materiens struktur ii del ii atomk arnan och k...

Materiens Struktur IIDel II

Atomkarnan och karnprocesser

Innehall

II Atomkarnan och karnprocesser 5

II.1 Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.2 Karnpartiklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II.3 Nuklidkartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II.4 Elektronspridning och karnradien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II.5 Karnmassa och bindningsenergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II.6 Den semiempiriska massformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II.7 Fermigasmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II.8 Nukleon-nukleon-vaxelverkan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II.9 En modell for deuteronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II.10 Magiska tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II.11 Skalmodellen for karnan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II.12 Spinn och magnetiska moment for karnan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

II.13 Laddningsoberoende karnkraft och isospinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

II.14 Karnans elektriska kvadrupolmoment och den kollektiva modellen . . . . . . . 32

II.15 Radioaktivitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

II.16 Sonderfallslagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

II.17 α-sonderfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II.18 β-sonderfall och svag vaxelverkan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

II.19 γ-sonderfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3

4 INNEHALL

II.20 Resonansstralning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

II.21 Karnreaktioner och karnstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

II.22 Fission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

II.23 Syntes av grundamnena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Kapitel II

Atomkarnan och karnprocesser

II.1 Inledning

Den del av fysiken som kallas for Modern fysik foddes vid sekelskiftet 1800-1900. Elektronen

hade upptackts av J. Thomson och en ny stralning av W. Rontgen, som fick namn efter

honom. Kort darefter (1896) upptackte H. Becquerel att vissa tunga element utsande en

osynlig stralning. Med hjalp av arbeten av Marie och Pierre Curie kunde man indela denna

stralning i tre olika typer som kallas α-, β- och γ-stralning. Element som uran och radium

avger denna stralning och man borjade kalla den for radioaktiv stralning. Benamningen

joniserande stralning ar nufortiden aven vanlig.

Figur II.1: Stralningen fran ett radiumsalt i ett starkt magnetfalt.

Atomkarnan upptacktes av engelsmannen E. Rutherford i en serie experiment, som paborjades

ar 1909. Rutherford bestralade guldfolier med α-partiklar och fann att dessa kunde studsa

tillbaka fran materialet som om de skulla ha kolliderat med en massiv del av materialet.

Via kemiska analyser hade man funnit att α-partiklarna ar dubbelladdade heliumjoner. Rut-

herford studerade α-partiklarnas spridning i olika vinklar och jamforde de experimentella

spridningsresultaten med en klassisk modell for spridning av laddade partiklar fran ett laddat

foremal. Hans teoretiska resonemang ledde till att atomen bestar av en karna, som i stort satt

besitter atomens hela massa, och ett elektronholje. Dansken Niels Bohr utvecklade ar 1913

Rutherfords atommodell till en modell som utgor grunden for den nuvarande kvantmekaniska

modellen for atomen.

5

6 KAPITEL II. ATOMKARNAN OCH KARNPROCESSER

Niels Bohr antog liksom Rutherford att atomen bestar av en positivt laddad karna och ett

elektronholje. Med denna modell kunde Bohr forklara uppkomsten av de sk. spektrallinjerna

samtidigt som existensen av atomkarnan befastes.

Vad bestar da atomkarnan av? Karnan ar positivt laddad och om karnan har en inre struktur

bestar den av positivt laddade partiklar. De uppmatta atommassorna och forekomsten av

isotoper kravde en oladdad partikel. Denna partikel upptacktes ar 1932 av J. Chadwick och

fick namnet neutron. Karnans laddade partikel ar protonen.

I takt med att matinstrumenten har utvecklats har var kunskap om atomkarnan och dess

partiklar utvidgats. De viktigaste instrumenten ar acceleratorer och detektorer for matning

av den radioaktiva stralningen. Med acceleratorer kor man laddade partiklar mot karnan och

vid en traff uppstar olika vaxelverkningsprocesser, dar karnstabiliteten rubbas och radioaktiv

stralning sands ut. Med acceleratorer kan man aven tillverka helt nya karnor och karnor som

inte forekommer i naturen.

Inledningsvis omnamndes att den Moderna fysiken foddes i borjan av 1900-talet. Av de te-

oretiska genombrott som da gjordes kan namnas inforandet av energikavanta hν av Max

Planck ar 1900, forklaringen av den fotoelektriska effekten av Albert Einstein ar 1905 (Eins-

teins forklaring bekraftar forekomsten av ett energikvantum) och Einsteins relativitetsteori

aven ar 1905. Stralningens och energins kvantisering var nodvandiga begrepp for att forklara

atomens struktur samt for byggandet av en ny teori,Kvantmekaniken, med vilken uppbygg-

naden av materiens minsta bestandsdelar kan forklaras samt fenomen relaterade till dessa.

Den kvantmekanik som Schrodinger, Dirac, Heisenberg och andra utvecklade i slutet av 1920-

talet har givetvis forfinats under arens lopp, men grundideerna ar fortfarande gangbara. Den

grundlaggande teorin for karnfysiken ar alltsa kvantmekaniken.

II.2 Karnpartiklar

Rutherfords och andras experiment pavisade att karnans positiva laddning och massa kan

forklaras med att karnan bestar av positivt laddade partilar samt neutrala partiklar. Detta

antagande befastes ar 1930 da de tyska fysikerna Bothe och Becker iakttog att en mycket

genomtrangande stralning utgick fran bor och beryllium, da dessa amnen beskots med α-

partiklar. Stralningen kunde inte goras synlig sasom man kunde med laddade partiklar och

man drog slutsatsen att den ar neutral, elektriskt oladdad. Engelsmannen J. Chadwick be-

stralade beryllium med α- partiklar ar 1932. Energin hos α-partiklarna var 5 MeV. De neutrala

partiklarna traffade paraffin, som figuren nedan visar. Chadwick kunde visa att de neutrala

partiklarna losgjorde protoner fran paraffinet. Da energin hos protonerna kunde bestammas

till 5 MeV, visar en kinamatisk berakning, att de neutrala partiklarna, om de vore γ-stralar,

skulle ha en energi pa 50 MeV. Det verkade emellertid orimligt att 5 MeV:s α-partiklar skulle

ge upphov till 50 MeV:s γ-stralning och darfor drog Chadwick slutsatsen, att det upptradde

en neutral partikel med protonens massa.

II.2. KARNPARTIKLAR 7

Figur II.2: Chadwicks neutrondetektionsesxperiment

Enligt var nuvarande uppfattning bestar karnan av tva partiklar, protoner och neutroner.

Dessa har nastan lika stor massa, och kallas nukleoner. Massorna ar

Mp = 938, 27231MeV/c2

Mn = 939, 56563MeV/c2

.

Nukleonerna ar ferminoner och har harmed halvtaligt spinn. Nukleonens spinn ger upphov

till ett magnetiskt moment. De magnetiska momenten for de bada typerna av nukleoner ar

µp = 2, 792847386µN

µn = −1, 19304275µN

µN ar karnmagnetonen, som aven kan definieras via Bohrmagnetonen, som ar definierad i

atomfysiken.

µN =e~2Mp

=me

Mp

µB, µB =e~2me

(II.1)

µB ar Bohrmagnetonen. Det magnetiska momentet for karnspinnet I ar relaterat till vektor-

likheten

µI = gIµNI

~(II.2)

gI ar karnspinnets g-faktor. Protonens g-faktor argp2= 2,792847386. Det ar anmarkningsvart

att neutronen har ett magnetiskt moment, trots att den ar neutral. Enligt den klassiska teorin

for magnetiskt moment alstras detta av en elektrisk strom. Enligt den klassiska teorin tanker

man sig att neutronens magnetiska moment uppstar via strommar, som upptrader i eller

kring neutronen. Dessa strommar kan delvis forklaras med neutronens inre struktur. Enligt

Kvarkmodellen bestar nukleonerna av tre kvarkar. Emedan kvarkarna ar laddade har man

en strom inne i neutronen.


I en stabil karna ar forhallandet mellan antalet neutroner och protoner konstant, dvs. nuk-

leonerna ar stabila. En fri neutronen ar emellertid instabil. Den har halveringstiden 12 min

medan protonen inom de nuvarande matgranserna ar stabil aven som fri partikel. Karnan

halls ihop av den starka karnkraften, som ar en utbyteskraft med kort rackvidd, ca 10−15 m.

Utbytespartiklarna ar mesoner. Karnkraften ar laddningsoberoende och darfor kan protonen

och neutronen uppfattas som tva olika tillstand av nukleonen. Isospinnet skiljer dessa tillstand

at (se avsnitt II.13).

Figur II.3: Potentialenergin for ett system av tva nukleoner.

II.3 Nuklidkartan

Nukliderna ordnas upp i ett schema kallat nuklidkartan. Som koordinataxlar har man ord-

ningstalet (protontalet) Z och neutrontalet N = A−Z, dar A ar masstalet (nukleontalet). Da

de observerade karnorna avsattes i ett (N,Z)-diagram ligger de inte slumpmassigt utspridda,

utan foljer en begransad korridor i (N,Z)-planet. Korridoren avviker fran den rata linjen N

= Z mot N-akseln for hogre varden pa N. Orten for de stabila karnorna kallas for stabilitets-

linjen. De radioaktiva karnorna aterfinns pa bada sidor om stabilitetslinjen. De radioaktiva

karnornas soderfall behandlar vi senare. En nuklid betecknas med

AZXN

Nuklider med samma masstal A kallas for isobarer.

Det tyngsta stabila elementet ar 20983Bi126. I naturen hittar man aven t.ex. 238

92U146, men denna

nuklid ar instabil och har halveringstiden 4,5 miljarder ar.

Ett element eller amne (grundamne) definieras av ordningstalet Z. Det kan finnas karnor

med samma Z men med olika antal neutroner. Dessa karnor (av samma grundamne) ar

isotoper. Pa konstgjord vag har man lyckats framstalla element med mycket kort livstid. Dessa

element skapas i en karnreaktion, dar en tung jon i en accelerator far traffa ett stralmal av ett

II.4. ELEKTRONSPRIDNING OCH KARNRADIEN 9

Figur II.4: Stabila eller mycket langlivade karnor ar markerade med fyllda rutor i (N;Z)-diagrammet. Kanda radioaktiva karnor ar indikerade med ofyllda rutor i denna figur.

tungt element. De karnor som skapas identifieras via sitt sonderfall. Det tyngsta elementet

som vid senaste sekelskifte var kant har ordningstalet Z = 114 och mycket kort livstid, av

storleksordningen ms. Man haller fortfarande pa med att soka efter supertunga element, som

enligt teorin kan existera vid vissa magiska nukleontal, men har inte annu lyckats identifiera

dessa. Det tyngsta kanda grundamnet ar 2007 har ordningstalet 118.

Uppgifter

[1] Sok pa internet efter information om det senast upptackta grundamnet. Vilket masstal

och ordningsnummer har det och vilka ar de angivna egenskaperna? Hur har amnet

framstallts?

II.4 Elektronspridning och karnradien

Experiment tyder pa att karnans nukleoner ar tatt packade. T.ex. via elektronspridning fran

karnan fas information om karnans form. Det ar naturligt att anta, att karnans grundform ar

klotformen, men experimenten visar att bade diskus- som cigarrformade karnor forekommer.

Karnans laddningsdensitet som funktion av radien ges av formeln (se aven figur II.5)

ρ(r) =ρ1

1 + e(r−R)/z1(II.3)

dar R och z1 ar parametrar som kontrollerar r-beroendet. ρ1, ar beroende av den centrala

laddningsdensiteten.

Da vi antar att karnan ar klotformad, kan vi ange karnradien som

R = R0A1/3, R0 = 1, 07 fm.


Figur II.5: Karnans laddningsdensitet som funktion av radien.

II.5 Karnmassa och bindningsenergi

Atommassorna ar kanda via matningar med masspektrometrar. Atommassorna anges i

forhallande till 12C-atomens massa. Massan for 12C definieras som exakt 12 u

M(12C) = 12 u.

Atomviktsenheten u har vardet

uc2 = 931, 49432MeV/c2.

Da en atomkarna bildas overgar en del av massan i bindningsenergi. Atomkarnans massa

ar alltsa mindre an delarnas massor. Bindningsenergin definieras som energiekvivalenten till

denna masskillnad. Om en atomkarna med massan M bestar av bestandsdelar med massorna

Mi sa blir bindningsenergin

Eb =∑i

Mic2 −Mc2

Vi definierar alltsa bindningsenergin som en positiv storhet. Har har vi utgatt ifran att de

angivna massorna ar atommassor. For en nuklid med Z protoner och N neutroner har vi

Enuklidb = [ZMp +NMn −Mnuklid]c

2 (II.4)

Da vi forbiser elektronernas bindningsenergi, som ar liten i forhallande till de energier som

forekommer i karnan, kan karnans massa beraknas som

Mnuklid =Matom − Zme

.

Detta i sin tur ger

II.5. KARNMASSA OCH BINDNINGSENERGI 11

[ZMp +NMn + Zme −Matom]c2. (II.5)

KombinationenMp +me kan sattas att vara lika med vateatomens massa, emedan elektronens

bindningsenergi 13,6 eV ar forsumbar i detta sammanhang. Bindningsenergin for nukliden AX

kan nu anges som:

[ZM(1H) +NMn −M(AX)]c2. (II.6)

Figur II.6: Bindningsenergi per nukleon som funktion av masstalet A

Fran Figur II.6 kan man se att bindningsenergin per nukleon Eb/A for latta karnor okar, da

antalet nukleoner okar; man far in mera karnkraft i takt med att nukleontalet okar. Ur kurvan

ser vi aven att man vinner energi genom att sla ihop latta karnor. Da massan overstiger den

for jarn far den repulsiva Coulombkraften, som forsoker spjalka karnan, storre betydelse. For

att kompensera for den repulsiva kraften har tyngre karnor fler neutroner an protoner vilket

ger mera karnkraft. De tyngsta karnorna blir dock instabila pga. Coulombkraftens inverkan.

De instabila karnorna overgar till stabila via radioaktivt sonderfall. Ur bindningsenergikurvan

ser vi aven att energi frigors, da en tung karna spjalks (fission).

Uppgifter

[1] Berakna den energi som behovs for att spalka en 4He karna i


a.) 3H + p

b.) 3He + n.

Forklara energiskillnaderna.

II.6 Den semiempiriska massformeln

Karnan ar ett mycket komplicerat mangpartikelproblem. Karnstabilitet och karnans excita-

tionsenergier kan beraknas med olika karnmodeller, som beaktar vaxelverkan mellan nukle-

onerna. En av de forsta karnmodellerna som togs i bruk ar den sk. vatskedroppsmodellen

for karnan. Denna introducerades av C. F. von Weizsacker ar 1935. Vatskedroppsmodellen

anvandes senare av N. Bohr for att forklara fissionen och den ligger aven till grund for mo-

dernare karnmodeller.

Den av von Weizsaker utvecklade semiempiriska massformeln innehaller fem termer. Massfor-

melns termer bygger pa en vatskedroppes egenskaper kombinerade med vissa egenskaper hos

atomkarnan.

Vi bygger forst upp den semiempiriska massformelns termer for karnans bindningsenergi.

Eb = [ZM1H +NMn −M(AX)]c2 (II.7)

Dar M(AX) ar atommassan.

Det forsta energibidraget till bindningsenergin kommer fran den attraktiva karnkraften. Vi

forvantar oss att detta bidrag okar med antalet nukleoner, eller alltsa med masstalet A. Vi

skriver for denna energiterm

Eb1 = a1A = a1(Z +N), (II.8)

dar a1 ar en parameter som kan kallas for nukleontermen. Nu har vi overskattat bindningse-

nergin, da nukleonerna vid ytan inte har fullt sa manga grannar som nukleonerna langre in.

Vi subtraherar en yteffektterm, som kan jamforas med en vatskedroppes ytspanning

Eb2 = −b24πR2 = −a2A2/3, (II.9)

da R = R0A1/3

a2 ar en parameter.

II.6. DEN SEMIEMPIRISKA MASSFORMELN 13

Vi antar att karnans laddning ar homogent fordelad inom en sfar med radien R (d.v.s. karnans

laddningsdensitet ar konstant och beror inte av radien R). Potentialenergin som ar lagrad inuti

denna sfar med laddningen Ze och radien R ar

V =3

5

1

4πε0

Z2e2

R. (II.10)

Laddningen i sin tur kan skrivas som

Ze =4πR3

3ρ,

dar ρ ar laddningsdensiteten.

