materijalna nelinearnost
TRANSCRIPT
MATERIJALNA NELINEARNOST
2
SADRŽAJ KURSA
• Uvod• Vektorska i tenzorska algebra
• Nelinearni elastični modeli• Hipoelastični - Cauchy-jev elastični model• Hiperelastični – Green-ov model
• Idealna plastičnost• Modeli Tresca i Von-Mises • Coulomb-ov model• Drucker-Prager-ov model
3
SADRŽAJ KURSA
• Plastičnost sa očvršćavanjem• Izotropno očvršćavanje• Nelinearno izotropno očvršćavanje• Kinematsko očvršćavanje• Višepovršinski kriterij plastičnosti
• Damage modeli ili modeli oštećenja• Mješoviti modeli oštećenje-plastičnost
• Numerička implementacija 3D plastičnosti metodom konačnih elemenata
4
PLANIRANE OBAVEZE
• Zadaće• Seminarski – FEAP ili detaljna obrada nekog specifičnog
nelinearnog modela• Usmeni ispit
5
UVOD
• Vektori:
• Transformacija koordinatnog sistema
iiiiijji
iii
ii
v
viliv
eevvevee
evev
3
1
e2
x3
x1
x2’
e1
e3
x2
x1’
x3’
e1’
e2’e3
’
v
6
UVOD
'3
1
'3
1
'3
1
'jij
jjij
jjij
jjijii vQvQQQv
evevev
Proračun komponenata vektora pri transformaciji k.s.
vQvvQv T
jjii
i
vQv
''
'
'3
1
''
'
''
kosinusi
jijj
jjii
jiij
iiii
Q
Qvv
eeeee
eeeev
7
ZADAĆA 1
• Dati su vektori u i v u koordinatnom sistemu e1, e2 ,e3. Naći projekcije tih vektora u sistemu koji se dobiva rotacijom sistema za 450 obrnuto od kazaljke na satu oko ose x3. Pokazati da je vektorski proizvod invarijantan, tj. da se dobiva isti vektor bez obzira na odabrani sistem.
110
021
vu
8
UVOD
• Tenzori II reda – linearno preslikavanje kojim se jedan vektor preslikava u drugi vektor.
Suv • Linearno preslikavanje:
212121 ,,, uuSuSuuuS
IuuuSS
uSSuSSuuSuSuSS
1
2121
2121
9
UVOD
• Simetrični tenzor:
uSvSvu T
• Transponovani tenzor:
TSS
• Antisimetrični tenzor: TSS Primjer 1: uwWu
T
T
WWWuvuwvvwuWvuuWv
10
UVOD
Primjer 2 – tenzor transformacije: ii Qee '
IQQeQeQeeQ
eeeeQeeeQe
T
iiT
iiT
ijijjijiiT
j
'
''''
Primjer 3 – tenzor napona – tenzor koji preslikava vektor normale na presječenu površ u vektor koji je rezultanta sila koje djeluju na tu površ.
σnt nntn
dA
11
UVOD• Primjer: Napon u nekoj tačci definisan je tenzorom . Sračunati
normalni i smičući napon na površ definisanu jediničnim vektorom n.
21
5.05.0
300094043
nσ
Sila koja djeluje na datu površ:
12.2,5.6,5.3 Ttnσt nn
Normalni napon je projekcija sile tn na vektor n.
nt
n
dA
nn
5.6 nT tnnt nnSmičući napon je: 09.45.668.7 2222
nnn t
12
UVODOsobine tenzora
• Svaki tenzor se može rastaviti na simetrični i antisimetrični dio.
• Svaki tenzor se može prikazati kao kompozicija jednog ortogonalnog tenzora i njegovog simetričnog dijela – polarna dekompozicija.
• Tenzori drugog reda se mogu predstaviti kao matrice dimenzija 3x3.
13
UVOD
• Tenzorski proizvod dva vektora:
vwuuvwwvu torapravcu veku vektora
komponente torapravcu veku projekcija
jiijji
jiji vuCvu
vuvuvuvuvuvuvuvuvu
3
1,
332313
322212
312111
eevuC
vu
14
UVOD
• Osobine tenzorskog proizvoda:
2121 vuvuvvu
vSuSvuvSuvuSuvvu
T
T
• Zadaća 2: Dokazati osobine tenzorskog proizvoda preko njegove definicije.
15
UVOD
ji
jiiji
ii,
eeeeI
3
1,
3
1,
3
1,
3
1,
lkijikljkl
lkkljkli
lkkljklij
lklkkliji
jiij
SSS
SS
S
ee
eeeeeeeeSee
eeS
iijiij vS evSee 'jijiijQ eeQee
Tenzori prikazani preko tenzorskog proizvoda jediničnih vektora k.s.
