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Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
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Mathematik (September 2016) 1. Präambel 2. Grundlagen der Leistungsbewertung 3. Hausaufgaben-Konzept 4. Lehrbücher und Medien 5. Curriculum Jahrgangsstufe 5 6. Curriculum Jahrgangsstufe 6 7. Curriculum Jahrgangsstufe 7 8. Curriculum Jahrgangsstufe 8 9. Curriculum Jahrgangsstufe 9 10. Curriculum Jahrgangsstufe 10 / EF 11. Curriculum Jahrgangsstufe 11 / Q1 12. Curriculum Jahrgangsstufe 12 / Q2 13. Projekte
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
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1. Präambel
Ziele des Mathematikunterrichtes1 Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I sollen die Schülerinnen und Schüler ...
Erscheinungen aus Natur, Gesellschaft , Kultur und Technik mit Hilfe der Mathematik
verstehen und modellhaft Lösungen finden, (Mathematik als Anwendung)
Mathematik als „Sprache“ verstehen“, die mit ihr eigenen Bezeichnungen, Symbolen und
Bildern Sachverhalte darstellt, (Mathematik als Struktur)
in mathematischen Fragestellungen auch über das Fach hinaus Kompetenzen in anderen
Bereichen erwerben (Mathematik als kreatives Handlungsfeld)
In der Auseinandersetzung mit der Mathematikunterricht und darüber hinaus sollen die Schülerinnen und Schüler
das mathematische Wissen miteinander entwickeln und kooperativ Probleme lösen.
Verantwortung für das eigene Lernen übernehmen und ihr Lernen bewusst steuern.
auch fachübergreifende Kompetenzen erwerben, wie das Problemlösen, das Strukturieren
von komplexen Problemen, das Nutzen von Modellen und Werkzeugen, das sachgerechte
Argumentieren und das Präsentieren von Ideen und Ergebnissen.
Sie werden im Sinne eines wissenschaftspropädeutischen Vorgehens vor allem in Leistungskursen auf das Studium mit Inhalten aus der Mathematik vorbreitet. Ziele unserer Schule Den im Schulprogramm ausgewiesenen Zielen, Schülerinnen und Schüler ihren Begabungen und Neigungen entsprechend individuell zu fördern und ihnen Orientierung für ihren weiteren Lebensweg zu bieten, fühlt sich die Fachgruppe Mathematik in besonderer Weise verpflichtet:
Die Schülerinnen und Schüler sollen Mathematik erfolgreich erlernen und sich ihrer adäquat bedienen. Wir wollen sie auf diesem Weg führen, sie ermutigen und ihnen helfen, Schwierigkeiten zu überwinden und besondere Leistungen zu erbringen. In der Klasse 5 greifen wir das in der Grundschule Erlernte auf, gleichen die unterschiedlichen Voraussetzungen an und vertiefen die Inhalte. Ein Schwerpunkt liegt hier in der Entwicklung angemessener Arbeitsformen, einer sorgfältigen Arbeitsweise, einer angemessenen Dokumentation der Lernergebnisse und der sachgerechten Nutzung von Werkzeugen. Uns ist wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler Freude haben beim Erlernen der Mathematik, dass sie gemeinsam lernen und dass sie sich gegenseitig unterstützen. Mit zunehmendem Alter sollen sie ihr eigenes Lernen dabei immer bewusster steuern und verantworten. In der Einführungsphase kommen Schüler aus anderen Schulformen, vor allem von den umliegenden Realschulen, an unsere Schule. Diese Schüler werden in Kursen unterrichtet, denen eine zusätzliche Wochenstunde in Mathematik erteilt wird. Dadurch wird die Angleichung der Lernvoraussetzungen für die Qualifikationsphase vorangetrieben. Das schulinterne Curriculum beruht auf den Kernlehrplänen des Landes NRW. Es wird fortlaufend überdacht und angepasst. Einsatz von Werkzeugen
1 vgl. http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/lehrplannavigator-s-i/gymnasium-
g8/mathematik-g8/kernlehrplan-mathematik/aufgaben-ziele/aufgaben-und-ziele.html
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Ab Klasse 6 setzen wird Computerprogramme wie GEOGEBRA oder EXCEL ein. Diese Programme sind im Computerraum auf allen Rechnern verfügbar. In der Klasse 7 führen wir einen wissenschaftlichen Taschenrechner ein und setzen ihn regelmäßig auch in Klassenarbeiten ein. Das Rechnen ohne Taschenrechner wird weiterhin gefordert und gefördert. In der Oberstufe benutzen wir den grafikfähigen Taschenrechner TI Nspire CX. Zentrale Erhebungen und Prüfungen In der Klasse 8 machen wir die Schülerinnen und Schüler mit den Aufgabenformaten der zentralen Lernstandserhebungen vertraut. Die Ergebnisse der Lernstandserhebungen werden von uns analysiert und zur Reflexion unseres Unterrichts genutzt. In der Einführungsphase bereiten wir die Schülerinnen und Schüler durch geeignetes zusätzliches Aufgabenmaterial auf die Zentralklausuren am Ende des Jahres vor. In der Qualifikationsphase streben wir das erfolgreiche Abschneiden der Lerngruppen im Zentralabitur an. Die bisherigen Ergebnisse ermutigen uns, auf diesem Weg fortzufahren. Förderung Zur Zeit wird der Unterricht überwiegend in Doppelstunden erteilt. Wir nutzen im Unterricht in Übungsphasen verstärkt die Möglichkeit, Schülern individuell zu helfen und von Mitschülern helfen zu lassen. Im Rahmen des Förderplanes unserer Schule erhalten Schülerinnen und Schülern der Sek I bei Bedarf während des 2. Schulhalbjahres zweistündigen Förderunterricht. Die jeweiligen Fachlehrer stimmen die Förderinhalte mit dem Förderlehrer ab. Quereinsteiger (Schülerinnen und Schüler aus anderen Schulformen) werden in der Einführungsphase in Kursen unterrichtet, denen eine zusätzliche Wochenstunde in Mathematik zur Verfügung steht.
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2. Grundlagen der Leistungsbewertung
Leistungskonzept im Fach Mathematik In den einzelnen Unterrichtsstunden, in individuellen Unterrichtsbeiträgen, wie z.B. Referaten oder Lernplakaten in der Zusammenarbeit mit Mitschülerinnen und Mitschülern und in den schriftlichen Arbeiten, also Klassenarbeiten und Klausuren erbringen die Schülerinnen und Schüler vielfältige Formen von Leistungen. Die daraus resultierenden Noten geben den Schülerinnen und Schülern und den Eltern Auskunft über den momentanen Leistungsstand, über Stärken und Defizite. Die Lehrerinnen und Lehrern gewinnen dabei Erkenntnisse über Lernfortschritte und passen ihren Unterricht den Bedürfnissen der Lerngruppe an. Erfolge sollen den Schülerinnen und Schülern besonders mitgeteilt werden und sie zum Weiterlernen ermutigen. Auf Defizite in der Leistung werden sie frühzeitig hingewiesen und ihnen werden Möglichkeiten zur Verbesserung der Leistungen aufgezeigt.
Klassenarbeiten und Klausuren In den Klassenarbeiten und Klausuren sollen die Schülerinnen und Schüler in schriftlicher Form die im Unterricht erworbenen Kenntnisse und Fertigkeiten nachweisen können. Sie werden frühzeitig angekündigt, angemessen vorbereitet und in ihren Erwartungen klar formuliert. Inhaltlich geht es dabei aber nicht nur um Reproduktion des im Unterricht Gelernten, sondern zunehmend mit dem Alter auch immer mehr um Begründungen, Darstellungen von Zusammenhängen und kritischen Reflexionen.2 In der Oberstufe passen sich die Klausuren inhaltlich und in der Form zunehmend den Aufgabenformaten des Zentralabiturs an. Die in den einzelnen Jahrgangsstufen unterrichtenden Lehrerinnen und Lehrer treffen Absprachen über Inhalte und Umfang von Klassenarbeiten und Klausuren und sorgen für einheitliche Standards.
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Jahrgangsstufe Anzahl der
Klassenarbeite im 1. Halbjahr
Zeit/Ustd Anzahl der
Klassenarbeiten im 2. Halbjahr
Zeit/Ustd
5 3 1 3 1
6 3 1 3 1
7 3 1 3 1
8 3 1 2 + Lernstandserhebung 83 1
9 2 1 2 oder 3 1 -2
EF 2 2 1 + Zentralklausur 2
Q1 2 GK 2 LK 3 2 GK 2 LK 3
Q2 2 Gk 3 LK 4/5
1 + Abiturklausur Gk 3 LK 4/5
Bewertung Die Bewertung von Klassenarbeiten und Klausuren erfolgt in der Sek. I nach einem Punkteschema, bei der die Note ausreichend erteilt wird, wenn annähernd die Hälfte der zu erwartenden Gesamtleistung erbracht wird. Die Korrektur erfolgt so, dass die individuellen Fehler, sowie deren Gewichtung nachvollziehbar sind. Die Punktvergabe in der SI orientiert sich dabei an folgendem Schema
Note sehr gut gut befriedigend ausreichend mangelhaft ungenügend
Prozentzahl der Punkte
100%-87% 86%-73% 72%-59% 58%-45% 44%-23% 22%-0%
Je nach Schwierigkeitsgrad kann die Punktvergabe nach Ermessen des Lehrers/der Lehrerin jedoch davon geringfügig abweichen. In der Sek. II orientiert sich die Punktvergabe an der Vorlage des Zentralabiturs:
Note 1+ 1 1- 2+ 2 2- 3+ 3 3- 4+ 4 4- 5+ 5 5- 6
Punkte 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Prozent 100%-95%
90%-94%
85%-89%
80%-84%
75%-79%
70%-74%
65%-69%
60%-64%
55%-59%
50%-54%
45%-49%
40%-44%
34%-39%
27%-33%
20%-26%
0%-19%
3 Die Lernstandserhebungen werden nicht benotet und nicht in die Leistungsbeurteilung einbezogen.
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Sonstige Leistungen im Unterricht Sonstige Leistungen im Unterricht sind die mündlichen Beiträge, das angemessene Führen von Heften und Mitschriften, die Beiträge bei Partner- und Gruppenarbeiten, das Vorrechnen an der Tafel, das Vortragen von Hausaufgaben, das Halten von Referaten, kurze schriftliche Überprüfungen, Protokolle u.ä. Sie sollen bei der gesamten Leistungsbewertung den gleichen Stellenwert wie die schriftlichen Arbeiten haben. Dabei sind nicht nur die inhaltlichen Kompetenzen, also der Erwerb von Fertigkeiten in Algebra, in Geometrie und in Stochastik, sondern in gleicher Weise auch die prozessbezogenen Kompetenzen, also im Argumentieren/Kommunizieren, im Problemlösen, im Modellieren und im Gebrauch von Werkzeugen zu beurteilen. Als Orientierungspunkte für die Notenvergabe in der Sek. I können die folgenden Kriterien zur Erteilung der Noten „gut“ bzw. „ausreichend“ dienen.
Leistungskriterien für die mündlichen Leistungen in der Sek. I
Note „ gut“ „Die Leistung entspricht in vollem Umfang den Anforderungen“
Note „ausreichend“ „Die Leistung weist zwar Mängel auf, entspricht im Ganzen aber noch den Anforderungen“
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Übungsaufgaben können im Wesentlichen selbständig und vollständig gelöst werden. Im Mündlichen gibt es regelmäßige, freiwillige, weiterführende Beiträge zum Unterricht. Es sind Kenntnisse aus früheren Stoffgebieten abrufbar. Hausaufgaben werden im Zusammenhang und weitgehend richtig vorgetragen. Das Arbeiten ist selbständig.
Aufgaben werden häufiger fehlerhaft gelöst, grundsätzliche Lösungswege werden aber beherrscht. Es gibt gelegentliche, freiwillige Mitarbeit im Unterricht. Die Äußerungen beschränken sich auf die Wiedergabe einfacher Zusammenhänge und auf das unmittelbar im Unterricht behandelte Stoffgebiet und sind im Wesentlichen richtig. Das Arbeiten ist oft nicht selbständig.
Argumentieren/Kommunizieren:
Die Fachsprache wird altersgemäß beherrscht und im Wesentlichen richtig verwendet. In Partner/Gruppenarbeiten zeigt sich Teamfähigkeit und es werden konstruktive Beiträge erbracht. Ergebnisse werden im Zusammenhang und strukturiert vorgetragen.
Die Fachsprache wird in Ansätzen, aber nicht immer richtig verwendet. Die Mitarbeit in Partner/Gruppenarbeiten ist meist reproduktiv, aber nicht destruktiv. Die Beiträge sind von geringem Umfang. Ergebnisse werden nur zögernd und nach Aufforderung vorgetragen.
Problemlösen:
Mathematische Problemstellungen werden weitgehend erkannt, Lösungsschritte werden systematisch gegangen, Ergebnisse werden auf Plausibilität und Richtigkeit reflektiert.
Lösungsansätze werden häufig nicht selbst gefunden, es bedarf immer wieder Hilfestellungen. Ergebnisse werden nur ansatzweise reflektiert.
Modellieren:
Es ist die Fähigkeit vorhanden, mathematische Probleme in Modellen (Terme, Figuren, Diagramme) darzustellen und Modellen eine Realsituation zuzuordnen.
Die Übertragung von mathematischen Problemen in Modelle gelingt in Ansätzen und/oder nur unter Anleitung.
Werkzeuge:
Hilfsmittel wie Geodreieck, Zirkel, Taschenrechner, Formelsammlungen sind präsent und werden selbständig und sicher
Hilfsmittel stehen öfter nicht zur Verfügung, der Umgang damit ist nicht sicher, gelingt aber mit Hilfen.
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genutzt. Präsentationsmedien (auch Computerprogramme) werden altersgemäß genutzt. Ergebnisse werden angemessen dokumentiert. Das Schulbuch und andere Medien werden selbständig zum Nachschlagen und Wiederholen verwendet.
Präsentationsmedien werden eher selten genutzt. Computerprogramme werden nur in geübten Aufgabenstellungen verwendet. Die Heftführung ist beschränkt sich auf das Notwendigste. Schulbuch und andere Medien werden im Wesentlichen nur nach Aufforderung und bei gezielten Aufgabenstellungen genutzt.