Den elektriska vaxelverkan minskar bindningsenergin, emedan det uppstar en repulsion mellan

protonerna. Vi beaktar uttrycket for den sfarens potentialenergi och skriver det negativa

tillskottet till bindningsenergin som Coulombtermen

Eb3 = −a3Z2

A1/3(II.11)

Ur Figur II.4 framgar att stabilitetslinjen till en borjan foljer linjen N = Z, men sedan borjar

den boja av mot N-axeln. Med detta neutronoverskott for tunga karnor kompenseras Coulomb-

repulsionen mellan protonerna. Avvikelser fran linjen N = Z ger ett energitillskott och man

kan infora en stabilitetsterm som beaktar detta. Ett langt avstand fran linjen Z = N = A/2

gor karnan instabil, d.v.s. minskar bindningsenergin som haller ihop karnan. Vi skriver

Eb4 = −a4(A/2− Z)2

A(II.12)

Denna term ar noll for en nuklid som ligger pa stabilitetslinjen Z = N .

Det visar sig att nukleonerna kopplar sina spinn antiparallellt, eftersom detta ar energetiskt

fordelaktigt (se avsnitt II.7). Vi far en parenergiterm.

Eb5 =

±a5A−3/4 (jamnt Z, jamnt N) eller (udda Z, udda N)0 (jamnt Z, udda N) eller (udda Z, jamnt N)

(II.13)

Bindningsenergin skrivs nu som

Eb =5∑

i=1

Ebi = Eb1 + Eb2 + Eb3 + Eb4 + Eb5 (II.14)

En god anpassning ger parametrarna


a1a2a3a4a5

=

15, 7617, 810, 710594, 8039

MeV (II.15)

* * *

Fran ekvationen for bindningsenergin Eb kan man notera, att karnor med samma masstal A,

men olika ordninstal Z, har sa gott som samma bindningsenergi Eb, forutom pa en term:

Eb(AZ1XN1)− Eb(

AZ2YN2) = − a3

A13

(Z21 − Z2

2). (II.16)

Dylika nuklider kallas for spegelnuklider.

Tillstandsfunktionen ((II.14) insatt i (II.18)) kan anvandas for stabilitetsundersokningar av

karnorna. c2 som funktion av Z vid konstant A beskriver en parabel. Parablar for olika A-

varden bildar en dal i (N,Z,E)-diagrammet, som kan kallas for stabilitetsdalen. Den stabilaste

karnan ligger i botten av parabeln och alltsa aven i dalens botten. De instabila karnorna

overgar till stabila via β-sonderfall. Da A ar udda gar β-sonderfallet omvaxlande via j-u

och u-j karnor, som har parenergin 0. Pa ena sidan om energiminimet sker β−-sonderfall

(neutronrika karnor) och pa den andra β+-sonderfall (eller EC) (protonrika karnor) tills man

nar en stabil karna langst ner i massparabeln (Figur II.7).

Figur II.7: a) Udda A karnor (en stabil isobar) b) Jamna A karnor (tre stabila j-j karnor sesi figuren)

I fallet A jamt leder parenergin till tva skilda massparablar (Figur II.7b). Parabeln for u-u

karnorna hamnar hogst i energiskalan och dess karnor kan darfor sonderfalla till j-j karnor.

Detta forklarar den ringa forekomsten av stabila u-u karnor. Det finns bara fyra stabila u-u

karnor och detta i massomradet A ≤ 14. Da A ar jamt gar β-sonderfallet turvis mellan j-j

och u-u karnor.

II.6. DEN SEMIEMPIRISKA MASSFORMELN 15

Minimum for tillstandsfunktionen vid konstant A fas genom att derivera formeln for massan

i avseende a Z. Ordningstalet far vardet

Z = ZA = −A2

a4 + [Mn −M(1H)]c2

a4 + a3A2/3. (II.17)

Granserna for proton-, neutron- och α-emission kan ocksa beraknas ur massformeln. Enligt

konservationslagarna bevaras systemets totala relativistiska energi. Gransvillkoret for nukle-

onemission ar att systemets vilomassa efter emissionen maste vara mindre an dess vilomassa

fore emissionen. Berakningarna leder fram till granser som visas i Figur II.8.

Figur II.8: Stabilitetsgranser beraknade med hjalp av semiempiriska massformeln.

I en fissionsprosess klyvs atomkarnan i tva delar. Fissionen ar i regel osymmetrisk men vi kan

for enkelhetens skull anta att karnan klyvs i tva lika stora delar. Villkoret for fission kan da

anges som

AZMN ≥ 2

A/2Z/2MN/2

Vi infor begreppet fissionsenergi Qf enligt

Qf = (AZMN − 2A/2Z/2MN/2)c

2

En insattning i formeln for fissionsenergin ger

Qf = −3, 4A2/3 + 0, 22Z2 · A−1/3MeV. (II.18)


For symmetrisk klyvning av 238U fas vardet Qf = 170 MeV. Om vi beaktar det energetiska

villkoret Qf ≥ 0 for fission fas enligt (II.18)

Z2

A≥ 3, 4

0, 22≈ 16

vilket ungefar motsvarar Z ≥ 40.

Vi vet att det i naturen forekommer stabila karnor med storre ordningstal an Z = 40. Var

berakning ar tydligen behaftad med fel, men den naturliga forklaringen till att karnor tyngre

an Z = 40 ar stabila, ar att coulombbarriaren hindrar dem fran att sonderfalla. Da tva

karnor narmar sig varandra i en fusionsprocess hindras fusionen av coulombarriaren mellan

de positivt laddade karnorna. Vid fission upptrader samma barriar som da forhindrar att

karnan sonderfaller (se Figur II.9)

Figur II.9: Olika fissionspotentialer. For potentialer mellan 2 och 4 kan spontan fission skegenom tunneleffekt.

Qf = 0 anger gransen for spontan fission. Genom att tillfora energi kan fission ske som

inducerad fission. Om karnans fissionspotential overskrider potentialvallen sker prompt fission.

Den accepterade forklaringen till fissionsprocessen ar att karnan i fissionsprocessen tojs ut

tills den slutligen brister. En noggrannare berakning, dar man beaktar bade coulombenergin

och ytspanningsenergin samt en ellipsoidal form av karnan, ger villkoret for fission som

Z2

A≥ 45

.

Detta ger Z-varden pa litet over 100 vilket aven motsvarar observationerna. Spontan och

prompt fission satter en grans for skapandet av allt tyngre karnor.

Uppgifter

[1] Harled formeln

II.7. FERMIGASMODELLEN 17

Vc =3

5

(Ze)2

4πε0R

for Coulombenergin for en sfarisk isolator.

II.7 Fermigasmodellen

Systematiska undersokningar visar att nukleonerna ar fermioner och darfor galler Pauli-

principen aven i karnan. Emedan antalet protoner i en neutral atom ar lika med antalet

elektroner i elektronholjet ar det aven naturligt att det finns en symmetri mellan karnans

och elektronholjets uppbyggnad. Man kan tillampa Pauliprincipen skilt for protonerna och

skilt for neutronerna. Det blir enklare att forklara karnans egenskaper pa detta satt, fastan

karnkraften ar laddningsoberoende och karnpartiklarna ges den gemensamma benamningen

nukleoner.

Vi har redan bekantat oss med vatskedroppsmodellen for karnan. Denna modell kan forfinas

om vi beaktar att nukleonerna ar fermioner. Vi kan da behandla karnan som en fermigas.

Den vaxelverkan som rader i karnan ar en komplicerad mangpartikelvaxelverkan, men man

kan anta att partiklarna ror sig i ett centralfalt. Modellen overensstammer inte riktigt med

var forestallning om karnan enligt vilken nukleonerna ar tatt packade. De ror sig egentligen

inte kring ett kraftcentrum, snarare i forhallande till varandra. Centralfaltsmodellen fungerar

emellertid och den ligger aven till grund for moderna karnmodeller.

Figur II.10: Den laddningsoberoende karnpotentialen samt kvalitativa energinivaer i encentralfaltsmodell for karnan.

For var principiella diskussion betraktar vi en latt karna, dar antalet protoner = antalet

neutroner (Z = N). Vi tanker oss att vi bygger upp karnan stegvis med protoner och neu-

troner. Protonen och neutronen i karnan paverkas av samma medelkraft i det centrala karn-

kraftsfaltet. Denna kraft ar resultanten av alla nukleoners vaxelverkan med den betraktade

nukleonen. Enligt Pauliprincipen kan vi ha bara tva nukleoner per energiniva en med spinn

upp och en med spinn ner. Emedan nukleonerna ar av tva olika slag, de skiljs fran varandra


med ett kvanttal, kan vi ha tva protoner och tva neutroner pa varje energiniva (se Figur

II.10). Figur II.10 visar att bindningsenergin for den sista nukleonen ar storst for Z ≈ N . Da

N > Z ar de yttersta elektronerna losare bundna som den hogra sidan av figur II.10 visar.

Experiment och den semiempiriska massformeln ger aven storre stabilitet for N = Z i latta

karnor.

Figur II.11: Potentialenergigropen for neutronen och protonen i fermigasmodellen. I den po-tentiella energin for protonen beaktas inflytandet av Coulombrepulsionen.

I Fermigasmodellen antar vi att energinivaerna ar ockuperade upp till Ferminivan (se Figur

II.11). Vi antar att karnan ar relativt tung for att ha tillrackligt med partiklar med i den

statistiska behandlingen. Antalet neutroner ar da fler an antalet protoner, Figur II.11. Man

kan berakna antalet protoner (Z) och antalet neutroner (N) i en volym

V =4

3πR3 =

4

3πR3

0A

med hjalp av Fermi-Dirac-statistik som aven tillamppas i det fasta tillstandets fysik, kapitel

I:

Z =(2Mp)

3/2

3π2~3V ε

3/2F,p = V

∫ εF

0

fp(ε)g(ε)dε.

N =(2Mn)

3/2

3π2~3V ε

3/2F,n = V

∫ εF

0

fn(ε)g(ε)dε.

Vi beraknar nu fermienergierna εF,p och εF,n genom att sattaMp =M =Mn och Z = N = A/2

samt det givna uttrycket for karnvolymen. Da fas fermienergierna εF,p = εF = εF,n och

εF =~2

2MR20

(9π

8

)2/3

≈ 33 MeV

II.8. NUKLEON-NUKLEON-VAXELVERKAN 19

Vi har nu fatt fram en storlek pa energierna i karnan.

II.8 Nukleon-nukleon-vaxelverkan

Nukleon-nukleon-vaxelverkan ligger till grund for harledningen av ett uttryck for karnkraften.

Neutron-proton-vaxelverkan kan studeras med neutroner fran en reaktor. Med neutronerna

bestralar man ett latt material. Experimenten visar att np-systemet kan befinna sig i tva olika

tillstand, 1S0 (protonens och neutronens spinn ar motsatta) och 3S1 (spinnen ar parallella).

Resultaten kan analyseras som en elastisk spridning mellan en neutron och en proton, men

i vissa fall upptrader aven en inelastisk reaktion. Ett bundet tillstand, deuteronen, uppstar

enligt reaktionen

n+ p→ d+ γ.

Bindningsenergin for det bundna tillsandet kan bestammas genom att bestamma γ-

stralningens energi. Tvarsnittet for den inelastiska reaktionen ar bara 1% av det totala. Vi gar

inte in pa en analys av spridningsresultaten, men vi kan ha nagra synpunkter pa deuteronen,

som ar den enklaste karnan.

Man studerar deuteronen utgaende fran vaxelverkan mellan de tva nukleonerna. I princip kan

man bygga upp vaxelverkan i tyngre karnor pa liknande satt, men berakningarna blir arbets-

dryga och komplicerade och darfor overgar man till centralfaltsmodellen i dessa. Modellen for

atomens elektronstruktur ar enklare an en modell for karnan, emedan man i atomen har ett

relativt valdefinierat kraftcentrum.

Medelbindningsenergin per nukleon vaxer da antalet nukleoner vaxer, vilket kan forklaras

med att antalet bindningar per nukleon vaxer. Bindningsenergin i deuteronen, 2,224 MeV,

ar dock nagot lagre an vad den borde vara. Detta tyder pa att nukleonerna tillbringar en

stor del av tiden utanfor karnkraftens rackvidd. Elektronspridningsexperiment ger vardet 2,1

fm for deuteronens radie. Karnkraftens rackvidd bor vara kortare an medelavstandet mellan

nukleonerna i deuteronen, alltsa kortare an deuteronens diameter.

Uppskattar vi karnkraftens rackvidd som ≈ α-partikelns radie fas

r0 ≈ rα = 1, 67 fm.

Vi kan nu skissa pa ett utseende av karnpotentialen och bedommer att karnkraften verkar

pa avstandet 1,5 - 2 fm. Avstandet gar inte till noll, emedan vi utgar ifran att karnkraf-

ten har en hard karna, nukleonerna stots vid beroring bort fran varandra, eller nukleonerna

kan inte vid beroring smalta ihop till en storre partikel. Fermigasmodellen gav energier av

storleksordningen 30 MeV i karnan. I del (a) av Figur II.12 visas det forvantade utseen-

det for karnpotentialen. Den enklaste potentialen, som aven ar anvandbar for grundlaggande


berakningar ar ladpotentialen, som visas i figurens (c)-del. Yukawas potential (del (b) i Figur

II.12) som har utseendet

V = V0exp(−r/R)(r/R)

(II.19)

har mycket stort djup, 100 - 1000 MeV, och bygger pa ett utbyte av partiklar, mesoner.

Figur II.12: Potentialen for nukleon-nukleon-vaxelverkan, (a) en schematisk kurva,(b)Yukawaspotential,(c)en ladpotential.

Yukawa antog att nukleon-nukleon vaxelverkan astadkommes genom utbyte av virtuella par-

tiklar, som han kallade mesoner. Man anvander i detta sammanhang benamningen virtuell

partikel, emedan energin for att skapa en verkligt matbar partikel ar for liten. Osakerhetsre-

lationen tillater dock en viss overtradelse av energikonservationen inom tiden ∆τ som anges

av

∆τ =~

∆E

dar ∆E ar mesonens energi. Tiden ∆τ ar sa kort att mesonen inte hinner observeras. Osaker-

heten i energi, ar minst lika stor som mesonens vilomassa m0c2. Vi antar for enkelhetens skull,

att mesonen ror sig med ljusets hastighet. Pa tiden ∆τ ror sig da mesonen strackan

d = ∆τ · c = ~m0c

.

Vi kan nu satta in karnkraftens rackvidd i ekvationen och berakna mesonens massa, men vi

II.8. NUKLEON-NUKLEON-VAXELVERKAN 21

gar handelserna i forvag och satter in massan for den lattaste mesonen, π-mesonen, dvs. 135

MeV/c2. Pa detta satt erhaller vi att karnkraftens maximal rackvidd ar ≤ 1,46 fm. I sjalva

verket satte Yukawa in 1,5 fm for rackvidden och beraknade mesonens massa till 140 MeV/c2.

Da man senare hittade π-mesonen via studier av den kosmiska stralningen var det en stor

framgang for Yukawas teori.

Karnans spinn och magnetiska moment kan bestammas via matningar av atomens hyperfin-

struktur och via experiment, dar man studerar magnetisk resonans. De magnetiska momenten

for protonen och neutronen ar

µp = 2, 792847386 · µN

µn = −1, 91304275 · µN

Det experimentella vardet for deuteronens magnetiska moment ar µd = 0, 8574 ·µN . Summan

av de tva momenten ovan ar

µp + µn = 0, 8798µN .

Resultatet tyder pa att µp och µn ar parallella, d.v.s. att spinnen Sp och Sn ar parallella.

Detta ger totalspinnet s = 1. Tillstandet ar ett triplettillstand, som kan betecknas med 3Sl

enligt den allmanna beteckningen (2s+1)Lj =3Lj.

1

Resultatet for deuteronens magnetiska moment liksom aven resultatet av det allmanna np-

spridningsexperimentet visar att karnkraften ar spinn-beroende. Karnkraften har storre styrka

vid vaxelverkan mellan tva nukleoner da nukleonernas spinn ar parallella an da de ar anti-

parallella. Man kan beakta detta genom att i ett analytiskt uttryck for karnkraften infora en

term, som ar beroende av vektorprodukten Sp · Sn.

