mathimatika a gymnasiou

274
ÊåöÜëáéï 1 ï âéâëéïììÜèçìá 1: âéâëéïììÜèçìá 1: âéâëéïììÜèçìá 1: âéâëéïììÜèçìá 1: âéâëéïììÜèçìá 1: - - - - -Öõóéêïß áñéèìïß Öõóéêïß áñéèìïß Öõóéêïß áñéèìïß Öõóéêïß áñéèìïß Öõóéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí âéâëéïììÜèçìá 2: âéâëéïììÜèçìá 2: âéâëéïììÜèçìá 2: âéâëéïììÜèçìá 2: âéâëéïììÜèçìá 2: -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôÞò -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôÞò -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôÞò -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôÞò -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôÞò -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò âéâëéïììÜèçìá 3: âéâëéïììÜèçìá 3: âéâëéïììÜèçìá 3: âéâëéïììÜèçìá 3: âéâëéïììÜèçìá 3: -Ðñüóèåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí -Ðñüóèåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí -Ðñüóèåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí -Ðñüóèåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí -Ðñüóèåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí -Áöáßñåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí Áöáßñåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí Áöáßñåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí Áöáßñåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí Áöáßñåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí -Ðïëëáðëáóéáóìüò öõóéêþí -Ðïëëáðëáóéáóìüò öõóéêþí -Ðïëëáðëáóéáóìüò öõóéêþí -Ðïëëáðëáóéáóìüò öõóéêþí -Ðïëëáðëáóéáóìüò öõóéêþí êáé äåêáäéêþí êáé äåêáäéêþí êáé äåêáäéêþí êáé äåêáäéêþí êáé äåêáäéêþí âéâëéïììÜèçìá 4: âéâëéïììÜèçìá 4: âéâëéïììÜèçìá 4: âéâëéïììÜèçìá 4: âéâëéïììÜèçìá 4: -ÐïëëáðëÜóéá öõóéêïý áñéèìïý -ÐïëëáðëÜóéá öõóéêïý áñéèìïý -ÐïëëáðëÜóéá öõóéêïý áñéèìïý -ÐïëëáðëÜóéá öõóéêïý áñéèìïý -ÐïëëáðëÜóéá öõóéêïý áñéèìïý -ÄõíÜìåéò áñéèìþí -ÄõíÜìåéò áñéèìþí -ÄõíÜìåéò áñéèìþí -ÄõíÜìåéò áñéèìþí -ÄõíÜìåéò áñéèìþí -ÅðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá -ÅðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá -ÅðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá -ÅðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá -ÅðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá âéâëéïììÜèçìá 5: âéâëéïììÜèçìá 5: âéâëéïììÜèçìá 5: âéâëéïììÜèçìá 5: âéâëéïììÜèçìá 5: -Ç ôÝëåéá äéáßñåóç -Ç ôÝëåéá äéáßñåóç -Ç ôÝëåéá äéáßñåóç -Ç ôÝëåéá äéáßñåóç -Ç ôÝëåéá äéáßñåóç -ÄéáéñÝôåò öõóéêïý áñéèìïý -ÄéáéñÝôåò öõóéêïý áñéèìïý -ÄéáéñÝôåò öõóéêïý áñéèìïý -ÄéáéñÝôåò öõóéêïý áñéèìïý -ÄéáéñÝôåò öõóéêïý áñéèìïý -×áñáêôÞñåò äéáéñåôüôçôáò -×áñáêôÞñåò äéáéñåôüôçôáò -×áñáêôÞñåò äéáéñåôüôçôáò -×áñáêôÞñåò äéáéñåôüôçôáò -×áñáêôÞñåò äéáéñåôüôçôáò -ÁíÜëõóç áñéèìïý óå ãéíüìåíï -ÁíÜëõóç áñéèìïý óå ãéíüìåíï -ÁíÜëõóç áñéèìïý óå ãéíüìåíï -ÁíÜëõóç áñéèìïý óå ãéíüìåíï -ÁíÜëõóç áñéèìïý óå ãéíüìåíï ðñþôùí ðáñáãüíôùí ðñþôùí ðáñáãüíôùí ðñþôùí ðáñáãüíôùí ðñþôùí ðáñáãüíôùí ðñþôùí ðáñáãüíôùí -Ç åõêëåßäéá äéáßñåóç -Ç åõêëåßäéá äéáßñåóç -Ç åõêëåßäéá äéáßñåóç -Ç åõêëåßäéá äéáßñåóç -Ç åõêëåßäéá äéáßñåóç -Äéáßñåóç äåêáäéêþí -Äéáßñåóç äåêáäéêþí -Äéáßñåóç äåêáäéêþí -Äéáßñåóç äåêáäéêþí -Äéáßñåóç äåêáäéêþí -Ðçëßêï ìå ðñïóÝããéóç -Ðçëßêï ìå ðñïóÝããéóç -Ðçëßêï ìå ðñïóÝããéóç -Ðçëßêï ìå ðñïóÝããéóç -Ðçëßêï ìå ðñïóÝããéóç âéâëéïììÜèçìá 6: âéâëéïììÜèçìá 6: âéâëéïììÜèçìá 6: âéâëéïììÜèçìá 6: âéâëéïììÜèçìá 6: -Ðñïôåñáéüôçôá ôùí ðñÜîåùí -Ðñïôåñáéüôçôá ôùí ðñÜîåùí -Ðñïôåñáéüôçôá ôùí ðñÜîåùí -Ðñïôåñáéüôçôá ôùí ðñÜîåùí -Ðñïôåñáéüôçôá ôùí ðñÜîåùí -ÔõðïðïéçìÝíç ìïñöÞ -ÔõðïðïéçìÝíç ìïñöÞ -ÔõðïðïéçìÝíç ìïñöÞ -ÔõðïðïéçìÝíç ìïñöÞ -ÔõðïðïéçìÝíç ìïñöÞ ìåãÜëùí áñéèìþí ìåãÜëùí áñéèìþí ìåãÜëùí áñéèìþí ìåãÜëùí áñéèìþí ìåãÜëùí áñéèìþí Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß

Upload: maramly

Post on 03-Mar-2015

1.177 views

Category:

Documents


7 download

TRANSCRIPT

ÊåöÜëáéï 1ïïïïï

âéâëéïììÜèçìá 1:âéâëéïììÜèçìá 1:âéâëéïììÜèçìá 1:âéâëéïììÜèçìá 1:âéâëéïììÜèçìá 1: - - - - -Öõóéêïß áñéèìïßÖõóéêïß áñéèìïßÖõóéêïß áñéèìïßÖõóéêïß áñéèìïßÖõóéêïß áñéèìïß-Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß-Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß-Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß-Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß-Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß-Óýãêñéóç äýï áñéèìþí-Óýãêñéóç äýï áñéèìþí-Óýãêñéóç äýï áñéèìþí-Óýãêñéóç äýï áñéèìþí-Óýãêñéóç äýï áñéèìþí-Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí-Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí-Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí-Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí-Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí

âéâëéïììÜèçìá 2: âéâëéïììÜèçìá 2: âéâëéïììÜèçìá 2: âéâëéïììÜèçìá 2: âéâëéïììÜèçìá 2: -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôÞò-Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôÞò-Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôÞò-Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôÞò-Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôÞò-Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò-Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò-Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò-Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò-Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

âéâëéïììÜèçìá 3: âéâëéïììÜèçìá 3: âéâëéïììÜèçìá 3: âéâëéïììÜèçìá 3: âéâëéïììÜèçìá 3: -Ðñüóèåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí-Ðñüóèåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí-Ðñüóèåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí-Ðñüóèåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí-Ðñüóèåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí-----Áöáßñåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþíÁöáßñåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþíÁöáßñåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþíÁöáßñåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþíÁöáßñåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí-Ðïëëáðëáóéáóìüò öõóéêþí-Ðïëëáðëáóéáóìüò öõóéêþí-Ðïëëáðëáóéáóìüò öõóéêþí-Ðïëëáðëáóéáóìüò öõóéêþí-Ðïëëáðëáóéáóìüò öõóéêþí êáé äåêáäéêþí êáé äåêáäéêþí êáé äåêáäéêþí êáé äåêáäéêþí êáé äåêáäéêþí

âéâëéïììÜèçìá 4: âéâëéïììÜèçìá 4: âéâëéïììÜèçìá 4: âéâëéïììÜèçìá 4: âéâëéïììÜèçìá 4: -ÐïëëáðëÜóéá öõóéêïý áñéèìïý-ÐïëëáðëÜóéá öõóéêïý áñéèìïý-ÐïëëáðëÜóéá öõóéêïý áñéèìïý-ÐïëëáðëÜóéá öõóéêïý áñéèìïý-ÐïëëáðëÜóéá öõóéêïý áñéèìïý-ÄõíÜìåéò áñéèìþí-ÄõíÜìåéò áñéèìþí-ÄõíÜìåéò áñéèìþí-ÄõíÜìåéò áñéèìþí-ÄõíÜìåéò áñéèìþí-ÅðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá-ÅðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá-ÅðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá-ÅðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá-ÅðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá

âéâëéïììÜèçìá 5: âéâëéïììÜèçìá 5: âéâëéïììÜèçìá 5: âéâëéïììÜèçìá 5: âéâëéïììÜèçìá 5: -Ç ôÝëåéá äéáßñåóç-Ç ôÝëåéá äéáßñåóç-Ç ôÝëåéá äéáßñåóç-Ç ôÝëåéá äéáßñåóç-Ç ôÝëåéá äéáßñåóç-ÄéáéñÝôåò öõóéêïý áñéèìïý-ÄéáéñÝôåò öõóéêïý áñéèìïý-ÄéáéñÝôåò öõóéêïý áñéèìïý-ÄéáéñÝôåò öõóéêïý áñéèìïý-ÄéáéñÝôåò öõóéêïý áñéèìïý-×áñáêôÞñåò äéáéñåôüôçôáò-×áñáêôÞñåò äéáéñåôüôçôáò-×áñáêôÞñåò äéáéñåôüôçôáò-×áñáêôÞñåò äéáéñåôüôçôáò-×áñáêôÞñåò äéáéñåôüôçôáò-ÁíÜëõóç áñéèìïý óå ãéíüìåíï-ÁíÜëõóç áñéèìïý óå ãéíüìåíï-ÁíÜëõóç áñéèìïý óå ãéíüìåíï-ÁíÜëõóç áñéèìïý óå ãéíüìåíï-ÁíÜëõóç áñéèìïý óå ãéíüìåíï ðñþôùí ðáñáãüíôùí ðñþôùí ðáñáãüíôùí ðñþôùí ðáñáãüíôùí ðñþôùí ðáñáãüíôùí ðñþôùí ðáñáãüíôùí-Ç åõêëåßäéá äéáßñåóç-Ç åõêëåßäéá äéáßñåóç-Ç åõêëåßäéá äéáßñåóç-Ç åõêëåßäéá äéáßñåóç-Ç åõêëåßäéá äéáßñåóç-Äéáßñåóç äåêáäéêþí-Äéáßñåóç äåêáäéêþí-Äéáßñåóç äåêáäéêþí-Äéáßñåóç äåêáäéêþí-Äéáßñåóç äåêáäéêþí-Ðçëßêï ìå ðñïóÝããéóç-Ðçëßêï ìå ðñïóÝããéóç-Ðçëßêï ìå ðñïóÝããéóç-Ðçëßêï ìå ðñïóÝããéóç-Ðçëßêï ìå ðñïóÝããéóç

âéâëéïììÜèçìá 6: âéâëéïììÜèçìá 6: âéâëéïììÜèçìá 6: âéâëéïììÜèçìá 6: âéâëéïììÜèçìá 6: -Ðñïôåñáéüôçôá ôùí ðñÜîåùí-Ðñïôåñáéüôçôá ôùí ðñÜîåùí-Ðñïôåñáéüôçôá ôùí ðñÜîåùí-Ðñïôåñáéüôçôá ôùí ðñÜîåùí-Ðñïôåñáéüôçôá ôùí ðñÜîåùí-ÔõðïðïéçìÝíç ìïñöÞ-ÔõðïðïéçìÝíç ìïñöÞ-ÔõðïðïéçìÝíç ìïñöÞ-ÔõðïðïéçìÝíç ìïñöÞ-ÔõðïðïéçìÝíç ìïñöÞ ìåãÜëùí áñéèìþí ìåãÜëùí áñéèìþí ìåãÜëùí áñéèìþí ìåãÜëùí áñéèìþí ìåãÜëùí áñéèìþí

Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïßÖõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß

Â

éâëéïìÜèçìá

1

· Öõóéêïß áñéèìïß

· Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß

· Óýãêñéóç äýï áñéèìþí

· Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí

· Öõóéêïß áñéèìïß

· Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß

· Óýãêñéóç äýï áñéèìþí

· Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí

Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται φυσικοί;Πως τους συµβολίζουµε και πώς χωρίζονται;

Οι αριθµοί 0, 1, 2, 3, .... ονοµάζονται φυσικοί αριθµοί.

Το σύνολο των φυσικών αριθµών συµβολίζεται µε το

γράµµα Ν (αρχικό της λατινικής λέξης Natura που σηµαίνει

φύση) δηλαδή N 0,1,2,3,4,....= .

Tους φυσικούς αριθµούς τους διακρίνουµε σε άρτιους

(ζυγούς) και περιττούς (µονούς).

Οι άρτιοι είναι: 0, 2, 4, 6, 8, .....

Οι περιττοί είναι: 1, 3, 5, 7, 9, ....

Πότε χρησιµοποιούµε τους δεκαδικούς αριθµούς;Από ποιά µέρη αποτελείται κάθε δεκαδικός αριθµός;

Σε πολλές περιπτώσεις µετρήσεων οι φυσικοί

αριθµοί δεν επαρκούν γι’αυτό χρησιµοποιούµε τους

δεκαδικούς αριθµούς.

Κάθε δεκαδικός αριθµός αποτελείται από το ακέραιο µέρος

και το δεκαδικό µέρος, που χωρίζονται µε την υποδιαστολή.

• Το σύνολο των φυσικών εκτός από το µηδέν συµβολίζεται Ν* (διαβάζεται νι-

άστρο) δηλαδή N* 0,1,2,3,4,....= .

• Οι φυσικοί αριθµοί χρησιµοποιούνται είτε για να δηλώσουν πλήθος (π.χ. λέµε ότι το

αυτοκίνητο µας έχει 4 τροχούς), είτε για να δηλώσουν τάξη (σειρά) (π.χ. µένουµε

στον 3ο όροφο της πολυκατοικίας).

14. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Φυσικοί αριθµοί - Οι δεκαδικοί αριθµοί - Σύγκριση δύο αριθµών - Στρογγυλοποίηση των αριθµών

Το ακέραιο µέρος του δεκαδικού είναι ο αριθµός πριν την

υποδιαστολή και το δεκαδικό µέρος είναι ο αριθµός µετά

την υποδιαστολή.

Τι σηµαίνει σύγκριση δύο αριθµών; Πώς συγκρί-νουµε δύο αριθµούς;

Σύγκριση δύο αριθµών σηµαίνει να βρούµε αν αυτοί

είναι ίσοι, ή στην περίπτωση που δεν είναι ίσοι, ποιος από

τους δύο είναι µεγαλύτερος.

Για να συγκρίνουµε δύο αριθµούς συγκρίνουµε πρώτα τα α-

κέραια µέρης τους. Αν τα ακέραια µέρη των αριθµών είναι

ίσα, συγκρίνουµε τα ψηφία των δεκάτων, των εκατοστών κ.τ.λ.

Για τη σύγκριση των αριθµών χρησιµοποιούµε τα σύµβολα:

> : µεγαλύτερο.

< : µικρότερο.

= : ίσο.

≠ : διαφορετικό ( ή διάφορο).

Τι ονοµάζεται στρογγυλοποίηση ενός αριθµού; Πωςστρογγυλοποιούµε έναν αριθµό;

Στρογγυλοποίηση ονοµάζεται η αντικατάσταση ενός

αριθµού, για πρακτικούς λόγους, από ένα άλλο που είναι

“πολύ κοντά” στον αρχικό αριθµό, που µπορεί να

χρησιµοποιηθεί πιο εύκολα.

Για να στρογγυλοποιήσουµε έναν αριθµό σε µια τάξη του τότε:

1. Αν το ψηφίο της επόµενης προς τα δεξιά τάξης είναι 0 ή

• Κάθε φυσικός αριθµός µπορεί να γραφεί ως δεκαδικός, που το δεκαδικό του

µέρος είναι µηδέν. Για παράδειγµα: 124,00

• Οι δεκαδικοί αριθµοί δεν µεταβάλλονται αν γράψουµε ή διαγράψουµε µηδενικά από

το τέλος του δεκαδικού µέρους ή την αρχή του ακέραιου µέρους.

• Στις Αγγλοσαξωνικές χώρες, για το διαχωρισµό του ακέραιου από το δεκαδικό

µέρος χρησιµοποιείται η τελεία (.) αντί του κόµµατος.

π.χ. 73.04

15.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Φυσικοί αριθµοί - Οι δεκαδικοί αριθµοί - Σύγκριση δύο αριθµών - Στρογγυλοποίηση των αριθµών

Αν το ψηφίο της τάξης που γίνεται η στρογγυλοποίηση είναι 9 τότε

αντικαθιστούµε µε µηδενικά αυτό και τα επόµενα ψηφία του και αυξάνουµε κατά µια

µονάδα το ψηφίο της προηγούµενης τάξης.

Παράδειγµα:

2895 2900

ί ά

→↑

ψηφ ο δεκ δων

75,943 76,000 ή 76

ί ά

→↑ψηφ ο δεκ των

1 ή 2 ή 3 ή 4, αφήνουµε τα ψηφία του αριθµού όπως έιναι

µέχρι και την τάξη που γίνεται η στρογγυλοποίηση και

αντικαθιστούµε µε µηδενικά όλα τα επόµενα ψηφία.

2. Αν το ψηφίο της επόµενης προς τα δεξιά τάξης είναι 5 ή

6 ή 7 ή 8 ή 9, αυξάνουµε κατά µια µονάδα το ψηφίο της

τάξης που γίνεται η στρογγυλοποίηση και αντικαθιστούµε

µε µηδενικά όλα τα επόµενα ψηφία του αριθµού.

1.Για να γράψουµε ένα οποιοδήποτε φυσικό χρησιµοποιούµε τα εξής

δέκα ψηφία:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2. Σ’ένα δεκαδικό, το ακέραιο µέρος του βρίσκεται πριν την

υποδιαστολή και το δεκαδικό του µέρος µετά την υποδιαστολή.

3. Ένας δεκαδικός αριθµός µε δεκαδικό µέρος µηδέν είναι φυσικός.

4. Όταν κάνουµε στρογγυλοποίηση πάντα πρέπει ν’αναφέρουµε την τάξη στην οποία

γίνεται. Έτσι µιλάµε για στρογγυλοποίηση στη µονάδα, δεκάδα, εκατοντάδα κ.λ.π.

Επίσης µιλάµε για στρογγυλοποίηση στο δέκατο, εκατοστό, χιλιοστό κ.λ.π.,

ανάλογα µε το πόση ακρίβεια µας ενδιαφέρει να έχει το αποτέλεσµα.

5. Υπάρχουν αριθµοί που δεν τους στρογγυλοποιούµε όπως αριθµοί τηλεφώνων,

αυτοκινήτων, κωδικοί αριθµοί ταχυδροµείων κ.λ.π.

16. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Φυσικοί αριθµοί - Οι δεκαδικοί αριθµοί - Σύγκριση δύο αριθµών - Στρογγυλοποίηση των αριθµών

α. Πόσες µέρες έχει η εβδοµάδα;

β. Ποια είναι η τρίτη µέρα της εβδοµάδας; (αν θεωρηθεί σαν πρώτη µέρα η Κυριακή)

Λύση

α. Η εβδοµάδα έχει 7 ηµέρες.

β. Η τρίτη µέρα της εβδοµάδας είναι η Τρίτη.

Οι µαθητές µια τάξης είναι 27. Αν τ’αγόρια είναι 16, πόσα είναι τα κορίτσια;

Λύση

Τα κορίτσια είναι 27 16 11− = .

Οι τηλεφωνικές γραµµές ενός τηλεοπτικού σταθµού αντιστοιχούνται µε τους

φυσικούς αριθµούς από 6700000 µέχρι 6700010. Πόσες είναι οι γραµµές;

Λύση

( )6700010 6700000 11 10 11+ +− = = γραµµές.

Προσθέσαµε 1 γιατί κάνοντας την αφαίρεση δεν υπολογίσαµε τη γραµµή 6700000

Μια τετραµελής οικογένεια πήγε διακοπές στην Εύβοια στις 15 Ιουλίου. Παρέµεινε

µέχρι το µεσηµέρι στις 21 Ιουλίου. Πόσες διανυκτερεύσεις έκανε στο νησί;

Λύση

Έκανε 21 15 6− = διανυκτερεύσεις.

Ένας αθλητής στίβου ξεκίνησε απ’το σηµείο Α έκανε 4 γύρους και συνέχισε µέχρι

το Β. Να γράψετε µε δεκαδικό αριθµό πόσους γύρους έκανε ο αθλητής.

Λύση

Ο δεκαδικός αριθµός που εκφράζει τους γύρους που

έκανε ο αθλητής είναι ο 4,5, γιατί έκανε 4 ολόκληρους

γύρους και µισό.

17.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Φυσικοί αριθµοί - Οι δεκαδικοί αριθµοί - Σύγκριση δύο αριθµών - Στρογγυλοποίηση των αριθµών

Μια νοικοκυρά για να φτιάξει ένα γλυκό χρησιµοποίησε 3 κιλά και 400 γραµµάρια

ζάχαρη. Να γράψετε µε δεκαδικό αριθµό την ποσότητα της ζάχαρης που χρησιµοποίησε.

Λύση

Ο δεκαδικός αριθµός που εκφράζει την ποσότητα της ζάχαρης είναι 3,400 κιλά ή 3,4

κιλά, (γιατί είναι 3 κιλά και 400

1000 του κιλού).

Να γράψετε τι φανερώνει το ψηφίο 6 στους παρακάτω δεκαδικούς αριθµούς:

α. 6,32 β. 0,46 γ. 7,056 δ. 3,6

Λύση

α. 6,32 : άµον δες β. 0,46 : άεκατοστ

γ. 7,056 : άχιλιοστ δ. 3,6 : έδ κατα

Να συγκρίνετε τους παρακάτω δεκαδι-

κούς αριθµούς και να τους βάλετε στη

σειρά αρχίζοντας απο το µεγαλύτερο.

α. 6,82, β. 6,02, γ. 6,72

Λύση

Παρατηρώντας τους παραπάνω αριθµούς,

διαπιστώνουµε ότι το ακέραιο µέρος είναι το

ίδιο σε όλους οπότε συγκρίνουµε τα δέκατα.

Είναι 8 7 0> > , άρα βάζοντας στη σειρά

τους αριθµούς, απ’το µεγαλύτερο στο

µικρότερο, έχουµε: 6,82 6,72 6,02> > .

Να συγκρίνετε τους παρακάτω δεκαδικούς αριθµούς και να τους βάλετε στη σειρά

αρχίζοντας απο το µικρότερο:

63,807, 63,808, 63,809

Λύση

63,807 63,808 63,809< <

Να στρογγυλοποιήσετε τους παρακάτω αριθµούς:

α. στις µονάδες β. στα δέκατα γ. στα εκατοστά.

Λύση

α. στις µονάδες:

6,325 6

7,899 8

83,932 84

→→→

β. στα δέκατα

6,325 6,3

7,899 7,9

83,932 83,9

→→→

Όταν συγκρίνουµε δύο ή και πε-

ρισσότερους δεκαδικούς αριθ-

µούς, συγκρίνουµε πρώτα τα ακέ-

ραια µέρη. Μεγαλύτερος είναι ο

αριθµός που έχει το µεγαλύτερο

ακέραιο µέρος. Όταν όµως τα α-

κέραια µέρη είναι ίσα, τότε συγ-

κρίνουµε τα δεκαδικά ψηφία µε τη

σειρά, αρχίζοντας απ’τα δέκατα.

18. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Φυσικοί αριθµοί - Οι δεκαδικοί αριθµοί - Σύγκριση δύο αριθµών - Στρογγυλοποίηση των αριθµών

1. Το πρώτο κεφάλαιο των Μαθηµατικών της Α΄ Γυµνασίου αρχίζει απ’τη σελίδα 17

και τελειώνει στη σελίδα 78. Πόσες σελίδες περιλαµβάνει το κεφάλαιο αυτό;

2. Να βάλετε στη σειρά απ’το µικρότερο στο µεγαλύτερο τους παρακάτω αριθµούς

γ. στα εκατοστά

6,325 6,33

7,899 7,90

83,932 83,93

→→→

Να στρογγυλοποιήσετε τους παρακάτω αριθµούς:

α. στις δεκάδες β. στις χιλιάδες γ. στα δέκατα.

Στη συνέχεια, σε κάθε περίπτωση να τους βάλετε στη σειρά, αρχίζοντας απ’το

µικρότερο.

62821,76 74827,32 63801,88

Λύση

α. στις δεκάδες

62.821,76 62.820

74.827,32 74.830

63.801,88 63.800

→→→

β. στις χιλιάδες

62.821,76 63.000

74.827,32 75.000

63.801,88 64.000

→→→

γ. στα δέκατα

62.821,76 62.821,8

74.827,32 74.827,3

63.801,88 63.801,9

→→→

Τοποθετηµένοι στη σειρά αρχίζοντας από τον µικρότερο σε κάθε περίπτωση είναι:

α. 62.820 63.800 74.830< < β. 63.000 64.000 75.000< <γ. 62.821,8 63.801,9 74.827,3< <

19.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Φυσικοί αριθµοί - Οι δεκαδικοί αριθµοί - Σύγκριση δύο αριθµών - Στρογγυλοποίηση των αριθµών

6,327 3, 22 0,97 9,32

και να βρείτε τον τρίτο στη σειρά.

3. Να γράψετε µε τη µορφή δεκαδικού αριθµού τους παρακάτω αριθµούς:

α. 6 ώρες και 30 λεπτά β. 5 χλµ και 20 µέτρα γ. 7 κιλά και 25 γραµµάρια.

4. Να βάλετε το σύµβολο της ανισότητας (>, <) ανάµεσα στα παρακάτω ζεύγη.

α. 6,32....6, 23 β. 72.801,73....72.800,73 γ. 0,334....0,343

5. Να γράψετε τι φανερώνει το ψηφίο 4 στους παρακάτω αριθµούς:

α. 42,720 β. 24,735 γ. 37, 42 δ. 0,04

6. Να στρογγυλοποιήσετε τους παρακάτω αριθµούς:

α. στις µονάδες β. στα δέκατα και γ. στα εκατοστά.

63,727 44,322 37,726

7. Να στρογγυλοποιήσετε τους παρακάτω αριθµούς:

α. στις εκατοντάδες β. στις χιλιάδες

68.632, 73.821, 26.537

8. Να αντιστοιχίσετε τα γράµµατα της πρώτης στήλης µε τους αριθµούς της δεύτερης.

9. Να αντιστοιχίσετε τους αριθµούς των δύο στηλών που έχουν το ίδιο ακέραιο µέρος.

20. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Φυσικοί αριθµοί - Οι δεκαδικοί αριθµοί - Σύγκριση δύο αριθµών - Στρογγυλοποίηση των αριθµών

10. Στους παρακάτω αριθµούς έγινε στρογγυλοποίηση στις µονάδες. Να βρείτε ποιες

στρογγυλοποιήσεις είναι σωστές και ποιές λάθος, βάζοντας το σύµβολο Σ και Λ

αντίστοιχα:

α. 63,72 63→ β. 42,8 42→γ. 39,53 40→ δ. 99,64 99→

11. Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθµοί α που ικανοποιούν τις ανισότητες:

α 3,9> και α 6,3< .

12. Ένα τετραψήφιος φυσικός αριθµός είναι:

α. Μικρότερος του 3.000.

β. Μεγαλύτερος του 2.000.

γ.Όταν στογγυλοποιείται στην χιλιάδα αυξάνεται κατα 123.

Ποιός είναι ο αριθµός αυτός;

21.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Φυσικοί αριθµοί - Οι δεκαδικοί αριθµοί - Σύγκριση δύο αριθµών - Στρογγυλοποίηση των αριθµών

Ερώτηση 1

Ποιοι ονοµάζονται φυσικοί αριθµοί και πώς συµβολίζεται το σύνολο στο οποίο

ανήκουν;

Ερώτηση 2

∆ώστε παραδείγµατα άρτιων και περιττών αριθµών.

Άσκηση 1

Να βάλετε τα σύµβολα <, >, = στα παρακάτω ζευγάρια αριθµών:

α. 6....6,32 β. 32,53....32, 27 γ. 7....7,00 δ. 87,1....87,15

Άσκηση 2

Να σηµειώσετε µε Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω στρογγυλοποιήσεις.

α. 62,35 62,3→ β. 7,76 8→ γ. 432,53 432→ δ. 6,728 6,73→

Άσκηση 3

α. Πότε ο αριθµός 3 είναι στρογγυλοποίηση του αριθµού 2,65;

β. Πότε ο αριθµός 3 είναι στογγυλοποίηση του αριθµού 2,47;

ÂéâëéïìÜèçìá

2· Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôÞò

· Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

· Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôÞò

· Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

Τι ονοµάζεται µεταβλητή; Γράψτε µε τη βοήθειαµιας µεταβλητής τις εκφράσεις:

α. το πενταπλάσιο ενός αριθµού

β. το διπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο κατά 7.

Όταν θέλουµε να αναφερθούµε σ’ ένα οποιοδήποτε

στοιχείο ενός συνόλου, δηλώνουµε το στοιχείο αυτό µε ένα

γράµµα. Το γράµµα αυτό ονοµάζεται µεταβλητή.

α. Παριστάνουµε µε x τον αριθµό που µας ενδιαφέρει. Τότε

το πενταπλάσιο του αριθµού αυτού είναι 5·xβ. Παριστάνουµε µε α το ζητούµενο αριθµό. Τότε η έκφραση

µας γράφεται: 2· 7α +Στην πράξη γράφουµε 5x, 2α 7+ (χωρίς την τελεία δηλαδή)

Τι ονοµάζεται εξίσωση και τι άγνωστος της εξίσωσης.

Εξίσωση ονοµάζεται κάθε ισότητα που περιέχει αριθ-

µούς και µια µεταβλητή.

Η µεταβλητή ονοµάζεται άγνωστος της εξίσωσης.

Συνήθως οι µεταβλητές παριστάνονται µε γράµµατα του ελληνικού ή του

λατινικού αλφαβήτου.

• Αν στη θέση της µεταβλητής βάλουµε έναν αριθµό και προκύπτει ισότητα που

αληθεύει τότε λέµε ότι ο αριθµός αυτός επαληθεύει την εξίσωση.

• Ο αριθµός που επαληθεύει την εξίσωση λέγεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης.

24. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η έννοια της µεταβλητής - Η έννοια της εξίσωσης

Να εκφράσεις µε τη βοήθεια µιας µεταβλητής:

α. Την περίµετρο ενός ρόµβου.

β. Τη διάµετρο ενός κύκλου σε σχέση µε την ακτίνα του.

γ. Το εµβαδόν ενός τριγώνου, όπου η βάση είναι 8 εκατοστά.

Λύση

α. Είναι 4·x , όπου x είναι η πλευρά του ρόµβου, γιατί όπως ξέρουµε για να βρούµε την

περίµετρο ενός ρόµβου προσθέτουµε τις πλευρές του, οι οποίες είναι ίσες µεταξύ

τους ή πολλαπλασιάζουµε την πλευρά του µε το 4.

β. Είναι 2·x , όπου x είναι η ακτίνα του κύκλου, αφού η διάµετρος είναι διπλάσια της ακτίνας.

γ. Είναι x

8·2

, όπου x είναι το ύψος του τριγώνου, αφού ξέρουµε ότι το εµβαδόν ενός

• Η παράσταση που βρίσκεται αριστερά απο το ίσον (=)

λέγεται πρώτο µέλος της εξίσωσης ενώ η παράσταση

που βρίσκεται δεξιά από το ίσον (=) λέγεται δεύτερο µέ-

λος της εξίσωσης.

1.Μεταβλητή ονοµάζεται το γράµµα που χρησιµοποιούµε για να

συµβολίσουµε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου.

2. Εξίσωση είναι µια ισότητα µε αριθµούς και µια µεταβλητή που

λέγεται άγνωστος της εξίσωσης.

3. Μια εξίσωση που δεν επαληθεύεται για καµία τιµή του αγνώστου

λεγεται αδύνατη.

4. Μια εξίσωση που αληθεύει για όλες τις τιµές που µπορεί να πάρει ο άγνωστος

λεγεται ταυτότητα.

25.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η έννοια της µεταβλητής - Η έννοια της εξίσωσης

τριγώνου είναι .E ·2τρυ= β .

Να διατυπώσετε µε λόγια τις παρακάτω εκφράσεις:

α. x + 2 = 7 β. 2·x = 6 γ. 3 > x +1 δ. 7·x + 3 = 24Λύση

α. Ένας αριθµός όταν αυξηθεί κατά 2, ισούται µε 7.

β. Το διπλάσιο ενός αριθµού ισούται µε το 6.

γ. Το 3 είναι µεγαλύτερο ενός αριθµού, αυξηµένου κατά µονάδα.

δ. Το εφταπλάσιο ενός αριθµού όταν αυξηθεί κατά 3, ισούται µε 24.

∆ίνονται οι εξισώσεις: x + 5 = 8 και 2x = 6 . Αν η µεταβλητή x µπορεί να πάρει τις

τιµές 0, 1, 3 να βρεθεί ποιά τιµή του x επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις.

Λύση

Παρατηρούµε ότι: 3 5 8+ = και 2·3 6= .

Άρα η τιµή x 3= επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις.

Να αντιστοιχίσετε τα γράµµατα της πρώτης στήλης µε τους αριθµούς της δεύτερης στήλης,

ώστε οι αριθµοί της πρώτης στήλης να είναι λύσεις των εξισώσεων της δεύτερης στήλης.

Λύση

Παρατηρούµε ότι: 1 5 6+ = , οπότε το β αντιστοιχίζεται στο 1, δηλαδή β 1→

Είναι 2·2 4= , οπότε το γ αντιστοιχίζεται στο 2, δηλαδή γ 2→

Είναι 24 : 4 6= , οπότε το α αντιστοιχίζεται στο 3, δηλαδή α 3→Είναι 29 7 22− = , οπότε το δ αντιστοιχίζεται στο 4, δηλαδή δ 4→

Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

α. Η λύση της εξίσωσης x : 6 = 2 είναι: Α. 3, Β. 12, Γ. 4, ∆. 6

β. Η λύση της εξίσωσης 5·x = 5 είναι: Α. 5, Β. 0, Γ. 1, ∆. 2

26. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η έννοια της µεταβλητής - Η έννοια της εξίσωσης

1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

i. Η λύση της εξίσωσης x 3 7+ = είναι: Α. 1, Β. 2, Γ. 3, ∆. 4

ii. Το 3 είναι λύση της εξίσωσης: Α. x 2 7+ = , Β. 3·x 9= , Γ. 25 : x 3= , ∆. x 1 0+ =

2. Να αντιστοιχίσετε τα γράµµατα της πρώτης στήλης µε τους αριθµούς της δεύτερης

ώστε οι αριθµοί της δεύτερης στήλης να αποτελούν λύσεις των εξισώσεων της

πρώτης στήλης.

Λύση

α. Επιλέγουµε το Β γιατί 12 : 6 2=β. Επιλέγουµε το Γ γιατί 5·1 5=

“Είµαι 13 χρονών και ο παππούς µου έχει 6 φορές τα χρόνια µου”. ∆ιατυπώστε µε

µορφή εξίσωσης την παραπάνω πρόταση και βρείτε την ηλικία του παππού.

Λύση

Έστω x η ηλικία του παππού. Τότε, έχουµε: x 6·13= δηλαδή x 78= χρονών. Άρα ο

παππούς είναι 78 χρονών.

Να γραφεί το παρακάτω πρόβληµα µε µορφή εξίσωσης και να βρεθεί η λύση:

“Το τετραπλάσιο ενός αριθµού είναι 40”

Λύση

Έστω x ο αριθµός. Τότε 4·x 40= . Άρα x 10= , αφού 4·10 40= .

Το εµβαδό ενός οικοπέδου σχήµατος ορθογωνίου είναι 200 τετραγωνικά µέτρα. Να

βρεθεί το πλάτος του, αν το µήκος του είναι 20 µέτρα.

Λύση

Έστω x µέτρα το πλάτος του. Τότε 20·x 200= . Τότε x 10= µέτρα, αφού 20·10 200= .

27.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η έννοια της µεταβλητής - Η έννοια της εξίσωσης

3. Είναι σωστό ή λάθος ότι:

α. Η λύση της εξίσωσης 5·x 0= , είναι το 0.

β. Η λύση της εξίσωσης 5 : x 1= , είναι το 1.

γ. Η λύση της εξίσωσης 5 x 1− = , είναι το 0.

4. Να βρεθεί ποιοι από τους αριθµούς 0, 1, 2 είναι λύσεις των εξισώσεων:

α. x 1 2+ = β. 3·x 0= γ. 6·x 14 2= − δ. 6 : x 3=

5. “Το τριπλάσιο ενος αριθµού είναι το 45”. Να εκφράσετε µε µορφή εξίσωσης την

παραπάνω πρόταση και να βρείτε τον αριθµό αυτό.

6. Το 1

2 ενός αριθµού είναι το 3. Να γράψετε µε µορφή εξίσωσης την παραπάνω

πρόταση και να βρείτε τον αριθµό αυτό.

7. Η περίµετρος ενός τετραγώνου είναι 20 εκατοστά. Αν η περίµετρος είναι το τετραπλάσιο

της πλευράς, πόσο είναι το µήκος της πλευράς;

8. Το εµβαδόν ενός ορθογωνίου είναι 75τ.µ. Αν το πλάτος του είναι 5 µέτρα, να βρεθεί

το µήκος του.

9. Η ηλικία ενός ανθρώπου είναι 180 µηνών. Είναι γέρος; Πόσο χρονών είναι;

10. Ένα αυτοκίνητο τρέχει µε ταχύτητα 150χλµ. την ώρα. Σε 3 ώρες πόση απόσταση

θα διανύσει; (απόσταση (S) = Ταχύτητα (υ) · Χρόνο (t))

28. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η έννοια της µεταβλητής - Η έννοια της εξίσωσης

11. ∆ίνονται οι εξισώσεις: α 2 5− = και α 3 4+ = . Αν η µεταβλητή α µπορεί να πάρει

τις τιµές 3, 4 και 7 να βρεθεί ποιά τιµή του α επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις;

12. Για ποιά τιµή του άρτιου φυσικού αριθµού α είναι αληθής η εξίσωση:

3·α 2 14+ =

13. ∆ίνονται οι εξισώσεις α 3 β+ = και α β 5+ = . Αν η µεταβλητή α µπορεί να

πάρει τις τιµές 1 και 2 ενώ η β τις τιµές 3 και 4 ποιο ζεύγος τιµών των α, β

επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις;

29.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η έννοια της µεταβλητής - Η έννοια της εξίσωσης

Ερώτηση 1

Τι ονοµάζουµε εξίσωση, τι άγνωστο της εξίσωσης και τι λύση της εξίσωσης;

Ερώτηση 2

Στην παρακάτω εξίσωση x 3 7+ = , ποιο είναι το πρώτο µέλος, ποιο το δεύτερο

µέλος και ποια η λύση της;

Ερώτηση 3

Πώς λέγεται µια εξίσωση που δεν επαληθεύεται για καµία τιµή του αγνώστου

και πώς λέγεται µια εξίσωση αν επαληθεύεται για όλες τις τιµές που µπορεί να

πάρει ο άγνωστος;

Άσκηση 1

Να εκφραστεί µε µεταβλητές η περίµετρος και το εβµαδόν τετραγώνου.

Άσκηση 2

Να εκφράσετε µε λέξεις (περιφραστικά) τις παρακάτω σχέσεις:

α. x x 2< + β. 2α 1 7+ =

γ. 3α 2β 1< + δ. x y ω< +

ÂéâëéïìÜèçìá

3

· Ðñüóèåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí

· Áöáßñåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí

· Ðïëëáðëáóéáóìüò öõóéêþí êáé äåêáäéêþí

· Ðñüóèåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí

· Áöáßñåóç öõóéêþí êáé äåêáäéêþí

· Ðïëëáðëáóéáóìüò öõóéêþí êáé äåêáäéêþí

Τι λέγεται άθροισµα δύο ή περισσότερων αριθµών;Ποιο είναι οι προσθετέοι σ’ενα άθροισµα;

Το αποτέλεσµα της πρόσθεσης δύο ή περισσότερων

αριθµών λέγεται άθροισµα των αριθµών αυτών. Οι αριθµοί

που προστίθενται λέγονται προσθετέοι του αθροίσµατος.

Ποιες είναι οι ιδιοτήτες της πρόσθεσης;

Αν α, β, γ οι προσθετέοι σ’ένα άθροισµα τότε ισχύ-

ουν οι εξής ιδιότητες.

α +β = β +α

Η ιδιότητα αυτή ονοµάζεται αντιµεταθετική.

π.χ. 50 34 84+ = ή 34 50 84+ = .

( ) ( )α +β + γ = α +β + γ = α + β + γ

Η ιδιότητα αυτή ονοµάζεται προσεταιριστική.

π.χ. ( )15 32 9 15 32 9 47 9 56+ + = + + = + = ή

• Όταν προσθέτουµε φυσικούς φροντίζουµε στην κατακόρυφη

τοποθέτηση οι µονάδες να βρίσκονται κάτω από τις µονάδες, οι

δεκάδες κάτω από τις δεκάδες κ.ο.κ.

• Όταν προσθέτουµε δεκαδικούς φροντίζουµε στην κατακόρυφη

τοποθέτηση οι υποδιαστολές να βρίσκονται στην ίδια στήλη.

Ιδιότητες πρόσθεσης

32. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πρόσθεση φυσικών και δεκαδικών - Αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών - Πολλαπλασιασµός φυσικών και δεκαδικών

( )15 32 9 15 32 9 15 41 56+ + = + + = + =

α + 0 = α

Αν σε οποιοδήποτε αριθµό προσθέσουµε το µηδέν τότε

αυτός δεν αλλάζει.

π.χ. 17 0 17+ =

Τι είναι αφαίρεση;

Αφαίρεση είναι η πράξη µε την οποία, όταν δίνονται

δύο αριθµοί Μ (µειωτέος), Α (αφαιρετέος), βρίσκουµε ένα

αριθµό ∆ (διαφορά), ο οποίος όταν προστεθεί στον αφαιρετέο

δίνει άθροισµα το µειωτέο. Έτσι σε κάθε αφαίρεση έχουµε:

Μ Α ∆− = γιατί Α ∆ Μ+ =

Τι ονοµάζεται πολλαπλασιασµός και τι γινόµενο δύοαριθµών; Πώς πολλαπλασιάζουµε έναν αριθµό µε το 10 ή

100 ή 1000 κλπ; Πώς πολλαπλασιάζουµε έναν αριθµό µε

το 0,1 ή 0,01 ή 0,001 κλπ.;

Πολλαπλασιασµός είναι η πράξη µε την οποία όταν

δίνονται δύο αριθµοί α και β βρίσκουµε έναν αριθµό που

είναι το άθροισµα α προσθετέων ίσων µε το β δηλαδή:

α προσθετέοι

α·β = β +β +β + ... + β

• Για να είναι δυνατή µια αφαίρεση, πρέπει ο µειωτέος να είναι µεγαλύτερος ή

τουλάχιστον ίσος µε τον αφαιρετέο.

Παράδειγµα: 125 39 86

Μ 125 Α 39

− == > =

• Όπως και στην πρόσθεση έτσι και στην αφαίρεση δεκαδικών πρέπει να προσέχουµε

οι υποδιαστολές να βρίσκονται στην ίδια στήλη.

Παράδειγµα

Πολλαπλασιασµός

33.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πρόσθεση φυσικών και δεκαδικών - Αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών - Πολλαπλασιασµός φυσικών και δεκαδικών

Το αποτέλεσµα του πολλαπλασιασµού των α και β λέγεται

γινόµενο των α, β και οι α, β λέγονται όροι του γινοµένου.

Για να πολλαπλασιάσουµε ένα φυσικό αριθµό α µε 10,

100, 1000 κ.λ.π., αρκεί να γράψουµε δεξιά του α ένα, δύο,

τρία κ.λ.π. µηδενικά αντιστοίχως.

Για να πολλαπλασιάσουµε ένα δεκαδικό αριθµό µε το 10,

100, 1000 κ.λ.π., αρκεί να µεταφέρουµε την υποδιαστολή

του προς τα δεξιά µία ή δύο ή τρεις κλπ. θέσεις αντιστοί-

χως. Όταν η υποδιαστολή φτάσει στο τέλος του δεκαδικού

και χρειάζεται να µεταφερθεί ακόµη, τις υπόλοιπες αυτές

θέσεις τις συµπληρώνουµε µε µηδενικά.

Για να πολλαπλασιάσουµε ένα φυσικό ή δεκαδικό αριθµό

µε 0,1 ή 0,01 ή 0,001 κλπ αρκεί να µεταφέρουµε την υποδια-

στολή του προς τα αριστερά µία ή δύο ή τρεις κλπ θέσεις

αντιστοίχως. Για τους πολλαπλασιασµούς αυτούς µπορού-

µε να θεωρούµε τους φυσικούς ως δεκαδικούς µε µηδενικό

δεκαδικό µέρος.

Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασµού;

Αν α, β, γ οι όροι σ’ένα γινόµενο τότε ισχύουν οι

εξής ιδιότητες:

Ιδιότητες Πολ/σµου

• Ο πολλαπλασιασµός δεκαδικών αριθµών γίνεται όπως και ο

πολλαπλασιασµός των φυσικών αριθµών, µόνο που στο αποτέλεσµα χωρίζουµε µε

υποδιαστολή από τα δεξιά προς τα αριστερά τόσα ψηφία, όσα δεκαδικά ψηφία έχουν

και οι δύο παράγοντες.

• Στην περίπτωση που έχουµε γινόµενο δύο µεταβλητών ή γινόµενο αριθµού µε

µεταβλητή, συνήθως παραλείπεται το σύµβολο του πολλαπλασιασµού, δηλαδή η τελεία.

π.χ. 5α αντί 5·α

Όταν όµως έχουµε γινόµενο αριθµών, η τελεία δεν θα παραλείπεται γιατί υπάρχει

κίνδυνος σύγχυσης.

π.χ. 5·7 και όχι 57

• Σε αριθµητικές παραστάσεις που εµφανίζονται πολλαπλασιασµοί µε προσθέσεις ή

αφαιρέσεις, κάνουµε πρώτα τους πολλαπλασιασµούς και µετά τις προσθέσεις και τις

αφαιρέσεις µε τη σειρά που είναι σηµειωµένες.

34. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πρόσθεση φυσικών και δεκαδικών - Αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών - Πολλαπλασιασµός φυσικών και δεκαδικών

1.Άθροισµα λέγεται το αποτέλεσµα της πρόσθεσης.

2.Στην αφαίρεση ισχύει:

Μειωτέος – Αφαιρετέος = ∆ιαφορά

γιατί

∆ιαφορά + Αφαιρετέος = Μειωτέος

3. Όταν προσθέτουµε ή αφαιρούµε προσέχουµε την κατακόρυφη τοποθέτηση των

αριθµών.

4. Γινόµενο λέγεται το αποτέλεσµα του πολλαπλασιασµού.

5. Στον πολλαπλασιασµό δεκαδικών δεν µας εδιαφέρει η κατακόρυφη τοποθέτηση

τους αρκεί στο αποτέλεσµα να χωρίσουµε από τα δεξιά τόσα δεκαδικά ψηφία όσα

έχουν οι αριθµοί που πολλαπλασιάζουµε.

6. Το σύµβολο του πολλαπλασιασµού, η τελεία, παραλείπεται όταν έχουµε γινόµενο

µεταβλητών ή γινόµενο αριθµού µε µεταβλητή. π.χ. 3·x 3x= , αβ α·β=7. Το σύµβολο του πολλαπλασιασµού είναι απαραίτητο όταν πολλαπλασιάζουµε δύο

αριθµούς. π.χ. 3·5 και όχι 35

α·β = β·α

Η ιδιότητα αυτή ονοµάζεται αντιµεταθετική.

π.χ. 4·15 60

15·4 60

==

( ) ( )α·β·γ = α·β ·γ = α· β·γ

Η ιδιότητα αυτή ονοµάζεται προσεταιριστική.

π.χ. ( )3·7·10 3·7 ·10 21·10 210= = = ή

( )3·7·10 3· 7·10 3·70 210= = =

α·1 = α

Αν πολλαπλασιάσουµε οποιονδήποτε αριθµό µε το 1 αυτός

δεν αλλάζει.

α·0 = 0

Αν πολλαπλασιάσουµε οποιονδήποτε αριθµό µε το 0, τότε

το γινόµενο αυτό είναι ίσο µε το µηδέν.

35.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πρόσθεση φυσικών και δεκαδικών - Αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών - Πολλαπλασιασµός φυσικών και δεκαδικών

Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα:

α. 92 + 39 β. 673 + 89 γ. 6, 32 + 29, 2

δ. 1325,6 + 7,2 ε. 0,062 + 6, 32 στ. 9,72 + 2, 3

Λύση

α. 92 39 131+ = β. 673 89 762+ = γ. 6,32 29, 2 35,52+ =δ. 1325,6 7, 2 1332,8+ = ε. 0,062 6,32 6,382+ = στ. 9,72 2,3 12,02+ =

Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα:

α. 632 + 6, 32 + 0,632 + 63, 2 β. 723 + 0,72 + 723,9 + 7, 23

γ. 0,937 + 65 + 8,9 + 72, 25

Λύση

α. 632,0

6,32

0,632

63,2

702,152

+

β. 723

0,72

723,9

7,23

1454,85

+

γ. 0,937

65

8,9

72,25

147,087

+

Να υπολογίσετε µε τον πιο εύκολο τρόπο τα παρακάτω αθροίσµατα:

α. 159.500 + 997.000 + 3.000 β. 4.400.000 + 630.000 + 5.600.000Λύση

α. Ο πιο απλός τρόπος για να υπολογίσουµε το άθροισµα είναι να βρούµε πρώτα το

άθροισµα 997.000 3.000 1.000.000+ = και µετά το άθροισµα:

1.000.000 159.500 1.159.500+ = .

Σηµειώνουµε τις πράξεις ως εξής:

( )1.159.500 997.000 3.000 159.500 997.000 3.000

159.500 1.000.000

1.159.500

+ + = + += +=

36. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πρόσθεση φυσικών και δεκαδικών - Αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών - Πολλαπλασιασµός φυσικών και δεκαδικών

β.

( )4.400.000 630.000 5.600.000

4.400.000 5.600.000 630.000

10.000.000 630.000 10.630.000

+ + =+ + =+ =

Να αντικατασταθούν τα κουτάκια µε τα κατάλληλα ψηφία ώστε να είναι σωστές οι

σηµειωµένες πράξεις.

α. 7 32 5

76943+

5 12 5

β. 8 4 4 7 0

+

001 77 0 3 7

γ. 3,2 8

+

12,67

9 7,

δ.

Λύση

α. 732 5

43 967

5 125

+8

7

1 2

β. 84470

10077037

9992567

γ. 3,278

, 97

12,67

+ 9 3

5

δ. 9 ,632

5,7 8

3, 3

+7

9

10 4 0

Τα παρακάτω τετράγωνα είναι µαγικά. ∆ηλαδή στα τετράγωνα αυτά τα αθροίσµατα

των αριθµών κάθε γραµµής, κάθε στήλης άλλα και κάθε διαγωνίου είναι ίσα µετα-

ξύ τους. Συµπληρώστε τα κενά, ώστε να ισχύει το παραπάνω.

37.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πρόσθεση φυσικών και δεκαδικών - Αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών - Πολλαπλασιασµός φυσικών και δεκαδικών

Λύση

Να υπολογίσετε τις παρακάτω διαφορές:

α. 63 -12 β. 6,9 - 3, 2 γ. 6,72 - 2, 39

δ. 5.232,5 - 2.351,6 ε. 739,2 - 67,9 στ. 620 - 5, 39

Λύση

α. 63

12

51

β. 6,9

3,2

3,7

−γ. 6,72

2,39

4,33

− δ. 5.232,5

2.351,6

2880,9

−ε. 739,2

67,9

671,3

− στ. 620,00

5,39

614,61

Να βρείτε τον αριθµό που επαληθεύει καθεµία από τις εξισώσεις:

α. 7, 32 + x = 9,76 β. x + 9,2 = 13, 25

γ. 218, 3 + x = 927,5 δ. x + 6,35 = 9,63

Λύση

α. x 9,76 7,32 2, 44= − = β. x 13, 25 9, 2 4,05= − =γ. x 927,5 218,3 709, 2= − = δ. x 9,63 6,35 3, 28= − =

Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

Λύση

Τα παραπάνω προκύπτουν από τις εξής πράξεις:

63,25

28,3

34,95

47,08

26,20

73,28

+93,25

7,05

86,20

38. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πρόσθεση φυσικών και δεκαδικών - Αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών - Πολλαπλασιασµός φυσικών και δεκαδικών

Να αντικατασταθούν τα παρακάτω κουτάκια µε τα κατάλληλα ψηφία:

α. 6

6

9 82

80

92 6,,

,

β. 8

7

2

34 4

87 76,,

,

γ. 1

1

3

3 7

850

26

,,

,

δ. 2

1

7 32

9866

7,,

,

Λύση

α. 69, 28

- 2,6 9

6 ,08

7

3

7 9

β. 8 ,6 2

- 7,78

74,843

2 3

9

γ. 163,50

- 8, 2

13 ,7

2 7

4 8

δ. 27 ,86

- 9,6

172, 3

1

9 3

2

Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόµενα:

α. 6, 32·8, 2 β. 1801·5, 2 γ. 697, 2·0, 3

δ. 1,05·62 ε. 82·67, 3 στ. 0,01·7,63

Λύση

α. 6,32

x 8,2

1264

5056

51,824

+

β. 1801

x 5,2

3602

9005

9365,2

γ. 697,2

x 0,3

20916

00000

209,16

δ. 1,05

x 62

210

630

65,10

+

ε. 67,3

x 82

1346

5384

5518,6

+

στ. 0,01·7,63 0,0763= γιατί όταν πολλαπλασιάζουµε έναν αριθµό µε 0,1 ή 0,01 ή

0,001 κλπ µεταφέρουµε την υποδιαστολή του αριθµού προς τα αριστερά µια ή δύο

ή τρεις κτλ. θέσεις αντιστοίχως. Στην περίπτωση αυτή µεταφέρουµε την

υποδιαστολή δύο θέσεις αριστερά.

Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις:

α. 62·9 -12 + 5·2 β. ( )8·7 + 9· 32 - 8

γ. 63 - 9·3 + 8·7 δ. 6·2, 37·3·5

Λύση

Κάνουµε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις, µετά τους πολλαπλασιασµούς και στο

τέλος τις προσθέσεις και αφαιρέσεις µε τη σειρά που είναι σηµειωµένες.

39.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πρόσθεση φυσικών και δεκαδικών - Αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών - Πολλαπλασιασµός φυσικών και δεκαδικών

α. 62·9 12 5·2 558 12 10 546 10 556− + = − + = + =

β. ( )8·7 9· 32 8 8·7 9·24 56 216 272+ − = + = + =

γ. 63 9·3 8·7 63 27 56 36 56 92− + = − + = + =

δ. ( ) ( )6·2,37·3·5 6·2,37 · 3·5 14,22·15 213,3= = =

Να βρείτε τις λύσεις των παρακάτω εξισώσεων, εφαρµόζοντας τους κανόνες

πολλαπλασιασµού µε 10, 100, 1000 ... η 0,1, 0,01, 0,001 κτλ.

