maths

2 ESO

Matemàtiques

Grup PromotorSantillana

Nombres enters

tema 1


1

NOMBRES ENTERS

1. ● Expressa amb un nombre enter:

a) En Lluís va guanyar 6000 € a la loteria.b) El termòmetre va marcar 7 °C sota zero.c) La Marta viu al quart pis.d) La botiga és al segon soterrani.

2. ● Completa la recta numèrica següent:

3. ● Representa aquests nombres enters en unarecta numèrica: −5, 7, −9, 0, −3, 2.

4. ● Quants nombres enters hi ha entre –4 i 4?

5. ● Completa amb el signe < o >:

a) −9 � −12 c) −1 � −4b) 3 � −2 d) −7 � −5

6. ● Escriu el nombre anterior i el posterior:

a) � < 4 < � c) � < −4 < �b) � < 12 < � d) � < −8 < �

7. ● Troba un nombre enter que estigui comprèsentre els nombres següents:

a) −3 < � < 0 c) 7 < � < 10b) −8 < � < −5 d) −4 < � < −2

8. ● Escriu dos nombres enters:

a) Més petits que +3 i més grans que −1.b) Més petits que −3.c) Més grans que −6.d) Més grans que −2 i més petits que +1.

9. ● Ordena, de més petit a més gran, els nombressegüents −4, 6, −7, 11, −9, −6, 0, 2, −1.

10. ●● L’oposat d’un nombre és –5. Quin és el nombre?

11. ●● L’oposat de l’oposat d’un nombre és +3. Quin nombre és?

12. ●● Quins valors pot prendre a en cada cas?

a) ⏐a⏐ = 6 b) ⏐a⏐ = 17

13. ●● Com és el valor absolut d’un nombrequalsevol i del seu oposat?

14. ●● Pot ser |x| = −1? Raona-ho.

OPERACIONS AMB NOMBRESENTERS

15. ● Calcula les sumes i les restes següents:

a) (+12) + (+25) e) (+19) − (+5)b) (−9) + (+13) f) (−21) − (+33)c) (−3) + (−11) g) (−7) − (−11)d) (+17) + (−8) h) (+22) − (−15)

16. ● Completa la taula següent:

Fixa’t en les dues últimes columnes. Què hi observes?

17. ● Efectua les sumes següents:

a) (+10) + (−5) + (+7) + (−9)b) (−29) + (−12) + (−9) + (+17)c) (−20) + (+33) + (+21) + (−23)d) (−23) + (−41) + (−16) + (+50)

18. ● Calcula aquestes restes:

19. ● Fes aquestes sumes i restes combinades:

a) (−21) + (−12) − (+9)b) (+17) − (+23) + (+34)c) (−32) + (−19) − (−11)d) (−54) − (+22) + (−10)

20. ● Calcula:

a) 8 − 7 + 4 − 3 − 2b) −7 − 5 + 3 − 9 − 1 + 11c) −4 − 2 + 5 − 1 − 4 + 1d) 6 − 3 + 3 − 10 − 4 + 13e) −9 − 14 + 4 − 56 − 16 + 1f) 9 + 14 − 6 − 93 + 19

1−3� � � � �a b a − b b − a a + b b + a

−7

−12

+11

+23

+9

−5

−18

+17

830863 _ 0019-0040.qxd 14/12/07 16:06 Página 34

2

22. ●● Efectua aquestes operacions:

a) 6 + (−4 + 2) − (−3 − 1)b) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2)c) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7)d) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9)

23. ●● Completa els forats perquè les igualtatssiguin certes:

a) (−11) + � = +4 d) (+3) − � = −7b) (+13) + � = +12 e) (−15) − � = +9c) � + (−20) = −12 f) � − (+8) = +7

24. ● Calcula els productes següents:

a) (+12) ⋅ (+4) c) (+5) ⋅ (−35)b) (−42) ⋅ (−3) d) (−14) ⋅ (+5)

25. ● Completa aquesta taula:

Què observes a les dues últimes columnes?

26. ● Calcula els productes següents:

a) (+21) ⋅ (+3) ⋅ (+4) c) (+13) ⋅ (−5) ⋅ (−6)b) (+19) ⋅ (−2) ⋅ (+3) d) (−20) ⋅ (−9) ⋅ (−3)

27. ●● Completa aquests productes:

a) (−5) ⋅ � = −30 c) (−9) ⋅ � = 27b) � ⋅ (+3) = 45 d) � ⋅ (−8) = −48

29. ●● Resol extraient factor comú:

a) (−3) ⋅ (−4) + (−3) ⋅ (−9)b) 7 ⋅ (−12) + 7 ⋅ (+6)c) (−5) ⋅ (+11) + (−5) ⋅ (−10)

30. ●● Completa extraient factor comú:

a) 5 ⋅ (−4) + 5 ⋅ (−7) = 5 ⋅ [� + (−7)]b) (−9) ⋅ 2 + (−9) ⋅ (−4) = � ⋅ [2 + (−4)]

31. ●● Efectua aquestes divisions:

a) (+35) : (−7) : (−5) c) (+32) : (−8) : (−2)b) (−21) : (−7) : (−1) d) (−4) : (+4) : (−1)

32. ●● Opera:

a) (+21) ⋅ (+2) : (−14) d) [(−2) ⋅ (+7)] : (−14) ⋅ (+3)b) (+5) : (−5) ⋅ (−4) e) (+36) : [(−9) : (+3)] ⋅ (+5)c) (+2) ⋅ (+9) : (−3) f) (+36) : (−9) : (+2) ⋅ (+5)

33. ●● Completa les divisions següents:

a) (−36) : � = −4 d) (+48) : � = −6b) (−54) : � = +9 e) (−63) : � = −7c) (+�) : (−6) = (−42) f) (+�) : (+8) = (+2)

COM RESOLEM OPERACIONS DE SUMES I RESTES

COMBINADES AMB PARÈNTESIS?

21. Calcula: −3 + (−8 + 9) − (3 − 6).

PRIMER. Eliminem els parèntesis.– Si porten davant el signe +, les operacions

de dins les deixem tal com estan.– Si porten davant el signe −, transformem

tots els signes de l’interior en els seus oposats.

+ (−8 + 9) = −8 + 9

−3 + (−8 + 9) − (3 − 6) = −3 − 8 + 9 − 3 + 6

− (3 − 6) = −3 + 6

SEGON. Agrupem els sumands positius a unabanda, i els negatius, a l’altra.

−3 − 8 + 9 − 3 + 6 = (9 + 6) − (3 + 8 + 3) == 15 − 14 = 1

FES-HO AIXÍ

F

F

a b a ⋅ b b ⋅ a

−4

+6

−9

+7

−6

−8

+5

+8

COM TRAIEM FACTOR COMÚ EN OPERACIONS

AMB NOMBRES ENTERS?

28. Calcula: −12 ⋅ (−27) + (−12) ⋅ (+17).

Treure factor comú consisteix a aplicar lapropietat distributiva en sentit invers:

a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ (b + c)

PRIMER. Determinem si hi ha cap factor que esrepeteixi en tots els sumands.

−12 ⋅ (−27) + (−12) ⋅ (+17)−12 es repeteix en els dos sumands

SEGON. El factor que es repeteix multiplica la sumao la resta dels sumands.

−12 ⋅ (−27) + (−12) ⋅ (+17) == −12 ⋅ [(−27) + (+17)] = −12 ⋅ (−10) = 120

F

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0019-0040.qxd 26/12/07 16:10 Página 35

POTÈNCIES DE NOMBRES ENTERS

34. ● Escriu-ho en forma de potència, i indica’n labase i l’exponent:

a) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7b) (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2)c) (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5)

35. ● Escriu-ho en forma de potència i en forma deproducte:

a) Base 11 i exponent 4.b) Base −2 i exponent 3.

36. ●● Calcula les potències següents:

a) 45 c) 142 e) 73 g) 54

b) (−2)6 d) (−4)4 f) (−9)2 h) (−6)4

37. ●● Completa:

a) (−2)� = 4 c) (−2)� = −8b) (−3)� = 9 d) (−3)� = −27

38. ● Calcula les potències següents:

a) 50 b) 231 c) (−3)0 d) (−57)1

39. ● Expressa com una sola potència:

a) 53 ⋅ 54 c) (−3)5 ⋅ (−3)3

b) 116 ⋅ 114 d) (−8)4 ⋅ (−8)7


a) 43 ⋅ 43 ⋅ 4 c) (−2)6 ⋅ (−2)4 ⋅ (−2)b) 95 ⋅ 92 ⋅ 94 d) (−7)3 ⋅ (−7) ⋅ (−7)6


a) 54 ⋅ 5� ⋅ 52 = 59

b) 13 ⋅ 133 ⋅ 13� = 135

c) (−11)� ⋅ (−11)4 ⋅ (−11) = (−11)7

d) (−21)8 ⋅ (−21)3 ⋅ (−21)� = (−21)11


a) 75 : 73 c) (−9)6 : (−9)3

b) 128 : 125 d) (−6)7 : (−6)3

43. ●● Expressa com una sola potència:

a) (28 : 23) ⋅ 23

b) 35 : (37 : 34)c) [(−4)6: (−4)] : (−4)2

d) (−5)3 : [(−5)4 : (−5)]


a) (54)3 c) [(−3)4]3

b) (75)2 d) [(−9)3]3

3


a) (36)� = 318 c) [(−2)�]4 = (−2)8

b) (85)� = 820 d) [(−7)3]� = (−7)9


a) (25)2 ⋅ (22)4

b) (103)3 ⋅ (102)4

c) [(−35)]3 ⋅ [(−34)]3

d) [(−102)]2 ⋅ [(−103)]3


a) (62)5 : (63)3

b) (237)2 : (233)4

c) [(−149)]2 : [(−143)]5

d) [(−28)]3 : [(−24)]

49. ●●● Simplifica aquests productes de potències:

a) 54 ⋅ 253 e) (−12)3 ⋅ 185

b) 84 ⋅ 162 f) (−63)5 ⋅ 212

c) 63 ⋅ 125 g) 322 ⋅ (−24)3

d) 47 ⋅ 32 h) −723 ⋅ (−4)7

50. ●●● Escriu com a potència d’una potència:

a) 79 c) (−12)6

b) 68 d) (−8)12

51. ●●● Completa:

a) (�)4 = 256 c) (�)3 = −27b) (�)5 = 243 d) (�)7 = −128

COM RESOLEM PRODUCTES DE POTÈNCIES QUAN

LES BASES TENEN FACTORS PRIMERS COMUNS?

48. Simplifica aquests productes de potències.

a) 84 ⋅ 162 b) 34 ⋅ 92 c) (−3)4 ⋅ 182

PRIMER. Descomponem les bases de les potènciesen producte de factors primers:a) 8 = 23 b) 3 = 3 c) −3 = −1 ⋅ 3

16 = 24 9 = 32 18 = 2 ⋅ 32

SEGON. Substituïm les bases per la sevadescomposició en factors i operem:a) 84 ⋅ 162 = (23)4 ⋅ (24)2 = 212 ⋅ 28 = 220

b) 34 ⋅ 92 = 34 ⋅ (32)2 = 34 ⋅ 34 = 38

c) (−3)4 ⋅ 182 = (−1 ⋅ 3)4 ⋅ (2 ⋅ 32)2 == (−1)4 ⋅ 34 ⋅ 22 ⋅ 34 == 1 ⋅ 22 ⋅ 38 = 22 ⋅ 38

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0019-0040.qxd 14/12/07 16:06 Página 36

4

ARREL QUADRADA DE NOMBRESENTERS

052. ● Calcula l’arrel quadrada d’aquests nombres:

a) 64 b) 121 c) 144 d) 196

153. ●● Completa.

54. ●● Sense operar, calcula l’arrel quadrada i elresidu d’aquests nombres:

a) 93 b) 59 c) 130 d) 111

55. ● Troba el residu en cada cas:

a) Arrel = 12 c) Arrel = 30Radicand = 160 Radicand = 901

b) Arrel = 23 d) Arrel = 32Radicand = 532 Radicand = 1.030

56. ●● Sense fer càlculs, senyala les afirmacionsque són falses:

a) i residu 7

b) i residu 10

c) i residu 4

d) i residu 11

e) i residu 1

f) i residu 5

g) i residu 15

h) i residu 2

57. ●● Escriu tots els nombres enters de dues xifres amb arrel quadrada entera que tingui 2 de residu.

58. ●● Escriu tots els nombres de tres xifres méspetits de 500 l’arrel dels quals tingui 10 de residu.

59. ●● L’arrel quadrada entera d’un nombre és 5, i el residu és el màxim possible. Quin és elresidu? I quin és el nombre?

60. ●●● Troba el nombre més petit que sumat a 265dóna un quadrat perfecte.

204 14=

96 9=

85 9=

80 9=

60 7=

45 7=

30 5=

23 4=

JERARQUIA DE LES OPERACIONS

61. ●● Resol les operacions següents:

a) (−13) ⋅ (+3) − (−12) ⋅ (+7)b) (−3) ⋅ (−12) − (−15) ⋅ (−4)c) (−35) : (−7) + (−54) : (+9)d) [(−25) + 5 − (−4)] : (−8)e) [(−16) + (−9) + 5] : (−4)f) [(−4) + (−3) ⋅ (−6)] : 7

62. ●● Resol les operacions:

a) (−11) ⋅ [10 + (−7)] + 36 : [(−1) − (−10)]b) (−8) ⋅ [5 − (−2)] − 48 : [6 + (−14)]c) 42 : [(−6) − (−3)] + 28 : [−6 − (−8)]d) 32 : [(−19) + 3] − 24 : [(−11) − (−5)]

63. ●● Efectua aquestes operacions combinades:

a) (−5)2 ⋅ [3 + 28 : (−4)]b) (+2)2 ⋅ [−5 ⋅ 2 − 32 : (−8)]c) (+3)3 : [−5 + (−7) ⋅ (−2)]d) (−4)3 : [(−15) : 5 − (−45) : (−9)]

64. ●●● Resol les operacions, i considera només elresultat positiu de l’arrel:

a) + (−3) ⋅ [12 + (−7)]

b) : 3 + 4 ⋅ [−12 − 2 ⋅ (−3)]

c) 7 ⋅ (5 + 3) − : (−3)

d) −3 − (−4) ⋅ [ − 5 ⋅ (−2)]

65. ●●● Calcula, i fes servir només el resultatpositiu de l’arrel:

a) : 5 + 33 : (−3)

b) 12 − 18 : 2 + (−4) ⋅

c) (−5) ⋅ 32 − : [(−5) ⋅ (−2) − 31]

d) (−8)5 : (−8)3 − (−4)2 ⋅ ( − 20)

e) : [7 + (−5)]2 + (−2)3

66. ●●● Troba els errors en aquestes igualtats:

a) (−3) + (−5) − (−8) = −3 − 5 − 8 == −8 − 8 = −(8 − 8) = 0

b) −9 − (−8) − (−7 − 2) = −9 + 8 + 7 − 2 = = −1 + 7 − 2 == −6 − 2 = −8

c) 5 − [−6 + 7 − (−2)] = 5 + 6 − 7 + 2 = = 11 − 5 = 6

d) 4 ⋅ (−3) + (−5) ⋅ (−2) = −12 − 10 = −22e) 4 − 5 ⋅ (−2) = (−1) ⋅ (−2) = 2

144

16

49

121

100

64

36

81

9

830863 _ 0019-0040.qxd 14/12/07 16:06 Página 37

5

DIVISIBILITAT

67. ● Completa amb múltiples de 12:

1•2 = {…, −24, �, 0, 12, �, 36, �, 60, …}

68. ● Troba els múltiples de 7 compresos entre −40 i +40.

69. ● Troba els múltiples de –4 compresos entre −30 i +30.

70. ● Calcula tots els divisors de:

a) 28 b) 54 c) 63 d) 90

71. ● Completa els divisors de 42.

Div (42) = {±1, ±2, �, �, �, ±14, �, �}

72. ● Donats els nombres 12, −15, 18, 24, −4, −423,10, 267, −23, −2, digues quins són múltiples de:

a) 2 b) −2 c) 3 d) −3 e) 6

73. ● Escriu els múltiples de –5 compresos entre –30 i 15.

a) Quins són múltiples de 7?b) I quins tenen un valor absolut més petit

que 15?

74. ● Digues quins dels nombres següents sónprimers. Raona la resposta.

a) 21 b) 19 c) 43 d) 39

75. ● Esbrina si aquests nombres són primers ocompostos: 72, −147, −282, 331, −407.

76. ● Efectua la descomposició factorial de:

a) 3.850 b) −432 c) −561

77. ● Calcula el màxim comú divisor de cada parellde nombres:

a) 45 i −27 b) −28 i 21 c) −18 i 12

78. ●● Troba el màxim comú divisor:

a) 6, −8, 12 b) 16, 20, −28 c) 40, −10, 25

79. ●● Si m.c.d. (x, 12) = 6, troba el valor de x.

80. ● Calcula el mínim comú múltiple:

a) −12 i 18 b) 15 i −45 c) 27 i −18

81. ●● Troba el mínim comú múltiple dels nombressegüents:

a) 12, −9, 10 b) −4, 18, 27 c) −8, 30, 24

82. ●●● Troba dos nombres que tinguin 6 de m.c.d.i 36 de m.c.m.

PROBLEMES AMB NOMBRES ENTERS

83. ●● A les 7 del matí el termòmetre marcava 4 ºC sota zero, i cinc hores més tard marcava 3 ºC sobre zero. Quina és la diferència entre les dues temperatures?

84. ●● La Maria viu al 3r pis. Baixa 5 plantes per anar al traster i després en puja 7 per visitar el seu amic Enric. A quin pis viu l’Enric?

85. ●● La Sara deixa el cotxe al tercer soterrani i puja 4 plantes fins a casa. A quin pis viu?

86. ●● L’Antoni té 123 €. Al final de mes rep 900 €de sou i paga la hipoteca de 546 €. Quants diners li queden finalment?

87. ●● Quin és el quadrat més gran que podemformar amb 52 segells? Quants en sobren?

COM PODEM FORMAR UN QUADRAT AMB UN

NOMBRE D’ELEMENTS DETERMINAT?

133. Quin és el quadrat més gran que podemformar amb els 23 alumnes d’una classe?

PRIMER. Avaluem si és un quadrat perfecte.23 no és un quadrat perfecte.

SEGON. En calculem l’arrel entera.

→ Residu = 23 − 42 = 7Podem formar un quadrat amb 4 alumnes a cada costat i sobrarien 7 alumnes.

23 4=

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0019-0040.qxd 14/12/07 16:06 Página 38

6

89. ●● El passadís d’una casa fa 432 cm de llargadai 128 cm d’amplada. Volem posar-hi rajolesquadrades de la mida més gran possible, demanera que no n’haguem de tallar cap. Calculales dimensions i el nombre de rajoles.

90. ●● L’Alexandre té unes 150 fotografies. Potenganxar-les en un àlbum en grups de 8, 9 o 12fotografies i no n’hi sobra cap. Quantesfotografies té l’Alexandre?

91. ●●● Per una via ferroviària passa un tren ambdirecció a Tarragona cada 30 minuts i un altreamb direcció a Perpinyà cada 18 minuts. Sis’han trobat els dos trens a les 10.00 del matí,calcula a quina hora es tornaran a trobar.

92. ●●● En Josep viatja a Barcelona cada 15 dies i la seva germana Anna ho fa cada 20 dies. Quan tornaran a coincidir a Barcelona si l’últimavegada que ho van fer va ser el 2 d’octubre?

93. ●●● En una carretera han posat fanals a totsdos costats. A un costat els han posat cada 12 metres, i a l’altre, cada 18 metres. Si sabemque el primer fanal de cada costat està situat a la mateixa altura, quina distància hem derecórrer per trobar dos fanals col·locats l’undavant de l’altre?

INVESTIGA

94. ●●● Calcula tots els nombres enters a i bque verifiquen aquestes condicions. Quan no hi hagi cap solució, explica per què passaaixò, i, si hi ha infinites possibilitats, descriucom són.

a) ⏐a⏐ + ⏐b⏐ = 4 g) ⏐a⏐ : ⏐b⏐ = 12b) ⏐a + b⏐ = 4 h) ⏐a⏐ : ⏐b⏐ = 1/2c) ⏐a⏐ − ⏐b⏐ = 4 i) a2 = 64d) ⏐a − b⏐ = 4 j) a2 = −64e) ⏐a⏐ ⋅ ⏐b⏐ = 12 k) a3 = 64f) ⏐a ⋅ b⏐ = 12 l) a3 = −64

95. ●●● Si 12 + 22 + 32 + … + 252 = 5.525, diguesquin és el valor de 22 + 42 + 62 + … + 502.

96. ●●● Ordena, de més gran a més petit, aquestsnombres:

22.006 − 2 22.008 22.005 + 2.007 22.006 + 2

Expressa com una potència de base 2 la sumadels dos nombres centrals.

97. ●●● Si m i n són nombres enters positius, quinés el valor més petit de m perquè 2.940 ⋅ m = n2?

COM RESOLEM PROBLEMES MITJANÇANT

EL m.c.d. I EL m.c.m.?

88. Resol aquests problemes.

a) Volem tallar en trossos iguals tres cordesde 4, 6 i 9 m, respectivament. Quinalongitud tindran els trossos més llargsque podem fer?

b) Podem col·locar els llibres d’unaprestatgeria en piles de 4, 6 i 9 llibres i noen sobra cap. Com a mínim, quants llibreshi pot haver?

PRIMER. Analitzem el problema.a)

La longitud de cada tros ha de ser un divisorde les longituds de les cordes. I, a més, ha de ser el màxim → PROBLEMA DE m.c.d.

b) El nombre total de llibres ha de ser múltiple de4, 6 i 9. I, a més, ha de ser el mínim →

→ PROBLEMA DE m.c.m.

SEGON. Efectuem els càlculs.4 = 22 6 = 2 ⋅ 3 9 = 32

m.c.d. (4, 6, 9) = 1m.c.m. (4, 6, 9) = 22 ⋅ 32 = 36

a) Els trossos més llargs són d’1 m.b) Com a mínim hi ha 36 llibres.

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0019-0040.qxd 14/12/07 16:06 Página 39

7

98. ●●● En un pou miner hi ha hagut unesfondrament. De seguida s’han executat lesmesures d’emergència i s’ha format un equip desalvament.

Dels 32 miners que quedaven a l’interior de lamina quan es va produir l’esfondrament, tansols dos continuen atrapats.

L’estructura d’aquesta mina subterrània de carbó està formada per galeries horitzontals. A més, la distància vertical entre dues galeries és de 10 m, i l’altura és de 2 m.

Els equips de salvament són a les galeries 18 i 11.

Per arribar fins a la galeria on són els minersatrapats, cal perforar. Segons els tècnics,

tan sols es pot perforar 1 m cada 12 minuts

quan es baixa i 1 m cada 9 minuts quan es puja. Quin grup arribaràel primer? Quant temps trigarà?

L’esfondrament s’ha produït a la galeria 14. Pensem que és on han quedat els dos miners.

Article Al Super1 és…

Pot de tomàquet fregit 6 ct. més baratAmpolla d’oli 72 ct. més cara Ampolla de refresc 9 ct. més barataAmpolla de suc 23 ct. més barataPaquet de galetes 8 ct. més carEnciam 2 ct. més carQuilo de tomàquets 12 ct. més baratBarra de pa 3 ct. més caraQuilo d’arròs 16 ct. més barat

99. ●●● La lesió de turmell d’en Miquel no li impedeixanar a fer la compra setmanal. En Miquel visitaperiòdicament les pàgines d’Internet de dossupermercats, i després en compara els preus.

Ha confeccionat una taula amb la diferència depreus dels productes que necessita dels dossupermercats, Super1 i Super2.

A quin supermercat és més barat comprar?Quants diners s’estalviarà?

100. ●●● L’any passat van ingressar membres nousen una banda de cornetes i tambors.

A l’hora de desfilar, els membres de la bandasempre han marxat enfileres de quatre.

El problema és que aquest any no poden marxar en fileres de quatre, perquè l’última filera no queda completa.

Tampoc no poden fer-hoamb tres d’amplada,perquè en aquest cas hiha tres fileres més.

I si marxen amb amplada de dos, l’última filera tampoc no queda completa, tot i que hi hauria vuit fileres més que si marxessin en fileres de quatre.

Quants membres componen la banda?

830863 _ 0019-0040.qxd 14/12/07 16:06 Página 40

Fraccions

tema 2


9

FRACCIONS

1. ●● Expressa aquestes situacions mitjançantfraccions. Troba les que siguin equivalents.

a) En Lluís s’ha menjat 3 bombons d’una capsaque contenia 12 bombons.

b) La Maria ha esperat un quart d’hora.c) Tres de cada nou nens tenen una mascota.d) El llibre d’en Joan té 15 capítols, de 10 pàgines

cadascun, i ell n’ha llegit 100 pàgines.e) En Ricard dorm sis hores diàries.f) El vaixell ha efectuat dues terceres parts del

trajecte.g) He begut mitja llauna de refresc.h) He pagat dues de les cinc lletres del cotxe.i) Estalvio la meitat de la meva paga setmanal.

2. ●● Quina fracció del dia representen 22 minuts?És una fracció irreductible? Raona la tevaresposta.

3. ●● Quina fracció de la setmana representen 2 dies? I quina fracció del mes representen 9 dies? Són fraccions irreductibles? Raona la teva resposta.

4. ●● Quina fracció de l’any representen 3 mesos? I quina fracció de l’any representen 2.160 hores?Són equivalents? Raona la teva resposta.

FRACCIONS EQUIVALENTS

5. ● Digues si els parells de fraccions següents sónequivalents:

a) i c) i e) i

b) i d) i f) i

6. ● Calcula quatre fraccions equivalents a cadascuna d’aquestes:

a) b) c) d)

7. ● Comprova si són fraccions equivalents:

a) i d) i

b) i e) i

c) f) i

8. ●● Calcula el nombre que falta perquè lesfraccions siguin equivalents:

a) c)

b) d)

9. ● Calcula’n la fracció irreductible:

a) b) c)

10. ●● Completa les fraccions perquè siguinirreductibles:

a) c) e)

b) d) f)

11. ●● Contesta raonadament aquestes qüestions:

a) Hi ha cap fracció equivalent a que sigui irreductible?

b) Hi ha cap fracció equivalent a que tinguicom a denominador 12?

c) Hi ha cap fracció equivalent a que tinguicom a numerador −10?

25

25

25

10

�−6

��3

60

�5

��4

12111

18248

7530

�9

818

=45 10

= �

812

2=

�6 9

3�=

−93

−− −

−3

62

4214

, ,393

248

, i

−48

−− −

12

24

36

, ,2

1015

315

,

728

47

74

284

, ,−1210

65

2420

,

132

116

15

27

123115

7225

2410

85

6048

1512

72104

913

158

54

3648

68

COM PODEM EXPRESSAR UNA SITUACIÓ

MITJANÇANT UNA FRACCIÓ?

0. Expressa-ho mitjançant una fracció:a) Només queda una tercera part del

combustible al dipòsit de l’automòbil.b) He recorregut 400 km i falten 250 km per

arribar a la meva destinació.

