math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3...

22

Upload: lekhanh

Post on 23-Mar-2018

235 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

������ ���� ��� �� ������

����� ������� ��� � �� ��� ����

������� ��� ����

��������

���� ����� ���� �� ���������� ����� ������ ����� �� ������� �� � �� ������������ ������ ��� ����� ���� ��������� ���������� ����� ���������� ��� ����� ��� �� �������� ������� ����� �� � ! "� #� $� % ��������& �� ��� ���� � ��� ����� ���� ���������&�� ��������� ��� ������� ' ��������� ������� �� ��� ���(� ��) ��� ������

�� � ����� ��� �� ���������� �� ��� ��� ������ �����& ��� ������� ��� ��� ���������

����������� �������� ��� �� ������ ������������� ���� ���� ��������� �� ������������� ������������ ��� �� !���" # �� �� �$����%� �%� �&

����������� �������� ��� �� ���''� ������������� ���� ���� ��������� �� ������������� ������������ ��� �� !���" #� �����$����%� �%� �( ����)**����%� �%� �*+� �����&

Page 2: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

� ����������

��� ��������

*������� +���� ,����� ����) � ��� � ��� ����� ������ ����� �� ��� ������� -� -�����.

��� � ! " � ���� � ! # ������� �� � ! $

����� �/0 �10 �20������ +��� ������� *����� ������� �3 ������� ����������� �� +��� ,45/64 *����� ,45/64 �3 ������� ,45/64�

��� �� ������� �� ����������� ��� ��� ����� � ��� ������� � ������� ���� ����������� �����7 ��� ����� ��� ���������� ��� ��(� ���� �������(��) ��������� ��� � ��������� ��� ����� � ��� ������� � 8)��9� :�������� ��); � ! "� #& ��� $7 ��� �������� ������� � ��� ������ � ���� �������� � ��� ����� ������ ����� /���� ������� ����� ��(� ��� ���� �������� ��� �������& ��� ����� ������ � ��� ��� ���� ��������� � ��� �� ��� �����������

<����� �� =--> ��� ?(��( ="#> ��� �� � ��� ������� �����) � ����� ������ ������� ����� �������������� �:������;& �������(��) :����(����;� ��� ����� � �)�����������& ��� ��� �� �������& ��� ����& ��� @��� ����& ��� ��� ��� �� ��� ������������� � ����� ����� �� �� �������� ���� � ! "� # � $��

�� ����� � ����� ������ ������ � �� �) ���� � �� ���������� � ��)�� ��� ��(��������� ��)& �� � ������������ ��� - � - �������� ��� � � -��& �� ��� ��� ���� ���������� �������������� � ���� � ���� 4 ���� �� ���� ������� ��� ���� ��������� �)%������� =#>& ="�>& �� �� ���� ��� ����������� �� ������ ���� � ���(������ ���������)������ ��� *������2 ����������)�� ' ��� � �)������ % ��������& �� ��� ��� ���� ������� ��� ���� ��� @��� �����& � ������ ��� ��)�� ��� ' ������� ������������ �) ��� ������� �����& ��� ������ ���� � ����

%� ��� ����A� � ��� ������ �� ��(� �������� ��� - � - ����� ���� �������� ����������� %�� �� "�

�� �� ������

��� �� ����� �� �������� ��������� ����� �� ��)���& ��� ��� ������A�� �) 8)�� =B> �) ����� � (�� ���� ���) ��� ��(������. �� ����� /������� � �� ���� �/0 ����� ���� ��������&�� ����� 1�����) � �10 ����� ����� ��������& ��� �� ����� 2)������ � �20 �����' ������� ��������� ��� ������� ��������� ����� �� ���������& ��� ��� ����� ��������������� �� �� ����� ������� ����& ������� �����& ��� ������� ' ��������

��� ����� �� ����� 0�������� ��(� C��� �����(�� � ���������) ������) � ����

�0+,?�0. ����� ! ���

����

��� � ��������

��� ��� �� � �"�

���� � ! " ���������� � ��� �����& � ! # � ��� �������& � ! $ � ��� ' ��������& ���

Page 3: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

�2�2

(n − m

+1) −

1

H C RH C R CH R

AAS A

SD T

Q A

QH

AU

AU

AS A

SD

A AT

Q A

QU

AU

H

� / 2

�2D

ecomposition

Singular Value

Eigenvalue Problem

Symm

etric

�|V

(� )i

�n

i=1

| �

GO

ESym

metric

GU

EH

ermitian

GSE

Self−D

ual

Laguerre ensem

blesW

ishart ensembles

Jacobi ensembles

1 2

MA

NO

VA

ensembles

a =

b =

1

MA

NO

VA

real

2

1 2 4 4 4

Herm

ite ensembles

Gaussian ensem

bles

Technical nam

e Traditional nam

e �

Invariance

b a

(QZ

)

V(�

) = e

V(�

V(�

) =

) = �

a

a =

(n − m

+1) −

1

PositiveSem

i−D

efinite

Positive 1

Semi−

Definite

Eigenvalue Problem

e

� / 2 2

Generalized Sym

metric

Wishart com

plexW

ishart quaternion

Wishart real

MA

NO

VA

complex

MA

NO

VA

quaternion

(SVD

)

(EIG

)

Joint Eigenvalue D

istributions:

Random

Matrix E

nsembles

Field Property

� (1�

�)

2

(n − m

+1) −

1

T THHD

XYQ

YQ

XYU

YU

XS X

SY

S YS

D

4 21214

A =

[X Y

; −conj(Y

) conj(X)]; A

= (A

+A

’) / 2;

A =

randn(n) + i * randn(n); A

= (A

+A

’) / 2;

A =

randn(m, n); A

= A

* A’;

Type of ensem

ble

Herm

ite

Laguerre

Jacobi

142

X =

randn(n) + i * randn(n); Y

= randn(n) +

i * randn(n);

A =

randn(m, n) +

i * randn(m, n); A

= A

* A’;

1

1 1

2 2

X =

randn(m, n ) +

i * randn(m, n ); Y

= randn(m

, n ) + i * randn(m

, n ); A =

(X * X

’) / (X * X

’ + Y

* Y’);

2 2

2

1 2

111

Y =

randn(m, n ) +

i * randn(m, n ); Y

= randn(m

, n ) + i * randn(m

, n );

X =

randn(m, n ) +

i * randn(m, n ); X

= randn(m

, n ) + i * randn(m

, n );

22

11

2 1

2 1

X =

[X X

; −conj(X

) conj(X )]; Y

= [Y

Y ; −

conj(Y ) conj(Y

)];

A =

(X * X

’) / (X * X

’ + Y

* Y’);

1 1

2 2

X =

randn(m, n) +

i * randn(m, n); Y

= randn(m

, n) + i * randn(m

, n);A

= [X

Y; −

conj(Y) conj(X

)]; A =

A * A

’;

X =

randn(m, n ); Y

= randn(m

, n ); A =

(X * X

’) / (X * X

’ + Y

* Y’);

2

Q X

Q

U X

U 1

1

1

1

1

1

A =

randn(n); A =

(A+

A’) / 2;

MA

TL

AB

code

c

Connected M

atrix Problem

������ � �� �� ������ ���������� �� � ��� � �� ������ ��������� ��� ������ ��� � �� ��� � � ������ !��" ���� � ���� �� ������ �������� ��#��� ��� � �� �"� ������ ��#����� �$ �"������� �� �� �"� � �������� ��� � �� �"� ��#����� ��������� �$ � ������� ���� %� � & � � '��� � �� � �� � ��� ( �������

