

i

n

)

es una suma de Riemann para la funcion f

De manera que se tiene

lımn→+∞

n∑

i=1

n

n2 + i2= lım

n→+∞

n∑

i=1

1

nf

(

i

n

)

=

∫ 1

0

1

1 + x2dx = arctan(1) − arctan(0) =

π

4

3

Propiedades de la integral de Riemann

A) Linealidad, Crecimiento, Chasles

Si f, g son dos funciones Riemann-integrables sobre [a, b] y si α, β ∈ R entonces

∫ b

a

αf(x) + βg(x)dx = α

∫ b

a

f(x)dx+ β

∫ b

a

g(x)dx

Si f, g son dos funciones Riemann-integrables tales que, para todo x ∈ [a, b] se tiene f(x) ≤ g(x), entonces

∫ b

a

f(x)dx ≤

∫ b

a

g(x)dx

Si a < c < b entonces se tiene la relacion de Chasles

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx

B) Limite uniforme

Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones Riemann-integrables definidas sobre [a, b] a valores en R que convergenuniformemente sobre [a, b] hacia una funcion f . Entonces

1. f es Riemann-integrable

2. Se tiene la identidad

lımn→+∞

∫ b

a

fn(x)dx =

∫ b

a

lımn→+∞

fn(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx

Idea demostracion:

1. fn −→ f uniformemente: para todo ε > 0, existe N ∈ N, tq. para todo n ≥ N :

supx∈[a,b]

|f(x) − fn(x)| ≤ ε

sea n ≥ N : fn Riemann-integrable =⇒ existen ϕn < fn < ψn funciones escalonadas tq.

∫ b

a

ψn(x) − ϕn(x)dx ≤ ε

se tiene entonces |f(x) − ϕn(x)| ≤ |f(x) − fn(x)| + |fn(x) − ϕn(x)| ≤ ε+ |ψn(x) − ϕn(x)| e integrando

∫ b

a

|f(x) − ϕn(x)|dx ≤ ε(b− a) + ε

=⇒ f es Riemann-integrable.

2. para todo ε > 0 y para todo n ≥ N :

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f(x)dx−

∫ b

a

fn(x)dx

∣

∣

∣

∣

≤

∫ b

a

|f(x) − fn(x)|dx ≤ supx∈[a,b]

|f(x) − fn(x)|

∫ b

a

dx ≤ ε(b− a)

=⇒ lımn→+∞

∫ b

a

fn(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx

4

Limitaciones de la integral de Riemann

A) Algunas funciones naturales no son Riemann-integrables

Si A = [a, b] ⊂ [0, 1] entonces∫ 1

01A(x)dx = b− a.

Si el conjunto A es apenas mas complicado, digamos por ejemplo Q∩ [0, 1], la funcion 1Q∩[0,1] no es una funcionRiemann-integrable!

B) El espacio de funciones Riemann-integrables no es completo

Si (fn)n∈N es una sucesion de funciones Riemann-integrables, el lımite f = lımn→+∞

fn no es necesariamente

Riemann-integrable.

Ejemplo: sea (rn) una enumeracion de los racionales de [0, 1], entonces 1Rncon Rn = r1, r2, ..., rn es

Riemann-integrable y se tiene∫ b

a1Rn

(x)dx = 0 para todo n.

Pero lımn→+∞

1Rn(x) = 1Q∩[0,1](x) ...que no es Riemann-integrable por el punto anterior.

C) Mal comportamiento respecto al lımite

Si suponemos que el lımite f de una sucesion de funciones (fn)n∈N es Riemann-integrable, tampoco se tienesiempre la identidad

lımn→+∞

∫ 1

0fn(x)dx =

∫ 1

0lım

n→+∞fn(x)dx.

Para poder intercambiar los signos “lım” y “∫

” es necesario que la sucesion (fn)n∈N converja uniformementehacia f .

Es una condicion muy fuerte de caracter metrico!

Ejemplo: sea (an)n∈N una sucesion de numeros reales, definimos sobre [0, 1] una sucesion de funciones (fn)n∈N

a valores reales escribiendo:

fn(x) =

2nanx si 0 ≤ x ≤ 1/2n,

2an(1 − nx) si 1/2n < x ≤ 1/n,

0 si 1/n < x ≤ 1.

Esta sucesion (fn)n∈N converge simplemente hacia 0 para toda sucesion (an)n∈N y converge uniformemente si ysolo si la sucesion (an)n∈N converge hacia 0. Ademas, tenemos que

∫ 1

0fn(x)dx = an/2n

y la sucesion de las integrales de las funciones fn converge hacia 0 si y solo si la sucesion (an/n) tiende hacia 0,que es una condicion mas debil que la anterior.

=⇒ Si an = 2n para todo n ≥ 1 entonces∫ 10 fn(x)dx = 1 y

∫ 10 lım

n→+∞fn(x)dx = 0.

¿Como remediar de forma inteligente estos problemas de la integral de Riemann?

Queremos una integral tal que:

permita “medir” funciones mas generales (conjuntos raros del tipo 1Q)

el conjunto de funciones integrables sea completo

proporcione condiciones sencillas para intercambiar los sımbolos “lım” y “∫

”

5

3. Henri Lebesgue (1875-1941)

Idea de Lebesgue: la misma, pero al reves!! El punto de partida son las funciones simples:

-

6

f

1/2n ϕn

A-

6

f

ϕn+11/2(n+1)

A

Figura 1: Aproximacion por funciones simples

La aproximacion se basa en las imagenes recıprocas.

Para f : A ⊂ R −→ R definimos los conjuntos An,k = x ∈ A : (k − 1)/2n ≤ f(x) < k/2n y una sucesion(ϕn)n≥1 de funciones definidas sobre R exigiendo que ϕn tome el valor (k − 1)/2n en cada punto de An,k paratodo k = 1, ..., n2n y que tome el valor n en cada punto de R \ ∪kAn,k.

Vemos que estas funciones verifican f = lımn→+∞

ϕn.

Observacion 3 La altura de estos rectangulos es facilmente determinable: k = 1, ..., n2n, pero es por lo generalmuy difıcil calcular la “medida” de los conjuntos An,k.

Veremos que esta integral

contiene mas funciones: hay muchas mas funciones Lebesgue-integrables que funciones Riemann-integrables

es mas general: toda funcion Riemann-integrable es Lebesgue-integrable

es completa: el espacio de funciones de modulo Lebesgue-integrables es completo

se aplica a muchas situaciones: no solo a R, sino tambien a espacios topologicos generales

tiene teoremas de paso al lımite faciles de verificar

∗ Precio a pagar ∗

Es necesario describir correctamente la manera en que vamos a asignar una “medida” a los conjuntos de base yesto puede ser delicado.

6


Comision de Pedagogıa - Diego ChamorroEjercicios de Teorıa de la medida (Nivel 2).

Ejercicios Leccion n1: Integral y sumas de Riemann, problemas y limitaciones EPN, verano 2009

Ejercicio 1 — Arquımedes

1. Mostrar que se tiene la identidadn∑i=1

i3 =n2(n + 1)2

4

2. Calcular, utilizando el metodo de Arquımedes, el area bajo la curva f(x) = x3 con x ∈ [0, 1].3. Verificar de forma “moderna” el resultado.

Ejercicio 2 — Primera formula del promedio

Sea f : [a, b] −→ R una funcion continua y sea g : [a, b] −→ R una funcion Riemann-integrable positiva.1. Mostrar que existe c ∈]a, b[ tal que ∫ b

af(x)g(x)dx = f(c)

∫ b

ag(x)dx.

Indicacion: aplicar el teorema de los valores intermedios.2. ¿Que sucede si g no es positiva?

Ejercicio 3 — Integral de Riemann

1. La funcion f(x) = 1√x

definida sobre ]0, 1] ¿es Riemann-integrable?

2. ¿Como estimar intuitivamente∫ 1

0 f(x)dx?3. ¿Es la funcion g(x) = f2(x) integrable?

Ejercicio 4 — Sumas de Riemann

1. Calcular lımn→+∞

∑ni=1

1n+i , lım

n→+∞

∑ni=1

i4

n5 y lımn→+∞

2πn

∑ni=1 cos

(πi2n

).

2. Sea f : [0, 1] −→ R una funcion continua. Sea Rn = 1n

∑nk=1 f(k/n) y sea ` =

∫ 10 f(x)dx.

Mostrar que si f es creciente entonces 0 ≤ Rn − ` ≤ f(1)−f(0)n .

Ejercicio 5 — Problemas de Convergencia

Definimos una sucesion de funciones (fn)n∈N sobre [0, 1] a valores reales por

fn(x) =2n2x

(1 + n2x2)2y escribimos gn(x) = nfn(x).


fn(x) y lımn→+∞

gn(x).

2. Verificar que se tiene

lımn→+∞

∫ 1

0fn(x)dx = 1, y lım

n→+∞

∫ 1

0gn(x)dx = +∞.

3. ¿Porque no se obtiene la igualdad al intercambiar los signos “ lım” y “∫

”?

Ejercicio 6 — Problemas de completitud

1. Sea C0([0, 1], R) el conjunto de las funciones continuas a valores reales definidas sobre el intervalo [0, 1].Mostrar que la cantidad ‖f‖ =

∫ 10 |f(x)|dx es una norma sobre este espacio de funciones.

2. ¿Es este espacio (C0([0, 1], R), ‖ · ‖) un espacio normado completo? Si/No.

3. Consideramos la sucesion para todo n ≥ 2:

fn(x) =

1 si x ≤ 1

2 ,

12n + 1− nx si 1

2 < x ≤ 12 + 1

n ,

0 si x > 12 + 1

n .

Verificar que cada funcion fn es continua.4. Calcular ‖fn‖, ¿hacia que valor tiende lım

n→+∞‖fn‖? ¿Es una sucesion de Cauchy?

5. ¿Hacia que funcion f converge la sucesion (fn)n∈N? Calcular ‖f‖.6. Con las preguntas 3.-5. responder a la pregunta 2.

Ejercicio 7 — Imagenes directas e Imagenes recıprocas

Si f es una aplicacion de X en Y , la imagen directa f(A) de un conjunto A ∈ P(X) es el conjunto de puntosy ∈ Y de la forma y = f(x) con x ∈ A:

f(A) = y ∈ Y : y = f(x); x ∈ A

La imagen recıproca de B ∈ P(Y ) es el conjunto definido por

f−1(B) = x ∈ X : f(x) ∈ B

1. Mostrar que se tienen las identidades para I una coleccion de ındices cualquiera.

a) f−1(⋃

i∈I Bi

)=⋃i∈I f−1(Bi)

b) f−1(⋂

i∈I Bi

)=⋂i∈I f−1(Bi)

c) f−1(Bc) = (f−1(B))c

2. ¿Cual de estas identidades se mantiene para la imagen directa? Justifique sus respuestas.

Ejercicio 8 — Funciones indicatrices

Sea X un conjunto. Para todo subconjunto A de X definimos su funcion indicatriz:

1A : X −→ 0, 1

x 7−→ 1A(x) =

1 si x ∈ A,

0 si x /∈ A.

1. Verificar que se tienen las identidades 1A∩B(x) = 1A(x)1B(x) y 1A∆B(x) = 1A\B(x) + 1B\A(x).2. Si (An)n∈N es una sucesion de conjuntos de P(X), determinar 1Tn∈N An en funcion de 1An .

Ejercicio 9 — Propiedades basicas de medidas

Consideremos A la coleccion formada por los intervalos de la forma (a, b) con a, b ∈ R y sea una aplicacionm = A −→ [0, +∞]. ¿Que condiciones naturales deben exigirse a la aplicacion m para “medir” de forma “adecuada”los intervalos de la familia A?



Leccion n2: σ-algebras y medidas EPN, verano 2009

1. Propiedades basicas de las medidas

Marco de trabajo: la recta real R (para empezar).

Conjuntos que deseamos medir: los intervalos de la forma (a, b) con −∞ ≤ a < b ≤ +∞ y a, b ∈ R.

Base de todo calculo: si I = (a, b) es un intervalo, entonces su longitud ` esta dada por la formula

`(I) = b− a

=⇒ Si I = [a, a], es decir si el intervalo I es un punto, entonces su longitud es nula: `(I) = 0.

Interesante ¿verdad? hay (muchos) subconjuntos de R que tienen una longitud nula.

Evidentemente si el intervalo I es vacıo, su longitud es nula.

=⇒ Si I1 = [a, b[ y si I2 = [b, c[ con a < b < c, entonces I = I1 ∪ I2 y se tiene `(I) = `(I1) + `(I2).

En esto consiste el proceso cotidiano de medir : se considera un conjunto patron de medida fijada (por ejem-plo el intervalo [0, 1] que fijamos de medida igual a 1) y se cuenta cuantas veces se tiene este conjunto en elintervalo que se desea medir.

Si I y J son intervalos disjuntos entonces `(I ∪ J) = `(I) + `(J).

Si queremos generalizar a una aplicacion general m retendremos estos dos ultimos puntos:

m(∅) = 0 y si A ∩B = ∅ entonces m(A ∪B) = m(A) + m(B)

2. ¿Que conjuntos medir?

Pero ¿en donde “viven” A y B? necesitamos precisar que conjuntos medimos, es decir el dominio de defini-cion de la aplicacion m.

Esta etapa es muy importante:

asignaremos un “peso” o “medida” solamente a una clase muy particular de conjuntos!

Procederemos en dos etapas:

A) Considerando operaciones finitas =⇒ concepto de algebra de partes A y de funcion aditiva de conjuntos m

B) Considerando operaciones numerables =⇒ concepto de σ-algebra A y de medida µ

1

2.1. Algebra de partes

Definicion 1 (Algebra de partes) Un subconjunto A ⊂ P(X) es una algebra de partes si:

1) El conjunto vacıo ∅ y el conjunto X pertenencen a A.

2) A es estable al pasar al complementario: si A ∈ A entonces Ac ∈ A.

3) A es estable por reunion finita y por lo tanto por interseccion finita: si A y B pertenencen a A, entoncesA ∪B y A ∩B pertenencen a A.

Observacion 1 Un mismo conjunto puede estar dotado de varias algebras de partes. Se dispone de una relacionde orden dada por la inclusion entre las diferentes algebras definidas sobre un mismo conjunto.

Ejemplo: Consideremos el conjunto X = 0, 1, 2, 3 sobre el cual definimos A1 = ∅, 0, 1, 2, 3, X,A2 = ∅, 0, 1, 2, 3, X, A3 = P(X). Tenemos ası que A1,A2 ⊂ A3 pero que A1 6⊂ A2 y A2 6⊂ A1.

Ejemplos importantes

(i) El algebra mas grande definida sobre un conjunto X es P(X) y la mas pequena ∅, X.

(ii) Consideremos ahora la recta real R. Diremos que un conjunto I pertenece al algebra A si I se puede escribircomo una reunion finita de intervalos de la forma (a, b).

(iii) Sea (Xk)1≤k≤n una familia finita de conjuntos y dotamos a cada Xk de una algebra de partes Ak. Conside-ramos el espacio producto X =

∏k Xk y estudiamos la familia F formada por los adoquines definidos por

P =∏

k Ak en donde cada Ak es un elemento de Ak. La familia F es entonces estable por interseccion yreunion finita y el complementario de un adoquın puede escribirse como la union finita de adoquines: F espor lo tanto una algebra.

(iv) El ejemplo mas importante de adoquines es sin duda el definido sobre Rn como el producto cartesiano deintervalos (ak, bk):

A =n∏

k=1

(ak, bk).

Un subconjunto Γ de Rn sera adoquinable si es una reunion finita de adoquines.

∗

Importancia de las algebras de conjuntos:

=⇒ servir de dominio de definicion a las funciones aditivas de conjuntos.

2.2. Funcion aditiva de conjuntos

Definicion 2 (Funcion aditiva de conjuntos) Sean X un conjunto y A una algebra sobre X.Una funcion positiva aditiva de conjuntos sobre (X,A) es una aplicacion

m : A −→ R+

que verifica las dos propiedades siguientes

1) m(∅) = 0;

2) para todo A y B en A se tiene la implicacion

A ∩B = ∅ =⇒ m(A ∪B) = m(A) + m(B).

Diremos ademas que m es finita si m(X) < +∞, este numero se llama entonces la masa total de m.

2


(i) Sea un conjunto X que posee un numero finito de elementos y sea A = P(X), entonces

m(i) : P(X) −→ [0,+∞]A 7−→ Card(A) es una funcion aditiva de conjuntos

(ii) Sea X = R y sea A el algebra definida por la reunion finita de intervalos. Sea I ∈ A expresado como launion disjunta de intervalos I =

⋃ni=1(ai, bi).

m(ii) : A −→ [0,+∞]

I 7−→ `(I) =n∑

i=1

bi − ai y ` es una funcion aditiva de conjuntos

(iii) Sea X = Rn y sea A el algebra formada por los adoquines de Rn. Si A =∏n

k=1(ak, bk) es un adoquın de Rn

su volumen esta dado por el producto

vol(A) =n∏

k=1

(bk − ak).

Si Γ es un conjunto adoquinable, expresado como la union finita de adoquines disjuntos Γ =⋃N

i=1Ai

definimos entonces

vol : A −→ [0,+∞]

Γ 7−→ vol(Γ) =N∑

j=1

vol(Aj) y vol es una funcion aditiva de conjuntos

Propiedades de las funciones aditivas de conjuntos

Sea X un conjunto, sea A una algebra sobre X y sea m : A −→ R+ una funcion aditiva de conjuntos.

1) si A y B pertenecen a A con A ⊂ B, tenemos la mayoracion

m(A) ≤ m(B) (crecimiento),

2) si A1, ..., An son elementos de A dos a dos disjuntos entonces se tiene la igualdad

m

(n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

m(Ai) (aditividad fina),

3) para todo A y B pertenecientes a A se tiene

m(A ∪B) + m(A ∩B) = m(A) + m(B) (aditividad fuerte).

Utilidad de las funciones aditivas de conjuntos m y de las algebras de partes A:

Los conjuntos que deseamos “medir” son claramente reconocibles. Pertenecen al algebrade partes A y estan determinados por operaciones de conjuntos finitas.

Simplicidad en la definicion de la aplicacion m, las propiedades naturales de las “medidas”son explıcitas.

Permitiran construir verdaderas medidas con la teorıa que vamos a desarrollar.

Limitaciones: vivimos en un mundo finito!

3

3. Medidas y σ-algebras

Dos tipos de infinito

Decimos que un conjunto X es de cardinal numerable si existe una biyeccion de X sobre una parte de N.

Si el cardinal de X es comparable a R diremos que es de cardinal no numerable.

Ejemplos: N, Z, Q, Nn, Zn y Qn son numerables, pero [0, 1], 0, 1N∗y R no son numerables.

Moraleja: operaciones numerables OK, operaciones no numerables cuidado.

3.1. σ-algebras

Importancia: Es la nocion de σ-algebra la que determina que conjuntos son medibles.

Definicion 3 (σ-algebra, conjunto medible) Un subconjunto A de P(X) es una σ-algebra (o tribu) si

1) los conjuntos ∅ y X pertenecen a A ,

2) si A ∈ A , entonces Ac ∈ A ,

3) para toda familia numerable (An)n∈N de elementos de A tenemos

+∞⋃n=0

An ∈ A y+∞⋂n=0

An ∈ A .

Un conjunto X dotado de una σ-algebra A sera llamado espacio medible y sera notado (X,A ). Los ele-mentos de la σ-algebra A seran denominados conjuntos A -medibles.

=⇒ Toda σ-algebra es una algebra pero que no se tiene la recıproca.

=⇒ Toda algebra que posee un numero finito de elementos es una σ-algebra.

Observacion 2 Existe una relacion de orden entre las σ-algebras definida por la inclusion: A esta contenida enB y lo notaremos A ⊂ B si todo elemento A ∈ A pertenece a B. La σ-algebra mas grande esta dada por P(X)y la mas pequena por ∅, X.

Proposicion 1 Sea (Ai)i∈I una familia de σ-algebras definidas sobre un conjunto X. Entonces su interseccion⋂i∈I

Ai = A ∈ P(X) : A ∈ Ai, para todo i ∈ I es una σ-algebra.

Prueba.

X y ∅ pertenecen a⋂i∈I

Ai,

si A ∈ Ai para todo i ∈ I se tiene que Ac ∈⋂i∈I

Ai,

De manera similar se obtiene la propiedad de estabilidad por interseccion y reunion numerables.

Observacion 3 La reunion de una familia de σ-algebras no es en general una σ-algebra.

∗

Problema: Sea K una coleccion de conjuntos simpaticos que queremos que sean medibles.

¿Como encontrar una σ-algebra que contenga todos estos conjuntos?

4

Teorema 1 (σ-algebra engendrada) Sea K ⊂ P(X) un conjunto cualquiera de partes de X. La inter-seccion de todas las σ-algebras que contienen K es una σ-algebra que se denomina la σ-algebra engendradapor K, que notaremos σ(K). Es la mas pequena σ-algebra que contiene K.

Prueba. Sea C la coleccion de todas las σ-algebras sobre X que contienen K.

C 6= ∅: P(X) ∈ C.

La interseccion σ(K) de todas las σ-algebras de C es una σ-algebra que contiene K.

σ(K) esta contenida en todas las σ-algebras que contienen K, es por lo tanto la mas pequena σ-algebra quecontiene K.

La estructura de espacio medible (X,A ) es muy general y es importante disponer de otro tipo de estructuras.

¿Como hacer para juntar una estructura de espacio medible con una estructura de espacio topologico?

Definicion 4 (σ-algebra Boreliana) Sea X un espacio topologico. La σ-algebra engendrada por los abier-tos de X se llama la σ-algebra Boreliana de X y sera notada Bor(X). Llamaremos un conjunto borelianode un espacio topologico X todo elemento de la σ-algebra Boreliana Bor(X).

Ejemplos de Borelianos para el caso especial X = R o X = Rn

(i) El conjunto de los numeros naturales N y el conjunto de los enteros relativos Z son conjuntos borelianos deBor(R) puesto que se escriben como una reunion numerable de cerrados.

(ii) El conjunto de los numeros racionales Q ası como el conjunto Qn son conjuntos borelianos.

(iii) Los complementarios de estos conjuntos anteriores son igualmente borelianos. En particular el conjunto delos numeros irracionales I = R \Q es un conjunto boreliano.

(iv) Podemos decir que casi casi todo subconjunto de Rn interesante es un conjunto boreliano.

(v) Veremos que existen subconjuntos de R que no son Borelianos.

Veremos que la nocion de σ-algebra posee propiedades muy interesante, pero presenta un inconveniente:

Toda σ-algebra infinita A definida sobre un conjunto infinito X es no numerable.

Esto implica que es imposible en la mayorıa de casos utiles tratar de describir completamente una σ-algebra.

Propiedades de las σ-algebras

Proposicion 2 Sean X,Y dos conjuntos y sea f : X −→ Y una aplicacion.La imagen recıproca de una σ-algebra B definida sobre Y determina una σ-algebra A definida sobre X.

Prueba. Tenemos que A = A = f−1(B) : B ∈ B y debemos comprobar que (X,A ) es un espacio medible.

∅, Y ∈ B =⇒ f−1(∅) = ∅, f−1(Y ) = X =⇒ ∅, X ∈ A

B,Bc ∈ B =⇒ f−1(B) = A, f−1(Bc) = (f−1(B))c = Ac =⇒ A,Ac ∈ A⋃n∈NBn ∈ B =⇒ f−1(

⋃n∈NBn) =

⋃n∈N f

−1(Bn) =⇒⋃

n∈NAn ∈ A

5

Proposicion 3 Sea f : X −→ Y y sea A una σ-algebra definida sobre X. El conjunto de las partes B de Y talesque f−1(B) ∈ A es una σ-algebra sobre Y llamada la σ-algebra inducida de A por la aplicacion f .

Prueba. Sea B = B ∈ P(Y ) : f−1(B) ∈ A , mostremos que (Y,B) es un espacio medible.

∅, Y ∈ B

Sea B ∈ B tq f−1(B) = A ∈ A =⇒ (f−1(B))c = Ac ∈ A . Como (f−1(B))c = f−1(Bc) =⇒ Bc ∈ B

Si (Bn)n∈N ∈ B =⇒⋃

n∈N f−1(Bn) = f−1

(⋃n∈NBn

)=⇒

⋃n∈NBn ∈ B.

Proposicion 4 Sea f : X −→ Y y sea K ⊂ P(Y ). Entonces f−1(σ(K)) = σ(f−1(K)).

Prueba.

i) f−1(σ(K)) ⊃ σ(f−1(K)).

f−1(σ(K)) es una σ-algebra sobre X que contiene f−1(K).

σ(f−1(K)) es la mas pequena σ-algebra que contiene f−1(K) =⇒ f−1(σ(K)) ⊃ σ(f−1(K)).

ii) f−1(σ(K)) ⊂ σ(f−1(K)).

Sea C la σ-algebra sobre Y inducida por f de σ(f−1(K)): C ∈ P(Y ) : f−1(C) ∈ σ(f−1(K)).C contiene K y en particular σ(K) =⇒ f−1(σ(K)) ⊂ f−1(C ) ⊂ σ(f−1(K)).

3.2. Medidas

Aquı es donde las cosas se ponen interesantes y empezamos a asignar un “peso” a los conjuntos medibles.

Definicion 5 (Medida, espacio medido) Sea (X,A ) un espacio medible. Una medida sobre (X,A ) esuna funcion µ : A −→ R+ que verifica

1) µ(∅) = 0,

2) para toda sucesion de elementos disjuntos (An)n∈N de A :

µ

(⋃n∈N

An

)=∑n∈N

µ(An).

Esta propiedad se llama la σ-aditividad de µ.

La tripla (X,A , µ) se denomina espacio medido.

Para todo elemento A de A , la cantidad µ(A) es la µ-medida de A.

Si A ∈ A tal que µ(A) = 0 diremos que A es un conjunto de µ-medida nula

La masa total de una medida µ es la cantidad µ(X), si µ(X) < +∞ diremos que µ es de masa totalfinita o que la medida es finita.

Si µ(X) = 1, diremos que (X,A , µ) es un espacio probabilizado y que la medida µ es una medida deprobabilidad. Los conjuntos A ∈ A se llaman entonces eventos.

Toda medida es una funcion aditiva de conjuntos.

6


(i) Medida gruesa.Sea (X,A ) un espacio medible, la medida gruesa asigna a cada conjunto no vacıo de A el valor +∞.

(ii) Medida de Dirac en un punto a de X.Es la medida definida sobre una σ-algebra A por

δa : A −→ R+

A 7−→ δa(A) =

1 si a ∈ A,

0 si a /∈ A.

(iii) Medida de conteo.Es la medida determinada por

µ : P(X) −→ R+

A 7−→ µ(A) =

µ(A) = Card(A) si Card(A) < +∞,

µ(A) = +∞ sino.

(iv) Medida de Lebesgue.Es la medida de referencia en el espacio euclıdeo Rn y sera notada por la letra λ si n = 1 y λn si n > 1.Corresponde a la generalizacion a las operaciones numerables de la longitud o del volumen.

∗

Algunas definiciones

Definicion 6 (Medida σ-finita, Conjunto σ-finito con respecto a una medida) Sea (X,A , µ) unespacio medido.

1) Una medida de conjuntos µ : A −→ R+ es σ-finita si existe una sucesion numerable (An)n∈N deelementos de la σ-algebra A tales que

X =⋃n∈N

An

y tales que, para todo n ∈ N, se tiene µ(An) < +∞.

2) Un conjunto A ∈ A es σ-finito con respecto a la medida µ si es la union numerable de conjuntos deA de µ-medida finita.

la medida gruesa no es σ-finita

la medida de Lebesgue sobre R es σ-finita.

Observacion 4 Cuando µ es σ-finita, podemos suponer que la sucesion (An)n∈N es creciente o que todos losconjuntos An son disjuntos.

Definicion 7 (Medida atomica) Sea (X,A , µ) un espacio medido. Decimos que A ∈ A es un atomopara µ si µ(A) > 0 y si todo B ⊂ A o tiene la misma medida que A o es de medida nula.

Una medida que admite atomos sera llamada una medida atomica .

Una medida es no-atomica si para todo A ∈ A de medida positiva y para todo β tal que 0 < β < µ(A),existe un subconjunto B de A tal que µ(B) = β.

La medida de conteo sobre N es una medida atomica y todo conjunto de la forma n es un atomo.

La medida de Lebesgue sobre Rn es una medida no-atomica.

7

Definicion 8 (Medida inducida, restriccion de medidas) Sea (X,A , µ) un espacio medido.

Si Y ⊂ X es un subconjunto A -medible de X. Definimos A|Y = A ∩ Y y una aplicacion

µ|Y : A|Y −→ R+

A 7−→ µ|Y (A) = µ(A ∩ Y ).

La tripla (Y,A|Y , µ|Y ) es un espacio medido y la medida µ|Y se denomina la medida inducida de µsobre el conjunto Y .

Ademas, si A y B son dos σ-algebras tales que A ⊂ B y si µ : B −→ R+ es una medida, entoncesla restriccion µ|A a la σ-algebra A determina una medida y la tripla (X,A , µ|A ) es un espaciomedido.

∗

=⇒ Queremos estudiar el comportamiento de las medidas con respecto al lımite de sucesiones de conjuntos.

Definicion 9 Sea (An)n∈N una sucesion de conjuntos. Definimos el lımite inferior y superior por

lım ınfn→+∞

An =+∞⋃n=0

+∞⋂k=n

Ak y lım supn→+∞

An =+∞⋂n=0

+∞⋃k=n

Ak.

Si lım supn→+∞

An = lım ınfn→+∞

An escribiremos lımn→+∞

An.

Teorema 2 (Continuidad de las medidas) Sea (X,A , µ) un espacio medido.

1) Si A0 ⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ · · · es una sucesion creciente de elementos de A entonces

µ

(lım

n→+∞An

)= lım

n→+∞µ(An).

2) Si B0 ⊃ B1 ⊃ B2 ⊃ · · · es una sucesion decreciente de elementos de A y µ(B0) < +∞ entonces

µ

(lım

n→+∞Bn

)= lım

n→+∞µ(Bn).

3) Para toda sucesion (Cn)n∈N de elementos de A se tiene

µ

(lım ınfn→+∞

Cn

)≤ lım ınf

n→+∞µ(Cn)

Demostracion. Veamos el primer punto. Como (An)n∈N es una sucesion creciente tenemos

lımn→+∞

An =⋃n∈N

An.

Podemos entonces expresar esta union⋃

n∈NAn como una union disjunta de conjuntos escribiendo

A0 ∪+∞⋃n=1

(An \An−1);

8

luego, por la σ-aditividad de la medida obtenemos

µ( lımn→+∞

An) = µ

(+∞⋃n=0

An

)= µ(A0) +

+∞∑n=1

µ(An \An−1)

= lımk→+∞

(µ(A0) +

k∑n=1

µ(An \An−1)

)

= lımk→+∞

(µ

(A0 ∪

k⋃n=1

(An \An−1

))= lım

k→+∞µ(Ak).

Lo que demuestra el primer punto.

El segundo punto es similar: sea ahora A0 = ∅ y si definimos An = B0 \ Bn obtenemos una sucesion deconjuntos (An)n∈N creciente como en la primera parte. Dado que

lımn→+∞

Bn =⋂n∈N

Bn = B0 \⋃n∈N

An

tenemos

µ

(lım

n→+∞Bn

)= µ

(+∞⋂n=0

Bn

)= µ

(B0 \

⋃n

An

);

y puesto que µ(B0) < +∞ podemos escribir

µ

(B0 \

⋃n

An

)= µ(B0)− µ

(⋃n

An

)= lım

n→+∞(µ(B0)− µ(An))

= lımn→+∞

µ(B0 \An) = lımn→+∞

µ(Bn);

lo que nos da el segundo punto.

Observese que la conclusion de esta propiedad puede ser falsa si la medida de los conjuntos Bn es infinita. Enefecto, sean X = N, µ la medida de conteo sobre N y Bn = k ∈ N : k ≥ n el conjunto de enteros mayores oiguales a n; entonces se tiene por un lado que µ(Bn) = +∞ para todo n de manera que lım

n→+∞µ(Bn) = +∞. Sin

embargo, por otro lado, no es difıcil ver que lımn→+∞

Bn =⋂

nBn = ∅, de forma que µ( lımn→+∞

Bn) = 0.

Para la ultima parte definimos En =⋂+∞

k=nCk; entonces la sucesion (En)n∈N es una sucesion creciente deconjuntos en A tal que

+∞⋃n=0

En = lım ınfn→+∞

Cn.

Podemos usar el primer punto para obtener

µ

(lım ınfn→+∞

Cn

)= µ

(+∞⋃n=0

En

)= lım

n→+∞µ(En) ≤ lım ınf

n→+∞µ(Cn).

Lo que termina la demostracion.

9



Ejercicios Leccion n2: σ-algebras y medidas EPN, verano 2009

Ejercicio 1 — Lımite superior y lımite inferior

Calcular lım supn→+∞

An y lım ınfn→+∞

An en los casos siguientes:

1. An =]−∞, an] en donde a2n = 2 + 1/(2n) y a2n+1 = −2− 1/(2n+ 1), n ≥ 1.2. A2n =]1, 4 + 1/(4n)] y A2n+1 =]− 5− 1/(2n+ 1), 2], n ≥ 1.

Ejercicio 2 — Algebras sobre Rn

1. Sea A el algebra sobre R determinada por la reunion finita de intervalos. Diremos que dos intervalos sonseparados si su union no es un intervalo. Mostrar que cada elemento de A se escribe de manera unica comoreunion finita de intervalos dos a dos separados.

2. Sea A el algebra de partes sobre Rn determinada por la reunion finita de conjuntos adoquinables.a) Mostrar que el complementario de un adoquın es la union finita de adoquines disjuntos. ¿Cuantos

adoquines se necesita si n = 2, n = 3?b) Sean A y B dos adoquines notamos Ac = ∪iAi y Bc = ∪jBj las descomposiciones precedentes. Mostrar

que A ∪B es la union disjunta de los adoquines A ∩B, Ai ∩B y A ∩Bj .c) Razonando por recurrencia concluir que los conjuntos adoquinables constituyen una algebra de partes.

3. Sea A el algebra sobre Rn determinada por la reunion finita de adoquines. Mostrar que la aplicacion voles una funcion aditiva de conjuntos y que no depende de la descomposicion adoptada para expresar losconjuntos adoquinables.

Ejercicio 3 — Particiones

Decimos que π es una particion de X si es una familia de partes dos a dos disjuntas que recubren X.1. Mostrar que dada una particion finita π sobre X es posible definir una algebra Aπ tomando todas las

reuniones finitas de elementos de π.2. Si la particion es finita y posee N elementos, ¿Cuantos elementos posee el algebra Aπ?

Ejercicio 4 — Algebras sobre Ω = 0, 1N∗

Un elemento de Ω es una sucesion infinita ω = (ω1, ω2, ...) en donde ωi es igual a 0 o 1 para todo i.

Este conjunto tiene una interpretacion probabilıstica. Podemos relacionar un punto ω a un juego de “cara o sello” infinito:al lanzar i veces una moneda diremos que ωi vale 0 si es cara y 1 si es sello y entonces el conjunto Ω describe todas lasposibilidades de este juego.

Para cada entero n ≥ 1 consideramos las sucesiones finitas α = α1, ..., αn ∈ 0, 1n (de longitud n) ydefinimos Sα = ω ∈ Ω : ω1 = α1, ..., ωn = αn como el conjunto de sucesiones infinitas que comienzan por α.

1. Mostrar que los conjuntos Sα forman una particion de Ω.2. Notamos Fn el algebra asociada a la particion del punto anterior. Mostrar que la sucesion Fn es creciente.3. Mostrar que la union

⋃n≥1Fn es tambien una algebra sobre Ω.

4. Sea Ω = 0, 1N∗dotado del algebra A =

⋃n≥1Fn. Para todo A ∈ A se tiene que A ∈ Fn para algun n y

es por lo tanto la union de un cierto numero de Sα que podemos suponer igual a k. Definimos la aplicacionP : A −→ [0,+∞] como P(A) = k2−n. ¿Es el entero n unico?

5. Verificar que la forma de calcular P(A) no depende del entero n escogido.6. Verificar que P es una funcion aditiva de conjuntos.7. Calcular la cantidad P(A) en donde A = ω ∈ Ω : ω1 = 0.

1

Ejercicio 5 — Union e interseccion

Sea (An)n∈N una sucesion de elementos de una σ-algebra A sobre X.1. Representar

⋃n∈NAn por medio de una reunion de elementos dos a dos disjuntos de A .

2. Representar⋃n∈NAn por medio de una reunion de elementos crecientes de A .

3. Representar⋂n∈NAn por medio de una interseccion de elementos decrecientes de A .

Ejercicio 6 — Algebras engendradas

1. Sea X un conjunto y sean A,B ⊂ X. Fijamos K = A,B, calcule la σ-algebra engendrada σ(K).2. Sean X un conjunto, K ⊂ P(X) y C ⊂ X. ¿Se tiene la identidad σ(K) ∩C = σ(K ∩C)? ¿Que sucede si se

toma en cuenta la reunion?3. Mostrar que si A es una algebra de partes que es estable por reunion de sucesiones crecientes, entonces A

es una σ-algebra.

Ejercicio 7 — Algebras Borelianas reales

1. Mostrar que la σ-algebra boreliana de R es igual a la σ-algebra engendrada por los intervalos de la forma[−∞, a[ en donde a recorre un conjunto A denso en R.

2. Mostrar que todo abierto de ]0, 1[ puede expresarse como union numerable de subintervalos de ]0, 1[ de laforma ]p− q, p+ q[ en donde p y q son numeros racionales de ]0, 1[.

3. Mostrar que la σ-algebra Bor(]0, 1[) es engendrada por la familia

K = ]0, 1/2n[, [k/2n, (k + 1)/2n[: n, k ∈ N, 1 ≤ k ≤ 2n − 1

4. ¿Es el conjunto Q un subonjunto Boreliano de R?

Ejercicio 8 — Cardinalidad de σ-algebras

Mostrar, procediendo por una reduccion al absurdo, que toda σ-algebra infinita A definida sobre un conjuntoinfinito X es no numerable. Seguir los pasos siguientes.

1. Sea X un conjunto infinito numerable y sea A una σ-algebra infinita numerable. Para todo x ∈ X considerarlos conjuntos Ax = A ∈ A : x ∈ A y Ax =

⋂A∈Ax

A. Verificar que Ax es un elemento de A .2. Mostrar que F = (Ax)x∈X es una particion de X y verificar que el conjunto F es infinito.3. Mostrar que P(F ) se inyecta en A y concluir que A es no numerable.

Ejercicio 9 — Funciones aditivas de conjuntos y medidas

1. Sea X un conjunto y sea A una σ-algebra definida sobre X. Sea µ : A −→ [0,+∞] una funcion definidapor µ(A) = 1 si A 6= ∅ y µ(A) = 0 si A = ∅. ¿La funcion µ es una medida?

2. Sea X un conjunto no numerable. Para todo A ∈ P(X) definimos µ(A) = 0 si Card(A) ≤ Card(N) yµ(A) = +∞ si Card(A) > Card(N). ¿La funcion µ es una medida?

3. Sea m : P(N) −→ [0,+∞] tal que para todo A ⊂ P(N) se tiene m(A) =∑

n∈A1n2 si Card(A) < +∞ con la

convencion 10 = +∞, m(∅) = 0 y m(A) = +∞ sino.

a) Mostrar que la aplicacion m posee la propiedad de la aditividad fina.b) Verificar que m no es una medida sobre (N,P(N)).

Ejercicio 10 — Propiedades de medidas

Sea (X,A , µ) un espacio medido.1. Si A,B ∈ A tal que A ⊂ B, mostrar que µ(A) ≤ µ(B).2. Si µ(A) < +∞, verificar que µ(B \A) = µ(B)− µ(A). ¿Que sucede si µ(A) = +∞?3. Si (An)n∈N verificar que se tiene µ(

⋃n∈NAn) ≤

∑n∈N µ(An).

4. Mostrar que la union numerable de conjuntos medibles de µ-medida nula es de medida nula.

2

Ejercicio 11 — Conjuntos de medida nula

Para cada uno de los casos siguientes:

(X,P(X)) con µ(A) = 1A(a) con a ∈ X.

(X,A ) con X = R y A = A ⊆ R : Card(A) numerable o Card(Ac) numerable yµ(A) = 0 si Card(A) ≤ Card(N) y µ(A) = 1 sino.

1. Mostrar que µ es una medida sobre (X,A ).2. Determinar la familia de conjuntos de µ-medida nula.

Ejercicio 12 — Hormiga atomica

Sea (X,A , µ) un espacio medido tal que la medida µ sea no-atomica y tal que existe un conjunto A ∈ A demedida postiva. Mostrar que se puede construir una sucesion decreciente de conjuntos medibles (An)n∈N tales que

A = A0 ⊃ A1 ⊃ ...

y tales que µ(A0) > µ(A1) > ... > 0.

Ejercicio 13 — Espacio probabilizado

Sea (X,A ,P) un espacio probabilizado de medida P y sea (An)n∈N es una sucesion de elementos de A tal queAn ↓ ∅ (es decir que la sucesion es decreciente y tiende hacia ∅). Mostrar entonces que P(An) ↓ 0.

3



Leccion n3: Construccion de medidas, Medida de Lebesgue EPN, verano 2009

1. Unicidad de Medidas

=⇒ Es imposible obtener un proceso constructivo para describir una σ-algebra engendrada

=⇒ Es posible considerar otras colecciones de conjuntos que nos permiten estudiar la estructura (la unicidad enparticular) de las σ-algebras engendradas...y que facilitan la vida.

1.1. Clases monotonas y π-sistemas

Definicion 1 (Clase monotona - π-sistema) Sea X un conjunto.

1) Una coleccion M de subconjuntos de X es una clase monotona o clase de Dynkin sobre X si:

a) X ∈M,

b) M es estable por diferencia propia: si A,B ∈M y si A ⊂ B, entonces B \A ∈M,

c) si (An)n∈N es una sucesion creciente de conjuntos de M entonces⋃n∈N

An ∈M.

2) Una coleccion de subconjuntos de X es un π-sistema sobre X si es estable por construccion de inter-secciones finitas.

Si X es un conjunto y A es una σ-algebra sobre X entonces A es una clase monotona.

Si X = a, b, c, entonces P(X) es un π-sistema; por el contrario el conjunto Θ = b; a, b; a, c;X noes un π-sistema pues a /∈ Θ.

¿Como obtener clases monotonas?

Proposicion 1 Sea (X,A ) un espacio medido y sean µ y ν son dos medidas finitas definidas sobre A talesque µ(X) = ν(X); entonces M = A ∈ A : µ(A) = ν(A) es una clase monotona.

