2117

ตวแบบเชงคณตศาสตรการแพรระบาดของโรคเทาชางทมผลกระทบมาจากแมว Mathematical Model for the Transmission of Lymphatic Filariasis with Effect of Cat Population

กลยาณ กล ากลน1, สรพล เนาวรตน2 และสรนทร สมณะ3

บทคดยอ การวจยครงนมวตถประสงคเพอสรางและวเคราะหเสถยรภาพตวแบบเชงคณตศาสตรของการแพรระบาดของโรคเทาชางทมผลกระทบมาจากแมว ซงโรคเทาชางเปนโรคตดตอน าโดยแมลงทเปนปญหาสาธารณสขทเกดจากหนอนพยาธตวกลม ทเปนสาเหตสวนใหญเกดมาจากเชอชนดบรเกย มาลาไย โดยมยงเสอเปนพาหะ การวเคราะหตวแบบโดยวธมาตรฐานคอศกษาจดสมดลและเสถยรภาพของจดสมดล หาค าตอบวธ เชงวเคราะหและหาค าตอบเชงตวเลข ผลการวจยได ตวแบบเชงคณตศาสตรของโรคเทาชางทมผลกระทบมาจากแมวอธบายดวยระบบสมการเชงอนพนธ ไมเชงเสน 8 สมการ ประกอบดวย ประชากรคน แบงออกเปน 3 กลมยอย คอ กลมประชากรคนทเสยงตอการตดเชอ กลมประชากรคนทตดเชอ กลมประชากรคนทเปนโรคเรอรง และประชากรแมว แบงออกเปน 3 กลมยอย คอ กลมประชากรแมวทเสยงตอการตดเชอ กลมประชากรแมวทตดเชอ กลมประชากรแมวทไดรบการรกษาแลวมภมคมกนหรอหายจากโรค และประชากรยง แบงออกเปน 2 กลมยอย คอ กลมประชากรยงทเสยงตอการตดเชอ และกลมประชากรยงทตดเชอ ผลการวเคราะหตวแบบพบจดสมดลทไมมโรค มคาระดบการตดเชอ 0 = 0.4068 และจดสมดลทมการระบาดของโรค เมอพจารณาคาพารามเตอรจ านวนประชากรแมวทเกดใหม c( ) ไมสามารถหาจดสมดลทมเชอโรคได และพจารณาคาพารามเตอรอตราการกดของ ประชากรยง (b) พบวา เมออตราการกดของประชากรยงเทากบ 650 ครง/วน, 1,050 ครง/วน และ

1บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยราชภฎสราษฏรธาน 84100 ประเทศไทย 2,3สาขาวชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฎสราษฏรธาน 84100 ประเทศไทย

2118

1,450 ครง/วน พบวา มคาระดบการตดเชอ (0 ) เพมขน ดงน 0 = 1.0577, 1.7086 และ 2.3595 ตามล าดบ

ค าส าคญ: ตวแบบเชงคณตศาสตร โรคเทาชาง คาระดบการตดเชอ จดสมดลทไมมโรค จดสมดลทเกดการระบาดของโรค แมว