Karnkraftens laddningsoberoende ger att den ar likvardig i systemen np, pp och nn. Av dessa

ar endast np-systemet stabilt i form av en deuteron. Just karnkraftens spinn-beroende gor

dubbelprotonen och dubbelneutronen instabila, emedan Pauliprincipen anger att de bor ha

antiparallella spinn. Dubbelprotonen forsvagas dessutom av Coulombkraften.

Vi kan annu studera karnkraftens laddningsoberoende via tva spegelkarnor. Som exempel tar

vi 178O9 och

179F8, se Figur II.13. Likheterna i energinivaernas strukturer i de bada karnorna ar

pafallande. Energiskillnaden mellan karnornas grundnivaer ar 2,76 MeV (= masskillnaden).

Masskillanden och smarre olikheter i energinivaerna kan helt forklaras med Coulombkraften.

Denna iakttagelse ar en av grundpelarna for hypotesen om karnkraftens laddningsoberoende.

Uppgifter

1Har anvands den allmanna kvantmekaniska konventionen med beteckningen s, p, d, ... for l = 0, 1, 2, ... ochstor bokstav L i termbeteckningen j = l + s.


Figur II.13: Lagt liggande exciterade tillstand i spegelkarnorna 17O och 17F .

[1] Spegelkarnorna 115 B och 11

6 C har samma antal nukleoner, men 11C, som har flere protoner

har aven en storre Coulombenergi. Atommassan for 11B ar 11,009305u och den for 11C

ar 11,011432u.

a.) Vilken ar skillnaden i karnornas bindningsenergi?

b.) Anta att karnorna ar homogent laddade sfarer och att de har samma radie r0.

Utred vilken radie r0 som leder till en sadan skillnad i karnornas Coulombenergi som

sammanfaller med skillnaden i bindningsenergi.

c.) Hur overensstammer denna laddningsfordelning med andra uppgifter om karnradien

som du har?

II.9 En modell for deuteronen

Deuteronens egenskaper kan analyseras med Schrodingerekvationen. Vi antar att den spinn-

oberoende delen av karnkraften ar en central kraft. Vid berakningen bor vi anvanda den

reducerade massan, emedan de bada nukleonerna i deuteronen har samma massa. Vi tanker

oss en partikel med den reducerade massan µ =M/2 (dar M =Mp =Mn), som kretsar runt

den ena nukleonen. Som karnpotential anvander vi den enkla ladpotentialen med utseendet

V =

−V0 , da r < r00 , da r > r0

(II.20)

d.v.s. karnkraften haller ihop karnan upp till radien r0. Vi har tidigare visat att bidningsener-

gin ar Eb = 2, 225 MeV och att deuteronen i huvudsak befinner sig i ett 3S1-tillstand, d.v.s.(2·1+1)S0+1, dar s = 1 och ` = 0.

Vi far den sammansatta vagfunktionen (utan spinndelen)

II.9. EN MODELL FOR DEUTERONEN 23

ψ = R(r)Y00(θ, φ)

dar det for den radiella vagfunktionen galler

d2(rR)

dr2− M

~2(V (r) + Eb)rR = 0 (II.21)

Se kursen Materiens Struktur I, dar Schrodingerekvationen i sfariska koordinater behandlades.

Vi skiljer pa tva fall. I det forsta galler att r < r0, som ger

d2(rR)

dr2+M

~2(V0 − Eb)rR = 0

I det andra galler att r > r0, som ger

d2(rR)

dr2− M

~2EbrR = 0

Vi infor k =√MEb/~ och κ =

√M(V0 − Eb)/~ och far

d2(rR)

dr2+ κ2rR = 0, r < r0

d2(rR)

dr2− k2rR = 0, r > r0

Losningen ar i uppsnyggad form

rR(r) =

a sinκ , for r < r0be−kr , for r > r0

(II.22)

Losningen skall vara kontinuerlig vid r = r0, likaval dess derivata. Dessa krav ger

a sinκr0 = be−kr0

κa cosκr0 = −kbe−kr

Division och forenkling ger

y1(Eb) = cot

(√M(V0 − Eb)

~r0

)= −

√Eb

V0 − Eb

= y2(Eb) (II.23)


som loses numeriskt. Man har funnit att deuteronen har en hard karna, d.v.s. att det existerar

ett minsta avstand mellan nukleonerna, rc = 0, 4 fm, da V0 = 70 MeV och r0 = 1, 7 fm. Se

Figur II.14.

Figur II.14: En potentialgrop, som binder deuteronen. Vagfunktioner for det stationara till-standet ` = 0 visas aven.

Uppgifter

[1] Vi tanker oss en np-infangningsreaktion n + p → d + γ sa, att bada partiklarna ar i

vila efter infangningen. Ange en formel for deuteronens bndningsenergi som funktion av

gammaenergin.

II.10 Magiska tal

I atomens elektronholje ger vissa bestamda elektrontal stabila elektronkonfigurationer. Det

fyllda K-skalet och varje efterfoljande skal med 2+6 elektroner representerar mycket stabila

konfigurationer, som ger atomen extremt hoga jonisationsenergier och stora banradier. Da

antalet elektroner i atomens elektronholje ar 2, 10, 18, 36, 54 och 86 (He, Ne, Ar, Kr, Xe och

Rn) erhalles slutna skal, adelgasstruktur och man sager att elektrontalet ar magiskt.

Man skulle forvanta sig samma magiska tal i karnan, emedan nukleonerna ar fermioner liksom

elektronerna och samma Pauliprincip galler i karnan som i elektronholjet. De magiska talen

for atomkarnan ar emellertid

N,Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, . . .

Z = 126 har inte observerats, men det magiska neutrontalet 126 upptrader t.ex. i bly-karnorna.

Vi skall nu ga igenom nagra av de experimentella bevisen for karnans magiska tal och be-

handlar speciellt isotopforekomsten, nukleonernas jonisationsenergi, stabilitet mot α-sonder-

fall samt neutrontvarsnittet i samband med magiska tal.

II.10. MAGISKA TAL 25

Isotopforekomsten

a) Antalet stabila och mycket langlivade isotoper ar storre for Z = 20 (kalcium, sex stycken)

och for Z = 50 (tenn, tio stycken) an for omkringliggande element med jamt antal protoner.4820Ca28 har en exceptionell stabilitet (Z = 20, N = 28).

b) Antalet stabila och langlivade isotoper ar stort, da N ar magiskt: N = 20 (5 st), N = 28

(5 st), N = 50 (6 st), N = 82 (7 st).

c) Par av stabila karnor med samma jamna antal N men med olika udda Z forekommer bara

for N = 20 (3717Cl20,3919K20), N = 50 (8737Rb50,

8939Y50) och N = 82 (13957La82,

14159Pm82).

d) I allmanhet ar den relativa forekomsten av en isotop med jamt Amindre an 50 %. Undantag

utgor 8838Sr50 (82 %), 138

56Ba82 (72 %) och 14058Ce82 (90 %).

Nukleonernas jonisationsenergi

Den energi som behovs for att avlagsna en nukleon fran atomkarnan kallas for dess sepa-

rationsenergi. Denna kan jamforas med elektronskalets jonisationsenergi. Denna energi ar i

α-partikeln (4He-karnan med 2 protoner och 2 neutroner) omkring 20 MeV, medan medel-

bindningsenergin per nukleon ar 7 MeV. N = Z = 2 ar uppenbarligen ett magiskt tal. Figur

II.15 visar den sista neutronens separationsenergi som funktion av antalet neutroner N inom

ett brett omrade. Den neutron som adderas till karnan utover magiska N = 8, 20, 28, 50,

82 och 126 blir losare bunden an foregaende. Vi kan har speciellt namna tre karnor, som i

exciterade tillstand kan emittera neutroner, namligen 178O9,

8736Kr51 och 137

54Xe83. Orsaken till

neutronemissionen ar den, att den 9:e, 51:a och 83:e neutronen ar sa lost bunden, att i ett

hogt exciterat tillstand blir neutronemission en process, som kan tavla med γ-emission.

Figur II.15: Neutronseparationsenergier som funktion av neutrontalet i isobar-familjer inomett brett omrade.

Stabilitet mot α-sonderfall

Som exempel kan vi ta karnor nara den tyngsta stabila karnan 20983Bi126.

20882Pb126 stabil


20983Bi126 stabil

21084Po126 utsander α-partiklar med energin 5,3 MeV

21284Po128 utsander α-partiklar med energi 8,7 MeV.

Hogre α-energi betyder kortare livstid for tillstandet och alltsa en storre sonderfallssannolik-

het, se avsnitt II.17.

Att bade 20882Pb126 och

20983Bi126 ar stabila mot α-sonderfall forefaller rimligt emedan α-partikeln

avlagsnar tva neutroner och tva protoner och separationsenergierna vid nukleontalen 126 och

82 ar hoga. I fallet 21084Po126 avlagsnas den 83:e och 84:e protonen samt den 127:e och 128:e

neutronen, vilka ar losare bundna an den 82:a protonen och 126:e neutronen, se Figur II.15.

Man kan systematisera detta aven for andra karnor och finner tydliga skaleffekter.

Neutrontvarsnitt

Tvarsnittet for absorption av termiska neutroner har utpraglade minima vid N = 50, 82

och 126. Karnor med dessa neutrontal tycks gora motstand mot addition av ytterligare en

neutron (Figur II.16). Fenomenet kan jamforas med adelgasernas obenagenhet att inga i

kemiska foreningar.

Figur II.16: Tvarsnittet σ for infangning av neutroner som funktion av antalet neutroner ikarnan.

Slutsats

Man har dragit slutsatsen att de magiska talen innebar slutna skal i karnan (jamfor med

slutna elektronskal och de kemiskt inaktiva adelgaserna). Det tog lang tid innan man lyckades

reproducera de slutna skalen i en berakning och darfor borjade man tala om magiska tal. Man

II.11. SKALMODELLEN FOR KARNAN 27

gjorde under 1930-talet kvantmekaniska berakningar med antagandet av en central potential

i karnan och provade med olika typer av potentalenergikurvor. Berakningarna kunde dock

inte reproducera de magisk nukleontalen. Det var forst ar 1949 som M. Goeppert-Meyer och

J. H. D. Jensen lyckades konstruera en skalmodell for karnan. Nyckeln till skalstrukturen ar

en stark spinnbankoppling. Denna ar sa betydande att den blandar om ordningsfoljden for

energinivaerna bestamda av n och l.

II.11 Skalmodellen for karnan

Alla j-j karnor har det totala rorelsemangdsmomentet 0 i grundtillstandet, vilket kan tolkas

sa att nukleoner av lika slag orienterar sina spinn antiparallellt till det resulterande rorel-

semangdsmomentet 0. Man forvantar sig da att karnans totala rorelsemangdsmoment i karnor

med udda A harror fran den udda nukleonens rorelsemangdsmoment. Enligt centralfaltsmo-

dellen gor vi antagandet, att den sist adderade nukleonen ror sig i en centralsymmetrisk

potential V (r), som representerar denna nukleons vaxelverkan med alla ovriga nukleoner.

Vi maste prova oss fram for att hitta en lmplig centralpotential V (r) for karnan. Om man

antar att karnkraften har ett konstant varde inom karnan och noll utanfor duger den enk-

la ladpotentialen. Berakningarna fungerar for ` = 0 och en lada med andliga kanter, men

emedan aven hogre `-varden maste tillatas, bor ladans kanter goras oandligt hoga. I en mera

realistisk potential avrundas ladans kanter samtidigt som potentialen aven ges en avrundning

vid overgangen till nollpotential, se Figur II.17.

Figur II.17: Karnpotentialens approximering med 1) oskillatorpotential, 2) oandligladpotential och 3) en mera realistisk potential.

En potential som varit framgangsrik ar Wood-Saxons potential:


V (r) = − V01 + e(r−R)/a

(II.24)

Parametrarna V0, R och a anpassas. R ar ett medelavstand mellan nukleonerna. V0 anger

potentialens djup. Man loser Schrodingerekvationen och far losningarna.

Da nukleoner av samma slag har en tendens att para ihop sig har man en skalmodell skilt for

protoner och skilt for neutroner. Enligt den extrema singelpartikelmodellen bestams karnans

egenskaper av de yttersta nukleonerna. Dessa ger karnans spinn, paritet, magnetiska moment,

osv.

I modellen far man fram de individuella vagfunktionerna

ψnlmlms = Rnl(r)Ylml(θ, φ)(↑ eller ↓)

Kvanttalen n och l ger energin. For l-vardena 0, 1, 2, 3 osv anvands liksom i den grundlaggande

kvantmekaniken beteckningarna s, p, d, f, g, h, i.... For att fa overensstammelse med verklig-

heten visar det sig att vi maste beakta en stark spinnbankoppling:

VSL = −a2SL

r

dV

drS · L

Som i atomfysiken overgar vi nu fran kvanttalen (n, l,ml,ms) till (n, l, j,mj). Varje energiniva

Enl ar uppspjalkt i tva, en for j = l − 1/2 och en annan for j = l + 1/2. Resultatet av en

skalmodellsberakning visas i Figur II.19. Man far reda pa grundtillstandets rorelsemangdsmo-

ment for en udda A-karna genom att fylla nivaerna med nukleoner med beaktande av Pa-

uliprincipen och genom att se var den sista nukleonen hamnar. Denna nukleon bestammer

karnans rorelsemangdsmoment. Exciterade tillstand i karnan uppstar da en nukleon flyttas

upp i energinivadiagrammet. Exciteras en nukleon fran ett underliggande orbital uppstar ett

hal i strukturen. Detta hal representerar aven ett exciterat tillstand och annu hogre excita-

tionsenergier uppstar om halet ligger djupare ner i strukturen. Forutom enskilda nukleoners

excitation ar givetvis aven en excitation av flera nukleoner samtidigt och en vaxelverkan

mellan dessa mojlig.

Uppgifter

[1] Vilka spinn- och paritetsvarden har grundtillstandet i 15N, 23Na, 27Al och 95Mo enligt

skalmodellen?

[2] Ange de tre forsta exciterade tillstanden i 207Pb. Det forst exciterade tillstandet i 208Pb

ar ett 3−-tillstand. Vilken karaktar har detta tillstand? Hur beskriver man skalmodell-

stillstand i 208Pb?

II.12. SPINN OCH MAGNETISKA MOMENT FOR KARNAN 29

Figur II.18: Spinnbankopplingens inverkan pa nukleonnivaerna. Spinnbankopplingen leder tillenergigap mellan grupper av nivaer. De magiska talen ar identiska med Σ2(2` + 1) for denovre nivan i sadana nivagrupper. I figuren jamfors berakningar med tre olika karnpotentialer.

II.12 Spinn och magnetiska moment for karnan

En nukleons totala rorelsemangdsmoment ar

Ji = Li + Si (II.25)

och karnans totala rorelsemangdsmoment ar da

I =A∑i=1

Ji (II.26)

Vi har anvant jj-koppling. De vanliga kvantiseringsreglerna galler:


Figur II.19: Skalmodellsnivaer for nukleonerna i karnan med beaktande av spinnbankoppling.Energinivaernas, Enlj, degenerering ges av 2j + 1.

I2 = ~2i(i+ 1) (II.27)

Iz = ~mi (II.28)

mi = −i,−i+ 1, . . . , 0, . . . , i− 1, i (II.29)

Man adderar protonerna och neutronerna skilt for sig. Lika nukleoners koppling av sina spinn

antiparallellt gor att endast den udda protonen och udda neutronen ger ett nettobidrag till

I.

N jamnt, Z jamnt ger, i = 0

N jamnt, Z udda ger, i = judda proton

II.13. LADDNINGSOBEROENDE KARNKRAFT OCH ISOSPINN 31

N udda, Z jamnt ger, i = judda neutron

N udda, Z jamnt ger mojligheterna, i = |jp − jn|min, |jp − jn|min + 1, . . . , jp + jn

Det magnetiska dipolmomentet definieras som

~µ = ~µL + ~µS =µN

~(gLL+ gSS) (II.30)

I specialfallet N udda eller Z udda galler

~µ = ~µL + ~µS =µN

~(gLLudda nukleon + gSSudda nukleon), (II.31)

dar nukleon syftar pa neutron eller proton.