α. 83000·x = 83 β. 63,821·x = 638, 21 γ. 100·x = 82,5

δ. x·0,01 = 72,25 ε. 52·x = 5, 2 στ. x·0,1 = 65

Λύση

α. 83.000·0,001 83= , δηλαδή x 0,001=Όταν πολλαπλασιάζουµε έναν αριθµό µε 0,001 µεταφέρουµε την υποδιαστολή προς

τα αριστερά 3 θέσεις. Επειδή στο 83.000 δεν υπάρχει υποδιαστολή, µπορούµε να τη

βάλουµε στο τέλος και να γίνει 83.000,0. Άρα µεταφέροντας την υποδιαστολή 3

θέσεις αριστερά το 83.000,0 γίνεται 83 οπότε:

β. 63,821·10 638, 21= οπότε x 10=γ. 100·0,825 82,5= οπότε x 0,825=δ. 7225·0,01 72, 25= οπότε x 7225=ε. 52·0,1 5, 2= οπότε x 0,1=στ. 650·0,1 65= οπότε x 650=

40. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πρόσθεση φυσικών και δεκαδικών - Αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών - Πολλαπλασιασµός φυσικών και δεκαδικών

1. Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις:

α. 63, 28 2,932+ β. 1.085,9 283− γ. 0,065 93,5+δ. 835 9, 28+ ε. 863,7 99,632− στ. 63,5 6,35−

2. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόµενα:

α. 8, 2·0,1 β. 63·82,5 γ. 8·0,01

δ. 5,32·9 ε. 6,34·100 στ. 7,2·0,1

3. Να αντικατασταθούν τα παρακάτω κουτάκια µε τα κατάλληλα ψηφία ώστε είναι

σωστές οι σηµειούµενες πράξεις.

α. 6

+

69

23574

,,

,

β. +

411 9

5332

25

5 ,,

,

γ. –

54 0 9

3716

7 ,,

,

δ.

41 7

3 285

5

9 7,,

,

ε.

x

69 8

3 786

στ. x

+5

6

2

9 3

4. Να βρείτε µε τον πιο εύκολο τρόπο τα παρακάτω αθροίσµατα:

α. 1,5 1, 25 3,75 2,5+ + + β. 30,75 50 10, 25+ +

γ. 8,3 2,8 7,7 1, 2+ + + δ. 4,6 3,5 1, 4 6,5+ + +

5. Να βρείτε τον αριθµό που επαληθεύει καθεµιά από τις εξισώσεις:

α. 30 x 45+ = β. 10 x 12,5+ = γ. 180 x 360+ = δ. x 15,3 16,7+ =

6. Να γίνουν οι πράξεις:

α. ( )40 13 11− − = β. ( )60 15 7− + =

γ. ( )12 13 5+ − = δ. ( )5 7 3+ − =

41.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πρόσθεση φυσικών και δεκαδικών - Αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών - Πολλαπλασιασµός φυσικών και δεκαδικών

7. Αν α 13,5= , β 12= , γ 7,5= , δ 3= να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις µε την

σειρά που σηµειώνονται.

α. α γ β δ+ − − β. α β γ δ+ + −

8. Αν x y 2, x ω 5, y ω 3+ = + = + = . Να κάνετε τις πράξεις:

α. x 1 y 3 x 7 ω+ + + + + + β. x 3 ω 2 y 9 ω 3+ + − + + + −

γ. y ω 3 x y 2+ − + + − δ. x y ω 3 1 x+ + − + +

9. Να συµπληρώσετε τα τετράγωνα ώστε να γίνουν “µαγικά”:

10. Να γραφούν σύντοµα τα αθροίσµατα:

α. 1,5 1,5 1,5+ + β. x x x x x+ + + +

11. Να γίνουν οι πράξεις:

α. ( )2 5·3+ β. ( )4·5 2−γ. ( )3 1 ·2+ δ. ( )3 5 2 6 ·10+ − −

12. Να γίνουν από µνήµης τα γινόµενα:

α. 68·100 6,8·100 0,68·100

β. 93·0,1 9,3·0,1 930·0,01

γ. 52000·0,01 5200·0,1 52000·0,001

13. Λαµβάνοντας υπόψη τις ισότητες 73·25 1825= και 13·48 624= να υπολογίσετε

από µνήµης τα γινόµενα:

α. 0,73·25 β. 7,3·2,5 γ. 7,3·0,025

δ. 130·4,8 ε. 1,3·4,8 στ. 13·480

14. Να γίνουν οι πράξεις:

α. ( )5· 3 2− β. ( )5 3 ·2+ γ. ( ) ( )5·3 3·2+ δ. ( ) ( )6 5 2·2 3 2+ − + −

42. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πρόσθεση φυσικών και δεκαδικών - Αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών - Πολλαπλασιασµός φυσικών και δεκαδικών

15. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόµενα:

α. 4,3·2,5·100 β. 6,3·1,5·10·2 γ. 63.000·0,1·10·0,01 δ. 200·30·0,001

16. Ένα οικόπεδο σχήµατος ορθογωνίου έχει µήκος 17,2 µέτρα και πλάτος 10 µέτρα.

α. Να βρεθεί το εµβαδόν του οικοπέδου

β. Αν θέλουµε να το περιφράξουµε, πόσα µέτρα σύρµα θα χρειαστούµε;

17. Ένας έµπορος πούλησε 13,7 µέτρα ύφασµα α΄ ποιότητας, προς 30€ το µέτρο, και

14,5 µέτρα ύφασµα β΄ ποιότητας, προς 20€ το µέτρο. Πόσα € εισέπραξε;

43.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πρόσθεση φυσικών και δεκαδικών - Αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών - Πολλαπλασιασµός φυσικών και δεκαδικών

Ερώτηση 1

Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης;

Ερώτηση 2

Πώς πολλαπλασιάζουµε έναν αριθµό µε το 10, 100, 1000...;

Ερώτηση 3

Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασµού;

Άσκηση 1

Να χαρακτηρίσετε µε Σωστό ή Λάθος τα αποτελέσµατα των παρακάτω πολλαπλα-

σιασµών.

32·10 320=3, 2·0,1 32=0,32·10 3, 2=0,032·100 0,32=32·0,10 3,20=

Άσκηση 2

∆ιαθέτουµε 200 πλακάκια, που το καθένα έχει µήκος 0,20 µέτρα και πλάτος

0,10 µέτρα. Θέλουµε να καλύψουµε το δάπεδο ενός δωµατίου σχήµατος

ορθογωνίου που έχει µήκος 4 µέτρα και πλάτος 3 µέτρα. Φτάνουν τα πλακάκια

για να καλύψουν όλη την επιφάνεια;

ÂéâëéïìÜèçìá

4

· ÐïëëáðëÜóéá öõóéêïý áñéèìïý

· Äõíáìåéò áñéèìþí

· ÅðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá

· ÐïëëáðëÜóéá öõóéêïý áñéèìïý

· Äõíáìåéò áñéèìþí

· ÅðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá

Tι ονοµάζουµε πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθµού;

Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθµού α λέγονται οι

αρθµοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασµό του α

µε το 0, 1, 2, 3, ... δηλαδή οι αριθµοί:

0·α 0, 1·α α, 2·α 2α, 3·α 3α= = = = , ...

Τι είναι τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερωνφυσικών; Βρείτε τα κοινά πολλαπλάσια του 6 και του 8;

Αν βρούµε τα πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων

φυσικών, πιθανόν να υπάρχουν πολλαπλάσια του ενός, τα

οποία είναι πολλαπλάσια και των υπολοίπων φυσικών τους

οποίους εξετάζουµε. Οι αριθµοί αυτοί ονοµάζονται κοινά

πολλαπλάσια των αριθµών αυτών.

Τα πολλαπλάσια του 6 είναι:

0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...

Τα πολλαπλάσια του 8 είναι:

0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...

Τα κοινά πολλαπλάσια του 6 και του 8 είναι:

0, 24, 48,...

Τι ονοµάζουµε ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ήπερισσότερων φυσικών; Πώς συµβολίζεται αυτό; Βρείτε

το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 3, 5 και 6.

Από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσοτέρων φυσι-

κών το µικρότερο µη µηδενικό κοινό πολλαπλάσιο ονοµά-

ζεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθµών αυτών και

Πολλαπλάσια

Ελάχιστο Κοινό

Πολλαπλάσιο

Ε.Κ.Π.

46. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πολλαπλάσια φυσικού αριθµού - ∆υνάµεις αριθµών - Επιµεριστική ιδιότητα

συµβολίζεται: Ε.Κ.Π.

Τα πολλαπλάσια του 3 είναι:

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,...

Τα πολλαπλάσια του 5 είναι:

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,...

Τα πολλαπλάσια του 6 είναι:

0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,...

οπότε το Ε.Κ.Π. (3, 5, 6) = 30

Τι ονοµάζουµε νιοστή δύναµη του α και πωςσυµβολίζεται;

Αν α είναι ένας αριθµός το γινόµενο ν παράγοντες

α·α·α....·α− , που

έχει ν παράγοντες ίσους µε τα α, λέγεται νιοστή δύναµη

του α ή δύναµη µε βάση α και εκθέτη ν. Η δύναµη αυτή

συµβολίζεται ν

α και διαβάζεται αλφα στην νιοστή.

Πώς υπολογίζεται η νιοστή δύναµη του 10;

Η νιοστή δύναµή του 10 είναι ίση µε τον αριθµό που

προκύπτει, όταν δεξιά του 1 γράψουµε ν µηδενικά.

Για παράδειγµα: 2

5

10 100

10 100000

==

Πως πολλαπλασιάζουµε έναν αριθµό µε ένα άθροι-σµα; Πώς ονοµάζεται η ιδιότητα που χρησιµοποιούµε;

Υπολογίστε το γινόµενο ( )3 x + 7

• Η δύναµη 2

α , που παριστάνει το εµβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α, διαβά-

ζεται και “άλφα στο τετράγωνο”

• Η δύναµη 3

α που παριστάνει τον όγκο ενός κύβου πλευράς α διαβάζεται και “α

στον κύβο”

• Συµφωνούµε ότι: ( )0

1

α 1 α 0

α α

= ≠

=

Νιοστή ∆ύναµη

Επιµεριστική ιδιότητα

47.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πολλαπλάσια φυσικού αριθµού - ∆υνάµεις αριθµών - Επιµεριστική ιδιότητα

Για να πολλαπλασιάσουµε ένα αριθµό µε ένα άθροι-

σµα πολλαπλασιάζουµε τον αριθµό αυτό µε κάθε όρο του

αθροίσµατος και προσθέτουµε τα γινόµενα δηλαδή:

( )α· β γ α·β α·γ+ = + ή ( )α·β α·γ α· β γ+ = +

Η ιδιότητα αυτή λέγεται επιµεριστική ιδιότητα του πολ-

λαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση. Έχουµε:

( )3· x 7 3·x 3·7+ = +

Ισχύει η επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασια-σµού ως προς την αφαίρεση;

Η επιµεριστική ιδιότητα ισχύει και στην περίπτωση

που αντί για πρόσθεση έχουµε αφαίρεση δηλαδή ισχύει:

( )α· β γ α·β α·γ− = −ή

ή ( )α·β α·γ α· β γ− = −

1.Ένας φυσικός αριθµός είναι πολλαπλάσιο ενός φυσικού

αριθµού α, όταν γράφεται ως γινόµενο κάποιου φυσικού αριθµού

επι τον αριθµό α.

2.Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων φυσικών αριθµών

(που ο καθένας τους δεν είναι µηδέν) λέγεται το µικρότερο από τα

κοινά πολλαπλάσια αυτών των αριθµών (εκτός από το µηδέν).

3. Τα κοινά πολλαπλάσια δύο η περισσότερων φυσικών αριθµών είναι πολλαπλάσια

του ελάχιστου κοινού πολλαπλασίου (Ε.Κ.Π.) τους.

4. Νιοστή δύναµη ενός φυσικού α ονοµάζεται το γινόµενο ν παραγόντων ( )ν 1> ίσων

µε α δηλαδή ν

ν παράγοντες

α·α·α·....·α α= , αν ν φυσικός αριθµός, µε ν 1> .

5. Αν ν 1= , τότε ορίζουµε την πρώτη δύναµη του α και συµβολίζουµε: 1

α τον αριθµό α.

6. Για να πολλαπλασιάσουµε ένα άθροισµα µε δύο ή περισσότερους προσθετέους επί

κάποιο φυσικό αριθµό, πολλαπλασιάζουµε τον κάθε όρο του αθροίσµατος επί τον

φυσικό αριθµό και προσθέτουµε τα γινόµενα. ( )8· 3 5 8·3 8·5+ = + επιµεριστική

ιδιότητα του πολλαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση.

48. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πολλαπλάσια φυσικού αριθµού - ∆υνάµεις αριθµών - Επιµεριστική ιδιότητα

Να γράψετε κατά αύξουσα τάξη τα γινόµενα των φυσικών αριθµών: 0, 1, 2, 3, ... επί

τον 6.

α. Είναι δυνατό να τα γράψετε όλα;

β. Πως λέγεται καθένα από αυτά τα γινόµενα (σε σχέση µε τον 6);

γ. Τα πολλαπλάσια 0 · 6 και 1 · 6 είναι µεγαλύτερα από τον αριθµό 6; (Συζήτηση)

Λύση

0, 6, 12, 18, 24, ...

α. Όχι, β. πολλαπλάσιο, γ. όχι

α. Να γράψετε κατά αύξουσα τάξη τα πολλαπλάσια του 4.

β. Υπάρχει κοινό πολλαπλάσιο των αριθµών 4 και 6 που να είναι µικρότερο ή

ίσο του 12;

γ. Υπάρχουν κοινά πολλαπλάσια των αριθµών 4 και 6 που να είναι µεγαλύτερα

του 12; Πολλά;

Λύση

α. 4, 8, 12, 16, 20, ... β. Το 12 γ. Ναι, άπειρα

α. Ποιων φυσικών αριθµών είναι πολλαπλάσιο ο αριθµός µηδέν;

β. Ο αριθµός µηδέν έχει πολλαπλάσια; Αν ναι, ποια;

γ. Να απαντήσετε στις δύο παραπάνω ερωτήσεις, αν αντί του αριθµού 0 θεωρήσετε

τον αριθµό 1.

Λύση

α. οποιουδήποτε φυσικού, β. Ναι, 0, 0, ...

γ. του φυσικού 1. Ο αριθµός 1 γράφεται 1 · 1 = 1

α. Τι ονοµάζουµε ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθµών,

διάφορων από το µηδέν;

β. Ποια είναι τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθµών, αν ο ένας από

αυτούς µόνο είναι το µηδέν;

49.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πολλαπλάσια φυσικού αριθµού - ∆υνάµεις αριθµών - Επιµεριστική ιδιότητα

Λύση

α. Το Ε.Κ.Π. δύο µη µηδενικών φυσικών αριθµών ονοµάζουµε το µικρότερο (µη

µηδενικό) από το κοινά πολλαπλάσια των αριθµών.

β. Είναι τα πολλαπλάσια του µη µηδενικού αριθµού.

ΕΚΠ (8, 12) = ;

Να γράψετε τα κοινά πολλαπλάσια των αριθµών 8 και 12 και µετά τα πολλαπλάσια

του ΕΚΠ (8, 12). Τι παρατηρείτε;

Λύση

ΕΚΠ (8, 12) =24

Πολλαπλάσια του 8: 24, 48, 72, ...

Πολλαπλάσια του 12: 24, 48, 72

Πολλαπλάσια του 24: 24, 48, 72, 96, 120, ...

Παρατηρούµε ότι είναι όλα πολλαπλάσια του Ε.Κ.Π.

Να γράψετε τα κοινά πολλαπλάσια των 5, 6, 10 και τα πολλαπλάσια του ΕΚΠ (5, 6, 10).

Τι παρατηρείτε για τα κοινά πολλαπλάσια των 5, 6, 10 και για τα πολλαπλάσια του

ΕΚΠ (5,6,10);

Λύση

Πολλαπλάσια του 5: 30, 60, 90, ...

Πολλαπλάσια του 6: 30, 60, 90, ...

Πολλαπλάσια του 10: 30, 60, 90, ...

Πολλαπλάσια του 30: 30, 60, 90, ...

Είναι όλα πολλαπλάσια του Ε.Κ.Π. .

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, ...

6, 12,18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66,...

30, 60, 90, 120

Είναι τα ίδια

α. Είναι ο 135 ένα από τα πολλαπλάσια του 11;

β. Αν διαπιστώσετε πως όχι, τότε να ελέγξετε αν υπάρχουν δύο διαδοχικά πολλα-

πλάσια του 11 που το ένα να είναι µικρότερο και το άλλο µεγαλύτερο από τον 135.

Λύση

α. Όχι, β. 121 < 135 < 132

α. Με ποιο φυσικό αριθµό είναι ίσο το άθροισµα 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2; Πόσους και

ποιους προσθετέους έχει αυτό το άθροισµα; Πώς µπορεί να γραφεί συντοµότερα;

Το γινόµενο 2 ·2 · 2 · 2 · 2 · 2, που

έχει 6 παράγοντες και καθένας είναι

ο αριθµός 2, το συµβολίζουµε 26.

Το σύµβολο 26 το ονοµάζουµε έκτη

δύναµη του αριθµού 2 και το δια-

βάζουµε δύο στην έκτη. Τον αριθ-

µό 2 ονοµάζουµε βάση της δύνα-

µης και τον αριθµό 6 εκθέτη της.

50. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πολλαπλάσια φυσικού αριθµού - ∆υνάµεις αριθµών - Επιµεριστική ιδιότητα

β. Με ποιο φυσικό αριθµό είναι ίσο το γινόµενο: 2 ·2 · 2 · 2 · 2 · 2; Πόσους παράγοντες

έχει αυτό το γινόµενο; Ποιοι είναι οι παράγοντές του;

Λύση

α. 6 · 2 = 12, 6 προσθετέοι

β. 26 = 64, 6 παράγοντες

α. Τι συµβολίζει το γινόµενο 5 · 3; Με ποιο φυσικό αριθµό είναι ίσο;

β. Τι συµβολίζει η δύναµη 35; Ποια είναι η βάση και ποιος ο εκθέτης της; Με ποιο

φυσικό αριθµό είναι ίση;

γ. Τι συµβολίζει η δύναµη 53; Με ποιο φυσικό αριθµό είναι ίση;

Λύση

α. 5 · 3 = 15

β. 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3, βάση το 3, εκθέτης το 5 και ισούται µε τον αριθµό 243

γ. 53 = 5 · 5 · 5, βάση το 5, εκθέτης το 3 και ισούται µε τον αριθµό 125.

Τις δυνάµεις 22 και 32 συνήθως τις διαβάζουµε δύο στο τετράγωνο και τρία

στο τετράγωνο, γιατί παριστάνουν τα εµβαδά τετραγώνων µε µήκη 2 και 3

µονάδες µήκους αντίστοιχα.

Για τον ίδιο λόγο, τη δύνα-

µη α2 τη διαβάζουµε α στο

τετράγωνο για οποιονδήπο-

τε φυσικό αριθµό α.

Με ανάλογες σκέψεις να δικαι-

ολογήσετε γιατί τη δύναµη α3

τη διαβάζουµε α στον κύβο.

Λύση

Γιατί παριστάνει όγκο κύβου µε ακµή το α.

α. Να συµπληρώσετε τον πίνακα.

β. Να υπολογίσετε τις δυνάµεις 110 και 1010.

γ. Να διατυπώσετε γενικό κανόνα µε τον

οποίο υπολογίζουµε τις δυνάµεις του 1

και του 10.

Λύση

α. 1, 1, 1, 1, 1

β. 10

10 παράγοντες

1 1 1 ... 1 1= ⋅ ⋅ ⋅ =

, 10

10 παράγοντες

10 10 10 ... 10 10.000.000.000= ⋅ ⋅ ⋅ =

51.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πολλαπλάσια φυσικού αριθµού - ∆υνάµεις αριθµών - Επιµεριστική ιδιότητα

γ. 1ν = 1, όπου ν φυσικός, 10ν = 100...0, µε ν µηδενικά

Ποιος είναι ο φυσικός αριθµός:

4 · 105 + 6 · 104 + 3 · 102 + 2 ;

Λύση

4 · 105 + 6 · 104 + 3 · 102 + 2 = 460302

Να γράψετε σε αναπτυγµένη µορφή µε βάση τον 10 τους αριθµούς 3275 και 408906.

Λύση

3275 = 3 · 103+ 2 · 102 + 7 · 101 + 5 408906 = 4 · 105 + 8 · 103 + 9 · 102 + 6

Να χρησιµοποιήσετε τα εµβαδά των παρακάτω ορθογωνίων για να δικαιολογήσετε

ότι: ( )4 3 2 4 2 3 2+ ⋅ = ⋅ + ⋅Λύση

( )4 3 2+ ⋅ = Το εµβαδόν και των δύο ορθογωνίων.

4 2 3 2⋅ + ⋅ = Το άθροισµα των εµβαδών των δύο

ορθογωνίων.

Να τοποθετήσετε κατάλληλα µια παρένθεση στις παρακάτω ισότητες ώστε να είναι

αληθείς.

α. 25 4 8 9 2 5 6 60⋅ − ⋅ − + ⋅ = β. 3 15 5 5 14 5 8 20⋅ + − ⋅ + ⋅ =Λύση

α. ( )25 4 8 9 2 5 6 4 25 2 9 2 5 6⋅ − ⋅ + + ⋅ = − ⋅ + + ⋅ =

( )4 25 18 2 30= − + + = 4 7 2 30 60= ⋅ + + =

β. ( )3 3·5 5 5 8 5 14 5 3 3 1 8 14⋅ + + ⋅ − ⋅ = ⋅ + + − = ( )

( )5 9 1 8 14

5 18 14

5·4 20

= + + − =

= − == =

Η παράσταση

4·105+6·104+0·103+3·102+0·102+2·100

του αριθµού 460302 ονοµάζε-

ται αναπτυγµένη µορφή του α-

ριθµού 460302

µε βάση τον 10.

52. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πολλαπλάσια φυσικού αριθµού - ∆υνάµεις αριθµών - Επιµεριστική ιδιότητα

1. Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

2. Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

Ποιο είναι το ΕΚΠ(6, 8);

3. Να βρείτε το ΕΚΠ (4, 6, 18).

4. α. Να βρείτε τα κοινά πολλαπλάσια των αριθµών 6 και 10.

β. Να βρείτε τα πολλαπλάσια του ΕΚΠ (6, 10)

5. Ένα ορεινό χωριό το επισκέπτεται ο γιατρός κάθε 8

ηµέρες, ο κτηνίατρος κάθε 10 ηµέρες κι ένας έµπο-

ρος κάθε 15 ηµέρες. Αν σήµερα επισκέφθηκαν και

οι τρεις το χωριό, τότε να υπολογίσετε µετά από

πόσες ηµέρες θα συµβεί το ίδιο για δεύτερη φορά.

53.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πολλαπλάσια φυσικού αριθµού - ∆υνάµεις αριθµών - Επιµεριστική ιδιότητα

6. Να εξετάσετε αν ο αριθµός 7 · 7 · 7 είναι πολλαπλάσιο του 7. ∆ικαιολογήστε την

απάντησή σας.

7. Να δικαιολογήσετε γιατί ο αριθµός 13 + 13 + 13 + 13 + 13 είναι πολλαπλάσιο

τέσσάρων φυσικών αριθµών.

8. Να γράψετε σε µορφή δυνάµεων τα γινόµενα:

α. 3 · 3 β. 4 · 4 · 4 · 4 · 4 γ. 23 · 23 · 23 · 23 · 23 · 23

δ. 1 · 1 · 1 ε. α · α στ. β · β · β · γ · γ

9. Να υπολογίσετε τις δυνάµεις:

α. 23 β. 32 γ. 43 δ. 34

ε. 112 στ. 122 ζ. 52 η. 53

10. Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω φυσικούς αριθµούς µπορεί να γραφούν ως

δύναµη και να τους γράψετε έτσι.

α. 36 β. 125 γ. 49 δ. 81 ε. 144

στ. 169 ζ. 110 η. 32 θ. 128 ι. 196

ια. 10.000 ιβ. 200 ιγ. 400

11. Να συµπληρώσετε τα κενά µε το κατάλληλο σύµβολο ισότητας ή ανισότητας.

α. 2 33 ..... 2 β. 3 55 ..... 3 γ. 2 44 ..... 2δ. 2 1010 ..... 2 ε. 4 71 ..... 1 στ. 2 77 ..... 2

12. Να συµπληρώσετε τα κενά µε το κατάλληλο σύµβολο ισότητας ή ανισότητας.

α. ( )22 22 3 ..... 2 3+ + β. ( )2 2 27 3 .....7 3− − γ. ( )33 30 4 ..... 0 4+ +δ. 23 ..... 3 3+ ε. ( )2216 3 ..... 16 3− − στ. 51 5 ..... 1⋅

13. Να συµπληρώσετε τα κενά µε το κατάλληλο σύµβολο ισότητας ή ανισότητας.

α. 23 ..... 3 2⋅ β. 22 ..... 2 2⋅ γ. 25 ..... 5 2⋅δ. 27 2 ..... 7⋅ ε. 2 2 2 272 69 ..... 27 96+ + στ. 3 3 31 5 3 ..... 153+ +

14. Να γράψετε σε αναπτυγµένη µορφή στο δεκαδικό σύστηµα καθέναν από τους

αριθµούς:

α. 532 β. 6329 γ. 50314 δ. 7 935 028

15. Ποιους φυσικούς αριθµούς αντιπροσωπεύουν οι παρακάτω αριθµητικές πα-

ραστάσεις:

54. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πολλαπλάσια φυσικού αριθµού - ∆υνάµεις αριθµών - Επιµεριστική ιδιότητα

α. 23 10 4 10 2⋅ + ⋅ + β. 4 3 26 10 0 10 2 10 5 10 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +γ. 7 6 5 4 3 28 10 0 10 0 10 2 10 3 10 7 10 0 10 3⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

16. Να µετατρέψετε σε µορφή µιας δύναµης καθένα από τα παρακάτω γινόµενα, όπως

φαίνεται στο γινόµενο α.

α. ( ) ( )3 4 78 16 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =β. 9 81⋅ γ. 27 27⋅ δ. 25 125⋅ ε. 3

α α⋅ στ. 4 2x x x⋅ ⋅

17. Να µετατρέψετε σε µορφή µιας δύναµης µε βάση φυσικό αριθµό καθέναν από τους

φυσικούς αριθµούς Β, Γ και ∆, όπου ( )23B 5= , ( )34Γ 2= , ( )22∆ 7= , όπως φαίνε-

ται στον αριθµό Α. ( ) ( ) ( ) ( )32 2 2 2 63 3 ·3 ·3 3·3 · 3·3 · 3·3 3·3·3·3·3·3 3= = = = =Α

18. Να γράψετε σε σύντοµη µορφή καθεµία από τις παραστάσεις:

α. 9 · α · α · α β. 8 · α · α · β · β · 5 γ. x · x · x · 6 · x · x

δ. α + β · β · β ε. α · α + β + β

19. Αν α = 4, τότε να υπολογίσετε τον αριθµό που αντιπροσωπεύει η παράσταση Α,

όπου ( )22Α 3α 3α 9α= + − .

20. Αν α = 3 και β = 4, τότε να υπολογίσετε τον αριθµό που αντιπροσωπεύει η παρά-

σταση Α, όπου: 2 2Α α 2αβ β= + + .

21. ∆ίνεται ότι: 352 84 29568⋅ = . Πόσο θα αυξηθεί ο αριθµός 29568, αν ο δεύτερος

παράγοντας του γινοµένου αυξηθεί κατά 3;

22. Να υπολογίσετε µε δύο τρόπους τα γινόµενα:

α. ( )4 8 2⋅ + β. ( )3 9 12+ ⋅ γ. ( )5 12 4⋅ −δ. ( )20 6 7− ⋅ ε. ( )3 5 6 7⋅ + +

23. Να γράψετε σε µορφή γινοµένου τα αθροίσµατα:

α. 7 6 13 6⋅ + ⋅ β. 8 9 8 7⋅ + ⋅ γ. 12 16 12⋅ +δ. 4 6 4 7 4 8⋅ + ⋅ + ⋅ ε. 9 7 9 11 9⋅ + ⋅ +

24. Να γράψετε σε µορφή γινοµένου τις διαφορές:

α. 12 · 12 – 12 · 5 β. 14 · 8 – 5 · 8 γ. 16 · 15 – 15

55.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πολλαπλάσια φυσικού αριθµού - ∆υνάµεις αριθµών - Επιµεριστική ιδιότητα

25. Να υπολογίσετε µε τέσσερις τρόπους το γινόµενο: ( ) ( )2 7 · 6 5+ +

26. α. Να υπολογίσετε µε δύο τρόπους το εµβαδόν του οικοπέδου ΑΒΓ∆, το οποίο έχει

σχήµα ορθογωνίου.

β. Κάντε το ίδιο για το εµβαδόν του ΕΖΒΓ ορθογωνίου.

56. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Πολλαπλάσια φυσικού αριθµού - ∆υνάµεις αριθµών - Επιµεριστική ιδιότητα

Ερώτηση 1

Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται φυσικοί;

Πως συµβολίζουµε το σύνολο των φυσικών;

Τι παριστάνει το σύµβολο Ν*;

Ερώτηση 2

α. Με ποιο φυσικό αριθµό είναι ίσο το άθροισµα 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2; Πόσους και

ποιους προσθετέους έχει αυτό το άθροισµα; Πώς µπορεί να γραφτεί συντοµότε-

ρα;

β. Με ποιο φυσικό αριθµό είναι ίσο το γινόµενο: 2 ·2 · 2 · 2 · 2 · 2; Πόσους παράγο-

ντες έχει αυτό το γινόµενο; Ποιοι είναι οι παράγοντές του;

Άσκηση 1

Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω φυσικούς αριθµούς µπορεί να γραφούν ως

δύναµη και να τους γράψετε έτσι.

α. 36 β. 125 γ. 48 δ. 81 ε. 144

στ. 169 ζ. 110 η. 32 θ. 128 ι. 196

ια. 10.000 ιβ. 200 ιγ. 400

Άσκηση 2

Να υπολογίσετε τον αριθµό που αντιπροσωπεύει κάθε παράσταση:

α. ( )2 43 4 2 4 5 2 3⋅ + ⋅ − +β. ( ) ( )54 2 22 4 36 : 6 3 4 11 2 3⋅ − − ⋅ − + ⋅γ. ( )3 23 2 3 6 1 1 8⋅ + − − − ⋅δ. ( )93 33 2 4 : 2 31 1⋅ − − −

Άσκηση 3

Αν α + β = 3, τότε να υπολογίσετε τον αριθµό που αντιπροσωπεύει η παράστα-

ση Α, όπου: ( ) 2Α 5 2 α 2β 3β 3= + + + −

ÂéâëéïìÜèçìá

5

·ÇôÝëåéáäéáßñåóç ·ÄéáéñÝôåòöõóéêïýáñéèìïý·×áñáêôÞñåòäéáéñåôüôçôáò·ÁíÜëõóçáñéèìïýóåãéíüìåíï

ðñþôùíðáñáãüíôùí·Çåõêëåßäéáäéáßñåóç ·Äéáßñåóçäåêáäéêþí·ÐçëßêïìåðñïóÝããéóç

·ÇôÝëåéáäéáßñåóç ·ÄéáéñÝôåòöõóéêïýáñéèìïý·×áñáêôÞñåòäéáéñåôüôçôáò·ÁíÜëõóçáñéèìïýóåãéíüìåíï

ðñþôùíðáñáãüíôùí·Çåõêëåßäéáäéáßñåóç ·Äéáßñåóçäåêáäéêþí·ÐçëßêïìåðñïóÝããéóç

Tι λέγεται τέλεια διαίρεση; Ποιά ισότητα ισχύειστην τέλεια διαίρεση;

Μια διαίρεση στην οποία ο διαιρετέος είναι

πολλαπλάσιο του διαιρέτη λέγεται τέλεια διαίρεση.

Αν σε µια τέλεια διαίρεση είναι ∆ ο διαιρετέος, δ ο διαιρέτης

και π το πηλίκο, θα έχουµε:

∆ : δ π= γιατί ∆ δ·π=

Τι ονοµάζουµε διαιρέτες ενός φυσικού αριθµού α;Βρείτε τους διαιρέτες του 24.

∆ιαιρέτες ενός φυσικού αριθµού α ονοµάζονται οι

φυσικοί αριθµοί που διαιρούν τον α.

Οι διαιρέτες του 24 είναι:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

• Σε µια τέλεια διαίρεση ∆ : δ π= λέµε ότι ο δ διαιρεί το ∆ ή ότι ο ∆ διαιρείται

µε το δ.

• Σε µια διαίρεση, ο διαιρέτης δεν µπορεί να είναι µηδέν.

• Επίσης ισχύουν:

α : α 1γιατί α·1 α

α :1 α

0 : α 0, γιατί α·0 0

==

== =

∆ιαίρεση

Πρώτοι, Σύνθετοι

αριθµοί

58. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η τέλεια διαίρεση - ∆ιαιρέτες φυσικού αριθµού - Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ανάλυση αριθµού σε

γινόµενο πρώτων παραγόντων - Η ευκλείδια διαίρεση - ∆ιαίρεση δεκαδικών - Πηλίκο µε προσέγγιση

Ποιο αριθµοί λέγονται πρώτοι και ποιοί σύνθετοι;∆ώστε παραδείγµατα πρώτων και σύνθετων αριθµών.

Πρώτοι λέγονται οι αριθµοί που δεν έχουν άλλους

διαιρέτες εκτός από τον εαυτό τους και το 1.

Σύνθετοι λέγονται οι αριθµοί που δεν είναι πρώτοι.

Για παράδειγµα οι αριθµοί 2, 5, 7, 11, 13 είναι πρώτοι αριθ-

µοί, ενώ οι αριθµοί 4, 6, 12 είναι σύνθετοι.

Τι ονοµάζουµε κοινούς διαιρέτες δύο ή περισ-σότερων φυσικών;

Υπάρχουν αριθµοί οι οποίοι είναι διαιρέτες συγχρό-

νως δύο ή περισσότερων φυσικών. Οι αριθµοί αυτοί ονοµά-

ζονται κοινοί διαιρέτες των αριθµών αυτών.

Τι ονοµάζεται µέγιστος κοινός διαιρέτης δύο ήπερισσότερων φυσικών; Πώς αυτός γράφεται συµβολικά;

Βρείτε το µέγιστο κοινό διαιρέτη των 8 και 36.

Ο µεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες δύο ή πε-

ρισσότερων φυσικών ονοµάζεται µέγιστος κοινός διαιρέτης.

Συµβολικά γράφουµε: Μ.Κ.∆.

Οι διαιρέτες του 8 είναι:

1, 2, 4, 8

Οι διαιρέτες του 36 είναι:

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Άρα Μ.Κ.∆. ( )8,36 4=

Πότε ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 2, το 3,το 5 και το 9;

Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 2, αν το τε-

• Οι αριθµοί που έχουν για Μ.Κ.∆. το 1 λέγονται πρώτοι µεταξύ τους.

Κοινοί διαιρέτες

Μέγιστος Κοινός

∆ιαιρέτης (Μ.Κ.∆.)

∆ιαιρετότητα

59.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η τέλεια διαίρεση - ∆ιαιρέτες φυσικού αριθµού - Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ανάλυση αριθµού σε

γινόµενο πρώτων παραγόντων - Η ευκλείδια διαίρεση - ∆ιαίρεση δεκαδικών - Πηλίκο µε προσέγγιση

λευταίο ψηφίο του είναι 0, 2, 4, 6 ή 8.

Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 3 αν το άθροισµα

των ψηφίων του διαιρείται µε το 3.

Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 5 αν το τελευταίο

του ψηφίο είναι 0 ή 5.

Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 9 αν το άθροισµα

των ψηφίων του διαιρείται µε το 9.

Τι ονοµάζεται ανάλυση ενός αριθµού σε γινόµενοπρώτων παραγόντων; Να αναλυθούν σε γινόµενο πρώ-

των παραγόντων οι αριθµοί:

α. 30 β. 100

Ανάλυση σε γινόµενο πρώτων παραγόντων λέγεται

η εργασία γραφής ενός σύνθετου φυσικού αριθµού σε γινό-

µενο που θα έχει παράγοντες µόνο πρώτους αριθµούς.

α . β.

• Κάθε φυσικός αριθµός διαιρεί τα πολλαπλάσια του. Για παράδειγµα, το 3 διαιρεί

το 9, το 12, το 15 κλπ , τα οποία είναι πολλαπλάσια του.

• Κάθε φυσικός αριθµός που διαιρείται από έναν άλλο, είναι πολλαπλάσιο του.

Για παράδειγµα, το 12 που είναι πολλαπλάσιο του 3 διαιρείται απ’αυτό.

• Αν ένας αριθµός διαιρεί έναν άλλο, τότε διαιρεί και τα πολλαπλάσια του.

Για παράδειγµα το 4 διαιρεί το 8. Οπότε θα διαιρεί και το 16, 24, 32 κλπ. που είναι

πολλαπλάσια του 8.

• Αν ένας αριθµός διαιρεί δύο άλλους τότε διαιρεί το άθροισµα και τη διαφορά τους.

Για παράδειγµα το 2 διαιρεί το 4 και το 8 οπότε θα διαιρεί και το 4 8 12+ = και το 8 4 4− = .

60. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η τέλεια διαίρεση - ∆ιαιρέτες φυσικού αριθµού - Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ανάλυση αριθµού σε

γινόµενο πρώτων παραγόντων - Η ευκλείδια διαίρεση - ∆ιαίρεση δεκαδικών - Πηλίκο µε προσέγγιση

Τι λέγεται ευκλείδεια διαίρεση;

Αν δοθούν δύο φυσικοί αριθµοί, ο ∆ (διαιρετέος)

και δ (διαιρέτης) βρίσκονται δύο άλλοι φυσικοί αριθ-

µοί, ο π (ακέραιο πηλίκο ή πηλίκο) και ο υ (υπόλοιπο)

ώστε να είναι:

∆ δ·π υ= + και υ δ<Η διάδικασία αυτή λέγεται ευκλείδεια διαίρεση.

Αν υ 0= , τότε ισχύει ∆ δ·π= και έχουµε την περίπτωση

της τέλειας διαίρεσης.

Αν υ 0≠ , η ευκλείδια διαίρεση χαρακτηρίζεται και σαν ατε-

λής διαίρεση.

Πώς βρίσκουµε το πηλίκο της διαίρεσης δεκαδικούµε δεκαδικό;

Για να βρούµε το πηλίκο της διαίρεσης δεκαδικού µε

δεκαδικό, πολλαπλασιάζουµε διαιρετέο και διαιρέτη µε

κατάλληλη δύναµη του 10 έτσι, ώστε ο διαιρέτης να γίνει

φυσικός αριθµός, οπότε αναγόµαστε στη διαίρεση δεκαδι-

κού µε φυσικό ή φυσικού µε φυσικό.

Πώς διαιρούµε φυσικό µε φυσικό;

Επειδή κάθε φυσικός µπορεί να γραφτεί σαν δεκαδι-

κός µε δεκαδικό µέρος µηδέν, η διαίρεση φυσικού µε φυσι-

κό µπορεί να συνεχιστεί µέχρι να βρεθεί πηλίκο δεκαδικός

αριθµός (εφόσον αυτό είναι δυνατό).

Πώς µπορούµε να διαιρέσουµε δεκαδικό µε φυσικό;

Για να διαιρέσουµε δεκαδικό µε φυσικό αριθµό, ερ-

γαζόµαστε όπως και στην ευκλείδεια διαίρεση, µε τη δια-

Κάθε σύνθετος φυσικός αριθµός αναλύεται κατά ένα µόνο τρόπο σε γινόµενο

πρώτων παραγόντων.

Ευκλείδια διαίρεση

∆ιαίρεση δεκαδικού

µε δεκαδικό

∆ιαίρεση φυσικού

µε φυσικό

∆ιαίρεση δεκαδικού

µε φυσικό

61.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η τέλεια διαίρεση - ∆ιαιρέτες φυσικού αριθµού - Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ανάλυση αριθµού σε

γινόµενο πρώτων παραγόντων - Η ευκλείδια διαίρεση - ∆ιαίρεση δεκαδικών - Πηλίκο µε προσέγγιση

φορά ότι, πριν κατεβάσουµε το πρώτο δεκαδικό ψηφίο, το-

ποθετούµε την υποδιαστολή στο πηλίκο

Πώς διαιρούµε έναν αριθµό µε το 10, το 100, το 1000 κλπ;

Για να διαιρέσουµε έναν αριθµό µε 10 ή 100 ή 1000

κ.λ.π., αρκεί να µεταφέρουµε την υποδιαστολή του προς τα

αριστερά κατά µία ή δύο ή τρεις κ.λ.π. αντίστοιχα θέσεις.

Παρατηρούµε σε πολλές διαιρέσεις ότι όσο και αν τις συνεχίσουµε δεν βρί-

σκουµε υπόλοιπο µηδέν. Γι’αυτό σταµατάµε τις διαιρέσεις αυτές σε κάποιο δεκαδικό

ψηφίο και τότε λέµε ότι βρίσκουµε το πηλίκο µε προσέγγιση.

1.Τέλεια διαίρεση λέγεται η διαίρεση στην οποία ο διαιρετέος είναι

πολλαπλάσιο του διαιρέτη.

Ισχύει:

∆ιαιρετέος: διαιρέτης = πηλίκο

γιατί

πηλίκο · διαιρέτης = ∆ιαιρετέος

2. Σε µια διαίρεση, ο διαιρέτης δεν είναι ποτέ µηδέν.

3. Μέγιστος κοινός διαιρέτης λέγεται ο µεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες δύο

ή περισσότερων αριθµών.

4. Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 3 ή το 9 αν το άθροισµα των ψηφίων του

διαιρείται µε το 3 ή το 9 αντίστοιχα.

5. Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 2 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0, 2, 4, 6, 8

ενώ διαιρείται µε το 5 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0 ή 5.

6. Ευκλείδεια διαίρεση λέγεται η διαίρεση στην οποία ισχύει:

∆ιαιρετέος = διαιρέτης · πηλίκο + υπόλοιπο

µε το υπόλοιπο µικρότερο από το διαιρέτη.

62. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η τέλεια διαίρεση - ∆ιαιρέτες φυσικού αριθµού - Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ανάλυση αριθµού σε

γινόµενο πρώτων παραγόντων - Η ευκλείδια διαίρεση - ∆ιαίρεση δεκαδικών - Πηλίκο µε προσέγγιση

Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις µε τις δοκιµές τους.

α. 91 : 7 β. 120 : 5 γ. 136 :17δ. 3588 : 23 ε. 58117 : 89 στ. 34200 : 456Λύση

α. 791

21 13

0

∆οκιµή 13

x 7

91

β. 5120

20 24

0

∆οκιµή 24

x 5

120

γ. 17136

0 8

∆οκιµή 17

x 8

136

δ. 233588

128 156

138

0

∆οκιµή 156

x 23

468

312

3588

ε. 8958117

471 653

267

0

∆οκιµή 653

x 89

5877

5224

58117

στ. 45634200

2280 75

0

∆οκιµή 456

x 75

2280

3192

34200

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 4·x = 92 β. 11·x = 165 γ. 27 : x = 9δ. x : 3 = 11 ε. 23·x = 115 στ. 192 : x = 32Λύση

α. 4·x 92

x 92 : 4

x 23

===

β. 11·x 165

x 165 :11

x 15

===

γ. 27 : x 9

9·x 27

x 27 : 9

x 3

==

==

63.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η τέλεια διαίρεση - ∆ιαιρέτες φυσικού αριθµού - Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ανάλυση αριθµού σε

γινόµενο πρώτων παραγόντων - Η ευκλείδια διαίρεση - ∆ιαίρεση δεκαδικών - Πηλίκο µε προσέγγιση

δ. x : 3 11

x 3·11

x 33

===

ε. 23·x 115

x 115 : 23

x 5

===

στ. 192 : x 32

32·x 192

x 192 : 32

x 6

==

==

Να υπολογίσετε:

α. Πόσο κοστίζει το κάθε παγωτό, αν για 7 παγωτά πληρώσαµε 14€.

β. Την πλευρά ισόπλευρου τριγώνου που έχει περίµετρο 231 µέτρα.

γ. Πόσα δοχεία των 5 κιλών χρειαζόµαστε για να αδειάσουµε 320 κιλά λάδι.

Λύση

α. Το κάθε παγωτό κοστίζει: 14 : 7 2=β. Η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου είναι 231: 3 77= µέτρα.

γ. Χρειαζόµαστε 320 : 5 64= δοχεία των 5 κιλών.

Ένας µαθητής στην αρχή της σχολικής χρονιάς αγόρασε 15 τετράδια και 23 στυλό

διαρκείας και πλήρωσε 3790 λεπτά. Αν κάθε στυλό κοστίζει 80 λεπτά, να βρείτε

πόσο κοστίζει κάθε τετράδιο.

Λύση

Τα στυλό κοστίζουν 23·80 1840= λεπτά, οπότε τα 15 τετράδια κοστίζουν

3790 1840 1950− = λεπτά. Άρα το κάθε τετράδιο κοστίζει: 1950 :15 130= λεπτά.

Για αναψυκτικά δώσαµε συνολικά 18€. Αν παίρναµε 6 αναψυκτικά παραπάνω θα

δίναµε 30€. Πόσο κοστίζει το κάθε αναψυκτικό;

Λύση

Τα 6 επιπλέον αναψυκτικά κοστίζουν 30 18 12− =οπότε το κάθε αναψυκτικό κοστίζει 12 : 6 2= .

Να γράψετε τους κοινούς διαιρετέους των αριθµών 8, 24 και 56 και να βρείτε τον

Μ.Κ.∆. των αριθµών αυτών.

Λύση

Οι διαιρέτες του 8 είναι: 1, 2, 4, 8

Οι διαιρέτες του 24 είναι: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Οι διαιρέτες του 56 είναι: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

Οι κοινοί διαιρέτες των 8, 24 και 56 είναι οι: 1, 2, 4, 8

Άρα ο Μ.Κ.∆. (8, 24, 56) = 8

∆ύο αριθµοί έχουν Μ.Κ.∆. το 36. Να δικαιολογήσετε ότι έχουν και άλλους κοι-

νούς διαιρέτες.

64. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η τέλεια διαίρεση - ∆ιαιρέτες φυσικού αριθµού - Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ανάλυση αριθµού σε

γινόµενο πρώτων παραγόντων - Η ευκλείδια διαίρεση - ∆ιαίρεση δεκαδικών - Πηλίκο µε προσέγγιση

Λύση

Επειδή το 36 είναι ο µεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες, τότε οι διαιρέτες του 36,

θα είναι και διαιρέτες των αριθµών αυτών. Άρα κάθε ένας από τους αριθµούς 1, 2, 3, 4,

6, 9, 12, 18, 36 θα είναι κοινός διαιρέτης των δύο αυτών αριθµών.

Να γράψετε από τους αριθµούς 3432, 4581, 864, 156, 62775, 730 αυτούς που

διαρούνται.

α. µε το 2 β. µε το 5 γ. µε το 3 δ. µε το 9

Λύση

α. Οι αριθµοί 3432, 864, 156, 730 διαιρούνται µε το 2, διότι έχουν τελευταίο ψηφίο 2, 4,

6 και 0.

β. Οι αριθµοί 62775, 730 διαιρούνται µε το 5, αφού λήγουν σε 5 και 0.

γ. Οι αριθµοί 3432, 4581, 864, 156 διαιρούνται µε το 3, διότι το άθροισµά των ψηφίων

τους διαιρείται µε το 3.

δ. Οι αριθµοί 4581, 864, 62775 διαιρούνται µε το 9, διότι το άθροισµα των ψηφίων

διαιρείται µε το 9.

Να συµπληρώσετε τα ψηφία στους παρακάτω αριθµούς.

α. i. 52....3 ii. 2....61 ώστε να διαιρούνται µε το 3.

β. 6....4.... ώστε να διαιρείται ταυτόχρονα µε το 2 και το 9.

Λύση

α. Για να διαιρούνται οι 52....3, 2....61 µε το 3 θα πρέπει το άθροισµα των ψηφίων τους

να διαιρείται µε το 3 οπότε έχουµε:

i. 5223, 5253, 5283

ii. 2061, 2361, 2661, 2961

β. Για να διαιρείται ο 6....4.... ταυτόχρονα µε το 2 και το 9 θα πρέπει το τελευταίο

ψηφίο του να είναι 0, 2, 4, 6, 8 και το άθροισµα των ψηφίων του αριθµού να

διαιρείται µε το 9, οπότε έχουµε:

6840, 6642, 6444, 6246, 6048, 6948

Να αναλύσετε σε γινόµενο πρώτων παραγόντων τους αριθµούς.

α. 132 β. 500 γ. 140

Λύση

α. 132 2

66 2

33 3

1111

1

2132 2 ·3·11= β. 500 2

250 2

125 5

25 5

5 5

1

2 3500 2 ·5= γ. 140 2

70 2

35 5

7 7

1

2140 2 ·5·7=

65.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η τέλεια διαίρεση - ∆ιαιρέτες φυσικού αριθµού - Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ανάλυση αριθµού σε

γινόµενο πρώτων παραγόντων - Η ευκλείδια διαίρεση - ∆ιαίρεση δεκαδικών - Πηλίκο µε προσέγγιση

Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.∆. των αριθµών 60 και 150.

Λύση

Για να βρούµε το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθµών, τους αναλύουµε σε γινόµενο

πρώτων παραγόντων και παίρνουµε το γινόµενο των κοινών και µη κοινών παραγόντων

υψωµένους στη µεγαλύτερη δύναµη που εµφανίζεται ο καθένας.

Για να βρούµε το Μ.Κ.∆. δύο ή περισσότερων αριθµών τους αναλύουµε σε γινόµενο

πρώτων παραγόντων και παίρνουµε το γινόµενο των κοινών παραγόντων υψωµένων

στη µικρότερη δύναµη που εµφανίζεται ο καθένας. Έχουµε:

60 2

30 2

15 3

5 5

1

260 2 ·3·5=

100 2

50 2

25 5

5 5

1

2 2100 2 ·5=

Άρα ( )( )

2 2

2

Ε.Κ.Π. 60,100 2 ·3·5 300

Μ.Κ.∆. 60,100 2 ·5 20

= =

= =

Να γίνουν οι παρακάτω ευκλείδειες διαιρέσεις µε τις δοκιµές τους.

α. 134 : 8 β. 315 : 25 γ. 5124 :15Λύση

α. 8134

54 16

6

∆οκιµή: 16

x 8

128

6

134

+

β. 25315

65 12

15

∆οκιµή : 25

x 12

50

25

300

15

315

+

+

γ. 155124

62 341

24

9

∆οκιµή : 341

x 15

1705

341

5115

9

5124

+

66. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η τέλεια διαίρεση - ∆ιαιρέτες φυσικού αριθµού - Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ανάλυση αριθµού σε

γινόµενο πρώτων παραγόντων - Η ευκλείδια διαίρεση - ∆ιαίρεση δεκαδικών - Πηλίκο µε προσέγγιση

Αν ∆ είναι φυσικός αριθµός

α. Να υπολογίσετε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων ∆ : 5 .

β. Να βρείτε τους φυσικούς ∆, που, διαιρούµενοι µε το 5, δίνουν πηλίκο 7.

Λύση

α. Επειδή στην ευκλείδεια διαίρεση το υπόλοιπο είναι µικρότερο από το διαιρέτη έχουµε

ότι τα υπόλοιπα των διαιρέσεων ∆ : 5 είναι: 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4

β. Από την ευκλείδεια διαίρεση έχουµε: ∆ 5·7 υ= + µε υ 5< οπότε για

υ 0 ∆ 5·7 35

υ 1 ∆ 5·7 1 36

υ 2 ∆ 5·7 2 37

υ 3 ∆ 5·7 3 38

υ 4 ∆ 5·7 4 39

= = == = + == = + == = + == = + =

Να γίνουν οι διαιρέσεις.

α. 8, 25 : 2 β. 0,805 : 35 γ. 51,84 : 9,6 δ. 0,6 : 0,12

Λύση

α. 38,25

22 2,75

15

0

β. 350,805

105 0,023

0

γ. δ.

Να κάνετε τις πράξεις: α. i. ( )64 + 32 : 4 ii. ( ) ( )64 : 4 + 32 : 4 . Τι παρατηρείται;

β. Nα γίνουν οι πράξεις µε δύο τρόπους. i. ( )73,8 + 44,4 : 6 ii. ( )7,56 + 9,72 :1,2

Λύση

α. i. ( )64 32 : 4 96 : 4 24+ = = ii. ( ) ( )64 : 4 32 : 4 16 8 24+ = + =

Παρατηρούµε ότι ( ) ( ) ( )64 32 : 4 64 : 4 32 : 4 24+ = + =

β. i. ( )73,8 44,4 : 6 118,2 : 6 19,7+ = =

( )73,8 44,4 : 6 73,8 : 6 44,4 : 6 12,3 7,4 19,7+ = + = + =

ii. ( )7,56 9,72 :1,2 17,28 :1,2 14,4+ = =

67.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η τέλεια διαίρεση - ∆ιαιρέτες φυσικού αριθµού - Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ανάλυση αριθµού σε

γινόµενο πρώτων παραγόντων - Η ευκλείδια διαίρεση - ∆ιαίρεση δεκαδικών - Πηλίκο µε προσέγγιση

( )7,56 9,72 :1,2 7,56 :1,2 9,72 :1,2 6,3 8,1 14,4+ = + = + =

O Αντώνης αγόρασε 8 παγωτά και έδωσε 10,56€. Πόσο κοστίζει κάθε παγωτό;

Λύση

Επειδή τα 8 παγωτά κοστίζουν 10,56€ το παγωτό κοστίζει 10,56 : 8 1,32= .

Από δύο σούπερ µάρκετ αγοράσαµε φέτα της ίδιας ποιότητας. Στο πρώτο αγοράσα-

µε 2,5 κιλά και πληρώσαµε 12€, ενώ στο δεύτερο αγοράσαµε 1250 γραµµάρια και

πληρώσαµε 5,75€. Να βρείτε ποιο σούπερ µάρκετ έχει φθηνότερη φέτα.

Λύση

Στο 1ο σούπερ µάρκετ το 1 κιλο φέτα κοστίζει 12 : 2,5 4,8=Στο 2ο σούπερ µάρκετ το 1 κιλό φέτα κοστίζει 5,75 :1, 250 4,6=Άρα το 2ο σούπερ µάρκετ έχει καλύτερη τιµή.

Να υπολογίσετε τα πηλίκα των διαιρέσεων.

α. 564 : 23 β. 62,8 :13 γ. 185,6 : 33,6i. µε προσέγγιση δεκάτου.

ii. µε προσέγγιση εκατοστού.

iii. µε προσέγγιση χιλιοστού.

Λύση

α. 23564

104 24,5217...120

50

40

170

9

β. 1362,8

108 4,8307...40

100

9

i. 564 : 23 24,5= µε προσέγγιση δεκάτου.

ii. 564 : 23 24,52= µε προσέγγιση εκατοστού.

iii. 564 : 23 24,521= µε προσέγγιση χιλιοστού.

i. 62,8 :13 4,8= µε προσέγγιση δεκάτου

ii. 62,8 :13 4,83= µε προσέγγιση εκατοστού

iii. 62,8 :13 4,830= µε προσέγγιση χιλιοστού.

68. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η τέλεια διαίρεση - ∆ιαιρέτες φυσικού αριθµού - Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ανάλυση αριθµού σε

γινόµενο πρώτων παραγόντων - Η ευκλείδια διαίρεση - ∆ιαίρεση δεκαδικών - Πηλίκο µε προσέγγιση

1. Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις µε τις δοκιµές τους.

α. 80 : 5 β. 215 : 5 γ. 405 : 45δ. 7125 :15 ε. 16235 : 34 στ. 88576 : 346

2. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 5·x 70= β. 15·x 120= γ. 64 : x 4=δ. x : 6 13= ε. 56·x 168= στ. 1088 : x 64=

3. Να γραφτούν οι διαιρέσεις που προκύπτουν από τις παρακάτω ισότητες:

α. 5·13 65= β. 7·16 112= γ. 12·6 72=δ. 12·4 48= ε. 27·31 837= στ. 36·45 1620=

4. Να γίνουν όπου είναι δυνατό οι διαιρέσεις.

