1 Chapitre 1. Raisonner par rcurrencePour reprendre contact1Avec un tableura.Pour n unnn =-+,3 13 1b. Pour n , uuunnn+ =+12 1 et u01 = -c.u u nn n + = - - +123 1 1 ( ) ; u01 = - (n )2Calculs de termes dune suitea. u u u1 2 33 2 3 = - = - = ; ; b. u u u1 2 35 7 11 = = = ; ;c.u u u1 2 36 2 6 = = - = ; ; d.u u u1 2 32 7 12 = = = ; ;3Listes incompltes1.a.1, 3, 9, 27, 81, 243, 729b.0, 1, 3, 7, 15, 31, 63c.1, 2, 6, 24, 120, 720, 5 0402.a.Pour n , unn= 3 b.Pour n , unn= - 2 1 c.Pour n , u n nn = = 1 2 3 !4Jeu dcriturePour n , u n n u n n u n nn n n= - + = - + = + +- +2 2 2 5 5 2 7 821222; ; ; u n nn 228 2 2 = - + .5Suite et somme1. u u u1 2 31544936= = = ; ; . 2.Pour n 1, u unn n + - =+1211 ( ). 3. Pour n uknkn1112, ==.Activit 1. Des conjecturesA.1.2.n CnSn1 0 12 1 23 3 44 6 8C5 = 10S5 = 16Raisonner par rcurrence123. Il semble que, pour n 1, on ait : Cnnn =- ( ) 12Snn=-21.On aurait :C6 = 15, S6 = 32On a :C6 = 15 et S6 = 31.La conjecture portant sur Cn semble se vrifier, celle portant sur Sn est par contre incorrecte.B. Pour n , An n n ( ) = - +211.1. Pour chaque valeur de n du tableau (0 10 n ),le nombre An ( ) ne semble que deux diviseurs chaque fois : 1 et lui-mme.2. A 11 11 11 11 112 2() = - + = .Le nombre A 11 () a quant lui 3 diviseurs : 1, 11, 121 donc la conjoncture prcdente est incorrecte.Activit 2. Dune conjecture une dmonstrationA.1.u u6 711 216 711 217 8=++=++;2. Pour n un n n nn111 21111, . =++- + + ( ) ( )3.Pour n uk knkn1111, . = +=( )B.1.a.Conjectures : u u unnn 7 87889 1= = =+; ; .On ne peut pas tre certain de ces rsultats (activits prcdentes).b.Avec u667= , on a : u u7 617 8671564956= += + =donc : u778= .Ainsi, u u8 718 9781726472= += + =donc u889= . On obtient les rsultats conjecturs.2.a.Avec ukkk =+ 1, on a : u uk kk k + = ++ ( ) +111 2 ( ) donc ukk k kkkk kk+ =+++ ( ) +=+ ( ) ++ ( ) +1111 22 11 2 ( ) ( )soit ukk kkkk+ =++ ( ) +=++1211 212( )( ).b. Pour k = 8, on obtient u9910= .c.Pour k = 9, on obtient u91011= .d. De u121213= , on obtient u131314=et de u9999100=on obtient u100100101= .e.Pour n unnn11, . =+Activit 3. Dune suite une autrex f xxu u f un n] ] ( ) = - = =+0 6 5420 1; , ; , ( ).1.a.b.Il semble que, pour n 0, 2 4 un.2.a.La fonction f est strictement croissante sur0 6 ; ] ] donc si 2 4 uk, alors f f u fk( ) ( ) ( ) 2 4 soit 3 41 uk+ donc 2 41 uk+.3 Chapitre 1. Raisonner par rcurrenceb.Laffirmation est justifie : en effet, 2 40 udonc 2 41 udonc 2 42 udonc . Pour n 0, 2 4 un.3.Limplication2 4 2 41 v vk k+restevraiemaispuisquev0nappartientpas[2 ;4],ellenepeutpas sappliquer pour la suite (vn).TP1. Dterminer une formule explicite1.a.Voir fichier sur le site Mathx.b. Les points obtenus sont situs sur une parabole.2.a.Pour n entier 01 2, u f n an n n nn = ( ) = - ( ) - ( ) avec n10 =et n212 = . f a 1 11 1 ( ) = - = .Donc, pour n entier 0, il semble que :. u n nn = -212b.Initialisation : pour n = 0, n n212 0 - =et u00 =donc la proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0, u k kk = -212et montrons que u k k k kk+ = + ( ) - + ( ) = - -1221 12 1 10 11.On a : u u k k k kk k + = + - = - + -122 11 12 2 11donc u k kk+ = - -1210 11.Conclusion : la proprit est vraie pour n = 0 et est hrditaire donc, pour n entier 0, u n nn = -212 .TP2. Calculer la somme des cubes dentiers1.Voir fichier sur le site Mathx.2.a.Pour n entier 1, Vnnn =+ ( ) 12.b. Conjecture : pour n1, S Vn nn n= =+22 214( ).3.Initialisation : pour n = 1, n n2 2141( ) +=et S11 =donc la proprit est vraie pour n = 1.Hrdit : supposons que pour un entier k 1, Sk kk =+2 214( ) et montrons que Sk kk+ =+ +12 21 24( ) ( ).On a : S S kk k kk k + = + + =+ ( ) + +1322311 4 14( )( ) donc Sk k k k kk+ =+ ( ) + + ( )=+ +122 2 21 4 141 24( ) ( ) ( ).Conclusion : la proprit est vraie pour n = 1 et est hrditaire donc, pour n entier 1, Sn nn =+2 214( ).TP3. tudier une suite de sommes1.a. S31 2 2 1 3 0 = + + et S41 3 2 2 3 1 4 0 = + + + .b.Attention : il ny a pas de relation de rcurrence immdiate. Cependant, on a :S kn k kn knknkn+=+== + - = + - 11111 1 ( ) ( )S kn k k kn k k Snnnknknknn += = == - ( ) + ( ) = - ( ) + = ++ 11 1 1( 112).2.3.a.b. Voir fichier sur le site Mathx. c. Conjecture :la suite (Sn) semble croissante.44.5. a.Voir question 1. b.b.On a : pour n entier 1121, S Snnn n + = ++ ( ) et on souhaite montrer que Sn nn =-36.Initialisation : pour n = 1,1 1603-=et S10 =donc la proprit est vraie pour n = 1.Hrdit : supposons que pour un entier k 1,Sk kk =-36 et montrons que Sk k kk k k k kk+ =+ ( ) - + ( )=+ ( ) + ( )=+ +133 21 161 263 26.On a : S Skk k k kkk k + = ++=-++1312 612( ) ( ) donc Sk k k k k k kk+ =- + +=+ +13 2 3 23 363 26.Conclusion : la proprit est vraie pour n = 1 et est hrditaire donc, pour n entier 1, Sn nn =-36.c.Posons f x x x ( ) = -163( ) pour x rel 1163 1 0 12 sur ( ) = - ( ) + [ [ f x x ; .La fonction f est donc strictement croissante sur1; + [ [ donc la suite (Sn) est strictement croissante.ExercicesENTRANEMENT1 1. I H H H H () ( ) ( ) ( ) ( )2.Impossibilitdegravirlesmarchessilnestpas capable datteindre la premire ou sil nest pas capable de passer dune marche la suivante.2 (A) et (B).3 Voir corrig en fin de manuel.4 u u u u0 1 2 30 2 2 2 2 3 = = = = ; ; ; .On met la conjecture : pour n entier naturel, u nn = 2 .Initialisation : pour n = 0, u00 2 0 = =donc la proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,u kk = 2et montrons que u kk+ = +12 1.On a : u u k kk k + = + = + = +124 4 4 4 1 ( )donc u kk+ = +12 1.Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n entier 0, u nn = + ( ) . 125 Initialisation :pourn =0, ( ) - + =+2 3 10 1etu01 =donc la proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,ukk= - ++( ) 2 31 et montrons que ukk++= - +122 3 ( ) .On a : u uk kk++= - + = - - ( ) +( )+112 9 2 2 3 9donc ukk k++ += - - + = - +12 22 6 9 2 3 ( ) ( ) .Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n entier 0, unn= - ++( ) 2 31.6 1. v v v v0 1 2 30 2 6 12 = = = = ; ; ; .2.Laformulev nnn = + ( ) 1 semblevalablepourles premiers termes. Dmontrons-la par rcurrence.Initialisation :pourn =0, v00 = et 0 0 1 0 ( ) + = doncla proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,v kkk = + ( ) 1et montrons quev k k k kk+ = + ( ) + ( ) = + +121 2 3 2On a : v v k kk k k kk k + = + + = + ( ) + + = + +122 2 1 2 2 3 2.5 Chapitre 1. Raisonner par rcurrenceConclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n entier 0, u nnn = + ( ) 1 .7 1.a.Pour la suite (un) (u u un n 0 13 2 1 = = -+; )Initialisation :pourn =0, u03 = et 2 1 30 1 ++= doncla proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,ukk= ++2 11 et montrons que ukk++= +122 1.On a : u uk kk++= -= + -112 1 2 2 2 1donc ukk++= +122 1.Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n entier 0, unn= ++2 11.b.Pour la suite (vn) (v v vn n 0 11 2 3 = = ++; )Initialisation :pourn =0, v01 = et 2 6 1 50 0u v - = -=donc la proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,2 5 u vk k- =et montrons que 2 51 1u vk k + +- = .On a : 2 4 2 2 3 2 2 51 1u v u v u vk k k k k k + +- = - - - = - ( ) -10 5 5 = - = .Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n entier 0, 2 5 u vn n- = .2. Pour n entier naturel, v un n= - 2 5 donc vnn= -+2 32.8 Voir corrig en fin de manuel.9 1. d d d d4 5 6 72 5 9 14 = = = = ; ; ; .2.a.d d6 53 1 = + +d d6 54 = +b.d d nn n + = + - ( ) +12 1d d nn n + = + -113.Initialisation :pourn =4, d424 4 32= =- ( )doncla proprit est vraie pour n = 4.Hrdit : supposons que pour un entier k 4,dkkk =- ( ) 32 et montrons que dk kk+ =+ ( ) -11 22( ).On a : d d kkkkk k + = + - ( ) =- ( )+ - ( )11321dkk k k k k kk+ =- ( ) + -=- -=+ ( ) - ( )123 2 22221 22.Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n entier 4, dnnn =- ( ) 32.10 Initialisation :pourn =0, u02 1 2 = [ ] ; doncla proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,1 2 uk et montrons que 1 21 uk+.Ona : 1 2 ukdonc1 2 ukcarlafonction racinecarreeststrictementcroissantesur1 2 ; [ ].Ainsi 1 2 21 uk+.Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n entier 0, 1 2 un.11 Initialisation :pourn =0,u01 0 = donclapro-prit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,u kk et montrons que u kk++11 .On a : u u k k kk k + = - + - +12 1 2 1 donc u kk++11 .Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n entier 0, u nn .12 1.Initialisation :pourn =0, u021 0 = > doncla proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,u kk >2 et montrons que u kk+ > +121 ( ) .On a : u u k k kk k + = + + > + +122 3 2 3.Puisque k k k k2 22 3 2 1 + + > + +alors u kk+ > +121 ( ) .Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n entier 0, u nn >2.2. u u u u0 1 2 31 4 9 16 = = = = ; ; ; Ilsembleraitque, pour n entier 0, u nn = + ( ) 12.Initialisation : pour n = 0, u021 0 1 = = + ( )donc la proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,u kk = + ( ) 12 et montrons que u kk+ = +122 ( ) .On a : u u k k k kk k + = + + = + + + +122 3 2 1 2 3= k k k2 24 4 2 + + = + ( ) .Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n entier 0, u nn = + ( ) 12.13 1. Conjecture :pour n 4,22 nn . 2.Dans , . 2 1 2 1 0222x x x x + ( ) - -D = 8 ; racines x x1 21 2 1 2 =- =+ ; .Dans , ; ; 2 1221 2x x x x x + ( ) - ] ] + [ [.Dans , . 2 1 322n n n + ( )63.Initialisation : pour n = 4, 2 164= et 4 162=donc la proprit est vraie pour n = 4.Hrdit : supposons que pour un entier k 4,22 kk et montrons que 2 11 2 kk++ ( ) .On a : 2 2 2 2 11 2 2 k kk k+= + ( )car k 3.Conclusion :lapropritestvraiepourn =4etest hrditaire donc, pour n entier 4, 22 nn .4.Non, voir tableau initial.14 Initialisation :pourn =0, u004 1 0 = -= estun multiple de 3.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,ukk= - 4 1soit un multiple de 3 et montrons que uk+1est un multiple de 3.On a :ukk kka a++= - = -= -= 114 1 4 4 14 4 13multiple de 3, 1 22 44444 3 44444