Enligt den vedertagna teorin ar (gL, gS) = (1, gp) for en proton och (gL, gS) = (0, gn) for en

neutron. Om man satter in i = l ± 1/2 kan man visa att

〈µz〉p =µN(i− 1/2 + gp/2), da l = i+ 1/2µN

ii+1

(i+ 3/2− gp/2), da l = i− 1/2(II.32)

for protoner, och

〈µz〉n =

µNgn/2, da l = i+ 1/2−µN

ii+1gn/2, da l = i− 1/2

(II.33)

for neutroner. Det linjara beroendet 〈µz〉 = µz(i) kan ritas ut som linjer i ett koordinatsystem.

Linjerna kallas for Schmidtlinjer. I Figur II.20 visas Schmidtlinjernas forhallande till uppmatta

magnetiska moment.

II.13 Laddningsoberoende karnkraft och isospinn

Da karnkraften ar laddningsoberoende (experimentellt bekraftat) infor man ett allmant spinn

T som kallas isospinn. Detta ar en vektorstorhet som har komponenten Tz. Man har gjort

overenskommelsen att neutronen har Tz = −1/2 och protonen Tz = 1/2. T ar en abstrakt

vektor och har ingen enhet. For T galler

T 2 = t(t+ 1) (II.34)

Tz =Z −N

2= mt (II.35)

mt = −t,−t+ 1, . . . , 0, . . . , t− 1, t (II.36)

t = 0, 1/2, 1, 3/2, . . . (II.37)


Figur II.20: Det experimentellt uppmatta magnetiska momentet for karnor med ett udda antalprotoner som funktion av karnspinnet. De heldragna linjerna ar Schmidtlinjerna.

Figur II.21: Det experimentellt uppmatta magnetiska momentet for karnor med ett udda antalneutroner som funktion av karnspinnet. De heldragna linjerna ar Schmidtlinjerna.

II.14 Karnans elektriska kvadrupolmoment och den

kollektiva modellen

Vi har tillsvidare antagit att karnan ar sfariskt symmetrisk. Experiment visar dock, att manga

karnor aven i sitt grundtillstand har en form som avviker fran den sfariska. Det elektriska

kvadrupolmomentet ar en observabel som definierar laddningsfordelningens symmetri. Det

elektriska kvadrupolmomentet har en potentiell energi i ett elektriskt falt. Detta utnyttjas

vid bestamningar av det elektriska kvadrupolmomentet. Karnans elektriska kvadrupolmoment

definieras med hjalp av

II.14. KARNANS ELEKTRISKAKVADRUPOLMOMENTOCHDENKOLLEKTIVAMODELLEN33

Qz =1

e

∫(3z2 − r2)ρdτ (II.38)

dar ρ ar laddningstatheten och laddningsfordelningen ar symmetrisk kring z-axeln. For en

ellipsoidal fordelning fas

Qz =1

e

2

5Ze(b2 − a2) =

2

5Z(b2 − a2) (II.39)

dar a och b ar halvaxlarna. Det har visat sig att vissa karnor har ett konstant kvadrupolmo-

ment aven i grundtillstandet. Med en sadan laddningsfordelning ar karnpotentialfunktionen

inte langre sfariskt symmetrisk.

Vid sfariskt symmetrisk laddningsfordelning ar Qz = 0, (b = a).

Qz > 0 da b > a, dvs. karnan ar strackt i z-axelns riktning (prolat form)

Qz < 0 da b < a, dvs karnan ar tillplattad i z-axelns rikting (oblat form).

Eftersom b oftast avviker obetydligt fran a kan karnradien beraknas som

R =b+ a

2. (II.40)

Da vi definierar excentriciteten som

δ =b− a

R=

2(b− a)

a+ b, (II.41)

fas

Qz =2

5Z · δ ·R · 2R =

4

5· δ · Z ·R2. (II.42)

da vi utvecklar II.39 och satter in II.40 och II.41.

For en enstaka laddning qi kan man berakna kvadrupolmomentet som

Qz =qie(3z2 − r2) (II.43)

Grundenheten for det elektriska kvadrupolmomentet ar, da vi multiplicerar bort laddningen

1 barn = 10−28 m2 = (10 fm)2.


Kvadrupolmomentet mats i forhallande till en kvantiseringsaxel och det storsta observerbara

vardet pa kvadrupolmomentet kallas for det spektroskopiska kvadrupolmomentet. Enligt ekva-

tion (II.43) ser vi att QJ

ZR2 ≈ δ = excentriciteten. De storsta vardena pa det elektriska kvad-

rupolmomentet har observerats hos de sallsynta jordartmetallernas karnor (150 ≤ A ≤ 180).

I detta omrade kan en proton maximalt ge upphov till ett kvadrupolmoment pa (z = R)

Qz = 3R2 −R2 = 2R2 = 0, 44 barn, daR ≈ 1, 2 3√170 fm.

Man har t.ex. i 176Lu observerat kvadrupolmomentet 8 barn, vilket skulle tyda pa att manga

protoner deltar i uppbyggandet av kvadrupolmomentet.

Figur II.22: Excentriciteten δ = QJ

ZR2 for udda A-karnor avsatt som funktion av det udda an-talet protoner (Z) eller neutroner (N). Kvadrupolmentet ar litet for karnor med ett nukleontalnara det magiska, medan det ar som storst i karnor med nukleontal mitt emellan de magiska.Excentriciteten som visas i figuren ar som storst 30 %.

j-j karnor har alltid rorelsemangdsmomentet 0 i grundtillstandet. Detta ar en effekt av par-

kraften som har kort rackvidd och som stravar efter att placera tva nukleoner av samma slag


sa , att deras rorelsemangdsmoment tar ut varandra. Ett sadant tillstand ar sfariskt symmet-

risk och har kvadrupolmomentet 0. For att forklara de stora kvadrupolmomenten hos karnor

langt fran de slutna skalen maste man infora ytterligare en del i karnkraftens restvaxelverkan,

en del som har lang rackvidd och som stravar efter att deformera karnan. Det dominerande

bidraget till denna kraft kan beskrivas som en kvadrupolkraft verkande mellan tva par av

partiklar. Denna kraft ar proportionell mot

P2(cosθ12) (II.44)

dar P2 ar ett Legendre polynom och θ12 ar vinkeln mellan partikel 1 och 2 matt fran karnans

tyngdpunkt. Totalt kommer darfor Hamiltonoperatorn for den deformerade karnan att i prin-

cip innehalla tre delar, namligen

1) Skalmodellsdelen med t.ex. en sfariskt harmonisk oskillatorpotential och en spinnbankopp-

ling.

2) Parkraften, som efterstravar en sfarisk form med totala rorelsemangdsmomentet 0 for en

j-j karna.

3) Kvadrupolkraften med lang rackvidd, som efterstravar att deformera karnan genom vaxel-

verkan mellan nukleonerna av de bada slagen pa motsatta sidor av karnan.

Uppenbart motverkar parkraften och kvadrupolkraften varandra i var modell. Med enbart

nagra fa nukleoner utanfor ett slutet skal dominerar parkraften och karnan bibehaller sin

sfariska form. Med flera extra nukleoner far kvadrupolkraften allt storre inflytande. Med

en ytvagsvibration forklarar man uppkomsten av karnans deformation. Da man narmar sig

halvfyllda skal, borjar kvadrupolkraften dominera over parkraften, vilket ger en permanent

deformation aven i grundtillstandet. Dessa karnor uppvisar ett kollektivt beteende och man

sager att de roterar.

I manga j-j karnor med halvfyllda skal observeras tillstand med spinn och paritet 2+ vid en

excitationsenergi av endast ∼ 100 keV, vilket ar mycket lagre an skalmodellens forutsagelser

(Figur II.23). Man har aven hogre liggande tillstand i dessa karnor med spinn-paritet 2+, 4+,

6+, 8+, .... osv. som uppvisar en stark systematik i energinivaernas lagen.

Den modell som forklarar excitationer i karnor med en icke sfariskt symmetrisk ladd-

ningsfordelning ar den s.k. kollektiva modellen. Excitationer i dessa karnor uppfattas som

en ytvag pa karnans yta. Rorelsen ar kollektiv och det ser ut som om karnan skulle rotera

eller vibrera. For rotationsenergin fas

Erot =1

2Jω2 =

~L2

2J, (II.45)

da L = J · ~ω (J ar troghetsmomentet). I atomkarnan ar det totala rorelsemangdsmomentet


Figur II.23: Energin hos det lagst liggande 2+-tillstandet i olika karnor som funktion avmasstalet A.

I, sa vi byter ut L i ekvationen ovan mot I, vilket ger Erot =I2

2J. Vi tillampar kvantiserings-

villkoret I2 → ~2i(i+ 1) och far

Erot =~2i(i+ 1)

2J(II.46)

For att fa battre forutsagelser for hogre liggande energitillstand brukar man korrigera ekva-

tionen till

Erot = Ai(i+ 1) +Bi2(i+ 1)2 (II.47)

Denna ekvation kan forklara systematiken hos de ”kollektiva” karnornas energitillstand.

Det magnetiska dipolmentet ar enligt den kollektiva modellen

µI = gRI+ (gK − gR)K2

I + 1(II.48)

dar gK ar g-faktorn for den udda partikeln och gR ar motsvarande for den kollektiva rorelsen.

Har galler att gR ≈ Z/A.

For att kunna tolka energinivaerna hos udda A karnor och aven partikelexcitationer hos j-j

karnor maste man mera detaljerat kanna till enpartikelrorelserna i en deformerad potential.

De forsta berakningarna av denna typ utfordes av svensken Sven Gosta Nilsson. Man talar

aven om Nilssonmodellen. Hamiltonoperatorn for den udda nukleonen kan i Nilssonmodellen

skrivas som


Figur II.24: Omraden pa nuklidkartan, dar atomkarnorna ar starkt deformerade.

H = H0 +Hδ + C~ ·~s+D~2 (II.49)

H0 representerar en sfariskt symmetrisk oskillatorpotential och termen ~ ·~s den kanda spinn-

bankopplingen. Hδ beskriver avvikelsen fran den sfariska symmetrin och harror fran kvadru-

polkraften. Den sista termen D~2 ar inford for att gora oskillatorpotentialen mera flatbottnad

och mera lik den verkliga karnpotentialen.

I Nilssonmodellen far nukleonerna i skilda banor (orbitaler) olika energier, vilket leder till

en splittring av skalmodellsnivaerna, dar alla nukleoner med samma nlj hade samma energi.

Denna splittring ar en funktion av deformationen δ och leder till det resultat som visas i Figur

II.25.

Atomkarnor med sfarisk form saknar kvantmekanisk rotationsenergi (man kan inte se rota-

tionen hos en sfarisk karna). Man kan dock i dessa, liksom i karnor med statisk jamviktsde-

formation, finna kollektiva vibrationer av olika slag runt jamviktslaget.

Ekvationen for ytan av en vibrerande, ursprungligen sfarisk karna kan skrivas som

R(θ, φ) = R0[1 + ΣαλµYλµ(θ, φ)] (II.50)

dar Yλφ ar en klotytfunktion och αλµ en deformationsparameter. R0 ar den sfariska radien.

Ytvagsvibrationer astadkommes genom att lata αλµ vara tidsberoende.

Vibrationsenergin ges av den enkla harmoniska oskillatorformeln

Evib = (nλµ +1

2)~ω (II.51)


Figur II.25: Enpartikelenergier som funktion av deformationen (Nilssondiagram). For δ = 0erhalles skalmodellsnivaerna. Varje energiniva kan ha tva nukleoner.

dar nλµ ar antalet oskillationskvanta eller fononer av ordningen λµ.

De lagsta λµ-vardena, som representerar en kollektiv excitation av karnan, ar λ = 2, µ =

±2. Vibrationer med λ = 2 astadkommer kvadrupoldeformation av karnan. For λ = 2, µ

= 0 erhalles Y20(θ, φ) ∼ (3cos2θ − 1) vilket innebar bibehallen symmetri runt z-axeln under

oskillationen (Figur 11.26). For λ = 2, µ = ±2 fas Y2±2(θ, φ) ∼ sin2θcos2φ vilket innebar att

en vag av materia transporteras runt ekvatorn av karnan utan att avstandet mellan polerna

andras (Figur II.26).

Enligt formeln for vibrationsenergin ar avstandet mellan successiva excitationstillstand lika

med ~ωλ (en fonon). Det lagsta vibrationstillstandet (n = 1) med λ = 2 har spinn och paritet

2+. Tva fononer kan koppla sina rorelsemangdsmoment (spinn) till I = 0, 2 eller 4, alla med

positiv paritet. Dessa tillstand ar i den enklaste teorin degenererade.

I manga approximativt sfariska karnor har man identifierat 3−-tillstand vilka sonderfaller

till grundtillstandet med en uppsnabbad γ-overgang. Overgangen kallas for en elektrisk ok-

tupolovergang (E3) och utgangstillstandet klassificeras som en kollektiv oktupolvibration.

Karnan ar i detta vibrationstillstand (λ = 3) paronformad, se Figur II.27.

Uppgifter

[1] Punkter pa ytan av en rotationsellipsoid kan beskrivas med formeln


Figur II.26: Olika typer ytvagsvibrationer hos karnan.

Figur II.27: De enklaste vibrationstyperna hos deformerade karnor.

(x2 + y2)

a2+z2

b2= 1

dar a och b ar ellipsoidens halvaxlar. Volymen kan beraknas som 43πa2b. Ellipsoiden har

en jamnt fordelad laddning Ze. Harled formeln for det klassiska kvadrupolmomentet

Q =2

5Ze(b2 − a2).

[2] Nukliden 176Lu har ett relativt stort kvadrupolmoment, Q = +8, 0e ·barn. Anvand detta

varde for att uppskatta forhallandet b/a mellan halvaxlarna for karnan, som antas ha


en ellipsoidal form. Det klassiska kvadrupolmomentet for en karna med formen av en

rotationsellipsoid ar

Q =2

3Ze(b2 − a2),

dar a och b ar ellipsoidens halvaxlar.

[3] Energi och spinn for de fyra forsta exciterade tillstanden i 18072 Hf ar: 0,093 MeV (i = 2),

0,309 MeV (i = 4), 0,641 MeV(i = 6) och 1,085 MeV (i = 8).

a.) Hur val overensstammer dessa varden med rotationsmodellens forutsagelser?

b.) Vilket ar karnans troghetsmoment?

II.15. RADIOAKTIVITET 41

II.15 Radioaktivitet

Forhallandet mellan protonerna och neutronerna i karnan reglerar karnans stabilitet eller

instabilitet. De instabila karnorna overgar till stabila via olika karnprocesser. Historiskt fick

man indikation om dessa processer via upptackten av en stralning, som man borjade kalla

for radioaktiv stralning. Radioaktivitetens upptackt tillskrivs A. H. Becquerel, som ar 1896

studerade en hittills okand stralning fran uran. Denna stralning ger upphov till fluorecens i

material som har den egenskapen och stralningen ar mycket genomtrangande. Rontgen hade

foregaende ar aven upptack en genomtrangande stralning, som fatt namn efter honom. Den

av Becquerel upptackta stralningens egenskaper studerades aven av makarna Curie och andra

vid sekelskiftet.

Den radiokativa stralningen indelas av historiska skal i tre olika typer, som kallas α (heli-

umkarnor utsands), β (elektron eller positron utsands) och γ (hogfrekvent elektromagnetisk

stralning utsands da karnan deexciteras). I takt med att tekniken har utvecklats har man

kunnat producera och detektera aven annan typ av stralning harrorande fran karnan. Det ar

fraga om partikelstralning som n, p, d.. osv. Fissionen, dar karnan spjalks i tva delar samtidigt

som neutron- och γ-stralning upptrader, ar ju ocksa en form av radioaktiv stralning.

Radioaktiveten forekommer bade naturligt och artificiellt. Den naturliga radiaktiviteten kom-

mer fran instabila karnor i var omgivning; framst fran tunga karnor, men det finns aven

lattare karnor, som hor till var naturliga, radioaktiva omgivning. En sadan ar 40K, som t.o.m.

finns i manniskokroppen. Den kosmiska stralningen, som harror fran hogenergetiska partiklar,

som traffar jordens atmosfar, hor aven till var naturliga, radioaktiva omgivning. Den artifi-

ciella radioaktiviteten produceras framst via karnprocesser, som astadkommes med tillhjalp

av partikelacceleratorer. Rontgenstralningen och annan radioaktivitet anvandes aven inom

medicinen for diagnostiska eller behandlingsandamal. Figur II.28 ger en visuell bild av de tre

olika sonderfallstyperna.