α. 2004 : 2004 β. 0 :1324 γ. 5398 :1 δ.1932 : 0

5. Να υπολογίσετε:

α. Πόσα κουτιά γάλα θα αγοράσουµε µε 1040 λεπτά, αν το ένα κουτί κοστίζει 130 λεπτά.

β. Την πλευρά ρόµβου που έχει περίµετρο 72 µέτρα

γ. Πόσο κοστίζει το κιλό τα κεράσια, αν για 2 κιλά πληρώσαµε 6€.

δ. Το ύψος ορθογωνίου που έχει περίµετρο 60 και βάση 17 µέτρα.

γ.

i. 185,6 : 33,6 5,5= µε προσέγγιση δεκάτου.

ii. 185,6 : 33,6 5,52= µε προσέγγιση εκατοστού.

iii. 185,6 : 33,6 5,523= µε προσέγγιση χιλιοστού.

69.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η τέλεια διαίρεση - ∆ιαιρέτες φυσικού αριθµού - Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ανάλυση αριθµού σε

γινόµενο πρώτων παραγόντων - Η ευκλείδια διαίρεση - ∆ιαίρεση δεκαδικών - Πηλίκο µε προσέγγιση

6. Ένας µανάβης αγόρασε πατάτες και πλήρωσε 18000 λεπτά. Όταν τις πούλησε πήρε

24000 λεπτά κερδιζοντας έτσι 20 λεπτά το κιλό. Πόσα κιλά πατάτες αγόρασε;

7. Αγοράσαµε πίτσες και δώσαµε συνολικά 42€. Αν παίρναµε 4 πίτσες παραπάνω θα

δίναµε 70€. Πόσο κοστίζει η κάθε πίτσα;

8. Πληρώσαµε για 3 αναψυκτικά και 5 κρουασάν 765 λεπτά, ενώ για 6 αναψυκτικά και 14

κρουασάν πληρώσαµε 2010 λεπτά. Να βρείτε πόσο κοστίζει το κάθε αναψυκτικό και

το κάθε κρουασάν.

9. Να γράψετε τους κοινούς διαιρέτες των αριθµών 16, 20, 60 και να βρείτε το Μ.Κ.∆.

των αριθµών αυτών.

10. ∆ύο αριθµοί έχουν µέγιστο κοινό διαιρέτη το 20. Να δικαιολογήσετε ότι έχουν και

άλλους κοινούς διαιρέτες.

11. ∆ίνονται οι αριθµοί: 3, 5, 9, 11, 12, 15. Να βρείτε:

α. Ποιο από αυτούς είναι πρώτοι.

β. Ποιο από αυτούς είναι σύνθετοι.

12. Ένα κατάστηµα παιχνιδιών αποφάσισε να κάνει δώρο στους µαθητές ενός σχολεί-

ου 33 επιτραπέζια παιχνίδια, 48 πάζλ, και 63 µπάλες. Πόσα το πολύ δέµατα µπορεί

να κάνει µε τον ίδιο αριθµό από επιτραπέζια παιχνίδια πάζλ και µπάλες. Πόσα

επιτραπέζια παιχνίδια, πάζλ και µπάλες περιέχει το κάθε δέµα;

13. Να γράψετε από τους αριθµούς 4816, 805, 3600, 28575, 933 αυτούς που διαιρούνται.

α. µε το 2 β. µε το 5 γ. µε το 3 δ. µε το 9

14. Να συµπληρωθούν τα ψηφία στους παρακάτω αριθµούς

α. i 6 _ 53 ii. 9 _1 ώστε να διαιρούνται µε το 3

β. 8_3_ ώστε να διαιρείτε ταυτόχρονα µε το 5 και το 9.

15. Να δικαιολογήσετε ότι οι αριθµοί:

α. 9α β. 18α 21+ γ. 15α 3−όπου α φυσικός αριθµός, διαιρούνται µε το 3.

16. Να αναλύσετε σε γινόµενο πρώτων παραγόντων τους αριθµούς

70. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η τέλεια διαίρεση - ∆ιαιρέτες φυσικού αριθµού - Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ανάλυση αριθµού σε

γινόµενο πρώτων παραγόντων - Η ευκλείδια διαίρεση - ∆ιαίρεση δεκαδικών - Πηλίκο µε προσέγγιση

α. 126 β. 300 γ. 256 δ. 620

17. Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.∆. των αριθµών 36 και 124.

18. Να γίνουν οι παρακάτω ευκλείδειες διαιρέσεις µε τις δοκιµές τους.

α. 314 : 5 β. 278 : 23 γ. 12449 : 23 δ. 43396 : 452

19. Αν ∆ είναι φυσικός αριθµός

α. Να υπολογίσετε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων ∆ : 8

β. Να βρείτε τους φυσικούς ∆, που, διαιρούµενοι µε το 8, δίνουν πηλίκο 5.

20. Να γίνουν οι διαιρέσεις:

α. 30,03 : 7 β. 0,406 : 29 γ. 18,72 : 5, 2 δ. 3,864 : 0,56

21. Να υπολογίσετε τα πηλίκα:

α. 925 :100 β. 31, 4 :1000 γ. 0,04 :10 δ. 658,124 :10000

22. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 47,16 : x 5, 24= β. 3, 2·x 30,72= γ. 1, 2·x 73,8= δ. 69,16 : x 7,6=

23. Πόσα περιοδικά µπορούµε να αγοράσουµε µε 6,88€ αν το κάθε ένα κοστίζει 1,72€;

24. Τα 5 κιλά µήλα κοστίζουν 6,7€. Πόσο κοστίζουν το 12 κιλά µήλα;

25. Ένα βιβλιοπωλείο αγόρασε 34 βιβλία και πλήρωσε 266,56€. Πόσο πρέπει να πουλήσει

το κάθε βιβλίο για να κερδίσει 36,72€.

26. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις:

α. 22, 4 :10 32,7 :100 1682 :1000+ + β. ( )625 :1000 ·10

71.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Η τέλεια διαίρεση - ∆ιαιρέτες φυσικού αριθµού - Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ανάλυση αριθµού σε

γινόµενο πρώτων παραγόντων - Η ευκλείδια διαίρεση - ∆ιαίρεση δεκαδικών - Πηλίκο µε προσέγγιση

Ερώτηση 1

Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται κοινοί διαιρέτες δύο ή περισσότερων φυσικών αριθµών;

Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι;

Ερώτηση 2

Τι ονοµάζεται ευκλείδια διαίρεση;

Ερώτηση 3

Ποια είναι τα κριτήρια διαιρετότητας ενός αριθµού µε το 2, το 3, το 5 και το 9;

Άσκηση 1

Να βρείτε το Μ.Κ.∆. των αριθµών 18, 48 και 64.

Άσκηση 2

Να συµπληρώσετε τα ψηφία στους παρακάτω αριθµούς.

α. i. 12....9 ii. 8....73 ώστε να διαιρούνται µε το 9

β. 3....4.... ώστε να διαιρείται ταυτόχρονα µε το 2 και το 3.

Άσκηση 3

Να βρείτε τους αριθµούς οι οποίοι όταν διαιρεθούν µε το 6 δίνουν πηλίκο τετραπλά-

σιο του υπολοίπου.

Άσκηση 4

Να υπολογίσετε τα πηλίκα των διαιρέσεων

α. 698 : 34 β. 94,68 : 21 γ. 895, 23 : 52,7i. µε προσέγγιση δεκάτου.

ii. µε προσέγγιση εκατοστού.

iii. µε προσέγγιση χιλιοστού.

ÂéâëéïìÜèçìá

6

· Ðñïôåñáéüôçôá ôùí ðñÜîåùí

· ÔõðïðïéçìÝíç ìïñöÞ

ìåãÜëùí áñéèìþí

· Ðñïôåñáéüôçôá ôùí ðñÜîåùí

· ÔõðïðïéçìÝíç ìïñöÞ

ìåãÜëùí áñéèìþí

Τι ονοµάζεται αριθµητική παράσταση; Τι ονοµάζε-ται τιµή της αριθµητικής παράστασης;

Μια σειρά αριθµών, οι οποίοι συνδέονται µε τα

σύµβολα των πράξεων λέγεται αριθµητική παράσταση.

Το αποτέλεσµα που βρίσκουµε, όταν εκτελέσουµε τις

πράξεις που είναι σηµειωµένες στην αριθµητική παράσταση,

λέγεται τιµή της αριθµητικής παράστασης.

Με ποια σειρά γίνονται οι πράξεις σε µια αριθµητικήπαράσταση; Υπολογίστε την τιµή της παράστασης:

( ) ( ) ( )22 2 24 + 30 : 2 - 3·2 + 6 : 9 ·2 - 15 + 3 : 3

Σε αριθµητικές παραστάσεις που δεν έχουν παρενθέσεις:

1. Πρώτα υπολογίζουµε τις δυνάµεις.

2. Στη συνέχεια εκτελούµε τους πολλαπλασιασµούς και τις

διαιρέσεις µε τη σειρά που σηµειώνονται.

3. Τέλος εκτελούµε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.

Σε αριθµητικές παραστάσεις που έχουν παρενθέσεις:

Εκτελούµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις και

στην συνέχεια τις πράξεις στην αριθµητική παράσταση που

προκύπτει.

( ) ( ) ( )22 2 24 30 : 2 -3·2 6 : 9 ·2 - 15 3 : 3+ + +

(Υπολογίζουµε τις δυνάµεις µέσα στις παρενθέσεις)

( ) ( ) ( )224 30 : 2 3·4 36 : 9 ·2 15 3 : 3= + − + − + =(Κάνουµε τους πολλαπλασιασµούς και τις διαιρέσεις στις

παρενθέσεις)

Αριθµητική παράσταση

Προτεραιότητα πράξεων

74. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Προτεραιότητα των πράξεων - Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων αριθµών.

( ) ( )224 15 12 4·2 15 3 : 3= + − + − + =(Κάνουµε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις στις παρενθέσεις)

2 24 3 4·2 18 : 3= + + − =(Υπολογίζουµε τις δυνάµεις)

16 9 4·2 18 : 3= + + − =(Κάνουµε πολλαπλασιασµούς, διαιρέσεις)

16 9 8 6= + + − =(Κάνουµε προσθέσεις, αφαιρέσεις µε τη σειρά που σηµειώνονται)

25 8 6 33 6 27+ − = − =

Πώς µπορεί να γραφεί ένας µεγάλος αριθµός στηντυποποιηµένη µορφή του; Να γραφούν σε τυποποιηµένη

µορφή οι παρακάτω αριθµοί 3000000, 27000, 80900000,

740300000.

Ένας µεγάλος αριθµός στην τυποποιηµένη µορφή

γράφεται σαν γινόµενο ενός αριθµού α (φυσικού ή δεκαδι-

κού) που είναι µεγαλύτερος ή ίσος του 1 και µικρότερος του

10, επί µια δύναµη του 10. Έχουµε:

6

4

7

8

3000000 3·10

27000 2,7·10

80900000 8,09·10

740300000 7,403·10

==

==

1.Αριθµητική παράσταση ονοµάζεται µια σειρά αριθµών που

συνδέονται µε τα σύµβολα των πράξεων.

2.Τιµή της αριθµητικής παράστασης λέγεται το αποτέλεσµα που

βρίσκουµε κάνοντας τις πράξεις σε µια αριθµητική παράσταση.

3. Σε µια αριµητική παράσταση που έχει παρενθέσεις κάνουµε τις

πράξεις µέσα στις παρενθέσεις µε την εξής σειρά:

α. ∆υνάµεις

β. Πολλαπλασιασµούς, διαιρέσεις

γ. Προσθέσεις, αφαιρέσεις.

Αφού τελειώσουµε µε τις παρενθέσεις κάνουµε τις πράξεις στην αριθµητική παράσταση

που προκύπτει µε την σειρά που αναφέρθηκε παραπάνω.

4. Οι µεγάλοι αριθµοί γράφονται στην τυποποιηµένη µορφή τους ως εξής: ν

α·10 όπου

α είναι ένας αριθµός µεγαλύτερος ή ίσος του 1 και µικρότερος του 10.

Τυποποιηµένη µορφή

75.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Προτεραιότητα των πράξεων - Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων αριθµών.

Να υπολογιστούν οι τιµές των αριθµητικών παραστάσεων:

α. 18·4 - 3·15 + 9·13 β. 78 : 3 + 34·2 - 36 : 3 γ. 12, 3·5 -1,52 : 4 + 3·1,19Λύση

α. 18·4 3·15 9·13− + =(Εκτελούµε τους πολλαπλασιασµούς)

72 45 117= − + =(Εκτελούµε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις)

27 117 144= + =β. 78 : 3 34·2 36 : 3+ − =

(Εκτελούµε τους πολλαπλασιασµούς)

26 68 12= + − =(Εκτελούµε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις)

94 12 82= − =γ. 12,3·5 1,52 : 4 3·1,19 61,5 0,38 3,57 61,12 3,57 64,69− + = − + = + =

Να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων:

i. 2 2

Α = 16 : 2+ 3 ·4 - 6 : 9 ii. ( )2 2Β = 39,36 : 3, 2 + 5,4 - 3, 2 : 4

Λύση

i. 2 2

Α 16 : 2 3 ·4 6 : 9= + − =(Υπολογίζουµε τις δυνάµεις)

16 : 2 9·4 36 : 9= + − =(Εκτελούµε πολλαπλασιασµούς, διαιρέσεις)

8 36 4= + − =(Εκτελούµε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις)

44 4 40= − =

ii. ( )2 2Β 39,36 : 3, 2 5, 4 3, 2 : 4= + − =

(Εκτελούµε τις δυνάµεις µέσα στην παρένθεση)

( )39,36 : 3,2 29,16 10,24 : 4= + − =(Υπολογίζουµε την παρένθεση)

76. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Προτεραιότητα των πράξεων - Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων αριθµών.

39,36 : 3, 2 18,92 : 4= + =(Εκτελούµε τις διαιρέσεις)

12,3 4,73 17,03= + =

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

α. ( )228α + 8α όταν α = 2,1 β. ( )2 26β - 6β όταν β = 0,3

Λύση

α. ( ) ( )2 22 2 2 28α 8α 8·2,1 8·2,1 8·2,1 16,8 8·4,41 282,24

35,28 282,24 317,52

+ = + = + = + == + =

β. ( ) ( )2 22 2 2 26β 6β 6·0,3 6·0,3 1,8 6·0,3 3,24 6·0,09 3,24 0,54 2,7− = − = − = − = − =

Αν α = 17, β = 9, γ = 2 και δ = 3 να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων:

α. ( ) ( )2 2β : δ - β·γ - α ·δ β. ( ) ( ) ( )2 2

α - γ : δ - γ·δ : β + α - β : γ

Λύση

α. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2β : δ β·γ α ·δ 9 : 3 9·2 17 ·3 3 18 17 ·3 9 1 ·3

9 1·3 9 3 6

− − = − − = − − = − == − = − =

β. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

α γ : δ γ·δ : β α β : γ 17 2 : 3 2·3 : 9 17 9 : 2

15 : 3 6 : 9 8 : 2 15 : 3 36 : 9 64 : 2 5 4 32 1 32 33

− − + − = − − + − =

= − + = − + = − + = + =

Αν ( ) ( ) ( )3 22 2α = 15 : 5 + 3 - 7 , β = 7 - 5 + 3·5 - 3 , γ = 12 : 3 - 5·2 και ( )2

δ = 5 - 2·10+ 3

να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης:

( ) ( ) ( )2 2Α = β + γ : δ + β : δ ·γ – α – β ·δ

Λύση

Υπολογίζουµε τις τιµές των α, β, γ, δ

( ) ( )2α 15 : 5 3 7 3 9 7 3 2 5= + − = + + − = + =

( )3 2 3 2β 7 5 3·5 3 2 3·5 3 8 15 9 23 9 14= − + − = + − = + − = − =

( )2 2γ 12 : 3 5·2 4 10 16 10 6= − = − = − = και

( ) ( )2δ 5 2·10 3 25 20 3 25 23 2= − + = − + = − =Αντικαθιστούµε τις τιµές των α, β, γ, δ στην παράσταση:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2Α β γ : δ β : δ ·γ α β ·δ 14 6 : 2 14 : 2 ·6 5 14 ·2= + + − − = + + − − =

( )2 220 : 2 7·6 25 14 ·2 20 : 2 7·6 11·2 20 : 4 7·6 11·2+ − − = + − = + − =

5 42 22 47 22 25+ − = − =

77.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Προτεραιότητα των πράξεων - Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων αριθµών.

Αν x + 3,7 = 4,2, y - 2,1 = 0,3, 0,4·ω = 0,12 και 4,8 : t = 3, 2 να υπολογι-

στούν οι τιµές των παραστάσεων.

( ) ( )2 2 2Α = x + y : 0,5 + t + x : 4 -ω ( ) ( )2

Β = y :ω - x·8 - t : x ·2

Λύση

Λύνουµε τις εξισώσεις για να υπολογίσουµε τα x, y, ω, t. Έχουµε:

x 3,7 4,2

x 4,2 3,7

x 0,5

+ == −=

y 2,1 0,3

y 0,3 2,1

y 2,4

− == +=

0,4·ω 0,12

ω 0,12 : 0,4

ω 0,3

===

4,8 : t 3, 2

3,2·t 4,8

t 4,8 : 3, 2

t 1,5

==

==

Υπολογίζουµε τις παραστάσεις:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2

x y : 0,5 t x : 4 -ω

0,5 2,4 : 0,5 1,5 0,5 : 4 0,3

0,25 2,4 : 0,5 2,25 0,5 : 4 0,3

2,65 : 0,5 2,75 : 4 0,09

5,3 0,6875 0,09

5,9875 0,09 5,8975

= + + +

+ + + − =

+ + + − =+ − =

+ − =− =

Α ( ) ( )( ) ( )( )

2

2

2

2

y :ω x·8 t : x ·2

2,4 : 0,3 0,5·8 1,5 : 0,5 2

8 4 3·2

4 6

16 6 10

= − − =

= − − =

= − − =

= − =− =

B

Αν α -β = 3,2 και γ +δ = 1,4 να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης.

( ) ( )2 2Α = 2·3α + 5 ·δ - 4 -10 β + 15 : 3 γ - 4·5δ

Λύση

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2Α 2·3α 5 ·δ - 4 -10 β 15 : 3 γ - 4·5δ 2·3α 5 ·δ 16 10 β 5γ 4·5·δ

6α 25δ 6β 5γ 20δ 6α 6β 25δ 20δ 5γ 6 α β δ 25 20 5γ

6 α β 5δ 5γ 6 α β 5 δ γ 6·3,2 5·1, 4 19,2 7 26,2

= + + = + − − + − =

= + − + − = − + − + = − + − + =

= − + + = − + + = + = + =

Να γράψετε τους παρακάτω αριθµούς στην τυποποιηµένη µορφή:

α. 45000000 β. 9830000 γ. 27600000000 δ. 35900000

ε. 827300000 στ. 524000 ζ. 3000000 η. 13200000

Λύση

α. 745000000 4,5·10= β. 69830000 9,83·10= γ. 1027600000000 2,76·10=

δ. 735900000 3,59·10= ε. 8827300000 8,273·10= στ. 5524000 5,24·10=

ζ. 63000000 3·10= η. 713200000 1,32·10=

78. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Προτεραιότητα των πράξεων - Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων αριθµών.

1. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

Α 12·7 9·8 3·15= + − Β 35 : 5 12·5 90 :15= + − Γ 18·9 17·3 224 : 56= − +

2. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

α. ( ) ( )14,32 5,7 : 0,75 0,05− + β. ( ) ( )73,2 : 3 ·4 19,08 :1,8 ·3−

γ. ( ) ( )9,3·5 27,4 0,56 :8 1,03− + +

δ. ( ) ( ) ( )9·27 1,2 :8 12,88 : 5,6 3· 7,22 5,04− − + −

3. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

( )2 2 5 2Α 18 : 3 4·3 3· 4 2 2 :16 27 : 3= + + + + −

Να γράψετε στη δεκαδική µορφή τους αριθµούς:

α. 62,03·10 β. 78,64·10 γ. 94,721·10 δ.

85,1·10

Λύση

α. 62,03·10 2030000= β. 78,64·10 86400000=

γ. 94,721·10 4721000000= δ. 85,1·10 510000000=

Να γράψετε στην τυποποιηµένη µορφή τους αριθµούς.

α. 6 63,4·10 + 5,2·10 β. 4 56·10 +1,4·10 γ. 5300·10 δ. 6520·10

Λύση

α. ( )6 6 6 63,4·10 5,2·10 10 · 3,4 5,2 8,6·10+ = + =

β. 4 5 56·10 1,4·10 60000 140000 200000 2·10+ = + = =

γ. 5 7300·10 300·100000 30000000 3·10= = =δ. 6 8520·10 520·1000000 520000000 5,2·10= = =

79.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Προτεραιότητα των πράξεων - Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων αριθµών.

( ) ( ) ( )2 20Β 2·9 4·3 6 4 2 ·3 – 7 2·3= − + + − −

( ) ( ) ( )20042 3 2 2Γ 3 2 4·3 6 ·3 6·3 4 5 6·4 11= − + + − − − +

4. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

α. ( )20,8 6, 2 4,3 5, 2·3 5,62 : 2+ − + − β. ( ) 24,3 6,92 4,3 7,1 2,1+ − + −

γ. ( ) ( )2 3 23 2,8 5 1,2 5− + − δ. 2 3 25 4,2 6,1·4 8·2 5,2·2 6,1− + + − +

5. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

α. ( )229x 9x+ όταν x 0,7=

β. ( )2 215t 15·t− όταν t 1,5=

γ. 22y 5y 4+ + όταν y 0,02=

6. Αν α 5, β 2, γ 4= = = και δ 9= να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων:

( ) ( ) ( )2 2Α α β ·γ δ·γ :β γ δ= − + − − ( ) ( ) ( )2 32 2Β δ γ : α β·γ δ α= − + − −

7. Αν x 2,1, y 4, ω 3,2= = = και t 1,6= να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων.

( ) ( ) ( )2 5A y x ω : t t·y : ω= − + − ( )2 2 2 3B x ω ·y t ·y y= + − +

8. Αν x 26 31, 17·y 51, 15 ω 11+ = = − = και t : 2 3= να υπολογιστούν οι τιµές των

παραστάσεων.

( ) ( )6 2 2A t : y 2·x 8·x :ω t : y= + − − ( ) ( ) ( )2 23B 2·ω y 3t : 2 x 2= − − + +

( )2 2Γ 7ω t : 9 15·y ω x ·ω= + − + +

9. Αν α 12,5 13,9, 22,4 β 19,3, 14,8·γ 37+ = − = = και 1,2 : δ 6= να υπολογιστούν οι

παραστάσεις:

( ) ( )22Α 3·α 5γ 4β 8·δ : 2 ·4= − − + ( )2Β α·γ 8·β 4,8 : δ 7α= + − +

( ) ( )5 3Γ α β γ 5·α 4 9·δ= + − − − +

10. Να γράψετε του παρακάτω αριθµούς στην τυποποιηµένη µορφή:

80. Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Προτεραιότητα των πράξεων - Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων αριθµών.

α. 821000000 β. 5320000 γ. 7140000000

δ. 14100000 ε. 6020000 στ. 28000000

11. Να γράψετε στη δεκαδική µορφή τους παρακάτω αριθµούς:

α. 63, 2·10 β. 81,04·10 γ. 85,32·10

δ. 112,538·10 ε. 58,72·10 στ. 46·10

12. Να γραφούν από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο οι αριθµοί:

6 3 6 9 77, 4·10 , 2·10 , 2, 4·10 , 3·10 , 6, 2·10

81.Φυσικοί και δεκαδικοί αριθµοί

Προτεραιότητα των πράξεων - Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων αριθµών.

Ερώτηση 1

Τι ονοµάζεται αριθµητική παράσταση και τι τιµή της αριθµητικής παράστασης;

Ερώτηση 2

Με ποιά σειρά γίνονται οι πράξεις σε µια αριθµητική παράσταση; Οι υπολογισµοί

στην παρακάτω παράσταση είναι σωστοί;

2 2Α 7 5·3 12·3 12·9 108= + = = =

Άσκηση 1

Να βρεθεί η τιµή της παράστασης:

( ) ( )2 22 3Α 6 29 108 :12 4 ·2= − + − ( ) ( )4 3 2 2 2Β 3 4 ·4 5 ·2 90 : 3= − + −

Άσκηση 2

Να γράψετε σε τυποποιηµένη µορφή τους αριθµούς:

α. 31200000 β. 1110000000 γ. 456000 δ. 87130000

ÊåöÜëáéï 2ïïïïï

âéâëéïììÜèçìá 7:âéâëéïììÜèçìá 7:âéâëéïììÜèçìá 7:âéâëéïììÜèçìá 7:âéâëéïììÜèçìá 7: - - - - -ÐáñÜóôáóç áñéèìþí ìå óçìåßá åõèåßáòÐáñÜóôáóç áñéèìþí ìå óçìåßá åõèåßáòÐáñÜóôáóç áñéèìþí ìå óçìåßá åõèåßáòÐáñÜóôáóç áñéèìþí ìå óçìåßá åõèåßáòÐáñÜóôáóç áñéèìþí ìå óçìåßá åõèåßáò-ÐáñÜóôáóç óçìåßùí óôï åðßðåäï-ÐáñÜóôáóç óçìåßùí óôï åðßðåäï-ÐáñÜóôáóç óçìåßùí óôï åðßðåäï-ÐáñÜóôáóç óçìåßùí óôï åðßðåäï-ÐáñÜóôáóç óçìåßùí óôï åðßðåäï-ÌÝôñçóç ìåãåèþí-ÌÝôñçóç ìåãåèþí-ÌÝôñçóç ìåãåèþí-ÌÝôñçóç ìåãåèþí-ÌÝôñçóç ìåãåèþí-ÌÝôñçóç ìÞêïõò ôìÞìáôïò-ÌÝôñçóç ìÞêïõò ôìÞìáôïò-ÌÝôñçóç ìÞêïõò ôìÞìáôïò-ÌÝôñçóç ìÞêïõò ôìÞìáôïò-ÌÝôñçóç ìÞêïõò ôìÞìáôïò-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò ìÞêïõò-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò ìÞêïõò-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò ìÞêïõò-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò ìÞêïõò-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò ìÞêïõò-¼ñãáíá ìÝôñçóçò ìÞêïõò-¼ñãáíá ìÝôñçóçò ìÞêïõò-¼ñãáíá ìÝôñçóçò ìÞêïõò-¼ñãáíá ìÝôñçóçò ìÞêïõò-¼ñãáíá ìÝôñçóçò ìÞêïõò-Ôï ìÝôñï óáí ìïíÜäá ìÞêïõò-Ôï ìÝôñï óáí ìïíÜäá ìÞêïõò-Ôï ìÝôñï óáí ìïíÜäá ìÞêïõò-Ôï ìÝôñï óáí ìïíÜäá ìÞêïõò-Ôï ìÝôñï óáí ìïíÜäá ìÞêïõò

âéâëéïììÜèçìá 8: âéâëéïììÜèçìá 8: âéâëéïììÜèçìá 8: âéâëéïììÜèçìá 8: âéâëéïììÜèçìá 8: -Åìâáäü åðßðåäùí åðéöáíåéþí-Åìâáäü åðßðåäùí åðéöáíåéþí-Åìâáäü åðßðåäùí åðéöáíåéþí-Åìâáäü åðßðåäùí åðéöáíåéþí-Åìâáäü åðßðåäùí åðéöáíåéþí-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò åìâáäïý-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò åìâáäïý-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò åìâáäïý-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò åìâáäïý-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò åìâáäïý-Ó÷Ýóåéò ôåôñáãùíéêïý ìÝôñïõ ìå-Ó÷Ýóåéò ôåôñáãùíéêïý ìÝôñïõ ìå-Ó÷Ýóåéò ôåôñáãùíéêïý ìÝôñïõ ìå-Ó÷Ýóåéò ôåôñáãùíéêïý ìÝôñïõ ìå-Ó÷Ýóåéò ôåôñáãùíéêïý ìÝôñïõ ìå õðïäéáéñÝóåéò êáé ðïëëáðëÜóéÜ ôïõõðïäéáéñÝóåéò êáé ðïëëáðëÜóéÜ ôïõõðïäéáéñÝóåéò êáé ðïëëáðëÜóéÜ ôïõõðïäéáéñÝóåéò êáé ðïëëáðëÜóéÜ ôïõõðïäéáéñÝóåéò êáé ðïëëáðëÜóéÜ ôïõ-Åìâáäü ïñèïãùíßïõ êáé ôåôñáãþíïõ-Åìâáäü ïñèïãùíßïõ êáé ôåôñáãþíïõ-Åìâáäü ïñèïãùíßïõ êáé ôåôñáãþíïõ-Åìâáäü ïñèïãùíßïõ êáé ôåôñáãþíïõ-Åìâáäü ïñèïãùíßïõ êáé ôåôñáãþíïõ

âéâëéïììÜèçìá 9: âéâëéïììÜèçìá 9: âéâëéïììÜèçìá 9: âéâëéïììÜèçìá 9: âéâëéïììÜèçìá 9: -¼ãêïò óôåñåþí-¼ãêïò óôåñåþí-¼ãêïò óôåñåþí-¼ãêïò óôåñåþí-¼ãêïò óôåñåþí-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò üãêïõ-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò üãêïõ-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò üãêïõ-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò üãêïõ-Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò üãêïõ-¼ãêïò ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëåðéðÝäïõ-¼ãêïò ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëåðéðÝäïõ-¼ãêïò ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëåðéðÝäïõ-¼ãêïò ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëåðéðÝäïõ-¼ãêïò ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëåðéðÝäïõ

âéâëéïììÜèçìá 10:âéâëéïììÜèçìá 10:âéâëéïììÜèçìá 10:âéâëéïììÜèçìá 10:âéâëéïììÜèçìá 10: -ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò ôïõ ÷ñüíïõ-ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò ôïõ ÷ñüíïõ-ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò ôïõ ÷ñüíïõ-ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò ôïõ ÷ñüíïõ-ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò ôïõ ÷ñüíïõ-ÌïíÜäåò ìÜæáò-ÌïíÜäåò ìÜæáò-ÌïíÜäåò ìÜæáò-ÌïíÜäåò ìÜæáò-ÌïíÜäåò ìÜæáò-ÍïìéóìáôéêÝò ìïíÜäåò-ÍïìéóìáôéêÝò ìïíÜäåò-ÍïìéóìáôéêÝò ìïíÜäåò-ÍïìéóìáôéêÝò ìïíÜäåò-ÍïìéóìáôéêÝò ìïíÜäåò

ÌåôñÞóåéò ìåãåèþíÌåôñÞóåéò ìåãåèþí

ÂéâëéïìÜèçìá

·ÐáñÜóôáóç áñéèìþíìå óçìåßáåõèåßáò·ÐáñÜóôáóç óçìåßùíóôï åðßðåäï·ÌÝôñçóç ìåãåèþí ·ÌÝôñçóç ìÞêïõòôìÞìáôïò·ÏéêõñéüôåñåòìïíÜäåòìÞêïõò·¼ñãáíá ìÝôñçóçòìÞêïõò·Ôï ìÝôñï óáí ìïíÜäá ìÞêïõò

·ÐáñÜóôáóç áñéèìþíìå óçìåßáåõèåßáò·ÐáñÜóôáóç óçìåßùíóôï åðßðåäï·ÌÝôñçóç ìåãåèþí ·ÌÝôñçóç ìÞêïõòôìÞìáôïò·ÏéêõñéüôåñåòìïíÜäåòìÞêïõò·¼ñãáíá ìÝôñçóçòìÞêïõò·Ôï ìÝôñï óáí ìïíÜäá ìÞêïõò

7

Πώς παριστάνουµε αριθµούς µε σηµεία ευθείας.Ποια ευθεία ονοµάζεται βαθµολογηµένη ή άξονας; Τι εί-

ναι η κλίµακα οργάνου;

Σε µια ευθεία (ε) παίρνουµε ένα σηµείο Ο που λέγεται

αρχή και παριστάνει τον αριθµό µηδέν. ∆εξιά απ’το Ο

διαλέγουµε ένα άλλο σηµείο Α τέτοιο ώστε ( )ΟΑ 1= .

Έπειτα κατασκευάζουµε τµήµατα ΑΒ, ΒΓ, Γ∆, ...κ.λ.π. έτσι

ώστε όλα να έχουν το ίδιο µήκος µε το ΟΑ. Οι αριθµοι 1, 2,

3, 4, ... παριστάνονται απ’τα σηµεία Β, Γ, ∆, ... αντίστοιχα. Η

παραπάνω ευθεία λέγεται βαθµολoγηµένη ή άξονας.

Η κλίµακα οργάνου είναι ένα βαθµολογηµένο τόξο ή ένα

τµήµα της βαθµολογηµένης ευθείας που το

χρησιµοποιούµε σε διάφορα όργανα µέτρησης.

Τί ονοµάζουµε διατεταγµένο ζεύγος αριθµών; Τίονοµάζεται σύστηµα ορθογώνιων αξόνων; Τι ονοµάζεται

τετµηµένη και τι τεταγµένη ενός σηµείου; Ποιές είναι οι

συντεταγµένες ενός σηµείου;

∆ιατεταγµένο ζεύγος αριθµών λεγεται ένα ζεύγος

αριθµών που τα µέλη του έχουν προκαθορισµένη σειρά.

π.χ. ( ) ( )3,5 , 2,8−

Σύστηµα ορθογωνίων αξόνων είναι δύο κάθετοι άξονες Ox,

Oy, όπου το σηµείο Ο λέγεται αρχή των αξόνων.

Κάθε διατεταγµένο ζεύγος ( )α,β ορίζει την θέση ενός και

µόνο σηµείου στο επίπεδο. Ο αριθµος α λέγεται τετµηµένη

Παράσταση αριθµών µε

σύστηµα σηµείων ευθείας.

Παράσταση σηµείων στο

επίπεδο.

86. Μετρήσεις µεγεθών

Παράσταση αριθµών µε σηµείο ευθείας - Παράσταση σηµείων στο επίπεδο - Μέτρηση µεγεθών - Μέτρηση

µήκους τµήµατος - Οι κυριότερες µονάδες µήκους - Όργανα µέτρησης µήκους - Το µέτρο σαν µονάδα µήκους.

του σηµείου και αριθµός β τεταγµένη του σηµείου. Το ζεύ-

γος ( )α,β αποτελεί τις συντεταγµένες του σηµείου. Η αρχή

των αξόνων Ο έχει συντεταγµένες ( )0,0 .

Πώς µετράµε το µήκος ευθύγραµµου τµήµατος;

Για να µετρήσουµε το µήκος ενός ευθύγραµµου

τµήµατος ΑΒ συγκρίνουµε το ΑΒ µε ένα άλλο ευθύ-

γραµµο τµήµα έστω α που το έχουµε επιλέξει ως µονά-

δα µέτρησης (συνήθως λέγεται µονάδα µήκους). Το α-

ποτέλεσµα της σύγκρισης ονοµάζεται µήκος του ευθύ-

γραµµου τµήµατος ΑΒ. Το µήκος του ευθύγραµµου τµή-

µατος προφανώς εξαρτάται απ’την µονάδα µετρήσεως

που θα χρησιµοποιήσουµε.

Ποια είναι η βασική µονάδα µέτρησης των µηκών;Ποια είναι τα πολλαπλάσια του µέτρου; Ποιες οι

υποδιαιρέσεις του µέτρου; Ποιες είναι οι άλλες µονάδες

µέτρησης του µήκους;

Η βασική µονάδα µέτρησης των µηκών είναι το µέ-

τρο που συµβολίζεται µε (m).

Τα πολλαπλάσια του µέτρου είναι:

• ∆εκάµετρο ( )dam :1dam 10m=

• Εκατόµετρο ( )hm :1hm 100m=

• Χιλιόµετρο ( )km :1km 1000m=Οι υποδιαιρέσεις του µέτρου είναι:

• ∆εκατόµετρο ή παλάµη ( )dm :1dm 0,1m=

• Εκατοστόµετρο ή πόντος ( )cm :1cm 0,01m=

• Χιλιοστόµετρο ή χιλιοστό ( )mm :1mm 0,001m=

Άλλες µονάδες µέτρησης µήκους είναι:

Η γιάρδα (yrd), το πόδι (ft), η ίντσα (in), το µίλι και το

ναυτικό µίλι. Οι σχέσεις των µονάδων αυτών µεταξύ τους

και µε το µέτρο είναι:

Μέτρηση µήκους

τµήµατος

Οι κυριότερες µονάδες

µήκους.

87.Μετρήσεις µεγεθών

Παράσταση αριθµών µε σηµείο ευθείας - Παράσταση σηµείων στο επίπεδο - Μέτρηση µεγεθών - Μέτρηση

µήκους τµήµατος - Οι κυριότερες µονάδες µήκους - Όργανα µέτρησης µήκους - Το µέτρο σαν µονάδα µήκους.

1yrd 3ft 36in= =

1ft 12in=1yrd 0,9144m=

1ft 0,3048m=

1in 0,0254m=

1µίλι 1609m=1 ναυτικό µίλι = 1852m.

Ποιά είναι τα όργανα µέτρησης του µήκους;

Συνήθως για µικρά µήκη χρησιµοποιούµε το υποδε-

κάµετρο. Για µεγάλα µήκη χρησιµοποιούµε το µέτρο, το

δίµετρο, τη µετροταινία. Για πολύ µικρά µήκη χρησιµοποι-

ούµε το παχύµετρο και το µικρόµετρο.

Γιατί βοηθά η δεκαδική παράσταση του µήκους;Ποιό είναι το διάγραµµα που µας βοηθά στις µετατροπές

του µέτρου σε υποδιαιρέσεις του και αντρίστροφα;

Η δεκαδική παράσταση του µήκους διευκολύνει

γιατί έχει το πλεονέκτηµα ότι µε απλή µετάθεση της

υποδιαστολής έχουµε το µήκος εκφρασµένο σε υποδιαι-

ρέσεις ή πολλαπλάσια του µέτρου. Το διπλανό διάγραµ-

µα βοηθά στις µετατροπές του µέτρου σε υποδιαιρέσεις

του και αντίστροφα.

Όργανα µέτρησης

µήκους

Το µέτρο ως

µονάδα µήκους

1. ∆ιατεταγµένο ζεύγος αριθµών λέγεται κάθε ζεύγος αριθµών που τα

µέλη του έχουν προκαθορισµένη σειρά.

2. Σύστηµα ορθογωνίων αξόνων είναι δύο κάθετοι άξονες Ox, Οy όπου

το σηµείο ( )O 0,0 λέγεται αρχή των αξόνων.

3. Βασική µονάδα µετρήσεως του µήκους είναι το ένα µέτρο (1m).

4. Για να µελετήσουµε µια µονάδα µήκους σε υποδιαιρέσεις ή πολλαπλάσια του µέτρου

χρησιµοποιούµε το διάγραµµα.

88. Μετρήσεις µεγεθών

Παράσταση αριθµών µε σηµείο ευθείας - Παράσταση σηµείων στο επίπεδο - Μέτρηση µεγεθών - Μέτρηση

µήκους τµήµατος - Οι κυριότερες µονάδες µήκους - Όργανα µέτρησης µήκους - Το µέτρο σαν µονάδα µήκους.

Να παρασταθούν µε σηµεία ενός άξονα οι αριθµοί:

α. 3 β. 5 γ. 2,5 δ. 3,8

Λύση

( )A 3,0 ( )B 5,0 ( )Γ 2,5,0 ( )∆ 3,8,0

Να γράψετε τα διατεταγµένα ζεύγη που σχηµατίζονται από τους αριθµούς 2, 3, 8.

Λύση

Τα διατεταγµένα είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,3 , 3,2 , 2,8 , 8,2 , 3,8 , 8,3

Σε τετραγωνισµένο χαρτί να προσδιορίσετε τη θέση των σηµείων: ( )Α 2,3 , ( )Β 1,0

( )Γ 3,5 , ( )∆ 2.5,1.5

Λύση

Να βρεθεί η ευθεία στην οποία βρίσκονται όλα τα σηµεία που έχουν τεταγµένη 3.

Λύση

Τα σηµεία που έχουν τεταγµένη 3 βρίσκονται σε ευθεία παράλληλη µε τον άξονα x΄x

89.Μετρήσεις µεγεθών

Παράσταση αριθµών µε σηµείο ευθείας - Παράσταση σηµείων στο επίπεδο - Μέτρηση µεγεθών - Μέτρηση

µήκους τµήµατος - Οι κυριότερες µονάδες µήκους - Όργανα µέτρησης µήκους - Το µέτρο σαν µονάδα µήκους.

που τέµνει τον άξονα y΄y στο σηµείο τεταγµένη 3.

Πάνω στον άξονα παίρνουµε τα σηµεία Α, Β που παριστάνουν τους αριθµούς 2,6

αντίστοιχα. Να βρεθούν οι αριθµοί που παριστάνουν τα σηµεία Κ, Λ όπου το Β είναι

µέσο του ΑΚ και Λ το µέσο του ΒΚ.

Λύση

Το Κ αντιστοιχεί στον αριθµό 12 και το Λ στον αριθµό 9.

Να τραπούν α. τα 6,5Km σε m και β. τα 12500m σε Km.

Λύση

α. ( )6,5Κm 6,5·1000 m 6500m= =

β. ( )12500m 12500 :1000 Km 12,5Km= =

Να τραπούν σε dm και σε cm τα παρακάτω µήκη:

α. 960mm β. 6,4m γ. 0,5Km δ. 0,9m

Λύση

α. 960mm 960 :100 9,6dm

960mm 960 :10 96cm

= == =

β. 6,4m 6,4·10 64dm

6,4m 6,4·100 640cm

= == =

γ. 0,5Km 0,5·1000 500m 500·10 5000dm

0,5Km 500m 500·100 50000cm

= = = == = =

δ. 0,9m 0,9·10 9dm

0,9m 0,9·100 90cm

= == =

Να τραπούν σε m τα µήκη:

α. 3dm και 5cm β. 2m, 8cm και 9mm γ. 12m 3dm 4mm

Λύση

α. 3 5

3dm και 5cm m και 0,35m10 100

= =

β. 8 9

2m 8cm 9mm 2m και και 2,089m100 1000

= =

90. Μετρήσεις µεγεθών

Παράσταση αριθµών µε σηµείο ευθείας - Παράσταση σηµείων στο επίπεδο - Μέτρηση µεγεθών - Μέτρηση

µήκους τµήµατος - Οι κυριότερες µονάδες µήκους - Όργανα µέτρησης µήκους - Το µέτρο σαν µονάδα µήκους.

γ. 3 4

12m 3dm 4mm 12m και m και 12,304m10 1000

= =

Ένα χωράφι είναι σχήµατος τετραπλεύρου µε πλευρές ΑΒ = 305m, ΒΓ = 100m,

Γ∆ = 500m, ∆Α = 180m.

Να βρεθεί η περίµετρος του σε m και σε Km.

Λύση

Η περίµετρος του χωραφιού Π ισούται:

Π ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α 305 100 500 180 1085m 1,085Km= + + + = + + + = =

Να βρεθεί η περίµετρος του διπλανού σχήµατος.

Λύση

Είναι 7,5dm 7,5·100 750mm= = και

10cm 10·10 100mm= =οπότε η περίµετρος είναι:

AB BΓ Γ∆ ∆Α 750 400 100 200 1450mm+ + + = + + + =

Να βρεθεί η περίµετρος ενός τριγώνου µε ΑΒ = 5,5cm, ΒΓ = 3in και ΑΓ = 0,5ft.

Λύση

Είναι η περίµετρος του τριγώνου:

Π ΑΒ ΒΓ ΑΓ 5,5cm 3·2,54cm 0,5·30, 48cm= + + = + +5,5 7,62 15, 24 28,36cm= + + =

Να γραφούν τα παρακάτω µήκη από το µεγαλύτερο στο µικρότερο.

α. 120dm β. 9m γ. 15000mm δ. 0,01Κm

Λύση

Είναι: 120

120dm 12m10

1500015000mm 15m

10000,01Km 0,01·1000 10cm

= =

= =

= =

άρα: 15000mm 120dm 0,01Km 9m> > >

Μια εταιρεία πωλεί ένα κοµµάτι ύφασµα 2,34€ το µέτρο και µια άλλη εταιρεία το

ίδιο κοµµάτι ύφασµα το πωλεί 2,93€ την yrd. Ποιά απ’τις δύο εταιρείες πωλεί

ακριβότερα το ύφασµα;

91.Μετρήσεις µεγεθών

Παράσταση αριθµών µε σηµείο ευθείας - Παράσταση σηµείων στο επίπεδο - Μέτρηση µεγεθών - Μέτρηση

µήκους τµήµατος - Οι κυριότερες µονάδες µήκους - Όργανα µέτρησης µήκους - Το µέτρο σαν µονάδα µήκους.

Λύση

Η δεύτερη εταιρεία πωλεί το µέτρο το ύφασµα: 2,93

3,200,9144

= περίπου. Άρα είναι και

η πιο ακριβή.

1. Το µήκος ενός ευθύγραµµου τµήµατος (α) είναι 50 µε µονάδα µέτρησης το (κ). Πόσο

είναι το µήκος του αν ως µονάδα µέτρησης πάρουµε το (5κ)

2. Να σχεδιαστεί ένας άξονας µε αρχή Ο και να ονοµαστούν Α, Β, Γ, ∆ τα σηµεία που

παριστάνουν τους αριθµούς 1, 3, 5, 12 αντίστοιχα. Στην συνέχεια να υπολογιστούν

τα µήκη ΟΒ, ΟΓ, Ο∆ µε µονάδα µέτρησης το µήκος ΟΑ.

3. Να βρεθεί η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκονται όλα τα σηµεία µε τετµηµένη 6

4. Να παρασταθούν πάνω σε άξονα οι δεκαδικοί 1,25 και 2,38.

5. Να τραπούν σε dm και κατόπιν σε cm τα παρακάτω µήκη:

α. 360mm β. 2,5m γ. 0,4Κm δ. 0,1m

6. Nα τραπούν:

α. τα 165cm σε m β. τα 2550mm σε cm γ. τα 350mm σε m

7. Nα τραπούν σε cm τα µήκη:

α. 2dm 5cm β. 2m 3cm 5mm γ. 38m 3dm 6mm

8. Ένα οικόπεδο είναι σχήµατος τραπεζίου µε πλευρές ΑΒ = 105,8m, ΒΓ = 30m, Γ∆ =

15,8m και ∆Α = 20m. Να βρεθεί η περίµετρος του σε m, Km, dm, cm, mm.

92. Μετρήσεις µεγεθών

Παράσταση αριθµών µε σηµείο ευθείας - Παράσταση σηµείων στο επίπεδο - Μέτρηση µεγεθών - Μέτρηση

µήκους τµήµατος - Οι κυριότερες µονάδες µήκους - Όργανα µέτρησης µήκους - Το µέτρο σαν µονάδα µήκους.

9. Oι πλευρές ενός τετραπλεύρου είναι AB 3,5m= , BΓ 45dm= , Γ∆ 260cm= ,

∆A 56dm= . Να βρεθεί η περίµετρος του σε m, dm, cm.

10. Nα συγκριθούν τα µήκη 2850mm και 2,85m.

11. Να γραφτούν τα παρακάτω µήκη απ’το µικρότερο στο µεγαλύτερο.

α. 1,2m β. 102dm γ. 10300mm δ. 1035cm ε. 0,015Km

12. Nα βρεθεί η περίµετρος στα παρακάτω σχήµατα:

13. Να γραφούν µε συµµιγείς αριθµούς τα παρακάτω µήκη:

α. 3,28m β. 0,09m γ. 0,014m δ. 15,308mm

14. Αγόρασε κάποιος 40yrd ύφασµα και πλήρωσε 200€. Να βρεθεί πόσα € αγό-

ρασε το µέτρο.

15. Ένας έµπορος αγόρασε τρία κοµµάτια από το ίδιο ύφασµα. Το πρώτο κοµµάτι είχε

µήκος 130yrd, το δεύτερο 100yrd και 6in και το τρίτο κοµµάτι 80yrd και 3ft. Να βρεθεί

πόσα Ευρώ θα εισπράξει αν πουλήσει και τα τρια κοµµάτια προς 8yrd το µέτρο.

Ä

450mm

14m

m

5dm

AA B

B

Ã

Ã

20cm

1,5dm

2,5dm

2,5dm

93.Μετρήσεις µεγεθών

Παράσταση αριθµών µε σηµείο ευθείας - Παράσταση σηµείων στο επίπεδο - Μέτρηση µεγεθών - Μέτρηση

µήκους τµήµατος - Οι κυριότερες µονάδες µήκους - Όργανα µέτρησης µήκους - Το µέτρο σαν µονάδα µήκους.

Ερώτηση 1

Τι είναι µέγεθος, µονάδα µέτρησης, µέτρηση και από τι εξαρτάται η τιµή µέτρησης

ενός µεγέθους.

Ερώτηση 2

Ποιά είναι τα πολλαπλάσια και ποιές οι υποδιαιρέσεις του µέτρου; Ποιές οι σχέσεις

του µε το µέτρο;

Ερώτηση 3

Πώς παριστάνεται ένα σηµείο στο επίπεδο. Ποιο σηµείο του επιπέδου αντιστοιχεί

στο ζεύγος ( )0,0 ;

Άσκηση 1

Ένας κήπος σχήµατος ορθογωνίου έχει διαιρέσεις 100m, 150dm. Θέλουµε να τον

περιφράξουµε µε συρµατόπλεγµα που κοστίζει 4€ το τρέχον µέτρο. Πόσο θα στοιχί-

σει η περίφραξη;

Άσκηση 2

Να υπολογίσετε την περίµετρο του διπλανού σχήµατος.

·

·

·

·

Ü8

Πώς µετράµε το εµβαδόν µιας επιφάνειας; Από τιεξαρτάται το εµβαδόν µιας επιφάνειας;

Για να µετρήσουµε το εµβαδόν µιας επιφάνειας (ε1),

συγκρίνουµε µε την επιφάνεια (ε1) µε το εµβαδό µιας άλλης

επιφάνειας (ε2) που το έχουµε επιλέξει ως µονάδα µέτρησης. Το

αποτέλεσµα της σύγκρισης αυτής ονοµάζεται εµβαδό της

επιφάνειας (ε1). Προφανώς το εµβαδό µιας επιφάνειας εξαρτάται

από τη µονάδα µέτρησης που θα χρησιµοποιήσουµε.

Ποιά είναι η βασική µονάδα µέτρησης εµβαδού. Ποιάείναι τα πολλαπλάσια και ποιές οι υποδιαιρέσεις του (m2)

και ποιά η σχέση τους µε αυτό.

• Η βασική µονάδα µέτρησης εµβαδού είναι το τε-

τραγωνικό µέτρο (m2) που είναι ένα τετράγωνο πλευράς 1 m.

• Υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού µέτρου είναι:

- τετραγωνικό δεκατόµετρο ( )2 2 21dm :1dm m

100=

- τεραγωνικό εκατοστόµετρο ( )2 2 21cm :1cm m

10000=

- τετραγωνικό χιλιοστόµετρο ( )2 2 21mm :1mm m

1000000=

Πολλαπλάσια του τετραγωνικού µέτρου είναι:

- τετραγωνικό δεκάµετρο ( )2 2 2dam :1dam 100m=

- τετραγωνικό εκατόµετρο ( )2 2hm :1hm 10000m=

Εµβαδόν επιφάνειας

Βασικές µονάδες

µέτρησης εµβαδού.

96. Μετρήσεις µεγεθών

Εµβαδό επίπεδων επιφανειών - Οι κυριώτερες µονάδες εµβαδού - Σχέσεις τετραγωνικού µέτρου µε

υποδιαιρέσεις και πολλαπλάσιά του - Εµβαδό ορθογωνίου και τετραγώνου.

- τετραγωνικό χιλιόµετρο ( )2 2 2Km 1Km 1000000m= =

Στην χώρα µας χρησιµοποιούµε για την µέτρηση εµβαδού

µεγάλης έκτασης κυρίως αγρών ή δασικών εκτάσεων το

στρέµµα και είναι: 1 στρέµµα = 1000m2.

Ποιό είναι το διάγραµµα που µας βοηθάει στηµετατροπή του τετραγωνικού µέτρου σε υποδιαιρέσεις

του και αντίστροφα;

Το διάγραµµα είναι το εξής:

Με τι ισούται το εµβαδόν ενός ορθογωνίου; Με τιισούται το εµβαδόν ενός τετραγώνου;

Το εµβαδόν ενός ορθογωνίου είναι ίσο µε το γι-

νόµενο των διαστάσεων του, µετρηµένων µε την ίδια

µονάδα µέτρησης.

Το εµβαδόν ενός τετραγώνου ισούται µε το µήκος της πλευ-

ράς του υψωµένο στο τετράγωνο.

∆ιάγραµµα µετατροπής

του τετραγωνικού µέτρου

σε υποδιαιρέσεις του και

αντίστροφα.

1. Η βασική µονάδα µέτρησης του εµβαδού είναι 1m2.

2. To διάγραµµα που χρησιµοποιούµε για να µετατρέψουµε το m2 σε

υποδιαιρέσεις του και αντίστροφα είναι:

97.Μετρήσεις µεγεθών

Εµβαδό επίπεδων επιφανειών - Οι κυριώτερες µονάδες εµβαδού - Σχέσεις τετραγωνικού µέτρου µε

υποδιαιρέσεις και πολλαπλάσιά του - Εµβαδό ορθογωνίου και τετραγώνου.

3. Το εµβαδόν του ορθογωνίου δίνεται απ’την σχέση E α·β= όπου α, β οι διαστάσεις

του µετρηµένες µε την ίδια µονάδα µέτρησης.

4. Το εµβαδόν του τετραγώνου δίνεται απ’την σχέση 2Ε α= όπου α η πλευρά του τετραγώνου.

Να τραπούν σε m2 τα επόµενα εµβαδά:

2α = 1,5dm2

β = 12255mm2

γ = 0,01dm 2δ = 135000cm

Λύση

Είναι: 2

2

2

2

α 1,5 :100 0,015m

β 12255 :1000000 0,012255m

γ 0,01:100 0,0001m

δ 135000 :10000 13,5m

= == == == =

Να τραπούν σε dm2 τα επόµενα εµβαδά:

98. Μετρήσεις µεγεθών

Εµβαδό επίπεδων επιφανειών - Οι κυριώτερες µονάδες εµβαδού - Σχέσεις τετραγωνικού µέτρου µε

υποδιαιρέσεις και πολλαπλάσιά του - Εµβαδό ορθογωνίου και τετραγώνου.

2α = 3,5Κm2

β = 45500cm2

γ = 0,12Km 2δ = 1550000mm

Λύση

Είναι: 2 2 2

2

2 2 2

2 2

α 3,5Κm 3,5·1000000 3500000m 3500000·100 350000000dm

β 45·500 :100 455dm

γ 0,12Km 0,12·1000000 120000m 12000000dm

δ 1550000mm 1550000 :10000 155dm

= = = = == == = = == = =

Να τραπούν σε στρέµµατα τα επόµενα εµβαδά.

α. 40000m2 β. 156500m2 γ. 1240m2

Λύση

α 40000 :1000 40= = στρέµµατα.

β 156500 :1000 156,5= = στρέµµατα.

γ 1240 :1000 1,24= = στρέµµατα.

Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας.

Λύση

Να υπολογιστεί το εµβαδόν του ορθογωνίου που έχει µήκος 8m και πλάτος 2dm.

Λύση

Είναι 2dm 2 :10 0,2m= = . Οπότε 2E αβ 8·0, 2 1,6m= = = .

Να υπολογιστεί το µήκος της πλευράς ενός τετραγώνου αν το εµβαδόν του ισούται

µε 400m2.

99.Μετρήσεις µεγεθών

Εµβαδό επίπεδων επιφανειών - Οι κυριώτερες µονάδες εµβαδού - Σχέσεις τετραγωνικού µέτρου µε

υποδιαιρέσεις και πολλαπλάσιά του - Εµβαδό ορθογωνίου και τετραγώνου.