+ = + ( ) 3 3 4 1 adonc uk+1 est un multiple de 3.Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n entier 0, un est un multiple de 3.15 1.Pour n entier 0 21, . a a nn n + = +2.Pour n entier 0 12, ? a n nn = - +Initialisation : pour n = 0, a01 =et 0 0 1 12- +=donc la proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,a k kk = - +21 et montrons queu k k k kk+ = + ( ) - + ( ) += + +1221 1 1 1.On a : a a k k kk k + = + = + +122 1.Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n , a n nn = - +21.16 Pour n , unnn = -+ 3 et vnn =+ 33.17 Voir corrig en fin de manuel.18 1.Voir fichier sur le site Mathx.n u(n) v(n)0 2,00 11 1,80 1,252 1,67 1,53 1,57 1,754 1,50 25 1,44 2,256 1,40 2,57 1,36 2,758 1,33 39 1,31 3,2510 1,29 3,5Lasuite(vn)sembletreunesuitearithmtiquede raison 14.Pour n , vnn = +41.2.Puisque v un n( ) - = 1 1 alors uvnn= +11do unnn =++84.3.Initialisation : pour n = 0, u02 =et 0 80 42++=donc la proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,ukkk =++84 et montrons que ukkk+ =++195.On a : uuukkkkkkkkk+ =-+=++=++=++15 134 364 204 94 595( )( ).Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n , unnn =++84.19 1. Voir fichier sur le site Mathx.n unvn0 2,00 1,001 2,33 0,502 2,60 0,253 2,78 0,134 2,88 0,065 2,94 0,036 2,97 0,027 2,98 0,018 2,99 0,009 3,00 0,0010 3,00 0,00Lasuite(vn)sembletreunesuitegomtriquede raison 12.Conjecture : pour n , vnn= -( )12.2.Pour n , v u uu v v uvvn n nn n n nnn- ( ) = - - ( ) = - =--1 31 331donc, pour n , unnnnn=-( ) --( ) -=+( )+( )123121312112.Initialisation : pour n = 0, u02 =et 312112200+( )+( )=donc la proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,ukkk=+ ( )+( )312112 et montrons que ukkk+++=+( )+( )111312112.7 Chapitre 1. Raisonner par rcurrenceOn a : ukkkkk+ =+( )+( )-+( )+( )+=+( )15312112331211212 312kkkkk+++++( )=+( )+( )11112 112312112.Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n entier 0, unnn=+ ( )+( )312112.20 Pour n entier 1 2 11, S knkn= -=( ).1.Initialisation :pourn =1, S11 = et1 12= doncla proprit est vraie pour n = 1.Hrdit : supposons que pour un entier k 0, S kk =2et montrons que S kk+ = +121 ( ) .On a : S S k k kk k + = + + ( ) -= + +122 1 1 2 1donc S kk+ + +121 ( ) .Conclusion :lapropritestvraiepourn =1etest hrditaire donc, pour n entier 1, u nn =2.2.Preuve trs visuelle puisque les diffrentes couleurs correspondent aux nombres impairs.21 Partie 1n 0 1 2 3 4 5u 1 3 6 11 20 37S 1 4 10 21 41 78Partie 21. Les valeurs de un et Sn pour n entier (de 0 5).2.a.n 0 1 2 3 4 5un n 1 2 4 8 16 32b.Pour n , u nnn- = 2donc u nnn= + 2 .c.Initialisation : pour n = 0, u01 =et 0 2 10+ =donc la proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,u kkk= + 2et montrons que u kkk++= + +111 2 .On a : u u k k kk kk++= + - = + + -112 1 2 2 1donc u kkk++= + +111 2 .Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n , u nnn= + 2 .3.a. 1 212+ ++ =+nnn ( ).1 2 2 2 2 12 1+ + ++ = -+ n n.b.Pour n , S nnn= + + + ++ + 0 2 1 2 20 1donc Snnnn=++ -+( ) 122 11.22 1.a. 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 ! ; ! ; ! ; ! ; ! . = = = = =b.Pour n ,n n n n n + ( ) + ( ) = + ( ) + ( ) = + ( ) 1 2 1 2 1 2 2 ! !2.a. S S1 11 1 1 1 2 2 5 = = =+ = ! ; ! etS15 3 3 23 = + = ! .b.Initialisation : pour n = 1, S11 =et1 1 1 1 + ( ) -= !donc la proprit est vraie pour n = 1.Hrdit : supposons que pour un entier k 1,S kk = + ( ) - 1 1 !; montrons que S kk+ = + ( ) -12 1 ! .On a :S S k k k k kkk k + = + + ( ) + ( ) = + ( ) - + + ( ) + ( )= + ( )11 1 1 1 1 11! ! !! 11 1 1 1 2 1 2 1 + + ( ) - = + ( ) + ( ) - = + ( ) - k k k k ! ! .Conclusion :lapropritestvraiepourn =1etest hrditaire donc, pour n , S nn = + ( ) - 1 1 ! .23 1.a.Pour N = 4, S = 49 et pour N = 5, S = 129.b.S knknk= ( )=-112 .c.Pour n 1, S S nn nn+ = + +11 2 ( ) . (S11 = )2.a. b.R prend la valeur ( ) N- 1 2n.Afficher R.3.a. Pour n 1, S nnn= - ( ) + 1 2 1.b.Initialisation :pourn =1, S11 = et1 1 2 1 10- ( ) +=donc la proprit est vraie pour n = 1.Hrdit : supposons que pour un entier k 1,S kkk= - ( ) + 1 2 1 ; montrons que S kkk++= +112 1.On a : S S k k kk kk kk k kk+ = + + ( ) = - ( ) + + + ( )= - + + ( ) +11 2 1 2 1 1 22 1 1 1== ++kk2 11.Conclusion :lapropritestvraiepourn =1etest hrditaire donc, pour n1, S nnn= - ( ) + 1 2 1.APPROFONDISSEMENT24 1. Supposonsquepourunentiern 0, 10 1n-soit un multiple de 3 (cest--dire quil existe un entier ktelque 10 1 3nk -= )etmontronsque 10 11 n+- estun multiple de 3.8On a : 10 1 10 10 10 9 10 10 1 33 10 31 2 n n nk+- = - + = - ( ) += + ( )donc 10 11 n+- estunmultiplede3.Laproposition 10 1n-est un multiple de 3 est donc hrditaire.De mme, supposons que pour un entier n 0, 10 1n+soit un multiple de 9 (cest--dire quil existe un entier ktelque 10 1 9nk += )etmontronsque 10 11 n+- estun multiple de 9.On a :10 1 10 10 10 9 10 10 1 99 10 11 n n nk++ = + - = + ( ) -= - ( )donc 10 11 n+- estunmultiplede9.Laproposition 10 1n+est un multiple de 9 est donc hrditaire.2.Laproposition1estvraiepourn =0maispasla proposition 2. Donc seule la proposition 1 est vraie pour tout entier naturel n.25 1. Posons, pour n1 1 22 2 2, S nn = + ++ .Initialisation : pour n = 1, S11 =et 1 13= donc la proprit est vraie pour n = 1.Hrdit : supposons que pour un entier k 1,S kk 3 et montrons que S kk++131 ( ) .On a : S S k k kk k + = + + ( ) + + ( )12321 1 .k k k k k323 21 2 1 + + ( )= + + +et( ) k k k k + = + + + 1 3 3 13 3 2 donck k k3231 1 + + ( ) + ( )et donc S kk++131 ( ) .Conclusion :lapropritestvraiepourn =1etest hrditaire donc, pour n entier 1, S nn3.2. Ilatdmontrdanslexercicersolu4page 27 que pour tout entier n11 2 16,( )Snn nn =+ ( ) +. Ainsi,S nnn n n n n nn - =+ ( ) + ( ) -=- + + ( )33 21 2 1 664 3 16donc S nnn nn - =- ( ) - -31 4 160( )puisque n1.Pour n entier 1, S nn3.26 Pour n1 1 3 5 1 2 11, S nnn=- + -+ - ( ) --( ).Initialisation : pour n = 1, S11 =et 1 1 10( ) - =donc la proprit est vraie pour n = 1.Hrdit : supposons que pour un entier k 1,S kkk ( ) --11. A-t-on S kkk++ ( ) - ( )11 1 ?On a : S S k k kk kk k k+-= + - + ( ) - + - + ( )111 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) .k k k k kk k k k( ) ( ) ( ) ( ) - + - + ( ) = - - + + ( ) = - + ( )-1 1 2 1 1 2 1 1 11.Donc S kkk++ -11 1 ( )( ) .Conclusion :lapropritestvraiepourn=1etest hrditaire donc, pour n entier 1, S nnn ( ) --11.27 Conjecture mise :pour n entier 11612, S nn = - ( ).Initialisation : pour n = 1, S10 =et 161 1 02- ( ) = donc la proprit est vraie pour n = 1.Hrdit : supposons que pour un entier n 1,S nn = -1612( ) ; a-t-on S n nn+ = + ( )12162 ?On a : Snkn knkn+=+=++ - 111111 ( )doncSnkn knkn kkknkn+= ==++ - =+- + 11 111111( ) ( )kknnknnSnnnn nn==+++( ) =+- ( ) +1311121116( ) (nnn n nn+( )=+ ( ) ++121 26 12)( )( )donc S n nn+ = + ( )12162 .Conclusion :lapropritestvraiepourn =1etest hrditaire donc, pour n entier 1, Snn =-216.28 1. a b a b a ab ba ab ab b+ ( )= + ( ) + + ( )= + + +32 23 2 2 323 3 .2.Pour p et n entiers tels que p nnpnn p p ,!! !. =- ( )001 =101 =111 =201 =212 =221 =301 =313 =323 =331 =401 =414 =426 =434 =441 =a b a ab ab + ( )= + + + 33 2 230313233b33.Pour n = 1, a b a b + ( ) = +1 etkk kka b a b a b=- = + = +0111 1011donclaproprit est vraie pour n = 1.Hrdit : supposons que pour un entier n 1,a bnka bnknn k k+ ( )= =-0 ; montrons quea bnka bnknn k k+ ( ) =+ +=++ -10111.On a : a b a b a bnana bn nn n+ ( ) = + ( ) += + ++-110 1( )++ +nb a bn0( ).En multipliant nka bn k k - par b, on obtient nka bn k k - +1.9 Chapitre 1. Raisonner par rcurrenceEnmultipliant nka bn k k+- - +11 1para,onobtient nka bn k k+- +11.Ladditiondesdeuxnombresetlafactorisationdonne nknka bn k k ++- +11.Or,ondmontreenclassede Premire que nknknk ++ =++111.Lecoefficientdebk+1dansa bn+ ( ) +1estdonc nk++11.Puisque n nn+ =++ =10111, on a bien :a bnka bnknn k k+ ( ) =+ +=++ -10111.Conclusion :lapropritestvraiepourn=1etest hrditaire donc, pour n1, a bnka bnknn k k+ ( )= =-0.29 1.On a u02 =et 2 5 20 0+ =; u17 =et 2 5 71 1+ =donc la proprit est vraie pour n = 1.2.Supposons que, pour un entier n fix 1, la proprit Pnsoitvrifie,cest--direquepourtoutentier k nukk k , = + 2 5et montrons que la proprit est vraie au rang n+1. Il faut donc montrer que unn n++ += +11 12 5 .On a : u u un n n + -= -1 17 10doncunn n n n+- -= + ( ) - + ( )11 17 2 5 10 2 5dounn n++ += -( )+ -( ) 11212272102572102 soitunn n++ += +11 12 5 .3.Lapropritestvraiepourn =1etesthrditaire donc, pour n0, unn n= + 2 5 .30 1. A A A A 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 2 , ; , ; , , . ( ) = ( ) = ( ) = ( ) =2.m/n 0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 5 7 9 11 133 5 13 29 61 125 2553.Pour n entier naturel, il semble queA n n 1 2 , ( ) = + (conjecture 1) et queA n n 2 2 3 , ( ) = + (conjecture 2).Conjecture 1Initialisation :pourn =0, A 1 0 2 , ( ) = et0+2=2;la proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,A k k 1 2 , ( ) = +; montrons que A k 1 1 , + ( ) =k + 3.On a : A k A A k A k 1 1 0 1 0 2 , , , , + ( ) = ( ) ( ) = + ( )donc A k k k 1 1 2 1 3 , . + ( ) = + += +Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n0, A n n 1 2 , ( ) = + .Conjecture 2Initialisation : pour n = 0, A 2 0 3 , ( ) =et 2 0 3 3 + = .La proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,A k k 2 2 3 , ( ) = +; montrons que A k 2 1 2 , + ( ) = k + 5.On a : A k A A k A k 2 1 1 2 1 2 3 , , , , + ( ) = ( ) ( ) = + ( )donc A k k k 2 1 2 3 2 2 5 , . + ( ) = + + = +Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n0, A n n 2 2 3 , ( ) = + .4.Initialisation : pour n = 0, A 3 0 5 , ( ) =et 2 3 8 3 50 3 +- = - = . La proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,A kk3 2 33, ( ) = -+ ; montrons que A kk3 1 2 34, + ( ) = -+A k A A k Ak3 1 2 3 2 2 33, , , , + ( ) = ( ) ( ) = - ( )+donc A kk k3 1 2 2 3 3 2 33 4, + ( ) = - ( ) + = -+ +Conclusion :lapropritestvraiepourn=0etest hrditaire donc, pour n0, A nn3 2 33, ( ) = -+.Accompagnement personnalis1Le rle des exemples et contre-exemples1. Voir fichier sur le site Mathx.2. (A) Affirmation fausse(B) Affirmation fausse(C) Affirmation qui peut tre vraie (D) Affirmation fausse3.a.Pour n entier 0 1 , . v nn = - -b.Dans le cas o Nn = n 1,uvnn= +11v u unn n n- ( ) = = -++ 1 1111.104.La formule crite ci-dessus apparat valable. Pour la dmontrer, un raisonnement par rcurrence simpose.Initialisation : pour n = 0, u00 =et -++=10 11 0 donc la proprit est vraie pour n = 0.Hrdit : supposons que pour un entier k 0,ukk = -+ +111et montrons que ukkkk+ = -++ =++112112.On a : uukkkkk+ =-=++-=++1121211112.Conclusion :lapropritestvraiepourn =0etest hrditaire donc, pour n0, unn = -++111.2Autour dune somme1.a.Sin =1,S =1 ;sin =2,S =5 ;sin =3,S =17 ; sin = 4, S = 49.Si n = 0, la boucle pour ne dmarre pas et S = 0.b. S S5 445 2 129 = + = .c. S S nn nn+ = + +11 2 ( ) et S knknk==-112 .d. S15458 753 = .2.Pour n entier 0, S S nn n + = + +121 ( ) .3Rdiger une dmonstation par rcurrenceLe calcul des trois premiers termes amne la conjecture suivante : pour n entier 2, pnn =1.Initialisation :pourn =2, p212= donclapropritest vraie pour n = 1.Hrdit : supposons que pour un entier k 2,pkk =1 ; montrons que pkk+ =+111.On a : p pk kkk kk k + = -+( ) = +=+11111111.Conclusion :lapropritestvraiepourn =2etest hrditaire donc, pour n2, pnn =1.4Conjecturer une formuleA.Pour n entier 0, u nn = + ( ) 12.Pour n entier 1, v nn = - 3 7.Pour n entier 0, w nn = - 3 4.Pour n entier 0, t nn = +121.B.1.Le graphique suggre que la fonction f cherche est une fonction polynme du second degr.2.Lesvaleursaffichessemblentapprochescause de la terminaison 6667 qui laissent penser que lentier acherch est 3.3.a.Voir fichier sur le site Mathx.b.Pour n entier 1, v nn = -21 et unn =-213.c.Initialisation : pour n = 1, u10 =et 1 1302-=donc la proprit est vraie pour n = 1.Hrdit : supposons que pour un entier n 0,unn =-213 et montrons queun n nn+ =+ -=+12 21 1323( ).On a : unkknkn+=+=+- 111111 ( ). Ainsi( ) ( ) ( ) n u kk kk n n nnnknkn+ = - = - + + ( )=-+=+= 1 1 1 11111211313 233 231 233 2 2+ + ( )=+ +=+ +=+ ( ) +n nn n n nn n nn n ( ) ( ).Donc unnn n nn n nn+ =+ + ( ) +=+=+12111 232323( ) ( ).Conclusion :lapropritestvraiepourn =1etest hrditaire donc, pour n1, unn =-213.Pour aller plus loin Soit n .d d an bn c anbn c ann n + - = + ( ) + + ( ) + - + ( ) -+ ( ) - +12 22 2 2 12 1 2222 + + = bn c a.(dn) est une suite arithmtique de raison 2a.Lasuite(wn)dfinieparw u un n n= -+1apparat arithmtiquederaison 23.Lafonctionpolynmedu second degr a donc pour coefficient a =13.Travail en autonomieVoir fichier sur le site Mathx.Mthode possible - Les dlfferentes valeurs de un obtenues laissent dune part prsagerquelafonctionfrechercheestunefonction polynmeduseconddegr,dautrepartquilserait pratique dintroduire la suite (vn) telle que v un n= 6 .vvva b ca b ca b c1236152864 2 159 3 28===+ + =+ + =+ + ====abc231- Con[ecture : pour n1, v n nn = + + 2 3 12 etun nn =+ + 2 3 162.Onpeutaussidemanderunecourbedetendance polynomiale au tableur.1 Chapitre 2. tude de fonctionsPour reprendre contact1Avec les lectures graphiques1. f 1 2 ( ) = f 0 1 ( ) = f ( ) - = 1 42.a.3b.1c.23. ( ) = - f 2 4 ( ) = f 0 04. ( ) > f 1 0 - ( ) < f 1 02Avec les fonctions de degr 21.x - 1 + f(x) 12. S = - +122122;3.x - 122- 122+ + f(x) + 0 0 +3Avec le calcul des drives1. ( ) = - + - f x x xx3 4122 pour tout x 02. y = 24Avec ltude des variationsa. g est croissante sur- + [ [ 3; .b. g est croissante sur- ] [ ; 2et2 ; + ] [.c. g est croissante sur- - ] [ ; 1et- + ] [ 1; .d. g est dcroissante sur- ] ] ; 0et croissante sur0 ; + [ [.e. g est croissante sur- - ; 3 , dcroissante sur- 3 3 ;et croissante sur3; + .Activit 1. Choisir la bonne reprsentation graphique1.La reprsentation de la fonction p est la courbe en bas gauche.2.On peut conseiller au client dacheter un article pour atteindre 50 de manire bnficier de la rduction.tude de fonctionsContinuit et drivabilit22Activit 2. Nombre de solution dune quation f(x) = mA.1.a.1 b.2 c.1 d.2 e.0 f.02.Si k < - 2 ou k > 2 : aucune solution.Si k = - 2 ou k = 2 ou - < < 1 1 k: une seule solution.Si - < < - 2 1 kou 1 2 < < k: deux solutions.B.a.1 b.0c.2d.2C.1.a.1 2 1 2 3 4 5xy44332211 3 30f 2 2b.1 2 1 2 3 4 5xy44332211 3 30f 2 2c.11 22 33 44 55 1 1 2 2 3 3xy113344 2 2 3 3fd.1 2 1 2 3 4 5xy44332211 3 30f 2 22.a.On peut tracer la courbe de fsans lever le crayon.b.De plus, la fonction fest croissante sur- [ ] 2 5 ; .Activit 3. Vers de nouvelles formules de drivation1.a.Soit g x f x f x : ( ) ( ). Pour tout x de ,( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) g x f xf x f xf x f xf x 2 ( ).b.Avec les notations prcdentes, gx f x f x ux ux ( ) = ( ) ( ) = ( )( )=2( ) car u > 0.De a., on dduit :( ) =( )( ) =( )( )f xg xf xu xf x 2 2 car f (x) 0. Ce qui donne ici =+= f xxx( )22 32xx23 + pour tout x de .2.De mme,( ) =( )( )f xu xf x 2 pour tout x de .B.1.a.u2 est drivable sur I comme produit de fonctions drivables sur I (u lest) et ( ) u uu22 = .b. u u u3 2= est aussi drivable sur I comme produit (u2 et u le sont) et ( ( ) ) u uu u u u uu3 2 22 3 = + = .2.Conjecture (HR(n)) : un est drivable sur I et ( ) u nu un n = -1 .Initialisation : n = 2voir 1.a.Hrdit : on suppose HR(n) vraie. u u un n += 1 donc un+1 est drivable sur I comme produit de fonctions drivables sur I (u lest, un lest par hypothse de rcurrence).Et ( ) ( ) ( ) u nu u u u u n uun n n n + - = + = + 1 11: cest HR(n + 1), lhrdit est prouve.La conjecture est donc dmontre pour tout n 2.3.a. ( ) = + ( ) f x x 20 2 39 pour tout x de .b. ( ) = - + ( ) = -+ ( )-g x xx20 2 3202 31111 pour tout x -32.TP1. Lternel problme du rangement1. 2 22 + ( ) = Let L donc 2245 5 = , .2.Si = 1 2 ,cm (respectivement 1,8 cm et 2 cm) : on peut mettre 1 chocolat (resp. 1 et 2 chocolats) dans une couche.3.N (l)4.On choisit = 5 cm et L cm = 6 (30 chocolats).5. N E ( ) =( ) E( ) 11- (fonction partie entire) pour tout compris dans lintervalle0 5 5 ; , [ ].3 Chapitre 2. Continuit et drivabilitTP2. Raccordement ferroviaire1.a.En notant fla fonction associe la courbe , on doit avoir : f 60 5 ( ) = .Une quation de est : yx=343 200 (soit p et R = = 30 120) et une quation de T est : y x = -1410.b. Ensupposantleraccordparfait,Tapourvecteurdirecteur ru( ) 4 1 ; .Soit rv 114; -( ).Comme r ru v = 0,onendduit quune quation de ( ) Aest y x b = - +14. En remplaant par les coordonnes de A, on trouve y x = - +1420.c.Comme( ) A T ^ , ur u r uu AW = 0donc4 60 5 0 x y - ( ) + - ( ) = .Comme,deplus,A = = R 120,onaaussi x y - ( ) + - ( )= 60 5 1202 22. En remplaant y - 5 par - - ( ) 4 60 x, on trouve x =-1020 120 171730 9 , .On a bien x p 1 m prs.2. Lquationdelatangente TenAest,danslecasgnraly f p x p f p = ( ) - ( ) + 2 2 2 ( ).Comme( ) = f xxpR24,cela donne : ypRx pppR= - ( ) + ( )22123 soit encore ypR xpR= -432.T passe-t-elle par K430p;( ). La tige matrialise bien la tangente larc de raccordement et donc la partie circulaire, le raccord tant suppos parfait.TP3. Excs de vitesse ?A.1.b.La tangente f en son point dabscisse xn a pour quation : y f x x x f xn n n= ( ) - ( ) + ( ). Cette tangente coupe laxedesabscisseslorsquey xn( )+=10soit( ) - ( ) + ( ) =+f x x x f xn n n n 10.Onendduitlapremireformule.Deplus, f x xn n( ) = -22 et( ) = f x xn n2do la seconde formule.c. u11 50 = ,et u21 42 , .2. f a00 ( ) 0.4.On trace la tangente la courbe en B et on observe sa pente. a semble alors compris entre 0 et 0 4 , .B.1.a. PourquelarampedescendedeAenB,ilfautetilsuffitquelafonction f soitdcroissante.Or,lesensde variation de fle sens inverse de la fonction x ax b +qui, en tudiant le signe deu, dpend du signe de a.a doit donc bien tre strictement positif.b. f x ( ) existe + ax b 0 - xba . Donc Dbaf = - + ; . A a pour coordonnes-( )ba; l .c.Les conditions sont : - =ba0, soit b = 0, et f 0 2 ( ) = , soit l = 2.2.a. f xB( ) = 0 donc 2 0 - = axB puis xaB =4. On en dduit : B40a;( ).b.Lapentenexcdepas10 %sietseulementsi( ) - f xB 0 1 , .Onrsoutlinquation-( )-aaa240 1 , soit 0 0 4 < a , . On retrouve la conjecture de A.4.ExercicesSANS CRAYON SANS CALCULATRICE1 - + [ [ 2 ;2 g 1 0 5 ( ) - ,et g 2 2 ( ) =3 ( ) = g 0 0 et - ( ) = - g 1 1 5 ,4 - [ [ 2 2 ; , 2 3 ; [ [ et3; + ] [5 3 solutions6 2 solutions7 Aucune solution8 - [ [ 2 2 ;et2 ; + [ [9 a. =+f xx( )112 pour tout x de .b. ( ) = - ( ) f x x 8 2 34 pour tout x de .c. ( ) = -+ ( )f xx435 pour tout - - { } 3 .10 - = - - = f ( ) ( ) 1 40 1 2 384.11 a.La fonction est dcroissante sur- ] ] ; 1.b.La fonction est croissante sur- ] [ ; 1et1; + ] [.12 Une solution.13 1.Non, la fonction ne semble pas drivable sur .Eneffet,sur- - ] [ ; 1 et1; + ] [,lafonctionestconti-nue et la courbe ne prsente ni pointe ni tangente ver-ticale.Maisen-1,lesdemi-tangentesdroiteet gauche ne sont pas confondues, fnest donc pas dri-vable en -1.2.On lit : - f ( ) 3 2 ; f ( ) - 1 0 ; f ( ) 1 1et f ( ) 2 0 6 , .14 a. y x = - 8 17b. y x = - ( ) + +( )12 33 3 1c. y x = - -( )+322325 Chapitre 2. Continuit et drivabilit15 1.a. fsemble dfinie sur .b.fsemble continue sur .c.fsemble drivable sur- - ] [ ; 2et- + ] [ 2 ; .2.a. fsemble dfinie sur .b.fsemble continue sur- ] ] ; 1 et1; + ] [.c.fsemble drivable sur- ] ] ; 1 et1; + ] [.3.a. fsemble dfinie sur .b.fsemble continue sur .c.fsemble drivable sur- ] [ ; 1 , 1 6 ; ] [ et6 ; + ] [.4.a.fsemble dfinie sur- - ] ] ; , 0 5et1 5 , ; + ] [.b.fsemble continue sur- - ] ] ; , 0 5et1 5 , ; + ] [.c.fsemble drivable sur- - ] ] ; , 0 5et1 5 , ; + ] [.16 1.a. fsemble dfinie sur- ] [ ; 0et0 ; + ] [.b.fsemble continue sur- ] [ ; 0et0 ; + ] [.c. fsemble drivable sur- ] [ ; 0et0 ; + ] [.2.a. fsemble dfinie sur .b.fsemble continue sur- ] [ ; 2et2 ; + [ [.c. fsemble drivable sur- - ] [ ; 2 , - ] [ 2 2 ;et2 ; + [ [.3.a. fsemble dfinie sur- ] [ ; 0et1; + [ [.b.fsemble continue sur- - ] ] ; 2 , - ] [ 2 0 ;et1; + [ [.c.fsemble drivable sur- - ] ] ; 2 , - ] [ 2 0 ;et1; + [ [.4.a. fsemble dfinie sur- ] [ 3 3 ; .b.fsemble continue sur- - ] ] 3 2 ; , - ] [ 2 2 ;et2 3 ; [ [.c. fsemble drivable sur- - ] ] 3 2 ; , - ] [ 2 2 ;et2 3 ; [ [.17 1.a., 1.b. et 2.P(t)t(en h)3.P(t)t(en h)18 1.2.3.Voir graphique prcdent. Lorganisateur peut accepter entre40et50supporters,entre80et100supporters, entre 120 et 150 supporters ou entre 160 et 200 supporters.19 Voir corrig en fin de manuel.20 1.ykxf2.On trouve k = 4.21 2. La fonction fest discontinue en - 0 5 ,; 0 5 ,et 1 5 , .3. f xx xx xx( ) =- - < -- - donc, daprs le thorme des valeursintermdiaires,lquationf x ( ) = 0admetune unique solution a sur- [ ] 1 0 ;donc sur- [ ] 1 3 ; .d. - < < - 0 911 0 910 , , a .27 