matlab ל אובמ - מכון טכנולוגי חולון hit · exp. functs. description abs...

ל למבוא MatlabMatlabמבוא MatlabMatlabמבוא למבוא ל

.הכרת סביבת העבודה1.

.פעולות בסיסיות ופונקציות מתמטיות2.

פעולות בסיסיות , הגדרתן -מטריצות3..ומניפולציות עליהן

.תרגילי כיתה4.

מידע מידעמקורות OnlineOnlineמקורות OnlineOnlineמקורות מידעמקורות מידע

http://www.mathworks.com/academia/student_center/tutorials/launchpad.html

http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Electrical‐Engineering‐and‐Computer‐Science/6‐Engineering and Computer Science/6094January‐‐IAP‐‐2009/LectureNotes/index.htm2009/LectureNotes/index.htm

Matlab - מבוא ל2

הכרת סביבת העבודההכרת סביבת העבודה


הכרת סביבת העבודההכרת סביבת העבודהסרגל כליםסרגל כלים


הכרת סביבת העבודההכרת סביבת העבודהPreferencesPreferences


הכרת סביבת העבודההכרת סביבת העבודה))EditorEditor((עורךעורך


הכרת סביבת העבודההכרת סביבת העבודהPath browserPath browser

הוספת ספריות

קליק כפוללפתיחת קובץל


הכרת סביבת העבודההכרת סביבת העבודהWork spaceWork space

קליקל

תא נוכחי

כפוללפתיחת

מערך מערך

מספר שורות ומספר עמודות של המערך


בעבודה למרחב הקשורות בעבודהפקודות למרחב הקשורות פקודות הקשורות למרחב בעבודהפקודות הקשורות למרחב בעבודהפקודות

:לדוגמא» who» whoYour variables are:a b c

10

a b c

Matlab - מבוא ל

MatlabMatlab - - סוגי קבצים בסוגי קבצים ב

לעבוד "נוח" לא ארוכה פעולות סדרת לבצע מעוניינים כאשר - m קבציMATLABלל .MATLAB-השלהפקודותבחלון

.m.* סיומת עם כקובץ אותה ולשמור תוכנית את לכתוב מומלץ זה במקרהEditor-החלוןדרךמבוצעתוהרצתםעריכתם כתם .Editorה חלוןדרךמבוצעתוהרצתםער:m קבצי סוגי 2 קיימים

.1script–הנמצא המידעעלפועלים.פלטמחזיריםאו קלטמקבליםאינם.העבודה במרחב הפקודות להקלדת שקול .העבודה במרחב

הם הפנימיים המשתנים כל .פלט להחזיר או קלט לקבל יכולים –פונציה2.הנתונהלפונקציהמקומיים .הנתונהלפונקציהמקומיים

ככסmatקבצי .וערכיהםמשתניםהמאכסניםקבצים–matקבצי

fi .גרפים המאכסניםקבצים–figקבצי


קקסוגי קבצים של גרפיםסוגי קבצים של גרפים

Matlab - מבוא ל 12

משתנים שמות לקביעת משתניםכללים שמות לקביעת כללים לקביעת שמות משתניםכללים לקביעת שמות משתניםכללים

, תווים לשמות משתנים 31 -מוקצים עד ל Matlab -בM tl bנוסף תו כל יתעלם Matlabיתעלם כל תו נוסף.

).לא בספרה או סימן(כל שם חייב להתחיל באות . underscore-ספרות ותו ה,שם יכול לכלול אותיות ,_

.אין אפשרות לרווחים בשם

יהוו name -ו Nameולכן case sensitiveהשמות הם שונים שמות .שני שמות שוניםשני


מספרים מספרים מספריםמספריםהעשרוני לרישום ברישוםMatlabמכירבנוסף כם כם ברישום Matlabמכיר, בנוסף לרישום העשרוני

בכדי לציין את הפקטור של eהמדעי המשתמש באות העשרונית . החזקה העשרוניתהחזקה

:לדוגמא75 7 5 107

3

5 7 5 102 3 2 10ee −

= ⋅

− = ⋅

האותיות באמצעות מיוצגים קומפלקסיים jאוiמספרים

2 3 2 10e − = ⋅

ות ם באמצעות האות וצג ם מ ם קומפלקס , jאו iמספר -הם מספרים חוקיים ב 1+3jאו 5iלדוגמא המספרים

MatlabMatlab.