Abstrract The objectives of this research were to propose and analyze the mathematical model for the transmission of lymphatic filariasis with effect of cat population. Lymphatic filariasis is vector - borne diseases as a public health problem. The disease is mainly cause by Brugia malayi parasites and transmitted by Mansonia spp. mosquitoes. The equilibrium point and stability of the equilibrium points are analyzed by standard method. Analytic solutions and numerical solutions are carried out. The research results found that a mathematical model for the transmission of lymphatic filariasis with effect of cat population consisting of a system of eight nonlinear differential equations. The mathematical model includes susceptible human, infectious-carrier, infected-chronic, susceptible cat, infectious cat, recovered cat, susceptible mosquitoes and infectious mosquitoes.The results obtained from mathematical model of disease free equilibrium have basic reproductive number 0 = 0.4068 and disease endemic equilibrium of the new cat population can’t have equilibrium point and when the biting rate equal to 650 times/day, 1050 times/day and 1,450 times/day, we obtain the basic reproductive number 0 = 0.4068, 1.7086 and 2.3595, respectively. Keywords: Mathematical model, Lymphatic filariasis, Disease free equilibrium, Endemic disease equilibrium, Cat บทน า โรคเทาชาง (Lymphatic Filariasis หรอ Elephantiasis) เปนโรคทพบไดทวไปบรเวณเขตรอนชนและเขตกงรอนชนแถบเอเชย แอฟรกา หมเกาะแปซฟกตะวนตก และบางสวนของทวปอเมรกา (WHO.1995:146) โรคเทาชางเปนโรคตดตอน าโดยแมลงทเปนปญหาสาธารณสขทงในระดบชาตและนานาชาต โดยมสาเหตมาจากหนอนพยาธตวกลม ชนดของหนอนพยาธตวกลมทเปนสาเหต ม 3 ชนด คอ วเคอเรอเรย แบนครอฟไต (Wuchereria bancrofti), บรเกย มาลาไย

2119

(Brugia malayi) และบรเกย ตมอร (Brugia timori) ซงเชอเหลานอาศยรางกายคนเปนแหลงทอยและอาศยยงเปนพาหะโรค โดยเชอวเคอเรอเรย แบนครอฟไต อาศยยงลาย (Aedes spp.) และยงร าคาญ (Culex spp.) เปนพาหะ เชอบรเกยมาลาไย อาศยยงเสอ (Mansonia spp.) เปนพาหะ สวนเชอบรเกย ตมอร อาศยยงกนปลอง (Anophelesn spp.) เปนพาหะ วงจรชวตของหนอนพยาธตวกลมเหลาน เรมจากยงตวเมยทมเชอพยาธเทาชางทเปนตวออนในระยะทกอการตดเชอ มากดดดเลอดคน เชอพยาธจะเคลอนทออกจากปากยง และเขาสผวหนงตรงจดทยงกดแลวเดนทางตอไปยงทอน าเหลองบรเวณใกลๆ หลงจากนนจะพฒนาเปลยนรปราง 2 ครงภายในระยะเวลา 9 เดอน จนกลายเปนตวเตมวยซงมทงตวผและตวเมย และเมอผสมพนธกนจะไดตวออนซงเรยกวา ไมโครฟลาเรย (Microfilaria) ตวออนเหลานจะเคลอนทเขาสหลอดเลอด และเมอยงไปกดคนทมพยาธตวออนไมโครฟลาเรยน ยงกจะรบเชอเขาไป เจรญเตบโตในตวยงจนกลายเปนตวออนระยะตดตอ ผปวยเปนโรคเทาชางพบความชกชมสงในจงหวดภาคใตฝงตะวนออก และในพนทบรเวณชายแดนไทย-พมา จ านวนผปวย ดงภาพท 1

ภาพท 1 จ านวนผปวยโรคเทาชางทขนทะเบยนการรกษาในปงบประมาณ 2545–2555 ทมา : ส านกโรคตดตอน าโดยแมลง กรมควบคมโรค. 2555.

ส านกงานโรคตดตอน าโดยแมลง กระทรวงสาธารณสข ไดรบการอนมตใหจดท าโครงการก าจดโรคเทาชางในป พ.ศ. 2544 โดยมการวางแผนระยะยาวในการควบคมปองกน การแพรระบาดของโรค การเฝาระวงและส ารวจโรคเทาชางอยางใกลชด ก าจดสตวรงโรค เชน แมว และยงพาหะควบคกนไป (ส านกโรคตดตอน าโดยแมลง, 2549) จากการศกษาตวแบบเชงคณตศาสตรของการแพรระบาดของโรคเทาชางทมผลกระทบมาจากแมวซงตวแบบเชงคณตศาสตรท าใหเราสามารถทราบถงการแพรระบาดของโรคเทาชาง และผลลพธทไดจากตวแบบทเราสนใจสามารถชวยใหเราเขาใจถงปจจยทควบคมการแพรระบาดและ