)

Page 4: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

����

��� ! �#�����������

D�" E �� �

D�" E �� �

�#�

��� ���� ��������� ��� ,���� ="F> ��� ��� ������� ����� �) 8)�� =B>�2�������)& ��� ������� �� ��� ����� ����� ��(� C��� �����(�� � ������

�4�10++0. ����� ! ���

����

��� � �� ����

���� ����

��� ���� � �-�

���� � ! ��� ��� ! " E �

� ��� "�� 4����& � ! " �� ��� �����& � ! # �� ��� �������& ���� ! $ �� ��� ' ��������� ��� ������

��� ! #� ����

D�" E �� �

D�" E �� �D�� � �

� ��� ��� �$�

�� ��������� ��� =#">& =F>& ��� ="->& ��� �� � ! $& ="B>�� ������ ��� ����� � ������� ������� ��)������& �� ���� ������ ��� ��,45/64

���������& ���� ��� �������� � ��� � ���(������ ����)��� � (������ �,45/64� ��������) ��� ������ ��� �� ��� ������� �� �� ��� @��� ���������& ���� C��� �����(�� � ������

@4*/G?. ����� ! �����

����

��� � ������

���

����� �"� ������ � �H�

���� �� ! ����& �� ! �

���& ��� ! " E �� �� � "�� 4� � ��& � ! " �� ���� ��� � ! # ��

�����7 ���

����� ! ����

D�" E �� �D��� E �� � �

� ��� ��

D�" E �� �D��� � �

� ��� ��D��� � �� ��� ��

�I�

��� ,45/64 ���� ��� ����� ���� �� ! " ��� #� ��(� ���� �� ���� �) ������������ ����=#">��

�� �� :�� �����;& :�������;& ��� :,45/64; ��� ��� ���������� ����� �� ��� ������)��� � �����������& �� ������ ��� �������� ��� ��� ��������) ��� ��������(� �����:�������;& :��� ����;& ��� :@���; ���������� ����� ������� ����� ��J�� ��� ��� ������� ������9� �� ��� ��������� ������� � ��� ������9� ��������#�& ���������������#�& ������������ ����� � ����� (�� ����� �������(� ����� � �������� ?� � ��& ����� � ������������ � ����� ���� � ������� ��)������ ��������& ��� ����& @����� ��� �� ����� �����& �� ���� �� ��� ���� :������� ���������& ���� ����& �@��� ���������; �� �������� �� ��� ������� �"�& �-�& �H��

�� �� �� ��� �����(�� ���� � ���� ��� � � � �� ������� � � ������ �������� ��� ���� ������� ��� � ������� ������� ���& ����� ��(� ���� �� ���� � ������� ��������� ��������� �� ��������� �����(�� � ������� ����� ���) � �� � � ��(� ������������������ �� ������ ��� ����) ���� ="�>& =#>��

��� ������� � ��������� ������ � �� ������ � � ���� ����� � � ������������� ��)���& ���� ���� �� ���� ������ ��� ����)& ' ��� � �������& ��� 2��������)������������ 4��& ��� � ��������� ��� ������ � ��� ����) � @� ��)������ ����� ������������� � ! �

� ����� � �� ��� @� ����������& ���� ��� ������) �C��� � �������(�������� ���� =#B>& ="B>& =#->��

*

Page 5: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

��� ��� �������

8)��9� ������� �������� ��) �� � �)��� � � ��� ��(������ ��� ������ �� �� ��� :?��(������; � �� � %�� �� "� G) �������)& ��) ��(������ ������� ��� �� ���������) ������% �����& ��� ��(������ ������ ���� ��� ���������� � ��� ����� ��� ' ������� ���(���� ���������

?� ���� �����& �� ��� ��� ��(������ ��' �������� ���� �� ���� ��� :������; ����� �������) /��� ������ ����������� (�� ��� ����� � ����� ����� 4� �� ��������� �� �& �� ���)�� ��� ' ���������� � ��� ������� ���� � ! "� #� $ ��� ����� ���� � ������������ 2���� ?6 �� � ����� ��� ���� � ���� ������

�� ��(��� ���� ���������� ����� ������ ����� �� ��� ���� ����� �� �������� ��� ��������� �� ��� ����� ���������& ��� �� ��� �� ��� ���������) � ���� ���� � ���� ���������� �� ��� ��,45/64 �� @���� ����������

�� ����� � ��� ��� �) ������������ ��� ������� ����& ������) ��(����� ���������� �� ���� ��(� ���(� ��) ���� �������� � ���) ��������� ������� �����

?� 2���� ?? �� ��������� ��� ��� �� �)������ ���������� �������& ��� �� �� ���� ����� � ���������� ����� �� ��� ��������� ���������� 4��� ��� ��)& �� ����� � ������� ����� � +���� ,����� ����) �� ��� @����� � ��� ������������ � � ��� ��&����� � �� � �)������ ���������� ������& � �� ��� ��� � �����(�� ��& ��� � �� ��� A��� ��� ��� �����(��� ������� ?� 2���� ??? �� ���� � ���������� ����� �� ��� ����� �������������& �) � ������ � ��� ���� ��� � ����� ���� �� �� �� 2���� ??� ?� 2���� ?6�� ������� ��� ��������� ���������� � ��� ��� ������ � ��������� ��� �� ��� �� �����@��� ��������� ��� ���� ����������� ��� ��������

�� ������) � ����� ������ ���� ���� �� ����� "�

������� ������� � �

�� ����

�������

��+� �� ������������ ��+� �� ������

� � �� � �

� � �

�� ��+� �� �� ��+� ��

�������

������ ������ �� , ��� � !"���

� � �

� � �

� � ����� ��

� �

�����

��� ��� ���

� � �� � �

� ���� ���

�����

����� � �� �� ������ -������ �����

.

Page 6: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

� � � �������� ��������� ���������

�� ����������� ���������������� ��� ���� � �� ��� �!�

��� C��� ������� ��� ����� � ��� �����(�� �� �� ��� �/0& �10& ��� �20 ��

���K� ! ��� �L������� �

�� �

�� � �B�

����� � ! "� #� $ ="F>� ���� ��� 6��������� ����������� ������ L��� ������ ���

� ����������& ��� ��� �� ��(�� �) �#��

�� ���� ��(� �� 2���� ??�G ���� ��� ���������� ��������� ����� ������ ������)�� ������� " ��� ��� C��� �����(�� � ������ ��(�� �) ������� � �� �B�� %� ���(����& �� ���� ��������� � ' � :�� ���; ��� �� � ! " �) ��������������� ��� �/07 ���� �� ���� ��������� ��� �� � ��� �10 ��� �20�

� ��� ������ ��� ��� ��� ���� ��� ������ ���� �� ��� �����)& �� ��(� ��� ��� ���������� � %�� �� #�

�� �� ���� �� � � � � � � �� �� � �� ��� ���� ���� �������� �� � �� � ��������� � ��� ��� ��� �� �� � � �� ��� "��� ���� ������� � ����� ��������� � � � ������� !"# ���� � ! "

$ ��� �� ����� � !