Y

Y

X

Y

β

β

α

−

+

Z - 1

Z - 2

Z

Z + 1

Z

N = A - Z

Figur II.28: α-, β- och γ-sonderfall pa nuklidkartan.

Vid α-sonderfall emitterar karnan en α-partikel: AZX →A−4

Z−2 X+42He. Vid β

− -sonderfall emit-

terar karnan en β−-partikel eller elektron: AZX →A

Z+1 X + e−. Vid β+-sonderfall emitterar

karnan en β+-partikel eller positron: AZX →A

Z−1 X + e+. Vid γ-sonderfall deexciteras karnan

genom att sanda ut en foton: AZX

∗ →AZ X.


Av de latta partiklarna ar det energetiskt mest fordelaktigt for karnan att emittera α-

partiklar, emedan energi frigors, da α-partikeln bildas i karnan (Figur II.6). Den energi som

α-partikeln far inne i karnan racker i regel inte till for att overvinna Coulombvallen, men

α-partikeln kommer ut ur karnan genom att tunnla igenom vallen. Det ar framst de tyngre

karnorna som uppvisar α-sonderfall.

Figur II.29: (N,Z)-diagram som visar karninstabilitetens forekomst i olika massomraden.

De flesta radioaktiva element, som finns i naturen, tillhor en sonderfallsserie. Den forsta

radioaktiva overgangen i en sadan serie ar ett α-sonderfall fran en langlivad karna, vars

halveringstid ar av samma storleksordning som jordens alder. Tva typiska moderkarnor for

dessa sonderfallskedjor ar 232Th och 238U vilka har halveringstider av storleksordningen 1010

ar. Sonderfallet i serierna sker via turvisa α- och β-processer tills en stabil karna i serien nas.

Slutkarnan i 238U-serien ar 206Pb.

I Figur II.29 visas karninstabiliteten som funktion av (N,Z) och i Figur II.30 238U-sonderfalls-

kedjan. Emedan en karna med masstalet A vid α-sonderfall overgar i en karna med masstalet

A - 4, kan man tanka sig fyra olika α-sonderfallskedjor. En med A = 4n, dar n ar ett heltal,

och de andra med A = 4n+ 1, 4n+ 2, 4n+ 3. Figur II.30 visar 238U-sonderfallsserien som ar

en A = 4n+ 2-serie, dar n antar nio olika heltalsvarden. Andra α-sonderfallsserier, som fore-

kommer i naturen ar 232Th-serien, som ar en 4n-serie, 237Np-serien (halveringstiden ∼ 106 ar),

som ar en (4n+ 1)-serie och 235U-serien (halveringstiden ∼ 108 ar), som ar en (4n+ 3)-serie.

II.16 Sonderfallslagen

Det radioaktiva sonderfallet ar en statistisk process. Enligt kvantmekaniken kan man defini-

era en sannolikhet for sonderfallet. Ett matt pa denna sannolikhet ar sonderfallskonstanten.

Sonderfallets livstid ar proportionell mot den inversa sonderfallskonstanten. Vi skall nu ma-

tematiskt behandla ett sonderfall, dvs. harleda sonderfallslagen.

II.16. SONDERFALLSLAGEN 43

Figur II.30: 238U-sonderfallsserien. α- och β−-sonderfall upptrader i sondersfallskedjan somborjar med 238U och slutar med 206Pb.

Det antal karnor som sonderfallit (dN) efter en viss tid dt ar proportionellt mot det ursprung-

liga antalet karnor. Vi far differentialekvationen

dN

dt= −λN (II.52)

Omflyttning och ledvis integrering enligt

∫ N

N0

dN

N= −λ

∫ t

0

dt

ger efter forenkling

N = N0e−λt (II.53)

Proportionalitetsfaktorn λ ar sonderfallskonstanten. Man definierar livstiden τ som den tid

som gar innan mangden karnor N har sonderfallit till Ne. Insattning i II.53 ger

τ =1

λ(II.54)

Halveringstiden T1/2 ar den tid under vilken mangden karnor har sonderfallit med halften:

N0

2= N0e

−λT1/2

detta ger

T1/2 =ln 2

λ= τ ln 2 (II.55)


Sonderfallshastigheten dNdt

ar detsamma som det radioaktiva amnets aktivitet A. I analogi

med ekvationerna ovan kan vi skriva

A =dN

dt= −λN = λN0e

−λt = A0e−λt (II.56)

dar A0 anger aktiviteten vid begynnelseogonblicket t = 0.

Enheten for aktivitet ar 1 becquerel (Bq) = 1 sonderfall/sekund. 1 Bq ar aktivitetens enhet

i SI-systemet. En aldre enhet ar 1 curie (Ci) = 3,7 ·1010 sonderfall/sekund. 1 gram radium

har aktiviteten 1 Ci. Stralningskallor, som anvands i laboratoriet for kalibreringsandamal har

aktiviteten av storleksordningen µCi.

Figur II.31 visar forloppet i ett kopplat sonderfall, dar karnan X1 sonderfaller till karnan X2

med sonderfallskonstanten λ12 och karnan X2 i sin tur till karnan X3 med sonderfallskonstan-

ten λ23. Sonderfallets forlopp, som det visas i figuren, kan harledas fran grundekvationerna

dN1

dt= −λ12N1

dN2

dt= λ12N1 − λ23N2

dN3

dt= λ23N2.

Antalet karnor N2 = N3 = 0, da t = 0. Vid denna tidpunkt ar N1 = N0. Fran detta

utgangsvillkor fas N1 + N2 + N3 = N0.

Figur II.31: Resultatet av en berakning av det kopplade sonderfallet X1 → X2 → X3

Uppgifter

[1] 23290 Th sonderfaller till 228

88 Ra genom α-sonderfall. Man observerar att ett 1,0 g mycket

tunnt folium av 23290 Th emitterar α-partiklar med hastigheten 4100 st/s. Anvand denna

information for att visa att halveringstiden T1/2 for 23290 Th ar 1, 4 · 1010 a.

II.17. α-SONDERFALL 45

[2] 20882 Pb ar den stabila slutkarnan i den radioaktiva serie som har 232

90 Th som moderkarna.

Halveringstiden for 23290 Th ar 1, 4 · 1010 ar. Ett mineralprov som innehaller 1 kg 232

90 Th

innehaller ocksa 200g 20882 Pb.

a.) Berakna provets alder med antagandet att allt 20882 Pb kommit fran sonderfallet av

23290 Th.

b.) Totalt sex α-partiklar upptrader i den radioaktiva seriens sonderfall. Uppskatta hur

mycket helium som har bildats under den totala sonderfallstiden, da vi antar att alla

α-partiklar har stannat i materialet.

c.) Den forsta dotterkarnan i sonderfallsserien ar 228RaRa, som sonderfaller med halve-

ringstiden 5,7 ar till 22889 Ac. Berakna hur mycket 228

88 Ra som finns i mineralprovet.

II.17 α-sonderfall

α-sonderfallet har lange varit kant. Det upptradde i Bequerels forsta matningar och det

anvandes av Rutherford, da han gjorde sina forsta matningar, i vilka atomkarnan obser-

verades. α-partiklarna i de naturliga sonderfallsserierna har energier i intervallet 4 till 9 MeV.

α-partiklarna kan detekteras med en magnetisk spektrometer (laddad partikels avlankning

i ett magnetfalt) eller med halvledardetektorer. Detektorerna maste ha ett tunnt fonster,

emedan den tunga partikeln snabbt bromsas upp i ett material. En 6 MeV α-partikel har

rackvidden 5 cm i luft och 0,05 mm i aluminium.

Det finns ett direkt samband mellan α-sonderfallets energi och dess halveringstid. Som exem-

pel kan vi namna α-sonderfallen for extremfallen 232Th, som har halveringstiden 1,4 ·1010 ar

och α-energin 4,01 MeV samt 212Po, som har halveringstiden 3, 0 · 10−7 s och α-energin 8,78

MeV. Da man avsatter logaritmen av T1/2 som funktion av α-energin for olika isotoper fas

att punkterna ligger pa mycket jamna kurvor. Detta kallas for Geiger-Nuttals regel.

Man kan pa ett mycket enkelt satt harleda sambandet mellan α-partikelns energi och den i

reaktionen tillgangliga energin, Q-vardet. Vi studerar sonderfallet

α : AZX → A−4

Z−2Y+ 42He (II.57)

Vi antar att karnan ar i vila fran borjan. Efter sonderfallet ror sig dotterkarnan och α-partikeln

at motsatta hall. Energibalansen ger

MXc2 =MY c

2 +KY +Mαc2 +Kα

Vi adderar Z elektronmassor for att komma over till atommassor:

M(AX)c2 = [M(A−4Y) +M(4He)]c2 +KY +Kα


dar vi betecknar

Q = [M(AX)−M(A−4Y)−M(4He)]c2 (II.58)

som kallas processens Q-varde (For att ett naturligt sonderfall skall aga rum maste Q vara

storre an noll). Vi far

Q = KY +Kα =p2Y2MY

+p2α2Mα

=p2

2Mα

(1 +

Mα

My

)= Kα

(1 +

Mα

MY

)

α-partikelns energi beror alltsa bara av modernuklidens och dotternuklidens massor. Detta

betyder att α-partikeln alltid har samma energi for samma sonderfall. Den sags vara monoe-

nergetisk. Dess energispektrum (som registreras med en detektor) ar ett linjespektrum.

α-sonderfallet kan forklaras med tunneleffekten. Vi kan som exempel pa α-sonderfall valja

sonderfallet av 238U. De α-partiklar som kommer ut ur uran har kinetiska energin 4,2 MeV,

medan Coulombvallen ar over 20 MeV. Om vi med P betecknar sannolikheten for att en

α-partikel, som har bildats i karnan, skall komma ut och later denna partikel kollidera med

frekvensen ω mot Coulombvallen fas sonderfallskonstanten som

λ = ω · P.

Den kanda sonderfallskonstanten for 238U anger att α-partikeln maste gora 1038 forsok innan

den lacker ut. Detta betyder 1010 forsok per sekund under 109 ar. Forklaringen till att man

kan observera α-sonderfallet ar, att det finns sa otroligt manga karnor (jfr med Avogadros

tal).

Tunneleffekten finns beskriven i den allmanna kvantmekaniken. Vid en losning av Schroding-

erekvationen beraknar man amplituden for den del av vagen, som genomtranger barriaren.

Transmissionssannolikheten ar beroende av den kvadrerade amplituden och den ledande ter-

men i denna ar ett exponentuttryck

P = exp(−2a

~√2m(V0 − E)

dar V0 ar potentialstegets hojd, a dess bredd och m och E ar α-partikelns massa och energi.

Innan man jamfor experimentellt uppmatta livslangder med den teoretiska α-sonderfalls-

konstanten, maste man overtyga sig om att ifragavarande niva inte sonderfaller aven pa annat

satt, t.ex. via β-sonderfall. Dessutom maste man kanna till de relativa α-intensiteterna. Vi har

tidigare poangterat, att α-partikeln har en bestamd energi, men sonderfallet behover inte ga

till dotterkarnans grundtillstand. I sjalva verket ar det mycket vanligt, att man har ett grenat

II.17. α-SONDERFALL 47

sonderfall, sa, att forutom grundtillstandet, aven ett antal exciterade tillstand i dotterkarnan

populeras.

Den storhet som vanligen mats ar karntillstandets livslangd, dvs. λtot. Om λ far representera

andra mojliga sonderfall utover α-sonderfallet, fas

λtot = λ+ Σλαi (II.59)

dar λαi ar sonderfallskonstanten for den enskilda α-sonderfallskanalen i.

Matning av α-spektra ar till god hjalp vid kartlaggning av vissa karnors nivascheman. Om

sonderfallet ar grenat som i Figur II.32 kan man via de uppmatta α-energierna bestamma

Qα1 och Qα2 for energiskillnaden mellan energinivaerna i moder- och dotterkarnorna. Bestams

dessutom γ-energin i sonderfallet, kan man utnyttja sambandet

Qα1 = Qα2 + Eγ

om vi med α1 avser sonderfallet till grundtillstandet och med α2 avser sonderfallet till den

exciterade nivan.

Figur II.32: 232Th:s sonderfallsschema och α-partikelspektrum. De visade α och γ-energiernaar i MeV.

Uppgifter

[1] 223Ra ar en α-stralare. Man har dock iaktagit att det finns en liten sannolikhet for

karnan att emittera 13C-karnor. De tva sonderfallskanalerna ar da 223Ra →219Rn +4He

och 223Ra →209Rn +14C, dar α-dominerar med en faktor 109. Berakna energin for de

emitterade fragmenten i de bada fallen. Berakna aven Coulombbarriarens hojd for var-

dera reaktionen. M(208)Pb = 208,981080u och M(219)Rn = 219,009485u.


II.18 β-sonderfall och svag vaxelverkan

Da karnor, som artificielt produceras, eller karnor i en radioaktiv sonderfallsserie bildas, ar

det ofta for dem energetiskt fordelaktigt att andra Z-vardet, medan masstalet halls konstant.

Detta ar β-sonderfall. Experimentellt uppmatta β-spektra visar att de i motsats till α-spektra

ar kontinuerliga. Detta betyder att for en given modernuklid kan man fa vilka energier som

helst hos produktpartiklarna β− (=elektron) eller β+ (= positron) och dotternukliden — inom

ramarna for energins konservering, naturligtvis. Av detta drog man i radioaktivitetsstudiernas

borjan slutsatsen att atminstone tre partiklar ar inblandade i sonderfallet. Da man bara

kunde se tva partiklar postulerade E. Fermi och W. Pauli i borjan av 1930-talet att den

tredje partikeln ar en neutral partikel (neutrinon). Enligt den nuvarande konventionen har

partiklarna en antipartikel och vid ett sonderfall bor partikeltalet bevaras.

Vid β−-sonderfall blir en neutron till en proton och en elektron samt en antineutrino, enligt

(emedan elektronen ar en partikel bor neutrinon i detta fall vara en antineutrino for att

partikeltalet skall bevaras)

β− : AZX → A

Z+1Y+ e− + ν (II.60)

n→ p+ e− + ν (II.61)

Vid β+-sonderfall blir en proton till en neutron och en positron och en neutrino, enligt (i detta

fall ar positronen elektronens antipartikel och samtidigt med positronen upptrader neutrinon)

β+ : AZX → A

Z−1Y+ e+ + ν (II.62)

p→ n+ e+ + ν (II.63)

β-partiklarnas de Broglie-vaglangd ar sa lang, att de inte ryms i karnan, utan produceras i

sonderfallsogonblicket. β-sonderfallet regleras av svag vaxelverkan.

I partikelfysiken definieras nukleonerna som baryoner och elektronerna som leptoner. Bary-

ontalet B (B = +1 for baryoner, B = −1 for antibaryoner och B = 0 for ickebaryoner) och

leptontalet L (analogt som ovan) bevaras i en process. Enligt detta bor neutrinon vara en lep-

ton, eller beslaktad med elektronen. Neutriner observeras i regel inte i sonderfallet, eftersom

de vaxelverkar mycket svagt med materie.

Neutrinerna observerades for forsta gangen ar 1956 av F. Reines och C. L. Cowan, som place-

rade en stor scintillationsdetektor i narheten av en hogeffektiv reaktor. Neutrinon observerades

i processen

ν + p = n+ e+.

II.18. β-SONDERFALL OCH SVAG VAXELVERKAN 49

Ett stort antineutrinoflode produceras i reaktorn vid sonderfallet av β-aktiva fissionsfrag-

ment. I experimentet observeras en samtidig produktion av neutroner, som identifieras via

neutroninfangningsreaktioner, och positroner, som registreras via sin annihilationsstralning.

Sonderfalssenergin for β−-sonderfallet ar

Qβ− = [m(AZX)−m(AZ+1Y)−m(β−)]c2 (II.64)

dar massan m ar karnmassan. Da karnans laddning i processen okar med en enhet, kom-

mer ytterligare en banelektron att bindas till den nya karnan. Denna elektron tas fran den

omgivande miljon (se Figur II.33) och vi kan skriva Q-vardet som

Qβ− = [M(AZX)−M(AZ+1Y)]c2 (II.65)

dar massorna M ar atommassor.

Figur II.33: Skiss for β− och β+-sonderfall.