2120

เสถยรภาพของระบบการแพรเชอในวงกวาง และมความเขาใจทดเกยวกบการตดตอของโรค การเปลยนแปลงของตวแบบสามารถปรบเปลยนลกษณะเฉพาะของโรคระบาดได ในขนตอนการวเคราะหขอมลจะแสดงใหเหนถงประสทธภาพ ไมใชเพยงแตเขาใจววฒนาการของการระบาดเทานน แตยงเขาใจถงมาตรการควบคมโรคเปนอยางไร ดงนนผลลพธทไดของการศกษานจะเปนประโยชนอยางสงในการลดความเสยงของการตดเชอโรคเทาชาง การแพรเชอและการควบคมโรคเทาชางโดยใชตวแบบเชงคณตศาสตรทไดมการศกษาเกยวกบการแพรระบาดของโรคเทาชางมอยหลากหลาย แตไดน างานวจยเรอง การแพรเชอและการควบคมโรคเทาชางโดยการใชตวแบบเชงคณตศาสตร (Supriatna & Anggtiani N., 2010) ซงเปนตวแบบเชงคณตศาสตรทศกษาตอมาจาก Supriatna A.K., Serviana H. และ Soewono E. (Supriatna A.K., Serviana H. & Soewono E., 2009) เพอเปนตวแบบเชงคณตศาสตรโดยการศกษาครงน ผวจยตองการเพมตวแปรเปนประชากรแมวมาเปนปจจยส าหรบศกษา จงท าใหผวจยไดตวแบบเชงคณตศาสตรของการแพรระบาดของโรคเทาชางทมผลกระทบมาจากแมว เพอใหไดตวแบบทคาดวาจะท าใหการปองกนและควบคมโรคมประสทธภาพสงขน วตถประสงค 1. เพอพฒนาตวแบบเชงคณตศาสตรของการแพรระบาดของโรคเทาชางทมผลกระทบมาจากแมว

2. เพอวเคราะหเสถยรภาพของตวแบบเชงคณตศาสตรของการแพรระบาดของโรคเทาชางทมผลกระทบมาจากแมว วธด าเนนการวจย 1. การสรางตวแบบเชงคณตศาสตร 2. การวเคราะหตวแบบเชงคณตศาสตร

ขอบเขตของการวจย ผวจยศกษาตวแบบเชงคณตศาสตรการแพรระบาดของโรคเทาชางทมผลกระทบมาจากแมว เนองจากเปนตวแปรส าคญทมผลกระทบตอการแพรระบาดของโรคเทาชาง จงไดแบงตวแปรทเปนประชากรแมวออกเปน 3 กลมยอย ดงน กลมทเสยงตอการตดเชอ กลมทตดเชอ และกลมทไดรบการรกษาแลวสรางภมคมกนหรอหายจากโรค สวนประชากรคน ไดแบงออกเปน 3 กลมยอย

