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Mathematics for Korea Scholastic Aptitude Test

Complex Numbers- 1 -

Section 2 복소수

1복소평면

1) 복소평면 (가우스평면)

평면 위의 직교좌표에서 점 P(a b)가 복소수 에 대응될 때

이 평면을 복소평면 또는 가우스 평면이라 하고 P( ) 또는 점 라 나타낸다

특히 x축을 실수축 y축을 허수축이라 한다

이 때 을 로 나타내고 의 절대값이라고 한다

즉

2) 복소수의 합과 차

(1) 복소수의 덧셈

두 점 가 주어져 있을 때 합 를 나타내는 점 의 작도는 를

이웃 두 변으로 하는 평행사변형의 제 4의 꼭지점을 구하면 된다

의 기하학적인 정의는 평행이동을 의미함

(2) 복소수의 뺄셈

두 점 가 주어져 있을 때 차 를 나타내는 점 의 작도는 다음 두 가지

방법이 쓰인다

(ⅰ) 의 O에 대한 대칭점을 를 구하고 를 이웃 두 변으로 하는 평행사변형의

제 4의 꼭지점을 구한다

(ⅱ) 을 이웃 두 변으로 하는 평행사변형의 제 4의 꼭지점을 구한다

의 기하학적인 의미는 원점 가까이 평행이동을 의미한다

【참고】

1) 절대값의 기하학적인 의미 원점에서 복소수까지의 거리을 의미

즉 는 와 사이의 거리을 의미함

2)



3) 복소수 α β의 켤레복소수를 α β라 할 때

α β α β α β α β

αβ

α

β α α

4) 의 켤레복소수가 (단 는 실수) 일 때

가 실수

가 순허수

5) 이동

(ⅰ) 점 와 점 는 원점에 대하여 대칭

(ⅱ) 점 와 점 는 축에 대하여 대칭

(ⅲ) 점 와 점 는 축에 대하여 대칭

(ⅳ) 점 는 점 를 π

만큼 회전이동 ( 회전연산자)

6) 선분 의 내분점 외분점

복소평면에서 두 점 를 잇는 선분 를 으로

내분점 외분점

2복소수의 극형식

를 θ θ 꼴로 나타낼 때 이것을 z 의 복소수의 극형식이라

하고 를 복소수의 절대값 θ를 편각이라 한다

특히 편각의 표현은 또는 로 나타낸다

(단 θ θ )