3. Hausaufgaben-Konzept s. Hausaufgabenkonzept des Erzb. St.-Angela-Gymnasiums vom 23. Juni 2010).
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4. Lehrbücher und Medien Klasse Lehrbuch Sonstige Medien
5 Elemente der Mathematik (Schroedel) ISBN 978-3-507-87440-4
Arbeitsheft EdM
6 Elemente der Mathematik (Schroedel) ISBN 978-3-507-87442-8
Arbeitsheft EdM
7 Elemente der Mathematik (Schroedel) ISBN 978-3-507-87440-4
Arbeitsheft EdM wissenschaftl. Taschenrechner empfohlen: Casio FX 82 DE plus
8 Elemente der Mathematik (Schroedel) ISBN 978-3-507-87446-6
Arbeitsheft EdM
9 Elemente der Mathematik (Schroedel) ISBN 978-3-507-87448-0
Arbeitsheft EdM
EF Elemente der Mathematik Einführungsphase (ab Schj. 2014/15) ISBN 978-3-507-87980-5
Grafikfähiger Taschenrechner TI Nspire CX
Q1 und Q2 Elemente der Mathematik Qualifikationsphase Grundkurs ISBN 978-3-507-87982-9 Leistungskurs ISBN 978-3-507-87991-1
Grafikfähiger Taschenrechner TI Nspire CX
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Jahrgangsstufe 5 Unterrichtsvorhaben
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
1. Natürliche Zahlen und Größen 2. Rechnen mit natürlichen Zahlen 3. Körper und Figuren 4. Flächen- und Rauminhalte 5. Anteile-Brüche
Die folgenden Kompetenzen werden immer angestrebt:
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler wenden ihre bisher erworbenen Fähigkeiten an, um Informationen aus einfachen
Texten und Bildern zu entnehmen.
werden in den Übungsaufgaben durchgängig angehalten, schriftliche
Stellungnahmen (z.B.„Was meinst du dazu?“, „Beschreibe dein Vorgehen“) zu
formulieren (Detektiv-Aufgaben).
arbeiten in Partner- und Teamarbeit und tauschen sich über verschiedene
Lösungswegen und Fehler aus.
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler werden stets angehalten, Ergebnisse in Bezug auf die Problemstellung zu deuten
und zu veranschaulichen.
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation.
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler nutzen Präsentationsmedien (z. B. Folie, Plakat, Tafel).
dokumentieren ihre Arbeit, ihre eigenen Lernwege und aus dem Unterricht
erwachsene Merksätze und Ergebnisse
nutzen selbst erstellte Dokumente und das Schulbuch zum Nachschlagen.
Die Fachlehrer einer Jahrgangsstufe arbeiten soweit es geht parallel. Sie tauschen sich aus über das verwendete Arbeitsmaterial, über Methoden und Defizite, über die Terminierung und die Inhalte von Klassenarbeiten. Sie tauschen sich mit dem jeweiligen Förderlehrer aus. Absprache: In der Jgst. 5 wird in allen Klassen verbindlich das Arbeitsheft zum Lehrbúch eingeführt und regelmäßig verwendet.
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Jahrgangsstufe 5/Unterrichtsvorhaben 1: „Natürliche Zahlen und Größen“
Inhaltliche Schwerpunkte Darstellung von Daten; große Zahlen; Zweiersystem; Römische Zahlzeichen; Zahlen am Zahlenstrahl; Runden von Zahlen; Größen und ihre Einheit; Maßstab; Darstellung von Größen in Säulendiagrammen
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Arithmetik/Algebra
Die Schülerinnen und Schüler
stellen ganze Zahlen auf verschiedene Weise dar
(Zahlengerade, Zifferndarstellung, Stellenwerttafel, Wortform).
stellen Größen in Sachsituationen mit geeigneten Einheiten dar
ordnen, vergleichen und runden natürliche Zahlen.
Funktionen
Die Schülerinnen und Schüler
stellen Beziehungen zwischen Zahlen und zwischen Größen in
Tabellen und Diagrammen dar.
Stochastik
Die Schülerinnen und Schüler
erheben Daten und fassen sie in Ur- und Strichlisten
zusammen.
stellen Häufigkeitstabellen zusammen und veranschaulichen
diese mithilfe von Säulendiagrammen.
lesen und interpretieren statistische Daten.
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
ziehen Informationen aus mathematikhaltigen Darstellungen (Text, Bild, Tabelle,
Graph), strukturieren und bewerten sie.
arbeiten bei Lösungen von Problemen im Team.
sprechen über eigene und vorgegebene Lösungswege, Ergebnisse und
Darstellungen, finden und erklären und korrigieren Fehler.
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler
geben inner- und außermathematische Problemstellungen in eigenen Worten
wieder und entnehmen ihnen die relevanten Größen.
finden in einfachen Problemsituationen mögliche mathematische Fragestellungen.
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler
übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Diagramm).
ordnen einem mathematischen Modell eine passende Realsituation zu.
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler nutzen Lineal und Geodreieck zum Messen und genauen Zeichnen.
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Jahrgangsstufe 5/Unterrichtsvorhaben 2: „Rechnen mit natürlichen Zahlen“
Inhaltliche Schwerpunkte Addieren und Subtrahieren; Multiplizieren und Dividieren; Terme, Rechengesetze; Potenzieren; Variable und Gleichungen; Teiler und Vielfache; Teilbarkeitsregeln
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Arithmetik/Algebra
Die Schülerinnen und Schüler
stellen Rechnungen mit natürlichen Zahlen auf verschiedene
Weise dar (Zahlengerade, Stellenwerttafel).
führen Grundrechenarten aus (Kopfrechnen und schriftliche
Rechenverfahren).
wenden ihre arithmetischen Kenntnisse von Zahlen und
Größen an, nutzen Strategien für Rechenvorteile, Techniken
des Überschlagens und die Probe als Rechenkontrolle.
bestimmen Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen und
wenden Teilbarkeitsregeln an.
zeichnen Rechenbäume und Pfeilbilder zur Veranschaulichung
von Rechnungen.
Funktionen
Die Schülerinnen und Schüler
erkunden Muster in Beziehungen zwischen Zahlen und stellen
Vermutungen auf.
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
entnehmen Informationen aus einfachen Texten, Bildern und Tabellen.
erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln und Verfahren mit eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen.
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler ermitteln Näherungswerte für erwartete Ergebnisse durch Schätzen und
Überschlagen.
erkennen und nutzen Rechenvorteile.
Deuten Ergebnisse in Bezug auf die Problemstellung.
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler
Übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (z. B.
Terme).
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Jahrgangsstufe 5/Unterrichtsvorhaben 3: „Körper und Figuren“
Inhaltliche Schwerpunkte Ecken, Kanten und Flächen von Körpern; Umfang und Diagonale von Vielecken; Koordinatensystem; Beziehungen zwischen Geraden, Netz und Schrägbild von Quader und Würfel
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Arithmetik/Algebra
Die Schülerinnen und Schüler
bestimmen Anzahlen auf systematische Weise.
Funktionen
Die Schülerinnen und Schüler
nutzen gängige Maßstabsverhältnisse.
Geometrie
Die Schülerinnen und Schüler
verwenden die Grundbegriffe parallel, senkrecht zur
Beschreibung ebener Figuren.
benennen und charakterisieren Figuren und Grundkörper und
identifiziere sie in ihrer Umwelt.
zeichnen grundlegende ebene Figuren und Muster auch in
ebene Koordinatensysteme (1. Quadrant).
skizzieren Schrägbilder, entwerfen Netze von Würfeln und
Quadern und stellen Körper her.
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
nutzen geometrische Grundbegriffe zur Beschreibung ebener und räumlicher
Figuren.
erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln und Verfahren mit
eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen.
präsentiere Ideen und Ergebnisse in kurzen Beiträgen.
setzen Begriffe an Beispielen miteinander in Beziehung (z.B. Quadrat und
Rechteck; Länge und Umfang).
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler nutzen elementare mathematische Regeln und Verfahren (Messen, Rechnen,
Schätzen).
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler
überprüfen im mathematischen Modell gewonnene Lösungen an der
Realsituation.
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler nutzen Lineal und Geodreieck zum Messen und genauen Zeichnen.
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Jahrgangsstufe 5/Unterrichtsvorhaben 4: „Flächen und Rauminhalte“
Inhaltliche Schwerpunkte Flächeninhalt, Umfang; Längen-, Flächen- und Volumeneinheiten; Volumen und Oberfläche von Quadern
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Arithmetik/Algebra
Die Schülerinnen und Schüler
stellen Größen in geeigneten Einheiten dar (Längen, Flächen,
Volumina).
vergleichen und ordnen Ergebnisse von Flächen- und
Volumenberechnungen.
führen Grundrechenarten bei der Berechnung von Flächen- und
Volumenberechnungen aus und nutzen Rechenvorteile.
Geometrie
Die Schülerinnen und Schüler
benennen und charakterisieren Figuren und Grundkörper und
identifiziere sie in ihrer Umwelt.
schätzen und bestimmen Flächen und Volumina von Quadern
und daraus zusammengesetzten Figuren.
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln und Verfahren mit
eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen.
präsentiere Ideen und Ergebnisse in kurzen Beiträgen.
setzen Begriffe an Beispielen miteinander in Beziehung (z.B. Quadrat und
Rechteck; Länge und Umfang) und begründen Zusammenhänge zwischen
verschiedenen Einheiten.
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler
nutzen elementare mathematische Regeln und Verfahren (Messen, Rechnen,
Schätzen) zur Bestimmung von Flächeninhalten und Volumina.
wenden Strategien zur Flächen- und Voluminaberechnung an
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler
übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle und
Aufgabenstellungen.
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler nutzen Lineal und Geodreieck zum Messen und genauen Zeichnen.
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Jahrgangsstufe 5/Unterrichtsvorhaben 5: „Brüche“
Inhaltliche Schwerpunkte Brüche, Anteile an einem Ganzen, unechte Brüche, Brüche in gemischter Schreibweise, Erweitern und Kürzen
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Arithmetik/Algebra
Die Schülerinnen und Schüler
stellen einfache Bruchteile auf verschiedene Weise dar:
handelnd, zeichnerisch an verschiedenen Objekten, durch
Zahlensymbole und als Punkt auf der Zahlengerade.
deuten sie als Größen, Operatoren und Verhältnisse.
nutzen das Grundprinzip des Kürzens und Erweiterns von
Brüchen als Vergröbern bzw. Verfeinern der Einteilung
ordnen und vergleichen Zahlen.
Funktionen
Die Schülerinnen und Schüler
stellen Beziehungen zwischen Zahlen und zwischen Größen in
Diagrammen her.
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
geben Informationen aus einfachen mathematikhaltigen Darstellungen (Text,
Bild, Alltagsgegenstände) mit eigenen Worten wieder.
erläutern und begründen mathematische Sachverhalte (Gleichwertigkeit
verschiedener Brüche).
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler
geben inner- und außermathematische Problemstellungen in eigenen Worten
wieder und entnehmen ihnen die relevanten Größen (z. B. Bruchdarstellungen im
Alltag).
vergleichen verschiedene Darstellungen einer Zahl miteinander.
wenden Strategien zur Bestimmung von Anteilen und des Ganzen an.
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler
übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (z.B. Figuren
zur zeichnerischen Darstellung von Brüchen).
Überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der
Realsituation.
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Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler
nutzen Lineal und Geodreieck zum Messen und genauen Zeichnen von
Bruchteilen.
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Jahrgangsstufe 6
Unterrichtsvorhaben
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
1. Gebrochene Zahlen 2. Kreis-Winkel-Symmetrie 3. Dezimalbrüche 4. Berechnungen an Vielecken 5. Multiplizieren und Dividieren von Brüchen 6. Statistische Daten 7. Ganze Zahlen
Die folgenden Kompetenzen werden immer angestrebt: Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
wenden ihre bisher erworbenen Fähigkeiten an, um Informationen aus einfachen
Texten und Bildern zu entnehmen. werden in den Übungsaufgaben durchgängig
angehalten, schriftliche Stellungnahmen (z.B.„Was meinst du dazu?“,
„Beschreibe dein Vorgehen“) zu formulieren (Detektiv-Aufgaben).
arbeiten in Partner- und Teamarbeit und tauschen sich über verschiedene
Lösungswege und Fehlern aus.
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
werden stets angehalten, Ergebnisse in Bezug auf die Problemstellung zu deuten
und zu veranschaulichen.
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler… kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation.
Die Fachlehrer einer Jahrgangsstufe arbeiten soweit es geht parallel. Sie tauschen sich aus über das verwendete Arbeitsmaterial, über Methoden und Defizite, über die Terminierung und die Inhalte von Klassenarbeiten. Sie tauschen sich mit dem jeweiligen Förderlehrer aus. Absprache: In der Jgst. 6 wird in allen Klassen verbind-lich das Arbeitsheft zum Lehrbúch ein-geführt und regel-mäßig verwendet.
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Jahrgangsstufe 6/Unterrichtsvorhaben 1: „Gebrochene Zahlen“
Inhaltliche Schwerpunkte Gebrochene Zahlen, Addition und Subtraktion, Vervielfachen und Teilen
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Arithmetik/Algebra
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen gebrochene Zahlen auf der Zahlengeraden dar
deuten Mischungs- und Teilverhältnisse als Brüche und
umgekehrt.
nutzen das Grundprinzip des Kürzens und Erweiterns
vergleichen, ordnen und runden Brüche
addieren, subtrahieren, vervielfachen und teilen Brüche
nutzen Rechenvorteile beim Berechnen, verwenden
Überschlag und Probe zur Kontrolle bei Berechnungen
wenden das Kommutativ- und Assoziativgesetz
der Addition an
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
arbeiten mit Gebrochenen Zahlen in unterschiedlichen Darstellungsformen und
bauen auf ihren Kenntnissen aus Klasse 5 auf,
beschreiben mathematische Beobachtungen, finden Beispiele und Gegenbeispiele.
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
verwenden das Regelwerk der Bruchrechnung zum Bearbeiten von
Sachsituationen,
verwenden die Problemlösestrategie „Beispiele finden“.
Die Regeln bieten
sich zur
Darstellung auf
Plakaten an.
Im
MATHEKOFFER
gibt es Material
zum Darstellen von
Brüchen.