Prueba.

a) X ∈M, inmediato.

b) Sean A,B ∈M tales que A ⊂ B =⇒ B = A ∪ (B \A) tenemos

µ(B) = µ(A) + µ(B \A)ν(B) = ν(A) + ν(B \A) =⇒ medidas finitas =⇒ µ(B \A) = ν(B \A)

c) Si (An)n∈N es una sucesion creciente de conjuntos de M entonces

µ

(⋃n∈N

An

)= lım

n→+∞µ(An) = lım

n→+∞ν(An) = ν

(⋃n∈N

An

)

Definicion 2 (Clase monotona engendrada) Si K es una coleccion arbitraria de conjuntos de X, lainterseccion de todas las clases monotonas sobre X que contienen K es la mas pequena clase monotona quecontiene K y es llamada la clase monotona engendrada por K y la notaremos M(K).

1

=⇒ Utilidad de las clases monotonas!

Teorema 1 (de la clase Monotona) Sea X un conjunto y sea K un π-sistema sobre X=⇒ σ(K) =M(K).

Demostracion.

1. M(K) ⊂ σ(K):

Toda σ-algebra es un clase monotona, σ(K) es una clase monotona que contiene K =⇒ M(K) ⊂ σ(K).

2. σ(K) ⊂M(K): Vamos a mostrar que M(K) es una σ-algebra.

a) M(K) es una algebra de partes.

i) M(K) es estable por complementacion: puntos a) + b) de la definicion de clase monotona.

ii) M(K) es estable por construccion de intersecciones finitas.−→ Sea M1(K) = A ∈M(K) : A ∩ C ∈M(K), para todo C ∈ K.

K ⊂M(K) =⇒ X ∈M1(K)(A \B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C)

(⋃n∈NAn) ∩ C =

⋃n∈N(An ∩ C)

=⇒M1(K) es una clase monotona

K es estable por construccion de intersecciones finitas =⇒ K ⊂M1(K) ⊂M(K)=⇒ M(K) =M1(K).

−→ Sea M2(K) = B ∈M(K) : A ∩B ∈M(K), para todo A ∈M(K).

K ⊂M2(K) =⇒ X ∈M2(K)(A \B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C)

(⋃n∈NAn) ∩ C =

⋃n∈N(An ∩ C)

=⇒M2(K) es una clase monotona

M(K) =M2(K) =⇒ M(K) es estable por construccion de intersecciones finitas.

b) M(K) es una σ-algebra.

M(K) es algebra de partes estable por construccion de sucesiones crecientes =⇒M(K) es una σ-algebra.

c) M(K) es una σ-algebra que contiene K, debe contener σ(K) =⇒ σ(K) ⊂M(K).

Observacion 1

Este teorema no nos indica como construir una σ-algebra engendrada a partir de una coleccion de conjuntosK que es estable por construccion de intersecciones finitas o π-sistemas.

Este teorema nos dice que en lugar de estudiar la σ-algebra engendrada por K, es suficiente de estudiar laclase monotona engendrada por K.

=⇒ lo cual en muchas aplicaciones es relativamente facil de hacer!!

2

1.2. Teorema de Unicidad de la medidas

Principal utilidad de las clases monotonas

Teorema 2 (unicidad de medidas) Sea X un conjunto y sea K ⊂ P(X) un π-sistema. Sean µ y ν dosmedidas definidas sobre una σ-algebra A definida sobre X tal que A = σ(K). Si

1) µ(A) = ν(A) para todo A ∈ K,

2) existe una sucesion creciente (An)n∈N de elementos de K tal que⋃n∈NAn = X y tal que, para todo n

se tiene µ(An) = ν(An) < +∞,

=⇒ las medidas µ y ν coinciden: para todo A ∈ σ(K) se tiene µ(A) = ν(A).

Lema 1 Sea (X,A ) un espacio medible y sea K un π-sistema sobre X tal que A = σ(K). Si µ y ν son dosmedidas finitas definidas sobre A tales que µ(X) = ν(X) y que verifican µ(C) = ν(C) para todo C ∈ K, entoncesµ = ν.

Prueba. Consideremos la coleccion D = A ∈ A : µ(A) = ν(A), vemos sin problema que esta coleccion es unaclase monotona. Puesto que K es un π-sistema y esta incluido en D, se tiene que A = σ(K) ⊂ D. Entonces, pordefinicion del conjunto D, se tiene µ(A) = ν(A) para todo A ∈ A lo que termina la demostracion.

Lema 2 Sea (X,A ) un espacio medible y sea K un π-sistema sobre X tal que A = σ(K). Si µ y ν son dos medidasdefinidas sobre A que coınciden sobre K y si existe una sucesion creciente (Cn)n∈N de conjuntos pertenecientes aK de medida finita con respecto a µ y ν que satisfacen

⋃n∈NCn = X; entonces tenemos la identidad µ = ν.

Prueba. Sea (Cn)n∈N ∈ K con µ(Cn) = ν(Cn) < +∞ y tq.⋃n∈NCn = X. Para cada entero n ∈ N definimos

dos medidas finitas µn y νn sobre A escribiendo µn(A) = µ(A ∩ Cn) y νn(A) = ν(A ∩ Cn).

Dado que µn(X) = νn(X) < +∞ y µn(A) = νn(A) para todo A ∈ K =⇒ µn = νn sobre A .

Ademas, puesto que se tienelım

n→+∞µn(A) = lım

n→+∞µ(A ∩ Cn) = µ(A)

para todo A ∈ A , obtenemos las identidades

µ(A) = lımn→+∞

µn(A) = lımn→+∞

νn(A) = ν(A),

=⇒ de donde deducimos que las medidas µ y ν deben ser iguales.

Unicidad de medidas =⇒ Interesante!

Pero...¿Como construir medidas de verdad?

3

2. Medidas exteriores

=⇒ Construccion de medidas

Definicion 3 (Medida exterior) Sea X un conjunto. Una aplicacion µ∗ : P(X) −→ R+ es una medidaexterior si

1) µ∗(∅) = 0,

2) Para todo A,B ⊂ P(X) se tiene la implicacion

A ⊂ B =⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B), (crecimiento)

3) Para toda sucesion (An)n∈N ∈ P(X) tenemos la estimacion

µ∗

(⋃n∈N

An

)≤∑n∈N

µ∗(An). (σ-subaditividad)

Si X es un conjunto arbitrario definimos µ∗ : P(X) −→ R+ por µ∗(A) = 0 si A = ∅ y µ∗(A) = 1 sino.Entonces µ∗ es una medida exterior, pero no es una medida.

Definicion 4 (Conjuntos µ-despreciables) En un espacio medido (X,A , µ), una parte D de X es µ-despreciable si esta contenida en un conjunto A ∈ A de µ-medida nula. Es decir si

D ⊂ A ∈ A y µ(A) = 0.

Notaremos Dµ el conjunto de las partes µ-despreciables.

=⇒ Todo conjunto contenido en un conjunto µ-despreciable es µ-despreciable

=⇒ La reunion numerable de conjuntos µ-despreciables es µ-despreciable

=⇒ un conjunto µ-despreciable no pertenece necesariamente a la σ-algebra A

Definicion 5 (Espacio medido completo, medida completa) Diremos que un espacio medido(X,A , µ) es completo si todo conjunto µ-despreciable es A -medible. Por un abuso de lenguaje hablaremosde σ-algebras completas o de medidas completas.

Definicion 6 (Conjunto µ∗-medible) Sea µ∗ : P(X) −→ R+ una medida exterior; una parte A de P(X)es µ∗-medible si para todo E ∈ P(X) se tiene

µ∗(E) = µ∗(E ∩A) + µ∗(E \A). (1)

=⇒ Los conjuntos ∅ y X son µ∗-medibles

=⇒ Los conjuntos E como conjuntos de “test” a partir de los cuales determinaremos si un conjunto es o noµ∗-medible.

=⇒ Podemos restringir nuestra definicion de conjunto µ∗-medible a la desigualdad

µ∗(E) ≥ µ∗(E ∩A) + µ∗(E \A) µ∗(E) < +∞. (2)

Definicion 7 Sea X un conjunto y µ∗ una medida exterior definida sobre P(X). El conjunto formado porlas partes µ∗-medibles sera notado Mµ∗.

Este conjunto contiene todos los conjuntos de medida exterior nula:

4

Lema 3 Sea X un conjunto y sea µ∗ una medida exterior sobre P(X). Entonces todo subconjunto A de X tal queµ∗(A) = 0 o tal que µ∗(Ac) = 0 pertenece a Mµ∗.

Prueba.

1. Si µ∗(A) = 0 =⇒ µ∗(E ∩A) = 0 =⇒ µ∗(E) ≥ µ∗(E \A) =⇒ A es µ∗-medible.

2. Si µ∗(Ac) = 0 =⇒ µ∗(E ∩Ac) = 0 =⇒ µ∗(E) ≥ µ∗(E \Ac) =⇒ Ac es µ∗-medible.

Teorema 3 Sea X un conjunto y µ∗ una medida exterior sobre X. Entonces

1) el conjunto Mµ∗ de partes µ∗-medibles es una σ-algebra,

2) la restriccion de µ∗ a Mµ∗ es una medida completa: (X,Mµ∗ , µ∗) es un espacio medido completo.

Demostracion.

1. Mµ∗ es una σ-algebra.

a) ∅, X ∈Mµ∗ de manera que el conjunto Mµ∗ no es vacıo.

b) Mµ∗ es estable al pasar al complementario.Si A ∈Mµ∗ para todo E ∈ P(X) tenemos

µ∗(E) = µ∗(E \A) + µ∗(E ∩A) = µ∗(E ∩ (X \A)) + µ∗(E \ (X \A)).= µ∗(E ∩Ac) + µ∗(E \Ac) =⇒ Ac ∈Mµ∗ .

c) Mµ∗ es estable por union numerable.Fijemos E y una sucesion de conjuntos (An)n∈N ∈Mµ∗ .

µ∗(E) = µ∗(E ∩A0) + µ∗(E \A0)= µ∗(E ∩A0) + µ∗ ((E \A0) ∩A1)

+µ∗(((E \A0) \A1) ∩A2) + µ∗(((E \A0) \A1) \A2);

es decir:

µ∗(E) =k∑

n=0

µ∗

E \ n−1⋃j=0

Aj

∩An+ µ∗

E \ k⋃j=0

Aj

.

Por la propiedad de crecimiento de µ∗ tenemos la desigualdad

µ∗(E) ≥k∑

n=0

µ∗

E \ n−1⋃j=0

Aj

∩An+ µ∗

E \ +∞⋃j=0

Aj

que es valida para todo k. Por lo tanto podemos deducir la estimacion siguiente:

µ∗(E) ≥+∞∑n=0

µ∗

E \ n−1⋃j=0

Aj

∩An+ µ∗

E \ +∞⋃j=0

Aj

. (3)

Utilizando la σ-subaditividad de la medida exterior tenemos

µ∗(E) ≥ µ∗+∞⋃n=0

E \ n−1⋃j=0

Aj

∩An+ µ∗

E \ +∞⋃j=0

Aj

;

5

pero, dado que se tiene la identidad

+∞⋃n=0

E \ n−1⋃j=0

Aj

∩An = E ∩

+∞⋃n=0

An

obtenemos

µ∗(E) ≥ µ∗

(E ∩

+∞⋃n=0

An

)+ µ∗

(E \

+∞⋃n=0

An

)de manera que

+∞⋃n=0

An ∈Mµ∗ .

2. La restriccion de µ∗ a Mµ∗ es una medida.

a) µ∗(∅) = 0

b) veamos la σ-aditividad de la aplicacion µ∗ : Mµ∗ −→ R+.Sea (An)n∈N una sucesion de conjuntos disjuntos de Mµ∗ . Si fijamos E =

⋃+∞n=0An en la formula (3)

obtenemos la estimacion

µ∗

(+∞⋃n=0

An

)≥

+∞∑n=0

µ∗(An) + µ∗(∅),

lo que, combinando con la σ-subaditividad de la medida exterior nos da la identidad

µ∗

(+∞⋃n=0

An

)=

+∞∑n=0

µ∗(An)

para toda sucesion de conjuntos disjuntos de Mµ∗ .

=⇒ La restriccion µ∗ a Mµ∗ es una medida.

3. El espacio medido (X,Mµ∗ , µ∗) es completo.

Sea D un conjunto µ∗-despreciable, existe un conjunto A que contiene D de µ∗-medida nula. Por la propiedadde crecimiento de las medidas exteriores tenemos µ∗(D) = 0 y basta aplicar el lema 3 para observar que Dpertenece a Mµ∗ .

Observacion 2

=⇒ Este teorema es esencial. No solo se obtiene a partir de una medida exterior µ∗ una medida sobre laσ-algebra Mµ∗ , sino que ademas se tiene que esta medida es completa.

=⇒ Este resultado no nos dice como construir medidas exteriores interesantes.Ni que conjuntos pertenecen a Mµ∗ ...

∗

2.1. Teoremas de Construccion de medidas

Para obtener medidas que miden conjuntos interesantes procedemos en dos etapas:

1. Medida exterior asociada a una aplicacion

2. Teorema de Caratheodory

6

Teorema 4 (Medida exterior asociada a una aplicacion) Sea K ⊂ P(X) un conjunto de partes de Xtal que ∅, X ∈ K y sea µ : K −→ R+ una aplicacion tal que µ(∅) = 0. Definimos para todo A ∈ P(X)

µ∗(A) = ınfRA

+∞∑n=0

µ(An) (4)

en donde RA es el conjunto de todos los recubrimientos numerables (An)n∈N de A por medio de conjuntosAn pertenecientes a K.

Entonces µ∗ : P(X) −→ R+ es una medida exterior llamada la medida exterior asociada a la aplicacion µ.

Observacion 3

el conjunto K no posee ninguna propiedad particular, solo debe contener ∅ y X.

RA no es vacıo: se puede construir un recubrimiento de A fijando An = X para todo n.

la funcion µ es muy sencilla y no verifica ninguna propiedad especial, simplemente exigimos que µ(∅) = 0.

Demostracion. Debemos verificar que µ∗(A) = ınfRA

∑+∞n=0 µ(An) satisface las tres propiedades de medida

exterior.

1. Si tomamos An = ∅ para todo n se obtiene µ∗(∅) = 0.

2. Si tenemos A ⊂ B, entonces todo recubrimiento (Bn)n∈N de B es un recubrimiento de A es decir queRB ⊆ RA, lo que implica

µ∗(A) = ınfRA

+∞∑n=0

µ(Bn) ≤ ınfRB

+∞∑n=0

µ(Bn) = µ∗(B),

de donde se deduce el crecimiento de la funcion µ∗.

3. σ-subaditividad de µ∗.Para ello consideremos (An)n∈N una sucesion de partes de X de reunion A, ε > 0 un real y (εn)n∈N unasucesion de reales positivos tales que ∑

n∈Nεn < ε.

Por la definicion de cota inferior, existen conjuntos An,p ∈ K con n, p ∈ N tales que

An ⊂+∞⋃p=0

An,p y+∞∑p=0

µ(An,p) ≤ µ∗(An) + εn.

Como esta ultima estimacion es valida para todo n obtenemos

∑n,p∈N

µ(An,p) ≤+∞∑n=0

µ∗(An) ++∞∑n=0

εn ≤+∞∑n=0

µ∗(An) + ε.

Dado que (An,p)n,p∈N es un recubrimiento numerable de A por medio de conjuntos pertenecientes a K,entonces se tiene por la formula (4) la estimacion

µ∗(A) ≤∑n,p∈N

µ(An,p) ≤+∞∑n=0

µ∗(An) + ε,

de donde se deduce la σ-subaditividad de µ∗ haciendo tender ε hacia cero.

7

Observacion 4

Es relativamente sencillo construir medidas exteriores y obtener espacios medidos completos.

Estos resultados no nos proporcionan ninguna informacion sobre el tamano de la σ-algebra Mµ∗ .

¿Que conjuntos interesantes estan incluidos en la σ-algebra Mµ∗?

¿Como hacer para asegurarse que todo conjunto interesante esta en Mµ∗?

Teorema 5 (de prolongacion de Caratheodory) Sea A una algebra de partes sobre X y sea m : A −→R+ una funcion aditiva de conjuntos. Bajo las condiciones

(a) para toda sucesion decreciente (An)n∈N de elementos de A se tiene la implicacion:(m(A0) < +∞ y

⋂n∈N

An = ∅

)=⇒ m(An) −→

n→+∞0.

A la cual se anade la condicion siguiente en el caso en que m(X) = +∞

(b) X se puede expresar como la union de una sucesion creciente de conjuntos (Xn)n∈N ∈ A con m(Xn) <+∞ y tal que

(A ∈ A y m(A) = +∞) =⇒ m(A ∩Xn) −→n→+∞

+∞.

Entonces

1) la medida exterior µ∗ asociada a la funcion aditiva µ∗(A) = ınfRA

∑+∞n=0 m(An) prolonga la aplicacion m

en el sentido que para todo conjunto A ∈ A se tiene µ∗(A) = m(A).

2) la σ-algebra Mµ∗ de los conjuntos µ∗-medibles contiene el algebra A y por lo tanto contiene la σ-algebraσ(A) engendrada por A.

3) si ν es una medida definida sobre σ(A) tal que para todo A ∈ A se tiene ν(A) = m(A); entonces setiene la identidad µ∗ = ν sobre σ(A).

Conjuntos interesantes(algebra de partes A)

+funcion aditiva de conjuntos m

=⇒ espacio medido completo (X,Mµ∗ , µ∗)

Lema 4 Las dos condiciones (a) y (b) precedentes implican la siguiente condicion:

Si (An)n∈N es una sucesion de conjuntos disjuntos de A tal que⋃n∈NAn ∈ A, entonces

m

(⋃n∈N

An

)=∑n∈N

m(An). (5)

Prueba. Si A =⋃n∈NAn es tal que m(A) < +∞, definimos Bn = A \

⋃nj=0Aj de manera que estos conjuntos

son decrecientes y pertenecen a A. La condicion (a) implica que m(Bn) tiende hacia cero, pero como se tiene

m(A) =n∑j=0

m(Aj) + m(Bn) se deduce el resultado deseado.

8

Cuando m(A) = +∞, utilizamos la sucesion (Xn)n∈N de la condicion (b) y se tiene m(A∩Xn) −→ +∞. Dadoque m(A∩Xn) < +∞ y que se tiene la union disjunta A∩Xn =

⋃i∈NAi ∩Xn, podemos aplicar la primera parte

de este lema para obtener

m(A ∩Xn) =+∞∑i=0

m(Ai ∩Xn) ≤+∞∑i=0

m(Ai)

lo que implica que la parte derecha de esta expresion es infinita lo que termina la demostracion.

Demostracion del teorema de Caratheodory.

1. Mostremos primero que la medida exterior µ∗ asociada prolonga m.

i) Sea A ∈ A, si fijamos una sucesion A0 = A y An = ∅ para todo n ≥ 1, obtenemos un recubrimiento deA =⇒ µ∗(A) ≤ m(A).

ii) Utilizamos el lema 4. Sea A ∈ A, dado que todo recubrimiento (que podemos suponer disjunto) (An)n∈Nde A con An ∈ A, puede ser reemplazado por (Bn)n∈N con Bn = A ∩An tenemos

m(A) =∑n∈N

m(Bn) ≤ µ∗(A)

Obtenemos ası la identidad µ∗(A) = m(A) para todo elemento A del algebra de partes A.

2. A ⊂Mµ∗ =⇒ σ(A) ⊂Mµ∗ . Vamos a demostrar que todo conjunto A ∈ A es µ∗-medible.

Sea E ∈ P(X) y A ∈ A. Sea (Bn)n∈N una sucesion de elementos de A que recubre E

=⇒ los conjuntos Bn ∩A recubren E ∩A y los conjuntos Bn ∩Ac recubren E ∩Ac.

=⇒ µ∗(E ∩A) + µ∗(E ∩Ac) ≤∑n∈N

m(Bn ∩A) +∑n∈N

m(Bn ∩Ac) =∑n∈N

m(Bn).

Tomando el ınfimo sobre todos los recubrimientos (Bn)n∈N obtenemos la estimacion

µ∗(E ∩A) + µ∗(E ∩Ac) ≤ µ∗(E).

3. Unicidad de la prolongacion.

Con las hipotesis realizadas sobre la funcion aditiva de conjuntos m, y con el hecho que para todo A ∈ A setiene ν(A) = m(A) = µ∗(A), =⇒ tenemos todos los ingredientes necesarios para la aplicacion del teoremade unicidad de las medidas 2, lo que nos permite concluir que µ∗ = ν sobre σ(A).

Es decir que existe una unica medida definida sobre σ(A) que coincide con la funcion aditiva de conjuntosm sobre A.

Observacion 5 Gracias a este teorema obtenemos dos resultados que conviene distinguir fijando un poco determinologıa.

1. A partir de una algebra de partes A y de una funcion aditiva de conjuntos m definida sobre ella obtenemosuna prolongacion de estas estructuras al espacio medido (X,Mµ∗ , µ

∗).

2. Dado que la σ-algebra Mµ∗ contiene la σ-algebra engendrada σ(A), obtenemos adicionalmente una extensiondel algebra A y de la funcion aditiva m al espacio medido (X,σ(A), µ∗|σ(A)

).

3. Al pasar de la prolongacion a la extension podemos perder algunas propiedades importantes: el espaciomedido prolongado (X,Mµ∗ , µ

∗) es siempre completo por el teorema 3, mientras que no disponemos engeneral de ningun resultado similar para el espacio medido extendido (X,σ(A), µ∗|σ(A)

).

9

2.2. Completacion de medidas

Punto de partida: un espacio medido =⇒ punto de llegada: un espacio medido completo.

Teorema 6 (completacion) Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea Dµ el conjunto de partes µ-despreciables de X. Entonces

1) el conjunto A determinado por

A = A ∪D en donde A ∈ A , D ∈ Dµ (6)

es una σ-algebra sobre X.

2) existe una unica medida µ : A −→ R+ que coincide con µ sobre A y que hace del espacio (X,A , µ)un espacio medido completo. Esta medida esta definida de la siguiente manera: dado que para todoA′ ∈ A tenemos A′ = A ∪D con A ∈ A y D ∈ Dµ, determinamos entonces

µ(A′) = µ(A). (7)

La σ-algebra A es llamada la σ-algebra completada de A para la medida µ y la medida µ es la medidacompletada de la medida µ.

3) el espacio medido (X,A , µ) la mas pequena extension completa de µ.

Demostracion.

1. A es una σ-algebra sobre X.

a) Dado que el conjunto vacıo es despreciable, entonces A contiene A .

b) A es estable por union numerable puesto que los conjuntos A y Dµ lo son.

c) A es estable por complementacion.Sea A′ = A ∪D con A ∈ A y D ∈ Dµ, entonces existe un conjunto B ∈ A tal que D ⊂ B y µ(B) = 0.Tenemos por lo tanto que

A′c = X \ (A ∪D) = (X \A ∪B) ∪ C

en donde X \A ∪B ∈ A y C = (B \D) \A ∈ Dµ lo que muestra que si A ∈ A entonces Ac ∈ A .

2. a) µ esta bien definida:si A′ = A1 ∪D1 = A2 ∪D2 con Ai ∈ A y Di ∈ Dµ debemos tener µ(A1) = µ(A2) = µ(A′). En efecto,dado que existen dos conjuntos Bi ∈ A tales que µ(Bi) = 0 y Di ⊂ Bi se tiene que

A1 ⊂ A2 ∪D2 ⊂ A2 ∪B2

y por lo tanto se obtiene µ(A1) ≤ µ(A2 ∪ B2) = µ(A2). Razonando de manera similar se deduce queµ(A2) ≤ µ(A1) lo que implica la igualdad de estas dos cantidades.

b) µ es una medida:se tiene µ(∅) = 0 y, por las lıneas precedentes, que si A′ ⊂ B′ con A′, B′ ∈ A entonces µ(A′) ≤ µ(B′).Si (A′n)n∈N es una sucesion disjunta de conjuntos de A tenemos

µ

(⋃n∈N

A′n

)= µ

(⋃n∈N

An ∪⋃n∈N

Dn

)= µ

(⋃n∈N

An

)=∑n∈N

µ(An) =∑n∈N

µ(A′n).

Obtenemos pues que µ es una medida definida sobre la σ-algebra A .

c) µ es unica:Sea ν otra medida definida sobre A que coincide con µ sobre A .Puesto que A′ ∈ A se expresa de la forma A′ = A ∪D ⊂ A ∪ B con D ∈ Dµ y µ(B) = 0, tenemos lasestimaciones ν(A′) ≤ ν(A ∪ B) = µ(A ∪ B) = µ(A). Dado que se tiene la inclusion A ⊂ A ∪ D = A′

obtenemos µ(A) = ν(A) ≤ ν(A ∪D) = ν(A′) de donde se deduce que ν(A′) = µ(A) para todo A′ ∈ A .

10

d) µ es completa:Para ello consideramos E = A∪D ∈ A un conjunto de µ-medida nula y F una parte de E. Puesto queµ(A) = 0, por lo tanto E es µ-despreciable lo que implica que F tambien lo es, tenemos entonces queF ∈ Dµ ⊂ A y que el espacio medido (X,A , µ) es completo.

3. Este prolongamiento es el mas pequeno. Consideremos (X, A , µ) otro espacio medido completo que contieneel espacio (X,A , µ) tal que µ coincide con µ sobre A . Tenemos necesariamente que Dµ ⊂ A , ademas comoA ⊂ A se obtiene A ⊂ A . Finalmente, por la unicidad que acabamos de establecer se tiene que µ|A = µlo que termina la demostracion.

¿Que relacion entre (X,Mµ∗ , µ∗) y (X,A , µ)?

Teorema 7 Sea (X,A ) un espacio medible y sea µ : A −→ R+ una medida σ-finita. Entonces el espaciomedido (X,Mµ∗ , µ

∗) es la completacion del espacio medido (X,A , µ).

Si µ es σ-finita =⇒ (X,Mµ∗ , µ∗) = (X,A , µ).

Demostracion.Tenemos por el teorema anterior que A ⊂ Mµ∗ . Solo debemos verificar que todo conjunto µ∗-medible A

pertenece a la σ-algebra A .

1. la cantidad µ∗(A) es finita.

Sabemos por corolario 2.3.2 del folleto que existe un conjunto B ∈ A tal que A ⊂ B y µ∗(A) = µ(B).Como la restriccion de µ∗ a A es una medida que coincide con µ y como µ∗(A) es finito se deduce queµ∗(B \A) = 0.

Utilicemos otra vez el mismo resultado: existe un conjunto C ∈ A tal que B\A ⊂ C y µ∗(C) = µ(B\A) = 0.Tenemos entonces A = (B \ C) ∪ (A ∩ C) en donde B \ C ∈ A y A ∩ C ⊂ C con C ∈ A un conjunto demedida nula, lo que muestra que A se escribe como la union de un elemento A y de un elemento de Dµ ypor lo tanto pertenece a A .

2. En el caso general. X =⋃+∞n=0An con µ∗(An) < +∞.

Tenemos que todo elemento de Mµ∗ se escribe como A =⋃+∞n=0(A ∩ An) en donde (A ∩ An) ∈ Mµ∗ y

µ∗(A∩An) ≤ µ∗(An) = µ(An) < +∞. Dado que los conjuntos A∩An pertenecen a A por la primera parte=⇒ A ∈ A .

HHHHj

@@@@R

-

1

X,A,m

(X,P(X), µ∗)

(X,Mµ∗ , µ∗) (X,A , µ)

(X,σ(A), µ∗|σ(A))

-

CompletacionProlongacion

Extension

Figura 1: Prolongacion, extension y completacion de medidas

11

3. Medida de Lebesgue

La medida de Lebesgue posee propiedades importantes...no es por nada que es la mas usada!

mide correctamente todos los intervalos (o adoquines en dimensiones superiores)

satisface todas las buenas y “naturales” propiedades de las medidas

3.1. Regularidad de las medidas Borelianas

Definicion 8 (Medida Boreliana, medida regular) Sea X un espacio topologico separado.

1) Una medida Boreliana sobre X es una medida cuyo dominio de definicion es la σ-algebra de losborelianos Bor(X).

2) Sea A una σ-algebra sobre X tal que Bor(X) ⊂ A . Una medida µ definida sobre A es regular siverifica las condiciones siguientes:

(i) Cada subconjunto compacto K de X es de medida finita: µ(K) < +∞.

(ii) Cada conjunto A ∈ A verifica:

µ(A) = ınfµ(U); A ⊂ U con U abierto (regular exteriormente)

(iii) Cada subconjunto abierto U verifica:

µ(U) = supµ(K); K ⊂ U con K compacto (regular interiormente)

Una medida boreliana regular sobre X es entonces una medida regular cuyo dominio es el conjunto de losborelianos de X.

=⇒ Importancia de las medidas regulares:

posibilidad de aproximar la medida de un conjunto utilizando los conjuntos usuales en topologıa (es decirlos conjuntos abiertos, cerrados y compactos) realizando un error mınimo

Teorema 8 (Aproximacion de medidas regulares) Sea X un espacio topologico localmente compactoseparado de base numerable (σ-compacto). Sea (X,A , µ) un espacio medido con Bor(X) ⊂ A . Si la medidaµ es finita sobre los compactos (es entonces σ-finita), entonces la nocion de regularidad es equivalente a losdos puntos a continuacion

1) para todo A ∈ A y para todo ε > 0, existe un abierto U tal que A ⊂ U y

µ(U \A) ≤ ε. (8)

2) para todo A ∈ A y para todo ε > 0, existe un cerrado C tal que C ⊂ A y

µ(A \ C) ≤ ε. (9)

Demostracion. Vamos a demostrar las implicaciones siguientes:

regularidad de la medida =⇒ (8) ⇐⇒ (9)=⇒ regularidad de la medida.

1. regularidad de la medida =⇒ (8).

Suponemos que la medida µ es regular. Dado que la medida es σ-finita, existe una sucesion de conjuntos(An)n∈N A -medibles que recubren X de µ-medida finita. Sean A ∈ A un conjunto, ε y (εn)n∈N realespositivos tales que

∑+∞n=0 εn < ε. Puesto que la medida es regular, existen abiertos Un ⊃ A ∩An tales que

12

µ(Un) ≤ µ(A ∩ An) + εn. Como µ(A ∩ An) es finito, se tiene que µ(Un \ (A ∩ An)) ≤ εn. Tenemos ademasque el abierto U =

⋃+∞n=0 Un contiene A y que

µ(U \A) ≤+∞∑n=0

µ(Un \ (A ∩An)) ≤ ε,

lo que muestra la formula (8).

2. (8) ⇐⇒ (9).

Como A ∈ A , se tiene que Ac ∈ A y, aplicando el razonamiento anterior, obtenemos que para todo ε > 0,existe un conjunto abierto V que contiene Ac tal que µ(V \Ac) ≤ ε. Dado que V \Ac = A \C, en donde Ces un cerrado contenido en A, se tiene que la expresion (8) es equivalente a µ(A \ C) ≤ ε.

3. (9) =⇒ la regularidad de la medida.

La medida es finita sobre los compactos, solo hay que verificar los puntos (ii) y (iii) de la definicion 8. Como(9) es equivalente a (8), no es difıcil ver que se tiene la regularidad exterior: en efecto si µ(U \ A) ≤ ε seobtiene que µ(U) = µ(U ∩A) + µ(U \A) ≤ µ(A) + ε lo que implica (ii).

Para la regularidad interior, vamos a mostrar que se tiene (iii) para todo elemento de A (que contiene todoslos abiertos pues contiene la σ-algebra boreliana). Sea A ∈ A y ε > 0. Tenemos entonces por (9) que existeun cerrado C ⊂ A tal que

µ(A) ≤ µ(C) + ε/2. (10)

Este cerrado puede escribirse C =⋃+∞n=0Kn en donde (Kn)n∈N es una sucesion creciente de compactos, de

manera que podemos aplicar el teorema de continuidad de las medidas para obtener

µ(C) = lımn→+∞

µ(Kn).

Si µ(A) = +∞ entonces µ(C) = +∞ y lımn→+∞

µ(Kn) = +∞ lo que muestra (iii) en este caso. Si µ(A) < +∞entonces µ(C) < +∞ y existe un entero n tal que

µ(C) ≤ µ(Kn) + ε/2.

Juntando esta estimacion y la desigualdad (10), se tiene µ(A) ≤ µ(Kn) + ε, de donde se deduce el resultadodeseado.

Teorema 9 (condicion de regularidad, espacio medido regular) Sea X un espacio topologico local-mente compacto separado de base numerable, sea A ⊃ Bor(X) una σ-algebra y sea µ : A −→ R+ unamedida finita sobre los compactos de X. Entonces µ es una medida regular y en este caso diremos que elespacio medido (X,A , µ) es un espacio medido regular.

13

3.2. Construccion y propiedades de la medida de Lebesgue

...por fin!!

Lema 5 Sea Γ un subconjunto adoquinable de Rn de volumen finito (vol(Γ) < +∞) y sea ε > 0 un real.Existe entonces un conjunto compacto K contenido en Γ tal que vol(Γ \K) ≤ ε.

Prueba. Todo conjunto adoquinable se expresa como la union disjunta de adoquines Γ =⋃Ni=1Ai. Dado

que todo adoquın es de la forma A =∏nj=1(aj , bj) y que los intervalos (aj , bj) son acotados, no es difıcil escojer

A′ =∏nj=1[cj , dj ] con aj < cj < dj < bj de forma que vol(A \A′) ≤ ε/N y tal que A′ ⊂ A. Al definir K =

⋃Ni=1A

′i

obtenemos el conjunto compacto buscado pues

vol(Γ \K) = vol

(N⋃i=1

Ai \A′i

)=

N∑i=1

vol(Ai \A′i) ≤ ε.

Teorema 10 (Construccion de la medida de Lebesgue) Sea A el algebra de partes de Rn formadapor los conjuntos adoquinables y sea la aplicacion vol : A −→ R+ la funcion aditiva de conjuntos que asociaa cada adoquın su volumen. Entonces

1) existe una unica medida exterior λ∗n asociada a la funcion vol : A −→ R+ por medio de la formula

λ∗n(A) = ınfRA

+∞∑n=0

vol(Γn) (11)

en donde RA es el conjunto de todos los recubrimientos numerables (Γn)n∈N de A por medio de con-juntos adoquinables, que prolonga la aplicacion vol y que coincide con ella sobre A.

2) la σ-algebra L (Rn) de conjuntos λ∗n-medibles se denomina la σ-algebra de Lebesgue y contiene laσ-algebra de los Borelianos: Bor(Rn) ⊂ L (Rn).

La aplicacion λ∗n : L (Rn) −→ R+ se denomina la medida exterior n-dimensional de Lebesgue.

Demostracion. Basta verificar los dos puntos:

(a) Para toda sucesion decreciente (Γn)n∈N de elementos de A se tiene la implicacion:(vol(Γ0) < +∞ y

⋂n∈N

Γn = ∅

)=⇒ vol(Γn) −→

n→+∞0.

(b) El conjunto Rn puede expresarse como la union de una sucesion creciente (Xn)n∈N ∈ A con vol(Xn) < +∞y tal que

(Γ ∈ A y vol(Γ) = +∞) =⇒ vol(Γ ∩Xn) −→n→+∞

+∞.

=⇒ (a) Vamos a razonar por el absurdo y suponemos que existe una sucesion decreciente de conjuntos adoquinables(Γn)n∈N de volumen finito tal que

⋂n∈N Γn = ∅ y tal que

ınfn∈N

vol(Γn) = α > 0. (12)

Sea (αn)n∈N una sucesion de reales estrıctamente positivos tales que∑

n∈N αn < α/2.

Por el lema anterior, podemos encontrar conjuntos adoquinables compactos Kn ⊂ Γn tales que vol(Γn\Kn) ≤αn. Si definimos ahora los conjuntos Nn =

⋂nj=0Kj tenemos Γn \Nn ⊂

⋃nj=0(Γj \Kj) pues un elemento de

Γn \Nn esta afuera de uno de los Kn y pertenece a Γn; luego, por subaditividad finita obtenemos

vol(Γn \Nn) ≤ vol

n⋃j=0

Γj \Kj

≤ n∑j=0

vol(Γj \Kj) ≤n∑j=0

αj < α/2.

14

La sucesion de compactos Nn es decreciente y de interseccion vacıa, es decir que a partir de un cierto rango,los conjuntos Nn son vacıos (ver proposicion 1.2.1 del folleto). Entonces a partir de este rango tenemosvol(Γn) = vol(Γn \Nn) < α/2 lo que contradice (12).

=⇒ (b) Podemos escribir Rn =⋃n∈NXn en donde Xn es el cubo centrado en el origen y de lado 2n. Si un conjunto

adoquinable Γ es de medida infinita, contiene un adoquın A de volumen infinito y por lo tanto se tiene laestimacion vol(Γ ∩Xn) ≥ vol(A ∩Xn) −→ +∞.

Con (a) + (b) aplicamos el teorema de Caratheodory y obtenemos la existencia y la unicidad de la medida deLebesgue λ∗n definida sobre la σ-algebra L (Rn) que coincide con la funcion aditiva de conjuntos vol que asocia atodo adoquın su volumen.

Proposicion 2 (Propiedades importantes de la Medida exterior de Lebesgue)

1. La medida exterior de Lebesgue λ∗n : L (Rn) −→ R+ es σ-finita.

2. La medida de Lebesgue λ∗n : L (Rn) −→ R+ es regular.

3. Todo subconjunto numerable de R es un conjunto boreliano de medida nula.

4. Tenemos la identidad (Rn,Bor(Rn), λn

)= (Rn,L (Rn), λ∗n) (13)

es decir que la completacion de la σ-algebra Boreliana de Rn con respecto a la medida de Lebesgue λnes la σ-algebra de Lebesgue.

5. La medida de Lebesgue λ∗n : L (Rn) −→ R+ no es atomica.

15



Ejercicios Leccion n3: Clases monotonas, medidas exterioresEPN, verano 2009

Ejercicio 1 — Clase monotona

Sea (N,P(N)) un espacio medible sobre el cual consideramos la medida cardinal µ y la medida gruesa ν.

1. Determinar el conjunto D = A ∈ P(N) : µ(A) = ν(A)

2. ¿Es el conjunto D una σ-algebra?

3. Consideremos ahora X = 1, 2, 3, 4 y A = P(X) con µ = Card. Definimos una aplicacion ν por

ν(A) = 0 si A = ∅, 1, 2, 1, 2,

ν(A) = 2 si A = 3, 4, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 4,

ν(A) = 4 si A = 3, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4,X

Verificar que ν es una medida sobre (X,A ). Determinar el conjunto D = A ∈ P(X) : µ(A) = ν(A), ¿esel conjunto D una σ-algebra?

Ejercicio 2 — Medidas Exteriores

1. Sea X un conjunto cualquiera y sea K = ∅,X. Definimos una aplicacion µ sobre K de la siguiente manera:

µ : K −→ R+

∅ 7−→ µ(∅) = 0

X 7−→ µ(X) = 1.

a) Calcular la medida exterior µ∗ asociada a esta aplicacion.b) Determinar la coleccion de conjuntos µ∗-medibles. ¿Que σ-algebra se obtiene?

2. Sea ν∗ : P(N) −→ [0,+∞[ una aplicacion determinada por ν∗(∅) = 0, ν∗(N) = 2 y ν∗(A) = 1 para todoA 6= ∅, N.a) Mostrar que ν∗ es una medida exterior y determinar la σ-algebra Mν∗ .b) Si definimos la sucesion de conjuntos An = k ∈ N : k ≤ n, ¿se tiene la relacion ν∗( lım

n→+∞

An) =

lımn→+∞

ν∗(An)?

3. Sea η : P(N) −→ [0,+∞[ una aplicacion determinada por η(∅) = 0, η(A) = 1 si A 6= ∅.a) Mostrar que η es una medida exterior y determinar la σ-algebra Mη.b) Si definimos la sucesion de conjuntos Bn = k ∈ N : k ≥ n, ¿se tiene la relacion η( lım

n→+∞

Bn) =

lımn→+∞

η(Bn)?

4. Sea χ una aplicacion determinada por:

χ : P(N) −→ R+

A 7−→ χ(A) =Card(A)

Card(A) + 1si Card(A) < +∞,

A 7−→ χ(A) = 1 si Card(A) = +∞.

a) Mostrar que χ es una aplicacion creciente de conjuntos.b) ¿Se tiene χ( lım

n→+∞

An) = lımn→+∞

χ(An) para toda sucesion creciente de conjuntos (An)n∈N?

c) ¿Y para toda sucesion decreciente de conjuntos?d) Mostrar que χ es una medida exterior. Indicacion: empezar con la union finita de conjuntos y utilizar

el punto b) para pasar al lımite.e) Determinar la coleccion Mχ.

1

Ejercicio 3 — Propiedades de la Medida de Lebesgue

1. Mostrar que Rn es un espacio σ-compacto.

2. Mostrar que la medida exterior de Lebesgue λ∗

n : L (Rn) −→ R+ es σ-finita.

3. Mostrar que la medida de Lebesgue λ∗

n : L (Rn) −→ R+ es regular.

4. Mostrar que todo subconjunto numerable de R es un conjunto boreliano de medida nula.

5. Sea µ una medida no nula definida sobre el espacio medible (Rn,Bor(Rn)). Si suponemos que esta medidaes invariante por traslacion y que es finita para todo subconjunto acotado boreliano de Rn; mostrar queexiste una constante positiva c > 0 tal que la identidad µ(A) = cλn(A) es valida para todo boreliano A.

Ejercicio 4 — Conjunto no Lebesgue medible

1. Definiendo una relacion sobre R de la siguiente forma: notamos x ∼ y si y solo si x−y es racional. Verificarque ∼ es una relacion de equivalencia.

2. Mostrar que cada clase de equivalencia bajo la relacion ∼ es de la forma Q + x para algun x. Deducir queel conjunto de clases de equivalencia es denso en R.

3. Verificar que estas clases de equivalencia son disjuntas y que cada una de ellas intersecta el intervalo ]0, 1[.

4. ¿Cual es el cardinal el conjunto de clases de equivalencia?

5. Construimos un subconjunto E de ]0, 1[ que contiene exactamente un elemento de cada una de estas clases.Sea (rn)n∈N una enumeracion de los numeros racionales en el intervalo ] − 1, 1[ y para cada n definimosEn = E + rn.a) Verificar que los conjuntos En son disjuntos.b) Comprobar que su union esta incluıda en el intervalo ] − 1, 2[.c) Mostrar que su union contiene el intervalo ]0, 1[ y que se tienen las inclusiones

]0, 1[⊂⋃

n

En ⊂] − 1, 2[.

6. Mostrar que para cada n el conjunto En es una traslacion de E .

7. ¿Es el conjunto E un conjunto Lebesgue-medible? Proceder por el absurdo.

