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1
VorlesungMathematik fur Ingenieure(WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
Kapitel 4: Matrizen
Volker Kaibel
Otto-von-Guericke Universitat Magdeburg
(Version vom 10. November 2011)
2
Matrizen
Definition 4.1
Eine m × n-Matrix ist ein rechteckiges Schema
A =
a1,1 a1,2 · · · a1,n
a2,1 a2,2 · · · a2,n...
... . . . ...am,1 am,2 · · · am,n
mit m Zeilen und n Spalten. Die Menge derm × n-Matrizen mit Eintragen aus K ist Km×n (hierimmer K = R oder K = C).
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3
Bemerkungen
I ai ,j ist also der Eintrag in Zeile i und Spalte j .
I Schreibweisen: A = (ai ,j) = (ai ,j) i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n
I Menge Rm×n der reellen Matrizen:ai ,j ∈ R fur alle i , j
I Menge Cm×n der komplexen Matrizen:ai ,j ∈ C fur alle i , j
I Hier: Beschrankung auf reelle Matrizen(komplexe Matrizen analog)
4
BeispieleI
A = (ai ,j) =
(1 0 −32 1 4
)∈ R2×3
Z.B.: a1,1 = 1, a2,3 = 4
I Die Matrix
In =
1 0 · · · 00 1 · · · 0...
... . . . ...0 0 · · · 1
= (ci ,j)
(mit ci ,j = 1 fur i = j und ci ,j = 0 fur i 6= j)heißt die n × n-Einheitsmatrix.
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5
Beispiele
I Die Matrix O = Om,n ∈ Km×n mit lauterNullen ist die m × n-Nullmatrix.
I B = (b1,1) ∈ K1×1 ist eine 1× 1-Matrix; wirkonnen K1×1 mit K identifizieren.
I Vektoren aus Kk kann man als einspaltigek × 1-Matrizen oder als einzeilige1× k-Matrizen auffassen.
I Konvention: Im Kontext der Matrizenrechnungidentifizieren wir Kk mit Kk×1
(Spaltenvektoren)
6
Transponierte
Definition 4.2
Die Transponierte einer Matrix A = (ai ,j) ∈ Km×n
ist die Matrix AT = (bk,l) ∈ Kn×m mit bk,l = al ,kfur alle k ∈ {1, . . . , n}, l ∈ {1, . . . ,m}(Vertauschung der Rollen von Zeilen und Spalten).
A =
(1 0 32 1 4
)∈ R2×3 AT =
1 20 13 4
∈ R3×2
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7
Addition und skalare Multiplikation
Definition 4.3
Fur A = (ai ,j) ∈ Km×n, B = (bi ,j) ∈ Km×n undλ ∈ K definieren wir
A + B := (ai ,j + bi ,j) ∈ Km×n
(Matrizenaddition) und
λA := (λaij) ∈ Km×n
(skalare Multiplikation).
8
Beispiele
I (2 −4 10 3 2
)+
(3 2 −10 5 1
)=
(5 −2 00 8 3
)
I
(−2)
(2 −4 10 3 2
)=
(−4 8 −2
0 −6 −4
)
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9
Rechenregeln
Fur A,B ,C ∈ Km×n und λ, µ ∈ K gelten:
I (A + B) + C = A + (B + C )
I A + B = B + A
I A + O = A
I λ(µA) = (λµ)A
I λ(A + B) = λA + λB
I (λ + µ)A = λA + µA
Wie Kk bildet auch Km×n einen Vektorraum.
10
Zeilen und SpaltenFur A ∈ Km×n:
I Ai ,? ∈ Kn ist der aus der i -ten Zeile von Agebildete Vektor (der Lange n).
i
I A?,j ∈ Km ist der aus der j-ten Spalte von Agebildete Vektor (der Lange m).
j
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11
MatrizenmultiplikationDefinition 4.4
Fur zwei Matrizen A = (ai ,j) ∈ Km×n undB = (bj ,k) ∈ Kn×p definiere AB = (cik) ∈ Km×p mit
ci ,k =n∑
j=1
ai ,jbj ,k = 〈Ai ,?,B?,k〉
fur alle i ∈ {1, . . . ,m}, k ∈ {1, . . . , p}.
i
k
i
k
* =Länge: n
Läng
e: n
12
Beispiel
3 20 5−1 0
· ( 2 −11 2
)
=
3 · 2 + 2 · 1 3 · (−1) + 2 · 20 · 2 + 5 · 1 0 · (−1) + 5 · 2
(−1) · 2 + 0 · 1 (−1) · (−1) + 0 · 2
=
8 15 10−2 1
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13
Formate mussen passen
A =
3 20 5−1 0
und B =
2 0 3 21 5 2 20 2 6 1
kann man nicht multiplizieren (A hat 2 Spalten,aber B hat 3 Zeilen).