【설명】복소수 에 대하여

θ θ 를 만족하는

θ 를 구하면 다음과 같이 극형식으로 변형할 수 있다

θ θ

θ θ



【참고】 복소수 θ θ 에 대하여

(1) θ θ π θ π θ

(2) θ θ θ θ

(3) 복소수 의 편각 θ 는 일반각이므로 여러 가지로 나타낼 수 있으나 보통 θ π 또는 π θ π

의 범위에서 그 절대값이 가장 작은 각의 크기를 취한다

(4) 복소수 0 의 절대값은 0 이고 편각은 임의의 각으로 본다

(5) arg는 argument 의 약자이다

3 극형식으로 나타낸 복소수의 곱셈나눗셈

θ θ θ θ (단 ) 일 때

1) 곱셈

극형식 θ θ θ θ 절대값

편 각

2) 나눗셈


편 각

【복소수의 곱셈과 나눗셈의 증명】

(1) 곱셈

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ

(2) 나눗셈

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ


θ θ



θ θ θ θ

θ θ -끝-

4 복소수의 평행이동 회전이동

(1) 평행이동 점 를 α 만큼 평행이동한 점 는 α

(2) 회전이동 점 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동한 점 는 θ θ 이고

점 를 α를 중심으로 θ만큼 회전이동한 점 는 α α θ θ

【설명】

(1) 평행이동

복소평면 위의 두 점을 α 라 할 때 점 을 α 만큼 평행이동한 점을 라 하면

사각형 는 평행사변형 이므로 점 는 점 을 점 에서 로 향하는 방향으로

만큼 평행이동한 점이 된다 따라서 α

(2) 회전이동

α α 라 하면 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동한

점 는 θ α θ

α θ α θ

α α θ θ

따라서 θ θ 특히 복소수 를

원점의 둘레로 회전하면 회전하면 회전하면

다음에 점 를 α 를 중심으로 θ 만큼 회전이동한 점을 라 하면

는 오른쪽 그림과 같이 다음과 같은 차례로 이동하는 것과 같다

① α가 원점이 되도록 를 평행이동시킨다

이 때 점 는 α 로 이동된다

② 점 α 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동시킨다

이 때 점 α 는 α θ θ 로 이동된다

③ 점 을 α 만큼 평행이동시킨다 이 때 은 α

즉 가 된다 α α θ θ α

따라서 α α θ θ

5 드무아브르의 정리

이 정수일 때 θ θ θ θ

【참고】 반드시 극형식일 때만 드 무아브르 정리를 적용할 수 있다



【드∙무아브르의 증명】

드무아브르의 정리 즉 θ θ θ θ 를 증명할 때에는 수학적귀납법을 이용한다

이 때 을 양의 정수 0 음의정수로 나누어 증명한다

이 정수일 때 θ θ θ θhelliphelliphellip ① 를 증명하여 보자

(ⅰ) 이 양의 정수일 때

일 때

(좌변)= θ θ 우변 θ θ

(좌변) (우변) there4 ① 은 성립한다

일 때 등식이 성립함을 가정하면

θ θ θ θ 이 식의 양변에 θ θ 를 곱하면


θ θ

이것은 ① 이 일 때도 성립함을 뜻한다 따라서 ① 은 모든 양의 정수 에 대하여 성립한다

(ⅱ) 이 0 일 때

(좌변) θ θ θ θ가 동시에는 0이 아니다

(우변) 좌변 우변 따라서 ① 은 일 때 성립한다

(ⅲ) 이 음의 정수일 때

은 양의 정수)으로 놓으면

θ θθ θ θ θ

θ θ

θ θθ θ

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) 에 의하여 ① 은 모든 정수 에 대하여 성립한다

6복소평면 위의 선분의 길이와 각의 크기 도형의 방정식

1) 선분의 길이 점 가 복소평면 위에서 각각 복소수 를 나타내는 점이라 할 때

를 나타내는 두 점을 라 하면

983166 이므로



2) 복소평면 위에서 두 선분의 교각

복소수 를 나타내는 점을 각각 라 할 때

(1) 두 선분의 교각 와 의 교각

(2) 두 선분의 평행 (실수)

(3) 두 선분의 수직 (순허수)

【설명】2)

(1) 두 선분의 교각 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 하고

두 선분 가 이루는 각을 θ 라 하면

θ β α 따라서 θ

(2) 두 선분의 평행 오른쪽 그림과 같이 일 때 와 가

양의 실수축과 이루는 각은 같다 즉 이므로

따라서 실수

(3) 두 선분의 수직 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 할 때

이면 다음 두 경우로 생각할 수 있다

이 때 β απ

이므로 π

π



따라서 (순허수)

3) 복소평면 위에서 도형의 방정식

(1) 원의 방정식 점 α 를 중심으로 하고 실수 를 반지름으로 하는 원의 방정식은

α

(2) 타원의 방정식 점 α β 를 초점으로 하고 장축의 길이를 로 하는 타원의 방정식은

α β

(3) 선분의 수직이등분선 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은

α β

위의 내용은 외우지 말고 를 로 놓고 α β를 임의로 잡아서 식을 유도하여 보자

즉 복소평면에서 도형의 방정식을 항상 로 잡아서 식으로 나타내여 생각하여 보자

【설명】 (1) 원의 방정식은 로 놓고 유도하여 봅시다

(2) 타원의 방정식 두 점 α β 에서 거리의 합이 (일정)인 점 의 자취는 타원의 방정식 이고

이것은 α β

(3) 선분의 수직이등분선 두 점 α β 에서 같은 거리에 있는 점의 자취는 두 점 α β 를 잇는 선분의

수직이등분선이다 따라서 두 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은 α β

7이항방정식 의 해법

복소수 z α 에 대하여 α꼴의 방정식을 이항방정식이라 하고 그 해법은 드 무아브르 정리와 극형식을 이용해 구할 수

있다 즉 좌변과 우변을 극형식으로 고쳐서 같다고 놓고 푸는데 우변의 편각을 일반각으로 표현해야 한다 특히 이항방정식의

근은 원 위에 일정한 간격으로 존재한다

예를 들면)