Es muy importante notar que este resultado implica la imposibilidad de prolongar la medida de Lebesgue

a la clase de todos los subconjuntos de la recta real de manera que la funcion obtenida sea una medida

invariante por traslacion.

Ejercicio 5 — Cubos diadicos

Definimos los intervalos diadicos por la formula [m2−k, (m + 1)2−k[ en donde m,k son enteros relativos. Uncubo diadico es entonces el producto cartesiano de intervalos diadicos, es decir es un subconjunto de Rn de laforma

Q =

n∏

j=1

[mj2−k, (mj + 1)2−k[ en donde m1, ...,mn, k ∈ Z.

Si Q es un cubo diadico de Rn, notaremos |Q| su medida de Lebesgue y ℓ(Q) la longitud de sus lados.

1. Verificar que dos intervalos diadicos de misma longitud son siempre disjuntos.

2. Verificar que dos cubos diadicos son o disjuntos o contenidos el uno en el otro.

3. Mostrar que para todo cubo diadico Q de Rn se tiene la identidad |Q| = ℓ(Q)n.

4. Mostrar que todo conjunto abierto de Rn es la union disjunta numerable de cubos diadicos.

5. Para todo vector x ∈ Rn y todo subconjunto A de Rn definimos x + A el conjunto determinado porx + A = y ∈ Rn : y = a + x, a ∈ A. Mostrar que para todo x ∈ Rn y para todo conjunto A ∈ Bor(Rn),x + A es un conjunto medible y se tiene λn(x + A) = λn(A).

6. Mostrar que B es un subconjunto Lebesgue-medible de Rn si y solo si x + B es Lebesgue-medible.

7. Para todo α > 0, a partir de A ∈ Bor(Rn) definimos el conjunto

αA = x ∈ Rn : x = αy = (αy1, ..., αyn) ; y ∈ A.

2

Verificar que la medida de Lebesgue λn es homogenea de grado n. Es decir, para todo α > 0 y para todoA ∈ Bor(Rn) tenemos λn(αA) = αnλn(A).

Ejercicio 6 — Quien es quien

1. Henri Lebesgue (1875-1941)

2. Felix Hausdorff (1868-1942)

3. Eugene Dynkin (1924- )

4. Constantin Caratheodory (1873-1950)

(A) (B) (C) (D)

3



Leccion n4: Construccion de la integral de Lebesgue EPN, verano 2009

1. Funciones medibles

Un concepto de medibilidad diferente:

=⇒ la nocion de medibilidad de las funciones solo depende de las σ-algebras.

Definicion 1 (Funcion medible) Sean (X,A ) y (Y,B) dos espacios medibles.Una funcion f de X en Y es (A ,B)-medible si para todo B ∈ B, tenemos f−1(B) ∈ A .El conjunto de funciones (A ,B)-medibles sera notado por M(X,A , Y,B).

Si X = a, b, c y Y = α, β, γ con A = ∅, a, b, c, X y B = P(Y )

=⇒ f : X −→ Y, f(a) = f(b) = f(c) = α es una funcion (A ,B)-medible.

¿Como hacer que las funciones interesantes sean medibles?

Definicion 2 (Funciones Borelianas) Si X,Y son dos espacios topologicos dotados de sus σ-algebrasborelianas, las funciones (Bor(X),Bor(Y ))-medibles seran llamadas funciones Borelianas.

Ejemplo: las funciones indicatrices 1A con A ⊂ X un abierto son funciones borelianas.

El espacio de llegada Y sera uno de los espacios topologicos R, C, R+ o R.

¿Que ventajas tiene este concepto de medibilidad de funciones?...Vamos a verlo con las propiedades que siguen!

=⇒ Las funciones medibles en este sentido son los candidatos naturales para ser las funcionesLebesgue-integrables

Proposicion 1 Sean (X,A ) y (Y,B) dos espacios medibles y K ⊂ P(Y ) t.q. σ(K) = B.Una aplicacion f : X −→ Y es (A ,B)-medible si y solo si la imagen recıproca de todo elemento de K es unelemento de A .

Moraleja: para comprobar la medibilidad de una funcion f : X −→ Y , es suficiente hacerlo sobre una fami-lia de partes que engendra la σ-algebra con la cual esta dotada el conjunto Y .

Prueba. Es suficiente notar que f−1(B) = f−1(σ(K)) = σ(f−1(K)).

Proposicion 2 Sean (X,A ), (Y,B) y (Z,C ) tres espacios medibles y sean f : X −→ Y y g : Y −→ Zdos aplicaciones (A ,B)- y (B,C )-medibles respectivamente. Entonces la aplicacion g f : X −→ Z es(A ,C )-medible.

Prueba. Sea C ∈ C =⇒ g−1(C) ∈ B por hipotesis =⇒ (g f)−1(C) = f−1(g−1(C)) ∈ A , de donde se deducela (A ,C )-medibilidad de g f .

1

Proposicion 3 (Criterio de medibilidad) Sea (X,A ) un espacio medible.

1) La aplicacion f : X −→ R o R+ es (A ,Bor(R))-medible o (A ,Bor(R+))-medible si y solo si, paratodo real (o hasta para todo racional) α, el conjunto x ∈ X : f(x) > α es A -medible.La condicion > puede ser reemplazada por cualquiera de los sımbolos ≤, ≥ o <.

2) Una funcion f : X −→ Rn es (A ,Bor(Rn))-medible si y solo si cada una de sus componentes es(A ,Bor(R))-medible.

3) En particular, una funcion f : X −→ C sera medible si y solo si sus partes reales e imaginarias sonmedibles.

Prueba.

1. La proposicion 1 + los intervalos (α,+∞[ o ]−∞, α) generan los borelianos de R =⇒ x ∈ X : f(x) > αes A -medible.

2. =⇒ si f es (A ,Bor(Rn))-medible entonces las funciones fi = πi f con i = 1, ..., n en donde πi son lasproyecciones canonicas, son (A ,Bor(R))-medibles por composicion.

⇐= si las funciones fi son (A ,Bor(R))-medibles, entonces el conjunto

x ∈ X : f(x) ∈ I1 × · · · × In = x ∈ X : f1(x) ∈ I1 ∩ · · · ∩ x ∈ X : fn(x) ∈ In

es A -medible para todos los intervalos abiertos Ii. Dado que el conjunto de adoquines abiertos del tipoI1 × · · · × In generan la σ-algebra de los borelianos de Rn tenemos por la proposicion 1 que la funcionf es (A ,Bor(Rn))-medible.

3. Observamos que C es homeomorfo a R2 =⇒ <e(f) = π1 f y =m(f) = π2 f y aplicar el punto 2.

Proposicion 4 Sea (X,A ) un espacio medible y sean f, g : X −→ K dos aplicaciones medibles. Entonces

1) las funciones suma f + g y producto fg son medibles,

2) si f no se anula, la funcion 1/f es medible,

3) si f y g son a valores reales, las funciones max(f, g) y mın(f, g) son medibles,

4) para todo p > 0 la funcion |f |p es medible.

Prueba.

1. Caso K = R =⇒ f + g es la composicion de x 7−→ (f(x), g(x)) de X en R2 y de (y1, y2) 7−→ y1 + y2 que escontinua y por lo tanto medible. Para la aplicacion producto fg se procede similarmente.

2. La funcion 1/f resulta de la composicion de f y de 1/z que es continua de K \ 0 en K.

3. El tercer punto es evidente y es dejado al lector en ejercicio.

4. |f |p es la aplicacion compuesta de f y de z 7−→ |z|p que es continua de K en K y por lo tanto medible.

2

1.1. Propiedades de las funciones medibles

Utilidad de las funciones medibles =⇒ Estabilidad con respecto a las operaciones numerables

Lema 1 Sea (X,A ) un espacio medible. Si f : X −→ [0,+∞] es una funcion medible entonces las funcionesdeterminadas por

f+(x) = max(f(x), 0) y f−(x) = max(−f(x), 0) son medibles. (1)

Prueba. f+ es la composicion de f y de x 7−→ x+, dos funciones medibles.

Teorema 1 (Estabilidad numerable de las funciones medibles) Sea (X,A ) un espacio medible ysea (fn)n∈N una sucesion de funciones medibles definidas sobre X a valores en K. Entonces

1) Las funciones ınfn∈N

fn y supn∈N

fn son funciones medibles.

2) Las funciones lım ınfn→+∞

fn y lım supn→+∞

fn son medibles.

3) La funcion f = lımn→+∞

fn (cuyo dominio de definicion es x ∈ X : lım supn→+∞

fn = lım ınfn→+∞

fn) es una

funcion medible.

4) La suma numerable de una serie de funciones medibles que converge en cada punto define una funcionmedible.

Demostracion. Por la proposicion 3, basta considerar el caso real.

1) Para la medibilidad de ınfn∈N fn y supn∈N fn basta estudiar supn∈N fn pues supn∈N fn(x) = − ınfn∈N(−fn(x)).Entonces la medibilidad de supn∈N fn se deduce de la identidad

x ∈ X : supn∈N

fn(x) > t =⋃n∈Nx ∈ X : fn(x) > t valida para todo t ∈ R

En efecto, se tiene que x ∈ X : fn(x) > t ∈ A y la union⋃n∈Nx ∈ X : fn(x) > t pertenece a la

σ-algebra A .

2) Dado que por definicion tenemos

lım ınfn→+∞

fn(x) = supn∈N

ınfk≥n

fk(x)

lım supn→+∞

fn(x) = ınfn∈N

supk≥n

fk(x),

la medibilidad de estas funciones se deduce del punto anterior.

3) Notemos X0 el dominio de definicion de lımn→+∞

fn; de manera que por la proposicion 3.2.4 del folleto tenemos

X0 ∈ A . Dado que se tiene

x ∈ X0 : lımn→+∞

fn(x) ≤ t = X0 ∩ x ∈ X : lım supn→+∞

fn(x) ≤ t,

se obtiene la medibilidad de f(x) = lımn→+∞

fn(x).

4) Basta escribir fn(x) =∑n

k=0 fk(x) y observar que∑

n∈N fn(x) = lımn→+∞

fn(x).

=⇒ Aquı se puede ver la utilidad de las propiedades de las σ-algebras!

3

1.2. Propiedades validas en µ-casi todas partes

=⇒ Hay que tomar en cuenta los conjuntos µ-despreciables. Aquı intervienen las medidas...

Definicion 3 (Propiedades validas µ-c.t.p.) Sea (X,A , µ) un espacio medido. Decimos que una pro-piedad P (x) que depende de un punto x ∈ X es valida µ-casi en todas partes si el conjunto de los x ∈ X endonde esta propiedad no esta verificada es un conjunto de µ-medida nula o si es un conjunto µ-despreciable.

Por ejemplo, para una funcion f definida sobre un espacio medido (X,A , µ) a valores reales, escribiremos f(x) = 0µ-c.t.p. si el conjunto x ∈ X : f(x) 6= 0 es µ-despreciable.

Definicion 4 (Funciones iguales µ-c.t.p.) Si (X,A , µ) es un espacio medido y si f, g : X −→ K sondos funciones, diremos que f y g son iguales µ-casi todas partes y lo notaremos “f = g µ-c.t.p.” si

µ(x ∈ X : f(x) 6= g(x)) = 0.

=⇒ 1I∩[0,1] es igual λ-casi en todas partes a la funcion 1[0,1]

=⇒ 1Q∩[0,1] es nula λ-casi en todas partes.

Proposicion 5 Sean f, g : X −→ K. La relacion determinada por f = g µ-c.t.p. y notada fRµg esuna relacion de equivalencia sobre las funciones de F (X,K). Ademas esta relacion de equivalencia Rµ escompatible con la estructura vectorial de K en el sentido siguiente:

1) si f = g µ-c.t.p. entonces αf = αg µ-c.t.p. para todo α ∈ K;

2) si f = g µ-c.t.p. y ψ = ϕ µ-c.t.p. entonces f + ψ = g + ϕ µ-c.t.p.

Prueba. Verifiquemos que la relacion Rµ es efectivamente una relacion de equivalencia:

Para toda funcion f ∈ F (X,K) se tiene fRµf . En efecto x ∈ X : f(x) 6= f(x) = ∅ =⇒ Rµ es reflexiva.

La simetrıa de Rµ es inmediata, si fRµg se tiene gRµf por definicion.

La transitividad de Rµ (es decir fRµg y gRµh =⇒ fRµh) se deduce de la inclusion

x ∈ X : f(x) 6= h(x) ⊂ x ∈ X : f(x) 6= g(x) ∪ x ∈ X : g(x) 6= h(x);

y del hecho que la union de conjuntos despreciables es despreciable.

La compatibilidad con la estructura vectorial es evidente y dejada al lector.

Definicion 5 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f ∈ F (X,K). La clase de equivalencia de f conrespecto a Rµ es el conjunto determinado por g ∈ F (X,K) : fRµg. Un representante de esta clase deequivalencia sera notado [f ].

Proposicion 6 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea F (X,K) el conjunto de todas las funciones definidassobre X a valores en K. El espacio cociente F (X,K)/Rµ es un K-espacio vectorial.

Prueba. Por la proposicion anterior, no es difıcil ver que la funcion nula µ-c.t.p. [0] pertenece al espacioF (X,K)/Rµ. Ademas si [f ], [g] pertenecen a F (X,K)/Rµ, se tiene α[f ] + β[g] = [αf + βg] para todo α, β ∈ K,lo que termina la demostracion.

Definicion 6 (Convergencia µ-c.t.p.) Si (fn)n∈N es una sucesion de funciones definidas sobre un espaciomedido (X,A , µ) a valores en K y si f es una funcion definida sobre (X,A , µ), entonces diremos que (fn)n∈Nconverge en µ-c.t.p. si el conjunto de puntos en donde la relacion f(x) = lım

n→+∞fn(x) falla es µ-despreciable.

Notaremos este tipo de convergencia de esta manera: “fn −→ f µ-c.t.p.”.

4

2. Construccion de la integral de Lebesgue

Aquı empieza lo bueno: utilizaremos todas las propiedades de las funciones medibles y de las medidas.

Procederemos en 3 partes:

(Parte 1) Empezamos contruyendo una integral para funciones simples positivas

(Parte 2) Por un argumento de paso al lımite definimos una integral para funciones medibles positivas

(Parte 3) Terminamos considerando funciones generales

∗ ∗ ∗

¿Pero que es una funcion simple?

Definicion 7 (Funcion simple - Espacio de funciones simples) Sea (X,A , µ) un espacio medido demedida σ-finita. Las funciones simples son combinaciones lineales finitas de funciones indicatrices de con-juntos medibles:

f(x) =n∑k=0

αk1Ak(x);

con αk ∈ K y Ak una coleccion de conjuntos disjuntos de A .

Notaremos S(X,A , µ,K) el conjunto de funciones simples definidas sobre X a valores en K.

=⇒ Las funciones simples son los “ladrillos” de base para la construccion de la integral de Lebesgue.

Observacion 1 Notar la gran diferencia entre los “ladrillos” de base de Riemann y de Lebesgue: sobre el espaciomedido (R,Bor(R), λ) se tiene que 1Q es una funcion simple, pero no una funcion escalonada.

Definicion 8 (Espacio de funciones simples positivas) Sea (X,A , µ) un espacio medido. NotaremosS+(X,A , µ) el conjunto de funciones simples positivas definidas sobre X a valores en R+.

Construccion de la integral (Parte 1)

Definicion 9 (Integral de funciones simples positivas) Sea f ∈ S+(X,A , µ) una funcion simple po-sitiva. La integral de f con respecto a la medida µ es el numero definido por∫

Xf(x)dµ(x) =

n∑k=0

αk µ(f−1(αk)) =n∑k=0

αkµ(f = αk). (2)

Si el conjunto x ∈ X : f(x) = 0 es de medida infinita, utilizaremos la convencion 0×+∞ = 0.

Esta suma es igual a un numero positivo o +∞.

Diremos que una funcion simple positiva f es integrable si su integral es finita; es decir si y solo si el conjuntox ∈ X : f(x) 6= 0 es de medida finita.

Observacion 2 Notese en particular que la formula (2) aplicada a la funcion f(x) = 1A(x) definida sobre Xcon A ∈ A nos permite escribir, utilizando un abuso de lenguaje, las relaciones siguientes:∫

X1A(x)dµ(x) =

∫X∩A

dµ =∫Adµ = µ(A).

5

Proposicion 7 Sean f, g dos funciones de S+(X,A , µ). Tenemos las propiedades siguientes

1) si λ ∈ K, entonces∫X(λf)(x)dµ(x) = λ

∫X f(x)dµ(x) (homogeneidad);

2)∫X(f + g)(x)dµ(x) =

∫X f(x)dµ(x) +

∫X g(x)dµ(x) (aditividad);

3) si f ≤ g µ-c.t.p se tiene entonces∫X f(x)dµ(x) ≤

∫X g(x)dµ(x) (crecimiento o monotonıa).

Prueba. Sean pues f(x) =∑n

i=0 αi1Ai(x) y g(x) =∑m

j=0 βj1Bj (x) dos funciones simples. Podemos suponerque los conjuntos Ai son dos a dos disjuntos y que se tiene

⋃iAi =

⋃j Bj .

1. El primer punto se deduce de los calculos siguientes:∫X

(λf)(x)dµ(x) =n∑i=0

λαiµ(Ai) = λn∑i=0

αiµ(Ai) = λ

∫Xf(x)dµ(x).

2. Para el segundo punto escribimos∫X

(f + g)(x)dµ(x) =n∑i=0

m∑j=0

(αi + βj)µ(Ai ∩Bj) =n∑i=0

m∑j=0

αiµ(Ai ∩Bj) +n∑i=0

m∑j=0

βjµ(Ai ∩Bj)

=n∑i=0

αiµ(Ai) +m∑j=0

βjµ(Bj) =∫Xf(x)dµ(x) +

∫Xg(x)dµ(x).

3. Si f ≤ g entonces g − f es una funcion de S+(X,A , µ) y por lo tanto se tiene que∫Xg(x)dµ =

∫X

(f + (g − f))(x)dµ(x)

=∫Xf(x)dµ(x) +

∫X

(g − f)(x)dµ(x) ≥∫Xf(x)dµ(x).

Este teorema es el primero que nos presenta la posibilidad de intercambiar los signos “lım” y “∫

”.

Teorema 2 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean f ∈ S+(X,A , µ) y (fn)n∈N una sucesion creciente defunciones de S+(X,A , µ) tales que para todo x ∈ X se tenga f(x) = lım

n→+∞fn(x). Entonces se tiene

∫Xf(x)dµ(x) = lım

n→+∞

∫Xfn(x)dµ(x).

Demostracion. Dado que la sucesion es creciente, se tiene por la proposicion 7 la siguiente sucesion deestimaciones ∫

Xf0(x)dµ(x) ≤

∫Xf1(x)dµ(x) ≤ ... ≤

∫Xf(x)dµ(x),

lo que implica que lımn→+∞

∫X fndµ existe y verifica

lımn→+∞

∫Xfn(x)dµ(x) ≤

∫Xf(x)dµ(x). (3)

Debemos pues ahora verificar la desigualdad opuesta. Para ello fijamos un real ε ∈]0, 1[, dado que f se escribe dela forma f(x) =

∑mi=0 αi1Ai(x) podemos definir, para cada n y cada i el conjunto

An,i = x ∈ Ai : fn(x) ≥ (1− ε)αi;

6

de manera que cada An,i es un conjunto A -medible. Se tiene ademas que la sucesion (An,i)n∈N es una sucesioncreciente y satisface Ai =

⋃n∈NAn,i.

Si definimos ahora la funcion gn(x) =∑m

i=0(1 − ε)αi1An,i(x) entonces gn pertenece a S+(X,A , µ) y verificagn ≤ fn. Obtenemos por lo tanto que

lımn→+∞

∫Xgn(x)dµ(x) = lım

n→+∞

m∑i=0

(1− ε)αiµ(An,i),

y por el teorema de continuidad de las medidas podemos escribir

m∑i=0

(1− ε)αi lımn→+∞

µ(An,i) =m∑i=0

(1− ε)αiµ(Ai) = (1− ε)∫Xf(x)dµ(x).

Se obtiene entonces, por la propiedad de crecimiento de la integral, la desigualdad siguiente

lımn→+∞

∫Xgn(x)dµ(x) = (1− ε)

∫Xf(x)dµ(x) ≤ lım

n→+∞

∫Xfn(x)dµ(x).

Como el real ε era arbitrario, se deduce de estas formulas la estimacion∫Xf(x)dµ(x) ≤ lım

n→+∞

∫Xfn(x)dµ(x). (4)

Finalmente, juntando las estimaciones (3) y (4) terminamos la demostracion del teorema.

Construccion de la integral (Parte 2)

Objetivo: Pasar de las funciones simples a las funciones medibles.

Teorema 3 (Aproximacion por funciones simples crecientes) Sea (X,A , µ) un espacio medido ysea A un subconjunto de X que pertenece a A . Si f : A −→ [0,+∞] es una funcion medible, entoncesexiste una sucesion creciente (fn)n≥1 de funciones simples positivas tales que f(x) = lım

n→+∞fn(x) para todo

x ∈ A.

Demostracion. Para cada n y para cada k = 1, 2, ..., n2n definimos los conjuntos

An,k = x ∈ A : (k − 1)/2n ≤ f(x) < k/2n.

Observemos que la medibilidad de la funcion f implica que cada uno de estos conjuntos An,k pertenece a laσ-algebra A .

Definimos una sucesion (fn)n≥1 de funciones definidas sobre A exigiendo que fn tome el valor (k − 1)/2n encada punto de An,k para todo k = 1, ..., n2n y que tome el valor n en cada punto de A \ ∪kAn,k.

Estas funciones son funciones simples positivas, medibles, crecientes y verifican f = lımn→+∞

fn.

Definicion 10 (Integral de funciones medibles positivas) Sea (X,A , µ) un espacio medido. Sea funa aplicacion A -medible definida sobre X a valores en R+, es decir f ∈ M(X,A ,R+,Bor(R+)). Suintegral es el elemento de R+ notado

∫X f(x)dµ(x) y definido por∫

Xf(x)dµ(x) = sup

∫Xϕ(x)dµ(x) : ϕ ∈ S+(X,A , µ), ϕ ≤ f

. (5)

7

Proposicion 8 Sean (X,A , µ) un espacio medido, f : X −→ [0,+∞] una funcion A -medible y (fn)n∈Nuna sucesion creciente de funciones de S+(X,A , µ) tales que f(x) = lım

n→+∞fn(x) para todo x ∈ X. Entonces


n→+∞

∫Xfn(x)dµ(x).

Prueba. La existencia del lımite y la estimacion

lımn→+∞

∫Xfn(x)dµ(x) ≤

∫Xf(x)dµ(x)

siguen los mismo pasos explicados en el teorema 2 de manera que dejamos los detalles al lector.

Nos concentramos en la estimacion siguiente:∫Xf(x)dµ(x) ≤ lım

n→+∞


Puesto que, por definicion de la integral de las funciones medibles positivas, tenemos que∫X fdµ es el supremo

de los elementos de [0,+∞] de la forma∫X ϕ(x)dµ(x) en donde las funciones ϕ pertenecen a S+(X,A , µ) y verifican

ϕ ≤ f ; entonces, para verificar (6), es necesario verificar que para una funcion ϕ cualquiera de S+(X,A , µ) quesatisface ϕ ≤ f tambien verifica ∫

Xϕ(x)dµ(x) ≤ lım

n→+∞

∫Xfn(x)dµ(x).

Sea pues ψ ∈ S+(X,A , µ) una funcion cualquiera que verifica ψ ≤ f . Dado que la sucesion mın(ψ, fn) escreciente, pertenece a S+(X,A , µ) y verifica lım

n→+∞mın(ψ, fn) = ψ, entonces por el teorema 2 se tiene

∫Xψ(x)dµ(x) = lım

n→+∞

∫X

mın(ψ, fn)(x)dµ(x).

Sin embargo, puesto que∫X mın(ψ, fn)(x)dµ(x) ≤

∫X fn(x)dµ(x) por la propiedad de crecimiento de la integral

de funciones simples, se obtiene la desigualdad∫Xψ(x)dµ(x) ≤ lım

n→+∞

∫Xfn(x)dµ(x).

Como esta estimacion es valida para todas las funciones ψ se deduce la desigualdad (6), de donde se obtiene elresultado deseado.

Proposicion 9 Sea (X,A , µ) un espacio medido. Sean f y g dos funciones medibles definidas sobre unconjunto X a valores sobre [0,+∞].

1) si λ ∈ K, entonces∫X(λf)(x)dµ(x) = λ

∫X f(x)dµ(x) (homogeneidad);

2)∫X(f + g)(x)dµ(x) =

∫X f(x)dµ(x) +

∫X g(x)dµ(x) (aditividad);

3) si f ≤ g µ-c.t.p se tiene entonces∫X f(x)dµ(x) ≤

∫X g(x)dµ(x) (crecimiento).

8

2.1. Construccion de la integral (Parte 3): Espacio de funciones integrables

Utilizaremos en el caso real las funciones f+ = max(f, 0) y f− = max(−f, 0).

En el caso complejo utilizaremos f(x) = Re(f)(x) + iIm(f)(x).

Definicion 11 (Funciones integrables - Espacio de funciones integrables) Sea (X,A , µ) un espa-cio medido. Sea f : X −→ [−∞,+∞] una funcion medible.

1) Diremos que f es µ-integrable si∫Xf+(x)dµ(x) < +∞ y

∫Xf−(x)dµ(x) < +∞ (7)

=⇒∫Xf(x) dµ(x) =

∫Xf+(x)dµ(x)−

∫Xf−(x)dµ(x). (8)

2) En el caso de que f sea a valores complejos, diremos que f es µ-integrable si∫X<e (f)(x)dµ(x) < +∞ y

∫X=m (f)(x)dµ(x) < +∞

=⇒∫Xf(x) dµ(x) =

∫X<e (f)(x)dµ(x) + i

∫X=m (f)(x)dµ(x). (9)

Finalmente, el conjunto de funciones integrables sera notado I(X,A , µ,K).

Observacion 3 Para las funciones medibles positivas que no son µ-integrables hemos atribuido el sımbolo +∞ asu integral. Para una funcion f a valores reales o complejos no existe una extension de esta notacion: no se puededar un sentido a la expresion ∞−∞. Es necesario verificar primero la sumabilidad de f antes de hablar de suintegral. En el caso especial en que una sola de las dos cantidades de la formula (7) sea finita, diremos que laintegral definida por (8) existe y es infinita.

Lema 2 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean f1, f2, g1, g2 funciones reales positivas integrables definidassobre X tales que f1 − f2 = g1 − g2. Entonces se tiene∫

Xf1(x)dµ(x)−

∫Xf2(x)dµ(x) =

∫Xg1(x)dµ(x)−

∫Xg2(x)dµ(x).

Proposicion 10 Sea (X,A , µ) un espacio medido, λ ∈ K y f, g dos funciones de I(X,A , µ,K). Se tienenlos puntos siguientes:

1) λf es integrable y la integral es homogenea∫Xλf(x)dµ(x) = λ

∫Xf(x)dµ(x) (10)

2) f + g es integrable y la integral es lineal∫X

(f + g)(x)dµ(x) =∫Xf(x)dµ(x) +

∫Xg(x)dµ(x), (11)

3) si f ≤ g entonces la integral es creciente∫Xf(x)dµ(x) ≤

∫Xg(x)dµ(x).

9

Prueba. Podemos suponer sin perdida de generalidad que las aplicaciones y el escalar α son a valores reales.

1. La integrabilidad de λf y la relacion (10) son evidentes si λ = 0. Suponemos pues que λ > 0 y vemos que(λf)+ = λf+ y (λf)− = λf−. Entonces las funciones (λf)+ y (λf)− son integrables y por lo tanto λf esintegrable. Tenemos ahora, aplicando la proposicion 9 a estas funciones, las identidades∫

Xλf(x)dµ(x) =

∫X

(λf)+(x)dµ(x)−∫X

(λf)−(x)dµ(x)

= λ

∫Xf+(x)dµ(x)− λ

∫Xf−(x)dµ(x) = λ

∫Xf(x)dµ(x),

lo que demuestra la identidad (10) en este caso. Si λ < 0, entonces (λf)+ = −λf− y (λf)− = −λf+, de ma-nera que se puede adaptar el razonamiento anterior para mostrar que λf es integrable y que

∫X λf(x)dµ(x) =

λ∫X f(x)dµ(x).

2. Observando que se tienen las desigualdades

(f + g)+ ≤ f+ + g+ y (f + g)− ≤ f− + g−,

podemos aplicar la proposicion 9 para obtener∫X

(f + g)+(x)dµ(x) ≤∫Xf+(x)dµ(x) +

∫Xg+(x)dµ(x) < +∞∫

X(f + g)−(x)dµ(x) ≤

∫Xf−(x)dµ(x) +

∫Xg−(x)dµ(x) < +∞.

Deducimos entonces que f+g es integrable. Dado que f+g es igual a (f+g)+−(f+g)− y a f++g+−(f−+g−)obtenemos por el lema 2 las identidades siguientes∫

X(f + g)(x)dµ(x) =

∫X

(f+ + g+)(x)dµ(x)−∫X

(f− + g−)(x)dµ(x)

es decir ∫X

(f + g)(x)dµ(x) =∫Xf(x)dµ(x) +

∫Xg(x)dµ(x)

3. Notamos que si f ≤ g, entonces la funcion g − f es positiva y por lo tanto se tiene

0 ≤∫X

(g − f)(x)dµ(x) =∫Xg(x)dµ(x)−

∫Xf(x)dµ(x)

es decir ∫Xf(x)dµ(x) ≤

∫Xg(x)dµ(x).

Proposicion 11 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean f, g : X −→ [−∞,+∞] dos funciones(A ,Bor(R))-medibles iguales en µ-casi todas partes. Si una de estas funciones es sumable entonces la otratambien lo es y se tiene la identidad ∫

Xf(x)dµ(x) =

∫Xg(x)dµ(x).

Este resultado se extiende al caso cuando f, g son a valores en K.

Prueba. Consideremos primero el caso en donde f y g son funciones positivas y definamos el conjunto N =x ∈ X : f(x) 6= g(x) y la funcion h por

h(x) =

+∞ si x ∈ N

0 si x /∈ N .

10

Tenemos entonces, aplicando la proposicion 8 a la sucesion hn(x) = n1N (x) (que tiende de forma creciente haciah), que ∫

Xh(x)dµ(x) = 0.

Gracias a este hecho, por la estimacion f ≤ g + h y por la proposicion 10 obtenemos la desigualdad∫Xf(x)dµ(x) ≤

∫Xg(x)dµ(x) +

∫Xh(x)dµ(x) =

∫Xg(x)dµ(x).

Utilizando un argumento totalmente similar tenemos la estimacion∫Xg(x)dµ(x) ≤

∫Xf(x)dµ(x).

El caso cuando f y g no son necesariamente positivas puede obtenerse de las lıneas precedentes utilizando paraello las descomposiciones f(x) = f+(x)− f−(x) y g(x) = g+(x)− g−(x). Cuando las funciones f, g son a valoresen K se procede de forma similar utilizando la definicion (11).

Observacion 4 En particular, si se modifica una funcion sobre un conjunto de medida nula, el valor de su integralpermanece el mismo.

Proposicion 12 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f una funcion (A ,Bor(K))-medible definida sobreX a valores en K. Entonces f es integrable si y solo si |f | es integrable y entonces se tiene la estimacion∣∣∣∣∫

Xf(x) dµ(x)

∣∣∣∣ ≤ ∫X|f(x)|dµ(x). (12)

Prueba. Recuerdese que en el caso real por definicion una funcion f es integrable si y solo si las aplicacionesf+ y f− lo son. Dado que |f | = f+ + f− se obtiene por la proposicion 9 la integrabilidad de |f |. La estimacionbuscada se deduce entonces de los calculos siguientes∣∣∣∣∫

Xf dµ

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫Xf+ dµ−

∫Xf− dµ

∣∣∣∣ ≤ ∫Xf+dµ+

∫Xf−dµ =

∫X|f |dµ.

2.2. Integracion en un subconjunto

En toda esta seccion consideraremos (X,A , µ) un espacio medido, Y un conjunto A -medible y f unaaplicacion definida sobre Y a valores en K.

Tomar en cuenta la medida inducida por µ sobre el conjunto Y y estudiar la integral con respecto al espaciomedido (Y,A|Y , µ|Y ): si la funcion f es A|Y -medible podemos definir la integral sobre Y de la siguiente forma∫

Yf(x)dµ(x) =

∫Yf(x)dµ|Y (x);

de manera que disponemos de todas las propiedades de la integral explicitadas anteriormente.

Este tipo de integral siempre puede expresarse como una integral sobre todo el conjunto X.

=⇒ Introducimos la funcion fY definida sobre X, igual a f sobre Y y a 0 en X \ Y .

11

Proposicion 13 Sea (X,A , µ) un espacio medido, sea Y un conjunto A -medible. Entonces la funcion fpertenece al espacio I(Y,A|Y , µ|Y ,K) si y solo si la funcion fY pertenece a I(X,A, µ,K) y se tiene∫

Yf(x)dµ|Y (x) =

∫XfY (x)dµ(x).

Prueba. Sea f(x) = 1A(x) en donde A ⊂ Y es un conjunto A|Y -medible. Tenemos entonces fY (x) = 1A(x) dedonde se deduce la identidad∫

Yf(x)dµ|Y (x) = µ|Y (A) = µ(A) =

∫X1A(x)dµ(x) =

∫XfY (x)dµ(x).

Por linealidad de la integral se obtiene este resultado para toda funcion simple positiva. Repetimos aquı las mismasetapas utilizadas en la construccion de la integral para mostrar este resultado para las funciones positivas, para lasfunciones reales utilizando f+ y f− y para las funciones complejas considerando Re(f) y Im(f) sucesivamente.

Definicion 12 (Restriccion) Sea (X,A , µ) un espacio medido, sea f : X −→ K. Si A ∈ A , definimos larestriccion de f sobre A como f|A(x) = f(x)1A(x).

Corolario 1 (Pegatina) Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean A,B ∈ A dos conjuntos disjuntos y seaf : A ∪B −→ K una funcion. Entonces

1) f es A|A∪B-medible si y solo si f|A y f|B son A|A y A|B -medibles respectivamente.

2) f es integrable sobre A ∪B si y solo si f es integrable sobre A y sobre B y se tiene la identidad∫A∪B

f(x)dµ(x) =∫Af(x)dµ(x) +

∫Bf(x)dµ(x)

Prueba. Dado que se tienen las expresiones f|A = f|A∪B1A y f|B = f|A∪B

1B obtenemos f|A∪B= f|A + f|B de

donde se deduce sin mayor dificultad el resultado deseado.

Proposicion 14 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f una funcion A -medible definida sobre X a valoresen [0,+∞]. Si t es un numero real positivo y si definimos At = x ∈ X : f(x) ≥ t entonces se tienen lasdos desigualdades siguientes:

µ(At) ≤1t

∫At

f(x)dµ(x) ≤ 1t

∫Xf(x)dµ(x). (13)

Prueba. Sea t > 0 un real. Puesto que X = At ∪Act tenemos

1t

∫Xf(x)dµ(x) =

1t

∫At

f(x)dµ(x) +1t

∫Ac

t

f(x)dµ(x) ≥ 1t

∫At

f(x)dµ(x),

lo que demuestra la segunda estimacion. Para la primera, tenemos directamente que

1t

∫At

f(x)dµ(x) ≥ 1t

∫At

t dµ(x) = µ(At).

12

Corolario 2 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f ∈ I(X,A , µ,K). Entonces:

1) tenemos que |f(x)| < +∞ µ-casi en todas partes.

2) si ademas se tiene ∫X|f(x)|dµ(x) = 0;

entonces la funcion f es µ-c.t.p. identicamente nula.

Proposicion 15 (Continuidad absoluta de la integral) Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f :X −→ [0,+∞] una funcion integrable. Entonces la cantidad

∫Y fdµ tiende hacia cero si la medida de

Y tiende hacia cero:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀Y ∈ A ) : µ(Y ) ≤ δ =⇒∫Yf(x)dµ(x) ≤ ε.

Prueba. Por la definicion de integral existe una funcion simple positiva ϕ tal que 0 ≤ ϕ ≤ f y∫X(f −

ϕ)(x)dµ(x) ≤ ε. Podemos entonces escribir:∫Yf(x)dµ(x) =

∫Y

(f − ϕ)(x)dµ(x) +∫Yϕ(x)dµ(x) ≤ ε+

∫Yϕ(x)dµ(x).

Esto nos permite concentrar nuestra atencion a las funciones simples; entonces como ϕ(x) =∑n

k=0 αk1Ak(x)

tenemos ∫Yϕ(x)dµ(x) =

n∑k=0

αkµ(Ak ∩ Y ) ≤

(n∑k=0

αk

)µ(Y )

y esta estimacion nos permite obtener el resultado deseado.

13

Notacion especıfica de la integral de Lebesgue y dos propiedades importantes

En el caso en que X = R, A = Bor(R) y µ = λ, escribiremos de ahora en adelante dx en vez de dλ(x) paradesignar la integracion con respecto a esta medida y si X = Rn, notaremos tambien dx en vez de dλn(x). Cuandoa < b escribiremos

∫ ba f(x)dx en vez de

∫(a,b) f(x)dx, notese que es inutil precisar la naturaleza del intervalo dado

que los puntos son de medida nula. En el caso cuando b < a escribiremos∫ b

af(x)dx = −

∫ a

bf(x)dx = −

∫(b,a)

f(x)dx.

La primera propiedad esta relacionada con la aplicacion traslacion que definimos de la siguiente forma paratoda funcion f : Rn −→ K y para todo vector a ∈ Rn:

τa(f)(x) = f(a+ x). (14)

Proposicion 16 Para toda funcion integrable perteneciente al espacio I(Rn,Bor(Rn), λn,K) y para todovector a ∈ Rn tenemos la identidad: ∫

Rn

τa(f)(x)dx =∫

Rn

f(x)dx. (15)

Prueba. Empecemos considerando una funcion simple expresada en su descomposicion canonica f(x) =∑n

k=0 αk1Ak(x).

Tenemos entonces que τa(f)(x) =∑n

k=0 αk1Ak(a+ x) y por lo tanto∫

Rn

τa(f)(x)dx =n∑k=0

αk

∫Rn

1Ak(a+ x)dx =

n∑k=0

αkµ(Ak − a) =n∑k=0

αkµ(Ak) =∫

Rn

f(x)dx,

pues para todo boreliano A y todo vector a ∈ Rn se tiene la identidad µ(a+ A) = µ(A). Siguiendo el proceso deconstruccion de la integral, podemos generalizar sin problema este resultado a todas las funciones integrables.

La segunda propiedad explicita las relaciones entre la dilatacion y la integral con respecto a la medida deLebesgue. Definimos la dilatacion por un factor α > 0 de una funcion f : Rn −→ K por la formula

δα[f ](x) = f(αx) = f(αx1, ..., αxn). (16)

Proposicion 17 Para toda funcion f : Rn −→ K del espacio I(Rn,Bor(Rn), λn,K) y para todo α > 0 setiene la identidad ∫

Rn

δα[f ](x)dx = α−n∫

Rn

f(x)dx. (17)

Prueba. Empecemos otra vez considerando una funcion simple f(x) =∑n

k=0 βk1Ak(x). Tenemos entonces

δα[f ](x) =∑n

k=0 βk1Ak(αx) de manera que∫

Rn

δα[f ](x)dx =n∑k=0

βkµ(α−1Ak) = α−nn∑k=0

βkµ(Ak) = α−n∫

Rn

f(x)dx

pues para todo boreliano A y todo α > 0 se tiene la identidad µ(αA) = αnµ(A). La generalizacion a las funcionesintegrables es inmediata.

14



Ejercicios Leccion n4: Construccion de la integral de Lebesgue EPN, verano 2009

Ejercicio 1 — Medibilidad

Sea X = R y A = A ∈ Bor(R) : A = −A en donde definimos −A = −x : x ∈ A.1. Mostrar que A es una σ-algebra.2. Definimos f(x) = ex, g(x) = x3 y h(x) = x. ¿Son estas funciones

a) (Bor(R),A )-medibles?b) (A ,Bor(R))-medibles?c) (A ,A )-medibles?

3. Dar una condicion para que una funcion f : R −→ R sea (A ,Bor(R))-medible.

Ejercicio 2 — Medibilidad - bis

Sea (X,A ) un conjunto medible y sea f : X −→ R una funcion medible. Si a ∈ R∗+ definimos

fa(x) : X −→ R

x 7−→ fa(x) =

f(x) si |f(x)| ≤ a,

a si f(x) > a,

−a si f(x) < −a.

Mostrar que fa es una funcion medible.

Ejercicio 3 — Funciones Borelianas

Verificar que las aplicaciones siguientes, definidas sobre R a valores en R, son Borelianas.1. f(x) = ex si x ∈ Q y f(x) = 1/x sino2. g(x) = ınf

n∈Nsin(enx)

Ejercicio 4 — Medida, conjuntos despreciables, integral

Sea X un conjunto y sea A = P(X). Sea a ∈ X fijo y µ(A) = 1A(a) para todo A ∈ A .1. Mostrar que µ es una medida sobre el espacio medible (X,A ).2. Determinar el conjunto de partes µ-despreciables de X.3. Para f ∈M(X,A ,R+,Bor(R+)) expresar

∫X f(x)dµ(x).

Ejercicio 5 — Sumas de Lebesgue

Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f : X −→ R+ una funcion medible. Definimos las sumas de Lebesguede f por la expresion:

Ln(f) =∑

1≤k≤n2n

k − 12n

µ

(x ∈ X :

k − 12n

≤ f(x) <k

2n

)1. Mostrar que Ln(f) tiende creciendo hacia

∫X fdµ.

2. ¿Que diferencias encuentra entre las Sumas de Lebesgue y las Sumas de Riemann?

Ejercicio 6 — Integrabilidad

Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f : X −→ R+ una funcion integrable.1. Mostrar que se tiene entonces sup

t≥0tµ(x ∈ X : f(x) ≥ t) < +∞.

2. ¿Es esta condicion suficiente para que la funcion f sea integrable?

1

Ejercicio 7 — Integrabilidad - bis

Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean f, g : X −→ R+ dos funciones integrables.1. Encontrar un ejemplo de funciones f, g tales que el producto fg no sea integrable.2. Sea A ∈ A tal que µ(A) = 0. Mostrar que

∫A f(x)dµ(x) = 0.

3. Mostrar que si f es integrable entonces |f(x)| < +∞ en µ-c.t.p.4. Mostrar que si

∫X |f(x)|dµ(x) = 0 entonces f = 0 en µ-c.t.p.

Ejercicio 8 — Criterios de Integrabilidad

Sea c > 0 un real.1. Mostrar que x 7−→ exp(−c

√x) es Lebesgue-integrable sobre [0,+∞[.