14
Weitere Beispiele
I 3 20 5−1 0
· ( 1 00 1
)=
3 20 5−1 0
I 3 2
0 5−1 0
· ( 0 11 0
)=
2 35 00 −1
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15
Weitere Beispiele
I (0 11 0
)·(
1 23 4
)=
(3 41 2
)I (
1 23 4
)·(
0 11 0
)=
(2 14 3
)
Bemerkung 4.5
Matrizenmultiplikation ist i.A. nicht kommutativ!
16
RechenregelnFur Matrizen A,B ,C jeweils passender Formate undλ ∈ K gelten:
I (AB)C = A(BC )
I A(B + C ) = AB + AC
I (A + B)C = AC + BC
I A(λB) = (λA)B = λ(AB)
I (AB)T = BTAT
I AIn = A = ImA
I Om,mA = Om,n = AOn,n
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Multiplikation von Matrizen mit VektorenI Sei A = (ai ,j) ∈ Km×n.I Fasse x ∈ Kn mit Komponenten x1, . . . , xn als
n × 1-Matrix auf (Spaltenvektor).I Definiere Ax ∈ Km als den Vektor mit m
Komponenten, der als m× 1-Matrix aufgefasst
A ·
x1...
xn
=
〈A1,?, x〉...
〈Am,?, x〉
=
a1,1x1 + a1,2x2 + · · · + a1,nxn...
... . . . ...am,1x1 + am,2x2 + · · · + am,nxn
ist.
18
Lineare AbbildungenBemerkung 4.6
Die mittels einer Matrix A ∈ Km×n definierteAbbildung ϕA : Kn → Km , x 7→ Ax ist einelineare Abbildung.
Bemerkung 4.7
Wir werden spater sehen: Zu jeder linearenAbbildung f : Kn → Km gibt es auch eine MatrixA ∈ Km×n mit
f (x) = Ax fur alle x ∈ Kn .
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19
Beispiel
f : R2 → R3 mit
f (x) =
2 35 00 −1
·( x1
x2
)=
2x1 + 3x2
5x1 + 0x2
0x1 + (−1)x2
fur alle x = (x1, x2) ∈ R2, also
f (x1, x2) = (2x1 + 3x2, 5x1,−x2) .
20
Bildmenge
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
-5
0
5-5
0
5-2-1
0
1
2
(Bild f (R) des Rechtecks R = [−1, 1]× [−2, 2]unter f .)
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21
Koordinatenprojektion
g : R3 → R2 mit
g(x1, x2, x3) =
(1 0 00 1 0
)·
x1
x2
x3
=
(x1
x2
)
(Projektion auf die ersten beiden Koordinaten.)
22
Drehungen
Fur einen Winkel Φ ∈ [0, 2π]:(xy
)=
(cos(Φ) − sin(Φ)sin(Φ) cos(Φ)
)·(
xy
)entsteht durch Drehung (gegen Uhrzeigersinn) umden Winkel Φ um den Ursprung.
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23
Beispiel mit Φ = π4
-4 -2 0 2 4-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4-4
-2
0
2
4
24
Mit anschließender x-Streckung(2 cos(Φ) −2 sin(Φ)
sin(Φ) cos(Φ)
)·(
xy
)
-4 -2 0 2 4-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4-4
-2
0
2
4
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25
m = 1 und n = 1Lineare Funktionen f : R→ R mit
f (x) = (a) · (x) = ax
fur eine Konstante a ∈ R.
-4 -2 2 4
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
Graph der Funktion f (x) = 13x
Die Graphen von linearen Funktionen R→ R sindGeraden durch den Ursprung.
26
m = 1 und n beliebig
Lineare Funktionen f : Kn → K mit
f (x) = f (x1, . . . , xn)
= (a1, . . . , an) ·
x1...
xn
= a1x1 + · · ·+ anxn= 〈a, x〉
fur einen konstanten Vektor a = (a1, . . . , an) ∈ Kn.
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27
Graphen
-2
-1
0
1
2 -2
-1
0
1
2
-10
-5
0
5
10
f : R2 → R mit f (x , y) = −2x + 4y
Die Graphen von linearen Funktionen Rn → R sind(Hyper-)Ebenen im Rn+1 durch den Ursprung.
28
Kerne von Matrizen
Definition 4.8
Der Kern einer Matrix A ∈ Km×n ist
ker(A) = {x ∈ Kn |Ax = Om} = ker(ϕA)
(also der Kern der linearen Abbildung x 7→ A).