2121

ดงน กลมคนทเสยงตอการตดเชอ กลมคนทตดเชอ และกลมคนทเปนโรคเรอรง ซงจากขอมลขางตนท าใหมความเขาใจถงผลกระทบของตวแปรทมาจากแมว จงท าใหเราสามารถน ามาปรบปรงมาตรการปองกนและการควบคมโรค ผลการวจย ตวแบบทางคณตศาสตร ในการวจยนผวจยจะน าเสนอตวแบบทางคณตศาสตรส าหรบโรคเทาชางทสอดคลองกบกลมประชากร และลกษณะของการเกดโรค ซงก าหนดใหจ านวนประชากรมขนาดคงท โดยแบงประชากรออกเปน 3 กลม คอ กลมประชากรคน กลมประชากรแมว และกลมประชากรยง โดยกลมประชากรคนแบงออกเปน 3 กลมยอย ดงน กลมประชากรคนทเสยงตอการตดเชอ (Sh) กลมประชากรคนทตดเชอ (Ah) และกลมประชากรคนทเปนโรคเรอรง (Kh) กลมประชากรแมวแบงออกเปน 3 กลมยอย ดงน กลมประชากรแมวทเสยงตอการตดเชอ (Sc) กลมประชากรแมวทตดเชอ (Ic) และกลมประชากรแมวทไดรบการรกษาแลวสรางภมคมกนหรอหายจากโรค (Rc) และในสวนของประชากรยง แบงออกเปน 2 กลมยอย ประกอบดวย ประชากรยงทเสยงตอการตดเชอ (Sv) และประชากรยงทตดเชอ (Iv) ตามล าดบ โดยแผนภาพอธบายแนวคดในการสรางตวแบบทางคณตศาสตรแสดงไดดงภาพท 2

ภาพท 2 แผนภาพแสดงแนวคดในการสรางตวแบบเชงคณตศาสตร โดยท hแทนจ านวนประชากรคนทเกดใหม, h แทนอตราการตายของประชากรคน, ph

แทนความนาจะเปนของประชากรยงทตดเชอแพรเชอไปยงประชากรคนทเสยงตอการตดเชอในการกดหนงครง, Nh แทนจ านวนประชากรคนทงหมด, c แทนจ านวนประชากรแมวทเกดใหม, c

แทนอตราการตายของประชากรแมว, pc แทนความนาจะเปนของประชากรยงทตดเชอแพรเชอไป

2122

ยงประชากรแมวทเสยงตอการตดเชอในการกดหนงครง, Nc จ านวนประชากรแมวทงหมด, cr แทนจ านวนประชากรแมวทไดรบการรกษาแลวสรางภมคมกนหรอหายจากโรค, v แทนจ านวนประชากรยงทเกดใหม, v แทนอตราการตายของประชากรยง และ pv แทนความนาจะเปนของประชากรคนทตดเชอแพรเชอไปยงประชากรยงทเสยงตอการตดเชอในการกดหนงครง, แทนอตราการเกดอาการของโรค, P0 แทนความนาจะเปนในการรกษาใหหายจากโรค, n แทนจ านวนประชากรคนทตดเชอแลวไดรบการรกษาดวยยา, b แทนอตราการกดของประชากรยง, ตามล าดบ ซงสามารถน ามาสรางตวแบบทางคณตศาสตรของโรคเทาชางทมผลกระทบมาจากแมวไดดงน

β δλ μ

2ph v h 0 hh

h h hh h

b I S P 

n AdSS

dt N N (1)

β δ

μ δ2

ph v h 0 hhh h h

h h

b I S P n AdAA A

dt N N (2)

δ μh

h h h

dKA K

dt

(3)

β

λ μpc v ccc c c

c

b I SdSS

dt N (4)

β

μpc v ccc c c

c

b I SdI( r )I

dt N

(5)

μc

cc ccr I

dRR

dt

(6)

β β

λ μpv h v pv c vvv v v

h c

b A S b I SdSS

dt N N (7)

β β

μpv h v pv c vvv v

h c

b A S b I SdII

dt N N (8)

เมอ

hh h hS A K N , cc c cS I R N , v vvS I N การวเคราะหแบบจ าลองทางคณตศาสตร 1. จดสมดล จดสมดล สามารถหาไดจากการจดสมการ (1), (2), (4), (5) และ (8) ใหเทากบศนย

(Leah,1998) จะไดจดสมดลสองจดคอ จดสมดลทไมมโรค h c0 h h c c v

h c

E (S ,A ,S ,I ,I ) ( ,0, ,0,0)