방정식 의 해는 π α π α 단 이다

【풀이】

방정식을 이므로 θ θ 라 놓으면

θ θ helliphelliphellip ①

그런데 를 극형식으로 나타낼 때

의 절대값을 편각을 일반각으로 α π라 하면

α π α π helliphelliphellip ②

① ② 에서 θ θ α π α π

즉 θ π α θα π 단

α π α π

단



1 방정식 의 한 근을 라고 하고 이라고 할 때 의 값을 구하시오

1 주어진 방정식의 각 항의 계수가 모든 실수이고 근 는 허근이므로 다른 한 근은 이다

따라서 이차방정식의 근과 계수와의 관계에서 helliphelliphellip

여기에 을 대입하면

2 π

를 모두 만족하는 복소수 일 때 의 값을 구하시오

2 θ θ 에서

π π

에서

3 일 때 복소수 의 절대값과 편각을 구하여라

또 극형식으로 나타내어라

3 π π

π π

π π

π π π π

π π

4 복소평면 위에서 원점과 점 를 꼭지점으로 하는 정삼각형의 제 3 의 꼭지점을 나타내는 복소수를

구하라

4 정삼각형은 회전한 것이므로

(복호동순)

5 을 만족하는 양의 정수 에 대하여 이 각각 최소가 될 때의 의

값을 구하시오



5 π π π π

준식π π π π

π π

π 는 정수)

즉 은 6 의 배수이다 은 12 의 배수이다

최소값

6 이 순허수가 되도록 가 변할 때 복소평면 위에서 점 는 어떤 도형을 그리는가

① 직선 ② 원 ③ 타원 ④ 쌍곡선 ⑤ 포물선

6 문제조건에 의해서

즉 원점을 중심으로 하고 반지름 1 인 원 (단 )

원점을 중심으로 하고 반지름이 1 인 원 (단 )

7 π π일 때 를 만족하는 최소의 자연수 을 구하시오

7 π ππ

ππ

ππ π

π π

π π

π π ππ

π 는 정수)

π π π 이므로 최소의 자연수



3) 복소수 α β의 켤레복소수를 α β라 할 때

α β α β α β α β

αβ

α

β α α

4) 의 켤레복소수가 (단 는 실수) 일 때

가 실수

가 순허수

5) 이동

(ⅰ) 점 와 점 는 원점에 대하여 대칭

(ⅱ) 점 와 점 는 축에 대하여 대칭

(ⅲ) 점 와 점 는 축에 대하여 대칭

(ⅳ) 점 는 점 를 π

만큼 회전이동 ( 회전연산자)

6) 선분 의 내분점 외분점

복소평면에서 두 점 를 잇는 선분 를 으로

내분점 외분점

2복소수의 극형식

를 θ θ 꼴로 나타낼 때 이것을 z 의 복소수의 극형식이라

하고 를 복소수의 절대값 θ를 편각이라 한다

특히 편각의 표현은 또는 로 나타낸다

(단 θ θ )

【설명】복소수 에 대하여

θ θ 를 만족하는

θ 를 구하면 다음과 같이 극형식으로 변형할 수 있다

θ θ

θ θ





(2) θ θ θ θ







1) 곱셈


편 각

2) 나눗셈


편 각


(1) 곱셈

θ θ θ θ


θ θ θ θ

θ θ

(2) 나눗셈

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ


θ θ



θ θ θ θ

θ θ -끝-





【설명】

(1) 평행이동




(2) 회전이동


점 는 θ α θ

α θ α θ

α α θ θ






















일 때






θ θ


(ⅱ) 이 0 일 때





θ θθ θ θ θ

θ θ

θ θθ θ

θ θ

θ θ

θ θ θ θ





983166 이므로








【설명】2)






따라서 실수



이 때 β απ

이므로 π

π






α


α β


α β





이것은 α β







예를 들면)


【풀이】








α π α π

단







2 π


2 θ θ 에서

π π

에서



3 π π

π π

π π

π π π π

π π


구하라


(복호동순)