��� ��

� �

�� ���� �� �� � �������� �� �����& � �� � (��� � ���"�

������ �� ������ � ���� � ��� (������ "�#& ��� � �� �� ���"�� ���"� ������ ��� ��� �/07��& � ��� � ��� ��� ����������� ��� ��� �����

��� � �� ��) ���"�� ���"� ������� ������ ���������� ��) � �� � � ����

�� ! =������ � �>� � ������ �� �

����� �� ! ="� �� � �>� � ���� �����)�" �� �

� ��� ��

� �

� �" �� ��

�!

��� ������ ���

������ �� ����

2��� � �� ��� ��� �/0 ���� ������� ��) � �& �� �� ������) �������) ��� ������� ����� ��& ������ ��� ���� ������ ����� ' �������� ��� �����) ������������� ��� ����) �� �� ������� ��� �� � � �������� ����� ���� (������ "� G���� ��� ������ � � � ���(�������� ����� � ���� � ��� ����) (������ "M#& ������ ��� ��� ������� ��� ��

������ ?� �� ����

��������� ���� ��� ������ � ������ �� ��(�� �) ������

���������

� %�����)& �) ��� �������

��(������ � ��� �/0& ���� �� �� ���"�� ���"� ������ ��� ��� �/0�N������� �) ��� ��� ������� ��� ���������� ���� ����G�� �� ��� ��) �������� �� ������ � � ��� ������� ���������) �������������&

���� � �� �O�� ��� �����(�� ��& ��� �� ��� � ��� ������ ������

�� ����� ���� ������� ��� ��� �/0 ��(� ��� ������� ���������.

�� ���� �� ��� C��� �����(�� � ������) �� ��� �L������ �

����

="F>7�� ���� �� ��� A��� �� � ��� �����(��� ������ �� ������� ��� ������) � ��� ������&

��� �� �� ����������� � ��� �����(�� ���

/

Page 7: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

��� ���� ������) �� �� ��������� ���' ��� � ��� ��� ���� ��� �����(��� ������� � �/0 ������ �� ����������� ��� ��� �����(�� �� ="F& �-�"�-� ��� �-�"�"I�& ����� HH�HF>&��� ��� ��� ���� � ������ ������� ��� ��� �� � ��� ������� ��(�������

��� ������� �����) �� �����) ������������

� � ��� ���� �� � � �� �� � �� ��� "��� ���� �������� ���� ����������������� � !�K�� � ���� ��� % � �� � �� ��� ���������� �� �� � � ����������� �� K� �� � ��� ����������� ��� �� ��� ��� �

$ ��� ?� � ! ��K��� ��� � ! ���� & ���� � ! ���� 2��� ��� �� � ��� ��J����

���� ��� � ��� A��� �� ��& � ���������� �) � ��� �� �O�� ��� A��� �� � ��� ����� ��� ������

+�� ��� � ���������� ��� �� � �������� �������� ���� ��(�� ��� �)������ �����(�� �������� ��� ������ :��J���; ������ � ��� �� ������ �� � (��� � ! =��� � ����>� ��

� ! � � #���

����

����� � ! �� �� ��� ���� ������ ������ � �� ��� �� ��� :� ������� ��J���; ���� =""&���� #�P>��

��� ���������� ��� ��� �������� �� �� ������� � ��) ���� �)������& ����� ����������& � ' ������� ������ �� ������7 ��� ��� ����� ������ �� ����)� � ����& �)������ ������������ 1���� ��� �������� ��������) � � �10 � �20 ������ �� ���� ��� �������

� � ��� �� � &��� � ! #� $� �������� �� � ������� �� � �� �� ��� � �� ��� ���� ����������� ���� ��� ��� ��� � ������� #��� ����� ���������� $��� ����� ���� �� ��� ��� ��� ������� ����� �� !"# '��� ��� � (�����) ��� ����� �� ����������� ������ ��� ��� � �� ��� �� ��

����! ��"� *�� ��� ����� ��� '��� ��� +��� ����� ��� ���� �� �� �� �� ������������ � ��� ���, �� �� �� ����� �� ��� ���� �� � !�� * ���� -./0� 1���� ���� -230������� -40#

� ����������� �����" #�$$��

?� ���� ����� �� ��(� ������ ���� ���� �� ��� �� � ���� ���� �� 2����� ??�* ���???�G�

��(�� � ���������� ������ � ��A��� �) ��� ������� � ! ���� � ��� ��� � ��������� ! � ���� � ��& ���� ��� � �����(�& ��� � ! �K�� �� ��� �������������� � � �� �������� #�"#� ��� � �� ��� A��� �� � � ��� � ! ���� �K��

���� ��#� 5��� ��� ������� ����� � ���� � �� � �� �� ��� �� ���6���� ������ ��� � �� �

$ ��� ���� �� � ������ ��� � ��� ��� ������� ������ B�#�" �� N������ =#$>�

����! ��$� �� ������ ���� ������ �� �� �� ��� � 7� ��� �� � � ��� �� � ���������� �� ��� �� �� � ������� �� ��� �� �8� � ���� ������� ���������� �� ��� �� �� �� ��� ��� ���� � ���� �� � ����������� ����� �� ������� �� ��� ��� �� � � ����� ���� ������ � �� �� �6����� �� � �� ����� +�� ��� ���������9 :����� �� ������� �� !�! !

����������

��

0

Page 8: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

/ � ���� ����� ����������� � ��� �� �� ��� 6��������� ����������� � ��� �����(�� ��� � ���������� �������

���� ��%� *�� ;��� ����� ���� ����� �� ��� � �� �� ��������� �� ����� �� � �������� �� �� ���� ������� ��������� ! � ���� � �� � ����� ��

L��� !����

��� � ��� !

�������

��

�����

��

��� � ���� � ��� � ��� % � �� �� ��� ���������� �� ��

$ ��� ��� ����� � " ! " #& �� ��� �����(�� �� � ��� #� # ���� ���������� � ������� � � �

���� $���� !��

������ ����� � �� ��� �������� ����������� ��)����� � ���� � ��������

%� # ! "� � � �� ��(� ��� ���������� �� �����

$���� ! ��� ���$������� ����$������ � �F�

��� ��� ������� �������

�" � " � #

" � � # � "

������ � ������� � !

�����

�$��������� �� !�������

�$��������� �� �P�

%�� �F� �� ���

��������

$��������� �� !

��������� �

�������

$����������� �� �"��

G) ���������) ����)��� �F� ��� �#�P� �� �����

�������

�$��������� �� ! ���������

�������

�$����������� �� �""�

! ���������

��������� �

�������

$����������� �� �"#�

! �"-�

!

�������

��� �"$�

%�����)& �� �� ��� ������� ��� �� � � � *�*� N����& � �� �� =#$> �� ��� ��� ������������� B�P�#.

��� !

$�������$ ������

!$�����

���� �

$ �������� �

�"H�

1

Page 9: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

?� ����� ����

�����

��� !

������$��������� ��L����

!

�������

���

L����� �"I�

���� ��(�� ��� ��� ���

����! ��&� *�� ;��� ����� ���� ����� �� ��� �� +��� 2 " �� �� �� �������� �� ��� ����� �� ���� � ������ �� <���� -=0� ��� >>

��� ���� ����� �� ��� ��� @����� ! �) �������� ��� ���������� ��� ������� ����� � �/0 ������& �� �� %�� �� #�

as in�q, Theorem 2.1, 3.1

A = Q � QT

(q, )�TBijection

1−Hermite, 1−Laguerreensemble

Tridiagonal

[GOE, Wishart real]

Reduction First Eigenvector RowTridiagonal Eigenvalues &

������ � � ���� �2������ ������ �� �� ��� ��������3� ���$� �� �� �� ��������3� ����"��� ��� 4� ��� (���� !� ���5� � �"� ������������ �������� !��" �"�� �$ �67� �� 8��"��� ������

���� ��'� *�� :����� ! �� �� � �����

! !