β+-sonderfall sker endast i artificiellt producerade karnor med neutronunderskott. I detta fall

minskar karnans laddning med en enhet och en banelektron frigors (Figur II.33). Massvillkoret

blir, emedan elektronen och positronen har samma massa,

M(AZX) > M(AZ−1Y) + 2me

vilket ger reaktionens Q-varde som

Qβ+ = [M(AZX)−M(AZ−1Y)− 2me)]c2 (II.66)

Med β+-sonderfallet tavlar elektroninfangning (EC = electron capture), vid vilken en bane-

lektron fangas in av karnan. Denna process kan skrivas som


p+ e− → n+ ν.

Vid elektroninfangningen kan man observera den rontgenstralning, som emitteras da vakansen

i elektronskalet fylls ut av en elektron, som ligger langre ut i elektronskalet. Stralningens

energi ges av skillnaden i bindningsenergi. Vid EC minskar bade karnladdningen och antalet

banelektroner med en enhet. Massvilkoret blir

M(AZX) > M(AZ−1Y) +Ex

c2

som ger Q-vardet

QEC =[M(AZX)−M(AZ−1Y)

]c2 − Ex (II.67)

dar Ex ar bindningsenergin i X-skalet. X svarar alltsa mot K, L, M, N, ... Sannolikheten for

infangning av en K-elektron ar i de flesta fall en storleksordning storre an infangning av en

L-elektron, vilket ar naturligt da K-elektronen ligger narmare atomkarnan.

Figur II.34: Pa varandra foljande β-sonderfall i A = 99 isobarer.

I β-sonderfallet bevaras liksom i alla fysikaliska processer bade energin och rorelsemangden.

Da bade neutronen, protonen och β-partikeln ar fermioner med halvtaligt spinn, maste aven

II.18. β-SONDERFALL OCH SVAG VAXELVERKAN 51

neutrinon ha halvtaligt spinn. I β-sonderfall fran i naturen forekommande karnor (β−-sonder-

fall) maste neutrinon vara en antineutrino, for att partikeltalet i reaktionen skall bevaras.

Det uppmatta β-spektret kraver inte att neutrinons massa skall vara noll, men neutrinons

eventuella massa kan i princip bestammas fran energispektrets andpunktsenergi. Tidigare

matningar visade att neutrinons massa ar noll, men noggrannare matningar har visat att

neutrinon kan ha en massa pa nagra fa elektronvolt. Bestamningen av neutrinons massa ar

fortfarnade foremal for experiment med hog prioritet.

Neutrinons massa ingar i det uttryck man kan harleda for β-spektrumets form. Den forsta som

lyckades harleda ett uttryck for β-spektrums form var Enrico Fermi ar 1934. Han utgick fran

uttrycket for sonderfallssannolikheten for stralningsovergangar i exciterade atomer. Genom

att tillampa tidsberoende storningsrakning kan ett generellt uttryck for sonderfallskonstanten

harledas.

Figur II.35: Elektronens rorelsemangdsfordelning i ett β-spektrum, dar Coulombkorrektioneninte ar gjord (indikeras med Z = 0). Da Fermifaktorn F(E,Z) infors i fordelningen fas destrackade kurvorna. Kurvans form vid andpunktsenergin ar beroende av neutrinons massasasom visas i den infallda delen.

Sonderfallskonstanten kan definieras som

λ =2π

~||Mif ||2

dn

dE

dar dn/dE anger tillstandstatheten och matriselementet Mif ar ett matt pa vaxelverkan

mellan sluttillstandet (f) och initialtillstandet (i):

Mif =

∫ψ∗fOopψidτ (II.68)

Vagfunktionerna ψf och ψi ar sammansatta, d.v.s. de inbegriper atomkarnan och leptonparet.

Man kan harleda

λ =

∫dλ = ||Mif ||2

g

2π3~7c3f(Emax, Z) (II.69)


dar

f(Emax, Z) =

∫ pmax

0

F (E,Z)p2(Emax − Emin)2dp

p ar rorelsemangden, E den kinetiska energin, g anger styrkan pa den vaxelverkan som orsakar

sonderfallet och F (E,Z) ar en korrektionsfaktor, Fermifaktorn, som beaktar Coulombvaxel-

verkan (se Figur II.35).

Vi ser att sonderfallskonstanten λ (sonderfallssannolikheten) ar beroende av reaktionens rorel-

semangd och energi. I omradet, dar β-partikelns energi ar som storst och neutrinons energi

som minst, dvs. vid β-spektrums andpunktsenergi, ar spektrets form (se Figur II.35) som

kansligast for neutrinons massa. Man kan aven se detta ur uttrycket for neutrinons rorel-

semangd. Vi anvander den relativistiska ekvationen E2ν = c2p2ν +m2

νc4. som for neutrionons

rorelsemangd ger

pν =

√E2

ν −m2νc

4

c

I detta uttryck kommer massan mν att ha betydelse, da Eν ar liten.

Uttrycket for sonderfallskonstanten kan skrivas om till

1

T1/2= konstant · ||Mif ||2f(Emax, Z) (II.70)

eller

f(Emax, Z)T1/2 =konstant

||Mif ||2

Vi tar den naturliga logaritmen av bada leden:

log(fT1/2) = konstant− log ||Mif ||2 (II.71)

β-sonderfallen klassificeras enligt sina log(fT1/2)-varden.2 Grovt klassas overgangar dar lep-

tonparet emitteras med ` = 0, som tillatna. Alla andra overgangar ar forbjudna. Enligt

log(fT1/2)-vardena klassas overgangar med log(fT1/2) 3-4 som supertillatna, de med varden i

intervallet 4-6 som tillatna, de med vardena i omradet 6-8 som forbjudna overgangar av forsta

graden, sedan forbjudna av andra graden osv.

log(fT1/2)-vardena ger information om skillnaden i rorelsemangdsmoment mellan karnans

begynnelse- och sluttillstand. Som vi namnde tidigare andras inte nukleonens orbital (l-vardet

2ln har i formlerna skrivits log, av traditionella skal.

II.19. γ-SONDERFALL 53

bibehalls) i den tillatna overgangen. Da elektronen (positronen) och antineutrinon (neutrinon)

ar fermioner med spinnet s = 1/2 kan man bilda singlett- och triplettillstand for leptonparet.

Sonderfall dar totalspinnet ar s = 0 kallas for Fermi-overgangar och dar totalspinnet ar s = 1

kallas for Gamow-Teller-overgangar.

Uppgifter

[1] Analysera de nedan uppraknade β-sonderfallen med avseende a tillatet, forbjudet o.s.v.

samt Fermi- och Gamow-Teller overgangar.

a.) 62He(0, jamn) →6

3 Li(1, jamn)

b.) 104 Be(0, jamn) →10

5 B(3, jamn)

c.) 3516S(

32, jamn) →35

17 Cl(32, jamn)

d.) 9139Y(

12, udda) →91

40 Zr(52, jamn).

[2] Massorna for de nedan uppraknade A = 64 isobarerna ar

6427Co

6428Ni

6429Cu

6430Zn

6431Ga

63,935812u 63,927968u 63,929766u 63,929146u 63,936827u

Tabell II.1: Tabellen raknar upp massorna for A = 64 isobarerna

Identifiera varje mojlig β-process i systemet och berakna processens Q-varde.

II.19 γ-sonderfall

Figur II.36: Sonderfall av 6027Co.


Karnan avger sin overskottsenergi i form av γ-stralning, da den overgar fran ett exciterat till-

stand till ett annat eller till grundtillstandet (se Figur II.36). I sonderfallsprocessen, som kan

beskrivas som en elektromagnetisk vaxelverkan, sander den exciterade karnan ut hogenerge-

tisk, elektromagnetisk stralning eller γ-stralning. Egentligen finns det manga konkurrerande

sonderfallskanaler for den exciterade karnan. Den kan t.ex. sanda ut partiklar. Tunga karnor

sander ofta ut α-partiklar. γ-stralningen konkurrerar aven med inre konversion (IC). Har

flyttas excitationsenergin over pa en elektron i elektronholjet.

γ-stralningen kan med hog precision registreras med kristallspektrometrar, men de vanligaste

matinstrumenten for γ-stralning ar scintillations- och halvledardetektorer. Karnan far vid

γ-sonderfallet en rekylenergi, som i regel ar sa liten att den kan forsummas. γ-stralningens

energi kan da anses vara lika med energiskillnaden mellan de exciterade nivaerna i karnan,

mellan vilka overgangen gar.

Fotonen bar rorelsemangdsmonentet 1~. Forutom detta kan fotonen ta med sig ett rorel-

semangdsmoment relativt karnans tyngdpunkt. Da det emellertid ar relativt omojligt att

mata fotonens banrorelsemangdsmoment i forhallande till den karna i vilken den bildats, ar

det praktiskt att betrakta det totala rorelsemangdsmomentet j.

Da spinnen eller rorelsemangdsmomenten for karnans utgangs och sluttillstand betecknas med

Ii och If fas enligt kvantmekaniken att j kan anta alla heltalsvarden mellan

Ii − If ≤ j ≤ Ii + If (II.72)

Overgangar an alltsa ske mellan olika j-varden. Enligt j-vardet har stralningen en viss mul-

tipolordning. I regel ar den multipolovergang med det lagsta j-vardet den mest sannolika.

<

E

I

I

i

f

γ

Figur II.37: En ovegang mellan initialtillstandet Ii och sluttillstandet If .

Beroende pa kvanttalet j klassificeras stralningen enligt foljande

j = 1 dipolstralning

j = 2 kvadrupolstralning

j = 3 oktupolstralning

j = n 2n-stralning.

Pariteten π ar en rorelsekonstant vid stark och elektromagnetisk vaxelverkan. Vid ett sonder-

fall i→ f galler

II.19. γ-SONDERFALL 55

πi = πf · πγ.

Beroende pa ursprunget till den storande energi som initierar γ-sonderfallet kan stralningen

delas upp i elektrisk och magnetisk. Pariteten har betydelse for denna uppdelning enligt

foljande

πγ = (−1)j −→ elektrisk stralning.

πγ = (−1)j−1 −→ magnetisk stralning.

Sonderfallskonstanten for karnans utsandande av elektromagnetisk energi kan harledas med

klassisk teori. Det visar sig att sonderfallskonstanten λ kan skrivas som en serie termer, vilkas

styrka avtar som funktion av avstandet r fran karnan pa samma satt som potentialen fran en

statisk elektrisk dipol. Enligt ekvation (II.72) kan vi skriva denna serie som en blandning av

de olika multipolerna

λ = λ1(E1) + λ2(E2) + ....λj(Ej) + λ1(M1) + λ2(M2) + ....λj(Mj)

Den vasentliga skillnaden mellan E- och M -termerna ar pariteten. For samma j-varde har

elektrisk (E) och magnetisk (M) stralning olika paritet och kan darfor med hanvisning till

paritetens bevarande inte blandas. Den elektriska dipolstralningen far sitt vasentliga bidrag

fran den elektriska laddningsfordelningen i karnan, medan den magnetiska dipolstralningen

far sitt bidrag fran nukleonernas magnetiska moment.

I tabellen nedan visas de olika stralningstyperna samt den beraknade livstiden for des-

sa. De angivna livstidsgranserna harror framst fran stralningens energiberoende. Multi-

polstralningens sannolikhet andrar namligen radikalt med fotonenergin enligt

λ ∼ E2j+1γ (II.73)

Typiska j-overgangar i karnan ar pa nagra hundra keV och for dessa ar E2- och M1-

overgangarna ungefar lika sannolika.

Om overgangen tar lang tid sager man att den ar isomer och det exciterade tillstandet isomert.

Gransen ar diffus, men man kan dra den vid livstiden τ = 10−9 . . . 10−8 s.

Vi namnde tidigare om att med γ-overgangarna tavlar inre konversion (IC). Den inre konver-

sionen ar en process, dar den vid overgangen disponibla energi overfors till en bunden elektron.

Elektronen far i denna process en diskret energi och processen skiljer sig fran β-sonderfallet,

dar de emitterade elektronerna skapas i β-sonderfallsprocessen, och har en kontinuerlig ener-

gifordelning upp till ett visst maximalt varde (reaktionens Q-varde), samt elektronkonversio-

nen (EC), som tavlar med β+-sonderfallet.


Stralningstyp Beteck- ∆i Paritets- Livstid (s)ning andring

elektrisk dipol E1 ±1, 0 ja 10−16 − 10−14

magnetisk dipol M1 ±1, 0 nej 10−14 − 10−12

elektrisk kvadrupol E2 ±2,±1, 0 nej 10−11 − 10−8

magnetisk kvadrupol M2 ±2,±1, 0 ja 10−9 − 10−6

elektrisk oktupol E3 ±3,±2,±1, 0 ja 10−6 − 10−2

magnetisk oktupol M3 ±3,±2,±1, 0 nej 10−4 − 101

Tabell II.2: Multipolovergangar i karnan.

Emedan den inre konversionen tavlar med γ-sonderfallet kan den observerade sonderfallskon-

stanten skrivas som

λobs = λγ + λK + λL + ....

dar K anger konversion i K-skalet, L i L-skalet, osv. For λγ fas

λγ =λobs

1 + λK

γ+ λL

λγ+ ...

(II.74)

En intressant storhet i detta sammanhang ar den sk. inre konversionskoefficienten, som defi-

nieras som

ε(i) =Pe(i)

Pγ

(II.75)

dar Pe(i) ar sannolikheten for emission av en banelektron fran skal i (i = K, L, M, ...) och

Pγ ar sannolikheten for emission av en foton. Emedan sannolikheten for γ-emission okar

med energin. Inre konversion har storre betydelse vid lagenergetiska overgangar. Den ener-

gi som konversionselektronen far ar karnans overgangsenergi minskad med bindningsenergin

Ex for elektronen i x-skalet. Konversionskoefficienterna ger information om stralningens mul-

tipolaritet. Om en av de inblandade karnnivaernas rorelsemangdsmoment ar kant kan den

andra nivans rorelsemangdsmoment bestammas, da stralningens multipolaritet ar kand via

γ-sonderfallet eller den inre konversionen.

Konversionskoefficienterna bestams i regel experimentellt som relativa konversionskoefficien-

ter, dar man jamfor ytorna mellan de olika konversionselektronstopparna i elektronspektret.

En jamforelse med de teoretiska konversionskoefficienterna ger information om stralningens

multiplicitet.

II.20. RESONANSSTRALNING 57

II.20 Resonansstralning

Vi har tillsvidare inte beaktat rekylenergin vid γ-sonderfall. Rekylenergin har dock en bety-

delse, da man skall bestamma en energinivas livstid. Livstider langre an 10−8 s kan matas

direkt via det avklingande sonderfallet. Kortare livstider mats indirekt via dopplerforskjut-

ning eller nagon liknande metod. Osakerhetsrelationen anger sambandet mellan energinivans

bredd Γ och livstiden τ som

Γ · τ ≈ ~. (II.76)

En typisk livstid for en E1-overgang ar 10−16 s. Detta ger en bredd pa ungefar 10 eV. Man kan

bestamma en energinivas bredd via stralningens absorption och emission. Da en inkommande

foton har samma energi som energiskillnaden mellan tva nivaer uppstar resonans. Rekyle-

nergierna inverkar dock sa, att den absorberade och emitterade energin nagot skiljer sig fran

energiskillnaden mellan nivaerna. Vid overgangen X∗ → X + γ galler

E∗ = E + εe +p2

2M

dar p = pX = pγ = εe/c = ∆E/c da ∆E = E∗ − E. εe betecknar den emitterade energin. Se

Figur II.38. Insattning och ommoblering ger for emission

εe = ∆E − (∆E)2

2Mc2= ∆E −K, (II.77)

dar vi betecknar rekylenergitermen (∆E)2

2Mc2med K. Fotonens energi εe ar alltsa mindre an

energiskillnaden ∆E mellan karnans energinivaer. Rekylenergin ar i regel liten och den kan

t.ex. for 1,064 MeV overgangen i 207Pb beraknas till

(∆E)2

2Mc2≈ (1,64)2

2·207·938 MeV = 2,9 eV.

Vid absorption av γ-stralning galler

εa = ∆E +K (II.78)

Da fotonen observeras i ett spektrum ser man inte en linje utan en puckel med en viss bredd.

Bredden ar beroende av den experimentella upplosningsformagan samt av nivans naturliga

bredd. Om vi under ett andligt tidsintervall skulle observera en vass pik (erhalla en exakt

energi for tillstandet) sa skulle det bryta mot osakerhetsprincipen.