값을 구하시오



5 π π π π

준식π π π π

π π

π 는 정수)


최소값







7 π ππ

ππ

ππ π

π π

π π

π π ππ

π 는 정수)






(2) θ θ θ θ







1) 곱셈


편 각

2) 나눗셈


편 각


(1) 곱셈

θ θ θ θ


θ θ θ θ

θ θ

(2) 나눗셈

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ


θ θ



θ θ θ θ

θ θ -끝-





【설명】

(1) 평행이동




(2) 회전이동


점 는 θ α θ

α θ α θ

α α θ θ






















일 때






θ θ


(ⅱ) 이 0 일 때





θ θθ θ θ θ

θ θ

θ θθ θ

θ θ

θ θ

θ θ θ θ





983166 이므로








【설명】2)






따라서 실수



이 때 β απ

이므로 π

π






α


α β


α β





이것은 α β







예를 들면)


【풀이】








α π α π

단







2 π


2 θ θ 에서

π π

에서



3 π π

π π

π π

π π π π

π π


구하라


(복호동순)


값을 구하시오



5 π π π π

준식π π π π

π π

π 는 정수)


최소값







7 π ππ

ππ

ππ π

π π

π π

π π ππ

π 는 정수)




θ θ θ θ

θ θ -끝-





【설명】

(1) 평행이동




(2) 회전이동


점 는 θ α θ

α θ α θ

α α θ θ






















일 때






θ θ


(ⅱ) 이 0 일 때





θ θθ θ θ θ

θ θ

θ θθ θ

θ θ

θ θ

θ θ θ θ





983166 이므로








【설명】2)






따라서 실수



이 때 β απ

이므로 π

π






α


α β


α β





이것은 α β







예를 들면)


【풀이】








α π α π

단







2 π


2 θ θ 에서

π π

에서



3 π π

π π

π π

π π π π

π π


구하라


(복호동순)


값을 구하시오



5 π π π π

준식π π π π

π π

π 는 정수)


최소값







7 π ππ

ππ

ππ π

π π

π π

π π ππ

π 는 정수)









일 때






θ θ


(ⅱ) 이 0 일 때





θ θθ θ θ θ

θ θ

θ θθ θ

θ θ

θ θ

θ θ θ θ





983166 이므로








【설명】2)






따라서 실수



이 때 β απ

이므로 π

π






α


α β


α β





이것은 α β







예를 들면)


【풀이】








α π α π

단







2 π


2 θ θ 에서

π π

에서



3 π π

π π

π π

π π π π

π π


구하라


(복호동순)


값을 구하시오



5 π π π π

준식π π π π

π π

π 는 정수)


최소값







7 π ππ

ππ

ππ π

π π

π π

π π ππ

π 는 정수)









【설명】2)






따라서 실수



이 때 β απ

이므로 π

π






α


α β


α β





이것은 α β







예를 들면)


【풀이】








α π α π

단







2 π


2 θ θ 에서

π π

에서



3 π π

π π

π π

π π π π

π π


구하라


(복호동순)


값을 구하시오



5 π π π π

준식π π π π

π π

π 는 정수)


최소값







7 π ππ

ππ

ππ π

π π

π π

π π ππ

π 는 정수)







α


α β


α β





이것은 α β







예를 들면)


【풀이】








α π α π

단







2 π


2 θ θ 에서

π π

에서



3 π π

π π

π π

π π π π

π π


구하라


(복호동순)


값을 구하시오



5 π π π π

준식π π π π

π π

π 는 정수)


최소값







7 π ππ

ππ

ππ π

π π

π π

π π ππ

π 는 정수)








2 π


2 θ θ 에서

π π

에서



3 π π

π π

π π

π π π π

π π


구하라


(복호동순)


값을 구하시오



5 π π π π

준식π π π π

π π

π 는 정수)


최소값







7 π ππ

ππ

ππ π

π π

π π

π π ππ

π 는 정수)




5 π π π π

준식π π π π

π π

π 는 정수)


최소값







7 π ππ

ππ

ππ π

π π

π π

π π ππ

π 는 정수)


mathematics for korea s aptitude...

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