Messbecher aus der
Physiksammlung
können genutzt
werden
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Geometrie
Die Schülerinnen und Schüler…
arbeiten mit geometrischen Figuren zur Veranschaulichung
der Rechenoperationen mit Brüchen.
zeichnen einfache geometrische Figuren zu gegebenen
Operationen mit Brüchen.
schätzen und bestimmen Bruchteile
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler… übertragen Sachsituationen in Terme und grafische Darstellungen zu Bruchteilen,
kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation,
finden zu gegebenen Termen geeignete Realsituationen „Rechengeschichten“),
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
fertigen grafische Darstellungen zu Termen mit Bruchteilen an und arbeiten am
Zahlenstrahl
Empfehlenswert
sind die
Bruchrechenscheib
e und die
Geobretter aus dem
Arbeitsheft 6 zur
Darstellung von
Brüchen!
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Jahrgangsstufe 6/Unterrichtsvorhaben 2 : „Kreis-Winkel-Symmetrie“
Inhaltliche Schwerpunkte Kreis, Winkel, Symmetrien Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen,
Verbalisieren,
Präsentieren,
Vernetzen,
Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen,
Reflektieren
Modellieren Mathematisieren,
Validieren,
Realisieren
Werkzeuge Konstruieren,
Validieren,
Realisieren
Arithmetik/Algebra
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen Bruchteile mithilfe des Mittelpunktwinkels in
Kreisdiagrammen dar
vergleichen, ordnen und runden Winkelgrößen
Funktionen
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen Daten in einfachen Fällen in Kreisdiagrammen dar
entnehmen Informationen aus Tabellen und Kreisdiagrammen
arbeiten zur Längenbestimmung mit maßstabsgetreuen
Darstellungen
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen die Beziehungen zwischen Symmetrien und Abbildungen her
fertigen zu verschiedenen Situationen aus der Umwelt geometrische Figuren an
kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation
finden zu geometrischen Figuren passende Objekte in ihrer Umwelt.
Empfehlung::
Plakate mit den
Symmetrieeigen-
schaften und
Symmetrieabbil-
dungen aus der
Umwelt anfertigen
lassen.
Im
MATHEKOFFER
Raum und Form
findet sich gutes
Spielmaterial zu
den Symmetrien.
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Geometrie
Die Schülerinnen und Schüler…
verwenden geometrische Grundbegriffe zu Winkel, Kreis und
Symmetrie zur Beschreibung ebener und räumlicher Figuren
auch aus ihrer Umwelt.
zeichnen Winkel
zeichnen Kreise, besondere Dreiecke und Muster
spiegeln und verschieben einfache geometrische Figuren, auch
im Koordinatensystem.
schätzen und bestimmen Winkelgrößen
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
Die Schüler(innen) beschreiben mathematische Beobachtungen, finden Beispiele
und Gegenbeispiele. In einfachen Fällen geben sie auch Begründungen, z.B. bei
den Eigenschaften von Abbildungen.
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
fertigen Zeichnungen mit Geodreieck, Lineal und einem Dynamischen
Geometriesystem (GEOGEBRA) an.
Es sollte auch
besonderen Wert
auf räumliche
Symmetrien gelegt
werden! (z.B.
Bauen von
symmetrischen
Körpern mit dem
MATHEKOFFER
oder
Systembausteinen
Hier bietet sich
besonders der
Einstieg in die
Arbeit mit
GEOGEBRA an.
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Jahrgangsstufe 6/Unterrichtsvorhaben 3 : „Dezimalbrüche“
Inhaltliche Schwerpunkte Dezimalschreibweise, Vergleichen, Ordnen und Runden; Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen,
Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Arithmetik/Algebra
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen endliche Dezimalbrüche am Zahlenstrahl und in der
Stellentafel dar; sie notieren sie auch mit gebrochenen Zahlen
und als Prozent.
vergleichen, ordnen und runden endliche Dezimalbrüche.
führen Grundrechenarten mit endlichen Dezimalbrüchen
schriftlich und im Kopf durch.
nutzen Rechenvorteile
nutzen Überschlag und Probe zur Kontrolle von Ergebnisse
Funktionen
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen Daten mit Dezimalbrüchen in Säulendiagrammen dar.
entnehmen Informationen zu Sachzusammenhängen aus
Tabellen und Diagrammen als Grundlage für Berechnungen.
arbeiten mit einem geeigneten Maßstab bei Säulendiagrammen
zu Dezimalbrüchen.
zeichnen Diagramme zu Dezimalbrüchen
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
erläutern ihren Mitschülern eigene Ergebnisse, fertigen ggf. Plakate dazu an.
stellen Beziehungen zwischen Dezimalbrüchen und gebrochenen Zahlen
einschließlich ihrer geometrischen Darstellungen her.
beschreiben mathematische Beobachtungen, finden Beispiele und Gegenbeispiele.
In einfachen Fällen geben sie auch Begründungen.
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler… übertragen Problemstellungen aus Sachsituationen in mathematische Modelle wie
Terme
kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation.
erfinden Realsituationen zu vorgegebenen Termen und Diagrammen.
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
arbeiten bei grafischen Darstellungen mit Geodreieck und Lineal.
Blickpunkt:
Planung einer
Klassenfahrt eignet
sich gut, um einen
Sachzusammen-
hang herzustellen
Plakate mit
Musteraufgeben zu
den
Grundrechenarten,
Kommaverschie-
Weiterhin
empfohlen:
Messung im
Klassenraum und
auf dem
Schulgelände
Wichtig:
Kopfrechnen mit
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Geometrie
Die Schülerinnen und Schüler…
schätzen und bestimmen Längen, Flächeninhalte und Volumina
mit Dezimalbrüchen als Maßzahlen.
Dezimalzahlen
üben!
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Jahrgangsstufe 6/Unterrichtsvorhaben 4: „Berechnungen an Vielecken“
Inhaltliche Schwerpunkte Flächeninhalt eines Dreiecks, eines Parallelogramms, eines Trapezes
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Arithmetik/Algebra
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen Größen in Sachsituationen mit geeigneten Einheiten dar
vergleichen, ordnen und runden Ergebnisse von Flächen-
berechnungen
führen Grundrechenarten bei der Berechnung von Flächen-
inhalten aus.
berechnen Terme unter Ausnutzung von Rechenvorteilen.
nutzen Überschlag und Probe zur Kontrolle von Ergebnissen.
Funktionen
Die Schülerinnen und Schüler…
entnehmen Informationen zu Sachzusammenhängen aus
Abbildungen.
arbeiten mit Maßstäben und Formeln
Geometrie
Die Schülerinnen und Schüler…
benennen und charakterisieren Figuren (Dreiecke, Parallelo-
gramme und Trapeze) und identifizieren sie in ihrer Umwelt.
zeichnen die Grundfiguren Dreieck, Parallelogramm und Trapez im Zusammenhang mit Berechnungen, auch im
Argumentieren/ Kommunizieren
erläutern ihren Mitschülern eigene Ergebnisse, fertigen Plakate dazu an.
stellen Beziehungen zwischen Berechnung des Flächeninhalts von Rechtecken
und von Parallelogrammen her sowie von Rechtecken und Dreiecken.
Werkzeuge
fertigen Zeichnungen mit Geodreieck und Lineal an und übertragen Zeichnungen
nach vorgegebenem Maßstab.
stellen Ergebnisse auf Plakaten dar.
Problemlösen
werden stets angehalten, Ergebnisse in Bezug auf die Problemstellung zu deuten
und zu veranschaulichen.
Modellieren
kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation.
Als Lernplakat eignet sich eine Übersicht über die Flächen mit den Formeln Zusätzliches Trainingsmaterial mit Lösungen zu den Flächenberechnungen
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Koordinatensystem.
schätzen und bestimmen Längen, Umfänge und Flächeninhalte
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Jahrgangsstufe 6/Unterrichtsvorhaben 5 : „Multiplizieren und Dividieren von Brüchen“
Inhaltliche Schwerpunkte Multiplizieren und Dividieren von Brüchen; Rechnen mit Brüchen und Dezimalbrüchen
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Arithmetik/Algebra
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen Brüche als Teile von Flächen dar, um Rechenregeln zu
gewinnen
vergleichen, ordnen und runden Ergebnisse von Berechnungen
mit Brüchen
multiplizieren und dividieren Brüche, berechnen Terme mit
Bruchzahlen
berechnen Terme unter Ausnutzung von Rechenvorteilen
nutzen Überschlag und Probe zur Kontrolle von Ergebnissen
nutzen Beziehungen zwischen Größen in einer Doppelskala
Funktionen
Die Schülerinnen und Schüler…
entnehmen Informationen zu Sachzusammenhängen aus
Diagrammen
arbeiten mit Maßstäben, die mithilfe von Bruchzahlen
beschrieben werden
Geometrie
Die Schülerinnen und Schüler…
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
wenden ihre bisher erworbenen Fähigkeiten an, um Informationen aus einfachen
Texten und Bildern zu entnehmen
erläutern ihren Mitschülern eigene Ergebnisse, fertigen ggf. Plakate dazu an
wechseln geschickt zwischen verschiedenen Darstellungsformen von
Bruchzahlen: gebrochene Zahl – Dezimalbruch – geometrische
Veranschaulichung.
beschreiben mathematische Beobachtungen, finden Beispiele und Gegenbeispiele,
geben in einfachen Fällen Begründungen.
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
lösen Probleme durch Messen und Rechnen
ermitteln Näherungswerte durch Schätzen und Überschlagen.
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler… bearbeiten Fragestellungen zu Sachsituationen mithilfe von Termen, Figuren und
Diagrammen
kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation.
ordnen Termen eine geeignete Realsituation zu (z.B.: „Erfinde eine
Lernplakate zu den
Regeln
In diesem Kapitel
sollte man
besonders Wert auf
Anwendungs-
aufgaben legen.
Falls genügend Zeit
ist, sollte man auf
die Dichte der
Bruchzahlen
eingehen.
Auch das
Umwandlungs-
verfahren von
periodischen
Brüchen in Dezimalbrüche
sollte , wenn
möglich
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arbeiten mit einfachen geometrischen Figuren zur
Veranschaulichung der Multiplikation von Brüchen
zeichnen Kreise, einfache Vielecke und Körper im
Zusammenhang mit Berechnungen
schätzen und bestimmen Bruchteile, Längen, Umfänge,
Flächeninhalte und Volumina
Rechengeschichte zu ....“)
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
fertigen verschiedene grafische Darstellungen zu Termen mit Geodreieck und
Lineal an.
stellen Ergebnisse im Heft, an der Tafel und auf Plakaten dar.
exemplarisch
durchgeführt
werden .
Im Abschnitt Auf
den Punkt gebracht
(S. 194 f) werden
die bisher
angewandten und
angesprochenen
Problemlösestrategi
en „Beispiele
finden“ und
„Überprüfen durch
Probieren“
systematisiert.
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Jahrgangsstufe 6/Unterrichtsvorhaben 6: „Statistische Daten“
Inhaltliche Schwerpunkte abs. und rel. Häufigkeit; Diagramme; statistische Kenndaten
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Arithmetik/Algebra
Die Schülerinnen und Schüler…
beschreiben Anteile mit Brüchen und in Prozent und stellen
diese mit Diagrammen dar.
ordnen und vergleichen Anteile bei statistischen Erhebungen.
rechnen mit Anteilen.
überschlagen Anteile, verwenden z.B. die Summenprobe als
Rechenkontrolle.
erfassen die Ergebnisse statistischer Erhebungen geschickt –
z.B. mithilfe von Strichlisten.
Funktionen
Die Schülerinnen und Schüler…
erstellen Diagramme zu Häufigkeitstabellen und umgekehrt in
einem geeigneten Maßstab
lesen Informationen aus Tabellen und grafischen Darstellungen
Geometrie
Die Schülerinnen und Schüler…
entnehmen Informationen aus grafischen Darstellungen mit
Flächen und Körpern zu statistischen Erhebungen.
zeichnen flächenhafte und in einfachen Fällen räumliche
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen Beziehungen her zwischen Begriffen aus der Bruchrechnung und der
Statistik , z.B. Anteil – relative Häufigkeit
beschreiben mathematische Beobachtungen
begründen die Auswahl von Kenndaten (z.B. Median oder Mittelwert)
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
nutzen statistische Verfahren zur Bearbeitung von Alltagsproblemen.
reflektieren Aussagemöglichkeiten (auch Manipulationsmöglichkeiten) durch
statistische Kenndaten
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
fertigen Tabellen und Diagramme zu Sachsituationen an und führen damit
statistische Auswertungen durch.
kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation.
geben Stichproben zu vorgegebenen statistischen Kenndaten an.
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler… zeichnen Diagramme mit Geodreieck und Zirkel.
Lernplakate zu den Regeln
Empfehlung: Die Schülerinnen und Schüler machen eine eigene statistische Erhebung Sie erfüllen Erkundungs-aufträge Hier sollte ein Tabellenkalkulationsprogramm genutzt werden Dazu sollte eine erste Einführung erfolgen. Dazu können vorgefertigte
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Darstellungen zur Veranschaulichung statistischer Daten.
schätzen und bestimmen Längen, Flächeninhalte und Volumina
zum Ablesen von statistischen Daten aus grafischen
Darstellungen.
Die Schüler(innen) erheben Daten und notieren sie z.B.
mithilfe von Ur- und Strichlisten.
bestimmen Häufigkeiten, arithmetisches Mittel und Median.
lesen und verstehen (auch missverständliche) statistische
Darstellungen.
nutzen den Computer zur Erstellung von Diagrammen.
stellen Ergebnisse statistischer Erhebungen im Heft, an der Tafel, auf Plakaten
und per Computer dar.
Dateien genutzt werden, die sich auf den PCs im Mathematikordner befinden Solche Dateien können auch über die Moodleseite zur häuslichen Bearbeitung bereitgestellt werden.
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Jahrgangsstufe 7 Unterrichtsvorhaben
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
1. Zuordnungen 2. Prozentrechnung 3. Winkel in Figuren 4. Dreiecke und Vierecke 5. Rationale Zahlen 6. Gleichungen mit einer Variablen 7. Zufall und Wahrscheinlichkeit
Die folgenden Kompetenzen werden immer angestrebt:
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
wenden ihre bisher erworbenen Fähigkeiten an, um Informationen aus einfachen
Texten und Bildern zu entnehmen.
werden in den Übungsaufgaben durchgängig angehalten, schriftliche
Stellungnahmen (z.B.„Was meinst du dazu?“, „Beschreibe dein Vorgehen“) zu
formulieren (Detektiv-Aufgaben).
arbeiten in Partner- und Teamarbeit und tauschen sich über verschiedene
Lösungswegen und Fehler aus.