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29
Zeilen- vs. Spaltenvektoren
Im Kontext von Matrizenmultiplikationen sindVektoren v ∈ Kq immer als Spaltenvektoren
v =
v1...
vq
∈ Kq×1
aufzufassen. Der zugehorige Zeilenvektor ist
vT = (v1, . . . , vq) ∈ K1×q.
30
Lineare GleichungssystemeDefinition 4.9
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) in denVariablen x1, . . . , xn hat die Form
a11x1 + . . . + a1nxn = b1...
......
am1x1 + . . . + amnxn = bm
mit (konstanten) Koeffizienten aij ∈ K und(konstanten) rechten Seiten bi ∈ K (furi ∈ {1, . . . ,m} und j ∈ {1, . . . , n}). Es heißthomogen, wenn b1 = · · · = bm = 0 ist, sonst heißtes inhomogen.
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31
Aquivalenz von LGS
I Die Losungsmenge von Ax = b ist
{z ∈ Kn |Az = b}.
I Zwei lineare Gleichungssysteme
Ax = b und Ax = b
(mit A ∈ Km×n, b ∈ Km, A ∈ Km×n, b ∈ Km)heißen aquivalent, wenn sie die gleicheLosungsmenge haben.
32
Zeilenoperationen
I Die folgenden elementarenZeilenoperationen uberfuhren ein LGSAx = b in ein aquivalentes LGS Ax = b:
(a) Vertauschung von Zeilen(b) Addition des λ-fachen einer Zeile Ai ,? zu einer
anderen Zeile Ak,? (mit k 6= i) fur ein λ ∈ KI Das gleiche gilt fur die Multiplikation einer
Zeile mit einem Skalar λ 6= 0 (Skalierung).
I Strategie: Bringe Ax = b durch elementareZeilenoperationen (und evtl. Skalierung) in eineForm, an der man die Losungen leicht ablesenkann.
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33
Kopfe
Definition 4.10
Sei A ∈ Km×n eine Matrix und i ∈ {1, . . . ,m}. FallsAi ,? 6= On, so heißt (i , j) mit
ai ,1 = · · · = ai ,j−1 = 0 und aij 6= 0
der Kopf der i -ten Zeile von A; die Zahl aij ∈ K istdann die Kopfzahl der i -ten Zeile. Ist Ai ,? = On, sohat die i -te Zeile keinen Kopf.
34
Zeilenstufenform
Definition 4.11
Eine Matrix A ∈ Rm×n hat Zeilenstufenform(ZSF) wenn fur ein p ∈ {1, . . . ,m}A1,?, . . . ,Ap,? 6= On und Ap+1,? = · · · = Am,? = On
gilt und fur alle i , k ∈ {1, . . . , p} mit i < k derKopf der k-ten Zeile weiter rechts als der Kopf deri -ten Zeile steht (insbesondere stehen unter jedemKopf nur Nullen).Die Spalten, die Kopfe enthalten,heißen Basis-Spalten.Sind zusatzlich alle Kopfzahlen gleich 1 und stehenauch uber allen Kopfen nur Nullen, so hat dieMatrix A normierte Zeilenstufenform (NZSF).
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35
Zeilenstufenform
(#: Zahl 6= 0, ?: beliebige Zahl)
0 · · · 0 # ? · · · ? ? ? · · · ? ? ? · · · ? ? ? · · · ?0 · · · 0 # ? · · · ? ? ? · · · ? ? ? · · · ?0 · · · 0 # ? · · · ? ? ? · · · ?...
...0 · · · 0 # ? · · · ?0 · · · 0... . . . ...0 · · · 0
36
Normierte Zeilenstufenform
0 · · · 0 1 ? · · · ? 0 ? · · · ? 0 ? · · · ? 0 ? · · · ?0 · · · 0 1 ? · · · ? 0 ? · · · ? 0 ? · · · ?0 · · · 0 1 ? · · · ? 0 ? · · · ?...
...0 · · · 0 1 ? · · · ?0 · · · 0... . . . ...0 · · · 0
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37
Gauß-Algorithmus fur ZSF
Eingabe: A ∈ Rm×n
Ausgabe: A ∈ Rm×n in ZSF,die durch elementare Zeilenoperationenaus A entstanden ist
(1) Falls A = O : A← A (fertig)
(2) Sonst suche eine Zeile, deren Kopf amweitesten links steht und vertausche diese Zeilemit der ersten Zeile.
38
Gauß-Algorithmus fur ZSF
(3) Ist (1, j) der Kopf der ersten Zeile, so addierefur alle i ∈ {2, . . . ,m} das(
− aija1j
)-fache der ersten zur i -ten Zeile
(unter (1, j) stehen in der j-ten Spalte jetzt nurnoch Nullen).