מוגדרים מוגדריםקבועים קבועים מוגדריםקבועים מוגדריםקבועים


פעולות מתמטיות בסיסיותפעולות מתמטיות בסיסיותa b⋅a b÷a b

E lS b lO ti ExampleSymbolOperation

5 + 3+addition, a + b

23 - 12-subtraction, a - b

3 14 * 0 85*multiplication 3.14 * 0.85*multiplication,

56 / 8 = 8 \ 56/ or \division,

5 ^ 2^power,

ל -פעולותסדר או חיבור ,חילוק או כפל ,חזקות :הבא בסדר לימין משמאל יבוצע החישוב הפנימיים הסוגריים .בסוגריים שימוש י"ע הסדר את לשנות ניתן .חיסור

16

.ראשוניםיחושבוביותר


פונקציות מתמטיותפונקציות מתמטיותDescriptionTrig functions DescriptionTrig functions

קק

Inverse cotangentacot

Inverse hyperbolic cosineacosh

Inverse cosineacos

Hyperbolic cosecantcsch

Cosecantcsc

Hyperbolic cotangentcoth

Inverse hyperbolic cosecantacsch

Inverse hyperbolic cotangentacoth

g

Inverse cosecantacsc

yp

Sinesin

Hyperbolic secantsech

Secantsec

Inverse sineasin

Inverse hyperbolic secantasech

Inverse secantasec

Inverse hyperbolic cosecantacsch

H b li t tt h

Tangenttan

Hyperbolic sinesinh

Sinesin

Four quadrant inverse tangentatan2

Inverse tangentatan

Inverse sineasin Hyperbolic tangenttanh

Inverse hyperbolic tangentatanh

H b li ih

Cosinecos


Hyperbolic cosingcosh

cotangentcot

המשךהמשך - - פונקציות מתמטיות פונקציות מתמטיות

ExponentialexpPower^DescriptionExp. Functs.

Magnitudeabs

DescriptionComplex Functs.

B 2 l i hl 2Base 10 logarithmlog10Natural logarithmlogExponentialexp

Imaginary partimagComplex conjugateconjPhase angle [radians]angle

g

Square rootsqrtBase 2 powerpow2Base 2 logarithmlog2

Sort vector into complexcplxpairTrue for real valuesisrealReal partrealImaginary partimag

Next higher power of 2nextpow2

Form complex from real and imaginary parts

complex

Sort vector into complex pairs

cplxpair


g y p

בסיסייםבסיסייםחישוביםחישובים ם שוב םח שוב םח ס םבס ס בס

סביבת העבודה מאפשרת חישובים נומריים ישירים: ENTERהתוצאה מתקבלת מיד עם הקשת

» 12.3*(11.34+9.88)/3.3ans =

79.0927» 1+sin(pi/6)/(2+cos(pi/12))ans =

1.1686» sqrt(1+tan(pi/12)/(1+sin(pi/2)))» sqrt(1+tan(pi/12)/(1+sin(pi/2)))ans =

1.0649


כלליות לגבי חישובים בסיסייםכלליות לגבי חישובים בסיסייםהערות הערות

MATLAB אינו מתחשב ברווחים לדוגמא:

» 2*4+2 * 5ans =

18

MATLAB, אם לא הוגדר משתנה עבור התוצאה. ansישתמש במשתנה ברירת המחדל


בסיסייםהערותהערות חישובים לגבי בסיסייםכלליות חישובים לגבי כלליות כלליות לגבי חישובים בסיסייםכלליות לגבי חישובים בסיסייםהערותהערות

/ )SLASH( סימן החלוקה בסקלארים הוא.

\ )BACK SLASH (ייתן את הערך הרסיפרוקאלי בסקלארים.

בסוף הפקודה יגרום להצגת “;”העדר הסימן . התוצאה המחושבת

.)“ … מטרד”יכול להוות (

↑)up arrow( קריאה לפקודה האחרונה.