PRIMER. Si la fracció està expressada a l’enunciat(la meitat, la tercera part, un quart...), cal traduir-ho al llenguatge numèric.

a) Una tercera part

SEGON. Si no hi està expressada, el numerador de la fracció serà la part (consum, despesa...), i el denominador, el total.b) He recorregut 400 km. Falten 250 km

Total del viatge: 400 + 250 = 650 km

→ 13

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=→ 400650

813

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0041-0058.qxd 14/12/07 16:11 Página 52

53

COMPARACIÓ DE FRACCIONS

12. ● Ordena aquestes fraccions de més gran a méspetita:

a) c)

b) d)

13. ● Completa la taula:

14. ● Ordena de més petita a més gran:

a) , c) ,

b) , d) ,

15. ● Ordena de més gran a més petita:

a) , b)

OPERACIONS AMB FRACCIONS

16. ● Calcula:

a) c)

b) d)

17. ● Efectua aquestes operacions:

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i) 714

52

− +325

−152

7−

14

513

+ −947

−113

2−

913

16

+ −743

+134

+

52

13

76

+ −53

16

32

18

− + −

46

14

73

+ +32

14

58

+ +

35

13

38

94

, , ,− −5

225

13

49

14

, , ,− −

72

76

, ,23

118

32

25

,16

712

92

,34

718

13

,46

43

411

1, ,5

124

127

12, ,

1,76

116

,73

43

93

, ,

18. ●● Fes les operacions següents:

a)

b)

c)

d)

20. ●● Fes aquestes operacions:

a) c) e)

b) d) f)

21. ●● Opera:

a) c)

b) d)

22. ● Efectua les multiplicacions següents:

a) c)

b) d)72

74 21

⋅ ⋅123

5102

⋅

396

⋅12

23

⋅

− + − +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟7

32

17

52

235

− − +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

423

14

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

13

249

− − −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟−

34

254

7− −( )825

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−+ −

43

6( )−

+ −3

78( )− +3

49

54

15

13

25

14

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +

−+ −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

243

12

25

13

− − +⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

73

45

65

27

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

12

36

45

73

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟− +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

COM EFECTUEM LES OPERACIONS DE SUMA

I RESTA AMB FRACCIONS NEGATIVES?

19. Calcula: .

PRIMER. Eliminem els parèntesis.

SEGON. Operem amb les fraccions resultants.m.c.m. (2, 4, 5) = 22 ⋅ 5 = 20

=− +

=90 25 16

208120

92

54

45

9020

2520

1620

− + = − + =

9

2

5

4

4

5+ −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟− −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

92

54

45

92

54

45

+ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − +

F

FES-HO AIXÍ

F

+ ⋅ − = −

− ⋅ − = +

830863 _ 0041-0058.qxd 14/12/07 16:11 Página 53

Fraccions

Ordenades de

menor a majorReduïdes

a comú

denominador

jdalmau

Typewritten Text

jdalmau

Typewritten Text

23. ● Calcula aquestes divisions:

a) c)

b) d)

25. ● ● Calcula:

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

26. ● ● Completa les expressions perquè es compleixin aquestes operacions:

a) c)

b) d)

27. ● Fes les operacions:

a) c)

b) d) 983

49

: :⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

103

56

4:⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

17

24

35

: ⋅−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

23

74

15

:⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

�6

89

2716

: =�3

49

209

⋅ =

�81

59

109

: =�3

49

43

⋅ =

− −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

94

212

:−

−

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

38

34

:−

⋅ −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

35

59

−−

14

6: ( )52

2⋅ −( )−512

:

12

24

: −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

−⋅

65

310

47

314

:−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

364

:92

46

:

127

414

:23

45

:

11

28. ● Calcula:

a) de 60 d) de 90 g) de 10

b) de 23 e) de 78 h) de 70

c) de 27 f) de 29 i) de 9

OPERACIONS COMBINADES

29. ●● Efectua les operacions:

a) c) e)

b) d) f)

30. ●● Calcula:

a) c)

b) d)

31. ●● Fes aquestes operacions, i indica els passosque has anat seguint:

a) c)

b) d)

32. ●● Efectua les operacions següents:

a) c)

b) d)

33. ●● Calcula:

a)

b)

c)

d)

e)83

213

152

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥:

132

512

23

19

− ⋅ − ⋅ +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

132

413

15

110

− ⋅ − ⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

32

15

51

1034

65

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ ⋅ −

32

15

110

534

65

− +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⋅

− ⋅ − ⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟3

415

78

5 923

534

72

⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ ⋅

73

45

253

53

25

72

13

− ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

53

25

72

13

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

38

12

25

1⋅ − −

53

25

72

13

− ⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

38

12

25

1⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

45

34

110

14

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

15

215

13

110

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

52

17

13

16

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

34

16

14

68

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

79

125

34

⋅−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

52

314

− ⋅72

345

− ⋅

45

108

32

⋅ +−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟4

32

79

− ⋅56

13

2⋅ −

82

47

73

15

13

23

25

38

34

COM EFECTUEM LES OPERACIONS

DE MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ AMB FRACCIONS

NEGATIVES?

24. Calcula:

a) b)

PRIMER. Efectuem l’operació prescindint del signe,i simplifiquem el resultat, si podem.

a)

b)

SEGON. Apliquem la regla dels signes.

a)

b) − −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

35

67

710

:

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −⋅

23

14

16

35

67

35

76

3 75 6

2130

710

: = ⋅ =⋅⋅

= =

23

14

2 13 4

212

16

⋅ =⋅⋅

= =

− −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

3

5

6

7:−

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅2

3

1

4

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0041-0058.qxd 14/12/07 16:11 Página 54

12

35. ●●● Efectua les operacions següents:

a) c)

b) d)

POTÈNCIA I ARREL QUADRADAD’UNA FRACCIÓ

36. ● Escriu en forma de potència aquests productesi calcula’n el resultat:

− ++

32

183

47

235

−+

111

215

−+

1

134

−

37. ●● Escriu en forma de potència, si és possible:

a) d)

b) e)

c) f)

38. ● Expressa en forma de producte i troba el resultat de les potències següents:

a) b) c)

39. ●● Calcula:

a) c) e)

b) d) f)

40. ●● Determina el valor de a en aquestes igualtats:

a) c)

b) d)

41. ●●● Indica si són certes les igualtats següents:

a) d)

b) e)

c) f)

PROBLEMES AMB FRACCIONS

42. ●● El Cesc ha regat de la gespa, i la Raquel,

els restants. Qui dels dos ha regat

una zona més gran de gespa?

43. ●● Un llibre es fa amb la col·laboració de

18 persones, de les quals correspon a autors,

a secretàries, a maquetistes, a dibuixants

i la resta a personal d’impremta. Calculael nombre de col·laboradors de cada classe.

2

6

1

6

1

9

1

3

4

12

4

5

( )−=

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

27

27

4

4

4

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−72

3438

3

( )−= −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

27

27

4

4

4−−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

33

814

( )−= −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

27

27

5

5

5

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

53

253

2

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

34

a9

16−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

54

12564

a

34

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

a9

1654

12564

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

a

6416

121441

2536

49144

8149

1625

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

12

723

4⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

103

2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅

27

27

27

47

37

27

⋅ ⋅

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

27

27

27

49

48

47

46

⋅ ⋅ ⋅

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

27

27

27 ⎟⎟

811

811

811

811

811

⋅ ⋅ ⋅ ⋅COM OPEREM AMB UNA FRACCIÓ QUE TÉ UNA

ALTRA FRACCIÓ AL DENOMINADOR?

34. Calcula:

a) b)

PRIMER. Resolem l’operació que hi ha al denominador.

a)

b)

SEGON. Dividim el numerador entre la fracció queen resulta.

a)

b) 23

374

2354

2 354

2125

105

−−

= − = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= − = −

:

1125

25

= −

3

125

375

375

157+

= = =:

374

124

74

54

− = − =

125

55

25

75

+ = + =

23

37

4

−−

3

125

+

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0041-0058.qxd 14/12/07 16:11 Página 55

13

44. ●● En una escola hi ha 1.095 alumnes que fan

activitats extraescolars: fan judo, estudien

italià i la resta fan ballet. Quants alumnes fancada activitat?

45. ●● Un camió transporta15 tones de fruita;

són taronges,

són pomes

i la resta són peres. Quantes tones de cada fruita transporta el camió?

47. ●● Dels 30 alumnes d’una classe, són noies.Quants nois hi ha?

48. ●● D’una taronja s’aprofiten les parts

per fer suc i la resta és pell.

Si fem servir 27 kg de taronges, quina quantitat de suc obtindrem? I de pell?

4

9

3

5

2

3

1

5

2

5

1

3

49. ●● D’una classe de 24 alumnes, els han passat

la grip. Quina fracció d’alumnes no han estatmalalts? Quants alumnes són?

51. ●● Si tres quarts de quilo de pernil costen 15 €,quant val un quilo i mig?

52. ●● Segons una enquesta, les famílies catalanes

dediquen de la seva renda a l’adquisició d’un

habitatge, o sigui, destinen una mitjana d’11.000 €

anuals a aquest concepte. Quina és la rendamitjana mensual d’una família catalana?

1

3

3

8

COM CALCULEM EL TOTAL SI CONEIXEM UNA DE LES PARTS?

50. He recorregut 900 metres, que suposen els de l’itinerari. Quina és la longitud total?

PRIMER. Calculem quants metres representa una part.

Si són 900 m → són 900 : 3 = 300 m

SEGON. Determinem el total de l’itinerari.Si una de les 7 parts és 300 m, les 7 parts són:

300 ⋅ 7 = 2.100 m

17

37

3

7

FES-HO AIXÍ

COM ES CALCULA UNA PART D’UN TOTAL?

46. En un festa es van posar 16 bombetes de colors.Quan es va acabar només en funcionaven un quart. Quantes bombetes es van fondre?

PRIMER. Calculem la fracció de bombetes foses.

Els de les bombetes van acabar foses.

SEGON. Determinem el nombre que representa la fracció.

de 16 12 bombetes

Es van fondre 12 bombetes.

=⋅

= =3 16

4484

34

34

114

11

14

44

14

34

− = − = − =

FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM UNA FRACCIÓ D’UNA ALTRA FRACCIÓ?

53. Els tres cinquens dels animals d’un parc naturalsón mamífers, i d’aquests mamífers, els cincsisens són carnívors. Quina fracció del totald’animals representen els mamífers carnívors?

PRIMER. Representem gràficament la situació.

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0041-0058.qxd 14/12/07 16:11 Página 56

jdalmau

Typewritten Text

jdalmau

Typewritten Text

jdalmau

Typewritten Text

jdalmau

Typewritten Text

jdalmau

Typewritten Text

jdalmau

Typewritten Text

14

54. ●● Un forner aparta cada setmana, per

al consum de la seva família, de les barres

de pa que fabrica. Si ven 3.415 barres i regala

el que li sobra, del total de barres, quantes

barres de pa elabora?

55. ●●● En Lluís, en Pere i l’Antoni van reunir lesquantitats de diners que les seves famílies els van

regalar per Nadal. En Lluís va rebre de 100 €,

en Pere va rebre de 100 €, i l’Antoni va rebre

de 100 €. Quants diners van aconseguir tots tres junts?

INVESTIGA

56. ●●● Escriu una fracció que sigui més gran que

i més petita que . Podries escriure dues

fraccions? I tres? Raona quantes fraccions potsescriure entre elles.

57. ●●● Els egipcis, per expressar les fraccions denúmero, se servien del jeroglífic de la boca. Així,les tres primeres fraccions:

corresponen a les següents: . 1

9

1

23

1

200, ,

3

5

2

5

3

8

7

8

6

8

1

70

1

100

Quan el denominador no cabia tot sencer sota el signe de la «boca», escrivien l’excedent al costat.

Així, l’última fracció correspon a .

Per a les fraccions més grans que la unitat,primer es converteix en nombre mixt i així quedauna fracció més petita que la unitat.

No hi ha una única manera de convertir una fracció en fraccions egípcies. Un dels mètodes és el següent:

Conversió de la fracció (p < q) en fraccions egípcies.

1. Es fa la divisió entera entre q i p: q = d ⋅ p + r

a) Si r = 0 → el numerador ja era la unitat o el denominador és múltiple del numeradori, per tant, ja és una fracció unitària. El denominador de la fracció egípcia és el quocient d i s’acaba el procés.

b) Si r > 0 → el denominador de la fraccióegípcia és el quocient d + 1

2. Es calcula la resta entre la primera fracció il’obtinguda d’aquesta manera:

i es torna a repetir el procés 1 fins que s’acabael procés (1.a).

PER EXEMPLE

Converteix la fracció en fraccions egípcies.

1. Fem la divisió: 60 = 47 ⋅ 1 + 13 → d = 1 →

→ 1r denominador: 2 → + r'

2. Fem la resta: r' =

3. (1') Tornem a dividir: 60 = 17 ⋅ 3 + 6 → d = 3 →

→ 2n denominador 4 → + r"

4. (2') Fem la resta: r" =

5. (1") Tornem a dividir: 60 = 2 ⋅ 30 + 0 (r = 0)

i, per tant,

Descompon les fraccions següents: i .325

743

4760

12

140

130

= + +

1760

14

260

− =

1760

14

=

4760

12

1760

− =

4760

12

=

4760

pq

pq d

'

'= −

+1

1

p

q

1

267

La figura queda dividida en 30 parts, de les qualsn’agafem 15.

SEGON. Calculem la fracció del total.

Els mamífers carnívors representen la meitat delsanimals del parc natural.

35

56

1530

12

⋅ = =

830863 _ 0041-0058.qxd 2/1/08 17:55 Página 57

15

58. ●●● En Sergi treballa en un supermercat i és quis’encarrega de preparar les comandes que eslliuren a domicili.

Totes les comandes figuren en un panell, i en Sergi és l’encarregat de fer un paquet ambels productes de cada comanda.

Després de fer els paquets, un per a cadacomanda, els posa en contenidors, de maneraque el pes dels paquets que introdueix a cadacontenidor no superi els 12 kg.

Per fer l’entrega a domicili disposen d’una moto,que només pot transportar un contenidor, i d’uncotxe, que per limitacions d’espai, pot portar finsa 4 contenidors.

Com ho hauria de fer en Sergi?

59. ●●● Els ordinadors ens permeten escriure textos fent servir el tipus i la mida de lletra que ens interessi en cada moment. La mida de les lletres es mesura en punts.

Un punt equival ade mil·límetre.

Segons les regles d’edició, l’interlineat (distància entre dues línies de text) ha de ser 2 punts més gran que la mida de les lletres, tret que correspongui a un punt i a part; en aquest cas ha de ser mig cícero més gran (un cícero equival a 12 punts).

Si tenim un text de 6 paràgrafs (té cinc punts i a part) i 56 línies, quin seria el cos de lletra més gran que hi podríem aplicar per utilitzarnomés una plana?

60. ●●● Aquestes són les vidrieres que s’handissenyat per al nou Palau de Congressos.

Tenen forma de triangle equilàter, que, alhora, es divideix en altres triangles equilàters.

Si la superfície de cada vidriera és d’1 m2, calcula la superfície de vidre blau, vermell verd, groc, marró i taronja que hem de menester per a les 22 vidrieres.

3

8

Organitza els contenidors de tal manera que estrigui com menys millor en el repartiment. Recorda

que la moto, per qüestió d’aparcament, triga lameitat de temps que el cotxe en el repartiment...

COMANDA 15 pots de tomàquet de 1/2 kg.2 kg de filets de vedella.1 kg i mig de costelles de be.Tres quarts de carn picada.Un quart de pernil serrà.

COMANDA 31 kg de filets de pollastre.1 kg i 1/2 de lluç.Tres quarts de bolets.1 kg i quart de carn

adobada.

COMANDA 51 kg de filets de vedella.1 kg i mig de salsitxes.375 g de gambes.Tres quarts de carn per cuinar.

COMANDA 2Mig quilo de formatge.Tres quarts de sardines.1 kg i quart de cloïsses.3 kg i 1/2 de llom de porc.375 g de fetget.Tres quarts de cansalada.2 capses de galetes

de 1/2 kg.

COMANDA 61 kg i 3/4 de llom

de porc.3 kg i mig de peres.1/2 kg de cireres.

COMANDA 42 kg i quart de tripes.5 kg de patates.1 kg i 1/2 de taronges. Un full A4 fa 297 mil·límetres,

i s’acostuma a deixar un marge superior de 3 centímetres i de 2,5 cm a la part inferior.

830863 _ 0041-0058.qxd 14/12/07 16:11 Página 58

Nombres decimals

tema 3


17

NOMBRES DECIMALS

1. ● Expressa numèricament les quantitatssegüents:

a) Quatre centèsims.b) Sis dècims.c) Tretze mil·lèsims.d) Cent vuit unitats quatre mil·lèsims.e) Mil una unitats set deumil·lèsims.f) Catorze unitats dos centèsims.

2. ● Escriu com es llegeixen aquests nombres:

a) 3,24 e) 102,04b) 49,3 f) 1.800,556c) 0,001 g) 2,00005d) 1,03 h) 25,5759

3. ● Completa aquesta taula de descomposició de nombres en els seus components:

4. ● Completa:

a) Dues unitats són � mil·lèsims.b) Un dècim són � centèsims.c) Tres unitats i dos dècims són � mil·lèsimsd) Vint mil·lèsims són � centèsims.

5. ●● Indica si les expressions següents sónverdaderes o falses:

a) 1,05 unitats equivalen a cent cinc centèsims.

b) Quatre unitats i tres dècims són quatre unitats i trenta centèsims.

c) Entre 2,452 i 2,453 no hi ha cap nombre.

d) 3,005 és més gran que 3,05.

e) Tres unitats amb dos dècims equivalen atrenta-dos mil mil·lèsims

Nombre C D U d c m

12,59 1 2 5 9

385,075

0 0 1 0 0 0

0,0023

0 0 0 1 0 0

105,426

2,359

CLASSES DE NOMBRES DECIMALS

6. ● Assenyala el període i l’anteperíode d’aquestsnombres periòdics:

7. ● Sense fer la divisió, indica quines fraccionscorresponen a decimals exactes i quines no:

a) c) e) g)

b) d) f) h)

8. ● Digues a quina classe de nombres decimalscorrespon l’expressió decimal d’aquestesfraccions:

a) c) e) g)

b) d) f) h)

9. ● Indica quins nombres són enters i quins no:

a) 15,02 d) 50,003� g) 0,5b) 25,00 e) 0,005 h) 42,02�

c) f) i)

10. ● Efectua la divisió i identifica el resultat com a nombres periòdics purs o periòdics mixtos, i indica’n la part entera i el període:

a) c) e)

b) d) f)

11. ●● Escriu tres fraccions que donin lloc a:

a) Nombres enters.b) Nombres decimals exactes.c) Nombres decimals periòdics.

10036

29900

811

1198

26180

29

1004

155

952

11739

39180

3940

7839

3960

39125

398

3970

2318

1740

225

79

1213

821

116

38

830863 _ 0059-0076.qxd 17/12/07 16:07 Página 70

18

12. ●● Indica quins dels nombres decimals següentssón no exactes i no periòdics:

a) 2,3333… e) 2,355355355…b) 2,353355333555… f) 2,535535535…c) 2,35555… g) 2,353553555…d) 2,333 h) 2,353553555

13. ●● Escriu els nombres decimals amb aquestescaracterístiques i digues a quina classecorresponen:

a) Part entera 26 i període 5.b) Part entera 8 i període 96.c) Part entera 5 i part decimal 209.d) Part entera 0, part decimal no periòdica 4 i

període 387.e) Part entera 1, part decimal no periòdica 0 i

període 3.

15. ●● Escriu en forma de fracció aquests nombresdecimals exactes. Si és possible, simplifica el resultat.

a) 25,78 f) 39,75b) 0,257 g) 3,697c) 27,73 h) 375,8d) 1.520,3 i) 97,95e) 25,793 j) 150,2

16. ●●● En cadascun d’aquests nombres decimals,quina xifra ocupa el lloc 13 de la part decimal?

a) 4,2345� c) 5,25b) 3,653� d) 93,2456�

COMPARACIÓ DE NOMBRESDECIMALS

17. ● Ordena els següents nombres decimalsexactes de més petit a més gran:

a) 0,75; 0,57; 0,507; 0,705b) 0,102; 0,05; 0,105; 0,501; 0,251

18. ● Completa amb un nombre decimal exacte:

a) 14,065 > � > 13,95 c) 14,065 > � > 14,061b) 14,065 > � > 14,06 d) 14,065 > � > 14,0651

19. ● Escriu tres decimals entre cada parell:

a) 2,3 i 3,6 c) 2,31 i 2,32b) 2,3 i 2,4 d) 2,31 i 2,311

20. ●● Ordena de més petit a més gran aquestsnombres:

0,25�; 0,025�; 0,25�; 0,205; 0,205�

22. ●● Completa amb un nombre decimal periòdic pur:

a) 4,375� < � < 4,376� c) 5,6� < � < 5,7�

b) 1,25� < � < 1,26� d) 0,06� < � < 0,07�

23. ●● Completa amb un nombre decimal periòdic mixt:

a) 2,375� < � < 2,376� c) 6,3283� < � < 6,3283�

b) 0,12� < � < 1,13� d) 0,061� < � < 0,062�

24. ●●● Hi ha un nombre decimal exacte, un altre deperiòdic pur i un altre de mixt entre7,4595� i 7,4596�?

COM EXPRESSEM UN NOMBRE DECIMAL EXACTE

EN FORMA DE FRACCIÓ?

14. Expressa en forma de fracció.a) 3,87 b) 0,0556

PRIMER. Determinem el nombre de decimals.a) 3,87 → 2 decimals b) 0,0556 → 4 decimals

SEGON. Expressem el nombre com una fracció en què: • El numerador és el nombre sense la coma decimal.• El denominador és la unitat seguida de tants

zeros com xifres decimals tingui.

a) b) 0 0556556

10 000139

2 500,

. .= =3 87

387100

, =

FES-HO AIXÍ

COM DETERMINEN UN NOMBRE DECIMAL PERIÒDIC

COMPRÈS ENTRE UNS ALTRES DOS?

21. Determina un nombre decimal periòdiccomprès entre:

a) 5,7� i 5,8� b) 3,45� i 3,46�

PRIMER. Escrivim els nombres amb la mateixaquantitat de decimals.

a) 5,7� ⎯→ 5,777 b) 3,45� → 3,4555,8� ⎯→ 5,888 3,46� → 3,466

SEGON. Afegim al nombre més petit més xifresdecimals que siguin més grans que l’últim decimal.Aquestes xifres i el període formen el període nou.

a) 5,7� < 5,780� < 5,781� < 5,782� < 5,783� < … < 5,8�

b) 3,45� < 3,456� < 3,457� < 3,458� < … < 3,46�

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0059-0076.qxd 17/12/07 16:07 Página 71

OPERACIONS AMB NOMBRESDECIMALS



a) 4,5 + 6,7b) 7,05 + 8,19c) 9,06 + 1,7d) 152,3 + 4,938e) 27,92 − 8,03f) 359,157 − 148,049g) 0,03 − 0,003h) 10,45 − 7,6923



a) 3,75 ⋅ 3 f) 7,25 ⋅ (−3,9)b) −15,02 ⋅ 5 g) 82,9 ⋅ (−2,7)c) (−3) ⋅ 0,02 h) −18,9 ⋅ 6,5d) 7 ⋅ (−6,46) i) −110,14 ⋅ 1,03e) 4,2 ⋅ 3,6 j) −5,39 ⋅ (−31,5)

19

29. ● Fes aquestes operacions:

a) (4,2 + 7,98) − 5,32 b) (11,95 − 6,792) − 0,04 c) (263,45 − 193,3) + 10,7629 d) 7,005 − (96,82 + 13,99)

30. ● Calcula:

a) (21,5 + 7,96) − (14,3 + 2,857)b) (52,89 − 26,14) − (3,25 − 1,0002)c) (62,36 + 39,485) + (15,942 − 6,7)d) (100,9 − 9,99) − (70,7 + 5,006)

31. ● Calcula:

a) 49,5 : 8 d) 57,3 : 7,2b) 148,725 : 3 e) 158 : 6,3c) 4.536,65 : 4 f) 9.437,02 : 3,125

33. ●● Donats els nombres decimals:a = 35,49 b = 67,50 c = 15,75

calcula.

a) b − a e) 2 ⋅ b + 3 ⋅ c i) b − 2cb) a + c f) 4 ⋅ a − 2 ⋅ c j) b : 2c) a − c g) a + b k) c : 3d) b − c h) b + c l) a : 7

34. ●● Fes les operacions:

a) 2,4 ⋅ (3,02 + 0,456) − (9,231 + 0,4)b) 12,84 : 3,21 − (16,001 + 0,225) ⋅ 1,2c) 102,48 : 4,27 ⋅ 1,2 − 445,98

35. ●● Calcula respectant la jerarquia de lesoperacions:

a) 33,7 ⋅ 4,5 + 7,2 ⋅ 0,05b) (33,7 ⋅ 4,5 + 7,2) ⋅ 0,05c) 33,7 ⋅ (4,5 + 7,2 ⋅ 0,05)

COM RESOLEM OPERACIONS COMBINADES

AMB NOMBRES DECIMALS?

32. Calcula: 4,56 : 2 + 3 ⋅ (7,92 − 5,65).

PRIMER. Efectuem les operacions entre parèntesis.4,56 : 2 + 3 ⋅ (7,92 − 5,65) = 4,56 : 2 + 3 ⋅ 2,27

SEGON. Resolem les multiplicacions i les divisionsd’esquerra a dreta i, al final, les sumes i les restesen el mateix ordre.

4,56 : 2 + 3 ⋅ 2,27 = 2,28 + 6,81 = 9,09

FES-HO AIXÍ

+ 1,7 0,5 4,25 3,15 0,7 0,65

2,4

3,5

4,9

0,75

5,25

3,84

8,23

7,44

6,5

× 0,2 10 3 2,5 0,3 1,4 100 0,1

10

100

0,2

2,2

3,6

4,25

0,3

0,25

0,75

1,1

830863 _ 0059-0076.qxd 17/12/07 16:07 Página 72

20

37. ● Efectua aquestes multiplicacions i divisions:

a) 0,02 ⋅ 10 d) 0,02 : 10b) 1,05 ⋅ 100 e) 1,05 : 100 c) 0,145 ⋅ 100 f) 0,145 : 100

38. ●● Resol aquestes operacions respectant lajerarquia de les operacions:

a) 54,2 − 7,2 ⋅ 10b) (513,02 − 79,7) ⋅ 1.000c) (148,35 − 9,6 ⋅ 100) − 10,467

39. ●● Resol aquestes operacions respectant lajerarquia de les operacions:

a) 17,94 ⋅ 100 − 8,05 : 0,6b) 9,8 ⋅ 10 + 41,96 : 1.000c) 100,15 : 100 − 3,995 ⋅ 0,05d) (8,72 − 7,85) ⋅ 0,1 − 0,2e) 18,9654 : (1,35 + 1,05)f) 9,025 − 2,46 : (1,3 + 0,01)

40. ●● Completa les sèries:

a) 15 � … 20

b) 50 � … 35

c) 1,5 � … 29,17215

d) 76,527504 � … 4,05: 1,8⎯⎯→: 1,8⎯⎯→: 1,8⎯⎯→

⋅ 2,1⎯⎯→⋅ 2,1⎯⎯→⋅ 2,1⎯⎯→

− 0,75⎯⎯→− 0,75⎯⎯→− 0,75⎯⎯⎯→

+ 0,25⎯⎯→+ 0,25⎯⎯→+ 0,25⎯⎯⎯→

ARREL QUADRADA

41. ● Calcula mitjançant tempteig el valor aproximat,amb dos decimals, d’aquestes arrels quadrades:

a) c) e)

b) d) f)

42. ● Resol les arrels quadrades següents:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

43. ● Sense fer càlculs escrits, senyala quinesafirmacions són falses:

a) i residu 7

b) i residu 10

c) i residu 4

d) i residu 11

e) i residu 5

f) i residu 1

g) i residu 15

h) i residu 2

44. ●● Calcula l’arrel quadrada i comprova’n el resultat:

a) 835 c) 1.482b) 5.793 d) 4.877

45. ●● Troba l’arrel quadrada, amb un decimal, i fes-ne la comprovació:

a) 657 c) 1.778b) 8.271 d) 3.489

46. ●● Calcula l’arrel quadrada dels nombressegüents:

204 14=

96 9=

80 9=

85 9=

60 7=

45 7=

30 5=

23 4=

351 649.196

92 416.441

71 289.625

24 964.121

1317248

1118937

COM MULTIPLIQUEM I DIVIDIM UN NOMBRE

DECIMAL PER LA UNITAT SEGUIDA DE ZEROS?