(4) Sei A ∈ R(m−1)×(n−j) die entstandene Matrixohne die erste Zeile und die ersten j Spalten;wende das Verfahren rekursiv auf A an.
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39
ZSF-Transformation
Bemerkung 4.12
I Mit dem Gauß-Algorithmus kann man jedeMatrix A in eine Matrix A in ZSFtransformieren.
I Diese ZSF-Matrix A ist aber durch A i. A.nicht eindeutig bestimmt (wegen derWahlmoglichkeiten in Schritt 2).
I Die Anzahl der Rechenoperationen ist dabeibeschrankt durch
const ·mn ·min{m, n}.
40
Gauß-Algorithmus fur NZSF
Eingabe: A ∈ Km×n in ZSF
Ausgabe: ˜A ∈ Km×n in NZSF,die durch elementare Zeilenoperationen
und Skalierung aus A entstanden ist.
(1) Dividiere jede Nicht-Null-Zeile durch ihreKopfzahl.
(2) Fur i = m,m − 1, . . . , 1 (falls Ai ,? 6= On):Subtrahiere geeignetes Vielfaches der i -tenZeile von den Zeilen 1, . . . , i − 1, so dass uberdem Kopf der i -ten Zeile nur noch Nullenstehen.
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41
NZSF-Transformation
Bemerkung 4.13
I Mit dem Gauß-Algorithmus kann man jedeMatrix A ∈ Km×n, die in ZSF ist, in eineMatrix in NZSF transformieren.
I Die Anzahl der Rechenoperationen ist dabeibeschrankt durch
const ·mn ·min{m, n}.
42
Erweiterte Koeffizientenmatrix
Definition 4.14
Fur ein LGS Ax = b mit A ∈ Km×n, b ∈ Km heißt
(A, b) ∈ Km×(n+1)
die erweiterte Koeffizientenmatrix von Ax = b.Das LGS Ax = b hat NZSF, wenn (A, b) NZSF hat.
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43
Losungsstruktur bei NZSFSatz 4.15
Sei Ax = b ein LGS in NZSF; sei r die Anzahl derNicht-Null-Zeilen von A.
(1) Falls br+1 6= 0 (oder bi 6= 0 fur i ≥ r + 1), sohat Ax = b keine Losung.
(2) Ansonsten (d. h. br+1 = · · · = bm = 0):0.1 Falls r = n (jede Spalte ist Basisspalte): Ax = b
hat die eindeutige Losung x1 = b1 , . . . , xn = bn.0.2 Falls r < n: Ax = b hat unendlich viele Losungen,
die man erhalt, indem man denNicht-Basis-Variablen beliebige Werte zuweist unddie Werte der Basis-Variablen anschließend jeweilsmit Hilfe der Zeile ausrechnet, deren Kopf in derzugehorigen Spalte steht.
44
Losungen von allgemeinen LGS
Bemerkung 4.16
I Ein allgemeines LGS Ax = b kann man alsolosen, indem man es zunachst viaGauß-Algorithmus in NZSF bringt und dannSatz 4.15 anwendet.
I Hat man eine beliebige Losung z mit Az = b,so erhalt man alle anderen Losungen vonAx = b, indem man zu z beliebige Losungendes homogenen Systems Ax = O addiert.
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45
Der Rang
Definition 4.17
Der Rang rang(A) einer Matrix A ∈ Km×n ist:
I Die Dimension des von den Zeilen bzw. Spaltenerzeugten Unterraums von Kn bzw. Km.
I Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen in einer NZSFvon A.
I n − dim (ker A).
Bemerkung 4.18
Fur jede Matrix A ∈ Km×n ist rang(A) = rang(AT).
46
Quadratische MatrizenDefinition 4.19
Eine Matrix heißt quadratisch, wenn sie genau soviele Zeilen wie Spalten hat.
Definition 4.20
Eine Matrix A = (aij) ∈ Kn×n hat obere bzw.untere Dreiecksform, wenn aij = 0 fur alle j < ibzw. fur alle j > i gilt.
Definition 4.21
Die Hauptdiagonale einer n × n Matrix bestehtaus den Positionen (i , i) (fur i ∈ {1, . . . , n}).
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47
Dreiecksmatrizen und LGS
Bemerkung 4.22
Sei A = (aij) ∈ Kn×n eine obere oder untereDreiecksmatrix.
1. Ist aii 6= 0 fur alle i , so sind fur alle b, c ∈ Kn
die Systeme
Ax = b und y TA = cT
eindeutig losbar.
