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Politecnico di MilanoAnalisi e Geometria 1
Anno accademico 2020 / 2021
Federico [email protected]
Dipartimento di Scienze e Tecnologie Aerospaziali
Politecnico di Milano
Materiale didattico, avvisi e informazioni sul corso:
https://home.aero.polimi.it/lastaria/
Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 1/22
Suddivisione in squadre per le esercitazioni:in base al Codice Persona di 8 cifre
(Attenzione: non e il Numero di Matricola).
Squadra 1: Codice Persona con ultima cifra dispari:Giovedı 16:15/19:15,Aula LM6 (La Masa, Edificio B15); Aula virtuale.Prof.ssa Barbara Balossi.
Squadra 2: Codice Persona con ultima cifra pari:Giovedı 16:15/19:15,Aula L14 (Campus La Masa, Edifico B12); Aula virtuale:prof. Mauro Saita.
Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 2/22
Alcuni testi
E. Giusti, Analisi Matematica 1, Terza edizione interamenteriveduta, Bollati Boringhieri, 2009.
G. Crasta - A. Malusa, Matematica 1, Teoria ed esercizi,Pitagora.
C.Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica I, Secondaedizione, Springer. (Anche in inglese).
P. Lax, M. Terrell, Calculus with Applications, 2nd Ed.,Springer.
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Quando nasce la scienza? Cos’e una teoria scientifica?
Aspetti caratteristici di una teoria scientifica (‘matematica’):
Due livelli: gli enti teorici (matematici) (si pensi allaGeometria; Elementi di Euclide, 300 a.C.) sono utilizzati comemodelli (semplificati) della realta fisica.Le applicazioni al mondo reale sono basate su regole dicorrispondenza tra gli enti teorici e gli “oggetti concreti”.L’ambito di validita delle regole di corrispondenza e limitato.
Metodo dimostrativo. (Carattere ipotetico-deduttivo delleteorie scientifiche matematiche).
La scienza moderna non nasce con Galileo e Newton, ma conEuclide, Archimede, Eratostene, Aristarco di Samo. Le sue originivanno retrodatate di 2000 anni: nasce verso la fine del quartosecolo a.C., nell’ambito della civilta ellenistica.(Lucio Russo, La Rivoluzione dimenticata, Feltrinelli.)
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Esistono infiniti numeri primi. (Euclide)
Teorema (“Esistono infiniti numeri primi ”. Euclide, Elementi, libroIX, Proposizione 20)
I numeri primi sono piu numerosi di qualunque assegnata quantitadi numeri primi.
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Algoritmo del massimo comun divisore. (Euclide)
Teorema (Algoritmo di Euclide. Elementi, Libro VII, Prop. 2)
Siano a, b numeri interi positivi, a > b. Effettuiamo le divisionisuccessive:
a = q1b + r1
b = q2r1 + r2
r1 = q3r2 + r3
· · · = · · ·rn−2 = qnrn−1 + rn
rn−1 = qn+1rn
Allora l’ultimo resto non nullo rn e il massimo comun divisore di ae b.
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Grandezze incommensurabili. (Euclide, Elementi, libro X.)
Teorema (“Irrazionalita di√
2”)
La diagonale e il lato di un quadrato sono incommensurabili.
L’algoritmo di Euclide (M,c.d.) applicato ai segmenti non termina mai
se, e solo se, i segmenti sono incommensurabili .Frazioni continue.
√2 = 1 +
1
2 + 12+ 1
2+ 12+ 1
2+ 12+ 1
2+ 12+···
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Approssimazione di π. ‘Misura del Cerchio’(Archimede)
3 + 1071 < π < 3 + 1
7 3.1408 < π < 3.1429
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Cos’e il Calcolo Infinitesimale?
Newton, Method of Fluxions (1671; pubblicato postumo nel 1736).
I. Data la lunghezza dello spazio in modo continuo (cioe, in tutti itempi), trovare la velocita del moto a ogni istante assegnato.
II. Data la velocita del moto in modo continuo, trovare lalunghezza dello spazio percorso a ogni tempo assegnato.
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Cos’e il Calcolo Infinitesimale?
Tentativo di descrizione (piu che una ‘definizione’):La matematica del cambiamento di grandezze che variano concontinuita e delle relazioni tra di esse.Curve: cambio nella direzione.Moto: cambio nella posizione.
Concetti, risultati e strumenti fondamentali
Derivata Rapidita di variazione di una quantita.
