mathematica.gr 1
TRANSCRIPT
![Page 1: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/1.jpg)
1.Έστω . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38188&p=177695#p177695
2. Εάν Να αποδείξετε ότι και να αποδείξετε ότι .
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38188&p=177695
3. Έστω οι μιγαδικοί με . Να αποδείξετε
ότι ο αριθμός
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38189
4. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός:
i. είναι πραγματικός.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38189
![Page 2: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/2.jpg)
ii. είναι πραγματικός
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38189
5. Έστω οι μιγαδικοί τέτοιοι ώστε και
Να αποδείξετε ότι
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38191&p=177703#p177703
6. Έστω . Να αποδείξετε την ταυτότητα .
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38191&p=177703#p177703
7. ;Έστω . Να αποδείξετε την ταυτότητα
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38203
![Page 3: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/3.jpg)
8. Ας είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε
ότι
(1988 Romanian Math Olympiad, School Competition, 10th grade)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38203
9. Για κάθε να αποδείξετε τις ταυτότητες:
a.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38219
b.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38219
10. Για κάθε να αποδείξετε την ταυτότητα:
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
![Page 4: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/4.jpg)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38219
11. Έστω οι μιγαδικοί
που είναι τέτοιοι ώστε
και
.
Να αποδείξετε ότι:
i.
.
ii.
iii.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38220
12. Δίνονται οι ανά δύο διαφορετικοί μιγαδικοί τέτοιοι ώστε
.
Εάν οι αριθμοί
είναι πραγματικοί, να αποδείξετε ότι
(1979 Romanian Math Olympiad, State Competition, 10th grade)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38221
![Page 5: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/5.jpg)
13. Εάν
ώστε
τότε να δείξετε ότι :
(1988 Romanian Math Olympiad, School Competition, 10th grade)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38223&p=177864#p177864
14. Έστω .
a. Εάν τότε : αν και μόνο αν
b. Εάν
τότε
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38224
15. Έστω . Να αποδείξετε ότι .
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38225
16. Ας είναι . Να αποδείξετε ότι : .
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
![Page 6: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/6.jpg)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38228
17. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό , είναι ή
''complex numbers from A to Z'', Titu Andreescu
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38229
18. Ας είναι μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και . Να
αποδείξετε ότι : αν και μόνο αν .
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38230
19. Έστω τέτοιος ώστε: . Να αποδείξετε ότι: .
Putnam 1989 A3.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
20. Ας είναι τέτοιος ώστε . Να αποδείξετε ότι:
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
![Page 7: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/7.jpg)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38233
21. Ας είναι με . Να αποδείξετε ότι :
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38227
22. Να δείξετε ότι: αν τότε
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38242
23. Ας είναι τέτοιοι ώστε και , όπου
. Να αποδείξετε ότι υπάρχει για το οποίο είναι : .
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38243&p=177939#p177939
24. Ας είναι τέτοιοι ώστε . Αποδείξτε ότι:
.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
![Page 8: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/8.jpg)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38244
25. Να αποδείξετε την ανισότητα του . Δηλαδή ότι: για κάθε ισχύει
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=13&t=20760
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=8793&hilit=hlawka
26. Έστω , όπου θετικός πραγματικός αριθμός . Εάν τα φανταστικά μέρη των και , να βρείτε το .
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38248&p=177956#p177956
27. Έστω οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί αριθμοί . Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός ώστε . Αποδείξτε ότι
. [G.M. 2/2011]
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38250
![Page 9: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/9.jpg)
28. Θεωρούμε όλους τους μιγαδικούς με . Αποδείξτε ότι :
[Διαγωνισμός «Alexandru Muller» Iasi , Romania 8/4/2010]
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38254
29. Έστω και οι μιγαδικοί με που ικανοποιούν τη σχέση
. Αποδείξτε ότι : και .
[G.M. 1/2011]
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38256
30. Θεωρούμε τους μιγαδικούς που ικανοποιούν τις σχέσεις: .
Αποδείξτε ότι : .
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38257
31. Θεωρούμε τους μιγαδικούς με ίσα μέτρα και τον πραγματικό αριθμό .
Αποδείξτε ότι: .
[G.M. 3/2011]ΑΠΑΝΤΗΣΗ
![Page 10: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/10.jpg)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38258
32. Θεωρούμε τους μιγαδικούς που ικανοποιούν τις σχέσεις :
. Αποδείξτε ότι : .
[G.M. 3/2011]ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38259&p=178008#p178008
33. Θεωρούμε όλους τους μιγαδικούς που ικανοποιούν την σχέση Βρείτε τους μιγαδικούς για τους οποίους η παράσταση
παίρνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή.[G.M. 6/2011]
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38262&p=178015#p178015
34. Βρείτε όλες τις τριάδες μιγαδικών που ικανοποιούν τις σχέσεις
και . [Διαγωνισμός «Argument» Baia Mare, Romania
6/11/2010]ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38263&p=178016#p178016
35. Για τους μιγαδικούς ισχύουν οι σχέσεις και .