2. Ist aii = 0 fur irgendein i , so ist Ax = ei nichtlosbar.
48
Invertierbarkeit
Definition 4.23
Eine quadratische Matrix A ∈ Kn×n heißtinvertierbar (oder regular), falls eine MatrixB ∈ Kn×n existiert mit AB = In.Eine solche MatrixB ist eindeutig bestimmt (wenn sie existiert); siewird mit A−1 (Inverse von A) bezeichnet.Eine nichtinvertierbare quadratische Matrix heißt singular.
Korollar 4.24
Eine Dreiecksmatrix ist genau dann invertierbar,wenn sie auf der Hauptdiagonalen keine Null hat.
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49
Rechenregeln
Seien A,B ∈ Kn×n invertierbar. Dann gelten:
I AA−1 = A−1A = InI (A−1)−1 = A
I (AT )−1 = (A−1)T
I (AB)−1 = B−1A−1
Sind A1, . . . ,Ak ∈ Kn×n invertierbar, so istA1 · A2 · · · · · Ak invertierbar mit
(A1 · A2 · · · · · Ak)−1 = A−1k · · · · · A
−12 · A−1
1 .
50
Invertierbarkeit und LGSBemerkung 4.25
Ist A ∈ Kn×n invertierbar, so hat fur jedes b ∈ Kn
das LGS Ax = b genau eine Losung: x = A−1b.
Satz 4.26
Eine Matrix A ∈ Kn×n ist genau dann invertierbar,wenn das LGS Ax = On nur die Losung x = On hat.
Korollar 4.27
Elementare Zeilen- und Spaltenoperationen anderndie Invertierbarkeit einer Matrix nicht. (Achtung:Die Inverse andert sich i.a. aber schon.)
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51
Kriterien fur Invertierbarkeit
Korollar 4.28
Eine Matrix A ∈ Kn×n ist genau dann invertierbar,wenn ihre Spalten linear unabhangig sind.
Korollar 4.29
Eine Matrix A ∈ Kn×n ist genau dann invertierbar,wenn ihre Zeilen linear unabhangig sind.
52
Invertierbarkeit und lineare Abbildungen
Satz 4.30
Eine durch ϕ(x) = Ax (mit A ∈ Kn×n) definiertelineare Abbildung ϕ : Kn → Kn ist genau dannumkehrbar, wenn A invertierbar ist. DieUmkehrabbildung ist dann definiert durchϕ−1(y) = A−1y fur alle y ∈ Kn.
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53
Elementarmatrizen
Definition 4.31
Eine Elementarmatrix ist eine Matrix, die auseiner Identitatsmatrix durch eine elementareZeilenoperation oder eine Zeilenskalierung (mitλ 6= 0) hervorgeht.
54
Invertierung von ElementarmatrizenBemerkung 4.32
I Elementarmatrizen sind invertierbar. IhreInversen sind die Elementarmatrizen, die zu denjeweiligen ”Umkehroperationen” (Vertauschen,Subtraktion des λ-fachen, Multiplikation mitKehrwert) gehoren.
I Entsteht A aus A ∈ Km×n durch eine Folge vonelementaren Zeilenoperationen undZeilenskalierungen mit zugehorigenElementarmatrizen E1, . . . ,Ek ∈ Km×m, so istA = PA mit der invertierbaren Matrix
P = Ek · · · · · E2 · E1 ∈ Km×m.
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55
Invertierung mittels Gauß-AlgorithmusI Sei A ∈ Kn×n.I Forme (A, In) ∈ Kn×2n mittels elementarer
Zeilenoperationen und Zeilenskalierungen in(A,B) um, so dass A in NZSF ist.
I Ist P ∈ Kn×n das Produkt der zugehorigenElementarmatrizen (wie in Bem. 4.32), so ist
(A,B) = P · (A, In) = (PA,P),
also B = P und A = PA = BA.I Falls A = In ist, so ist also In = BA, folglich
A−1 = B .I Falls A 6= In (A hat NZSF), so hat A
wenigstens eine Null auf der Hauptdiagonalen,also ist A nicht invertierbar.
56
Darstellungsmatrizen. . .
Definition 4.33
Seien V und W zwei endlich-dimensionaleK-Vektorraume mit zwei geordneten BasenB = (b(1), . . . , b(n)) von V und C = (c (1), . . . , c (m))von W . Die Darstellungsmatrix einer linearenAbbildung ϕ : V → W bzgl. B und C
CM(ϕ)B =(Cϕ(b(1)), . . . , Cϕ(b(n))
)∈ Km×n
hat als Spalten die Koordinatenvektoren der Bilderϕ(b(1)), . . . , ϕ(b(n)) der Basis B bzgl. der Basis C .
