Математическое моделирование

Бобко Валерия4 курс, 9 группа ИСиТ

Multilingual

Математическое моделирование

Что такое математическая модель?

● не реальность● “карта” реальности● достаточно проста, чтобы ее можно было рассчитать

● достаточно сложна, чтобы отразить грани интересные для изучения грани реальности

Математическое моделирование

● Зачем?

"Mathematics seems to endow one with something like a new sense." Charles Darwin

Типы математических моделей

● Линейная

Способы нахождения

значений:

● График

● Равенство

Типы математических моделей

● Квадратичная

Способы нахождения

значений:

● Точный график

● Равенство

Типы математических моделей

● Экспоненциальная

● Представлена

экспоненциальной

функцией

● Рост населения,

физика,

финансовый интерес

Экспоненциальная зависимость

Примеры экспоненциального роста:

● Рост численности населения

● Рост количества бактерий в образце

● Распрастранение вирусов

● Рост вычислительной мощи компьютеров

● Цепочки ядерных реакций

Примеры экспоненциального спада

● Радиоактивный распад

● Охлаждение в атомсфере

● Электрический заряд в конденасаторе

● Метаболизм лекарственных средств

Starbucks

● Отчёт для Starbucks.

● Стремительный подъем Starbucks с 1987 по 2007 по всем магазинам. Построить математическую модель роста компании за этот период, учитывая ограничения этой модели. С её помощью предсказать развитие Starbucks на 2009 и 2011 года.

Типы математических моделей

● Статические

● Динамические

● Дискретные

● Бесконечные

● Детерминистические

● Стохастические

Математическая модель предсказывает успех фильмов

● Группа японскихученых была поражена тем, чтосмогла предсказатьудачу или провалблокбастеров,используя наборматематических моделей

Computer Algorithms Quantify How Much a Photo Has Been Retouched

● Model Undone By Mathematical Models The real image is at left; the retouched one at center; and a vector field heat map showing the distortions in the retouched image is at right. Farid and Kee/PNAS

Predictions

Software Implementation

● Universal Flight Simulator L-159

All mathematical models are developed and approved in cooperation with the aircraft producer and with full data support

Математическая модель шума

Открытие природы «шума 1/f» позволит улучшить полупроводниковые сенсоры

● Исследователи из России, Норвегии и США совершили важный прорыв в понимании природы универсального явления «шума 1/f» (фликкер-шум или шум мерцания в электронике), где f означает частотный компонент

спектра сигнала, – шума

с интенсивностью,

обратно

пропорциональной

частоте.

● A new trend has emerged in the past few years and has led to the development of technologies like Siri, iPhone's "personal assistant." It entails using mathematical tools, namely probability and statistics, to try and model how people use language to communicate in social situations. The work at Stanford builds directly on this branch of research.

Простая математическая модель, Разработанная психологами из Стэнфорда может привести к появлению компьютеров, которые лучше понимают то, как люди общаются друг с другом

Social

Химия

● A schematic of the natural gas value chain. Mathematical models for the design and operation of energy supply chains can significantly improve security of energy supply and help in managing their environmental impact (Barton Group).

Нейросетевое моделирование когнитивных функций мозга

● Математические модели стали неотъемлемой составляющей теоретической нейронауки, подкреплённой расширяющимися возможностями экспериментальных исследований, базирующихся на высокотехнологичном оборудовании и точнейшей аппаратуре.

● Бионженерный способ восстановления функций мозгаВосстановление функций мозга - путем тканевой пластики мозга, включающей транспортировку в патологический очаг фармакологических препаратов и пластического материала, полученного из нервной ткани. (математическое моделирование хирургической операции)

Simple one

Volume = h × w × l

h (height),

w (width), and

l (length)

Let's complicate it a bit

Inside Volume = (h-2t) × (w-2t) × (l-2t)

Example: Your company uses 200x300x400 mm size boxes, and the cardboard is 5mm thick.Someone suggests using 4mm cardboard ... how much better is that?

Let us compare the two volumes:

Current Volume = (200-2×5) × (300-2×5) × (400-2×5) = = 21,489,000 mm3 New Volume = (200-2×4) × (300-2×4) × (400-2×4) = = 21,977,088 mm3

That is a change of:

(21,977,088-21,489,000)/21,489,000 ≈ 2% more volume

… And a bit more

● Your company is going to make its own boxes!

● It has been decided the box should hold 0.02m3 (0.02 cubic meters which is equal to 20 liters) of nuts and bolts.

The box should have a square base, and double thickness top and bottom.

● Cardboard costs $0.30 per square meter.

Ignoring thickness for this model:Volume = w × w × h = w2h

And we are told that the volume should be 0.02m3:w2h = 0.02

Areas:Area of the 4 Sides = 4 × w × h = 4whArea of Double Tops and Bases = 4 × w × w = 4w2Total cardboard needed:Area of Cardboard = 4wh + 4w2Step Three: Make a Single Formula For CostWe want a single formula for cost:Cost = $0.30 × Area of Cardboard = $0.30 × (4wh + 4w2)

And that is the cost when we know width and height.

That could be hard to work with ... a function with two variables.

Simpler!

But we can make it simpler! Because width and height are already related by the volume:

Volume = w2h = 0.02

... which can be rearranged to ...

h = 0.02/w2

... and that can be put into the cost formula ...

Cost= $0.30 × (4w×0.02/w2 + 4w2)

And now the cost is related directly to width only.

With a little simplification we get:

Cost= $0.30 × (0.08/w+ 4w2)

Plot it and find minimum cost

So here is a plot of that cost formula for widths between 0.0 m and 0.55 m:

when the width is about 0.22 m (x), the minimum cost is about $0.17 per box (y).

Recommendations

● Using this mathematical model you can now recommend:

● Width = 0.22 m

● Height = 0.02/w2 = 0.02/0.222 = 0.413 m

● Cost = $0.30 × (0.08/w+ 4w2) = $0.30 × (0.08/0.22+ 4×0.222) = $0.167

Another example: An ice cream company keeps track of how many ice creams get sold on different days. By

comparing this to the weather on each day they can

make a mathematical model of sales versus weather.

● They can then predict future sales based on

the weather forecast, and decide how many

ice creams they need to make ... ahead of time!

Ускорение свободного падения

● Существует легенда, будто Г. Галилей проделал большой демонстрационный опыт, бросая легкие и тяжелые предметы с вершины Пизанской падающей башни

Вы – патологоанатом в случае подозрительной смерти

Q?

Спасибо за внимание!