�������

�����

��

$ ��� � ����� ��� @�����& �� ���� �� �) ��� ������������ ��� �/0 � "���������������� ���� %�� �� #�� 5�� ���� ! ��� ��� ������ � �7 ���� �� ���� ��� @������� ���� ��� �� � �����

��� � �� � "�������� ������� �� �� ��� 2���� ??�4 ���� ��� �����(�� �� � � ���������� ��� �� ��� �����(�� �� � � �)������ �/0 ������ �& ��� ���� � �� �� �������

9

Page 10: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

(�� ���������� ��� ��� �� ! ���� �� ��� ������� �& ���� �� ��� ��� � � ������ ��(� ��J����� �������� �� 2���� ??�4��

��� C��� ������� ������� ��� �� ��� ������ � ��

%��� � ! �� �� �

��

�����

�����

���� ��

��

������

� ����� �� !#���

�#������������

D� ���

���&� ! ����&��� & ! ������ & �� &� ! �������

��� &� �� ��� � ���� ������� � ��� ������������ ������� ��� %����� ��� ��� ��� �� ������������ �� %��� � �� ��� ��� (�������� �� �� �� ��(� ����

% ��� � &� & ! ! % ����� ��� ��� ��� &� &� � '��� �� &� &� �"B�

�� ����� N�������� " ��� # � 2���� ??�4 � ��� ��� C��� ������ '��� �� � ��������(�� �� ��� A��� �����(��� �� � � �/0 ������& ��� ������� �� ��

'��� �� &� &� ! �Q ���#���D��� �

����L��� �

� �

����

&� &�

�� ��(� ����� �� ��� �Q ��� ���(�� ��� ���� �� (�� � ��� ��� 6���������& ��� ����� �����(�� �� ��� ������� �� ��(� ��� ��� ��� ��� ������� ��� � � ��� �������� ��N�����) #& �� �� �����& � � ��) � ��� ���������(� #���� � ��� ������ ��� �� � ��������� �� ���

2��� ������� ������������� � �� ����� ��� %����� � ��� ������ !�

�������� � �

������ �& ��� �"B�& �� ����� ����

! !'��� ��

%��� �!

�Q ����������

��

����

��

L��������

����

4�� ������� ����& ��� �) ����� #�B �� �����

! !

�������

�����

��

5�� ���� �� ��(� �� ��������� %��� � �� ����� � � ��� � �� ��� ��(�& ��� ��(� �� �������� ��� ��������� �� ��� @����� ������� �� ��� (�������� � ��� �& �� � ��� & ����)7� � ������ �� � ���� �� � ��� �� ���� � (��������� ��� ����� �� ���� �� ���� � ��������)�

����! ���(� �� �� ������ �� ��� :����� � � �� ?���� @� �� �� ������ ���� ���� �� ������ �� ��� :����� �� �� ������� ����� �� ��������� �� � �� ���� �� ������������ &� ���A $� �� <���� �� $��� B� ��� � ����������� �� ����� ���� ������ �

�+

Page 11: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

��� ���� ����� � ���� ����� �� ��� �� ��� @�����& ���� ���� �� ������ ��2���� ???�G�

��� � �� � ��������� ������ ���� �����(� ������� � ! �� � � ��� ��� �����(� � ��������� � ! �� ��� � ���� ��� � ! ��� 7 ����� �) � ! �� � ��� ��� ! � ��� � ����� �������& �������(��) ��� � ��������� ���� � � � 2��� � �� � �����(� ��A���� ������& ��������������� � � � �� � ��C���� ��� ��� ��� � ��������� ������� ���� �����(� �������� ��� ��� � �����(� ��A���� ���������� ��������

���� ����� *�� :����� !���� � �

!���� � !�# ��

����

���

���

$ ��� �� �� �� !���� � ��� ��� ��� ��

&� &� ! !���� � &� & �

����� &( ! �&(� �� ��� ( � ��� � �� � ��� ��(� ����

� ! �� � �"F�

�� ! ��� E ��� � �"P�

� ! ������ � �#��

�� ��� " ! �� "��� #� � "����� �) �� ���� ��O��������� �� ���

&� ! #� &�

&�� ! #��� &�� E �� &���� �" ! �� "��� #� � "

& � ! ���� &�� E �� &����� �" ! �� "��� #� � " �

��� ���� ��� ��� �� ������

�� ��� �����������%����� �& ��� �'(��$��� ����$%��

��� �� �� � ����� ���� �)������& ���������� ������ ���� ������� ��� �� ����������)����� ��

�� � "�#

������

)��� #� �������������� )��� #� �������

� � �� � �

� � �

��� )��� #� ���� )��� #�

�������

G) ���� �� ���� ���� ��� � ������� �������� ��� ��� � � " � ���������� ��� � � ���)�����������& ���� �������� ������ � ��� �������& ��� ��

���� � ��� � ����������

��

Page 12: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

�� �� ����� +�� �� ! �K�� �� ��� ����������������� �� ��, %� ��� ��� �� ��� % � �� �� � �� �� ����������� �� � �� ��� ��������� �� ��� ���� � �� �� ��� �������� � ! �����K� *��� � �� �� ��� % � �� �� �� � ����������� B� ��� �� �� ��� ����������� �� ��� ��������� �

����� ! ���

����

��� � �� �� �� �

��

������

! ��� �L����� �� �

��

������

�� � ! ���� � ��� � ��� ������ ��� � � ���� �� ���8�� �� ���� ������

$ ��� �� *��� �� 2 /2�@ �� �� �����& �� ����� �) � ! ���� � ��� ��� ������� � ��& ��� �) ! � ���� � ��

��� � ���������� ��� ��O��������� &�� & � &�� &� ��� ��� ���� �� �� ����� #�P�%� ������� �& �� ��(� ����

�&��� � %��� � &� & ! ��

�������

����� ���

�������� &� & ! �� !

�������

����� ���

�������� &� &� �

�����

�� !#���

�#���������

��� D���#�

���� ��� ���� � ������ #�B ��� #�P ���� �������) �����

�&��� ! ��

������� ������ ��

�������

����� ���

�������� &� &� �#"�

! ��

�������

�����

��� ���

�����

����� ���

�� �

�� &� &� �##�

�� �

�&��� !