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57
. . . stellen lineare Abbildungen dar
Satz 4.34
Sind V und W endlich-dimensionaleK-Vektorraume mit zwei geordneten Basen B vonV und C von W , so gilt fur jede lineare Abbildungϕ : V → W fur alle v ∈ V :
Cϕ(v) = CM(ϕ)B · Bv
58
Verkettung linearer Abbildungen
Satz 4.35
Sind V ,W ,U endlich-dimensionale K-Vektorraumemit geordneten Basen B ,C bzw. D, so gilt
DM(ψ ◦ ϕ)B = DM(ψ)C · CM(ϕ)B
fur alle linearen Abbildungenϕ : V → W , ψ : W → U.
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59
Darstellungsmatrizen und Basiswechsel
Satz 4.36
Sind B und C zwei geordnete Basen desendlich-dimensionalen K-Vektorraumes V , so giltfur jede lineare Abbildung ϕ : V → V
CM(ϕ)C = S−1 · BM(ϕ)B · S
mit S = BM(idV )C (die Matrix, deren Spalten dieKoordinatenvektoren von C bzgl. B sind).
60
Wechsel von der Standardbasis
Bemerkung 4.37
Ist A ∈ Kn×n und ist C = (c (1), . . . , c (n)) einegeordnete Basis von Kn, so gilt fur ϕA : Kn → Kn
mit ϕA(v) = Av:
CM(ϕA)C = S−1AS ,
wobei S ∈ Kn×n die Matrix mit Spaltenc (1), . . . , c (n) ist.
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61
Ahnlichkeit von Matrizen
Definition 4.38
Zwei Matizen A,A′ ∈ Kn×n heißen ahnlichzueinander, wenn es eine invertierbare MatrixS ∈ Kn×n gibt mit
A′ = S−1AS .
62
Parallelogramm
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63
Spate/Parallelepipede
64
Streichungsmatrizen
Definition 4.39
Fur A ∈ Kn×n und i , j ∈ {1, . . . , n} seiA(i ,j) ∈ K(n−1)×(n−1) die Matrix, die aus A entsteht,wenn man die i -te Zeile und die j-te Spalte herausstreicht.
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65
Definition der Determinante
Definition 4.40
Fur beliebige n ≥ 1 definieren wir dieDeterminante det(A) ∈ K einer quadratischenMatrix A = (aij) ∈ Kn×n rekursiv:
I Falls n = 1: A = (a11) und det(A) := a11
I Falls n ≥ 2:
det(A) :=n∑
i=1
(−1)i+1ai1 · det(A(i ,1))
= a11 · det(A(1,1))− a21 · det(A(2,1))+ · · ·+ (−1)n+1an1 · det(A(n,1))
66
Permutationen
Definition 4.41
Eine Permutation von {1, . . . , n} ist ein bijektiveAbbildung σ : {1, . . . , n} −→ {1, . . . , n}. EinePermutation σ reprasentiert also eine Reihenfolge
(σ(1), σ(2), . . . , σ(n))der Zahlen 1, 2, . . . , n. Eine Fehlstellung von σ istein Paar i < j mit σ(i) > σ(j). Das Signum von σist
sign(σ) :=
{+1 , gerade viele Fehlstellungen−1 , ungerade viele Fehlstellungen
.
Die Menge der Permutationen von {1, . . . , n} ist Πn.
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67
Leibniz-Formel
Satz 4.42
Fur die Determinante von A = (aij) ∈ Kn×n gilt:
det(A) =∑σ∈Πn
sign (σ) ·n∏
j=1
aσ(j),j
68
Die Determinante der Transponierten
Satz 4.43
Fur jede Matrix A ∈ Kn×n gilt:
det(A) =∑τ∈Πn
sign (τ)n∏
i=1
ai ,τ(i) = det(AT )
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69
Nullzeilen und Nullspalten
Bemerkung 4.44
Hat A ∈ Kn×n eine Zeile oder eine Spalte mit lauterNullen, so ist
det (A) = 0.
70
Multilinearitat der Determinanten
Satz 4.45
Ist A = (aij) ∈ Kn×n mit Ak,? = a′ + λa′′
(a′, a′′ ∈ Kn, λ ∈ K), so ist det(A) gleich
det
A1,?
...a′ + λa′′
...An,?
= det
A1,?
...a′...
An,?
+λ·det
A1,?
...a′′...
An,?
.
Analoges gilt fur Spalten.
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71
Die Determinante ist alternierendSatz 4.46
Entsteht A ∈ Kn×n aus A ∈ Kn×n durchVertauschung zweier Zeilen (oder zweier Spalten),so ist
det (A) = − det(A).