36. Calcula:

a) 84,26 ⋅ 10 c) 84,26 : 10b) 5,2 ⋅ 1.000 d) 5,2 : 1.000

PRIMER. Per multiplicar movem la coma cap a ladreta tants llocs com zeros acompanyen la unitat.En cas que no hi hagi prou xifres, completem elresultat amb zeros.

a) 84,26 ⋅ 10 = 842,6b) 5,2 ⋅ 1.000 = 5.200

SEGON. Per dividir movem la coma cap a l’esquerratants llocs com zeros acompanyen la unitat. En casque no hi hagi prou xifres, completem el resultatamb zeros.

c) 84,26 : 10 = 8,426d) 5,2 : 1.000 = 0,0052

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0059-0076.qxd 26/12/07 15:17 Página 73

21

47. ●● Troba l’arrel quadrada, amb dos decimals,d’aquests nombres enters:

a) c) e)

b) d) f)

49. ●● Calcula aquestes arrels:

a) c) e)

b) d) f)

APROXIMACIÓ I ESTIMACIÓ

50. ● Trunca i arrodoneix 72,289 als dècims.

51. ● Trunca i arrodoneix 0,397 als centèsims.

52. ● Trunca i arrodoneix 125,3925 als mil·lèsims.

53. ● Completa la taula amb les aproximacions delsvalors següents:

1,25667; 2,5�; 22,45�; 0,547� i

54. ● Calcula el quocient 40 : 17 i arrodoneix elresultat als centèsims.

55. ●● Quin error hem comès en aproximar 2,506 + 13,007 per 15,5? I per 15,52?

56. ●● Quin error hem comès en aproximar 0,8235 · 1,5 per 1,2353? I per 1,235?

5

0,01210,360,49

0,250,810,64

3 401.870243

1 082.54989

PROBLEMES AMB NOMBRESDECIMALS

57. ●● He comprat a la fruiteria 2,4 kg de taronges,1,56 kg de pomes, 0,758 kg de raïm, 545 g demaduixes i 255 g de cireres.

a) Quant pesa la compra?b) Quant m’hi he gastat?

58. ●● L’alumne més alt de la classe fa 172 cm, i el més baix 148 cm. Calcula la diferència entretots dos i expressa-la en metres .

59. ●● Un pare vol repartir 15,70 € entre els seus quatre fills a parts iguals. Quants diners rebrà cada un?

60. ●● He de pagar 192,75 € en tres terminis:

• En el primer termini pago la meitat.• En el segon termini, la tercera part.• I en el tercer, la resta.

Calcula quant pagaré en cada termini.

61. ●● Si una polzada equival a 2,54 cm:

a) Quina longitud té un televisor de 27 polzades?I un de 24 polzades?

b) Quantes polzades són 45,725 cm?

62. ●● Una unça equival a 33,33 g.

a) Quantes unces té 1 kg? I 560 g?b) Quants grams són 5,7 unces?

Als dècims

Alscentèsims

Als mil·lèsims

Truncament

Arrodoniment

COM PODEM CALCULAR L’ARREL QUADRADA

D’ALGUNS NOMBRES DECIMALS?

48. Calcula .

PRIMER. Escrivim el nombre racional en forma defracció.

SEGON. Trobem l’arrel quadrada de la fracció queen resulta.

9100

9

100

310

0 3= = = ,

0 099

100, =

0 09,

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0059-0076.qxd 26/12/07 15:17 Página 74

22

63. ●● Un barril americà conté 158,98 ¬.

a) Quants barrils podem omplir amb 317.960 ¬de petroli? I amb 1.000.000 ¬?

b) Quants litres són 250 barrils?

64. ●● Una tira de paper fa 29 cm de llarg. Quantestires necessitarem per obtenir una tira de 2,4 mde llarg?

65. ●● Si sabem que una milla terrestre són 1,6093 km,quants metres i quilòmetres són 2,35 milles? I 0,6 milles?

66. ●● Un nus és una milla marina/h i una milla marinasón 1,852 km. La velocitat d’un vaixell és de 60 nusos.Quants quilòmetres recorre en tres hores?

67. ●● Una glacera retrocedeix 2,8 cm l’any peldesglaç. Quant trigarà a retrocedir 5 m?

68. ●● Calcula el pes total, en grams, de 241 llibressi cadascun pesa 2 hg i 653 mg.

69. ●●● El perímetre d’un rectangle és de 5,85 m.Si un costat és el doble que l’altre, quant fa cadacostat?

70. ●●● Hem gastat 0,75 m de paper per embolicarpaquets petits i 1,8 m per als paquets grans.Tenim 25 m de paper. Quants paquets de cadamena podem embolicar?

71. ●●● En un jardí hi ha un pou i un arbre a 27,5 mde distància. Entremig hi hem col·locat 10 testos a intervals iguals.

a) A quina distància de cada test està el pou?b) Quina distància recorrem per regar-los, si cada

dos testos cal tornar al pou?

INVESTIGA

172. ●●● Troba un nombre decimal comprès entreels següents:

a) 1,9 i 2 d) 2,9999 i 3b) 2,99 i 3 e) 2,999999 i 3c) 2,999 i 3 f) 2,9999999999 i 3

Pots trobar un nombre comprès entre2,9� = 2,9999… i 3? A quina conclusió arribes?

73. ●●● Investiga per què són vàlids aquestsmètodes per resoldre algunes operacions:

a) Multiplicar per 0,25 és igual que dividir entre 4.

b) Multiplicar per 0,75 és el mateix quemultiplicar per 3 i després dividir entre 4.

c) Multiplicar un nombre per 1,5 és igual quesumar al nombre la seva meitat.

d) Dividir un nombre entre 0,5 equival a calcularel doble del nombre.

e) Dividir un nombre entre 0,75 és el mateix que multiplicar-lo per 4 i dividir-lo entre 3.

74. ●●● Fent servir la calculadora, explica compots efectuar aquests càlculs sense utilitzarla tecla de la coma decimal.

a) 1,23 ⋅ 34,567 c) 12 : 345,67b) 98,765 : 432 d) 9,87 : 65,432

75. ●●● Indica quin dels dos personatges té raói explica per què.

76. ●●● Investiga per què l’arrel quadrada de:200.720.072.007.200.720.072

no és un nombre enter.Quina ha de ser l’última xifra d’un nombreperquè no tingui arrel quadrada exacta?

L’arrel quadrada d’un nombre positiu sempre és més petita

que el nombre. Això no sempreés cert…

830863 _ 0059-0076.qxd 17/12/07 16:07 Página 75

Sistema sexagesimal

tema 4


24

1. ●● Completa l’angle que falta:

a) + 25° = 50° 20' 47"

b) + 27° 32" = 80° 5' 38"

c) + 1° 40" = 5° 3' 20"

d) 15° 10' 30" + = 20° 5' 40"

e) + 25' 35" = 1° 30' 16"

f) + 17° = 20° 12"

g) + 6° 42' = 10° 58' 35"

h) + 9° 18' = 17° 43"

2. ●● Calcula l’angle que falta:

a) − 2° 36' 45" = 13° 15' 10"

b) − 15' 35" = 6° 25' 46"

c) − 1° 50" = 3° 48'

d) − 47' 58" = 2° 35' 40"

e) − 6° 18' 40" = 15° 27' 38"

f) − 10° 45' = 37° 53' 44"

g) − 17° 25' 46" = 38' 43"

h) − 65" = 1° 48' 35"

4. ●● Efectua les operacions següents:

a) (10° 20" + 15° 30') − 13° 14' 35"

b) (50° 35' − 37° 45') + 6° 18"

c) (5' 38" + 4° 36') + (5° 10' − 3° 2")d) (25° 35' + 2° 10') − (3° + 17° 43')

5. ●● Calcula.

a) (124° 34' 12" − 78° 47' 24") + 43°b) 25° 30' 6" + (7° 6" − 1° 25')c) (4° 3' 5" + 7° 6' 3") − 3° 10' 15"

d) (10° 8' 2" − 4° 2') + (6° 4' 23" − 2° 5")

6. ● Efectua els productes següents:

a) (4° 35' 46") ⋅ 2 e) (6° 78") ⋅ 3b) (1° 10' 15") ⋅ 7 f) (36' 40") ⋅ 5c) (12° 25' 37") ⋅ 6 g) (2° 17' 3") ⋅ 9d) (35° 4' 20") ⋅ 4 h) (27° 15' 26") ⋅ 8

8. ●● Calcula:

a) (3° 4' 6" + 5° 7' 10") ⋅ 2b) (10° 6' 10" − 4° 3' 7") ⋅ 3c) (5° 30' + 15' 65") ⋅ 6d) (6° + 15° 10' − 3° 7') ⋅ 7e) (15° 35' 45" − 40' 58") ⋅ 4f) (22° 5' 16" + 73° 16' 45") ⋅ 3g) Quàdruple de A$ = 3° 36' 27"

h) Doble de (1° 35' 5" + 38' 55")i) (7° + 1° 30" − 5° 56' 10") ⋅ 7

9. ● Fes les divisions:

a) (40° 18' 36") : 2 f) (236° 17') : 5b) (39° 57' 15") : 3 g) 288° : 7c) (120° 35' 80") : 5 h) 152' : 3d) (126° 48' 15") : 3 i) (85' 4") : 4e) (111° 54' 45") : 3 j) (86° 5") : 6

10. ●● Un angle que fa 179°36'15" el dividim en tresparts iguals. Quant mesura cada part?

11. ●● Donada la mesura dels angles:

A$ = 15° 25' 6" B$ = 36° 10' 20"

troba la mesura de C$, si: C$ = 2 ⋅ (A$ + B$).

COM RESOLEM OPERACIONS DE SUMA I RESTA

AMB PARÈNTESIS?

3. Efectua aquesta operació:(39° + 45° 30') − (6° 38' − 2° 20')

PRIMER. Resolem els parèntesis.

SEGON. Efectuem les sumes i les restes, d’esquerra a dreta.

6° 38'− 2° 20'

4° 18'

39°+ 45° 30'

84° 30'

84° 30'− 4° 18'

80° 12'

FES-HO AIXÍ

COM RESOLEM LES OPERACIONS COMBINADES

EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL?

7. Calcula: (75° 26' 16" − 58° 15' 10") ⋅ 3.


SEGON. Fem les multiplicacions i les divisions, d’esquerra a dreta.

FES-HO AIXÍ

75° 26' 16"− 58° 15' 10"

17° 11' 6"

17° 11' 6"× 3

51° 33' 18"

830863 _ 0077-0092.qxd 14/12/07 16:02 Página 89

13. ●● Calcula:

a) (3° 25' 15") c) (36° 29' 18")

b) (44° 16' 40") d) (27° 64' 30")

14. ●● Fes les operacions següents:

a) (7° 52' 13" + 29° 57")

b) (37" + 5° 36' − 2° 15' 10")

c) (46° 27" − 2° 25')

d) (125° 43' 58" − 1° 7' 4")

15. ●● Donada la mesura dels angles.

A$ = 36° 45' 58" B$ = 57° 27' 37" C$ = 29° 56' 45"

calcula:

a) (A$ − C$) ⋅ 2 d) C$ − (7° 15' 6") + A$ ⋅ 2b) (A$ + B$ + C$) : 4 e) C$ ⋅ 3 − (B$ − A$)c) (C$ + A$) − (B$ − A$) f) 2 ⋅ A$ − B$

16

15

43

45

76

23

14

23

25

PROBLEMES DE TEMPS I ANGLES

16. ●● En Sergi fa una feina en 1 hora, 35 minuts i 50 segons. Si pensava trigar 2 hores, quant de temps li ha sobrat?

17. ●● El tren de les 10.05 h ha sortit amb 16 minutsde retard. A quina hora ha sortit?

18. ●● Un ventall obert forma un angle de 180°. He obert un altre ventall, al qual falten algunesbarnilles, i he comprovat que tan sols té unaobertura de 105° 38' 45". Quin angle formaven les barnilles que s’han trencat?

19. ●● Un autocar surt de l’estació a les 9 h 26 min i arriba a l’estació de destí a les 13 h 14 min.Quant dura el trajecte?

21. ●● La Cèlia va treballar dilluns 8 h 40 min 25 s, i dedimarts a dijous, mitja hora menys cada dia. Quanttemps va treballar en total aquesta setmana?

COM CALCULEM LA FRACCIÓ D’UNA MESURA

EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL?

12. Calcula: (1° 45" + 3' 27").


1° 4' 12"

SEGON. Multipliquem el resultat pel numerador.

5° 21'

TERCER. Dividim entre el denominador.

60" = 1'⎯⎯⎯⎯→

1° 4' 12"× 5

5° 20' 60"

72" = 1' + 12"⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

1° 45"+ 3' 27"

1° 3' 72"

5

2

FES-HO AIXÍ

COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE RETARDS

HORARIS??

20. Un rellotge s’endarrereix 1 min 20 s cada dia.Quant temps s’endarrereix en una setmana?

PRIMER. Determinem les operacions.(1 min 20 s) � 7

SEGON. Efectuem les operacions.(1 min 20 s) � 7 � 7 min 140 s � 9 min 20 s

El rellotge s’endarrereix 9 min 20 s en una setmana.

FES-HO AIXÍ

5° 21' 21° 60' 2° 40' 30"

81'

1' 60"

60"0

1' = 60"⎯⎯⎯→

1° = 60'⎯⎯⎯→

830863 _ 0077-0092.qxd 18/2/08 17:08 Página 90

26

22. ●● Des de casa meva fins a la feina hi ha dues estacions; per arribar a la primera acostumo a trigar 32 min 54 s, i a la segona 44 min 27 s. Avui el tren s’ha endarrerit, i per arribar a la primera estació he trigat 19 min 40 s més de l’habitual, i a la segona s’ha endarrerit 26 min 32 s.

a) Quant temps he trigat a arribar?

b) Si a la tornada no he tingut endarreriments,quant temps he esmerçat en els dos trajectes?

23. ●● Una màquina treballa de maneraininterrompuda durant 4 h 50 min 30 s, i despréss’atura 1 h 50 min. Quant temps trigarà lamàquina per fer tres torns de treball i descans?

24. ●● Un pintor ha trigat a pintar una sala 3 hores i quart al matí i 2 hores i mitja a la tarda.

a) Quant temps ha trigat en total?

b) Quant temps ha treballat més al matí?

c) Si cobra l’hora a 19,20 €, quant ha guanyat?

25. ●● En Damià cobra el dissabte 8 € per cada horade feina, i el diumenge, 9,50 €. Aquest mes ha treballat tres dissabtes i quatre diumenges.Els dissabtes va treballar 5 hores i mitja,i els diumenges, 3 hores i tres quarts.Quant cobrarà al final del mes?

26. ●● En Marc, en Robert i en Ricard s’estanmenjant un pastís:

– En Marc n’ha menjat un tros equivalent a 35° 10'.

– En Robert n’ha menjat un tros de 40° 30'.– En Ricard n’ha menjat un tros de 50° 40'.

a) Quant fa el tros de pastís que s’han menjatentre tots tres?

b) Quant fa el tros que queda?

27. ●●● Els raigs del sol entren al matí en una habitació i es reflecteixen a la paret amb una inclinació determinada. A les 7 del matí d’un dia d’estiu, aquest angle era de 22° 14'. Cada hora que passa, l’angle d’inclinacióaugmenta de 2° 10' 20".

a) Quin angle tindrà a les 8 del matí?b) I a les 9 del matí?c) Quin serà l’angle a la 1 del migdia?

INVESTIGA

28. ●●● El temps que ha transcorregut entre dosequinoccis de primavera consecutius és el queconeixem com a any tròpic, i dura 365 dies,5 hores, 48 minuts i 45,51 segons.

En el nostre calendari utilitzem l’any civil, queconsta de 365 o 366 dies. D’aquesta manera,podem comptar l’any en dies complets.

a) Quants minuts hi ha de diferència entre un anytròpic i un any civil de 365 dies?

b) Quina és la diferència, en hores, minutsi segons, al cap de 4 anys?

29. ●●● El calendari julià (antecessor del calendariactual) inseria un dia addicional cada 4 anys, que anomenaven de traspàs.

a) Quina diferència hi ha entre 4 anys tròpics i 4 anys civils, un dels quals és de traspàs?

b) Quants anys han de passar perquè el desfasament sigui de 10 dies?

30. ●●● A causa del desfasamentdel calendari julià, el papa Gregori XIII va manar reformar el calendari. En el calendari gregorià, que és el vigent als nostres dies, els anys de traspàs són aquells que són divisibles per 4, excepte els divisibles per 100, però no per 400 (o sigui, l’any 2100 no serà de traspàs).

Quants anys han de passar perquè hi hagi un desfasament d’un dia?

830863 _ 0077-0092.qxd 14/12/07 16:02 Página 91

Expressions algebraiques

tema 5


28

EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES

1. ● Expressa aquests enunciats en llenguatgealgebraic:

a) El doble d’un nombre més 5.b) El triple d’un nombre menys 6.c) El doble de la suma d’un nombre més 4.d) La meitat de la diferència d’un nombre

menys 8.e) El quadrat de la suma d’un nombre més 7.f) El cub de la meitat d’un nombre.g) La meitat del quadrat d’un nombre.h) Un nombre més el seu quadrat.i) El quàdruple del quadrat d’un nombre.j) La meitat d’un nombre menys 3.

2. ●● Expressa aquestes expressions algebraiquesmitjançant enunciats:

a) 4x − 2 d) g)

b) 5 − 2x e) (x + 2)2 h) (2x − 1)2

c) 2x3 f) x2 − 4 i) (2x)2 − 1

4. ●● Si la base d’un triangle és 4 cm, escriu l’expressió algebraica que representa la seva superfície.

5. ●● Expressa de forma algebraica la superfície d’aquesta figura:

32

xx

−x + 3

4

6. ● Calcula el valor numèric de l’expressió2x − 3 per a aquests valors de x.

a) x a 1 b) x = 0 c) x = −2 d)

7. ● Determina el valor numèric de l’expressió3x2 − 2y + 4 per als valors de x i y:

a) x = 1, y = −2 c) x = −1, y = −3

b) x = −2, y = d) x = , y =

8. ●● Troba el valor de a en l’expressió4x3 + 3x2 − ax − 5, si el seu valor numèric per a x = −1 és 0.

9. ●● Calcula el valor de a en l’expressió−2x2 − 3x − a si el seu valor numèricper a x = 3 és −5.

MONOMIS


11. ● Indica si les afirmacions són verdaderes ofalses. Raona la teva resposta.

a) 12ab i −2ab són semblants.b) 7xyz i −7xy són oposats.c) 7xy2z i −7x2yz són semblants i oposats.

d) 12ab i són semblants i oposats.

12. ●● Escriu, si és possible:

a) Dos monomis de grau 5 que siguin semblants i no oposats.

b) Dos monomis de grau 5 que siguin oposats i nosemblants.

c) Dos monomis de grau 5 que siguin semblants i oposats.

−112

ab

−14

14

12

x =12

COM EXPRESSEM ALGEBRAICAMENT ALGUNESRELACIONS GEOMÈTRIQUES?

3. Escriu, mitjançant una expressió algebraica,la superfície d’un triangle isòsceles amb unaaltura de 5 cm.

PRIMER. Anomenem tots els elements que intervenen en el càlcul de la superfície. Els elements desconeguts els designem amb una lletra.

SEGON. Escrivim la fórmula corresponent.

Ax x

=⋅

=5

252

FES-HO AIXÍMonomi Coeficient Part literal Grau

−8xyz2

3a2b4

4 x3y2 5

−9 a2bc 4

1 z6 6

23

bc2 3

x

5 cm

3y

x

830863 _ 0093-0112.qxd 14/12/07 16:08 Página 108

29

OPERACIONS AMB MONOMIS

13. ● Efectua aquestes operacions de monomis:

a) −x2 + x + x2 + x3 + xb) 2x3 − (x3 − 3x3)c) 8x2 − x + 9x + x2

d) 8xy2 − 5x2y + x2y − xy2

e) −3x + 7y − (8y + y − 6x)

f)

14. ●● Raona si les igualtats són verdaderes ofalses, i corregeix els errors que hi ha:

a) a + a = 2a e) 2a − b = 2 ⋅ (a − b)b) 2a + a = 2a2 f) 2a + 3a = 5ac) 2a − a = 2 g) 2a + 3b = 5abd) 2a − 2 = a h) 2a2 = 4a

15. ●● Escriu 12x2y com a:

a) Suma i/o resta de tres monomis.b) Producte de tres monomis.c) Quocient de dos monomis.

17. ●● Opera i redueix:

a) 12x ⋅ 3x2 : x + 14x ⋅ x3 : 7x2

b) 16x ⋅ x3 : (−4) + 9x5 : x4 ⋅ (−3x3)c) 3x2 ⋅ (10 ⋅ 5x3) − 10x4 ⋅ 6x2 : 2xd) (5x2 − 2x2 + 7x2) ⋅ (4x3 − x3 + 6x3)e) (−4xy2 + 9xy2) : (3xy + 2xy)f) (x3 − 8x3 + 4x3) ⋅ (y − 3y + 5y)

43

52

74

xy xy xy xy− + −

POLINOMIS

18. ● Indica si són verdaderes o falses aquestesafirmacions referides a 2x + 3.

a) 3 és el coeficient de x.b) 3 és el terme independent.c) Hi ha tres termes.d) La x és la incògnita.

19. ● Assenyala els termes, els coeficients, lesvariables i els graus d’aquests polinomis:

a) 2x + 3y − 2 c) 2a + 2b + 3cb) 5 − 2x + 8y − 3x2 d) 7 + 5t − 2z2 − 3y

20. ● Identifica aquests elements dels polinomis:

a) Nombre de termes de x3 − x2 + 4x + 5x4 − 6.b) Terme independent de y + 3y4 − 3y3.c) Grau de R(x, y) = 5x3y2 + 6y4 − 3x4y3 + 8x2.

d) Coeficients de .

21. ● Escriu un polinomi d’una variable, amb grau 7, que tingui 6 termes i el termeindependent sigui −2.

22. ● Indica el grau dels polinomis:

a) 5x2 − 2xy 2 c) 4x2 + 5x2y 2 − 10xyb) 8a3b2 + 5a2b3c d) a2bc − 2abc + 6a2b3

23. ● Calcula el valor numèric d’aquestesexpressions per als valors n = 1 i n = −2.

a) 3n2 + 4n c) n2 − 1b) n(n + 3) d) n2(n + 2)

24. ● Si P(x) = 3x4 − 2x3 + x2 − 5, calcula:

a) P(1) + P(0) − P(−2) c)b) 2 ⋅ P(2) + 3 ⋅ (−P(−1))

25. ●● Troba el valor de a perquè el polinomi siguide grau 2:

P(x) = (2a + 4)x3 − 3x + 4x2 − 7

26. ●● Troba el valor de a i b perquè el polinomitingui grau 3 i el terme independent sigui 15:

P(x) = 3x2 − (5 + a)x + x3 − 3b

27. ●● Calcula el valor de a perquè P(1) = 2 si P(x) = ax3 − 3x2 + 4x − 7.

P12

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

7 2 103

3− +x x

COM RESOLEM OPERACIONS COMBINADES DE MONOMIS?

16. Resol: 8x2 − (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ⋅ x).

PRIMER. Resolem les operacions que hi ha entreparèntesis.

8x2 − (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ⋅ x) == 8x2 − 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2

SEGON. Resolem les multiplicacions i les divisions,d’esquerra a dreta.

8x2 − 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2 = 8x2 − 3x2 + 5x2

TERCER. Resolem les sumes i les restes en el mateix ordre.

8x2 − 3x2 + 5x2 = 5x2 + 5x2 = 10x2

FES-HO AIXÍ

g) 2x2 ⋅ 4x3 ⋅ 5x6

h) −3x ⋅ (−2x) ⋅

i) 7x3 ⋅ 5x ⋅ 9x4

j) 15x3 : 5x2

k) −8x3y2 : 2x2yl) 10x4yz2 : 5xyz

74

x

830863 _ 0093-0112.qxd 14/12/07 16:08 Página 109

30

OPERACIONS AMB POLINOMIS

28. ● Amb aquests polinomis, calcula:A(x) = 2x 3 − 3x 2 + x − 7B(x) = x 3 + 7x 2 − 4xC(x) = −2x 2 + x − 5

a) A(x) + B(x) + C(x) c) A(x) − B(x)b) B(x) + C(x) d) A(x) − B(x) − C(x)

29. ●● Troba dos polinomis la suma dels quals sigui4x3 − 6x2 + 7x − 2.


a) 6x2 − 4x + 7 + � = 3x + 2b) 5x3 + 3x2 − 10 − � = x − x2 + 7c) 9x3 + x2 − 6x + 4 + � = 2x2 − x3 + x

31. ● Efectua les operacions següents:

a) (3x + 4) ⋅ 2 c) (4x2 + x − 2) ⋅ (−5)b) (x − 2) ⋅ 4x d) (x2 + 3x − 6) ⋅ (−3x3)

32. ● Opera i redueix termes semblants:

a) (x + 3) ⋅ (x − 2)b) (2x − 6) ⋅ (3x + 5)c) (4 − 6x + 3x2) ⋅ (−2 − x + x2)

33. ● Opera i redueix termes semblants:

34. ● Efectua les divisions següents:

a) (25a − 15) : 5 c) (10a4 − 20a3 − 4a2) : 2ab) (12a2 − 18a + 69) : 6 d) [(16a4 : 4a2)] : 2a

35. ● Fes aquestes operacions:

a) (x3 + 3x3) : x2 c) (9x3y3 + 3x2y + 15xy2) : 3xyb) (7x3 − 4x2 + 5x) : x d) (12xy − x2y) : xy

36. ● Completa:

a) � : 4xy = 3y2z3 + 5xy2 − 2xyzb) � : x3y2 = 9y + 6x − 4x2yc) � : (−5yz3) = 2x − 5x2z + 7y2z3


a) (10x5 + 8x3 − 6x2 + 12x) : � = 5x4 + 4x2 − 3x + 6b) (12x4z3 − 18x3z4 + 24x2z2) : � = 4x2z − 6xz2 + 8c) (4x5yz − 7x4yz2 + 6x3y3z2) : � = 4x2 − 7xz + 6y2z

38. ● Extreu factor comú en cada cas:

a) 3x + 6x − 9x e) 10xy − 5xy + 15xyb) 4x − 12y f) 14x 4 − 35x 3 − 7x 2 + 42c) 10a − 10b + 10c g) 25m2n + 20m3n2 − 30m4

d) 3ab + 5ab h) x2y − xy3 + xy

39. ●● Extreu factor comú:

a) 4x5 + 3x4 − 5x2 c) 10x2y − 15xy + 20xy2

b) −6y4 + 8y3 + 4y d) 3z4 + 9z2 − 6z3

IGUALTATS NOTABLES

40. ● Desenvolupa les igualtats notables:

a) (x − 5)2 c) (4 + a)2

b) (2x + 3y)2 d) (3a − 6b)2

41. ●● Calcula:

a) (x2 + y 2)2 c) (x2 − y 2)2

b) (3x2 − 5y 3)2 d) (1 + a4)2

42. ● Expressa com a diferència de quadrats:

a) (x + 1)(x − 1)b) (5 + ab)(5 − ab)c) (3a − 2b)(3a + 2b)d) (2 + 7x2y)(2 − 7x2y)

43. ●● Corregeix els errors que hi ha:

a) (x + 2)2 = x2 + 4b) (x − 3)2 = x2 + 6x − 9c) 5 + 2 ⋅ (x + 1)2 = 10 ⋅ (x + 1)2 = (10x + 10)2

44. ●● Completa amb els termes que hi falten:

a) (2x + 4)2 = � + 16x + �b) (3x2 − 2)2 = 9� + � − 12x2

c) (� + 5)2 = x4 + 10� + �d) (3 − �)2 = � + 16x2 − 24x

45. ●● Completa els termes que falten perquè elspolinomis siguin el quadrat d’una suma o d’una diferència:

a) x6 + 8x3 + � c) 64 − � + x2

b) x2 + 16 + � d) 49 − � + 4x2

46. ●● Expressa aquests polinomis com el quadratd’una suma o d’una diferència:

a) x2 + 4x + 4 d) x4 + 2x2 + 1b) 4x2 − 12x + 9 e) 9x4 + 6x3 + x2

c) x2 − x + 1 f) 9x4 + 6x2y + y214

x

830863 _ 0093-0112.qxd 14/12/07 16:08 Página 110

31

48. ●● Expressa els polinomis com a producte d’una suma per diferència:

a) 100 − 64x2 d) 9x6 − x8

b) 49x4 − 36x2 e) 16x2 − 25c) 1 − x2 f) x4 − 4

PROBLEMES AMB EXPRESSIONSALGEBRAIQUES

49. ●● El preu del quilo de taronges és x i el de raïmés y. Expressa en llenguatge algebraic:

a) El preu de 2 kg de taronges i 3 kg de raïm.b) El raïm costa el doble que les taronges.c) El preu d’1,5 kg de taronges i 2,5 kg

de raïm.