2. Determinar el conjunto de reales α tales que la funcion x 7−→ xα exp(−c√x) sea Lebesgue-integrable sobre

[0,+∞[ y sobre [1,+∞[.3. Determinar el conjunto de parejas reales (α, β) tales que la funcion x 7−→ xα ln(x)β sea Lebesgue-integrable

sobre ]0, 1] y sobre [1,+∞[.

Ejercicio 9 — Integral Estocastica

Sea P una subdivision de un intervalo acotado [a, b], notamos ‖P‖ = max |xi−1−xi| para todo xi−1, xi ∈ P con1 ≤ i ≤ n. Asumiremos que para todo n, Pn+1 es una subdivision mas fina que Pn de manera que ‖Pn‖ ≥ ‖Pn+1‖.

Sea g una funcion estrictamente creciente definida sobre [a, b]. Una funcion acotada f definida sobre [a, b] avalores reales es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a g si el lımite siguiente existe:∫ b

af(x)d(g(x)) = lım

‖Pn‖→0

n∑i=1

f(τi)[g(xi)− g(xi−1)]. (1)

en donde τi ∈ [xi−1, xi].1. Calcule

∫ 10 f(x)d(g(x)) si f(x) = x2 y g(x) = x3.

2. Nos interesamos en el caso en donde f = g. Definimos

Ln =n∑i=1

f(xi−1)[f(xi)− f(xi−1)] y Rn =n∑i=1

f(xi)[f(xi)− f(xi−1)].

Mostrar que se tienen las formulas

Ln =12

[f2(b)− f2(a) +

n∑i=1

((f(xi)− f(xi−1))2]

Rn =12

[f2(b)− f2(a)−

n∑i=1

((f(xi)− f(xi−1))2].

Calcular para ello las cantidades Rn − Ln y Rn + Ln.

A la cantidad Rn − Ln se la denomina la variacion cuadratica de la funcion f sobre [a, b].3. ¿Bajo que condicion se tiene lım

‖Pn‖→0Rn = lım

‖Pn‖→0Ln?

4. Sea f una funcion de clase C1[a, b]. Mostrar utilizando el teorema del valor intermedio que se tiene laestimacion

|Rn − Ln| ≤ ‖f ′‖2∞‖Pn‖|b− a|.

¿Que se puede decir de lım‖Pn‖→0

Rn y de lım‖Pn‖→0

Ln?

5. Deducir una formula para calcular∫ ba f(x)d(f(x)) utilizando:

a) las formulas y los lımites anteriores,b) una integracion por partes.

2

6. Sea f una funcion continua definida sobre [a, b] tal que |f(x) − f(y)| = c|x − y|1/2 para todo x, y ∈ [a, b].Mostrar que la variacion cuadratica de f es igual a c(b− a).

7. ¿Es posible definir la integral∫ ba f(x)d(f(x)) por medio de la formula (1)?

Ejercicio 10 — Conjunto Lebesgue-Medible no Boreliano

Definimos la funcion singular de Lebesgue f : [0, 1] −→ [0, 1] iterativamente: empezamos fijando f(0) = 0,f(x) = 1/2 para todo x ∈]1/3, 2/3[ y f(1) = 1 y juntamos por rectas estos puntos. Luego, a partir de la funcionanterior, fijamos f(x) = 1/4 sobre ]1/9, 2/9[ y f(x) = 3/4 sobre ]7/9, 8/9[ y seguimos juntando los extremos porrectas. Continuando de esta forma, f(x) toma los valores 1/2n, 3/2n, ... en los varios intervalos [0, 1] \ Kn−1 endonde Kn−1 son los conjuntos que se obtienen en la construccion del conjunto triadico de Cantor K. Se obtieneentonces que la funcion f definida sobre [0, 1] \K es creciente y tiene sus valores en [0, 1]. Extendemos entoncesa todo el intervalo [0, 1] fijando f(0) = 0 y escribiendo f(x) = supf(t) : t ∈ [0, 1] \K, t < x si x ∈ K y x 6= 0.

1. Mostrar que la funcion ası obtenida es creciente, continua y que se tiene f(0) = 0 y f(1) = 1.2. Utilizando el teorema del valor intermedio mostrar que para todo y ∈ [0, 1] existe al menos un x ∈ [0, 1] tal

que f(x) = y.

Podemos entonces definir la funcion g : [0, 1] −→ [0, 1] de la siguiente forma:

g(y) = ınfx ∈ [0, 1] : f(x) = y.

3. Verificar que la continuidad de f implica que se tiene f(g(y)) = y para todo y ∈ [0, 1].4. Mostrar que g es una funcion inyectiva.5. Mostrar que g es una funcion creciente y una funcion borel-medible.6. SeaE ⊂ [0, 1] el conjunto no Lebesgue-medible construido en la seccion 2.4.4 del folleto.

a) Sea B = g(E ), verificar que B es un subconjunto del conjunto triadico de Cantor.b) ¿Cual es la medida de Lebesgue de B? ¿Porque?

7. Procediendo por el absurdo, mostrar que B no es un conjunto Boreliano.8. ¿Es el espacio medido (R,Bor(R), λ) un espacio medido completo?

3



Leccion n5: Teoremas clasicos EPN, verano 2009

Todo el poder de la integral de Lebesgue esta condensado en estos resultados.

1. Convergencia monotona

Teorema 1 (Teorema de la convergencia monotona de Beppo Levi) Sea (X,A , µ) un espacio me-dido y sean f una funcion A -medible y (fn)n∈N una sucesion creciente de funciones A -medibles, ambasdefinidas sobre X a valores en R+, tales que f(x) = lım

n→+∞fn(x) µ-c.t.p. Entonces


n→+∞

∫Xfn(x)dµ(x).

Demostracion.

La convergencia de la sucesion (fn)n∈N se tiene en todo punto de X.

i) Por la monotonıa de la integral tenemos:∫Xf0(x)dµ(x) ≤

∫Xf1(x)dµ(x) ≤ ... ≤

∫Xf(x)dµ(x);

por lo tanto la sucesion(∫X fndµ

)n∈N converge (eventualmente hacia +∞) y su lımite satisface

lımn→+∞

∫Xfn(x)dµ(x) ≤

∫Xf(x)dµ(x). (1)

ii) Sea (gn,k)k∈N una sucesion creciente de funciones simples tales que fn = lımk→+∞

gn,k.

Definimos hn : X −→ R+ por hn = max(g1,n, g2,n, ..., gn,n) de manera que la sucesion (hn)n∈N es unasucesion creciente de funciones simples positivas, A -medibles que satisfacen hn ≤ fn y f = lım

n→+∞hn.

Por la proposicion 3.2.13 del folleto y por la monoticidad de la integral se deduce que∫Xf(x)dµ(x) = lım

n→+∞

∫Xhn(x)dµ(x) ≤ lım

n→+∞


=⇒ Juntando (1) y (2) se obtiene el resultado deseado.

Solo se tiene la convergencia µ-c.t.p.

Existe N que pertenece a A , de µ-medida nula, en donde no se tiene esta convergencia. Vemos que la funcionf1N c satisface las hipotesis hechas en la primera parte de la demostracion:∫

Xf(x)1N c(x)dµ(x) = lım

n→+∞

∫Xfn(x)1N c(x)dµ(x).

Dado que la funcion fn1N c = fn µ-c.t.p. y que f1N c = f µ-c.t.p., en virtud de la proposicion 3.2.16 se tieneen µ-c.t.p. la igualdad ∫

Xf(x)dµ(x) = lım

n→+∞

∫Xfn(x)dµ(x).

1

Corolario 1 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea una serie S =∑

n∈N fn cuyos terminos fn son funcionesA -medibles definidas sobre (X,A , µ) a valores en R+. Entonces la suma es medible y se tiene la identidad∫

X

∑n∈N

fn(x)dµ(x) =∑n∈N

∫Xfn(x)dµ(x).

Definicion 1 (Medida inducida por una funcion) Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f : X −→[0,+∞] una funcion A -medible. Definimos una nueva medida sobre el espacio medible (X,A ) de la siguientemanera

ν(A) =∫Af(x)dµ(x).

Verificacion:

(i) Se tiene ν(∅) = 0 pues ν(∅) =∫∅ f(x)dµ(x) = 0.

(ii) Si (An)n∈N es una sucesion de conjuntos disjuntos de A y si notamos A =⋃n∈NAn entonces

ν(A) =∫

Sn∈N An

f(x)dµ(x) =∑n∈N

∫An

f(x)dµ(x) =∑n∈N

ν(An).

=⇒ Muy util para construir nuevas medidas!

Esta definicion tiene repercusiones importantes en la teorıa de la integracion.

2. Lema de Fatou

Teorema 2 (Lema de Fatou) Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea (fn)n∈N una sucesion de funcionesA -medibles definidas sobre X a valores en R+. Entonces se tiene la desigualdad:∫

Xlım ınfn→+∞

fn(x)dµ(x) ≤ lım ınfn→+∞

∫Xfn(x)dµ(x).

Demostracion. Para cada n ∈ N definimos una nueva funcion gn : X −→ R+ de la siguiente forma:

gn = ınfk≥n

fk

de manera que cada funcion gn es A -medible y se tiene, para todo x ∈ X las relaciones

g0 ≤ g1 ≤ ... y lım ınfn→+∞

fn = lımn→+∞

gn.

Puesto que tenemos la mayoracion gn ≤ fn para todo n ∈ N, al aplicar el teorema de convergencia monotona deBeppo Levi obtenemos∫

Xlım ınfn→+∞

fn(x)dµ(x) = lımn→+∞

∫Xgn(x)dµ(x) ≤ lım ınf

n→+∞

∫Xfn(x)dµ(x).

Lo que termina la demostracion.

2

3. Convergencia dominada

Sin duda el teorema mas famoso de la teorıa de la integracion.

Teorema 3 (Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue (T.C.D.L.)) Sea (X,A , µ) unespacio medido y sean f una funcion y (fn)n∈N una sucesion de funciones, ambas A -medibles definidassobre X a valores en R o C. Hacemos las siguientes hipotesis:

1) para µ-casi todo x ∈ X se tiene lımn→+∞

fn(x) = f(x),

2) existe una funcion integrable g : X −→ R o C tal que se tenga, para todo n, la estimacion |fn(x)| ≤ g(x)µ-casi en todas partes en X.

Entonces f es una funcion integrable y

lımn→+∞

∫Xfn(x)dµ(x) =

∫Xf(x)dµ(x) (3)

Demostracion.

La integrabilidad de la funcion lımite f se deduce de la integrabilidad de la funcion g:∣∣∣∣∫Xf(x)dµ(x)

∣∣∣∣ ≤ ∫X|f(x)|dµ(x) ≤

∫Xg(x)dµ(x) < +∞.

Mostremos (3) suponiendo que las dos hipotesis se verifican para todo punto deX y que g(x) < +∞ para todox ∈ X. La sucesion (g+fn)n∈N es una sucesion de funciones positivas tales que (g+f)(x) = lım

n→+∞(g+fn)(x),

para todo x ∈ X. Aplicamos el Lema de Fatou (teorema 2) para obtener la estimacion∫X

(g + f)(x)dµ(x) ≤ lım ınfn→+∞

∫X

(g + fn)(x)dµ(x)

de donde se obtiene, por la aditividad de la integral, la desigualdad∫Xf(x)dµ(x) ≤ lım ınf

n→+∞


Un argumento similar aplicado a la sucesion (g − fn)n∈N muestra que∫X

(g − f)(x)dµ(x) ≤ lım ınfn→+∞

∫X

(g − fn)(x)dµ(x),

es decir ∫Xf(x)dµ(x) ≥ lım ınf

n→+∞


Gracias a las estimaciones (4) y (5) se obtiene la identidad deseada.

Las hipotesis se verifican en µ-casi todas partes. Observese que por el corolario 3.2.9 del folleto, si se tiene∫X g(x)dµ(x) < +∞, entonces se obtiene la estimacion g(x) < +∞ µ-casi todas partes.

Es posible entonces repetir el argumento utilizado en la demostracion del teorema 1 considerando los con-juntos N y N c segun si se tiene o no la convergencia.

Convergencia en µ-c.t.p. + hipotesis de acotacion (o dominacion) =⇒ lımn→+∞

∫X fndµ =

∫X lımn→+∞

fndµ

3

Ejemplos

(i) Consideremos el lımite siguiente:

lımn→+∞

(∫ 1

0nxe−nxdx

).

Calculando directamente se puede ver que el lımite tiende a cero; pero tambien se puede aplicar el T.C.D.L.a las funciones fn(x) = nxe−nx1[0,1](x). Tenemos fn(x) −→

n→+∞0 para todo x y ademas se tienen las estima-

ciones 0 ≤ fn(x) ≤ 1[0,1](x) de modo que podemos aplicar el teorema 3 para escribir

lımn→+∞

(∫ 1

0nxe−nxdx

)=∫ 1

0lım

n→+∞nxe−nxdx = 0.

(ii) Ahora estudiemos el lımite a continuacion:

lımn→+∞

(∫ 1

0nx2e−nx

2dx

).

ya no es posible realizar un calculo directo de la integral, =⇒ es necesario pasar por el T.C.D.L. Dadoque las funciones fn(x) = nx2e−nx

21[0,1](x) tienden a cero si n → +∞ y que se tienen las estimaciones

0 ≤ fn(x) ≤ 1[0,1](x), podemos afirmar que el lımite de la expresion anterior tiende a cero si n→ +∞.

4. Integrales dependientes de un parametro

Teorema 4 (Continuidad con respecto a un parametro) Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea(E, d) un espacio metrico. Sea f : X × E −→ K una funcion que verifica las tres condiciones siguien-tes:

1) para todo t ∈ E la funcion x 7−→ f(x, t) es medible,

2) para µ-casi todo x ∈ X la funcion t 7−→ f(x, t) es continua en el punto t0,

3) en µ-casi todas partes existe una funcion µ-integrable g : X −→ K tal que para todo t ∈ E se tiene laestimacion

|f(x, t)| ≤ g(x)

Entonces, la funcion definida por

ϕ : E −→ K

t 7−→ ϕ(t) =∫Xf(x, t)dµ(x) (6)

es continua en el punto t0.

Demostracion. Para verificar la continuidad de la funcion ϕ en el punto t0, debemos probar que si (tn)n∈Nes una sucesion de puntos de E que converge hacia t0, entonces ϕ(tn) −→ ϕ(t0).

Para ello utilizaremos dos funciones auxiliares ψ(x) = f(x, t0) y ψn(x) = f(x, tn). Por la tercera hipotesistenemos que |ψn(x)| ≤ g(x) µ-casi todas partes para todo entero n. Por la segunda hipotesis tenemos que ψn(x)converge hacia ψ(x) para µ-casi todo x y como las funciones ψn son medibles (por la primera hipotesis), verificamostodas las condiciones para poder aplicar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue:

ϕ(t0) =∫Xψ(x)dµ(x) = lım

n→+∞

∫Xψn(x)dµ(x) = lım

n→+∞ϕ(tn),

4

Ejemplos

(i) Sea la funcion

ϕ :]0, 1[ −→ R

t 7−→ ϕ(t) =∫ +∞

0

xt−1

1 + xdx.

Notamos f(x, t) la funcion definida sobre [0,+∞[×]0, 1[ determinada por f(x, t) = xt−1

1+x .

1) la funcion x 7−→ f(x, t) es medible para todo t ∈]0, 1[ por ser el cociente de dos funciones medibles,

2) la funcion t 7−→ f(x, t) es continua para todo x ∈ [0,+∞[,

3) para la hipotesis de dominacion escribimos f(x, t) = e(t−1) ln(x)

1+x . Observamos que la funcion f(x, ·) escreciente si x ≥ 1 y decreciente si x < 1; esto nos lleva a considerar a, b dos parametros reales tales que0 < a < t < b < 1 y a definir una funcion g : [0,+∞[−→ R de la siguiente forma:

g(x) =

xa−1

1+x si 0 < x < 1

xb−1

1+x si 1 ≤ x.

Tenemos entonces la estimacion |f(x, t)| ≤ g(x) valida para todo x ∈ [0,+∞[ y ademas se tiene que∫ +∞0 g(x)dx < +∞.

Dado que hemos verificado las hipotesis del teorema 4 =⇒ la funcion ϕ es continua sobre ]0, 1[.

(ii) Sea f : R −→ C una funcion tal que∫ +∞−∞ |f(x)|dx < +∞. Definimos su Transformada de Fourier , notada

F (f) o f , por la siguiente formula:

F (f)(ξ) = f(ξ) =∫ +∞

−∞f(x)e−iξxdx. (7)

Verifiquemos las hipotesis de aplicacion del teorema 4:

1) la funcion x 7−→ f(x)e−iξx es medible para todo ξ por ser el producto de dos funciones medibles,

2) la funcion ξ 7−→ f(x)e−iξx es evidentemente continua para todo x,

3) la hipotesis de dominacion se obtiene observando que∣∣∣f(x)e−iξx∣∣∣ ≤ |f(x)|.

Aplicando el teorema de continuidad de la integral con respecto a un parametro =⇒ la funcion f : R −→ Ces continua.

Corolario 2 (Continuidad de la integral con respecto a la cota superior) Sea f una funcion inte-grable definida sobre la recta real R a valores en R y sea α ∈ R un real. Entonces la funcion definidapor

ϕ : t 7−→∫ t

αf(x)dx (8)

es continua para todo t > α.

Prueba. Basta aplicar el teorema 4 a la funcion g(x, t) = f(x)1[α,t](x). En efecto, esta funcion g es continuaen el punto t0 para todo x 6= t0 y puesto que se tiene la mayoracion |g(x, t)| ≤ |f(x)| podemos aplicar sin problemael resultado precedente y terminar la demostracion.

5

Teorema 5 (Derivacion bajo el signo integral) Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea I un intervaloabierto de R. Sea f : X × I −→ K una funcion y suponemos que existe N un conjunto de µ-medida nulatales que

1) para todo t ∈ I la funcion x 7−→ f(x, t) es integrable,

2) la derivada parcial ∂f∂t (x, t) existe en todo punto x ∈ X0 × I en donde notamos X0 = X \ N .

3) existe una funcion integrable g : X0 −→ K tal que para todo x ∈ X0 se tiene∣∣∣∣∂f∂t (x, t)∣∣∣∣ ≤ |g(x)| en µ-casi todas partes.

Entonces, la funcion definida por

ψ : I −→ K

t 7−→∫Xf(x, t)dµ(x)

es derivable y se tiened

dtψ(t) =

∫X

∂f

∂t(x, t)dµ(x). (9)

Demostracion. Sea t0 un punto de I y sea (an)n∈N una sucesion de reales no nulos, lo suficientementepequenos para que t0 + an este en I, y tales que an −→

n→+∞0. Definimos la funcion

ϕn(x) =f(x, t0 + an)− f(x, t0)

an;

de manera que lımn→+∞

ϕn(x) = ∂f∂t (x, t0). Por la formula de los crecimientos finitos, obtenemos

|ϕn(x)| ≤ sup0≤θ≤1

∣∣∣∣∂f∂t (x, t0 + θan)∣∣∣∣ ≤ |g(x)|.

Aplicamos el T.C.D.L. y obtenemos que la funcion ϕ : x 7−→ ∂f∂t (x, t0) es integrable y que∫

X

∂f

∂t(x, t0)dµ(x) = lım

n→+∞

∫Xϕn(x)dµ(x)

= lımn→+∞

ψ(t0 + an)− ψ(t0)an

.

Dado que la sucesion (an)n∈N es arbitraria, tenemos que la funcion ψ es derivable en el punto t0 y por lo tanto seobtiene la formula (9) para la derivada de ψ.

Ejemplos

(i) Consideramos la funcion f(x, t) = 1[0,t[(x) definida sobre R a valores reales. Vemos que la derivada parcial∂f∂t (x, t0) existe para casi todo x (x 6= t0) y es nula, pero las hipotesis del teorema 5 exigen mas: hay queencontrar un conjunto N de medida nula tal que para todo x /∈ N la derivada parcial existe para todo t.En este caso esto es imposible y si derivamos sin precaucion obtenemos un resultado falso. Si por un ladotenemos ∫ t

0

∂f

∂t(x, t)dx = 0,

por otro lado tenemos ddtϕ(t) = 1: esto muestra a posteriori no se puede aplicar el teorema de derivacion

bajo el signo integral si no se cumplen las hipotesis.

6

(ii) El segundo ejemplo que tratamos aquı corresponde a la funcion

f(x, t) =xt−1

1 + x=e(t−1) ln(x)

1 + x.

Deseamos aplicar el teorema de derivacion bajo el signo integral y para ello verificaremos las hipotesis nece-sarias. Ya vimos que esta funcion es continua y que es integrable para todo t ∈]0, 1[, lo que nos proporcionala primera hipotesis.

Dado que se tiene para todo x ∈ [0,+∞[ la identidad ∂∂tf(x, t) = ln(x)f(x, t) tenemos la segunda hipotesis.

Finalmente si definimos, para 0 < a < t < b < 1, la funcion

g(x) =

∣∣∣ln(x)x

a−1

1+x

∣∣∣ si 0 < x < 1∣∣∣ln(x)xb−1

1+x

∣∣∣ si 1 ≤ x;

obtenemos la tercera hipotesis pues∫ +∞0 g(x)dx < +∞. Todo esto nos permite concluir que se tiene la

identidad

d

dtϕ(t) =

∫ +∞

0ln(x)

xt−1

1 + xdx.

5. Integracion en los espacios producto

Principal objetivo: resolver integrales dobles por medio de integrales simples.

¿pero que es una integral doble?

=⇒ Los ejemplos anteriores muestran la importancia de medir funciones que dependen de mas de una solavariable. Cuando hay dos variables, definidas sobre dos espacios medidos distintos, hablaremos de integralesdobles.

=⇒ Es necesario construir la integral sobre el producto de espacios medidos.

σ-algebras producto

Sean (X,A ) y (Y,B) dos espacios medibles. Llamaremos un subconjunto del producto cartesiano X × Y unrectangulo de lados medibles si es de la forma A×B para algun A ∈ A y algun B ∈ B. El conjunto de rectangulosmedibles sera notado por

A ×B = A×B;A ∈ A , B ∈ B.

=⇒ Si X = Y = R, dotado de la σ-algebra de los Borelianos, un adoquın es un rectangulo de lados medibles.

Definicion 2 (σ-algebra producto) Sean (X,A ) y (Y,B) dos espacios medibles. Definimos el productotensorial de las σ-algebras A y B como la σ-algebra engendrada

A ⊗B = σ(A ×B).

=⇒ si consideramos X y Y dotados de las σ-algebras A = ∅, X y B = ∅, Y respectivamente, vemos queA ⊗B = ∅, X × Y .

7

Teorema 6 Sean X y Y dos espacios topologicos. Entonces la σ-algebra boreliana del espacio productoX × Y contiene al producto de la σ-algebra boreliana de X por la σ-algebra boreliana de Y :

Bor(X)⊗ Bor(Y ) ⊂ Bor(X × Y ).

Si X y Y son espacios topologicos a base numerable de abiertos, entonces se tiene la identidad

Bor(X)⊗ Bor(Y ) = Bor(X × Y ).

Corolario 3 Para todo p, q ≥ 1 tenemos Bor(Rp+q) = Bor(Rp)⊗ Bor(Rq).

Necesidad de “congelar” las variables =⇒ introduccion de la nocion de “secciones”.

Definicion 3 Sean X y Y dos conjuntos y sea E un subconjunto de X × Y . Para todo x ∈ X y todo y ∈ Ydefinimos las secciones Ey y Ex como

Ey = x ∈ X : (x, y) ∈ E y Ex = y ∈ Y : (x, y) ∈ E.

Si f es una funcion definida sobre X × Y , entonces las secciones fy y fx estan definidas por

fy(x) = f(x, y) y fx(y) = f(x, y).

Proposicion 1 Sean (X,A ) y (Y,B) dos espacios medibles.

1) Si E es un subconjunto de X × Y que pertenece a A ⊗B, entonces cada seccion Ex pertenece a B ycada seccion Ey pertenece a A .

2) Si f es una funcion A ⊗B-medible definida sobre X × Y a valores en K, entonces cada seccion fx esB-medible y cada seccion fy es A -medible.

Prueba.

1) Supongamos que x ∈ X y sea F la coleccion de todos los subconjuntos E de A ⊗B tales que Ex pertenecea B. Vamos a mostrar que F es una σ-algebra que coincide con A ⊗B.

Si A ∈ A y B ∈ B, entonces A×B ∈ A ⊗B y se tiene

(A×B)x =B si x ∈ A∅ si x /∈ A.

(10)

=⇒ todos los rectangulos de lados medibles pertenecen a F y en particular se tiene que X × Y ∈ F .=⇒ si E ∈ F , tenemos que Ec ∈ F pues (Ec)x = y ∈ Y : (x, y) ∈ Ec = y ∈ Y : (x, y) ∈ Ec = (Ex)c.=⇒ si (En)n∈N ∈ F , entonces

⋃n∈NEn ∈ F puesto que

(⋃n∈NEn

)x

=⋃n∈N(En)x.

Estos tres puntos muestran que F es una σ-algebra contenida en A ⊗B que contiene todos los rectangulosde lados medibles. Pero dado que A ⊗B es la mas pequena σ-algebra que contiene este tipo de rectangulosse deduce F = A ⊗B.

Un razonamiento similar demuestra que si E es un subconjunto de X ×Y que pertenece a A ⊗B, entoncescada seccion Ey pertenece a A .

2) Para esta segunda parte vemos que si f es A ⊗B-medible entonces, para todo abierto U de K, el conjuntoE = (x, y) ∈ X × Y : f(x, y) ∈ U pertenece a A ⊗B. Por la primera parte, para todo x ∈ X y todoy ∈ Y , las secciones Ex y Ey son B-medibles y A -medibles respectivamente, lo que demuestra que fx y fy

son medibles.

8

Proposicion 2 Sean (X,A , µ) y (Y,B, ν) dos espacios medidos σ-finitos. Si E pertenece a la σ-algebraA ⊗B, entonces las funciones

ϕ : X −→ R y ψ : Y −→ Rx 7−→ ν(Ex) y 7−→ µ(Ey)

son A -medible y B-medible respectivamente.

Prueba.

1. La medida ν es finita.

Sea F la clase de los conjuntos E ∈ A ⊗B tales que la funcion x 7−→ ν(Ex) es A -medible. Vamos a verificarque F = A ⊗B.

Si A ∈ A y B ∈ B, utilizando la formula (10) podemos escribir

ν((A×B)x) = ν(B)1A(x), (11)

de manera que el rectangulo A×B pertenece a F pues la funcion ν(B)1A(x) es A -medible. En particular,el espacio X × Y pertenece a F .

Si E y F son dos conjuntos de A ⊗B tales que E ⊂ F , entonces se tiene ν((F \E)x) = ν(Fx)− ν(Ex) quees una funcion A -medible, lo que muestra que F es estable por diferencia propia.

Sea ahora (En)n∈N una sucesion creciente de conjuntos de A⊗B. Vemos que se tiene la identidad ν((∪nEn)x) =lım

n→+∞ν((En)x); dado que la funcion lımite es A -medible, se deduce que F es estable por diferencia propia

y por union numerable de sucesiones crecientes. Es por lo tanto una clase monotona.

Puesto que la familia de rectangulos de lados medibles es estable por construccion de intersecciones finitas,el teorema 2.2.5 del folleto nos proporciona la identidad F = A ⊗B. Obtenemos entonces que la aplicacionx 7−→ ν(Ex) es medible para cada conjunto E de A ⊗B.

2. La medida ν es σ-finita.

Sea (Dn)n∈N una sucesion de conjuntos disjuntos que pertenecen a B, de medida finita con respecto a ν ytales que

⋃n∈NDn = Y . Para cada n definimos una medida finita νn sobre B escribiendo νn(B) = ν(B∩Dn).

Tenemos pues que las funciones x 7−→ νn(Ex) son A -medibles para todo n.Dado que la identidad ν(Ex) =

∑n∈N νn(Ex) se verifica para todo x, se deduce la medibilidad que la apli-

cacion x 7−→ ν(Ex).

La funcion y 7−→ µn(Ey) puede ser tratada de manera totalmente similar lo que termina la demostracion.

9

Medidas producto

Teorema 7 Sean (X,A , µ) y (Y,B, ν) dos espacios medidos σ-finitos. Existe entonces una sola medidadefinida sobre A ⊗B, llamada medida producto y notada µ⊗ ν tal que para todo A ∈ A y B ∈ B se tienela relacion para los rectangulos medibles:

µ⊗ ν(A×B) = µ(A)ν(B).

La medida con respecto a µ⊗ ν de un conjunto cualquiera E de A ⊗B esta dada por

µ⊗ ν(E) =∫Xν(Ex)dµ(x) =

∫Yµ(Ey)dν(y). (12)

Notese que esta formula permite calcular la medida de los conjuntos A ⊗B-medibles a partir de las medidasiniciales µ y ν. Obtenemos ası un espacio medido sobre el producto cartesiano de X y Y que notaremos(X × Y,A ⊗B, µ⊗ ν).

Demostracion. La medibilidad de las aplicaciones x 7−→ ν(Ex) y y 7−→ µ(Ey) para cada conjunto E ∈ A ⊗Bse deduce de la proposicion anterior. Podemos entonces definir las funciones (µ ⊗ ν)1 y (µ ⊗ ν)2 sobre A ⊗Bdeterminadas por

(µ⊗ ν)1(E) =∫Yµ(Ey)dν(y) y (µ⊗ ν)2(E) =

∫Xν(Ex)dµ(x).

Observamos sin problema que (µ ⊗ ν)1(∅) = (µ ⊗ ν)2(∅) = 0. Si (En)n∈N es una sucesion de conjuntos disjuntosde A ⊗B y si E = ∪nEn y si y ∈ Y ; entonces (Eyn)n∈N es una sucesion de conjuntos disjuntos de A tales queEy = ∪nEyn y por lo tanto se tiene µ(Ey) =

∑n∈N µ(Eyn). Podemos ahora aplicar el corolario 1, que nos permite

intercambiar los sımbolos “∫

” y “∑

”, para obtener las identidades siguientes:

(µ⊗ ν)1(E) =∫Yµ(Ey)dν(y) =

∑n∈N

∫Yµ(Eyn)dν(y) =

∑n∈N

(µ⊗ ν)1(En).

Deducimos entonces que la aplicacion (µ ⊗ ν)1 es numerablemente aditiva y, repitiendo este razonamiento, seobtiene un resultado totalmente analogo para (µ⊗ ν)2.

Para el caso de los rectangulos medibles, es facil verificar que si A ∈ A y B ∈ B entonces se tiene

(µ⊗ ν)1(A×B) = µ(A)ν(B) = (µ⊗ ν)2(A×B).

De todos estos puntos deducimos que (µ⊗ν)1 y (µ⊗ν)2 son medidas sobre A ⊗B que proporcionan los resultadosdeseados sobre los rectangulos de lados medibles.

La unicidad de µ⊗ ν se obtiene entonces por el corolario 2.2.3. del folleto y por el teorema de unicidad de lasmedidas, lo que implica en particular que (µ⊗ ν)1 = (µ⊗ ν)2 y que se tiene (12) para todo E ∈ A ⊗B.

Corolario 4 Sea (X × Y,A ⊗B, µ⊗ ν) un espacio medido producto y sea E ∈ A ⊗B, las proposicionessiguientes son equivalentes:

1) E es de µ⊗ ν-medida nula,

2) Ex es de ν-medida nula para µ-casi todo x ∈ X,

3) Ey es de µ-medida nula para ν-casi todo y ∈ Y .

10

Ejemplos

(i) Sea X = Y = R de manera que X × Y = R2. Sea λ la medida de Lebesgue sobre R y λ2 la medida deLebesgue 2-dimensional. Vemos entonces que para todo adoquın Γ de la forma [a, b]× [c, d] tenemos el mismoresultado aplicando λ2 o λ⊗ λ:

λ2(Γ) = (b− a)(d− c) = λ([a, b])λ([c, d]),

lo que nos proporciona una segunda construccion de la medida de Lebesgue de R2.

(ii) Sea ahora a ∈ X y b ∈ Y dos puntos. Tenemos entonces entre las medidas de Dirac la relacion

δa ⊗ δb = δ(a,b).

Mas generalmente si µ =∑

i∈I αiδai y si ν =∑

j∈J βjδbj tenemos la formula

µ⊗ ν =∑

(i,j)∈I×J

αiβjδ(ai,bj).

Observacion 1 Es importante insistir en las hipotesis de este teorema. En efecto, si no suponemos que lasmedidas que intervienen en este teorema son σ-finitas, no se tiene necesariamente la unicidad de la medidaproducto µ⊗ ν y ademas la formula (12) puede ser falsa.

Demos un ejemplo clasico de esta situacion: sea X = [0, 1], sea µ la medida de Lebesgue sobre la σ-algebraBor([0, 1]) y sea ν la medida de conteo del conjunto de partes (no numerable) de Y = [0, 1]. Notese que estamedida ν no es σ-finita. Vemos entonces que la diagonal del cuadrado E = [0, 1] × [0, 1] es un elemento de laσ-algebra producto y se tiene ∫

Xν(Ex)dµ(x) = 1 6=

∫Yµ(Ey)dν(y) = 0.

Teoremas de Fubini-Tonelli

Estos teoremas nos permite evaluar integrales dobles por medio de integrales simples

=⇒ resultados importantısimos!

Teorema 8 (Tonelli) Sean (X,A , µ) y (Y,B, ν) dos espacios medidos σ-finitos y consideremos f : X ×Y −→ [0,+∞] una funcion A ⊗B-medible. Entonces

1) las funciones

ϕ : X −→ [0,+∞] y ψ : Y −→ [0,+∞]

x 7−→∫Yf(x, y)dν(y) y 7−→

∫Xf(x, y)dµ(x)

son A -medibles y B-medibles respectivamente.

2) si las funciones ϕ y ψ son integrables sobre X y Y respectivamente, la funcion f es integrable sobreX × Y y se tienen las identidades siguientes∫

X×Yf(x, y)dµ⊗ ν(x, y) =

∫Y

(∫Xf(x, y)dµ(x)

)dν(y)

=∫X

(∫Yf(x, y)dν(y)

)dµ(x). (13)

11

Demostracion. Supongamos para empezar que E pertenece a la σ-algebra producto A ⊗B y que f es lafuncion indicatriz de E. Tenemos entonces que las secciones fx y fy son las funciones indicatrices de las seccio-nes Ex y Ey de manera que se tienen las relaciones

∫Y fx(y)dν(y) = ν(Ex) y

∫X f

y(x)dµ(x) = µ(Ey) para todo x, y.

Por la proposicion 2 y por el teorema 7 obtenemos los puntos 1) y 2) para las funciones indicatrices de conjun-tos, mientras que la aditividad y la homogeneidad de la integral implican que estos puntos siguen siendo validospara las funciones simples A ⊗B-medibles. Sea ahora f una funcion A ⊗B-medible. Por el teorema de aproxi-macion por medio de funciones simples, existe una sucesion (fn)n∈N de funciones simples crecientes que convergenhacia f . El primer punto se deduce entonces por la estabilidad de las funciones medibles. El segundo punto seobtiene utilizando el teorema de convergencia monotona.

Vemos entonces que se tienen estos dos puntos para todas las funciones positivas A ⊗B-medibles, terminandoası la demostracion.

Teorema 9 (Fubini) Sean (X,A , µ) y (Y,B, ν) dos espacios medidos σ-finitos. Sea f una funcion definidasobre X × Y a valores en K, integrable con respecto a la medida producto µ⊗ ν. Entonces

1) para µ-casi todo punto x ∈ X la seccion fx es ν-integrable y para ν-casi todo punto y ∈ Y la seccionfy es µ-integrable.

2) se tienen las relaciones siguientes:∫X×Y

f(x, y)dµ⊗ ν(x, y) =∫Y

(∫Xf(x, y)dµ(x)

)dν(y)

=∫X

(∫Yf(x, y)dν(y)

)dµ(x). (14)

Demostracion. Tratamos solamente el caso de funciones a valores reales pues el caso complejo se deducefacilmente del primero utilizando argumentos ya explicitados anteriormente.

Sea pues f una funcion integrable sobre X × Y (y por lo tanto A ⊗B-medible) y sean f+ y f− las partespositivas y negativas de f . La proposicion 1 nos asegura que las aplicaciones fx, (f+)x y (f−)x son B-medibles yel teorema de Tonelli implica que las funciones

x 7−→∫Y

(f+)x(y)dν(y) y x 7−→∫Y

(f−)x(y)dν(y)

son A -medibles y µ-integrables, y son por lo tanto finitas µ-c.t.p. por el corolario 3.2.9. De manera que la funcionfx es ν-integrable para µ-casi todo x.

Gracias a estos puntos tenemos entonces que la aplicacion∫Y f(x, y)dν(y) pertenece al espacio L(X,A , µ) y

el teorema de Tonelli nos permite escribir∫X×Y

f(x, y)dµ⊗ ν(x, y) =∫X×Y

f+(x, y)dµ⊗ ν(x, y)−∫X×Y

f−(x, y)dµ⊗ ν(x, y)

=∫X

(∫Yf+x (y)dν(y)

)dµ(x)−

∫X

(∫Yf−x (y)dν(y)

)dµ(x)

=∫X

(∫Yf(x, y)dν(y)

)dµ(x).

Con esto hemos terminado la demostracion del teorema dado que un argumento totalmente similar se utiliza paratratar fy.

12

Observacion 2 Los teoremas de Tonelli y de Fubini pueden parecer a primera vista muy similares, sin embargoson muy diferentes y son utilizados en situaciones distintas. El teorema de Tonelli nos dice que si las integralessimples existen y son finitas entonces la integral doble existe y es finita. Por el contrario, el teorema de Fubinitiene como hipotesis la integrabilidad doble a partir de la cual se deduce la finitud de las integrales simples.

Ejemplos

(i) Si la inversion del orden de integracion conduce a resultados distintos se obtiene a posteriori que el teoremade Fubini no se aplica. Consideremos por ejemplo X = Y = [0, 1] dotado de su σ-algebra natural y la funcionf : [0, 1]× [0, 1] −→ R definida por

f(x, y) =x2 − y2

(x2 + y2)2

si (x, y) 6= (0, 0) (dado que el conjunto (0, 0) es de medida nula no es necesario definir la funcion en estepunto). Observando que se tienen las identidades

d

dx

(−x

x2 + y2

)=

x2 − y2

(x2 + y2)2y

d

dy

(y

x2 + y2

)=

x2 − y2

(x2 + y2)2,

estamos tentados en realizar los calculos siguientes:∫ 1

0

x2 − y2

(x2 + y2)2dx =

−1y2 + 1

y∫ 1

0

x2 − y2

(x2 + y2)2dy =

1x2 + 1

.

A partir de estos calculos obtenemos el resultado contradictorio siguiente∫ 1

0

−1y2 + 1

dy = −π4

y∫ 1

0

1x2 + 1

dx =π

4.

Este ejemplo ilustra la necesidad de verificar cuidadosamente las hipotesis del teorema 9 antes de lanzarse encalculos que pueden resultar falsos. En efecto, vemos sin mayor dificultad que f+(x, y) = x2−y2

(x2+y2)21[0,1](x)1[0,x](y)

y obtenemos entonces∫ 1

0

(∫ 1

0f+(x, y)dy

)dx =

∫ 1

0

(∫ 1

0

x2 − y2

(x2 + y2)21[0,1](x)1[0,x](y)dy

)dx

=∫ 1

0

(y

x2 + y2

∣∣∣∣x0

)dx =

∫ 1

0

dx

2x= +∞,

de donde se deduce que la funcion f(x, y) no es integrable con respecto a la medida producto y que por lotanto no se puede aplicar el teorema de Fubini.

(ii) Un caso simple de aplicacion del teorema de Tonelli se encuentra cuando se multiplica dos funciones in-tegrables definidas sobre conjuntos distintos: sean (X,A , µ) y (Y,B, ν) dos espacios medidos σ-finitos ysean g : X −→ [0,+∞[ y h : Y −→ [0,+∞[ dos funciones µ y ν integrables respectivamente. Si definimosf(x, y) = g(x)h(y) tenemos por el teorema de Tonelli que esta funcion es µ ⊗ ν-integrable. En efecto lasfunciones

ϕ : X −→ [0,+∞] y ψ : Y −→ [0,+∞]

x 7−→ g(x)∫Yh(y)dν(y) y 7−→ h(y)

∫Xg(x)dµ(x)

son integrables lo que nos permite escribir∫X×Y

f(x, y)dµ⊗ ν(x, y) =(∫

Xg(x)dµ(x)

)(∫Yh(y)dν(y)

).

13

Integrales multiples

Sea pues (X1,A1, µ1), ..., (Xn,An, µn) una coleccion finita de n espacios σ-finitos. Observemos para empezarque existe una correspondencia inyectiva del conjunto (X1 × · · · ×Xn−1) ×Xn sobre el conjunto X1 × · · · ×Xn

determinada porϕ((x1, ..., xn−1), xn) = (x1, ..., xn) para todo xi ∈ Xi, i = 1, ..., n.

Este hecho nos sugiere que podemos utilizar lo anterioremente expuesto para la construccion de espaciosmedidos multiples. Definimos entonces la σ-algebra A1⊗· · ·⊗An sobre X1×· · ·×Xn como la σ-algebra engendradapor los rectangulos de la forma A1 × · · · ×An en donde Ai ∈ Ai para todo 1 ≤ i ≤ n:

A1 ⊗ · · · ⊗An = σA1 × · · · ×An : Ai ∈ Ai; 1 ≤ i ≤ n

Vemos entonces que la aplicacion ϕ transforma los conjuntos que generan la σ-algebra (A1⊗ · · ·⊗An−1)⊗An

en los conjuntos que generan la σ-algebra A1 ⊗ · · · ⊗An, de manera que un conjunto E ∈ X1 × · · ·Xn pertenecea A1 ⊗ · · · ⊗An si y solo si ϕ−1(E) pertenece a (A1 ⊗ · · · ⊗An−1)⊗An.

Esto nos permite entonces aplicar n − 1 veces el teorema 7 para obtener una medida µ1 ⊗ · · · ⊗ µn definidasobre A1 ⊗ · · · ⊗An que verifique la identidad siguiente

µ1 ⊗ · · · ⊗ µn(A1 × · · · ×An) =n∏i=1

µi(Ai)

para todo Ai ∈ Ai con 1 ≤ i ≤ n, obteniendo ası un espacio medido sobre el producto X1×· · ·×Xn que notaremos(X1 × · · · ×Xn,A1 ⊗ · · · ⊗An, µ1 ⊗ · · · ⊗ µn).