Korollar 4.47
Hat A ∈ Kn×n zwei gleiche Zeilen (oder zwei gleicheSpalten), so ist
det (A) = 0.
72
Laplace-Entwicklung
Satz 4.48
Fur A = (aij) ∈ Kn×n (n ≥ 2), k , ` ∈ {1, . . . , n} gilt:
det (A) =n∑
i=1
(−1)i+`ai` · det (A(i ,`))
(Entwicklung nach der `-ten Spalte)
det (A) =n∑
j=1
(−1)k+jakj · det (A(k,j))
(Entwicklung nach der k-ten Zeile)
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73
Zeilen-/Spaltenadditionen
Satz 4.49
Entsteht A ∈ Kn×n aus A ∈ Kn×n durch Additiondes λ-fachen der i -ten Zeile zur k-ten Zeile miti 6= k (oder des µ-fachen der j-ten Spalte zur `-tenSpalte mit j 6= `), so ist
det (A) = det (A).
74
Determinanten-Berechnung mit Gauß
I Sei A ∈ Kn×n gegeben.
I Bestimme mit elementaren Zeilen- undSpaltenoperationen aus A eine DreiecksmatrixA = (aij) ∈ Kn×n.
I Sei t die Anzahl der durchgefuhrten Zeilen-und Spaltenvertauschungen.
I Dann ist
det (A) = (−1)t ·n∏
i=1
aii .
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75
Determinante und Kern
Satz 4.50
Fur alle A ∈ Kn×n gilt:
det (A) 6= 0⇔ ker A 6= {On}
76
Determinanten-Multiplikationssatz
Satz 4.51
Fur A,B ∈ Kn×n gilt
det (AB) = det (A) det (B)
Vorsicht: Im Allgemeinen ist aber det (A + B) nichtgleich det (A) + det (B)!
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77
Rechenregeln
Seien A,B ∈ Kn×n.
I det (AT ) = det (A)
I det (A) 6= 0⇔ A invertierbar
I det (A−1) = 1det (A) , falls A invertierbar
I det (AB) = det (A) det (B) = det (BA)
I det (Ak) = (det (A))k fur alle k ∈ NI det (λ · A) = λn · det (A) fur alle λ ∈ KI det (In) = 1
I det (On×n) = 0
78
Cramers Regel
Satz 4.52
Ist A ∈ Kn×n invertierbar und b ∈ Kn, so gilt fur dieeindeutige Losung von Ax = b fur allej ∈ {1, . . . , n}:
xj =1
det Adet(A?,1, . . . ,A?,j−1, b,A?,j+1, . . . ,A?,n
)
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79
Diagonalisierbarkeit
Definition 4.53
Eine Matrix A ∈ Kn×n heißt diagonalisierbar, wennes eine invertierbare Matrix S ∈ Kn×n gibt, so dassD = S−1AS eine Diagonalmatrix ist.
80
Eigenwerte und -vektoren
Definition 4.54
Eine Zahl λ ∈ K heißt ein Eigenwert vonA ∈ Kn×n, wenn es (wenigstens) einen Vektorv ∈ Kn \ {On} gibt mit
Av = λv .
Diese Vektoren heißen dann Eigenvektoren zumEigenwert λ.
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81
Kriterium fur Diagonalisierbarkeit
Satz 4.55
Eine Matrix A ∈ Kn×n ist genau danndiagonalisierbar, wenn es eine Basis von Kn auslauter Eigenvektoren von A gibt. Schreibt man dieseBasisvektoren als Spalten in eine Matrix S ∈ Kn×n,so ist S−1AS eine Diagonalmatrix, auf derenDiagonalen die zu den Basisvektoren gehorendenEigenwerte stehen.
82
Eigenraume
Definition 4.56
Fur einen Eigenwert λ ∈ K von A ∈ Kn×n heißt
EigA (λ) = {v ∈ Kn |Av = λv}
der Eigenraum zum Eigenwert λ.
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83
Das charakteristische Polynom
Definition 4.57
Fur eine Matrix A ∈ Kn×n heißt
χA = det(A− x · In) ∈ K[x ]n
das charakteristische Polynom von A.
Satz 4.58
Die Eigenwerte von A ∈ Kn×n sind genau dieNullstellen des charakteristischen PolynomsχA ∈ K[x ]n von A.
84
Konsequenzen
Bemerkung 4.59
Eine Matrix A ∈ Kn×n hat also hochstens nEigenwerte (weil χA den Grad n hat).