50. ●● Si x és l’edat actual d’en Jordi i en Pere té 8 anys més que ell, contesta aquestes preguntesfent servir expressions algebraiques:

a) Quina serà l’edat d’en Jordi d’aquí a 20 anys?b) Quina edat tenia en Jordi fa 7 anys?c) Quan tindrà en Jordi el doble

de l’edat que té ara?d) Quina és l’edat actual

d’en Pere?e) Quina edat tindrà

en Pere d’aquí a 15 anys?

f) Fa quants anys en Pere tenia la meitat de l’edat actuald’en Jordi?

g) D’aquí a quants anysen Jordi tindrà el doble de l’edat actuald’en Pere?

51. ●● Un botiguer comptabilitza 10 capses de bosses de gominoles, 7 de crispetes i 8 de blatde moro torrat. El repartidor porta 2 capses de cada producte. Durant la setmana s’han venut 2 capses de bosses de blat de moro, 4 de gominoles i 3 de crispetes. Expressa en llenguatge algebraic les operacions que ha de fer el botiguer per saber quina mercaderiatindrà la setmana que torni el repartidor.

INVESTIGA

52. ●●● Tria dos nombres entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, i col·loca’ls als triangles perquè l’expressió:

prengui el valor 0 quan x = 1.

53. ●●● Troba el valor de x, y i z perquè aquestquadrat sigui un quadrat màgic format per nombres de l’1 al 9.

(Recorda-ho: en un quadrat màgic, la suma dels elements de cada columna, fila i diagonal ésla mateixa.)

Tot i que hi ha diverses solucions, si y > z, només hi ha una solució. Quina és?

54. ●●● Observa aquesta taula:

a) Quant ha de valer zperquè doni el mateixsi ho sumes o si horestes?

b) Pots trobar el valor de y? I el de x?

COM EXPRESSEM UN POLINOMI DE LA FORMAa2 − b2 COM UNA SUMA PER DIFERÈNCIA?

47. Expressa P(x) = 16 − x2 com una suma per diferència.

PRIMER. Identifiquem a i b.a2 = 16 → a = 4 b2 = x2 → b = x

SEGON. Apliquem la igualtat.a2 − b2 = (a + b)(a − b)

16 − x2 = 42 − x2 = (4 + x)(4 − x)

FES-HO AIXÍ

x + y + z = 15

x + y − z = 15

x + 2y + z = 17

830863 _ 0093-0112.qxd 14/12/07 16:08 Página 111

Equacions i sistemes

tema 6


33

IDENTITATS I EQUACIONS

1. ● Indica si aquestes igualtats algebraiques sóncertes per a x = 2.

a) 5x2 − 3x + 7 = 21 d) 3x(2x − 4) − 1 = −1 b) (x + 1)(x − 2) = 0 e) (7x − 3)(−2) + x = 0

c) f)

2. ● Quin dels valors següents fa certa

la igualtat ?

a) x = −1 b) x = 2 c) x = −10 d) x = 12

3. ● Digues quines d’aquestes igualtatsalgebraiques són identitats o equacions:

a) −3(2 − 5x) = 15x − 6 d) 2x = 10

b) e)

c) 7x = 6x + x f) 5(x − 2) = 5 − 2x

4. ●● Escriu dues igualtats algebraiques que siguinidentitats i dues més que siguin equacions.

5. ●● Troba tres igualtats algebraiques que siguincertes per a aquests valors:

a) x = 5 b) c) x = −4 d)

Podries escriure una igualtat algebraica que es verifiqui únicament per als quatre valorsalhora? Quin nom rep?

6. ●● Troba l’error i corregeix-lo:

a) L’equació 4x = 3 es compleix per a x = −1perquè 4 − 1 = 3.

b) L’equació 4 − x = 3 es compleix per a x = −1perquè 4 − 1 = 3.

c) L’equació és certa per a

perquè .

7. ●● Indica si la igualtat x2 = −4 es verifica per als valors de x següents:

a) x = 2 c) x = 1 e) x = 3 b) x = −2 d) x = −1 f) x = −3 Hi pot haver cap valor de x que compleixil’equació?

1/ 4

41 1 1 2+ = + =

x =14

x4

1 2+ =

x =−43

x =32

2 42

2x

x−

= −83

123

x x x− = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x x+ = −3

2 41

x x+−

+= −

13

42

24 3

212

x −=

ELEMENTS D’UNA EQUACIÓ

8. ● Identifica els elements de les equacions:

9. ●● Escriu una equació per a aquests enunciats:

a) El doble d’un nombre és 8.b) El triple d’un nombre és 12.c) La meitat d’un nombre és 10.d) La tercera part d’un nombre és 2.e) El doble d’un nombre més 3 és 8.f) La meitat d’un nombre menys 5 és 120.g) La quarta part d’un nombre menys 6 és 7.h) El doble d’un nombre més 7 és 18.i) La diferència entre el quàdruple d’un nombre

menys 10 és 24.

10. ●● Assigna una equació a cada enunciat:

a) El quadrat d’un nombre és 100.b) El cub d’un nombre és 125.c) La suma del quadrat d’un nombre més 2

és 82.d) La diferència del cub d’un nombre menys 3

és 124.e) La meitat del quadrat d’un nombre és 8.f) La cinquena part del cub d’un nombre és 310.

11. ●● Escriu els enunciats corresponents a aquestes equacions:

a) 2x + 5 = 3 e) x2 − 1 = 8 b) 7 − x = 2 f) 3(x − 2) = 9

c) 2(x + 1) = 10 g)

d) h)x +

=6

32

x2

23=

x −=

42

1

Equació 1r

terme2n

termeIncògnita Grau

4x − 3 = 5

4(x − 3) = 5x

82

3y y

y− =

+

35

a ba

− =

z2 − 4z + 3 = 0

x(x + 1) = x2 + 9

x(3 − x) = x − 1

830863 _ 0113-0134.qxd 17/12/07 16:43 Página 128

34

EQUACIONS DE PRIMER GRAU

12. ● Simplifica aquestes equacions reduint termes semblants, tal com queda indicat a l’exemple:

a) 5(x − 6) + 2(−3x −7) = 2(3x + 5) b) 4x + 5 − x = 10x + 7 − xc) 7 − 10x + 3(x2 − 9x) = x − 8

d)

e) − 2(2x + 4) − x(x + 3) = 5 − 3x

13. ●● Corregeix els errors comesos en reduirtermes semblants d’aquestes equacions:

a) 7x − (2 − x) = 3x + 17x − 2 − x = 3x + 1

7x − x − 3x − 2 + 1 = 0 3x − 1 = 0

b) 8(2 − x) − x = x16 − 8x − x = x

8x − x − x + 16 = 06x + 16 = 0

c) 5 − (x − 3) = x − (−7)5 + 7 − x − 3 − x = 0

−2x + 9 = 0

14. ● Esbrina quines d’aquestes equacions són equivalents a l’equació x = 4.

a) 2x = 8 c) 4x = 12 e) −2x = 8b) 3x = 9 d) −x = −4 f) −3x = −12

15. ● Resol aquestes equacions:

a) x + 2 = 7 i) 4x = 20b) x − 3 = 15 j) 13x = 91c) x + 13 = 21 k)d) x − 7 = 2

l) −x = 3e) x + 11 = 3m) −7x = 21f) x − 17 = 17n) −12x = 60

g) o) 6x = 18

h) x − 9 = −16 p) −3x = 21

x + =62

11

x4

5=

873

354

2+ − − + =( )x x x

16. ● Resol aquestes equacions:

a) c)

b) d)

17. ● Troba la solució de les equacions següents:

a) −5x = 45b) 6x = −36c) 3x = 2d) 8x = 48e) −12x = −72

f)

g)

18. ● Resol les equacions de primer grau següents:

a) 2x − 10 = 0 b) 5x + 4 = x − 8 c) x + 2(x − 1) = 4 d) 2(3x − 5) − x − (2x − 3) = 1 − (2x − 5) e) 7(x + 2) + 4(x + 3) = 3x + 1 f) 3(x − 3) − 4(2 − 3x) = 2(1 − 2x)

19. ●● Troba la solució d’aquestes equacions de primer grau:

a) 4x + 1 + 3x − 5 = 2(x − 2) + 30b) 3(x + 8) = 6(x − 2) + 24c) 3(x + 8) − (x − 4) = 12d) 2(4 − x) + 3(4x + 16) = 3e) 6(x + 8) − 2(x − 4) = 24f) 6(x − 2) = 3(x + 8) − 24

20. ●● Resol les equacions de primer grau següents:

a)

b)

c)

d)4 8

22

x −−

=

x +=

56

4

x −=

86

3

57

1−

=x

x4

14

=

x−

=3

8

36

9x

=96

27x

=

42

82x

=220

5x

=

h)

i)

j) x + 4 + x = 18 + 3k) x + 3x + 4x = 8l) 5x − 2 + 2x = 6x + 8m) 4x + 3x − 2x = 45n) −x + 4x − 3 = 5 − 2x

x4

12

=

x15

1=

e)

f)

g)

h)35

926

7x x

− = −

x xx

+− = −

45

12

32

25 20x

x− = −

3 84

xx

+=

830863 _ 0113-0134.qxd 17/12/07 16:43 Página 129

35

21. ●● Troba la solució d’aquestes equacions:

a) c)

b) d)

22. ●● Resol aquestes equacions:

a)

b)

c)

d)

23. ●● Calcula la solució de les equacions següents:

a)

b)

c)

d)

24. ●● Resol aquestes equacions:

a) y + 2 = 3y − 4

b)

c) 3u = u + 4

25. ●●● Corregeix els errors comesos en la resolució de l’equació:

z z2

143

2+ = −

x x x−−

−=

−23

32

4 25

xx x

−−

= −+2

332

13

13 26

5 24

11

12−

+−

= −+x x x

4 35

24

23

6x x x+

−−

= −+

−−

= − −−3 12

41

2 103

x x

x x x−− =

−+

−102

520

430

3

x x x−+

−= −

−55

82

32 10

2

x x+=

−+

82

46

2

x x3

735

9− = −x

xx

24

51− =

+−

3 44

3x

x−

= −25 10 15

13x x x

+ = +

EQUACIONS LINEALS. SISTEMES

26. ● Identifica quines de les equacions següentssón equacions lineals amb dues incògnites:

a) x + 2y = 4 e) x2 = yb) x + y = 0 f) x + y = yc) 2(x − y) = 3x g) x ⋅ y = 8

d) h)

27. ● Donada l’equació 2x − 3y = 7, digues quina és la solució.

a) x = 1, y = 5 b) x = 5, y = 1

28. ● Quines d’aquestes equacions tenen com a solució x = −1, y = 3?

a) 3x + y = 3 c)

b) 3x − y = 0 d)

29. ●● Escriu tres equacions lineals amb dues incògnites que tinguin com a solució x = 2, y = −1.

30. ●● Escriu una equació que sigui equivalent

a i que no tingui cap fracció.

Un cop resolta, comprova’n les solucions.

31. ●● Comprova que si x = 2, y = −3 és la soluciód’una equació, també ho serà de l’equació que en resulta si:

a) Sumem 8 als dos termes.b) Multipliquem els dos membres per 3.c) Dividim els dos membres entre 5.

32. ●● Comprova que x = 2, y = 1 és la solució de les equacions:

a) 3x + 2y = 8 d) 15x + 10y = 40

b) e)

c) 9x + 6y = 24 f)

Hi ha alguna relació entre elles?

33. ● Són els valors x = −2, y = −1 la soluciód’aquests sistemes d’equacions?a) c)

b) d) x yx y

+ = −− − =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 32 4

3 52 02x y

x y− = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

+ = −− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 32 4

x yx y

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

32 1

x y+ =23

83

34

12

2x y+ =32

4x y+ =

2

3

1

54 3x x− −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ =

x y3 9

1− =

33

0xy

− =

xy

= 8x y−=

53

d) 6 + 5t = (7 − t)(−2)

e)

f) 1 − (4w − 7) = (1 − w)(−1)

v v+− =

32 3

4

830863 _ 0113-0134.qxd 26/12/07 16:08 Página 130

36

34. ●● Escriu un sistema d’equacions lineals quetingui aquestes solucions:

a) x = 3, y = 4 d) x = , y = 8

b) x = −2, y = 5 e) x = −4, y = 0,5

c) x = 8, y = 10 f) x = 0, y = 0

RESOLUCIÓ DE SISTEMESD’EQUACIONS

35. ● Resol pel mètode de substitució els sistemesd’equacions:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

36. ● Resol aquests sistemes per substitució:

a) c)

b) d)

37. ● Resol pel mètode d’igualació els sistemesd’equacions:

38. ● Resol aquests sistemes per igualació:

a) d)

b) e)

c) f) 3 112 5 29

5x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 4 63 7 5x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 33 7 43

7y xx y

− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 3 133 6 12

x yx y

− =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5 132 5 23

3 2 74 3 15x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4 60

x yx y

+ =− − =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

= −+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

13 2 1

2 5 115 3 19x yx y

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

= +− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 22 5 5

3 2 54 142

x yx y

− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5 3 163 3 0x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5 3 14 113

x yx y

− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 73 03x y

x y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4 93 6 9

x yx y

− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 12 2 8

x yx y

− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

52 1

x yx y

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 42 3 1

12

39. ●● Resol pel mètode de reducció:

a) c)

b) d)

40. ● Resol aquests sistemes per reducció:

a) c)

b) d)

41. ●● Resol pel mètode més adequat:

a) c)

b) d)

42. ●● Resol pel mètode més adequat:

a) c)

b) d) x yx y

− =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 135 2 26

3 36 0x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4 5 102 7 4

x yx y

− =+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

− =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 42 5 8

2 3 82 3

x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 3 42 3 4x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 52 5 11

x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

26

4 2 25 3 6

x yx y

− = −+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 5 14 4

x yx y

− =− + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 4 22 3 0x yx y

+ = −+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

010

5 3 163 3 0x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 12 2 8

2 73 03x y

x y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 42 3 1

COM RESOLEM UN SISTEMA AMB PARÈNTESIS I FRACCIONS?

43. Resol:

PRIMER. Eliminem a) parèntesis i b) denominadors i c) reduïm els termes semblants a les duesequacions:

→

SEGON. Resolem per un dels tres mètodes, per exemple, per reducció:

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x = −4y = +3

1a eq < (−11) i (+)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x − 23y = 18022x − 21y = 150

2 1822 150

x yx y

− =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2321

a) b) c)⎯⎯→2 2 3 1 6 17

43 2

25

( ) ( )

( )

x y

x yx y

− − + + =

− − + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

2 2 3 1 6 17

43 2

25

( ) ( )

( )

x y

x yx y

− − + + =

− − + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0113-0134.qxd 26/12/07 16:08 Página 131

37

44. ●●● Resol aquests sistemes:

a)

b) c)

PROBLEMES AMB EQUACIONS

45. ● El doble més el triple d’un nombre sumen 35.Troba el nombre.

46. ●● Escriu en llenguatge algebraic els enunciats i troba’n la solució:

a) La suma de dos nombres consecutius és 63.b) La suma de dos nombres parells consecutius

és 126.c) El doble d’un nombre i la seva meitat sumen 10.d) El doble de la suma d’un nombre més 7 és 18.e) El triple d’un nombre menys 8 és 40.f) Un nombre menys la seva cinquena part és 80.

47. ●● La suma de tres nombres és 330. El primer és el doble del segon i el segon és el triple deltercer. Calcula aquests nombres.

48. ●● Un trajecte en taxi costa 2,50 € de baixada de bandera i 1,50 € per cada quilòmetre. Sipaguem 13 €, quina distància hem recorregut?

49. ●● Al zoològic hi ha el doble de tigres que de panteres, i sabem que en total són 171 animals. Determina quants n’hi ha de cada espècie.

50. ●● En una aula hi ha parts de nois, i les

noies són 16. Quants nois hi ha a l’aula?

51. ●● En Joan efectua la quarta part d’un viatge en autobús, la sisena part en moto, tres vuitenesparts en bicicleta, i els últims 40 km caminant.

a) Quina distància ha recorregut en total?b) Quina distància ha recorregut en cada mitjà

de transport?

52. ●● La Maria s’entrena de manera que augmentael recorregut del dia anterior en 1 km. Al cap deset dies, el recorregut total que ha fet és de 42 km.Quant ha entrenat l’últim dia?

3

7

x y x y

x y

++

−=

− + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

43 5

23

5 13

x y

x y2 5

115

4 52

2

− =

−=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

2 3 5 22 3 3 4x y x y

x y y+ = + +

− − = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

53. ●● Un nounat guanya durant el seu primer mesde vida la cinquena part del seu pes, i el segonmes augmenta les quatre cinquenes parts del pesque va augmentar el mes anterior. Si quan acabael segon mes pesa 5.450 g, quant pesava quan va néixer?

54. ●●● Esbrina la meva edat si tinc el triple de l’edat que tenia fa 8 anys.

55. ●●● Una mare té 36 anys i les edats dels seus tres fills sumen 18 anys.

a) Quants anys han de passar perquè sumin l’edatde la mare?

b) I perquè sumin el doble de la seva edat?

PROBLEMES AMB SISTEMES

COM EXPRESSEM CERTS ENUNCIATS MITJANÇANTEQUACIONS AMB DUES INCÒGNITES?

56. Expressa mitjançant equacions amb duesincògnites aquests enunciats:a) La suma de dos nombres és 33.b) Quatre cadires i una taula costen 260 €.c) En Jaume pesa 22 kg més que el seu gos.d) L’amplada d’un rectangle és el doble que

l’altura.

PRIMER. Assignem una incògnita a cada dadadesconeguda.

SEGON. Relacionem les dades conegudes i desconegudes mitjançant una igualtat.a) La suma de dos nombres és 33 ⎯→ x + y = 33

b) Quatre cadires i una taula costen 260 € → 4x + y = 260

c) En Jaume pesa 22 kg més que el seu gos. → x + 22 = y

d) L’amplada d’un rectangle és el doble que l’altura. →→ x = 2y

FES-HO AIXÍ

Dades desconegudes Incògnites

Dos nombres

Preu d’una cadira i una taula

Pes d’en Jaume i el seu gos

Amplada i altura d’un rectangle

x, un nombrey, l’altre nombre

x, preu d’una cadiray, preu d’una taula

x, pes d’en Jaumey, pes del gos

x, ampladay, altura

830863 _ 0113-0134.qxd 17/12/07 16:43 Página 132

38

57. ●● Expressa mitjançant una equació lineal amb dues incògnites aquests enunciats i indicaquè representen les incògnites:

a) La suma de dos nombres és 15.b) La meitat d’un nombre més el doble d’un altre

és igual a 52.c) La diferència entre les edats d’un pare i un fill

és de 28 anys.d) He recorregut 20 km més que tu.e) Tinc 16,50 € en monedes d’1 € i 50 cèntims.f) El preu de 2 kg de taronges i 3 kg de pomes

és de 5,80 €.g) Dos entrepans i tres refrescos costen 14 €.h) El perímetre d’un rectangle és de 32 m.

Quantes solucions té cada equació? Dóna unasolució per a cadascuna.

58. ●● L’Anna té 5 cromos més que en Joan, i entre tots dos sumen 59 cromos. Quantscromos té cadascun?

59. ●● En Robert té un total de 13 bolígrafs i retoladors, i hi ha 3 retoladors més quebolígrafs. Quants bolígrafs i retoladors té?

60. ●● En un taller, el nombre de cotxes és igual al doble del nombre de motos més 2. Calcula el nombre de cotxes i motos si en total i ha 48 rodes.

61. ●●Per un desert avança una caravana formadaper camells i dromedaris, amb un total de 440potes i 160 geps. Quants camells i dromedaris hi ha a la caravana?

62. ●● En Pau té 8 anys, i la seva germana, 2 anys.D’aquí a quants anys l’edat d’en Pau serà el doble que la de la seva germana?

63. ●● Canviem el valor de diverses monedes d’1 cèntim d’euro per monedes de 5 cèntims, i obtenim 60 monedes menys. Quantes monedessón de cada classe?

INVESTIGA

64. ●●● La solució d’aquesta equació és x = 9.

Investiga a quin nombre equival el triangle.

65. ●●● Calcula el temps que necessites perresoldre aquest problema si utilitzes:

parts del temps total a llegir-lo

parts del temps total a plantejar-lo

parts del temps total a resoldre’l

i un minut i mig a comprovar-lo

66. ●●● Un mes el podem expressar amb una únicaxifra, com juny, que seria el mes 6, o amb duesxifres, com octubre, novembre o desembre.Però, en tot cas, ho podem escriure 10 ⋅ a + b.Així, per exemple, març es pot escriure 10 ⋅ a + b, on a = 0 i b = 3 i desembre, 10 ⋅ a + b, on a = 1 i b = 2.

Segueix aquestes indicacions i explica per quèpodem endevinar l’edat i el mes de naixement de qualsevol persona aplicant aquests passos:

67. ●●● Troba un nombre de tres xifres quecompleixi les condicions següents:

• Que sigui múltiple de 9.• La seva xifra de desenes sigui 5.• Que intercanviant la xifra d’unitats

i centenes, disminueixi de 198.

41

100

1

4

1

25

1r Multiplica per 2 el teu mes de naixement.2n Suma-hi 5.3r Multiplica-ho per 50.4t Suma-hi la teva edat.5è Resta 250 al resultat i obtindràs

el teu mes de naixement i l’edat.

830863 _ 0113-0134.qxd 17/12/07 16:43 Página 133

Proporcionalitat numèrica

tema 7


40

RAÓ I PROPORCIÓ

1. ● A una bóta amb 4 ¬ de vi hi afegim 0,4 ¬ d’aigua.Esbrina la raó entre vi i aigua.

2. ● Per terme mitjà dormim 8 hores al dia. Quina ésla raó entre el temps que dormim i el temps total?Quant de temps has dormit, de mitjana, fins a l’actualitat?

3. ● Expressa la raó anterior per a aquests casos:

a) Temps despert i temps total.b) Temps dormit i temps despert.c) Temps total i temps dormit.

4. ● Dels 500 habitants d’un poble, 300 són dones.Troba la raó entre homes i dones.

5. ● Esbrina si són correctes aquestes proporcions:

a) b)

6. ● Forma proporcions a partir de les igualtats:

a) 5 ⋅ 8 = 20 ⋅ 2 c) 5 ⋅ 8 = 10 ⋅ 4b) 7 ⋅ 4 = 14 ⋅ 2 d) 6 ⋅ 5 = 15 ⋅ 2

7. ●● Comprova que 422 = 12 ⋅ 147 i dedueix-ne una proporció.

8. ●●● La raó entre les probabilitats de guanyar

de dos equips A i B és . Què significa aquesta

raó? Podries calcular, en tant per cent, les possibilitats de victòria de A? I les de B?

5

3

52

8=

3,2104

16=

6,4

TERME DESCONEGUT D’UNA PROPORCIÓ

9. ● Calcula x en aquestes proporcions:

a) b) c)

10. ●● Calcula el valor de a, b i c en aquestes

proporcions: .

11. ● Troba el terme que falta perquè els nombressegüents formin una proporció:

a) 24, 51 i 104 b) 5, 6 i 40 c) 3, 5 i 12

13. ●● Troba dos nombres iguals que forminproporció amb els nombres següents:

a) 4 i 49 b) 1 i 0,64 c) i

14. ●● Calcula quant val x en la proporció

.

15. ●● Calcula a i b si saps que

i que és la constant de proporcionalitat.

16. ●● Calcula a i b si saps que a + b = 15

i que .

17. ●●● Troba dos nombres que tinguin 2,25 de raó i que sumin 65.

7 28

a b=

8

9

a

b45

16=

3

5 20

15

70

++

=x

2720

35

3

5

18

25 12= = =

a

b c

2,41,5

=8x

4 53x

=x4

3=

1

COM CALCULEM ELS MITJANS O ELS EXTREMS D’UNA PROPORCIÓ QUAN SÓN IGUALS?

12. Calcula x en la proporció: .

PRIMER. Apliquem la propietat fonamental.

SEGON. Resolem l’equació que en resulta.

Així doncs, la proporció és: .168

84

=

x x2 64 64 8= = =→

164

16 4 642

xx

x x x= ⋅ = ⋅ =→ →

16

4x

x=

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0135-0154.qxd 17/12/07 09:18 Página 148

41

3 9 6 30

5 15 10 50

2 5 3 10

4 10 6 20

1 2 4 5

3 3 6 9

3 9 15 6

4 16 20 8

A 6 5 30

B 90 54

A 2 6 15 4

B 75

Temps de lectura 5 min 10 min 15 min 20 min

Pàgines llegides 2

Temps de fabricació

18 min 36 min 54 min 72 min

Nre. d’objectesfabricats

4

A 2 5 9 17

B 7

A 2 3 6 11

B 5

A 5 7 9 16

B 4

A 3 4 10 13

B 9

A 2 4 8 16 1,5 6,4

B 8 4 2 0 10 2,5

A 10 15 20 25 30 35

B 5 3 2,5 2 1,5 1,3

MAGNITUDS INVERSAMENTPROPORCIONALS

22. ●● Estudia si la relació que hi ha entre aquestesparelles de magnituds és de proporcionalitat, i en el cas que ho sigui, si és directa o inversa:

a) Velocitat i temps en un moviment amb velocitatconstant.

b) Espai i temps en un moviment amb velocitatconstant.

c) Nombre de persones que es reparteixen un pastís i tros que els toca a cadascú.

d) Nombre d’hores que un alumne mira latelevisió i nombre d’hores d’estudi.

e) Quantitat de diners que estalvia una família i quantitat de diners que dedica a despeses.

f) Quantitat d’aprovats i quantitat de suspensosen una assignatura.

g) Nombre de paletes i temps que triguen per construir una paret.

h) Nombre de persones que mengen i quantitatd’aliment.

i) Nombre de persones que participen en lacompra d’un regal i diners que hi aporten.

j) Nombre de jornalers i temps que triguen en la recollida de l’oliva.