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler werden stets angehalten, Ergebnisse in Bezug auf die Problemstellung zu deuten
und zu veranschaulichen.
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation.
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler nutzen Präsentationsmedien (z. B. Folie, Plakat, Tafel).
dokumentieren ihre Arbeit, ihre eigenen Lernwege und aus dem Unterricht
erwachsene Merksätze und Ergebnisse
nutzen selbst erstellte Dokumente und das Schulbuch zum Nachschlagen.
Die Fachlehrer einer Jahrgangsstufe arbeiten soweit es geht parallel. Sie tauschen sich aus über das verwendete Arbeitsmaterial, über Methoden und Defizite, über die Terminierung und die Inhalte von Klassenarbeiten. Sie tauschen sich mit dem jeweiligen Förderlehrer aus.
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Jahrgangsstufe 7 /Unterrichtsvorhaben 1 : Zuordnungen
Inhaltliche Schwerpunkte Muster bei Zahlen und Figuren; Zuordnungen; prop. und antiprop. Zuordnungen; Dreisatz; Quotienten- und Produktgleichheit
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
erkennen Bildungsgesetze in Mustern und Zahlenfolgen und setzen sie fort
stellen Zuordnungen als Tabellen, Diagramme und mit Zuordnungsvorschriften dar
erkennen proportionale und antiproportionale Zusammenhänge und führen Berechnungen mit Dreisatz durch
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
ziehen Informationen aus Texten
verwenden Fachbegriffe
zeigen Unterschiede zwischen antiproportionalen, proportionalen und anderen Zuordnungen auf und begründen sie
vergleichen und bewerten unterschiedliche Lösungswege
begründen die Sinnhaftigkeit von Rechenergebnissen an der Realsituation
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
nutzen Algorithmen zum Lösen von Standardaufgaben
überprüfen Lösungswege auf Richtigkeit
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
lösen Textaufgaben
finden selbst Textaufgaben
überführen Realsituationen in mathematische Modelle
setzen Textaufgaben in Terme, Gleichungen und Graphen um
Werkzeuge
arbeiten mit Tabellenkalkulation (GEOGEBRA, verschiedene Diagrammtypen)
Empfehlung: Eigenschaften der proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen auf Plakaten/ Mindmaps darstellen
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Jahrgangsstufe 7/Unterrichtsvorhaben 2: Prozentrechnung
Inhaltliche Schwerpunkte Grundaufgaben der Prozentrechnung; prozentuale Änderungen; Zinsrechnung
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
führen Prozentrechnungen aus (Berechnung von Prozentsatz, Prozentwert, Grundwert)
führen einfache Prozentrechnungen im Kopf durch
berechnen prozentuale Zu- und Abnahmen
berechnen Zinsen (Jahreszinsen, unterjährige Zinsen und Zinsen für mehrere Jahre)
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
ziehen Informationen aus Texten, Tabellen und Grafiken
kennen und verwenden Fachbegriffe (MWSt, Brutto, Netto etc.) sachgerecht
überprüfen Rechenergebnisse auf Plausibilität
unterscheiden sprachliche Formulierungen in Textaufgaben
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
schätzen Prozentwerte, Grundwerte und Prozentsätze ab
ziehen Erkundigungen über aktuelle Zinssätze, Steuersätze etc. ein
vergleichen unterschiedliche Ansparmodelle
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
zeichnen Kreisdiagramme mit Zeichenwerkzeug und mit Tabellenkalkulation
verwenden den TR
nutzen Prozentangaben auf Produkten
Empfehlung: Auf Unterschiede in den zugrunde liegenden Grundwerten ist besonders zu achten, ebenso auf sprachliche Feinheiten wie Erhöhung, Zunahme etc.
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Jahrgangsstufe 7/Unterrichtsvorhaben 3: Winkel in Figuren
Inhaltliche Schwerpunkte Winkel an Geradenkreuzungen; Winkelsumme in Dreiecken; Winkel in gleichschenkligen Dreiecken; Winkelsätze; symmetrische Vierecke
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
erkennen und benennen Winkel an Geradenkreuzungen
erkennen und benutzen übereinstimmende Winkelgrößen in Dreiecken und Vierecken
unterscheiden besondere Dreiecke
führen Konstruktionen und Berechnungen mithilfe von Winkelsätzen durch
konstruieren symmetrische Vierecke
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
begründen intuitiv die Winkelgrößenübereinstimmung an Geradenkreuzungen
beschreiben Eigenschaften von Figuren mithilfe von Winkeln
verwenden Winkelbezeichnungen (Scheitel-, Neben- Wechselwinkel etc.) sachgerecht
erstellen Plakate zu besonderen Dreiecken
präsentieren eigene Fotos und Bildmaterial
argumentieren mit „Wenn... dann..“- Zusammenhängen
überprüfen die Umkehrbarkeit von Aussagen
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
entdecken die Winkelsummensätze an Beispielen
entdecken Symmetrien an Gebäuden
lösen konstruktiv Problemstellungen
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
übertragen Alltagssituationen in idealisierte Konstruktion
erstellen eigene Modelle aus Metall, Holz, mit Fischertechnik etc.
Werkzeuge
Empfehlung Mit GeoGebra lassen sich die Winkelsätze besonders schön entdecken Mit Erdkundekollegen die Behandlung von Winkeln im Gradnetz der Erde, Winkel in Grad, Minuten und Sekunden abstimmen
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Die Schülerinnen und Schüler…
nutzen Zeichenwerkzeuge zum sauberen Konstruieren und genauen Messen
nutzen geogebra zum Erkunden und Konstruieren
nutzen Bildmaterial oder eigene Bilder zur Veranschaulichung
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Jahrgangsstufe 7/Unterrichtsvorhaben 4 : Dreiecke und Vierecke
Inhaltliche Schwerpunkte Kongruente Figuren; Kongruenzsätze; Dreieckkonstruktionen; Viereckkonstruktionen; Kreis und Gerade; Besondere Punkte und Linien im Dreieck
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
identifizieren kongruente Figuren
konstruieren Dreiecke und Vierecken mit und ohne DGS
führen die Konstruktion Grundkonstruktionen nach SSS,WSW,SWW und SsW durch
entscheiden über die Konstruierbarkeit von Dreiecken nach Grundinformationen
formulieren Konstruktionsbeschreibungen
konstruieren Figuren aus Teilfiguren
konstruieren Winkelhalbierende, Seitenhalbierende, Höhen, Mittelsenkrechten und ihre Schnittpunkte
nennen Lagebeziehungen zwischen einer Gerade und einem Kreis
konstruieren Inkreis und Umkreis im Dreieck
führen Beweise mit Kongruenzbedingen
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
begründen die Konstruierbarkeit von Dreiecken
formulieren Konstruktionsbeschreibungen
führen einfache Beweise
formulieren Kehrsätze zu einem Satz und Überprüfen die Gültigkeit
formulieren Bedingungen für die Viereckarten
präsentieren eigene Konstruktionen und begründen Konstruktionsschritte
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
lösen geometrische Probleme in Sachzusammenhängen mit Dreieckskonstruktionen
stellen Beweisstrategien auf
erkunden die Anwendung von Dreieckskonstruktionen zur Ermittlung von unzugänglichen Längen und Winkeln in der Umgebung
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
realisieren trigonometrische Messungen in der Umgebung
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
Empfehlung: Der MATHEKOFFER enthält Kongruenzbilder Spiegel u.ä.. Hier sollte unbedingt auch GeoGebra eingesetzt werden Über die Form von Konstruktionstexten sollte eine Abstimmung erfolgen
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benutzen Zeichenwerkzeug zum sorgfältigen Zeichnen und Messen
nutzen eine DGS zum Konstruieren
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Jahrgangsstufe 7/Unterrichtsvorhaben 5: Rationale Zahlen
Inhaltliche Schwerpunkte Rationale Zahlen; Rechnen mit rat. Zahlen; Rechengesetze; Terme mit rat. Zahlen
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
kennen die rat. Zahlen als Zahlbereichserweiterung
ordnen und vergleichen rationale Zahlen
berechnen Beträge und Gegenzahlen
stellen rat. Zahlenpaare im KS dar
führen Rechnungen (Addition, Subtraktion, Division, Multiplikation) durch (schriftlich und im Kopf)
nutzen Rechenvorteile
kennen und nutzen die Rechengesetze und Vorrangregeln
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
verwenden Fachbegriffe
vergleichen und nutzen unterschiedliche Lösungswege
erkennen Fehler und argumentieren mit Hilfe der Rechenregeln
wenden Rechenregeln/-gesetze an
prüfen Lösungen auf Plausibilität
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen Rechenregeln in Form von Pfeilmodellen dar
übersetzen Textaufgaben in mathematische Form
stellen Termoperationen mit Hilfe eines Rechenbaumes dar
Empfehlung: Mit GeoGebra lassen sich die Winkelsätze besonders schön entdecken Mit Erdkunde-kollegen die Behandlung von Winkeln im Gradnetz der Erde, Winkel in Grad, Minuten und Sekunden abstimmen
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Jahrgangsstufe 7/Unterrichtsvorhaben 6 : Gleichungen mit einer Variablen
Inhaltliche Schwerpunkte Lösen von Gleichungen durch Probieren, Zusammenfassen und Umformen; Sonderfälle
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen Terme auf, interpretieren Terme
lösen Gleichungen durch Probieren
lösen Lineare Gleichungen durch schrittweise Umformungen
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
entnehmen Informationen aus Texten und Abbildungen
entwickeln und begründen Lösungsstrategien für Textaufgaben
begründen die Lösungsmengen von Gleichungen
präsentieren eigene Aufgaben und Lösungen
erläutern und begründen ihre Arbeitsschritte
präsentieren Lösungswege und bewerten sie
formulieren Texte zu Termen und Gleichungen
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
lösen Textaufgaben und reflektieren die Vorgehensweise
führen eine Probe durch
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
beschreiben Sachverhalte durch Gleichungen
formulieren zu einer Gleichung verschiedene Sachverhalte
überprüfen Lösungen an der Realsituation
Empfehlung: Das Aufstellen von Termen ist im Buch nicht weiter thematisiert. Hier sind evtl. zusätzliche Übungen sinnvoll
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Jahrgangsstufe 7/Unterrichtsvorhaben7 : Zufall und Wahrscheinlichkeit
Inhaltliche Schwerpunkte Zufallsexperimente; Laplace-Experimente; Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten; Simulationen;
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
kennen und verwenden die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
kennen und nutzen Wahrscheinlichkeitsregeln
ermitteln mit unterschiedlichen Methoden Wahrscheinlichkeiten (lange Versuchsreihen, Auszählen, Symmetrieüberlegungen)
simulieren Zufallsexperimente
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
analysieren und strukturieren Textaufgaben (Wahrscheinlichkeiten, Häufigkeiten, …
erläutern ihre Arbeitsschritte
präsentieren, vergleichen und bewerten Lösungswege
überprüfen Lösungswege (Richtigkeit und Schlüssigkeit)
erläutern Zusammenhänge (Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten, …)
erläutern Grundbegriffe an Beispielen
prüfen Wahrscheinlichkeitsaussagen kritisch
beurteilen Chancen und Risiken von Glücksspielen mithilfe von Wahrscheinlichkeitsaussagen kritisch
machen Zufallsexperimente in Partner- und Gruppenarbeit
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
planen, beschreiben und führen Lösungswege durch
überprüfen die Möglichkeit mehrerer Lösungswege
nutzen unterschiedliche Darstellungsformen (Diagramme, Tabellen) zur Problemlösung
wenden Problemlösestrategien an
Empfehlung: Der MATHEKOFFER enthält viele geeignete Zufallsgeräte. Hier sollte auch ein Tabellenkalkulationsprogamm zur Simulation genutzt werden! Eine entsprechende Vorlage findet sich im Tauschordner
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
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Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
simulieren Realsituationen durch geeignete Zufallsexperimente
prüfen Zufallsexperimente kritisch und verändern ggf. das Modell
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
verwenden Zufallsgeräte (Reißzwecke, Würfel, Karten etc.)
nutzen ein Tabellenkalkulationsprogramm zur Simulation von Zufallsexperimenten
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Jahrgangsstufe 8/Unterrichtsvorhaben 1: Stochastik
Inhaltliche Schwerpunkte Wahrscheinlichkeiten ; mehrstufige Zufallsversuche Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
benutzen Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
wenden unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von
Wahrscheinlichkeiten (lange Versuchsreihen, Auszählen,
Symmetrieüberlegungen) an
beschreiben Laplace-Experimente, Simulationen und
mehrstufige Zufallsversuche und wenden sie an
erstellen Baumdiagrammen zur Veranschaulichung
wenden die Pfadregeln (Produktregel, Summenregel) an
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
analysieren und strukturieren Textaufgaben (Wahrscheinlichkeiten, Häufigkeiten)
erläutern ihre Arbeitsschritte
präsentieren, vergleichen und bewerten Lösungswege
überprüfen Lösungswege (Richtigkeit und Schlüssigkeit)
überprüfen und bewerten Problembearbeitungen
erläutern Zusammenhänge (Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten, …)
erläutern anderen Grundbegriffe an Beispielen
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
planen, beschreiben und führen Lösungswege durch
überprüfen die Möglichkeit mehrerer Lösungswege
bestimmen Wahrscheinlichkeiten mithilfe unterschiedlicher Methoden
nutzen unterschiedliche Darstellungsformen (Diagramme, Tabellen, Boxplots) zur
Problemlösung
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
beurteilen von Chancen und Risiken mithilfe von Wahrscheinlichkeiten (Auf-
gaben im Sachzusammenhang)
evtl. eigene Zufallsgeräte bauen Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als „Grenzwert“ der rel. Häufigkeit lässt sich mit EXCEL simulieren (siehe Buch)
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wenden Problemlösestrategien an
bewerten Glücksspiele
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
simulieren Realsituationen durch geeignete Zufallsexperimente
prüfen Zufallsexperimente kritisch und verändern sie nach einem Modell
ordnen Realsituationen einem gegebenen Modell (z.B. einem Baumdiagramm) zu
stellen Zufallsexperimente durch Diagramme (z.B. Baumdiagramm) dar
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
tragen Daten zusammen und stellen sie mithilfe von Tabellenkalkulation dar
nutzen Lexika, Internet zur Informationsbeschaffung (z.B. über Glücksspiele)
nutzen Alltagsgegenstände, wie Münzen, Würfel, Spielkarten, ...