Satz 4.60
Jede Matrix in Cn×n hat wenigstens einenEigenwert; wegen Rn×n ⊆ Cn×n hat also jede reelleMatrix wenigstens einen Eigenwert in C.
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85
Nicht-reelle Eigenwerte reeller Matrizen
Bemerkung 4.61
Die nicht-reellen Eigenwerte reeller Matrizen tretenals Paare zueinander komplex-konjugierterkomplexer Zahlen auf.
86
Vielfachheiten von Nullstellen
I Jedes Polynom p(x) ∈ C[x ] vom Grad nzerfallt in n Linearfaktoren:
p(x) = α · (λ1− x)k1 · (λ2− x)k2 · · · · · (λr − x)kr
mitα ∈ C \ {O} , λi 6= λj , k1 + k2 + · · ·+ kr = n
I λ1, . . . , λr sind genau die Nullstellen von p(x),ihre Vielfachheiten sind k1, . . . , kr .
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87
Vielfachheiten von Eigenwerten
Definition 4.62
Ist λ ∈ K ein Eigenwert von A ∈ Kn×n, so ist diealgebraische Vielfachheit von λ die Vielfachheitder Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms χA
von A; die geometrische Vielfachheit von λ istdim (EigA (λ)).
88
Algebraische und geometrischeVielfachheit
Satz 4.63
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts isthochstens so groß wie seine algebraischeVielfachheit; fur jeden Eigenwert gilt also:
1 ≤ geom. Vielf. ≤ alg. Vielf.
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89
Diagonalisierbarkeit und Eigenwerte
Satz 4.64
Eine Matrix A ∈ Kn×n ist genau dann (uber K)diagonalisierbar, wenn ihr charakteristischesPolynom χA (uber K) in Linearfaktoren zerfallt undfur jeden Eigenwert die geometrische Vielfachheit sogroß wie die algebraische ist.
90
Determinante und Spur. . .
Satz 4.65
Sind λ1, . . . , λr ∈ C die Eigenwerte einer MatrixA ∈ Cn×n mit algebraischen Vielfachheitenk1, . . . , kr , so ist
I det (A) = λk11 · λk22 · · · · · λkrr
I Spur (A) = k1λ1 + k2λ2 + · · ·+ krλr
(Spur (A) =n∑
i=1
Aii)
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. . . im charakteristischen Polynom
Bemerkung 4.66
Fur jede Matrix A ∈ Kn×n ist
χA = (−1)nxn+(−1)n−1 Spur (A)xn−1+· · ·+det (A),
Spur und Determinante findet man also in denKoeffizienten des charakteristischen Polynoms.
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Komplex konjugierte Vektoren/Matrizen
Definition 4.67
Fur v = (v1, . . . , vn) ∈ Cn sei v = (v1, . . . , vn) ∈ Cn
der zu v komplex konjugierte Vektor; furA = (aij) ∈ Cn×n sei A = (aij) ∈ Cn×n die zu Akomplex konjugierte Matrix.
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Symmetrische reelle Matrizen
Satz 4.68
Jede symmetrische reelle Matrix A ∈ Rn×n ist uberR diagonalisierbar.
Satz 4.69
Die Eigenraume zu verschiedenen Eigenwerten einersymmetrischen reellen Matrix stehen orthogonalzueinander (d.h., je zwei Vektoren aus verschiedenenEigenraumen haben Skalarprodukt Null).
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Orthonormalbasen, orthogonale MatrizenDefinition 4.70
Eine Orthonormalbasis ist eine Basis von Rn,deren Vektoren paarweise orthogonal aufeinanderstehen und Norm Eins haben.
Definition 4.71
Eine Matrix S ∈ Rn×n heißt orthogonal, wennSTS = I (d. h. S−1 = ST ) gilt.
Bemerkung 4.72
Eine Matrix S ∈ Rn×n ist genau dann orthogonal,wenn die Spalten von S eine Orthonormalbasisvon Rn bilden.
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Reelle symmetrische Matrizen
Satz 4.73
Fur jede symmetrische Matrix A ∈ Rn×n gibt es eineorthogonale Matrix S ∈ Rn×n, so dass STAS = DDiagonalgestalt hat. Die Eigenwerte von A stehendabei mit ihren (algebraischen, geometrischen)Vielfachheiten auf der Diagonalen von D. DieSpalten von S bilden eine Orthonormalbasis von Rn
aus Eigenvektoren von A.
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Hermitesche Matrizen
Definition 4.74
Eine Matix A ∈ Cn×n heißt hermitesch, wenn
AT
= A ist.
Satz 4.75
Jede hermitesche Matrix A ∈ Cn×n istdiagonalisierbar und hat nur reelle Eigenwerte.