����

�����

����� &�

� ��Q ��� L������

�� �

�� &�

2��� ��� C��� ������) � ���� � � ��� � ���������& � ��� � ��� ������������ ,��(��&�� �� ��� ��� ������� ������ � ��� �����(�� ��& �� ����� ���� ��� C��� �����(�� �������) � �� �� ��� �L������� �

�� �

�� & ��� � �� ������� ��� �� ���� � ���& ��������� � ���

������� %�� �##�& �� ��� ����� ����

��� !#���D������D��� �

�� �#-�

��

Page 13: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

� � � ���������� ��� ���� ���������

��� ����������� ���������������� ��� )������ ����$%���

��� �������� ����� ��(�� ���������� ����� ������ ����� �� ��� ��������� ���������� ?���� ������� �� ��A�� ��� ����� ���� ���������& ��� ��(� ���������� ����� ������ ������� �����

��� ������� ��������� ��(� C��� �����(�� � ������)

����� ! ��� �L����� ����

���� ����

��� ���� � �#$�

����� ���� � ! ���& ! "E �

� ��� "�& ��� ���� � ! " �� ����& �������(��) � ! # �� ������

���� ��� �� ��� ���� �� �� �$��

%�� �� � ���� ����)� ����� ��� ' �����) " E �� �� � "�& ������� ��� ������ �

, ������ �� � ! " =#"> ������� B� ��� %������� ="�>�%������� ��� " E ���� � "�& �����

� ! #�� �� ��� @� ����������� ?�� ������� �� ������� �� ��� ������ � ��� ����� �������������7 ���� �� ���� �������) ��� ��������� �) � ��� �) � ��� ��� ��� ������ ��� :��� ����;���������& ������������ ��� ��� ��(������ ��� � ! "& � ! "��

4� �� 2���� ??�4& �� ���� ��(��� ��� ��� ���� ��� �� � ���� ���. ��� ��� � ! "��� ������� ���� ������� �� ��

� ���� �������� �� ��� ��� � ! " ��� ��� ���� ���������� ! �

� ��

�� �� ��� +�� � �� � � � � �� �� �� � � � ��� � ����, ���� * ! ���

� &�� � �� �� �� C� ������� � �� �������� �� � � ��� ����� ��� ��� �� ��� ! ��� � �� ��� "�+��� � ������� �� +��� � � ���� � ! �

� !��%��� �� *��� /#� ��� ����� ��������� � � � ����� �� !2>#

$ ��� �� �����

� !

���

��

��

���� �� � �� � ���(������ �������� �� ����� � ������ � ��� �� � ���"��� ������ � �������������� �� ������� ��� + �� � ����� ��J��� ���������� � ��� (��� �� �+�� ! ������ ��� ����� �� ����������� � ��� ���� ��+ �� � ������ � ������ �������� �� �������

����� ��+ ! =�� ��>& ����� � �� � � �� � ���(������ �������� �� ����� � ������ �� "��� �� �� � �� � "� � �� � "� ������ � ������ �������� �� ������� ��� , �� � ���� ��J������������� � � �,� ! ������ ��� ���� �� ����������� � ��� ���� �� ��(� �����

" �� ,

�� + !

� ������ ������� �� ,��

4� �� ��(� ���� �����& ������ �� ������� ��� �� � ����& ������ �� ������� ��� �� � � ��& ��� ,��

�� � ������ � ������ �������� �� ������ ����� , ��� �� ��� ��������������� ����� ��� ��(��) � A���� ��� ��������� ���� ��� � ��G�� �� ��� �������� �� ��(� �������� � � ��� ������� ���� ��� ����� � ��������

����& ���� � �� �O�� ��� ���� ��� (�� ��& �� ����� ���� ��� ���� ��� (�� �� � � ��� ���� ��� ����� 2��� ��� �' ���� � ��� ���� ��� (�� �� � �& �������(��) �& ��� ��� �����(�� ��� * & �������(��) � & ��� �� ��� � ��� ������ ������

�)

Page 14: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

����! ��� *�� ���������8���� � ��� � ������ ���� � � � �� ����� '��� ���+��� ����� ��� ���� �� ��������� ��� ����� ���� �� �� ��

� � ��� � � *�� �� � ��� �� ���������8���� �� �� ��� �� R��� �� �� �� � � � ��� � ������� !��� � 6��� ����# ����� ��� ��� ��� �� �� R* ! R� R�� �� ����� �� � � �� ��� #�+��� � !$�+��� �# ������� �� � ���� � ! � !� ! #�# � �������� ��������� � � � ����� �� !2># �� �� �� �� �� ! ��� �������� 6��� ����# �� � ���� �� ���� ��� � ��������8���� �� ��� &�� � ! ��� �������� 6��� ����# �������

?� ��� ���� ����� �� ��(� ��� ������� ��� � ��� �������

�� ��� �����������%����� �& �'#������� ����$%��

���

�� �

����

����� ��� ����

� � �� � �

�� ����� ���

����� �

�) ���� ������� ���� ��� � ��� #� � " ������� ��� � �������� �������� ��� � � ���)����������� ���� ��� ���������� � ������� ����

��� ,� ! ����� �� ��� ���������� ���������� �������

�� �� �"� +�� ,� ! �K�� �� ��� ����������������� �� ,�, %� ��� ��� �� ��� % � ���� � �� �� ����������� �� � �� ��� ��������� ��� ������ �� ��� ������ �� K *��� K�� ��� % � �� � �� � � ����������� B� ��� �� �� ��� ����� ������ �� ��� ��������� �

����� ! ��� �L����������

���� ����

��� ���� �

��� � ! " E �� ��� "�� �� � � ��� ������ ��� � � ��� �� ���8�� �� ���� ������

$ ��� �� *��� �� . >� �� ���� �� ��� �� � ��� ��� ��� � ����� #�B& ����� #�P&����� #�"" ��� +���� #�I& ���� ��� �� � �� ��� ����� � ���������� �)������ ����������� �����(� � ��������� �������� G) ��A�����& ,� �� � � � �������

�� ���� ����� �� ��� ������� � ����� #�P ��� #�"" �� ��� ��O��������� &�& & & &�& &�&&�& ��� &��

�� ��A�� �&��� � �� ��� C��� ������� ������� ��� � ��

�&��� � %��� �� &� &� ! �����

������ �� ����� ��

������

������ ����� �� &� &�

G) ���� ����� #$ �� ����� ��� C��� ������� ������� ��� � ,� ��

�&,�� � !�����%��� �� &� &� �#H�

! #� ��� ����� ������ ���

����

�����

������ �� ����� ��

������

������ ����� �� &� &� � �#I�

�*

Page 15: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

�����

��� !

� ����� D�"�� �

� ��� D��� �

� �"� "��

#� ��

�� ������� �#I� �� ����� � �� �� �� ��� �.

�&,�� ! #� ��� ��

��

������ ��

������

������ ��

� ����� ���������

��� ������� ������ �

� �����

����� ����� ��

������

������ &� &�

! #� ��� ��

��

������ ��

������

������ ��

� ���� �

���� ����� ��

� ����� �����

��� ��&� &�

2��� ��� 6��������� ���� ������ � ��� � ��� ��� ������ �����(�� �� � �� ��������� ��

L��� !

� ����� ��� ��� ��

�� ����� ����

L��� !

� �����

�������

���

��� ��

���� ����� ���� �� �� �������

�&,�� ! #� ��� ������

����������

������

������ ��

� �����

�������

����

��� ���

������

�����

�����

����� ����� �� &� &�

! #� ��� ������

����������

������

������ ��

L���� ������

�����

� �����

� ��

����� �����&� &�

��� ���� ��� ��� ����������� ��� ��(������ ���� ������� ���������) �������������&� ���,�� ! ���K�& ��� ����,�� ! ����K�� ���� �� �' �(����� �

�����

�� �� E ������

��� ! ����

�� �

�����

�� �� ! ����

��

1���� ����& ��� � ����� ���� �� " E �� ��� "�& �� ����� ����

�&,�� !