และจด

สมดลท เกดการระบาดของโรค * * * * *1 h h c c vE (S ,A ,S ,I ,I ) เม อ

* *pv h c pv c h*

v * *h h c pv h c pv h c

b A N b I NI

N N b A N b N I

,

2h h o h

ph h h

*

v

N P n Ab I N

hS ,

2*

h

C C 4BDA

2B

,

2123

* c cc

pc v c c

NS

b I N

และ

c cpc v

pc v c c*c

c c c

Nb I

b I NI

( r )N

2. ความเสถยรภาพ ความเสถยรภาพของจดสมดลสามารถพจารณาจากคาลกษณะเฉพาะของเมทรกซจาโคเบยน (Esteva and Vagus,1998) จากระบบสมการ (1), (2), (4), (5) และ (8) สามารถเขยนในรปเมทรกซจาโคเบยนไดดงน

0

ph hh

h h

ph hh

h h

pc cc0

c c

pc cc c

c c

pv pvv

h c E

b0 0 0

Nb

0 0 0Nb

0 0 0JN

b0 0 0 r

Nb b

0 0N N

พจารณาหาคาลกษณะเฉพาะไดจากสมการลกษณะเฉพาะโดยให 0det J( )I 0 ณ จด E0 เมอ เปนคาลกษณะเฉพาะ (Eigenvalue) และ I เปนเมทรกซเอกลกษณขนาด 5 5ด จดสมดลภายใตสภาวะไรโรค E0 จากการค านวณคาลกษณะเฉพาะคอ

1 h , 2 c และ 3 21 2 3a a a 0 โดยท 1 3 1 2 3a 0, a 0, a a a สอดคลองกบ

เงอนไขของ Routh-Hurwitz (Leah,1998) โดยท

1 h c c va r h c h c c c h v v

2 pv ph h pv pc cc v v c

h h h c c c

r r

a b b b br

N N N N

pv ph hv h c h c c c c c

h h h3

pv pc ch

c c c

b b( r r ) ( )( r )( )

N Na

b b( )(

N N

2124

ดงนนจดสมดลภายใตสภาวะไรโรคมความเสถยรภาพเมอ 0 < 1 โดยท

คาระดบการตดเชอของโรค pv ph h pv pc c

0h h h h v c c c c c v

b b b b1 1( )( ) ) ( )( )( ( )

N N N r N

จดสมดลภายใตสภาวะทเกดการระบาดของโรค * * * * *1 h h c c vE (S ,A ,S ,I ,I ) สมการลกษณะเฉพาะ (Esteva

and Vagus, 1998) คอ *

ph v1 h

h

b I

N

,

*0 h

2 hh

2P n AN

และ 3 2

1 2 3m m m 0 โดยท m1 >

0, m3 > 0, m1m2 > m3 สอดคลองกบเงอนไขของ Routh-Hurwitz (Leah,1998)

*pc v

1 v c c cc

b Im r

N,

* * *pc v v pc v c pc v c

c v c v v cc c c

2 * * *p v pc c p v v pc c

c c c cc c c c

b I b I b I rr

N N Nm

b b S b I b Sr

N N N N

* *pc v c v pc v c v

c c v c v cc c

* * * * *pc c pc v pv pv v pv pc c pc v

3c c c c c c

* * * * * *pv pc c c pv v pc c pc v pv v pc c c

c c c c c c c

b I b I rr

N N

b S b I b b I b b S b Im ( )( )

N N N N N N

b b S b I b S b I b I b S

N N N N N N N

ดงนนจดสมดลภายใตสภาวะทเกดการระบาดของโรคมความเสถยรภาพเมอ 0 > 1 โดยท

คาระดบการตดเชอของโรค

pv ph h pv pc c0

h h h h v c c c c c v

b b b b1 1( )( ) ) ( )( )( )

N N N(

r N ผลการวเคราะหเชงตวเลข ในงานวจยน ผวจยไดวเคราะหขอมลเชงตวเลขโดยการน าคาพารามเตอรทใชในการวเคราะหเชงตวเลขจากสถาบนวจยประชากรและสงคม. (2555) และงานวจย Supriatna & Anggtiani N., (2010), และ Supriatna A.K., Serviana H. & Soewono E., (2009)