Los teoremas de Fubini-Tonelli generalizados a las integrales multiples nos proporcionan resultados del tiposiguiente en donde se puede intercambiar el orden de integracion, siempre y cuando se verifiquen las hipotesisnecesarias:∫

X1×X2×X3

f(x1, x2, x3)dµ⊗ ν ⊗ η(x1, x2, x3) =∫X1

(∫X2

(∫X3

f(x1, x2, x3)dη(x3))dν(x2)

)dµ(x1)

=∫X1

(∫X3

(∫X2

f(x1, x2, x3)dν(x2))dη(x3)

)dµ(x1)

=∫X3

(∫X2

(∫X1

f(x1, x2, x3)dµ(x1))dν(x2)

)dη(x3)

14



Ejercicios Leccion n5: Teoremas clasicos EPN, verano 2009

Ejercicio 1 — Convergencia Monotona

Mostrar con un ejemplo que el teorema de convergencia monotona de Beppo Levi es falso en el marco de laintegral de Riemann.

Ejercicio 2 — Construccion de nuevas medidas

En este ejercicio consideramos como conjunto de base la recta real dotada de su estructura de espacio medidonatural. Para α > 0 un real definimos las funciones

f(x) = αe−αx1[0,1](x) + e−αδ1(x) y g(x) = e−αx1[0,+∞[(x) ++∞∑k=0

αk

k!e−αδk(x).

1. Construir las dos medidas µ y ν asociadas a estas funciones f y g.2. Determinar si estas medidas son finitas.3. Para cada una de estas medidas, estudiar la integrabilidad de la funcion ϕ(x) = 1[1,3](x) y calcular su

integral con respecto a estas medidas.

Ejercicio 3 — Lema de Fatou

Sobre la recta real R, dotada de la medida de Lebesgue, definimos la sucesion de funciones fn(x) = n21[0,1/n](x).1. ¿Hacia que funcion converge simplemente esta sucesion?2. Mostrar con este ejemplo que se tiene una desigualdad estricta en el Lema de Fatou.

Ejercicio 4 — Condicion de Lebesgue

Sea a un real. Definimos una sucesion de funciones (fn)n∈N sobre [0, 1] (dotado de la medida de Lebesgue) avalores reales por

fn(x) =2an2x

(1 + n2x2)2y escribimos gn(x) = nfn(x).


fn(x) y lımn→+∞

gn(x).

2. Verificar que se tiene

lımn→+∞

∫ 1

0fn(x)dx = a, y lım

n→+∞

∫ 1

0gn(x)dx = +∞.

3. ¿Porque no se obtiene la igualdad al intercambiar los signos “ lım” y “∫

”? Comparar las razones de estehecho con el ejercicio 5 de la leccion 1.

4. Sea (fn)n∈N la sucesion determinada por

fn(x) =

2n2x si 0 ≤ x ≤ 1/2n,

2n(1− nx) si 1/2n < x ≤ 1/n,

0 si 1/n < x ≤ 1.

¿Se obtiene la igualdad al intercambiar los signos “ lım” y “∫

”?

Justificarlo y compararlo con el ejemplo pagina 5 de la leccion 1.

1

Ejercicio 5 — T.C.D.L.

Mostrar que los lımites siguientes existen y calcular el valor de cada uno de ellos1. lım

n→+∞

∫ 10

cos(x/n)1+x2 dx

2. lımn→+∞

∫ 10 x

ne−nxdx

3. lımn→+∞

∫ n0

(1 + x

n

)ne−2xdx

Ejercicio 6 — Funciones definidas por integrales

Sea f ∈ I(R,Bor(R), λ,R) una funcion integrable y sea g(x) =∫ x0 f(t)dλ(t).

1. Mostrar que g es una funcion continua.2. Si f ∈ I(R, δ2,R) y si g(x) =

∫ x0 f(t)dδ2(t), ¿Se tiene que la funcion g es continua?

Ejercicio 7 — Teoremas de Continuidad y Derivacion

1. Sea g : R+ −→ R+ una funcion integrable y sea f(t) =∫ +∞0 e−txg(x)dx una nueva funcion.

a) Mostrar que f esta bien definida.b) Mostrar que f es infinitamente derivable y calcular su derivada n-esima.

2. Para todo x, t > 0 definimos f(t, x) = e−x−e−tx

x .a) Mostrar que para todo t > 0 la funcion x 7−→ f(t, x) es λ-integrable sobre R+.

Para t > 0 definimos F (t) =∫ +∞0 f(t, x)dx.

b) Mostrar que F (t) es continua sobre ]0,+∞[.c) Mostrar que F (t) es derivable sobre ]0,+∞[.d) Calcular F (t)′ y deducir el valor de F (t) para todo t > 0.

3. Sea f(t) =∫ +∞0

(sin(x)x

)2e−txdx.

a) Mostrar que f es continua sobre [0,+∞[.b) Verificar que f es derivable sobre ]0,+∞[.c) Mostrar que f es dos veces derivable sobre ]0,+∞[ y calcular f ′′(t) para todo t > 0.

Ejercicio 8 — Secciones

Sean los puntos del plano real a1 = (3/2, 1/2), a2 = (2, 1), a3 = (3/2, 3/2), a4 = (1, 1) y sea E el subconjuntode R2 que se obtiene al juntar estos puntos con rectas.

1. Calcular Ey y Ex

2. Definimos f(x, y) = 1E(x, y), calcular fy(x) y fx(y).3. Calcular

∫R2 f(x, y)dxdy.

Ejercicio 9 — Volumen de la Bola Unidad de Rn

Designaremos por Bn = x ∈ Rn : x21 + · · ·+x2

n ≤ 1 la bola unidad cerrada de Rn y notaremos Υn su volumen.

1. Mostrar que la funcion 1Bn(x) es integrable con respecto a la medida producto.

2. Verificar que se tiene la identidad λn−1(B(0,√

1− x2k)) = (1− x2

k)(n−1)/2Υn−1.

3. Mostrar la formulaΥn = Υn−1In−1

en donde hemos notado In =∫ 1−1(1− x2)n/2dx para todo n ≥ 0.

4. Calcular I0 y I1.5. Verificar que se tiene In = n

n+1In−2 para n ≥ 2.6. Demostrar la formula

Υn =πn/2

Γ(n2 + 1).

2



Leccion n6: Espacios de Lebesgue EPN, verano 2009

Todos los resultados anteriores permiten el estudio de espacios funcionales “bien definidos”

obtendremos espacios de Banach (espacios vectoriales normados y completos) - ¿que mas se puede pedir?!

estos espacios son fundamentales: son la base de muchos desarrollos posteriores!

1. Espacio de funciones esencialmente acotadas

Definicion 1 (Cota esencial) Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f : X −→ K una funcion medible.Definimos la cota esencial de f por medio de la formula

‖f‖L∞ = sup essx∈X

|f(x)| = ınfc ∈ R+ : µ(x ∈ X : |f(x)| > c) = 0.

=⇒ Sirve para medir la “altura” de las funciones.

Proposicion 1 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean f, g : X −→ K dos funciones medibles.

1) se tiene en µ-c.t.p. |f(x)| ≤ ‖f‖L∞

2) Si existe C ∈ R+ tq. µ-casi todo x ∈ X: |f(x)| ≤ C =⇒ ‖f‖L∞ ≤ C.

3) Si |g(x)| ≤ |f(x)| en µ-casi todas partes =⇒ ‖g‖L∞ ≤ ‖f‖L∞.

4) Si µ(X) < +∞ =⇒∫X |f(x)|dµ(x) ≤ CX‖f‖L∞ en donde CX = C(X).

Prueba.

1) & 2) Directamente de la definicion.

3) Si |g(x)| ≤ |f(x)| en µ-casi todas partes =⇒ |g(x)| ≤ |f(x)| ≤ ‖f‖L∞ en µ-c.t.p. =⇒ ‖g‖L∞ ≤ ‖f‖L∞ .

4) |f(x)| ≤ ‖f‖L∞ =⇒∫X |f(x)|dµ(x) ≤

∫X ‖f‖L∞dµ(x) = ‖f‖L∞µ(X).

Definicion 2 (Espacio L∞) Sea (X,A , µ) un espacio medido. Definimos el espacio de funciones esencial-mente acotadas L∞(X,A , µ,K) como el conjunto de funciones medibles f : X −→ K tales que para algunc ∈ R, el conjunto x ∈ X : |f(x)| > c es de µ-medida nula.

L∞(X,A , µ,K) = f : X −→ K : ‖f‖L∞ < +∞. (1)

Cuando el contexto este claro, notaremos L∞(X,µ) o mas simplemente L∞(X) para designar este espacio.

Ejemplo elemental: si A ∈ A entonces f(x) = 1A(x) es esencialmente acotada pues ‖f‖L∞ ≤ 1.

Proposicion 2 El espacio de funciones esencialmente acotadas L∞(X,A , µ,K) es un subespacio vectorialdel conjunto de las funciones medibles M(X,A ,K).

1

Prueba.

1) Para todo escalar λ ∈ K y para toda funcion f ∈ L∞(X,A , µ,K) se tiene λf ∈ L∞(X,A , µ,K):

‖λf‖L∞ = sup essx∈X

|λf(x)| = |λ|sup essx∈X

|f(x)| = |λ|‖f‖L∞ . (2)

2) Si las funciones f y g pertenecen al espacio L∞(X,A , µ,K), entonces la funcion suma f + g tambienpertenece al espacio L∞(X,A , µ,K). Puesto que se tiene |f | ≤ ‖f‖L∞ y |g| ≤ ‖g‖L∞ µ-c.t.p. podemosutilizar la desigualdad triangular para obtener

|(f + g)(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤ ‖f‖L∞ + ‖g‖L∞=⇒ ‖f + g‖L∞ = sup ess

x∈X|(f + g)(x)| ≤ ‖f‖L∞ + ‖g‖L∞ .

Observacion 1 Atencion: el espacio (L∞(X,A , µ,K), ‖ · ‖L∞) NO es un espacio normado.

Se tiene f(x) ≡ 0 =⇒ ‖f‖L∞ = 0 pero la recıproca no es verdadera: para todo conjunto A ∈ A de µ-medidanula se tiene que f(x) = 1A(x) 6= 0 pero ‖f‖L∞ = 0.

Es necesario una ligera modificacion:

Definicion 3 (Espacio L∞) Sea (X,A , µ) un espacio medido. Definimos el espacio L∞(X,A , µ,K) comoel conjunto de clases de funciones medibles [f ] definidas sobre X a valores en K tales que ‖[f ]‖L∞ < +∞.Es decir

L∞(X,A , µ,K) = f : X −→ K : ‖f‖L∞ < +∞, µ− c.t.p. . (3)

La principal consecuencia de trabajar µ-c.t.p. es la capacidad de capturar la informacion mas importante delas funciones (en este caso la cota esencial) levantando el problema de la separabilidad de la funcional ‖ · ‖L∞ . Eneste sentido tenemos el resultado:

Proposicion 3 El espacio de clases de funciones (L∞(X,A , µ,K), ‖ · ‖L∞) es un espacio vectorial normado.

Prueba. Razonando en µ-casi todas partes tenemos que todo representante [f ] ∈ L∞(X,A , µ,K) verifica ‖λ[f ]‖L∞ =|λ|‖[f ]‖L∞ para todo λ ∈ K, y que, para todo par de representantes [f ], [g] pertenecientes al espacio L∞(X,A , µ,K),se tiene la desigualdad triangular ‖[f ] + [g]‖L∞ ≤ ‖[f ]‖L∞ + ‖[g]‖L∞ .

Debemos verificar que se tiene la equivalencia ‖[f ]‖L∞ = 0 ⇐⇒ [f ] = [0]. La implicacion f = 0 µ-c.t.p.=⇒ ‖f‖L∞ = 0 es evidente y para la recıproca vemos sin problema que ‖f‖L∞ = 0 implica f = 0 µ-c.t.p.Asimilamos entonces esta funcion a la clase de la funcion nula [0] lo que nos permite terminar completamente lademostracion.

∗

Dado que el espacio de Lebesgue (L∞(X,A , µ,K), ‖ · ‖L∞) es un espacio normado, disponemos de todas laspropiedades de este tipo de espacios; ası, para todo f, g ∈ L∞(X,A , µ,K) tenemos con la formula

d(f, g) = ‖f − g‖L∞

la distancia inducida por la norma ‖·‖L∞ y diremos entonces que una sucesion de funciones esencialmente acotadas(fn)n∈N definidas sobre el espacio medido (X,A , µ) a valores en K converge hacia una funcion f en el sentido deL∞(X,A , µ,K) si

lımn→+∞

‖f − fn‖L∞ = 0.

2

Por ejemplo, sobre (X,A , µ) un espacio medido, la sucesion de funciones a valores reales fn(x) = (1− 1/n)1A(x),determinada para todo n ≥ 1 y para un conjunto A -medible A tal que µ(A) > 0, converge hacia f(x) = 1A(x)en el sentido de la norma ‖ · ‖L∞ pues se tiene

‖1A − (1− 1/n)1A‖L∞ = 1/n‖1A‖L∞ = 1/n −→n→+∞

0.

Teorema 1 El espacio (L∞(X,A , µ,K), ‖ · ‖L∞) es un espacio de Banach.

Demostracion. Debemos verificar que toda sucesion de Cauchy que pertenece al espacio funcional L∞(X,A , µ,K)es convergente en el sentido de la norma ‖ · ‖L∞ . Sea pues (fn)n∈N una sucesion de Cauchy arbitraria formada porfunciones esencialmente acotadas. Se tiene entonces que

(∀k ≥ 1)(∃Nk ∈ N)(∀n,m > Nk) : ‖fn − fm‖L∞ ≤ 1/k

Existe por lo tanto un conjunto Ak de medida nula tal que

|fn(x)− fm(x)| ≤ 1/k para todo x ∈ X \Ak. (4)

Si definimos el conjunto A =⋃+∞k=1Ak, vemos sin mayor problema que A es de µ-medida nula. Entonces, para

todo x ∈ X \ A tenemos que la sucesion puntual (fn(x))n∈N es de Cauchy en K y por lo tanto converge, puestoque el espacio K es completo, hacia un valor que notaremos f(x) y obtenemos de esta forma una funcion definidasobre X \A.

Hacemos ahora tender m −→ +∞ en (4) para obtener la estimacion

|fn(x)− f(x)| ≤ 1/k para todo x ∈ X \A

lo que nos permite afirmar que la funcion f es acotada sobre el conjuntoX\A. Para terminar, fijamos f(x) = 0 sobreA de manera que f esta definida sobre todo X. Por lo tanto esta funcion pertenece al espacio L∞(X,A , µ,K)y se tiene ‖fn − f‖L∞ −→

n→+∞0. Hemos demostrado que toda sucesion de Cauchy de L∞(X,A , µ,K) converge

en el sentido de la norma ‖ · ‖L∞ hacia una funcion esencialmente acotada: podemos concluir que el espacioL∞(X,A , µ,K) es un espacio normado completo lo que termina la demostracion.

2. Espacios de funciones de potencia p-eme integrables

Definicion 4 Sea 0 < p < +∞. Para (X,A , µ) un espacio medido y para f : X −→ K una funcion medibleescribimos

‖f‖Lp =(∫

X|f(x)|pdµ(x)

)1/p

con 0 < p < +∞. (5)

Proposicion 4 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean f, g : X −→ K dos funciones medibles.

1) Si |g(x)| ≤ |f(x)| en µ-casi todas partes, entonces ‖g‖Lp ≤ ‖f‖Lp.

2) Si µ(X) < +∞ entonces ‖1X‖Lp < +∞.

Prueba. El primer punto se deduce del hecho que la funcion t 7−→ tp es creciente para todo 0 < p < +∞ y delas propiedades de crecimiento de la integral mientras que el segundo punto es inmediato una vez que se observaque ‖1X‖Lp = µ(X)1/p.

3

Definicion 5 (Espacio Lp) Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea 0 < p < +∞ un parametro real. Elespacio de Lebesgue Lp(X,A , µ,K) esta definido como el conjunto de funciones medibles f : X −→ K cuyomodulo a la potencia p-esima es integrable, es decir:

Lp(X,A , µ,K) = f : X −→ K : ‖f‖Lp < +∞ (6)

Ejemplo: consideramos la recta real dotada de su estructura boreliana, α, β > 0 dos parametros reales yconsideremos la funcion definida sobre R \ 0 a valores reales:

f(x) =

1|x|α si |x| ≥ 1,

1|x|β si 0 < |x| < 1.

(7)

Observamos facilmente que si α > 1/p y β < 1/p, entonces f pertenece al espacio de Lebesgue Lp(R, dx) con0 < p < +∞ y se tiene ‖f‖Lp = [2p(α− β)/(αp− 1)(1− βp)]1/p:

‖f‖pLp =∫|x|<1

|x|−βpdx+∫|x|≥1

|x|−αpdx

= 2/(1− βp) + 2/(αp− 1) = [2p(α− β)/(αp− 1)(1− βp)] .

Podemos ver directamente gracias a este ejemplo que si α y β toman otros valores, la funcion f que hemosdefinido no pertenecera mas al espacio de Lebesgue Lp(R, dx).

=⇒ No existe por lo general ninguna relacion de inclusion entre los espacios de Lebesgue Lp(X,A , µ,K) yuna pequena modificacion de este razonamiento muestra que tampoco existe ninguna relacion de inclusion entreLp(X,A , µ,K) y L∞(X,A , µ,K).

Proposicion 5 Los espacios de Lebesgue Lp(X,A , µ,K) con 0 < p < +∞ son subespacios vectoriales delconjunto de funciones medibles M(X,A ,K).

Lema 1 Sean a, b dos reales positivos. Tenemos las dos desigualdades:

1) si 0 < p < 1 entonces(a+ b)p ≤ ap + bp, (8)

2) si 1 ≤ p < +∞ entonces(a+ b)p ≤ 2p−1(ap + bp). (9)

Prueba de la proposicion 5.

Tenemos, para todo parametro 0 < p < +∞ y para todo λ, las identidades siguientes

‖λf‖Lp =(∫

X|λf(x)|pdµ(x)

)1/p

=(∫

X|λ|p|f(x)|pdµ(x)

)1/p

= |λ| ‖f‖Lp . (10)

Sean las funciones f y g pertenecen al espacio Lp(X,A , µ,K), entonces por la desigualdad triangular de | · |y por el crecimiento de la funcion t 7−→ tp (valida para todo 0 < p < +∞) obtenemos la estimacion puntual

|(f + g)(x)|p ≤ (|f(x)|+ |g(x)|)p.

Aplicamos ahora las desigualdades (8) y (9) del lema anterior y obtenemos en funcion del valor de p lasmayoraciones

|(f + g)(x)|p ≤ |f(x)|p + |g(x)|p si 0 < p < 1,

|(f + g)(x)|p ≤ 2p−1(|f(x)|p + |g(x)|p) si 1 ≤ p < +∞.

4

Integramos con respecto a la medida µ y utilizando las propiedades de la integral obtenemos

‖f + g‖pLp ≤ ‖f‖pLp + ‖g‖pLp si 0 < p < 1, (11)

‖f + g‖pLp ≤ 2p−1(‖f‖pLp + ‖g‖pLp) si 1 ≤ p < +∞.

Aplicamos una vez mas el lema 1 a la parte derecha de estas mayoraciones para obtener

‖f + g‖Lp ≤ 21/p−1(‖f‖Lp + ‖g‖Lp) si 0 < p < 1, (12)

‖f + g‖Lp ≤ 21−1/p(‖f‖Lp + ‖g‖Lp) si 1 ≤ p < +∞, (13)

lo que significa que la funcion suma f + g pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K) para todo 0 < p < +∞.

Proposicion 6 (Desigualdad de Minkowski) Sea 1 ≤ p < +∞ un ındice real y sean dos funcionesf, g : X −→ K pertenecientes al espacio Lp(X,A , µ,K). Tenemos entonces la desigualdad

‖f + g‖Lp ≤ ‖f‖Lp + ‖g‖Lp (14)

Prueba. Observamos para empezar que si f o g son nulas en µ-casi todas partes no hay nada que demostrar,de manera que podemos suponer sin perdida de generalidad que f 6= 0 y g 6= 0 en µ-casi todas partes.

Definimos las cantidades A(x) = f(x)/‖f‖Lp y B(x) = g(x)/‖g‖Lp de tal forma que ‖A‖Lp = 1 y ‖B‖Lp = 1.Notando τ = ‖f‖Lp/(‖f‖Lp + ‖g‖Lp) de manera que τ ∈]0, 1[ podemos entonces escribir

|(f + g)(x)|p = (‖f‖Lp + ‖g‖Lp)p |τA(x) + (1− τ)B(x)|p .

Utilizando la desigualdad triangular del modulo | · | y utilizando la convexidad de la funcion tp valida cuando1 ≤ p < +∞, tenemos

|(f + g)(x)|p ≤ (‖f‖Lp + ‖g‖Lp)p (τ |A(x)|p + (1− τ)|B(x)|p) .

Integramos ahora esta expresion y obtenemos∫X|(f + g)(x)|pdµ(x) ≤ (‖f‖Lp + ‖g‖Lp)p ,

lo que nos permite deducir el resultado deseado extrayendo la raız p-esima de esta expresion.

Corolario 1 Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones definidas sobre X a valores en K pertenecientes alespacio Lp(X,A , µ,K) con 1 ≤ p < +∞. Tenemos entonces la estimacion∥∥∥∥∥∑

n∈Nfn

∥∥∥∥∥Lp

≤∑n∈N‖fn‖Lp

Corolario 2 Los espacios (Lp(X,A , µ,K), ‖·‖Lp) con 1 ≤ p < +∞ son espacios vectoriales semi-normados.

5

Normabilidad, convergencia y completitud

Definicion 6 (Espacio Lp) Sea 0 < p < +∞ un ındice real. El espacio de Lebesgue Lp(X,A , µ,K), notadoLp(X,µ) o Lp(X) si no hay ambiguedad posible, esta definido como el conjunto de clases de funcionesmedibles [f ] cuyo modulo a la potencia p-esima es integrable.

Lp(X,A , µ,K) = f : X −→ K : ‖f‖Lp < +∞, µ− c.t.p. . (15)

Es decirLp(X,A , µ,K) = Lp(X,A , µ,K)/Rµ.

El primer resultado que exponemos refleja la estructura vectorial de estos espacios de funciones.

Proposicion 7 Para todo 0 < p < +∞, los espacios Lp(X,A , µ,K) son subespacios vectoriales del conjuntode funciones medibles M(X,A ,K).

Prueba. La verificacion sigue basicamente las mismas lıneas detalladas en la demostracion de la proposicion 5pues todos los argumentos expuestos se mantienen si se razona en µ-casi todas partes y se utiliza los representantesde las clases de funciones.

Teorema 2 (Normabilidad) Sea 1 ≤ p < +∞ un parametro real, entonces los espacios de Lebesgue(Lp(X,A , µ,K), ‖ · ‖Lp) son espacios normados.

Demostracion. Debemos comprobar que la funcional ‖ · ‖Lp verifica los tres axiomas de norma; teniendo encuenta los resultados de las paginas anteriores esta comprobacion es directa y no presenta ninguna dificultad.Vemos en efecto que la implicacion f = 0 µ-c.t.p. =⇒ ‖f‖Lp = 0 es evidente por la formula (10) mientras quela implicacion recıproca ‖f‖Lp = 0 =⇒ f = 0 µ-c.t.p. se deduce del corolario 3.2.9 del folleto. Finalmente lahomogeneidad de la funcional ‖ · ‖Lp esta dada por la expresion (10) y la desigualdad triangular esta dada por ladesigualdad de Minkowski (14).

=⇒ Los espacios Lp(X,A , µ,K) son espacios metricos con la distancia inducida por la norma

d(f, g) = ‖f − g‖Lp

y disponemos de todas las propiedades para este tipo de espacios. Diremos entonces que una sucesion de funciones(fn)n∈N definidas sobre X a valores en K pertenecientes al espacio Lp(X,A , µ,K) converge en el sentido de Lp

hacia una funcion f silım

n→+∞‖f − fn‖Lp = 0.

∗

Teorema 3 (Riesz-Fischer) Si 1 ≤ p < +∞ entonces los espacios (Lp(X,A , µ,K), ‖ · ‖Lp) son espaciosde Banach.

Demostracion. Debemos verificar que toda sucesion de Cauchy converge en el sentido de la norma del espacioLp(X,A , µ,K) hacia una funcion que pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K). Sea (fn)n∈N una sucesion de Cauchyen Lp(X,A , µ,K). Por definicion existe entonces una subsucesion (fnk)k≥1 tal que

‖fnk+1− fnk‖Lp ≤

12k, para todo k ≥ 1. (16)

Definamos las dos funciones siguientes:

gm(x) =m∑k=1

|fnk+1(x)− fnk(x)| y g(x) =

+∞∑k=1

|fnk+1(x)− fnk(x)|.

6

Por la estimacion (16), la desigualdad de Minkowski muestra que ‖gm‖Lp ≤ 1 para todo m ≥ 1. Aplicando elcorolario 1 obtenemos que ‖g‖Lp ≤ 1 y en particular, por el corolario 3.2.9, que la funcion suma g es acotada enµ-c.t.p. y de esto se deduce que la serie

fn1(x) ++∞∑k=1

(fnk+1(x)− fnk(x)) (17)

es absolutamente convergente en K para µ-casi todo x ∈ X.

Cuando la suma (17) converge puntualmente sobre K definimos

f(x) = fn1(x) ++∞∑k=1

(fnk+1(x)− fnk(x))

y fijamos f(x) = 0 sobre el conjunto restante que es de medida nula. Dado que se tiene

fn1(x) +N∑k=1

(fnk+1(x)− fnk(x)) = fnN (x),

vemos entonces que se tiene la convergencia puntual f(x) = lımk→+∞

fnk(x) µ-c.t.p. y hemos por lo tanto encontrado

una funcion f que es el lımite simple µ-c.t.p. de la sucesion (fnk)k≥1.

Nos falta demostrar que esta funcion f es el lımite de (fnk)k≥1 en el sentido de la convergencia de Lp(X,A , µ,K).Para ello vemos que para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que para todo n,m > N se tiene ‖fn − fm‖Lp ≤ ε, puesla sucesion (fn)n∈N es de Cauchy. Para todo m > N podemos aplicar el lema de Fatou a la sucesion de funcionesϕnk = |fnk − fm|p para escribir∫

X|f(x)− fm(x)|pdµ(x) ≤ lım

k→+∞

∫X|fnk(x)− fm(x)|pdµ(x) ≤ εp

Esto implica que la funcion f−fm pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K) de donde se deduce (utilizando la identidadf = f − fm + fm) que la funcion f pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K) y a partir de esta estimacion se concluyeque fm tiende hacia f en el sentido de Lp(X,A , µ,K), es decir

‖f − fm‖Lp −→m→+∞

0.

Proposicion 8 (Propiedad de Fatou) Sea (X,A , µ) un espacio medido, sea Lp(X,A , µ,K) un espaciode Lebesgue con 1 ≤ p < +∞ y sea (fn)n∈N una sucesion de funciones de Lp(X,A , µ,K) que converge enµ-c.t.p. hacia f y tal que sup

n∈N‖fn‖Lp < +∞. Entonces f ∈ Lp(X,A , µ,K) y se tiene la estimacion

‖f‖Lp ≤ lım ınfn→+∞

‖fn‖Lp

Prueba. No es muy difıcil ver que si fn −→ f en µ-c.t.p. entonces se tiene |fn|p −→ |f |p en µ-c.t.p., lo quenos permite aplicar el lema de Fatou para obtener

‖f‖pLp =∫X

lım ınfn→+∞

|fn(x)|pdµ(x) ≤ lım ınfn→+∞

∫X|fn(x)|pdµ(x) = lım ınf

n→+∞‖fn‖pLp

De donde se obtiene el segundo punto de la proposicion. Dado que lım ınfn→+∞

‖fn‖Lp ≤ supn∈N‖fn‖Lp < +∞ se tiene que

f ∈ Lp(X,A , µ,K), terminando ası la demostracion.

7

Proposicion 9 (Version Lp del T.C.D. de Lebesgue) Sea Lp(X,A , µ,K) un espacio de Lebesgue con1 ≤ p < +∞ y sea (fn)n∈N una sucesion de funciones de Lp(X,A , µ,K) que converge en µ-casi todas parteshacia f .

1) Si existe una funcion g ∈ Lp(X,A , µ,K) tal que |fn(x)| ≤ |g(x)| en µ-casi todas partes, entonces setiene que ‖f − fn‖Lp −→

n→+∞0.

2) Si ‖fn‖Lp −→n→+∞

‖f‖Lp, entonces ‖f − fn‖Lp −→n→+∞

0. (lema de Scheffe)

Prueba. La primera asercion es la variante en los espacios Lp del teorema de convergencia dominada de Le-besgue. Consideremos pues la sucesion de funciones ϕn(x) = |f(x) − fn(x)|p −→

µ−c.t.p.0. Observando que ϕn(x) =

|f(x) − fn(x)|p ≤ (|f(x)| + |fn(x)|)p ≤ 2p−1gp(x), podemos aplicar el T.C.D.L. lo que nos permite concluir que‖f − fn‖Lp −→

n→+∞0 pues, por hipotesis, gp(x) es una funcion integrable.

Para el segundo punto vamos a aplicar el lema de Fatou a la sucesion de funciones

|fn(x)|p + |f(x)|p

2−∣∣∣∣fn(x)− f(x)

2

∣∣∣∣pque convergen en µ-casi todas partes hacia |f(x)|p. Obtenemos entonces que∫

X|f(x)|pdµ(x) ≤ lım ınf

n→+∞

∫X

|fn(x)|p + |f(x)|p

2−∣∣∣∣fn(x)− f(x)

2

∣∣∣∣p dµ(x).

Como por hipotesis tenemos ‖fn‖Lp −→n→+∞

‖f‖Lp podemos escribir

‖f‖pLp ≤ ‖f‖pLp − lım sup

n→+∞

∫X

∣∣∣∣fn(x)− f(x)2

∣∣∣∣p dµ(x).

Deducimos entonces que lım supn→+∞

‖fn − f‖pLp ≤ 0 de donde se obtiene que ‖f − fn‖Lp −→n→+∞

0.

Proposicion 10 Para toda funcion f ∈ Lp(Rn,Bor(Rn), λn,K) con 0 < p < +∞, para todo a ∈ Rn y todoα > 0 tenemos

‖τa(f)‖Lp = ‖f‖Lp y ‖δα[f ]‖Lp = α−n/p‖f‖Lp .

Prueba. La verificacion es inmediata. Verificamos la segunda identidad

‖δα[f ]‖pLp =∫

Rn|f(αx)|pdx = α−n

∫Rn|f(x)|pdx = α−n‖f‖pLp .

3. Desigualdades de Holder y aplicaciones

Definicion 7 (Conjugados armonicos) Sean p y q dos reales pertenecientes al intervalo ]1,+∞[. Dire-mos que p y q son conjugados armonicos entre sı si verifican la igualdad:

1p

+1q

= 1, es decir q =p

p− 1. (18)

Si p = 1 notaremos su ındice conjugado q = +∞ y de forma similar si p = +∞ escribiremos q = 1.

8

Observemos que si p ∈]0, 1[ tambien podemos hablar de su conjugado armonico q y para determinarlo bastaresolver la ecuacion (18), pero en este caso se tiene q < 0.

Teorema 4 (Desigualdad de Holder) Sean p y q dos numeros reales pertenecientes al intervalo ]1,+∞[tales que 1

p + 1q = 1 y sean f, g : X −→ K dos funciones pertenecientes a los espacios Lp(X,A , µ,K) y

Lq(X,A , µ,K) respectivamente. Entonces tenemos la estimacion:∫X|f(x)g(x)|dµ(x) ≤

(∫X|f(x)|pdµ(x)

)1/p(∫X|g(x)|qdµ(x)

)1/q

. (19)

Se obtiene la igualdad en la mayoracion anterior si y solo si existen dos constantes c1 y c2 tales quec1|f(x)|p = c2|g(x)|q en µ-casi todas partes.

En el caso p = 1 y q = +∞ tenemos la desigualdad∫X|f(x)g(x)|dµ(x) ≤

(∫X|f(x)|dµ(x)

)(sup essx∈X

|g(x)|). (20)

Discutamos la hipotesis exigida sobre los ındices p y q: consideramos X = Rn dotado de la medida de Lebesguey la dilatacion δα[f ]. Bajo las hipotesis del teorema 4 si reemplazamos las funciones f, g por δα[f ] y δα[g] conα > 0 en la desigualdad (19) obtenemos:

‖δα[f ]δα[g]‖L1 ≤ ‖δα[f ]‖Lp‖δα[g]‖Lq

Aplicando la propiedad homogenea de los espacios de Lebesgue explicitada en la proposicion 10 tenemos

α−n‖fg‖L1 ≤ α−n/p−n/q‖f‖Lp‖g‖Lq .

Vemos entonces que si no se tiene la relacion 1 = 1/p+ 1/q es posible, haciendo variar el parametro α, invalidarla desigualdad de Holder: es suficiente para ello, si 1/p + 1/q > 1, hacer tender α −→ +∞ y, si 1/p + 1/q < 1,hacer tender α −→ 0. Este pequeno razonamiento explica y justifica plenamente la relacion existente entre losparametros p y q.

Lema 2 Sean a, b dos numeros reales estrıctamente positivos. Si los ındices p, q son conjugados armonicos,entonces

ab ≤ ap

p+bq

q. (21)

Se obtiene la igualdad en la formula anterior si y solo si ap = bq.

Prueba del lema. Apliquemos a la parte izquierda de la formula (21) la funcion logaritmo, obtenemos laidentidad

ln (ab) = ln(a) + ln(b) =1p

ln (ap) +1q

ln (bq) . (22)

Dado que 1p + 1

q = 1 podemos utilizar la concavidad del logaritmo para escribir

1p

ln (ap) +1q

ln (bq) ≤ ln(

1pap +

1qbq). (23)

Dado que la funcion logaritmo es creciente, juntando (22) y (23), terminamos la verificacion de la desigualdad (21).

Para comprobar el caso de igualdad de esta estimacion es suficiente utilizar la identidad ap = bq e inyectarlaen la parte derecha de la expresion (21). Para la recıproca, basta resolver la ecuacion bxp − 1

pxp − 1

q bq = 0 para

obtener x = bq/p.

9

Podemos suponer sin perdida de generalidad que ninguna de las funciones f, g es nula en µ-casi todas partespues en esto caso no hay nada que demostrar.

Supongamos para empezar que se tiene 1 < p, q < +∞. Queremos aplicar el lema anterior y para ello notamosa = |f(x)|

‖f‖Lpy b = |g(x)|

‖g‖Lqde manera a obtener la expresion

|f(x)|‖f‖Lp

|g(x)|‖g‖Lq

≤ 1p

|f(x)|p

‖f‖pLp+

1q

|g(x)|q

‖g‖qLq. (24)

Integrando con respecto a la medida µ ambas partes de la formula anterior obtenemos

1‖f‖Lp‖g‖Lq

∫X|f(x)|p|g(x)|qdµ(x) ≤ 1

p+

1q.

de donde se deduce sin problema la desigualdad buscada.

El caso p = 1 y q = +∞ es dejado como ejercicio al lector y el caso de igualdad se deduce del lema 2.

4. Relaciones de inclusion entre los espacios de Lebesgue

Proposicion 11 Sean (E, ‖ · ‖E) y (F, ‖ · ‖F ) dos espacios funcionales de Banach definidos sobre el mismoespacio medido (X,A , µ). Si E ⊂ F entonces la inyeccion es continua, lo que notaremos E → F , y ademasexiste una constante universal C > 0 tal que para todo f ∈ E se tenga la estimacion

‖f‖F ≤ C‖f‖E . (25)

Prueba. Procedemos por el absurdo suponiendo que se tiene la inclusion E ⊂ F pero que no se tiene la mayoracion‖f‖F ≤ C‖f‖E . En este caso existe una sucesion de funciones, que podemos suponer positivas, con ‖fn‖E ≤ 1, ytales que

‖fn‖F > n3 para todo n ∈ N. (26)

Dado que el espacio E es un espacio de Banach tenemos que la suma∑

n∈N n−2fn converge en el sentido de E

hacia una funcion f ∈ E. Como por hipotesis el conjunto E es subconjunto de F se tiene que f pertenece tambienal espacio F . Esto es imposible pues se tiene por definicion 0 ≤ n−2fn ≤ f de forma que, utilizando (26), seobtiene n ≤ n−2‖fn‖F ≤ ‖f‖F para todo n ∈ N. De esta contradiccion deducimos que se tiene la estimacion (25)con alguna constante C independiente de la funcion f . Esto muestra tambien que la aplicacion inclusion de E enF es continua.

Observacion 2 La conclusion de este resultado puede interpretarse de esta manera: cuanto “mayor” sea el espaciofuncional, en el sentido en que contiene mas funciones, “menor” sera su norma.

Teorema 5 (Relaciones de Inclusion) Sea (X,A , µ) un espacio medido, σ-finito y no-atomico, tal queµ(X) < +∞. Sean p, q dos reales tales que 1 < p < q < +∞. Entonces tenemos las inclusiones estrictasentre espacios de Lebesgue:

L∞(X,A , µ,K) ( · · · ( Lq(X,A , µ,K) ( Lp(X,A , µ,K) ( · · · ( L1(X,A , µ,K). (27)

Demostracion.

1. Supongamos primero que se tiene 1 ≤ p < q < +∞. Tenemos entonces que

‖f‖pLp =∫X|f(x)|p1X(x)dµ(x).

10

Aplicamos la desigualdad de Holder (19) al producto de las funciones f y 1X de manera a obtener∫X|f(x)|p1X(x)dµ(x) ≤

(∫X|1X(x)|αdµ(x)

)1/α(∫X|f(x)|pβdµ(x)

)1/β

en donde hemos fijado α = qq−p y β = q

p de forma que se tiene evidentemente 1/α+ 1/β = 1. Luego, puestoque la cantidad µ(X) es finita obtenemos

‖f‖pLp ≤ µ(X)1/α(∫|f(x)|qdµ(x)

)p/qfinalmente, extrayendo la raız p-esima en ambos lados de la mayoracion anterior escribimos

‖f‖Lp ≤ µ(X)1/p−1/q‖f‖Lq

lo que nos permite concluir que toda funcion que pertenece al espacio Lq(X,A , µ,K) pertenece al espacioLp(X,A , µ,K) siempre y cuando 1 ≤ p < q < +∞. Es decir que tenemos la inclusion decreciente de espaciosLq ⊂ Lp.

2. En la segunda etapa suponemos que 1 ≤ q < +∞ y vamos a verificar que para toda funcion esencialmenteacotada se tiene ‖f‖Lq ≤ µ(X)1/q‖f‖L∞ . Para ello utilizamos la desigualdad (20):

‖f‖qLq =∫X|f(x)|q1X(x)dµ(x) ≤ µ(X)‖f‖qL∞

de donde se obtiene directamente el resultado deseado: L∞ ⊂ Lq. Con esto hemos demostrado las inclusiones(27) entre los espacios de Lebesgue y que estas inclusiones son continuas (gracias a la proposicion 11).

Veamos para terminar que estas relaciones son estrictas. Como el espacio medido (X,A , µ) es σ-finito, existeuna sucesion disjunta de conjuntos medibles (An)n∈N tal que X =

⋃n∈NAn y tal que µ(An) < +∞. Como

este espacio es no-atomico podemos suponer que se tiene para todo n 0 < µ(An) ≤ 2−n. Definimos entoncesla funcion f(x) =

∑n∈N µ(An)−1/q1An(x) de manera que ‖f‖pLp =

∑n∈N µ(An)1−p/q < +∞, de donde se

deduce que f ∈ Lp y que f /∈ Lq.

En el caso cuando la medida del conjunto de base X sea finita, este resultado nos indica que los espacios deLebesgue Lp con 1 ≤ p ≤ +∞ forman una sucesion estrictamente decreciente de espacios siguiendo el ındice p.

5. Desigualdad de Jensen y aplicaciones

Sea I = (a, b) un intervalo de la recta real con −∞ ≤ a < b ≤ +∞. Una funcion ϕ : I −→ R es convexa si

ϕ(τa+ (1− τ)b) ≤ τϕ(a) + (1− τ)ϕ(b)

para todo a, b ∈ I con τ ∈ [0, 1]. Indiquemos algunas propiedades con el lema siguiente.

Lema 3 Si ϕ : I −→ R es una funcion convexa entonces

1) para todo punto t en el interior de I existe una recta que pasa por el punto (t, ϕ(t)) que siempre esta pordebajo del grafo de ϕ.

2) ϕ es continua en el interior de I.

11

Proposicion 12 Sea (X,A , µ) un espacio probabilizado (es decir tal que µ(X) = 1) y sea f una funciondel espacio L1(X,A , µ,R).

1) Si I = (a, b) es un intervalo de R tal que f(x) ∈ I para µ-casi todo x ∈ X, entonces∫X fdµ ∈ I.

2) Si f(x) ≥ c en µ-casi todas partes para algun real c y si∫X fdµ = c, entonces f = c en µ-casi todas

partes.

Prueba. Vamos a empezar suponiendo que f(x) ≥ a en µ-casi todas partes para algun real a. Definimosentonces los conjuntos A = x ∈ X : f(x) > a y An = x ∈ X : f(x) > a + 1/n para todo entero n ≥ 1, demanera que se tienen las inclusiones crecientes de conjuntos A1 ⊆ · · · ⊆ An ⊆ · · · y la identidad A =

⋃n≥1An, de

donde se deduce quelım

n→+∞µ(An) = µ(A). (28)

Por la propiedad de crecimiento de la integral y por el hecho estamos trabajando sobre un espacio probabilizadotenemos que

∫X f(x)dµ(x) ≥ a. Dado que se tiene la mayoracion f(x) ≥ a1X\An(x) + (a+ 1/n)1An(x) podemos

escribir, para todo n ≥ 1:∫Xf(x)dµ(x) ≥ aµ(X \An) + (a+ 1/n)µ(An) = a+

1nµ(An).

Entonces si f(x) > a en µ-casi todas partes, se tiene µ(An) > 0 para algun entero n ≥ 1 y por lo tanto∫X f(x)dµ(x) > a. Por otro lado si

∫X f(x)dµ(x) = a entonces µ(An) = 0 para todo n ≥ 1 y entonces, utilizando

(28), obtenemos µ(A) = 0, de donde se deduce que f = a en µ-casi todas partes. Tomando a = c obtenemos lasegunda parte de la proposicion y un argumento similar muestra que si f(x) ≤ b µ-casi todas partes entonces∫X f(x)dµ(x) ≤ b y si f(x) < b µ-casi todas partes entonces

∫X f(x)dµ(x) < b, de donde se obtiene la primera

parte.

Teorema 6 (Desigualdad de Jensen) Sea (X,A , µ) un espacio medido tal que µ(X) = 1 y sea I ⊂ Run intervalo de la forma (a, b). Si ϕ : I −→ R es una funcion convexa y si f ∈ L1(X,A , µ,R) es unafuncion tal que f(x) ∈ I para µ-casi todo x ∈ X, entonces

∫X f(x)dµ(x) ∈ I, ϕ(f) es µ-integrable y se tiene

la desigualdad

ϕ

(∫Xf(x)dµ(x)

)≤∫Xϕ(f)(x)dµ(x).