Λύση

Είναι 2E α=2

Ε 400cm= άρα 2 2

α 400cm= οπότε α 20cm= .

Θελούµε να στρώσουµε ένα ορθογώνιο δάπεδο 27m2 µε τετραγωνικά πλακάκια

πλευράς 30cm. Να υπολογιστεί πόσα πλακάκια θα χρειαστούν.

Λύση

Το εµβαδόν του κάθε πλακιδίου είναι: ( )22 2 2E α 30cm 900cm 0,09m= = = =

Άρα θα χρειαστούν: 27 : 0,09 300= πλακάκια.

Να βρεθεί η περίµετρος και το εµβαδόν ενός ορθογωνίου που έχει µήκος 0,25m και

πλάτος 15cm.

Λύση

Είναι 15cm 0,15m= , οπότε η περίµετρος του ορθογωνίου είναι:

2·0, 25 2·0,15 0,5 70,3 0,8m+ = + =

και το εµβαδόν είναι: 2E α·β 0, 25·0,15 0,37m= = = .

Αγόρασε κάποιος µια µοκέτα σχήµατος ορθογωνίου που έχει µήκος 35dm και πλάτος

240cm. Αν το 1m2 κοστίζει 5€ να βρεθεί πόσα χρήµατα πλήρωσε.

Λύση

Είναι 35dm 3,5m= και 240cm 2,4m= άρα 2E α·β 3,5·24 8, 4m= = = .

Άρα θα πληρώσει 8,4·5 42=

Ένα οικόπεδο σχήµατος ορθογωνίου µε πλάτος 14,4m πουλήθηκε 300€ το τετραγωνι-

κό µέτρο και κόστισε συνολικά 60000€. Να βρεθεί το εµβαδό του και το µήκος του.

Λύση

Το εµβαδό του οικοπέδου είναι 2600 : 300 200m= . Αν τώρα x είναι το µήκος του

οικοπέδου έχουµε: 14, 4·x 200= άρα x 200 :14,4 13,8m= .

Να βρεθεί το εµβαδό της γραµµοσκιασµένης επιφάνειας.

100. Μετρήσεις µεγεθών

Εµβαδό επίπεδων επιφανειών - Οι κυριώτερες µονάδες εµβαδού - Σχέσεις τετραγωνικού µέτρου µε

υποδιαιρέσεις και πολλαπλάσιά του - Εµβαδό ορθογωνίου και τετραγώνου.

Λύση

Είναι: Εµβαδόν ορθογωνίου 242·21 882m= = .

Εµβαδόν τετραγώνου 212·12 144m= = .

Εµβαδόν ζητούµενο 2882 144 738m= − = .

1. Να τραπούν τα 218,5dm σε

2 2 2m , cm , mm .

2. Να τραπούν σε cm2 τα εµβαδά:

α. 3,4m2 β. 2,5dm2 γ. 15625mm2 δ. 0,6m2 ε. 0,02dm2

3. Να τραπούν σε m2 τα εµβαδά:

α. 2Km2 β. 570dm2 γ. 85000cm2 δ. 2800000mm2

4. Να συµπληρωθεί ο πίνακας.

5. Να υπολογιστεί το εµβαδόν ορθογωνίου µε πλάτος 6dm και περίµετρο 16dm.

6. H επιφάνεια µιας αυλής 45m2 στρώθηκε µε πλακάκια τετράγωνα πλευράς 30cm. Να

βρείτε πόσα πλακάκια χρησιµοποιήθηκαν.

101.Μετρήσεις µεγεθών

Εµβαδό επίπεδων επιφανειών - Οι κυριώτερες µονάδες εµβαδού - Σχέσεις τετραγωνικού µέτρου µε

υποδιαιρέσεις και πολλαπλάσιά του - Εµβαδό ορθογωνίου και τετραγώνου.

7. Ένας κήπος έχει σχήµα ορθογωνίου και το εµβαδό του είναι 3600m2. Aν το µήκος

του είναι 7200cm να υπολογιστεί το πλάτος του. Αν στον κήπο αυτό χαράξουµε

διάδροµο ορθογώνιο µε διαστάσεις 7,2m και 1,5m. Να βρεθεί το εµβαδό του κήπου

που αποµένει για να καλλιεργηθεί.

8. Ένα χωράφι σχήµατος ορθογωνίου µε πλάτος 60m πουλήθηκε 1000€ το στρέµµα και

κόστισε 12000€. Να βρεθεί το εµβαδόν του και το µήκος του.

9. Σε ένα ορθογώνιο το µήκος του είναι τριπλάσιο του πλάτους του και η περίµετρος

του είναι 96m. Να βρεθούν οι διαστάσεις του.

10. Ένα ορθογώνιο έχει µήκος 30m και το εµβαδό του ισούται µε το εµβαδόν τετραγώ-

νου πλευράς 12m. Ποιό είναι το πλάτος του ορθογωνίου;

102. Μετρήσεις µεγεθών

Εµβαδό επίπεδων επιφανειών - Οι κυριώτερες µονάδες εµβαδού - Σχέσεις τετραγωνικού µέτρου µε

υποδιαιρέσεις και πολλαπλάσιά του - Εµβαδό ορθογωνίου και τετραγώνου.

Ερώτηση 1

Πόσες φορές µεγαλύτερο από το αρχικό θα είναι το εµβαδόν ενός τετραγώνου αν

τριπλασιάσουµε την πλευρά του;

Ερώτηση 2

Ποια τα πολλαπλάσια και ποιες οι υποδιαιρέσεις του m2; Ποιες οι σχέσεις του µε αυτά;

Άσκηση 1

Ένας ορθογώνιος κήπος έχει περίµετρο 180m και το µήκος του είναι µεγαλύτερο

απ’το πλάτος του κατά 10m. Να βρεθεί το εµβαδό του.

Άσκηση 2

Να υπολογίσετε το εµβαδό της γραµµοσκιασµένης επιφάνειας.

· ¼ãêïò óôåñåþí

· Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò üãêïõ

· ¼ãêïò ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëåðéðÝäïõ

· ¼ãêïò óôåñåþí

· Ïé êõñéüôåñåò ìïíÜäåò üãêïõ

· ¼ãêïò ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëåðéðÝäïõ

ÂéâëéïìÜèçìá

9

Πώς µετράµε τον όγκο ενός στερεού σώµατος; Απότι εξαρτάται ο όγκος ενός στερεού;

Για να µετρήσουµε τον όγκο ενός στερεού σώµατος

(σ1) συγκρίνουµε τον όγκο του στερεού σώµατος (σ

1) µε τον

όγκο (σ2) ενός άλλου στερεού σώµατος που τον έχουµε

επιλέξει ως µονάδα µέτρησης. Το αποτέλεσµα της σύγκρισης

αυτής ονοµάζεται όγκος του στερεού σώµατος (σ1).

Προφανώς ο αριθµός που εκφράζει τον όγκο ενός στερεού

σώµατος εξαρτάται από την µονάδα µέτρησης που θα

χρησιµοποιήσουµε.

Ποιά είναι η βασική µονάδα µέτρησης του όγκου; Ποιέςείναι οι υποδιαιρέσεις του m3 και ποια η σχέση τους µε αυτό;

Βασική µονάδα µέτρησης του όγκου είναι το κυβικό

µέτρο (m3), που είναι κύβος µε ακµή 1m.

Οι υποδιαιρέσεις του κυβικού µέτρου είναι:

• το κυβικό δεκατόµετρο ( )3 3 3dm :1dm 0,001m=

• το κυβικό εκατοστόµετρο ( )3 3 3cm :1cm 0,000001m=

• το κυβικό χιλιοστόµετρο ( )3 3 3mm :1mm 0,00000001m=

Χρησιµοποιούµε επίσης σαν µονάδες όγκου το λίτρο

( ) 3:1 1dm= και το χιλιοστόλιτρο ( ) 3m ·1m 1cm= .

Πόιο είναι το διάγραµµα που µας βοηθά στην µε-τατροπή του κυβικού µέτρου σε υποδιαιρέσεις του και

αντίστροφα;

Όγκος στερεού σώµατος

Κυριότερες µονάδες όγκου

104. Μετρήσεις µεγεθών

Όγκος στερεών - Οι κυριότερες µονάδες όγκου - Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπιπέδου

Το διάγραµµα είναι το εξής:

Με τι ισούται ο όγκος ενός ορθογωνίου παραλ-ληλεπιπέδου; Με τι ισούται ο όγκος ενός κύβου;

Ο όγκος ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ισού-

ται µε το γινόµενο των διαστάσεων του, µετρηµένων µε την

ίδια µονάδα µήκους.

V α·β·γ= όπου α, β, γ οι διαστάσεις του ορθογωνίου πα-

ραλληλεπιπέδου.

Ο όγκος ενός κύβου ισούται µε το µήκος της ακµής του

υψωµένο στην τρίτη. Είναι: 3V α=

1. Ο όγκος ενός στερεού σώµατος είναι ο χώρος που “καταλαµβάνει”

το σώµα αυτό.

2. Η βασική µονάδα µέτρησης του όγκου είναι το 1m3.

3. Το λίτρο ( )1 είναι µονάδα µέτρησης όγκου κυρίως των υγρών.

Είναι 3 31 1000cm 1000ml 1dm= = =

4. Το διάγραµµα που χρησιµοποιούµε για να µετατρέψουµε το m3 σε υποδιαιρέσεις

του και αντίστροφα, είναι:

105.Μετρήσεις µεγεθών

Όγκος στερεών - Οι κυριότερες µονάδες όγκου - Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπιπέδου

Να τραπούν σε 3dm οι όγκοι:

α. 33m β. 325cm γ. 5,256m3

Λύση

α. 3 33m 3·1000 3000dm= =β. 3 325cm 25 :1000 0,025dm= =

γ. 3 35, 256m 5,256·1000 5256dm= =

Να τραπούν σε 3cm οι όγκοι:

α. 30,08dm β. 330mm γ. 30,645m

5. Ο όγκος ενός κύβου ακµής α είναι 3V α=6. Ο όγκος ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε διαστάσεις α, β, γ είναι V α·β·γ=

106. Μετρήσεις µεγεθών

Όγκος στερεών - Οι κυριότερες µονάδες όγκου - Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπιπέδου

Λύση

α. 3 30,08dm 0,08·1000 80cm= =

β. 3 330mm 30 :1000 0,03cm= =

γ. 3 30,645m 0,645·1000000 645000cm= =

Να τραπούν σε λίτρα οι όγκοι:

α. 325dm β.

36m γ. 525mlΛύση

α. 325dm 25=

β. 36m 6·1000 6000= =

γ. 525m 525 :1000 0,525= =

Να τραπούν σε 3mm οι όγκοι:

α. 30,12m β. 35,75dm γ. 33,465cm

Λύση

α. 3 9 30,12m 0,125·10 125000000mm= =

β. 3 35,75dm 5,75·1000000 5750000mm= =

γ. 3 33, 46cm 3,465·1000 3465mm= =

Να τραπούν σε 3m οι όγκοι:

α. 35200000cm β.

355850124mmΛύση

α. 35200000

5,2m1000000

= β. 355850124

0,55850124m1000000000

=

Να βρεθεί ο όγκος ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου µε διαστάσεις 2,5m, 15dm,

1150mm.

Λύση

Είναι 15

15dm 1,5m10

= = και 1150

1150mm 1,15m1000

= = .

Άρα 3V α·β·γ 2,5·1,5·1,15 4,312m= = =

Να βρεθεί ο όγκος ενος κύβου µε ακµή 3,2m σε:

α. 3m β. 3dm γ.

3cm

107.Μετρήσεις µεγεθών

Όγκος στερεών - Οι κυριότερες µονάδες όγκου - Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπιπέδου

Λύση

Είναι 2 3 3 3 3V α 3,2 32,8m 32,8·1000 32800dm 32800·1000 32800000cm= = = = = = =

Ένας κύβος έχει όγκο 30, 216m . Να υπολογιστεί η ακµή του.

Λύση

Είναι

33 3 3

3

V αα 0,216 ή α 0,6 ή α 0,6m

V 0,216m

= = = ==

Να βρεθεί πόσοι ασβεστόλιθοι µε διαστάσεις 60cm, 15cm, 10cm, θα χρειαστούν για

να χτίσουµε ένα τοίχο µε όγκο 313,5m .

Λύση

Κάθε ασβεστόλιθος έχει όγκο 3V 60·15·10 9000cm= =

δηλαδή 3 39000 :1000000m 0,009m=Άρα θα χρειαστούν 13,5: 0,009 = 1500 ασβεστόλιθοι.

Οι διαστάσεις µιας δεξαµενής είναι 4,5m, 20dm, 150cm . Σε πόσες ώρες θα γεµίσει

από µια βρύση που παρέχει 20,15 νερό σε µια ώρα.

Λύση

Μετατρέπουµε τις διαστάσεις στην ίδια µονάδα µέτρησης

Είναι 4,5m 4,5·10 45dm

150cm 150 :10 15dm

= == =

και

Άρα η δεξαµενή έχει όγκο 3V 45·15·20 13500dm= = .

Επειδή σε 1 λεπτό η βρύση παρέχει 20,15 , σε µια ώρα δηλαδή σε 60 λεπτά θα παρέχει:

60·20,15 1209=

Άρα για να γεµίσει τη δεξαµενή χρειάζονται: 13500 :1209 11= ώρες περίπου.

108. Μετρήσεις µεγεθών

Όγκος στερεών - Οι κυριότερες µονάδες όγκου - Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπιπέδου

1. Να τραπούν 3dm οι όγκοι:

α. 30,3m β. 310500cm γ. 37000000mm

2. Να τραπούν σε cm3 οι όγκοι:

α. 0,32dm3 β. 128mm3 γ. 0,18m3

3. Να τραπούν σε mm3 οι όγκοι:

α. 2m3 β. 0,12dm3 γ. 25cm3

4. Να τραπούν σε m3 οι όγκοι:

α. 335450000mm β. 35400000cm

5. Να τραπούν σε λίτρα οι όγκοι:

α. 310m β. 3530m

6. Να συµπληρωθεί ο πίνακας:

7. Το εµβαδόν ενός κύβου είναι 281cm . Να βρεθεί ο όγκος του.

8. Ο όγκος ενός κύβου είναι 31331cm . Να υπολογιστεί η ακµή του.

109.Μετρήσεις µεγεθών

Όγκος στερεών - Οι κυριότερες µονάδες όγκου - Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπιπέδου

9. Να βρεθεί ο όγκος ενός κύβου που έχει ακµή 45m και να µετατραπεί σε 3cm και σε .

10. Nα βρεθεί ο όγκος ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε διαστάσεις, 3m,

25dm, 200cm.

11. Σ’ ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο το µήκος του είναι 30dm και το πλάτος του

6m. Αν ο όγκος του είναι 1980m3 να βρεθεί το ύψος του.

12. Μια δεξαµενή έχει µήκος 4m, πλάτος 30dm και ύψος 150cm.

α. Να βρεθεί ο όγκος της

β. Αν ρίξουµε σε αυτή 1800 νερό σε τι ύψος θα φτάσει η ελέυθερη επιφάνεια του νερού;

13. Να υπολογίσετε σε cm2 το ολικό εµβαδό ενός κύβου του οποίου ο όγκος είναι 2160 .

14. Μια δεξαµενή έχει σχήµα κύβου µε ακµή 10ft. Να βρεθεί η χωριτικότητα της σε λίτρα.

110. Μετρήσεις µεγεθών

Όγκος στερεών - Οι κυριότερες µονάδες όγκου - Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπιπέδου

Ερώτηση 1

Αν τριπλασιάσουµε την ακµή ενός κύβου, πώς µεταβάλεται ο όγκος του;

Ερώτηση 2

Τι είναι λίτρο και σε τι υποδιαιρείται;

Ερώτηση 3

Ποιές είναι οι υποδιαιρέσεις του κυβικού µέτρου και ποιές οι σχέσεις τους µε αυτό;

Άσκηση 1

Σε µια καταιγίδα το ύψος της βροχής είναι

5,5mm. Σε ένα ορθογώνιο οικόπεδο µε διαστά-

σεις 30m και 40m πόσα κυβικά µέτρα νερού

έχουν πέσει;

Άσκηση 2

Σε ένα κύβο χωράνε ακριβώς 8 µικρότεροι κύβοι ακµής 3cm. Να βρεθεί η ακµή

του µεγάλου κύβου.

ÂéâëéïìÜèçìá

12

·Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç êëáóìÜôùí

· Ðïëëáðëáóéáóìüò êëáóìÜôùí

· Áíôßóôñïöïé áñéèìïß

·Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç êëáóìÜôùí

· Ðïëëáðëáóéáóìüò êëáóìÜôùí

· Áíôßóôñïöïé áñéèìïß

Πως προσθέτουµε οµώνυµα και πως ετερώνυµα κλά-σµατα ;

• Το άθροισµα δύο οµώνυµων κλασµάτων ισούται

µε το κλάσµα που έχει αριθµητή το άθροισµα των αριθµη-

τών και παρονοµαστή τον ίδιο.

• Η διαφορά δύο οµώνυµων κλασµάτων ισούται µε το κλά-

σµα που έχει αριθµητή την διαφορά των δύο αριθµητών

και παρονοµαστή τον ίδιο.

• Για να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε δύο ετερώνυµα

κλάσµατα τα µετατρέπουµε σε οµώνυµα και µετά τα προ-

σθέτουµε ή τα αφαιρούµε.

Πρόσθεση και

αφαίρεση κλασµάτων

Όταν έχουµε άθροισµα ενός φυσικού αριθµού και ενός κλάσµατος παραλεί-

πουµε το σύµβολο (+) και γράφουµε:

2 25 5

3 31 1

2 23 3

+ = + =

Οι αριθµοί αυτοί λέγονται µικτοί.

Κάθε φυσικός αριθµός θεωρείται κλάσµα µε παρονοµαστή την µονάδα.

146. Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

Να βρείτε τα παρακάτω αθροίσµατα:

α. 1 6

+5 5

β. 2 4 5

+ +3 3 3

γ. 1 1

+2 3

δ. 2 1

+5 2

ε. 1 2

+3 6

στ. 4 2

+7 14

Λύση

α.1 6 1 6 7

5 5 5 5

++ = = β. 2 4 5 2 4 5 11

3 3 3 3 3

+ ++ + = =

γ. δ.

ε. στ.

Οµοίως τις διαφορές:

α. 5 3

-4 4

β. 12 7

-5 5

γ. 8 1

-10 5

δ. 2

3 -3

Λύση

α. 5 3 5 3 2

4 4 4 4

−− = = β. 12 7 12 7 5

15 5 5 5

−− = = =

γ. δ.

147.Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

Να γίνουν οι πράξεις:

α.

1 1 3+ +

2 3 6β.

1 2 1+ -

4 3 6

Λύση

α.

β.

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α. 1

x + = 22

β. 5

+ x = 17

γ. 1 5

x – =3 6

Λύση

α.

β.

γ.

Να γίνουν οι πράξεις:

α. 1

23

β. 2

53

γ. 1 3

1 +2 8

Λύση

α. 1 1 2 1 6 1 7

2 23 3 1 3 3 3 3

= + = + = + = β.

γ.

148. Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

Ένας εργάτης τελειώνει ένα έργο σε 5 ηµέρες ενώ ένας άλλος το τελειώνει σε 6 ηµέρες.

Τι µέρος του έργου τελειώνουν σε 1 µέρα και οι δύο εργάτες;

Λύση

Σε µία µέρα ο ένας εργάτης τελειώνει το 1

5 του έργου ενώ ο άλλος το

1

6 του έργου. Αν

εργαστούν και οι δύο µαζί τελειώνουν το 1 1

5 6 + του έργου, δηλαδή

του έργου.

Ένας πολιτικός µηχανικός σχεδιάζει ένα πάρκο. Τα 25

του χώρου γίνονται παιδικές

χαρές, στο 13

γίνεται δενδροφύτευση και ο υπόλοιπος χώρος γήπεδο µπάσκετ. Τι

µέρος του χώρου είναι το γήπεδο;

Λύση

Προσθέτουµε τα µέρη που γίνονται: παιδική χαρά και χώρος πρασίνου και στη

συνέχεια αφαιρούµε από την 1.

Τα 4

15 του πάρκου είναι το γήπεδο του µπάσκετ.

Να βρείτε ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στο 25

ώστε να βρούµε άθροισµα 2.

Λύση

Έστω ότι θα προσθέσουµε τον αριθµό x τότε: 2

x 25

+ = ή

Από ποιον αριθµό πρέπει να αφαιρέσουµε το 14

και να βρούµε 38

.

Λύση

Έστω ο x ζητούµενος αριθµός τότε: 1 3

x4 8

− = ή

149.Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

Άρα ο ζητούµενος αριθµός είναι 5

8.

Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης:

2 1 3 1 11+ + + + + 2

3 4 4 5 3Λύση

1. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα:

α. 3 4

5 5+ β.

2 4 6

21 21 21+ + γ.

82 41 7

303 303 303+ +

δ. 1 4

32 3

+ ε. 4 1

5 3+ στ.

12

3+

2. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα:

α. 3 3 3

4 2 8+ + β.

1 2 33

3 3 4 + + +

γ. 4 1

1 25 10

+ + + δ. 1 1 1

1 1 12 3 4

+ + + + +

3. Να υπολογίσετε τις διαφορές:

150. Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

α. 5 1

6 6− β.

3 1

5 5− γ.

8 2

9 9−

δ. 5 1

3 2− ε.

6 3

10 5− στ.

7 1

9 3−

4. Να εκτελέσετε τις πράξεις:

α. 1 4 1

5 10 10 + − β.

1 12 1

3 2 + − − γ.

1 53

3 6−

δ. 1 1 1 5

2 3 6 3 − + + ε.

2 14 1

3 2 − +

5. Nα γράψετε του µικτούς κλάσµατα:

14

3,

22

5,

31

7,

42

5

6. Nα γράψετε του µικτούς κλάσµατα:

54

7,

82

5,

100

7,

42

9,

75

4,

89

3

7. Σηµειώστε την ένδειξη σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) δίπλα στις παρακάτω σχέσεις.

1 238

3 3− = (....)

11 12425

5 5− = (....)

3 32 5

5 2+ = (....)

4 314 13

7 7− = (....)

8. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 1 7

x4 8

+ = β. 7

x 13

+ = γ. 1

x 32

− =

δ. 2 4

x5 5

− = ε. 1 1

x 23 3

− = στ. 10

x 23

+ =

9. Να βρείτε ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στο 3

5 ώστε να βρούµε άθροισµα

13

15.

151.Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

10. Να βρείτε ποιον αριθµό πρέπει να αφαιρέσουµε από το 6

5 ώστε να βρούµε διαφορά

3

10.

11. Ένας αγρότης έχει 1

52

στρέµµατα λεµονιές, 1

73

στρέµµατα ελιές και 1

106

στρέµµατα σιτάρι. Πόσα στρέµµατα έχει συνολικά;

12. Ο δήµος µιας πόλης διαθέτει το 1

5 των εσόδων του για την καθαριότητα, τα

2

7 για

τη διαµόρφωση χώρων. Τι µέρος των εσόδων διαθέτει για τις υπόλοιπες ανάγκες

του δήµου;

13. Ένας εργάτης τελειώνει ένα έργο σε 8 ηµέρες ενώ ένας άλλος το ίδιο έργο σε 10 ηµέρες. Να

βρείτε το µέρος του έργου που τελειώνουν οι δύο εργάτες όταν εργάζονται µαζί σε µία µέρα.

14. Αν 1

x 23

= , 1

y 33

= και 1

z 12

= , να βρείτε την τιµή της παράστασης K x y z= + + .

15. Αν 1 1

α2 3

= + , 1

β 12

= + και 1

γ6

= , να βρείτε την τιµή της παράστασης

Μ α β γ= + − .

152. Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

Πως πολλαπλασιάζουµε κλάσµατα ;

• Το γινόµενο δύο κλασµάτων ισούται µε το κλάσµα

το οποίο έχει αριθµητή το γινόµενο των αριθµητών και πα-

ρανοµαστή το γινόµενο των παρανοµαστών

α γ α γ

β δ β δ

⋅⋅ =⋅ .

• Αντίστροφοι λέγονται δύο αριθµοί που το γινόµενο τους

ισούται µε τη µονάδα

αντίστροφος

αντίστροφος

α β α β1

β α β α

1 1α α 1

α α

→ ⋅ =→ ⋅ =

Πολλαπλασιασµός

κλασµάτων

Αντίστροφοι αριθµοί

• Προσοχή στον πολλαπλασιασµό κλασµάτων δεν κάνουµε οµώνυµα.

• Το µηδέν δεν έχει αντίστροφο.

• Ο αντίστροφος του 1 είναι το 1.

• Όταν πολλαπλασιάζουµε ένα φυσικό αριθµό µε ένα κλάσµα, πολλαπλασιάζουµε

τον φυσικό µε τον αριθµητή του κλάσµατος ( είναι σαν να βάζουµε ως παρανοµα-

στή την µονάδα και µετά να κάνουµε τον πολλαπλασιασµό των κλασµάτων ).

• Για να βρούµε τα µ

ν ( διαβάζουµε : µ νιοστά ) ενός αριθµού x εκτελούµε τον

πολλαπλασιασµό

µ µ x µ xx

ν ν 1 ν

⋅⋅ = ⋅ = .

153.Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

Να βρείτε τα γινόµενα:

α. 1 32 4

⋅ β. 2 53 7

⋅ γ. 1 58 3

⋅ δ. 2

343

ε. 4

39

⋅ στ. 2 77 2

⋅ ζ. 3

016

Λύση

α. 1 3 1 3 3

2 4 2 4 8

⋅⋅ = =⋅ β.

2 5 2 5 10

3 7 3 21

⋅⋅ = =⋅7 γ.

1 5 1 5 5

8 3 8 3 24

⋅⋅ = =⋅

δ. 2 3 2 3 2 6

343 1 43 1 43 43

⋅⋅ = ⋅ = =⋅

ε. 4 4 3 4 3 12 4

39 9 1 9 1 9 3

⋅⋅ = ⋅ = = =⋅

στ. 2 7 2 7 14

17 2 7 2 14

⋅⋅ = = =⋅ ζ.

30 0

16⋅ =

Να βρείτε τα γινόµενα:

α. α β

β γ⋅ β.

3 8 22 3 16

⋅ ⋅

γ. 7 5 2

33 7 9

⋅ ⋅ ⋅

Λύση

i. α β α

β γ γ⋅ = ii.

3 8 2 8 1

2 3 16 16 2⋅ ⋅ = = iii.

7 5 2 3 7 5 2 5 2 103

3 7 9 1 3 7 9 1 9 9

⋅⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = =⋅

Να γίνουν οι πράξεις: α. 3 1 1

4 3 6 ⋅ + β.

1 1 1 1

2 3 5 10 + ⋅ +

Στον πολλαπλασιασµό κλασµά-

των πριν κάνω την πράξη µπο-

ρώ να απλοποιώ αριθµητή µε

παρανοµαστή ιδιαίτερα τους ί-

διους αριθµούς,κ λ κ⋅ =λ µ µ

154. Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

Λύση

α.

β.

Ένας µαθητής είχε 30 €. Από αυτά ξόδεψε το 16

για να αγοράσει βιβλία, τα 25

των

υπόλοιπων στην καντίνα του σχολείου. Του περίσεψαν χρήµατα και πόσα;

Λύση

Για βιβλία ξόδεψε:1 1 30 30

30 56 6 1 6

⋅ = ⋅ = =

Το υπόλοιπο είναι: 30 5 25− =

Στην καντίνα ξόδεψε:2 2 25 50

25 105 5 1 5

⋅ = ⋅ = =

Άρα του περίσεψαν: 25 10 15− =

Ένας αγρότης παράγει 1.000 κιλά ντοµάτας. Την πρώτη ηµέρα πουλάει το 14

της

παραγωγής, την δεύτερη ηµέρα το 13

της υπόλοιπης. Πόσα κιλά ντοµάτα περίσεψαν;

Λύση

Την πρώτη ηµέρα πούλησε:1 1000

1000 250 κιλά4 4

⋅ = =

του έµειναν: 1000 250 750 κιλά− =

Την δεύτερη ηµέρα πούλησε:1 750

750 250 κιλά3 3

⋅ = =

του έµειναν: 750 250 500 κιλά− =

Το σιτάρι δίνει τα 89

του βάρους του σε αλεύρι και αυτό µε τη σειρά του δίνει τα 78

του βάρους του σε ψωµί. Αν σ’ ένα φούρνο υπήρχαν 1.800 κιλά σιτάρι, πόσα κιλά

ψωµί θα παρασκευαστεί;

Λύση

Τα 1800 κιλά σιτάρι δίνουν:8 1800 8 200 8

1800 1600 κιλά αλεύρι9 9 9

⋅ ⋅⋅ = = =

155.Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

Τα 1600 κιλά αλεύρι δίνουν:7 1600 7 8·200·7

1600 200·7 1400 κιλά ψωµι8 8 8

⋅⋅ = = = =

Να βρείτε τους αντίστροφους των αριθµών: α. 25

β. 38

γ. 2 δ. 13

ε. 0

Λύση

α. αντίστροφος2 5

5 2→ β.

αντίστροφος3 8

8 3→ γ.

αντίστροφος 12

2→

δ. αντίστροφος1

33

→ ε. 0, δεν υπάρχει αντίστροφος

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 3·x = 1 β. 2

x 13

⋅ = γ. 1

x 18

⋅ = δ. x 0 1⋅ = ε. 8

x 117

⋅ =

Λύση

α. 3 x 1⋅ = , άρα 1

x3

= β. 2

x 13

⋅ = , άρα 3

x2

= γ. 1

x 18

⋅ = , άρα x 8=

δ. x 0 1⋅ = , αδύνατο ε. 8

x 117

⋅ = άρα 17

x8

=

Σε µια τάξη της Α΄ Γυµνασίου µε 24 µαθητές σ’ ένα τεστ τα 38

παίρνουν βαθµό

κάτω από τη βάση και το 112

αυτών παίρνει άριστα. Ποιοι είναι οι µαθητές αυτοί;

Λύση

Παίρνουν κάτω από την βάση:3 3 24 3 8·3 3·8·3

24 9 µαθητές8 8 1 8 1 8·1

⋅ = ⋅ = ⋅ = =

Παίρνουν άριστα:1 1 24 24

24 2 µαθητές12 12 12

⋅⋅ = = =

Να βρείτε τον αντίστροφο του αριθµού:1 2 3

Α2 3 4

= + + .

Λύση

άρα 23

Α12

= . Ο αντίστροφος του Α είναι ο 12

23.

156. Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

16. Να υπολογίσετε τα γινόµενα:

α. 3 1

4 3⋅ β.

7 2

3 3⋅ γ.

2 3

5 7⋅ δ.

40 1

3 10⋅

ε. 2 18

9 4⋅ στ.

4 27

9 36⋅ ζ.

18

4⋅ η.

214

7⋅

17. Να υπολογίσετε τα γινόµενα:

α. 1 5 3

2 3 10⋅ ⋅ β.

3 4 5

4 5 3⋅ ⋅ γ.

1 8 65

8 5 11⋅ ⋅ ⋅

18. Να υπολογίσετε τα γινόµενα:

α. 2 1 1

3 2 3 ⋅ + β.

8 1 1

5 2 3 ⋅ + γ.

1 13

4 6 ⋅ +

19. Να υπολογίσετε τα γινόµενα:

α. 2 1 4 3

3 4 5 10 + ⋅ − β.

1 1 14 3 2

2 3 3 + ⋅

20. Να βρείτε τους αντίστροφους των αριθµών και να τους γράψετε στα τετράγωνα.

157.Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

21. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 2

x 17

⋅ = β. 4

x 19

⋅ = γ.α

x 1β

⋅ =

δ. 1

x 15

⋅ = ε. 2 x 1⋅ = στ. 41

x 1123

⋅ =

22. Για την εξόφληση ενός χρέους 3000 € προς την τράπεζα πλήρωσε κάποιος το 1

5 ως

προκαταβολή και το 1

10 του υπόλοιπου ποσού τον επόµενο µήνα. Τι ποσό οφείλει

να πληρώσει ακόµα;

23. Ένας παραγωγός πορτοκαλιών πούλησε 3

5 της παραγωγής του και στη συνέ-

χεια το 1

6 των υπόλοιπων. Αν είχε 1200 κιλά πορτοκάλια πόσα του µένουν

ακόµα για πούληµα;

24. Ρώτησαν ένα φοιτητή της Μαθηµατικής Σχολής του Πανεπιστηµίου της Ζιµπά-

Αριθµός Αντίστροφος Αριθµός Αντίστροφος

3

5 5

2

7 1

4 7

14

1

3

121

32

8 6

101

1

23

2

53

158. Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

µπουε πόσων χρονών είναι και αυτός απάντησε: “Πέρυσι ήµουν τα 2

9 των

9

10 του

100”. Πόσων χρονών είναι σήµερα;

25. Ένας εργάτης υπολογίζει ότι για να τελειώσει το έργο που του έχουν αναθέσει θα

χρειαστεί το 1

6 µιας ηµέρας. Σε πόσες ώρες θα τελειώσει το έργο;

26. Σε ένα σούπερ µάρκετ το βαρέλι µε την φέτα περιέχει 48 κιλά. Κάποιος πελάτης

παραγγέλνει τα 3

96 του περιεχοµένου. Πόσα κιλά φέτα θα πάρει;

27. Ένα ορθογώνιο έχει µήκος 40 cm και πλάτος τα 3

10 του µήκους του. Να βρείτε το

εµβαδόν και την περίµετρο του ορθογωνίου.

28. Να βρείτε την περίµετρο και το εµβαδόν ενός τετραγώνου µε πλευρά τα 5

4 m.

29. Από την Α΄ Γυµνασίου ενός σχολείου το 1

5 γράφει κάτω από τη βάση και είναι 24.

Το 1

6 των υπόλοιπων γράφει άριστα. Πόσοι µαθητές έγραψαν άριστα;

30. Η απόσταση δύο πόλεων είναι 500 km. Ένας ποδηλάτης την 1η µέρα διανύει το

1

4 της απόστασης, την 2η ηµέρα το

1

5 της υπόλοιπης απόστασης και την 3η

ηµέρα το 1

3 της υπόλοιπης απόστασης. Πόσα km πρέπει να διανύσει την 4η και

τελευταία ηµέρα.

159.Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

Ερώτηση 1

Ποιοι αριθµοί λέγονται αντίστροφοί;

∆ώστε 4 παραδείγµατα.

Ποιός αριθµός δεν έχει αντίστροφο;

Ερώτηση 2

Ποιοι αριθµοί λέγονται µικτοί. ∆ώστε 3 παραδείγµατα.

Σε ποιες από της παρακάτω πράξεις κάνουµε οµώνυµα και σε ποιές όχι.

α. 2 1

3 4+ β.

2 1

5 3− γ.

2 1·

3 4δ.

1 12 ·3

3 2

Άσκηση 1

Να γράψετε στον παρακάτω πίνακα τους αντίστροφους αριθµούς.

Άσκηση 2

Ποιες από τις παρακάτω πράξεις είναι σωστές (Σ) και ποιές λάθος (Λ).

α. κ µ κ µ

λ ν λ ν

++ =+ Σ Λ

β. κ µ κ·µ

·λ ν λ·ν

= Σ Λ

γ. κ µ κν λµ

λ ν λν

−− = Σ Λ

160. Τα κλάσµατα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί

δ. κ λ

· 0λ κ

= Σ Λ

ε. κ λ

· 1λ κ

= Σ Λ

Άσκηση 3

α. Ποιόν αριθµοί πρέπει να προσθέσουµε στο 2

3 για να βρούµε άθροισµα 2.

β. Να λυθούν οι εξισώσεις:

i. 5x 1= ii. 1·x 0

3= iii.

3x· 1

8=

iv. 1

5 x 03

+ = v.

2x 1

3= vi.

1x 4 1

2 =

ÂéâëéïìÜèçìá

13

· Äéáßñåóç êëáóìÜôùí

· ÄåêáäéêÜ êëÜóìáôá - äåêáäéêïß áñéèìïß

· ÔñïðÞ êëÜóìáôïò óå äåêáäéêü

· Äéáßñåóç êëáóìÜôùí

· ÄåêáäéêÜ êëÜóìáôá - äåêáäéêïß áñéèìïß

· ÔñïðÞ êëÜóìáôïò óå äåêáäéêü

Mε τι ισούται το πηλίκο της διαίρεσης δύο κλασµάτων;

• Το πηλίκο της διαίρεσης δύο κλασµάτων ισούται µε

τον πολλαπλασιασµό του πρώτου κλάσµατος (διαιρετέο) µε

τον αντίστροφο του δευτέρου κλάσµατος (διαιρέτη).

α γ α δ: ·

β δ β γ=∆ιαίρεση κλασµάτων

• Σύνθετο λέγεται το κλάσµα που ένας τουλάχιστον από τους όρους του είναι

κλάσµα. ∆ηλαδή:

κ

λµ

ν

ή

κ

λ

µ ή µ

κ

λ

• Η διαίρεση α γ

:β δ

γράφεται και ως σύνθετο κλάσµα

α

β

γ

δ

• Η µετατροπή ενός σύνθετου κλάσµατος σε απλό γίνεται ως εξής

á

á·äâ

ã â·ã

ä

(α, δ: άκροι όροι, β, γ: µέσοι όροι)

• Προσοχή στα σύνθετα κλάσµατα να διατηρείται η γραµµή του κλάσµατος. Γιατί:

5 1010

1 12

= = Σωστό,

55 511 2 22

= = Λάθος.

162. Τα κλάσµατα

∆ιαίρεση κλασµάτων - ∆εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό

Να υπολογίσετε τα πηλίκά:

α. 2 4

:4 5

β. 4 2

:3 3

γ. 7

: 26

δ. 1

4 :3

Λύση

α.2 4 2 5 2·5 10 5

: ·3 5 3 4 3·4 12 6

= = = = β. 4 2 4 3 4·3 4

: · 23 3 3 2 3·2 2

= = = =

γ. 7 7 2 7 1 7·1 7

: 2 : ·6 6 1 6 2 6·2 12

= = = = δ. 1

4 : 4·3 123

= =

Nα υπολογίσετε τα πηλίκα (µε χρήση σύνθετων κλασµάτων):

α. 2 4

:5 3

β. 1 3

:2 5

γ. 3

5 :2

δ. 6

: 25

Λύση

α.

2

2 4 5:45 3

3

2·3 6 3

4·5 20 10= = = β.

1

1 3 2:32 5

5

1·5 5

2·3 6= =

γ.

5

3 5 15 :3 32

2 2

5·2 10

1·3 3= = δ.

6 6

6 5 5: 225 2

1

1·6 6 3

5·2 10 5= = =

Να υπολογίσετε τα πηλίκα:

α. 1 2

3 :2 7

β. 4 1

: 23 3

γ. 1 1

5 : 32 2

163.Τα κλάσµατα

∆ιαίρεση κλασµάτων - ∆εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό

Λύση

α. 1 2 7 2 7 7 49

3 : : ·2 7 2 7 2 2 4

= = = β. 4 1 4 7 4 3 4

: 2 : ·3 3 3 3 3 7 7

= = =

γ. 1 1 11 7 11 2 11

5 : 3 : ·2 2 2 2 2 7 7

= = =

Να γίνουν οι διαιρέσεις:

α.

5 2 1: :

3 3 2 β.

7 1 1: :

5 2 5 γ.

1 43 + :

3 9Λύση

α. 5 2 1 5 2 2 5 4 5 3 5

: : : · : ·3 3 2 3 3 1 3 3 3 4 4

= = = =

β. 7 1 1 7 2 1 14 1 14 5

: : · : : · 145 2 5 5 1 5 5 5 5 1

= = = =

γ. 9 1 4 10 4 10 9 30 15

: :3 3 9 3 9 3 4 4 2

+ = = ⋅ = =

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 3 1

·x =4 8

β. 4 3

x· =5 5

γ. 3

x : = 88

ε. 5 1

: x =3 8

στ. 1 1

x : 2 = 42 2

Λύση

α. 3 1 1 3 1 4 4 1·x ή x : ή x · ή x ή x

4 8 8 4 8 3 24 6= = = = =

β. 4 3 3 4 3 5 3

x· ή x : ή x · ή x5 5 5 5 5 4 4

= = = =

γ. 3 8 8 8 3

x : 8 ή x· 8 ή x 8 : ή x · ή x 38 3 3 1 8

= = = = =

δ. α΄ τρόπος: 5 5 1 1 3 1 2 3 1 2·3 1 6 5

: x 2 ή · 2 ή 2· ή · ή ή ή x3 3 x x 5 x 1 5 x 1·5 x 5 6

= = = = = = =

β΄ τρόπος: 5 5 1 5 x 5 2 5 2 5 1 5

: x 2 ή · 2 ή 2· ή x ή : x ή · x ή x3 3 x 3 1 3 1 3 1 3 2 6

= = = = = = =

ε. 1 1 7 9 3 9 9 3 9 7 63 21

x : 2 4 ή x : ή x· ή x : ή x · ή x ή x2 2 3 2 7 2 2 7 2 3 6 2

= = = = = = =

164. Τα κλάσµατα

∆ιαίρεση κλασµάτων - ∆εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό

Να βρείτε έναν αριθµό που αν πολ/σθεί µε το 23

να δώσει γινόµενο 45

.

Λύση

Έστω x ο ζητούµενος αριθµός τότε 2 4·x

3 5= οπότε:

4 2 4 3 12 6x : ή x · ή x

5 3 5 2 10 5= = = =

Να βρείτε έναν αριθµό που αν διαιρεθεί µε το 47

να δώσει πηλίκο 18

.

Λύση

Έστω x ο ζητούµενος αριθµός τότε:

4 1 7 1 1 7 1 4 4 1x : ή x· ή x : ή x · ή x ή x

7 8 4 8 8 4 8 7 56 14= = = = = =

Πρέπει να συσκευαστούν 4400 κιλά πορτοκάλια σε κιβώτια των 1

52

κιλών. Να βρείτε

πόσα κιβώτια χρειαζόµαστε.

Λύση

Το κάθε κιβώτιο περιέχει: 1 11

52 2

= κιλά πορτοκάλια.

11 2 4400 2 88004400 : 4400· · 800

2 11 1 11 11= = = = κιβώτια.

Μια πλατεία 1500m2 πρέπει να πλακοστρωθεί µε πλακάκια εµβαδού 23

m2. Πόσα

πλακάκια χρειάζονται.

Λύση

2 3 45001500 : 1500· 2250

3 2 2= = = πλακάκια.

Ένας εργάτης σε µια ώρα κάνει τα 2

15 ενός έργου. Σε πόσες ώρες θα τελειώσει το έργο;

Λύση

Έστω ότι θα τελειώσει το έργο σε x ώρες. Τότε: 2

·x 115

= δηλαδή

2 15 1 15 15x 1: ή x 1· ή x · ή x ή x 7,5

15 2 1 2 2= = = = = ώρες

165.Τα κλάσµατα

∆ιαίρεση κλασµάτων - ∆εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό

1. Να υπολογίσετε τα πηλίκα:

α. 5 2

:7 3

β. 3 1

:5 5

γ. 8 3

:21 7

δ. 13

: 52

ε. 4

3 :3

στ. 1

2 : 53

ζ. 8 8

:5 3

η. 4

: 29

2. Να υπολογίσετε τα πηλίκα:

α. 3

4 :174

β. 2 1 5

:3 2 6

+ γ.

2 1 14 :

5 5 10 +

δ. 2 1 7

:3 4 8

+ ε.

1 15 : 4

2 3 − −

στ. 1

20 : 103

3. Να υπολογίσετε τα εξαγόµενα:

α. 1 3 5 3 3

: 3· :2 2 9 2 5

+ − β. 1 1 5 1 2 2 2

: : :2 3 6 2 3 3 4

+ + −

4. Να λύσετε τις εξισώσεις:

α. 3 1

: x8 4

= β. 3

x : 45

=

γ. 1

x· 43

= δ. 1 1

2 ·x4 3

=

5. Nα αντιστοιχίσετε στις διαιρέσεις της στήλης Α τα πηλίκα της Β.

166. Τα κλάσµατα

∆ιαίρεση κλασµάτων - ∆εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό

6. Nα βρείτε µε ποιον αριθµό πρέπει να πολ/µε το 4

5 για να πάρουµε γινόµενο:

α. 1 β. 2 γ. 2

3δ.

24

3ε. 0

7. Να βρείτε µε ποιον αριθµό πρέπει να διαιρέσουµε το 2

3 για να πάρουµε πηλίκο:

α. 1 β. 2

3γ.

4

5δ.

12

3

8. Ένας εργάτης τελειώνει ένα έργο σε 4 ηµέρες. Ένας δεύτερος το τελειώνει σε 6 ηµέρες

και ένας τρίτος το τελειώνει σε 12 ηµέρες. Σε πόσες ηµέρες τελειώνουν το έργο αν

εργάζονται και οι τρείς µαζί;

9. Ένας µελισσοκόµος παράγει 120 κιλά µέλι και θέλει να το συσκευάσει σε κουτιά του

167.Τα κλάσµατα

∆ιαίρεση κλασµάτων - ∆εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό

1

2 κιλού. Πόσα κουτιά θα χρειαστεί;

10. Ένας εργάτης τελειώνει τα 5

21 ενός έργου σε µια µέρα. Σε πόσες ηµέρες θα

τελειώσει όλο το έργο;

11. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα µε τα αποτελέσµατα των διαιρέσεων.

ÓôÞëç Á ÓôÞëç Â

14 :

2

5 1:

3 8

2 1 8· :

5 3 3

14 : 5

2

1 53 :

3 3

17 : 3

2

1 52 :

8 8

1 1 5: :

3 2 6

14 : 2

3

168. Τα κλάσµατα

∆ιαίρεση κλασµάτων - ∆εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό

ÐñÜîåéò Ó

4 2 3:

3 3 5

1 1 22 : 3

3 2 3

1 4 111 :

3 5 8

32 : : 2 1

2

6 2 1 3: :

5 5 5 5

7 2 112 :

3 3 2

1 6 2 1 1433 : :

2 5 3 2 27

Ë

12. Σηµειώστε µε x την στήλη Σ (Σωστό) ή την στήλη Λ (Λάθος) για τις πράξεις του

παρακάτω πίνακα.

169.Τα κλάσµατα

∆ιαίρεση κλασµάτων - ∆εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό

Ερώτηση 1

Με τι ισούται το πηλίκο της διαίρεσης δύο κλασµάτων;

Ερώτηση 2

Ποιο κλάσµα ονοµάζεται σύνθετο; ∆ώστε 4 παραδείγµατα.

Άσκηση 1

Να µετατρέψετε σε απλά τα σύνθετα:

α.

3253

β. 123

γ.

274

δ.

521

32

ε. 11

23

στ. 385

Άσκηση 2

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 3

x· 14

= β. 4 1

x· 23 2

= γ. 3·x 2

5=

δ. 8

x· 29

= ε. 4 2

x·7 7

= στ. 1 7

3 ·x4 12

=

Άσκηση 3

Να γίνουν οι πράξεις: 1 2 1 2 1 2

: : :3 3 4 4 5 5

+ +

170. Τα κλάσµατα

∆ιαίρεση κλασµάτων - ∆εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό

Ποια κλάσµατα ονοµάζονται δεκαδικά;

• Τα κλάσµατα που έχουν παρονοµαστή µια δύναµη

του 10 ονοµάζονται δεκαδικά κλάσµατα.

π.χ. 2 51 43

, ,10 100 1000

• Κάθε δεκαδικό κλάσµα γράφεται ως δεκαδικός αριθµός

µε τόσα δεκαδικά ψηφία όσα µηδενκά έχει ο παρονοµαστής.

Αντίστροφα: Κάθε δεκαδικός αριθµός γράφεται ως κλάσµα

µε αριθµητή τον αριθµό χωρίς υποδιαστολή και

παρονοµαστή το 10 σε δύναµη ίση µε τον αριθµό των

δεκαδικών ψηφίων.

πχ. 21

2,1 ,10

70,7 ,

10

=

=

2

350,35

100143 143

1,4310010

=

= =

∆εκαδικά κλάσµατα

Μετατροπή κλάσµατος

σε δεκαδικό

• Σε κλάσµα (όχι δεκαδικό) αν εκτελέσουµε την διαίρεση και δεν µπορούµε να

βρούµε ακριβές πηλίκο (ατελής διαίρεση) τότε υπολογίζουµε το πηλίκο µε προσέγγιση.

∆ηλαδή: 11

3,666....3

=

Προσοχή! 11

3,63

= µε προσέγγιση δέκατου (ένα δεκαδικό ψηφίο)

113,66

3= µε προσέγγιση εκατοστού (δύο δεκαδικά ψηφία)

113,666

3= µε προσέγγιση χιλιοστού (τρία δεκαδικά ψηφία)

171.Τα κλάσµατα

∆ιαίρεση κλασµάτων - ∆εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό

Να γράψετε ως δεκαδικούς τα κλάσµατα:

α. 2210

β. 35110

γ. 8

100δ.

302100

ε. 45

1000στ.

43511000

ζ. 702

10000Λύση

α. 22

2,210

= β. 351

35,110

= γ. 8

0,08100

= δ.302

3,02100

=

ε. 45

0,0451000

= στ. 4351

4,3511000

= ζ. 702

0,070210000

=

Να γράψετε ως κλάσµα τους αριθµούς:

α. 4,9 β. 72,4 γ. 103,23 δ.5,703 ε. 0,72 στ. 0,0006

Λύση

α. 49

4,910

= β. 724

72,410

= γ. 10323

103,23100

=

δ.5703

5,7031000

= ε. 72

0,72100

= στ. 6

0,000610000

=

Να γράψετε ως δεκαδικούς τα κλάσµατα:

α. 485

β. 194

γ. 495

δ. 508

ε. 788

Λύση

α. 48

9,65

= β. 19

4,754

= γ. 49

9,85

=

δ.50

6,258

= ε. 78

9,758

=

172. Τα κλάσµατα

∆ιαίρεση κλασµάτων - ∆εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό

Να γράψετε τα κλάσµατα ως δεκαδικούς µε προσέγγιση:

α. δεκάτου β. εκατοστού γ. χιλιοστού

127

,4312

,12319

Λύση

12

7

1,7 (ìå ðñïóÝããéóç äåêÜôïõ)

1,71 (ìå ðñïóÝããéóç åêáôïóôïý)

1,714 (ìå ðñïóÝããéóç ÷éëéïóôïý)

43

12

3,5 (ìå ðñïóÝããéóç äåêÜôïõ)

3,58 (ìå ðñïóÝããéóç åêáôïóôïý)

3,583 (ìå ðñïóÝããéóç ÷éëéïóôïý)

123

19

6,4 (ìå ðñïóÝããéóç äåêÜôïõ)

6,47 (ìå ðñïóÝããéóç åêáôïóôïý)

6,473 (ìå ðñïóÝããéóç ÷éëéïóôïý)

Nα κάνετε τις παρακάτω πράξεις και να εκφράσετε το αποτέλεσµα ως δεκαδικό

αριθµό µε προσέγγιση δεκάτου.

2 1 7 1 1 7A = : + : + :

5 3 4 2 3 3

Λύση

2 1 7 1 1 7A : : :

5 3 4 2 3 3= + +

2 3 7 2 1 3A · · ·

5 1 4 1 3 7= + +

6 14 1A

5 4 7= + +

A 1,2 3,5 0,14= + +A 4,84=

173.Τα κλάσµατα

∆ιαίρεση κλασµάτων - ∆εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό

13. Να γράψετε τα κλάσµατα ως δεκαδικούς αριθµούς

α. 21

10β.

351

100γ.

42

1000δ.

38

100

ε. 341

10000 στ.

751

1000 ζ.

8

1000η.

32

100000

14. Να γράψετε ως κλάσµατα τους παρακάτω δεκαδικούς.

α. 6,5 β. 73,21 γ. 0,183 δ. 7,61 ε. 0,0191 στ. 3,006

15. Να γράψετε τα παρακάτω κλάσµατα ως δεκαδικούς αριθµούς.

α. 23

5 β.

11

2 γ.

170

25 δ.

9

4ε.

5

8 στ.

61

50

16. Να γράψετε µε προσέγγιση εκατοστού, χιλιοστού τα παρακάτω κλάσµατα:

α. 6

9 β.

135

8 γ.

431

42 δ.

75

31

17. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις.

α. 15 23 1 17

: :8 7 19 4

− β. 7 1

1,1650 4

+ − γ. 5 5 5

1000 100 10+ +

18. Να γίνουν οι διαιρέσεις (µε προσέγγιση δεκάτου) και τα αποτελέσµατα να γραφούν

ως δεκαδικοί αριθµοί.

174. Τα κλάσµατα

∆ιαίρεση κλασµάτων - ∆εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό

α. 8 : 6 β. 11: 4 γ. 125 :13 δ. 44 :102

ε. 85 : 3 στ. 7

4ζ.

8 3:

4 5

19. Συγκρίνετε τα κλάσµατα:

α. 42 75

,135 180

β. 25 49

,300 400

γ. 1 3

4 , 412 17

δ. 2 47

6 ,5 3

ε. 29 1

, 38 6

στ. 4 41

,100 1000

20. Να τοποθετήσετε από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τα παρακάτω κλάσµατα.

α. 2

11β.

8

15γ.

2

7δ.

6

19

175.Τα κλάσµατα

∆ιαίρεση κλασµάτων - ∆εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό

Ερώτηση 1

Ποια κλάσµατα ονοµάζονται δεκαδικά;

Ερώτηση 2

Τι ονοµάζουµε ως προσέγγιση δεκάτου, εκατοστού ή χιλιοστού;

Άσκηση 1

Να γράψετε τα παρακάτω κλάσµατα ως ισοδύναµα κλάσµατα µε παρονοµαστή

10 ή 100.

α. 1

2β.

2

5γ.

10

6δ.

13

25

Άσκηση 2

Να γίνουν οι διαιρέσεις µε προσέγγιση δεκάτου και εκατοστού.

α. 7

3 β.

6

7γ.

2

3δ.

11

4

Άσκηση 3

Να τοποθετήσετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο τους παρακάτω αριθµούς.

α. 3

10 β.

8

10γ.

12

25δ.

4

7ε.

21

20στ.

32

50

ÂéâëéïìÜèçìá

14

· Ç Ýííïéá ôïõ ðïóïóôïý

· ÅöáñìïãÝò ðïóïóôþí

· ÐáñÜóôáóç ðïóïóôþí ìå äéáãñÜììáôá

· Ç Ýííïéá ôïõ ðïóïóôïý

· ÅöáñìïãÝò ðïóïóôþí

· ÐáñÜóôáóç ðïóïóôþí ìå äéáãñÜììáôá

Τί ονοµάζουµε ποσοστά ;

• Ποσοστά (ή ποσοστά επι τοις εκατό) ονοµάζονται

τα κλάσµατα της µορφής α

100, όπου α φυσικός ή δεκαδι-

κός αριθµός.

Συµβολικά γράφουµε : α %

Τα ποσοστά

• Την έννοια του ποσοστού τη συναντούµε συχνά στην καθηµερινή ζωή. Για

παράδειγµα ,στις επιτυχίες µαθητών σε Ανώτατες σχολές , στα επιτόκια τραπεζών,

στο Φ.Π.Α (φόρος προστιθέµενης αξίας),κ.λ.π.

• Τα ποσοστά είναι ένας τρόπος για να εκφράζει κανείς κλάσµατα .Για να γραφεί ένα

κλάσµα µ

ν σε ποσοστό, πρώτα κάνουµε τη διαίρεση µ : ν και στη συνέχεια αν το

πηλίκο είναι δεκαδικός για να το γράψουµε ως ποσοστό µετακινούµε την υποδιαστο-

λή δυο θέσεις προς τα δεξιά.

π.χ. 3

0,754

= ή 75%

• Για να βρούµε το ποσοστό α% κάποιου αριθµού (ή µεγέθους),έστω µ, κάνουµε τον

πολλαπλασιασµό α

·µ100

.

• Αν ένα µέγεθος χωριστεί σε ν ίσα µέρη και πάρουµε µ από αυτά τότε το αντίστοιχο

ποσοστό εκφράζεται από το κλάσµα µ

ν όπως αναφέραµε προηγούµενως.