De bada pucklarna i Figur II.39 maste overlappa for att resonans skall intraffa. Nu kan man

forstarka resonansen genom att satta emittern i rorelse. Om emittern ror sig mot absorbatorn


Figur II.38: En energiovergang mellan tillstanden E∗ och E.

Figur II.39: Energidistributionen for fotoner, som emitteras och absorberas. Topparna har ennaturlig bredd Γ och flyttas till vardera sidan om ∆E beroende pa rekylen.

kan man via dopplerforskjutningen kompensera for rekylenergin. En division med ∆E− (∆E)2

2Mc2

i ekv. II.77 ger εe

∆E− (∆E)2

2Mc2

= 1. En insattning av detta uttryck i II.78 ger

εa = ∆E +(∆E)2

2Mc2

= (∆E +(∆E)2

2Mc2)

εe

∆E − (∆E)2

2Mc2

= εe1 + ∆E

2Mc2

1− ∆E2Mc2

≈ εe(1 +∆E

Mc2) (II.79)

Dopplereffekten ger en frekvensandring med transformationsfaktorn√

c+uc−u

, da emittern ror

sig med hastigheten u mot absorbatorn. Denna relation kan tillampas pa foftonenergierna εe

och εa som ger

II.21. KARNREAKTIONER OCH KARNSTRUKTUREN 59

εa = εe

√c+ u

c− u= εe

c+ u√c2 − u2

≈ εe(1 +u

c).

Dopplereffekten kan alltsa kompensera for rekylen da emitterns hastigheten uppfyller villkoret

u =∆E

Mc(II.80)

Resonansvillkoret kan aven uppfyllas i den sk. Mossbauereffekten, vilket betyder att rekylen

effektivt elimineras da karnan via atomen ar bunden i det fasta tillstandet. Da bade emitterns

och absorbatorns rekyl tas upp av ett kristallgitter blir massan M i ekvationerna (II.77) och

(II.78) mycket stor och

(∆E)2

2Mc2≈ 0

Av detta foljer genast

εe = εa

Uppgifter

[1] Da en strale av α-partiklar traffar en 9Be-target ses en resonans vid energin 1,732

MeV. Berakna energin for motsvarande excitationstillstand i compoundkarnan. Sam-

ma resonanstillstand fas da neutroner kolliderar med en 12C-karna. Vilken energi skall

neutronerna ha?

II.21 Karnreaktioner och karnstrukturen

Karnans struktur studeras via observation av karnans excitationer och karntransformationer.

Detta kan goras med tillhjalp av det radioaktiva sonderfallet, som vi tidigare beskrivit, men

olika karnreaktioner ar aven effektiva hjalpmedel. I en karnreaktion bombarderas karnan med

en partikel. Oftast anvander man laddade partiklar som far sin hastighet i en accelerator

(linjar accelerator, Van de Graaff-accelerator, cyklotron, synkrotron osv.).

Manga olika typer av reaktioner ar mojliga, da en projektil traffar en malkarna. Da projektilen

ar en laddad partikel kan vaxelverkan ske bade genom Coulomb- och stark vaxelverkan. For

att projektilen skall komma inom karnkraftens rackvidd, maste den forst overvinna Coulomb-

barriaren. Vi kan omnamna nagra typer av reaktioner.

1. Elastisk spridning. Ingen inre excitation ager rum i malkarnan eller projektilen, men pro-

jektilen kan andra kinetisk energi och riktning samtidigt som den tillfor malkarnan kinetisk

energi.


2. Oelastisk spridning. Projektilen andrar energi och riktning samt tillfor karnan excitations-

energi.

3. Overforingsreaktioner. Nukleoner kan overforas mellan projektil och malkarna eller projek-

tilen kan helt infangas av malkarnan. Som en foljd av infangningsreaktionen far karnan sa hog

excitationsenergi, att den forutom fotoner och nukleoner aven kan sanda ut delar av karnan.

4. Hogenergireaktioner. Vid riktigt hoga projektilenergier kan en del av den kinetiska energin

omsattas till skapandet av nya partiklar.

En karnreaktion kan allmant betecknas

X(x, y)Y (II.81)

dar x ar den inkommande partikeln och y den emitterade. Givetvis kan aven olika partiklar

emitteras samtidigt. Vid elastisk spridning ar x och y samt X och Y identiska. Reaktionens

Q-varde ar

Q = [MX +Mx −MY −My]c2 (II.82)

Q = 0 for elastisk spridning.

Vid laga projektilenergier upptrader ett resonansfenomen. Projektilen tranger in i karnan och

avger sin energi till denna. Det bildade systemets energi sammanfaller med en naturlig ener-

giniva i den bildade karnan. Man talar om en exciterad compound-karna. Denna sonderfaller

till dotterkarnan Y enligt

x+X → (x+X)∗ → Y + y. (II.83)

Figur II.40: Utbyteskurvor for karnreaktionen X(α, xn)Y .

Vid hoga projektilenergier ligger resonanserna sa tatt att man inte kan skilja dem fran varand-

ra. I Figur II.40 visas utbyteskurvan for en reaktion, dar x stycken neutroner emitteras vid

bombardering av en malkarna med α-partiklar.

II.21. KARNREAKTIONER OCH KARNSTRUKTUREN 61

Handelserna i reaktionen x + X → Y + y kan beskrivas med den kvantmekaniska variabeln

χ(Y y, xX) sa att |χ|2 anger handelsens sannolikhet. Da man beraknar χ maste man gora

detta for en specifik reaktion. For var allmanna reaktion kan vi saga att χ beror av stralens

energi Kx och vinkeln θ i vilken partikeln y emitteras. Man kommer at χ via reaktionens

tvarsnitt dσ, som experimentellt kan definieras som

dσ =y − partiklar detekterade i rymdvinkeln dΩ/tid

x− partiklar som traffar X/yta · tid. (II.84)

Vi kan nu skriva ut det differentiella tvarsnittet for reaktionen som

dσ

dΩ(Y y, xX) = |χ(Y y, xX)|2. (II.85)

Det totala tvarsnittet beraknas som

σ = σ(Y y, xX) =

∫dσ

dΩ(Y y, xX)dΩ. (II.86)

Tvarsnittet representerar den effektiva arean som karnan visar upp mot partikelstralen le-

dande till sluttillstandet Y y.

Vi har tidigare omnamnt att projektilen och malkarnan i en lagenergireaktion kan bilda ett

resonanstillstand. Enligt osakerhetsrelationen har detta en livstid τ och bredd Γ som uppfyller

villkoret

Γτ ≈ ~.

Resonansen ses som en topp i reaktionens utbyteskurva. Uppmater man toppens bredd kan

resonanstillstandets livstid bestammas. Vi kan uppskatta att denna livstid ligger i ett intervall

som begransas av E1-sonderfallstiden ∼ 10−16 s och transporttiden genom karnan ∼ 10−22 s.

I Figur II.41 visas hur resonans uppstar da 28Si-compoundkarnan bildas i tva olika reaktioner.

Formalismen for resonansreaktionerna utvecklades av E. P. Wigner och G. Breit. Vi gar inte

igenom harledningen av reaktionstvarsnittet, men ger den kanda Breit-Wigner-formeln for

detta

σ = σ(Y y, xX) = σ0(W )ΓyΓx

(W −∆E)2 + (Γ/2)2,

dar σ0(W ) = π[ λ2π]2 ar en energioberoende yta. W ar en energiterm som ar beroende av

reaktionsmekanismen och W = ∆E = resonansenergin. Reaktionstvarsnittet σ far sitt maxi-

mivarde da W = ∆E. Parametern Γ ar densamma som resonanstoppens bredd. Γx och Γy ar

den partiella bredden for tillstanden Xx och Y y. Den totala bredden Γ utgor summan av alla


Figur II.41: Excitation av energinivaer i 28Si via reaktionerna 27Al + p och 24Mg + α.

tillstand som bygger upp resonanstillstandet. I ett experiment inkluderar denna bredd aven

den instrumentella bredden, dvs. experimentella matnoggranheten.

II.22 Fission

Fissionen upptacktes i slutet av 1930-talet. 1939 gav L. Meitner och U. R. Frisch en teoretisk

forklaring till fissionsprocessen. Senare deltog aven N. Bohr i det teoretiska arbetet.

Man utgar fran en vatskedroppsmodell for karnan. Da den naturliga deformationen stors och

forstarks av en neutron som absorberas, brister karnan (se Figur II.42). I processen bildas

aven fria neutroner, emedan de tyngre karnorna har relativt fler neutroner i forhallande till

protonerna an latta karnor. Fissionen ar inte symmetrisk, utan det bildas tva karnor som ar

olika stora (se Figur II.43). Villkoret for prompt fission bildar enligt berakningar med den

semiempiriska massformeln en linje i N,Z-planet: Z2 = 45A. Detta innebar att alla karnor

med Z ≥ 108 omedelbart sonderfaller genom klyvning. Senare teoretiska berakningar har

visat att vissa skaleffekter kan forekomma och att det finns en mojlighet for forekomsten

av sk. supertunga element, vilka ar stabila mot fission. Trots stora anstrangningar har man

hittills inte lyckats finna sadana element.

Fissionsbarriaren bor aven i samband med fissionen kunna penetreras via tunneleffekten sasom

i α-sonderfallet. Fission via tunneleffekt kallas for spontan fission.

Villkoret for prompt fission kan aven uppfyllas om karnan tillfors energi. Den tunga karnan

maste da tillforas en excitationsenergi, som uppfyller villkoret

Eex ≥ Ea = Vc −Qf

II.22. FISSION 63

Figur II.42: Schematisk bild som visar fissionsprocessens gang utgaende fran karnansformforandring.

dar Vc ar Coulombbarriaren och Qf fissionsenergin, som definieras som

Qf = [utgangskarnans massa - produktkarnornas massor] ·c2.

Den inducerade fissionen kan astadkommas med hjalp av stralar fran en accelerator eller med

neutroner eller fotoner. Vi kan speciellt studera fissionen med langsamma neutroner, vilka

anvands i de verksamma karnreaktorerna.

Figur II.43: Massutbytet som funktion av masstalet vid fission av 235U.

Tvarsnittet for en lagenergikarnreaktion ar omvant proportionellt mot energin, som Breit-

Wigner-formeln aven visar. (For hogenergireaktioner galler inte detta, se Figur II.40. For-

klaringen till detta beteende ar den, att resonanserna gar ihop vid hogre energier.) For ett

litet energi-intervall kan tvarsnittet for en (n, γ)-reaktion skrivas som

σ(n, γ) ∝ Γn

E. Man kan visa att neutronkanalens bredd Γn ∼

√E och da

√E ∝ v fas


σ(n, γ) ∼ 1

v. (II.87)

Vid absorption av en langsam neutron kommer karnan att tillforas en excitationsenergi, som

ar lika med neutronens bindningsenergi (∼ 6−8 MeV). Denna energi racker till for att fora en

tung karna over fissionsbarriaren och det har visat sig att neutronabsorption har en mycket

stor betydelse vid utnyttjandet att fissionsenergin. Fissionen ar dock inte den enda mojliga

reaktionen som uppstar som foljd av en neutronabsorption. Mojliga processer, da en neutron

tranger in i 235U ar

235U+ n→ 236U (exciterad) →

asymmetrisk fission236U+ γ235U+ n235U+ 2n

De i naturen forekommande uranisotoperna ar 238U och 235U. Det kravs en troskelenergi

pa ca. 2 MeV for att en neutron skall astadkomma fission i 238U, medan fission med 235U

sker vid termiska energier (se tvarsnittskurvorna i Figur II.44). Orsaken till skillnaderna i

utbyteskurvorna ar att man vid reaktionen 235U + n → 236U gar fran en jamn-udda-karna

till en jamn-jamn karna, och i reaktionen 238U + n → 239U fran en jamn-jamn-karna till en

jamn-udda-karna. I det forra fallet vinner man 1,2 MeV i parenergi.

Fissionsfragmenten far ett mycket stort neutronoverskott. Detta ar orsaken till att det redan

i fissionsogonblicket avstotes neutroner (∼ 2,5 neutroner per reaktion). Neutronerna kan ge

upphov till nya fissionsreaktioner och pa detta satt uppstar en kedjereaktion. Fissionsneut-

ronernas medelenergi ar 2 MeV.

Naturligt uran innehaller 99,3 % 238U och 0,7 % 235U. Man kan dock utnyttja den ringa

forekomsten av 235U genom att istopen har sa stort tvarsnitt for neutronabsorption vid laga

energier ( 1v-beroendet), vid 20 0C har neutronerna jamviktsenergin 0,025 eV (= termisk ener-

gi). Det ar viktigt att man i en reaktor kan bromsa ner de i fissionen bildade neutronernas

energi till denna. Dennamoderation gors med vatten, som finns i reaktorn. For tillfallet utnytt-

jas bara 235U for energiproduktionen, men reaktorer for utnyttjande av 238U har konstruerats.

Aven plutonium ar ett potentiellt karnbransle.

Ett annat material, som har hogt tvarsnitt for termiska neutroner ar 239Pu, som framstalls

pa foljande satt

238U + n −→ 239U239U −→ 239Np + β− + ν (T1/2 = 23,5 min)239Np −→ 239Pu + β− + ν (T1/2 = 2,35 d)239Pu −→ 235U + α (T1/2 = 24390 ar)

239Pu har framstallts i relativt stora mangder for karnvapenindustrins andamal, men pluto-

nium kan aven komma till anvandning i energiproducerande reaktorer. 239Pu raknas som ett

II.22. FISSION 65

Figur II.44: Fissionstvarsnittet for 235U och 238U som funktion av neutronenergin En.

otrevligt amne pga. att det ar toxiskt och α-aktivt.

Fissionstvarsnitten for termiska neutroner i 235U och 239Pu ar

σf (235U + n) = 590 barn

σf (239Pu+ n) = 729 barn.

Sannolikheten for en symmetrisk fission ar mycket liten (Figur II.43). Da kompoundkarnan236U klyvs enligt

236U −→95Sr + 141Xe −→94Sr + 141Xe + 2n.

frigors 2 neutroner. Antalet frigjorda neutroner beror av produktkarnorna. Medelvardet av

antalet neutroner som frigors ar den sk. ν-faktorn, som i 235U och 239Pu antar vardena

235U : ν = 2, 47

239Pu : ν = 2, 91.

Den frigjorda energin vid fissionen visas i tabell II.22.


Kinetisk energi hos fissionsfragmenten o. dyl. 168 MeVKinetisk energi hos fissionsneutronerna 5 MeVPrompt γ-stralning 7 MeVβ-sonderfallsenergi 8 MeVγ-sonderfallsenergi 6 MeVNeutrinoenergi 12 MeVTotalt 206 MeV

Tabell II.3: Den frigjorda energin vid fission.

Den energi som tekniskt utnyttjas i en reaktor ar den varme som fas, da fissionsfragmenten

och karnpartiklarna bromsas ner i reaktorstavarna.

Uppgifter

[1] Fission av 239Pu med termiska neutroner ger bl.a.

104Mo +133 Te + 3n och 94Sr +143 Ba + 3n.

Berakna den energi som frigors i de bada reaktionerna da massorna for Sr-, Mo-, Te-

och Ba-nukliderna ar 93,91523u, 103,91358u, 132,91097u och 142,92055u.

[2] Visa att den energi som frigors vid fission av uran (185 MeV per atom) ar ekvivalent

med 8, 3 · 1013J/kg. Med vilken hastighet bor uran genomgafission for att effekten 1

MW skall genereras? Hur lang tid tar det att ”branna” 1 kg uran, om produktionen

sker kontinuerligt med 1 MW effekt?

II.23 Syntes av grundamnena

Jordens skapelse

Den djupa fragan om jordens skapelse och materiens uppkomst har lange sysselsatt mansklig-

heten. Religionen har sin forklaring och naturvetenskapen kan komma in och komplettera den

bild som religionen ger. Ett faktum ar att vi inte pa vetenskaplig grund kan forklara hur den

ursprungliga materien och energin skapats, men man arbetar med teorier for detta. Den sk.

kosmologin behandlar de forsta brakdelarna av en sekund, for vart universums fodelse. Vid

denna tidpunkt var temperaturen mycket hog och energierna stora. KOsmologin samarbetar

darfor med partikelfysiken vid utforskandet av universums fodelse. Partikelfysiken studerar

de mest fundamentala partiklarna, de som all materie bestar av.