Demostracion. Fijemos t =∫X f(x)dµ(x), tenemos entonces por la proposicion 12 que t ∈ I. Sabemos ademas

por el lema 3 que existe un real α tal que ϕ(u) ≥ ϕ(t) + α(u− t) para todo u ∈ I puesto que ϕ es convexa sobreI. Deducimos entonces la mayoracion ϕ(f)(x) ≥ ϕ(t) + α(f(x) − t) para µ-casi todo x ∈ X. Integrando estadesigualdad y utilizando el hecho que µ(X) = 1 obtenemos∫

Xϕ(f)(x)dµ(x) ≥

∫Xϕ(t) + α(f(x)− t) = ϕ(t) + α

∫Xf(x)dµ(x)− αt = ϕ

(∫Xf(x)dµ(x)

)lo que nos permite terminar la demostracion.

12

6. Espacios de sucesiones

Definicion 8 (Espacios `p) Sea X = N o Z, sea 0 < p < +∞ un real y sea a = (an)n∈X una sucesion avalores en K. Diremos que la sucesion a = (an)n∈X es de potencia p-eme sumable si la siguiente cantidades finita.

‖a‖`p =

(∑n∈X|an|p

)1/p

. (29)

Definimos entonces el espacio de sucesiones p-eme sumables a valores en K con la expresion

`p(X,K) = (an)n∈X : ‖a‖`p < +∞.

Demos un ejemplo de sucesion que pertenece a estos espacios. Fijemos X = Z y definamos

an =

1/|n|2/p si n 6= 0,

1 sino.

El lector verificara sin problema que (an)n∈Z ∈ `p(Z) para todo 0 < p < +∞; en cambio si consideramos lasucesion (bn)n∈Z definida de forma similar, pero fijando bn = 1/|n|1/p si n 6= 0, se tiene que (bn)n∈Z /∈ `p(Z).

En el caso cuando p = +∞, el espacio correspondiente esta dado por la siguiente definicion.

Definicion 9 (Espacios `∞) Una sucesion a = (an)n∈X a valores en K es acotada si

‖a‖`∞ = supn∈X|an| < +∞. (30)

Caracterizamos el espacio de sucesiones acotadas a valores en K con la formula

`∞(X,K) = (an)n∈X : ‖a‖`∞ < +∞.

Un ejemplo sencillo de sucesion que pertenece a este espacio esta dado por la sucesion an = (−1)n para todon ∈ X. Notemos que esta sucesion no pertenece a ningun espacio `p con 0 < p < +∞, lo que puede dar unaprimera idea de las inclusiones entre estos espacios; daremos los enunciados precisos un poco mas adelante.

Proposicion 13 Sea 0 < p < +∞ un real. Los espacios de sucesiones `p(X,K) y `∞(X,K) son espaciosvectoriales.

Proposicion 14 (Desigualdad de Holder discreta) Sea 1 ≤ p ≤ +∞ un real y q su conjugadoarmonico, entonces tenemos la desigualdad de Holder para todas las sucesiones (an)n∈X ∈ `p(X,K) y(bn)n∈X ∈ `q(X,K): ∑

n∈X|anbn| ≤ ‖a‖`p‖b‖`q . (31)

Proposicion 15 (Desigualdad de Minkowski discreta) Sean (an)n∈X y (bn)n∈X dos sucesiones perte-necientes al espacio `p(X,K) con 1 ≤ p ≤ +∞, entonces se tiene la desigualdad:

‖a+ b‖`p ≤ ‖a‖`p + ‖b‖`p . (32)

Prueba. De la misma forma que en la proposicion 14 tratamos solamente el caso 1 < p < +∞ y dejamos loscasos lımites al lector. Escribimos entonces:

|an + bn|p = |an + bn||an + bn|p−1 ≤ |an||an + bn|p−1 + |bn||an + bn|p−1.

Sumando con respecto a n ∈ X y aplicando la desigualdad de Holder en la parte derecha de esta expresion

13

obtenemos la mayoracion∑n∈X|an + bn|p ≤

∑n∈X|an||an + bn|p−1 +

∑n∈X|bn||an + bn|p−1

≤ (‖a‖`p + ‖b‖`p)‖a+ b‖p−1`p

de donde se deduce el resultado deseado.

Teorema 7 Si 1 ≤ p ≤ +∞ los espacios `p(X,K) son espacios de Banach.

6.1. Propiedades de inclusion de los espacios `p

Definicion 10 (Espacio c0) Sea X = N o Z y sea a = (an)n∈X una sucesion a valores en K. Diremos queesta sucesion se anula en el infinito o que tiende a cero al infinito si se tiene

lım|n|→+∞

|an| = 0.

Notaremos c0(X,K) el conjunto formado por estas sucesiones.

Evidentemente toda funcion nula a partir de un cierto rango pertenece a este espacio mientras que la sucesionconstante an = 1 para todo n ∈ X no pertenece a este espacio de sucesiones.

Proposicion 16 El espacio de sucesiones c0(X,K) es un espacio vectorial de Banach dotado de la norma‖ · ‖`∞.

Contrariamente al teorema de inclusion 5 expuesto en la pagina 10 se tienen relaciones de inclusion generalesentre los espacios de sucesiones como nos lo indica el teorema a continuacion.

Teorema 8 (Relaciones de inclusion) Sea X = N o Z. Tenemos las inclusiones estrictas de espaciossiguiente:

`1(X) ( `p(X) ( · · · ( `q(X) ( · · · ( c0(X) ( `∞(X). (33)

Demostracion. Sea a = (an)n∈X una sucesion no identicamente nula.

1. Mostremos que se tiene la inclusion c0(X,K) ( `∞(X,K).

Dado que la cantidad ‖·‖`∞ es una norma para estos dos espacios se tiene inmediatamente que si a ∈ c0(X,K)entonces a ∈ `∞(X,K); sin embargo no se tiene la recıproca pues la sucesion constante an = 1 para todon ∈ X pertenece al espacio `∞(X,K) pero no se anula al infinito.

2. Mostremos ahora que para todo 1 ≤ p < +∞ se tiene la mayoracion

‖a‖`∞ ≤ ‖a‖`p (34)

y que todos los espacios `p(X,K) estan contenidos estrictamente en el espacio c0(X,K).

En efecto, si la sucesion (an)n∈X es tal que(∑

n∈X |an|p)1/p

< +∞ entonces se tiene que |an| −→|n|→+∞

0;

ademas la estimacion ‖a‖p`∞ = supn∈X|an|p ≤

∑n∈X |an|p = ‖a‖p`p muestra que todos los espacios `p(X,K) estan

incluidos en c0(X,K). Para verificar que esta inclusion es estricta consideramos la sucesion an = |n|−1/p sin 6= 0 y a0 = 1: tenemos entonces que a ∈ c0(X,K) pero a /∈ `p(X,K).

14

3. Finalmente, sean p y q dos reales tales que 1 ≤ p < q < +∞. Verifiquemos que se tiene la desigualdad‖a‖`q ≤ ‖a‖`p para toda sucesion a = (an)n∈X ∈ `p(X,K).

Para ello utilizamos la desigualdad de Holder para escribir

‖a‖q`q =∑n∈X|an|q−p|an|p ≤ sup

n∈X|an|q−p

∑n∈X|an|p. (35)

Como se tiene supn∈X|an|q−p = (sup

n∈X|an|q)(q−p)/q, por la estimacion (34) podemos escribir la mayoracion

(supn∈X|an|q)(q−p)/q ≤ ‖a‖q−p`p e inyectamos esta estimacion en la expresion (35) de manera que se tiene

‖a‖q`q ≤ ‖a‖q−p`q ‖a‖

p`p es decir ‖a‖p`q ≤ ‖a‖

p`p de donde se deduce la estimacion deseada. Para comprobar

que esta inclusion es estricta utilizamos el mismo ejemplo anterior con la sucesion an = |n|−1/p si n 6= 0 ya0 = 1: vemos que (an)n∈X ∈ `q(X,K) pues q > p pero (an)n∈X /∈ `p(X,K).

Este teorema nos dice que existe una diferencia notable al nivel de las inclusiones entre los espacios Lp y `p.

15



Ejercicios Leccion n6: Espacios de Lebesgue EPN, verano 2009

Ejercicio 1 — Condiciones

Sea (X,A , µ) un espacio medido, sea A ∈ A y sea f(x) = 1A(x).1. ¿Bajo que condiciones sobre el conjunto A se tiene ‖f‖L∞ = 0 o ‖f‖L∞ = 1?2. ¿Bajo que condiciones sobre el conjunto A se tiene ‖f‖Lp < +∞ para 0 < p < +∞?

Ejercicio 2 — Algebra de Banach

1. Mostrar que el espacio de Lebesgue L∞(X,A , µ,K) dotado de la norma ‖ · ‖L∞ y del producto usual defunciones es una algebra de Banach.

2. ¿Se mantiene este resultado si consideramos los espacios Lp(X,A , µ,K) con 1 ≤ p < +∞?

Ejercicio 3 — Producto

Sea (X,A , µ) un espacio medido σ-finito y sea 1 ≤ p < +∞ un real. Si f, g son dos funciones del espacioL2p(X,A , µ,K) mostrar que el producto fg pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K) y que se tiene la estimacion

‖fg‖Lp ≤ ‖f‖L2p‖g‖L2p .

Ejercicio 4 — Desigualdades de interpolacion

1. Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea θ ∈ [0, 1] un parametro real. Sea f : X −→ K una funcion medible talque f ∈ Lp0(X,A , µ,K) y f ∈ Lp1(X,A , µ,K). Mostrar entonces que f pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K)en donde θ, p, p0 y p1 estan ordenados como sigue 1 ≤ p0 ≤ p ≤ p1 < +∞ y estan relacionados por lacondicion p = θp0 + (1− θ)p1. Indicacion: mostrar que se tiene la estimacion:

‖f‖pLp ≤ ‖f‖θp0Lp0‖f‖(1−θ)p1Lp1 .

2. Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea θ ∈ [0, 1] un parametro real. Sea f : X −→ K una funcion medible talque f ∈ Lp0(X,A , µ,K) y f ∈ Lp1(X,A , µ,K). Mostrar entonces que f pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K)en donde θ, p, p0 y p1 estan ordenados como sigue 1 ≤ p0 ≤ p ≤ p1 ≤ +∞ y estan relacionados por lacondicion 1

p = θp0

+ 1−θp1

. Indicacion: mostrar que se tiene la estimacion:

‖f‖Lp ≤ ‖f‖θLp0‖f‖1−θLp1 .

3. ¿Que diferencias encuentra entre estos dos resultados? De un ejemplo.4. Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f : X −→ K una funcion que pertenece a los espacios L1(X,A , µ,K)

y L∞(X,A , µ,K). Muestre que f ∈ Lp(X,A , µ,K) para todo p ∈]1,+∞[ y que se tiene la estimacion

‖f‖Lp ≤ ‖f‖L1 + ‖f‖L∞

Moraleja: si una funcion f pertenece simultaneamente a los espacios Lp0 y Lp1 entonces f pertenece a todoslos espacios de Lebesgue Lp intermedios.

Ejercicio 5 — Lımite

Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea una funcion f : X −→ K que pertenece a algun espacio Lr(X,A , µ,K)con r < +∞. Mostrar que se tiene el lımite

lımp→+∞

‖f‖Lp = ‖f‖L∞ .

1

Ejercicio 6 — Continuidad

Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f : X −→ K una funcion A -medible. Mostrar que el conjunto deter-minado por I(f) = p ∈ [1,+∞] : ‖f‖Lp < +∞ es o vacıo, o un punto, o un intervalo. En el caso en que sea unintervalo verificar que ϕf (t) = ‖f‖Lp es una funcion continua de p en el interior de este intervalo.

Ejercicio 7 — Desigualdad de Minkowski continua

Sean (X,A , µ) y (Y,B, ν) dos espacios medidos. Sea f : X ×Y −→ K una funcion medible y sea 1 ≤ p < +∞un ındice real. Mostrar que se tiene la estimacion(∫

X

(∫Y|f(x, y)|dν(y)

)pdµ(x)

)1/p

≤∫Y

(∫X|f(x, y)|pdµ(x)

)1/p

dν(y).

Ejercicio 8 — Inversiones en las desigualdades

1. Sea (X,A , µ) un espacio medido, sea 0 < p < 1 un ındice real y sea q < 0 el conjugado armonico dep. Mostrar que, para todas dos funciones f, g : X −→ K tales que el producto fg pertenezca al espacioL1(X,A , µ,K) y tal que g 6= 0 en µ-casi todas partes, se tiene la relacion entre funcionales:

‖f‖Lp‖g‖Lq ≤ ‖fg‖L1

2. Sea (X,A , µ) un espacio medido, sea 0 < p < 1 un numero real y sean f, g : X −→ R dos funciones talesque f, g > 0 µ−c.t.p. Mostrar que se tiene la desigualdad

‖f + g‖Lp ≥ ‖f‖Lp + ‖g‖Lp .

3. ¿Que consecuencias tienen estas desigualdades sobre la estructura topologica de los espacios Lp(X,A , µ,K)con 0 < p < 1? Su intuicion sera verificada en la siguiente pregunta.

4. Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea 0 < p < 1 un parametro real. Mostrar que los espacios de LebesgueLp(X,A , µ,K) son espacios metricos completos dotados de la distancia

dp(f, g) =∫X|f(x)− g(x)|pdµ(x).

5. Mostrar que estos espacios no son por lo general normables.

Ejercicio 9 — Espacios discretos

Definimos el espacio c00(X) como el conjunto de sucesiones nulas a partir de un cierto rango y notamos c(X)el conjunto de sucesiones convergentes c(X) = (an)n∈X : lım

|n|→+∞an existe.

1. Mostrar que se tienen las inclusiones estrictas

c00(X) ( `1(X) ( `p(X) ( c0(X) ( c(X) ( `∞(X).

2. Diremos que una sucesion a = (an)n∈Z a valores en R es de decrecimiento rapido si para todo k ∈ N lasucesion (nkan)n∈Z es un elemento de c0(Z).Si la sucesion a = (an)n∈Z es a decrecimiento rapido, ¿a cual de los espacios de la pregunta anteriorpertenece esta sucesion (an)n∈Z?

2



Leccion n7: Modos de ConvergenciaEPN, verano 2009

Conocemos por el momento 3 modos de convergencia:

1. Convergencia simple =⇒ poca estructura, nocion de convergencia poco exigente, a menudo verificada.

2. Convergencia uniforme =⇒ necesidad de una estructura metrica, nocion de convergencia muy exigente.

3. Convergencia µ-c.t.p. =⇒ lo mismo que la convergencia simple, casi lo mismo modulo el “µ-c.t.p.”.

Vamos a estudiar otros tipos de convergencia y las relaciones existentes entre estos modos de convergencia pasandopor 3 etapas:

Caso general: ninguna condicion sobre la masa total de X

Caso de masa total finita

Hipotesis suplementaria de acotacion

∗ ∗ ∗

1. Caso General

1.1. Convergencia en p-promedio

Definicion 1 (Convergencia en p-promedio) Sea 1 ≤ p < +∞ un real. Si (fn)n∈N es una sucesion defunciones y si f es una funcion, ambas pertenecientes al espacio Lp(X,A , µ, K), diremos que la sucesion(fn)n∈N converge hacia la funcion f en p-promedio si se tiene

lımn→+∞

∫

X|fn(x) − f(x)|pdµ(x) = 0. (1)

Un ejemplo =⇒ Consideremos el espacio medido (R,Bor(R), λ) y la sucesion de funciones determinadas porfn(x) = 1

n1[0,1](x) para todo n ≥ 1, se tiene entonces∫

R

|1/n1[0,1](x) − 0|pdx =1

np−→

n→+∞0.

Teorema 1 La convergencia en p-promedio no implica ni la convergencia uniforme ni la convergencia µ-c.t.p., recıprocamente estas nociones de convergencia no implican la convergencia en p-promedio.

Prueba. Para la verificacion de estas aserciones es suficiente mostrar ejemplos en donde estas implicacionesfallan.

1) La convergencia en p-promedio no implica la convergencia uniforme:Sea X = R y sea (fn)n≥1 = 1[1,1+1/n[(x). Esta sucesion converge en p-promedio hacia la funcion cero pues∫

R1[1,1+1/n[(x)dx = 1/n −→

n→+∞0 pero no converge uniformemente.

2) La convergencia en p-promedio no implica la convergencia µ-c.t.p.:Sea X = [0, 1]. Notemos que para todo n ∈ N

∗ existen dos enteros positivos j, k unicamente determinados,tales que n = 2k + j y 0 ≤ j < 2k y para tales enteros definimos fn(x) = 1[j2−k,(j+1)2−k](x). Tenemos ası que

f1 = 1[0,1], f2 = 1[0,1/2], f3 = 1[1/2,1]. Vemos entonces que∫

X |fn(x)|dx = 2−k de manera que podemos decirque fn −→

n→+∞0 en p-promedio. Sin embargo, no existe un solo punto de X tal que lım

n→+∞fn(x) = 0 y por lo

tanto no se tiene que esta sucesion de funciones converge λ-c.t.p. hacia cero.

1

3) La convergencia uniforme no implica la convergencia en p-promedio:Sea X = R y sea fn(x) = n−1/p

1[0,n] para n ≥ 1. Se verifica sin problema que esta sucesion convergeuniformemente hacia cero, sin embargo se tiene que

∫

Rn−1

1[0,n](x)dx = 1 para todo n ≥ 1.

4) La convergencia µ-c.t.p. no implica la convergencia en p-promedio:sea X = [0, 1] y sea (fn)n≥1 = n1/p

1]0,1/n](x). Entonces lımn→+∞

fn(x) = 0 λ-c.t.p. pero esta sucesion no

converge hacia cero en p-promedio pues∫

X |fn(x)|pdx = 1 para todo n ≥ 1.

1.2. Convergencia en µ-medida

Definicion 2 (Convergencia en µ-medida) Sean f , fn, n = 1, 2, ... funciones medibles definidas sobreun espacio medido (X,A , µ). Diremos que la sucesion (fn)n∈N converge en µ-medida hacia f si para todoε > 0 existe un Nε ∈ N tal que

n > Nε =⇒ µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε) ≤ ε. (2)

Un ejemplo =⇒ Definimos fn(x) = n1[0,1/n[(x) entonces esta sucesion tiende hacia cero en medida.

Proposicion 1 La anterior definicion es equivalente a la siguiente reformulacion:

(∀ε > 0) lımn→+∞

µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε) = 0. (3)

Prueba. Tenemos de forma simple que la formula (3) implica (2). Para ver la implicacion inversa, fijemosε > 0 y 0 < δ < ε y apliquemos (3) al parametro δ. Existe por lo tanto un entero Nε tal que, para todo n > Nε

se tengaµ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > δ) < δ.

Dado que se tiene la desigualdad

µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε) ≤ µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > δ),

podemos concluir que µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε) < δ para todo n > Nε. Es decir, haciendo n → +∞obtenemos

lım supn→+∞

µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε) < δ.

Puesto que la expresion anterior es valida para todo 0 < δ < ε, obtenemos (3) haciendo δ → 0. Lo que nos permiteterminar la demostracion.

Proposicion 2 (Desigualdad de Tchebychev) Sea (X,A , µ) un espacio medido, sea f una funcion de-finida sobre X a valores en K y sea 1 ≤ p < +∞ un parametro real. Si f ∈ Lp(X,A , µ, K) entonces tenemospara todo α > 0 la estimacion

µ(x ∈ X : |f(x)| > α)1/p ≤1

α‖f‖Lp . (4)

2

Teorema 2 Sean (fn)n∈N una sucesion de funciones medibles, f una funcion medible y 1 ≤ p < +∞.

1) La convergencia en µ-casi todas partes no implica la convergencia en µ-medida.

2) La convergencia en µ-medida no implica la convergencia en µ-casi todas partes.

3) La convergencia uniforme implica la convergencia en µ-medida.

4) La convergencia en µ-medida no implica la convergencia uniforme.

5) La convergencia en p-promedio implica la convergencia en µ-medida.

6) La convergencia en µ-medida no implica la convergencia en p-promedio.

Demostracion. En la construccion de los contra ejemplos fijamos X = R dotado de su estructura de espaciomedido natural y utilizaremos algunas de las funciones ya presentadas anteriormente.

1) Sea fn(x) = 1[n,n+1[(x), entonces vemos que fn −→ 0 en µ-casi todas partes pero fn no converge en µ-medidapues µ(x ∈ X : |fn(x)| > ε) = 1 para todo ε > 0.

2) Utilizamos aquı las funciones definidas por fn(x) = 1[j2−k,(j+1)2−k [(x). Entonces se tiene

µ(x ∈ R : |fn(x)| > ε) = 2−k −→ 0

pero fn no converge hacia 0 en µ-casi todas partes.

3) La estimacion supx∈X

|fn(x) − f(x)| < ε implica la desigualdad µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε) < ε de donde

se deduce el resultado deseado.

4) Consideremos la sucesion de funciones reales fn(x) = 1[0,1/n[. Sabemos que esta sucesion no converge unifor-memente mientras que se tiene µ(x ∈ R : |fn(x)| > 1/n) = 1/n, cantidad que tiende hacia 0 si n −→ +∞.

5) Este punto es una aplicacion directa de la desigualdad de Tchebychev. En efecto, sea (fn)n∈N una sucesionde funciones que convergen en Lp hacia una funcion f ∈ Lp. Entonces ‖f−fn‖

pLp ≥ εpµ(|f(x)−fn(x)| > ε)

de donde se deduce que la convergencia en Lp implica la convergencia en µ-medida.

6) La sucesion de funciones fn(x) = n1/p1[0,1/n[(x) definidas sobre [0, 1] convergen hacia 0 en medida pero no

convergen en p-promedio lo que muestra que estas nociones de convergencia son diferentes.

1.3. Convergencia µ-casi uniforme

Definicion 3 (Convergencia µ-casi uniforme) Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean f, fn : X −→ K

funciones medibles. Decimos que la sucesion de funciones (fn)n∈N tiende hacia la funcion f µ-casi unifor-memente si para todo ε > 0 existe un conjunto Aε ∈ A tal que µ(X \Aε) < ε y lım

n→+∞fn = f uniformemente

sobre Aε.

En la demostracion del resultado a continuacion presentamos algunos ejemplos de sucesiones de funciones queconvergen µ-casi uniformemente.

3

Teorema 3 De la misma manera que en el teorema 2 - y bajo las mismas hipotesis, reagrupamos aquı lasrelaciones entre estos modos de convergencia:

1) La convergencia uniforme implica la convergencia µ-casi uniforme.

2) La convergencia µ-casi uniforme no implica la convergencia uniforme.

3) La convergencia en µ-casi todas partes no implica la convergencia µ-casi uniforme.

4) La convergencia µ-casi uniforme implica la convergencia en µ-casi todas partes.

5) la convergencia en µ-medida no implica la convergencia µ-casi uniforme.

6) la convergencia µ-casi uniforme implica la convergencia en µ-medida.

7) la convergencia en p-promedio no implica la convergencia µ-casi uniforme.

8) la convergencia µ-casi uniforme no implica la convergencia en p-promedio.

Demostracion.

1) Este punto es inmediato por la definicion de convergencia µ-casi uniforme de manera que los detalles quedanal cargo del lector.

2) Sea X = [0,+∞[ y sea la sucesion fn(x) = 1[0,1/n[(x). Fijando ε = 1/n y Aε =]1/n,+∞[ no es difıcil verque esta sucesion converge µ-casi uniformemente hacia 0, pero que no converge uniformemente.

3) Sea X = [0,+∞[. La funcion fn(x) = 1[n,n+1[(x) converge hacia cero en µ-casi todas partes, pero si fijamosε = 1/2 tenemos que para todo conjunto medible A se tiene que µ(X\A) ≥ 1/2 o que sup

x∈A|fn(x)−f(x)| ≥ 1/2:

es decir que no se tiene la convergencia µ-uniforme.

4) Este hecho se deduce sin problema de la definicion de convergencia µ-casi uniforme.

5) Sabemos que la sucesion de funciones fn(x) = 1[j2−k,(j+1)2−k [(x) converge en µ-medida hacia cero, pero estasucesion no converge µ-casi uniformemente hacia cero pues no existe, para todo ε > 0, un conjunto Aε talque µ(X \ Aε) < ε y tal que sobre este conjunto se tenga la convergencia uniforme: la construccion de lasucesion impide que este sea el caso.

6) Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones definidas sobre (X,A , µ) que converge µ-casi uniformemente hacia f .Podemos ver entonces que el conjunto x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε esta contenido por definicion en X \Aε

y que se tiene µ(X \ Aε) < ε de donde se deduce la convergencia en µ-medida.

7) Para encontrar un contra ejemplo, utilizamos otra vez las funciones fn(x) = 1[j2−k,(j+1)2−k[(x). Vemos

entonces que∫ 10 fn(x)dx = 2−k −→ 0 pero esta sucesion no converge µ-casi uniformemente.

8) Utilizamos aquı las funciones fn(x) = n1/p1[0,1/n[(x). Esta funciones tienden hacia cero µ-casi uniformemente

(ver el segundo punto de esta demostracion) pero no en p-promedio.

Con los resultados anteriores vemos que estas nociones de convergencia son realmente distintas las unasde las otras, lo que implica que cada una de ellas tiene su importancia y utilidad.

A menudo es interesante estudiar el modo de convergencia de subsucesiones. El teorema a continuacion nosproporciona un resultado en este sentido.

Teorema 4 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean f, fn : X −→ K funciones medibles. Si la sucesion defunciones (fn)n∈N converge hacia f en µ-medida, entonces existe una subsucesion de (fn)n∈N que convergeµ-casi uniformemente y en µ-casi todas partes.

4

Demostracion. Dado que la convergencia µ-casi uniforme implica la convergencia en µ-casi todas partes,nos concentramos en este primer modo de convergencia. Sea pues (fn)n∈N una sucesion que converge hacia f enµ-medida. Existe entonces una sucesion estrıctamente creciente de enteros positivos (nk)k∈N tales que, para todon ≥ k se tenga

µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > 2−k) < 2−k. (5)

Sea ahora ε > 0 un real cualquiera y sea p un entero tal que 21−p < ε. Definimos el conjunto

Ap =+∞⋃

k=p

x ∈ X : |fnk(x) − f(x)| > 2−k

,

que representa los puntos tales que fnkse encuentra a una cierta distancia de f .

Entonces tenemos que µ(Ap) ≤∑+∞

k=p 2−k = 21−p < ε por la estimacion (5) y por la subaditividad de la medida

µ y ademas, sobre X \ Ap se tiene |fnk(x) − f(x)| < 2−k ≤ 2−p < ε para todo k ≥ p, es decir que se tiene la

convergencia uniforme en este conjunto. Se deduce pues que lımn→+∞

fn = f µ-casi uniformemente.

∗ ∗ ∗

....y ¿que sucede si p = +∞?

Proposicion 3 Sea (X,A , µ) un espacio medido.

1) La convergencia en L∞ implica la convergencia en µ-casi todas partes, pero la convergencia en µ-casitodas partes no implica la convergencia en L∞.

2) La convergencia en L∞ implica la convergencia µ-casi uniforme, pero la convergencia µ-casi uniformeno implica la convergencia en L∞.

3) La convergencia en L∞ implica la convergencia en µ-medida, pero la convergencia en µ-medida noimplica la convergencia en L∞.

4) La convergencia en Lp para todo (1 ≤ p < +∞) no implica la convergencia en L∞ y la convergenciaen L∞ no implica la convergencia en Lp.

Prueba. Para la demostracion de estos puntos utilizaremos algunas de las sucesiones presentadas en lasverificaciones anteriores.

1. La primera parte del primer punto es inmediata, para la segunda parte escogemos la sucesion de funcionessobre X = [0,+∞[ fn(x) = 1[n,n+1](x) que tiende a cero en µ-casi todas partes pero se tiene ‖fn‖L∞ = 1para todo n ∈ N.

2. Tenemos el punto 2) a partir de la definicion de convergencia µ-casi uniforme en donde se exige que elconjunto en donde falla la convergencia uniforme sea pequeno y esta condicion siempre esta verificada en elcaso de la convergencia en L∞, pues el conjunto en donde no se tiene la convergencia uniforme es de medidanula. La recıproca no se tiene como lo muestra el ejemplo siguiente sobre X = [0, 1]: fn(x) = n1[0,1/n[(x)converge µ-casi uniformemente hacia cero pero no en L∞.

3. Si una sucesion de funciones converge en µ-medida, entonces para todo ε > 0 existe un entero N suficiente-mente grande tal que para todo n ≥ N se tenga µ(x ∈ X : |fn−f | > ε) ≤ ε, esta condicion es trivialmenteverificada si la sucesion converge en L∞ pues la medida de este conjunto es entonces nula, lo que muestra elpunto 3).

4. Finalmente, para el ultimo punto, terminamos la demostracion utilizando el teorema 1.

5

2. Caso en donde µ(X) < +∞

En este caso, vamos a ver que se tienen cierto tipo de implicaciones que no se tienen en el caso general.

Lema 1 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea (fn)n∈N una sucesion de funciones medibles a valores enK. Definimos, para todo k,m ≥ 1 los conjuntos

Ak,m =+∞⋂

n=m

x ∈ X : |fn(x) − f(x)| <1

k

.

Si para cada entero k fijo se tiene lımm→+∞

µ(X \ Ak,m) = 0 entonces fn −→ f µ-casi uniformemente.

Prueba. Sea ε > 0 un real, para cada k ≥ 1 existe un entero mk tal que µ(X \ Ak,mk) < ε2−k. Si definimos

Aε =⋂+∞

k=1 Ak,mktenemos por un lado

µ(X \ Aε) = µ

(

+∞⋃

k=1

(X \ Ak,mk)

)

≤+∞∑

k=1

µ(X \ Ak,mk) < ε;

por otro lado, si δ > 0 y si kδ > 1 entonces se tiene |fn(x) − f(x)| < 1/k < δ para todo x ∈ Aε y todo n ≥ mk.Es decir fn −→ f uniformemente sobre Aε.

Teorema 5 (Egoroff) Sea (X,A , µ) un espacio medido y supongamos que µ(X) < +∞. Sea (fn)n∈N unasucesion de funciones medibles a valores en K definidas sobre X que convergen en µ-casi todas partes haciauna funcion f .Entonces, para todo ε > 0 existe un conjunto A ∈ A con µ(X \ A) < ε tal que fn converja uniformementehacia f sobre A.

Dicho de otra manera, cuando la medida del conjunto X es finita, la convergencia en µ-casi todas partesimplica la convergencia µ-casi uniforme.

Demostracion. Sea (fn)n∈N una sucesion que converge en µ-casi todas partes hacia f . Definimos A = x ∈X : lım

n→+∞fn(x) = f(x) y tenemos entonces que µ(X \ A) = 0.

Si consideramos los conjuntos Ak,m del lema anterior, notamos que para todo k ≥ 1 se tienen las inclusionesAk,1 ⊂ Ak,2 ⊂ ... y A ⊂

⋃+∞m=1 Ak,m.

Estas dos observaciones implican⋂+∞

m=1(X \Ak,m) ⊂ X \A. Notese que la sucesion formada por los conjuntosBm = X \ Ak,m es decreciente y que µ(B1) ≤ µ(X) < +∞.

Aplicamos entonces el teorema de continuidad de las medidas para obtener que lımm→+∞

µ(X \ Ak,m) = 0 para

cada k ≥ 1. En este punto aplicamos el lema anterior para concluir que fn −→ f µ-casi uniformemente.

Teorema 6 Sea (X,A , µ) un espacio medido tal que µ(X) < +∞ y sean (fn)n∈N una sucesion de funcionespertenecientes al espacio Lp(X,A , µ, K) con 1 ≤ p < +∞. Entonces

1) la convergencia uniforme implica la convergencia en p-promedio,

2) la convergencia en µ-casi todas partes implica la convergencia en µ-medida,

Demostracion.

6

1) Si la sucesion (fn)n∈N converge uniformemente y si 0 < µ(X) < +∞, entonces para todo real ε existe unentero N tal que, para todo x ∈ X y n ≥ N , se tenga |fn(x)−f(x)| < εµ(X)−1/p. Integrando esta estimacionobtenemos la desigualdad

∫

X |fn(x) − f(x)|pdµ(x) < εp lo que muestra que la funcion lımite pertenece aLp(X,A , µ, K) y que se tiene la convergencia en p-promedio.

2) Por el teorema de Egoroff tenemos que la convergencia en µ-casi todas partes implica la convergencia µ-casiuniforme, aplicamos entonces el punto 6) del teorema 3 para obtener el resultado deseado.

3. Una hipotesis suplementaria: la condicion de acotacion

Vamos a suponer ahora que la sucesion de funciones (fn)n∈N verifica una condicion de acotacion. Bajo estahipotesis suplementaria veremos que obtenemos resultados interesantes.

Teorema 7 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea (fn)n∈N una sucesion de funciones medibles definidassobre X a valores en K.

Si existe una funcion g ∈ Lp(X,A , µ, K) para algun un real p ∈ [1,+∞[ tal que |fn| ≤ g en µ-casi todaspartes para todo n ∈ N, entonces

1) la convergencia en µ-casi todas partes implica la convergencia en Lp.

2) la convergencia en µ-medida implica la convergencia en Lp.

Prueba.

1. El primer punto no es mas que el teorema de convergencia dominada de Lebesgue en su version Lp.

2. Para el segundo punto partimos de una sucesion de funciones (fn)n∈N que converge en µ-medida hacia unafuncion f . Sea entonces (fnk

)k∈N una subsucesion tal que

lımk→+∞

‖fnk− f‖Lp = lım sup

n→+∞‖fn − f‖Lp

Dado que la sucesion de funciones (fnk)k∈N converge en µ-medida hacia una funcion f , tenemos por el

teorema 4 que existe una subsucesion de (fnk)k∈N, que seguiremos notando por comodidad (fnk

)k∈N, queconverge en µ-casi todas partes hacia f . Aplicamos entonces la primera parte de esta proposicion paraobtener que lım

k→+∞‖fnk

− f‖Lp = lım supn→+∞

‖fn − f‖Lp = 0, de donde se deduce que lımn→+∞

‖fn − f‖Lp = 0.

Observacion 1 Dado que la convergencia µ-casi uniforme implica la convergencia en µ-medida (ver el teorema3 punto 6)), si tenemos una hipotesis de acotacion, obtenemos que la convergencia µ-casi uniforme implica laconvergencia en Lp.

Para terminar nuestro estudio entre los diversos modos de convergencia, vamos a ver que con una hipotesis deacotacion, la convergencia en µ-casi todas partes implica la convergencia µ-casi uniforme:

Teorema 8 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea (fn)n∈N una sucesion de funciones medibles definidassobre X a valores en K. Si existe una funcion g ∈ Lp(X,A , µ, K) para algun un real p ∈ [1,+∞[ tal que|fn| ≤ g en µ-casi todas partes para todo n ∈ N, entonces la convergencia en µ-casi todas partes implica laconvergencia µ-casi uniforme.

7

Prueba. Sea (fn)n∈N una sucesion tal que fn −→n→+∞

f en µ-c.t.p. Vamos a utilizar el lema 1 para caracterizar

la convergencia µ-casi uniforme y definimos entonces los conjuntos

A = x ∈ X : lımn→+∞

fn(x) = f(x) y Ak,m =+∞⋂

n=m

x ∈ X : |fn(x) − f(x)| <1

k.

Siguiendo este lema, para obtener la convergencia µ-casi uniforme de la sucesion (fn)n∈N, basta mostrar que paratodo k ≥ 1 se tiene lım

m→+∞µ(X \Ak,m) = 0. Como se tienen las inclusiones de conjuntos X \Ak,1 ⊇ X \Ak,2 ⊇ · · ·

y que⋂+∞

m=1(X \ Ak,m) ⊆ X \ A, es necesario verificar que para todo k,m ≥ 1 se tiene µ(X \ Ak,m) < +∞ parapoder aplicar el teorema de continuidad de las medidas y obtener lım

m→+∞µ(X \ Ak,m) = 0.

Tenemos pues por hipotesis que existe un conjunto de µ-medida nula N tal que para todo n ∈ N |fn(x)| ≤ g(x)sobre X \ N y tal que lım

n→+∞fn(x) = f(x) sobre X \ N . Dado que para todo n ≥ m tenemos |fn(x) − f(x)| =

lıml→+∞

|fn(x) − fl(x)| ≤ 2g(x), tenemos la inclusion de conjuntos x ∈ X : |fn(x) − f(x)| ≥ 1/k ⊆ x ∈ X :

2g(x) ≥ 1/k de manera que obtenemos X \ Ak,m ⊆ N ∪ x ∈ X : 2g(x) ≥ 1/k y podemos escribir

‖g‖pLp ≥

∫

X\Ak,m

gp(x)dµ(x) ≥ (2k)−1µ(X \ Ak,m).

De donde se deduce, por la hipotesis de acotacion, que las cantidades µ(X \ Ak,m) son finitas terminando ası lademostracion.

8

Convergencia Uniforme

Convergencia µ-casi uniforme

Convergencia µ-c.t.p.

Convergencia en µ-medida

Convergencia en Lp

Figura 1: Relaciones entre los modos de convergencia - caso general





Convergencia en Lp

Figura 2: Relaciones entre los modos de convergencia - caso µ(X) < +∞





Convergencia en Lp

Figura 3: Relaciones entre los modos de convergencia - condicion de acotacion

9



Ejercicios Leccion n7: Modos de convergencia EPN, verano 2009

Ejercicio 1 — Verdadero o falso

Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas y justifıquelo (hay que tratar todos los casosposibles).

1. La convergencia en µ-c.t.p. implica la convergencia en µ-medida.2. La convergencia en Lp implica la convergencia µ-casi uniforme.3. La convergencia uniforme implica la convergencia µ-c.t.p.4. La convergencia simple implica la convergencia en Lp.5. La convergencia uniforme implica la convergencia en Lp.6. La convergencia en µ-medida implica la convergencia en µ-casi uniforme.

Ejercicio 2 — Convergencia en µ medida local

Sea (X,A , µ) un espacio medido σ-finito y sea (fn)n∈N una sucesion de funciones A -medibles definidas sobreX a valores en K. Diremos que (fn)n∈N tiende hacia f en el sentido de la convergencia en µ-medida local si paratodo conjunto A -medible A de medida finita se tiene

(∀ε > 0) lımn→+∞

µ(x ∈ A : |fn(x)− f(x)| > ε) = 0.

Notamos entonces Lloc(X,A , µ,K) el espacio de clases de funciones dotado de la convergencia en µ-medida local.1. Mostrar que la convergencia en µ-medida implica la convergencia en µ-medida local pero que no se tiene

la recıproca.2. ¿En que situacion estas dos nociones de convergencia son equivalentes?3. Nos proponemos demostrar que la topologıa de la convergencia en µ-medida local es metrizable. Para ello

suponemos de ahora en adelante que µ(X) = +∞.a) Dado que el espacio medido (X,A , µ) es σ-finito, existe una particion disjunta (An)n∈N de X tal que

1 ≤ µ(An) < +∞ para todo n ∈ N. Definimos entonces la funcion ϕ : X −→ K como

ϕ(x) =+∞∑j=0

12j+1µ(Aj)

1Aj (x). (1)

Mostrar que se tiene 0 < ϕ(x) < 1 en µ-casi todas partes y∫X ϕdµ = 1.

b) Para f, g ∈ Lloc(X,A , µ,K) mostrar que la formula siguiente esta bien definida y determina unadistancia.

d(f, g) =∫X

|f(x)− g(x)|1 + |f(x)− g(x)|

ϕ(x)dµ(x) (2)

4. Mostremos que la convergencia en µ-medida local implica la convergencia en el sentido de la distancia (2).a) Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones tales que fn −→

n→+∞f en µ-medida local con f, fn ∈ Lloc(X,A , µ,K)

y sea ε > 0 un real. ¿Bajo que argumento existe un conjunto medible Y de medida finita tal que∫Y c

|f(x)− fn(x)|1 + |f(x)− fn(x)|

ϕ(x)dµ(x) <ε

3? (3)

b) Una vez que hemos fijado este conjunto considerar la funcion x 7−→ x1+x y verificar que existe un real

α ∈ [0,+∞[ tal que para todo 0 ≤ x ≤ α se tienex

1 + x≤ ε

3µ(Y ). (4)

c) Si fn −→n→+∞

f en µ-medida local, mostrar que existe un entero N ∈ N tal que para todo n ≥ N se tiene

µ(x ∈ Y : |f(x)− fn(x)| > α) ≤ ε

3. (5)

1

d) Con estas tres estimaciones (3), (4) y (5) mostrar que∫X

|f(x)− fn(x)|1 + |f(x)− fn(x)|

ϕ(x)dµ(x) =∫Y c

|f(x)− fn(x)|1 + |f(x)− fn(x)|

ϕ(x)dµ(x)

+∫Y ∩|f−fn|≤α

|f(x)− fn(x)|1 + |f(x)− fn(x)|

ϕ(x)dµ(x)

+∫Y ∩|f−fn|>α

|f(x)− fn(x)|1 + |f(x)− fn(x)|

ϕ(x)dµ(x)

≤ ε.

Deducir que si fn −→n→+∞

f en µ-medida local entonces se tiene que d(f, fn) −→n→+∞

0.

5. Mostrar que si d(f, fn) −→n→+∞

0 entonces fn −→n→+∞

f en µ-medida local. Para ello seguir los pasos siguientes:

a) Definimos los conjuntos Km =⋃mj=0Aj . Utilizando la definicion de la funcion ϕ en (1), mostrar que

para todo x ∈ Km se tiene la minoracion

ϕ(x) ≥ αm en donde hemos notado αm = mın0≤j<m

1/(2j+1µ(Aj)) > 0. (6)

b) Sea A ∈ A tal que µ(A) < +∞. Mostrar que existe M ∈ N tal que µ(A∩KcM ) ≤ ε

2 y deducir que paratodo n ∈ N, para todo α > 0 se tiene

µ(x ∈ A ∩KcM : |fn(x)− f(x)| > α) ≤ ε

2.

c) Mostrar que para todo α > 0 existe β > 0 tal que |fn(x)− f(x)| > α⇐⇒ |fn(x)−f(x)|1+|fn(x)−f(x)| > β y deducir,

utilizando el punto 5− a) que

µ(x ∈ A ∩KM : |fn(x)− f(x)| > α) ≤ µ(x ∈ A ∩KM :|fn(x)− f(x)|

1 + |fn(x)− f(x)|> β/αM)

d) Utilizar la desigualdad de Tchebychev en la expresion anterior y mostrar que si d(f, fn) −→n→+∞

0

entonces fn −→n→+∞

f en µ-medida local.