simulieren Zufallsexperimenten mit Tabellenkalkulation
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Jahrgangsstufe 8/Unterrichtsvorhaben 2: Lineare Funktionen und Gleichungen
Inhaltliche Schwerpunkte Lineare Funktionen; Lineare Gleichungssysteme;
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
erkennen Lineare Funktionen in Graphen, Tabellen und Funktionsgleichungen und stellen sie in diesen Arten dar
bestimmen und deuten Änderungsraten/Steigungen
zeichnen Steigungsdreiecke
bestimmen Steigungen und Achsenabschnitte grafisch und rechnerisch
zeichnen Geraden mit Hilfe von m und b
bestimmen Geradengleichungen durch 2 Punkte und mit Punkt und Steigung
erkennen parallele und orthogonale Geraden und bestimmen ihre Gleichungen
bestimmen Nullstellen von linearen Funktionen
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
beschreiben den Aufbau einer Tabelle einer linearen Funktion
verwenden Fachbegriffe
nennen Merkmale zur Unterscheidung von linearen, nicht linearen, stückweise linearen Funktionen
beschreiben Änderungsraten in Worten
erklären Nullstellen und y-Achsen-abschnitte in Realsituationen
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
finden den Zusammenhang zwischen Seitenlänge und Umfang bei Rechtecken mit vorgegebenem Flächeninhalt
deuten Steigungen von Straßen
lösen Komplexe Aufgaben in Sachzusammenhängen
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
modellieren Realsituationen zu Brenndauern von Kerzen, Zu- und Abfließen von Wasser etc.;
erfinden Sachsituationen zu vorgegebenen Graphen bzw. Tabellen
prüfen kritisch die Übertragbarkeit auf Realsituation
Empfehlung: Mindmaps erstellen
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Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
arbeiten mit Zeichenwerkzeug, Taschenrechner, mm-Papier
arbeiten mit einem Funktionenplotter (GEOGEBRA)
arbeiten mit Tabellenkalkulation (EXCEL)
erstellen Plakate (Flip-Chart)
erstellen Modelle (z.B. Steigungsdreiecke aus Pappe)
nutzen Bilder und Internetinformationen
Die Schülerinnen und Schüler…
identifizieren Lineare Gleichungssysteme
stellen LGS auf und lösen LGS grafisch
lösen LGS mit 2 Unbekannten rechnerisch (Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren)
Arithmetik/Algebra Die Schülerinnen und Schüler…
erfassen Realsituationen durch Gleichungssysteme
diskutieren und bewerten Lösungen
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
entwerfen in Gruppen Lösungsstrategien
stellen die Gleichgewichtszustände von 2 Waagen als Gleichungssysteme dar und lösen es im Modell
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen lineare Gleichungssysteme als Paare von Geraden dar;
erfinden Geschichten zu Graphen von LGS ( Katze-Hund)
Fakultativ: LGS mit 3 Variablen lösen? LGS mit Formvariablen?
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
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Jahrgangsstufe 8/Unterrichtsvorhaben 3: Geometrie
Inhaltliche Schwerpunkte Kreise, Körper, Kongruenz Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
benennen Flächen, Figuren und Körper, charakterisieren und identifizieren sie in der Umwelt
schätzen und berechnen Umfänge und Flächeninhalte von Kreisen, sowie Oberflächen und Volumina von Prismen und Zylindern
berechnen Sektorflächen und Bogenlängen (Wurzelziehen)
ermitteln einen Näherungswert für die Kreiszahl π
skizzieren Schrägbilder einfacher Prismen und Zylinder und entwerfen Netze
stellen Figuren maßstabsgetreu dar
erfassen und begründen Eigenschaften von Figuren (Symmetriebedingung am Viereck wie Sehnen-/ Tangentenviereck, Winkelsätze, Kongruenz)
wenden den Satz des Thales zur Konstruktion von rechtwinkligen Dreiecken an
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
analysieren und strukturieren Textaufgaben
erstellen Skizzen und beschriften sie sachgemäß
erläutern Arbeitsschritte (Konstruktionen, Rechnungen)
präsentieren, vergleichen und bewerten Lösungswege
überprüfen Lösungswege (Richtigkeit und Schlüssigkeit)
überprüfen und bewerten Problembearbeitungen
erläutern Zusammenhänge
begründen Symmetrien beim Satz vom Sehnen- bzw. Tangentenviereck
begründen mithilfe der Kongruenzsätze. erläutern Methoden zur π-Bestimmung
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
untersuchen Beziehungen zwischen Radius, Umfang und Flächeninhalt
erkennen geometrische Körper in Realsituationen, ggf. zerlegen sie in geometrische Teilkörper und berechnen Größen an (zusammengesetzten) Körper
lösen Aufgaben im Sachzusammenhang
wenden Problemlösestrategien an
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
45
führen komplexe Figuren auf bekannte Figuren zurück
verwenden Größen (Fläche, Länge, …)angemessen
verwenden unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von π
erforschen historische Hintergründe
verwenden das Wurzelziehen (mit dem Taschenrechner)
überprüfen die Möglichkeit unterschiedlicher Lösungswege
erstellen Skizzen
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
berechnen Körper in Realsituationen
überprüfen Lösungen an der Realsituation und verändern ggf. das Modell
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
nutzen Geometriesoftware zum Zeichnen und Konstruieren
nutzen Lexika, Internet zur Informationsbeschaffung
verwenden Zeichenwerkzeuge
verwenden und erstellen ggf. Körpermodelle
untersuchen Alltagsgegenstände, wie Bierdeckel, ...
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Jahrgangsstufe 8/Unterrichtsvorhaben 4: Wurzeln und Potenzen
Inhaltliche Schwerpunkte Produktsummen, binomische Formeln, Wurzeln, irrationale Zahlen Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
wandeln Produkte von Summen in Produktsummen um („Klammern ausmultiplizieren“)
veranschaulichen Summen von Produkten geometrisch
kennen und wenden Binomische Formeln an
wandeln Summenterme mit Hilfe der bin. Formeln in Produktterme um
lösen einfache quadratische Gleichungen
Argumentieren/Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
begründen Termumformungen algebraisch und geometrisch
vergleichen verschiedene geometrische Begründungen der binom. Formeln
erkennen und begründen Fehlerquellen bei Termumformungen
führen Beweise zu bin. Formeln
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
nutzen binomische Formeln zum vorteilhaften Rechnen
nutzen die Methode zur Erweiterung der bin. Formeln auf höhere Potenzen (Pascalsches Dreieck)
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
finden Terme zu Realsituationen und überprüfen Lösungen
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen Modelle zu binomischen Formeln her bzw.
verwenden Geometriesoftware zur Veranschaulichung
nennen Wurzelziehen als Umkehrung des Quadrierens
ziehen Wurzeln teilweise Argumentieren/Kommunizieren
begründen die Existenz von Wurzeln als Seitenlängen eines Quadrates
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
47
vereinfachen Wurzelterme
rationalisieren Nenner in Bruchtermen
ziehen die Kubikwurzel und höhere Wurzeln
erkennen Existenz von nicht-rationalen Zahlen
konstruieren Irrationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl
bestimmen näherungsweise Irrationale Zahlen durch Intervallschachtelung
führen Beweise (Irrationalität von √2)
begründen die Zahlbereichserweiterung auf irrationale Zahlen
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
nutzen Wurzeln zur Ermittlung von Quadratseiten und Kreisradien
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen Wurzeln am Zahlenstrahl dar
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
verwenden Taschenrechner und Geometriesoftware
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48
Jahrgangsstufe 9/Unterrichtsvorhaben 1: Geometrie
Inhaltliche Schwerpunkte Satzgruppe des Pythagoras; Ähnliche Figuren; Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck; Winkelsätze am Dreieck
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
wenden den Satz des Pythagoras, den Höhensatz – und die
Kathetensätze an
erkennen das Verhältnis von Satz und Kehrsatz am Beispiel
des S.d.P.
berechnen Abstände im KS
kennen und benutzen die Kreisgleichung (fakutativ)
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
begründen die Gültigkeit des S.d.P. an einer Beweisfigur (z.B. Quadratzerlegung)
vergleichen verschiedene Begründungen
erstellen Animationen zum S.d.P.
begründen Katheten- und Höhensatz mit ähnlichen Dreiecken
begründen Abstandsformel mit dem S.d.P.
begründen ggf. die . Kreisgleichung mit dem S.d.P.
stellen S.d.P. als Plakat dar
Problemlösen
entdecken den S.d.P. an Beispielen (z.B. mit DGS)
erkunden historische Anwendungen des S.v.P.
Modellieren
stellengeometrische und algebraische Formulierung des S.v.P. gegenüber
Werkzeuge
machen Zerlegungen mit Papier und Schere
nutzen ein DGS
Die Schülerinnen und Schüler…
erkennen ähnliche Figuren
nutzen Ähnlichkeitssätze zur Berechnung von Längen
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
geben unterschiedliche Formulierungen für die Ähnlichkeit an (Maßstabtreue,
Formgleichheit, Strahlensätze)
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
49
begründen die Ähnlichkeit durch Längen.- und Winkelkongruenz
nutzen die Ähnlichkeit als Beweismittel
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
erkunden Anwendungssituationen für die Ähnlichkeit (Körpermaße, Kopierer,
Karten, Modelle usw.)
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
führen Überschlagsrechnungen durch
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler… nutzen den Taschenrechner (Einstellungen Grad <-> Radian)
erstellen Plakate
Die Schülerinnen und Schüler…
nutzen Sinus, Kosinus, Tangens zur Berechnung in
rechtwinkligen Dreiecken
wenden Sinus- und Kosinussatz an
wenden Sinus- und Kosinus für stumpfe Winkel an (fakultativ)
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
begründen Sinus-, Kosinus und Tangens als Verhältnisgleichheit
prüfen die Anwendbarkeit von Sinus, Kosinus und Tangens
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
lösen Probleme in Dreiecken und Vierecken
entwickeln Lösungsstrategien für die Berechnung in nicht rechtwinkligen
Dreiecken und in Vierecken
nutzen verschiedene Lösungswege (grafisch- rechnerisch)
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
nutzen Taschenrechner,
nutzen ein DGS und Tabellenkalkulatiom
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
50
Jahrgangsstufe 9/Unterrichtsvorhaben 2: Quadratische Funktionen und Gleichungen
Inhaltliche Schwerpunkte Parabeln; Extrempunkte; quadratische Gleichungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen quadratische Funktionen in Gleichungen, Tabellen und
Graphen dar
bestimmen Scheitelpunkte und Nullstellen von einfachen
quadratischen Funktionen rechnerisch und zeichnerisch
berechnen Schnittpunkte von linearen/quadratischen
Funktionen
bestimmen Extremwerte in Sachzusammenhängen
lösen biquadratische Gleichungen (fakultativ)
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
benennen Eigenschaften von quadr. Funktionen und identifizieren sie damit
verwenden die Fachbegriffe sachgerecht
führen Transformationen der Normalparabel durch
wenden Formeln (p-q-Formel) und Algorithmen (quadr. Ergänzung) an
erkennen quadr. Funktionen in Sachsituationen
Problemlösen
bestimmen Extrempunkte in Sachproblemen (z.B. Wurfparabeln,
Brückenkonstruktionen etc.)
vergleichen unterschiedliche Lösungswege
Modellieren
modellieren Sachprobleme mithilfe von quadr. Funktionen
zeigen Zusammenhänge zwischen Graphen, Tabellen und Gleichungen auf
führen quadratische Näherungen durch
erstellen Skizzen
führen Proben durch
arbeiten mit unterschiedlichen Variablen
Werkzeuge
Empfehlung: Hier eignet sich GEOGEBRA gut zum Entdecken der Eigenschaften von quadratischen Funktionen und für die Durchführung der Transformationen
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
51
arbeiten mit GEOGEBRA als Funktionenplotter
benutzen Tabellenkalkulation zur Erstellung von Wertetabellen ziehen Internetinformationen ein
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
52
Jahrgangsstufe 9/Unterrichtsvorhaben 3: Stochastik
Inhaltliche Schwerpunkte Diagramme; Baumdiagramme, Vierfeldertafeln und mehr; Gewinnchancen
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
stellen Daten sachgerecht dar
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
erstellen und deuten Tabellen und Diagramme angemessen
erkennen Irrtümer und Manipulationsmöglichkeiten in Diagrammen
zeigen Grenzen von Aussagemöglichkeiten auf
entnehmen Informationen aus Texten, Grafiken und Diagrammen
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
prüfen Vor- und Nachteile der Darstellungsformen kritisch
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler… wechseln zwischen verschiedenen Darstellungsformen
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
nutzen ein DGS
Die Schülerinnen und Schüler…
wendenVier-Felder-Tafeln und Doppelbäume /umgekehrtes
Baumdiagramm an
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler… diskutieren Beurteilungen miteinander
erkennen und begründen Manipulationsmöglichkeiten und Fehlinterpretationen
Problemlösen
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
53
Die Schülerinnen und Schüler… lösen Sachprobleme mit Vier-Felder-Tafeln
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
wechseln zwischen Vierfelder-Tafel und Baumdiagramm
übertragen Informationen aus Texten in ein Diagramm
Werkzeuge Die Schülerinnen und Schüler…
fertigen Plakate an Die Schülerinnen und Schüler…
berechnen Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen
Zufallsversuchen
Argumentieren/ Kommunizieren Die Schülerinnen und Schüler…
verwenden Begriffe sachgerecht
beurteilen Chancen und Risiken in mehrstufigen Zufallsversuchen
Problemlösen
berechnen Erwartungswerte von Gewinnen
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
verwenden Tabellenkalkulation zur Simulation
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Jahrgangsstufe 9/Unterrichtsvorhaben 4 : Körper
Inhaltliche Schwerpunkte Darstellung von Körpern; Pyramiden und Kegel; Kugeln
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
verwenden Schrägbilder und Netze von Körper
berechnen Mantelflächeninhalte und Volumina von Pyramide,
Kegel und Kegelstumpf sowie Kugel
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
zeichnen Schrägbilder und Netze sachgerecht
erkennen Grundkörper in Natur und Architektur beschreiben Auswirkungen der Veränderung von Größen (Vergrößern und
Verkleinern )
Problemlösen
berechnen Volumina und Flächen in Realsituationen
schätzen Oberflächen und Volumina von Körpern
vergrößern und verkleinern Zeichnungen
nutzen Strategien (Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme)
nehmen Näherungen vor
Modellieren
erkennen Analogien und stellen sie dar
finden zu Modellen passende Realsituationen überprüfen die Anwendbarkeit von Formeln auf Realsituationen
Werkzeuge
benutzen und erstellen Modelle
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
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Jahrgangsstufe 9/Unterrichtsvorhaben 5 : Funktionen
Inhaltliche Schwerpunkte Potenzen; Wachstum; Sinusfunktion und Periodizität
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/
Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler…
berechnen Potenzen von ganzen Zahlen mit ganzzahligen
Exponenten
wendenPotenzgesetze an
nutzen Potenzschreibweise für große und kleine Zahlen
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
verwenden Fachbegriffe
verwenden Vorsätze (Milli, Mikro etc.)