• Πολλές φορές τα ποσοστά εκφράζονται και επι τοις χιλίοις ,δηλαδή α

1000 á o

/oo

178. Τα κλάσµατα

Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα

Να γράψετε σε µορφή ποσοστών (%) τα παρακάτω.

α. 12

β. 35

γ. 2050

δ. 4

100ε.

4252000

Λύση

α.1

1: 2 0,52

= = ή 50% β. 3

3 : 5 0,65

= = ή 60%

γ. 20

20 : 50 0,450

= = ή 40% δ. 4

0,04100

= ή 4%

δ. 425

0,21252000

= ή 21, 25%

Να γράψετε ως κλάσµατα τα ποσοστά:

α. 10% β. 8% γ. 125% δ. 75% ε. 405% στ. 85%

Λύση

α. 10 1

10%100 10

→ = β. 8 4

8%100 25

→ = γ. 125 5

125%100 4

→ =

δ. 7,5 7,5·10 75 3

75%100 100·10 1000 40

→ = = = ε. 405 81

405%100 4

→ =

στ. 85o/oo

85 17

1000 40→ =

Να υπολογίσετε τα ποσοστά:

α. το 21% του 50 β. το 10% του 25

γ. το 12o/oo του 3000 γ. το 20% της 1 ώρας

Λύση

α. 21 21·50 1050

·50 10,5100 100 100

= = = β. 10 10·25 250

·25 2,5100 100 100

= = =

179.Τα κλάσµατα

Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα

γ. 12 12·3000 36000

·3000 361000 1000 1000

= = = δ. 20 1200

·60 12100 100

= = min

Σ’ένα χωριό 530 κατοίκων το 10% είναι γέροι. Να βρείτε το πλήθος τους.

Λύση

Είναι το 10% του 530 δηλαδή είναι 10 10·530 5300

·530 53100 100 100

= = = άτοµα.

Σ’ένα Γυµνάσιο το 52% του αριθµού των µαθητών είναι κορίτσια. Αν το γυµνάσιο

έχει 400 µαθητές, ποιός είναι ο αριθµός των κοριτσιών;

Λύση

Είναι το 52% του 400 δηλαδή είναι 52 20800

·400 208100 100

= = κορίτσια.

Ένα εργοστάσιο παράγει γάλα. Η παραγωγή ανέρχεται σε 135.000m3. Aν η παραγωγή

αυξηθεί κατά 18% πόσα m3 γάλα θα παραχθούν.

Λύση

Η αύξηση είναι ίση µε το 18 % του 135000 , δηλαδή είναι :

318 135.000·18 2.430.000135.000· 24.300m

100 100 100= = =

Άρα θα παραχθούν: ( ) 3 3135.000 24.300 m 159.300m+ = γάλα.

Ένας παραγωγός απο 3500 κιλά σταφύλια έβγαλε 2900 κιλά µούστο. Πόσο επι τοις %

ήταν η παραγωγή;

Λύση

Η παραγωγή ήταν: 2900

0,8283500

= ή 82,8%

Ο πληθυσµός µιας πόλης είναι 25.000 άτοµα. Σ’ένα χρόνο οι γεννήσεις ήταν 530 και

οι θανάτοι 470. Πόσο επι τοις % αυξήθηκε ο πληθυσµός;

Λύση

Γεννήσεις : 530

Θανάτοι : 470

άυξηση: 530 470 60− = άτοµα.

Το ποσό της αύξησης είναι: 60

0,002425.000

= ή 0,24%

180. Τα κλάσµατα

Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα

200.000t ζαχαρότευτλων βγάζουν 165.000t ζάχαρης. Να βρείτε το ποσοστό της

εξαγωγής ζάχαρης.

Λύση

Ζαχαρότευτλα : 200.000

Ζάχαρη : 165.000

τότε

ποσοστό: 165.000

0,825200.000

= δηλαδή 82,5%

άρα το ποσοστό είναι 82,5%

Σ’ένα φούρνο από 500 κιλά ζυµάρι παρασκευάζονται 425 κιλά ψωµί. Πόσο επι τοις

% είναι η απώλεια βάρους;

Λύση

Ζυµάρι : 500

Ψωµί : 425

η απώλεια βάρους είναι 500 425 75− = κιλά

άρα το ποσοστό ειναι: 75

0,15500

= ή 15%

Σ’ένα φούρνο από 500 κιλά ζυµάρι παρασκευάζονται 425 κιλά ψωµί. Πόσο επι τοις

% είναι η απώλεια βάρους;

Λύση

Ζυµάρι : 500

Ψωµί : 425

η απώλεια βάρους είναι 500 425 75− = κιλά

άρα το ποσοστό ειναι: 75

0,15500

= ή 15%

Σ’ένα φούρνο από 500 κιλά ζυµάρι παρασκευάζονται 425 κιλά ψωµί. Πόσο επι τοις

% είναι η απώλεια βάρους;

Λύση

Ζυµάρι : 500

Ψωµί : 425

η απώλεια βάρους είναι 500 425 75− = κιλά

άρα το ποσοστό ειναι: 75

0,15500

= ή 15%

181.Τα κλάσµατα

Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα

Το ζυµάρι όταν γίνεται ψωµί χάνει το 12% του βάρους. Αν θέλουµε να παρα-

σκευάσουµε 300 κιλά ψωµί ποσό ζυµάρι πρέπει να έχουµε;

Λύση

Έστω ότι πρέπει να έχουµε x κιλά ζυµάρι. Αν 12% του βάρους χάνεται τότε το

( )100 12 % 88%− = του βάρους µετατρέπεται σε ψωµί. Άρα έχουµε:

88x· 300

100=

88x 300 :

100=

100x 300·

88=

30.000x

88=

x 340,9=Άρα χρειαζόµαστε 340,9 κιλά ζάχαρη.

182. Τα κλάσµατα

Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα

1. Να γράψετε µε µορφή ποσοστών τα κλάσµατα:

α. 2

10β.

5

10γ.

71

50δ.

3

4

ε. 15

8στ.

30

600ζ.

495

1000

2. Να γράψετε µε µορφή ποσοστών (επί της o/oo) τα κλάσµατα:

α. 1

3β.

8

15γ.

75

32δ.

48

105ε.

30

450

3. Να γράψετε µε µορφή ποσοστών (επί τοις %) τα κλάσµατα:

α. 1,7

8β.

1,5

4,5γ.

7,13

12,85δ.

43

108,4ε.

1,2

3,5

4. Να γράψετε µε µορφή κλασµάτων τα ποσοστά:

α. 5% β. 13% γ. 22% δ. 12,5%

ε. 48,7% στ. 170% ζ. 405%

5. Να γράψετε µε µορφή κλασµάτων τα ποσοστά:

α. o/oo51 β.

o/oo432 γ. 8,5% δ. 13,85% ε.

o/oo49,5

6. Να υπολογίσετε:

α. το 12% του 350 β. το 13o/oo του 500 γ. το 1,5% του 30

δ. το 14,7% του 147 ε. το 351% του 702

183.Τα κλάσµατα

Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα

7. Να υπολογίσετε:

α. το 19% του m (σε cm) β. το 30% του (σε cm3)

γ. το 25% του στρέµµατος (σε m2) δ. το 60% των 300€ (σε gr)

ε. το 40% των 5km (σε dm)

8. Σ’ένα σχολείο 400 µαθητών είχαµε 52 επιτυχόντες στα Α.Ε.Ι. την χρονιά που πέρασε

ενώ σ’ένα άλλο σχολείο 250 µαθητών είχαµε 32 επιτυχόντες. Σε ποιο σχολείο είχαµε

το µεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας;

9. Σ’ένα ινστιτούτο αδυνατίσµατος µια γυναίκα από 72 κιλά αδυνάτισε 14 κιλά. Να

βρείτε το ποσοστό της µείωσης βάρους.

10. Σε µια αλυκή εξατµίζεται το 72% του θαλασσινού νερού και το υπόλοιπο είναι

αλάτι. Αν στις δεξαµενές της αλυκής υπάρχουν 4000t θαλασσινού νερού πόσο

αλάτι θα πάρουµε;

11. Στο σχολείο ενός νησιού της άγονης γραµµής ήταν 150 µαθητές. Μετά ένα χρόνο

ο αριθµός των µαθητών µειώθηκε 10%. Πόσοι µαθητές έµειναν στο σχολείο;

12. Η παραγωγή λαδιού σ’ένα χωριό της Κρήτης αυξήθηκε από 12,6t σε 13,9t. Ποιο

είναι το ποσοστό της αύξησης;

13. Ένας αγρότης καλλιεργεί 50 στρέµµατα. Από αυτά 12 στρέµµατα είναι βαµβάκι και

από τα υπόλοιπα το 30% είναι ελιές. Πόσα στρέµµατα µένουν ακαλλιέργητα;

14. Ρωτήθηκαν 30000 κάτοικοι των Αθηνών για τον τρόπο που µετακινούνται καθηµερινά.

Από αυτούς 12000 χρησιµοποιούν το µετρό, 9500 χρησιµοποιούν το αυτοκίνητο τους

και 5000 χρησιµοποιούν µηχανή. Να βρείτε τα αντίστοιχα ποσοστά τους.

15. Σε έρευνα τις τροχαίας στα 430 αυτοκίνητα οι 230 οδηγοί δεν φορούσαν ζώνη, και στις

280 µηχανές το 25% των οδηγών δεν φορούσε κράνος. Να βρείτε το ποσοστό των

οδηγών που δεν φορούσε ζώνη και τον αριθµό των οδηγών που δεν φορούσαν κράνος.

184. Τα κλάσµατα

Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα

Τι ποσοστό παριστάνει το κόκκινο, το κίτρινο, το µπλέ και το λευτό στα διαγράµµα-

τα που ακολουθούν;

Πως παριστάνουµε τα ποσοστά ;

Τα ποσοστά τα παριστάνουµε :

• µε πίνακες

• µε ορθογώνια διαγράµµατα

• µε ραβδογράµµατα

• µε κυκλικά διαγράµµαταΠαράσταση των

ποσοστών

185.Τα κλάσµατα

Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα

16. Σε σύνολο 1200 µαθητών υποψηφίων για Α.Ε.Ι, Τ.Ε.Ι. είχαµε τον παρακάτω πίνακα επιτυχιών.

Να συµπληρωθεί ο πίνακας και µετά να γίνει:

α. ραβδόγραµµα β. κυκλικό διάγραµµα γ. ορθογώνιο διάγραµµα

17. Ένας αργότης καλλιεργεί 80 στρέµµατα. Από τα 22 είναι µε καπνό, τα 35 είναι µε

βαµβάκι και τα υπόλοιπα µε οποροκηπευτικά. Να βρείτε τα αντίστοιχα ποσοστά

των καλλιεργειών και να γίνει ραβδόγραµµα και κυκλικό διάγραµµα.

18. Ρωτήθηκαν 1000 άτοµα που χρησιµοποιούν το µετρό για την καθαριότητα των µέσων,

την εξυπηρέτηση και την ταχύτητα µεταφοράς και τα αντίστοιχα ποσοστά ήταν 50%,

30%, 20%. Να γίνει ραβδόγραµµα και κυκλικό διάγραµµα των απαντήσεων.

19. Σ’ένα νοσοκοµείο νοσηλεύονται 800 ασθενείς. Από αυτούς το 25% είναι στο ΟΓΑ,

35% στο ΙΚΑ και οι υπόλοιποι στο ΤΕΒΕ.

α. Να βρείτε τον αριθµό των αντίστοιχων ασφαλισµένων

β. Να γίνει ραβδόγραµµα του αριθµού των ασφαλισµένων.

20. Στο ταχυδροµίο µιας πόλης από 4000 φακέλους το 55% αποστέλεται στην ίδια

πόλη, το 30% στην επαρχία και το υπόλοιπο στο εξωτερικό.

α. Να βρείτε τον αριθµό των φακέλων της κάθε περίπτωσης.

β. Να γίνει ραβδόγραµµα και κυκλικό διάγραµµα.

ÌáèçôÝòÁñéèìüò

ìáèçôþíÐïóïóôü (%)

Eðéôõ÷üíôåò óå Á.Å.É.

Åðéôõ÷üíôåò óå Ô.Å.É.

Áðïôõ÷üíôåò

Óýíïëï

400

550

1200 100

186. Τα κλάσµατα

Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα

Μια οικογένεια χρεώνεται σ’ένα ξενοδοχείο για τις καλοκαιρινές διακοπές της

1250€. Το ποσόν αυτό επιβαρύνεται µε Φ.Π.Α. 18%. Πόσο θα πληρώσει τελικά.

Λύση

Για Φ.Π.Α. θα πληρώσει: 18 1·250·18 22500

1250· 225100 100 100

= = = €

Τελικό ποσόν: 1250 225 1475+ = €

Αγόρασε κάποιος έναν υπολογιστή αξίας 1.121€. Αν η αξία του χωρίς το Φ.Π.Α. είναι

950€. Να βρείτε τον συντελεστή του Φ.Π.Α.

Λύση

Η αξία σε € του Φ.Π.Α. ειναι: 1121 950 171− = €

άρα ο συντελεστής είναι: 171

0,18950

= ή 18%

Για την αγορά εξοπλισµού ενός γραφείου πληρώνει κάποιος 820€. Αν ο συντελεστής

Φ.Π.Α. είναι 18% ποια είναι η αρχική τιµή των αντικειµένων που αγοράστηκαν;

Λύση

Από την αρχική τιµή για να βρω το ποσόν του Φ.Π.Α. πολ/ζω µε 18

100.

Για να βρω όµως την τελική τιµή πολ/ζω µε 118

100. ∆ηλαδή:

Έστω x€ η αρχική τιµή, τότε:118

x· 820100

= οπότε 118

x 820 :100

=

100 82000x 820· 649,9

118 118= = =

187.Τα κλάσµατα

Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα

Στην περίοδο των εκπτώσεων σ’ένα κουστούµι αξίας 120€ γίνεται έκπτωση 20%. Πόσο

θα είναι η τελική τιµή του κουστουµιού;

Λύση

Το ποσόν της έκπτωσης είναι: 20 2400

120· 24100 00

= =

άρα τελική τιµή θα είναι: 120 24 96− =

Σ’ένα παντελόνι αξίας 35€ γίνεται έκπτωση 15% και η τελική τιµή είναι 30€. Έχει

κάνει λάθος ή όχι ο έµπορος;

Λύση

Η έκπτωση είναι 15 525

35· 5, 25100 10

= =

άρα η τελική τιµή είναι: 35 5, 25 29,75− =Άρα έκανε λάθος ο έµπορος.

Η τιµή ενός αυτοκινήτου είναι 14.300€. Γίνεται µια πρώτη αύξηση 10% και µια

δεύτερη 8% λόγω µεγάλης αύξησης. Ποια είναι η τελική τιµή του αυτοκινήτου;

Λύση

Η πρώτη αύξηση είναι: 10

13400· 1430100

=

άρα η τιµή του αυτοκινήτου µετά την πρώτη αύξηση είναι: 14300 1430 15730+ =άρα η τελική τιµή είναι: 15730 1258, 4 16988, 4+ =

Ο Παναγιώτης κατέθεσε στην τράπεζα 4050€ µε επιτόκιο 3,5% για ένα χρόνο.

Πόσα χρήµατα θα πάρει στο τέλος του χρόνου; (τόκοι + κεφάλαιο µαζί).

Λύση

Οι τόκοι για τον χρόνο είναι: 3,5 14175

4050· 141,75100 100

= =

άρα το τελικό ποσόν είναι αρχικό κεφάλαιο + τόκοι, δηλαδή 4050 141,75 4.191,75+ = .

Ένας έµπορος είχε στην τράπεζα 10.800€ µε επιτόκιο 3%. Στο τέλος της χρονιάς

για επαγγελµατικούς λόγους έκανε ανάληψη του 25% των χρηµάτων. Ποιο είναι το

ποσόν που έµεινε στην τράπεζα.

Λύση

Οι τόκοι µετά 1 χρόνο είναι: 3 32400

10.800· 324100 100

= = άρα στο τέλος του 1ου χρόνου τα

188. Τα κλάσµατα

Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα

χρήµατα στην τράπεζα αυξήθηκαν σε 10.800 324 11.124+ =

από αυτά παίρνει το 25% δηλαδή 25 278.100

11.124· 2.781100 100

= =

άρα µένουν 11.124 2781 8343− =

Ένα προϊόν πωλείται προς 400€ αφού του έχει γίνει έκπτωση 20%. Ποια είναι η

αρχική τιµή του;

Λύση

Αφού 20% είναι το ποσοστό της έκπτωσης το 80% είναι το ποσοστό που αφορά την τελική

τιµή. Αν λοιπόν x είναι η αρχική τιµή: 80

x· 400100

= οπότε

80 100 40000x 400 : 400· 500

100 80 80= = = =

άρα η αρχική τιµή είναι 500€.

Κατέθεσε κάποιος στην τράπεζα το ποσόν των 2.300€ και µετά 1 χρόνο έκανε

ανάληψη των χρηµάτων και πήρε 2470€. Ποιο είναι το επιτόκιο;

Λύση

Οι τόκοι του χρόνου είναι σε € 2470 2300 170− = .

Τότε το επιτόκιο είναι: 170

0,0732300

= ή 7,3%.

189.Τα κλάσµατα

Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα

21. Να βρείτε το Φ.Π.Α. για εµπορεύµατα αξίας

α. 1000€ β. 1800€ γ. 5.000€

αν ο συντελεστής είναι 18%

22. Αν ο συντελεστής Φ.Π.Α. είναι 18% και οι τελικές τιµές κάποιων ειδών είναι:

α. 1400€ β. 3500€ γ. 8900€

να βρείτε τις αρχικές τιµές τους.

23. Ο πατέρας του Νίκου αγόρασε για τον γιο του µια εγκυκλοπαίδεια αξίας 650€.

Ο συντελεστής Φ.Π.Α. για τα βιβλία είναι 8%. Πόσο τελικά θα στοιχίσει η

εγκυκλοπαίδεια;

24. Στον λογαριασµό της ∆.Ε.Η. ενός σπιτιού γίνονται οι εξής χρεώσεις:

α. 780 µονάδες (kw) προς 0,35€ η κάθε µονάδα

β. 300 µονάδες (kw) προς 0,68€ η κάθε µια

γ. βασικά τέλη (Ε.Τ., δήµος) 11€

δ. Φ.Π.Α. 18%

Ποιος είναι ο τελικός λογαριασµός;

25. Η τιµή ενός αυτοκινήτου είναι 3.400€. Στην τιµή αυτή γίνεται αύξηση 10%. Σ’ένα

συγκεκριµένο αυτοκίνητο λόγω µιας ζηµιάς που παρουσίασε γίνεται µείωση 12%.

Ποια είναι η τελική του τιµή;

26. Ένας έµπορος πουλάει ένα ελαττωµατικό µηχάνηµα µε ζηµιά 6%. Αν το πουλούσε

µε κέρδος 14% θα κέρδιζε 480€. Να βρείτε:

α. Πόσο αγόρασε το µηχάνηµα

β. Πόσο το πούλησε το µηχάνηµα

γ. Ποια ήταν η ζηµιά του

190. Τα κλάσµατα

Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα

27. Αγόρασε κάποιος ένα διαµέρισµα 120.000€. Πλήρωσε το 40% των χρηµάτων µε-

τρητοίς και τα υπόλοιπα µετά από ένα χρόνο µε επιτόκιο 9%. Αν στην τιµή αυτή

προστεθούν τα συµβολαιογραφικά έξοδα της τάξης του 0,5% επί της αρχικής

τιµής, πόσο τελικά θα στοιχίσει το διαµέρισµα;

28. Ένας κρεοπώλης πουλάει το κιλό το αρνί 7,2€. Αν γνωρίζουµε ότι το κέρδος του

είναι 20% πόσο αγοράζει το κιλό;

29. Η αγορά ενός στερεοφωνικού συγκροτήµατος στοιχίζει 1080€ αφού προηγείται

έκπτωση 15%. Πόσο είναι η αρχική τιµή του;

30. Αγοράζει κάποιος ένα µεταχειρισµένο αυτοκίνητο αντί του ποσού 3.500€. ∆ίνει

προκαταβολή 1500€ και τα υπόλοιπα σε δύο δόσεις ισόποσες.

Η 1η δόση µετα 1 µήνα µε επιτόκιο 4% και η 2η δόση µετα 3 µήνες µε επιτόκιο 8%.

Πόσο στοίχισε το αυτοκίνητο;

191.Τα κλάσµατα

Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα

Ερώτηση 1

Τι ονοµάζουµε ποσοστά;

Ερώτηση 2

Πώς παριστάνουµε τα ποσοστά;

Άσκηση 1Ένα σχολείο έχει 620 µαθητές. Από αυτούς οι 290 µαθητές είναι αγόρια. Να βρείτε το

ποσοστό των κοριτσιών επί του συνόλου των µαθητών.

Άσκηση 2Να γράψετε µε µορφή ποσοστών (%) τα κλάσµατα:

α. 25

100β.

4

10γ.

351

1000δ.

4

8ε.

72

360στ.

85

100

Άσκηση 3Μια ηλεκτρονική ζυγαριά έχει σφάλµα ανάγνωσης –3%. Αν το βάρος µια γυναίκας

είναι 61 κιλά, ποιό είναι το πραγµατικό της βάρος;

Άσκηση 4Κατέθεσε κάποιος στην τράπεζα 3500€ µε επιτόκιο 4%. Αν οι τόκοι στο τέλος του

χρόνου φορολογούνται µε ποσοστό 10% πόσα χρώµατα θα πάρει µετά 1 χρόνο;

ÊåöÜëáéï 4ïïïïï

âéâëéïììÜèçìá 15:âéâëéïììÜèçìá 15:âéâëéïììÜèçìá 15:âéâëéïììÜèçìá 15:âéâëéïììÜèçìá 15: -Ç Ýííïéá ôùí áíÜëïãùí ðïóþí-Ç Ýííïéá ôùí áíÜëïãùí ðïóþí-Ç Ýííïéá ôùí áíÜëïãùí ðïóþí-Ç Ýííïéá ôùí áíÜëïãùí ðïóþí-Ç Ýííïéá ôùí áíÜëïãùí ðïóþí

âéâëéïììÜèçìá 16: âéâëéïììÜèçìá 16: âéâëéïììÜèçìá 16: âéâëéïììÜèçìá 16: âéâëéïììÜèçìá 16: -ÅöáñìïãÝò ôùí áíÜëïãùí ðïóþí-ÅöáñìïãÝò ôùí áíÜëïãùí ðïóþí-ÅöáñìïãÝò ôùí áíÜëïãùí ðïóþí-ÅöáñìïãÝò ôùí áíÜëïãùí ðïóþí-ÅöáñìïãÝò ôùí áíÜëïãùí ðïóþí-Êëßìáêåò-Êëßìáêåò-Êëßìáêåò-Êëßìáêåò-Êëßìáêåò-----Ìåñéóìüò óå ìÝñç áíÜëïãáÌåñéóìüò óå ìÝñç áíÜëïãáÌåñéóìüò óå ìÝñç áíÜëïãáÌåñéóìüò óå ìÝñç áíÜëïãáÌåñéóìüò óå ìÝñç áíÜëïãá

ÁíÜëïãá ðïóÜÁíÜëïãá ðïóÜ

ÂéâëéïìÜèçìá

15· Ç Ýííïéá ôùí áíáëüãùí ðïóþí· Ç Ýííïéá ôùí áíáëüãùí ðïóþí

Τι ονοµάζουµε λόγο δύο αριθµών; Τι ονοµάζουµεαναλογία; Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα;

Κάθε κλάσµα λέγεται λόγος του αριθµητή του προς

του παρονοµαστή του.

∆ηλαδή ο λόγος του 5 προς το 7 είναι το κλάσµα 5

7 ή µε

άλλα λόγια το πηλίκο της διαίρεσης: 5 : 7

Αναλογία ονοµάζουµε την ισότητα δύο λόγων. Για παρά-

δειγµα, οι ισότητες: 2 4

,3 6

= 1 10

10 100= είναι αναλογίες.

∆ύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν πολ/ζοντας τις τιµές του

ενός ποσού µε έναν αριθµό πολ/ζονται και οι αντίστοιχες

τιµές του άλλου ποσού µε τον ίδιο αριθµό.

Οµοίως αν διαιρέσουµε τις τιµές του ενός ποσού µε έναν

αριθµό, διαιρούνται και οι αντίστοιχες τιµές του άλλου πο-

σού µε τον ίδιο αριθµό.

Ο παρονοµαστής ενός κλάσµατος είναι αριθµός διαφορετικός από το µηδέν.

Να θυµόµαστε ότι

σε κάθε αναλογία

ισχύει η χιαστή ιδιό-

τητα. ∆ηλαδή: αν

τότε ισχύει

αδ βγ=

( )β 0 & δ 0≠ ≠

196. Ανάλογα ποσά

Η έννοια των αναλόγων ποσών

∆ίνεται ο παρακάτω πίνακας τιµών. Να εξετάσετε αν τα ποσά είναι ανάλογα και να

γράψετε τη σχέση που συνδέει τo y µε το x.

Λύση

Παρατηρούµε ότι: 1,5 1

,7,5 5

= 0,5 1,

2,5 5=

4 1,

20 5=

14 1

70 5= δηλαδή ο λόγος τους παραµένει

σταθερός άρα είναι ανάλογα οπότε x 1

y 5= ή ισοδύναµα

y 5

x 1= . Η σχέση που συνδέει

το y µε το x είναι y 5x= .

1.Ο λόγος των τιµών δύο αναλόγων ποσών παραµένει σταθερός.

2. Αν σε ένα σύστηµα ορθογωνίων αξόνων παραστήσουµε τα ζεύγη

τιµών (x, y) δύο αναλόγων ποσών µε σηµεία του επιπέδου και τα

ενώσουµε διαδοχικά τότε τα σηµεία βρίσκονται πάνω σε µια ευθεία

η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

• ∆ιαπιστώνουµε ότι τα ποσά είναι ανάλογα. (ελέγχοντας αν ο λόγος των

αντίστοιχων τιµών τους είναι σταθερός).

• Σχηµατίζουµε έναν πίνακα µε τις τιµές που δίνονται και βάζουµε στη θέση της

άγνωστης τιµής τη µεταβλητή x.

• Εφαρµόζουµε χιαστί ιδιότητα και λύνουµε ως προς τον άγνωστο x.

197.Ανάλογα ποσά

Η έννοια των αναλόγων ποσών

Ένα κατάστηµα πουλάει τα είδη του µε έκπτωση 13%. Να βρεθεί πόσο πουλήθηκε

ένα µπουφάν αξίας 250€.

Λύση

Επειδή τα ποσά αξία - έκπτωση είναι ανάλογα, αν x η έκπτωση του µπουφάν ισχύει:

100 250

13 x= ή 100x 250·13= ή

250·13x

100= ή x 32,5= . Εποµένως η τιµή πώλησης

είναι ( )250 32,5 217,5− =

Μια µοτοσυκλέτα για να καλύψει τα 45

µιας διαδροµής χρειάζεται 3,5 ώρες. Να

βρεθεί σε πόσες ώρες θα καλύψει την υπόλοιπη διαδροµή.

Λύση

Επειδή τα ποσά απόσταση - χρόνος είναι ανάλογα (όταν η ταχύτητα παραµένει σταθερή)

τότε αν x οι ώρες που θα καλύψει η µοτοσυκλέτα την υπόλοιπη διαδροµή, έχουµε:

4 15 5

3,5 x= ή

4 1x ·3,5

5 5= ή

1·3,5 3,55x 0,8754 45

= = = ώρες.

Μια µηχανή συσκευασίας σοκολάτας λειτουργεί 8 ώρες την ηµέρα και συσκευάζει

2000 σοκολάτες των 250 γραµµαρίων. Να βρεθεί πόσα κιλά σοκολάτας θα συσκευάσει

η µηχανή την ηµέρα αν λειτουργεί 20 ώρες το εικοσιτετράωρο.

Λύση

Τα ποσά χρόνος λειτουργίας - ποσότητα συσκευασίας είναι ανάλογα. Αν x τα τεµάχια

της σοκολάτας που θα συσκευάσει η µηχανή τότε:8 20

2000 x= ή 8x 40.000= ή

40.000x 5.000

8= = σοκολάτες.

Οπότε 5.000·250γραµ. 125.000= γραµµάρια σοκολάτας. ή

( )1.250.000 :1.000 κιλά 1250κιλά=

Με 21 κιλά αλεύρι φτιάχνουµε 28 κιλά ψωµί. Πόσα κιλά αλεύρι χρειάζονται για 360

κιλά ψωµί;

Λύση

Επειδή τα ποσά βάρος πρώτης ύλης - βάρος παραγώµενου προϊόντος είναι ανάλογα,

αν x το βάρος του αλευριού που απαιτείται για τη παραγωγή 360 κιλών ψωµιού

τότε:21 x

28 360= ή 28x 21·360= ή

21·360x

28= ή x 270= κιλά αλεύρι.

198. Ανάλογα ποσά

Η έννοια των αναλόγων ποσών

Να υπολογίσετε την αύξηση σε (% )ποσοστό του εισιτηρίου αν η τιµή του ήταν

1,20€ και τώρα είναι 1,80€.

Λύση

Τα ποσά αρχική αξία προϊόντος - αύξηση τιµής προϊόντος είναι ανάλογα. Αφού η

αρχική τιµή του εισιτηρίου είναι 1,20€ και η τελική 1,80€ έχουµε αύξηση

( )1,80 1,20 0,60− = . Οπότε:

Στην τιµή 1,20€ έχουµε αύξηση 0,60€

Στην τιµή 100€ έχουµε αύξηση x

∆ηλαδή 1,20 0,60

100 x= ή 1, 20x 100·0,60= ή

100·0,60 60x 50%

1,20 1,20= = =

Ένα καλοριφέρ όταν ανάβει 2 ώρες το πρωί, 1 ώρα το µεσηµέρι και 3 ώρες το βράδυ

καταναλώνει σε 16 ηµέρες 1000 λίτρα πετρέλαιο. Αν αυξηθούν οι ώρες λειτουργίας

κατά 1 ώρα το πρωί και 1 ώρα το βράδυ, πόσο πετρέλαιο θα καταναλωθεί σε 30 ηµέρες;

Λύση

Τα ποσά καταναλώση πετρελαίου - χρόνος λειτουργίας είναι ανάλογα. Αν το

καλοριφέρ λειτουργεί ( )1 3 1 ώρες 5+ + = ώρες την ηµέρα, σε 16 ηµέρες λειτουργεί:

16·5 80= ώρες και καταναλώνει 1000 λίτρα πετρελαίου. Αν λειτουργεί 2 ώρες

περισσότερες την ηµέρα δηλαδή ( )5 2 ώρες 7+ = ώρες, σε 30 ηµέρες λειτουργεί

30·7 210= ώρες. Έστω x η νέα κατανάλωση τότε έχουµε:

80 1000

210 x= ή 80x 210·1000= ή

210·1000 210000x

80 80= = = 2625 λίτρα πετρελαίου.

199.Ανάλογα ποσά

Η έννοια των αναλόγων ποσών

1. ∆ίνεται ο παρακάτω πίνακας τιµών δύο ποσών. Να εξεταστεί αν τα ποσά είναι ανά-

λογα, και αν είναι να γραφτεί η σχέση που συνδέει το y µε το x. Επίσης να παραστή-

σετε τα ζεύγη (x, y) σε σύστηµα ορθογωνίων αξόνων. Τι παρατηρείτε;

2. Αν για 5kg πορτοκάλια πληρώνουµε 8,5€ να βρεθεί πόσο θα πληρώναµε για 17kg

πορτοκάλια. Πόσα κιλά θα αγοράσουµε µε 289€;

3. Ένα κατάστηµα ηλεκρικών συσκευών πουλάει τα είδη του µε έκπτωση 22%. Να

βρεθεί πόσο πουλήθηκε ένα κασσετόφωνο αξίας 500€.

4. Ένας έµπορος αγόρασε 6 ψυγεία προς 352€ το καθένα. Θέλει να τα πουλήσει µε

25% κέρδος το καθένα. Πόσο θα πουλήσει το καθένα; Πόσο είναι το κέρδος του

από όλα µαζί;

5. Οι αποδοχές ενός εργάτη σε µια µέρα είναι 46€.

α. Ποιές οι αποδοχές του σε 2 µήνες;

β. Σε πόσους µήνες θα έχει αποδοχές 9660€;

6. Το εισιτήριο του ΟΣΕ για µια συγκεκριµένη διαδροµή αυξήθηκε κατά 40% µέσα σε

ένα χρόνο. Αν σήµερα κοστίζει 17,5€, πόσο κόστιζε πριν από ένα χρόνο;

7. Μια βιοµηχανία λειτουργεί 16 ώρες την ηµέρα και παράγει 4000 πακέτα βούτυρο των

250 γραµµαρίων. Να βρεθεί πόσα κιλά βούτυρο θα παρασκευαστεί την ηµέρα αν

λειτουργεί 24 ώρες το εικοσιτετράωρο;

200. Ανάλογα ποσά

Η έννοια των αναλόγων ποσών

8. Ένα αυτοκίνητο όταν λειτουργεί 1,5 ώρες το πρωί, 1 ώρα το µεσηµέρι και 2,5 ώρες το

βράδυ καταναλώνει σε 12 ηµέρες 300 λίτρα βενζίνης. Αν ελαττώσει τη λειτουργία

του κατά µισή ώρα το πρωί και 1,5 ώρα το βράδυ πόσο θα κοστίζει η βενζίνη που

κατανάλωσε, αν η αξία του ενός λίτρου είναι 0,9€, σε διάρκεια 25 ηµερών;

9. Να υπολογίσετε το ποσοστό αύξησης της αξίας της βενζίνης αν η αξία του λίτρου

ήταν 0,75€ και σήµερα είναι 0,92€ το λίτρο.

10. Μια µοτοσυκλέτα για να καλύψει τα 2

3 µιας διαδροµής χρειάζεται 4,2 ώρες. Να

βρείτε σε πόσες ώρες θα καλύψει όλη τη διαδροµή και αν η κατανάλωση σε βενζί-

νη της µοτοσυκλέτας είναι 3 λίτρα την ώρα να βρείτε πόσο θα κοστίσει το υπόλοι-

πο της διαδροµής αν η αξία του ενός λίτρου είναι 0,8€.

201.Ανάλογα ποσά

Η έννοια των αναλόγων ποσών

Ερώτηση 1

∆ίνεται ότι α γ ε

β δ ζ= = (ισότητα τριών λόγων)

α. Να γράψετε τις αναλογίες που διακρίνετε.

β. Οι αριθµοί α και β είναι ανάλογοι προς τους αριθµούς γ και δ;

γ. Να σχηµατίσετε την αναλογία που προκύπτει αν γνωρίζετε ότι οι αριθµοί 3 και 6

είναι ανάλογοι προς τους αριθµούς 5 και 10.

Ερώτηση 2

α. Να αναφέρετε τις προϋποθέσεις ώστε τα µεγέθη “αριθµός εργατών” και “αριθµός

ηµερών για την αποπεράτωση ενός έργου” είναι ποσά ανάλογα.

β. Για δύο µεγέθη x, y προκύπτουν οι τιµές που δίνονται στον πίνακα:

x

y

1

10

10

102

102

103

103

104

104

105

Να εξετάσετε αν τα µεγέθη x, y είναι ανάλογα και να υπολογίσετε τον λόγο x

y.

γ. Μπορούµε από την τιµή του παραπάνω λόγου να προσδιορίσετε την τιµή του x

όταν y 0= .

Άσκηση 1

Για να φτιάξουµε ψωµί, βάζουµε 20gr µαγιά σε 1Kg αλεύρι. Πόση µαγιά θα

χρειαστούµε, αν έχουµε 2,5Kg αλεύρι;

202. Ανάλογα ποσά

Η έννοια των αναλόγων ποσών

Άσκηση 2

Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα ώστε να εκφράζει τις τιµές των ανάλογων

ποσών x, y.

x

y

1

4

1,5 2 2,5 3 3,5

Στη συνέχεια να παραστήσετε τις τιµές σε σύστηµα ορθογωνίων αξόνων.

Άσκηση 3

Ένα πουκάµισο πουλήθηκε µε έκπτωση 20%. Αν η αρχική τιµή του ήταν 25€ να

βρείτε την τιµή πώλησης.

ÂéâëéïìÜèçìá

16

· EöáñìïãÝò ôùí áíÜëïãùí ðïóþí

· Êëßìáêåò

· Ìåñéóìüò óå ìÝñç áíÜëïãá

· EöáñìïãÝò ôùí áíÜëïãùí ðïóþí

· Êëßìáêåò

· Ìåñéóìüò óå ìÝñç áíÜëïãá

Τι ονοµάζουµε κλίµακα χάρτη ή σχεδίου; Πότεέχουµε σµίκρυνση και πότε µεγένθυση ενός σχεδίου; Τι

εννοούµε όταν λέµε να µεριστεί ένας αριθµός σε µέρη

ανάλογα προς τους αριθµούς x, y, ω;

Κλίµακα του χάρτη ή του σχεδίου λέγεται ο σταθε-

ρός λόγος της απόστασης δύο σηµείων του χάρτη ή του

σχεδίου προς τη πραγµατική απόσταση των δύο σηµείων,

όταν οι αποστάσεις αυτές µετρηθούν µε την ίδια µονάδα

µέτρησης .Η κλίµακα συµβολίζεται µε ένα κλάσµα 1

α όπου :

1 απόσταση χεδίου

α ραγµατική απόσταση= σ

π

ή απλά

• Όταν η κλίµακα είναι µικρότερη από τη µονάδα τότε λέµε ότι έχουµε σµίκρυν-

ση του σχεδίου ενώ όταν είναι µεγαλύτερη από τη µονάδα λέµε ότι έχουµε µεγέθυν-

ση.∆ηλαδή αν →→

κ < 1 σµίκρυνση

κ > 1 µεγέθυνση

204. Ανάλογα Ποσά

Εφαρµογές των ανάλογων ποσών - Κλίµακες - Μερισµός σε µέρη ανάλογα

Η κλίµακα ενός χάρτη είναι 1:100.000. Να βρεθεί η απόσταση δύο πόλεων στο

χάρτη αν η πραγµατική απόσταση είναι 50Κm.

Λύση

Αν x σε cm η απόσταση των πόλεων στο χάρτη τότε

x 1

50Km 100.000= ή

x 1

50·1000·100cm 100000= ή x·100.000 5.000.000=

ή 5.000.000

x 50100.000

= = . Άρα η απόσταση είναι 50 cm.

Η κλίµακα ενός χάρτη είναι 1:500.000. Να βρεθεί η πραγµατική απόσταση δύο

πόλεων αν η απόσταση στο χάρτη είναι 24cm.

Λύση

Αν x σε cm είναι η πραγµατική απόσταση των δύο πόλεων τότε έχουµε:

24 1

x 500.000= ή x 24.500.000

x 12000000cm

==

ή ( )x 1200000 :100000= Κm

ή x 120Km=

• Όταν λέµε να µεριστεί ένα αριθµός β σε µέρη ανάλογα προς τους αριθµούς x, y, ω

εννοούµε ότι πρέπει να υπολογίσουµε αριθµούς κ, λ, µ ώστε να ισχύει:

κ λ µ

x y ω= = µε κ λ µ β+ + =

Στη επίλυση προβλήµατος µερισµού χρησιµοποιούµε την ιδιότητα :

κ λ µ κ λ µ β

x y ω x y ω x y ω

+ += = = =+ + + +

205.Ανάλογα Ποσά

Εφαρµογές των ανάλογων ποσών - Κλίµακες - Μερισµός σε µέρη ανάλογα

Να βρεθεί η κλίµακα ενός χάρτη αν η πραγµατική απόσταση δύο πόλεων είναι 85Κm

και η απόσταση στό χάρτη είναι 20cm.

Λύση

Αν κ η κλίµακα του χάρτη τότε έχουµε: 20cm 20 1

κ85·1000·100cm 8500000 425000

= = =

Οι διαστάσεις ενός οικοπέδου που έχει σχήµα ορθογωνίου είναι 48m και 22m. Να

βρεθούν οι διαστάσεις του σχεδίου αν ο µηχανικός θέλει να το σχεδιάσει έτσι ώστε

1cm του σχεδίου να αντιπροσωπεύει 10m πραγµατικής απόστασης.

Λύση

Η κλίµακα του σχεδίου θα είναι:1cm 1

κ10m 1000

= = .

Αν x το µήκος και y το πλάτος του σχεδίου σε cm έχουµε:

x 1 48m 4800cmή x 4,8cm

48m 1000 1000 1000= = = = .

και y 1

22m 1000= ή

22m 2200cmy 2,2cm

1000 1000= = = .

Σε τρία παιδιά ηλικίας 7, 9, 14 ετών µοιράστηκαν 960 €. Να βρείτε πόσα ευρώ πήρε

το καθένα παιδί.

Λύση

Αν x, y, ω είναι τα ευρώ που πήρε το κάθε παιδί τότε x y ω 960€+ + = και ισχύει:

x y ω x y ω 96032

7 9 14 30 30

+ += = = = = .

Άρα: x

32 ή x 32·7 224€7

= = = , y

32 ή y 32·9 228€9

= = = και

ω32 ή ω 32·14 448€

14= = =

Τρεις συνέταιροι ίδρυσαν µια επιχείρηση και ο α΄ έβαλε 6000€, ο β΄ 9000€ και ο γ΄

5000€. Αν η επιχείρηση είχε κέρδη 70.000€ να βρεθεί το µερίδιο του καθενός από

τα κέρδη της επιχείρησης.

Λύση

Αν x, y, ω το µερίδιο των α΄, β΄, γ΄ αντίστοιχα τότε x y ω 70000€+ + = . Άρα:

206. Ανάλογα Ποσά

Εφαρµογές των ανάλογων ποσών - Κλίµακες - Μερισµός σε µέρη ανάλογα

x y ω x y ω 700003,5

6000 9000 5000 20000 20000

+ += = = = =

Τότε x

3,5 ή x 3,5·6000 21000€6000

= = =

y3,5 ή x 3,5·9000 31000€

9000= = =

ω3,5 ή x 3,5·5000 17600€

5000= = =

Να µεριστεί ο αριθµός 3800 σε µέρη ανάλογα προς τους αριθµούς 5, 6, 8.

Λύση

Αν x , y , ω τα µέρη έχουµε x y ω x y ω 3800

2005 6 8 19 19

+ += = = = = .

Άρα: x

200 ή x 10005

= = , y

200 ή y 12006

= = και ω

200 ή ω 16008

= = .

Το οξυγόνο και το άζωτο βρίσκονται σε αναλογία βαρών 6 :19 . Να βρεθεί πόσο

βάρος από κάθε αέριο περιέχεται σε 12Kg αέρα.

Λύση

Αν x, y είναι οι ποσότητες του κάθε αερίου στα 12Kg αέρα τότε x y 12+ = και ισχύει:

x y x y 120,48

6 19 25 25

+= = = =

άρα x

0,48 ή x 0,48·6 2,88Kg6

= = = οξυγόνο.

y0,48 ή y 0,48·19 9,12Kg

19= = = άζωτο.

∆ύο φίλοι είχαν µαζί 3680€. Αν δώσουν σε τρίτο φίλο τους ο ένας τα 25

του µεριδίου

του και ο άλλος τα 27

από το δικό του θα αποµείνουν µε το ίδιο χρηµατικό ποσό. Να

βρεθεί το µερίδιο του καθένα.

Λύση

Αν x το µερίδιο του πρώτου και y του δεύτερου τότε: 2 3

x x x5 5

− = και 2 5

y y y7 7

− = .

207.Ανάλογα Ποσά

Εφαρµογές των ανάλογων ποσών - Κλίµακες - Μερισµός σε µέρη ανάλογα

Επειδή έµειναν µε το ίδιο χρηµατικό ποσό είναι : 3 5

x y5 7

= ή x 25

y 21=

∆ηλαδή x y 3680

8025 21 46

= = = .Άρα:x

80 ή x 25·80 2000€25

= = = το µερίδιο του

πρώτου και y

80 ή y 21·80 1680€21

= = = το µερίδιο του δεύτερου.

1. Τρεις φίλοι παίζουν ένα δελτίο Προπό και συµµετέχουν µε ποσά 20€, 30€ και 50€.

Κέρδισαν συνολικά 2600€. Τι ποσό θα πάρει ο καθένας τους;

2. Τρεις τεχνίτες πήραν από µια εργασία 3240€. Ο πρώτος ως εργοδηγός πήρε το 20% του

ποσού για επίβλεψη και τα υπόλοιπα µοιράστηκαν ανάλογα προς τις ηµέρες εργασίας

αυτών. Αν ο πρώτος εργάστηκε 15 ηµέρες ο δεύτερος 12 ηµέρες και ο τρίτος 18 ηµέρες.

πόσα χρήµατα πήρε ο καθένας;

3. Μια περιουσία 65.600€ µοιράστηκε σε τρεις κληρονόµους ανάλογα προς τους αριθ-

µούς 1 3 4

, ,2 4 5

. Να βρεθεί πόσα πήρε ο καθένας τους.

4. Ένας παπούς µοίρασε 8960€ στους δύο εγγονούς του και την εγγονή του. Αν οι

εγγονοί του πήραν ίσο µερίδιο και η εγγονή τα 3

5 όσων πήραν και οι δύο εγγονοί

µαζί να βρείτε πόσα πήρε ο καθένας.

5. ∆ύο εργάτες τελειώνουν ένα έργο και πήραν 1320€ και οι δύο µαζί. Αν το ηµεροµί -

208. Ανάλογα Ποσά

Εφαρµογές των ανάλογων ποσών - Κλίµακες - Μερισµός σε µέρη ανάλογα

σθιο του πρώτου είναι 55€ και του δεύτερου 65€ και εργάστικαν τις ίδιες µέρες να

βρείτε πόσα χρήµατα πήρε ο καθένας.

6. Ένα δοχείο περιέχει µίγµα από δύο ουσίες σε αναλογία βάρων 4 προς 5. Αν το βάρος

και των δύο ουσιών είναι 4Kgr να βρεθεί το βάρος κάθε ουσίας.

7. Τρεις έµποροι α,β,γ έβαλαν σε µια επιχείρηση ο α 16000€, ο β 24000€ και ο γ τα 5

8

του αθροίσµατος των χρηµάτων των δύο άλλων. Αν το κέρδος της επιχείρησης είναι

130000 € να βρείτε το κέρδος του καθενός.

8. Να µεριστεί ο αριθµός 9000 ως προς τους αριθµούς 2 3 42, 2 , 2 , 2 . Τι παρατηρείτε;

209.Ανάλογα Ποσά

Εφαρµογές των ανάλογων ποσών - Κλίµακες - Μερισµός σε µέρη ανάλογα

Ερώτηση 1

α. Τι ονοµάζουµε κλίµακα ενός χάρτη ή ενός σχεδίου;

β. Ο λόγος ( )αα 0

α≠ µπορεί να αποτελεί κλίµακα;

γ. Αν η κλίµακα ενός σχεδίου είναι 7

3 έχουµε σµίκρυνση ή µεγέθυνση;

δ. Η παράσταση στο σχέδιο µιας γέφυρας γίνεται µε σµίκρυνση ή µεγέθυνση;

Ερώτηση 2

Ένας αριθµός Α µερίζεται σε µέρη ανάλογα των αριθµών 10, 102, 103, δηλαδή 2 3

x y z

10 10 10= = .

α. Να υπολογίσετε τους x, y, z συναρτήσει του αριθµού Α.

β. Αν ο αριθµός Α = 110 να βρείτε τους x, y, z.

Άσκηση 1

Η περίµετρος ενός τετραγώνου είναι 40cm. Πόση θα γίνει αυτή αν η πλευρά του

αυξηθεί κατά 15%;

Άσκηση 2

α. Η απόσταση δύο σηµείων στο χάρτη είναι 7cm. Η πραγµατική απόσταση των δύο

αυτών σηµείων είναι 35Km. Ποιά είναι η κλίµακα του χάρτη;

β. Ποιές είναι οι πραγµατικές διαστάσεις του διπλανού

σχήµατος αν έχει σχεδιασθεί µε κλίµακα 1: 500;

Άσκηση 3

Να µερίσετε τον αριθµό 3600 σε µέρη ανάλογα προς τους αριθµούς 3, 5 και 10.

A

B

Ã

Ä

E

1cm

2cm3cm

2cm2,5cm

ÊåöÜëáéï 5ïïïïï

âéâëéïììÜèçìá 17:âéâëéïììÜèçìá 17:âéâëéïììÜèçìá 17:âéâëéïììÜèçìá 17:âéâëéïììÜèçìá 17: -ÃåùìåôñéêÜ óôåñåÜ-ÃåùìåôñéêÜ óôåñåÜ-ÃåùìåôñéêÜ óôåñåÜ-ÃåùìåôñéêÜ óôåñåÜ-ÃåùìåôñéêÜ óôåñåÜ

âéâëéïììÜèçìá 18: âéâëéïììÜèçìá 18: âéâëéïììÜèçìá 18: âéâëéïììÜèçìá 18: âéâëéïììÜèçìá 18: -----Ôï åõèýãñáììï ôìÞìáÔï åõèýãñáììï ôìÞìáÔï åõèýãñáììï ôìÞìáÔï åõèýãñáììï ôìÞìáÔï åõèýãñáììï ôìÞìá-Ç åõèåßá - ç çìéåõèåßá-Ç åõèåßá - ç çìéåõèåßá-Ç åõèåßá - ç çìéåõèåßá-Ç åõèåßá - ç çìéåõèåßá-Ç åõèåßá - ç çìéåõèåßá-Áðüóôáóç äýï óçìåßùí-Áðüóôáóç äýï óçìåßùí-Áðüóôáóç äýï óçìåßùí-Áðüóôáóç äýï óçìåßùí-Áðüóôáóç äýï óçìåßùí-ÌÝóï åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò-ÌÝóï åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò-ÌÝóï åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò-ÌÝóï åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò-ÌÝóï åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò-Óýãêñéóç åõèýãñáììùí ôìÞìáôùí-Óýãêñéóç åõèýãñáììùí ôìÞìáôùí-Óýãêñéóç åõèýãñáììùí ôìÞìáôùí-Óýãêñéóç åõèýãñáììùí ôìÞìáôùí-Óýãêñéóç åõèýãñáììùí ôìÞìáôùí-Ó÷åôéêÝò èÝóåéò äýï åõèåéþí óôï åðßðåäï-Ó÷åôéêÝò èÝóåéò äýï åõèåéþí óôï åðßðåäï-Ó÷åôéêÝò èÝóåéò äýï åõèåéþí óôï åðßðåäï-Ó÷åôéêÝò èÝóåéò äýï åõèåéþí óôï åðßðåäï-Ó÷åôéêÝò èÝóåéò äýï åõèåéþí óôï åðßðåäï-ÊÜèåôåò åõèåßåò-ÊÜèåôåò åõèåßåò-ÊÜèåôåò åõèåßåò-ÊÜèåôåò åõèåßåò-ÊÜèåôåò åõèåßåò-Áðüóôáóç óçìåßïõ áðü åõèåßá-Áðüóôáóç óçìåßïõ áðü åõèåßá-Áðüóôáóç óçìåßïõ áðü åõèåßá-Áðüóôáóç óçìåßïõ áðü åõèåßá-Áðüóôáóç óçìåßïõ áðü åõèåßá-×Üñáîç ðáñáëëÞëùí åõèåéþí-×Üñáîç ðáñáëëÞëùí åõèåéþí-×Üñáîç ðáñáëëÞëùí åõèåéþí-×Üñáîç ðáñáëëÞëùí åõèåéþí-×Üñáîç ðáñáëëÞëùí åõèåéþí

âéâëéïììÜèçìá 19: âéâëéïììÜèçìá 19: âéâëéïììÜèçìá 19: âéâëéïììÜèçìá 19: âéâëéïììÜèçìá 19: -----Êýêëïò - Êõêëéêüò äßóêïòÊýêëïò - Êõêëéêüò äßóêïòÊýêëïò - Êõêëéêüò äßóêïòÊýêëïò - Êõêëéêüò äßóêïòÊýêëïò - Êõêëéêüò äßóêïò-Ó÷åôéêÝò èÝóåéò åõèåßáò êáé êýêëïõ-Ó÷åôéêÝò èÝóåéò åõèåßáò êáé êýêëïõ-Ó÷åôéêÝò èÝóåéò åõèåßáò êáé êýêëïõ-Ó÷åôéêÝò èÝóåéò åõèåßáò êáé êýêëïõ-Ó÷åôéêÝò èÝóåéò åõèåßáò êáé êýêëïõ-ÌåóïêÜèåôïò åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò-ÌåóïêÜèåôïò åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò-ÌåóïêÜèåôïò åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò-ÌåóïêÜèåôïò åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò-ÌåóïêÜèåôïò åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò

ÂáóéêÝò ÃåùìåôñéêÝò ÝííïéåòÂáóéêÝò ÃåùìåôñéêÝò Ýííïéåò

ÂéâëéïìÜèçìá

17· ÃåùìåôñéêÜ óôåñåÜ· ÃåùìåôñéêÜ óôåñåÜ

Ποια αντικείµενα ονοµάζουµε γεωµετρικά στερεά ;

Γεωµετρικά στερεά ονοµάζουµε εκείνα τα αντικείµε-

να που έχουν συγκεκριµένο µέγεθος και σχήµα.

Μπορούµε να φτιάξουµε ένα πίνακα µε τα πιογνωστά γεωµετρικά στερεά;

Μπορούµε να σχεδιάσουµε και να ονοµάσουµε ταστοιχεία ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου;

ÏÑÈÏÃÙÍÉÏ

ÐÁÑÁËËÇËÅÐÉÐÅÄÏ

¸äñá

ÊïñõöÞ

ÁêìÞ

6 έδρες

8 κορυφές

12 ακµές

214. Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Γεωµετρικά στερεά

Τι είναι ανάπτυγµα ενός γεωµετρικού σχήµατος ; Nα φτιαχτούν τα αναπτύγµατατων γεωµετρικών στερεών που αναφέραµε πιο πάνω.

Ας υποθέσουµε ότι έχουµε κουτιά από χαρτόνι που έχουν τα σχήµατα του κύβου

του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου του κώνου του κυλίνδρου και της πυραµίδας.Αν

απλώσουµε τις έδρες τους πάνω σ’ένα τραπέζι παίρνουµε τα σχήµατα που φαίνονται

παρακάτω τα οποία λέγονται αναπτύγµατα αυτών.

Πως φτιάχνουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα;∆ώστε παραδείγµατα ευθυγράµµωντµηµάτων.

Αν ενώσουµε µε το χάρακα δύο σηµεία Α

και Β τότε έχουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα. Θα το

λέµε ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ ή ευθύγραµµο τµήµα

ΒΑ .

Τα σηµεία Α και Β λέγονται άκρα του ευθύγραµµου

τµήµατος ΑΒ

Êýâïò ÁíÜðôõãìá

A

B

Ïñèïãþíéï ðáñáë/äïÁíÜðôõãìá

Η σφαίρα δεν έχει ανάπτυγµα!

215.Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Γεωµετρικά στερεά

Οι πλευρές ΑΒ, ΑΓ , ΒΓ του διπλανού τριγώνου είναι ευθύγραµµα

τµήµατα. Οι πλευρές και οι διαγώνιες ΑΓ και Β∆ του διπλανού

τετραπλεύρου

Πως φτιάχνουµε µια ηµιευθεία και πως µια ευθεία;

Αν προεκτείνουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα µόνο

από το ένα άκρο του τότε έχουµε µια ηµιευθεία. Το

σηµείο Α ονοµάζεται και αρχή της ηµιευθείας .

Αν προεκτείνουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα και από

τα δύο άκρα του τότε έχουµε µία ευθεία. Αξίζει να

πούµε ότι µία ευθεία δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος.

Αν σε µία ευθεία πάρουµε ένα σηµείο της τότε η ευθεία

µας χωρίζεται σε δύο ηµιευθείες.Την ηµιευθεία Οχ και

την Οχ` . Αυτές οι ηµιευθείες ονοµάζονται αντικεί-

µενες ηµιευθείες.Η ευθεία µας ονοµάζεται ευθεία χχ`.