בסיסייםדוגמאותדוגמאות בסיסייםלחישובים לחישובים לחישובים בסיסייםלחישובים בסיסייםדוגמאותדוגמאות

:הצגת מספרים מרוכבים אפשרית בצורה פולארית או קרטזיתל

M =M∠ ⋅ = +θ θe a bij

M = a b tan (b / aa Mcos b Msin

2 2 1+ == =

−θθ θ

)a Mcos b Msin = =θ θ

:הפקודות המתאימות הן

» M=abs(c1)M =

» a=real(c1)a =

2.2361

» teta=angle(c1)

1

» b=imag(c1)

22

teta =1.1071

b = 2


בסיסייםדוגמאותדוגמאות בסיסייםלחישובים לחישובים לחישובים בסיסייםלחישובים בסיסייםדוגמאותדוגמאות

: פתרון משוואה ריבועית עם שורשים מרוכבים

» a=3;b 8» b=8;

» c=13;» solution1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)» solution1 ( b+sqrt(b 2 4 a c))/(2 a)solution1 =-1.3333 + 1.5986i» solution2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)solution2 =

1 3333 1 5986i


-1.3333 - 1.5986i

פורמטיםפורמטיםפורמטיםפורמטים

Integer מוצג תמיד כInteger.

Real ספרות לאחר הנקודה 4מוצג תמיד ב.

אם המספר המוצג מחוץ לתחום התוצאה תוצג תמיד .Scientific Notationב

או formatי שימוש בפקודת “ניתן לעקוף חוקים אלו עFileבתפריטpreferencesבסעיף Fileבתפריט preferencesבסעיף

>> format


פורמטיםפורמטיםפורמטיםפורמטים

format shortformat longf t h t

3.1416(ספרות 15) 3.141592653589793 1416*10^+000 (5 di it + )format short e

format long eformat short g

3.1416*10^+000 (5 digits +exp)3.141592653589793*10^+000 (15 d +exp)best of format short or format short eformat short g

format long gformat hex

best of format short or format short ebest of format long or format long e234.bbc -hexadecimal, floating point

format bankformat +f

3.14 -two decimal digitspositive,negative or zero335/113 ti l i tiformat rat 335/113 rational approximation


פורמטיםפורמטים פורמטיםפורמטיםדוגמאותדוגמאות דוגמאותדוגמאות

»format short % 5 digits»format short % 5 digits355/113ans = 3 14163.1416

» format long % 15 digits» 355/113ans =

3.14159292035398»format short e % 5 digits+exponent» 355/113 ans = 3.1416e+000» format long e % 16 digits+exponent » 355/113ans =

26

ans 3.141592920353983e+000


פורמטיםפורמטים פורמטיםפורמטיםדוגמאותדוגמאות דוגמאותדוגמאות

» format short g % best fixed or floating point format% with 16 digits + exponent % with 16 digits exponent

» 355/113ans =3 14163.1416» format long g % best fixed or floating point format

% with 16 digits + exponent355/113» 355/113

ans =3.14159292035398


עזרעזרפקודותפקודות עזרעזרפקודותפקודותמהתוכנה סיוע וע מהתוכנהלקבלת לקבלת ס

help command

נותן את עזרה לפקודה או פונקציה ל שורות הפתיחה של כל פקודה או ל

פונקציה lookfor key word or command or function

Pל iל לפונקציות Pointerמאפשר קבלתהמכילות את מילת המפתח

:לדוגמה>> lookfor hexadecimalDEC2HEX Convert decimal integer to hexadecimal string.HEX2DEC Convert hexadecimal string to decimal integer.HEX2NUM Convert IEEE hexadecimal to double precision numberHEX2NUM Convert IEEE hexadecimal to double precision number.HEX2NUM Hexadecimal string to number.NUM2HEX Number to hexadecimal string.HEX2BIN Convert hexadecimal strings to binary strings.