Ejercicio 3 — Propiedad de Lusin

Sea (X,A , µ) un espacio medido con la medida µ una medida regular y sea f una aplicacion definida sobre Xa valores sobre K.

1. Mostrar que si f es medible entonces, para todo compacto K ⊂ X y para todo δ > 0, existe un compactoKδ ⊂ K tal que µ(K \Kδ) ≤ δ.

2. Mostrar que la restriccion de f a Kδ es una aplicacion continua de Kδ en K.3. Verificar que este resultado, conocido como la propiedad de Lusin, se mantiene si en vez de K se tiene un

espacio metrico separable.4. ¿Que moraleja se puede obtener de este importante resultado?

(Indicacion: para 1 & 2 empezar por funciones simples y pasar al caso general)

2



Leccion n8: Resultados de Densidad y Espacios Locales EPN, verano 2009

1. Densidad y separabilidad de los espacios de Lebesgue

1.1. Definiciones

Definicion 1 (Densidad en un espacio normado) Sea (E, ‖ ·‖E) un espacio normado. Un subconjuntoA de E es denso en (E, ‖ · ‖E) si para todo punto x ∈ E y todo real ε > 0, existe un punto y ∈ A tal que‖x− y‖E ≤ ε. Diremos entonces que A es denso en E en el sentido de la norma ‖ · ‖E.

Observacion 1 Esta caracterizacion de los espacios densos se mantiene en el caso de los espacios metricos (E, dE)reemplazando convenientemente la norma ‖ · ‖E por la distancia dE .

El ejemplo clasico =⇒ Q en R.

Proposicion 1 (Transitividad de la densidad) Sea (E, ‖ · ‖E) un espacio vectorial normado y sean Ay B dos subconjuntos de E. Si A ⊂ B es denso en B y si B ⊂ E es un conjunto denso en E en el sentidode la norma ‖ · ‖E, entonces A es denso en E.

Prueba. Sea x un elemento de E y ε > 0 un real. Como B es denso en E, existe un elemento y ∈ B talque ‖x− y‖E ≤ ε/2. Una vez este elemento y ∈ B fijado, como A es denso en B en el sentido de la norma ‖ · ‖E ,existe un elemento z ∈ A tal que ‖y − z‖E ≤ ε/2. Dado que tenemos por la desigualdad triangular la estimacion

‖x− z‖E ≤ ‖x− y‖E + ‖y − z‖E ≤ε

2+ε

2= ε

podemos concluir que A es denso en E.

Definicion 2 (Espacio separable) Sea (E, ‖ · ‖E) un espacio normado. Diremos que E es un espacioseparable si existe un subconjunto denso numerable.

Proposicion 2 Sea (E, ‖ · ‖E) un espacio normado separable y sea F un subconjunto de E, entonces F esseparable.

Prueba. Sea (en)n∈N un subconjunto denso y numerable de E y sea αm −→m→+∞

0 una sucesion de reales

positivos. Como F es un subconjunto de E, existe para todo z ∈ F y todo αm > 0, un punto en tal que‖z − en‖E ≤ αm. Si m es suficientemente grande, existe en ∈ B(z, αm) ⊂ F y notamos este elemento en,m. Lacoleccion de los puntos (en,m)n,m∈N es entonces un subconjunto numerable y denso de F .

Definicion 3 (Sistema Total) Sea (E, ‖ · ‖E) un espacio vectorial normado. Diremos que un subconjuntoT de E es total en E si el subespacio vectorial V ect(T ), formado por todas las combinaciones lineales deelementos de T , es denso en E.

Un ejemplo =⇒ (Rn, | · |) con T = (ej)1≤j≤n una base de Rn pues V ect(T ) = Rn. Mas generalmente se tieneque todo espacio vectorial de dimension finita es separable.

1

=⇒ La numerabilidad de un sistema total permite caracterizar la separabilidad de un espacio vectorial nor-mado.

Proposicion 3 Un espacio vectorial normado (E, ‖ · ‖E) es separable si y solo si admite un sistema totalnumerable.

Demostracion. Si el espacio (E, ‖·‖E) es separable, existe un subconjunto T denso numerable de E. Tenemosentonces T ⊂ V ect(T ) y por lo tanto V ect(T ) es denso en E, de donde se deduce que T es un sistema total en E.Recıprocamente, si T es un sistema total numerable de E, para todo x ∈ E y para todo ε > 0, existe y ∈ V ect(T )tal que ‖x− y‖E ≤ ε

2 . Notamos luego V ectQ(T ) el conjunto de las combinaciones lineales de elementos de T concoeficientes en Q = Q (si K = R) o en Q = Q + iQ (si K = C). No es difıcil ver que V ectQ(T ) es denso enV ect(T ) y por lo tanto, para todo y ∈ V ect(T ), existe z ∈ V ectQ(T ) tal que ‖y− z‖E ≤ ε

2 . Tenemos entonces queV ectQ(T ) es denso en E pues ‖x − z‖E ≤ ‖x − y‖E + ‖y − z‖E ≤ ε

2 + ε2 = ε. Vemos finalmente que V ectQ(T )

es numerable pues es la imagen del conjunto numerable⋃

n≥1(Qn × Tn) por la aplicacion f determinada porf(λ1, ..., λn, x1, ..., xn) =

∑nj=1 λjxj y podemos de esta manera concluir la demostracion.

=⇒ Es importante tener un argumento que nos diga cuando un espacio de Banach no es separable.

Proposicion 4 Sea (E, ‖ · ‖E) un espacio de Banach. Si existe una familia (Ai)i∈I que verifica los trespuntos a continuacion

1) para todo i ∈ I el conjunto Ai es un abierto no vacıo de E,

2) si i 6= j entonces Ai ∩Aj = ∅,

3) I es un conjunto no numerable,

entonces el espacio E no es separable.

Prueba. Para la verificacion de este hecho procederemos por el absurdo. Supongamos pues que E es separabley sea (en)n∈N una sucesion densa en E. Tenemos entonces por definicion de subconjunto denso que para todo i ∈ Ise tiene Ai ∩ (en)n∈N 6= ∅. Escogemos entonces n(i) tal que en(i) ∈ Ai de manera que la aplicacion ϕ : i 7−→ n(i)es inyectiva: en efecto si n(i) = n(j) entonces en(i) = en(j) ∈ Ai ∩ Aj y por lo tanto i = j. Esto implica que elconjunto I es numerable lo que es una contradiccion con el tercer punto.

Algunos espacios de funciones utiles

A) Dos tipos de funciones simples medibles

Sea (X,A , µ) un espacio medido σ-finito.

1) S(X,A , µ,K) conjunto de funciones simples que se escriben f(x) =∑n

k=0 αk1Ak(x) en donde

(αk)0≤k≤n ∈ K y (Ak)0≤k≤n ∈ A .

2) SI(X,A , µ,K) conjunto de funciones simples integrables si x ∈ X : f(x) 6= 0 es de µ-medida finita.

2

Definicion 4 (Soporte de una funcion) Sea X un espacio topologico. El soporte de una funcion f :X −→ K esta definido como

sop(f) = x ∈ X : f(x) 6= 0.

B) Funciones continuas a soporte compacto

Definicion 5 (Espacio C0c (X,K)) Sea X un espacio topologico separado localmente compacto a base nu-

merable. Definimos el conjunto de funciones C0c (X,K) como el conjunto de funciones continuas f : X −→ K

a soporte contenido en un compacto.

Estas funciones son acotadas y se anulan fuera de un cierto compacto que contiene su soporte.

Proposicion 5 El espacio de funciones continuas a soporte compacto C0c (X,K) es un espacio vectorial.

Observacion 2 Si la medida µ es finita sobre los compactos, entonces C0c (X,K) ⊂ Lp(X,A , µ,K) para todo

1 ≤ p ≤ +∞: en efecto, si f ∈ C0c (X,K) y si notamos K el compacto que contiene el soporte de f , tenemos∫

X|f(x)|pdµ(x) ≤ sup

x∈K|f(x)|pµ(K) < +∞.

C) Funciones continuas que se anulan al infinito

Definicion 6 (Espacio C00(X,K)) Sea X un espacio topologico separado localmente compacto a base nu-

merable. Diremos que una funcion f : X −→ K se anula al infinito si para todo ε > 0 existe un compacto Kde X tal que |f(x)| < ε para todo x ∈ Kc. Notaremos C0

0(X,K) el conjunto de todas las funciones continuasdefinidas sobre X a valores en K que se anulan al infinito.

El lector observara que se tiene la inclusion estricta de espacios

C0c (X,K) ( C0

0(X,K) ( L∞(X,A , µ,K)

pero que por lo general no existe ninguna relacion de inclusion entre los espacios C00(X,K) y los espacios de

Lebesgue Lp(X,A , µ,K) con 1 ≤ p < +∞. Ası por ejemplo si consideramos la funcion determinada por f(x) = 1sobre [−1, 1] y f(x) = |x|−1/p sino, tenemos entonces que para todo ε > 0 existe un compacto K tal que |f(x)| < ε(basta fijar K ⊃]− ε−p, ε−p[) y de esta manera se tiene f ∈ C0

0(R,R) pero f /∈ Lp(R).

Observacion 3 Si el espacio X es compacto C0c (X,K) = C0

0(X,K).

1.2. Densidad en los espacios Lp con 1 ≤ p < +∞

Teorema 1 Sea (X,A , µ) un espacio medido σ-finito. El conjunto de las funciones simples integrablesSI(X,A , µ,K) es denso en Lp(X,A , µ,K).

Antes de pasar a la demostracion de este resultado, recordamos que el espacio de funciones simples S(X,A , µ,K)no es necesariamente un subconjunto de Lp(X,A , µ,K). Por ejemplo si µ(X) = +∞ la funcion ϕ(x) = 1X(x)pertenece al espacio S(X,A , µ,K) pero ϕ /∈ Lp(X,A , µ,K) para todo 1 ≤ p < +∞ y es por esta razon queconsideramos el conjunto de funciones integrables.

Demostracion. Vamos a considerar solamente el caso real K = R pues el caso complejo se deduce sin mayorproblema considerando por separado las partes reales e imaginarias de las funciones que entran en consideracion.

Sea pues f ∈ Lp(X,A , µ,R) con 1 ≤ p < +∞. Por el teorema de aproximacion de funciones medibles, existendos sucesiones de funciones (gn)n∈N y (hn)n∈N pertenecientes al espacio SI(X,A , µ,R) tales que f+ = lım

n→+∞gn y

3

f− = lımn→+∞

hn. Determinamos entonces una nueva sucesion escribiendo fn = gn − hn de forma que cada funcion

fn es una funcion simple A -medible que verifica |fn| ≤ |f | en µ-casi todas partes y que pertenece al espacioLp(X,A , µ,R).

Dado que estas funciones verifican |fn(x) − f(x)| ≤ 2|f(x)| y que se tiene lımn→+∞

|fn(x) − f(x)| = 0 en µ-casi

todas partes, podemos aplicar el teorema de convergencia dominada en su version Lp a las funciones |fn− f | paraobtener que lım

n→+∞‖fn − f‖Lp = 0 y con esto terminamos la demostracion del teorema.

Teorema 2 Sea X un espacio topologico separado localmente compacto a base numerable y sea (X,A , µ)un espacio medido regular. Entonces el espacio de funciones continuas a soporte compacto C0

c (X,K) es densoen Lp(X,A , µ,K) con 1 ≤ p < +∞.

Demostracion. Tratamos unicamente el caso real. Vamos a mostrar que el espacio C0c (X,R) es denso en el

sentido de Lp en SI(X,A , µ,R) y, por la transitividad de la densidad expuesta en la proposicion 1, a partir deeste resultado se deducira la densidad de C0

c (X,R) en Lp(X,A , µ,R).

Como las funciones del espacio SI(X,A , µ,R) son combinaciones lineales finitas de funciones indicatrices deconjuntos de medida finita, podemos concentrarnos en las funciones de tipo 1A en donde A ∈ A y µ(A) < +∞.Dado que el espacio medido (X,A , µ) es regular, por el teorema de aproximacion de medidas regulares, tenemosque para todo conjunto A ∈ A y para todo ε > 0 existen un conjunto cerrado F y U un conjunto abierto talesque F ⊂ A ⊂ U y tales que µ(U \ F ) < ε.

Aplicamos aquı el lema de Urysohn que nos asegura la existencia de una funcion continua ψ : X −→ [0, 1] talque ψ(F ) = 1 y ψ(U c) = 0. Vemos entonces sin problema que ψ ∈ C0

c (X,R) y podemos escribir:∫X|1A(x)− ψ(x)|pdµ(x) ≤ µ(U \ F ) < ε.

Esto muestra que las funciones continuas a soporte compacto son densas en las funciones simples integrables y seconcluye que C0

c (X,R) es denso en Lp(X,A , µ,R).

1.3. Separabilidad de los espacios Lp con 1 ≤ p < +∞

Definicion 7 (σ-algebra numerablemente generada) Sea A una σ-algebra sobre un conjunto X. Di-remos que la σ-algebra A es numerablemente engendrada si existe un conjunto de cardinal numerable K ∈ Atal que σ(K) = A .

Por ejemplo, si X = Rn tenemos que la σ-algebra Bor(Rn) es numerablemente engendrada por los cubosdiadicos. Notese que este tambien es el caso para los espacios topologicos separados localmente compactos a basenumerable dotados de sus σ-algebras borelianas respectivas.

Teorema 3 (Condicion de separabilidad) Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea p un real tal que 1 ≤p < +∞. Si la medida µ es σ-finita y si la σ-algebra es numerablemente engendrada, entonces el espacio deLebesgue Lp(X,A , µ,K) es separable.

Para la demostracion de este resultado utilizaremos dos lemas.

Lema 1 Sea (X,A , µ) un espacio medido de masa total finita. Sea A una algebra de subconjuntos de X talque σ(A) = A . Entonces A es denso en A en el sentido que, para todo A ∈ A y para todo ε > 0, existe unconjunto A0 que pertenece a A que verifica µ(A∆A0) ≤ ε.

4

Prueba. Sea F la familia de conjuntos que pertenecen a A tales que para todo ε > 0 existe un conjuntoA0 ∈ A que satisface µ(A∆A0) ≤ ε. Vamos a mostrar que F = A y para ello vamos a verificar que F es unaσ-algebra.

Vemos para empezar que A ⊂ F , de manera que se tiene X ∈ F . Como se tiene la identidad Ac∆Ac0 = A∆A0,

podemos decir que si A ∈ F entonces Ac ∈ F y entonces F es estable por complementacion. Sea ahora (An)n∈Nuna sucesion de conjuntos de F y sea A =

⋃n∈NAn y ε > 0. Dado que µ(X) < +∞, podemos fijar un entero N

suficientemente grande tal que µ(A \ ∪N−1n=0 An) ≤ ε/2 y para n = 0, ..., N − 1 fijamos un conjunto Bn ∈ A que

verifica µ(An∆Bn) ≤ ε2N . El conjunto B0 determinado por B0 =

⋃N−1n=0 Bn pertenece entonces a A y satisface

µ(A∆B0) ≤ µ

(A∆

(N−1⋃n=0

An

))+ µ

((N−1⋃n=0

An

)∆B0

)

≤ µ

(A∆

(N−1⋃n=0

An

))+

N−1∑n=0

µ (An∆Bn) ≤ ε

2+

N−1∑n=0

ε

2N= ε.

Como es posible encontrar un conjunto B0 con estas propiedades para todo ε > 0, tenemos que A ∈ F de dondese deduce que F es estable por reunion numerable y por lo tanto que es una σ-algebra. Finalmente como se tienenlas inclusiones A ⊂ F ⊂ σ(A) = A podemos concluir que F = A .

Lema 2 Sea (X,A , µ) un espacio medido σ-finito. Sea A una algebra de partes de X tal que

1) σ(A) = A ,

2) X es la union de una sucesion de conjuntos que pertenecen a A de µ-medida finita.

Entonces, para todo ε > 0 y todo conjunto A ∈ A tal que µ(A) < +∞, existe un conjunto A0 ∈ A tal queµ(A∆A0) ≤ ε.

Prueba. Por hipotesis existe una sucesion de conjuntos (Bn)n∈N que pertenecen a A de µ-medida finita talesque X =

⋃n∈NBn. Reemplazando Bn por

⋃nk=0Bk podemos suponer, sin perdida de generalidad, que la sucesion

(Bn)n∈N es creciente. Sean ahora ε > 0 un real y A ∈ A un conjunto tal que µ(A) < +∞. Como la sucesioncreciente (Bn)n∈N recubre X, existe un entero N tal que µ(A ∩ BN ) ≥ µ(A) − ε/2. Construimos entonces unamedida finita escribiendo ν : C 7−→ µ(C) = µ(C ∩BN ) y podemos usar el lema 1 para obtener un conjunto E ∈ Aque verifica ν(A∆E) = µ((A∆E) ∩ BN ) ≤ ε/2. Notese que el conjunto E ∩ BN pertenece a A; luego, utilizandola inclusion A∆B ⊂ A∆C ∪ C∆B para todo A,B,C, podemos escribir

µ(A∆(E ∩BN )) ≤ µ(A∆(A ∩BN )) + µ((A ∩BN )∆(E ∩BN ))

= µ(A \ (A ∩BN )) + µ((A∆E) ∩BN ) ≤ ε

2+ε

2= ε.

Si definimos A0 = E ∩BN se obtiene el resultado deseado.

Demostracion del teorema 3. Por hipotesis existe una familia numerable K de A que genera A y quecontiene una sucesion de conjuntos (Bn)n∈N de µ-medida finita tal que X =

⋃n∈NBn. Notemos K el conjunto

formado por los conjuntos de K al cual anadimos sus complementarios y consideremos A el algebra (cuidado, nola σ-algebra) engendrada por K. Tenemos entonces que A es el conjunto formado por uniones finitas de conjuntosde la forma A1 ∩A2 ∩ · · · ∩AN para algun N y algunos (Ai)1≤i≤N ∈ K. Tenemos por lo tanto que A es numerabley verifica las hipotesis del lema 2.

Consideramos entonces la coleccion de todas las sumas finitas∑n

j=0 qj1Dj (x) en donde qj ∈ Q con Q = Qsi K = R o Q = Q + iQ si K = C y en donde Dj ∈ A y verifica µ(Dj) < +∞. Esta coleccion es numerable yesta contenida en el espacio de Lebesgue Lp(X,A , µ,K). Vamos a demostrar que esta coleccion es un subconjunto

5

denso.

Sea pues f ∈ Lp(X,A , µ,K) y sea ε > 0 un real. Sabemos en particular por el teorema de aproximacion porfunciones simples que existe una funcion simple g que pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K) tal que ‖f − g‖Lp ≤ ε.Suponemos que la funcion g se escribe como

∑nj=0 αj1Aj (x) en donde cada conjunto Aj pertenece a A y verifica

µ(Aj) < +∞. Podemos encontrar sin problemas numeros racionales qj tales que se tenga∥∥∥∥∥∥g −n∑

j=0

qj1Aj

∥∥∥∥∥∥Lp

=

∥∥∥∥∥∥n∑

j=0

αj1Aj −n∑

j=0

qj1Aj

∥∥∥∥∥∥Lp

≤n∑

j=0

|αj − qj |‖1Aj‖Lp ≤ ε.

Utilizando el lema 2 es posible encontrar conjuntos Dj ∈ A tales que∥∥∥∥∥∥n∑

j=0

qj1Aj −n∑

j=0

qj1Dj

∥∥∥∥∥∥Lp

≤ ε.

Dado que se tienen las estimaciones∥∥∥∥∥∥f −n∑

j=0

qj1Dj

∥∥∥∥∥∥Lp

≤ ‖f − g‖Lp +

∥∥∥∥∥∥g −n∑

j=0

qj1Aj

∥∥∥∥∥∥Lp

+

∥∥∥∥∥∥n∑

j=0

qj1Aj −n∑

j=0

qj1Dj

∥∥∥∥∥∥Lp

≤ 3ε

podemos finalmente dar por terminada la demostracion de este teorema.

Este resultado tiene como consecuencia directa la asercion siguiente que siempre conviene tener en mente.

Corolario 1 Los espacios de Lebesgue Lp(Rn,Bor(Rn), λn,K) con 1 ≤ p < +∞ son separables.

1.4. Densidad en los espacios L∞

Teorema 4 Sea (X,A , µ) un espacio medido σ-finito. Entonces el espacio formado por las funciones simplesS(X,A , µ,K) es denso en L∞(X,A , µ,K).

Demostracion. Tratamos aquı solamente el caso real, como en los enunciados precedentes el caso complejo sededuce sin mayor problema a partir de este resultado. Sea entonces f ∈ L∞(X,A , µ,R) una funcion y sea ε > 0un real. Si consideramos el intervalo real I = [−‖f‖L∞ , ‖f‖L∞ ] podemos escoger numeros reales −‖f‖L∞ = a0 <a1 < · · · < an = ‖f‖L∞ tales que los intervalos ]ai, ai+1] tengan una longitud inferior o igual a ε y formen unrecubrimiento de I. Definimos luego los conjuntos Ai = f−1(]ai, ai+1]) para todo i = 0, ..., n− 1 y construimos lafuncion fε(x) =

∑n−1i=0 ai1Ai(x). Por construccion estas funciones fε son funciones simples A -medibles y verifican

‖f − fε‖L∞ ≤ ε. Hemos entonces terminado la demostracion del teorema.

Contrariamente al teorema 2 tenemos el resultado siguiente.

Proposicion 6 Sea X un espacio topologico separado localmente compacto a base numerable y sea (X,A , µ)un espacio medido regular. Entonces

1) las funciones continuas a soporte compacto C0c (X,K) y las funciones continuas que tienden a cero al

infinito C00(X,K) no son densas en el espacio L∞(X,A , µ,K).

2) Si µ(X) = +∞, entonces las funciones simples integrables SI(X,A , µ,K) no son densas en el espacioL∞(X,A , µ,K).

6

Prueba. La funcion f = 1X pertenece al espacio L∞(X,A , µ,K) pero para toda funcion ϕ continua a soportecompacto o continua que tiende a cero al infinito se tiene ‖f − ϕ‖L∞ > 1/2.

Si µ(X) = +∞, una funcion simple integrable ψ verifica µ(x ∈ X : ψ 6= 0) = 0 y el mismo ejemplo anteriormuestra que el conjunto SI(X,A , µ,K) no es denso en el espacio L∞(X,A , µ,K).

A pesar de tener este resultado negativo, existe una relacion de densidad entre el espacio de funciones a soportecompacto y el espacio de funciones continuas que se anulan al infinito:

Teorema 5 Las funciones continuas a soporte compacto C0c (X,K) son densas en el sentido de la norma

‖ · ‖L∞ en el espacio C00(X,K) formado por las funciones continuas que se anulan al infinito.

Demostracion. Sea f una funcion del espacio C00(X,K) y sea ε > 0 un real. Por definicion de funcion que se

anula al infinito, existe un compacto K ⊂ X tal que supx∈Kc

|f(x)| < ε y esto permite concentrar nuestra atencion

al compacto K. En realidad vamos a considerar un compacto K un poco mas grande tal que K ⊂ K. Definimosentonces una funcion continua ψ que coincida con f sobre K y que se anule afuera de K: de esta manera ψ es unafuncion continua a soporte compacto. Tenemos entonces que ‖f − ψ‖L∞ < ε de donde se deduce que el conjuntode funciones continuas a soporte compacto es denso en las funciones continuas que se anulan al infinito.

Pasemos ahora al estudio de la separabilidad de los espacios de funciones esencialmente acotadas. Vamos aempezar con un resultado que contrasta con la situacion presentada en el corolario 1 de la seccion anterior.

Teorema 6 El espacio de funciones esencialmente acotadas L∞(Rn,Bor(Rn), λn,K) no es separable. Esteresultado se mantiene si el conjunto de base es un subconjunto abierto de Rn.

Demostracion. Tratamos unicamente el caso K = R. Como el espacio L∞ posee una estructura de espaciode Banach, vamos a utilizar la proposicion 4 para mostrar que no existe un subconjunto denso y numerable deL∞(Rn,Bor(Rn), λn,R). Para todo punto a ∈ Rn definimos la funcion ϕa(x) = 1B(a,1)(x) y el conjunto

Aa = f ∈ L∞(Rn,Bor(Rn), λn,R) : ‖f − ϕa‖L∞ < 1/2.

Vemos entonces que para todo a ∈ Rn el conjunto Aa es un abierto no vacıo de L∞(Rn,Bor(Rn), λn,R) y que sia 6= b entonces Aa ∩ Ab = ∅. Como Rn no es numerable podemos aplicar la proposicion 4 para obtener que esteespacio no es separable.

Para la segunda asercion hacemos una pequena modificacion del razonamiento anterior. Sea pues X un sub-conjunto abierto de Rn y estudiemos la separabilidad del espacio L∞(X). Para todo punto a ∈ X fijamos unreal ra tal que ra < d(a,Xc) en donde d(a,Xc) es la distancia entre el punto a y el complementario de X. Lafuncion ϕa esta entonces definida por ϕa(x) = 1B(a,ra)(x) y repetimos los mismos argumentos utilizados en laslıneas precedentes: definimos similarmente los conjuntos Aa y como X es no numerable podemos concluir.

Este resultado es importante pues muestra que en el caso mas utilizado en la practica, es decir cuandoX es el espacio euclıdeo o algun subconjunto abierto, los espacios de funciones esencialmente acotadasL∞ poseen propiedades topologicas distintas a las de los otros espacios de Lebesgue Lp con 1 ≤ p < +∞.

7

El resultado a continuacion presenta condiciones de separabilidad para el espacio L∞.

Teorema 7 Sea (X,A , µ) un espacio medido. Entonces las proposiciones siguientes son equivalentes:

1) el espacio L∞(X,A , µ,K) es separable

2) no existe una familia infinita (An)n∈N de partes A -medibles de X de medida no nula, dos a dosdisjunta.

3) el espacio L∞(X,A , µ,K) es de dimension finita

4) toda funcion A -medible pertenece al espacio L∞(X,A , µ,K).

2. Espacios Locales

2.1. Definiciones y primeras propiedades

Definicion 8 (Espacios Lploc y L∞loc) Sea 1 ≤ p < +∞ un real y sea (X,A , µ) un espacio medido regular.

Definimos el espacio de clases de funciones localmente de potencia p-eme integrables, notado Lploc(X,A , µ,K)

o mas sencillamente Lploc(X), como el conjunto de funciones A -medibles

Lploc(X,A , µ,K) =

f : X −→ K : ‖f‖Lp(K) =

(∫K|f(x)|pdµ(x)

)1/p

< +∞, ∀K ⊂ Xcompacto

El espacio de clases de funciones localmente esencialmente acotadas L∞loc(X,A , µ,K) estara definido encambio de la siguiente manera:

L∞loc(X,A , µ,K) =f : X −→ K : ‖f‖L∞(K) = sup ess

x∈K|f(x)| < +∞, ∀K ⊂ Xcompacto

Es muy importante observar que las funcionales que caracterizan estos conjuntos dependen del compacto queentra en consideracion y es por eso que notamos ‖ · ‖Lp(K) y ‖ · ‖L∞(K) para insistir en esta dependencia.

Notacion: Si f ∈ L1loc(X,A , µ,K) diremos simplemente que f es localmente integrable.

El ejemplo clasico de una funcion localmente integrable esta dado por f(x) = 1/x para todo x ∈]0,+∞[. Ellector no tendra dificultad en verificar que para todo compacto K ⊂]0,+∞[ se tiene ‖f‖L1(K) =

∫K 1/xdx < +∞,

pero que f /∈ L1(]0,+∞[).

Si (X,A , µ) es un espacio medido regular y si f, g : X −→ K son dos funciones localmente de potencia p-eme integrables con 1 ≤ p < +∞, se tiene que f + g ∈ Lp

loc(X,A , µ,K): para todo compacto K basta aplicarla desigualdad de Minkowski para obtener ‖f + g‖Lp(K) ≤ ‖f‖Lp(K) + ‖g‖Lp(K) < +∞. De la misma forma siλ ∈ K se tiene sin mayor problema que λf ∈ Lp

loc(X,A , µ,K). Dado que los razonamientos son los mismos sif, g ∈ L∞loc(X,A , µ,K), hemos verificado el resultado siguiente:

Proposicion 7 Si (X,A , µ) es un espacio medido regular entonces para todo 1 ≤ p < +∞ el espacioLp

loc(X,A , µ,K) y el espacio L∞loc(X,A , µ,K) son subespacios vectoriales del conjunto de funciones mediblesM(X,A ,K).

2.2. Estructura de los espacios locales

Por las hipotesis que hemos realizado sobre el conjunto X y el espacio medido (X,A , µ), tenemos que elespacio X es σ-compacto y que la medida µ es finita sobre los compactos. Estas propiedades nos proporcionan

8

una sucesion numerable de conjuntos compactos de medida finita (Kn)n∈N, que sera fijada de una vez por todas,tales que X =

⋃n∈NKn.

A partir de estos hechos, podemos ver que si f : X −→ K es una funcion tal que para todo compacto Kn dela sucesion (Kn)n∈N se tiene ‖f‖Lp(Kn) = 0 entonces f = 0 en µ-casi todas partes y esta propiedad se mantienesi consideramos ‖ · ‖L∞(Kn). Esto significa que las familias de semi-normas (‖ · ‖Lp(Kn))n∈K y (‖ · ‖L∞(Kn))n∈Kverifican el axioma de separacion (ver definicion 1.3.6 del folleto), lo que nos permitira dotar a los espacios Lp

loc yL∞loc de una estructura de espacio topologico separado. Mas precisamente tenemos el resultado siguiente:

Teorema 8 Si X es un espacio topologico separado localmente compacto a base numerable y si el espacio(X,A , µ) es un espacio medido σ-finito regular, entonces los espacios Lp

loc(X,A , µ,K) con 1 ≤ p < +∞ yL∞loc(X,A , µ,K) son espacios de Frechet.

Demostracion. Hemos visto con las observaciones de las lıneas precedentes que las familias de semi-normas(‖·‖Lp(Kn))n∈K y (‖·‖L∞(Kn))n∈K verifican el axioma de separacion y entonces por el teorema 1.3.2 del folleto tene-mos que los espacios (Lp

loc(X,A , µ,K), (‖·‖Lp(Kn))n∈K) y (L∞loc(X,A , µ,K), (‖·‖L∞(Kn))n∈K) son espacios metricos.

Debemos ahora verificar que estos espacios son completos. Para ello utilizamos la proposicion 1.3.6 que permiterestringir nuestra atencion a los semi-normas que determinan estos espacios. Sea entonces (fj)j∈N una sucesion deCauchy del espacio Lp

loc(X,A , µ,K). Fijemos un compacto Kn0 de la sucesion de compactos (Kn)n∈N que recubreX. Dado que (fj)j∈N es tambien una sucesion de Cauchy del espacio completo Lp(Kn0 ,A|Kn0

, µ|Kn0,K) tenemos

que, sobre este compacto Kn0 que fj −→j→+∞

fKn0∈ Lp(Kn0 ,A|Kn0

, µ|Kn0,K). Sea Kn1 otro compacto de la sucesion

(Kn)n∈N. Si Kn0 ∩Kn1 = A, definimos de forma similar la funcion fKn1\A como el lımite de la sucesion de Cauchy(fj)j∈N sobre Kn1 \A y construimos una funcion sobre Kn0 ∪Kn1 escribiendo fKn0∪Kn1

= fKn0+ fKn1\A.

De esta manera obtenemos una funcion definida sobreKn0∪Kn1 que corresponde al lımite de la sucesion (fj)j∈N.Repitiendo este procedimiento para todo compacto de la sucesion (Kn)n∈N se obtiene una funcion localmente depotencia p-eme integrable f definida sobre X a valores en K que es el lımite, sobre todo compacto Kn y para todasemi-norma asociada, de la sucesion de Cauchy (fj)j∈N; lo que demuestra que este espacio es completo. El casodel espacio L∞loc(X,A , µ,K) se trata de forma totalmente similar, de manera que podemos dar por terminada lademostracion del teorema.

Observacion 4 Los espacios Lploc(X,A , µ,K) y L∞loc(X,A , µ,K) son espacios metricos completos y si bien no

hemos explicitado sus respectivas metricas en la demostracion del teorema anterior, conviene escribir su formula-cion. Sea pues

⋃n∈NKn = X una sucesion de compactos y sean f, g dos funciones de Lp

loc(X) con 1 ≤ p ≤ +∞,entonces la expresion

d(f, g) = supn∈Nınf‖f − g‖Lp(Kn); 2−n

es una distancia sobre el espacio Lploc(X).

Observacion 5 En estas lıneas hemos trabajado con una sucesion de compactos (Kn)n∈N tal que X =⋃

n∈NKn

y es importante notar que la estructura de los espacios Lploc es independiente de la sucesion de compactos escogida:

si fijamos otra sucesion (Kn)n∈N tal que X =⋃

n∈N Kn, las propiedades expuestas se mantienen y es equivalentetrabajar con una u otra sucesion de compactos.

2.3. Relaciones de inclusion

Teorema 9 Sea (X,A , µ) un espacio medido regular y sean p, q dos reales tales que 1 < p < q < +∞.Tenemos entonces las inclusiones estrictas siguientes entre los espacios locales:

L∞loc(X,A , µ,K) ( · · · ( Lqloc(X,A , µ,K) ( Lp

loc(X,A , µ,K) ( · · · ( L1loc(X,A , µ,K)

9

Demostracion. Sean 1 < p < q < +∞ dos reales y sea f una funcion que pertenece al espacio Lqloc(X,A , µ,K).

Dado que se tiene para todo compacto K, que es de medida finita puesto que el espacio medido (X,A , µ) es regular,la estimacion

‖f‖Lp(K) ≤ µ(K)1/p−1/q‖f‖Lq(K)

podemos deducir que f ∈ Lploc(X,A , µ,K). El lector verificara que estas inclusiones son estrictas. Los casos lımite

1 y +∞ se tratan de la misma manera.

Proposicion 8 Bajo las mismas hipotesis que las del teorema 9 tenemos para todo real 1 ≤ p ≤ +∞ lainclusion estricta de espacios Lp(X,A , µ,K) ( Lp

loc(X,A , µ,K).

Prueba. Debemos mostrar que toda funcion que pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K) es en realidad localmentede potencia p-eme integrable. Este resultado se deduce muy facilmente de la estimacion elemental

‖f‖pLp(K) =∫

K|f(x)|pdµ(x) ≤

∫X|f(x)|pdµ(x) = ‖f‖pLp

valida para toda funcion f ∈ Lp(X,A , µ,K) y todo subconjunto compacto de X. La comprobacion de que estainclusion es estricta es dejada en ejercicio.

Corolario 2 Sea 1 < p ≤ +∞ un real. Entonces todos los espacios de Lebesgue Lp(X,A , µ,K) estancontenidos en el espacio L1

loc(X,A , µ,K)

Prueba. Para la verificacion de este resultado es suficiente juntar la proposicion 8 y el teorema 9. En efecto,por esta proposicion tenemos para todo 1 < p ≤ +∞ la inclusion Lp(X,A , µ,K) ⊂ Lp

loc(X,A , µ,K), mientras quepor el teorema 9 tenemos Lp

loc(X,A , µ,K) ⊂ L1loc(X,A , µ,K) de donde se obtiene la inclusion deseada.

Este ultimo resultado es importante, pues si bien en el caso general no existe ninguna relacion deinclusion entre los diferentes espacios de Lebesgue, tenemos que todos estos espacios estan siempre

contenidos en el espacio de funciones localmente integrables L1loc(X,A , µ,K).

10



Ejercicios Leccion n8: Densidad, Espacios Locales EPN, verano 2009

Ejercicio 1 — Densidad

Sea (X,A , µ) un espacio medido. Decir si las aserciones siguientes son verdaderas o falsas. Justificarlo.1. El espacio C0(X,K) es denso en Lp(X,K) con 1 ≤ p < +∞.2. El espacio SI(X,K) es denso en L∞(X,K).3. El espacio L∞(X,K) es denso en Lp(X,K) con 1 ≤ p < +∞.4. El espacio es Lp(X,K) con 1 ≤ p < +∞ denso en L∞(X,K).5. El espacio C0(X,K) es denso en C0

0(X,K).6. El espacio C0

c (X,K) es denso en L∞(X,K).

Ejercicio 2 — Densidad en los espacios de sucesiones

Sea el espacio X = N o Z dotado de su estructura de espacio medido natural. El conjunto formado por lassucesiones de tipo e(j) = (δij)j∈X en donde δij es la delta de Kronecker, es decir δij = 0 si i 6= j y δij = 1 si i = j,es llamada la base canonica de los espacios de sucesiones.

1. Si 1 ≤ p < +∞, mostrar que la base canonica de sucesiones (e(j))j∈X es un sistema total en `p(X,K).2. Mostrar que los espacios `p(X,K) son separables.3. Verificar que el conjunto formado por las funciones caracterısticas (1A)A∈P(X) es un sistema total en el

espacio `∞(X,K).4. Mostrar que si el conjunto X es de cardinal infinito, entonces el espacio `∞(X,K) no es separable.5. Verificar que la sucesion canonica es total en c0(X,K).

Ejercicio 3 — Independencia

Mostrar que la estructura de los espacios de funciones localmente integrables es independiente de la sucesionde compactos escogida.

Ejercicio 4 — Caracterizacion

Este ejercicio proporciona una caracterizacion de los espacios de funciones locales Lploc(X,R) con 1 ≤ p ≤ +∞

utilizando las funciones continuas a soporte compacto C0c (X,R). Sea pues X un espacio separado localmente

compacto a base numerable y sea (X,A , µ) un espacio medido regular.1. Sea f : X −→ R una funcion µ-medible que pertenece al espacio Lp

loc(X,A , µ,R) y sea ϕ una funcion delespacio C0

c (X,R). Mostrar que ‖fϕ‖Lp < +∞.2. Sea K un compacto de X. Utilizando el lema de Urysohn mostrar que existe una funcion ϕ ∈ C0

c (X,R) talque ‖f‖Lp(K) ≤ ‖fϕ‖Lp < +∞.

3. Utilizando los dos puntos precedentes, mostrar que una funcion f pertenece al espacio Lploc(X,A , µ,R) si

y solo si el producto fϕ pertenece al espacio Lp(X,A , µ,R) para toda funcion ϕ ∈ C0c (X,R).

Ejercicio 5 — Densidad Lp y Lploc

Sea 1 ≤ p < +∞ un real. Sea X un espacio topologico separado localmente compacto a base numerable ysea (X,A , µ) un espacio medido regular. Mostrar que los espacios de Lebesgue Lp(X,A , µ,K) son densos en losespacios Lp

loc(X,A , µ,K).

1

Ejercicio 6 — Espacios de funciones localmente uniformemente integrables

Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea 1 ≤ p ≤ +∞. Definimos el espacio de funciones localmente uniforme-mente integrables como:

Lpuloc(R

n,K) =

f : Rn −→ K : ‖f‖Lpuloc

= supx∈Rn

∫|x−y|<1

|f(y)|pdy

1/p

< +∞

1. Mostrar que la cantidad ‖ · ‖Lp

uloces una norma.

2. Si p = +∞ verificar que L∞uloc = L∞.3. Mostrar que se tienen las inclusiones

Lp ⊂ Lpuloc ⊂ L

ploc

4. Verificar que L∞ ⊂ Lpuloc para todo 1 ≤ p < +∞.

Ejercicio 7 — Espacio WL∞

Sea (X,A , µ) un espacio medido. Definimos el espacio WL∞ como:

WL∞(Rn,K) =

f : Rn −→ K : ‖f‖WL∞ =

∑k∈Rn

supx−k∈[0,1]n

|f(x)| < +∞

1. Verificar que la cantidad ‖ · ‖WL∞ es una norma.2. Mostrar que se tiene la inclusion WL∞ ⊂ L∞.3. ¿Para que valores de p ∈ [1,+∞[ se tiene la inclusion WL∞ ⊂ Lp?4. ¿Se tiene la inclusion Lp ⊂WL∞ con p ∈ [1,+∞[ ?

2

Curso de Verano EPN Julio-Agosto 2009

Deber en casa n1: Medida de Hausdorff.

Fecha de entrega:

Diego Chamorro

Resumen

La medida de Lebesgue permite medir objetos que poseen un volumen; pero es inadaptada para “medir” los objetos queno tienen volumen. Las medidas de Hausdorff sirven para remediar este inconveniente.

1. Preliminares

Ejercicio 1 Sea (X, d) un espacio metrico. Decimos que dos conjuntos A y B son positivamente separados si verifican

d(A,B) = ınfd(x, y) : x ∈ A, y ∈ B > 0.

Una medida exterior µ definida sobre P(X) es una medida exterior metrica si, para todo A,B, dos conjuntos positivamenteseparados, se tiene la identidad µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B).

Mostrar que si µ es una medida exterior metrica entonces la coleccion de conjuntos µ-medibles contiene los conjuntosborelianos. Para ello seguir las siguientes etapas:

1. Sea E ∈ P(X) tal que µ(E) < +∞ y sea C un conjunto cerrado. Considerando los conjuntos Cn = x ∈ X : d(x,C) ≥1/n mostrar que µ(E) ≥ µ(E ∩ C) + µ(E ∩ Cn).

2. Definimos Ak = x ∈ X : 1/(k + 1) ≤ d(x,C) < 1/k. Verificar que se tienen las inclusiones

E ∩ Cn ⊂ E \ C ⊂ (E ∩ Cn) ∪[k≥n

(E ∩Ak).

3. Mostrar quePk≥1 µ(E ∩Ak) ≤ 2µ(E) y deducir que lım

n→+∞

Pk≥n µ(E ∩Ak) = 0.

4. Mostrar utilizando los dos puntos anteriores que se tiene lımn→+∞

µ(E ∩ Cn) = µ(E \ C).

5. Obtener la estimacion µ(E) ≥ µ(E ∩ C) + µ(E \ C) y concluir que una medida exterior metrica contiene los conjuntosborelianos.

2. Medida de Hausdorff

El conjunto de base que utilizamos es el espacio euclıdeo n-dimensional Rn dotado de su distancia natural

d(x, y) =

nXi=1

|xi − yi|2!1/2

.

Definicion 1 Si A es un subconjunto de Rn y si (Ui)i∈N es una sucesion de conjuntos convexos tales que A ⊂Si∈N Ui en

donde 0 < diam(Ui) ≤ δ, diremos entonces que (Ui)i∈N es un δ-recubrimiento (convexo) de A.

1

Ejercicios de Teorıa de la Medida e Integracion. Deber de trabajo personal, verano 2009, EPN. www.amarun.net

Si A es un subconjunto de Rn y si s es un real positivo, definimos para δ > 0, la aplicacion:

Hsδ(A) = ınfRδ,A

+∞Xi=0

diam(Ui)s, (1)

en donde el ınfimo considera todos los δ-recubrimientos de A notados Rδ,A.