Problemlösen
lösen Sachaufgaben führen Überschläge durch
beschreiben Lineare und exponentielle Wachstumsvorgänge
und mit Gleichungen
wenden insbesondere Zinseszinsformel an
Argumentieren/ Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler…
deuten Graphen von Wachstumsvorgängen
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
wenden Wachstumsgleichungen in Sachzusammenhängen an
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
ordnen Gleichungen, Graphen und Tabellen von Wachstumsvorgängen zu und
wechseln zwischen den Darstellungsarten
Werkzeuge
Die Schülerinnen und Schüler…
nutzen ein DGS als Funktionenplotter
verwenden das Bogenmaß des Winkels und nehmen Argumentieren/ Kommunizieren
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
56
Umrechnungen in Gradmaß vor
nutzen die Sinusfunktion zur Beschreibung periodischer
Vorgänge
Die Schülerinnen und Schüler… nutzen Fachbegriffe zur Beschreibung periodischer Vorgänge
stellen Sinus (evtl auch Kosinus) am Einheitskreis dar
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler…
untersuchen einzelne Beispiele für periodische Vorgänge
skizzieren Graphen
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler…
ordnen Graphen und Funktionsterme einander zu
Werkzeuge
verwenden ein DGS als Funktionenplotter
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
57
Einführungsphase EF Unterrichtsvorhaben 1 : Funktionen
Inhaltliche Schwerpunkte Potenzfunktionen; Wurzelfunktionen; Exponentialfunktionen; Sinusfunktion; Transformationen
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler ...
beschreiben Funktionen als Terme, Gleichungen, Graphen und Tabellen
wenden die Potenzgesetze an
beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen und gebrochenen Exponenten
beschreiben die Eigenschaften der Exponentialfunktionen und der Sinusfunktion
beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Exponentialfunktionen
wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Funktionen (Sinusfunktion, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen) an und deuten die zugehörigen Parameter
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler ...
erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung
übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler ...
nutzen Tabellenkalkulation, Funktionenplotter und grafikfähige Taschenrechner
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum … Darstellen von Funktionsgraphen und Wertetabellen … zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
58
Einführungsphase EF Unterrichtsvorhaben 2: Differenzialrechnung
Inhaltliche Schwerpunkte Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate; Ableitungsbegriff; Ableitungsregeln;
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler ...
ermitteln durchschnittliche Änderungsraten bei Funktionen
erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate
bestimmen lokale Änderungsraten grafisch
beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunktion)
leiten Funktionen grafisch ab
begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen
bestimmen exemplarisch Ableitungen als Grenzwerte des Differenzenquotienten
nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an
nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler ...
analysieren und strukturieren die Problemsituation
erkennen Muster und Beziehungen
wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus
erkennen Muster und Beziehungen
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf Bekanntes)
wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus
Argumentieren
Die Schülerinnen und Schüler...
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten)
nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen
überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter
Bei der Herleitung von Ableitungs-regeln sollte die h-Methode angewendet werden.
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
59
Berücksichtigung der logischen Struktur
nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen
erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie (Beurteilen)
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler...
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge (GTR, GEOGEBRA) zum … Lösen von Gleichungen … zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
60
Einführungsphase EF Unterrichtsvorhaben : Funktionsuntersuchungen
Inhaltliche Schwerpunkte Funktionsuntersuchungen bei ganzrationalen Funktionen 3. Grades
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler...
beschreiben den Globalverlauf und die Symmetrieeigenschaften ganzrationaler Funktionen
lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne digitale Hilfsmittel
berechnen Nullstellen und Schnittstellen ganzrationaler Funktionen
verwenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung von Extrempunkten
unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich
verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen
klassifizieren ganzrationale Funktionen 3. Grades
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler...
erkennen Muster und Beziehungen
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf Bekanntes)
wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus
Argumentieren
Die Schülerinnen und Schüler...
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur
nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen
berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinreichende Bedingung, Folgerungen […])
erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
61
Einführungsphase EF Unterrichtsvorhaben 4: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Inhaltliche Schwerpunkte Mehrstufige Zufallsversuche; Wahrscheinlichkeitsverteilungen; Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler… deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente
simulieren Zufallsexperimente
verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen
beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln
stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbetrachtungen durch
berechnen bedingte Wahrscheinlichkeiten
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler...
treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren)
übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren)
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler... verwenden verschiedene digitale Werkzeuge (GTR; EXCEL) zum … Generieren von Zufallszahlen … Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert)
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
62
Einführungsphase EF Unterrichtsvorhaben 5: Punkte und Vektoren im Raum
Inhaltliche Schwerpunkte Mehrstufige Zufallsversuche; Wahrscheinlichkeitsverteilungen; Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler
beschreiben Punkte im Raum durch ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem
deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren
stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar
berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras
addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar
weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren nach
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler...
entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege
setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus
Die Inhalte des Kapitels „Punkte und Vektoren im Raum“ werden in der Q1 nochmals aufgegriffen, können also gegebenenfalls kurz behandelt werden.
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
63
Qualifikationsphase Q1/Q2 Grundkurs
Unterrichtsvorhaben 1 : Fortsetzung der Differenzialrechnung
Inhaltsbezogene Kompetenzen Die Inhaltsbezogenen Kompetenzen orientieren sich am Stoffverteilungsplan des Schroedel-Verlages
Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Wiederholung und Ergänzung aus der Einführungsphase Wiederholung: Differenzialrechnung
(Durchschnittliche Änderungsrate, Ableitung an einer Stelle, Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln)
Wiederholung: Funktionsuntersuchungen
(Globalverlauf, Symmetrie des Funktionsgraphen, Nullstellen ganzrationaler Funktionen, Monotonie, Extrempunkte und Sattelpunkte, Lokale, globale Extrema und Randextrema, Monotonie und Extrempunkte, Kriterien für Extremstellen)
1.1 Fortsetzung der Differenzialrechnung
1.1.1 Wendepunkte – Linkskurve, Rechtskurve
(Ableitungen berechnen, Links- und Rechtskurven bestimmen, grafisch argumentieren, Sätze und Definitionen kennen)
1.1.2 Kriterien für Extrem- und Wendepunkt
(Extrem- und Wendepunkte berechnen, Aussagen über
– verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wende-punkten
– beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit Hilfe der 2. Ableitung
– interpretieren Parameter von Funktionen im Anwendungszusammenhang
– bilden die Ableitungen von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten
– verwenden digitale Werkzeuge zum Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle
– verwenden digitale Werkzeuge zum Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle
– verwenden digitale Werkzeuge zum zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
64
Extrem- und Wendestellen beurteilen, Sätze und Definitionen kennen und anwenden, Vernetzte Aufgaben)
1.1.3 Ableitung von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten
(Anwenden der Ableitungsregeln, Tangentengleichung, Vernetzte Aufgaben)
1.1.4 Aspekte von Funktionsuntersuchungen
(Aspekte von Funktionsuntersuchungen, Rechnerfenster kritisch hinterfragen, Argumentieren mit Eigenschaften von Funktionen, Untersuchung von Eigenschaften in Abhängigkeit von einem Parameter bei ganzrationalen Funktionen, Vernetzte Aufgaben)
1.2 Extremwertprobleme
(Geometrische Körper und Figuren, Flächeninhalte und Funktionsgraphen, Aufgaben aus der Wirtschaft)
– verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrempunkten
– führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese
Wiederholung: Lösen linearer Gleichungssysteme
(Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren, Sonderfälle bei der Lösungsmenge)
– je nach Bedarf
1.4 Bestimmen ganzrationaler Funktionen
(Bestimmen einer Funktion mit vorgegebenem Grad, Bestimmen einer Funktion ohne vorgegebenen Grad, mit ganzrationalen Funktionen modellieren)
– bestimmen Parameter einer Funktion mit Hilfe von Bedingungen, die
sich aus dem Kontext ergeben („Steckbriefaufgaben“)
– verwenden digitale Werkzeuge zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen
–
Die Verwendung des Gaussalgorithmus wird im Rahmen der Analytischen Geometrie behandelt.
1.5 Vermischte Aufgaben
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
65
Unterrichtsvorhaben 2: Integralrechnung Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
2.1 Rekonstruktion eines Bestandes aus Änderungsraten
(Rekonstruktion einer Größe aus dem Graphen der Änderungsrate, Rekonstruktion einer Größe aus gegebenen Änderungsraten)
– interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe
– deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext
– ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate
2.2 Das Integral als Grenzwert von Produktsummen
(Integrale näherungsweise mithilfe von Produktsummen bestimmen, Integrale der Quadratfunktion mithilfe der Formel berechnen, Integrale als Summen orientierter Flächeninhalte bestimmen, Vernetzte Aufgabe)
– erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs
– nutzen die Intervalladditivität von Integralen
– verwenden digitale Werkzeuge zum Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales
2.3 Integrale mithilfe von Stammfunktionen berechnen
(Stammfunktionen, Integrale mithilfe von Stammfunktionen berechnen, die passende Stammfunktion zu einem Anfangswert finden, orientierte Flächeninhalte, Integrale mithilfe eines Rechners bestimmen, Vernetzte Aufgaben)
– bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen
– erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Än-derungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integ-ralrechnung)
– bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge
– nutzen die Linearität von Integralen
2.4 Integralfunktionen – skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächen-
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
66
(Graph einer Integralfunktion näherungsweise aus einem Graphen rekonstruieren, Integralfunktionen bestimmen und ihre Graphen zeichnen, Integralfunktionen mit einem GTR darstellen)
inhaltsfunktion
– erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Än-derungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integral-rechnung)
2.5 Berechnen von Flächeninhalten
2.5.1 Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse
(Flächeninhalte bei Graphen einer gegebenen Funktion f bestimmen, passende Funktionen bestimmen und Flächeninhalte berechnen)
2.5.2 Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
(Flächeninhalte von Flächen zwischen den Graphen zweier gegebener Funktionen berechnen, passende Funktionen bestimmen und Flächeninhalte zwischen den Graphen der Funktionen berechnen, Vernetzte Aufgaben)
– ermitteln Flächeninhalte mit Hilfe von bestimmten Integralen
– verwenden digitale Werkzeuge zum Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse
– bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
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Unterrichtsvorhaben 3: Exponentielles Wachstum Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Wiederholung: Exponentielles Wachstum
(Exponentielles Wachstum, Eigenschaften der Exponentialfunktionen)
3.1 Exponentielles Wachstum
3.1.1 Wachstumsgeschwindigkeit – e-Funktion
(Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis – Ableitung, Verknüpfungen von ganzrationalen Funktionen mit der e-Funktion, Flächenberechnungen und Stammfunktionen bei verknüpften Funktionen, Die EULER’sche Zahl e, Vernetzte Aufgaben)
3.1.2 Ableitung von Funktionen f mit f(x) = ek·x + n
(e-Funktionen mit linearen Funktionen im Exponenten, Ableitungen, Steigungen und Tangenten, Stammfunktionen und Integrale, Vernetzte Aufgaben)
3.1.3 Beschreibung von exponentiellem Wachstum mithilfe der e-Funktion
(Wachstumsprozesse mit der e-Funktion beschreiben, Ableitungen bestimmen, Gleichungen lösen, Integrale berechnen, Vernetzte Aufgabe)
3.1.4 Wachstumsprozesse untersuchen
(Exponentielle Abnahme und Zunahme mithilfe der e-Funktion
– bilden die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
– beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion
– untersuchen Wachstums- und Zerfallsvorgänge mit Hilfe funktionaler Ansätze
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modellieren, Halbwertszeit – Verdopplungszeit, Wachstumsgeschwindigkeit exponentieller Prozesse – experimentelle Bestimmung von k)
3.2 Verknüpfungen von e-Funktionen und ganzrationalen Funktionen
3.2.1 Produktregel – Wachstumsvergleich von e-Funktionen und ganzrationalen Funktionen
(Anwenden der Ableitungsregeln – Untersuchen des Globalverlaufs, Aspekte von Funktionsuntersuchungen, Argumentieren und Begründen)
3.2.2 Modellieren mit zusammengesetzten Funktionen
(Typische Aufgabenstellungen bei komplexen Anwendungssituationen)
– bilden in einfachen Fällen zusammengesetzte Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung)
– wenden die Kettenregel auf Verknüpfungen der natürlichen Exponentialfunktion mit linearen Funktionen an
– wenden die Produktregel auf Verknüpfungen von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen an
3.2.3 Aspekte von Funktionsuntersuchungen mit e-Funktionen
(Einzelaspekte von Funktionsuntersuchungen bearbeiten, zusammengesetzte Exponentialfunktionen in Sachzusammenhängen untersuchen)
–
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Unterrichtsvorhaben 4 Analytische Geometrie
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Wiederholung: 4.1 Punkte und Vektoren im Raum
4.1.1 Lage von Punkten im Raum beschreiben (Zeichnen von Punkten und Körpern in Koordinatensystemen; Lage von Punkten im Koordinatensystem erkennen und beschreiben; Projektion und Spiegelung von Punkten)
4.1.2 Vektoren (Verschiebungen, Vektoren und Pfeile; Längen von Vektoren berechnen)
4.1.3 Addition und Subtraktion von Vektoren (Summen und Differenzen von Vektoren berechnen und zeichnen; Dreiecksregel anwenden – Abstände zwischen zwei Punkten bestimmen; Bewegungen mit Vektoren bestimmen; Parallelogramme mit Vektoren beschreiben; Eigenschaften von Dreiecken untersuchen)
4.1.4 Vervielfachen von Vektoren (Mit Vektoren rechnen; Vektoren in Figuren bestimmen; Mittelpunkt einer Strecke berechnen)
4.2 Geraden im Raum
4.2.1. Parameterdarstellung einer Geraden
(Parameterdarstellungen einer Geraden bestimmen, Beschreibung von Strecken – Punktprobe)
4.2.2 Lagebeziehungen zwischen Geraden
(Lagebeziehungen von Geraden zueinander untersuchen, Geraden
– stellen Geraden und Strecken in Parameterform dar
– untersuchen Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden
– interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext
– verwenden digitale Werkzeuge zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
70
mit vorgegebenen Lagen zueinander bestimmen, Geraden in geometrischen Figuren, Geraden in Anwendungen)
4.3 Winkel im Raum
4.3.1 Orthogonalität zweier Vektoren – Skalarprodukt
(Orthogonalitätsprüfungen, Orthogonale Vektoren finden, Argumentieren mit dem Skalarprodukt)
4.3.2 Winkel zwischen Vektoren und Geraden
(Winkel zwischen zwei Vektoren, Untersuchungen an geometrischen Figuren, Winkel zwischen zwei Geraden im Raum)
– deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es
– untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung)
4.4 Ebenen im Raum
4.4.1 Parameterdarstellung einer Ebene
(Punkte einer Ebene bestimmen – Punktprobe, Parameterdarstellung einer Ebene aus drei Punkten bestimmen, Parameterdarstellung von Ebenen durch Geraden und Punkte bestimmen, Parameterdarstellungen von Ebenen in Figuren bestimmen, Ebenen mit besonderer Lage im Koordinatensystem, Geraden, die in Ebenen liegen)
4.4.2 Ebenen zeichnen – Spurgeraden Selbst lernen
(Ebenen mit drei Spurpunkten, Ebenen mit zwei Spurpunkten, Ebenen mit einem Spurpunkt, Ebenen durch den Koordinatenursprung)
4.4.3 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
(Gemeinsame Punkte von Geraden mit Ebenen bestimmen, Geraden und Ebenen mit zueinander vorgegebener Lage bestimmen, Geraden und Ebenen in geometrischen Figuren)
– stellen Ebenen in Parameterform dar
– untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
– berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext
– verwenden digitale Werkzeuge zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen
– lösen lineare Gleichungssysteme bis zum Grad 3 den Gauss-Algorithmus an.