23. ● Completa les taules següents si saps que A i B representen magnituds inversamentproporcionals. Troba la constant de proporcionalitat en cada cas.

a) b)

24. ●● Crea una taula de valors que relacioni duesmagnituds inversament proporcionals que tinguinles constants de proporcionalitat següents:

a) 36 b) 48 c) 60 d) 140

25. ●● Corregeix aquestes taules si A i B sónmagnituds inversament proporcionals:

a)

b)

MAGNITUDS DIRECTAMENTPROPORCIONALS

18. ●● Assenyala si les parelles de magnituds següents són directamentproporcionals o no:

a) Temps en què s’omple una ampolla i quantitatde líquid a l’interior.

b) Nombre de persones que participen en unaexcursió i diners que paguen.

c) Nombre d’hores treballades i diners cobrats.d) Edat i pes d’una persona.e) Costat d’un quadrat i àrea.f) Costat d’un quadrat i perímetre.g) Nombre d’obrers i durada d’una obra.h) Velocitat i temps en un moviment amb velocitat

constant.

19. ● Comprova si aquestes taules corresponen amagnituds directament proporcionals:

a) c)

b) d)

20. ● Completa la taula i troba la constant de proporcionalitat directa en cada cas:

a)

b)

21. ●● Completa les taules següents si saps que A i B representen magnituds directamentproporcionals. Troba la constant de proporcionalitat directa en cada cas.

a) c)

b) d)

830863 _ 0135-0154.qxd 17/12/07 09:18 Página 149

PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT

26. ● En una fàbrica de cotxes es fan 300 unitats cada5 hores. Quants cotxes es fabricaran en 12 horessi es manté el mateix ritme?

27. ● Un pintor cobra 425 € per 5 dies de feina.Quant cobrarà per 7 dies?

28. ● Quatre tractors llauren un camp en 6 hores.Calcula el temps que trigarien 6 tractors per llaurar-lo.

29. ● Vuit persones recullen les taronges d’un camp en 9 hores. Quant trigarien a fer-ho 6 persones?

30. ● D’una deu hem recollit 200 litres d’aigua en 4 minuts. Quants litres obtindrem en 7 minuts?

31. ● Tres cavalls consumeixen una càrrega de farratge en 10 dies. Quant els durarà la mateixaquantitat de farratge a 5 cavalls?

32. ● Quatre excavadores han obert les voreres d’un carrer en 14 dies. Per fer-ho en 7 dies,quantes excavadores caldrien?

33. ●● Per fer dues camises calen 4,5 m de roba.

a) Quanta roba cal per fer 3 camises?

b) I per fer 7 camises?

c) Quantes camises es poden fer amb 15 m de roba?

34. ●● Amb una velocitat de 20 nusos, un vaixell fauna travessia en 8 hores. Troba la velocitat d’un altre vaixell que fa la mateixa travessia en 6 hores i mitja.

42

35. ●● Per fer una paella necessitem 2 gots d’aigua per cada got d’arròs. Si hi tirem 4 gotsi mig d’aigua, quants gots d’arròs hi hauremd’afegir?

36. ●● Els meus cabells creixen 1 cm cada 3 setmanes.Expressa-ho com una raó. Escriu la proporció delcreixement dels meus cabells al cap de 7 setmanes.

37. ●● L’Alícia i l’Antoni reparteixen propaganda.Els 5 paquets de l’Alícia pesen 6 quilos. Quant pesen els 7 paquets de l’Antoni?

38. ●● La propietària d’una pensió té menjar per alimentar els seus 18 hostes durant 12 dies. Si vénen 6 hostes nous, per a quants dies tindran menjar?

39. ●● La Maria escriu dues pàgines en mitja hora.

a) Quantes pàgines escriurà en 3 hores?b) Quant de temps trigarà per escriure 84 pàgines?

COM RESOLEM ELS PROBLEMES D’ENGRANATGES?

40. En un rellotge antic, un engranatge té dues rodes, de 18 i 12 dents, respectivament. Si la roda gran fa 6 voltes, calcula quantes voltes fa la petita.

PRIMER. Comprovem el tipus de proporcionalitatque tenen les magnituds.

Amb 18 dents 6 voltesAmb 36 dents 3 voltes

La relació de proporcionalitat és inversa.

SEGON. Es planteja una regla de tres.Dents Voltes

La roda de 12 dents farà 9 voltes.

x =⋅

=18 6

129raó inversa⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

18 ⎯⎯⎯→ 612 ⎯⎯⎯→ x

farà⎯⎯⎯→

fa⎯⎯⎯→

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0135-0154.qxd 17/12/07 09:18 Página 150

receptes

RRÒS

43

41. ●● Dues rodes dentades engranen mútuament.La primera té 20 dents, i la segona, 50. Si la primera ha fet 5.000 voltes, quantes voltes ha fet la segona?

42. ●● Les rodes del darrere i del davant d’un cotxe tenen 1,3 m i 1 m de diàmetre, respectivament. Si les rodes del darrere han fet 260 voltes,quantes n’han fet les del davant?

43. ●● He pagat 60 € per l’abonament de la piscinad’aquest estiu, però només hi puc anar 45 dies. Si l’entrada normal costa 1,25 € al dia, estalviarédiners havent comprat l’abonament?

44. ●● A la taula següent veiem l’oferta d’uns gransmagatzems si comprem un nombre determinat de litres de llet. Són directament proporcionalsl’obsequi i la compra?

45. ●● A la taula següent veiem l’oferta d’una fruiteria si comprem un nombre determinat de quilos de patates. Són directament proporcionals l’obsequi i la compra?

Quina quantitat de patates hem de comprarperquè ens en regalin 10,5 kg?

46. ●● La relació entre la diferència de potencial(volts) entre els dos extrems d’un determinat cableconductor i la intensitat de corrent (càrrega que passa pel cable) és igual a la resistència delcable conductor. Aquesta llei va ser establerta per George Ohm l’any 1827 i s’escriu així: V = I ⋅ R; és a dir, la diferència de potencial i la resistènciasón inversament proporcionals.

Esbrina la intensitat de corrent I que circula pelcircuit de la figura. I si la resistència hagués estatde 7,5 Ω?

48. ●● L’autobús de Cap Amunt surt a les 12 delmigdia en direcció a Cap Avall. Una hora i deuminuts més tard surt de Cap Amunt un automòbilamb la mateixa direcció. Si l’autobús circula a 80 km/h i l’automòbil va a 95 km/h:

a) Quant trigarà el cotxe a agafar l’autobús?

b) Si la distància entre les dues poblacions és de 146 km, el cotxe agafarà l’autobús abansd’arribar a Cap Avall?

Litres comprats 40 55 75 100

Litres obsequiats 1 2 3 5

Quilos comprats 20 40 60 80

Quilos obsequiats 1,5 3 4,5 6

COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MÒBILS?

47. Un caminant i un ciclista van per la mateixacarretera. El caminant va a una velocitat de 4 km/h, i el ciclista, de 20 km/h.

a) Si surten alhora, des de punts oposats que disten entre si 12 km, quant trigaran a trobar-se?

b) Si surten del mateix punt i el caminant té un avantatge de 4 km, quant de tempstrigarà el ciclista per agafar-lo?

PRIMER. Sumem o restem les quantitats, segonsque la direcció sigui diferent o la mateixa.

a) VELOCITAT PER TROBAR-SE = 20 + 4 = 24 km/hb) VELOCITAT PER AGAFAR-LO = 20 − 4 = 16 km/h

SEGON. La raó entre la distància que els separa i la velocitat a la qual s’aproximen és el temps, t.

a) per trobar-se.

b) per agafar-lo.t = = =distànciavelocitat

0,25 h4

16

t = = =distànciavelocitat

0,5 h1224

FES-HO AIXÍ

4 km/h12 km

F20 km/h

G

4 km/h

4 kmF

20 km/hF

V=

9V

R = 2,5 ΩI→

830863 _ 0135-0154.qxd 2/1/08 12:08 Página 151

44

49. ●● Una aixeta aboca un cabal de 25 ¬/min i ompleun dipòsit d’aigua en 1 hora i 20 minuts. Quanttrigarà a omplir el mateix dipòsit una altra aixetaamb un cabal de 20 ¬/min?

50. ●● En una banyera, l’aigua arriba a 12 cm d’altura amb una aixeta que treu 180 ml/s d’aigua en 12 minuts. Si l’aixeta tragués 90 ml/s, a quina altura arribaria en el mateix temps?

52. ●●● Una piscina té dos desguassos. El primertriga 8 hores per buidar la piscina. I quan s’obreel segon desguàs, la piscina triga 6 hores perbuidar-se. Quant de temps trigarà a buidar-se si obrim tots dos desguassos alhora?

53. ●●● Dos desguassos iguals buiden una bassad’aigua en 4 hores i quart. En quant de temps es buidaria si obríssim tres desguassos?

54. ●●● Una aixeta omple un estany en 8 hores. Com a conseqüència d’una avaria, l’aixeta abocatan sols 2/3 parts del seu cabal. Per omplirl’estany encara falten les 3/4 parts. Quants de temps trigarà ara l’aixeta per omplir-lo?

55. ●●● Un arquitecte calcula acabar un edifici en un any i mig, amb l’ajut de 36 obrers. Si li concedeixen un pròrroga de mig any, de quants obrers pot prescindir?

PROBLEMES AMB PERCENTATGES

56. ● En un poble hi ha 2.350 habitants. Si el 68 % són nens, esbrina el nombre de nensdel poble.

57. ● En una classe de 30 alumnes, n’han faltat 6.Quin ha estat el percentatge d’absències?

58. ● De 475 persones, a 76 els agrada el futbol. A quin percentatge de persones no els agrada el futbol?

59. ● El 18 % d’una collita d’enciams són 10.800 kg.Quants quilos té la collita?

60. ● Un vestit costa 280 €. Si n’apugen el preu el 12 %, quant costarà?

61. ● Les reserves d’aigua d’una comarca eren de 350 hm3. Si han augmentat el 12 %, quines són les reserves actuals?

COM RESOLEM ELS PROBLEMES D’OMPLIR I BUIDAR?

51. Una aixeta A triga 36 hores a omplir una piscina, i una altra aixeta B triga 24 hores.Si obrim totes dues aixetes alhora, quanttrigarà a omplir-se la piscina?

PRIMER. Reduïm a la unitat en cada aixeta.

Aixeta A i aixeta B, en 1 hora, omplen:

parts de piscina

SEGON. Reduïm a la unitat en totes dues aixetes.

parts de piscina en 1 h → parts

de piscina en h → parts de la piscina

en

Totes dues aixetes trigaran a omplir-la 14 h 24 min.

7215

14⋅ = h 24 min

7272

15

172

572

136

124

572

+ =

Aixeta A, en 1 hora, omple:1

36parts de piiscina

Aixeta B, en 1 hora, omple:1

24partts de piscina

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0135-0154.qxd 17/12/07 09:18 Página 152

45

62. ●● Dels 1.200 alumnes d’un institut, el 25 %practiquen atletisme; el 15 %, bàsquet, i el 40 %,futbol. Calcula el nombre d’alumnes quepractiquen cada esport i el percentatge dels que no el practiquen.

63. ●● Tres excursionistes s’enduen aliment per a la seva estada a la muntanya. Quan arriben al refugi descobreixen que tenen el 15 % més de provisions. Si disposen de 402,5 kg de menjar, esbrina quant en tenien al principi.

64. ●● Un establiment venia el cafè a 5 €/kg. Si ara el ven a 4,75 €/kg, calcula el percentatgede descompte que hi ha aplicat.

65. ●● Volem fer la fotocòpia d’una làmina, de la qual reduirem l’altura de 12,5 cm a 6 cm.Quin percentatge de reducció hi aplicarem?

67. ●●● Calcula el capital final que retiraremdesprés de 6 anys si s’inverteixen:

a) 10.000 €, al 3,5% anual.b) 5.000 €, al 4% anual.

68. ●●● A quin tant per cent s’han invertit 12.000 €durant 3 anys si s’han obtingut 900 €de benefici?

69. ●●● Durant quants anys hem invertit 15.000 €al 2,8 % si després tenim 17.100 €?

INVESTIGA

70. ●●● Aquesta és la situació que es va plantejarquan l’Alfred va anar a comprar un televisor.

Penses que l’Alfred i la dependenta parlen del mateix preu?

71. ●●● Una fotocopiadora triga una hora per fer m fotocòpies. I una altra, per fer el mateixnombre de fotocòpies, triga una hora i mitja.Quants minuts trigaran totes duesfotocopiadores per fer alhora aquest nombre m de fotocòpies?

72. ●●● Al segle VIII, un monjobenedictí anglès conegut amb el nom de Beda el Venerable vaplantejar aquest curiós problema.

Un testador a punt de morir deixadit en la seva herència: «Com quela meva dona aviat donarà a llum,atorgaré la meva herència enfunció del sexe de la meva prole: siés nen li deixaré 2/3 de l’herència,i a la seva mare, 1/3; i si és nena, li deixaré 1/3 de l’herència, i a lameva dona, 2/3.» El testador esmor, i al cap d’uns quants dies la vídua dóna a llum una parella de bessons de diferent sexe.Com s’han de repartir l’herència?

1.600 € més el 10 % d’IMPOSTOS

A aquest preu cal afegir-hi

el 12 % d’IVA.

Doncs llavors li pago1.600 € més el 22 %.

OFERTA

12,5 cm

COM CALCULEM LA QUANTITAT FINAL D’UNA INVERSIÓ?66. Invertim 3.000 € al banc a un rèdit del 5 %

anual. Quina quantitat de diners tindremdesprés de 10 anys?

PRIMER. Calculem el benefici anual.

Benefici anual 150 €

SEGON. Multipliquem el benefici anual pel nombred’anys que mantenim la inversió.

Benefici = 150 ⋅ 10 = 1.500 €

TERCER. Sumem els beneficis a la quantitat inicial.

Quantitat final = 3.000 + 1.500 = 4.500 €Després de 10 anys tindrem 4.500 €.

= ⋅ =3 0005

100.

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0135-0154.qxd 17/12/07 09:18 Página 153

Proporcionalitat geomètrica

tema 8


47

SEGMENTS PROPORCIONALS

1. ● Calcula la raó d’aquests segments:

a) AB = 6 cm CD = 8 cmb) AB = 64 cm CD = 1 mc) AB = 15 dm CD = 9 md) AB = 20 m CD = 4 m

2. ● Si la raó , calcula:

a) AB, si CD = 76 cmb) CD, si AB = 3 cm

3. ● Si la raó ; calcula:

a) AB, si CD = 9 dmb) CD, si AB = 13,6 cm

4. ●● Són proporcionals els segments AB, CD, EFi GH en les sèries següents?

a) AB = 2 cm CD = 5 cm EF = 6 cm GH = 16 cmb) AB = 2 dm CD = 1 m EF = 5 cm GH = 25 cmc) AB = 6 cm CD = 8 cm EF = 4 m GH = 3 md) AB = 3 m CD = 4 m EF = 12 dm GH = 16 dm

AB

CD= 1,6

AB

CD= 1

4

6. ● Calcula la longitud que ha de tenir el quart segment proporcional als segments AB, CD i EF.

a) AB = 3 cm CD = 6 cm EF = 9 cm

b) AB = 2 m CD = 7 m EF = 8,2 m

c) AB = 3 dm CD = 5 dm EF = 21 dm

d) AB = 10 cm CD = 15 cm EF = 25 cm

7. ●● La raó de dos segments és i la suma

de les seves longituds és de 8 cm. Troba la longitud de cada segment.

8. ●● La raó de dos segments és 4 i la diferència de les seves longituds és de 7 cm. Calcula la longitud de cada segment.

TEOREMA DE TALES

9. ●● Calcula les longituds desconegudes:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

3

5

COM CALCULEM UN SEGMENT PROPORCIONAL A TRES SEGMENTS MÉS?

5. Donats tres segments: AB = 4 cm, CD = 3 cmi EF = 2 cm, calcula la longitud d’un quartsegment, GH, que sigui hi proporcional.

El segment que volem trobar l’anomenemsegment quart proporcional.

PRIMER. Hi apliquem la definició de segmentsproporcionals.

SEGON. Resolem l’equació.

TERCER. Comprovem la solució.

ABCD

EFGH

= = ⋅ = ⋅ =→ → →43

24 3 2 6 6

1,51,5

43

24 3 2

64

= ⋅ = ⋅ = =GH

GH GH→ → 1,5 cm

ABCD

EFGH GH

= =→ 43

2

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0155-0174.qxd 17/12/07 09:56 Página 168

2 cm

3 cm

2,5 cm10 cm

5 cm8 cmx

x

2 cm

4 cm

3 cm x

4,8 cm

2 cm

3 cmx

4 cm

8 cm

6 cmx

7 cm

2 cm

3 cm 5 cmx

y

5,2 cm

0,8 cm

8 cm

4 cm

1 cm

x

yz

8,1 cm

5 cm

1,5 cm

6 cm

2 cm

xy z

F

F

F

F

F

48

10. ● Considera aquesta figura:

a) Si OA = 2 cm OB = 5 cm

OA' = 2,6 cm OC' = 11,7 cm

calcula: A'B', B'C', OB' i BC.

b) Si OA' = 4 cm OB = 9 cm

OB' = 12 cm OC' = 18 cm

calcula: OA, AB, A'B', B'C', OC i BC.

c) Si OA = 5 cm OC = 22,5 cm

OC' = 36 cm OB' = 24 cm

calcula: OA', OB, AB, BC, A'B' i B'C'.

11. ●● A la figura següent, la raó .Calcula OA', AB i BC.

12. ●● Determina les longituds desconegudes:

13. ● Divideix gràficament un segment AB, amb AB = 10 cm, en:

a) 4 parts iguals. b) 6 parts iguals.

14. ●● Divideix gràficament un segment AB, amb AB = 18 cm, en parts proporcionals a tres segments d’aquestes mides:

a) 3 cm, 5 cm i 6 cm c) 3 cm, 4 cm i 5 cm b) 2 cm, 4 cm i 6 cm d) 2 cm, 6 cm i 9 cm

Calcula les longituds dels segments i compara el resultat amb la solució gràfica.

OB

OB'= 0 8,

15. ●● Observa la figura següent, en la qual elsegment AB, de 12 cm de longitud, es divideix en parts proporcionals als segments a, b i c.Calcula AP, PQ i QB, amb aquestes dades:

a) a = 6 cm, b = 8 cm i c = 4 cmb) a = 5 cm, b = 10 cm i c = 3 cmc) a = 8 cm, b = 10 cm i c = 4 cmd) a = 2 cm, b = 5 cm i c = 1 cm

16. ●● Divideix un segment de 14 cm en tres parts,cadascuna el triple de l’anterior.

17. ●● Divideix un segment de 20 cm en tres parts,cadascuna la meitat de l’anterior.

SEMBLANÇA DE TRIANGLES

18. ● Calcula la longitud dels costats desconegutsen els parells de triangles semblants següents:

a)

b)

c)

d)

3 cm 5 cm

12 cm

4 cm

8 cm

7 cm

10 cm 6 cm

6 cm5 cm3 cm

4 cm

5 cm 5 cm

3,2 cm 2 cm

830863 _ 0155-0174.qxd 17/12/07 09:56 Página 169

AO B C

C

A'

B'

C'

PA Q B

a

b

c

12 cm

2,8 cm

3 cmz

y

8 cm

5 cmx

2 cm4 cm

t

4,5 cm

2,3 cmOA B

A'

B'

C'

F

49

18. ● Dos triangles, ABC i A'B'C', són semblants.

Els costats de ABC són:

AB = 4 cm BC = 5 cm CA = 6 cm

Calcula els costats de A'B'C' i la raóde semblança, si A'B' = 7,2 cm.

19. ● La raó de semblança de dos triangles, ABC

i A'B'C', és .

Calcula els costats desconeguts dels dos triangles, si saps que:

a) AB = 5 cm, BC = 8 cm i CA = 10 cm

b) A'B' = 20 cm, B'C' = 24 cm i C'A' = 26 cm

c) AB = 4 cm, BC = 5 cm i C'A' = 16 cm

r = 1

4

21. ●● Identifica en les figures següents tots elstriangles que estiguin en posició de Tales:

a) c)

b) d)

22. ● Els costats d’un triangle ABC fan AB = 12 mm, BC = 15 mm i CA = 21 mm,

i els del triangle A'B'C' fan A'B' = 35 mm, B'C' = 25 mm i C'A' = 20 mm. Són semblants els dos triangles?

23. ●● Determina si aquests parells de triangles són semblants i explica quin criteri apliques en cada cas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

COM RECONEIXEM ELS TRIANGLES EN POSICIÓ DE TALES?

20. Indica quins triangles de la figura següentestan en posició de Tales:

PRIMER. Identifiquem tots els triangles possibles.

ABC ABE ABG ADE AEG

EBF GBC DBE DBF

SEGON. Prenem els que tenen un angle comú.

ABC i DBF tenen l’angle B$ en comú.

ABE, ABG i DBE tenen l’angle B$ en comú.

EBF i GBC tenen l’angle B$ en comú.

TERCER. De cada grup de triangles amb un angleen comú, considerem els que tenen paral·lels els costats oposats a aquest angle.

ABC i DBF tenen AC i DF paral·lels.

ABG i DBE tenen AG i DE paral·lels.

EBF i GBC tenen EF i GC paral·lels.

Per tant, aquests parells de triangles estan en posició de Tales.

FES-HO AIXÍ

B

D

A G C

FE

B

D

A

G

C

FE

B

E

A

H

C D

G

F

B

EA

C

D

G

I

H

JF

B

FL

A

G

C D

H

I J K E

54

80°

5

6

80°

11

9,165°

9

765°

5 7

7

12,8

11,2

8

3

513

10

50°

40°

50°50°

70° 60°

830863 _ 0155-0174.qxd 17/12/07 09:56 Página 170

50

24. ●● Els costats d’un triangle ABC fan AB = 4 cm, BC = 5 cm i CA = 6 cm. Troba la longitud dels costats d’un triangle

semblant A'B'C', si saps que:

a) La raó de semblança és r = 2,5.

b) El perímetre de A'B'C' és de 30 cm.

POLÍGONS SEMBLANTS

25. ● Dibuixa dos quadrats semblants que tinguinles raons de semblança següents:

a) r = 2 b) c) r = 2,5 d)

26. ● Dibuixa triangles semblants que tinguin aquestesraons de semblança respecte del que està dibuixat:

a) c) r = 3

b) d)

27. ● Dibuixa figures semblants a les següents quetinguin com a raó de semblança r = 2 i r = 0,5:

a) b)

28. ●● Dos triangles ABC i A'B'C' són semblants

i la seva raó de semblança és . Les mides

dels costats del triangle ABC són AB = 8 cm, BC = 10 cm i AC = 14 cm. Troba les longitudsdels costats de l’altre triangle.

29. ●● Dos triangles ABC i A'B'C' són semblants i la seva raó de semblança és 3. Les mides

dels costats del triangle ABC són AB = 6 cm, BC = 7 cm i AC = 3,5 cm. Troba les longitudsdels costats de l’altre triangle.

30. ●● Raona si les afirmacions següents són certes:

a) Tots els quadrats són semblants.b) Tots els rectangles són semblants.c) Tots els pentàgons són semblants.d) Tots els pentàgons regulars són

semblants.e) Tots els triangles rectangles són

semblants.

1

4

r =54

r =14

r =12

r =13

r =12

31. ●●● Troba el perímetre d’un rectangle que és semblant a un altre rectangle de costats 8 cm i 5 cm, amb aquestes raons de semblança:

a) r = 2 b) r = 0,5 c) d)

Quina relació hi ha entre els perímetres del rectangle original i els dels trianglessemblants?

33. ●● Troba el perímetre i l’àrea d’aquests polígonssemblants:

a) Un triangle semblant a un triangle rectangle de costats 3 cm, 4 cm i 5 cm, i raó 3.

b) Un quadrat semblant a un quadrat de costat 3 cm i raó 4.

c) Un rectangle semblant a un rectangle de costats 4 cm i 6 cm, i raó 2.

r =52

r =34

6 cm 8 cm

12 cm

QUINA RELACIÓ HI HA ENTRE EL PERÍMETRE I L’ÀREA DE DUES FIGURES SEMBLANTS?

32. Calcula el perímetre i l’àrea d’aquests dostrapezis semblants:

Si dos polígons són semblants, es compleix que:• Els perímetres són proporcionals amb raó r.• Les àrees són proporcionals amb raó r2.

PRIMER. Calculem la raó de semblança del primer polígon respecte del segon.

← Raó de semblança

SEGON. Obtenim el perímetre i l’àrea del segon polígon.

P = 3 + 4 + 2 + 3,6 = 12,6 cm

TERCER. Multipliquem aquests resultats per la raó i pel quadrat de la raó, i obtenim el perímetre i l’àrea del primer polígon,respectivament.

P = 12,6 ⋅ r = 12,6 ⋅ 2 = 25,2 cmA = 9 ⋅ r2 = 9 ⋅ 22 = 36 cm2

AB b h

=+ ⋅

=+ ⋅

=( ) ( )

24 2 3

29 2cm

63

84

42

2= = =

FES-HO AIXÍ

4 cm

6 cm

8 cm

3 cm 3,6 cm

2 cm

4 cm

830863 _ 0155-0174.qxd 26/12/07 12:04 Página 171

ESCALES

34. ● Expressa mitjançant una escala numèrica:

a) 25 cm d’un plànol representen 25 km reals.b) 0,8 dm d’un plànol representen 160 km reals.

35. ● Expressa mitjançant una escala numèrica i una escala gràfica:

a) 1 cm al plànol equival a 2 km a la realitat.b) 1 cm al plànol equival a 50 km a la realitat.

36. ● Calcula l’alçada real dels objectes:

37. ● Troba la distància real entre dos poblesseparats 4 cm en un mapa amb aquesta escala:

38. ● La distància real entre dues ciutats és de 450 km. Troba la distància que les separa en un mapa dibuixat a escala 1: 1.500.000.

39. ●● La carretera que uneix dos pobles estàrepresentada en un mapa a escala 1: 500.000 i fa 6 cm de longitud. Quina seria la longitud de la carretera si la representem en un mapa a escala 1: 60.000?

40. ●● El plànol d’una casa està dibuixat a escala 1: 60.

a) Quines dimensions reals té la cuina si al plànolfa 4 cm d’amplada i 7 cm de llargada?

b) El passadís fa 7,5 m a la realitat. Quant fa de llargada al plànol?

51

PROBLEMES DE SEMBLANÇA

41. ●● Un arbre fa 5 m d’alçada i, a una determinadahora del dia, projecta una ombra de 6 m. Quina alçada tindrà l’edifici de la figura si a la mateixa hora projecta una ombra de 10 m?

42. ●● Si un pal fa 1 m, i l’ombra que projecta a una determinada hora del dia és d’1,5 m, quant fa un edifici que projecta una ombra de 6 m a la mateixa hora?

43. ●● Un jugador de bàsquet d’1,9 m llança una pilota a la cistella, que està situada a 6,25 m.Calcula l’alçada a què està la pilota quan va per la meitat del recorregut.

44. ●● L’ombra que projecta un pare que fa 1,8 m d’alçada, a les 3 de la tarda, és de 2,1 m.Quina alçada té el fill si l’ombra que projecta és d’1,5 m?

45. ●● L’ombra que projecta la Júlia, que fa 1,34 m, a la 1 de la tarda és d’1,2 m. Quant fa la seva mare si en el mateix moment projecta una ombra d’1,4 m?

46. ●● Al costat d’un semàfor, l’ombra d’en Joan fa1,5 m i l’ombra del semàfor és 60 cm més llargaque la d’en Joan. Quina és la longitud delsemàfor si en Joan fa 1,75 m d’alçada?