Ejercicio 2 Mostrar que la aplicacion (1) es una funcion decreciente del parametro δ.

* * * * *

Definicion 2 (Medida exterior s-dimensional de Hausdorff) Para obtener la medida exterior s-dimensional de Haus-dorff de un subconjunto A de Rn hacemos tender δ −→ 0 en la expresion (1) de manera que

Hs(A) = lımδ→0Hsδ(A) = sup

δ>0Hsδ(A). (2)

Ejercicio 3 Mostrar que Hs es efectivamente una medida exterior. Para ello seguir las siguientes etapas.

1. Sea (Ai)i∈N una sucesion numerable de conjuntos de Rn, sea A =Si∈N Ai, sea δ > 0 y sea ε > 0. Verificar que para todo

i ∈ N, existe (Bij)j∈N un δ-recubrimiento de Ai tal que˛˛Hsδ(Ai)−X

j∈N

diam(Bij)s

˛˛ ≤ ε

2i.

2. Mostrar que se tiene la inclusion A ⊂S

I∈N,j∈NBij y que esta union es numerable.

3. Mostrar que

Hsδ(A) ≤Xi∈N

Xj∈N

diam(Bij)s ≤

Xi∈N

(Hsδ(Ai) +ε

2i)

4. Haciendo ε, δ −→ 0 comprobar que Hs(A) ≤Pi∈NH

s(Ai).

* * * * *

Ejercicio 4 Mostrar que para todo conjunto Hs-medible A se tienen las identidades

1. Hs(x+A) = Hs(A) para todo x ∈ Rn.

2. Hs(cA) = csHs(A) para todo c ∈ R.

Recuerdese que x+A = x+ y : y ∈ A y cA = cy : y ∈ A.

* * * * *

Ejercicio 5 Mostrar que la medida exterior de Hausdorff Hs es una medida metrica en el sentido del ejercicio 1. Deducirque la medida de Hausdorff s-dimensional es una medida Boreliana. Indicaciones:

1. Sean A,B dos conjuntos medibles positivamente separados. Sea δ ∈]0, d(A,B)/3[ y sea ε > 0. Verificar que existe (Ai)i∈Nun δ-recubrimiento de A ∪B tal que ˛

˛Hsδ(A ∪B)−Xi∈N

diam(Ai)s

˛˛ ≤ ε.

2. Notando IA = i ∈ N : Ai ∩ A 6= ∅ y IB = i ∈ N : Ai ∩ B 6= ∅ verificar que IA ∩ IB = ∅ y que (Ai)IA es unδ-recubrimiento de A y que (Ai)IB es un δ-recubrimiento de B.

3. Mostrar que se tiene la estimacion

Hsδ(A ∪B) + ε ≥Xi∈IA

diam(Ai)s +

Xi∈IB

diam(Ai)s

4. Haciendo ε, δ −→ 0 concluir.

Notacion: La restriccion de Hs a los Borelianos de Rn se denomina la medida de Hausdorff s-dimensional.

* * * * *

Ejercicio 6 Fijamos s = 0. Calcular H0(A) en donde A = x para todo x ∈ Rn y calcular H0(B) en donde B = x, y conx 6= y ∈ Rn. ¿A que medida conocida corresponde la medida de Hausdorff 0-dimensional? Fijemos ahora s > 0, calcule Hs(A)y Hs(B) en donde A y B son los conjuntos anteriores.

* * * * *

2


Definicion 3 Una clase de Vitali para un conjunto A es una familia de conjuntos V tal que, para todo x ∈ A y para todoδ > 0, existe U ∈ V con x ∈ U tal que 0 < diam(U) ≤ δ.

Teorema 1 (Teorema de recubrimiento de Vitali) Sea A ⊂ Rn un conjunto Hs-medible y sea V una clase de Vitali deA formada por conjuntos cerrados. Entonces podemos escoger una sucesion (finita o numerable) (Ui)i∈I de V tal que: o setiene

Pi∈I diam(Ui)

s = +∞ o se tiene Hs(A \Si∈I Ui) = 0.

Ejercicio 7 (Relaciones entre la medida de Hausdorff y la medida de Lebesgue) Definimos la constante

cn =πn2

2nΓ(n2

+ 1),

en donde Γ es la funcion Gamma clasica: Γ(x) =R +∞0

tx−1e−tdt (notese que c1 = 1 y que c2 = π4

).

Vamos a verificar que si A ⊂ Rn, entonces se tiene la identidad λn(A) = cnHn(A).

1. Mostrar que sobre R las medidas λ y H1 coınciden.

2. Verificar que para todo δ > 0 y todo ε > 0, se puede recubrir un conjunto A por una coleccion de conjuntos cerrados(Ui)i∈N tales que X

i∈N

diam(Ui)n ≤ Hnδ (A) + ε.

3. Suponiendo que para todo conjunto cerrado y convexo C ⊂ Rn se tiene la mayoracion

λn(C) ≤ cndiam(C)n (en particular se tiene la igualdad para las bolas cerradas).

Mostrar que se tiene λn(A) ≤Pi∈N λn(Ui) ≤ cnHnδ (A) + cnε y deducir que λn(A) ≤ cnHn(A).

4. Verificar que es suficiente estudiar los conjuntos A tales que Hs(A) < +∞.

5. Para la estimacion recıproca, sea (Qi)i∈N una coleccion de cubos que recubren A tal queXi∈N

vol(Qi) ≤ λn(A) + ε.

Mostrar que para todo i ∈ N, las bolas cerradas contenidas en Qi de radio maximo δ forman una clase de Vitali de Qi.

6. Utilizando el teorema de Vitali, mostrar que existe una familia de bolas disjuntas (Bij)j∈N de Qi de diametro maximal δtales que Hn(Qi \

Sj∈N B

ij) = 0.

7. Mostrar que se tiene la estimacion

Hnδ (A) ≤+∞Xi=0

+∞Xj=0

Hnδ (Bij)

8. Mostrar que+∞Xi=0

+∞Xj=0

Hnδ (Bij) ≤ c−1n

+∞Xi=0

vol(Qi) ≤ c−1n (λn(A) + ε)

Concluir que cnHn(A) ≤ λn(A).

* * * * *

3. Dimension de Hausdorff

Ejercicio 8

1. Sea A un subconjunto de Rn y δ > 0 un real, si 0 < s < t, muestre que se tiene la estimacion

Hsδ(A) ≥ δs−tHtδ(A).

2. Mostrar utilizando la estimacion anterior que si para todo conjunto A existe un valor notado dim(A) tal que 0 <Hdim(A)(A) < +∞, entonces se tiene

Hs(A) =

8<: +∞ si 0 ≤ s < dim(A),

0 si dim(A) < s < +∞.

A la cantidad dim(A) se le denomina la dimension de Hausdorff del conjunto A.

3. Sea Q el cubo unidad de Rn que dividimos en kn cubos de lado 1/k. Mostrar que si δ ≥ k−1n1/2 entonces Hnδ (Q) < +∞.

3


4. A partir del calculo precedente, mostrar que si s > n entonces Hs(Q) = 0 y Hs(Rn) = 0.

5. Mostrar que para todo subconjunto A ⊂ Rn se tiene 0 ≤ dim(A) ≤ n.

* * * * *

Ejercicio 9 Sea K el conjunto triadico de Cantor.

1. Observando que K puede ser recubierto por 2j intervalos de longitud 3−j que conforman los conjuntos Kj, mostrar queHs3−j (K) ≤ 2j3−sj. Si fijamos s = ln(2)/ ln(3), mostrar que Hs(K) ≤ 1.

2. ¿Cual es la dimension de Hausdorff del conjunto triadico de Cantor? Dar una cota superior al valor de dim(K).

3. Queremos demostrar que, para toda coleccion C de intervalos que recubren K, se tiene

1 ≤XA∈C

diam(A)s. (3)

Mostrar que basta hacerlo cuando C es una coleccion finita.

4. Supongamos que A0 ∈ C es el mas pequeno intervalo que contiene dos intervalos J y J ′ que aparecen en la construcciondel conjunto triadico de Cantor K (no necesariamente en la misma etapa de la construccion, es decir, no necesariamenteen el mismo conjunto Kj). Mostrar que A0 es la union disjunta de J con L, un intervalo en el complementario de K, ycon J ′.

5. Mostrar que para tales conjuntos se tiene diam(J), diam(J ′) ≤ diam(L) y

diam(A0)s =`diam(J) + diam(L) + diam(J ′)

´s ≥ „3

2(diam(J) + diam(J ′)

«s≥ diam(J)s + diam(J ′)s

Observar que no se aumenta la suma (3) si se reemplaza A0 por los dos intervalos J y J ′.

6. Verificar que se puede proceder de esta forma hasta obtener un recubrimiento de K formado por intervalos de iguallongitud (que podemos fijar a 3−j).

7. Observar que procediendo de esta manera incluımos todos los intervalos que conforman Kj. Como la mayoracion (3) esvalida para este recubrimiento, lo es tambien para el recubrimiento original C.

8. Concluir que cuando s = ln(2)/ ln(3) entonces Hs(K) = 1.

4


Deber en casa n2: Convolucion.

Fecha de entrega:

Diego Chamorro

Resumen

El producto de convolucion es una herramienta indispensable en el analisis. Sirve entre otras cosas para regularizar funcionesy, por medio de aproximaxiones de la identidad, permite verificar resultados importantes.

1. Preliminares

Definicion 1 Un grupo topologico localmente compacto G es un espacio topologico separado, localmente compacto, queesta dotado con una ley de grupo notada multiplicativamente (x, y) 7−→ x · y tal que las dos aplicaciones (x, y) 7−→ x · y;x 7−→ x−1 son continuas. Notaremos ademas e el elemento neutro del grupo: e · x = x · e = x, para todo x ∈ G.

Ejercicio 1 Mostrar que los siguientes grupos son grupos topologicos localmente compactos.

1. El espacio euclıdeo Rn dotado de la suma usual: x+ y = (x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn).

2. Los conjuntos Z y Zn con la misma operacion de grupo que en Rn.

3. El conjunto R∗ formado de los numeros reales no nulos, dotado de la topologıa inducida por R y como ley de grupo lamultiplicacion.

4. El grupo de Heisenberg definido por H = (R3, ·) con el producto

x · y =

„x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3 +

1

2(x1y2 − x2y1)

«para todo x, y ∈ R3.

Verificar que el elemento neutro de este grupo es e = (0, 0, 0), que (x1, x2, x3)−1 = (−x1,−x2,−x3) y que este productono es abeliano.

* * * * *

Ejercicio 2 Sea x ∈ G y A ⊂ G, definimos x · A = x · a; a ∈ A y A · x = a · x; a ∈ A. Mostrar que si A es abiertoentonces los conjuntos x ·A y A · x son abiertos.

* * * * *

Definicion 2 Sea (G,Bor(G), µ) un espacio medido. La medida µ es una medida de Haar invariante por la izquierda si paratodo A ∈ Bor(G) y todo x ∈ G se tiene la identidad

µ(x ·A) = µ(A).

Simetricamente, diremos que µ es una medida de Haar invariante por la derecha si µ(A · x) = µ(A).

1


Ejercicio 3

1. Utilizando el ejercicio 2, mostrar que la definicion de medida de Haar tiene sentido.

2. Mostrar que sobre (Rn,Bor(Rn), λn), la medida de Lebesgue λn es una medida de Haar invariante por la izquierda y porla derecha (diremos en este caso que la medida es bi-invariante).

3. Mostrar que sobre (Z,P(Z), Card), la medida de conteo es una medida de Haar bi-invariante.

4. Si consideramos R∗ definimos la medida µ = dx/|x|. Mostrar que esta medida es invariante por traslaciones multiplica-tivas, es decir que se tiene Z +∞

−∞f(tx)

dx

|x| =

Z +∞

−∞f(x)

dx

|x|para toda funcion integrable definida sobre R∗ y para todo t ∈ R∗.

5. Verificar que si µ es una medida de Haar invariante por la izquierda entonces se tiene, para todo z ∈ G y para todafuncion integrable f : G −→ K, la identidadZ

Gf(z · x)dµ(x) =

ZGf(x)dµ(x).

* * * * *

Notacion: Para todo vector no nulo τ ∈ G, notamos fτ (x) = f(τ · x) la traslacion por la izquierda y fτ (x) = f(x · τ) latraslacion por la derecha.

Ejercicio 4 Sea (G,Bor(G), µ) un espacio medido con µ una medida de Haar invariante por la izquierda.

1. Sea 1 ≤ p < +∞ un numero real y sea f una funcion de Lp(G,K), verificar que ‖fτ‖Lp = ‖f‖Lp .

2. Mostrar que la funcion fτ converge hacia f en Lp(G,K) cuando τ tiende hacia e, es decir:

lımτ→e

ZG|fτ (x)− f(x)|pdµ(x) = 0.

* * * * *

2. Producto de Convolucion, primeras propiedades

En toda esta seccion (G,Bor(G), µ) es un espacio medido con µ una medida de Haar invariante por la izquierda.

Definicion 3 Sean f y g dos funciones de L1(G,K) a valores en K. Definimos el producto de convolucion de f y g como:

f ∗ g(x) =

ZGf(y)g(y−1 · x)dµ(y). (1)

Cuando G = Rn, la estructura de grupo esta dada por (Rn,+) y se tiene y−1 = −y; de manera que se tiene

f ∗ g(x) =

ZRn

f(y)g(x− y)dy,

y esta expresion es sin duda mucho mas conocida y familiar para el lector.

Ejercicio 5 Mostrar, utilizando el cambio de variable z = x−1 · y, que la expresion (1) es igual a

f ∗ g(x) =

ZGf(x · z)g(z−1)dµ(z).

* * * * *

Ejercicio 6

1. Si f y g son dos funciones de L1(G,K) mostrar que la expresion (1) esta bien definida, es decir que se tiene

‖f ∗ g‖L1 ≤ ‖f‖L1‖g‖L1 (Utilizar el teorema de Fubini)

2. Sea f(x) = exp(−πx2) definida sobre R, verificar que ‖f ∗ f‖L1 = ‖f‖2L1 .

Esto muestra que esta estimacion es optimal.

* * * * *

2


Ejercicio 7 Sea la funcion f(x) = 1[−1,1](x) definida sobre R.

1. Calcular f ∗ f .

2. ¿Que puede decirse sobre el soporte de f ∗ f comparandolo con el de f?

3. ¿Que puede decirse sobre la regularidad de f ∗ f comparandola con la de f?

4. Mostrar que si f, g son dos funciones de L1(R,R), entonces sop(f ∗ g) ⊂ sop(f) + sop(g).

* * * * *

Ejercicio 8 Sean f, g y h tres funciones de L1(G,K). Mostrar las identidades

1. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h),

2. f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h,

3. (f + g) ∗ h = f ∗ h+ g ∗ h.

4. fτ ∗ g = (f ∗ g)τ y f ∗ gτ = (f ∗ g)τ para todo τ ∈ G.

5. Mostrar que (L1(G,K), ∗) es una algebra de Banach.

* * * * *

Ejercicio 9 El objetivo de este ejercicio es mostrar que (L1(G,K), ∗) no siempre posee un elemento identidad: veremos enparticular que no existe ninguna funcion δ de L1(R,R) tal que f ∗ δ = f . Para ello procedemos por el absurdo y suponemosque existe una funcion δ de L1(R) tal que f ∗ δ = f .

1. Sea fn : x 7−→ n1[−1/n,1/n](x) una sucesion de funciones, verificar que para todo n ≥ 1, fn ∈ L1(R,R) y calcular sunorma.

2. Si se tiene fn ∗ δ(0) = fn(0) verificar que se tiene fn ∗ δ(0) = nR 1/n

−1/nδ(y)dµ(y).

3. Obtener para todo n ≥ 1 la identidad nR 1/n

−1/nδ(y)dµ(y) = n.

4. Aplicando el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue obtener lımn→+∞

R 1/n

−1/nδ(y)dµ(y) = 0 y obtener la contra-

diccion buscada.

* * * * *

3. Propiedades adicionales del producto de convolucion

En todo lo que sigue, consideramos unicamente funciones definidas sobre Rn a valores en R.

Ejercicio 10 (Desigualdad de Young) Sean 1 ≤ p, q, r ≤ +∞ tres reales relacionados por la formula 1p

+ 1q

= 1 + 1r

. Seanf y g dos funciones definidas sobre Rn a valores en R. Demostrar que se tiene la desigualdad

‖f ∗ g‖Lr ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq .

Seguir las etapas siguientes:

1. A partir de la identidad |f(y)g(x − y)| = (|f(y)|p|g(x− y)|q)1/r |f(y)|1−p/r|g(x − y)|1−q/r, notando p′ y q′ los numerosconjugados armonicos de p y q, y aplicando la desigualdad de Holder generalizada, obtener la mayoracionZ

Rn

(|f(y)|p|g(x− y)|q)1/r |f(y)|1−p/r|g(x− y)|1−q/rdy ≤„Z

Rn

|f(y)|p|g(x− y)|qdy«1/r

×„Z

Rn

|f(y)|(1−p/r)q′dy

«1/q′ „ZRn

|g(x− y)|(1−q/r)p′dy

«1/p′

2. Verificar que (1− p/r)q′ = p y que (1− q/r)p′ = q.

3. Mostrar entonces que se tiene la mayoracion„ZRn

|f(y)g(x− y)|dy«r≤ ‖f‖

prq′Lp‖g‖

qrp′Lq

ZRn

|f(y)|p|g(x− y)|qdy

4. Integrando con respecto a dx y aplicando el teorema de Fubini en el punto 3. obtener el resultado deseado.

* * * * *

3


Notamos ∂if la derivada parcial ∂f∂xi

y para todo multi-ındice α = (α1, ..., αn) ∈ Nn definimos

∂αf = ∂α11 · · · ∂

αnn f =

∂α1+···+αnf

∂xα11 · · · ∂x

αnn

El entero |α| = α1 + · · · + αn se denomina la longitud del multi-ındice α. Para todo k ∈ N notamos Ck(Rn,R) el conjuntode funciones tales que para todo α ∈ Nn con |α| ≤ k, las derivadas ∂αf existen y son continuas. El conjunto Ck0 (Rn,R) esel subconjunto de Ck(Rn,R) formado por funciones a soporte compacto. El conjunto de funciones infinitamente derivables(respectivamente a soporte compacto) sera notado C∞(Rn,R) (respectivamente C∞0 (Rn,R)).

Ejercicio 11

1. Sean f una funcion de L1(Rn,R) y g : Rn −→ R una funcion continua y acotada. Mostrar que la funcion f ∗ g escontinua.

2. Sea f ∈ L1(Rn,R) y g ∈ Ck(Rn,R) dos funciones. Suponemos que las derivadas ∂αg (para |α| ≤ k) son acotadas sobreRn. Mostrar entonces que la funcion f ∗ g pertenece al espacio Ck(Rn,R) y que se tiene

∂α(f ∗ g) = f ∗ ∂αg.

* * * * *

Definicion 4 (Aproximacion de la identidad) Una sucesion de funciones (ϕε)ε>0 ∈ L1(Rn,R) tal que

para todo ε > 0 se tiene

ZRn

ϕε(x)dx = 1 y para todo α > 0 se tiene lımε→0

Z|x|>α

ϕε(x)dx = 0,

es llamada una aproximacion de la identidad.

Ejercicio 12 Sea f una funcion continua a soporte compacto definida sobre Rn y sea ϕ una funcion C∞(Rn,R) a soporte en|x| ≤ 1 y de integral igual a 1.

1. Si notamos ϕε(x) = 1εϕ`xε

´, mostrar que las funciones ϕε son C∞(Rn,R) a soporte en |x| ≤ ε y de integral igual a 1:

son por lo tanto una aproximacion de la identidad.

2. Mostrar que las funciones f ∗ ϕε son infinitamente derivables a soporte compacto.

3. Mostrar que las funciones f ∗ ϕε convergen uniformemente sobre Rn hacia f si ε −→ 0. Observar que esta propiedad semantiene para toda aproximacion de la identidad.

* * * * *

Ejercicio 13 (Un teorema de Weierstrass) Sea f una funcion continua a soporte en [−1, 1] a valores en R.

1. Para n ≥ 1, definimos an =R 1

−1(1−x2)ndx y ϕn(x) = 1

an(1−x2)n1

[−1n, 1

n](x). Mostrar que (ϕn)n≥1 es una aproximacion

de la identidad.

2. Mostrar que f ∗ ϕn es un polinomio.

3. Utilizando los puntos precedentes y el ejercicio 12, demostrar el teorema de Weierstrass siguiente:

“ toda funcion continua a soporte compacto es el lımite uniforme de polinomios”.

4


Correccion del Deber en casa n2: Convolucion.

Fecha de entrega:

Diego Chamorro

1. Preliminares

Correccion Ejercicio 1

Mostremos que la aplicacion

ϕ+ : R× R −→ R(x, y) 7−→ x+ y

es continua. Sean a = (x1, y1) y b = (x2, y2) dos elementos de R×R, que dotamos de la distancia d(a, b) = |x1 − x2|+ |y1 − y2|.Tenemos entonces que |ϕ+(a)− ϕ+(b)| = |x1 + y1 − x2 − y2| ≤ |x1 − x2|+ |y1 − y2| = d(a, b) de donde se deduce la continuidadde la aplicacion ϕ+ y la aplicacion ψ : x 7−→ −x se trata de forma totalmente similar.

La generalizacion al caso Rn y Zn es inmediata y una ligera modificacion permite considerar el conjunto R∗. El mismorazonamiento permite estudiar el grupo de Heisenberg H.

* * * * *


Observamos que la accion por la izquierda de la aplicacion continua x−1 envıa x · A en A. Como la imagen recıproca de todoabierto bajo una aplicacion continua es un conjunto abierto obtenemos que x · A es un abierto. De la misma forma, la accionpor la derecha de x−1 envıa A · x en A, de donde se concluye que A · x es abierto.

* * * * *


1. Para poder hablar de µ(x ·A), es necesario que el conjunto x ·A sea un boreliano, lo cual es el caso por el ejercicio anterior.

2.-3. Por construccion tenemos para todo x ∈ Rn y todo boreliano A las identidades λn(x + A) = λn(A + x) = λn(A) (verproposicion 2.4.9 de [1]). Estas igualdades se mantienen para la medida de conteo y obtenemos que estas dos medidas sonbi-invariantes.

4. El cambio de variable u = tx muestra de inmediato que se tiene∫ +∞

−∞f(tx)

dx

|x|=∫ +∞

−∞f(x)

dx

|x|

para toda funcion integrable definida sobre R∗ y para todo t ∈ R∗.

1

Ejercicios de Teorıa de la Medida e Integracion. Correccion. Verano 2009, EPN. www.amarun.net

5. Si µ es una medida de Haar invariante por la izquierda entonces, para todo boreliano A y para todo z ∈ G, se tieneµ(z · A) = µ(A), es decir

∫G 1z·A(x)dµ(x) =

∫G 1A(x)dµ(x), de manera que se tiene la propiedad buscada para todas las

funciones simples. La construccion de la integral de Lebesgue con respecto a la medida µ nos permite afirmar que se tieneesta propiedad para toda funcion integrable.

* * * * *


1. El punto 5. del ejercicio anterior aplicado a la funcion |f |p muestra que

‖fτ‖pLp =∫

G|f(τ · x)|pdµ(x) =

∫G|f(x)|pdµ(x) = ‖f‖pLp

2. Sea (τn)n∈N una sucesion de elementos del grupo G que tiende hacia e. Dado que tenemos por el punto precedente laidentidad ‖fτn

‖Lp = ‖f‖Lp , podemos escribir lımn→+∞

‖fτn‖Lp = ‖f‖Lp . Aplicamos entonces la recıproca del Teorema de

Convergencia Dominada de Lebesgue (tambien conocido como lema de Scheffe) dado en la proposicion 4.2.7 - 2) de [1]para obtener el resultado buscado.

* * * * *

2. Producto de Convolucion, primeras propiedades


Como la medida de Haar es invariante por la izquierda, si z = x−1 · y, tenemos y = x · z, y−1 = z−1 · x−1 y dµ(z) = dµ(y), demanera que podemos escribir

f ∗ g(x) =∫

Gf(y)g(y−1 · x)dµ(y) =

∫Gf(x · z)g(z−1)dµ(z).

* * * * *


1. Sean f y g son dos funciones de L1(G,K). Tenemos entonces

|f ∗ g(x)| ≤∫

G|f(y)g(y−1 · x)|dµ(y)

Integrando con respecto a dµ(x) y aplicando el teorema de Fubini (ver seccion 3.4.3 de [1]) se obtiene

‖f ∗ g‖L1 =∫

G|f ∗ g(x)|dµ(x) ≤

∫G|f(y)|

∫G|g(y−1 · x)|dµ(x)dµ(y) = ‖f‖L1‖g‖L1 .

2. Basta escribir‖f ∗ f‖L1 =

∫Re−πy

2∫

Re−π(x−y)2dxdy = ‖f‖L1‖f‖L1

* * * * *


Sea la funcion f(x) = 1[−1,1](x) definida sobre R.

1. Observamos en primer lugar que si x ∈] − ∞,−2[∪]2,+∞[ entonces f ∗ f(x) = 0 y esto nos permite restringir nuestroestudio al intervalo [−2, 2]. Tenemos pues

f ∗ f(x) =∫ +∞

−∞1[−1,1](y)1[−1,1](x− y)dy =

∫ +∞

−∞1[−1,1](y)1[x−1,x+1](y)dy

2


es decir

f ∗ f(x) =∫ +∞

−∞1[x−1,x+1]∩[−1,1](y)dy.

Dado que el intervalo [x− 1, x+ 1] se translada en funcion de x vemos sin mayor dificultad que

f ∗ f(x) =

2 + x si x ∈ [−2, 0];

x− 2 si x ∈ [0, 2].

2. El soporte de f ∗ f es [−2, 2] y contiene el soporte de f .

3. La funcion inicial f era discontinua, la nueva funcion f ∗ f es continua: el producto de convolucion nos permite ganarregularidad.

4. Supongamos que x /∈ sop(f) + sop(g). Entonces para todo y ∈ sop(f) se tiene que x− y /∈ sop(g) y entonces∫Rf(y)g(x− y)dy = 0

Podemos ver entonces que el interior de (sop(f) + sop(g))c esta incluido en el complementario de sop(f ∗ g), de donde seobtiene que sop(f ∗ g) ⊂ sop(f) + sop(g).

* * * * *


Sean f, g y h tres funciones de L1(G,K).

1. Tenemos

f ∗ [g ∗ h](x) =∫

Gf(y)

(∫Gg(u)h(u−1 · y−1 · x)dµ(u)

)dµ(y)

Haciendo el cambio de variable z = y · u en la integral entre parentesis obtenemos

f ∗ [g ∗ h](x) =∫

Gf(y)

(∫Gg(y−1 · z)h(z−1 · x)dµ(z)

)dµ(y)

Aplicando el teorema de Fubini, se tiene∫Gf(y)

(∫Gg(y−1 · z)h(z−1 · x)dµ(z)

)dµ(y) =

∫G

(∫Gf(y)g(y−1 · z)dµ(y)

)h(z−1 · x)dµ(z) = [f ∗ g] ∗ h(x)

2.-3. Estos dos puntos se deducen directamente de la propiedad de linealidad de la integral y verificamos solo el primero.

f ∗ (g + h)(x) =∫

Gf(y)(g + h)(y−1 · x)dµ(y) =

∫Gf(y)g(y−1 · x) + f(y)h(y−1 · x)dµ(y) = f ∗ g(x) + f ∗ h(x)

4. Basta hacer el cambio de variable u = τ · y para obtener la primera identidad:

fτ ∗ g(x) =∫

Gfτ (y)g(y−1 · x)dµ(y) =

∫Gf(τ · y)g(y−1 · x)dµ(y) =

∫Gf(u)g(u−1 · τ · x)dµ(y) = (f ∗ g)τ (x)

5. Solo nos queda por verificar (ver la definicion 4.5.1 de algebra de Banach en [1]) que (λf) ∗ g = f ∗ (λg) = λ(f ∗ g) paratodo λ ∈ K. Esto es inmediato por la linealidad de la integral. Con estos puntos y con la estimacion del primer punto delejercicio 6, se tiene que (L1(G,K), ∗) es una algebra de Banach.

* * * * *


1. Se tiene ‖fn‖L1 = 2 para todo n ≥ 1.

2. Escribimos fn ∗ δ(0) =∫

R n1[−1/n,1/n](y)δ(y)dµ(y) = n∫ 1/n

−1/nδ(y)dµ(y).

3


3. Si se tiene fn ∗ δ = fn para todo x ∈ R, entonces fn(0) = n y por lo tanto n∫ 1/n

−1/nδ(y)dµ(y) = n; es decir que se tiene,

para todo n ≥ 1: ∫ 1/n

−1/n

δ(y)dµ(y) = 1.

4. Como hemos supuesto que δ ∈ L1(R,R), podemos aplicar el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue para obtenerlım

n→+∞

∫ 1/n

−1/nδ(y)dµ(y) = 0 lo cual es una contradiccion con la identidad del punto anterior.

* * * * *

3. Propiedades adicionales del producto de convolucion

Correccion Ejercicio 10 (Desigualdad de Young)

1. Observamos que si p′ y q′ son los conjugados armonicos de p y q, entonces tenemos 1 = 1/r + 1/p′ + 1/q′. Aplicandola desigualdad de Holder generalizada (teorema 4.2.4 [1]) a la expresion (|f(y)|p|g(x− y)|q)1/r |f(y)|1−p/r|g(x − y)|1−q/rtenemos ∫

Rn

(|f(y)|p|g(x− y)|q)1/r |f(y)|1−p/r|g(x− y)|1−q/rdy ≤(∫

Rn

|f(y)|p|g(x− y)|qdy)1/r

×(∫

Rn

|f(y)|(1−p/r)q′dy

)1/q′ (∫Rn

|g(x− y)|(1−q/r)p′dy

)1/p′

2.-3. Un calculo inmediato muestra que (1−p/r)q′ = p y que (1−q/r)p′ = q. Esto nos permite reescribir la expresion precedentede la forma siguiente

|f ∗ g(x)|r ≤(∫

Rn

|f(y)g(x− y)|dy)r≤ ‖f‖

prq′

Lp‖g‖qrp′

Lq

∫Rn

|f(y)|p|g(x− y)|qdy

4. Integrando con respecto a dx y aplicando el teorema de Fubini se tiene∫Rn

|f ∗ g(x)|rdx ≤ ‖f‖prq′

Lp‖g‖qrp′

Lq

∫Rn

∫Rn

|f(y)|p|g(x− y)|qdydx = ‖f‖prq′ +p

Lp ‖g‖qrp′ +q

Lq = ‖f‖rLp‖g‖rLq

de donde se deduce la desigualdad de Young.

* * * * *


1. Notamos ϕ(y, x) = f(y)g(x− y) y vemos que esta funcion es medible para todo x ∈ R, es continua en x para todo y ∈ R yademas se tiene |ϕ(y, x)| ≤ ‖g‖L∞ |f(y)|. Tenemos todas las condiciones para aplicar el teorema 3.3.4 de continuidad conrespecto a un parametro de [1] y podemos concluir que f ∗ g es una funcion continua.

2. Si las derivadas ∂αg (para |α| ≤ k) son acotadas sobre Rn podemos aplicar el teorema 3.3.5 de derivacion bajo el signointegral para obtener el resultado deseado. Llamamos la atencion del lector sobre el hecho que la derivacion se aplica enla funcion g que es derivable y no sobre f que no posee ninguna propiedad de regularidad: ∂α(f ∗ g) = f ∗ ∂αg.

* * * * *


1. Notemos primero que si el soporte de ϕ es la bola |x| ≤ 1 entonces el soporte que ϕε es la bola |x| ≤ ε. Tenemosademas, gracias a un simple cambio de variable:∫

Rn

ϕε(x)dx =1ε

∫Rn

ϕ(xε

)dx =

∫Rn

ϕ(x)dx = 1

Por lo tanto las funciones ϕε son una aproximacion de la identidad.

4


2. Una recurrencia en el ejercicio anterior muestra inmediatamente que las funciones f ∗ ϕε son infinitamente derivables asoporte compacto.

3. Como f es continua a soporte compacto, es entonces uniformemente continua (ver proposicion 1.2.8 de [1]). Entonces paratodo η > 0 y para todo δ > 0 se tiene que |x− y| ≤ δ implica |f(y)− f(x)| ≤ η. Fijemos ahora ε ≤ δ, y por el punto 1. elsoporte de ϕε(x− y) esta contenido en la bola |x− y| ≤ δ.

Dado que∫

Rn ϕε(x)dx = 1 podemos aplicar un truco muy importante y de uso frecuente en el analisis:

|f ∗ ϕε(x)− f(x)| =∣∣∣∣∫

Rn

f(y)ϕε(x− y)dy − f(x)∫

Rn

ϕε(x− y)dy∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫Rn

(f(y)− f(x))ϕε(x− y)dy∣∣∣∣

≤∫

Rn

|f(y)− f(x)| |ϕε(x− y)|dy

Como el soporte de ϕε(x− y) esta contenido en la bola |x− y| ≤ δ tenemos |x− y| ≤ δ y por la continuidad uniformede f tenemos |f(y)− f(x)| ≤ η. Es decir, que para todo x ∈ Rn se tiene:

|f ∗ ϕε(x)− f(x)| ≤ η∫

Rn

|ϕε(x− y)|dy = η

Hemos mostrado entonces que para todo η > 0 existe ε0 > 0 tal que para todo ε > ε0 se tiene

supx∈Rn

|f ∗ ϕε(x)− f(x)| ≤ η

Es decir que las funciones f ∗ ϕε convergen uniformemente sobre Rn hacia f si ε −→ 0.

En esta verificacion no hemos utilizado ninguna propiedad de regularidad de las funciones ϕε, lo cual permite generalizareste resultado a toda aproximacion de la identidad.

* * * * *

Correccion Ejercicio 13 (Un teorema de Weierstrass)

Sea f una funcion continua a soporte en [−1, 1] a valores en R.

1. Por definicion se tiene, para todo n ≥ 1, que∫

R ϕn(x)dx = 1. Ademas, el soporte de ϕn esta contenido en [−1/n, 1/n] demanera que para todo α > 0, se tiene, utilizando el teorema de convergencia dominada de Lebesgue que

lımn→+∞

∫|x|>α

ϕn(x)dx = 0.

La familia (ϕn)n≥1 es entonces una aproximacion de la identidad.

2. Para mostrar que f ∗ ϕn es un polinomio, vamos a verificar que la k-esima derivada de esta funcion es nula para ksuficientemente grande: obtendrıamos ası que f ∗ϕn es un polinomio de grado menor que k. Utilizando el ejercicio anteriorpodemos ver que dk(f ∗ ϕn) = f ∗ dkϕn y observando que si k > 2n entonces dkϕn = 0, podemos concluir que f ∗ ϕn esun polinomio.

3. Con los puntos anteriores y con el ejercicio 12 hemos demostrado que toda funcion continua a soporte en [−1, 1] puedeser aproximada uniformemente por polinomios. Debemos ahora ver que el caso general puede restringirse a este casoparticular. Si f es una funcion continua a soporte en un intervalo [a, b]; definimos la funcion

g(x) = f

((b− a)x+ (a+ b)

2

)de manera que el soporte de g es el intervalo [−1, 1].

Tenemos entonces que g es lımite uniforme de polinomios y, como la imagen de un polinomio por un cambio de variableafın sigue siendo un polinomio, obtenemos que f es tambien lımite uniforme de polinomios y hemos demostrado el teoremade Weierstrass.

“toda funcion continua a soporte compacto es el lımite uniforme de polinomios”.

5


Referencias

[1] D. Chamorro. Analisis Intermedio I, “Espacios de Lebesgue y de Lorentz, Teorıa de la medida, teorıa de la integraciony una introduccion al analisis funcional”. Asociacion Amarun, version 0.0.4, verano 2009.

6


Comision de Pedagogıa - Diego ChamorroTeorıa de la medida e Integracion (Nivel 2).

Examen 2h o mas :-) EPN, verano 2009

Ejercicio 1 — Algebras y σ-algebras (4pts)

1. Sea A una σ-algebra sobre un conjunto X y sea B ⊂ X. Mostrar que B = A ∩ B : A ∈ A es unaσ-algebra sobre B.

2. Determinar la σ-algebra engendrada por los conjuntos a con a ∈ R. ¿El conjunto [0, 1] pertenece a estaσ-algebra?

Ejercicio 2 — Medidas (6pts)

1. Sea µ una medida sobre (R,Bor(R)) tal que

µ(x) = 0 para todo x ∈ RPara todo compacto K de R se tiene µ(K) < +∞

¿Cuales de las medidas siguientes verifican estos dos puntos? (Justifıquelo)

(a) µ = λ, medida de Lebesgue.

(b) µ = δa, medida de Dirac en a ∈ R.

(c) µ = Card, medida de conteo sobre R.

2. Para cada una de estas medidas calcule limn→+∞

µ(]−1

n ,1n

[).

Ejercicio 3 — Funciones medibles (4pts)

1. Sean f y g dos funciones definidas sobre R a valores en R y sea δ0 la medida de Dirac en el punto 0. Mostrarque f = g en δ0-c.p.t. si y solo si f(0) = g(0).

2. Sea (X,A ) un espacio medible y sean f, g : X −→ R dos funciones (A ,Bor(R))-medibles.a) Verificar que los conjuntos siguientes son A -medibles.

A = x ∈ X : f(x) > g(x)B = x ∈ X : f(x) = g(x)C = x ∈ X : f(x) < g(x)

b) Utilizando los conjuntos A, B, C definimos las aplicaciones ϕ y ψ por

ϕ(x) = f(x)1A(x) + f(x)1B(x) + g(x)1C(x)ψ(x) = g(x)1A(x) + g(x)1B(x) + f(x)1C(x).

Mostrar que las funciones ϕ y ψ son medibles.c) ¿Que relacion existe entre ϕ y ψ y max(f, g) y mın(f, g)?

Ejercicio 4 — Teoremas clasicos (5pts)

1. Mostrar que se tiene la identidad siguiente

lımn→+∞

∫ n

0

(1 +

x

n

)ne−2xdx = 1.

Indicacion: recordar que lımn→+∞

(1 + x

n

)n = ex.

2. Sea α > 1 y sea f una funcion integrable. Mostrar que se tiene el lımite

lımn→+∞

∫ +∞

0

nxf(x)1 + nαxα

dx = 0.

Ejercicio 5 — Funcion Γ de Euler (7pts)

1. Definimos la funcion Γ de Euler como

Γ :]0,+∞[ −→ R

x 7−→∫ +∞

0tx−1e−tdt.

a) Mostrar que la funcion Γ es continua sobre ]0,+∞[.b) Mostrar que se tiene la relacion funcional Γ(x + 1) = xΓ(x) para todo x > 0, calcular Γ(1) y deducir

que Γ(n+ 1) = n!c) Admitiendo que

∫ +∞−∞ e−t

2dt =

√π, mostrar que Γ(1

2) =√π

2. Sean 0 < a < 1 y 0 < x < +∞, aplicando la desigualdad de Holder a las funciones f(t) = e−attax yg(t) = e−(1−a)tt(1−a)(x−1) mostrar que

a) Γ(x+ a) ≤ xaΓ(x)b) Verificar que se tiene la estimacion Γ(x+ 1) ≤ (x+ a)(1−a)Γ(x+ a)c) Obtener las desigualdades (

x

x+ a

)(1−a)

≤ Γ(x+ a)xaΓ(x)

≤ 1

d) Mostrar que lımx→+∞

Γ(x+a)xaΓ(x) = 1.

Ejercicio 6 — Espacios de Lebesgue (5pts)

Sea B(0, 1) la bola unidad abierta de R.1. ¿Para que valores de α ∈ R se tiene |x|α ∈ L1(B(0, 1))?2. ¿Para que valores de α ∈ R se tiene |x|α ∈ L1(R \B(0, 1))?3. Sea (X,A , µ) un espacio medido σ-finito y sea 1 ≤ p < +∞ un real. Si f, g son dos funciones del espacio

L2p(X,A , µ,K) mostrar que el producto fg pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K) y que se tiene la estimacion

‖fg‖Lp ≤ ‖f‖L2p‖g‖L2p

4. Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean p, r dos ındices reales tales que 0 < p, r < +∞. Verificar la identidad

‖|f |r‖Lp = ‖f‖rLpr

Ejercicio 7 — Desigualdad de Jensen (7pts)

Sea (X,A , µ) un espacio medido tal que µ(X) = 1.1. Verificar que para todo 0 < p < +∞ se tiene

exp(∫

Xln(|f(x)|)dµ(x)

)≤ ‖f‖Lp .

2. Mostrar que lımp→0+

tp−1p = ln(t) para todo t > 0, observar que la sucesion tp−1

p tiende decreciendo hacia ln(t).

3. Sea (pn)n∈N una sucesion de reales tales que 0 < pn < p < +∞ y pn −→n→+∞

0 y sea f ∈ Lp(X,A , µ,K).

Utilizando la funcion hn(x) = |f(x)|p−1p − |f(x)|pn−1

pnmostrar que∫

X

|f(x)|pn − 1pn

dµ(x) −→n→+∞

∫X

ln(|f(x)|)dµ(x).

4. Concluir que lımp→0+

‖f‖Lp = exp(∫X ln(|f(x)|)dµ(x)

).

Problema (12pts)

El objetivo de este problema es estudiar algunas propiedades de los espacios Lp(Lq) con 1 ≤ p, q ≤ +∞ definidossobre R2 (dotado de su estructura natural) de la siguiente manera:

Lp(Lq)(R2) =f : R2 −→ K : ‖f‖Lp(Lq) < +∞

en donde

‖f‖Lp(Lq) =

(∫R

(∫R|f(x, y)|pdx

)q/pdy

)1/q

.

1. Mostrar que la funcional ‖ · ‖Lp(Lq) es una norma.

2. Verificar que se tiene la identidad Lp(Lp)(R2) = Lp(R2).

3. Sean g, h : R −→ R dos funciones tales que g ∈ Lp(R) y h ∈ Lq(R). Si f(x, y) = g(x)h(y) mostrar que‖f‖Lp(Lq) = ‖g‖Lp‖h‖Lq .

4. Mostrar que no existen relaciones de inclusion entre los espacios Lp(Lq)(R2).

5. Comprobar que se tiene la siguiente variante de la desigualdad de Holder con 1p + 1

q = 1α + 1

β = 1:

‖fg‖L1 ≤ ‖f‖Lp(Lα)‖g‖Lq(Lβ)

6. Determinar la dimension homogenea de los espacios Lp(Lq)(R2).

∗ ∗ ∗

Total: 50 puntos

material teoría de la medida - diego chamorro

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