Αποδείξτε ότι ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2002 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4ο θέμα (για )
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
![Page 11: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/11.jpg)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38264
36.Ορίζουμε το σύνολο όπου η ρίζα
της εξίσωσης .a. Να δείξετε ότι: b. Βρείτε όλα τα στοιχεία του συνόλου .
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38265
37. Έστω και . Υπολογίστε
.ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=3826638. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς ώστε
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38268
39. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς ώστε και ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38269&p=178036#p178036
40. Έστω ώστε: και . Υπολογίστε .ΑΠΑΝΤΗΣΗ
![Page 12: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/12.jpg)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38270
41. Θεωρούμε τους μιγαδικούς ώστε . Αποδείξτε ότι :
.ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=2593http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=3828642. Επιλύστε στο το σύστημα και Από ολυμπιάδα της Ρουμανίας για το 2009 απευθύνεται στους μαθητές της X τάξης (α λυκείου)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38287
43. Έστω οι μιγαδικοί z με να αποδείξετε ότι .ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=13679http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38241
44. Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών την εξίσωση
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=23264
45. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς που είναι τέτοιοι ώστε .
Από το βιβλίο των Adreescu & Andrica σελ. 166.ΑΠΑΝΤΗΣΗ
![Page 13: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/13.jpg)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38288&p=178119#p178119
46. Έστω οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε: .
Βρείτε την τιμή της παράστασης: .
(1990 China High School Math Contest).ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Μιγαδικοί 46
47. Έστω και για κάθε , με . Αν είναι ,
αποδείξτε ότι οι εικόνες των είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=3829448. Έστω , μη πραγματική ρίζα της εξίσωσης . Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει:
.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38295
49. Αν αποδείξτε ότι : .
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
![Page 14: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/14.jpg)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=3829750. Έστω . Αποδείξτε ότι:
. [G.M. 2/2003].
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38298
51. Έστω ώστε και . Αποδείξτε ότι:
a. b.
[G.M. 2/2003]ΑΠΑΝΤΗΣΗ
mathematica.gr • Προβολή θέματος - Μιγαδικοί 51
52. Έστω ακέραιος και οι μιγαδικοί διαφορετικοί ανά δύο και με ίσα μέτρα. Αποδείξτε ότι οι εικόνες των μιγαδικών
είναι συνευθειακά σημεία.
[G.M. 2/2003]ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Μιγαδικοί 5253. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί που ικανοποιούν τις σχέσεις:
και
.
Εάν είναι οι αντίστοιχες εικόνες των στο μιγαδικό επίπεδο, να
υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου Rice University Math Tournament 2012
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Μιγαδικοί 53
![Page 15: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/15.jpg)
54. Αν τυχαίοι μη μηδενικοί μιγαδικοί και αποδείξτε την
ανισότητα . [G.M. 10/2003] .ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Μιγαδικοί 54
55. Αποδείξτε ότι για κάθε μιγαδικό ισχύει η σχέση [Διαγωνισμός «Victor Valcovici» Valcea , Romania 20/2/2004, το θέμα πρότεινε ο καθηγητής Laurentiu Panaitopol]
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Μιγαδικοί 55
56. Έστω οι μιγαδικοί τέτοιοι ώστε
,
Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών και είναι ισόπλευρα.[Διαγωνισμός «Cezar Ivanescu» Valcea , Romania 20/2/2004]
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Μιγαδικοί 56
57. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς που ικανοποιούν συγχρόνως τις παρακάτω ισότητες:
, .[Προτεινόμενη για Εθνική Ολυμπιάδα Ρουμανίας 2004]
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Μιγαδικοί 5758. Τρεις μιγαδικοί αριθμοί έχουν μέτρο και ικανοποιούν την ισότητα
. Αποδείξτε, ότι: Α) Β)
Γ)
![Page 16: Mathematica.gr 1](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032415/55cf9d18550346d033ac36dd/html5/thumbnails/16.jpg)
Δ) Αν οι είναι διαφορετικοί ανά δύο, τότε το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των είναι ορθογώνιο.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Μιγαδικοί 58
59. Έστω οι μιγαδικοί ώστε . Αποδείξτε ότι: Α) Β)
Γ) και
Δ) το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των είναι ισόπλευρο.ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Μιγαδικοί 5960. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς ώστε για κάθε
να είναι . Αν ο μιγαδικός αριθμός ικανοποιεί τη
σχέση: τότε να αποδείξετε ότι: .
Πανελλαδικές εξετάσεις 2013 Μάιος . ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Μιγαδικοί 60