מטריצותמטריצות נתון כל .MATLAB-ב הבסיסית הנתונים ארגון יחידת הינה מטריצהמטריצהמטריצהידיעללמעשהמיוצגמורכבאוממשימספרי מטריצה .מטריצהידי-עללמעשהמיוצג,מורכבאוממשי–מספרי-חד מטריצה של פרטי מקרה הינו וקטור .ממדי- דו מערך ידי- על מיוצגת.מימדית של גדולה קבוצה על מתמטיות פעולות ביצוע מאפשר במטריצות שימוש.איבר כל עבור הפעולה על לחזור מבלי ,איבריםמרובעיםבסוגרייםשימושי"עתעשהMATLABבמטריצההגדרת מרובעיםבסוגרייםשימושי"עתעשהMATLAB-במטריצההגדרת

איברים בין הפרדה לצורך .";"- ב יסומן שורות בין מעבר .] . . . [ .","- ב אוברווחלהשתמשניתן,בשורה

11 12 12 1

11 11 11 1

n

n

a a a aa a a a⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

…

M x N

,ן,

11 11 11 1

11 11 11 1

n

nA a a a a⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥

M x N

1 11 11m mna a a a⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

29

מספר שורותמספר עמודות


ידנית ידניתהגדרה הגדרה ידניתהגדרה ידניתהגדרה2 3 : 2x3נגדיר מטריצה מסדר

A=[1,2,3;5,6,7]

A = .מפריד בין איברי השורה,

השורות; בין מפריד1 2 3 5 6 7

ן השורות; ד ב .מפר


ידנית ידניתהגדרה הגדרה ידניתהגדרה ידניתהגדרהעמודה וקטורי של שורה בתור מטריצה להגדיר גם צה בתור שורה של וקטור עמודה:ניתן ר מטר תן גם להגד :נ

>> B = [ [1 2 3]' [2 4 7]' [3 5 8]']

B = 1 2 3B 1 2 3 2 4 53 7 83 7 8


ידנית ידניתהגדרה הגדרה:קיימותמטריצותמתתגדולהמטריצהלהרכיבניתן

הגדרה ידניתהגדרה ידנית:קיימותמטריצות-מתתגדולהמטריצהלהרכיבניתן

1 5 b 1 2 9» a=1:5,b=1:2:9a =

1 2 3 4 51 2 3 4 5b =

1 3 5 7 9

» c=[a b]c =

1 2 3 4 5 1 3 5 7 9Matlab - מבוא ל32

הגדרת מטריצותהגדרת מטריצותמדידת אורך מטריצות או ווקטוריםמדידת אורך מטריצות או ווקטורים

] size(A)=[m,n]מדידת גודל מטריצה , ] ( )m=2, n=3: במקרה שלנו התשובה

וקטור גודל מסדר(מדידת )1xnמטריצה )1xnמטריצה מסדר(מדידת גודל וקטורb=[1 3 5] ,

L=length(b).L=3: התשובה


הגדרת מטריצותהגדרת מטריצותפונקציות להגדרת מטריצותפונקציות להגדרת מטריצות

F=zeros(m,n):יצירת מטריצת אפסיםאפסים איבריה שכל מטריצה (mxn)יצירת (mxn)יצירת מטריצה שכל איבריה אפסים

O=ones(m,n): יצירת מטריצת אחדים(mxn)יצירת מטריצה שכל איבריה אחדים

פונקצית בעזרת אלכסונית מטריצה ת diagיצירת ת בעזרת פונקצ צה אלכסונ רת מטר diagצ b=[1 2 3 4 7],אשר מקבלת כקלט את האלכסון

B=diag(b)ואז Bואז diag(b)nxn ,I=eye(n)יצירת מטריצת היחידה מסדר


הגדרת מטריצותהגדרת מטריצותמטריצות אקראיותמטריצות אקראיות

:randפונקצית :U[0,1] 1- ל 0הגרלת ערכים המפולגים אחיד בין

R=rand(m,n)

:randnפונקצית ל 1ל0)ל(ל .1-ל0בין)נורמאלית(הגרלת ערכים המפולגים גאוסית

:1ווריאנס , 0כלומר ממוצע

R=randn(m,n)


הגדרת מטריצותהגדרת מטריצותיצירת ווקטורים עם ערכים קבועיםיצירת ווקטורים עם ערכים קבועים