2125

ภาพท 3 ค าตอบของสมการ (1), (2), (4), (5) และ (7) ภายใตสภาวะทไมมโรค ดงน (a) กลมประชากรคนทเสยงตอการตดเชอ (b) กลมประชากรคนทเปนโรคเรอรง (c) กลมประชากรแมวทเสยงตอการตดเชอ (d) กลมประชากรแมวทตดเชอ และ (e) กลมประชากรยงทตดเชอ โดยท 0 = 0.4068 < 1 h = 32, c = 200 , v = 1,000,000 ,

ph = 0.01, pc = 0.01, pv = 0.1, h = 6.9, c = 1/10, v = 365(1/30), hN = 1,000,000 , cN = 100,000

, cr = 0.1428, = 0.25, b = 250 และคาลกษณะเฉพาะ คอ 1 = - 6.9 และ 2 = -

1/10

ภาพท 4 ค าตอบของสมการ (1), (2), (4), (5) และ (7) ภายใตสภาวะทมการระบาดของโรค ดงน (a) กลมประชากรคนทเสยงตอการตดเชอ (b) กลมประชากรคนทเปนโรคเรอรง (c) กลมประชากรแมวทเสยงตอการตดเชอ (d) กลมประชากรแมวทตดเชอ และ (e) กลมประชากรยงทตดเชอ โดยท

0 = 1.0577 > 1

(a) (b) (c) (d) (e)

(g) (h) (i) (j) (k)

2126

ภาพท 5 5(a) อตราการเพมจ านวนประชากรแมวทเกดใหมทมผลตอคาระดบการตดเชอ และ 5(b) อตราการกดของยงทมผลตอคาระดบการตดเชอ โดยท h = 32, v = 1,000,000, ph = 0.01, pc = 0.01, pv = 0.1, h = 6.9, c = 1/10, v = 365(1/30), hN = 1,000,000 , cN = 100,000 , cr = 0.1428, = 0.25, b = 250 สรป

จากการวเคราะหเชงตวเลขเพอศกษาจดสมดลของระบบ ศกษาเสถยรภาพของจดสมดล

และตรวจสอบเสถยรภาพของจดสมดลวาเปน Local asymptotically stable และตรวจสอบวาสอดคลองตามเงอนไข Routh-Hurwitz ในสวนของจดสมดลทไมมโรค พบวาคาระดบการตดเชอ (0 ) เทากบ 0.4068 และจดสมดลทมการระบาดของโรค เมอพจารณาใหพารามเตอร เพอศกษาใน 2 กรณ คอ 1. เมอคาพารามเตอร จ านวนประชากรแมวทเกดใหม ( c ) พบวาการเพมคาพารามเตอรจ านวนประชากรแมวท เกดใหม ( c ) ทม คาพาราม เตอรทแตกตางกน ท าให คาสมการลกษณะเฉพาะและหาค าตอบของสมการลกษณะเฉพาะเปนไปตามเงอนไข Routh-Hurwitz แตคา

0 มคาลดลง และไมเปนไปตามเงอนไขทก าหนดไว 0 1 ดงนนการเพมพารามเตอรจ านวนประชากรแมวทเกดใหมจงไมมผลท าใหเกดการแพรระบาดของโรคเทาชาง 2. เมอคาพารามเตอรอตราการกดของประชากรยง (b) โดยแบงอตราการกดของประชากรยงออกเปน 3 สวน ดงน เมอคาพารามเตอรอตราการกดของประชากรยงเทากบ 650 ครง/วน จะมคา 0 = 1.0577 ดงนนตามเงอนไข Routh-Hurwitz สรปไดวามการแพรระบาดของโรคเทาชางทมผลกระทบมาจากแมว คอ ประชากรกลมนไดรบเชอบรเกยมาลาไย มจ านวนมากขน 1.0577 เทาจากจ านวนเรมตน เมอคาพารามเตอรอตราการกดของประชากรยง เทากบ 1,050 ครง/วน จะมคา 0 = 1.7086 ดงนนตามเงอนไข Routh-Hurwitz สรปไดวามการ