Objecte Escala

1 : 20

1 : 10

quilòmetres

0 40 80 120

1 : 25

10 m

6 m

5 m

1 m

1,5 mG F

6 m

6,25 m

1,9

mx3,05 m

830863 _ 0155-0174.qxd 17/12/07 09:56 Página 172

52

48. ●●● L’Anna està situada a 5 m de la riba d’un riui veu reflectida una muntanya a l’aigua. Si l’Annafa 1,70 m i el riu està a 3 km de la muntanya, quinaalçada té la muntanya?

49. ●●● Mesurem l’ombra d’un edifici en dosmoments del dia.

Calcula l’alçada de l’edifici.

50. ●●● L’Enric està a 2 m d’un penya-segat i veu alineat un poble amb el caire del penya-segat. A quina distància està el poble del penya-segat?

INVESTIGA

51. ●●● Raona les qüestions següents:

a) Dos polígons amb tots els seus angles iguals,són semblants? En quina mena de polígons és verdadera aquesta afirmació?

b) Dos polígons amb tots els seus costatsproporcionals, són semblants? En quina menade polígons és verdadera aquesta afirmació?

52. ●●● Troba l’àrea de la zona acolorida, si saps que:

• El quadrat fa 2 cm de costat.

• El punt E és el punt mitjà del costat DC.

• L’angle F$ és recte.

53. ●●● El triangle ABC és isòsceles, d’àrea 8 cm2. Si D i E són els punts mitjans dels costats iguals, calcula l’àrea del trapezi ABDE.

54. ●●● El primer mesurament raonable de l’extensióde la Terra és degut a Eratòstenes, que vivia a la ciutat de Siena (ara s’anomena Assuan).

Suposava que la Terra era esfèrica i que els raigs solars queien paral·lels al planeta. Hi havia un dia a l’any que els raigssolars queienperpendiculars sobre la seva ciutat, però això no passava a Alexandria, ciutat que es trobava a 5.000 estadis, i això significava que la Terra no era plana.Llavors va fer un mesurament el mateix diad’aquest angle α, i era proximadament de 7º 12’.

Si la mida d’un estadi era d’uns 150 metres,esbrina, mitjançant una regla de tres, quina era la mida d’un meridià terrestre segonsEratòstenes.

55. ●●● Demostra que l’altura sobre la hipotenusad’un triangle rectangle en genera dos més de semblants.

COM CALCULEM L’ALÇADA MITJANÇANT EL REFLEX EN UN MIRALL?

47. Per determinar l’alçada d’un objecteinaccessible, col·loquem un mirall al terra i ens allunyem la distància necessària per observar el punt més alt de l’objecte.Quina alçada té l’edifici?

PRIMER. Comprovem que els triangles ABC

i AB'C' són semblants. En aquest cas, sónsemblants perquè són triangles rectanglesi perquè els angles de refracció són iguals.

SEGON. Apliquem la proporcionalitat entre els seus costats.

L’alçada de l’edifici és de 7 m.

B CBC

ACAC

B CB C

' ' ' ' '' '= = = ⋅ =→ →

1,751,75 m

82

4 7

FES-HO AIXÍ

ED

BA

C

ED

BA

C

6,67 m

20 m

60° 30°

8 m 2 m

F

DB

A

C

1,75 mC'

B'

C

B

A

1,6 m

2 m

450

m

x

αα

Alexandria

Siena

830863 _ 0155-0174.qxd 17/12/07 09:56 Página 173

A la vida quotidiana92. ●●● En Ramon se’n va a viure a un pis nou.

Segons el plànol, aquesta serà la seva habitació:

El plànol està dibuixat a escala i l’únic que en Ramon sap de la seva nova habitació és que a la realitat fa 4,56 m de llargada.

En aquesta habitació haurà de distribuir elsmobles que té. Per fer-se una idea de com els col·locarà, n’ha pres les mides.

Després, els dibuixarà a escala i els retallarà.Aquests retalls els col·locarà sobre el plànol de l’habitació, i farà proves per decidir quina seràla ubicació dels mobles.

Copia el plànol a la teva llibreta i determina com es poden distribuir els mobles.

Podrà muntar a la nova habitació la maquetacompleta del seu tren elèctric, que fa 2,5×1,5 m?

93. ●●● Aquesta és la peça que s’ha de fabricar per a l’enganxall de vagons de tren.

Per programar la màquina que la fabricarà calconstruir la mateixa peça a una escala més petita.Quan es col·loqui aquesta peça sobre un escàneri s’hi indiqui l’escala, la màquina fabricarà totesles peces que s’encarreguin.

Si disposem d’una barreta de 6,5 cm de llargada i volem fer la peça tan gran com puguem, quinaescala farem servir?

94. ●●● A la cantonada de la casa d’en Ricard hanposat un fanal molt alt. En Ricard pensa quel’altura del fanal incompleix la normativa sobrecontaminació lumínica i vol esbrinar quina alçadaté exactament.Al principi va pensar fer-ho mesurant-ne l’ombra,però com que el fanal està envoltat de plantes noel pot mesurar amb exactitud. Així doncs, hadecidit utilitzar les mides de dos senyals

de trànsit que hi ha al costat dels fanals.Per fer-ho, ha pres les mides

de les ombres dels dos senyals,que estan alineats amb

el fanal, l’alçada i la separació entre tots

dos. Quina és l’alçada del fanal?

174

2 cm

5 cm13 cm 6,25 cm

G F

G

F

G

F

G

F

G

F

G

F

1,5 m

0,9

m

90 cm

1,5

m

1,5

m

120 cm

110 cm

0,6 m

0,3 m 0,8 m

2 m

G F

830863 _ 0155-0174.qxd 17/12/07 09:56 Página 174

Figures planes. Àrees

tema 9


55

TEOREMA DE PITÀGORES

1. ● Calcula la hipotenusa dels triangles rectanglesamb aquests catets:

a) 10 cm i 8 cm c) 4 cm i 9 cm

b) 7,2 cm i 11,6 cm d) cm i cm

2. ● Troba la longitud de BC, BD i BE.

3. ●● Contesta aquestes qüestions i, en cas que siguin certes, posa’n un exemple:

a) Hi pot haver un triangle rectangle equilàter?

b) I un triangle rectangle isòsceles?

5. ● Troba la mida dels catets en un triangle rectangle isòsceles de 9 cmd’hipotenusa.

6. ●● Els costats del triangle rectangle ABCsón AB = 8 cm i AC = 13 cm. Calcula BC si:

a) L’angle recte és al vèrtex A.b) L’angle recte és al vèrtex B.c) L’angle recte és al vèrtex C.

85

APLICACIONS DEL TEOREMA DE PITÀGORES

7. ● Determina si els triangles següents sónrectangles. En cas afirmatiu, indica’ la mida de la hipotenusa i dels catets.

a) Triangle de costats 5 cm, 12 cm i 13 cm.b) Triangle de costats 6 cm, 8 cm i 12 cm.

c) Triangle de costats 5 cm, 6 cm i cm.d) Triangle de costats 7 cm, 24 cm i 25 cm.

8. ● Classifica en acutangles o obtusangles els triangles de costats:

9. ● Calcula la longitud de x en aquestes figures:

a) c)

b) d)

10. ●● Determina la longitud de x en aqueststriangles:

11. ●● Troba l’altura d’un triangle equilàter de 48 cmde perímetre.

12. ●● Calcula el perímetre de les figures següents:

a) b)

61

COM CALCULEM LA MIDA DELS CATETS D’UN TRIANGLE RECTANGLE ISÒSCELES?

4. Calcula la mida dels catets d’un triangle rectangle isòsceles de 8 cm d’hipotenusa.

PRIMER. Hi apliquem el teorema de Pitàgores, ja que la mida dels catets és la mateixa, x.

82 = x2 + x2 → 82 = 2x2

SEGON. Trobem el valor de x.

Els catets fan 5,66 cm.

8 282

32 32 5 662 2 22

= = = = =x x x→ → , cm

FES-HO AIXÍ

AB BC CA

4 8 6

3 8 7

5 10 8

5 10 9

2 cm

1 cm

1 cm

1 cm

B

C

D

E

A

830863 _ 0175-0194.qxd 17/12/07 16:53 Página 188

x

8 cmx

4 cm

10 cm

10 c

m

10 cm x

x x

6 cm

x x

b) d)

a)c)

x

10 cm

x

5 cm

8 cm

x

9 cm

16 cm 5 cm

25 cm

28 cm 18 cm14 cm

7 cm

28 cm

12 cm

x

x

7 cm

12 c

m

12 cm

x

117 cm

48cm

72cm

56

13. ● Troba l’apotema d’un hexàgon regular de costat:

a) 10 cm b) 16 cm c) 7 cm

15. ●● Calcula l’altura d’un triangle de costats:

a) AB = 4 cm, BC = 7 cm i CA = 9 cmb) AB = 6 cm, BC = 10 cm i CA = 14 cmc) AB = 5 cm, BC = 11 cm i CA = 15 cm

16. ●●● Troba la distància del punt P al punt A,perquè es verifiqui que: CP = DP.

a) b)

ÀREA DE POLÍGONS

17. ● Calcula l’àrea d’un rectangle de 10 cm base

i de cm de diagonal.

18. ● Determina l’àrea d’un rectangle de 7 cm de base i de 24 cm de perímetre.

19. ● Troba l’àrea d’un quadrat que fa 22,4 cm de perímetre.

20. ●● Calcula l’àrea de la zona acolorida:

21. ●● Troba el costat d’un quadrat si saps quel’àrea és de 84,64 cm2.

22. ●● Determina l’àrea d’un quadrat inscrit en una circumferència de 3 cm de radi.

23. ●● Si a és el costat d’un quadrat, indica si les afirmacions següents són verdaderes o falses, i raona les respostes.

a) La diagonal fa .b) El perímetre és 4a2.c) L’àrea és a4.d) El quadrat de la diagonal és 2a2.

24. ●● Determina la mida de la diagonal d’un quadrat de 12,25 cm2.

25. ●●● Troba un rectangle que tingui la mateixaàrea que un quadrat de 4 cm de costat. Raonaquants rectangles compleixen aquesta condició.

26. ● Calcula l’àrea d’un rombe que té aquestesdiagonals:

a) 4 cm i 12 cm b) 3 cm i 9 cm

27. ●● Calcula la mida d’una de les diagonals d’un rombe de 30,1 cm2 d’àrea, si saps que l’altradiagonal fa 7 cm.

2 2a

116

COM CALCULEM L’ALTURA D’UN TRIANGLE QUALSEVOL SI EN CONEIXEM ELS COSTATS?

14. Calcula l’altura d’un triangle de costats 5 cm,8 cm i 10 cm.

PRIMER. Dibuixem el triangle i n’anomenem tots elselements.

L’altura divideix la base deltriangle en dues parts:AH, de longitud x.HB, de longitud 10 − x.

SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores als dostriangles rectangles que en resulten.

A AHC:52 = x2 + h2 ⎯⎯⎯→ h2 = 52 − x2

A HBC:82 = (10 − x)2 + h2 → h2 = 82 − (10 − x)2

TERCER. Igualem totes dues expressions.

25 − x2 = 64 − (100 + x2 − 20x)25 − x2 = 64 − 100 − x2 + 20x

= 61 → x = 3,05 cm

QUART. Calculem el valor de h.

h2 = 52 − x2 → h = − =5 3 05 3 962 2( , ) , cm

20x

h xh x

x x2 2 2

2 2 22 2 25

8 105 8 10= −

= − −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− = − −( )

(→ ))2

FES-HO AIXÍ

5 cm 8 cm

G F10 cm

C

h

x 10 − xA H B

4 cm

3 cm

C

P

D

A 7 cm B

2 cm 3

cmC

P

D

A 6 cm B

3 cm

8 cm

4 cm

4 cm6 cm

9 cm

11 cm

830863 _ 0175-0194.qxd 17/12/07 16:53 Página 189

57

37. ●● Troba l’àrea d’aquests trapezis isòsceles:

a) b)

38. ●● Calcula l’àrea de les figures següents:

a) c)

b) d)

28. ●● Troba el perímetre i l’àrea d’aquests rombes:

a) b)

29. ●● Calcula l’àrea i el perímetre d’aquestes figures:

a)

30. ● Troba l’àrea dels triangles següents:

a) b)

31. ● Determina l’àrea d’un triangle equilàter amb aquest perímetre:

a) 36 cm b) 6 dm c) 0,153 m

32. ● Troba l’àrea d’un triangle isòsceles de 7 cm els costats iguals i 9 cm el costat desigual.

33. ●● Calcula l’àrea d’un triangle isòsceles que téels costats iguals de 10 cm i el costat desigual faquatre unitats més que els costats iguals.

34. ●● Calcula l’altura i la base d’un trianglerectangle isòsceles si l’àrea fa:

a) 200 cm2 c) 450 dm2

b) 120,125 m2 d) 317,52 mm2

35. ●● Troba l’àrea dels trapezis següents:

a) d)

b) e)

c) f)

COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRAPEZI ISÒSCELESSI EN DESCONEIXEM L’ALTURA?

36. Calcula l’àrea d’aquest trapezi isòsceles:

PRIMER. Calculem la base del triangle rectangleque determina l’altura.Com que és un trapezi isòsceles, les alturesconfiguren dos triangles rectangles iguals, les bases dels quals fan la meitat de la diferència de les bases del trapezi.

SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que determina l’altura.

(1,5)2 + h2 = (2,5)2

h2 = (2,5)2 − (1,5)2 = 6,25 − 2,25 = 4

TERCER. Calculem l’àrea del trapezi.

AB b h

=+ ⋅

=+ ⋅

=( ) ( )

28 5 2

213 2cm

h = =4 2 cm

AE FBAB CD

= =−

=−

=2

8 52

1,5 cm

FES-HO AIXÍ

202 m

830863 _ 0175-0194.qxd 17/12/07 16:53 Página 190

8 cm

6 cm

7 cm5

cm

5,6 cm

6 cm

4 cm3 cm

5 cm

4 cm

6 cm3,6 cm 4,2 cm

6 cm

12 cm

12 m

8 m

17 m

5 m

20 m 4 m

20 m

7 m

14 m

10 m 25 m

9 m15 m

12,93 m12 m

6 m 7 m 12 m 4 m

5 cm

8 cm

2,5 c

m

2,5 cm

5 cm

2,5

cm

2,5 cm

1,5 1,5

D

h h

C

A E

2,5

cm

6 m

10 m

1,5

D

A E

h

BF

3 m 5 m

3 m 5 m

14 m4 m

7 cm10 cm

6 cm

8 m

13,6

1 m

16 m

5 cm 7 cm12 cm

18 cm

9 m

4 m

14 m14 m

b)

58

LONGITUD DE LA CIRCUMFERÈNCIA

39. ● Completa la taula següent amb les dades que hi falten:

40. ● Calcula la longitud de l’arc marcat en vermell:

a) c)

b) d)

41. ●● Quin és el diàmetre d’una circumferència de 50,24 cm de longitud?

42. ●● Troba el diàmetre d’una circumferència si saps que la longitud d’un arc de 50o

és de 5,23 cm.

43. ●● Quina és la longitud d’una circumferènciaamb un arc de 110o que té 57,57 cm de longitud?

44. ●● Completa la taula:

45. ●● Determina el perímetre d’aquestes figures:

a) b)

ÀREA DE FIGURES CIRCULARS

46. ● Calcula l’àrea d’un cercle de:

a) 6 cm de radi.b) 6 cm de diàmetre.c) 7,2 cm de radi.

47. ● Troba l’àrea d’un cercle delimitat per una circumferència de 321,4 cm.

48. ●● Calcula l’àrea dels cercles amb aquesteslongituds d’arc:

a) c)

b) d)

49. ● Troba l’àrea d’aquests sectors circulars:

a) b)

50. ●● Determina l’àrea dels sectors acolorits:

a) b)

51. ●● Troba l’àrea de la zona ombrejada si:

a) R = 10 m i r = 6 mb) R = 12,6 cm i r = 5 cmc) R = 3r i r = 2,4 cmd) R + r = 31 m i R − r = 5 m

52. ●● Calcula l’àrea acolorida d’aquestes figures:

a) b)

Longitud d’arc de 60o

Longitud d’arc de 85o

Longitud d’arc

de 190o

Longitud de lacircumferència

9,42 cm

17,79 cm

13,26 cm

Radi DiàmetreLongitud de

la circumferència

2 cm

7 cm

29,516 cm

10 cm

6,3 cm

48,984 cm

F

G

FG

830863 _ 0175-0194.qxd 17/12/07 16:53 Página 191

3 cm100°

B

BB

B

B

B

B

B

BB

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

4,5 m

225°

3,8 m

130°

5,6 m

75°

8 m 2 m

4 m

5 m

3,6 cm

13 cm

45°

85°

39,25 cm

150°

86,52 cm

50°

42,39 cm

6,8 m

135°

120°

6,28 m

45°

4 m115°

r

R

8 m

15 m

16 m

20 m

90°

78°

53. ●●● Determina l’àrea de la zona acolorida:

a) c)

b) d)

ANGLES EN POLÍGONS I CIRCUMFERÈNCIES

54. ● Considera que els polígons són regulars i completa la taula:

a) Quin és el polígon amb l’angle més petit?b) I el que té l’angle més gran?

55. ●● Calcula la suma dels angles d’un polígon de 3, 4, 5 i 6 costats.

a) Quina diferència hi ha entre la suma de cadapolígon i la del polígon amb un costat menys?

b) Si la suma dels angles d’un polígon de 15costats és de 2.340°, quina serà la suma d’un de 16 costats?

56. ● Calcula el valor dels angles marcats:

a) d)

b) e)

c) f)

59

57. ●● Si l’arc AB� = 15° 20', calcula el valor dels arcs BC�, CD�, AD� i BE�.

58. ●● Calcula el valor l’angle X$.

a) b)

PROBLEMES D’ÀREES

59. ●● L’ombra que produeix una barreta vertical en un instant determinat és igual a la seva longitud. Quin triangle determinen la barreta i la seva ombra? Quina és la inclinació dels raigs solars?

60. ●● Calcula la longitud del cable de l’estel.

61. ●● Quina és la longitud màxima que en Joanpot nedar en una piscina que fa 17 m de llargadai 10 m d’amplada si tan sols ho pot fer en línia recta?

62. ●● Sobre una paret vertical de 16 m d’altura col·loquen inclinada una escala de 20 m de longitud. A quina distància de la paret es troba la base de l’escala?

63. ●● Una escala fa 2,5 m de longitud i, si la recolzem a la paret, la base queda a 0,7 m de l’escala. A quina altura de la paret arribal’escala?

Nre. de costats

Suma d’angles

Angle interior

3 4

360°

3604

90°

°=

5 6 7 …

830863 _ 0175-0194.qxd 17/12/07 16:53 Página 192

EO B

DC

A

18°

82°40°120° X$

4 m 5 m

2 m

1 m

3 m

10 m

A

O

B

AO

B

AO

B

AO

B

A

O

BA

O

B

X$

x

x

24 m

7 m

20 m

16 m

60

64. ●● Una antena està agafada al terra per doscables de 2,7 m i 3,6 m que formen un anglerecte. Quina és la distància que separa els dospunts d’unió dels cables amb el terra?

65. ●● L’Anna té un jardí rectangular, de 500 m de llargada i 300 m d’amplada, i hi vol fer unapiscina de forma circular de 100 m de radi. Quant terreny li queda per plantar-hi gespa?

66. ●●● Dos cotxes surten d’una ciutat alhora i en direccions perpendiculars. El primer va a 60 km/h, i el segon a 89 km/h. Quina distànciaels separa després d’1 hora i quart?

67. ●●● Dos avions s’enlairen d’un aeroport al mateix temps i amb direccionsperpendiculars. El primer va a una velocitat de 600 km/h, i el segon, de 800 km/h.

a) Quina distància els separa al cap de 2 hores?b) Si l’abast de la seva ràdio és de 500 km,

es podran posar en contacte després de mitja hora?

68. ●●● Un dels guarniments de metall d’una reixa té aquesta forma. Calcula la longitud del guarniment si saps que l’àrea del quadrat és de 256 cm2.

69. ●●● Si saps que s’han fet servir 400 cm2 de cristall verd, calcula quants cm2

de cristall blau calen per construir aquest vitrall.

INVESTIGA

70. ●●● Si dos polígons tenen la mateixa àrea,poden tenir perímetres diferents?

71. ●●● La fórmula per calcular l’àrea d’un

polígon regular és: .

Comprova que, aplicant aquesta fórmula al triangle equilàter i al quadrat, obtenim

les fórmules de l’àrea d’un triangle:i d’un quadrat: A = c2.

72. ●●● PITÀGORES I ELS BABILONIS. Pitàgores vaviatjar probablement a Egipte i a Babilònia, i se suposa que allí ja coneixien la relació entreels costats dels triangles rectangles. L’any 1920, a la ciutat de Larsa, es va trobar una tauleta que va anar a parar a les mans de l’editor americà George Arthur Plimpton. Quan va morir, es va donar a la Universitat de Columbia, on se li va atorgarel número 322 del catàleg, per això rep el nomde Plimpton 322. En aquesta tauleta i en nombresen base 60 (no decimal) apareixen diferentscolumnes amb els nombres p i q que generen lesternes pitagòriques. Donats dos nombres entersqualssevol p i q, la terna formada pels nombresa = p2 − q2, b = 2pq i c = p2 + q2 ens donen una terna pitagòrica. Per exemple, si p = 1 i q = 2, llavors obtenim la terna a = 3, b = 4 i c = 5, que és la primera terna pitagòrica: 32 +42 = 52.

Esbrina els valors de les ternes formades peraltres nombres trobats a la tauleta:

a) p = 12 i q = 5 b) p = 9 i q = 5 c) p = 15 i q = 8

Comprova que són ternes pitagòriques.

73. ●●● En un quadrilàter qualsevol, assenyala els punts mitjans dels costats i uneix-los de dos en dos. Quina figura es forma? Investiga si es compleix sempre.

74. ●●● La recta DE és paral·lela al costat BC.

a) Troba les mides dels segments BE i DEen funció de b i x.

b) Determina b i xperquè DE = BE + CD

i .CDAC

=511

Ab h= ⋅

2

A = ⋅Perímetre Apotema

2

F

F

830863 _ 0175-0194.qxd 17/12/07 16:53 Página 193

D

C

AB

E

b

10 cm

12 cmD

C

A B

x

256 cm2

x

2,7 m 3,6 m

89 km/h

60 k

m/h

Cossos geomètrics

tema 10


62

POLIEDRES

2. ●● Un cub té una aresta de 5 cm. Calcula la longitud de la diagonal de la cara i de la diagonal del cub.

3. ●● Un ortoedre té arestes de 5 cm, 7 cm i 9 cm.Troba la longitud de les diagonals de les cares i de la diagonal de l’ortoedre.

4. ●● Un cub té una diagonal de cara de 4 cm.Determina la longitud de l’aresta i de la diagonaldel cub.

POLIEDRES REGULARS

5. ● Completa la taula si saps que les dadespertanyen a poliedres en els quals es compleix la fórmula d’Euler:

6. ●● Classifica els poliedres següents en còncaus i convexos. Avalua si compleixen la fórmula d’Euler:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

7. ● Comprova si es compleix la fórmula d’Euler:

8. ●● Quin poliedres o poliedres regulars podemobtenir si fem servir com a cares trianglesequilàters? I amb pentàgons regulars? I amb hexàgons regulars?

COM CALCULEM LES DIAGONALS D’UN ORTOEDRESI EN CONEIXEM LES ARESTES?

1. Calcula la longitud de les diagonals d’aquest ortoedre:

PRIMER. Identifiquem els tipus de diagonals que hiha al poliedre.En un ortoedre hi ha tres tipus de diagonals: les de les cares laterals, les de les bases i les situades entre vèrtexs de cares oposades.

SEGON. Determinem les diagonals de les cares,que són la hipotenusa del triangle rectangle queté com a catets els costats de la cara. Hi apliquemel teorema de Pitàgores.

d 2 = 22 + 42

d 2 = 22 + 22

TERCER. Determinem les diagonals que hi hasituades entre vèrtexs de cares oposades.Aquestes diagonals són la hipotenusa del trianglerectangle que té com a catets les diagonals de lescares laterals i les arestes de la base. Hi apliquemel teorema de Pitàgores.

d 2 = 22 + (4,47)2

d = + =2 4 47 4 92 2( , ) , cm

d = + =2 2 2 832 2 , cm

d = + =2 4 4 472 2 , cm

FES-HO AIXÍ

PoliedreNre. decares

Nre. devèrtexs

Nre.d’arestes C + V A + 2

Tetraedre

Octaedre

Dodecaedre

Icosaedre

Cub

Nre. de cares Nre. de vèrtexs Nre. d’arestes

9 21

8 12

11 27

12 20

16 24

830863 _ 0195-0212.qxd 17/12/07 10:00 Página 208

4 cm2 cm

2 cm

4 cm

2 cm d

2 cm

4,47 cm

2 cm

2 cm

d

d

63

PIRÀMIDES

19. ● Dibuixa aquestes piràmides i el seudesenvolupament pla, i indica’n tots els elements:

a) Piràmide triangular c) Piràmide pentagonalb) Piràmide quadrangular d) Piràmide hexagonal

20. ● Dibuixa una piràmide regular i una altra d’irregular.

21. ● Dibuixa una piràmide recta i una altra d’obliquaque tinguin la mateixa base.

COM CALCULEM L’ARESTA D’UN CUB SI EN CONEIXEM L’ÀREA?

15. Calcula l’aresta d’un cub si saps que la seva àrea és 54 cm2.

PRIMER. Hi apliquem la fórmula de l’àrea total.

AT = 6 ⋅ AQuadrat = 6 ⋅ c ⋅ c = 6c2

SEGON. Ho igualem amb l’àrea coneguda.

6 54546

9 9 32 2c c c= = = = =→ → cm

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0195-0212.qxd 17/12/07 10:00 Página 209

PRISMES

9. ● Dibuixa aquests prismes i indica’n tots els elements. Dibuixa’n també elsdesenvolupaments plans:

a) Prisma triangularb) Prisma quadrangularc) Prisma pentagonald) Prisma hexagonal

10. ● Dibuixa un prisma regular i un altre d’irregular.

11. ● Dibuixa un prisma recte i un altre d’oblic que tinguin la mateixa base.

12. ● Dibuixa un prisma pentagonal regular i el seu desenvolupament. Acoloreix de blaul’àrea lateral i, de vermell, l’àrea de les bases.Com es calcula l’àrea total?

13. ●● Digues quines afirmacions són verdaderes i corregeix les falses. Justifica la teva decisió.

a) Un cub és un ortoedre.b) L’altura d’un prisma oblic és l’aresta lateral.c) Els prismes oblics es classifiquen en regulars

i irregulars.

14. ●● Calcula l’àrea total d’aquests prismes:

a) f)

b) g)

c) h)

d) i)

e) j)

16. ●● L’àrea total d’un cub fa 24 cm2. Calcula l’aresta del cub, la diagonal de la cara i la diagonal del cub.

17. ●● Troba la diagonal d’un cub de 150 m2

d’àrea total.

18. ●●● Calcula l’àrea dels triangles acolorits:

a) c)

b) d)

G

G

G

c

c

7 cm 7 cm

4 cm

8 cm

12 c

m 12 cm 8 cm

5 cm

14 c

m

10 cm 6 cm

4 cm

20 c

m

5 cm

9 cm

12 c

m

15 c

m

6 cm

5 cm 6 cm

8 cm

5 cm5 cm

6 cm

3 cm8 cm

6 cm

5,2 cm

3,44 cm

8 cm

2 cm

5 cm

G

5 cm

4,25 cm

7,24 cm

11 c

m

64

22. ● Dibuixa el desenvolupament pla d’una piràmidetriangular regular amb arestes laterals de 6 cm i de base un triangle equilàter de 4 cm de costat.