– - beschreiben den Gauss-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Hier kann ein Rückgriff auf Kap.1.3 Lösen von linearen Gleichungssystemen (Gauss-Algorithmus) erfolgen.
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71
Unterrichtsvorhaben 5: Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler …
5.1 Lage- und Streuungsmaße von Stichproben
5.1.1 Häufigkeitsverteilungen – Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung
(Häufigkeitsverteilungen – Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung, Arithmetisches Mittel einer Häufigkeitsverteilung mit zusammengefassten Daten)
5.1.2 Streuung um den Mittelwert einer Stichprobe – die empirische Standardabweichung
(Berechnung der empirischen Standardabweichung von Häufigkeitsverteilungen)
– untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben
– verwenden digitale Werkzeuge zum Ermitteln der Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert, Standardabweichung)
Wiederholung: Wahrscheinlichkeitsrechnung
(Zufallsversuche, LAPLACE-Versuch, Mehrstufiger Zufallsversuch, Baumdiagramme und Pfadregeln, Komplementärregel)
– je nach Bedarf
5.2 Zufallsgröße – Erwartungswert einer Zufallsgröße
(Bestimmen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Abzählen der zugehörigen Ergebnisse, Bestimmen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mithilfe von Baumdiagrammen, Berechnen des Erwartungswerts für eine gegebene
– erläutern den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen
– bestimmen den Erwartungswert μ von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
72
Wahrscheinlichkeitsverteilung)
5.3 Binomialverteilung
5.3.1 BERNOULLI-Ketten
(Überprüfen, ob eine BERNOULLI-Kette vorliegt, erste Wahrscheinlichkeitsberechnungen bei BERNOULLI-Ketten)
5.3.2 Berechnen von Wahrscheinlichkeiten – BERNOULLI-Formel
(Anwenden der BERNOULLI-Formel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Anwenden der BERNOULLI-Formel zur Berechnung von zu erwartenden Werten, Modellieren von Ziehvorgängen ohne Zurücklegen mithilfe eines Binomialansatzes, Eigenschaften von Binomialverteilungen, Darstellen der Binomialkoeffizienten mithilfe der Fakultätenschreibweise)
5.3.3 Kumulierte Binomialverteilung – ein Auslastungsmodell
(Modellieren der Auslastung von Maschinen, Simulation einer Auslastung)
5.3.4 Berechnen von Intervall-Wahrscheinlichkeiten
(Bestimmen von Intervall-Wahrscheinlichkeiten, Modellierung von Vorgängen mithilfe eines Binomialansatzes, Bestimmen von Intervallen mit vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten)
5.3.5 Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg bei einem n-stufigen BERNOULLI-Experiment
(Notwendiger Stichprobenumfang für mindestens einen Erfolg)
– verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufalls-experimente
– erklären die Binomialverteilung und berechnen damit Wahrscheinlichkeiten
– nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen
– (verwenden digitale Werkzeuge zum Generieren von Zufallszahlen)
– (verwenden digitale Werkzeuge zum Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen)
– (verwenden digitale Werkzeuge zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen)
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73
Unterrichtsvorhaben 6: Erwartungswert und Standardabweichung von Binomialverteilungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler …
6.1 Erwartungswert und Standardabweichung von Binomialverteilungen
6.1.1 Erwartungswert einer Binomialverteilung
(Erwartungswert einer Binomialverteilung, Maximum einer Binomialverteilung, Eigenschaften von Umgebungen um den Erwartungswert einer Binomialverteilung)
6.1.2 Standardabweichung von binomialverteilten Zufallsgrößen
(Entdecken einer Formel für die mittlere quadratische Abweichung einer Binomialverteilung, Überprüfen der Berechnungsformel für die Standardabweichung, Vergleich von Binomialverteilungen mit gleichem Erwartungswert, Binomialverteilungen mit gleicher Standardabweichung, Binomialverteilung mit maximaler Streuung, Bestimmen einer Binomialverteilung zu gegebenen Werten von Erwartungswert und Standardabweichung)
6.1.3 Umgebungen um den Erwartungswert einer Binomialverteilung – σ-Regeln
(Sigma-Regeln überprüfen, Boxplots und Sigma-Umgebungen)
– bestimmen den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen
– beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen und ihre grafische Darstellung
– verwenden digitale Werkzeuge zum Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert, Standardabweichung)
– verwenden digitale Werkzeuge zum Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
– verwenden digitale Werkzeuge zum Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
– nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen
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74
6.2 Einführung in Schlussverfahren der Beurteilenden Statistik
6.2.1 Prognose über zu erwartende Häufigkeiten
(Prognosen für zu erwartende absolute Häufigkeiten, Signifikante Abweichungen, Prognose über zu erwartende relative Häufigkeiten, Ausnutzen der Symmetrie der Binomialverteilung)
6.2.2 Mithilfe einer Entscheidungsregel von der Stichprobe auf die Gesamtheit schließen
(Eine Entscheidungsregel erläutern und mögliche Fehler bedenken, Mithilfe einer Entscheidungsregel von der Stichprobe auf die Gesamtheit schließen)
– schließen anhand einer vorgegebenen Entscheidungsregel aus einem Stichprobenergebnis auf die Grundgesamtheit
6.3 Stochastische Prozesse mithilfe von Matrizen beschreiben
6.3.1 Bestimmung von Zuständen mithilfe von Übergangsmatrizen
(Übergangsdiagramme und Übergangsmatrizen, Berechnen eines veränderten Zustandsvektors)
6.3.2 Untersuchung stochastischer Prozesse mithilfe der Matrizenmultiplikation
(Bestimmung zukünftiger Zustände, Bestimmung zurückliegender Zustände)
6.3.3 Stabilisieren von Zuständen – stationäre Zustände
(Stationäre Verteilung – Fixvektor)
– beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und stochastischen Übergangsmatrizen
– verwenden die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer Prozesse (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände)
– verwenden digitale Werkzeuge zum Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen
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Qualifikationsphase Q1/Q2 Leistungskurs
Unterrichtsvorhaben 1 : Fortsetzung der Differenzialrechnung
Inhaltsbezogene Kompetenzen Die Inhaltsbezogenen Kompetenzen orientieren sich am Stoffverteilungsplan des Schroedel-Verlages
Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Wiederholung und Ergänzung aus der Einführungsphase Wiederholung: Differenzialrechnung
(Durchschnittliche Änderungsrate, Ableitung an einer Stelle, Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln)
Wiederholung: Funktionsuntersuchungen
(Globalverlauf, Symmetrie des Funktionsgraphen, Nullstellen ganzrationaler Funktionen, Monotonie, Extrempunkte und Sattelpunkte, Lokale, globale Extrema und Randextrema, Monotonie und Extrempunkte, Kriterien für Extremstellen)
Die Wiederholung soll
sich beschränken auf
Inhalte, die in der EF
nicht behandelt wurden.
1.1 Fortsetzung der Differenzialrechnung
1.1.1 Wendepunkte – Linkskurve, Rechtskurve
(Ableitungen berechnen, Links- und Rechtskurven bestimmen, grafisch argumentieren, Sätze und Definitionen kennen)
1.1.2 Kriterien für Extrem- und Wendepunkte Selbst lernen
(Extrem- und Wendepunkte berechnen, Aussagen über Extrem- und Wendestellen beurteilen, Sätze und Definitionen kennen und
– verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wende-punkten
– beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit Hilfe der 2. Ableitung
– interpretieren Parameter von Funktionen im Kontext und untersuchen ihren Einfluss auf Eigenschaften von Funktionenscharen
Auf die konsequente
Verwendung des GTR
ist Wert zu legen.
Eine weitgehende
Parallelität der Kurse ist
anzustreben
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
76
anwenden, Vernetzte Aufgaben)
1.1.3 Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten Selbst lernen
(Anwenden der Ableitungsregeln, Ableitung der Quadratwurzelfunktion, Steigungen von Funktionen, Tangentengleichung, Vernetzte Aufgaben)
1.1.4 Aspekte von Funktionsuntersuchungen
(Aspekte von Funktionsuntersuchungen, Rechnerfenster kritisch hinterfragen, Argumentieren mit Eigenschaften von Funktionen, Untersuchung von Eigenschaften in Abhängigkeit von einem Parameter bei ganzrationalen Funktionen, Vernetzte Aufgaben)
1.1.5 Funktionenscharen
(Eigenschaften einer Funktionenschar in Abhängigkeit von einem Parameter untersuchen, Funktionenscharen in Sachsituationen)
– bilden die Ableitungen von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten
– verwenden digitale Werkzeuge zum Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle
– verwenden digitale Werkzeuge zum Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle
– verwenden digitale Werkzeuge zum zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
1.2 Extremwertprobleme
(Geometrische Körper und Figuren, Vereinfachen durch Quadrieren der Zielfunktion, Flächeninhalte und Funktionsgraphen, Aufgaben aus der Wirtschaft)
– verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrempunkten
– führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese
Wiederholung: Lösen linearer Gleichungssysteme
(Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren, Sonderfälle bei der Lösungsmenge)
–
1.3 Lösen linearer Gleichungssysteme – GAUSS-Algorithmus
1.3.1 Der GAUSS-Algorithmus zum Lösen eines linearen Gleichungssystems
1.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen oder ohne Lösung
– stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar
– beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
– wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Glei-chungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
77
Rechenaufwand lösbar sind
– interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen
– verwenden digitale Werkzeuge zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen
1.4 Bestimmen ganzrationaler Funktionen
(Bestimmen einer Funktion mit vorgegebenem Grad, Bestimmen einer Funktion ohne vorgegebenen Grad, mit ganzrationalen Funktionen modellieren)
– bestimmen Parameter einer Funktion mit Hilfe von Bedingungen, die
sich aus dem Kontext ergeben („Steckbriefaufgaben“)
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Unterrichtsvorhaben 2: Integralrechnung Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
2.4 Eine Größe aus ihrer Änderungsrate rekonstruieren
(Rekonstruktion einer Größe aus dem Graphen der Änderungsrate, Rekonstruktion einer Größe aus gegebenen Änderungsraten)
– interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe
– deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext
– ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate oder der Randfunktion
2.5 Das Integral als Grenzwert von Produktsummen
(Integrale näherungsweise mithilfe von Produktsummen bestimmen, Integrale der Quadratfunktion mithilfe der Formel berechnen, Integrale als Summen orientierter Flächeninhalte bestimmen, Vernetzte Aufgabe)
– erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs
– nutzen die Intervalladditivität von Integralen
– verwenden digitale Werkzeuge zum Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales
2.3 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
(Stammfunktionen, Integralfunktionen bestimmen und ihre Graphen zeichnen, Abschnittsweise definierte Integralfunktionen, Graph einer Integralfunktion näherungsweise aus einem Graphen rekonstruieren, Integrale mithilfe von Stammfunktionen berechnen, die passende Stammfunktion zu einem Anfangswert finden, orientierte Flächeninhalte, Integrale mithilfe eines Rechners bestimmen, Integralfunktionen mit einem GTR darstellen, keine Stammfunktion zu finden – da hilft die Integralfunktion, Vernetzte Aufgaben)
– bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen
– begründen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung unter Verwendung eines anschaulichen Stetigkeitsbegriffs
– bestimmen Integrale numerisch und mithilfe von gegebenen oder Nachschlagewerken entnommenen Stammfunktionen
– nutzen die Linearität von Integralen
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
79
2.4 Integralfunktionen
(Graph einer Integralfunktion näherungsweise aus einem Graphen rekonstruieren, Integralfunktionen bestimmen und ihre Graphen zeichnen, Integralfunktionen mit einem GTR darstellen)
– skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächen-inhaltsfunktion
– erläutern den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion
2.5 Berechnen von Flächeninhalten
2.5.1 Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse
(Flächeninhalte bei Graphen einer gegebenen Funktion f bestimmen, passende Funktionen bestimmen und Flächeninhalte berechnen)
2.5.2 Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
(Flächeninhalte von Flächen zwischen den Graphen zweier gegebener Funktionen berechnen, passende Funktionen bestimmen und Flächeninhalte zwischen den Graphen der Funktionen berechnen, Vernetzte Aufgaben)
2.5.3 Uneigentliche Integrale
– verwenden digitale Werkzeuge zum Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse
– bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge
– bestimmen Flächeninhalte mit Hilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen
2.6 Volumina von Rotationskörpern – bestimmen Volumina von Körpern, die durch die Rotation um die Abszisse entstehen, mit Hilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen
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Unterrichtsvorhaben 3: Exponentielles Wachstum Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Wiederholung: Exponentielles Wachstum
(Exponentielles Wachstum, Eigenschaften der Exponentialfunktionen)
3.1 Exponentielles Wachstum
3.1.1 Wachstumsgeschwindigkeit – e-Funktion
(Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis – Ableitung, Verknüpfungen von ganzrationalen Funktionen mit der e-Funktion, Flächenberechnungen und Stammfunktionen bei verknüpften Funktionen, Die EULER’sche Zahl e, Vernetzte Aufgaben)
3.1.2 Ableitung von Exponentialfunktionen – natürlicher Logarithmus
(e-Funktionen mit linearen Funktionen im Exponenten, Ableitungen, Steigungen und Tangenten, Stammfunktionen und Integrale, Vernetzte Aufgaben)
3.1.3 Eigenschaften von e-Funktionen – Kettenregel
(Wachstumsprozesse mit der e-Funktion beschreiben, Ableitungen bestimmen, Gleichungen lösen, Integrale berechnen, Vernetzte Aufgabe)
