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Mathematikunterricht (Informatikunterricht) mit Computern
METHODIK UND DIDAKTIK
Karl Josef Fuchs, Universität Salzburg
Johannes Kepler Universität Linz
SS 2007
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1.1 Spezifische Lernziele
ExperimentierenAnlehnung an E(naktiv),I(konisch),S(ymbolisch)
Zusätzliche Akzentuierung der aktiven Rolle des Schülers (Prädikat: handelnd)
- anschaulich – handeln (Visualisieren)
- numerisch – handeln (Tabellen, Listen; Einsetzen von
Funktionswerten)
Didaktik: Spannungsfeld von TheorieTheorie und PraxisPraxis – 1. Grundfragen
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1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Argumentieren und Begründensymbolisch – handeln (z. B. Kurvendiskussion,
Prototypen von Funktionen)
Verschiedene Exaktheitsniveaus / Präformales Beweisen
(z. B. Verketten von Funktionen, funktionierender Bisektionsalgorithmus - quasialgorithmischer Beweis
für den Zwischenwertsatz)
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1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Einstellungen initiieren und verändernMotivation für mathematische – informatische Inhalte
Selbstvertrauen zu eigener Leistung
Bedingungen:
Mehr Selbsttätigkeit der Schüler
Veränderte Lehrerrolle
starke Handlungsorientierung des Unterrichts
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1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Einstellungen initiieren und verändernBedingungen:
Soziale Parameter: Verstärkte Partner- und
Gruppenarbeit in Projekten
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1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Modellbilden (Fundamentale Leitidee)
Mathematik: Entwickeln – Beschreiben – Bewerten
Informatik: Entwickeln – Implementieren - Bewerten
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1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Verschiebung von GewichtenElemente der diskreten Mathematik (z.B. Grundlagen
der Logik)Elemente der Stochastik (z.B. Regression)
Diskussion von Programmierparadigmen (z. B. Funktional -> Verketten von Funktionen – Frage der Argumente)
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1. Grundfragen
1.2 Forderungen an den Unterricht
Unterricht als ProzessMehrperspektivität (Verlagerung der Standpunkt, Gegenüberhalten verschiedener
Repräsentationsformen)
Unterricht durchsichtiger machen
Orientierung an fundamentalen Ideen und Begriffen
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1.2 Forderungen an den Unterricht
Stärkere Berücksichtigung intra- und interindividueller Komponenten
Veränderte stress- und angstbeladene Unterrichts-situationen (d. h. vor allem Veränderung der
Prüfungssituation – Umfangreichere Beurteilungs-grundlagen)
1. Grundfragen
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2.1Die optimal approximierende Gerade
LI: Approximation, Prototypisches Verhalten von Funktionen (Bemerkung F. Schweiger)
Aufgabe: Näherungsweises Beschreiben einer reellen Funktion f in der Umgebung eines Punktes P.
Didaktik: Spannungsfeld von TheorieTheorie und Praxis – 2. Unterichtsbeispiele (M)
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2. Unterichtsbeispiele (M)
1. Schritt: Definition der Funktion f
2. Schritt: Betrachten des Funktions-wertes an der Stelle x+u mit u = x-x0
3. Schritt: Linearisierung (d.h. Abspalten der linearen Funktion und Festlegen auf eine Stelle x0=2: y = f(2)+m(x-2))
4. Schritt: Erzeugung eines Büschels für die Betrachtung unter dem Funktionen-mikroskop (d.h. m = 2 x0±ε)
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2. Unterichtsbeispiele (M)
5. Schritt: Mikroskopische Betrachtung der ‚Sachlage‘ in P(x,x0)
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2.2 Vermutungen über Differentiationsregeln anstellen
LI: Approximation, Modellieren
Problem: Lässt sich die Idee der Linearisierung (aus Aufgabe 2.1) weiterführen zu Vermutungen über Regeln?
2. Unterichtsbeispiele (M)
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2. Unterichtsbeispiele (M)
1. Schritt: Definition der beiden Tangentenfunktionen tf und tg
2. Schritt: Summe aus tf und tg mit
u = x-x0, a=f (x0), b=g(x0) m=f ‘(x0),
n=g ‘(x0)
3. Schritt: (m+n) u Verm.: (f+g)‘ =f‘+g‘
4. Schritt: Linearisierung - (a.n+b.m) u
Vermutung: (f.g)‘ = f. g‘+ g. f‘
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2.3 Zur Beschreibung von Punktmengen – Einpassen einer Geraden (y = k x)
LI: Approximation, Präformales Beweisen, Verschiedene Exaktheit, Modellieren
Problem: Einpassen einer Geraden (y = k x) in eine Menge von m(=3) Punkten des 2. (Soll beim Schüler eine Motivationslage schaffen, die Arbeitsweise eines CAS zu hinterfragen)
2. Unterichtsbeispiele (M)
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2. Unterichtsbeispiele (M)
1. Schritt: Definition der Funktion f (mit P1(3,3), P2(4,4) und P3(5,3))
2. Schritt: Vereinfachen führt zu einer quadratischen Funktionsausdruck in k
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2. Unterichtsbeispiele (M)
3. Schritt: Extremwertaufgabe
Notwendige und Hinreichende Bedingung für ein Minimum
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2. Unterichtsbeispiele (M)
2.4 Entwickeln – Beschreiben – Bewerten
LI: Approximation, Modellieren
Aufgabe: Aus einem Testbericht wurde die folgende Tabelle für verschiedene PKWs entnommen:
Entwickle ein Modell für die funktionale Abhängigkeit des Kraftstoffverbrauchs von der Geschwindigkeit.