23. ●● Identifica similituds i diferències entre una piràmide triangular regular i un tetraedre.

24. ●● Digues quines afirmacions són verdaderes i corregeix les falses. Justifica la teva decisió.

a) En una piràmide regular, les cares laterals sóntriangles equilàters.

b) Una piràmide és un prisma triangular.c) L’altura d’una piràmide és qualsevol

de les arestes laterals.d) Una piràmide regular és un tetraedre.

26. ●● Calcula l’àrea total d’aquestes piràmides:

27. ●● Troba l’àrea total d’un tetraedre d’aresta:

a) 3 cm b) 5 cm c) 9 cm d) 6,2 cm

28. ●● Calcula l’àrea total d’aquestes piràmides:

a) b)

29. ●● Determina l’àrea total d’una piràmidehexagonal regular que té una àrea de la base de 100 cm2 i una altura de 20 cm.

30. ●●● L’àrea total d’una piràmide quadrangularregular és de 4 cm2 i l’altura és de 6 cm. Calculal’aresta d’un cub que té com a àrea total la mateixa que la de la piràmide.

31. ●●● Troba la longitud de l’aresta d’un tetraedreperquè la seva àrea sigui igual que la d’unapiràmide hexagonal regular, amb aresta bàsica de 3 cm i apotema de les cares laterals de 10 cm.

COSSOS DE REVOLUCIÓ

32. ● L’altura d’un cilindre és de 9 cm i el diàmetre dela base fa 6 cm. Dibuixa’n el desenvolupament.

33. ● Calcula l’àrea total d’aquests cilindres:

a) b)

34. ●● Troba l’altura d’un cilindre d’àrea lateral756,6 cm2 i radi de la base 10 cm.

35 ●●L’àrea total d’un cilindre és de 471 cm2

i l’altura és el doble del radi. Calcula’n l’altura i el radi.

36. ● Dibuixa el desenvolupament d’un con i calculael valor de la longitud de l’arc del sectorcorresponent, si el radi de la base del con és de 4 cm, i la generatriu, de 15 cm.

COM CALCULEM L’ÀREA D’UNA PIRÀMIDE SI EN CONEIXEM LES ARESTES?

25. Calcula l’àrea total d’aquesta piràmide:

PRIMER. Calculem l’apotema de la piràmide.Apliquem el teorema de Pitàgores al trianglerectangle que formenl’apotema de la piràmide, la meitat del costat de labase i l’aresta lateral.

252 = a2 + 52 →

SEGON. Calculem l’apotema de la base.Apliquem el teorema de Pitàgores al trianglerectangle que formen l’apotema de la base, la meitat del costat de la base i el radi de la base.

TERCER. Determinem l’àrea.

AT

=⋅ ⋅

+⋅ ⋅

=( ) , ( ) ,6 10 24 49

26 10 8 66

22994,5 cm

=⋅

+⋅

=P a P aB B

2 2'

10 5 10 52 2 2 2 2= + = − =( ) 8,66 cma a' '→

a = − =25 5 24 492 2 , cm

FES-HO AIXÍ

F

830863 _ 0195-0212.qxd 17/12/07 10:00 Página 210

10 cm

25 cm

a

5 cm

25 cm

10 c

m

a

5 cm

r = 10 cm

r

a'r

34 m

25 m

9 m

6 m

5,1 m

10 m

8 m

8 m

6 m

10 m

7 m

5 m

12 m

65

37. ● Un con té 12 cm de generatriu i 8 cm de diàmetre de la base. Calcula’n l’àrea total.

38. ●● Troba l’altura d’un con de generatriu 13 cm i radi de la base 5 cm.

39. ●● Calcula el radi d’una esfera si saps que l’àreade la seva superfície és de 803,84 cm2.

40. ●● Troba l’àrea total d’aquestes figures:

41. ●●● Esbrina quina ha de ser la generatriu del con perquè tots dos tinguin:

a) La mateixaàrea lateral.

b) La mateixaàrea lateral.

PROBLEMES AMB COSSOS GEOMÈTRICS

42. ●● Les parets i el sostre d’una habitació tenenuna àrea de 94 m2. Si el terra és un rectangle de 7 m de llargada i 4 m d’amplada, quina altura té l’habitació?

43. ●● Un edifici té forma de prisma recte de 30 m d’altura i la base és un triangle equilàterde 5 m de costat. Quines àrees lateral i total tél’edifici?

44. ●● Calcula l’àrea lateral i la total d’un monòlit en forma de piràmide hexagonal que té el costatde l’hexàgon de 10 cm i el costat dels triangleslaterals de 25 cm.

45. ●● Determina quant costarà construir aquestedifici si saps que el metre quadrat de totxoscosta 4,35 €, i el de teules, 9,65 €.

46. ●● Una tenda de campanya de forma cònica téuna altura de 2 m i un diàmetre d’1 m. Quantsmetres quadrats calen per folrar-la, inclosa la base?

47. ●● Una bobina de paper de forma cilíndrica téuna altura d’1,75 m i un diàmetre de la basecircular de 80 cm. Calcula’n l’àrea total.

48. ● Determina la superfície esfèrica d’una pilotaque té 30 cm de diàmetre.

49. ●● Calcula l’àrea total d’aquestes figures:

INVESTIGA

50. ●●● Si considerem C = 11, V = 11 i A = 20, es compleix la fórmula d’Euler. Hi ha cap poliedre les cares del qual coincideixin amb aquestes quantitats? En cas afirmatiu,dibuixa’l.

51. ●●● Amb 1.000 cubs petits construïm un cubgran que té 10 cubs per aresta. Tot seguit, pintem les 6 cares del cub. Quants cubs petitstenen 3 cares pintades? Quants cubs petits tenen 2 cares pintades? I quants en tenen 1?Quants cubs petits no tenen cap cara pintada?

52. ●●● L’Enric té 36 cubs de fusta per ferconstruccions. Quants prismes diferents pot formar si utilitza tots els cubs?

53. ●●● Una formiga es desplaça des del punt X fins al punt Ysobre la superfície d’un cilindre.

Quina és la distància mínima que ha recorregut la formiga?

G

GF

a) b)

GF

830863 _ 0195-0212.qxd 17/12/07 10:00 Página 211

10 c

m

10 c

m

10 cm

15 m

30 m 10 m15 m

10 m

5 m30 m

7 cm

3 m

2,5 m

3,5 m

2 m

10 m

5 m

3 cm5 cm10 cm

10 cm

5 cm

10 cm

10 cm

X

Y

Volum de cossos geomètrics

tema 11


67

UNITATS DE VOLUM

1. ● Transforma en decímetres cúbics:

a) 8,56 m3 c) 0,085 m3

b) 124.090 cm3 d) 0,006 dam3

2. ● Expressa en decàmetres cúbics:

a) 93,42 m3 c) 0,86 hm3

b) 64.090 cm3 d) 0,0059 dm3

3. ● Expressa en metres cúbics:

a) 1,4 km3 23 hm3 18 dam3

b) 0,625 dm3 850 cm3 589 mm3

4. ● Transforma en hectòmetres cúbics:

a) 30 dam3 41 m3 c) 760 m3 480 dm3

b) 4.450 m3 500 cm3 d) 98 m3 4.800 dm3

5. ● Expressa de forma complexa:

a) 57.784.325 dam3 c) 85.245,9847 m3

b) 782.760,432 cm3 d) 6.667.229.503 dm3

VOLUM, CAPACITAT I MASSA

6. ● Expressa en mil·lilitres:

a) 53,41 ¬ c) 9,08 dalb) 5.246 cl d) 0,0019 hl

7. ● Transforma en decalitres:

a) 8.050 dl 900 cl c) 7.590,41 dlb) 850 ml 50 cl d) 80 dl 4.750 ml

8. ● Calcula el pes d’aquesta aigua destil·lada:

a) 3 dal b) 12 dl c) 65 cm3 d) 423 m3

9. ●● Una barra de ferro pesa 40 kg. Si la densitatdel ferro és 7,8 kg/dm3, quin volum tindrà?

10. ●● Un lingot d’argent de 2 dm3 pesa 20,94 kg.Quina és la densitat de l’argent?

11. ●● La densitat de l’or és 19,258 g/cm3. Digues què significa això.

12. ●● Un bloc d’alumini pesa 75 kg i té una densitatde 2,7 g/cm3. Quin volum té?

13. ●● Un tros de metall pesa 3.149,6 g i té una densitat de 12,4 kg/dm3. Quin és el seu volum en cm3?

VOLUM DE PRISMES I CILINDRES

14. ● Calcula el volum d’un cub que té 8 cm d’aresta.Expressa el resultat en m3.

15. ● El perímetre de la base d’un cub és de 84 cm.Troba’n el volum.

16. ● Si el volum d’un cub és de 98 cm3, calcula’n lalongitud de l’aresta.

17. ●● El volum d’un cub és de 125 cm3. Troba’n la diagonal.

18. ●● Mitjançant el principi de Cavalieri, identifica quines d’aquestes figures tenen el mateix volum:

a) c)

b) d)

19. ● Determina el volum d’un prisma que té com a base un quadrat de 8 cm de costat i l’alturaés de 15 cm.

20. ● Calcula el volum d’aquest prisma de base hexagonal regular.

21. ●● Determina el volum d’un prisma hexagonal que té 10 cm d’aresta bàsica i 16 cm d’altura.

22. ●● Un prisma de base quadrada de 12 cm d’altura té un volum de 146 cm3. Calcula la longitud del costat de la base.

23. ● Troba el volum d’un cilindre de 15 cm d’altura i de 16 cm de diàmetre de la base.

24. ● Calcula el radi d’un cilindre que té 8 cm d’alturai un volum de 122 cm3.

25. ●● Troba el volum d’un cilindre de 12 cm de radide la base i, d’altura, el triple del radi.

830863 _ 0213-0228.qxd 26/12/07 12:17 Página 224

4 cm

4 cm

3 cm

4 cm 4 cm

4 cm

4 cm

4 cm

3 cm

4 cm

6 cm

5,2 c

m

8 cm

8 cm 2 cm

VOLUM DE L’ESFERA

26. ● Troba el volum d’una esfera de 15 cm de radi.

27. ●● El diàmetre de la base i l’altura d’un cilindrefan 16 cm. Troba el volum contingut entre el cilindre i l’esfera que hi està inscrita.

28. ●● Calcula i contesta.

a) Quin és el volum d’una esfera que té 14 cm de diàmetre?

b) Quants centilitres d’aigua caben en aquestaesfera?

c) Quants centigrams pesa l’aigua que cap a l’esfera?

30. ●● Calcula el volum d’aquests sectors esfèrics:

a) r = 8 cm α = 36o

b) r = 5 m α = 120o

c) r = 10 dam α = 90o

d) r = 12 cm α = 150o

31. ●●● Una taronja de 10 cm de diàmetre té 8 grillsiguals. Calcula el volum de cada grill.

COM CALCULEM EL VOLUM D’UN SECTOR ESFÈRIC?

29. La part d’una esfera limitada per dossemicercles que té com a diàmetre el de l’esfera l’anomenem sector esfèric.

Quin és el volum d’aquestsector esfèric?

PRIMER. Calculem el volum de l’esfera.

SEGON. Plantegem una regla de tres en funció dels graus que tingui el sector esfèric.

Si a 360° 24.416,64 cm3

a 40° x cm3

x =⋅

=40

3602 712 96 324.416,64

cm. ,

hi correspondran⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

hi corresponen⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

V r= = ⋅ =43

43

18 24 416 643 3 3π π . , cm

FES-HO AIXÍ

68

PROBLEMES DE VOLUM

32. ●● El consum anual d’aigua en un habitatge ha estat de 140 m3 256 dm3. Quant han de pagar si el metre cúbic costa 0,90 €?

33. ●● Un recipient ple d’aigua destil·lada pesa 380 g i buit pesa 20 g. Digues quina capacitat té en decilitres i en centilitres.

34. ●● Una aixeta aboca 80 litres per hora i triga 1 hora i 36 minuts a omplir una bóta. Quin volum té la bóta?

35. ●● Una bomba d’aigua que extreu 30 dm3/mintriga 2 hores i mitja a buidar un dipòsit. Quants litres caben al dipòsit?

37. ●● Una aixeta aboca 24,1 ¬/min. Quant triga a omplir un dipòsit de 24,75 m3 160 dm3?

38. ●● El desguàs d’un estany de 180 dm3 evacua 35 ¬/min. Quant trigarà a buidar-se?

COM RESOLEM PROBLEMES D’OMPLIR I BUIDARAMB UNITATS DIFERENTS?

36. Una aixeta aboca 140 ¬ /mm. Quant triga a omplir un dipòsit de 9 m3 800 dm3?

PRIMERO. Transformem totes les quantitats a les mateixes unitats.Transformem en dm3:Aixeta ⎯→ 140 ¬/min = 140 dm3/minDipòsit → 9 m3 + 800 dm3 =

= (9 ⋅ 1.000) dm3 + 800 dm3 = 9.800 dm3

SEGON. Resolem la regla de tres.

Si 140 dm3 1 min

9.800 dm3 x min

x =⋅

=1 9 800

14070

.min

s’ompliran en⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

s’omplen en⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

FES-HO AIXÍ

830863 _ 0213-0228.qxd 14/12/07 16:22 Página 226

αr

18 cm40°

69

39. ●● Un pantà conté 3.542 milions de m3 d’aigua. A l’estiu perd 875.000 ¬ per dia.

a) Quants m3 perdrà en 60 dies?b) Quants m3 hi quedaran després de 20 dies?

40. ●● En un dipòsit caben 2.700 ¬ d’aigua. Si una aixeta triga 45 minuts a omplir-lo, quants metres cúbics aboca per minut?

41. ●● Una piscina té 25 m de llargada, 12 md’amplada i 1,6 m de profunditat. Quant tempstriga a omplir-la una aixeta que aboca 100 ¬/min?

42. ●● Quantes caixes d’1 m de llargada, 8 dmd’amplada i 6 dm d’altura podem amuntegar enuna sala de 4 ×3,2 m de planta i 2,4 m d’altura?

43. ●● En un dia, les precipitacions de pluja van serde 60 ¬/m2. A quina altura va arribar l’aigua en un recipient cúbic de 2 dm d’aresta?

44. ●● Troba el volum de la cucurulla d’un confrarede setmana santa si saps que té 9 cm de radi i 60 cm d’altura.

45. ●● Per inflar 200 pilotes de radi 12 cm, quin volum d’aire necessitem?

46. ●● Calcula el volum de material que ens cal per fabricar una pilota de 15 cm de radi i 1 cm de gruixària.

47. ●●● El radi de la Terra és de 6.370 km i el de Mart fa 3.400 km.

a) Quantes vegades és més gran el radi de la Terra que el de Mart?

b) Quantes vegades més gran és el volum de la Terra que el de Mart?

48. ●●● Una empresa que fabrica boles de vidre les envasa com veus a la figura:

a) Troba el volum contingut entre el cilindre de l’envàs i la bola que hi ha inscrita.

b) Si omplen l’espai que queda entre la bola i l’envàs amb un material que costa 4,50 €/m3,quant costarà el farciment de 200 envasos?

c) Contesta les preguntes anteriors en el supòsitque l’envàs fos un cilindre de 13 cm de radi i de 25 cm d’altura.

d) Quina de les dues opcions és més econòmica?

INVESTIGA

49. ●●● Un con de 3 m d’altura i una esfera de 3 m de radi tenen el mateix volum. Quin és el radi de la base del con?

50. ●●● Si un con i un cilindre tenen la base i el volumiguals, quina relació hi ha entre les altures?

51. ●●● Un con i un cilindre tenen la mateixa altura i el mateix volum. Quina relació hi ha entre els diàmetres de les bases?

52. ●●● El radi del con de la figura és igual a l’altura,i tots dos segments són idèntics al radi de l’esfera. Quants cons d’aigua necessitem per omplir l’esfera?

53. ●●● Quantes vegades augmenta el volum d’un prisma hexagonal si en dupliquem l’altura? I si en dupliquem les dimensions de la base? I si en dupliquem les tres dimensions?

54. ●●● Dins d’una esfera hi ha inscrit un cub, dins del qual hi ha inscrita una esfera. Quina relació hi ha entre el volum de l’esfera interior i l’exterior?

830863 _ 0213-0228.qxd 14/12/07 16:22 Página 227

25 cm

r

2r

Funcions

tema 12


71

COORDENADES CARTESIANES

1. ● Dibuixa uns eixos cartesians en un paperquadriculat i representa aquests punts.

A(5, 2) C(2, 5) E(0, −5)

B D(4, −7) F

2. ● Representa en els eixos de coordenadescartesianes els punts següents:

A(2, 2) C(1, 2) E(−3, 6) G(8, −6)

B(−5, −2) D F H

3. ● La gràfica relaciona el temps d’una trucadatelefònica amb el seu preu. Digues el preu i el temps de les trucades A, B i C.

a) Quina unitat agafem en cada eix?b) Troba la taula de valors que relaciona les dues

magnituds.

4. ● A partir de la gràfica, digues si les afirmacionssegüents són certes:

a) B pesa més que C.b) C és el més alt i el que pesa més.c) B és el més baix i el que pesa menys.

5. ● Representa en uns eixos cartesians els punts A(2, 3), B(0, 1) i C(2, −1). Troba les coordenades d’un altre punt que, amb aquests punts, formi els vèrtexs d’un quadrat.

25

0,⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

34

52

,⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

32

5,⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟3

32

,− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

52

4,

FUNCIONS

6. ● Indica si aquestes relacions són funcions.

a) A cada nombre natural li associem els seusdivisors.

b) A cada nombre natural li fem correspondre el seu doble més 3.

7. ● El preu del quilogram de cireres és 2,75 € .

a) Fes una taula de valors en què constin el pes i el preu.

b) Defineix la variable independent i la variabledependent.

c) Troba’n l’expressió algebraica.d) Avalua si és una funció o no.

8. ●● La gràfica representa la quantitat de gasolinaque hi ha en un dipòsit durant un viatge.

a) Quants litres hi ha al dipòsit en el moment desortir? I a l’arribada?

b) En quins quilòmetres es va posar gasolina?c) Quants litres de gasolina es van posar durant

el viatge?d) Identifica la variable dependent i la independent.

9. ● Indica quines d’aquestes gràfiques pertanyen a una funció.

a) b)

10. ●● Si en una cafeteria hem pagat 15 €per 6 cafès:

a) Fes una taula de valors on constin el nombre de cafès i el preu.

b) Digues quina és cada variable.

X

A

B

CY

Y

1

0,80

0,60

0,40

0,20

2 3 4 5 6 7 8

Temps (min)

Pre

u (

€)

9

X

C

B

40

40

30

20

10

20 60Altura (cm)

Pes

(kg

)

A

X

Y

100 200 300 400

40

30

20

10

Quilòmetres

Lit

res

X

Y

X

Y

830863 _ 0229-0248.qxd 26/12/07 12:18 Página 242

72

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D’UNA FUNCIÓ

11. ● Expressa aquestes relacions mitjançant una taula de 5 valors com a mínim.

a) Un nombre i la seva meitat.b) El costat d’un quadrat i la seva àrea.c) Un nombre i el seu invers.d) Un nombre i el seu triple.

13. ●● Donada la funció que associa a cada nombrea seva meitat més 2 unitats:

a) Elabora una taula de valors.b) Troba’n l’expressió algebraica.c) Troba f (−5) i f (4).

14. ●● Donada la funció que associa a cada nombreel seu oposat més 5:

a) Troba’n l’expressió algebraica.b) Calcula f (2) i f (−2).c) Representa la funció.

15. ●● Escriu l’expressió algebraica.

a) A cada nombre li assignem la seva cinquena part.b) A cada nombre li fem correspondre el cub

del seu doble.c) A cada nombre li associem el quadrat

de la seva tercera part.

16. ●● Cada apartat descriu una relació entre dues magnituds. Expressa-la mitjançant una expressió algebraica i defineix, prèviament,les variables x i y.

a) El preu del quilo de cafè és de 12,40 €.b) El preu dels articles d’una botiga està rebaixat

el 30 %.c) El valor d’un cotxe es deprecia el 10 %

cada any.d) La distància recorreguda per un ciclista

que circula a 20 km/h.

ESTUDI D’UNA FUNCIÓ

17. ●● La gràfica següent expressa la relació entre el temps (en minuts) i l’espai (en quilòmetres) recorregut per una personadurant una hora.

a) Expressa-la en una taula de valors.b) Quants quilòmetres ha recorregut?c) Quant temps ha estat aturada?d) Quant temps ha caminat?

18. ●● Estudia el creixement i el decreixement de les gràfiques de les funcions següents:

a) c)

b) d)

COM EXPRESSEM ALGEBRAICAMENT ALGUNES RELACIONS NUMÈRIQUES?

12. Quina és l’expressió algebraica que relaciona un nombre enter amb el seu quadrat?

PRIMER. Estudiem la taula de valors.

SEGON. Escrivim el resultat en forma algebraica.

x → y = x2

Si donem un valor a la variable independent, x,obtenim el quadrat d’aquest valor, que és la variable dependent, y.

FES-HO AIXÍ

Nombre 1 2 3 4 5 6 7 …

Quadrat 1 4 9 16 25 36 49 …

X

Y

9

6

3

Temps (min)

Dis

tàn

cia

(km

)

605040302010

1

1

1

−2−2

3

1 3

Y

Y

X

Y

X

X

39

38

37

5

3

1

10 12 14 16

1 3 5 7

Y

X

830863 _ 0229-0248.qxd 26/12/07 12:18 Página 243

73

19. ● Indica’n els màxims i els mínims.

20. ●● La gràfica mostra el preu d’una trucadatelefònica amb un contracte determinat:

a) Identifica les variables. És una funció?b) Esbrina si és una funció creixent

o decreixent?c) Té màxims i mínims?d) Quant costarà una trucada de 8 minuts?

I una de 7 minuts? I una de 2 minuts?e) Si només vull gastar 1 €, quant temps

podré parlar?f) És una funció contínua?

21. ●● La velocitat d’un motorista varia segonsindica la gràfica.

a) Digues els trams on la funció creix.b) Digues els trams on la funció decreix.c) Troba els màxims absoluts i relatius.d) Quins són els mínims absoluts o relatius?e) És una funció contínua?

22. ●● La gràfica mostra la temperatura d’una ciutat durant 24 hores seguides.

Analitza’n el creixement, el decreixement, elsmàxims i els mínims.

23. ●● Aquesta taula recull les temperatures d’una localitat al llarg d’un dia.

a) Identifica les variables.

b) Representa la gràfica.

c) Troba’n els màxims relatius.

d) Troba’n els mínims relatius.

e) És una funció contínua?

f) Durant quantes hores la temperatura ha superat els 0 ºC?

g) A quina hora es va mesurarla temperatura mínima? I la màxima?

h) A quines hores latemperatura va ser de 0 ºC?

24. ●● La gràfica registra el nombre de visitants d’un museu durant 9 dies. Digues quines de les afirmacions són verdaderes.

a) Hi ha un màxim a x = 4, perquè el quart dia esva registrar el nombre de visitants més gran.

b) El nombre de visitants va ser diferent cada dia.c) En dos dies hi van anar 250 persones.d) Els últims cinc dies hi va haver en total més

visitants que durant els quatre primers dies.

Pre

u (

€)

Temps (min)

3 6 9 12

0,80

0,60

0,40

0,20

YY

X

X

1 2 3 4 5 6 7

3

2

1

Y

Vel

oci

tat (

km/h

)

Temps (min)X5 10 15 20

60

30

Y

Vis

itan

ts

DiesX1 2 3 4 5 6 7 8 9

400

300

200

100

Hores °C

2 −9

6 −6

8 −3

10 3

12 8

14 9

16 7

18 4

20 −3

22 −3

24 −5

Tem

per

atu

ra (

°C)

Temps (min)

3 6 9 12 15 18 21 24

25

20

15

10

5

Y

X

830863 _ 0229-0248.qxd 26/12/07 12:18 Página 244

FUNCIÓ DE PROPORCIONALITATDIRECTA

25. ●● L’Elena surt del quilòmetre 0 d’una cursa ambuna velocitat de 3 km/h.

a) Completa la taula i dibuixa’n la gràfica.

b) Troba l’expressió algebraica d’aquesta funció.c) En el moment en què passa pel quilòmetre 11,

quant temps fa que ha sortit?

26. ●● Les dades de la taula són mesures d’espais i temps que es triguen a recórrer-los.

a) Completa les dades de la taula.b) Representa les dades gràficament.c) Troba l’expressió algebraica d’aquesta funció.

28. ●● Determina l’equació i representa la funcióque verifica aquestes dues condicions.

a) És una funció de proporcionalitat directa.b) f (3) = 1

29. ●● Determina l’equació de la funció de proporcionalitat directa que passa per:

a) (1, −1) b) (3, −4) c) (−2, −1)

Alguna d’aquestes funcions passa pel punt (7, 2)? I pel punt (0, −2)?

30. ●● Representa aquestes funcions en els mateixos eixos de coordenades. Explica les diferències que trobis entre elles.

a) y = −x c) y = −3x

b) y = d) y =

31. ●● Representa aquestes funcions en els mateixos eixos de coordenades. Explica les diferències que trobis entre elles.

a) y = x b) y = c) y = 2x d) y = 5x

33. ●● Determina les equacions d’aquestes funcions:

12

x

−13

x−12

x

74

Temps (h) 0 1 2 3 4 5

Distància al km 0 0 3

Espai (m) 120 30 60

Temps (s) 9 6

COM DETERMINEM L’EQUACIÓ D’UNA FUNCIÓDE PROPORCIONALITAT DIRECTA SI CONEIXEMUN PUNT QUE HI PERTANY?

27. Determina l’equació de la funció de proporcionalitat directa que passa pelpunt (2, −2).

PRIMER. En l’equació y = mx, substituïm xper la primera coordenada i y per la segona.

y = mx −2 = m ⋅ 2

SEGON. Calculem m.

Per tant, l’equació de la funció és y = −x.

− = =−

= −2 22

21m m→

x = 2, y = −2⎯⎯⎯⎯⎯→

FES-HO AIXÍ

COM DETERMINEM L’EQUACIÓ D’UNA FUNCIÓ DE PROPORCIONALITAT DIRECTA SI EN CONEIXEM LA GRÀFICA?

32. Determina l’equació d’aquesta funció:

PRIMER. Si la funció és una recta i passa perl’origen de coordenades, és una funció deproporcionalitat directa i, per tant, la seva equacióés del tipus y = mx.

SEGON. Determinem un punt pel qual passa.La gràfica passa per (1, 2).

TERCER. Calculem m.

y = mx 2 = m ⋅ 1 → m = 2

Per tant, l’equació de la funció és y = 2x.

x = 1, y = 2⎯⎯⎯⎯⎯→

FES-HO AIXÍ

a)

b)

Y

X

4

2

2 4

c)

d)

Y

X1

2

830863 _ 0229-0248.qxd 26/12/07 12:18 Página 245

75

FUNCIÓ DE PROPORCIONALITATINVERSA

34. ●● La taula següent correspon a una funció deproporcionalitat inversa.

a) Completa la taula.b) Escriu l’expressió algebraica de la funció.c) Representa la funció.

35. ●● La relació entre dos nombres positius vedonada per la taula següent:

a) Quina és l’expressió algebraica d’aquestarelació?

b) Representa-la gràficament.c) Dóna valors a x molt propers a zero.

Què passa amb els valors de y?

36. ●● L’àrea d’un triangle és de 18 cm2. Construeix una taula amb diferents valors de la base i l’altura i representa la funció que ens dóna l’altura en funció de la base.