1.Graphique :voircalculatrice.Lquation( ) E1semble avoir trois solutions sur .2.a.On pose f x x x : - +32 1.On tudie les variations de f .Pour tout x de , = - = -+f x x x x ( ) 3 2 323232avec 230 82 ; , . Do :x - 2-23231f(x) 2,09 0- 3 - 0 09 ,Onappliqueensuitelethormedesvaleursinterm-diaires sur- -223;et-231 ; .b. a ; 0 62 ,et b; -1 62 , .28 1.Lquation semble avoir deux solutions.2.a. f estcontinuesur- [ ] 3 3 ; entantquefonction polynme.b.Pour tout x de- [ ] 3 3 ; ,( ) = + - = -( )+ ( ) f x x x x x 4 2 2 41212. fest donc ngative sur-112;et fest dcroissante sur cet intervalle, croissante sur- - [ ] 3 1 ;et 123 ;.c.Comme f120 02 0( ) > , , lquation f x ( ) = 0 nadmet quune unique solution a sur - [ ] 3 3 ;avec - < < - 176 175 , , . a29 Lquation f x ( ) = 0 admet trois solutions a b g , ,sur - [ ] 2 2 ;avec - < < - 0 64 0 63 , , a , b = 1 et 114 115 , , . < < g31 1.On tudie les variations de f . Pour toutx de ,( ) = +> f x x 3 1 02. fest donc strictement croissante sur 0 1 ; [ ],continue(commepolynme)et0estbiencom-prisentre f 0 1 ( ) = - et f 1 1 ( ) = .Daprslethormedes valeursintermdiaires,lquationf x ( ) = 0admetune unique solution sur0 1 ; [ ].2.Lorsque k = 1, lalgorithme renvoie 0. Lorsque k = 3,lalgorithmerenvoie0 6 , .Lorsquek = 1,lalgorithme renvoie0 68 , .Ilnousdonnelestroncatures 101 - - ( ) kprs de a.3.Onremplacelaconditionf ap+ ( ) f xx( )52 5 40.f eststrictementcrois-sante sur 4510 ;.b. f estdrivablesur- [ ] 3 3 ; (racinecarredune fonctionpolynme)etpourtoutxde- [ ] 3 3 ; , =--f xxx( )92dusignede x. f eststrictement croissantesur- [ [ 3 0 ; etstrictementdcroissantesur 0 3 ; ] ].51 Voir corrig en fin de manuel.52 1. t x t t ( ) = + A H H B.On utilise la formule : duredistancevitesse= .Ainsi, tVxA HmerAH= =+214(thorme de Pythagore)et tVxH BterreHB = =- 65.On retrouve bien lexpression propose.2.Pour 0 6 x , =+- t xxx( )4 1152.On rsout directement linquation( ) t x 0 : 5 4 12x x +et en levant au carr (quantits positives) : 25 16 12 2x x ( ) +soit x 43. Au final, t est dcroissante sur 043; et croissant sur 436 ;.3.Daprs 2., le trajet atteint son minimum pour x =43.Le canot doit donc accoster au point H de la cte situ 1 333 ,km de O.53 1.La longueur x variant dans lintervalle0 1 ; [ ],f x x x xxx ( ) = - + - = +( )- 2 1121 2212 2 2.2. fest drivable sur0 1 ; [ ] et pour tout x de0 1 ; [ ], = - + +--= - - +-f x xx xxx xx( )121 2222 12 4 12 12222..La drive sannule lorsque x = - 162.Laire maximale est donc atteinte pour x = - + 1620 22 ,et vaut environ 2,1 units daire.54 1.a. gestdrivablesur- [ ] 3 3 ; (polynme)et pour tout x de- [ ] 3 3 ; ,( ) = - = - g x x x x x 6 6 6 12( ).x - 3 0 1 36x 0 + +x - 1 0 + g x ( ) + 0 0 +gx ( )-1 26- 82 - 2b.Daprsletableaudevariations,lquationgx ( ) = 0ne peut admettre de solutions que sur lintervalle1 3 ; [ ].Sur cet intervalle, g est continue (polynme), strictement croissante et 0 est bien compris entre g( ) 1et g( ) 3 .Onpeutdoncappliquerlethormedesvaleurs intermdiairesetlquationgx ( ) = 0admetuneunique solutiona, on trouve a 17 , .Parconsquent,gestngativesur- [ ] 3; a etpositive sur a; . 3 [ ]2.a.On utilise la drive du quotient.b.x - 3 0 a 3gx ( ) 0 +x321 + ( )+ + + f x ( ) 0 +f x ( ); - 0 15 , ; - 0 07 ,; - 0 12 ,55 1. (A) Oui, une fonction polynme par exemple.(B)Oui,unefonctionprsentantunediscontinuiten un point.(C) Non, la drivabilit entrane la continuit.(D)Oui,parexemplelafonctionvaleurabsoluesur - [ ] 3 3 ; .2. (A) f est non continue ou non drivable sur I.(B) f est continue ou drivable sur I.(C) f nest pas drivable sur I ou continue sur I.(D) f nest pas continue sur I ou drivable sur I.56 1.Oui,lafonctionsemblecontinuesur- [ ] 2 6 ; ,il semblequelonpuissetracerlacourbesansleverle crayon.2.a. f xx xx( ) =- --2124. f nestpasdfinieenx = 4donc a fortiori non continue sur- [ ] 2 6 ; .9 Chapitre 2. Continuit et drivabilitb. f x ( )scritaussif xx xxx ( ) =- ( ) + ( )-= +4 343mais seulementlorsquex 4.Onnepeutdoncvoirla discontinuit en 4 (la fonction est prolongeable par continuit en 4 gauche et droite).APPROFONDISSEMENT80 1. ( ) =( )( )f xw xwx 2( ) = ( ) ( ) -g x nw xwxn 1( ) = + ( ) h x a w ax b2.a. f x vux ( ) = ( ) ( ) avec v x x ( ) =et ux wx ( ) = ( )gx vux ( ) = ( ) ( ) avec vx xn( ) =et ux wx ( ) = ( )hx vux ( ) = ( ) ( ) avec vx wx ( ) = ( ) et ux ax b ( ) = +b. ( ) = ( ) ( )f x w xwx12( ) = ( ) ( ) -g x w x n wxn 1( ) = + ( ) h x a w ax b81 f dfiniesurpar :f xx si xx si x( ) =-- >2 1 24 5 2,est continue sur , drivable sur- ] [ ; 2et2 ; + ] [.yxf82 1. yx2.Pardfinition,Ex ( )estluniqueentiertelque E E x x x ( ) < ( ) + 1.Enajoutant1lingalit, E E x x x ( ) + + < ( ) + ( ) + 1 1 1 1 .En revenant la dfinition, on a donc bienE E x x + ( ) = ( ) + 1 1.3.a.Pour tout x rel,f x x x xx x x+ ( ) = + ( ) + + - + ( ) [ ]= ( ) + + + - ( ) - [ ]1 1 1 11 1 12E EE E221 = ( ) + f x .b.Pourobtenirlacourbe enentier,onprocdepar translations successives de vecteur ru( ; ) 1 1.c. yxf4.Oui, la fonction semble continue sur .84 1.La cellule A0 peut contenir :x x x x x x2 2 22 2 1 2 1 - - + - + , , etplusgnralement toute expression de la forme x x c22 - + (c ).2.Les contenus possibles pour A0 sont :- - + + x x x c3 24 3 / (c ).85 1.Danschaquecas,f sembledcroissantesur - ] ] ; 2 .Enutilisantlesensdevariationdeu,onen dduit que m < 0.2.Onendduitque,danstouslescas,f 2 0 ( ) = , i.e. 2 0 m p + = .3.On peut conjecturer que toutes les tangentes ces courbes en leur point dabscisse 0 passent par A( ; ) 4 0 .Dmonstration : soient mp ,donns.La tangente f en 0 a alors pour quationympx p = +2.Or,lorsquex = 4, ymppm pp= + =+ ( )=242 20daprs 2.La conjecture est dmontre.86 1.Danschaquequestion,ondoitdterminerle primtre Px ( )delasurfacecirculaireenadditionnant leprimtredu(oudes)secteur(s)angulaire(s)etla longueurdesctsdelamaisonconcernsparla course du chien.a.xxb.x 66xc.x 14x 6614Px x ( ) = +( )322pPx x ( ) = + ( )- 2 2 3 p pPx x ( ) = +( ) -522 10pp102.fOnconstatequecettefonctionestbiencontinueen x = 6 et x = 14.87 1. f estdrivablesur0 1 ; [ ](polynme)etpour tout x [ ] 0 1 ; ,( ) = - ( ) f x x x 4 12. On en dduit :x 0 1 f x ( ) f x ( )0 12.a. f tantcontinue,strictementdcroissantesur 0 1 ; [ ], pour tout y f f ( ) [ ] 1 0 ; ( ) , lquation f x y ( ) =admet uneuniquesolutiondans0 1 ; [ ] (thormedesvaleurs intermdiaires).b. x x y4 22 0 - - = estunequationbicarrequi devientX X y22 0 - - = enposantX x =2.Le discriminantvalantD = + 4 4 0 y (pour y - [ ] 1 0 ; ),X y =- + 1 1 (onliminelautreventuellesolution)et, au final, x y = - + 1 1 .88 Lapremiredrivationsefaitparrapportla variablex (faitedofficesurXcas.fr)tandisqueladeu-xime se fait par rapport la variable a.89 Lorsqueleaurecouvreexactementlaboule,cela signifiequelevolumedeauestexactementgalau volumedelaboule.Ennotantrlerayondelaboule, lquation rsultante est :4310 4433 2 3p p p r r = -soit, en simplifiant, 231003r =ou encore 2 300 03r- = .Enappliquantlethormedesvaleursintermdiaires x x - 2 3003,onmontrequecettequationaune unique solution dans0 10 ; [ ]. On a a = 150 5 313, cm.90 A.1. De manire intuitive, t t tA B A I I B = + .Enutilisantlaformulevitessedistancedure= ,onobtient tv vA BAI IB .Enpassantauxcoordonnes,on obtient la formule attendue.2.a. gx ( )estlexpressiondeladrivedef . hx ( )est lexpressiondeladrivedeg,ouencorelexpression de la drive seconde de f .b. x a x a x a2 2322 2 2 2+( )= + + ( ) .c. hx ( ) > 0commesommedetermesstrictement positifs.3.Daprs2.c.etladfinitiondeh, geststrictement croissante sur0 ; d [ ].4. g est continue sur0 ; d [ ] (comme somme et quotient defonctionscontinues),strictementcroissantesurce mmeintervalleet0 0 ( ) ( ) [ ] g gd ; cargdq01( ) = - o d q > > 0 01,et gddq( ) =2 o d q > > 0 02, .Parconsquent,daprslethormedesvaleurs intermdiaires,lquationgx ( ) = 0admetuneunique solutiondans0 ; d [ ].Lgalitsobtientencrivant littralement gx00 ( ) = .5.x 0x0dgx ( ) 0 +f x ( )f 0 ( ) f d ( )f x0( )B.a.En utilisant les dfinitions des lignes trigonom-triques,sini1 =OAAIpuisenpassantauxcoordonnes, sinivxv a x1 02 2=+.De mme, on obtient, siniwd xw d x b2 022=- ( )- ( ) +.Les deux quantits sont gales daprs A.4.b. Lgalit de a. devient sin sin icnicn1122=.En simplifiant par c, on obtient bien la loi de Descartes.91 1. f xx121( )( ) = - , f xx232( )( ) =et f xx346( )( ) = - .2.a. a11 = - , a22 = , a36 = -et a424 = .b.On peut conjecturer a5120 = - .c.On peut conjecturer a nnn= - ( ) 1 ! . Montrons cette conjecture par rcurrence sur n * :Initialisation : n = 1. a11 = -fonctionne (cf. 2.a.).Hrdit : Soit n 1. Supposons que f x nxnnn( )+( ) = - () ( )( ) 111! .fn ( ) tant drivable sur *(fonction puissance), on peut utiliser lgalit f fn n + ( ) ( )= 1( ) , ce qui donne :11 Chapitre 2. Continuit et drivabilitpour tout x 0f x nnxnnnnn+ ( )++( ) = - ( ) -+ ( )( )= - ( ) +121111 1! ( )( (( )( )+! . )12xnParconsquent,a nnn++= - + ( )111 1 ( ) !:lhrditest dmontre.Au final, la conjecture est vraie pour tout n *.PROBLMES92 A.1.Ennotantxlartedunouvelautel,lqua-tion du problme se rsume :V Vnouvel autel ancien autel= 2 , soit x32 1 1 = = .2.On applique le thorme des valeurs intermdiaires f : x x -31 etonmontreainsiquef admetune unique racine sur0 2 ; [ ]. ftant strictement croissante et non nulle sur2 ; + [ [, cette racine est unique sur +tout entier.B.2.a.LesvecteursUAu r uu122 -( )u ; etVBu r u1 1 ;- ( ) v sont colinaires par construction. En appliquant la condition de colinarit, on trouve effectivement 121 2 -( )- ( ) = u v .b.LesvecteursVBu r u1 1 ;- ( ) v etPRu r u14 212 2- - +( )u v; sont orthogonaux par construction. En crivant la nullit du produitscalairedecesdeuxvecteurs(expression analytique), on trouve effectivement 1212-( ) = - ( ) u v .c.Lesrelationsobtenuesen2.a.et2.b.permettent dcrire le systme : 121 21212-( )- ( ) =-( ) = - ( )u vu v soit122122-( )=-( ) =uuVHVH en remplaant1- ( ) vpar VH.En liminant 12 -( )u , on trouveVHVH=22 soitVH32 = .On a donc bien VH = 23(cf. partie A).93 1.x - 5 -131 5 f x ( ) + 0 0 +f x ( )-222794-146 22.Lavaleurchercheestdonnela4einstruction (environ 1 839 , ).Pour montrer que cette valeur est unique, nous utilisons le tableau de