1000 1500 2000 2500

0.395

0.396

0.397

0.398

1000 1500 2000 2500

1

2

3

4

คาระ

ดบกา

รตดเช

อ

จ านวนประชากรแมวทเกดใหม

5(a)

อตราการกดของยง

คาระ

ดบกา

รตดเช

อ

5(b)

2127

แพรระบาดของโรคเทาชางทมผลกระทบมาจากแมว คอ ประชากรกลมนไดรบเชอบรเกยมาลาไย มจ านวนมากขน 1.7086 เทาจากจ านวนเรมตน และเมอคาพารามเตอรอตราการกดของประชากรยง เทากบ 1,450 ครง/วน จะมคา 0 = 2.3595 ดงนนตามเงอนไข Routh-Hurwitz สรปไดวามการแพรระบาดของโรคเทาชางทมผลกระทบมาจากแมว คอ ประชากรกลมนไดรบเชอ บรเกยมาลาไย มจ านวนมากขน 2.3595 เทาจากจ านวนเรมตน จากการวเคราะหเชงตวเลขจงสรปไดวาการเพมอตราการกดของประชากรยง มผลท าใหมการแพรระบาดของโรคเทาชางทมผลกระทบมาจากแมวเพมมากขนจากคาเรมตน ขอเสนอแนะ 1. ในงานวจยฉบบนผวจยไมไดศกษาพารามเตอรระยะฟกตวของโรค จงควรจะมศกษาพารามเตอรนในการวจยครงตอไป 2. ควรน าขอมลจรงมาใชในการวเคราะหเชงตวเลขของตวแบบ เพอศกษาความเปนไปไดของค าตอบเชงตวเลขวามความสอดคลองกบขอมลจรง ค าขอบคณ ผเขยนขอขอบคณ คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย บณฑตวทยาลย มหาวทยาลย ราชภฏสราษฎรธาน และผมสวนเกยวของทใหการสนบสนน เอกสารอางอง สถาบนวจยประชากรและสงคม. (6 มกราคม 2556). ประชากรของประเทศไทย พ.ศ. 2555 . สบคนจาก http://www.ipsr.mahidol.ac.th/ipsr-th/population_thai.html ส านกโรคตดตอน าโดยแมลง กรมควบคมโรค กระทรวงสาธารณสข. (8 มกราคม 2556). ขอมลโรค เทาชาง พ.ศ. 2555. สบคนจาก http://www.thaivbd.org/ ส านกโรคตดตอน าโดยแมลง กรมควบคมโรค กระทรวงสาธารณสข. ( 2549). คมอในการ ด าเนนงานปองกนควบคมโรคเทาชาง . นนทบร : ชมนมสหกรณการเกษตรแหง ประเทศ ไทย. Esteva, L. & Vagus,C. (1998). Analysis of a dengue disease Transmission model. Mathematical Bioscience, 150, 131-151. Leah, E.K., (1998). Mathematical Models in Biology. New York : Random House.

2128

Supriatna, A.K., Serviana, H. & Soewono E. (2009). A Mathematical Model to Investigate the Long-Term Effects of the Lymphatic Filariasis Medical Treatment in Jati Sampurna, West Java. ITB Journal of Science, 41(Suppl. 1), 1-14. Supriatna, A.K., Anggriani, N. (2010). Lymphatic Filariasis Transmission and Control : A Mathematical Modelling Approach. Current Tropics Medicine, 10, 425-442. WHO model-prescribing information. (1995). Drug used in parasitic diseases; 2nd ed. Geneva : World Health Organization (WHO).