– bilden die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
– bilden die Ableitung von Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis
– bilden die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
– deuten die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen
– beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und begründen die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion
– nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion
– verwenden Exponentialfunktionen zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen und vergleichen die Qualität der Modellierung exemplarisch mit einem begrenzten Wachstum
– nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion der Funktion
xx 1
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3.1.4 Wachstumsprozesse untersuchen Selbst lernen
(Exponentielle Abnahme und Zunahme mithilfe der e-Funktion modellieren, Halbwertszeit – Verdopplungszeit, Wachstumsgeschwindigkeit exponentieller Prozesse – experimentelle Bestimmung von k)
3.1.5 Begrenztes Wachstum
3.2 Eigenschaften zusammengesetzter Funktionen
3.2.1 Summe und Differenz von Funktionen
(Anwenden der Ableitungsregeln – Untersuchen des Globalverlaufs, Aspekte von Funktionsuntersuchungen, Argumentieren und Begründen)
3.2.2 Produkte von Funktionen
3.2.3 Produktregel
– führen Eigenschaften von zusammengesetzten Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung) argumentativ auf deren Bestandteile zurück
– wenden die Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionen an
3.3 Modellieren mit zusammengesetzten Funktionen
(Typische Aufgabenstellungen bei komplexen Anwendungssituationen)
3.4 Aspekte von Funktionsuntersuchungen mit e-Funktionen – Funktionenscharen
(Einzelaspekte von Funktionsuntersuchungen bearbeiten, zusammengesetzte Exponentialfunktionen in Sachzusammenhängen untersuchen)
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82
Unterrichtsvorhaben 4 Vektorielle Geometrie
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Wiederholung: 4.1 Punkte und Vektoren im Raum
4.1.1 Lage von Punkten im Raum beschreiben (Zeichnen von Punkten und Körpern in Koordinatensystemen; Lage von Punkten im Koordinatensystem erkennen und beschreiben; Projektion und Spiegelung von Punkten)
4.1.2 Vektoren (Verschiebungen, Vektoren und Pfeile; Längen von Vektoren berechnen)
4.1.3 Addition und Subtraktion von Vektoren (Summen und Differenzen von Vektoren berechnen und zeichnen; Dreiecksregel anwenden – Abstände zwischen zwei Punkten bestimmen; Bewegungen mit Vektoren bestimmen; Parallelogramme mit Vektoren beschreiben; Eigenschaften von Dreiecken untersuchen)
4.1.5 Vervielfachen von Vektoren (Mit Vektoren rechnen; Vektoren in Figuren bestimmen; Mittelpunkt einer Strecke berechnen)
4.2 Geraden im Raum
4.2.1. Parameterdarstellung einer Geraden
(Parameterdarstellungen einer Geraden bestimmen, Beschreibung von Strecken – Punktprobe)
4.2.2 Lagebeziehungen zwischen Geraden
(Lagebeziehungen von Geraden zueinander untersuchen, Geraden
– stellen Geraden in Parameterform dar
– untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden
– stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar
– verwenden digitale Werkzeuge zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen
Zur Darstellung im
dreidimensionalen
Raum eignet sich
besonders
GEOGEBRA
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
83
mit vorgegebenen Lagen zueinander bestimmen, Geraden in geometrischen Figuren, Geraden in Anwendungen)
4.3 Winkel im Raum
4.3.1 Orthogonalität zweier Vektoren – Skalarprodukt
(Orthogonalitätsprüfungen, Orthogonale Vektoren finden, Argumentieren mit dem Skalarprodukt)
4.3.2 Winkel zwischen Vektoren und Geraden
(Winkel zwischen zwei Vektoren, Untersuchungen an geometrischen Figuren, Winkel zwischen zwei Geraden im Raum)
– deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es
– untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung)
4.4 Ebenen im Raum
4.4.1 Parameterdarstellung einer Ebene
(Punkte einer Ebene bestimmen – Punktprobe, Parameterdarstellung einer Ebene aus drei Punkten bestimmen, Parameterdarstellung von Ebenen durch Geraden und Punkte bestimmen, Parameterdarstellungen von Ebenen in Figuren bestimmen, Ebenen mit besonderer Lage im Koordinatensystem, Geraden, die in Ebenen liegen)
4.4.2 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
(Gemeinsame Punkte von Geraden mit Ebenen bestimmen, Geraden und Ebenen mit zueinander vorgegebener Lage bestimmen, Geraden und Ebenen in geometrischen Figuren)
– stellen Ebenen in Koordinaten- und in Parameterform dar
– stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar
– untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
– berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext
– verwenden digitale Werkzeuge zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen
4.5 Normalenvektor einer Ebene
4.5.1 Normalenform und Koordinatenform einer Ebene
4.5.2 Lagebeziehungen mithilfe eines Normalenvektors untersuchen Selbst lernen
– stellen Ebenen in Normalenform dar und nutzen diese zur Orientierung im Raum
– untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
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4.6 Winkel zwischen Geraden und Ebenen
4.6.1 Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene
4.6.2 Winkel zwischen zwei Ebenen
– untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung)
4.7 Abstandsberechnungen
4.7.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene und von einer Geraden
4.7.2 Die HESSE’sche Normalenform Selbst lernen
4.7.3 Abstand zueinander windschiefer Geraden
– bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen
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Unterrichtsvorhaben 5: Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler …
5.1 Lage- und Streuungsmaße von Stichproben
5.1.1 Häufigkeitsverteilungen – Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung
(Häufigkeitsverteilungen – Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung, Arithmetisches Mittel einer Häufigkeitsverteilung mit zusammengefassten Daten)
5.1.2 Streuung um den Mittelwert einer Stichprobe – die empirische Standardabweichung
(Berechnung der empirischen Standardabweichung von Häufigkeitsverteilungen)
– untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben
– verwenden digitale Werkzeuge zum Ermitteln der Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert, Standardabweichung)
Wiederholung: Wahrscheinlichkeitsrechnung
(Zufallsversuche, LAPLACE-Versuch, Mehrstufiger Zufallsversuch, Baumdiagramme und Pfadregeln, Komplementärregel)
–
5.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
5.2.1 Zufallsgröße – Erwartungswert einer Zufallsgröße
(Bestimmen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Abzählen der zugehörigen Ergebnisse, Bestimmen von Wahrscheinlich-
– erläutern den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen
– bestimmen den Erwartungswert μ von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
86
keitsverteilungen mithilfe von Baumdiagrammen, Berechnen des Erwartungswerts für eine gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung)
5.2.2 Anwendung von Zählstrategien zur Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten
(Zählprinzip, Urnenmodelle, Fakultätschreibweise)
5.2.3 Anwendung von Zählstrategien beim Ziehen mit einem Griff
(Berechnen von Binomialkoeffizienten, PASCAL’sches Dreieck, das PASCAL’sche Dreieck und Binomische Formeln, Bestimmen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mithilfe von Binomialkoeffizienten)
5.3 Binomialverteilung
5.3.1 BERNOULLI-Ketten
(Überprüfen, ob eine BERNOULLI-Kette vorliegt, erste Wahrscheinlichkeitsberechnungen bei BERNOULLI-Ketten)
5.3.2 Berechnen von Wahrscheinlichkeiten – BERNOULLI-Formel
(Anwenden der BERNOULLI-Formel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Anwenden der BERNOULLI-Formel zur Berechnung von zu erwartenden Werten, Modellieren von Ziehvorgängen ohne Zurücklegen mithilfe eines Binomialansatzes, Eigenschaften von Binomialverteilungen)
5.3.3 Kumulierte Binomialverteilung – ein Auslastungsmodell
(Modellieren der Auslastung von Maschinen, Simulation einer Auslastung)
5.3.4 Berechnen von Intervall-Wahrscheinlichkeiten
(Bestimmen von Intervall-Wahrscheinlichkeiten, Modellierung von Vorgängen mithilfe eines Binomialansatzes, Bestimmen von Intervallen mit vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten)
5.3.5 Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg
– verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufalls-experimente
– erklären die Binomialverteilung einschließlich der kombinatorischen Bedeutung der Binomialkoeffizienten und berechnen damit Wahr-scheinlichkeiten
– nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen
– verwenden digitale Werkzeuge zum Generieren von Zufallszahlen
– verwenden digitale Werkzeuge zum Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
– verwenden digitale Werkzeuge zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
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bei einem n-stufigen BERNOULLI-Experiment
(Notwendiger Stichprobenumfang für mindestens einen Erfolg)
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Unterrichtsvorhaben 6: Erwartungswert und Standardabweichung von Binomialverteilungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen
Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen
Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren
Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren
Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren
Die Schülerinnen und Schüler …
6.1 Erwartungswert und Standardabweichung von Binomialverteilungen
6.1.1 Erwartungswert einer Binomialverteilung
(Erwartungswert einer Binomialverteilung, Maximum einer Binomialverteilung, Eigenschaften von Umgebungen um den Erwartungswert einer Binomialverteilung, Allgemeine Untersuchungen zum Erwartungswert und zum Maximum einer Binomialverteilung)
6.1.2 Standardabweichung von binomialverteilten Zufallsgrößen
(Entdecken einer Formel für die mittlere quadratische Abweichung einer Binomialverteilung, Überprüfen der Berechnungsformel für die Standardabweichung, Vergleich von Binomialverteilungen mit gleichem Erwartungswert, Binomialverteilungen mit gleicher Standardabweichung, Binomialverteilung mit maximaler Streuung, Bestimmen einer Binomialverteilung zu gegebenen Werten von Erwartungswert und Standardabweichung)
6.1.3 Umgebungen um den Erwartungswert einer Binomialverteilung – σ-Regeln
– bestimmen den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen
– nutzen die -Regeln für prognostische Aussagen
– verwenden digitale Werkzeuge zum Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert, Standardabweichung)
– beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen und ihre graphische Darstellung
– verwenden digitale Werkzeuge zum Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
– verwenden digitale Werkzeuge zum Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
– nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen
Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik
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(Sigma-Regeln überprüfen, Boxplots und Sigma-Umgebungen)
6.1.4 Bestimmen eines genügend großen Stichprobenumfangs
(Sigma-Regeln für relative Häufigkeiten, 95 %-Trichter)
6.2 Normalverteilung
6.2.1 Approximation von Binomialverteilungen durch Normalverteilungen
(Eigenschaften der GAUSS’schen Dichtefunktion, Approximation der Binomialverteilung durch eine Normalverteilung, Spezialfälle der Näherungsformeln von MOIVRE und LAPLACE, Anwenden der Näherungsformeln)
6.2.2 Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsgrößen Selbst lernen
(Wahrscheinlichkeiten bei gegebenen Werten von und bestimmen)
6.2.3 Bestimmen der Parameter bei normalverteilten Zufallsgrößen
(Schätzwerte für und ermitteln und damit
Wahrscheinlichkeiten bestimmen, Die Parameter und aus Wahrscheinlichkeitsaussagen erschließen)
– unterscheiden diskrete und stetige Zufallsgrößen und deuten die Ver-teilungsfunktion als Integralfunktion
– untersuchen stochastische Situationen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen führen
– beschreiben den Einfluss der Parameter μ und σ auf die Normalverteilung und die graphische Darstellung ihrer Dichtefunktion (Gauß’sche Glockenkurve)
6.3 Beurteilende Statistik – Hypothesentests
6.3.1 Prognose über zu erwartende Häufigkeiten – Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe
(Prognosen für zu erwartende absolute Häufigkeiten, Signifikante Abweichungen, Prognose über zu erwartende relative Häufigkeiten, Ausnutzen der Symmetrie der Binomialverteilung)
6.3.2 Testen von zweiseitigen Hypothesen – Fehler 1. und 2. Art
– interpretieren Hypothesentests bezogen auf den Sachkontext und das Erkenntnisinteresse
– beschreiben und beurteilen Fehler 1. und 2. Art,
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(Annahme- und Verwerfungsbereich bestimmen, Entscheidungsregeln aufstellen, Fehler 1. und 2. Art in Alltagssituationen beschreiben, Über die Gültigkeit von zweiseitigen Hypothesen entscheiden, Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bestimmen)
6.3.3 Auswahl der Hypothese – Testen von einseitigen Hypothesen
(Einseitiger Hypothesentest bei vorgegebener Hypothese, Einseitig oder zweiseitig testen, Verschiedene Standpunkte – verschiedene einseitige Hypothesentests)
6.4 Stochastische Prozesse mithilfe von Matrizen beschreiben
6.4.1 Bestimmung von Zuständen mithilfe von Übergangsmatrizen
(Übergangsdiagramme und Übergangsmatrizen, Berechnen eines veränderten Zustandsvektors)
6.4.2 Untersuchung stochastischer Prozesse mithilfe der Matrizenmultiplikation
(Bestimmung zukünftiger Zustände, Bestimmung zurückliegender Zustände)
6.4.3 Stabilisieren von Zuständen – stationäre Zustände
(Stationäre Verteilung – Fixvektor)
– beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und stochastischen Übergangsmatrizen
– verwenden die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer Prozesse (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände)
– verwenden digitale Werkzeuge zum Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen
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13. Projekte Wettbewerbe Pangea Mathematikwettbewerb : Die Teilnahme ist für Schülerinnen und Schüler der Klasse 5 verbindlich, für Schülerinnen und Schüler der anderen Jahrgangsstufen freiwillig. Mathematik-Olympiade: Die Teilnahme ist für Schülerinnen und Schüler aller Jahrgangstufen freiwillig.