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2. Unterichtsbeispiele (M)
1. Schritt: Übertragen der Werte aus der Tabelle
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2. Unterichtsbeispiele (M)
2. Schritt: Beschreibung 01 -Quadratische Regression (Einpassen einer quadratischen Funktion)
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2. Unterichtsbeispiele (M)
3. Schritt: Beschreibung 01 -Quadratische Regression
Grafische Darstellung
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2. Unterichtsbeispiele (M)
4. Schritt: Beschreibung 02 - Einpassen einer Polynomfunktion vom Grad 4
![Page 23: Mathematikunterricht (Informatikunterricht) mit Computern METHODIK UND DIDAKTIK Karl Josef Fuchs, Universität Salzburg Johannes Kepler Universität Linz](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062512/55204d7249795902118c57f7/html5/thumbnails/23.jpg)
2. Unterichtsbeispiele (M)
5. Schritt: Beschreibung 02 –
Polynomfunktion vom Grad 4
Grafische Darstellung
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2. Unterichtsbeispiele (M)
6. Schritt: Beschreibung 03 - Einpassen einer Polynomfunktion vom Grad 4
Ermittlung der Koeffizienten durch Lösen des angegebenen Gleichungssystems
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2. Unterichtsbeispiele (M)
7. Schritt: Bewertung des Graphen führt zu Beschreibung 04 - Einpassen zweier quadratischer Funktionen
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Didaktik: Spannungsfeld von Theorie und Praxis Praxis – 3. Strukturmodell (Inf)
![Page 27: Mathematikunterricht (Informatikunterricht) mit Computern METHODIK UND DIDAKTIK Karl Josef Fuchs, Universität Salzburg Johannes Kepler Universität Linz](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062512/55204d7249795902118c57f7/html5/thumbnails/27.jpg)
3. Strukturmodell
3.1 Informatische Konzepte
Programmierparadigmen (am Beispiel funktional)
hier: Modularisierung / Modulprinzip
3.2 Pädagogische – Psychologische Konzepte (vgl. 1.1 /1.2)
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Didaktik: Spannungsfeld von TheorieTheorieund Praxis - 3. Strukturmodell
3.1 Entwickeln – Implementieren – Bewerten LI: Modellieren durch Funktionen, Modularisieren
Aufgabe: Implementierung eines logischen Systems (Konjunktion, Disjunktion, Negation) durch funktionale Kodierung
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3. Unterichtsbeispiele (INF)
1. Schritt: Definieren der Funktionen des logischen Systems
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3.2 Entwickeln – Implementieren – Bewerten LI: Funktion (Argumente, Verkettung), Algorithmisches Denken
Aufgabe: ‚Auf der Suche nach Gesetzmäßigkeiten (Äquivalenzen) illustriert am Beispiel De Morgan‘
3. Unterichtsbeispiele (INF)
![Page 31: Mathematikunterricht (Informatikunterricht) mit Computern METHODIK UND DIDAKTIK Karl Josef Fuchs, Universität Salzburg Johannes Kepler Universität Linz](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062512/55204d7249795902118c57f7/html5/thumbnails/31.jpg)
3. Unterichtsbeispiele (INF)
1. Schritt: Verketten der zuvor definierten Funktionen
2. Schritt: Gegenüberstellung der Outputs (Tabellen)
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3. Unterichtsbeispiele (INF)
3. Schritt: Verifizierung der Äquivalenz mittels 4 x 3 - Tabelle
![Page 33: Mathematikunterricht (Informatikunterricht) mit Computern METHODIK UND DIDAKTIK Karl Josef Fuchs, Universität Salzburg Johannes Kepler Universität Linz](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062512/55204d7249795902118c57f7/html5/thumbnails/33.jpg)
3. Strukturmodell
Abschließende (positive) Bemerkungen zu Informatische Konzepte – Modularisierung / Die Funktion als Baustein
Schaffung eines Systems
Konstruktives Exaktifizieren