A

B Ã

A B

Ã

Ä

A B

A B

÷´ ÷O

Από ένα σηµείο διέρχονται άπειρες ευθείες.

Από δύο σηµεία διέρχεται µόνο µία ευθεία.

216. Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Γεωµετρικά στερεά

1,5 cm

A Ì B

1.Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει 6 έδρες 8 κορυφές 12 ακµές

2.Ένα ευθύγραµµο τµήµα έχει αρχή και τέλος

3. Μια ευθεία δεν έχει αρχή και τέλος

4. Σε ένα τετράπλευρο , το ευθύγραµµο τµήµα που έχει άκρα µη

διαδοχικές κορυφές ονοµάζεται διαγώνιος .

5. Από ένα σηµείο διέρχονται άπειρες ευθείες

6. Από δύο σηµεία διέρχεται µία µόνο ευθεία

7. Το σηµείο που χωρίζει ένα ευθύγραµµο τµήµα σε δύο ίσα τµήµατα ονοµάζεται

µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος .

Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων

Απόσταση δύο σηµείων Α, Β ονοµάζουµε τοµήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ.

Για παράδειγµα η απόσταση των σηµείων Α και Β είναι 3cm

αφού το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ είναι 3cm.

Αν ονοµάσουµε Μ το σηµείο που συµπίπτει µε την µέση

του ευθυγράµµου τµήµατος θα το λέµε 1,5cm µέσο του

ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ.

217.Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Γεωµετρικά στερεά

Έχουµε 10 νοµίσµατα του ενός ευρώ και τα τοποθετούµε το ένα πάνω στο άλλο. Τι

γεωµετρικό στερεό ποκύπτει;

Λύση

Το γεωµετρικό στερεό που θα προκύψει είναι ένας κύλινδρος. Η άνω επιφάνεια

του πρώτου νοµίσµατος και η κάτω επιφάνεια του τελευταίου νοµίσµατος

είναι οι βάσεις του κυλίνδρου .

Έχουµε 30 χαρτονοµίσµατα των 10 ευρώ . Αν τα τοποθετήσουµε το ένα πάνω στο

άλλο ποιο γεωµετρικό στερεό θα προκύψει; Πόσα χρήµατα θα έχουµε συνολικά;

Λύση

Το γεωµετρικό στερεό που θα προκύψει θα

είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο.Το

χρηµατικό ποσό που έχω το υπολογίζω µε ένα

πολλαπλασιασµό.10x30 = 300€

Έχουµε δύο ζάρια . Μπορείτε να υπολογίσετε συνολικά πόσες έδρες ,πόσες ακµές

και πόσες κορυφές έχουν;

Λύση

Το κάθε ζάρι είναι ένας κύβος (ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο)άρα θα

έχει 6 έδρες 8 κορυφές και 12 ακµές . Συνολικά λοιπόν και τα δύο

ζάρια θα έχουν 12 έδρες 16 κορυφές και 24 ακµές .

Να φτιάξετε ένα τρίγωνο και να το ονοµάσετε. Στη συνέχεια να βρείτε τα µέσα των

πλευρών του και να τα ενώσετε. Τι σχήµα προκύπτει; Να ονοµάσετε και το νέο σχήµα .

218. Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Γεωµετρικά στερεά

Λύση

Φτιάχνουµε το τρίγωνο και το ονοµάζουµε ΑΒΓ. Το ΑΒΓ έχει

κορυφές τα σηµεία Α, Β, Γ . Οι πλευρές του είναι τα ευθύγραµµα

τµήµατα ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ. Στη συνέχεια και µε την βοήθεια του

υποδεκάµετρου βρίσκουµε τα µέσα των πλευρών και τα ονοµάζουµε

Κ, Λ, Μ . Αν ενώσουµε αυτά τα σηµεία προκύπτει ένα νέο τρίγωνο

µε κορυφές τα σηµεία Κ, Λ, Μ και πλευρές τα ευθύγραµµα τµήµατα

ΛΜ, ΜΚ, ΛΚ .

Να ονοµάσετε όλα τα ευθύγραµµα τµήµατα που µπορείτε να

διακρίνετε και είναι σχεδιασµένα στο διπλανό σχήµα :

Λύση

Τα σχεδιασµένα ευθύγραµµα τµήµατα που µπορούµε να

διακρίνουµε στο διπλανό σχήµα είναι: ΑΒ, ΒΗ, ΗΓ, ΓΘ, Θ∆,

∆Ι, ΙΑ.

Στο εξάγωνο που ακολουθεί να σχεδιάσετε τις διαγώνιες απο την κορυφή Α και να

τις ονοµάσετε.

Λύση

Οι διαγώνιεςαπό την κορυφή Α είναι οι : ΑΕ ,ΑΗ, ΑΘ, ΑΖ και

Α∆ .

A

B ÃK

A B

à Ä

EZ

H È

219.Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Γεωµετρικά στερεά

1. Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθύγραµµου τµήµατος ;

2. Πόσες κορυφές , ακµές και έδρες έχει ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο;

3. Ενας κύβος είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο;

4. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι κύβος;

5. Να κατασκευάσετε ένα ευθύγραµµο τµήµα το οποίο να έχει µήκος 8cm. Στη συνέχεια

να υπολογίσετε και να σηµειώσετε το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος .

6. Να χαρακτηρίσετε µε ένα από τα γνωστά σας γεωµετρικά στερεά τα αντικείµενα που

ακολουθούν:

α. Μπάλα β. κουτί σπίρτα γ. κουτί αναψυκτικού δ. βιβλίο

7. Να κατασκευάσετε ένα ευθύγραµµο τµήµα µήκους 10cm και στη συνέχεια να το

χωρίσετε σε τέσσερα ίσα τµήµατα.

8. Τι ονοµάζουµε διαγώνιο σε ένα τετράπλευρο;

9. Στο διπλανό τρίγωνο να ονοµάσετε τις κορυφές και τις

πλευρές του. Έπειτα µετρήσετε το µήκος των πλευρών

του και στη συνέχεια να βρείτε τα µέσα τους

220. Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Γεωµετρικά στερεά

Ερώτηση 1

Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων ;

Από δύο σηµεία πόσες ευθείες περνούν;

Από ένα σηµείο πόσες ευθείες περνούν;

Ερώτηση 2

Να ονοµάσετε τα γνωστά σας γεωµετρικά στερεά.

Τι γνωρίζετε για το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο;

Έχουν σχέση τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα µε τους κύβους;

Άσκηση 1

Στο διπλανό σχήµα να ονοµάσετε όλα τα ευθύγραµµα

τµήµατα που µπορείτε να διακρίνετε αφού πρώτα

ονοµάσετε τα σηµεία.

Άσκηση 2

Σε µια ευθεία (ε) να πάρετε τρία σηµεία Α, Β και Γ. Να ονοµάσετε όλες τις ηµιευθείες

που ορίζονται από αυτά. Ποιες από αυτές είναι αντικείµενες;

Άσκηση 3

Πόσο cm σύρµατος θα χρειαστούµε για να κατασκευάσουµε ένα µοντέλο κύβου

ακµής 8cm;

ÂéâëéïìÜèçìá

18

· Ôï åõèýãñáììï ôìÞìá · Ç åõèåßá - ç çìéåõèåßá· Áðüóôáóç äýï óçìåßùí

- ìÝóï åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò· Óýãêñéóç åõèýãñáììùí ôìçìÜôùí· Ó÷åôéêÝò èÝóåéò äýï åõèåéþí óôï åðßðåäï· ÊÜèåôåò åõèåßåò · Áðüóôáóç óçìåßïõ áðü åõèåßá· ×Üñáîç ðáñáëëÞëùí åõèåßùí

· Ôï åõèýãñáììï ôìÞìá · Ç åõèåßá - ç çìéåõèåßá· Áðüóôáóç äýï óçìåßùí

- ìÝóï åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò· Óýãêñéóç åõèýãñáììùí ôìçìÜôùí· Ó÷åôéêÝò èÝóåéò äýï åõèåéþí óôï åðßðåäï· ÊÜèåôåò åõèåßåò · Áðüóôáóç óçìåßïõ áðü åõèåßá· ×Üñáîç ðáñáëëÞëùí åõèåßùí

Πως συγκρίνουµε δύο ευθύγραµµα τµήµατα ;

1ος τρόπος

Με υποδεκάµετρο µετράµε τα µήκη των δύο ευθυγράµµων

τµηµάτων .Μεγαλύτερο είναι εκείνο το ευθύγραµµο τµήµα

που έχει το µεγαλύτερο µήκος. Στο διπλανό σχήµα

µεγαλύτερο είναι το ΑΒ από το Γ∆.

2ος τρόπος

Με διαβήτη εφαρµόζοντας τα άκρα του στα άκρα του ενός

ευθυγράµµου τµήµατος και στη συνέχεια,χωρίς να αλλά-

ξουµε το άνοιγµα του διαβήτη µας ελέγχουµε αν αυτό είναι

µικρότερο, µεγαλύτερο ή και ίσο µε το άλλο ευθύγραµµο

τµήµα. Στο διπλανό σχήµα το ΑΒ είναι µεγαλύτερο του Γ∆

µικρότερο του ΕΖ και ίσο µε το ΗΘ.

Τι ονοµάζουµε διάµεσο ενός τριγώνου;

Το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει µια κορυφή ενός

τριγώνου µε το µέσο της απέναντι πλευράς ονοµάζεται διά-

µεσος. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διαµέσους που συναντιού-

νται µάλιστα σε ένα σηµείο .

A

Ã

B

Ä

222. Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Το ευθύγραµµο τµήµα - Η ευθεία - η ηµιευθεία - Απόσταση δύο σηµείων - µέσο ευθύγραµµου τµήµατος -

Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων - Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο - Κάθετες ευθείες - Απόσταση

σηµείου από ευθεία - Χάραξη παραλλήλων ευθειών

Ποιες ευθείες του επιπέδου ονοµάζουµε τεµνόµενες;

Τεµνόµενες ονοµάζουµε τις ευθείες εκείνες που

συναντιούνται (τέµνονται)σε ένα σηµείο στο επίπεδο.

Ποιες ευθείες του επιπέδου ονοµάζουµε παράλληλες;

Παράλληλες ονοµάζουµε τις ευθείες εκείνες που δεν

συναντιούνται πουθενά.

Ποιες είναι οι διαφορετκές θέσεις που µπορεί να έχουνδύο ευθείες στο επίπεδο;

∆ύο ευθείες στο επίπεδο µπορεί να είναι ή τεµνό-

µενες ή παράλληλες.

Πότε δύο τεµνόµενες ευθείες ονοµάζονται κάθετες;

∆ύο ευθείες ονοµάζονται κάθετες όταν µπορούµε να

εφαρµόσουµε πάνω τους τις µικρές πλευρές ενός γνώµονα.

Τι ονοµάζουµε απόσταση σηµείου από ευθεία;

Απόσταση σηµείου Α από

ευθεία (ε) ονοµάζουµε το µήκος του

ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ που

έχει ένα άκρο το σηµείο Α που

εξετάζουµε και το άλλο άκρο είναι

το σηµείο Β της ευθείας ώστε το

ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ που σχηµα-

τίζεται να είναι κάθετο µε την ευθεία.

Τι ονοµάζουµε ύψος ενός τριγώνου;

Ύψος ενός τριγώνου ονοµάζουµε την απόσταση µιας

å1

å2

K

å1

å2

A

B

(å)

Από κάθε σηµείο

εκτός ευθείας µπο-

ρούµε φέρουµε µόνο

µία κάθετη στην

ευθεία µας.

A

BK

Ã

223.Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Το ευθύγραµµο τµήµα - Η ευθεία - η ηµιευθεία - Απόσταση δύο σηµείων - µέσο ευθύγραµµου τµήµατος -

Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων - Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο - Κάθετες ευθείες - Απόσταση

σηµείου από ευθεία - Χάραξη παραλλήλων ευθειών

κορυφής από την απέναντι της πλευρά. Κάθε τρίγωνο έχει

τρία ύψη που συναντιούνται σε ένα σηµείο.

Πώς χαράσουµε δύο ευθείες ε1 , ε

2 ώστε να είναι

µεταξύ τους παράλληλες;

Φτιάχνουµε και τις δύο ευθείες ώστε να είναι κάθετες

σε µία τρίτη ευθεία (ε) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα.Το

ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ ονοµάζεται απόσταση παραλλήλων

ευθειών .

A

B

(å)

å1

å2

1. ∆ιάµεσο ενός τριγώνου ονοµάζουµε το ευθύγραµµο τµήµα που

ενώνει µία κορυφή του µε το µέσο της απέναντι πλευράς του .

2. Ύψος ενός τριγώνου ονοµάζουµε το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει

µία κορυφή ενός τριγώνου µε την απέναντι πλευρά έτσι ώστε να

τέµνεται µε αυτή κάθετα .

3. ∆ύο ευθείες στο επίπεδο µπορεί να είναι ή τεµνόµενες ή παράλληλες .

4. Απόσταση σηµείου από ευθεία ονοµάζουµε το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος

που έχει άκρα το σηµείο που εξετάζουµε και το άλλο άκρο είναι σηµείο της ευθείας

ώστε το ευθύγραµµο τµήµα που σχηµατίζεται να είναι κάθετο µε την ευθεία.

5. Απόσταση παραλλήλων ευθειών ονοµάζεται το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος

που έχει άκρα επάνω στις ευθείες και τις τέµνει κάθετα .

224. Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Το ευθύγραµµο τµήµα - Η ευθεία - η ηµιευθεία - Απόσταση δύο σηµείων - µέσο ευθύγραµµου τµήµατος -

Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων - Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο - Κάθετες ευθείες - Απόσταση

σηµείου από ευθεία - Χάραξη παραλλήλων ευθειών

Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τις διαµέσους του.

Λύση

Γνωρίζουµε ότι διάµεσος είναι εκείνο το ευθύγραµµο τµήµα που

ξεκινά από µία κορυφή του τριγώνου και φτάνει στο µέσο της

απέναντι πλευράς. Άρα πρέπει µε το υποδεκάµετρο να

υπολογίσουµε τα µέσα των τριών πλευρών,που είναι τα σηµεία Κ,

Λ και Μ. Στη συνέχεια ενώνουµε αυτά τα σηµεία µε τις απέναντι

κορυφές και έχουµε τις διαµέσους του τριγώνου. Παρατηρούµε

ότι υπάρχει σηµείο που συναντιούνται οι τρεις διάµεσοι.

Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τα ύψη του.

Λύση

Ύψος ενός τριγώνου είναι εκείνο το ευθύγραµµο τµήµα όπου

ξεκινά από µία κορυφή και καταλήγει στην απέναντι πλευρά

έτσι ώστε να την τέµνει κάθετα. Άρα κατασκευάζουµε τα

ύψη ως αποστάσεις των κορυφών του από τις απέναντι

πλευρές τους.

Να σχεδιάσετε τέσσερις παράλληλες µεταξύ τους ευθείες.

Λύση

Για να σχεδιάσουµε τέσσερις παράλληλες µεταξύ τους

ευθείες πρέπει αρχικά να χαράξουµε µία ευθεία και

στη συνέχεια µε την βοήθεια του γνώµονα να

χαράξουµε τέσσερις ευθείες κάθετες πρός την αρχική

ευθεία και έτσι θα είναι µεταξύ τους παράλληλες .

A

B Ã

Ë M

225.Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Το ευθύγραµµο τµήµα - Η ευθεία - η ηµιευθεία - Απόσταση δύο σηµείων - µέσο ευθύγραµµου τµήµατος -

Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων - Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο - Κάθετες ευθείες - Απόσταση

σηµείου από ευθεία - Χάραξη παραλλήλων ευθειών

Να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο πλευράς 5cm.

Λύση

Τετράγωνο είναι το τετράπλευρο εκείνο που έχει όλες

τις πλευρές του ίσες και κάθετες µεταξύ τους. Για να το

κατασκευάσουµε ακολουθούµε την εξής διαδικασία:

Αρχικά φτιάχνoυµε µε την βοήθεια ενός υποδεκάµετρου

ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µε µήκος 5cm. Στη συνέχεια

και χρησιµοποιώντας τον γνώµονα φτιάχνουµε ένα

ευθύγραµµο τµήµα Α∆ κάθετο στο ΑΒ στο σηµείο Α µε µήκος 5cm. Όµοια φτιάχνουµε

τµήµα Γ∆ κάθετο στο Α∆ στο σηµείο ∆ ίσο µε 5 cm.Στο τέλος ενώνουµε τα σηµεία Γ

και Β.

Να φτιάξετε µία ευθεία και ένα σηµείο έξω από αυτή. Στη συνέχεια να υπολογίσετε

την απόσταση του σηµείου από την ευθεία αυτή.

Λύση

Από το σηµείο το σηµεία Α χαράσσουµε µε την βοήθεια του

γνώµονα κάθετο ευθύγραµµο τµήµα στην ευθεία. Μετράµε µε

υποδεκάµετρο το µήκος του τµήµατος ΑΒ και έτσι έχουµε υπολογίσει

την απόσταση του σηµείου Α από την ευθεία. Στο διπλανό σχήµα η

απόσταση είναι 2,2 cm.

Στο σχήµα που ακολουθεί να προσδιορίσετε ποιες ευθείες είναι µεταξύ τους παράλ-

ληλες και ποιες είναι κάθετες.

Λύση

Όπως φαίνεται στο σχήµα οι ευθείες ε1 ε2 ε3 και ε

4 είναι µεταξύ

τους παράλληλες .Σε αυτές τις ευθείες είναι κάθετες οι

ευθείες ε5 και ε

6 και συνεπώς και αυτές είναι µεταξύ τους

παράλληλες.

Στον παρακάτω χάρτη µε την βοήθεια του γνώµονα σας να βρείτε ποιες οδοί τον

οποίων τα ονόµατα αναγράφονται είναι µεταξύ τους κάθετες και ποιες παράλληλες.

Εάν ο Αντώνης περπατάει στην οδό Κατσαντώνη και η Μαρία στην οδό Παπαφλέσ-

σα υπάρχει περίπτωση να συναντηθούν; Να δικαιολογήσετε τη απάντηση σας.

5cm 5cm

5cm

5cm Ã

Á Â

Ä

2,2cm

Á

Â

å1

å2

å3

å4

å5

å6

226. Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Το ευθύγραµµο τµήµα - Η ευθεία - η ηµιευθεία - Απόσταση δύο σηµείων - µέσο ευθύγραµµου τµήµατος -

Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων - Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο - Κάθετες ευθείες - Απόσταση

σηµείου από ευθεία - Χάραξη παραλλήλων ευθειών

Λύση

Οι οδοί Κατσαντώνη Νικηταρά Παπαφλέσσα και Καλλικρά-

τιδος είναι κάθετες στην οδό Αγ. ∆ηµητρίου, άρα θα είναι

µεταξύ τους παράλληλες. Ο Αντώνης και οι Μαρία δεν θα

συναντηθούν πουθενά διότι περπατάνε σε παράλληλες οδούς

(ευθείες) που γνωρίζουµε ότι δεν συναντιούνται σε κανένα

τους σηµείο.

Ο ελεγκτής εναέριας κυκλοφορίας στο αεροδρόµιο της Σάµου βλέπει στο ραντάρ

του τρία αεροσκάφη να πετάνε στο ίδιο ύψος όπως φαίνεται στην εικόνα που ακο-

λουθεί. Βοηθήστε τον να δώσει οδηγίες στους κυβερνήτες των αεροσκαφών

α. αν µπορεί να χρησιµοποιήσει µόνο µία φορά τον ασύρµατο.

β. αν µπορεί να χρησιµοποιήσει δύο φορές τον ασύρµατο.

Λύση

Ο ελεγκτής εναέρια κυκλοφορίας µπορεί εύκολα να

καταλάβει ότι τα αεροπλάνα 2 και 3 επειδή πετάνε

παράλληλα δεν υπάρχει περίπτωση να συναντηθούν.

Όµως µπορεί να συναντηθούν µε το αεροπλάνο 1. Γι

αυτό ή θα πει στον κυβερνήτη του αεροπλάνου 1 να

αλλάξει ύψος µε τη χρήση µία φορά του ασυρµάτου ή

χρησιµοποιώντας δύο φορές τον ασύρµατό του θα

επικοινωνήσει µε τους κυβερνήτες των αεροπλάνων 2

και 3 λέγοντάς τους να αλλάξουν πορεία.

Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να βρείτε το µέσο της πλευράς ΒΓ. Στη

συνέχεια να υπολογίσετε την απόσταση του σηµείου αυτού από τις άλλες δύο

πλευρές του τριγώνου.

Λύση

Αρχικά υπολογίζουµε µε το υποδεκάµετρο ή µε την βοήθεια διαβήτη το µέσο της

πλευράς ΒΓ και το ονοµάζουµε Μ. Κατόπιν και

χρησιµοποιώντας τον γνώµονα φέρνουµε κάθετα

ευθύγραµµα τµήµατα στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ του

τριγώνου. Μετρώντας τα µήκη των ευθυγράµµων

τµηµάτων ΜΚ και ΜΛ έχουµε υπολογίσει τις αποστάσεις

του µέσου της πλευράς ΒΓτου τριγώνου από τις άλλες

δύο πλευρές του.

227.Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Το ευθύγραµµο τµήµα - Η ευθεία - η ηµιευθεία - Απόσταση δύο σηµείων - µέσο ευθύγραµµου τµήµατος -

Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων - Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο - Κάθετες ευθείες - Απόσταση

σηµείου από ευθεία - Χάραξη παραλλήλων ευθειών

1. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να φέρετε την διάµεσο και το ύψος από την

κορυφή Α του τριγώνου.

2. Να χαράξετε µία ευθεία (ε) και να πάρετε δύο σηµεία από την ίδια µεριά της. Να

υπολογίσετε τις αποστάσεις αυτών των σηµείων από την ευθεία και να τις συγκρίνετε

µεταξύ τους. Είναι ίσες; Πότε θα είναι ίσες;

3. Να σχεδιάσετε στο τετράδιό σας τρεις παράλληλες ευθείες και στη συνέχεια να

υπολογίσετε τις αποστάσεις τους .

4. Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται ο αγωνιστικός χώρος για το άθληµα των 100m.

Χρησιµοποιώντας τα γεωµετρικά σας όργανα να τον σχεδιάσετε στο τετράδιό

σας. Πρέπει να λάβετε υπόψη ότι οι γραµµές που χωρίζουν τους διαδρόµους που

τρέχουν οι αθλητές είναι παράλληλες και ότι οι διάδροµοι έχουν όλοι το ίδιο

πάχος και µήκος.

5. Να φτιάξετε µία ευθεία (ε) και ένα σηµείο Α έξω από αυτή. Στη συνέχεια να σχεδιά-

σετε µια ευθεία παράλληλη µε την (ε) που να περνά και από το σηµείο Α.

6. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φτιάχνουµε από την κάθε κορυφή ευθεία παράλληλη στην

απέναντι πλευρά του. Οι τρεις ευθείες που φτιάξαµε είναι παράλληλες ή τεµνόµενες;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1

2

3

4

5

228. Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Το ευθύγραµµο τµήµα - Η ευθεία - η ηµιευθεία - Απόσταση δύο σηµείων - µέσο ευθύγραµµου τµήµατος -

Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων - Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο - Κάθετες ευθείες - Απόσταση

σηµείου από ευθεία - Χάραξη παραλλήλων ευθειών

7. Στον γνώµονά σας τι είναι οι µικρότερες πλευρές του µεταξύ τους;

8. Σε τρίγωνο ΑΒΓ να βρείτε τα µέσα των πλευρών ΑΓ και ΑΒ και ονοµάστε τα σηµεία

Μ και Κ. Στη συνέχεια να ενώσετε τα Μ και Κ. Τι παρατηρείτε σχετικά µε το ευθύ-

γραµµο τµήµα ΜΚ και την πλευρά ΒΓ;

9. Να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο ΑΒΓ∆. Στη συνέχεια να φτιάξετε τις διαγώνιες ΑΓ και

Β∆. Τι παρατηρείτε για τις διαγώνιες;

229.Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Το ευθύγραµµο τµήµα - Η ευθεία - η ηµιευθεία - Απόσταση δύο σηµείων - µέσο ευθύγραµµου τµήµατος -

Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων - Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο - Κάθετες ευθείες - Απόσταση

σηµείου από ευθεία - Χάραξη παραλλήλων ευθειών

Ερώτηση 1

Τι ονοµάζουµε διάµεσο και τι ύψος ενός τριγώνου;

Πόσες διαµέσους και πόσα ύψη έχει ένα τρίγωνο;

Ερώτηση 2

Ποιες ευθείες ονοµάζονται παράλληλες και ποιες τεµνόµενες;

Άσκηση 1

Να φτιάξετε ένα τετράγωνο ΑΒΓ∆ και να φέρετε την διαγώνιο ΑΓ. Στη συνέχεια στο

τρίγωνο ΑΒΓ να φέρετε τις διαµέσους και στο τρίγωνο Γ∆Α να φέρετε τα ύψη του.

Άσκηση 2

Να σχεδιάσετε τα ύψη του τριγώνου στο παρακάτω

σχήµα.

Άσκηση 3

Στο διπλανό σχήµα ποιά είναι η θέση:

α. Της κολώνας της ∆ΕΗ ΒΗ και του

κορµού του δέντρου;

β. Του καλωδίου του ρεύµατος ΑΒ και της

ταράτσας του κτιρίου Γ∆;

∆ικαιολογήστε τις απαντήσεις σας

θεωρόντας ότι οι τοίχοι του κτιρίου, ο

κορµός του δέντρου και η κολώνα είναι κάθετα τοποθετηµένα στο έδαφος.

A

Ã

Z E

Ä

Â

H

Á

ÂéâëéïìÜèçìá

19

· Êýêëïò -Êõêëéêüò äßóêïò

· Ó÷åôéêÝò èÝóåéò åõèåßáò êáé êýêëïõ

· ÌåóïêÜèåôïò åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò

· Êýêëïò -Êõêëéêüò äßóêïò

· Ó÷åôéêÝò èÝóåéò åõèåßáò êáé êýêëïõ

· ÌåóïêÜèåôïò åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò

Κύκλος µε κέντρο Ο και ακτίνα ρ ονοµάζεται το επίπεδο

σχήµα, όπου όλα τα σηµεία του απέχουν απόσταση ρ

από ένα σηµείο του επιπέδου που λέγεται κέντρο του

κύκλου.

Ίσοι κύκλοι ονοµάζονται οι κύκλοι που έχουν ίσες ακτίνες

Χορδή κύκλου ονοµάζουµε το ευθύγραµµο τµήµα που

προκύπτει αν ενώσουµε δύο οποιαδήποτε σηµεία του

κύκλου.

∆ιάµετρος κύκλου ονοµάζεται η χορδή που περνάει από

το κέντρο του κύκλου.

Τόξο κύκλου

Αν πάρουµε πάνω σε ένα κύκλο δύο σηµεία τότε ο κύκλος χω-

ρίζεται σε δύο µέρη. Αυτά τα µέρη ονοµάζονται τόξα κύκλου.

Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις κύκλου και ευθείας;

Ένας κύκλος και µια ευθεία µπορεί:

1. Να τέµνονται (έχουν δύο κοινά σηµεία)

Τότε η απόσταση του κέντρου από την ευθεία είναι

µικρότερη της ακτίνας.

2. Να εφάπτονται (έχουν ένα κοινό σηµείο)

Τότε η απόσταση του κέντρου από την ευθεία είναι ίση µε

την ακτίνα.

3. Να είναι “ξένοι” (δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο)

Τότε η απόσταση του κέντρου από την ευθεία είναι

µεγαλύτερη από την ακτίνα.

A

B

Ã

E

Z

Ôüîï

×ïñäÞ

ÄéÜìåôñïò

K

Ä

232. Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Κύκλος - Κυκλικός δίσκος - Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου - Μεσοκάθετος ευθύγραµµου τµήµατος

Ποιους κύκλους ονοµάζουµε οµόκεντρους;

Οµόκεντρους κύκλους ονοµάζουµε εκείνους τους

κύκλους που έχουν ίδιο κέντρο .

Τι ονοµάζουµε κυκλικό δίσκο;

Κυκλικός δίσκος ονοµάζεται ο κύκλος µαζί µε το

χώρο του επιπέδου που περικλείει .

Πως φέρνουµε εφαπτόµενη σε κύκλο;

Παίρνουµε σηµείο Α του κύκλου (Ο,ρ). Από το ση-

µείο Α φέρνουµε την ευθεία (ε), κάθετη στην ακτίνα ΟΑ. Η

ευθεία (ε) λέγεται εφαπτοµένη του κύκλου (Ο,ρ).

Τι ονοµάζουµε µεσοκάθετο ευθυγράµµου τµήµατοςΑΒ; Πως την σχεδιάζουµε;

Μεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ ονοµάζε-

ται η κάθετη ευθεία στο µέσον του ευθύγραµµου τµήµατος.

Η µεσοκάθετη ενός ευθυγράµµου τµήµατος µπορεί να

σχεδιαστεί ως εξής:

1. Με υποδεκάµετρο και γνώµονα βρίσκουµε το µέσο του

ευθύγραµµου τµήµατος και στη συνέχεια φέρνουµε κάθετη

στο ευθύγραµµο τµήµα στο µέσον αυτού.

2. Με διαβήτη φέρνουµε δύο ίσους κύκλους µε κέντρα τα

άκρα του ευθύγραµµου τµήµατος και ακτίνα µεγαλύτερη

από το µισό αυτού. Στη συνέχεια ενώνουµε τα σηµεία

τοµής των κύκλων και επεκτείνουµε το ευθύγραµµο τµήµα

που προκύπτει και προς τα δύο µέρη.

A

å

O

ñ

A

E

B

ÅÁ = ÅÂ

(å)

ÊÜèå óçìåßï ôçò

ìåóïêáèÝôïõ åíüò

åõèõãñÜììïõ ôìÞ-

ìáôïò éóáðÝ÷åé áðü

ôá Üêñá ôïõ.

Ôï ïðïéïäÞðïôå óçìåßï

ðïõ éóáðÝ÷åé áðü ôá

Üêñá åíüò åõèýãñáììïõ

ôìÞìáôïò åßíáé óçìåßï

ôçò ìåóïêáèåôïõ ôïõ.

1.Όλα τα σηµεία του κύκλου ισαπέχουν από το κέντρο του.

2. Οι χορδές που περνούν από το κέντρο κύκλου ονοµάζονται διάµετροι

του κύκλου .

3. Οι σχετικές θέσεις κύκλου - ευθείας είναι τρεις α. τοµή β. επαφή γ. ξένοι.

4. Μεσοκάθετο ευθυγράµµου τµήµατος ονοµάζουµε την ευθεία που

περνά από το µέσο του και το τέµνει κάθετα. Τα σηµεία τους µεσοκαθέτου τους

ευθυγράµµου τµήµατος. Έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από τα άκρα του .

O

233.Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Κύκλος - Κυκλικός δίσκος - Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου - Μεσοκάθετος ευθύγραµµου τµήµατος

Να κατασκευάσετε έναν κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα 1,5 cm (Ο,5). Τι διάµετρο

έχει ο κύκλος που φτιάξατε;

Λύση

Για να κατασκευάσουµε τον κύκλο που ζητείται αρκεί να θεωρήσουµε

ένα σηµείο ως κέντρο του και στη συνέχεια τοποθτώντας τη µύτη του

διαβήτη στο σηµείο αυτό να τον ανοίξουµε 1,5 cm και να χαράξουµε τον

κύκλο. Έτσι φτιάχνουµε τον κύκλο που φαίνεται στο διπλανο σχήµα.

Για τη διάµετρο γνωρίζουµε ότι είναι διπλάσια της ακτίνας. Άρα η

διάµετρος του κύκλου που φτιάξαµε θα είναι 3 cm.

Να φτιάξετε δύο οµόκεντρους κύκλους µε ακτίνες 1cm και 1,5cm.

Λύση

Οµόκεντρους ονοµάζουµε εκείνους τους κύκλους που έχουν ίδιο

κέντρο. Άρα πρέπει να πάρουµε ένα σηµείο για κέντρο και στη

συνέχεια να χαράξουµε δύο κύκλους µε ακτίνες µήκους 1cm και

1,5cm. Έτσι έχουµε το διπλανό σχήµα.

Να σηµειώσετε όλα τα σηµεία του επιπέδου τα οποία απέ-

χουν από σηµείο του επιπέδου Ο απόσταση µικρότερη από

1,5 cm.

Λύση

Φτιάχνουµε έναν κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 1,5cm. Τα

ζητούµενα σηµεία είναι όλα τα σηµεία που ανήκουν στο

εσωτερικό του κύκλου.

Εχουµε ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ όπου το µήκος του είναι 5cm. Να βρείτε τα σηµεία

του επιπέδου που απέχουν από το Α λιγότερο από 3cm και από το Β λιγότερο από

4cm.

1,5cm

O

O

1,5cm

1cm

1,5cm

O

234. Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Κύκλος - Κυκλικός δίσκος - Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου - Μεσοκάθετος ευθύγραµµου τµήµατος

Λύση

Φτιάχνουµε δύο κύκλους, όπου ο πρώτος έχει κέντρο το Α και ακτίνα 3cm και ο δεύτερος

κύκλος έχει κέντρο το Β και ακτίνα 4cm . Έτσι έχουµε το επόµενο σχήµα:

Το γραµµοσκιασµένο µέρος είναι τα ζητούµενα σηµεία του επιπέδου.

Να φτιάξετε έναν κύκλο διαµέτρου 2cm και στη συνέχεια να φέρετε εφαπτόµενες

ευθείες στα άκρα της διαµέτρου του κύκλου. Τι παρατηρείτε για αυτές τις ευθείες;

Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

Λύση

Φτιάχνουµε αρχικά έναν κύκλο µε ακτίνα 1 cm (διάµετρο

2 cm). Στη συνέχεια χαράζουµε µια διάµετρο ΑΒ . Στα ση-

µεία Α και Β φέρνουµε εφαπτόµενες ε1 και ε

2 του κύκλου

που είναι κάθετες στις ΟΑ και ΟΒ αντίστοιχα. Παρατηρού-

µε ότι οι ευθείες ε1 και ε

2 είναι κάθετες (από την κατασκευή

τους )στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. Συνεπώς είναι µεταξύ

τους παράλληλες.

Πως µπορούµε να βρούµε ακριβώς το κέντρο ενός CD;

Λύση

Το cd (ψηφιακός δίσκος) έχει σχήµα κύκλου. Μπορούµε να

υπολογίσουµε το κέντρο του ως εξής: Αρχικά φτιάχνουµε δύο

χορδές του κύκλου ,έστω ΑΒ και Γ∆ . Στη συνέχεια σχεδιάζουµε

τις µεσοκαθέτους αυτών των χορδών. Εκεί που τέµνονται οι

µεσοκάθετες είναι και το κέντρο του κύκλου. Αυτό συµβαίνει διότι

το σηµείο αυτό ισαπέχει και από τα τέσσερα σηµεία δηλαδή τα Α,

Β, Γ και ∆.

Ας κρατήσουµε σαν συµπέρασµα ότι η µεσοκάθετη οποιασδήποτε

χορδής περνάει από το κέντρο του κύκλου.

235.Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Κύκλος - Κυκλικός δίσκος - Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου - Μεσοκάθετος ευθύγραµµου τµήµατος

Να αποδείξετε ότι σε ένα τρίγωνο που έχει δύο ίσες πλευρές(ισοσκελές), αυτές (οι

πλευρές) τέµνονται σε σηµείο της µεσοκαθέτου της τρίτης πλευράς.

Λύση

Φτιάχνουµε ένα τρίγωνο που σύµφωνα µε την εκφώνηση έχει

δύο ίσες πλευρές, έστω τις ΑΒ και ΑΓ. Τα ευθύγραµµα τµήµατα

ΑΒ και ΑΓ είναι µεταξύ τους ίσα. ∆ηλαδή το Α ισαπέχει από τα

άκρα του ευθυγράµµου τµήµατος ΒΓ. Και σύµφωνα µε αυτά που

έχουµε αναφέρει το Α είναι σηµείο της µεσοκαθέτου του ΒΓ.

Να φέρετε δύο τεµνόµενες ευθείες ε1 και ε

2. Στην συνέχεια να πάρετε δύο σηµεία Α

και Β της ε1 (όχι το σηµείο τοµής των ευθειών ). Να βρείτε το σηµείο της ε

2 που

ισαπέχει από τα σηµεία Α και Β.

Λύση

Τα σηµεία του επιπέδου που ισαπέχουν από τα Α και Β είναι

τα σηµεία της µεσοκαθέτου (ε) του ευθυγράµµου τµήµατος

ΑΒ. Άρα, το σηµείο τοµής της µεσοκαθέτου (ε) του ΑΒ και

της ε2 είναι το ζητούµενο. Στο σχήµα είναι το σηµείο Κ.

A

B Ã

236. Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Κύκλος - Κυκλικός δίσκος - Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου - Μεσοκάθετος ευθύγραµµου τµήµατος

1. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα µε την ένδειξη Σ (Σωστό) ή Λ (λάθος).

2. Να κατασκευάσετε ένα κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα 4,7cm.

3. Να βρείτε όλα εκείνα τα σηµεία του επιπέδου που απέχουν συγχρόνως από σηµείο Ο

απόσταση µεγαλύτερη από 6 cm και µικρότερη από 8cm.

4. Στο διπλανό τρίγωνο να κατασκευάσετε τις µεσοκαθέτους όλων

των πλευρών του.

237.Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Κύκλος - Κυκλικός δίσκος - Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου - Μεσοκάθετος ευθύγραµµου τµήµατος

5. Να φτιάξετε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 13cm. Έπειτα να κατασκευάσετε τους

κύκλου (Α,4cm) και (Β,7cm). Οι κύκλοι που φτιάξατε έχουν κοινά σηµεία;

6. Ένας ελαιοχρωµατιστής θέλει να κάνει έναν κύκλο πάνω σε ένα τοίχο που βάφει. Τι

σύνεργα θα του προτείνατε να χρησιµοποιήσει;

7. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο και ένα σηµείο έξω από αυτόν. Στην συνέχεια να φέρετε

από αυτό το σηµείο τρεις ευθείες. Η πρώτη να τέµνει τον κύκλο η δεύτερη να εφάπτεται

του κύκλου και η τρίτη να µην έχει κοινά σηµεία µε τον κύκλο.

8. Να φτιάξετε ένα κύκλο και να πάρετε δύο διαµέτρους αυτού τις ΑΒ και Γ∆ έτσι ώστε

να είναι κάθετες µεταξύ τους. Μετά να φέρετε εφαπτόµενες από τα σηµεία Α και Γ. Τι

σχέση έχουν οι εφαπτόµενες αυτές;

9. Το παρακάτω σχήµα παριστάνει όπως φαίνεται ένα γήπεδο ποδοσφαίρου από

ψηλά. Χρησιµοποιώντας τα κατάλληλα γεωµετρικά όργανα να το φτιάξετε και

στο τετράδιό σας.

10. Να µετρήσετε την ακτίνα ενός CD και έπειτα να υπολογίσετε την διάµετρό του.

238. Βασικές γεωµετρικές έννοιες

Κύκλος - Κυκλικός δίσκος - Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου - Μεσοκάθετος ευθύγραµµου τµήµατος

Ερώτηση 1

Ποιο σχήµα ονοµάζουµε κύκλο;

Ποιους κύκλους ονοµάζουµε οµόκεντρους;

Ερώτηση 2

Τι ονοµάζουµε µεσοκάθετη ενός ευθυγράµµου τµήµατος και τι γνωρίζετε για αυτή;

Άσκηση 1

Να βρείτε εκείνα τα σηµεία του επίπεδου που απέχουν από ένα σηµείο Α:

α. απόσταση µεγαλύτερη από 4cm.

β. απόσταση µικρότερη από 4cm.

γ. απόσταση ακριβώς 4cm.

δ. απόσταση µεγαλύτερη από 3cm και µικρότερη από 5cm.

Άσκηση 2

Να φτιάξετε ένα κύκλο (Ο,2) και να σχεδιάσετε σε αυτόν µία χορδή µία ακτίνα ένα

τόξο και µία διάµετρο. Μπορείτε να σχεδιάσετε µια χορδή ίση µε 4,1 cm;

∆ικαιολογήστε την απάντησή σας.

Άσκηση 3

∆ίνεται ο κύκλος (Ο,ρ) και µια χορδή του ΑΒ. Από το κέντρο του φέρνουµε το τµήµα

ΟΜ κάθετο στην ΑΒ. Να συγκριθούν τα τµήµατα ΜΑ και ΜΒ. Φέρνουµε µια άλλη

χορδή Γ∆ του κύκλου ίση µε την ΑΒ και φέρνουµε επίσης το κάθετο τµήµα ΟΝ. Να

συγκριθούν τα τµήµατα ΟΜ και ΟΝ.

Να σηµειωθεί ότι τα τµήµατα ΟΜ και ΟΝ λέγονται αποστήµατα των χορδών ΑΒ και

Γ∆ αντίστοιχα.

ÊåöÜëáéï 6ïïïïï

âéâëéïììÜèçìá 20:âéâëéïììÜèçìá 20:âéâëéïììÜèçìá 20:âéâëéïììÜèçìá 20:âéâëéïììÜèçìá 20: -Ç Ýííïéá ôçò ãùíßáò-Ç Ýííïéá ôçò ãùíßáò-Ç Ýííïéá ôçò ãùíßáò-Ç Ýííïéá ôçò ãùíßáò-Ç Ýííïéá ôçò ãùíßáò-Óýãêñéóç ãùíéþí-Óýãêñéóç ãùíéþí-Óýãêñéóç ãùíéþí-Óýãêñéóç ãùíéþí-Óýãêñéóç ãùíéþí-Åßäç ãùíéþí-Åßäç ãùíéþí-Åßäç ãùíéþí-Åßäç ãùíéþí-Åßäç ãùíéþí-ÌÝôñçóç ãùíéþí-ÌÝôñçóç ãùíéþí-ÌÝôñçóç ãùíéþí-ÌÝôñçóç ãùíéþí-ÌÝôñçóç ãùíéþí-ÅöåîÞò ãùíßåò-ÅöåîÞò ãùíßåò-ÅöåîÞò ãùíßåò-ÅöåîÞò ãùíßåò-ÅöåîÞò ãùíßåò-ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò-ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò-ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò-ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò-ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò-ÊáôáêïñõöÞí ãùíßåò-ÊáôáêïñõöÞí ãùíßåò-ÊáôáêïñõöÞí ãùíßåò-ÊáôáêïñõöÞí ãùíßåò-ÊáôáêïñõöÞí ãùíßåò

âéâëéïììÜèçìá 21: âéâëéïììÜèçìá 21: âéâëéïììÜèçìá 21: âéâëéïììÜèçìá 21: âéâëéïììÜèçìá 21: -----ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò ðïõÐáñÜëëçëåò åõèåßåò ðïõÐáñÜëëçëåò åõèåßåò ðïõÐáñÜëëçëåò åõèåßåò ðïõÐáñÜëëçëåò åõèåßåò ðïõ ôÝìíïíôáé áðü åõèåßá ôÝìíïíôáé áðü åõèåßá ôÝìíïíôáé áðü åõèåßá ôÝìíïíôáé áðü åõèåßá ôÝìíïíôáé áðü åõèåßá

-¢èñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ-¢èñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ-¢èñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ-¢èñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ-¢èñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ

Ïé ãùíßåòÏé ãùíßåò

ÂéâëéïìÜèçìá

20

· Ç Ýííïéá ôçò ãùíßáò - Óýãêñéóç ãùíéþí

· Åßäç ãùíéþí - ÌÝôñçóç ãùíéþí

· ÅöåîÞò ãùíßåò - ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò

· ÊáôÜ êïñõöÞí ãùíßåò

· Ç Ýííïéá ôçò ãùíßáò - Óýãêñéóç ãùíéþí

· Åßäç ãùíéþí - ÌÝôñçóç ãùíéþí

· ÅöåîÞò ãùíßåò - ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò

· ÊáôÜ êïñõöÞí ãùíßåò

Ποιά είναι η έννοια της γωνίας;

∆ύο ηµιευθείες µε κοινή αρχή χωρίζουν το επίπεδο

σε δύο περιοχές, που καθεµία από αυτές ονοµάζεται γωνία.

Οι ηµιευθείες αυτές ονοµάζονται πλευρές της γωνίας και η

κοινή τους αρχή ονοµάζεται κορυφή της γωνίας.

Για να δηλώσουµε ποια από τις δύο γωνίες εννοούµε

γράφουµε µέσα στη γωνία ένα µικρό τόξο, όπως φαίνεται

στο διπλανό σχήµα.

Με ποιούς τρόπους συµβολίζουµε µια γωνία;

Μια γωνία συµβολίζεται µε τρεις τρόπους:

α. Με τρια γράµµατα, προσέχοντας το µεσαίο γράµµα να

είναι κορυφή της γωνίας. π.χ. ˆxOy ή ˆyOx

β. Με ένα µικρό γράµµα. π.χ. ω

γ. Με το γράµµα της κορυφής, εφόσον η γωνία δε χωρίζεται

από άλλη ηµιευθεία σε περισσότερα µέρη. π.χ. ΟΜε ανάλογους τρόπους συµβολίζουµε τις γωνίες ενός

πολυγώνου. π.χ. τριγώνου ή τετραπλεύρου.

O

x

y

x

y

O ù

O

x

y

242. Οι γωνίες

Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµα-

τικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

Πώς συγκρίνουµε δύο γωνίες;

Για να συγκρίνουµε δύο γωνίες ˆΑΟΒ και ˆΓΚ∆ χρη-

σιµοποιούµε διαφανές χαρτί. Αποτυπώνουµε την ˆΑΟΒ στο

διαφανές χαρτί και τοποθετούµε το αποτύπωµα πάνω στη

γωνία ˆΓΚ∆ , έτσι ώστε το Ο να συµπέσει µε το Κ και η

πλευρά ΟΒ µε την Κ∆.

∆ιακρίνουµε τρεις περιπτώσεις:

α. Οι πλευρές ΟΑ και ΚΓ να συµπέσουν οπότε οι γωνίες

είναι ίσες, και γράφουµε:

ˆ ˆΑΟΒ = ΓΚ∆

β. Η πλευρά ΚΓ να βρεθεί µέσα στη γωνία ˆAOB οπότε η

γωνία ˆΓΚ∆ είναι µικρότερη από τη γωνία ˆAOB , γράφου-

µε:

ˆˆΓΚ∆ < ΑΟΒ

γ. Η πλευρά ΚΓ να βρεθεί έξω από τη γωνία ˆΑΟΒ προς το

µέρος της πλευράς ΟΑ οπότε η γωνία ˆΓΚ∆ ειναι

µεγαλύτερη από τη γωνία ˆΑΟΒ , και γράφουµε:

ˆˆΓΚ∆ > ΑΟΒ

Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Η γωνία Α (ή ˆΒΑΓ ) ονοµάζεται περιεχόµενη στις

πλευρες ΑΒ και ΑΓ. Οµοίως η Β είναι περιεχόµενη στις

πλευρές ΑΒ και ΒΓ, και η Γ είναι περιεχόµενη στις πλευρές

ΑΓ και ΓΒ.

Οι γωνίες Β και Γ ειναι προσκείµενες στην πλευρά ΒΓ.

Οµοίως οι Α και Β προσκείµενες στην πλευρά ΑΒ και οι

Α και Γ προσκείµενες στην πλευρά ΑΓ.

Η πλευρά ΒΓ είναι απέναντι από την γωνία Α , η ΑΓ απέναντι από τη γωνία Β και η

ΑΒ απένταντι από τη γωνία Γ .

A

Ã

BÄÏ

Ê

A

Ã

ÏÊ

243.Οι γωνίες

Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµα-

τικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

Πώς διακρίνονται τα τρίγωνα µε βάση τις πλευρές τους;

Τα τρίγωνα διακρίνονται µε βάση τις πλευρές τους σε:

α. Σκαληνά, τα οποία έχουν τρεις άνισες πλευρές

β. Ισοσκελή, τα οποία έχουν δύο ίσες πλευρές οι οποίες

ονοµάζονται σκέλη. Η τρίτη πλευρά ονοµάζεται βάση

του ισοσκελούς τριγώνου. Οι προσκείµενες στη βάση,

ισοσκελούς τριγώνου, γωνίες είναι ίσες.

γ. Ισόπλευρα, τα οποία έχουν τρεις ίσες πλευρές. Οι γωνίες

του ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες.

Ποια είναι η µονάδα µέτρησης γωνιών;

Τις γωνίες συνήθως τις µετράµε σε µοίρες. Μια µοίρα

υποδιαιρείται σε 60 πρώτα λεπτά (60΄). Ένα λεπτό

υποδιαιρείται σε 60 δευτερόλεπτα (60΄΄).

∆ηλαδή: 1 60΄ 3600΄΄,1' 60"ο = = =

Ποια είναι τα είδη των γωνιών;

α. Ορθή: Είναι η γωνία που οι πλευρές της είναι κά-

θετες. Κάθε ορθή γωνία είναι 900. Εποµένως όλες οι ορ-

θές γωνίες είναι µεταξύ τους ίσες.

β. Οξεία: Είναι µια γωνία µικρότερη της ορθής. Μια οξεία

γωνία είναι µεγαλύτερη από 00 και µικρότερη από 900.

γ. Ευθεία: Είναι µια γωνία που οι πλευρές της είναι αντικεί-

µενες ηµιευθείες. Μια ευθεία γωνία είναι 1800. Όλες οι

ευθείες γωνίες είναι µεταξύ τους ίσες.

δ. Αµβλεία: Είναι µια γωνία µεγαλύτερη της ορθής και µι-

κρότερη της ευθείας γωνίας. ∆ηλαδή η αµβλεία γωνία

είναι µεγαλύτερη από 900 και µικρότερη από 1800.

ε. Πλήρης: Είναι µια γωνία που οι πλευρές της συµπίπτουν

και περιέχει όλο το επίπεδο. Μια πλήρης γωνία είναι 3600.

Όλες οι πλήρεις γωνίες είναι ίσες.

á.

â.

ã.

âáóç

244. Οι γωνίες

Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµα-

τικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

Τι ονοµάζεται διχοτόµος µιας γωνίας;

Να σχεδιάσετε µια ορθή γωνία και να φέρετε τη διοχοτό-

µο της. Πόσες µοίρες είναι καθεµία από τις γωνίες που

σχηµατίζονται;

∆ιχοτόµος µιας γωνίας είναι η ηµιευθεία που χωρίζει

τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες. Στο διπλανό σχήµα η Οz είναι

η διχοτόµος της γωνίας ˆxOy και ισχύει ότι:

ˆxOyˆ ˆxOz zOy2

= =

Η Οz είναι διχοτόµος της ορθής ˆxOy και ισχύει ότι:

00

ˆxOy 90ˆ ˆxOz zOy 452 2

= = = =

Ποιες γωνίες ονοµάζονται εφεξής; Ποιο το άθροισµα

δύο εφεξής γωνιών;

∆ύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή, µια κοινή πλευ-

ρά και κανένα άλλο κοινό σηµείο ονοµάζονται εφεξής γω-

νίες, π.χ. Οι γωνίες ˆxOy και ˆyOz έχουν κοινή κορυφή το

σηµείο Ο, κοινή πλευρά την Oy και κανένα άλλο κοινό ση-

µείο. Αντίθετα οι γωνίες ˆxOz και ˆxOy έχουν κοινή κορυ-

φή το σηµείο Ο, κοινή πλευρά την Οx αλλά έχουν κοινά

σηµεία όλα τα σηµεία που περιέχονται στη ˆxOy . Άρα δεν

είναι εφεξής.

Το άθροισµα των εφεξής γωνιών ˆxOy και ˆyOz είναι η

ˆxOz . Στο διπλανό σχήµα είναι: ˆxOz = 0 0 050 30 80+ =

245.Οι γωνίες

Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµα-

τικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

α. Ποιές γωνίες ονοµάζονται παραπληρωµατικές;Ποιά είναι η παραπληρωµατική της γωνία των 500, των

900, και των 1200;

β. Ποιές γωνίες ονοµάζονται συµπληρωµατικές; Ποιά ειναι

η συµπληρωµατική της γωνία των 300;

α. ∆ύο γωνίες που έχουν άθροισµα 1800 ονοµάζονται

παραπληρωµατικές.

Η παραπληρωµατική της ˆxOz είναι η ˆyOz και αντιστρό-

φως η παραπληρωµατική της ˆyOz η ˆxOz .

Η παραπληρωµατική της γωνίας των 500 είναι

0 0 0180 50 130− = , της γωνίας των 900 είναι η

• Η παραπληρωµατική µιας γωνίας ω συµβολίζεται ως 0 ˆ180 − ω .

• Τρεις ή περισσότερες γωνίες µε άθροισµα 1800 δεν είναι παραπληρωµατικές.

0 0 0180 90 90− = και των 1200 είναι 0 0 0180 120 60− = .

β. ∆ύο γωνίες που έχουν άθροισµα 900 ονοµάζονται συ-

µπληρωµατικές.

Η συµπληρωµατική της ˆxOz είναι η ˆzOy και αντιστρό-

φως, η συµπληρωµατική της ˆzOy είναι ˆxOz . Η συµπλη-

ρωµατική της γωνίας των 300 είναι 0 0 090 30 60− = .

Η συµπληρωµατική µιας γωνίας ω συµβολίζεται ως 0 ˆ90 − ω .

Ποιές γωνίες ονοµάζονται κατακορυφήν; Ποιά σχέση

συνδέει δύο κατακορυφήν γωνίες;

∆ύο γωνίες ονοµάζονται κατακορυφήν όταν οι πλευ-

ρές της µιας είναι αντικείµενες ηµιευθείες των πλευρών της

άλλης. Οι γωνίες α και β του διπλανού σχήµατος καθώς

και η γ και δ είναι κατακορυφήν.

∆ύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.

246. Οι γωνίες

Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµα-

τικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

Να ονοµασετε όλες τις γωνίες του σχήµατος:

Λύση

Στο παραπάνω σχήµα υπάρχουν οι γωνίες:

i. ˆxOy ή ˆAOB ή α , ii. ˆxOz ή ˆΑOz ή β ,

iii. ˆyOz ή ˆBOΓ ή γ

Στο τρίγωνο ΠΡΣ να βρείτε:

α. Ποιες γωνίες είναι προσκείµενες στην πλευρά ΠΡ.

β. Ποιά γωνία περιέχεται στις πλευρές ΠΡ και ΠΣ.

γ. Ποιά γωνία βρίσκεται απέναντι από την πλευρά ΡΣ.

Λύση

α. Στην πλευρά ΠΡ προσκείµενες είναι οι γωνίες ˆΣΠΡ (ή Π ) και ˆΠΡΣ (ή Ρ )

β. Στις πλευρές ΠΡ και ΠΣ περιέχεται η γωνία ˆΡΠΣ (ή Π ).

γ. Απέναντι από την πλευρά ΡΣ βρίσκεται η γωνία ˆΡΠΣ (ή Π ).

Να βρείτε πόσες µοίρες είναιη γωνία που είναι:

α. το 13

της ορθής β. τα 25

της ορθής γ. το 14

της ευθείας γωνίας

Λύση

Η γωνία που είναι:

α. το 1

3 της ορθής είναι:

0 01·90 30

3= β. τα

5 της ορθής είναι: 0 02

·90 365

=

γ. τα 1

4 της ευθείας γωνίας είναι: 0 01

·180 454

=

Γενικά τα κλ µιας γωνίας ω ειναι ίσα µε:

κˆ·ω

λ

247.Οι γωνίες

Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµα-

τικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

Να κατασκευάσετε µια γωνία 3300.

Λύση

Με το µοιρογνωµόνιο µπορούµε να κατασκευάσουµε γωνίες

µέχρι 1800. Η γωνία των 3300 είναι µεγαλύτερη από 1800,

οπότε κάνουµε το εξής: αφαιρούµε τις 3300 από τις 3600,

δηλαδή 0 0 0360 330 30− = , και κατασκευάζουµε γωνία 300,

τη ˆxOy . Με κορυφή το Ο και πλευρές την Οx και την Οy

σχηµατίζονται δύο γωνίες µε άθροισµα 3600, µια 300 και µια 3300.