variations.Dunepart,f nepeutsannulersur- [ ] 5 1 ; carelleest continue et admet un maximum de - f x x 24 2 02.Onsetrouvedansle cas du 2. : la courbe de la fonction est au-dessus de ses tangentes (fonction convexe).b. f estdrivablesur (f estdutypeu,ouestun polynme) et pour tout x rel, =+ +f xx x( )62 3 2 32 2( ) !. Mme cas de figure.95 Taestparallle dlorsque( ) = - f a 1.Or, f ,fonc-tion polynme, est drivable sur et pour toutx rel, ( ) = - + - f x x x1212. On cherche donc les valeurs de avrifiant lquation - + - = -121 12a asoit a a - +( )=121 0.Les valeurs de a qui conviennent sont donc 0 et 2.96 Dune part, (AO) a pour vecteur directeurOAur uua f a ;( ) ( ), soit ici OAur uua a ; 42-( ).Dautrepart, Tapourvecteurdirecteur u f ar( ) 1;( ) ,soit ici uaar142; --.OAur uu ru a aaaa a = + - -- = - = 1 44022.Les deux droites considres sont donc perpendiculaires.98 Onnotex = AB.ParlethormedePythagore, AC = - 642x . En notant Px ( ) le primtre du triangle ABC, on obtient :Px x x ( ) = + + = + + - AB AC BC 8 642.P est drivable sur0 8 ; [ [ comme somme dune fonction affineetdunefonctiondutypeuetpourtoutxde 0 8 ; [ [ : =--=- --=-- - +(P xxxx xxxx x x( ) 164646464 264 6422222 2))(pour la dernire galit, on utilise la quantit conjugue).99 1.a.Reprsentation de HyxReprsentation de Pyxb. Hsemblecontinueetdrivablesur- ] [ ; 0 et 0 ; + [ [.c. Psemblecontinueetdrivablesur- -;12,-1212;et 12; + .2.a. H xxx21 20 2- ( ) =>pourpour etH xxx11 10 1- ( ) =>pourpourDonc T xxxx( ) =>- +01211212pourpour On cherche rcrire lingalit - +1212 ax b .Procdonspardisjonctiondecassura 0(a = 0ne convient pas) :1er cas : a > 0.Alors - + - - + -12121212 ax babaax baba.En identifiant les bornes dintervalles sur lesquels Tet Psont constantes, on parvient au systme :- - =- =+ = -- ={== -1211221 2 21 2 413abaabab ab aab222ecas : a < 0.On procde de mme : on trouve a = -1et b =32.Conclusion : T x x x ( ) = -( ) = - +( )P P3232.100 Notonsaminlaltitudeminimaleetamaxlaltitude maximale.Soit m la fonction monte qui h (lheure comprise danslintervalle8 20 ; [ ])associemh ( ) (laltitude laquelle se trouve lalpiniste lheure h).Soit d la fonction descente qui h (lheure comprise dans lintervalle8 20 ; [ ]) associe dh ( ) (laltitude laquelle se trouve lalpiniste lheure h).13 Chapitre 2. Continuit et drivabilitLes deux fonctions met d sont continues par dfinition. EnnotantDlafonctioncontinuequihassocie Dh dh mh ( ) = ( ) - ( ), on constate queD 8 0 ( ) = - > a amax min, que D 20 0 ( ) = - < a amin max.Daprs le thorme des valeurs intermdiaires, lquation Dh ( ) = 0 admet une solution h0 (pas forcment unique)dans 8 20 ; [ ] : cest lheure solution du problme.101 1.La relation propose scrit aussi : f(x)(1 f(x)) = 0.Daprslargleduproduitnul, f x ( )nepeutdonctre gal qu 0 ou 1.2.Parlabsurde,supposonsquilexisteaetbdansI(a b < ,quittechangeraetb)telsquef a ( ) = 0et f b ( ) = 1. ftant continue, daprs le thorme des valeurs intermdiaires,ilexistec a b [ ] ; telquef c ( ) =12.Cest impossible daprs 1.102 1.yxf2.a.Lafonctionsemblecontinuesur 1312;,1413;,1514;, b.Par dfinition, la fonction partie entire x x ( ) Eest continue (et constante) sur les intervallesk k ; + [ [ 1(ok ). Soit x + [ [ 0 ; :-slx > 1, 011 < 0 et f n(x) = 0 x = 0.f n est donc strictement croissante sur .n 1 3 et n 1 impair donclimxnf x- ( ) = etlimxnf x+ ( ) = + .Do le tableau de variations suivant de fn :x 0 + f n(x) + 0 +f n(x) + Il en rsulte que f n(x) = 0 admet une unique solution xnsur. f n(0)=1doncf n(xn)< f n(0).Commef nest strictement croissante sur .- xn < 0limxnf x+( ) =limxnx+ = + etlimxnf x-( ) =limxnx- = + car n est pair.Do le tableau de variation de fnx xn0 + f n(x) 0 +fn(x)+ fn(xn) 1+ xn < 0, comme fn est strictement croissante sur [xn; + [,fn(xn) < fn(0), fn(0) = 1 donc fn(xn) < 0.Il en rsulte daprs le tableau de variations et le thorme des valeurs intermdiaires que lquation fn(x) = 0 admet deux solutions dans , lune dans ] ; xn[, lautre dans ]xn; + [, car fn(xn) 0 puisque fn(xn) < 0.Donclquationxn =1 xadmetdeuxsolutionsdis-tinctes dans .t$PODMVTJPOQPVSn pairCommeonavuquepourn =2lquationxn =1xa deux solutions distinctes, on en conclut que pour tout entiernpairetn 2, lquationxn =1xadeux solutions distinctes dans .tn impairLe cas n = 1 ayant t trait, on suppose n 3.Pour tout rel x, f n(x) = nxn1 + 1.n pair et n 3 donc n 1 pair et n 1 2.Ilenrsultequepourtoutrelx, f n(x)> 0,fnestdonc strictement croissante sur .limxnf x+( ) =limxnx+ = + etlimxnf x-( ) =limxnx- = car n est impair.x + f n(x) +fn(x) + Daprsletableaudevariationsetlethormedes valeursintermdiaireslquationfn(x) =0admetdonc unesolutionuniquesur,donclquationxn =1xaussi.t$PODMVTJPOQPVSn impairComme on a vu que, pour n = 1, lquation xn= 1 x a unesolution,onenconclutquepourtoutentier nimpair,lquationxn=1xauneuniquesolution dans .118 Onpeutcommencerparunetudegraphiqueen traant sur la calculatrice ou laide dun logiciel la courbe dquation y = e2x 2ex puis faire des conjectures.Rsoudresurlquatione2x2exm =0,revient rsoudre lquatione2x 2ex = m,cest--dire dter-miner les abscisses des points dintersection de la droite dm: y = met de la courbe dquationy = e2x 2ex.30 partir de ce graphique, on peut conjecturer que, pour m < 1, lquation (Em) na pas de solution.Pour m = 1, lquation e2x 2ex + 1 = 0 a une solution unique 0.Pour 1 < m < 0, lquation (Em) a deux solutions, lune ngative et lautre positive.Pourm 0,lquation(Em)auneuniquesolutionqui est positive.Remarque :pourm =0,lasolutionuniqueestgale ln(2) car e2x 2ex = ex(ex 2).Donc partir de cette tude graphique seule la rponse D est juste.Autre mthode : on tudie les variations de la fonction fdfiniesurparf (x) =e2xex,salimiteen etsa limite en + .f (x) = 2ex(ex 1). limxf x+( ) =limxxx+-( )ee212= + et limxf x-( ) = 0.On obtient le tableau de variations ci-dessous :x 0 + f (x) 0 +f (x)0 1+ Par le thorme des valeurs intermdiaires et daprs le tableau de variations on retrouve les rsultats conjecturs dans ltude graphique.119 Quelquesoitlentiernatureln, n 3,0nestpas solution de lquation ex= nx, car e0 0.Do ex= nx exx = n.Conjectures :pournentiernaturel,n 3.Rsoudre dans lquation ex=nx exx = n, revient dterminer lesabscissesdespointsdintersectiondelacourbedquation y = exx avec la droite dn : y = n.yxEn traant la main ou avec un logiciel la courbe et les droites d3, d4, d5, on peut conjecturer quil y a deux solutions,luneanavec0< an< 1etlautrebnavec bn> 1,quelasuite( ) an n3estdcroissanteetque lasuite( ) bn n3estcroissante,aveclimnna+ =0et limnnb+ = + .Rsolution : soit f la fonction dfinie sur] ; 0[ ]0; + [parf (x) = exx. festdrivablesur ] ; 0[etsur]0; + [ commequotientdedeux fonctionsdrivablesx exetx xavecx xne sannulant ni sur ] ; 0[ ni sur ]0 ; + [.f (x) = exxx( ) - 12. f (x) = 0 x = 1.Sur ] ; 0[, f (x) < 0 ; sur ]0 ; 1[, f (x) < 0 ;sur ]1 ; + [, f (x) > 0.Doncsur]; 0[ feststrictementdcroissante,sur ]0 ; 1] f est strictement dcroissante et sur [1 ; + [ f est strictement croissante.limx x -1 = 0 etlimxx-e= 0 donclimxf x-( ) = 0.limxx0e= 1, limx x -01 = etlimx x +01 = + .Donclimxf x-0( ) = etlimxf x+0( ) = + limxxx +e = + , donclimxf x+( ) = + .Do le tableau de variations ci-dessous :x 0 + f (x) 0 +0+ + f (x) e31 Chapitre 6. Limites de fonctionse < 3, donc daprs le tableau de variations et le thorme des valeurs intermdiaires lquation f(x) = n, n 3,- n'a pas de solutlon dans |- ; 0[ ;- a une seule solutlon an dans ]0 ; 1] avec 0 < an< 1, car f (1) < 3 ; - a une seule solutlon bn avec bn > 1. f (an) = n et f (an+1) = n + 1 donc f (an) < f (an+1).Comme f est strictement dcroissante sur ]0 ; 1], f (an)< f (an+1)entranean> an+1.Lasuite( ) an n3est donc strictement dcroissante f (bn) = n et f (bn+1) = n + 1 donc f (bn) < f (bn+1).Comme f est strictement croissante sur [1 ; + [f (bn) 1, soit un entier naturel n0, n0 3, telquen0>f (a),alorsf (bn0)>f (a)puiscommefest strictement croissante sur [1 ; + [, bn0 > a.Lasuite( ) bn n3tantstrictementcroissante,onen dduit que pour tout entier naturel n n0, bnbn0> a.Il en rsultelimnnb+ = + .Conclusion :pourtoutentiernatureln,n 3,danslquationex=nx exx =n,adeuxsolutionsanetbnavec 0 < an < 1 et bn > 1.La suite ( ) an n3 est strictement dcroissante.La suite ( ) bn n3 est strictement croissante.limnna+ = 0 etlimnnb+ = + .120 Laffirmation est fausse. Eneffet,posonsf (x) =x+ 1etg(x) =x ;limxf xgx +( )( ) =1 mais lim ( ) ( )xf x gx+-= 1 et non 0.121 Soit g la fonction dfinie sur [0 ; 1] par g(x) = f (x) x,g(0) = f (0) et g(1) = f (1) 1.Comme pour tout rel x de [0 ; 1], 0 f (x) 1, g(0) 0 et g(1) 0. f et x x sont continues sur [0 ; 1] donc gsomme de f et de x x est aussi continue sur [0 ; 1]. Il en rsulte que par le thorme des valeurs intermdiaires g prend toute valeur a telle que g(1) ag(0), comme g(1) 0 g(0) il existe donc au moins un rel a dans [0 ;1]telqueg(a) =0,cest--diretellequef (a) =a.Lquationf (x) =xadoncaumoinsunesolutiondans [0 ; 1].122 Pour tout rel x,(x + a)3 + p(x + a) + q= x3 + 3 a x2 + (3 a2 + p)x + a3 + p a + q.Donc pour que, pour tout rel x,x3 + ax2 + bx + c = (x + a)3 + p(x + a) + q.Il suffit que3323aaa a=+ =+ + =ap bp q cCest--direa == -= - +ap baq cab a33322723Il en rsulte qualors dans lquation x3 + ax2 + bx + c = 0 quivaut X pX qx X30 + + == -a2. limxf x+( ) = limxx+3 = + limxf x-( ) = limxx-3 = festdrivablesurcarcestunefonctionpolynme dfinie sur et pour tout rel x, f (x) = 3x2 + p.tp = 0 : f (x) = x3 + q et f (x) = 3x2f (x) = 0 x = 0 et pour x 0, f (x) > 0.f est donc strictement croissante sur .x 0 + f (x) + 0 +f (x) q+ tp > 0 : 3x2 + p > 0, donc f est strictement croissante sur .x + f (x) +f (x) + tp < 0 : f (x) = 0 x = - p3 ou x =- p3.32Do le tableau de variations ci-dessous :x - p3- p3+ f (x) + 0 0 +f (x) f ( - p3)f ( - p3)+ 3. Pour p 0,daprslesdeuxtableauxdevariations tablis en 2. et le thorme des valeurs intermdiaires lquation f (x) = 0 a une seule solution dans .Pour p < 0, f - -p3 = 23p- p3 + q etf -p3 = 23p- p3 + q.Si f - -p3< 0 cest--dire q < 23p- p3 soit 4p3+ 27q2> 0,daprsletableaudevariationstabli en 2. etlethormedesvaleursintermdiaires lquation f(x) = 0 a une seule solution dans .Si f -p3>0 cest--dire q > 23p- p3soit4p3+ 27q2> 0daprsletableaudevariations tablien2. etlethormedesvaleursintermdiaires lquation f (x) = 0 a une seule solution dans .Si f - -p3 = 0 ou f -p3 = 0 cest--dire q =23p- p3ou q = 23p- p3soit4p3+ 27q2=0,daprsletableaudevariations tablien2. etlethormedesvaleursintermdiaires lquationf (x) =0adeuxsolutionsdans,lunedes deux tant soit gale - p3, soit gale - p3.Si f ( - p3) > 0 cest--dire q > 23p- p3et f ( - p3) < 0 cest--dire q < 23p- p3soit4p3+ 27q2< 0, daprsletableaudevariations tablien2. etlethormedesvaleursintermdiaires lquation f (x) = 0 a trois solutions dans .Conclusion- 4p3 + 27q2 > 0x3 + px + q = 0 a une seule solution dans .