[maths] 3.6 geometria espacio i
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Geometría del Espacio para estudiantes de 2º curso de Bachillerato (Parte 1)TRANSCRIPT
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By Miguel Pérez Fontenla, December 20111
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ALGEBRA LINEAL
GEOMETRIA DEL ESPACIO I
Usando textos con licencia de Santillana Educación S.L.
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ALGEBRA LINEAL
•Espacios Vectoriales•Vectores. Operaciones
•Geometría del Espacio•La Recta en el espacio•El plano en el espacio•Posiciones relativas …
•Producto escalar•Perpendicularidad•Aplicaciones, distancias, ángulos …
•Productos vectorial y mixto•Aplicaciones: Areas, distancias,•Aplicaciones: Volúmenes, distancias …
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Repasando ℝ2
•Vectores en el PlanoUn vector en ℝ2 queda determinado por dos puntos A(a1,a2) y B(b1,b2) (origen A y extremo B) y el orden de éstos:
1 1 2 2
1 1 2 2
,
,
AB b a b a
BA a b a b
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Repasando ℝ2
•Operaciones con vectores
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Repasando ℝ2
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Definición: Espacio vectorial
Un conjunto V con dos operaciones, una + y otra * y donde existen 0,1∊V y un cuerpo K (usualmente ℚ,ℝó ℂ) verificando:
Respecto a +,
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
El elemento simétrico de es su opuesto
Respecto a *
Distributiva respecto a la + de vectores
Distributiva respecto a la + de escalares
Asociativa mixta
Elemento neutro
Pues bien, a este conjunto formado por {V, +, *, K} que verifique todas las propiedades anteriores se le llama espacio vectorial sobre el cuerpo K
u v v u
u v w v u w
0 0u u
u
u
u v u v
u u u
u u
1u u
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Otras definiciones
Definición: vector
A los elementos del espacio vectorial V se les llama vectores
Los denotaremos por letras
Definición: escalar
A los elementos del cuerpo (usualmente ℚ,ℝ ó ℂ) se les llama escalares
Los denotaremos con las letras griegas
, , , , , , , , ,...u v w a b c i k j
, , , , , , ,....
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Ejemplos de espacios vectoriales
•ℝ2 plano euclídeo estudiado en Geometría plana•V2 o conjunto de vectores del plano, estudiado en Geometría plana•n o conjunto de matrices cuadradas n x n• o conjunto de polinomios•V3 o conjunto de vectores libres del espacio•ℝ3 espacio euclídeo
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Vectores en el espacio
•Vectores en el espacioUn vector en ℝ3 queda determinado por dos puntos A y B (origen A y extremo B) y el orden de éstos.
•Elementos de un vector
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Vectores en el espacio
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Operaciones con Vectores
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Operaciones con Vectores
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Combinación lineal de vectores
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Base de un espacio vectorial
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Base de un espacio vectorial
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Coordenadas de un vector
•Sistemas de referenciaUn sistema de referencia en el espacio está formado por un punto fijo O y una base del espacio
Lo denotaremos por
•El Sistema de referencia canónico
Es el que tiene como punto fijo
O(0,0,0) el origen
y como base tres vectores de
módulo 1
y perpendiculares entre si
, ,u v w
, , ,O u v w
, ,i j k
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Coordenadas de un vector
•Coordenadas y módulo de un vector
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Coordenadas de un vector
Ejercicio: Calcula las coordenadas y el módulo del vector
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Coordenadas de un vector
Ejercicio: Calcula las coordenadas y el módulo de estos vectores
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Operaciones con coordenadas
Suma y resta de vectores
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Operaciones con coordenadas
Multiplicación de un vector por un escalar
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Operaciones con coordenadas
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Operaciones con coordenadas
Suma de un punto más un vector
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Operaciones con coordenadas
Dependencia e independencia lineal
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Operaciones con coordenadas
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Aplicaciones de los vectores
Punto medio de un segmento
Puntos alineados
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Aplicaciones de los vectores