����

������

����� &�

� ��Q ��� �

���

�������

L���� ����

���� &�

��

����� ��� �� ��� ���� �� �� �#-��%�� ��� ��(� �� ��� ���� � ��� � ��� �����������& ��� �� �� ��� ��� �������

��� C��� �����(�� � ������) �� ��(�� �) ��� ����� ���� �������� � ��������� �& ����� � ��������� ��� �� � � ��������� (��� � �� 9��

���� �� ��� ��� ��� � ������ -�$�

�.

Page 16: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

� � ������ ��� ! �� "�������

4� �� �������� �� 2���� "& �� �����(� ���� ����� �� �� �� ���) ���������� �� ��� ������������� ���������� �� ��� ������ ���� ��� ��� 2���� ?6�4�& �� ��� ��� ���� �������������� A�� ���) ���� 2�� � ��� ���������� �� �����(� ��� ��� ��� ��� �4��������� "& -&H& ��� I�& ��� ��� ��� ������A����� � ��� ��� ��� �4��������� # ��� $��

�� ��� �� ��� ��� ������ � ���� ���� � ������ ���� �� ��� ��@��� ����������� ��� ��������� � 2���� ?6�G� � ��������� ��� A����� � ��� ��� ���& �� �� �� ���� ���� ��� :������� ����������; ��������

*�� +,,���������

"� ���� ������� +��� � ��������� / � ����� ���� ��������� ��(� :���� �; ��� �������������� � ����& �(�� �� ��� ���� � ! "� #� $& ���������� ��� ������� �����������

�� �� ����� ���� ��������� ���� ������� �:���� �;� ��������� � ��(� ���� �� ����� �) ���) ���������� �=#>& ="$>& =#">�& � ���' ������� ������ ����������� ����� ������������ ������ ������ � ����� ���� ��������� ��� � �� �� ��� ������� ���

G) :' �������; �� ���� ���� ��� ������� � �� ������ �� �(�� �������& �� �������& � ������������� ���������� � ��� (�� � � ��� ?� ����� ���& ��� ����� ���������� � ���� ���� �� @���� ������ � �� �� =--> ��� ="#> ��� ' ��������

�� �& � ����� ���� ����� ������ ���� ���� ������ ��� ������������ ��� �� ����)�. ��� �� � ��� ��� �� ��� ��� ���� ��������� ��

#� *�� �������� �� ��� ���� ���������� ��� ��� �� ���� ����� �� ���� �� �� ��������� ��� ������� ����� ������ ���� 2���S =#H> ��� 8���� =H>� ���� ��� � ! #� 5�� ������ � �! #& L���� �� � ����� �� ������� �� ��� ����������� � � 6��������� ����������� ��� ��������& ��� ��� ��� ���� �� � ��������

��� ���� ��� �� �� � �� �� � �������) ��� ������� ��� �� =F>& ��� ��� @��� ��� ���A��� ����(�� �) 4�� =">�

�� �� "��� *�� �������� �� ��� ���� ��������� $���� ! ������� � �� ��� � ����� ���� ����� ���������� ��+��� �� ������� � � ��� ����� ��

��

���#�

�� ���������� �� ,

�����

��

#�

�� � �� �� ,�����

� � ��� �� ����� ���������� +��� �� ���������� �� ��� �������� � ��� �������� ������ �� ��� ��� ��� $���� � �����

$ ��� G�� ��� ��� ���� ����������) ��� ��� -����� �� ����� �� ��� ������������ ��)����� � � ���������� ������ ���� ��� �� �F�� ��� ��� ��� ����������� ���� (�������� ��(�(�� �� ��� �� ������

-� �������� ���� �� ����� �� ���������� 1���� ��� ���������� �� ����� �� ��� ������������ ��)����� � � ���������� ������& �� ����� ������ $�#�

�� �� "��� +�� �� �� %��� !����������� �� �# ������ ��� ����� �� ����������� � � ���� *��� ��� �������� ���� �� ��� ��� ���� ���� � ��+��� � �������� ��������� �� �

�/

Page 17: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

�� ����� ���� �� �� ��Æ �� � ��� ���� ��� ��� �����(�� � ������)�

$ ��� ��� ���������) �)������ � �����

������ ��� � ��� !�

������������������� ��� " ! �� "� � � �

�� �� ��� � �������� ��) �)������ ��)����� � ������ � ��� ����� ��� ��

��� �� �(�� ���� �� ��� �����(�� �� � � ������ ��� ��� ������ � ��� �������������)�����& ��� ���� ���) �� �� ������� �� ����� � ��� ������ �������� �� � ���� ������� �� � ��)����� � ��� ��� ���������� ������ ������� ����� �������� ���� �������& �������(��) ��� ���� ������

� ����� ��� ������� (�� � � (�� ��� ��������� � ����� ���� ��������& �� ������� �� ����� � ��� ���������� ������ �������& �� ��� �)�����) � ������ ������������& ���� ������ ��� ����� � ��� ������ ������� �) ����� ������� (�� ���

��� ������� ������ ������� ��� ������ ����� ����� (�������� �� ��� ������� ��� �� �� � �� ����� (�������� �� ��� ��� ���� ���� ��� � �������� ������� ������ ��)������ �� �(�� ����� �� ��� �� ��� ���� �� ����� �� �� ��������� ���' ��� � ������������� �� ����� �� ��� ����������� ��)�����& �F��� 2��� ��� �(�� ������ ���� ��(�(�� � ������� ���� ��� ��)������ �� ��#& �� ����� ���� ��� ��������� � ���� �� � ��)����� �� ��

4� �� ���) ���' ��� �� ��(� ��� ������� �����)�

� � ��� "� � ��� ������ �� ��� ���� ����� �� ���� ���� �� �� � ��������

������� ��������� �� ��#

$ ��� 5�� ���� �(�� ������ � ��� ��� ������� ��� ��� ������������� ��)�������� ��#& ��� ���� ��� ����������� �� ���

$� � ��� � ��� �� �� ���� �� +��� � �� � �� ��� 1���� � ����� �� ���� �� � ' � ����� ��� ������� ��� ��� ���� ���� � ��� 2������ ?������� �="F>�& ���� ��� ���������&�������(��)& ����� ���� ����������

��� ������� 2������ �������� ��

����� �� ����

�L���������

��� ��� �� &�

�� ��(� ����

����� �� ! �Q

��������������

L��������

��� ��� �� &�

� ����

������

�����

����� &�

��

����� ��� �� �� �� �#-�� �� ����� � ��� �Q ��� �� �� ��� A��� �������� �� ��(� ��������� �����(�� ��7 ����

� �����A�� ���� ��� �� ��� �����(��

5�� ���� ��� �� �����) �� �� ��� ������������) � ��� ��������� ����������

1���� ��� ��� �� �� ��� 6��������� ��(�� �) ����� #�B& ��� ��� �� �� ��� @�����! ��(�� �� ����� #�P& ��� ��� ��� ���� ��� %����� � ��� � � ������ �� ��� ����������

�0

Page 18: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

"�������� �������� �� ��� ���� �� ��� %����� � ��� � ��� �����(�� � ������& ��������

����� �� ! �Q ���

���������

����� ��������� �

������� �������� �

��

�����

����� ����

��� ������

��� �� �� &� &

! �Q ��� �#�����

�������

����

����� ����� & �

! �Q#���D������D��� �

�� �#������������

D��� "�

#!

"

���

��� ���� �������� )����� ��� ��� ���� 2������ ?������� ��� ��

���� !"