- 4p3 + 27q2 = 0x3 + px + q = 0 a deux solutions dans .- 4p3 + 27q2 < 0x3 + px + q = 0 a trois solutions dans .Remarque :dgagerdansltude4p3+ 27q2nestpas ncessaire, cela a juste t fait pour revenir un rsultat connu.4. Pour tout rel x,- f (x) = x3 27 ; une seule solution : 3.Remarque : x3 27 = (x 3)(x2 + 3x + 9)- f (x) = x3 3x + 2 ; deux solutions.Remarque : x3 3x + 2 = (x 1)2(x + 2)- f (x) = x3 2x + 1 ; 3 solutions.Remarque : x3 2x + 1 = (x 1)(x2 + x 1)123 a. Courbe verteb.Courbe rougec.Courbe bleued.Courbe violetteExemplesa. f (x) = exb. f (x) = x + 112x+c. f (x) =x d.f (x) = 2x 1Accompagnement personnalis1Interprter graphiquement des limites1. limxf x-( ) = 0 ;limxf x+( ) = 2limxf x --( )( )2 = + ; limxf x -+( )( )2 = + limxf xx 0( ) =1 ;limxf xx -- 646( ) = 02.a.limxx+e= + ; limxx-e = 0 ;limxxx -01 e = 1b. y1 1 xa2 Lever des formes indtermines avec des exponentielles1. Le point sur les connaissancesa. ; 0 ; ; 00b.Pour x 0, exx2 do pour x > 0, exxx ; commelimxx+ =+ parcomparaisononendduit limxxx +e = + .Pour tout rel x, xex = --xxe33 Chapitre 6. Limites de fonctionslimxx-- = + etlimXXX +e= + donc par composition limxxx ---e= + et par passage linverselimxxx---e= 0, il en rsultelimxxx-e = 0.limxxx -01 e = 1, car exp(0) = 1.c. Pour x > 0, xxe = 1exx, limxxx +e = +donc par passage linverselimxxx+ e = 0.xex = xxe donc on revient au rsultat prcdent.xxe - 1 = 11 exx-;commelimxxx -01 e=1,parpassage linverselimxxx+ - e 1 = 11 = 1.2.Lever les formes indterminesa. e2x crase ex en + carlimxxx+ee2= limxx+e = + .On peut conjecturer quelimxx x+- e e2 = + .e2x ex= e2x11-( )ex ;limxx+e = + donclimxx+1e= 0, dolimxx+- 11e = 1.e2x= ex ex donc par lopration produitlimxx+e2= + etparloprationproduitlimxxx+-( )ee211=+ soit limxx x+- e e2 = + .b. Lacourbedquationy =ex+4estlimagedela courbedquationy =ex+1parlatranslationde vecteur3jr, jrtantlevecteurunitairedurepre orthonorm (O ;ir, jr).Doncx aex+ 1etx aex+ 4ontlemme comportement en + et aucune ncrase lautre. On conjecturelimxxx+++ee14 = 1. eexx++14 = eeeexxxx1114+( )+( ) = 1114++eexxlimxx+1e= 0 donclimxxx+++1114ee= 1, soitlimxxx+++ee14= 1.c. En+ , x excrasexx+4quialemme comportement que x x.On conjecturelimxxx+- + e ( ) 4= + et limxxx + +e4 = + .Dmonstrationex (x + 4) = ex14- -( )xx xe e ;limxxx+ e = 0 et limxx+1e = 0.Donclimxx xx+- - 14e e = 1.Commelimxx+e =+ ,parloprationproduitonen dduit limxxx xx+- -( )ee e14 = + .Soitlimxxx+- + e ( ) 4= + Pour x > 0, e ex xx xx+=+4114limx x +1 = 0, donclimxx++114 = 1.Commelimxxx +e=+ parloprationproduitonen dduit limxxxx++e 114 = + soitlimxxx + +e4 = + .d. partirdereprsentationsgraphiqueslaidedun logicieloudecalculspourdegrandesvaleursdex,on conjecturelimxx xx+- - e e 5 = + etlimxxxx+ +ee 5= + .DmonstrationPour x > 0,xex ex 5 = xex(1 1x 5xxe) limx x +1= 0 et limxx+1e = 0 donclim limxxxxx x + +=1 1 1e e = 0.Dolimxxx x +- - 11 5e = 1.Commelimxx+e =+ ,parloprationproduitonen dduit limxxxx x +- -( )ee11 5 = + soit limxx xx+- - e e 5 = + .xxxee + 5 = xxxxeee15+( ) = xx115+elimxx+1e= 0 donclimxx++115e= 1, commelimxx+= + ,par lopration produitlimxxx++115e = + ,soit limxxxx+ +ee 5 = + .e.Pour tout rel x, (2x + 3)ex =2xex + 3ex.limxxx-e =0etlimxx-e =0,doncparlopration dadditionlimxx xx-+ 2 3 e e= 0, soitlimxxx-+ ( ) 2 3 e = 0.34f.Pour tout rel x, xe3x = 13 (3xe3x)limxx-3= etlimXXX-e= 0donc par compositionlimxxx-33e= 0,dolimxxx-1333( ) e= 0 soitlimxxx-e3 = 0.g.Pour tout rel x, xe2x+5 = ee5222xxlimxx+2 =+ etlimXXX+ e =0doparcomposition limxxx+22e = 0, il en rsultelimxxx+- +e2 5 = 0.h.Pour tout rel x > 0,111xx( ) e - = 1111exx-limx x +1 =0etlimXXX -01 e =1,doncparcomposition limxxx+- e111 = 1, do par passage linverse limxxx+-111( ) e = 1.3quations avec paramtrestape 1 Pour conjecturerEn utilisant le logiciel GeoGebra crer un curseur m de -10 10 avec un incrment de 0,1 et entrer dans la zone de saisie f(x)=-x2+2x-1-mex. Par le menu Options choisir Configuration puis Graphique et rgler laxe X min=-5 et max=5.lalecturegraphiqueenobservantlespointsola courbe dquation y = x2 + 2x 1 mex a des points surlaxedesabscisses,lorsquonfaitvariermonpeut conjecturer quon peut avoir :0 solution, par exemple pour m = 21 solution par exemple pour m = 23solutionsparexemplepourm=1commesurle graphique ci-dessus.Ilestplusdifficiledefaireapparatreenmanipulantle curseurdeuxsolutionsmaisonpeutfairelhypothse que pour m 1,5 il y en aurait 2.tape 2 Pour dmonter1.Le thorme des valeurs intermdiaires.2. Sur , x2 + 2x 1 mex = 0 x2 + 2x 1 mxe = 0 ( ) - + - - x x mxx22 1 ee = 0( x2 + 2x 1)ex = m car pour tout rel x, ex 0.( x2 + 2x 1)ex = m f (x) = m.3.On peut remarquer que pour tout rel x,f (x) = (x 1)2 ex, donc pour tout rel x, f (x) 0. Il en rsulte que pour m > 0 lquation f (x) = m na pas de solution.f est drivable sur comme produit de deux fonctions drivables sur : x x2 + 2x 1 et x ex.Pour tout rel x, f (x) = (1 x2)ex, ex > 0 donc f (x) est du signe de 1 x2.x2ex = 4 xx222elimxx- 2 = etlimXXX-e= 0, donc par compositionlimxxx- 22e= 0, il en rsultelimxxx-2e= 0, limxx-e= 0.f (x) = x2ex + 2xex ex, donclimxf x-( ) = 0.Pour tout rel x > 0, f (x) = x2ex(1 2x + 12x).limxx+2=+ etlimxx+e =+ doncparlopration produitlimxxx+2e=+ limx x +1 =0 =limx x +12do limx x x +- + 12 12 = 1. Il en rsultelimxf x+( ) = Do le tableau de variations de f :x 1 1 + f (x) 0 + 0f (x)0-4e 1,50 Daprsletableaudevariationsetlethormedes valeurs intermdiaires, dans :m > 0 : lquation f (x) = m na aucune solutionm = 0 : 1 est lunique solution4e < m < 0 : 3 solutionsm = 4e : 2 solutions35 Chapitre 6. Limites de fonctionsm < 4e : une seule solution4.On retrouve les conjectures faites dans ltape 1.4La fonction tangente1.Dans , cos(x) = 0 x = p2+ kp, k Donc D = pp2 + { }k k , 2.Mtantunpointimagedurelxavecx p2+ kp,k , sur le cercle trigonomtrique, M nest pas lun des deux points dintersection de laxe des ordonnes avec lecercletrigonomtrique.Ilenrsultequeladroite (OM) nest pas confondue avec laxe des ordonnes. Elle nestdoncpasparallleladroited.Lesdroitesdet (OM) sont donc scantes en un point T.M a pour coordonnes (cos(x) ; sin(x)), avec cos(x) non nul.Unequationdeladroite(OM)estdoncy =tan(x)t.Pour t = 1, y = tan(x), donc T(1 ; tan(x)).3. a. LepointimageMdexetMdexsurlecercle trigonomtriquesontsymtriquesparrapportlaxe des abscisses.LespointsdintersectionTetTdesdroites(OM)et (OM) avec d sont donc symtriques par rapport laxe desabscissesetontdoncdesordonnesopposes, do tan( x) = tan(x).Le point M image de x et le point M image de x + p sur le cercle trigonomtrique sont symtriques par rapport O. Les points O, M et M sont donc aligns, les droites (OM)et(OM)sontalorsconfonduesetontlemme point dintersection T avec d, do tan(x + p) = tan(x).b.Lorsque x crot en restant dans02; p lordonne de T crot, donc tan est croissante sur02; p.c.Lorsque x tend vers p2 et x < p2 lordonne de T tend vers + , donclim tanxx( )-p( )2 = + .4. Pour tout x D, x D ettan( x) = sincos( )( )--xx = - sincos( )( )xx = tan(x)x + p = p2+ kp x = p2 + kp, soit x + p D x D, do pour tout x D, x + p D.Pour tout x dans D : tan(x + p) = sincos( p)( p)xx++ = --sincos( )( )xx = tan(x)tanestdrivablesurDcommequotientdedeux fonctionsdrivablessurDetaveclafonctionsinusau dnominateur ne sannulant pas sur D.Pour tout x dans D, tan(x) = cos sincos2 22( ) ( )( )x xx+ = 12cos ( ) x = 1 + tan2(x).Pour tout x dans D, 1 + tan2(x) > 0 donc tan est stricte-ment croissante sur02; p.lim sinxxp( )2=1etlim cosxxp( )2 =0aveccos(x)> 0pour 0x < p2, donclimsincosxxx-p( )( )2 = + , soitlim tanxx-p( )2 = + .x 0p2tan(x) = 1 + tan2(x) +tan(x)0+ 5. a. tan(0) = 0 et tan(0) = 1 et donc une quation de la tangente en O G est y = x.lim tanxx-p( )2 =+ doncladroitedquationx = p2est asymptote G.b.Lafonctiontangentetantimpairesur-p p2 2; la partiedeGsur-p20 ; estlasymtriquedelapartie trace sur02; p par rapport lorigine 0, donc la droite dquation x = p2, est aussi asymptote G.La fonction tan ayant pour priode p, les tracs de G sur - -32;pet p p232;sobtiennentpartirdecelui ralissur-p p2 2; respectivementparlatranslation de vecteur pir, et par la translation de vecteur pir.Donclesdroitesdquationx =3 p2etx =3 p2sont aussi asymptotes G.LatangenteD enOayantpourquationy =xles tangentes aux points de coordonnes ( p ; 0) et (p ; 0)sontparalllesDetontpourquationsrespectives y = x + p et y = x p.On peut remarquer que G traverse ses tangentes en O et aux points de coordonnes ( p ; 0) et (p ; 0).1 Chapitre 7. Logarithme nprienPour reprendre contact1Avec lexponentielle1.a.10 xyACBln(2)2211eln( )12y = ln(x)b. exx = = 1 0 c. exx = = 2 2 0 69 ln , d. exx = = -12120 69 ln ,2Avec les proprits de calcul1.Pour tout rel x,a. e e e2 2 2 2 =- - +( )x xb. e e e e- -+ = +x x x x( ) 2 23 2c. 3 4 3 42e e e ex x x x- = - ( )2.Pour tout rel x,a. exx-= = +32 2 3 ln b. 3 1 543exx += =( )ln c.e e20 0x xx - = =d. e e ex x xx + = - = =-2 1 0 02( )3Avec les limites en linfini1.La droite dquation y = 0 est asymptote la courbe de la fonction exp en - carlim exx-= 0.2.a.limexxx += +b.lim e limexxxxx xx + +- = - = + 1 c.limexxx -= 0d.lim exxx-- = +Logarithme nprien724Avec la drivation1. f drivable en a signifie que la limite en 0 de f a h f ah+ ( ) - ( ) est gale un rel l. On a alors( ) = f a l.2.a.limexxx -=011 b.limexxx -=03135Avec le calcul des drivesa.Pour tout rel x,( ) = - +( )f x x 2 23sinp. b. Pour x f xxx - ] [ ( ) =--2 242; , .c.Pour tout rel x, ( ) = ++ -f x xx x( ) 4 12 32ed. Pour