16
UVOD• Primjer 1 – gradijent pomjeranja
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
3
1,
)(
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
ffgradfx
jiji
j
i
i
i
eeuu
xxxe
17
UVOD
xd
xd
x
xux
xxu d
xd w
ε
xuIx dd
18
UVOD
xxwwwwI
xxwIwIxxxxTT
TTT
dd
dddddd
• Preslikavanje vektora koji spaja dvije tačke iz nedeformisane u deformisanu konfiguraciju:
TT uuwuuεwεu 21;
21;
• Tenzor deformacije:
xxxεx dddd
IεεεIεεεεε DVDV trtr31
31
Za =0:
19
UVOD• Tenzori II reda – matrice 3x3 T
TT
vuvuSS
SSSSSSSS
2121
2121
• Transformacija koordinatnog sistema'''jiijjiij SS eeeeS
QSQS T
ljklkiij iliQSQS ''
20
UVOD• Vektorske invarijante
• Skalarni proizvod vektora• Intenzitet vektora
3
1
3
1,
3
1,
3
1
3
1,,
3
1
'
3
1)(1
kkk
lkklkl
lk iilkikl
lkiliklki
iii
iiiS
SSQQSQSQS
StrI
S
• Tenzorske invarijante• Izotropni tenzori• Trag tenzora QSQS T
ljklkiij iliQSQS ''
21
UVOD
• Osobine traga tenzora:
BAABSS
vuvu
trtrtrtr
trT
• Skalarni proizvod tenzora
ABABBABABA TTT
3
1, jiijijBAtrtrtr
22
UVOD
• Osobine skalarnog proizvoda tenzora:
0
WSWWSSyvxuyxvu
SvuvuSSIS
TT
tr
23
UVOD
• Treća invarijanta tenzora
Sdet3 SI
• Zadaća 3: Dokazati da su ovako definirane invarijante zaista nezavisne od izbora koordinatnog sistema.
• Druga invarijanta tenzora
SS 2)(1)(2 2
1SS II
24
UVOD
• Sopstveni vektori i sopstvene vrijednosti tenzora.nSn
• Simetrični tenzori II reda imaju tri realne sopstvene vrijednosti i tri međusobno okomita sopstvena vektora.
3,2,1,; jiijjiiii nnnSn
3
1iiii nnS Tenzor S u k.s. sopstvenih vektora
25
UVOD• Naći glavne napone i pravce glavnih napona za dati tenzor napona.
023200305
σ 20,1351255.0,5 321 III
67.2,15.1,52.6020135 32123
448.0137.0883.0
1000
52.623252.603052.1
123
22
21
1
3
2
1
nnnnnnn
764.0572.0299.0
;465.0808.0362.0
32
nn
26
UVOD
764.0465.0448.0572.0808.0137.0299.0362.0883.0
023200305
764.0572.0299.0465.0808.0362.0
448.0137.0883.0
67.200015.100052.6
QσQσ T'
Hidrostatska os – pravac u prostoru glavnih napona definisan sa 1 = 2 = 3
111
31'
pn
2052.615.167.2,1367.215.152.65 3222
2 II
77.331
35
31
2
13
2
32
2
2122
1
p
pp
p Ip
'p
'
'p
'p
'
nσ
nnσ
27
UVOD• Devijatorski tenzor napona
66.123266.103033.3
66.100066.100066.1
31
devp
pdevpdevp
σσ
σσσIσσσσσ tr
34.400051.000086.4
66.100066.100066.1
'dev
'p σσ
28
UVOD• Invarijante devijatorskog tenzora
3213
231
223
212
2
1133
2
3322
2
2211
23
22
21313221
3
1,21
det61
21
21
21,0
sssJ
sssssssssssJJji
jiij
dev
devdev
σ
σσ
321 ,, A
pppB ,,
O
2
321
2
,,
JBA
sssBA
29
UVOD• Tenzori višeg reda
• Tenzor trećeg reda: Preslikavanje vektora u tenzor drugog reda• Tenzor četvrtog reda: Preslikavanje vektora u tenzor trećeg reda• ...
jlikljkilkjilkjiijkl
lkjiijkl
lkjilkjiijkl
klklijklij
I
C
eeeeCC
eeeeeeeeeeeeeeee
εσ
::
::
3
1,,,
3
1
I.C
iCCPrimjer
Hook: jlikklijijklC 22 IIIC
uCvvuC :Proizvod tenzora 4. i 2. reda:
30
LINEARIZACIJA I USMJERENA DERIVACIJA
• Koncept rješavanja nelinearnih problema – nelinearne jednačine se pretvaraju u linearne. Postupak je iterativan dok se ne nađe rješenje nelinearnih jednačina.