Med var kunskap om universums uppbyggnad samt atomens och atomkarnans byggstenar

kan man beskriva hur de olika grundamnena mojligen har skapats. Enligt var uppfattning

II.23. SYNTES AV GRUNDAMNENA 67

har grundamnena i universum stegvis syntetiserats forst fran energi och sedan via de lattaste

partiklarna.

Det finns starka indikationer pa att grundamnena syntetiserats fran de enkla bestandsdelarna,

men det finns aven indikationer pa att en skapelseprocess har agt rum inom matbarbar tid.

Vi kan som exempel ta de tyngsta grundamnena uran och thorium. Har dessa bildats via en

langsam syntes av grundamnen eller har de kommit till i en skapelseprocess? Ett motiverat

antagande ar att dessa amnen vid en viss tidpunkt skapats i begransad mangd. De har darefter

borjat sonderfalla enligt den mekanism som reglerar sonderfallet.

235U och 238U har den relativa forekomsten 0,7 % respektive 99,3 %. Om vi antar att istoperna

i skapelseprocessen bildades i lika stora kvantiteter, ar den nuvarande forekomsten ett resultat

av det radioaktiva sonderfallet, i vilket halveringstiderna ar 0,713 ·109 ar respektive 4,51 ·109

ar. Sonderfallslagen ger

N(235U) = N0e−λ(235U)·t

N(238U) = N0e−λ(238U)·t.

Da vi satter in N(235U) = 0, 7N0 och N(238U) = 99, 3N0 for den relativa forekomsten av

isotoperna pa jorden samt N0 lika for de bada istoperna fas t ≈ 6 · 109 ar. Denna berakning

stammer bra overens med andra iakttagelser som ger att jordens alder skulle vara 4,6 miljarder

ar. Vi kan alltsa stalla den valmotiverade fragan: Har uranisotoperna pa jorden skapats vid

en bestamd tidpunkt?

Universum utgor ett enormt forskningslaboratorium. De forsta observationerna om universum

gjordes med blotta ogat. Forskningen tog ett stort steg framat da Galileo Galilei pa 1500-talet

konstruerade kikaren och borjade gora observationer av planeternas rorelse. I dag har vi aven

laboratorier ute i rymden. Karnfysikaliska instrument anvands aven i den moderna astrono-

miska forskningen. Man har pa detta satt kunnat kombinera karn- och partikelfysik med den

traditionella astronomin. Vi har ingen information om hur de ursprungliga karnpartiklarna

skapats, men iaktagelsen om universums expansion ledde till teorin om att vart nuvarande

universum skapats i en stor explosion. Gamow och medarbetare framlade pa 1940-talet teo-

rin om en stor neutronboll som exploderade for manga miljarder ar sedan. Da en fri neutron

sonderfaller enligt

n → p + β− + ν (T1/2 = 12 min)

kan den bildade protonen sedan reagera med en neutron och bilda 21H.

Gamows teori har sedan utvecklats och enligt var nuvarande uppfattning skapades vart nu-

varande universum i den stora smallen (Big Bang). Enligt denna teori var all materie och


energi for 13,7 miljarder ar sedan koncentrerad i ett anda stort klot. Detta smallde och ma-

terien upplostes. Ur energin har sedan vate och andra latta amnen bildats. Med Einsteins

energiekvation kan man pavisa hur massa kan fas ur energi (E = mc2). Da ett vatgasmoln

fortatas bildas en stjarna. I universum hittar man exempel pa stjarnor, som ligger i denna

forsta fas av utvecklingen. Da vatemolnet fortatas och gravitationen formar sammanpressa

vatet tillrackligt kraftigt for att fusionsreaktioner skall kunna starta, borjar himlakroppen

lysa.

Det vanligast forekommande grundamnet i den del av universum som vi kanner till ar vate.

Darfor ar det naturligat att anta att utgangsmaterialet for en nukleonsyntes snarare ar pro-

toner (vatekarnor) an neutroner. Man antar alltsa att materie, elektroner och protoner, har

bildats fran den energi som frigjorts vid den stora smallen. Den forsta materien som bildades

samlades i ett stort roterande vatemoln. Ur detta har sa smaningom mindre delar och galaxer

uppstatt. Vart solsystem hor till Vintergatan, som ar en spiralgalax horande till en grupp av

17 galaxer belagna 40 miljoner ljusar fran narmaste ovriga galaxgrupp. Inom var grupp ar

avstandet fran Vintergatan till narmaste systergalax Andromeda 2 miljoner ljusar. Var galax

liknar Andromeda, som har en centralkropp och flera spiralarmar. Vart solsystem ar belaget

i en av spiralarmarna som vi ser som Vintergatan.

De allmannaste amnena i Vintergatan ar vate (71%) och helium (27%). Genom atom- och

molekylspektroskopiska studier av stralningen fran vart solsystem har man konstaterat de

relativa forekomsterna av grundamnena som visas i tabell II.3:

Grundamne Relativ forekomst(i massa)

Vate: 1H, 2H 0, 71, 10−4

Helium: 4He, 3He 0,27, 6 ·10−5

Li, Be, B 10−8

C, N, O, Ne 1,8 ·10−3

Na → Ti (kiselgruppen) 2 ·10−3

50 ≤ A ≤ 62 (jarngruppen) 2 ·10−4

63 ≤ A ≤ 100 10−6

A > 100 10−7

Tabell II.4: Grundamnenas relativa forekomst i Vintergatan.

Fusion

Fusionen ar av stor praktisk betydelse i kosmologiska sammanhang, emedan fusionen star for

stjarnornas energiproduktion. Fusion intraffar da tva latta karnor forenas till en tyngre. Enligt

bindningsenergikurvan frigors energi vid fusionen. Fusionen ar mojlig, da de fusionerande

karnorna har tillrackligt med energi for att overvinna Coulombarriaren. Man kunde i princip

tanka sig att karnorna aven kan fusioneras via tunneleffekten, men en sadan fusion, kallfusion,

kraver stora floden av de reagerande karnorna och ar darfor av underordnad betydelse. Den


stora forekomsten av vate och helium och den succesivt avtagande forekomsten av tyngre

element i universum talar for att fusionsprocessen har en central betydelse for elementens

uppkomst.

Fusionsprosessen, har aven ett stort intresse i energiproduktionen i jordiska sammanhang.

Man satsar stora summor pa forskingen i fusionskraftverk, men man ligger tillsvidare langt

fran en praktisk losning.

Nukleonsyntes med utgang fran vate

Vate forbranns i solen till helium i en process, den s.k. vatecykeln, som sker i foljande steg:

21H+ 21H → 22H+ 2p+ + 2ν medelreaktionstid 1, 4 · 109 ar21H+ 22H → 23He + 2γ medelreaktionstid 6 s3He + 3He → 4He + 21H medelreaktionstid 9 · 105 ar

Figur II.45: Antalet vatekarnor som funktion av deras energi.

Nettoresultatet ar

41H → 4He + 2β+ + 2ν + 2γ,Q = +28, 4MeV.

Totalt frigors for varje bildad He-karna 28,4 MeV energi vilket skall jamforas med nagra eV

per bildad CO2-molekyl vid konventionell forbranning av kol.

Temperaturen i solens inre ar 1, 5 · 107 K. Detta ger en kinetisk energi pa i medeltal 1, 3 keV

for protonerna. Coulombvallen for 1H+ 1H ar 0,6 MeV, sa 1,3 keV racker inte till. Man maste

dock beakta att 1,3 keV utgor ett medelvarde och att protonerna har en energifordelning,

som aven innehaller en hogenergisvans med energier over 0,6 MeV (Figur II.45). Protonernas

energifordelning ar beroende av faktorn

N(E) ∝ e−EkT (II.88)

dar N(E) ar antalet protoner med energin E.


Pa grund av den lilla andelen av hogenergetiska protoner och pga att aven tunneleffektens bi-

drag till fusionen ar relativt liten ”forbranns” solens vate mycket langsamt. Man har beraknat

att solen har bransle for ytterligare 5 till 6 miljarder ar.

Forbranning av helium och kolcykeln

Vatecykeln svarar for energiproduktionen i de unga stjarnorna. Nar vatet i centrum av

stjarnan tagit slut sprider sig forbranningen utat. Man kan da forvanta sig en avkylning

av de inre delarna av stjarnan med minskat gastryck som foljd. Da gravitationen pressar ihop

karnan hojs karnans inre temperatur pa nytt. Da stjarnans inre temperatur stigit till 108

K kan helium borja forbrannas och kontraktionen avstannar. Kontraktionen kan leda till en

tryckvag utat och de yttre delarna kyls av. Stjarnan blir en rod jatte. De beskrivna proces-

serna utgor kritiska forlopp for stjarnan och sarskillt i stjarnor med stor massa, kan forloppen

bli explosionsartade. Man talar om nova- och supernova explosioner som foljdreaktion till

kontraktionerna.

Karnan 8Be som bildas vid sammanslagning av tva 4He-karnor sonderfaller nastan genast, men

om 8Be snabbt reagerar med en 4He-karna bildas 12C, som ar stabil. Den forsta exciterade

nivan i 12C har energin 7,656 MeV, vilket nastan exakt motsvarar den excitationsenergi man

far i en 8Be + 4He reaktion. Det exciterade tillstandet i 12C utgor alltsa ett resonanstillstand

for reaktionen. Vi kan skriva reaktionen som

34He 12C∗ →12C + γ-stralning.

Aven sma mangder av 16O, 20Ne och 24Mg kan bildas genast efter 12C genom reaktioner mellan4He och de skapade tyngre karnorna. Da det finns tillgang pa kol och tyngre amnen kan vate

forbrannas i den sk. kol-vate-cykeln:

1H + 12C → 13N + γ 107 ar13N → 13C +β+ + ν 7 min

1H + 13C → 14N + γ 2 · 106 ar1H + 14N → 15O + γ 3 · 108 ar

15O → 15N + β+ + ν 2 min1H + 15N → 12C + 4He 105 ar

Tabell II.5: Delreaktionerna i Kol-vate-cykeln.

Nettoresultatet ar 41H →4He + 2β+ + 3γ + 2ν, Q = 26,73 MeV.

Fran kol till jarn

Reaktionen i en stjarna borjar avstanna, da heliumforradet sinar och de tyngre karnorna

pga. Coulombvallen inte kan fusioneras. Da gastrycket inne i stjarnan minskas foljer en ny

kontraktion vid vilken stjarnan kan hoja sin temperatur. Vid temperaturen 6 · 108 K borjar


kol brinna och vid temperaturen 2 · 109 K syre. Pa detta satt bildas amnen upp till 32S, som

i princip bestar av 8 α-partiklar. I den brinnande stjarnan ar densiteten av hogenergetiska

fotoner stor och dessa fotoner kan sonderdela de nybildade karnorna sa att nya 4He-karnor

eller α-partiklar emitteras. T.ex. 28Si kan vid 3 · 109K emittera 7 α-partiklar. De nybildade

α-partiklarna kan fortsatta nukleonsyntesen och allt tyngre karnor bildas. Detta forlopp kallas

for α-processen.

α-processen tar slut vid jarngruppens amnen: V, Cr, Mn, Fe, Co och Ni och ett termiskt

jamviktslage uppstar vid ca 4 · 109 K. Vid jarngruppen upphor de termonukleara processerna

emedan dessa amnen har den hogsta bindningsenergin per nukleon. Stjarnorna kommer i detta

skede aven in i en dramatisk utvecklingsfas, dar stjarnans tillstand drastiskt kan andra.

Fran jarn till vismut

De tyngsta elementen bildas enligt Gamows teori genom successiv neutroninfangning vaxlad

med β-sonderfall. Denna process ar langsam och kallas darfor for s-processen (slow process).

Masskedjan upp till 209Bi ar obruten och amnen upp till vismut kan pa detta satt byggas upp.

Ovanfor 209Bi satter α-sonderfallet stopp for s-prosessen.

Syntes av de tyngsta karnorna

De tyngsta atomkarnorna kan tankas bildas i ett starkt neutronflode, som t.ex. forekommer i

en supernova. I figur II.46 visas hur en addition av 16 neutroner till 238U ger 254U, som genom

β-sonderfall kan leda till 254Cf. Forskarna leddes in pa denna tankegang, da man fann rester

av 25298 Cf och 254

98 Cf bland slutprodukterna efter vatebombsprov, som tandhatt i vatebomben

har man en uranbomb. I det enorma neutronflode, som uppstod vid vatebombsdetonationen,

adderas snabbt en mangd neutroner till urankarnorna, som fanns tillgangliga i uranbomben,

innan det langsammare α-sonderfallet hann ske. I detta fall talar man om en r-process.

Figur II.46: Skapandet av 254Cf genom r-processen.

Hoga neutronfloden kan man fa i vissa skeden av stjarnornas utveckling. Vi kunde aterga

till var roda jatte och granska vad som sker da stjarnans inre avkyls. Vid temperaturer T

> 5 ·108 K sker avkylningen framst via neutrinoutstralningen. Vid en snabb avkylning kan


stjarnan pa nagra sekunder krympa. Processen ar beroende av stjarnans massa. Med stjarnor

med solens storlek (M = 2 · 1030 kg, radien r = 7 · 108 m, densitet ρ = 1, 4 · 103 kg/m3)

resulterar kontraktionen troligen i en vit dvarg ( r ≈ 107 m, ρ ≈ 108 kg/m3). Vid den vita

dvargens densitet trycks atomskalen ihop sa att en elektrongas blandas med karnorna. Vid

kollapsen till den vita dvargen uppstar en chockvag, som slungar ut materie i rymden. Denna

explosion kallas for nova.

Vid massor storre an solens stoppas kontraktionen formodligen inte upp vid vita dvargstadiet,

utan densiteten okar ytterligare varvid aven atomkarnorna krossas och en neutronstjarna kan

bildas eller om stjarnan ar tillrackligt tung, ett svart hal, dar all materia har overgatt i energi.

De dominerande processerna da atomkarnorna krossas ar

e− + p→ n+ ν

och

e+ + n→ p+ ν

Emedan elektronerna (e−) ar mycket vanligare an positronerna (e+) kommer en anrikning av

neutroner att ske.

Via den dominerande reaktionen bildas en neutronstjarna, som har karnmateriens densitet

(1017 kg/m3). Vid denna densitet ar den fria meddelvaglangden for neutrinopartiklarna mindre

an stjarnradien, varvid ν och ν absorberas och en valdsam chockvag slungar ut 90 % av

stjarnans massa i rymden, en sk. supernovaexplosion intraffar. Vid denna explosion kan aven

de tyngsta amnena bildas via en r-process (rapid process). Det ar mycket sannolikt att jorden

uppstatt i samband med en supernovaexplosion och att de tyngsta grundamnena som uran

har bildats i i denna process.

Neutronstjarnans massa ar ≈ (0, 1− 1) ·M och radien ≈ (1− 1, 5) · 104 m. Ar 1967 upptack-

te man med radioteleskop stralningen fran rymdkroppar, som man borjade kalla pulsarer.

Pulsarerna har identifierats som neutronstjarnor.

Det mest dramatiska forloppet intraffar, da stjarnans hela massa overgar i energi. Ett svat

hal bildas. Man har funnit manga exempel pa svarta hal ute i varldsrymden. Manga stjarnor

ar dubbelstjarnor och det ar inte helt ovanligt att den ena partnern i en dubbelstjarna ar

ett svart hal. Denna stjarnformation ses sa att det svarta halet suger massa fran den andra

stjarnan.

Uppgifter

[1] Berakna den frigjorda energin i varje steg av deuteron-fusionsprocessen


3d→ α+ n+ p.

[2] En hypotetisk vatebomb med explosionsstyrkan 50 megaton TNT (trotyl) utnyttjar

reaktionen

21H+2

1 H →32 He + n.

Den konventionella atombomben som fungerar som tandladdning har sprangstyrkan 2

megaton (ingar i de 50 som anges ovan). Ett ton TNT producerar 2, 6 ·1022 MeV energi.

a.) Berakna den energimangd som varje fusionsreaktion ger. b.) Hur mycket vate in-

nehaller bomben?

[3] a.) Vilken ar den genomsnittliga temperaturen som ett deuteriumplasma bor ha for

att fusion skall kunna ske? Ledn. Den behovliga energin beraknas som storleken pa

Coulombvallen pa avstandet for karnkraftens rackvidd≈ 10−15m. b.) Berakna den energi

som frigors da tva deuteriumkarnor fusioneras till en α-partikel.

materiens struktur ii del ii atomk arnan och k...

Documents