tout rel x,( ) = --f x xx( ) 1 ee.Pour tout rel x,( ) = f xxeActivit 11.x - a +exp(x)+b0Daprslethormedesvaleursintermdiaires appliquunefonctionstrictementcroissantesur,lquation exp(x) = b admet une seule solution a pour tout rel b > 0.2. e e e e0 11 1 0 1 = = = = ln ; lnln ; ln e ee e2 121 11 = = = --3.a.M e M a b b a b b aa; ln ( ; ) ( ) = = Gb.et c.M est limage de M par la symtrie axiale daxe la droite dquation y x = .En effet, cette symtrie change abscisse et ordonne dun point.4.Conjectures La fonction ln est strictement croissante sur0 ; + ] [lim limx xx x += - = +0ln ; lnx -0+ex+10Si 0 1 0 < < < x x , ln .Si > > 1 0 , lnx .Activit 2A.Exploration dune table1. Vrification immdiate.2.15 1,099 +1,609 = 2,70821 1,099 +1,946 = 3,045100 2 2,303 = 4,6061033 2,303 = 6,9091062 6,909 = 13,8183 Chapitre 7. Logarithme nprien3.a.0 (2 = 2 1)b. 0,5 : 0 0,693 = 0,6930,1 : 2,303103 : 6,909c.1,5 : 1,099 0,693 = 0,4061,25 : 0,223 0,75 : 0,2870,25 : 1,3860,125 : 2, 079d. 0,223 + 2,485 = 2,708B.Une fonction solution1.a.eln abab( )=et e e eln ln ln ln a b a bab+= =b.On en dduit : ln ln ln ab a b ( ) = +c. Vrification immdiate.2.a.Pour a > 0, ln ln ln aaaa( ) = + =1 10 puisque ln1 0 =donc ln ln1aa = - .b. Pour a > 0 et b > 0,ln ln ln ln ln lnabababa b = ( ) = + = -1 1.c. ln ln ln a a a a22 = ( ) =; ln ln a a33 =et, pour n a n an = , ln ln .3. f ab k ab k a k b f a f bk k k( ) = ( ) = + = ( ) + ( ) ln ln ln . La fonction fk est galement solution.TP1. Des lois en physiqueA. la suite de Kepler1. Impossibilitdedistinguer lespositionsdesquatrepremiresplantes,lagrandeurdesnombresnerendantpas possible cette distinction.2. 3. 4. Voir fichier sur le site, la droite dajustement obtenue a pour quation y x = - 1 5 21 3 , , .5. ln , ln ,, ln , ln ,T r T Tr r= - = = =- -1 5 21 315 213 3 213e e e e elln, ,rr( )( ) - -=( )3213 2133e eDo le rsultat avec k = - -e213 105 6 10,, .B. la suite de Richter1. La courbe de tendance logarithmique est affiche avec comme quation : M E = - 0 3 3 2 , ln , .2.Affirmation (A) : nergie dgage par un sisme de magnitude 7 : E = e10 2 , j ;nergie dgage par 30 sismes de magnitude 6 : = E 309 2e,j.E > E : affirmation incorrecte. En fait, un sisme de magnitude 7 correspond 3 sismes de magnitude 6.Affirmation (B) : 0 3 1000 3 2 0 3 1000 0 3 3 2 2 , ln , , ln , ln , E E M - = + - +Affirmation correcte.3.ME2 30 33 22 3 ,, log,,= -car ln , 10 2 3 donc log, ,,, ,, , EMM =+ +0 3 2 33 20 3 2 31 45 4 64.Rsultat remarquable compte tenu que nos calculs ne se basent que sur 5 observations.4TP2. Aire sous lhyperbole2.a A(a)1 02 0,69313 1,09864 1,38635 1,60946 1,79187 1,94598 2,07943.Conjecture : Aab Aa A b ( ) = ( ) ( )4.a.Aa h Aa + ( ) - ( ) est laire de la partie du plan dlimit par g, laxe des abscisses et les droites dquations x a =et x a h = + .b.a a + hA BC DE F Aire Aa h Aa ABDC ( ) + ( ) - ( ) donc ha hAa h Aa ++ ( ) - ( )1 Aa h Aa Aire + ( ) - ( ) ( ) ABFEdonc Aa h Aa ha+ ( ) - ( ) 1.c. limh a h a +=01 1 ; 1 1a hAa h Aah a ++ ( ) - ( ) donclimhAa h Aah a + ( ) - ( )=01.La fonction A est drivable en a et( ) = A aa1.5. festdrivablesur1; + [ [commesommedefonctionsdrivableset( ) = f a 0doncfestunefonctionconstante ;f ( ) 1 0 =do f a ( ) = 0 et donc Aa a ( ) = lnpour tout a 1.TP3. Distance dun point la courbe de lnA. Le point M0 cherch semble avoir pour coordonnes ( ) a a ; , , 1 2 65 et en ce point, la tangente la courbe G et la droite (AM0) semblent perpendiculaires.B.1.Pour x dx x x > = - + 0 32 2, ln . ( ) ( ) ( )2.Pour x d xxxxx x> =- +- +0332 2,lnln .( )( ) ( ) donc est de mme signe que f x xxx( ) = - + 3ln.3.a. limxf x( ) = -0 etlimxf x+( ) = +.b.Pour x x x x > < < + 0 12, ln;( ) =+ -f xx xx221 ln donc( ) > f x 0. f est donc strictement croissante sur0 ; + ] [.c. Daprslethormedesvaleursintermdiairespourunefonctionstrictementmonotonesur 0 ; , + ] [ lquation f(x) = 0 admet une unique solution a, avec 2 6 2 7 , , a .d.x 0 a +f(x) 0+d(x)d( ) a4. La fonction d admet donc un minimum en a.En ce point, la tangente T G a pour vecteur directeur ru 11;a( ) et la droite (AM0) a pour vecteur directeur rv a a - ( ) 3; ln .r ru v f .ln= -+ = ( ) = aaaa 3 0 donc T AM ^ ( )0.5 Chapitre 7. Logarithme nprienTP4.Logarithme dcimal1.a. log ; log ; log ; 1 0 10 1 100 2 = = = log10kk =pour k .b.La fonction log a le mme sens de variation que la fonction ln car pour x > 0, ( )( )loglnlnxx =10.limxx= -0logetlimxx+= + log .c. loglnlnln lnlnlog log abab a ba b ( ) =( )=+= +10 10 pour tous rels a et b strictement positifs.2.a. pH = - 5 2 2 log b. 107 -c.Le pH augmente lorsque la concentration diminue.Quand la concentration est divise par 10 (par 100), le pH augmente de 1 (de 2).d.Quand le pH augmente de 1 (de 2), la concentration est multiplie par 10 (par 100).TP5. Les chiffres de 2n1.a.Nombre de termes 1 chire 32 chires 33 chires 34 chires 45 chires 3k chires 3 ou 4b. Conjecture : Le nombre de termes de la forme 2n k chiffres est soit 3, soit 4.2.Soit m un entier p chiffres. 10 101 p pm-< 3.a. log ; loglnln; logln10 1 1002 10102 10003 1= = = =00103ln=b.Soit a un entier > 0.loglnlnlog ak ak ak= =10 pour k .c. La fonction log a le mme sens de variation que la fonction ln car pour x > 0, ( )( )loglnlnxx =10.2n scrit avec p chiffres si et seulement si 10 2 101 p n p -< soit log log log 10 2 101 p n p -< soitp n p - < 1 2 logsoit pnp - 0,( ) =-( ) =-f xxxg xxx1 12et .x 0 1 + x 0 1 +f (x) +0 g(x) 0+f(x)0g(x)0Pour x > 0, f x gx ( ) ( ) 0 0 etdonc 111 - -xx x ln .2. k xkk =+*; .11111 111111-++ +-++ ( ) -kkkkkk kk kk ln ln ln .3.En sommant les ingalits prcdentes obtenues pour les valeurs entires de k de n 2n 1, on a :u n nn nnnunun ln lnln21 12 121 12- ++-+ - =1 2 4444 3 4444nnn+121 2 444444 3 4444444.a.Pour n > 0, 0 212 ln - unn. Puisquelimn n +=120, limnnu+= ln2.b. un est une valeur approche par dfaut de ln2 12nprs.TP7. quations avec paramtresA1.Voir fichier sur le site. Il semble que si :k 0: lquation a une solution0 0 36 < k ,: lquation a deux solutionsk = 0 36 ,: lquation a une solutionk > 0 36 ,: lquation na pas de solution2.Pour x > 0, posons gx x kx g xkxx( ) = - ( ) =-ln ;1.( ) g xa mme signe que 1- kx.limxgx( ) = -0, limxgx+( ) = +. Cas1 k 0x 0 +g(x)Daprslethormedesvaleursintermdiairespourunefonctionstrictementcroissantesur0 ; + ] [valeursdans - + ] [ ; , lquation g(x) = 0 admet une et une seule solution.limxgx( ) = -0 etlimxgx+( ) = -. Cas2 k > 0x 01k+g(x) gk1( )7 Chapitre 7. Logarithme npriengkk11( ) = - - ln .- -> < lnk k 1 01eDonc, si k 0, posons hx x kx h xkxx( ) = - ( ) =-ln ;221 2.( ) g xa mme signe que 1 22- kx .limxgx( ) = -0 etlimxgx+( ) = + Cas 1 k < 0x 0 +g(x)Daprslethormedesvaleursintermdiairespourunefonctionstrictementcroissantesur0 ; + ] [valeursdans - + ] [ ; , lquation g(x) = 0 admet une et une seule solution.limxgx( ) = -0limxgx+( ) = - Cas 2 k > 0x012k+g(x) gk12gkk12122 1 = -+ (( ) ) lngkke12012 > B.6 a. A B = = 15 b. A B = = 232etdonc A > B.ENTRANEMENT7 a. x = = ln ln 4 2 2 b. x = = - ln ln122c. x = - = -1216 2 2 ln ln d. x = ln2e. x = - = ln ln142 2 f. aucune solution8 Corrig dans le manuel.9 a. x = e ou x =-e2b. x = e3 ou x =-e52c. x = 0 ou x = = ln ln 4 2 210 a. g 0 106( ) =b. Par2 :onrsoutlquationgt t ( ) = = 2 4 2 ln(environ 2 h 45).Par 3 : on rsout lquation gt t ( ) = = 3 4 3 ln (environ 4 h 25).11 a. Couple solution e e1323;( )b. Couple solution ( ) e e-3 5;12 a.12; + b. 0 1 1 ; ; ] [ + ] [ c. 0 ; ; e e ] [ + ] [13 a. x =+ e 32b. x = e ou x = - ec. x = +-e11 d. x =--322ee. x = - 2 e ou x = + 2 e f. x = 2 ou x = - 214 a. - ] [ ; 3 b. - - ] [ + ] [ ; ; 2 1 c. *d. *+9 Chapitre 7. Logarithme nprien15 a. 3 2 ln b. -4 2 ln c. 2 2 + ln16 Corrig dans le manuel.17 a. 6 2 5 ln ln + b. 2 5 4 2 ln ln - c. 6 5 2 ( ) ln ln +18 a. 2 2 ln b. 4 2 ln c. ln ln ln1502 2 5 = - -d. pour tout x rel, ln ln ln e e22 2x xx - = -19 Corrig dans le manuel.20 1. 2. x + ] [ 1;21 Rienlcranaucunrelnauneimageparf(attention : f nest pas la fonction nulle).22 a. Fauxb. Vraic. Fauxd. Vrai23 1. ln , kT - + 12394130 62. kT- +e12394130 6 ,donc k AT= -ea.A = = e et 30 6 12394 , a24 1. a. Le logiciel permet ici de dvelopper lexpres-sion de f (x) en utilisant les proprits remarquables de la fonction ln.b.Rsultat valable si x x3 23 4 0 + - > ,donc si x + ] [ 1; .2.Rsultatvraipourtoutxrel.Eneffet,pourtoutxrel, exx - > 2 0.25 a.rsoudredans- - + 21212; ;:deux solutions ; -34 et 1.b. rsoudre dans 12; + : une solution ; 1.c. rsoudre dans1; + ] [ : aucune solution.26 Corrig dans le manuel.27 a. rsoudre dans13; + ] [ : aucune solution.b. rsoudre dans2 ; + ] [ : une solution ; 222+ .c. rsoudre dans2 ; + ] [ : une solution ; 3.28 Corrig dans le manuel.29 a. b.x 0e+ x 0e+x(lnx 1)0+xx ln - 1 +c. x 0 1 e +ln x 0 + +ln x 1 0 +produit + 0 0 +d. x 0 e1e +1 ln x + + 0 1+ ln x 0 + +quotient + 30 a. Dans0 ; + ] [: ensemble solution =2 ; + ] [b. Dans0 ; + ] [: ensemble solution =12; e [ ]c. Dans13; + ] [: aucune solutiond. Dans0 ; + ] [ : solution =02 3; ; e e-] [ + ] [31 Corrig dans le manuel.32 a. n 6 b. n 4233 a. 20 ansb. 33 ans34 Pour n 735 x e26 728 68,, soit une pression infrieure 21,7 bars.36 Corrig dans le manuel.37 Pour x > 0 a.( ) =-f xxx4 12b.( ) =+ ( )f xx x312ln(x -e1)c.( ) = ++( )f x x xxxln ln2 4d.( ) = + ( ) f x x x 2 1 ln38 LatangenteTcherchecoupelaxedesordon-nes au point de coordonnes0 1 ; lna - ( ).39 Corrig dans le manuel.40 1.Lesdeuxcourbesdemandessemblentsym-triquesparrapportlaxedesabscisses.SoitM lesymtrique dun point M(x ; y) de 1 par rapport laxe des abscisses. M a pour coordonnes (x ; y) :- = - = y xxln ln12M .3. Les tangentes en A( ) 1 0 ; ces deux courbes ont pour coefficientsdirecteursrespectifs1et1 ;ellessont donc perpendiculaires.1041 1. T a pour quation y = x.2. Pour x > 0, f x x x ( ) - = ( ) ln .20 est au-dessus de T.42 1. T a pour quation y = 2x +3.2. Pour x > 0, on posegx f x xxx x ( ) = ( ) - - + ( ) = - + - 2 312 3 ln .( ) =- -=- ( ) +g xx xxx xx2 1 1 2 122 2( ).( ) > > g x x 0 1 :geststrictementdcroissantesur 0 1 ; ] [, strictement croissante sur1; + [ [.g( ) 1 0 =donc g est positive sur0 ; + ] [. La courbe est au-dessus de T.43 1. T yxaaa: ln . = - + 12.Pourx> 0,onposegx xxaa ( ) = - + - ln ln . 