Determina l’expressió algebraica que relacionaaquests valors i representa-la gràficament.

37. ●● Donades les funcions .

a) Representa-les gràficament.b) Escriu les característiques que

les diferencien.

38. ●● Donada la funció :

a) Per a quins valors la funció és decreixent?b) Té màxims o mínims?c) Fes una taula de valors donant valors a x

de −1 a 0 i de 1 a 0, i prenent valors cadavegada més propers a 0. A quins valors s’acosta la funció?

yx

= − 5

yx

yx

= = −6 6i

PROBLEMES AMB FUNCIONS

39. ●● La taula següent, publicada per una ONGdedicada a la conservació de les espècies,representa la població de tigres de Bengala a l’Índia des de 1999 fins a 2007.

a) Representa gràficament els parells de valors.

b) Interpreta els resultats obtinguts.

40. ●● Fem una excursió en bicicleta fins a un parc situat a 60 km. Per arribar-hi s’ha de recórrer un camí amb pujades i baixades.Després, descansem i tornem a casa.

a) Quin significat tenen els nombres situats en l’eix d’abscisses? I els de l’eix d’ordenades?

b) A quina hora hem sortit?

c) Quants quilòmetres hi ha des de l’inici de la primera pujada fins al cim?

d) Quant temps triguem a pujar-la? I a baixar-la?

e) Quant temps estem al parc?

f) Com és el camí de tornada?

g) En quin tram la funció creix? On decreix?

h) És una funció contínua?

x 1 2 3 4 5 …

y 1/4

x 0,02 0,1 0,2 0,5 1 2 …

y 300 60 30 12 6 3 …

6 cm

6 cm

4 cm

3 cm

9 cm 12 cm

Any 99 00 01 02 03 04 05 06 07

Tigres 900 870 800 810 805 750 700 720 750

Y

8 10 12 14 16 18

60

50

40

30

20

10

Temps (h)

Dis

tàn

cia

(km

)

Parc

X

830863 _ 0229-0248.qxd 26/12/07 12:18 Página 246

76

41. ●● S’ha fet un estudi en una ciutat sobre el nombre de famílies que es connecten a Internet cada any.

a) Representa gràficament els parells de valors.b) Interpreta els resultats.

42. ●● La gràfica següent mostra la variació de lavelocitat d’un atleta durant una cursa de 1.500 m.

a) Quina és la variable independent? Per què?b) Quina és la variable dependent? Per què?c) En quins moments de la cursa la velocitat

és de 6 m/s?d) Quant creix la velocitat?e) I quant decreix?f) En quins moments manté la velocitat

constant?g) És una funció contínua?h) Quina és la velocitat màxima?i) Aquesta funció té algun mínim relatiu?j) Quina velocitat porta als 300 m?

43. ●●● Volem construir un dipòsit prismàtic ambaquestes mesures.

a) Fes una taula amb els diferents valors de les dimensions que pot tenir.

b) Escriu la funció corresponent i representa-la.

INVESTIGA

44. ●●● La pressió atmosfèrica mesura la pressióque excerceix l’atmosfera, és a dir, el pes de lacolumna d’aire que tenim damunt. Aquest pes ésmés petit a mesura que augmenta l’altitud. Així, la pressió baixa des del valor de 101.325 pascals (Pa) a nivell del mar fins a uns 2.350 Pa als 10.700 m(l’altitud de vol d’un reactor). Si suposem queaquesta variació és proporcional a l’altitud:

a) Fes una taula on apareguin les pressions des dels 0 m fins als 10.700 m, de 1.000 m en 1.000 m.

b) Representa gràficament aquests valors. És una funció lineal? Indica les característiquesd’aquesta funció.

45. ●●● Els vèrtexs d’un triangle equilàter són els punts A(0, 0), B(8, 2) i C(−1, 2). Calcula l’àread’aquest triangle.

46. ●●● Els vèrtexs d’un trapezi, de costats paral·lelsAB i CD, són els punts A(0, 0), B(6, 0), C(6, 2) i D.Calcula l’equació de la funció que determina el costat AD perquè l’àrea del trapezi sigui 8 u2.

47. ●●● Una funció és parella si f(x) = f(−x)per a qualsevol valor de x, i és imparella si −f(x) = f(−x) per a qualsevol valor de x.

Determina si aquestes funcions són parelles,imparelles o no són parelles ni imparelles.

a) c)

b) d)

Anys 03 04 05 06 07

Nre. de connexions 100 500 1.500 3.000 7.000

GF

2 m

Y

11

X

Y

1

1

X

Y

1

1

X

Y

1

2

X

830863 _ 0229-0248.qxd 26/12/07 12:18 Página 247

Y

Vel

oci

tat (

m/s

)

Distància (m)

X

100 500 1.000 1.500

87654321

V = 500 ¬

Estadística

tema 13


78

VARIABLES ESTADÍSTIQUES

1. ● Es vol fer un estudi estadístic de l’alçada dels alumnes de 2n d’ESO d’un institut i, per poder-lo elaborar, s’ha mesurat l’alumnatde 2n A. Determina:

a) La població.b) La mostra.c) Els individus.d) La variable estadística.

Com és el tipus de variable que s’estudia?

2. ● Digues com farias un estudi sobre el color dels ulls dels teus veïns.

Especifica la població, la mostra, la grandària de la mostra i alguns dels valors que pot tenir la variable estudiada.

3. ● Indica el tipus de variable: qualitativao quantitativa.

a) Nombre de germans.b) Sexe.c) Nacionalitat.d) Nombre de calçat.e) Edat.

4. ● Classifica les variables següents en discreteso contínues.

a) Nombre de germans.b) Nombre de calçat.c) Edat.d) Ingressos diaris en una fruiteria.e) Pes d’un grup d’alumnes.

TAULA DE FREQÜÈNCIES

5. ● Una variable estadística pren aquests valors:3, 5, 4, 2, 6, 1, 2, 3

a) Fes-ne el recompte.b) Calcula les freqüències absolutes.c) Troba les freqüències relatives.d) Organitza les dades en una taula

de freqüències.

6. ● Les notes que s’obtenen en un examen, del 0al 5, són les següents:

0, 1, 0, 5, 4 5, 4, 2, 5, 3

a) Fes-ne el recompte.b) Calcula totes les freqüències que puguis.c) Organitza les dades en una taula de freqüències.

7. ● Les temperatures màximes (en °C) que s’hanenregistrat durant els darrers quinze dies del mesd’agost han estat:

40 39 41 39 40 38 37 4040 41 42 39 40 39 39

a) Fes el recompte d’aquestes temperatures.b) Calcula totes les freqüències.c) Organitza les dades en una taula de freqüències.

8. ● Llencem 10 vegades un dau, amb quatre caresnumerades de l’1 al 4, i anotem els resultats:

1, 4, 3, 1, 2 4, 1, 3, 2, 4

a) Quantes vegades s’han repetit els resultats?

b) Calcula les freqüències acumulades.

c) Organitza les dades en una taula de freqüències.

9 ● El nombre de germans de 20 alumnes és:2 1 2 1 1 0 2 1 3 1 2 1 1 2 1 0 3 1 0 4.

Fes el recompte i troba totes les freqüènciesque puguis. Organitza els resultats en una taula.

10. ● El nombre d’hores diàries que els 30 jugadorsd’un equip de futbol veuen la televisió és:

0 1 2 2 3 1 2 3 4 2 3 1 1 0 21 1 0 2 1 1 3 0 1 4 2 1 3 0 0

Fes el recompte de dades i troba les freqüènciesabsolutes i relatives. Anota, també,les freqüències acumulades.

11. ● Les dades següents corresponen al nombrede treballadors d’una cadena de botigues:

4 7 5 2 4 5 6 4 7 3 7 4 3 4 43 4 3 2 4 4 1 1 2 5 3 2 2 5 33 8 2 3 2 2 5 4 1 5 8 6 6 1 3

a) Digues quina és la variable i de quin tipus és.b) Fes el recompte de dades i elabora una taula

de freqüències.

830863 _ 0249-0268.qxd 14/12/07 16:31 Página 264

79

12 ● Llancem un dau 48 vegades i obtenim aquests resultats:

3 4 5 1 6 2 2 34 2 6 5 1 4 2 31 4 5 3 2 1 4 64 4 3 2 1 6 2 56 2 3 1 5 4 1 63 2 4 6 6 2 1 2

Fes el recompte de dades i elabora una taulaamb totes les freqüències.

13. ●● Hem preguntat a 50 alumnes quin esportpreferien: 16 han escollit el futbol, 12 el bàsquet,6 l’handbol, 10 l’equitació i 6 el ciclisme.Amb aquestes dades:

a) Calcula’n les freqüències absolutes.b) Quina freqüència absoluta representa el 20 %?c) Troba les freqüències relatives.d) Quina freqüència relativa representa el 32 %?

14. ●● Completa les dades d’aquesta taulade freqüències:

15. ●● Completa la taula sabent que hi ha el doblede suspensos que de notables.

16. ●● Per estudiar la influència que té sortir a la niten el rendiment acadèmic, hem preguntata l’alumnat d’un centre universitari quants diessurten de festa a la setmana i hem obtingutel resultats següents:

0 2 3 2 1 1 1 4 0 11 2 2 1 3 1 3 0 1 2

Fes el recompte de dades i elabora la taulade freqüències.

GRÀFICS ESTADÍSTICS

17. ● En una classe de 2n d’ESO, preguntema l’alumnat quin refresc prefereixen.

Representa aquestes dades en un diagramade barres.

18. ● Segons una enquesta, la música queprefereixen els alumnes de 2n d’ESO és:

Representa aquestes dades en un diagramade barres.

19. ● Els resultats que hem obtingut en llençaruna moneda 25 vegades són 11 cares i 14 creus.Representa’ls en un gràfic de sectors.

DadesFreqüència

absolutaFreqüència

relativa

2

4

6

8

10

4

6

0,2

0,15

0,1

NotesFreqüència

absolutaFreqüència

relativa

Suspens

Aprovat

Notable

Excel·lent 5

0,3

0,1

Refrescos

Cola

Taronjada

Llimonada

Pinya

Nre. d’alumnes

10

4

6

3

Música

Rock

Pop

Bacalao

Clàssica

Dance

Nre. d’alumnes

18

12

24

10

6

830863 _ 0249-0268.qxd 14/12/07 16:31 Página 265

80

20. En una botiga d’ordinadors han fet un estudisobre els portàtils venuts durant l’últim mig anyi han obtingut aquests resultats:

Representa aquestes dades mitjançantun pictograma i un diagrama de línies.

21. ● En un edifici de 24 pisos, el nombre depersones que viuen en cada un és:

3 4 2 5 6 4 2 0 1 2 3 46 8 4 3 5 4 6 2 8 4 1 3

a) Elabora una taula de freqüències absolutesi relatives.

b) Representa les dades amb un diagrama debarres i un diagrama de sectors.

c) Fes un pictograma amb aquestes dades.

22. ●● Una família gasta 1.800 €al mes. Al gràfic següent es veu què destina a cada concepte.

Quants diners gasta en cada concepte?

23. ●● Hem preguntat als alumnes d’una classe quinés l’esport que prefereixen. El resultat ha estat:

Futbol: 32 Atletisme: 5 Altres: 17Tenis: 9 Bàsquet: 16 Cap: 3

Representa aquests resultats en un gràficde sectors i indica el percentatge de cada sector.

24. El consum energètic a Catalunya, que es mesuraen milers de GWh (gigawats-hora), durantels últims anys ha estat el següent:

Representa aquestes dades en un diagrama delínies i analitza el consum d’energia a Catalunyacomparant el gràfic amb la línia tendència.

25. ●● Observa el diagrama de barres.

Descriu una situació segons les dades que s’hi representen. Posa un nom a l’eix horitzontali un al vertical.

PROBLEMES D’ESTADÍSTICA

26. ●● Un fruiter té sacs de cebes de 2 kg, 5 kg i 10 kg. Durant un dia ha venut 10 sacs de 2 kg,5 sacs de 5 kg i 2 sacs de 10 kg.

a) Organitza aquestes dades en una taulade freqüències.

b) Representa, en un diagrama de barres,les freqüències absolutes.

c) Dibuixa un diagrama de barres que representiles freqüències relatives.

d) Quin nombre mitjà de quilograms de cebesha venut?

e) Quin sac de cebes s’ha venut més?f) Com s’anomenen aquests dos últims nombres

en estadística?

27. ●● Les edats (en anys) dels 10 primers visitants del parc d’atraccions són:

12 10 14 12 1410 11 12 12 12

a) Dibuixa un diagrama de barres amb les freqüències absolutes i un altre amb les freqüències relatives.

b) Calcula la mitjana de les edats dels 10 primers visitants.

c) Quina edat es repeteix amb una freqüència més gran?

fi

200

150

100

50

Mes Jul. Ag. Set. Oct. Nov. Des.

Unitats 32 33 21 24 18 45

Any 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Consum 39,8 41,4 42,5 43,8 45,3 47,3 48,2

830863 _ 0249-0268.qxd 14/12/07 16:31 Página 266

Despeses generals

Hipoteca60 %30 %

10 %

Altres

81

29. ●● Al servei d’urgències d’un hospitalhan ingressat 26 malalts d’aquestes edats:

87 14 52 65 74 43 28 12 17 25 93 4231 18 10 21 28 49 53 64 75 34 41 18

a) Quina és l’edat mitjana dels malalts?b) Quina és la mediana? I la moda?c) Quin és el rang i la desviació mitjana d’aquest

conjunt de dades?

30. En una botiga de butaques de massatgehan enregistrat les vendes anuals ordenadessegons el preu.

a) Representa aquestes dades en un diagramade línies.

b) Calcula el preu mitjà de cada butacade massatge.

c) Calcula la desviació mitjana d’aquest conjuntde dades.

39

31. ●●● Aquesta taula resumeix un estudi sobre el nombre de fills de les famílies d’una ciutat.

Si sabem que van preguntar a un nombre de famílies comprès entre 620 i 650, pots deduirquantes famílies van entrevistar?

INVESTIGA

32. ●●● El pes mitjà de 6 amigues és de 62 kg. Si el pes de 5 d’aquestes amigues són 58, 65, 59,65 i 72 kg, quant pesa la sisena amiga? Calcula la desviació mitjana d’aquest conjunt de dades.

33. ●●● Si sabem les freqüències relatives d’una taula, podem calcular les freqüènciesabsolutes?

34. ●●● Pot existir una sèrie de dades que no tinguimitjana? I que no tingui mediana? I moda? Raona la resposta.

35. ●●● Si a totes les dades obtingudes en un estudiestadístic:

a) Els sumem una determinada quantitat.b) Els multipliquem per un mateix nombre.

Què passa amb la mitjana de la sèrie nova?

Suggeriment: tria un exemple amb poques dadesi calcula’n la mitjana. Fes les operacions que hemindicat i torna’n a calcular la mitjana. Després,compara les dues mesures obtingudes igeneralitza el resultat.

36. ●●● Inventa una situació amb sis dadesque compleixin que:

x = 6 Me = 4 Mo = 5

COM CALCULEM I INTERPRETEM LA MODA?

28. Calcula la moda de les notes obtingudesa Llengua per nou estudiants.

7 8 4 3 4 5 7 9 6

PRIMER. Organitzem les dadesen una taula de freqüències.

SEGON. Estudiem la columnade les freqüències obtingudesi n’escollim el nombre o els nombres més grans.En aquest cas, és el 2. Hi ha dues modes, que són les notes 4 i 7.

TERCER. Intepretem els resultats.En aquest grup, és més freqüent trobar alumnesque han tret un 4 o un 7.

FES-HO AIXÍ

Nre. de fills Percentatge

0 12,5 %

1 30 %

2 30 %

3 15 %

4 12,5 %

Notes

3

4

5

6

7

8

9

fi

1

2

1

1

2

1

1

Preu € (xi) 500 600 700 800 900

Nre. (fi) 15 35 45 65 50

830863 _ 0249-0268.qxd 14/12/07 16:31 Página 267

URGÉNCIES

Probabilitat

tema 14


83

ESDEVENIMENTS

1. ● Esbrina, dels experiments següents, quins sóndeterministes i quins són aleatoris:

a) Llançar una pilota i verificar si cau a terra o no.

b) Extreure dues cartes d’una baralla espanyola.

c) Triar a l’atzar una fitxa de dòmino.

d) Esbrinar el resultat d’un partit de tenis abansque es jugui.

e) Pitjar l’interruptor d’un llum i esperar a veuresi s’encén.

f) Calcular l’espai que recorreran diferents cotxesa 120 km/h durant 15 minuts.

g) D’una bossa de 1.000 boles totes negres llevat d’una de blanca, extreure’n una bola i anotar-neel color.

2. ● Escriu dos experiments aleatoris i dos que no ho siguin.

3. ● Escriu l’espai mostral associat a cadascundels experiment aleatoris següents:

a) Extreure una bola d’una bossa amb bolesde color blanc, negre i vermell.

b) Llançar dos daus i sumar els punts de les caressuperiors.

c) Extreure una carta de una baralla i anotar-neel pal.

d) Extreure una carta de una baralla i anotar-neel nombre.

e) Llançar un dau octaèdric que té anotatsels nombres de l’1 al 8 i anotar si el que surt és múltiple de 3 o no.

f) Una urna conté sis boles blanques i cinc bolesnegres. Traiem una bola de l’urna i n’anotem el color.

g) Una urna conté cinc boles blanques, setde grogues i vuit de negres. Traiem una bola de l’urna i n’anotem el color

4. ●● Considerem l’experiment de llançardues monedes.

a) Escriu l’espai mostral que hi està associat.

b) Esbrina si l’esdeveniment «sortir dues cares»té més o menys probabilitat que l’esdeveniment«sortir una cara i una creu».

IDEA DE PROBABILITAT. REGLA DE LAPLACE

5. ● En una bossa tenim dues boles blanques,quatre de verdes i sis de negres. En traiemuna bola a l’atzar.

a) Què és més probable, que sigui blancao verda?

b) Què és més probable, que sigui verda o negra?c) Quina és la probabilitat que surti blava?

6. ● D’un joc de dòmino de 28 fitxes, en traiem una.Classifica els esdeveniments següents de mésa menys probabilitat:

a) La suma dels punts és 6.b) La suma dels punts és 10.c) És una fitxa doble.d) La diferència entre els punts és més gran

que 6.e) La suma dels punts és més petita que 12.

7. ● Tirem un dau de 4 cares. Ordena de mésa menys probabilitat els esdevenimentssegüents:

a) Treure un nombre imparell.b) Treure un múltiple de 5.c) Treure un 1.d) Treure un nombre més petit que 4.

8. ● Calcula la probabilitat que surti una bolablanca d’una bossa en la qual hi ha dues bolesblanques i una de negra. Calcula tambéla probabilitat que surti blava.

9. ● Podem construir una ruleta dividida en quatresectors de manera que les seves probabilitatssiguin 1/2, 1/3, 1/4 i 1/5?

10. ● Quina és la probabilitat que, si tirem un dau,surti un nombre més gran que 3? I que surtiun nombre més petit que 8?

830863 _ 0269-0282.qxd 17/12/07 10:04 Página 278

84

11. ●● Hem trucat un dau de quatre cares de maneraque les seves probabilitats són directamentproporcionals al seu nombre. Calculala probabilitat d’obtenir cada nombre.

12. ● A les cares d’un dau escrivim tres 1, dues Xi un 2. Llancem aquest dau. Quina ésla probabilitat de treure un 1? I una X? I un 2?

13. ●● En una moneda trucada, la probabilitatd’obtenir cara és la meitat que la d’obtenir creu.Quina és la probabilitat de cada resultat?

14. ● D’una urna que conté 8 boles blanques,7 de vermelles i 5 de negres, n’extraiem una bola.Quina és la probabilitat que sigui negra? I que no sigui negra?

15. ● Troba la probabilitat que quan llancem un dauobtinguem:

a) Un nombre parell.b) Un nombre primer.c) Un múltiple de 5.d) Un nombre més gran que 4.e) Un nombre més petit o igual que 3.

16. ● Troba la probabilitat que, si traiem una cartad’una baralla espanyola, obtinguem:

a) Un set. d) Un nombre parell.b) Una figura. e) Una copa.c) El rei de bastos.

17. ●● En una urna tenim 100 boles numerades de l’1 al 100. Traiem una bola. Calculala probabilitat que:

a) Surti un nombre parell.b) Surti un nombre més gran que 85.c) Surti un múltiple d’11.d) Surti un nombre imparell més gran que 80.e) La xifra de les desenes sigui doble que la xifra

de les unitats.f) Surti un nombre primer.

18. ● De la paraula INTEMPESTIVITAT escollim una de les lletres a l’atzar:

a) Quina és la probabilitat que sigui una vocal?b) I una consonant?c) I que sigui la lletra T?

19. ●● Llancem dos daus i multipliquem els puntsde cada dau.

a) Quants esdeveniments elementals té aquestexperiment?

b) Quin és l’esdeveniment que té mésprobabilitat?

PROBLEMES AMB PROBABILITATS

20. ● Llancem enlaire dos daus. Fes un diagramad’arbre per obtenir la probabilitat que siguindos nombres imparells.

21. ● Un joc amb la baralla consisteix a treuredues cartes sense devolució, i guanya el que treu dues copes. Quina probabilitat hi ha de guanyar?

830863 _ 0269-0282.qxd 17/12/07 10:04 Página 279

4

4

21

3

3

I

E

ET T T

TP

I

V

N

I

A

M

S

85

23. ●● En una bossa tenim 5 boles vermelles i 3 de blanques. Quina probabilitat hi ha d’extreure dues boles blanques seguides?

a) I si, una vegada extreta la primera bola,la tornem a introduir a la bossa(amb devolució)?

b) I si no la tornem (sense devolució)?c) Calcula, ara, la probabilitat que siguin

les dues boles negres, tant si tornem la primera bola a la bossa com si no ho fem.

d) I la probabilitat d’extreure una bola de cadacolor?

24. ●● Tenim en una urna 4 boles blanques i 7 de negres, i les traiem totes menys una. Quina és la probabilitat que sigui blanca?

25. ●● Mitjançant un resort es deixa anar una bolapel tauler de joc simulat:

Calcula la probabilitat que la bola surti per cadauna de les sortides: 1, 2, 3 i 4.

26. ●● En una urna tenim 5 boles blanques i 4 de verdes. Traiem 2 boles. Descriu l’espaimostral i calcula les diferents probabilitats.

27. ●● En una urna tenim 7 boles blanques i 4 de negres i en traiem 3 boles. Calcula la probabilitat que totes tres siguin blanques si cada vegada es torna la bola que es treu a la urna.

28. ●●● En l’exercici anterior, calcula la probabilitatque siguin del mateix color en els dos casos: que la bola que es treu es torni a l’urna i que no es torni.

29. ●● D’una baralla extraiem tres cartes per observar si són figures o no. Descriu l’espaimostral de l’experiment i calcula’n les diversesprobabilitats.

30. ●● Traiem 2 cartes seguides d’una baralla de 40 cartes:

a) Quina probabilitat hi ha que totes dues siguinoros?

b) I que siguin dos asos?

31. ●●● En una urna tenim deu boles amb les xifres 0 a 9. Traiem una bola i, sense tornar-laa la urna, traiem una segona bola. Si consideremel nombre que surt (1a bola: xifra de les desenes):

a) Quina probabilitat hi ha que sigui múltiplede 5? I de 3?

b) Quina és la probabilitat que la segona bolatingui un nombre més petit que la primera?

32. ●● Si agafem quatre fitxes de dòmino, quina ésla probabilitat que cap sigui una fitxa doble?

COM CALCULEM LES PROBABILITATSEN EXPERIMENTS COMPOSTOS?

22. ●● Quants resultats són possibles en el llançament de tres daus?Fes un diagrama d’arbre i calculala probabilitat d’obtenir almenys un sis.

PRIMER. Com que en el llançament d’un dau hi ha6 resultats possibles, en aquest experimentcompost tindrem: 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 216.

SEGON. Fem un diagrama amb els possiblesresultats.

TERCER. Si anomenem A = {no treure cap 6},la probabilitat de A serà:

QUART. La probabilitat de l’esdeveniment contraria A, A = {treure almenys un 6}, serà

P A( ) ,= − = =1125216

89216

0 412

P A( ) = ⋅ ⋅ =56

56

56

125216

FES-HO AIXÍ

66no 6

no 6

61/6

5/6

6no 6

66no 6

no 6

no 66no 6

➀ ➁ ➂ ➃

830863 _ 0269-0282.qxd 26/12/07 12:22 Página 280

33. ●●● Una màquina d’una fabrica té dos motors.La probabilitat que, en un torn de l’empresa de 8 hores, falli un dels motors és del 3,5 %,encara que la màquina pugui funcionar amb un sol dels motors. Quina probabilitat hi ha que la màquina no acabi el torn?

34. ●● En una empresa hi ha 215 treballadors,repartits de la manera següent:

Si escollim una persona a l’atzar:

a) Quina probabilitat hi ha que sigui una dona?

b) I que sigui una dona sense ulleres?

INVESTIGA

35. ●● El segon problema que el cavaller De Meréva plantejar a Pascal era el següent:

Què és més avantatjós, apostar a treure almenysun 6 en quatre tirades seguides d’un dau o notreure cap 6?

Calcula les probabilitats de cada un dels esdeveniments anteriors.

36. ●● Sobre una taula posem quatre cartes (un rei i tres cartes diferents) cap per avall. Les aixequem una a una fins que traiem el rei.

Escriu l’espai mostral i calcula la probabilitatque el joc acabi en dues jugades.

37. ●● En un grup de 30 alumnes de 2n d’ESO hi ha 17 nois, dels quals 8 són rossos, i de les alumnes, 7 no són rosses. Si escollim un alumne a l’atzar:

a) Quina és la probabilitat que sigui una noia?

b) I que no sigui rossa?

38. ●● Considera l’experiment aleatori que consisteix a escollir a l’atzar un nombre de l’1 al 30. Siguin els esdeveniments:

A = {Obtenir nombre parell més petit o igual que 14}.

B = {Obtenir un múltiple de 3 més petit o igual que 10}.

C = {Obtenir un múltiple de 10}.

Calcula les probabilitats de cada esdeveniment,i també les dels seus contraris.

39. ●●● Un joc consisteix a llançar un dau diversesvegades fins que surti un 6, aquí el joc s’acaba.Calcula:

a) La probabilitat que el joc s’acabi en la primerajugada.

b) La probabilitat que s’acabi abans de la quartajugada.

c) La probabilitat que s’acabi exactament a la quarta jugada.

40. ●● En una urna hi ha 10 boles vermelles i un determinat nombre de boles negres. Calcula quantes boles negres hi ha d’haver per tal que:

a) Hi hagi la mateixa probabilitat de treure els dos colors.

b) La probabilitat de treure una bola vermellasigui de 0,265.

c) La probabilitat de treure una bola negra siguide 0,75.

41. ●●● En una urna hi ha boles de diversos colors.Calcula quantes boles hem d’agafar com a mínim per estar segurs de treure’n duesdel mateix color si:

a) Hi ha boles de 3 colors diferents.

b) Hi ha boles de 4 colors diferents.

c) Hi ha boles de 5 colors diferents.

c) Hi ha boles de n colors diferents.

42. ●●● Tres persones, A, B i C, llancen un dardsobre una diana. Les seves probabilitatsd’encertar, són, respectivament, de 0,7, 05 i 0,2.Troba la probabilitat d’encertar entre els tres si cada un llança quan l’anterior no encerta.

86

Homes Dones

Amb ulleres 65 43

Sense ulleres 54 53

830863 _ 0269-0282.qxd 17/12/07 10:04 Página 281

maths

Documents