Jednačina sa jednom nepoznatom: f(x)=0
000
0
00
20
''0
'00
0
2
00''
00'
0
....21
:
...21
xfuxfuxDfudxdfxfuxf
uxfuxfxfuxf
xxuinkrement
xxxfxxxfxfxf
upofunkcijaLinearna
x
31
LINEARIZACIJA I USMJERENA DERIVACIJA
• Newton-Raphson-ova metoda:
kii xfdxdfuuxDfxfuxf
kx
1
0 00
uOxfLinuxfuxDfxfxfLin ;
Usmjerena derivacija – Gateaux-ova derivacijaSkalarna funkcija, skalarni argument:
00
lim
uxfddxfuxfxfDu
Skalarna funkcija, vektorski argument:
i
i
uxffgradf
ddDf
xuxuxux0
32
LINEARIZACIJA I USMJERENA DERIVACIJA
x1
x2
x3
u
f(x1,x2)
x
f(x+u)
33
LINEARIZACIJA I USMJERENA DERIVACIJASkalarna funkcija, tenzorski argument:
3
1,0
jiij
ij
UAff
ddDf
UAUA
Primjer: Linearizacija determinante tenzora drugog reda
UAAUAIA
UAIAUAUA
AA
T
detdetdet
detdetdet
3261det
0
21
0
1
0
3
1,,
31
3
1,1
Otrdd
dd
ddDf
IAAIAAAfkji ji
jiijkijkij
34
LINEARIZACIJA I USMJERENA DERIVACIJA
Primjer: Greda dužine L opterećena opterećenjem q(x). Totalna potencijalna energija:
LL
dxxuxqdxdxudEIxu
00
2
2
2
21
00
00
2
2
2
21
LL
w dxwuxqdddx
dxwudEI
ddxuD
000
2
2
2
2
LL
w wdxxqdxdxwd
dxudEIxuD
w(x) – proizvoljni inkrement pomjeranja – varijacija pomjeranja, mora zadovoljavati rubne uslove po pomjeranjima
35
LINEARIZACIJA I USMJERENA DERIVACIJATenzorska funkcija, tenzorski argument:
3
1,0
lkkl
kl
ij UAA
ddD
UBAUBA
Primjer: Tangentni tenzor elastičnosti
3
1,0
ˆˆˆˆ
lkkl
ijkl
kl
ijUddD
C
UεσUεσεσσ
Osobine usmjerene derivacije – iste kao za običnu derivaciju:
uxuxuxx ~~~~~~~~~~~2121 FDFDFFD
uxxxuxuxx ~~~~~~~~~~~~~~~212121 FDFFFDFFD
uxxux ~~~~~~~~22121 FDFFDFFD
36
ELASTIČNI MODELI
• Cauchy-jev model• Naponi se daju kao funkcija deformacija
ddCulTangentni
dxduxD
ˆ:mod
,ˆ:1
kl
ij
ijkl
ijij
C
D
ˆσ
ˆσ:3
εC
εεσ
37
ELASTIČNI MODELI• Hiperelastični - Green-ov modeli
– 1D• Promjena deformacione energije:
V
dVU
V
dVWU
W – funkcija gustine deformacione energije ili deformaciona energija po jedinici zapremine
W
ddWW
ddW
Specijalni slučaj Cachy-jeve elastičnosti
2
2
dWdC
38
ELASTIČNI MODELI- 3D
ij
ij
WW
Niz modela – zavisno od odabrane funkcije gustine potencijalne energije
ij
ij
WW
εσ
Hook: klijklijij CWW 21
21
εCεε
klijkl
ij
ijkl
WC
2
εσC
39
Model Prednosti Nedostaci
CauchyFizikalno i matematski jednostavan(isti koncept kao Hook-ov model)
Može biti numerički nestabilan za pojedine funkcije Ograničen domen primjene
GreenZadovoljava uslove stabilnosti i jedinstvenosti rješenjaRelativno jednostavan za programiranje
Relativno teško odrediti parametre kojim se model definiraOgraničen domen primjene
ELASTIČNI MODELI
40
Primjer nelinearne analizeObostrano uklješten štap opterećen je
aksijalnom silom. Za dato konstitutivno ponašanje i program opterećenja sračunati pomjeranje tačke u kojoj djeluje sila.
4 2
P A=10 cm2
=E(-sign 22)
E=108 kN/m2
t
P (kN)
400
sign