1( ) =-g xa xax.( ) > < g x x a 0:geststrictementcroissantesur 0 ; a ] [, strictement dcroissante sura ; + [ [.3. ga ( ) = 0 donc g est ngative sur0 ; + ] [. La courbe est au-dessous de T.44 Soitkunrelfix.Lestangentescesdeux courbesenleurpointcommundabscisseaontpour coefficientsdirecteursrespectifs 1aeta ;ellessont donc perpendiculaires.45 Corrig dans le manuel.46 Corrig dans le manuel.47 a. en 0 : - ; en + : 0b. en 0 : 1 ; en + : 0c. en 0 : + ; en + : - d. en 0 : + ; en + : +48 a. ln2 b. en 2+: + ; en + : ln2c. en 0 : 0 ; en +: + ; en 1: - ; en 1+: +49 limxf x+( ) = + etlimxf x-( ) = 0.La droite dquation y = 0 est asymptote fen -.50 limxf x( ) = -1 etlimxf x+( ) = +.La droite dquation x = 1 est asymptote f.51 limxf x-( ) = +2 etlimxf x+( ) = 1.La droite dquation x = 2 est asymptote f, la droite dquation y = 1 est asymptote f en +.52 1. limln( )lnxxx += ( ) =011 1.2. limx x +=10etlim ln limlnx xxxxx+ ++( ) =+( )= 111111daprs 1.3. lim exx-= 0 etlim lnxx x--+ e e ( ) 1 =+=-limlnxxx( ) 11eedaprs 1.53 En posant X x = ,ln ln xxXX=2 ;limxxx +=ln054 a. Vraib. Faux ( ) - c. Faux (deux cas traiter)d. Vrai55 1. Faux (4) 2. Faux ( ) - 3. Faux (0)4. Vrai5. Vrai56 a. limxf x( ) = +0 ;limxf x+( ) = + ;( ) =-f xxx1.feststrictementdcroissantesur0 1 ; ] ],strictement croissante sur1; + [ [.b. limxf x( ) =00 ;limxf x+( ) = + ;( ) = + f x x ln . 1feststrictementdcroissantesur01; e-] ],strictement croissante sure-+ [ [1; .c. limxf x( ) = -0 ;limxf x+( ) = 0 ;( ) =-f xxx1 ln.feststrictementcroissantesur0 ; e ] ],strictement dcroissante sure ; + [ [.d. limxf x( ) =00 ;limxf x+( ) = + ;( ) =-f xxxln.1feststrictementdcroissantesur0 ; e ] ],strictement croissante sure ; + [ [.57 a. limxf x-( ) = + ;limxf x( ) = -0 5 , ;( ) =-- +f xx22 1.f est strictement dcroissante sur- ] [ ; , 0 5 .b. limxf x( ) = -02 ;limxf x+( ) = - ;( ) =- f x x 1 2ln .feststrictementcroissantesur00 5; ,,e ] ] strictement dcroissante sure0 5 ,; + [ [.c. limxf x( ) =00 ;limxf x+( ) = + ;( ) = f x x x ln .feststrictementdcroissantesur0 1 ; ] ],strictement croissante sur1; + [ [.d. Pour x >1. limxf x( ) = -1 ;limxf x+( ) = + ;( ) = f xx x1ln.f est strictement croissante sur0 ; + ] [.58 Corrig dans le manuel.59 Soit k > 0.a. Pour x > k,( ) =++f xkx kk1 .b. Pour x > 0,( ) =-+f xk xkxkx( ) 1e.11 Chapitre 7. Logarithme nprien60 a. limxf x-( ) = 0 ;limxf x-( ) = +2 ;limxf x-( ) = -1 ; limxf x+( ) = 0 ;( ) =+ +f xx x11 2 ( )( ). feststrictementcroissantesur - - ] [ ; 2et sur- + ] [ 1; .b. limxf x-( ) = + ;limxf x+( ) = + ;( ) =--f xxxxee1.feststrictementdcroissantesur- ] ] ; 0 ,strictement croissante sur0 ; + [ [.61 1. 2 1 12xx x x+ - ( ) = + - ( )- -ln ln ln e e e= - ( ) ( ) =-ln ( ) e e21x xf xx f xx x x x x+ - ( ) = + - ( ) = - ( ) ( ) = ( ) ln ln ln ln . e e e e e 1 1 12. a. forme 2 ( ) + b. forme 1 ( ) c. forme 1d. forme 3e. forme 262 2. a. limxkf x( ) = +0 ;limxkf x+( ) = +.b. ( ) =-f xxxk1. fk est strictement dcroissante sur0 1 ; ] ]et strictement croissante sur1; + [ [. fkadmet donc un minimum en 1 valant 1+ lnk.3. a. b. c. Pour x > 0, f x f xkk k + ( ) - ( ) = +( ) 111ln .k+1 sobtient partir de k par translation de vecteur 11+( )kjr. k+1 est situe au-dessus de k.limkk kf x f x++ ( ) - ( ) =10.Lcartentrelesdeuxcourbes tend vers 0 lorsque k +.63 ( ) = -+= = f xxx 0 1 0 5210 1 4 , , , .Point cherch : A(4 ; 3 2 ln5).64 a. Le centre du repre est un centre de symtrie de f.b. Pour x f xxxxxf x - ] [ - ( ) =+-( ) = --+( ) = - 1 11111; , ln ln . ( )c. limxf x-( ) = +1 ; limxf x( ) = -1 ;( ) =--f xx212.f est strictement dcroissante sur- ] [ 1 1 ; .65 1. Pour x > 1,( ) = + ++f x ax bx221.fffcba b0 20 131222 1612( ) =( ) = -( ) ==+ = -+ + =1122312== -=cbaAinsi f x x x x ( ) = - + + + ( )123 2 2 12ln .2.Pourx> 1, ( ) =- -+f xx xx22 11,lesignedef (x)correspond celui dex x22 1 - - . D = 8 ; racines 1 2 -et 1 2 + .feststrictementcroissantesur- - 1 1 2 ; ,strictementdcroissantesur1 2 1 2 - + ; et strictement croissante sur1 2 + + ; .66 1. limxf x( ) = +0 ;limxf x+( ) = + ;( ) = f xxx2ln.feststrictementdcroissantesur0 1 ; ] ],strictement croissante sur1; + [ [. f ( ) 1 0 = .2.Sim< 0,lquationf (x) =mnapasdesolution,si m = 0, une solution (1) et deux solutions si m > 0.67 h = e0 5 ,.68 1. limxf x-( ) = + ;limxf x+( ) = 0 ;ladroite dquation y = 0 est asymptote .2.Pourtoutxrel,( ) = -+--f xxxee 1. feststrictement dcroissante sur .3. Coefficient directeur de T0:( ) = - f 012.Coefficient directeur de (AB) : ln ln ( ) ( ) e e + - +=-1 12121Les droites T0 et (AB) sont parallles.4. T1: y x =-+- + +-111 11ee ( ) ( ) lnT1: y x = -++ + +eee11 1 ( ) ( ) lnT1 et T1 se coupent en A(0 ; ln2).Remarque :lgalitln ln ( ) ( ) e e + - + =-1 1 11joueun rle important ici.69 1. E = - ] [ ] [ 2 0 0 3 ; ;2. limxf x-( ) = +2 ;limxf x( ) = -0 ;. limxf x( ) = -33.Pourx E f x ux x oux ( ) = ( ) = = - = , . 0 1 1 2 coupe laxe des abscisses en A( 1 ; 0) et B(2 ; 0).4. =fuu donc f et u ont le mme signe sur E.f est strictement dcroissante sur- ] [ 2 0 ;et strictement croissante sur0 2 ; ] ], strictement dcroissante sur2 3 ; [ [.f (2) = 0.70 Corrig dans le manuel.71 1.a.Pourx> 0,( ) = + + ( ) > h x x xxh x 6 2102, .h est strictement croissante sur0 ; + ] [.b. limxhx( ) = -0 ;limxhx+( ) = +.c.Thormedesvaleursintermdiairespourune fonction strictement croissante. 0 542 0 543 , , . < < ad. Si x hx ] [ ( ) < 0 0 ; , aet si + ] [ ( ) > a; , hx 0.122. a. limxf x( ) = +0 ;limxf x+( ) = +.La droite dquation x = 0 est asymptote .b.( ) = f xhxx( )2 do le rsultat.c. f est strictement dcroissante sur0 ; a ] [ et strictement croissante sura ; + ] [.72 1. a. limxf x( ) = +0 ; la droite dquation x = 0 est asymptote .b. limxf x+( ) = +2. a. Pour x > 0,( ) = - - - f x x xx2 11lnet ( ) =- +f xx xx2 122.b. 2 1 72x x - + = - : . DPour x > 0,( ) > f x 0.f est strictement croissante sur0 ; + ] [.c. f (1) = 0. Si x f x ] [ ( ) < 0 1 0 ; ,et si + ] [ ( ) > 1 0 ; , . f x3. f est strictement dcroissante sur0 1 ; ] [ et strictement croissante sur1; + ] [. f(1) = 1.73 1. limxkf x( ) = +0 ;limxkf x+( ) = + ;fksemblestrictementdcroissantesur0 ; k ] [,strictementcrois-sante surk ; + ] [.2. Pour x > 0,( ) =- ( ) + ( )+( )f xx k x kkxxkkxk2 donc le signe de( ) f xkcorrespond celui de x k do le rsultat annonc.74 1. Pour x f x x x x ( ) = + ( ) = = , ln .21 0 02. Pour x f xxx ( ) =- ( )+,1122 donc( ) f x 0.f est donc strictement croissante sur0 1 ; [ ].Si x [ ] 0 1 ; , f x f f ( ) [ ] [ ] ( ) ; ; . 0 1 0 1 ( )3. Rcurrence immdiate qui dcoule de la question 2.4. Soitn > 0. u uun nn+>- = -+( ) 0 et x > 0 deg x kx k x : ln( ) ln ln a - -est la fonction nulle. Puisque g(1) = 0 alors g(x) = 0 do lgalit.2. Pour x > 0,xxxxxx111010 = ( ) = + = ln ln ln = - ln ln1xx.3. Pour x et y positifs,ln ln ln lnxyxyxy = = +1 1= - ln ln x y.4. Une seule solution : 3104 1. Pour 0 22 222< < ( ) = - +- +x xxx x, j .Le signe dej( ) xcorrespond celui de - + 2 2 x .jeststrictementcroissantesur0 1 ; ] ]etstrictement dcroissante sur1 2 ; [ [. j (1) = 0.2. limxx( ) = -0jetlimxx( ) = -2j .Les droites dquation x = 0 et x = 2 sont asymptotes G.3. Pour a a a < - ( ) + + ( ) = 1 1 1 0 , . j jLa droite dquation x = 1 est un axe de symtrie de G.105 1. limxf x-( ) = - ;limxf x-( ) = +1 ; limxf x( ) = -2 ; limxf x+( ) = +. Pour x < 1 ou x > 2,( ) =++ -f xx x131 2 ( )( ) (>0)doncfeststrictement croissante sur- - ] [ ; 1et sur2 ; + ] [.2. Pour a f a f a > -( )+ +( ) =3212121 , . Le point I1212;( ) est centre de symtrie de f.106 2. a. Pour tout x,( ) =--u xx1 e .( ) > > u x x 0 0. ueststrictementdcroissantesur - ] ] ; 0 croissantesur0 ; + [ [, u(0)=2doncux ( ) > 0pour tout x rel.13 Chapitre 7. Logarithme nprienb.Pourtoutx,( ) =f xu xux( )( )doncf etuontlemme signesurdoncfeststrictementdcroissantesur - ] ] ; 0croissante sur0 ; + [ [, f(0) = ln2.3. a. Pour tout x, - + + + x xx xln( ) e e 1= + + + = + + ( ) = ( )- -ln ln ln . e e e e e ex x x x x xx x f x ( ) ( ) 1 1b. Pour tout x, f x x xx x( ) - - ( ) = + + ( ) ln e e 1.x x xx x xe e e + +> + ( ) > > - 1 1 1 0 1. est au-dessous de d sur- - ] ] ; 1 , au-dessus sur- + [ [ 1; .c.limxf x x-( ) + = 0. d est asymptote en -.4. a. Pour x > 0, f x xxxx( ) - =+ +-ln ln1 e.1 2 + ln . 0b. La courbe est donc situe au-dessus de G.c. limxf x x+( ) - = ln 0. G est asymptote en +.107 Pour x > 1, MN = + ( ) - =+( )ln ln ln x xxx11.limxxx ++=11 donclim MNx+= 0.108 1. limnnu+= 1.2.a.Lessuites(Pn)et(Sn)semblentdcroissanteset convergentes.b. " =++n Pnnn*,( )22 13. " = + += n Pnnn nnn*,. . . . . . ( )( )1 3 2 4 3 5 22 3 4 5 12 2 2 2 2 2+++22 1 ( ) n4. " = n S Pn n*, ln . limnnn +++=22 112 ( ) donc limnnS+= = - ln ln .122109 1. lnln lnlna b a b a bab+ -+=+ 2 2 2a baba bab+-=-( )21202donc lnln ln a b a b +( )+2 22.Limageparlafonctionlndunedemi-sommeest suprieure la demi-somme des images.111 1. 2 000 2. a. 1 500 puis 2 250 b. Suite gomtrique de raison 1+ 1n .c.n = 3 n = 4 n = 52 370,37 2 441,41 2 488,322. a et b.ln ln u nnn = +( )11 ; lim limnnnunn+ +=+( )= lnln 1111donc limnnu+ = e. Marcus ne pourra pas devenir immensment riche, son pcule ne pourra dpasser 2 718 112 1. limxf x( ) = -0 ;limxf x+( ) = 0 ;( ) =-f xxx12ln. feststrictementcroissantesur0 ; e ] ],strictement dcroissante sure ; + [ [. f e e ( ) =-1.2. a. Pour 0 < < = = n p p n p nn p n p, ln ln = ( ) = ( ) n p p n f n f p ln ln .b.ln ln ln 442 2422= = .c. Unicit de la solution vidente.113 1.Pourx> 1,onposef x xxx( ) = + ( ) -+ln 11et gx x x ( ) = + ( ) - ln . 1 ( ) =+f xxx ( ) 12 (ngatifsur- ] ] 1 0 ; ,positifsur1; + [ [)et( ) = -+g xxx 1(positifsur- ] ] 1 0 ; ,ngatif sur1; + [ [). Le minimum de f sur- + ] [ 1;vaut f(0) = 0 et le maximum de g vaut g(0) = 0. Ainsi f(x) 0et g(x) 0. Donc xxx x++11 ln( ) .2. a.54114251312573=+ =+ ; .b. ln ln ln ln 5 2 254114- = = +( ) donc 155 2 214 ln ln . -7 2 3 52573ln ln ln - =donc 31287 2 3 53125 ln ln - .c. On obtient les encadrements :0 631282 0 7531250 623 0 774, ln ,, ,+ +1 2 444 3 4444 1 2 444 4 4 3 44441 461285 17561281 446 1797, ln ,, ,+ +1 2 444 3 444 1 2 4444 33 44443. a. On pose xn=1.b. On a successivement :111 1nnn n +