:קיימות שתי דרכים ליצירת וקטורים עוקבים:כאשרs:d:fמבנה :כאשר s:d:fמבנה

s :ערך התחלתיd:למעלה קפיצה למטה/פקטור d:צה למעלה .למטה/פקטור קפf :ערך סיום

הבאx=s:d:fכאשר הוקטור את :יוצר :יוצר את הוקטור הבא,x=s:d:fכאשרx=[s s+d s+2d s+3d……..s+(n-1)d]

לnכאשר שווה יהיה מוגדר לא n=(fאשר s)/d+1 n=(f-s)/d+1-אשר לא מוגדר יהיה שווה ל,nכאשר1-ערכו שווה ל, לא מצוין dכאשר


הגדרת מטריצותהגדרת מטריצותיצירת ווקטורים עם ערכים קבועיםיצירת ווקטורים עם ערכים קבועים

?מה הבעיה במבנה הקודם :linspace(s,f,n)פונקצית ת :linspace(s,f,n)פונקצ

בעל פקטור קפיצה nיצירת וקטור באורך d=(f-s)/(n-1)( ) ( )

100יוצר וקטור בעל x=linspace(0,10,100)לדוגמא d=10/99דגימות שהמרווח קפיצה

חשוב מומלץ להשתמש ברישום dכאשר הפקטור חשוב nכאשר מספר האיברים.(s:d:f)הקודם )ק )

.linspace-מומלץ להשתמש ב


מניפולציות במטריצותמניפולציות במטריצותקריאה ממטריצהקריאה ממטריצה

The element in row i and column j of A is denotedThe element in row i and column j of A is denotedby A(i,j). For example, A(4,2) is the number in thefourth row and second column. For the magicfourth row and second column. For the magicsquare, A(4,2) is 15. So to compute the sum of theelements in the fourth column of A, type:yp

A(1 4) + A(2 4) + A(3 4) + A(4 4)A(1,4) + A(2,4) + A(3,4) + A(4,4)

This subscript producesThis subscript producesans =34

38

34Matlab - מבוא ל

מניפולציות במטריצותמניפולציות במטריצותקריאה ממטריצהקריאה ממטריצה

16 3 2 13⎡ ⎤5 10 11 89 6 7 12

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=9 6 7 124 15 14 1

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2עמודה 3⎛ ⎞ 3שורה

(:, 2)

3106

A

⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

( )(3,:) 9 6 7 12A =

3שורה

615⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )


מניפולציות במטריצותמניפולציות במטריצותשורה שורהמחיקת עמודהעמודה//מחיקת קת שורה קת שורהמח עמודהעמודה//מח

You can delete rows and columns from a matrix using just a pair of b k t St t ithsquare brackets. Start with:

מחיקת עמודה מחיקת שורה

⎡ ⎤

(3,: [) ]X =

16 2 135 11 8

X

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

16 3 2 13⎡ ⎤⎢ ⎥

9 7 124 14 1

X ⎢⎢⎢

= ⎥⎥⎥

⎣ ⎦

5 10 11 84 15 14 1

X ⎢= ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦4 14 1⎣ ⎦

40

⎣ ⎦


מניפולציות במטריצותמניפולציות במטריצותשיחלוףשיחלוף

16 3A =

⎡ ⎤⎢ ⎥

1 3 2 32 1 2

i ii i

B+ −⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

=5 10

A = ⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 1 2i i⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

1 3 2i i⎡ ⎤16 5

X A ⎡′= =⎤

⎢ ⎥

1 3 22 3 1 2

i iX

iB

i− −⎡ ⎤

⎢ ⎥+ +⎣′ =

⎦=

3 10X A= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦2 3 1 2i i+ +⎣ ⎦

1 3 2i i+ +⎡ ⎤1 3 22 3

.1 2

i ii

Bi

X ′+ +⎡ ⎤

⎢ ⎥− −⎣=

⎦=

41

⎣ ⎦Matlab - מבוא ל

מניפולציות במטריצותמניפולציות במטריצותאריתמטיות אריתמטיותפעולות פעולות

לא כאשר .מערכים בין פעולות מאפיין MATLAB- ב "." הסימן כללי באופןלנוהמוכרתההתייחסותבדרך(מטריצותכאלהמערכיםאלמתייחסים