���

H� @����� �� ��� ��� ������� ��� ����������� � � ��)����� �' ���� � ���� ��� ��� �' ��� � ��� 6��������� ����������� � ��� � ����� � ��� �' ����� �� �&��� ����������� � ��� ����������� ��)����� � � ��������� � ����� ���� �������������� �� �����) -��� ! L�����

4 ������ �� ����� ���� ���� ��� #�� ����� � -��� ��

���

������

!��

���

�" E �� ���

�" E �� ��

� �������(��)&

���

����� ��� ����

! #� � ��� ����

�" E �� ��� ��� �

� ��� ���������" E �

� ��

����� � ��� � ��� ��� ������ ����� �� ��� �������& �������(��)& ��� ���� ����& ������ ������ ������� ���� � D��E #��D����

1���� ��� 2������ ��������& �� ������ ���� ��� ������ � ��� ����������� �� �����@��� ��� ���

�� � ��

����� ���� ��� ���� ����

! ����

�" E �� ��� ��� � �

� ��� �������� ��� � �� ��� ��������

�" E �� �� ��� E �� � �

� ��� ���� �����

I� 1���� � �� ���������� 2 D�������� ��������� ������ �� ��� ��������� 4��������� # � ������ ���� ��������� � ��� ���

��= > � ���

���

��� �L����� ����

��� ��� �� &�

��) �� �(�� ���� ���� ��������

/�� ������� � ���� � �� �� �� ���� ������ � ��� ����������� (�� ��� ������������������ ����� ��� ������� ��� ��� �� ��� ���� � ! "� # ��� $& � � � ,���� ="P>��� � 8������) ��� �� *�S�� =I>& ���� �� �� ��� � �(�� ��� ����� �������

�1

Page 19: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

?� ��� ������ � � ��������& ������� ��� ��& �� � ��� �� �� � ! " ��(���� ��=I>& ��� �� ����� � ����� ������ ���� �� ���� ��)�����7 �� � �� �� ���������)����

%� ��� ������� � ���& �� �� �� �� ��� ������ �� ����� � � � ���(������ ���������)����� �(�� ���� �� � ���� =$>& =#>�� 1���� ���� �����' �& ��� �������) � ����� ����� ����� ����� ���� � �)�������) �� ��� ��� ����������� � � ����������������& ��������� ��� ����& ��� �������� ��� ����� � ��� ������� �) ����� �������(�� �� ����� ��� ��� ����� ������� � ,��������� �� � ��������� ���� ���������� �� ���) �������& ��� � � � �� � �� ���� ��� � ��� � �� �� ����� �������� � ��������� �� �� � ����& ��(���� ���� ��� ��� � ������� ��� ���� ��� ������� � ��� ������ �� �� (��) ������ 4 �������� �� � ������ ��� ���� � ! " �� ��� �� �� =P& 4������� 4>�

*� �,�� -��%��$�

"� ��:���� !@�'�;�# �������� 2����� ?? ��� ??? � ��� ����� ��(��� ���������������� ����� �� ��� ��������� ��� ����� ���� ���������� ��� ��� ��� ' ����� ��������� � � ����� ����� �� ��� ���� ������ � ��� ������� �������& @���� ��� ��@��� ��������� ��(� ���� �������(��) �� ���� �� ��������� ������� ����& ��������) �������� ���� 2��������)�� ��������� ��� @� �� @� �2������� ��)������ ���� =">&="H>& ="I>& =->�� %������ � ����� ������ ���� ���� �������� � ���� � �� �� �� � ���������

?� ��� �� ������ ����������� ������� ���� ��� �������� ���� ��� ������� ������ ���� ��������� ��� ��� 0?� ��� ��� 268& ��� �� �������� ���� ��� @��� �� ���� ��� 3< ���� ����������� �)������ �����(�� � �������� ���� ���� �� � ������ �)��� ��� ���� ��� ,45/64 ���� ��� ����� ������� ����& ���� ������� � ���@��� � ! "� # ���������& ��� ������ ������ � ��� 3< ��������� 4 �� ���������� 3< �� ="">�

�� �� �� ��(� �� �� ���� ���� ������ � �����)& �� �����(� ���� � ����� ��������� ������& ������� ����������� ������ ���� ��) �� ���� ��� �� ��� ��@�������������

#� +���� ������� ��� ��(�� ������) � �� �������� �� ��� ������� ��� � � ����� ������(�� � � ���� �������� ���� �) ��� ������ ������ ��� ��� �� �� ���� ��� ��������������� ��� �� ��� � � � �� �����(�� � �� ������ ����� ��� ����� � ����� � ��� �� ��� ��(�� ��������� � ��� �� ����� ����� ������ � ��� ��(������ ������� ��)��������

+�����)& %������� ="�> ��� � �� � ��� �� �� ��� ��(�� ��������� � ��� ������������������ ���� �� � �� � �� �(�� �������� ���� ��� �� ������� � � � ���(������������� ��)������

%������ � ��A�� ��� �� �� ��� ������� � ��� � �� �� � ���������

-� +���� ����� ��� ��(�� ������� ��� ��� �������� ������� ��� �����(�� �� � �� ���������& � ���) ��������� � ���� ��� �(����� ��� ��(� ������ �� "� ����� ���������(� ���� ������� ���� �� ��� ��� � ��� �� ����� ��������� �� ! "� #� $�� ��� �����������������) ������) � � ����� ������ �� ����� ���� �� ��� �� ����� � ���������� ����� ���� ="F>��

�9

Page 20: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

4 � �������� ������ ������ ������� ��� �������� ���������) ������) � � �10 ����������� ��� ��� ���������) ������) � ��� ����� � ��� +������ ���� � ����� ?��������) ��� ��������� �� � ,������) �=#�>�& /��)� �=##>� ��� ���� �������������)���� ��� �� ���������) ��������� ��� (��) ���7 ��� � ���' ��� �C�� �� ���� ��� �����������) ��������� ����� ��� ���� ����� ��� ,������)�/��)� ����

� ��� ���� � � �������& ��� ��(�� ������ � ��� ������� ��������� ��������� ����� ���� ��(����������

$� C��A �� ���� ����� ����� %�����)& � (��) �������� ��������� � �� �� ��� �������������� � ��� � � ��� ���� ������ ������ �� ��� �/0& �10 ��� �20 ������� �)���) ��� ���� ���� ������ ��� ��� �� ��� ���)����� ������� ���� .�& .� ���.��

��� ���� ������ ����� ������ � ��� ������� ��� � ��� ������� �����(�� � � � ������ �� �����������7 ��� � � ������ ����� ������ � ��� ������� ��� � �� �����(�� � �� ��� :� � ;� ��� ����� �� %� � ��������& ��� =#P>& =-�> � =#F>� ��� ���)����� ������� ������� ��A��� �� ����� � N�����(T� � �����& ���� ��� �� ���� � ������ ��O���������' �����& ���� ��)������ ��(�� �) 4��) � ������ %� � �� ��������� � N�����(T��' ����� �� ����������� ���� �� ����� ���������& ��� ����& ��� @��� ����� �����������& ��� N����� (�� ,���� �9� ���� =-#& 2���� $>� +�����)& @������ ="$> ���� �� ���� ��� �������� ������� ���� .� ��� .� ����) � ���� ��������(��) ������������� ��������

# �$��%���������

��� � ���� � �� �� � � ���� N��) 8����& N���� %�������& @�� ������& 8�(�� @� ��&0�� U�����& ���� 2� ���& ��� 2�����& ����� ����& ��� ,����� <����� ��& �� �������������� ����� � �(��������� �� ��� ���� ��� ������� �� ���������� � � ����� � ������ �����&��� �� ��� ���) (�� ���� ������� � ���������

?��� 8 ����� 9� ������� ��� � ������ �) �� ?G, N�8 %�������� ��� 52% ����� 8,2�PPB"HP"� 4��� 0������9� ������� ��� � ������ �) 52% ����� 8,2�PPB"HP"�

�+

Page 21: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

&�'������

="> U� 4��� @��� ��)������ �������� ���� 2������ ���������� 1��@ : @�� ��� &"F.H$HVH$P& "PFB�

=#> �� G� �� ��� N� %�������� ��� *������2 �������� ,��� ��� ����������� *�������N�)������� D����� @�� $�� & "FF."BHV#"I& "PPB�

=-> 8� G��� ) ��� ,� *���������� N�)�W��� �� @��� �T��T������T�� �� ?��T������� �� 2�������*�� ����� ���� :�� �� �� D������� ��& -�#�.+"& "PPI�

=$> X�� *�� ��� N�������� � ������� ��� ��� ���� N�)������ �� ,����� 4�� ������� ����� 4���������� +��� ����� �� �� ����������& "BI.#-BV#I�& "PP#�

=H> N��) 8����� � ������� $�������� �� ?���� @� ���E � ?����������� � ���� ���� 4������ ,���������� 2���)& N�(�����& "PPF�

=I> +� 8������) ��� �� �� *�S��� 8������ ��� � ��� ����������� � � ����� ������)������������ ��� ��� �� ����� ������� ��������� $����� ?����� �& I#."H#IV"H-I& #����

=B> %� 8)��� ��� �������� ��)� 4������� 2�� � ��� � 2)�����) �� �� ��� 0���������� 3 ��� � ,������� : @�� $�� & -.""PPV"#"H& "PI-�

=F> 4��� 0������� ��������� �� D�������� '���� �� ?���� @� ���� N�8 ������&,����� ����� ?����� �� � ������)& "PFP�

=P> 4��� 0������� ��� N��������) ���� � +���� +��� �� ����� ,����� ��� +��� 0�����(�� ��& +������ 8������ ����& ��� ��� *�� ��� ���� :�� �� �� @����� ��� �����&I�.#�-V#-#& "PPB�

="�> N� %�������� ?���� @� ���� #��"� � �������

=""> ���� �� � ��� *������ 6�� ���� @� �� D���������� ��� @��� �� ��� 1��(�����)N����& G������� ��� ����& ����� ������& "PPI�

="#> 8����� 4� ?(��(� +����������� ��������� �� ���(� (������ ?� $ �������� ����� < ���� �� A��� (;� ���� �� ������������� ��� �������� �� ��� F���)�2�������& ����������& #��#� =������� ������M�"�-�FP>�

="-> 4��� �� @����� 8������ ���� � ������ (������� ��� ������ ��� ����(�� ��� ������������� ���� @�� 1�� & -H.$BHVH�"& "PI$�

="$> ?��� ,� @������� /� ��� ������� ��� � ��� ������� �����(�� � �� �������� �����������)���� ���� �� 1������& #P�#�.#PHV-#B& #��"�

="H> U� U������ ��� 2�������@� ��)������� ������ �� @�������& "-�.--V"�#& "PPB�

="I> @� U��� � 2������ ?�������� ��� �)���������� % ����� 4������� ���� @� N�)�������� 1 � � @ :�� �� �� @�������� �����& #$."�FIV"""�& "PP-�

="B> ?� ,������� 1����� �� B������� �� ��� $��������� /���� 1��(�����) N���� ?�&5�� X� & "PPH�

="F> ,���� ��� ,����� ?���� @� ���� 4����� N����& G���& ���� ������& "PP"�

="P> ,���� ��� ,���� ��� @����,���� 5������ N��������) ������) � ��� ����������� �� ����� ��������� ������� : $�� �& -".H-BBVH-P"& "PPF�

��

Page 22: math.mit.edumath.mit.edu/~edelman/publications/matrix_models.pdf/0 10 20 + * 3 + ,45/ 6 4 * ,45/ 3 ,45/ 4 7 ( ( ) 8) 9: );!" #& $7

=#�> �� �� ,������)� ��� ���� �������� � ���� � ��� ���� � ����� ?� ������� '���� *��� �� $ �������� �� ��� /G"2 1� +��� 1�������& ����� "F"V"P-� 4������ ,����������� 2���)& N�(�����& "PB-�

=#"> +�� @� , ������� ����� �� @����� ��� 1������� *��� �� @�� ����) Y 2��& 5��X� & "PF#�

=##> 4�,� /��)� � /� ��� ������� ��� � ������� ������� ���� � ��� ���� � ����� ?� ,�(�� %��� ��� )��� ��� ,� �� ����� �& ������& <������� 1���� � �� � �������� H���B�������� D������� � @������� 1� ��& (� �� #P�& ����� "-PV"$$� 4������,���������� 2���)& N�(�����& +��� ?�����& #��"�

=#-> 4� / � ( ��� �� /������ �� 2������ @� N�)������& G������ %�� ��& ��� 4����������� @�������� ?�� �� +���� & $.IPVBF& "PPB�

=#$> G�5� N������� *�� 1����� �� ��������� $ ������ 2?4, *������ �� 4������ ,����������& "PPF� N�� "-P�"$��

=#H> �T��� 2���S� � ������� $��������� 4������ ,���������� 2���)& N�(�����&"PBH� $�� �������

=#I> @� �� 2��(�������� ��� �������� �����(�� � � � ����� ���������� ������� ����������� �� $ ��� & "-."-I$V"-IF& "PFH�

=#B> +����� N� 2�����)� 2�� ���������� ��������� � @� �)������ � ������ �������� @�������& BB.BIV""H& "PFP�

=#F> *���� 4� ���) ��� ����� ����� /� ������� ��� �)������ ������ ���������� : 1������� $����& P#.F�PVF-H& "PPI�

=#P> *���� 4� ���) ��� ����� ����� 1��(�������) � ��� ������� ��� � ����� � ����������� ����)� ?� 1������� $���� �� ��� ��� �� ��� 2/� D���� �E �� ����� ��: C @���� � �� ��� ������ �� �� 3=�� C� ����& ����� #-�V#-P� ���� 2�����A N �&2�������& "PPP�

=-�> *���� 4� ���) ��� ����� ����� ��� 8������ ��� � ��� ������� 0����(�� � �� ����� ����� 0��������� ?� D���� ��@�� �1���� ��� @����� D?@ 1� �� �� @��������$����& (� �� $& ����� $I"V$B#� 2��������6�����& G�����& #����

=-"> ���� %� ������� 0����(�� � 8������ ���� � ����� ��������� ,������7 ������9� ��������� ��� ��� � ������ � U�& , �� & ��� 2���S� ������ �� @�������& H$.IBVF#& "PF$�

=-#> N����� (�� ,���� �� ?��������� �������. +���� ,������ ��� +���� N��� �������?� ?���� @� ��� �� *��� ����������� @1?� $���������� *�������� 1��(�����)N����& *��������& #��"�

=--> ,� <����� ��� +��������� �)������ � �������� ��� ����� ����� �� ����� ����������)� : @�� $�� & -B.$PFIVH�"F& "PPI�

��