Integrale Somma totale di parti infinitesimali.
Teorema Fondamentale del Calcolo: relazioni tra derivazione eintegrazione.
Equazioni differenziali. (Esempio: F = ma).Modelli matematici di una evoluzione deterministica.
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Derivata: Rapidita istantanea di variazione
Definizione
La derivata di f in x0, denotata f ′(x0), e il limite del rapportoincrementale:
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
(se questo limite esiste finito).
f (x0 + h) ∼ f (x0) + f ′(x0)h (h piccolo)
Variazione ∆f = f ′(x0)h (h piccolo)
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La derivata e il Problema delle Tangenti
Problema delle Tangenti
Pendenza della secante: ∆y∆x
Pendenza della tangente ? dxdy = lim∆x→0
∆y∆x
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La derivata e il Problema della Velocita Istantanea
Caduta libera di un corpo (Galileo)
Posizione all’istante t: s(t) = 12 gt2
Velocita v(t) all’istante t: v(t) = s ′(t) = gt
Piccolo tratto percorso da t a t + dt: v(t) dt = gt dt
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Archimede (287-212 a.C.). Area del segmento parabolico.
ADB + BEC =1
4ABC e cosı via. Iterando:
Area = ABC + 14 ABC + 1
42 ABC + · · ·+ 14n ABC + · · ·
Area = ABC(1 + 1
4 + 142 + + · · ·+ 1
4n + · · ·)
= ABC 43
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Somma infinita: 1 + 14 + 1
42 + · · · · · ·+ 14n + · · · = 4
3
(Archimede)
1 2
1
2
0
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La serie geometrica. (Esempio di somma infinita).
Se 0 < q < 1,
+∞∑n=0
qn = 1 + q + q2 + · · ·+ qn + · · ·
=1
1− q
Perche? Studiare la figura. [Esercizio]
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Il Metodo (Archimede). Legge della Leva per calcolarearee, volumi e centri di gravita.
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Integrale: Somma totale di parti ‘infinitesimali’.
Definizione (Integrale come limite di somme (Riemann, 1854))
∫ b
af (x) dx = lim
|∆|→0
∑i
f (x∗i )∆xi
dove |∆| = maxi=1,...,m ∆xi e la massima lunghezza dei sotto-intervalli
della partizione a = x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn−1 < xn = b.
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Esempio fondamentale della relazione Derivata/Integrale
Integrale della velocita = Spazio percorso
Velocita in t: v(t) = s ′(t), (Supponiamo v continua)
Spazio percorso nell’intervallino di tempo ∆ti : v(t∗i )∆ti
Spazio s(t)− s(t0) percorso da t0 a t:
lim|∆|→0
∑i
v(t∗i )∆ti =
∫ t
t0
v(τ) dτ = s(t)− s(t0)
E una versione del Teorema Fondamentale del Calcolo (I):∫ tt0
s ′(τ) dτ = s(t)− s(t0)
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Teorema Fondamentale del Calcolo (II)
Grafico di f
Supponiamo f continua. Definiamo:
F (x) =
∫ x
af (u) du
= Area sotto il grafico di f da a fino a x
a x + hx
f (x)
F (x+h)−F (x)h = Area del ‘rettangolino’ grigio
Base Esiste x∗ ∈ [x , x + h]:
= h f (x?)h = f (x?)→ f (x) (per h→ 0). Segue:
Teorema Fondamentale del Calcolo Infinitesimale
Se f e continua, ddx
[∫ xa f (u) du
]= f (x)
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Teorema in: Newton, ‘De Quadratura Curvarum’
“Cosı, se le aree ABC , ABDG sono descritte dalle ordinate BC ,BD che avanzano con moto uniforme sulla base AB, le flussionidelle loro aree saranno tra loro in rapporto come le ordinate che
descrivono BC e BD, e possono essere rappresentate per mezzo diquelle ordinate, perche quelle ordinate stanno tra loro come gliincrementi nascenti delle aree.? (Isaac Newton, De Quadratura
Curvarum, manoscritto del 1691-1692)
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Argomenti di riflessione
1) L’attuale concetto di scienza e lontano dalla episteme(ἐπιστήμη) dei greci.2) La pretesa di risolvere il senso del mondo nella descrizionematematico-quantitativa che la scienza da del mondo stesso esuperstizione scientifica (Karl Jaspers).
Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 22/22