Να φέρετε τη διχοτόµο της γωνίας A στο διπλανό τρίγωνο:

Λύση

Με το µοιρογνωµόνιο µετράµε τη γωνία A . Η γωνία 0A 70= .

Όπως γνωρίζουµε η διχοτόµος θα χωρίσει τη γωνία µας σε

δύο ίσες γωνίες που κάθε µια θα είναι 0

0ˆ 70

352 2

Α = = .

Με πλευρά την ΑΒ και κορυφή το Α κατασκευάζουµε µια γωνία 350.

Η πλευρά Α∆ της γωνίας των 350 είναι η διχοτόµος της γωνίας A .

Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε ˆ ˆ0 0Α = 50 , Β = 70 και ΑΒ = 5cm .

Λύση

Σχεδιάζουµε πρώτα ένα ευθύγραµµο τµήµα 5cm και το ονοµά-

ζουµε ΑΒ. Με το µοιρογνωµόνιο κατασκευάζουµε τη γωνία

0ˆABx 70= , και στη συνέχεια τη γωνία 0ˆBAy 50= . Το σηµείο

που τέµνονται οι ηµιευθείες Αy και Βx είναι η κορυφή Γ ,

Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = 2cm , AΓ = 3cm και ˆ 0A = 50 .

Λύση

Κατασκευάζουµε µια γωνία 0ˆxAy 50= . Πάνω στην Αx

παίρνουµε τµήµα ΑΓ ίσο µε 3cm και πάνω στην Ay τµήµα ΑΒ

ίσο µε 2cm. Ενώνουµε τα Γ και Β και προκύπτει το ζητούµενο

τρίγωνο ΑΒΓ.

248. Οι γωνίες

Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµα-

τικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας:

Λύση

Να σχεδιάσετε δύο γωνίες εφεξής και παραπληρωµατικές που η µια να είναι 200.

Λύση

Κατασκευάζουµε µια γωνία 0ˆxOy 20= . Φέρνουµε την

αντικείµενη ηµιευθεία Οz της Οy. Η γωνία ˆxOz είναι η

παραπληρωµατική της ˆxOy και είναι 0 0 0180 20 160− = .

Να σχεδιάσετε δύο γωνίες εφεξής και συµπληρωµατικές που η µια να είναι 200.

Λύση

Κατασκευάζουµε για γωνία 0ˆxOy 20= . Φέρνουµε την κάθετη

Οz στην Οy στο σηµείο Ο. Η ˆxOz είναι συµπληρωµατική της

ˆxOy και είναι 0 0 090 20 70− = .

Παρατηρούµε ότι όταν η ω είναι οξεία γωνία η παραπληρωµατική της είναι

αµβλεία, όταν η ω είναι ορθή η παραπληρωµατική της είναι ορθή, και όταν η ω είναι

αµβλεία η παραπληρωµατική της είναι οξεία.

ÐáñáðëçñùìáôéêÞ ôçò

300

900

1500

150o

150o

90o

90o

30o

30o

249.Οι γωνίες

Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµα-

τικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

∆ύο γωνίες είναι παραπληρωµατικές. Αν η µια είναι κατά 200 µικρότερη από την

άλλη, να υπολογιστούν οι γωνίες.

Λύση

Έστω x η µια γωνία οπότε η άλλη θα είναι 0x 20− . Επειδή είναι παραπληρωµατικές,

το άθροισµα τους θα είναι 1800. Έτσι έχουµε:

0 0ˆ ˆx x 20 180+ − =0 0ˆ2x 20 180− =

0 0ˆ2x 180 20= +0ˆ2x 200=

0x 100=Άρα η µία θα είναι 1000 και η άλλη 0 0 0100 20 80− = .

∆ύο γωνίες είναι παραπληρωµατικές. Αν η µια είναι διπλάσια από την άλλη, να

υπολογιστούν οι γωνίες.

Λύση

Αν x η µία γωνία, η άλλη θα είναι ˆ2x . Επειδή είναι παραπληρωµατικές το άθροισµα

τους θα είναι 1800. Έτσι έχουµε:

0ˆ ˆx 2x 180+ =0ˆ3x 180=

0x 180 : 3=0x 60=

Άρα η µια θα είναι 600 και η άλλη 0 02·60 120=

Να υπολογιστούν οι γωνίες ˆˆ ˆα, β, φ και ω του διπλανού

σχήµατος.

Λύση

Η 0φ 40= ως κατακορυφήν µε την γωνία των 400.

Η 0

ω 35= ως κατακορυφήν µε την γωνία των 350.

Η 040 , η ω και η β σχηµατίζουν ευθεία γωνία και έτσι θα έχουν άθροισµα 1800, δηλαδή:

0 0ˆˆ40 180+ ω+ β =0 0 0ˆ40 35 180+ + β =

0 0ˆ75 180+ β =0 0ˆ 180 75β = −

250. Οι γωνίες

Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµα-

τικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

0ˆ 105β =

Επίσης η 0α 105= ως κατακορυφήν γωνία της β .

Να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ του διπλανού σχή-

µατος. Τι παρατηρείτε για την Κz;

Λύση

Η 0φ 80= ως κατακορυφήν γωνία της γωνίας των 800.

Οι γωνίες 800, ω και 500 σχηµατίζουν ευθεία γωνία, άρα

θα έχουν άθροισµα 1800.

∆ηλαδή: 0 0 0ˆ80 50 180+ ω+ =0 0ˆ 130 180ω+ =0 0ˆ 180 130ω = −

0ˆ 50ω =

Παρατηρούµε ότι η ω και η γωνία των 050 είναι ίσες. Άρα η Κz είναι διχοτόµος της

γωνίας ˆx΄Ky΄ .

251.Οι γωνίες

Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµα-

τικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

1. Να ονοµάσετε όλες τις γωνίες στα παρακάτω σχήµατα.

2. Να κατασκευάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο ΚΛΜ, και να βρείτε:

α. Ποιά πλευρά είναι απέναντι από τη γωνία Μβ. Ποιές γωνίες είναι προσκείµενες στην πλευρά ΚΛ.

γ. Ποιά γωνία είναι περιεχόµενη των πλευρών ΚΜ και ΛΜ.

3. Να βρείτε πόσες µοίρες είναι η γωνία που είναι:

α. 1

α10

= της ορθής β. 5

β3

= της ορθής γ. γ 3= ορθές.

4. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε oΑ 90= , ΑΒ 3cm= και ΑΓ 4cm= .

5. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε oΒ 40= , oΓ 60= και ΒΓ 4cm= .

6. Να συµπληρωθούν οι παρακάτω πίνακες:

252. Οι γωνίες

Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµα-

τικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

7. ∆ύο γωνίες είναι παραπληρωµατικές. Αν η µια είναι εννιαπλάσια της άλλης, να

υπολογιστούν οι γωνίες.

8. ∆ύο γωνίες είναι παραπληρωµατικές. Αν η µια είναι κατά 100 µεγαλύτερη της άλλης,

να υπολογιστούν οι γωνίες.

9. ∆ύο γωνίες είναι παραπληρωµατικές. Αν η µια είναι η συµπληρωµατική της γωνίας

των 200, να βρεθεί η άλλη.

10. ∆ύο γωνίες είναι συµπληρωµατικές. Αν η µία είναι η µισή της άλλης, να υπολογι-

στούν οι γωνίες.

11. ∆ύο γωνίες είναι συµπληρωµατικές. Αν η µία είναι κατά 200 µικρότερη από την

άλλη, να υπολογιστούν οι γωνίες.

12. Στο διπλανό σχήµα να γράψετε τα ζεύγη

α. των εφεξής γωνιών β. των κατακορυφήν γωνιών

13. Στο διπλανό σχήµα η Οz είναι διχοτόµος της γωνίας ˆxOy .

Να υπολογιστούν οι γωνίες του σχήµατος.

14. Στο διπλανό σχήµα να υπολογιστεί η γωνία φ .

253.Οι γωνίες

Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµα-

τικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

15. Στο διπλανό σχήµα να υπολογιστεί η γωνία ω .

16. Στο διπλανό σχήµα να υπολογιστούν οι γωνίες ˆx,φ και ω .

17. Στο διπλανό σχήµα να υπολογιστούν οι γωνίες ˆx,ω

και φ .

18. Στο διπλανό σχήµα να υπολογιστούν οι γωνίες ˆ ˆω,φ και z

254. Οι γωνίες

Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµα-

τικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

Ερώτηση 1

α. Σε ποιες κατηγορίες διακρίνονται τα τρίγωνα µε βάση τις πλευρές τους;

β. Να κατασκευάσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, τέτοιο ώστε η γωνία που βρίσκεται

απέναντι από τη βάση να είναι ορθή και κάθε µια από τις ίσες πλευρές του να είναι

3cm. Πόσες µοίρες είναι κάθε µια από τις ίσες γωνίες του;

Ερώτηση 2

α. Ποιες γωνίες ονοµάζονται εφεξής; Να σχεδιάσετε δύο εφεξής και παραπληρω-

µατικές γωνίες που η µία να είναι 72ο.

β. Ποιες γωνίες ονοµάζονται κατακορυφήν; Να σχεδιάσετε δύο κατακορυφήν γωνίες

που η µία να είναι 28ο. Πόσες µοίρες θα είναι η άλλη;

Άσκηση 1

Στο διπλανό σχήµα η γωνία α είναι ίση µε τα 2

5 της

ορθής. Να υπολογιστούν οι γωνίες ˆ ˆω, y και x .

Άσκηση 2

Στο διπλανό σχήµα η Οz είναι διχοτόµος της γωνίας

x΄Οy΄ , η Οy είναι διχοτόµος της γωνίας xΟy΄ , και η

γωνία oˆxOy 60= . Να υπολογιστεί η γωνία ˆzOy . Τι συ-

µπεραίνετε για τις διχοτόµους των εφεξής και παραπλη-

ρωµατικών γωνιών ˆx΄Οy΄ και ˆxΟy΄ .

Άσκηση 3

Στο διπλανό σχήµα η γωνία α είναι συµπληρωµατική της

γωνίας των 30ο, και η β είναι διπλάσια από τη γ . Να

υπολογιστούν οι γωνίες που είναι σηµειωµένες στο σχήµα.

x

y

á

ù

x

yy´

Ï

600

z

å

æ

ä

áã

â

ÂéâëéïìÜèçìá

21

· ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò ðïõ

ôÝìíïíôáé áðü åõèåßá

· ¢èñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ

· ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò ðïõ

ôÝìíïíôáé áðü åõèåßá

· ¢èñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ

Στο διπλανό σχήµα οι ευθείες ε1 και ε

2 είναι παράλληλες

και τέµνονται από την ε. Από τις οκτώ γωνίες

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆα,β, γ,δ,ε,ζ,η,θ τέσσερις έχουν κορυφή το Κ και τέσσερις

κορυφή το Λ. Αν από τις πιο πάνω γωνίες πάρουµε ένα

ζεύγος µε κορυφή το Κ ή ένα ζεύγος µε κορυφή το Λ

παρατηρούµε οτι οι γωνίες του ζεύγους είναι ίσες µεταξύ

τους ή παραπληρωµατικές αφού είναι κατακορυφήν ή εφεξής

µε άθροισµα µια ευθεία γωνία.

Στο ίδιο σχήµα ποιούς χαρακτηρισµούςχρησιµοποιούµε για να ονοµάσουµε κάποια από τα ζεύγη

γωνιών που αποτελούνται από µια γωνία µε κορυφή το Κ

και µια γωνία µε κορυφή το Λ;

α. Εντός εναλλάξ: είναι το ζεύγος των γωνιών που

βρίσκονται µεταξύ (εντός) των παραλλήλων και

εκατέρωθεν της τέµνουσας.

Οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες.

Στο σχήµα εντός εναλλάξ είναι τα ζεύγη: ˆγ, ε και ˆ ˆζ,δ

β. Εντός, εκτός και επί τ’αυτά: είναι το ζευγος των γωνιών

που µια βρίσκεται µεταξύ (εντός) των παραλλήλων και η

άλλη εκτός των παραλλήλων, ενώ και οι δύο βρίσκονται

από την ίδια µεριά (επι τ’αυτά) της τέµνουσας.

Παράλληλες ευθείες που

τέµνονται από ευθεία.

á

å

ã

ç

ä

è

Ê

Ë

â

æ

å

å1

å2

256. Οι γωνίες

Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

Οι εντός, εκτός και επί τ’αυτά γωνίες είναι ίσες.

Στο σχήµα εντός, εκτός και επί τ’αυτά είναι τα ζεύγη:

ˆ ˆα,ε , ˆ ˆδ,θ , ˆγ, η και ˆ ˆβ,ζ .

γ. Οι εντός και επί τ’αυτά: είναι το ζεύγος των γωνιών που και

οι δύο βρίσκονται µεταξύ (εντός) των παραλλήλων και από

την ίδια µεριά (επί τ’αυτά) της τέµνουσας.

Οι εντός και επί τ’αυτά γωνίες είναι παραπληρωµατικές.

Στο σχήµα εντός και επί τ’αυτά είναι τα ζεύγη: ˆγ, ζ , και ˆ ˆδ, ε

Παρατηρούµε ότι, µερικά από τα ζεύγη γωνιών όπως τα ζεύ-

γη ˆ ˆβ,ε και ˆ ˆβ,θ δεν µπορούµε να τα χαρακτηρίσουµε µε

έναν από τους πιο πάνω τρόπους. Σε τέτοια περίπτωση αν

αντικαταστήσουµε την µια εκ των δύο γωνιών του ζεύγους

µε την κατακορυφήν της αναγόµαστε σε µια από τις παρα-

πάνω περιπτώσεις.

Ποιο είναι το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου;

Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ ˆ0 0A = 50 και Β = 60 . Πόσες

µοίρες είναι η γωνία Γ ;

Το άθροισµα των γωνιών ενός οποιουδήποτε τριγώ-νου είναι ίσο µε 1800.

Έτσι 0ˆ ˆ ˆ 180Α + Β + Γ = ή 0 0 0ˆ50 60 180+ + Γ =ή 0 0ˆ110 180+ Γ = ή 0 0ˆ 180 110Γ = − ή 0ˆ 70Γ =

Πως διακρίνουµε τα τρίγωνα σύµφωνα µε το είδοςτων γωνιών τους;

Τα τρίγωνα ανάλογα µε το είδος των γωνιών τους

διακρίνονται σε:

Όταν δύο ευθείες τέµνονται από τρίτη και οι εντός εναλλάξ γωνίες που

σχηµατίζονται είναι ίσες, τότε οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.

A

B Ã

500

600

257.Οι γωνίες

Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

α. Ορθογώνια. Είναι τα τρίγωνα που έχουν µία ορθή γωνία

και δύο οξείες γωνίες.

β. Οξυγώνια. Είναι τα τρίγωνα που έχουν τρεις γωνίες οξείες.

γ. Αµβλυγώνια. Είναι τα τρίγωνα που έχουν µία γωνία αµ-

βλεία και δύο οξείες γωνίες.

Υπάρχει τρίγωνο µε δύο ορθές γωνίες;

Υπάρχει τρίγωνο µε δύο αµβλείες γωνίες;

Υπάρχει τρίγωνο µε µια ορθή και µια αµβλεία γωνία;

Σε καµία από τις τρεις παραπάνω περιπτώσεις δεν

υπάρχει τέτοιο τρίγωνο, γιατί σε κάθε τρίγωνο το άθροισµα

των γωνιών του είναι 1800.

Στην πρώτη περίπτωση, αν το τρίγωνο έχει δύο ορθές γω-

νίες τότε το άθροισµα των τριών γωνιών του θα ήταν µεγα-

λύτερο των 1800.

Στη δεύτερη περίπτωση επειδή κάθε αµβλεία είναι µε-

γαλύτερη από 900, το άθροισµα των δύο αµβλειών υ-

περβαίνει τις 1800.

Στην τρίτη περίπτωση η ορθή είναι ίση µε 900, η αµβλεία πάνω

από 900, άρα το άθροισµα του θα είναι µεγαλύτερο από 1800.

Πόσες µοίρες είναι κάθε γωνία ενός ισοπλεύρου τρι-

γώνου; Πόσες µοίρες είναι κάθε µια από τις οξείες γωνίες

ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου;

Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι ίσες, και

επειδή το άθροισµά τους είναι 1800, η καθεµία θα είναι:

0 0180 : 3 60= .

Σε κάθε τρίγωνο ισχύει ότι το άθροισµα των γωνιών του είναι

1800. Αφού η µία είναι ορθή το άθροισµα των δύο οξειών

γωνιών θα είναι 0 0 0180 90 90− = . Επειδή το τρίγωνο είναι

και ισοσκελές, οι οξείες θα είναι ίσες. Έτσι καθεµία θα είναι

0 090 : 2 45= .

A

A

A

B

B

B

Ã

Ã

Ã

A

B Ã

600

600

600

A

B Ã

450

450

258. Οι γωνίες

Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

Στο διπλανό σχήµα οι ε1 και ε

2 είναι παράλληλες, και τέµνονται από την ε. Να βρείτε

όλα τα ζευγη:

α. των εντός εναλλάξ γωνιών.

β. των εντός, εκτός και επι τ’αυτά γωνιών.

γ. των εντός και επι τ’αυτά γωνιών.

Λύση

Εντός εναλλάξ γωνίες: ˆz,β και ˆ ˆα, ω

Εντός εκτός και επι τ’αυτά γωνίες: ˆx,α και ˆy,β και ˆz,δ και ˆ ˆω, γ .

Εντός και επι τ’αυτά γωνίες: ˆ ˆα,z και ˆω,β .

Στο διπλανό σχήµα οι ε1 και ε

2 είναι παράλληλες και

τέµνονται από την ε. Αν ˆ 0α = 55 να υπολογιστούν οι

υπόλοιπες γωνίες του σχήµατος.

Λύση

Είναι 0γ 55= ως κατακορυφήν γωνία της α .

0 0 0β 180 55 125= − = ως παραπληρωµατική της α .

0δ 125= ως κατακορυφήν γωνία της β .

0η 55= ως εντός εναλλάξ γωνία µε τη γ από τις παράλληλες ε1 και ε

2 που τέµνονται

από την ε.

0ζ 125= ως εντός εναλλάξ γωνία µε τη δ από τις παράλληλες ε1 και ε

2 που

τέµνονται από την ε.

0θ 55= ως εντός, εκτός και επι τ’αυτά γωνία µε τη γ από τις παράλληλες ε1 και ε

2 που

τέµνονται από την ε.

0ι 125= ως εντός, εκτός και επι τ’αυτά γωνία µε τη δ από τις παράλληλες ε

1 και ε

2 που

τέµνονται από την ε.

259.Οι γωνίες

Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ η γωνία ˆ 0Α = 40 . Να βρεθούν οι

γωνίες Β και Γ

Λύση

Όπως είναι γνωστό οι προσκείµενες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες,

δηλαδή ˆ ˆΒ = Γ .

Επειδή 0ˆ ˆ ˆΑ Β Γ 180+ + = έχουµε:

0 0ˆ ˆ40 Β Β 180+ + =0 0ˆ40 2 180+ Β =

0 0ˆ2Β 180 40= −0ˆ2Β 140=

0Β 140 : 2=Έτσι είναι 0Β 70= και 0Γ 70=

Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η ˆ 0Α = 30 και η Β είναι διπλάσια από τη Γ . Να υπολογιστούν

οι γωνίες Β και Γ . Τι είδους τρίγωνο προκύπτει;

Λύση

Έστω x η γωνία Γ τότε Β 2x= .

Επειδή 0ˆ ˆ ˆΑ Β Γ 180+ + = έχουµε

0 0ˆ ˆ30 2x x 180+ + =0 0ˆ30 3x 180+ =

0 0ˆ3x 180 30= −0ˆ3x 150=

0x 150 : 3= οπότε 0x 50=

Άρα η 0Γ 50= οπότε η 0 0Β 2·50 100= = . Από τα προϋγούµενα βλέπουµε ότι το

τρίγωνο είναι αµβλυγώνιο µε αµβλεία τη Β .

Σε ισοσκελές τριγώνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ , η γωνία Α είναι διπλάσια από τη Β . Να

υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου. Τι είδους τρίγωνο προκύπτει;

Λύση

Αν x η γωνία Β τότε και η Γ θα είναι ίση µε x, αφού είναι προσκείµενη µε τη Β στη

βάση ισοσκελούς τριγώνου και η A θα είναι 2x.

Επειδή 0ˆ ˆ ˆΑ Β Γ 180+ + = έχουµε

02x x x 180+ + =04x 180=

260. Οι γωνίες

Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

0x 180 : 4=0x 45=

Άρα η 0Β 45= , η 0Γ 45= και η 0 0Α 2·45 90= = . Από τα προϋγούµενα συµπαιρένουµε

ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και ορθογωνίο.

Στο παρακάτω τρίγωνο η Β∆ είναι διχοτόµος της γωνίας Β και η ˆ 0Α = 60 . Να

υπολογιστεί η γωνία Γ .

Λύση

Η Β∆ είναι διχοτόµος της Β , άρα 0ˆ ˆΓΒ∆ ∆ΒΑ 25= = . Έτσι

η γωνία 0 0ˆ ˆΑΒΓ Β 2·25 50= = = .

Επειδή 0ˆ ˆ ˆΑ Β Γ 180+ + = έχουµε

0 0 0ˆ60 50 Γ 180+ + = 0 0ˆ110 Γ 180+ =

0 0Γ 180 110= − , άρα 0Γ 70= .

Στο σχήµα οι ε1 και ε

2 είναι παράλληλες. Να υπολογιστεί η γωνία α και η γωνία ω .

Λύση

Είναι 0α 70= ως εντός εναλλάξ γωνία µε τη ˆΒΑΓ από τις παράλληλες ε

1 και ε

2 που

τέµνονται από την ε3. Στο τρίγωνο ΚΓ∆ ισχύει:

0ˆˆ ˆΚ Γ ∆ 180+ + = οπότε

0 0 0Κ 70 60 180+ + =0 0Κ 130 180+ =0 0Κ 180 130= −

0Κ 50=

Επειδή η ω είναι παραπληρωµατική της γωνίας Κ του τριγώνου ΚΓ∆ θα ισχύει

0 0 0ω 180 50 130= − =

Στο παρακάτω σχήµα οι ε1 και ε

2 είναι παράλληλες, και τέµνονται από τις ε

3, ε

4. Να

υπολογιστούν οι γωνίες ˆˆ ˆκ,λ,µ του τριγώνου.

Λύση

Είναι 0λ 50= ως κατακορυφήν µε γωνία 500 και 0µ 60=ως εντός εκτός και επι τ’αυτά µε γωνία 600 από τις πα-

ράλληλες ε1 και ε

2 που τέµνονται από την ε

4.

261.Οι γωνίες

Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

Στο τρίγωνο που σχηµατίζεται θα ισχύει:

0ˆˆ ˆκ λ µ 180+ + =0 0

κ 50 60 1800+ + =

0 0κ 110 180+ =

0 0κ 180 110= − . Άρα

0κ 70=

Στο διπλανό σχήµα οι ε1 ,ε

2 και ε

3 είναι παράλληλες.

Να υπολογιστεί η γωνία ˆABΓ .

Λύση

Η 0φ 50= ως εντός και επί τ’αυτά µε την 1300 από τις

παράλληλες ε2 και ε

3 που τέµνονται από την ΒΓ.

Η ω είναι εντός εναλλάξ µε την 1100 (από τις παράλληλες ε1 και ε

2 που τέµνονται από

την ΑΒ) άρα 0

ω 110= .

Ισχύει ότι: ˆ ˆ ˆABΓ φ ω= + είναι :

0 0ˆΑΒΓ 110 50= + 0ˆΑΒΓ 160=

1. Σ’ ένα τρίγωνο ΚΛΜ η Κ είναι διπλάσια από τη Λ και τη Μ τριπλάσια από τη Λ .

Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΚΛΜ. Τί είδους είναι το τρίγωνο;

2. Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η 0Α 30= και η Β είναι ίση µε το µισό της Γ . Να υπολογιστού-

ν οι γωνίες ΑΒΓ. Τί είδους είναι το τρίγωνο;

262. Οι γωνίες

Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

3. Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ η Β είναι διπλάσια από την Α . Να υπολογιστούν

οι γωνίες του τριγώνου. Τι είδους τρίγωνο προκύπτει;

4. Σ’ ένα τρίγωνο ΠΡΣ η γωνία Π είναι ίση µε τα 2

3 της ορθής και η Ρ είναι διπλάσια

της Σ . Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΠΡΣ.

5. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογιστεί η γωνία x σε κάθε περίπτωση.

6. Στο διπλανό σχήµα οι ε1 και ε

2 είναι παράλληλες.

Να υπολογιστεί η γωνία φ .

7. Στο διπλανό σχήµα οι ΑΒ και Γ∆ είναι παράλλη-

λες. Να υπολογιστούν οι γωνίες φ και α .

8. Στο διπλανό σχήµα είναι 1 2 3ε // ε // ε .

Να υπολογιστεί η γωνία α .

263.Οι γωνίες

Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

9. Στο διπλανό σχήµα είναι 1 2ε // ε // ΛΖ . Αν η ΛΖ είναι η

διχοτόµος της γωνίας ˆΚΛΜ , να βρεθεί η γωνία ω .

10. Στο διπλανό σχήµα αν ΚΛ = ΚΜ, να υπολογι-

στούν οι γωνίες των τριγώνων ΚΛΜ και ΜΝ∆.

11. Στο διπλανό σχήµα, το τρίγωνο Β∆Γ είναι ισό-

πλευρο, ΑΒ // ΕΓ και ΑΕ // Β∆ . Να υπολογιστού-

ν οι γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒ∆Ε.

12. Στο διπλανό σχήµα οι ΒΓ και ∆Ε είναι πράλληλες. Να

υπολογιστούν οι γωνίες του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆.

13. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΒΓ∆ είναι ισοσκελές

µε ΒΓ = Β∆, και οι ε1 και ε

2 είναι παράλληλες. Να

υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΒΓ∆.

264. Οι γωνίες

Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

Ερώτηση 1

α. Σε ποιές κατηγορίες διακρίνονται τα τρίγωνα σύµφωνα µε το είδος των γωνιών.

Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές αµβλυγώνιο και ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο.

β. Να εξηγήσετε γιατί ένα τρίγωνο δε µπορεί να έχει δύο ορθές ή δύο αµβλείες γωνίες.

Ερώτηση 2

Στο διπλανό σχήµα οι ευθείες ε1 και ε

2 είναι παράλληλες και τέµνονται από την ε

3.

α. Να γράψετε όλα τα ζεύγη των εντός, εκτός

και επι τ’αυτά γωνιών που σχηµατίζονται.

Ποιά σχέση συνδέει τις γωνίες.

β. Να γράψετε όλα τα ζεύγη των εντός και επι

τ’αυτά γωνιών που σχηµατίζονται. Ποιά

σχέση συνδέει τις γωνίες;

γ. Να γράψετε όλα τα ζεύγη των εντός εναλλάξ

γωνιών που σχηµατίζονται. Ποιά σχέση

συνδέει τις γωνίες;

Άσκηση 1

Στο διπλανό σχήµα είναι 1 2ε // ε και ΑΒ// ∆Ε .

Η γωνία ο

α 40= , και η γ είναι τριπλάσια της

α . Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου

ΑΒΓ.

265.Οι γωνίες

Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

å1

å2

B

A

Ä

Æ

E

Ã

Άσκηση 2

Στο διπλανό σχήµα 1 2ε // ε και ΑΓ // ΒΕ. Το

τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. Να υπολογιστούν

οι γωνίες του τριγώνου Β∆Ε. Τι είδους τρίγωνο

είναι το Β∆Ε;

Άσκηση 3

Στο διπλανό σχήµα είναι 1 2ε // ε . Το τρίγωνο

ΑΒΓ είναι ισοσκελές µε ΑΒ = ΑΓ, και η γωνία

Α είναι διπλάσια της γωνίας Γ . Να

υπολογιστεί η γωνία ω που είναι σηµειωµένη

στο σχήµα.

ÊåöÜëáéï 7ïïïïï

âéâëéïììÜèçìá 22:âéâëéïììÜèçìá 22:âéâëéïììÜèçìá 22:âéâëéïììÜèçìá 22:âéâëéïììÜèçìá 22: -ºóá ó÷Þìáôá-ºóá ó÷Þìáôá-ºóá ó÷Þìáôá-ºóá ó÷Þìáôá-ºóá ó÷Þìáôá-ºóá ôñßãùíá-ºóá ôñßãùíá-ºóá ôñßãùíá-ºóá ôñßãùíá-ºóá ôñßãùíá-ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâÞôç-ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâÞôç-ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâÞôç-ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâÞôç-ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâÞôç-Åßäç ôåôñáðëåýñùí-Åßäç ôåôñáðëåýñùí-Åßäç ôåôñáðëåýñùí-Åßäç ôåôñáðëåýñùí-Åßäç ôåôñáðëåýñùí-Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ-Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ-Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ-Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ-Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ

âéâëéïììÜèçìá 23: âéâëéïììÜèçìá 23: âéâëéïììÜèçìá 23: âéâëéïììÜèçìá 23: âéâëéïììÜèçìá 23: -----Åìâáäü ôñéãþíïõÅìâáäü ôñéãþíïõÅìâáäü ôñéãþíïõÅìâáäü ôñéãþíïõÅìâáäü ôñéãþíïõ-----Åìâáäü ðáñáëëçëïãñÜììïõÅìâáäü ðáñáëëçëïãñÜììïõÅìâáäü ðáñáëëçëïãñÜììïõÅìâáäü ðáñáëëçëïãñÜììïõÅìâáäü ðáñáëëçëïãñÜììïõ-Åìâáäü ôñáðåæßïõ-Åìâáäü ôñáðåæßïõ-Åìâáäü ôñáðåæßïõ-Åìâáäü ôñáðåæßïõ-Åìâáäü ôñáðåæßïõ

Åõèýãñáììá ó÷ÞìáôáÅõèýãñáììá ó÷Þìáôá

ÂéâëéïìÜèçìá

22

· ºóá ó÷Þìáôá

· ºóá ôñßãùíá

· ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâÞôç

· Åßäç ôåôñáðëåýñùí

· Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ

· ºóá ó÷Þìáôá

· ºóá ôñßãùíá

· ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâÞôç

· Åßäç ôåôñáðëåýñùí

· Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ

Πως συγκρίνουµε δύο σχήµατα; Πότε δύο σχήµαταλέµε ότι είναι ίσα;

Για να συγκρίνουµε δύο σχήµατα, απoτυπώνουµε το

ένα σχήµα σε διαφανές χαρτί και τοποθετούµε το αποτύποµα

του επάνω στο άλλο σχήµα, και εξετάζουµε εάν το ένα

σχήµα συµπέσει µε το άλλο.

Αν τα δύο σχήµατα που συγκρίνουµε συµπέσουν τότε λέµε

ότι τα σχήµατα είναι ίσα.

Στα ίσα σχήµατα τι λέµε αντίστοιχα σηµεία, τιαντίστοιχες πλευρές και τι αντίστοιχες γωνίες;

Αν δύο σχήµατα είναι ίσα, τότε κάθε σηµείο του ενός

σχήµατος µεταφέρεται µε το διαφανές χαρτί και ταυτίζεται

µε ένα σηµείο του άλλου σχήµατος. Τα σηµεία αυτά των

δύο ίσων σχηµάτων λέγονται αντίστοιχα σηµεία. Οι πλευ-

ρές δύο ίσων σχηµάτων οι οποίες αποτελούνται από αντί-

στοιχα σηµεία, λέγονται αντίστοιχες πλευρές των ίσων σχη-

µάτων.Οι γωνίες δύο ίσων σχηµάτων οι οποίες αποτελού-

νται από αντίστοιχα σηµεία, λέγονται αντίστοιχες γωνίες

των ίσων σχηµάτων.

Τι συµπεραίνουµε αν γνωρίζουµε ότι δύο τρίγωναείναι ίσα;

Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε έχουν τις αντίστοιχες

πλευρές τους ίσες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.

270. Ευθύγραµµα σχήµατα

Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του

παραλληλογράµµου

Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα;

Αν οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες µία προς µία µε

τις πλευρές ενός άλλου τριγώνου τότε τα δύο τρίγωνα είναι ίσα.

Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται τραπέζιο; Ποιέςείναι οι βάσεις του τραπεζίου και ποιό το ύψος του;

Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο, το οποίο έχει µόνο

δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές του λέ-

γονται βάσεις του τραπεζίου.Η απόσταση των βάσεων του

λέγεται ύψος του τραπεζίου.

Πότε ένα τραπέζιο ονοµάζεται ισοσκελές;

Το τραπέζιο που έχει τις µη παράλληλες πλευρές του

ίσες ονοµάζεται ισοσκελές τραπέζιο.

Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται παραλληλό-γραµµο; Τι ονοµάζουµε ύψος του παραλληλογράµµου;

Ένα τετράπλευρο λέγεται παραλληλόγραµµο όταν

έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Σ' ένα παραλληλόγραµµο κάθε πλευρά του µπορεί να

θεωρηθεί ως βάση του.

Η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλευρά του

παραλληλογράµµου καλείται αντίστοιχο ύψος.

Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται ορθογώνιο παραλ-ληλόγραµµο;

Ένα τετράπλευρο που είναι παραλληλόγραµµο και

έχει όλες του τις γωνίες ορθές ονοµάζεται ορθογώνιο πα-

ραλληλόγραµµο ή απλά ορθογώνιο.

A B

ÃÄ

A B

ÃÄ

A B

ÃÄ

õ õ

A B

ÃÄ

271.Ευθύγραµµα σχήµατα

Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του

παραλληλογράµµου

Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται ρόµβος;

Ένα τετράπλευρο που είναι παραλληλόγραµµο και

έχει όλες τις πλευρές του ίσες ονοµάζεται ρόµβος.

Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται τετράγωνο;

Ένα τετράπλευρο που είναι παραλληλόγραµµο και

έχει όλες τις γωνίες του ορθές και όλες του τις πλευρές ίσες

ονοµαζεται τετράγωνο.

Ποιές είναι οι ιδιότητες του παραλλλογράµµου;

Σε κάθε παραλληλόγραµµο ισχύουν τα εξής:

α. Κάθε διαγώνιος το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα .

β. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες ανά δύο.

γ. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες ανά δύο.

δ. Οι διαγώνιές του διχοτοµούνται.

Πότε ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο;

(κριτήρια)

Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο αν:

α. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες ανά δύο.

β. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες ανά δύο.

γ. Οι διαγώνιες του διχοτοµούνται.

1) Όταν λέµε ότι οι διαγώνιες του παραλληλογράµµου (ή γενικότερα ότι δύο ευθ.

τµήµατα) διχοτοµούνται εννοούµε ότι το σηµείο στο οποίο τέµνονται είναι µέσον

και των δύο διαγωνίων (αντίστοιχα ευθυγράµµων τµηµάτων)

2) Όλες οι ιδιότητες του παραλληλογράµµου ισχύουν και για το ορθογώνιο, το

ρόµβο και το τετράγωνο, αφού ως γνωστόν αυτά είναι παραλληλόγραµµα.

A B

ÃÄ

A

B

Ã

Ä

272. Ευθύγραµµα σχήµατα

Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του

παραλληλογράµµου

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, να κατασκευαστεί τρίγωνο ΚΛΜ τέτοιο ώστε ΑΒ = ΚΛ, ΒΓ = ΛΜ

και ΑΓ = ΚΜ.

Λύση

Πάνω σε ευθεία ε παίρνουµε ευθύγραµµο τµήµα

ΛΜ = ΒΓ. Με κέντρο το Λ και ακτίνα ΑΒ

γράφουµε κύκλο. Με κέντρο το Μ και ακτίνα

ίση µε ΑΓ γράφουµε κύκλο και έστω Κ τό ένα

από τα σηµεία τοµής των κύκλων τότε το

τρίγωνο ΚΛΜ είναι το ζητούµενο. Με

κατάλληλη τοποθέτηση του αποτυπώµατος

του τριγώνου ΑΒΓ πάνω στο τρίγωνο ΚΛΜ

διαπιστώνουµε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ είναι

ίσα.

∆ικαιολόγηση: Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ έχουν:

KΛ ΑΒ, ΑΓ ΚΜ= = και ΒΓ ΛΜ= άρα είναι ίσα

(γιατί έχουν τις πλευρές τους µία προς µια ίσες)

Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές:

α. ΑΒ = 3cm, ΒΓ = 5cm και ΑΓ = 6cm

β. ΑΒ = 3cm, ΒΓ = 10cm και ΑΓ = 6cm.

Λύση

α. Φέρνουµε ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = 5cm. Mε

κέντρο το Β και αντίνα 3 cm γράφουµε κύκλο.

Με κέντρο το Γ και ακτίνα 6cm γράφουµε κύκλο.

Οι δύο κύκλοι τέµνονται σε δύο σηµεία και έστω

Α το ένα εξ αυτών τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το

ζητούµενο)

β. Φέρνουµε ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = 10cm. Mε κέντρο το Β και αντίνα 3 cm γράφω

κύκλο. Με κέντρο το Γ και ακτίνα 6cm γράφω κύκλο και παρατηρούµε ότι οι δύο

κύκλοι δεν τέµνονται οπότε δεν είναι δυνατόν να κατασκευαστεί το ζητούµενο τρίγωνο.

273.Ευθύγραµµα σχήµατα

Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του

παραλληλογράµµου

∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (µε ΑΒ = ΑΓ) και η διάµεσος του ΑΜ. Να δείξετε ότι:

α. Tα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ είναι ίσα

β. ˆ ˆΒ = Γ (οι παρά τη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώ-

νου είναι ίσες)

γ. Η ΑΜ είναι διχοτόµος της γωνίας Α

δ. Το ΑΜ είναι ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ

Λύση

α. Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ έχουν τις πλευρές ΑΒ = ΑΓ

(δεδοµένο) ΑΜ = ΑΜ ( κοινη πλευρά) και ΜΒ = ΜΓ

(Μ είναι µέσον της πλευράς ΒΓ αφού ΑΜ διάµεσος).

∆ηλαδή τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους µία προς

µία ίσες άρα είναι ίσα. Αφού τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ είναι ίσα θα έχουν και τις

αντίστοιχες γωνίες τους ίσες οπότε 1 2ˆ ˆˆ ˆΒ Γ,Α Α= = και 1 2

ˆ ˆΜ Μ= .

β. Aπό το i) ερώτηµα έχουµε ˆ ˆΒ Γ=

γ. Απο το i) έχουµε ότι 1 2ˆ ˆΑ Α= οπότε η ΑΜ είναι διχοτόµος της γωνίας Α .

δ. Από το i) έχουµε 1 2ˆ ˆΜ Μ= , επιπλέον όµως έχουµε 0

1 2ˆ ˆΜ Μ 180+ = άρα

01 2

ˆ ˆΜ Μ 90= = οπότε ΑΜ είναι κάθετη στην ΒΓ, δηλαδή το ΑΜ είναι ύψος του

τριγώνου ΑΒΓ.

∆ίνετε γωνία ˆxAy . Να κατασκευαστεί γωνία η οποία να είναι ίση µε την ˆxAy .

Λύση

1) Έστω ˆxAy η δοσµένη γωνία. Με κέντρο το Α και τυχαία ακτίνα ρ γράφουµε κυκλο

(Α,ρ) ο οποίος τέµνει τις πλευρές Αx, Ay της γωνίας ˆxAy στα

σηµεία B, Γ αντίστοιχα.

2) Γράφουµε µία ηµιευθεία Kx΄. Με κέντρο το Κ και ακτίνα ρ (ίση µε

την ακτίνα του (Α,ρ)) γράφω κύκλο ο οποίος τέµνει την ηµιευθεία

Κx΄ στο σηµείο ∆ .

3) Με κέντρο το ∆ και ακτίνα ρ΄ = ΒΓ γράφουµε κύκλο και έστω Ε το ένα

Απο το παραπάνω παράδειγµα συµπεραίνουµε ότι για να είναι δυνατον να κατα-

σκευαστεί ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β και γ πρέπει να ικανοποιούνται οι σχέσεις

α < β + γ , β < α + γ και γ < α + β

Η παραπάνω ιδιότητα λέγεται τριγωνική ανισότητα.

274. Ευθύγραµµα σχήµατα

Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του

παραλληλογράµµου

από τα σηµεία στα οποία ο κύκλος αυτός τέµνει τον κύκλο (Κ,ρ).

4) Γράφουµε την ηµιευθεία ΚΕ. Η γωνία ˆ∆ΚΕ είναι ίση µε τη

γωνία ˆxAy .

∆ικαιολόγηση της κατασκευής.

Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΚΕ έχουν ΑΒ = Κ∆ = ρ , ΑΓ = ΚΕ = ρ

και ΒΓ = ∆Ε = ρ δηλαδή δείξαµε ότι τα τρίγωνα έχουν τις

πλευρές τους µία προς µία ίσες άρα είναι ίσα. Έχουν εποµένως

και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες δηλ ˆ ˆ ˆxAy ΒΑΓ ∆ΚΕ= =

∆ίνετε γωνία ˆxAy . Να κατασκευαστεί η διχοτόµος της.

Λύση

1) Έστω ˆxAy η δοσµένη γωνία.

2) Με κέντρο το Α και τυχαία ακτίνα ρ γράφουµε τον κύκλο (Α,ρ) ο

οποίος τέµνει τις πλευρές Ax, Ay της γωνίας ˆxAy στα σηµεία Β,

Γ αντίστοιχα.

3) Με κέντρα τα σηµεία Β, Γ και ακτίνα ρ΄ η οποία να είναι µεγαλύτερη

από το µισό του ΒΓ γράφουµε τους κύκλους (Β,ρ΄) και (Γ,ρ΄) και

ονοµάζουµε ∆ το ένα από τα σηµεία τοµής τους.

4) Φέρνουµε την ηµιευθεία Α∆, ή οποία βρίσκεται µέσα στην

γωνία και είναι η ζητούµενη διχοτόµος.

∆ικαιολόγηση της κατασκευής.

Τα τρίγωνα ΑΒ∆ και Α∆Γ έχουν ΑΒ = ΑΓ = ρ, Γ∆ = ∆Β = ρ΄

και Α∆ κοινή πλευρά δηλαδή δείξαµε ότι τα τρίγωνα έχουν

τις πλευρές τους µία προς µία ίσες άρα είναι ίσα. Έχουν, επο-

µένως, και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες οπότε

ˆ ˆΒΑ∆ ∆ΑΓ= . Άρα η Α∆ είναι διχοτόµος της γωνίας ˆxAy .

Να κατασκευάσετε µε κανόνα και διαβήτη τρίγωνο ΑΒΓ

µε πλευρές ΑΒ = γ, ΒΓ = α και ˆ ˆΒ = φ όπου οι πλευρές α, γ

καθώς και η γωνία φ δίνονται στο διπλανό σχήµα.

Λύση

Κατασκευάζουµε γωνία ˆ ˆxBy φ= (βλ. άσκηση 4) και στην

πλευρά Bx παίρνουµε ευθ. τµήµα ΒΓ = α και στην πλευρά Βy

παίρνω ευθ. τµήµα ΒΑ = γ. Ενώνουµε το Α µε το Γ. Το τρίγωνο

ΑΒΓ έχει πλευρές ΑΒ = γ, ΒΓ = α και ˆ ˆB φ= άρα είναι το

B

B

Ã

Ã

A

A

x

x

y

y

Ä

Ä

275.Ευθύγραµµα σχήµατα

Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του

παραλληλογράµµου

ζητούµενο

Να κατασκευάσετε µε κανόνα και διαβήτη:

α. ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α, όπου α γνωστό ευθύγραµµο τµήµα

β. γωνία ˆ 0ω = 60 γ. γωνία ˆ 0

φ = 30

Λύση

α. Σχεδιάζουµε ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = α. Με κέντρο το Β

και ακτίνα ίση µε α γράφουµε τον κύκλο (Β,α). Με κέντρο

το Γ και ακτίνα ίση µε α γράφουµε τον κύκλο

(Γ,α).Ονοµάζουµε Α το ένα από τα σηµεία τοµής των

δύο κύκλων οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούµενο

ισόπλευρο τρίγωνο µε πλευρά α.

∆ικαιολόγηση. Το τρίγωνο που κατασκευάσαµε έχει και

τις τρείς πλευρές του ίσες µεταξύ τους και ίσες µε το δοσµένο ευθύγραµµο τµήµα α

β. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο οπότε θα έχει και τις τρείς γωνίες του ίσες . Ως

γνωστόν είναι 600 η κάθε µία οπότε η ζητούµενη γωνία 0

ω 60= είναι µία από τις

γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ έστω η 0Β 60= .

γ. Για να κατασκευάσουµε µία γωνία 0φ 30= φέρνουµε την διχοτόµο της γωνίας

0Β 60= (βλ. άσκηση 5).

Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆, στο οποίο να είναι ΑΒ = 6cm,

Α∆ = 4cm και ˆ 0Α = 65 .

Λύση

Κατασκευάζουµε γωνία 0ˆxAy 65= Στην ηµιευθεία Αx παίρ-

νουµε τµήµα ΑΒ = 6cm και στην ηµιευθεία Ay παίρνουµε

τµήµα Α∆ = 4cm. Από το σηµείο Β φέρνουµε ευθεία παράλ-

ληλη της Αy και από το σηµείο ∆ φέρνουµε ευθεία παράλ-

ληλη της Αx, και έστω Γ το σηµείο τοµής των δύο ευθειών.

Τότε το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ έχει τις απέναντι πλευρές του

παράλληλες (από κατασκευή) οπότε είναι παραλληλόγραµ-

µο και επιπλέον ΑΒ = 6cm, Α∆ = 4cm και 0A 65= . Άρα είναι το ζητούµενο παραλλη-

λόγραµµο.

Να υπολογίσετε τις γωνίες του ρόµβου στο παρακάτω σχήµα.

Λύση

Επειδή το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ρόµβος έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

A

 Ã30

0 600

276. Ευθύγραµµα σχήµατα

Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του

παραλληλογράµµου

Άρα Α∆= ∆Γ οπότε το τρίγωνο Α∆Γ είναι ισοσκελές και

01 1

ˆΓ Α 35= = . Όµως 0

2 1ˆ ˆΑ Γ 35= = ώς εντός εναλλάξ γωνίες

των παραλλήλων ΑΒ, ∆Γ τεµνοµένων από την ΑΓ και

0 0 01 2

ˆ ˆ ˆΑ Α Α 35 35 70= + = + = . Επειδή ˆΓ Α= ως απέναντι

γωνίες παραλληλογράµµου συµπεραίνουµε ότι 0ˆΓ Α 70= = . H

∆ είναι παραπληρωµατική της Γ ως εντός και επι ταυτά των

παραλλήλων Α∆, ΒΓ τεµνοµένων από την ∆Γ άρα 0∆ 110= οπότε και 0ˆΒ ∆ 110= =(ως απέναντι γωνίες παραλληλογράµµου).

Να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ∆. Να φέρετε τις διαγωνίους του ΑΓ, ∆Β και

να τις µετρήσετε. Τι παρατηρήτε;

Λύση

Σχεδιάζουµε µία ορθή γωνία ˆxAy και από ένα σηµείο

Β της πλευράς Αx φέρνουµε παράλληλη της Ay . Από

ένα σηµείο ∆ της πλευράς Ay φέρνουµε παράλληλη

της Ax και έστω Γ το σηµείο στο οποίο τέµνονται οι

παράλληλες. Το τετράπλερο ΑΒΓ∆ που σχηµατίστηκε

είναι το ζητούµενο ορθογώνιο (παρα/µµο µε ορθές

γωνίες). Σχεδιάζουµε τις διαγωνίους του ΑΓ, Β∆ και

µε το διαβήτη ή µε το υποδεκάµετρο διαπιστώνουµε

ότι ΑΓ = ∆Β

Να κατασκευάσετε έναν ρόµβο ΑΒΓ∆ ,να φέρετε τις διαγωνίους του και να µετρή-

σετε την γωνία που σχηµατίζουν.

Λύση

Σχεδιάζουµε µία γωνία xAy. Στην πλευρά Ax παίρνουµε ευθ. τµήµα ΑΒ. Στην πλευρά

Αy παίρνουµε ευθ. τµήµα Α∆ = ΑΒ. Από το ∆ φέρνουµε

παράλληλη της Αx Από το Β φέρνουµε παράλληλη της Αy

και έστω Γ το σηµείο τοµής των παραλλήλων ευθειών που

φέραµε. Το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ που κατασκευάστηκε είναι

παραλληλόγραµµο (έχει τις απέναντι πλευρές του παρ/λες)

και έχει όλες τις πλευρές του ίσες άρα είναι ρόµβος. Σχεδιά-

ζουµε τις διαγωνίους του ΑΓ, ∆Β και διαπιστώνουµε ότι η

ΑΓ είναι κάθετη στην Β∆.

277.Ευθύγραµµα σχήµατα

Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του

παραλληλογράµµου

Να κατασκευάσετε τραπέζιο ΑΒΓ∆ το οποίο έχει βάσεις ΑΒ = 5cm, Γ∆ = 12cm και

ύψος ΑΚ = 6cm.

Λύση

Γράφουµε δύο παράλληλες ευθείες ε1, ε

2 οι οποίες απέ-

χουν µεταξύ τούς 6cm. Στην ευθεία ε1 παίρνουµε ευθ.

τµή-

µα ΑΒ = 5cm και στην ευθεία ε2 ευθ. τµήµα ∆Γ = 12cm. Το

τετράπλευρο ΑΒΓ∆ που σχηµατίζεται είναι τραπέζιο µε

µεγάλη βάση την ∆Γ = 12cm µικρή βάση ΑΒ = 5cm και

ύψος ΑΚ = 6cm είναι το ζητούµενο τραπέζιο.

278. Ευθύγραµµα σχήµατα

Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του

παραλληλογράµµου

1. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές:

α. ΑΒ = 5cm, ΒΓ = 8cm και ΑΓ = 9cm.

β. ΑΒ = 8cm, ΒΓ = 20cm και ΑΓ = 10cm.

2. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές ΑΒ = 4cm, ΒΓ = 5cm, και ΑΓ = 3cm και

να µετρήσετε την γωνία του Α. Τι τρίγωνο είναι το ΑΒΓ;

3. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά α = 4cm και κατόπιν να σχεδιά-

σετε το ύψος του ΑΜ και να µετρήσετε τα ευθ. τµήµατα ΒΜ, ΓΜ τι παρατηρήτε;

4. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά ΒΓ = 3cm και ΑΒ = ΑΓ = 8cm.

5. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Να φέρετε τα ύψη, τις διαµέσους και τις

διχοτόµους των γωνιών του τριγώνου. Τι παρατηρείτε;

6. Να γράψετε κύκλο (Κ,ρ). Αν ΑΒ, Γ∆ δύο ισές χορδές του κύκλου (Κ,ρ). Να δικαιολογίσετε ότι:

α. Τα τρίγωνα ΚΑΒ και ΚΓ∆ είναι ίσα.

β. Οι γωνίες ˆΑΚΒ και ˆ∆ΚΓ είναι ίσες.

7. ∆ίνεται ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και σηµείο Σ του επιπέδου τέτοιο ώστε ΣΑ = ΣΒ να

δείξετε ότι το σηµείο Σ βρίσκεται πάνω στην µεσοκάθετο του ΑΒ.

8. Με τον κανόνα και τον διαβήτη να κατασκευάσετε ίσα σχήµατα µε τα παρακάτω:

279.Ευθύγραµµα σχήµατα

Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του

παραλληλογράµµου

9. Να σχεδιάσετε δύο γωνίες εφεξής και παραπληρωµατικες. Να φέρετε τις διχοτό-

µους των γωνιών αυτών. Τι γωνία σχηµατίζουν οι διχοτόµοι;

10. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε βάση ΒΓ = 5 cm και ίσες πλευρές

ΑΒ = ΑΓ= 9 cm. Να σχεδιάσετε τις διχοτόµους των γωνιών του.

11. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά α = 4 cm .Να σχεδιάσετε τις

διχοτόµους των γωνιών του.

12. ∆ίνετε η γωνία ω του διπλανού σχήµατος. Να κατασκευάσετε:

α. γωνία ˆ ˆxAy ω= β. γωνία 1

ˆz ω2

= γ. γωνία 1

ˆ ˆφ ω4

=

13. Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆, στο οποίο να είναι ΑΒ = 5cm,

Α∆ = 3cm και 0Α 60= . Να σχεδιάσετε και να µετρήσετε τα ύψη του.

14. α. Να κατασκευάσετε τραπέζιο ΑΒΓ∆ το οποίο έχει βάσεις

ΑΒ = 3cm, Γ∆ = 5cm και ύψος ΑΚ = 4cm.

β. Να κατασκευάσετε τραπέζιο ΑΒΓ∆ το οποίο έχει βάσεις

ΑΒ = 4cm, Γ∆ = 6cm πλευρά ∆Α = 5cm και 0∆ 60=

15. Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( 0ˆ ˆΑ ∆ 90= = ) το οποίο έχει βάσεις

ΑΒ = 3cm, Γ∆ = 5cm πλευρά Α∆ = 4 cm

16. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ το οποίο έχει µεγάλη βάση ∆Γ = 8cm,

0ˆ ˆ∆ Γ 60= = και µη παράλληλες πλευρές Α∆ = ΒΓ = 4 cm.

α. να µετρήσετε τις γωνίες ˆ ˆΑ,Β του τραπεζίου.

β. να φέρετε τις διαγωνίους του τραπεζίου και να τις µετρήσετε. Τι παρατηρείτε;

17. Να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ = 7cm και Α∆ = 5cm. Να φέρετε τις

διαγωνίους του ΑΓ, ∆Β και να τις µετρήσετε. Τι παρατηρείτε;

18. Να κατασκευστεί ρόµβος µε πλευρά ΑΒ =10cm και γωνία 0Α 50= .

ù

280. Ευθύγραµµα σχήµατα

Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του

παραλληλογράµµου

19. Να κατασκευστεί ρόµβος µε πλευρά ΑΒ = 8cm και γωνία 0Α 60= . Να σχεδιάσετε

και να µετρήσετε την διαγώνιο ∆Β του ρόµβου. Τι παρατηρείτε;

20. Ενός παραλληλογράµµου ΑΒΓ∆ η περίµετρος είναι ίση µε 44cm και η πλευρά

του ΑΒ είναι 11cm. Να αποδείξετε ότι είναι ρόµβος και κατόπιν να κατασκευά-

σετε το ρόµβο.

21. Να υπολογίσετε τις γωνίες του παραλληλογράµ-

µου ΑΒΓ∆ στο διπλανό σχήµα.

22. Nα σχεδιάσετε έναν κύκλο (Ο,ρ) και µία ακτίνα του ΟΑ. Αν η µεσοκάθετος της ΟΑ

τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Κ,Λ να σχεδιάσετε το τετράπλευρο ΟΚΑΛ, να µετρή-

σετε τις πλευρές του και να παρατηρήσετε ότι είναι ρόµβος.

A Â

ÃÄ

400

700

281.Ευθύγραµµα σχήµατα

Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του

παραλληλογράµµου

Ερώτηση 1

α. Πότε ένα τετράπλευρο λέγετε παραλληλόγραµµο;

β. Ποιές είναι οι ιδιότητες του παραλληλογράµµου;

γ. Πότε ένα παραλληλόγραµµο είναι ορθογώνιο, ρόµβος ή τετράγωνο;

Ερώτηση 2

α. Πότε ένα τετράπλευρο λέγεται τραπέζιο και πoιές είναι οι βάσεις του τραπεζίου;

β. Πότε ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές ;

Άσκηση 1

Να κατασκευάσετε γωνία 64ο και κατόπιν µε κανόνα και διαβήτη να φέρετε τη

διχοτόµο της.

Άσκηση 2

Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ στο οποίο να είναι ΑΒ = 7cm,

A∆ = 4cm και 0Α 60= . Να σχεδιάσετε και να µετρήσετε τα ύψη του.

Άσκηση 3

Να κατασκευάσετε ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε βάσεις ΑΒ = 4cm, Γ∆ = 10cm και ύψος

ΑΚ = 5cm.