ות תמט ותפעולות אר תמט פעולות אר

לנו המוכרתההתייחסותבדרך(מטריצותכאלהמערכיםאלמתייחסים איברים זוגות על מבוצעת החשבונית הפעולה ,)לינארית מאלגברה.תואמים

» a=[1 2];b=[3 4];» c=a.*bc =

3 8 באלגברה כמו מטריצות הכפלת מייצג נקודה ללא כפל בסימן שימוש

:תואמיםמטריצותממדיומחייבליניארית :תואמיםמטריצותממדיומחייבליניארית» c=a*b'c =c =

11Matlab - מבוא ל42

מניפולציות במטריצותמניפולציות במטריצות∗∗∗∗∗∗∗∗

פעולות אריתמטיותפעולות אריתמטיות[ 1 2 ] b [b1 b2 b ]a = [a1 a2 . . . an] , b = [b1 b2 . . . bn]

c - scalar

a + c = [a1+c a2+c . . . an+c] מערךחיבור סקלר ו

a c = [a1 c a2 c . . . an c] הכפלת סקלר במערך

a + b = [a1+b1 a2+b2 . . . an+bn] חיבור מערכים

a . b = [a1 b1 a2 b2 . . . an bn] הכפלת איברי מטריצות

a . / b = [a1/b1 a2/b2 . . . an/bn] חילוק ימני עבור כל איבר

a . \ b = [a1\b1 a2\b2 . . . an\bn] חילוק שמאלי עבור כל איבר

a . ^c = [a1^c a2^c . . . an^c]

c . â = [câ1 câ2 . . . cân]

פעולות בחזקה

עבור כל איבר במערך

43

[ ]

a . ^b = [a1^b1 a2^b2 . . . an^bn]

ך


מניפולציות במטריצותמניפולציות במטריצותדוגמאותדוגמאות --פעולות אריתמטיות פעולות אריתמטיות


מניפולציות במטריצותמניפולציות במטריצותנוספות נוספותפונקציות פונקציות

det(A) –הדטרמיננטה של המטריצה.ות נוספות ות נוספותפונקצ פונקצ

rank(A)–דרגת המטריצה. ( )

inv(A)ההופכית למטריצההמטריצה inv(A)–למטריצההמטריצה ההופכית.

sum(A)– מחזירה וקטור שורה של הסכום של כל.Aעמודה של המטריצה

reshape(A,m,n)-המטריצהשלהממדיםשינוי A p ( , , ))A להכיל חייבת m*n אברים(.


מניפולציות במטריצותמניפולציות במטריצותנוספות נוספותפונקציות דוגמאותדוגמאות--פונקציות

Th d t i t f thi ti l t i h t b

דוגמאותדוגמאות--פונקציות נוספותפונקציות נוספות

The determinant of this particular matrix happens to be zero, indicating that the matrix is singular:

Because the matrix is singular, it does not have an inverse. If you try to compute the inverse with:


תרגילי כיתהתרגילי כיתה

הבאים1 הביטויים את :חשב :חשב את הביטויים הבאים1.

2π⎛ ⎞2sin7π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )3tan cos 58π π⎛ ⎞ +⎜ ⎟

⎝ ⎠4

3

8100.53

⎝ ⎠

⋅ 3

5

0.537 1

24 42−

+


24 42+

ךךהמשךהמשך--תרגילי כיתהתרגילי כיתה:πהקלד את הפקודות הבאות ובחן את השוני בהצגת המספר . 2

pi format long gformat longpi

piformat hex

format short epi

piformat bank

format long epi

piformat +

format short gpi

piformat rat


pi

ךךהמשךהמשך--תרגילי כיתהתרגילי כיתההעבודה3 בשולחן אותן והצג הבאות המטריצות את :צור צות הבאות והצג אותן בשולחן העבודה. 3 : צור את המטר

7 2 .5⎡ ⎤⎢ ⎥3 .1 0 5 2 5 0

2 2 5A

π

⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥2 2 5

5 7 .8 0 .7 5π −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

0 : 2 : 1 0B 0 : 2 : 1 0B =


7 ( 3 , 3 )C o n e s= ⋅

matlab ל אובמ - מכון טכנולוגי חולון hit · exp. functs. description abs...

Documents