Με ποιο τύπο υπολογίζουµε το εµβαδόν ενός τριγώνου;

Το εµβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο µε το µισό του

γινοµένου της βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος, δηλαδή:

1Ε β·υ

2=

Με ποιο τύπο υπολογίζουµε το εµβαδόν ενός παραλ-

ληλογράµµου;

Το εµβαδόν ενός παραλληλογράµµου είναι ίσο µε

το γινόµενο µιάς βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος.

Με ποιο τύπο υπολογίζουµε το εµβαδόν ενός τραπε-

ζίου;

Το εµβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο µε το ηµιάθρο-

ισµα των βάσεων του επί το ύψος του, δηλαδή:

( )Β β υΕ

2

+=

A

ÃÄ

B

õ

A

ÃÄ B

õ

A

ÃÄ

B

Å

¾øïò

ÂÜóç

284. Ευθύγραµµα σχήµατα

Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

Nα υπολογίσετε το εµβαδόν ενος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, όταν δίνονται τα µήκη

των κάθετων πλευρών του:

α. ΑΒ = 3,2 m και ΑΓ = 2,2m

β. ΑΒ = 5 cm και ΑΓ = 60 mm

Λύση

α. Το εµβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου δίνεται από τον τύπο ΑΒ·ΑΓ

Ε2

= οπότε

κάνοντας αντικατάσταση έχουµε 23, 2·2,2Ε 3,52m

2= =

β. Πρέπει πρώτα να µετατρέψουµε τις µονάδες µέτρησης ΑΒ = 5cm και ΑΓ = 60mm = 6cm

οπότε έχουµε 2AB·AΓ 5·6

Ε 15cm2 2

= = =

Ένα τρίγωνο έχει εµβαδόν 64 cm2 και ένα από τα ύψη του είναι 40mm. Να υπολογι-

στεί η πλευρά στην οποία αντιστοιχεί αυτό το ύψος.

Λύση

Από υπόθεση έχουµε Ε = 64 cm2 και υ = 40mm = 4cm οπότε:

Θέτουµε ΒΓ = β

1Ε β·υ

21

64 β·424

64 β2

64 2β

β 64 : 2

β 32cm

=

=

=

===

285.Ευθύγραµµα σχήµατα

Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει εµβαδόν 800mm2. Aν AB = AΓ = 5cm και ΒΓ = 8cm

να υπολογιστούν τα ύψη του.

Λύση

Από υπόθεση έχουµε E = 800mm2 = 8cm2, AB = AΓ = 5cm, ΒΓ = 8cm οπότε

β·υΕ

28·υ

82

8 4·υ

υ 8 : 24

Bτ 2cm

=

=

==

=

β·υΕ

25·υ

82

8 2,5·υ

υ 8 : 2,5

υ 3,2cm

A∆ 3,2cm

=

=

===

=

∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = 0,6m, ΒΓ = 10dm και Ε = 24dm2. Nα βρείτε:

α. την άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου.

β. το ύψος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.

Λύση

Αν πάρουµε ως βάση την µία κάθετη πλευρά τότε ύψος θα είναι ή άλλη κάθετη πλευρά

οπότε Ε = 24dm2 και β = 0,6m = 6dm. Αντικαθιστώντας έχουµε:

ΑΒ·ΑΓΕ

26·ΑΓ

242

24 3·ΑΓ

ΑΓ 24 : 3

ΑΓ 8

=

=

===

ΒΓ·Α∆Ε

210·Α∆

242

24 5·Α∆

Α∆ 24 : 5

Α∆ 4,8

=

=

===

Να βρεθεί το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που έχει βάση β = 5,8 και ύψος υ = 32mm.

Λύση

Ισχύει β = 5,8cm = 58mm και υ = 32mm . Άρα Ε = β.υ = 58mm.32mm = 1856mm2

Ένα παραλληλόγραµµο και ένα ορθογώνιο έχουν το ίδιο εµβαδόν και την ίδια

περίµετρο. Το ορθογώνιο έχει διαστάσεις 6cm και 8cm. Αν η µία πλευρά του

παραλληλογράµµου είναι 4 cm, να βρεθούν τα ύψη του.

Λύση

Η περίµετροςκαι το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι:

286. Ευθύγραµµα σχήµατα

Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

Π = 2.6 + 2.8 = 12 + 16 = 28m και E = 6.8 = 48cm2

αντίστοιχα.

Από υπόθεση όµως το ορθογώνιο και το παραλληλό-

γραµµο έχουν το ίδιο εµβαδόν και την ίδια περίµετρο

δηλαδή

Ππαρ

= Πορθ

= 28

Επαρ

= Εορθ

= 48 άρα:

παρ.Π 2x 2·4

28 2x 8

28 8 2x

2x 20

x 20 : 2

x 10

= +

= +− ==

==

ορθ. 1

1

1

1

Ε 4·υ

48 4υ

υ 48 : 4

υ 12

=

===

1

2

2

2

Ε x·υ

48 10·υ

48 :10 υ

υ 4,8

==

==

Τετράγωνο πλευράς α = 5cm , έχει το ίδιο εµβαδόν µε ένα παραλληλόγραµµο

πλευράς125mm. Να βρεθεί το ύψος του παραλληλογράµµου σε cm

Λύση

Επειδή το τετράγωνο εχει πλευρά α = 5cm το εµβαδόν

του θα είναι Ε = α·α = 5cm·5cm = 25cm2 και επειδή το

τετράγωνο έχει ίσο εµβαδόν µε το παραλληλόγραµµο

θα πρέπει:

τετρ. παρ.E E

25 12,5·υ

υ 25 :12,5

υ 2cm

=

===

Να υπολογίσετε το ύψος ενός τραπεζίου όταν δίνονται:

α. Β = 12,4cm , β = 7,6cm και Ε = 32cm2.

β. Β = 66mm, β = 3,4cm και Ε = 10,5cm2.

287.Ευθύγραµµα σχήµατα

Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

A

Ã

B

Ä

7,6cm

E cm= 322

12,4cm

Λύση

α. β Β

Ε ·υ2

12,4 7,632 ·υ

232 10·υ

υ 32 :10

υ 3,2

+=

+=

===

β. B = 66mm = 6,6cm

β ΒΕ ·υ

26,6 3,4

10,5 ·υ2

10,5 5·υ

υ 10,5 : 5

υ 2,1

+=

+=

===

H µεγάλη βάση ενός τραπεζίου είναι πενταπλάσια από την µικρή βάση. Αν το

ύψος του τραπεζίου είναι 2,5cm και το εµβαδόν 75 cm2. Να υπολογιστούν οι δύο

βάσεις του.

Λύση

Έστω x η µικρή βάση του τραπεζίου, τότε επειδή η µεγάλη

βάση του τραπεζίου είναι πενταπλάσια της µικρής θα ισχύει

Β = 5x και υ = 2,5cm, Ε = 75cm2 οπότε

β ΒΕ ·υ

25x x

75 ·2,52

6x75 ·2,5

275 3x·2,5

75 7,5x

x 75 : 7,5

x 10

+=

+=

=

==

==

K Ë

MN

3,4cm

E = 10,5cm2

66mm = 6,6cm

288. Ευθύγραµµα σχήµατα

Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

1. Να υπολογίσετε το µήκος x στα παρακάτω σχήµατα:

2. Να υπολογίσετε το µήκος x στα παρακάτω σχήµατα:

A

A

A

A

A

4cm

x

5cm

6cm

x

Â

 Â

 Â

Ã

Ã

Ã

Ã

ÃÄ

Ä

Ä

Ä

Ä

x

3cm

y

8cm

y

y

6cm

x

x

E = 4cm2

E = ;

E = 45cm2

E = 20cm2

2cm

5cm

3cm

5cm

2cm 4cm

E = ;

289.Ευθύγραµµα σχήµατα

Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

3. Να υπολογίσετε το µήκος x στα παρακάτω σχήµατα:

4. Αν το εµβαδόν του τραπεζίου είναι 50cm2 να

βρείτε το ύψος του τραπεζίου και το εµβαδόν

του τετραγώνου ΑΗΖΕ (ΑΒ = 7, ∆Γ = 13).

5. Αν τα παρακάτω σχήµατα έχουν το ίδιο εµβαδόν να υπολογίσετε τα µήκη x,y.

A ÂH

ZÃÄ

E 13cm

7cm

290. Ευθύγραµµα σχήµατα

Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

6. Αν τα παρακάτω σχήµατα έχουν το ίδιο εµβαδόν,και η περίµετρος του ορθογωνίου

είναι 14 m να βρείτε:

α. το µήκος x

β. το εµβαδόν του ορθογωνίου και του τριγώνου.

γ. το µήκος y.

7. Αν τα παρακάτω σχήµατα έχουν το ίδιο εµβαδόν να υπολογίσετε τα µήκη x, y, z και

να να βρείτε την περίµετρο του τριγώνου.

8. Ένα τρίγωνο έχει εµβαδόν 24cm2. Aν το ύψος του Α∆ είναι 3cm, να βρεθεί η αντί-

στοιχη βάση.

9. Aν η βάση ενός τριγώνου είναι διπλάσια από το αντίστοιχο ύψος και το εµβαδόν του

είναι 16 cm2, να βρεθούν η βάση και το αντιστοιχο ύψος του.

10. Ένα τρίγωνο έχει εµβαδόν Ε = 48 cm2 και το ένα ύψος του είναι 80mm. Να βρεθεί

η αντίστοιχη βάση.

11. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 30mm και 4cm και υποτείνουσα 5cm.

Να υπολογίσετε το εµβαδόν του και το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.

Ä

A Â

Ã5cm

A

 ÃÄ y

2cmx

Ä

A Â

Ã9cm

A

 ÃÄ y

3cm

2cm

4cm

6cmz x

291.Ευθύγραµµα σχήµατα

Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

12. Oι βάσεις ενος τραπεζίου διαφέρουν κατα 4cm και το ύψος του είναι υ = 12cm. Αν

το εµβαδόν του είναι Ε = 120cm2, να βρεθούν οι βάσεις του.

13. Ένα παραλληλόγραµµο έχει εµβαδόν 28 cm2 και περίµετρο 24cm. Αν η µία πλευρά

του είναι 7cm να βρεθεί η άλλη πλευρά του και τα ύψη του.

14. Η µεγάλη βάση ενός τραπεζίου είναι τριπλάσια από την µικρή. Αν το ύψος του

είναι 2,2cm και το εµβαδόν του 44 cm2, να βρεθούν οι δύο βάσεις του.

15. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει περίµετρο 28cm και εµβαδόν 24cm2. Αν η βάση του

είναι 8 cm να υπολογιστούν οι ίσες πλευρές και τα ύψη του τριγώνου.

16. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (είναι ΑΒ = 5cm ΑΓ = 12cm και το ύψος που

αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ΑΚ = 4,6cm. Να υπολογίσετε το µήκος της

υποτείνουσας.

17. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (είναι ΑΓ = 12cm). Αν το εµβαδό του είναι 96cm2,

να υπολογίσετε την άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου.

18. Το εµβαδόν ενός τριγώνου είναι 18dm2 και ένα από τα ύψη του είναι 300mm. Να

υπολογιστεί η πλευρά στην οποία αντιστοιχεί το ύψος αυτό.

19. Ένα τετράγωνο έχει το ίδιο εµβαδόν µε ένα τρίγωνο. Αν η βάση του τριγώνου είναι

12,5cm και το αντίστοιχο ύψος 4cm, να υπολογιστούν το εµβαδόν του τριγώνου, η

πλευρά του τετραγώνου και η περίµετρος του τετραγώνου.

20. Aν το ύψος ενός τριγώνου είναι τετραπλάσιο από την αντίστοιχη βάση και το

εµβαδόν είναι 50cm2, να βρεθούν η βάση και το αντίστοιχο ύψος του τριγώνου.

21. Η περίµετρος ενός παραλληλογράµµου είναι 120cm και η µία πλευρά του 20cm.

Αν το εµβαδόν του είναι 240cm2, να υπολογίσετε τα ύψη του παραλληλογράµµου.

292. Ευθύγραµµα σχήµατα

Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

22. Να βρεθεί το εµβαδόν του οικοπέδου ΑΒΓ∆Ε

αν ΒΕ = 50m, ΑΗ = 10m, ∆ Ζ = 7m και ΒΓ = 5m.

23. Η περίµετρος ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι 18m και το ύψος του 5,196m. Να

βρείτε το εµβαδό του.

24. Θέλουµε να στρώσουµε το σαλόνι του σπιτιού µας σχήµατος ορθογωνίου, που

έχει µήκος 10,56m και πλάτος 4,96m, µε τετράγωνα πλακάκια πλευράς 0,3m. Πόσο

είναι το εµβαδό του δωµατίου, του πλακακιού και πόσα πλακάκια θα χρειαστού-

µε;

25. Ο κ. Βαγγέλης έβαλε τζάµια µε διαστάσεις 1,85m και 1,15m στις 5 µπαλκονόπορ-

τες του καινούριου σπιτιού του. Πόσα € θα πληρώσει, αν το κάθε τετραγωνικό

µέτρο τζαµιού στοιχίζει 30€;

26. Ο κήπος του σχολείου σχήµατος ορθογωνίου έχει εµβαδό 81,875m2. Αν το µήκος

του είναι 12,5m ,πόσα µέτρα είναι το πλάτος του;

A

 ÅÇ

Ä

à Z

293.Ευθύγραµµα σχήµατα

Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

Ερώτηση 1

Να δείξετε ότι το εµβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο µε το ηµιγινόµενο

των κάθετων πλευρών του.

Ερώτηση 2

α. Πως υπολογίζεται το εµβαδόν τριγώνου και του παραλληλογράµµου;

β. Πως υπολογίζεται το εµβαδόν του τραπεζίου;

Άσκηση 1

Να υπολογιστεί το εµβαδόν τραπεζίου µε µεγάλη βάση 35cm και µικρή βάση κατά

8cm µικρότερη, αν το ύψος του τραπεζίου είναι 10cm.

Άσκηση 2

Να υπολογισθούν τα ύψη παραλληλογράµµου, που έχει µία πλευρά 5cm, περίµετρο

26cm και εµβαδόν 20cm2.

Άσκηση 3

Να υπολογιστεί το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου,

που έχει κάθετες πλευρές 6cm, 8cm και υποτείνουσα 10cm.

ÊåöÜëáéï 8ïïïïï

âéâëéïììÜèçìá 24:âéâëéïììÜèçìá 24:âéâëéïììÜèçìá 24:âéâëéïììÜèçìá 24:âéâëéïììÜèçìá 24: -Ïé èåôéêïß êáé ïé áñíçôéêïß áñéèìïß-Ïé èåôéêïß êáé ïé áñíçôéêïß áñéèìïß-Ïé èåôéêïß êáé ïé áñíçôéêïß áñéèìïß-Ïé èåôéêïß êáé ïé áñíçôéêïß áñéèìïß-Ïé èåôéêïß êáé ïé áñíçôéêïß áñéèìïß-ÐáñÜóôáóç ôùí ñçôþí-ÐáñÜóôáóç ôùí ñçôþí-ÐáñÜóôáóç ôùí ñçôþí-ÐáñÜóôáóç ôùí ñçôþí-ÐáñÜóôáóç ôùí ñçôþí ìå óçìåßá ìéáò åõèåßáò ìå óçìåßá ìéáò åõèåßáò ìå óçìåßá ìéáò åõèåßáò ìå óçìåßá ìéáò åõèåßáò ìå óçìåßá ìéáò åõèåßáò-----ÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõ-Áðüëõôç ôéìÞ ñçôïý áñéèìïý-Áðüëõôç ôéìÞ ñçôïý áñéèìïý-Áðüëõôç ôéìÞ ñçôïý áñéèìïý-Áðüëõôç ôéìÞ ñçôïý áñéèìïý-Áðüëõôç ôéìÞ ñçôïý áñéèìïý -áíôßèåôïé áñéèìïß -áíôßèåôïé áñéèìïß -áíôßèåôïé áñéèìïß -áíôßèåôïé áñéèìïß -áíôßèåôïé áñéèìïß-----Óýãêñéóç ôùí ñçôþí áñéèìþíÓýãêñéóç ôùí ñçôþí áñéèìþíÓýãêñéóç ôùí ñçôþí áñéèìþíÓýãêñéóç ôùí ñçôþí áñéèìþíÓýãêñéóç ôùí ñçôþí áñéèìþí

âéâëéïììÜèçìá 25: âéâëéïììÜèçìá 25: âéâëéïììÜèçìá 25: âéâëéïììÜèçìá 25: âéâëéïììÜèçìá 25: -----Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþíÐñüóèåóç ñçôþí áñéèìþíÐñüóèåóç ñçôþí áñéèìþíÐñüóèåóç ñçôþí áñéèìþíÐñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí-----Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþíÁöáßñåóç ñçôþí áñéèìþíÁöáßñåóç ñçôþí áñéèìþíÁöáßñåóç ñçôþí áñéèìþíÁöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí

Ïé ñçôïß áñéèìïßÏé ñçôïß áñéèìïß

ÂéâëéïìÜèçìá

24

· Ïé èåôéêïß êáé ïé áñíçôéêïß áñéèìïß

· ÐáñÜóôáóç ôùí ñçôþí ìå óçìåßá ìéáò åõèåßáò

· ÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõ

· Áðüëõôç ôéìÞ ñçôïý áñéèìïý - Áíôßèåôïé áñéèìïß

· Óýãêñéóç ôùí ñçôþí áñéèìþí

· Ïé èåôéêïß êáé ïé áñíçôéêïß áñéèìïß

· ÐáñÜóôáóç ôùí ñçôþí ìå óçìåßá ìéáò åõèåßáò

· ÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõ

· Áðüëõôç ôéìÞ ñçôïý áñéèìïý - Áíôßèåôïé áñéèìïß

· Óýãêñéóç ôùí ñçôþí áñéèìþí

Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί;

Θετικοί ονοµαζονται οι αριθµοί, εκτός από το

µηδέν, που είναι µεγαλύτερος από το µηδέν. Έχουν µπροστά

τους το πρόσηµο συν (+), ή δεν έχουν πρόσηµο.

Αρνητικοί ονοµαζονται οι αριθµοί, εκτός από το µηδέν,

που είναι µικρότερος από το µηδέν. Έχουν µπροστά τους

το πρόσηµο (–).

Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται ακέραιοι;

Οι φυσικοί αριθµοί, καθώς και οι αρνητικοί αριθµοί

που προκύπτουν από τους φυσικούς, όταν βάλουµε µπρο-

στά το πρόσηµο (–) αποτελούν το σύνολο των ακέραιων.

Πως συµβολίζουµε το σύνολο των ακέραιων αριθµών;

Το σύνολο των ακέραιων αριθµών το συµβολίζουµε

µε το γράµµα Ζ και είναι:

Ζ = ..., –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, ....

Τι συµβολίζουµε µε το Ζ*

Το σύνολο των ακέραιων αριθµών, χωρίς το µηδέν

το συµβολίζουµε µε το Ζ* και είναι:

Ζ* = ..., –3, –2, –1, +1, +2, +3, ....

Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται ρητοί; Πως συµβολίζουµετο σύνολο των ρητών αριθµών; Τι συµβολίζουµε µε το Q*

298. Οι ρητοί αριθµοί

Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες

σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

Οι αριθµοί που είναι σε κλασµατική µορφή ή που

µπορούν να γραφούν σαν κλάσµα, καθώς και οι αντίστοι-

χοι αρνητικοί τους λέγονται ρητοί αριθµοί.Το σύνολο όλων

αυτών των αριθµών το συµβολίζουµε µε το γράµµα Q.

Mε το συµβολισµό Q* ( που το διαβάζουµε : Q άστρο )

δηλώνουµε το σύνολο των ρητών, χωρίς το µηδέν.

Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται οµόσηµοι και ποιοιετερόσηµοι;

∆ύο ή περισσότεροι µη µηδενικοί ρητοί που έχουν το

ίδιο πρόσηµο λέγονται οµόσηµοι.

∆ύο µη µηδενικοί ρητοί που έχουν διαφορετικά πρόσηµα

λέγονται ετερόσηµοι.

Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού α;

Έστω ένας ρητός αριθµός α και Α το σηµείο που

παριστάνει τον αριθµό α πάνω στον άξονα. Η απόσταση

του σηµείου Α από το σηµείο Ο λέγεται απόλυτη τιµή του α

και συµβολίζεται µε |α|.

Ποιοι αριθµοί λέγονται αντίθετοι;

∆ύο αριθµοί λέγονται αντίθετοι όταν έχουν έχουν

ίδια απόλυτη τιµή και διαφορετικά πρόσηµα.

Πως συµβολίζεται ο αντίθετος ενός ρητού αριθµού α;

Ο αντίθετος ενός ρητού αριθµού α είναι ο –α.

Τι γνωρίζετε γιά τις αποστάσεις των αντίθετωναριθµών από την αρχή Ο του άξονα;

Τα σηµεία τα οποία παριστάνουν αντίθετους αριθµούς

στον άξονα ισαπέχουν από το σηµείο Ο.

299.Οι ρητοί αριθµοί

Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες

σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

Πώς συγκρίνουµε δύο ρητούς αριθµούς;

Από δύο ρητούς αριθµούς µεγαλύτερος είναι εκεί-

νος που βρίσκεται δεξιότερα πάνω στον άξονα

Η απόλυτη τιµή ενός θετικού αριθµού είναι ο ίδιος ο αριθµός.

Η απόλύτη τιµή ενός αρνητικού αριθµού είναι ο αντίθετός του.

Η απόλυτη τιµή του µηδενός είναι το µηδέν.

Nα εκφράσετε µε την βοήθεια των προσήµων:

α. Κέρδος 300 €.

β. Ζηµία 2500 €.

γ. 2350 µέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας.

δ. 1850 µέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας.

ε. Το έτος 333 π.Χ.

στ. Το έτος 35 µ.Χ.

Από δύο θετικούς αριθµούς µεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την µε-

γαλύτερη απόλυτη τιµή.

Από δύο αρνητικούς αριθµούς µεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την

µικρότερη απόλυτη τιµή.

Κάθε θετικός αριθµός είναι µεγαλύτερος από κάθε αρνητικό αριθµό.

Το µηδέν είναι µεγαλύτερο από κάθε αρνητικό και µικρότερο από κάθε θετικό αριθµό.

300. Οι ρητοί αριθµοί

Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες

σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

ζ. Πτώση της θερµοκρασίας κατα 4 0C.

η. Άνοδο της θερµοκρασίας κατα 3 0C.

ι. Θερµοκρασία 35 0C πάνω από το µηδέν.

ια. Αύξηση του πληθυσµού κατα 1,5%.

Λύση

α. +300 ευρώ β. –2500 ευρώ γ. +2350 µέτρα

δ. -1850 µέτρα ε. –333 έτη στ. +35 έτη

ζ. µεταβολή της θερµοκρασίας κατά –4 0C

η. µεταβολή της θερµοκρασίας κατά +3 0C

ι. θερµοκρασία +35 0C

ια. µεταβολή του πληθυσµού κατα +1,5%

Να περιγράψετε τι εκφράζουν οι αριθµοί +200, –330, –1000, +550, 0, +2004:

α. σε υψόµετρα από την επιφάνεια της θάλασσας που µετρήθηκαν σε µέτρα.

β. σε έτη µε αρχή το έτος της γέννησης του Χριστού.

Λύση

Οι παραπάνω αριθµοί εκφράζουν:

α. 200 µέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλλασας, 330 µέτρα κάτω από την επιφάνεια

της θάλλασας, 1000 µέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλλασας, 550 µέτρα πάνω

από την επιφάνεια της θάλλασας, στην επιφάνεια της θάλλασας, 2004 µέτρα πάνω

από την επιφάνεια της θάλλασας αντίστοιχα.

β. το έτος 200µ.Χ , το έτος 330π.Χ , το έτος 1000π.Χ, το έτος 550µ.Χ , (0) το έτος

γέννησης του Χριστού, το έτος 2004 µ.Χ. αντίστοιχα.

Να βρείτε ποιοι από τους παρακάτω αριθµούς είναι θετικοί και ποιοί είναι αρνητικοί;

+8, –3,5, +0,33, 0, –0,001, 3 2

+ , - 55 7

Λύση

Θετικοί είναι οι αριθµοί +8, +0,33, 3

5+

Αρνητικοί είναι οι αριθµοί –3,5, –0,001, 2

57

Το µηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθµός.

Σε µία πόλη έχει παρατηρηθεί ότι η ελάχιστη θερµοκρασία κατά τις πρώτες πρω-

ινές ώρες του χειµώνα φτάνει –9 0C, ενώ το καλοκαίρι +15 0C. Αν µε x συµβολίσου-

µε τις τιµές της ελάχιστης θερµοκρασίας σε βαθµούς κελσίου, να γράψετε τις ακέ-

ραιες τιµές που µπορεί να πάρει η µεταβλητή x.

301.Οι ρητοί αριθµοί

Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες

σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

Λύση

Η µεταβλητή x µπορεί να πάρει τις τιµές –9, –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3,

+4, +5, +6, +7, +8, +9, +10, +11, +12, +13, +14, +15

Nα τοποθετήσετε τους αριθµούς –5, +9, –8, –3,1 +2,5, 1 2

–3 , + 25 3

πάνω στον άξονα.

Λύση

Να βρείτε ποιούς αριθµούς παριστάνουν τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆, Ε και Ζ στον παρακάτω άξονα.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4-5-6-7-8-9

B = +2,5A = +0,5

à = +6 Ä = –2 Z E

Λύση

Α –8,4 Β – 3,3 Γ 6,5 ∆ –1,9 Ε7,8 Ζ2,7−

Να βρείτε τα σηµεία του επιπέδου Α(2,5), Β(-4,2), Γ(-4,-3), ∆(7,-3). Να σχεδιάσετε

το τετράπλευρο µε κορυφές τα σηµεία Α,Β,Γ,∆.

Λύση

Είναι:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

9

-1-2-3

-3, 1

-4

-5

-6-7

-8

-9

2,5

22

3

3,11

35

+

302. Οι ρητοί αριθµοί

Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες

σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

Να βρείτε την απόλυτη τιµή των αριθµών 3, –2, +5, –9, 0, –1,3 , +0.5,3 2 1 3

- ,+ , – 3 ,+ 55 7 2 8

Λύση

Είναι: |3| = 3, |–2| = 2, |+5| = 5, |–9| = 9, |0| = 0, |–1,3| = 1,3 ,

|+0,5| = 0,5 ,3 3

,5 5

− =2 2

7 7+ = ,

1 13 3

2 2− = ,

3 35 5

8 8+ = .

Να βρείτε ποιοι αριθµοί έχουν απόλυτη τιµή:

α. 3 β. 4,2 γ. 0 δ. –5

Λύση

α. Απόλυτη τιµή ίση µε 3 έχουν οι αντίθετοι αριθµοί 3 και -3

β. Απόλυτη τιµή ίση µε 4,2 έχουν οι αντίθετοι αριθµοί 4,2 και -4,2

γ. Απόλυτη τιµή ίση µε 0 έχει ο αριθµός 0

δ. ∆εν υπάρχει αριθµός που να έχει απόλυτη τιµή ίση µε -5 γιατί ως γνωστόν η απόλυτη

τιµή ενός αριθµού είναι πάντα θετικός αριθµός ή µηδέν.

Να βρείτε:

α. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη του 5.

β. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση του 6.

Λύση

Οι αριθµοί που έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη από 5 είναι :

–4, –3, –2, –1, 0, 1, +2, +3, +4.

Οι αριθµοί που έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση του 6 είναι :

–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, +2, +3, +4, +5, +6.

Να βρείτε έξι διαφορετικούς ρητούς αριθµούς που να έχουν απόλυτη τιµή µεγαλύ-

τερη του 5.

Λύση

Ρητοί αριθµοί µε απόλυτη τιµή µεγαλύτερη του 5 είναι άπειροι. Έξι απ’αυτούς είναι οι:

–8, –9,2, +7,3, +12,1, –10, –12,1

Να κάνετε τις πράξεις:

α. |-3| + |-9| - |2|, β. |-1| + |-8| + |+3| - |-5|, γ. |-13,1| + |-5,9| - |-3| + |+3|.

Λύση

Επειδή

α. |–3| = 3, |–9| = 9 και |2| = 2 έχουµε |–3| + |–9| – |2| = 3 + 9 – 2 = 12 – 2 = 10

β. |–1| = 1, |–8| = 8, |+3| = 3, |–5| = 5 έχουµε:

303.Οι ρητοί αριθµοί

Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες

σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

|–1| + |–8| + |+3| – |–5| = 1 + 8 + 3 – 5 = 9 + 3 – 5 = 12 – 5 = 7

γ. |–13,1| = 13,1 |–5,9| = 5,9, |–3| = 3 και |+3| = 3 οπότε:

|–13,1| + |–5,9| – |–3| + |+3| = 13,1 + 5,9 – 3 + 3 = 19 – 3 + 3 = 19

Να βρείτε τα αποτέλεσµατα των παραστάσεων.

α. 2.32 – 5, β. 3.52 – 5.2 γ. |2.32 – 5| + |3.52 – 5.2|

Λύση

α. 2.32 – 5 = 2.9 – 5 = 18 – 5 = 13

β. 3.52 – 5.2 = 3.25 – 10 = 75 – 10 = 65

γ. Σύµφωνα µε τα α. και β. είναι: |2.32 – 5| + |3.52 – 5.2| = |13| + |65| = 13 + 65 = 78

Να συγκριθούν οι αριθµοί:

α. –8, –13 β. +10, –20 γ. +30, 0, –13

Λύση

α. Οι αριθµοί –8, –13 είναι αρνητικοί οπότε µεγαλύτερος είναι ο αριθµός µε την µικρότε-

ρη απόλυτη τιµή και επειδή |–8| = 8, |–13| = 13 και 8 < 13 συµπεραίνουµε ότι –13 < – 8.

β. Επειδή ο αριθµός 10 είναι θετικός και ο αριθµός –20 είναι αρνητικός (και ως γνωστόν

κάθε θετικός ειναι µεγαλύτερος από κάθε αρνητικό) συµπεραίνουµε ότι –20 < +10.

γ. Επειδή το µηδέν είναι µεγαλύτερο από κάθε αρνητικό και µικρότερο από κάθε θετικό

αριθµό προκύπτει ότι –13 < 0 < +30.

Να γράψετε στη σειρά από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς: –8, +0,08, –5,

+7, –3,3, +4,8, –0,2, +0,2, –0,3 και κατόπιν να τους τοποθετήσετε πάνω στον άξονα

Λύση

Οι αριθµοί –8, –5, –3,3, –0,2, –0,3 ειναι αρνητικοί και ως γνωστόν µικρότερος είναι αυτος

που έχει µεγαλύτερη απόλυτη τιµή άρα έχουµε τη διάταξη –8 < –5 <–3,3 < –0,3 < –0,2.

Από τους θετικούς +0,08, +10, +7, +4,8, +0,2, +0,08 µεγαλύτερος είναι ο αριθµός µε

την µεγαλύτερη απόλυτη τιµή άρα: +0,08 < +0,2 < +4,8 < +7

Έχουµε λοιπόν: –8 < –5 < –3,3 < –0,3 < –0,2 < +0,08 < +0,2 < +4,8 < +7

Η διάταξη των παραπάνω αριθµών στον άξονα φαίνεται στο παρακάτω σχήµα.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

9

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

–8 –5

–3,3 –0,3 0,2

–0,2 0,08

4,8 7

304. Οι ρητοί αριθµοί

Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες

σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

Να βρείτε πέντε ρητούς αριθµούς που να είναι:

α. µεγαλύτεροι από τον -6 και µικρότεροι από τον -3.

β. µεγαλύτεροι από τον -3,2 και µικρότεροι από τον -3,1.

Λύση

α. Πέντε ρητοί οπως αυτοί που ζητάµε είναι οι –5,5, –5, –4,5, –4, –3,5 και –3,8 αφου

ισχύει: –6 < –5 < –4,5 < –4 < –3,8 < –3,5 < –3

β. Πέντε ρητοί οπως αυτοί που ζητάµε είναι οι –3, 18, –3,17, –3,15, –3,13 –3,12 αφου

ισχύει: –3,2 < –3,18 < –3,17 < –3,15 < –3,13 < –3,12 < 3,1

Να συγκρίνετε τους αριθµούς:

α. –20 και –12 β. –5,5 και –4,5 γ. –2,5 και 0,1

δ. 5 και 4,8 ε. 0, –1,3 στ. –20004 και 2004

Λύση

Είναι:

α. –20 < –12 β. –5,5 < –4,5 γ. –2,5 < 0,1

δ. 4,8 < 5 ε. –1,3 < 0 στ. –20004 < 2004

Να συµπληρώσετε τα κενά (...) µε ένα από τα σύµβολα <, =, > έτσι ώστε η σχέση που

προκύπτει να είναι αληθής.

α. –7 .....–10 ε. –8......–|–8|

β. –8......–3 στ. 9......|–(–9)|

γ. 10......–20 ζ. -13......–|–13|

δ. 3......|–3| η. -0,1......|–0,1|

Λύση

α. –7 > –10 β. –8 < –3

γ. 10 > –20 δ. 3 = |–3|

ε. –8 = –|–8| (επειδή |–8| = 8) στ. 9 = |–(–9)| |–(–9)| = |9| = 9

ζ. –13 = – |–13| ( )13 13− = η. 0,1 0,1− < − ( )0,1 0,1− =

305.Οι ρητοί αριθµοί

Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες

σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

1. Να εκφράσετε µε την βοήθεια των προσήµων τους αριθµούς κέρδη 3000 €, ζηµία

5000 €, δαπάνες 30.000 €, αύξηση θερµοκρασίας 5 0C, µείωση της θερµοκρασίας 3 0C,

αύξηση του ύψους κατα 10cm, 500π.Χ.

2. Να περιγράψετε τι συµβολίζουν οι αριθµοί +2, –3, +5, –7, 11 σε ένα θερµόµετρο το

οποίο είναι βαθµολογηµένο σε βαθµούς Κελσίου.

3. Ποιοί από του παρακάτω αριθµούς είναι θετικοί και ποιοι είναι αρνητικοί –20, 0,

–3, +9, –8,2, +3, 5, 1 2

, 32 5

− −

4. Να βρείτε ποιοι από τους αριθµούς –9, +5, +2, -3 , +9 , +3, –5,6, +7,1 είναι

οµόσηµοι µε τον: α. +3 β. –2.

5. Να χωρίσετε τους αριθµούς –3, +2,2, –5,2, –7, +2, –9, 1 2 2

5 , 7 , 93 5 7

− + −

σε δύο οµάδες οµόσηµων αριθµών.

6. Να σχεδιάσετε το τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές τα σηµεία του

επιπέδου Α(4,5), Β(2,1) και Γ(7,1).

Να σχεδιάσετε το ύψος Α∆ του τριγώνου και να βρείτε τις

συντεταγµένες του σηµείου ∆.

7. Να βρείτε τις συντεταγµένες των κορυφών του πενταγώνου ΑΒΓ∆Ε.

306. Οι ρητοί αριθµοί

Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες

σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

8. Να βρείτε την απόλυτη τιµή των αριθµών:

8, –14, –32, –1,32, +7,2 , 2

,3

− 12

5+ ,

12

5− ,

12

9+

9. Να βρείτε ποιοι αριθµοί έχουν απόλυτη τιµή: α. 8 β. 5,1 γ. 0 δ. –7

10. Να βρείτε:

α. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη του 4.

β. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση του 4.

γ. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση του µηδενός.

δ. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη του µηδενός.

11. Να βρείτε έξι διαφορετικούς θετικούς ρητούς αριθµούς που να έχουν απόλυτη τιµή

µεγαλύτερη του 3.

12. Να βρείτε έξι διαφορετικούς αρνητικούς ρητούς αριθµούς που να έχουν απόλυτη

τιµή µεγαλύτερη του 8.

13. Να κάνετε τις πράξεις:

α. |–5| + |–4| – |–2|, β. |–3| + |–7| + |–2| – |–5|, γ. |–1,12| + |–4,88| – |–4| + |+4|.

14. Να κάνετε τις πράξεις:

α. 1 3 1 1

2 32 5 10 4

− + + − + − β. 3 1 1

0,5 3 24 2 3

+ + − + −

γ. 1 1

0,5 3,2 24 2

− + + − + −

307.Οι ρητοί αριθµοί

Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες

σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

15. Να βρείτε τα αποτέλεσµατα των παραστάσεων.

α. 3.22 – 5.2, β. 5.42 – 3.52 γ. | 3.22 – 5.2 | + |5.42 – 3.52|

16. Να βρεθούν οι ρητοί αριθµοί x για τους οποίους ισχύει:

α. |x| = 2, β. |x| = 3, γ. |x| = –4 δ. |x| = 0,3 ε. |x| = 1

2

17. Να βρείτε τους αντίθετους των αριθµών:

+3,2 , –4,8, +8,2, –5, –9, +7, 2 2 1 2

, 3 , , 37 5 7 3

− − + −

18. ∆ύο σηµεία Α, Β του άξονα παριστάνουν δύο αντίθετους αριθµούς. Αν η απόσταση

τους είναι ίση µε 30 µονάδες, να βρείτε ποιούς αριθµούς παριστάνουν τα σηµεία αυτά.

19. Να συγκριθούν οι αριθµοί σε κάθε περίπτωση:

α. –8 και –15 β. –32 και –20 γ. –22 και 0 δ. 15 και 0

ε. –30 και 2 στ. –5,1 και -5,01

20. Να γράψετε στη σειρά από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς:

–9, +11, +1,08, –4, +8, –4,3, +5,8, –0,3, +0,3, –0,4

και κατόπιν να τους τοποθετήσετε πάνω στον άξονα.

21. ∆ίνονται οι αριθµοί –3,5, +7,2, –3,1, –0,2, +3,8, 0.

α. Να τους παραστήσετε πάνω στον άξονα.

β. Να τους διατάξετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο.

22. Να βρείτε πέντε ρητούς αριθµούς που να είναι:

α. µεγαλύτεροι από τον –8 και µικρότεροι από τον –4.

β. µεγαλύτεροι από τον –2,2 και µικρότεροι από τον –2,1.

23. Να συµπληρώσετε τα κενά (...) µε ένα από τα σύµβολα <, =, > έτσι ώστε η σχέση

που προκύπτει να είναι αληθής.

α. –8 .....–10 β. –9......–7 γ. 10......–30 δ. 5......|–5|

ε. –9......–|–9| στ. –6......–|–(–6)| ζ. 12......–|–12| η. –0,3......|–0,3|

24. Αν για την µεταβλητή x ισχύει |x| < 5, να βρείτε όλες τις ακέραιες τιµές της

µεταβλητής x.

25. Οµοίως αν: α. x 3≤ β. –8 < x < –2

308. Οι ρητοί αριθµοί

Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες

σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

Ερώτηση 1

α. Ποιοί αριθµοί ονοµάζονται θετικοί και ποιοί αρνητικοί;

β. Ποιοί αριθµοί λέγονται αντίθετοι; Πως συµβολίζεται ο αντίθετος ενός ρητού

αριθµού α;

Ερώτηση 2

α. Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού α;

β. Με τι ισούται η απόλυτη τιµή ενός θετικού αριθµού, ενός αρνητικού και του

µηδενός;

Άσκηση 1

Να συµπληρώσετε τα κενά (.......) µε ένα από τα σύµβολα <, =, > έτσι ώστε η σχέση που

προκύπτει, να είναι αληθής.

α. –7.....–3 β. –9.....–6 γ. 9.....–6

δ. 0.....|–5| ε. –3.....|–3| στ. –5.....–|–5|

ζ. 13.....0 η. –13.....13

Άσκηση 2

Να γίνουν οι πράξεις: α. |–5| + |–3| + |–9|

β. |–8| – |–4| + |–15|

γ. |–13,5| + |3,5| – |–3,1|

ÂéâëéïìÜèçìá

25· Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí

· Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí

· Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí

· Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí

Πώς προσθέτουµε δύο οµόσηµους ρητούς;

Για να προσθέσουµε δύο οµόσηµους ρητούς,

προσθέτουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο άθροισµα αυτό

βάζουµε το κοινό πρόσηµό τους.

Πώς προσθέτουµε δύο ετερόσηµους ρητούς;

Για να προσθέσουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αφαι-

ρούµε τη µικρότερη απόλυτη τιµή από την µεγαλύτερη και

στην διαφορά αυτή βάζουµε το πρόσηµο του ρητού που

έχει τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή. Αν η διαφορά των από-

λυτων τιµών είναι µηδέν, τότε το άθροισµα είναι µηδέν.

Πως αφαιρούµε δύο ακέραιους;

Για να βρούµε τη διαφορά δύο ακέραιων αριθµών,

προσθέτουµε στον µειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου.

Ο παραπάνω κανόνας ισχύει και στην περίπτωση που

θέλουµε να αφαιρέσουµε δύο οποιουσδήποτε ρητούς

αριθµούς.

Τι ονοµάζουµε διαφορά του ρητού αριθµού β, από

τον ρητό αριθµό α;

Αν έχουµε τους ρητούς αριθµούς α και β, τότε ο ρη-

τός αριθµός x ο οποίος προστιθέµενος στον β µας δίνει τον

α ονοµάζεται διαφορά του β από τον α.

310. Οι ρητοί αριθµοί

Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

Ο αριθµός α λέγεται µειωτέος και ο β αφαιρετέος και το

α – β διαφορά του β από το α.

π.χ. (–3) – (+7) = (–3) + (–7) = –10. Ο ακέραιος α = –3 είναι

ο µειωτέος, ο β = +7 ειναι ο αφαιρετέος και το αποτέλεσµα

γ = –10 είναι η διαφορά του β = +7 από το α = –3

Στις ασκήσεις για να βρούµε την διαφορά α – β δύο ρητών

αριθµών α,β, προσθέτουµε στον α τον αντίθετο του β,

δηλαδή: α – β = α + (–β)

Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα (οµόσηµοι):

α. (+3) + (+4) β. (+4 ) + (+8) γ. (–3 ) + (–4)

δ. (–5) + (–7 ) ε. (–8 ) + (–3)

Λύση

α. (+3) + (+4) = +7 β. (+4) + (+8) = +12 γ.(–3 ) + (–4 ) = –7

δ. (–5) + (–7) = –12 ε. (–8) + (–3) = –11

Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα (ετερόσηµοι):

α.(+4) + (–3) β. (+4) + (–8) γ. (–3) + (+4)

δ. (–5) + (+7) ε. (–8) + (+3)

Λύση

α. (+4) + (–3) = +1 β. (+4) + (–8) = –4 γ. (–3 ) + (+4) = +1

δ. (–5) + (+7) = +2 ε. (–8) + (+3) = –5

Να υπολογισθούν τα παρακάτω αθροίσµατα:

α. (+3) + (+4) β. (+2,2) + (+3,1) γ. (–5) + (–8)

δ. (–3,4) + (–8,2) ε. (–10) + (0) στ. (+5) + (–2)

ζ. (+9) + (–12) η. (–2,5) + (+7,3) θ. (–0,8) + (+0,8)

ι.

2 6+ + -

5 5

311.Οι ρητοί αριθµοί

Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

Λύση

α. (+3) + (+4) = +7 β. (+2,2) + (+3,1) = +5,3 γ. (–5) + (–8) = –13

δ. (–3,4) + (–8,2) = –11,6 ε. (–10) + (0) = –10 στ. (+5) + (–2) = +3

ζ. (+9) + (–12) = –3 η. (–2,5) + (+7,3) = +4,8 θ. (–0,8) + (+0,8) = 0

ι. 2 6 4

- -5 5 5

+ + =

Να υπολογίσετε τις διαφορές (οµόσηµοι):

α. (+3) – (+4) β. (+4) – (+8) γ. (–3) – (–4)

δ. (–5) – (–7) ε. (–8) – (–3)

Λύση

α. (+3) – (+4) = (+3) + (–4) = –1 β. (+4) – (+8) = (+4) + (–8) = –4

γ. (–3) –(–4) = (–3) + (+4) = +1 δ. (–5) –(–7) = (–5) + (+7) = +2

ε. (–8) – (–3) = (–8) + (+3) = –5

Να υπολογίσετε τις διαφορές (ετερόσηµοι):

α. (+4) – (–3), β. (+4) – (–8), γ. (–3) – (+4), δ. (–5) – (+7), ε. (–8) – (+3),

Λύση

α. (+4) – (–3 ) = (+4) + (+3) = +7 β. (+4) – (–8) = (+4) + (+8) = +12

γ. (–3) – (+4 ) = (–3) + (–4) = –7 δ. (–5) – (+7) = (–5) + (–7) = –12

ε. (–8 ) – (+3) = (–8) + (–3) = –11

Να υπολογίσετε τις διαφορές:

α. (+5) – (–2) β. (+5) – (+4) γ. (+7) – (–9) δ. (+6) – (+18)

ε. (–3) – (–8) στ. (–3) – (+7) ζ. (–5) – (–3) η. (–7) – (+4)

Λύση

α. (+5) – (–2) = (+5) + (+2) = +7 β. (+5) – (+4) = (+5) + (–4) = +1

γ. (+7) – (–9) = (+7) + (+9) = +16 δ. (+6) – (+18) = (+6) + (–18) = –12

ε. (–3) – (–8) = (–3) + (+8) = +5 στ. (–3) – (+7) = (–3) + (–7) = –10

ζ. (–5) – (–3) = (–5) + (+3) = –2 η. (–7) – (+4) = (–7) + (–4) = –11

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α – β και β – α όταν:

1. α = +3, β = +5 2. α = +7, β = –10

3. α = –8, β = +13 4. α = –3, β = –9

Λύση

1. α – β = (+3) – (+5) = (+3) + (–5) = –2, β – α = (+5) – (+3) = (+5) + (–3) = +2

2. α –β = (+7) – (–10) = (+7) + (+10) = +17, β – α = (–10) – (+7) = (–10) + (–7 ) = –17

3. α – β = (–8) – (+13) = (–8) + (–13) = –21, β – α = (+13) – (–8) = (+13) + (+8) = +21

312. Οι ρητοί αριθµοί

Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

4. α – β = (–3) – (–9) = (–3) + (+9) = +6, β – α = (–9) – (–3) = (–9) + (+3) = –6

Να υπολογίσετε τον x ώστε να είναι αληθείς οι παρακάτω ισότητες:

(να λυθούν οι εξισώσεις)

α. x + (+5) = 8 β. x + (–5) = 9

Λύση

α. Είναι: ( )x 5 8+ + = β. Είναι: ( )x 5 9+ − = ή ( )x 8 5= − + ή ( )x 9 5= − − ή ( )x 8 5= + − ή ( )x 9 5= + +

x 3= + x 14=

Να λύσετε την εξίσωση: |x + 3| = 4

Λύση

ισχύει |x + 3| = 4

Αν |x + 3| = 4 είναι:

x + 3 = 4 ή x + 3 = –4

οπότε x = 4 – 3 ή x = –4 –3

Άρα x = 1 ή x = –7

Γενικά, αν x θ= , όπου θ θετικός αριθµός τότε είναι x θ= − ή x θ=

313.Οι ρητοί αριθµοί

Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

1. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα:

1. ( ) ( )3 7+ + + 2. ( ) ( )9 10+ + + 3. ( ) ( )8 13− + − 4. ( ) ( )12 31− + −

5. ( ) ( )5 8− + − 6. ( ) ( )9 12− + − 7. ( ) ( )4 15+ + + 8. ( ) ( )10 8− + +

9. ( ) ( )12 13− + + 10. ( ) ( )10 7+ + − 11. ( ) ( )8 3+ + − 12. ( ) ( )13 15− + +

13. ( ) ( )19 8− + + 14. ( ) ( )20 15− + + 15. ( ) ( )9 32− + +

16. ( ) ( )15,3 7,5− + + 17. ( ) ( )17,4 19,1− + + 18. 2 1

3 5 − + +

19. 2 7

5 3 − + +

20. ( )20,2

3 − + +

21. ( )10,31

2 + + −

2. Να προσθέσετε καθένα από τους αριθµούς: –3, –5, +6 µε καθένα από τους αριθ-

µούς: +3, +5, -6

3. Να βρείτε ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε:

α. στο +10 για να βρούµε άθροισµα 15

β. στο –10 για να βρούµε άθροισµα –15

γ. στο +8 για να βρούµε άθροισµα –3

δ. στο –12 για να βρούµε άθροισµα 13

ε. στο +7 για να βρούµε άθροισµα +4

4. Να τοποθετήσετε κατάλληλα πρόσηµα στα κενά (...) ώστε να προκύψουν αληθείς

ισότητες.

α. (+ 4) + (...8) = 12 β. (–3) + (...4) = –7 γ. (...4) + (–5) = –1

δ. (...5) + (...3) = +8 ε. (...4) + (...2) = –6 στ. (...9) + (...2) = –11

ζ. (...12) + (...10) = –2 η. (...3) + (...19) = +16 θ. (...1) + (...4) = –5

ι. (–2) + (...3) = ...1 ια.(+8) + (...5) = ... 3 ιβ. (+5) + (...12) = ...7

314. Οι ρητοί αριθµοί

Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

5. Να συµπληρωθεί ο πίνακας:

6. Να συµπληρώσετε κατάλληλα τα κενά (...) ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες:

α. (+3) + (+... ) = ... 10 β. (–... ) + (–9) =... 17

γ. (...) + (+5) = –7 δ. (...) + (+20) = +5

7. Να υπολογίσετε το άθροισµα α + β όταν:

i. α = +2, β = +3 ii. α = –5, β = –6 iii. α = –7, β = +5

iv. α = –4, β = –13 v. α = +8, β = –8

8. Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

315.Οι ρητοί αριθµοί

Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

9. Αν x = (+3) + (–8) και y = ( –7) + (–4), να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

A = x + y, Β = 2x = x + x , Γ = 2y = y + y, ∆ = Γ + y, E = B +∆

10. Αν 2 3 1

x , y 3 45 5 2

= − + = − + και

1 1z 2 3

2 5 = − + +

να υπολογίσετε τις

παραστάσεις: A = x + y, B = x + z, Γ = y + z

11. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α. (–|–2|) + (+|–9|) ,

β. (+|+8|) + (–|10|)

12. Να υπολογίσετε τις διαφορές:

α. (–3) – (–5) β. (–13) – (–4) γ. (–14) – (–5) δ. (+5) – (+3)

ε. (–4) – (–12) στ. (–9) – (+7) ζ. (+12) – (+10) η. (–3) – (–19)

θ. (–1) – (–4) ι. (–3) – (0) ια. (0) – (–7) ιβ. (0) – (+6)

ιγ. (–12) – (–12) ιδ. (–13) – (+13)

13. Να υπολογίσετε τις διαφορές:

α. (–2,5) – (+3,2) β. (–7,3) – (+8,1) γ. (–3,9) – (–2,1) δ. (+4,02) - (+2,13)

ε. (–5) – (+6,2) στ. (–7,6) – (+7,6) ζ. (–5,3) – (–5,3) η. (+14,82) – (0)

ι. (0) – (–9,15)

14. Να υπολογίσετε τις διαφορές:

α.2 1

–5 5

+ + β.

7 1

2 2 + − +

γ.2 4

3 3 + − +

δ.1 1

5 5 + − +

ε.6 3

7 8 − − −

στ.2 3

5 8 − − −

ζ.1 2

2 3 − − −

η.2 1

5 7 − − −

θ.2 5

3 7 − − +

ι.1 2

5 3 − − +

ια.1 7

8 5 + − −

ιβ.3 5

8 4 − − +

ιγ.2

37

− + ιδ. ( )1

0,25

+ + − ιε. ( )5

2 0,17

− + ιζ.

1 73

2 2 + + −

ιη.2

05

+

15. Η µέγιστη θερµοκρασία µίας περιοχής το καλοκαίρι είναι 40οC και η ελάχιστη το χειµώνα

είναι –10 0C. Να βρείτε τη διαφορά ανάµεσα στη µέγιστη και την ελάχιστη θερµοκρασία.

316. Οι ρητοί αριθµοί

Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

16. Ένας αθλητής καταδύσεων εκτελεί κατάδυση από βατήρα ύψους 10m, και φτάνει

σε βάθος 3,70 m.Να βρείτε πόσο απέχει ο βατήρας από το σηµείο στο οποίο έφτα-

σε ο αθλητής.

17. Nα λυθούν οι εξισώσεις:

α. x + (–2) = –5 β. x – (–3) = –8 γ. x – (+6) = –8 δ. –4 + x = –7

ε. –8 – x = –9 στ. –(–3) + x = –8 ζ.–(–5) –x = –5

18. Ποιόν αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στο –4 για να βρούµε άθροισµα ίσο µε:

α. –5 β. –6 γ.10 δ. –16

ε. 0.6 στ. 2,1 – (–2,2) ζ. ( )10,2

2− − η.

1 32

2 5 − −

19. Να βρείτε από ποιόν αριθµό πρέπει να αφαιρέσουµε το (–5) για να βρούµε διαφορά

α. –2 β. –3 γ. +7 δ. ( )10,2

2− − ε.

1 32

2 5 − −

20. Αν ( )1 3α , β 0, 2 , γ 2

2 5= = − = − να επαληθεύσετε την ισότητα: (α + β) – γ = α +(β –γ)

21. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α – β και β – α όταν:

1) α = +5, β = +8 2) α = +9, β = –12

3) α = –11, β = +16 4) α = –7, β = –12

22. Να αντικαστήσετε µε κατάλληλα πρόσηµα τα κενά ώστε να προκύψουν αλη-

θείς ισότητες:

α. (+4) – (...8) = –4 β. (–3) – (...4) = +1 γ. (... 4) – (–5) = +1

δ. (...5) – (–3) = +8 ε. (...4) – (+2) = –6 στ. (–9) – (...2) = –11

23. Να συµπληρώσετε κατάλληλα τα κενά ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες:

α. (+3) – (–... ) = ... 10 β. (–... ) – (+9) = ... 17

γ. (... ) – (–5) = –7 δ. (...) – (–20) = +5

24. Να υπολογίσεται τη διαφορά α – β όταν:

i. α = +4, β = +6 ii. α = –4, β = –5 iii. α = –17, β = +15

iv. α = –8, β = –17 v. α = +10, β = –10

317.Οι ρητοί αριθµοί

Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

25. Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

26. Αν x = (+3) – (+2) και y = (–7) – (+2), να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

A = x – y, Β = 2y = y + y, Γ = Α– B

27. Αν ( )2 3 1x , y 3 2

3 2 2 = − − − = − − −

και1 1

z 3 23 4

= − − − ,

να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

A = x – y, B = y – z, Γ = z – x, ∆ = Α + Β + Γ.

28. Να υπολογίσεται τα αθροίσµατα: α. (–|–3|) – (+|–8|),

β. (+|–5|) – (–|–4|)

318. Οι ρητοί αριθµοί

Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

Ερώτηση 1

α. Πως προσθέτουµε δύο οµόσηµους αριθµούς;

β. Πως προσθέτουµε δύο ετερόσηµους αριθµούς;

Ερώτηση 2

α. Πως αφαιρούµε δύο ακεραίους;

β. Τι ονοµάζουµε διαφορά του ρητού αριθµού β από τον ρητό αριθµό α;

Άσκηση 1

Να γίνουν οι πράξεις:

α. (+3) + (+4) β. (+5) + (–8) γ. (–8) + (–9) δ. (–10) + (+18)

ε. (–3) 1

3+ στ.

1 22 3

3 5 − + +

ζ.2 1

5 4 + −

η. (–0,33) + (+1,22)

Άσκηση 2

Να υπολογισθούν οι διαφορές α – β και β – α αν:

α. α = –3 και β = –5 β. α = +7 και β = –4 γ. α = –0,5 και β = +0,7

Άσκηση 3

Να αντικαστήσετε µε κατάλληλα πρόσηµα τα τα κενά (...) ώστε να προκύψουν αληθείς

ισότητες.

α. (+4) – (...9) = –5 β. (...4) – (+3) = –7

γ. (...4) – (–9) = +5 δ. (...5) – (–4) = +9

Άσκηση 4

Να συµπληρώσετε κατάλληλα τα κενά (...) ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες.

α. (+3) – (–...) = ... 8 β. (–...) – (+9) = ... 12 γ. (...) – (–5) = –1