matlab pam

Universidad de Costa Rica Facultad de Ingeniera

Escuela de Ingeniera Elctrica

IE 0502 Proyecto Elctrico

Diseo e implementacin de un laboratorio virtual en DSP para comunicaciones usando Matlab y Simulink

Por:

Jos Gabriel Fernndez Carazo

Ciudad Universitaria Rodrigo Facio Julio del 2007

ii

Diseo e implementacin de un laboratorio virtual en DSP para Comunicaciones usando Matlab y Simulink

Por: Jos Gabriel Fernndez Carazo

Sometido a la Escuela de Ingeniera Elctrica de la Facultad de Ingeniera

de la Universidad de Costa Rica como requisito parcial para optar por el grado de:

BACHILLER EN INGENIERA ELCTRICA

Aprobado por el Tribunal:

_________________________________ Ing. Jorge Romero Chacn

Profesor Gua

_________________________________ _________________________________ Ing. Vctor Hugo Chacn Ing. Luca Acua Avendao Profesor lector Profesora lectora

iii

DEDICATORIA

Este proyecto se lo dedico primero y sobre todo a

Dios por la vida, por la disposicin y energa que ha hecho

crecer en m y que me ha permitido llegar hasta este nivel.

A mi familia, razn importante para buscar siempre

una superacin intelectual.

A mi madre por el consistente apoyo, paciencia y

motivacin para siempre buscar obtener nuevos logros. Y

porque su sola presencia es una razn para seguir adelante.

iv

RECONOCIMIENTOS

Al profesor Jorge Romero por su confianza, paciencia, consejos, apoyo

bibliogrfico, aportes y gua en la elaboracin de este trabajo, as como el tiempo brindado

para discutir las dudas y avances.

A todas las personas que han tenido que ver con mi educacin moral y profesional,

ya que en estos momentos tiene sentido todo el conocimiento y sabidura que me han

transmitido.

A mis amigos, compaeros de carrera y a todas las personas que de una u otra

forma han influenciado mi manera de pensar y que de alguna manera han tenido que ver

con el camino profesional que he elegido.

A dos grandes amigas Joselyn Ovares por su compaa incondicional e inters en

mi avance en todo el transcurso del desarrollo de este proyecto y Jennifer Soto por su

apoyo y motivacin para seguir adelante en los momentos difciles.

v

NDICE GENERAL

NDICE DE FIGURAS.................................................................................. ix

NDICE DE TABLAS.................................................................................... xi

NOMENCLATURA...................................................................................... xii

RESUMEN.................................................................................................... xiii

CAPTULO 1: Introduccin ...........................................................................1 1.1 Objetivos ................................................................................................................ 1

1.1.1 Objetivo general............................................................................................. 1 1.1.2 Objetivos especficos ..................................................................................... 1

1.2 Justificacin del tema............................................................................................. 1 1.3 Problema a resolver................................................................................................ 2 1.4 Metodologa ........................................................................................................... 3

CAPTULO 2: Desarrollo terico...................................................................4 2.1 Introduccin al procesamiento digital de seales .................................................. 4 2.2 Tipos de seales ..................................................................................................... 5 2.3 Representacin frecuencial del dominio................................................................ 8 2.4 Filtros analgicos y digitales ............................................................................... 12

2.4.1 Filtros analgicos ......................................................................................... 12 2.4.2 Filtros digitales............................................................................................. 13

2.5 Nota terica laboratorio de filtros digitales ......................................................... 14 2.5.1 Suma convolucin y respuesta en frecuencia para tiempo discreto............. 14 2.5.2 Filtros de respuesta de duracin finita al impulso (FIR).............................. 16 2.5.2.1 Estructura en forma directa de un filtro FIR................................................ 16 2.5.2.2 Mtodos para el diseo de filtros FIR.......................................................... 18 2.5.3 Filtros de respuesta de duracin infinita al impulso (IIR) ........................... 18 2.5.3.1 Estructura en forma directa de un filtro IIR................................................. 19 2.5.4 Transformacin bilineal ............................................................................... 24

2.6 Nota terica laboratorio de FFT........................................................................... 32 2.6.1 Muestreo en tiempo discreto utilizando la transformada de Fourier ........... 32 2.6.2 La transformada discreta de Fourier y su inversa ........................................ 33 2.6.3 La transformada rpida de Fourier............................................................... 34 2.6.4 Uso de la FFT para determinar la densidad espectral de potencia............... 41

vi

2.7 Nota terica laboratorio de modulacin AM ....................................................... 44 2.7.1 Descripcin de la modulacin de amplitud (AM)........................................ 44 2.7.1.1 Espectro de una seal AM ........................................................................... 46 2.7.2 Demodulacin de una seal AM capturando la envolvente......................... 48 2.7.2.1 Demodulacin de seales AM utilizando la ley cuadrtica ......................... 48

2.8 Nota terica laboratorio de modulacin DSBSC-AM ......................................... 50 2.8.1 Descripcin matemtica de una seal DSBSC-AM..................................... 50 2.8.2 El receptor coherente ideal........................................................................... 51 2.8.3 Lazo de Costas: tcnica prctica para demodulacin coherente .................. 54

2.9 Nota terica laboratorio de modulacin SSB....................................................... 60 2.9.1 Moduladores SSB ........................................................................................ 60 2.9.2 Demodulacin coherente de seales SSB .................................................... 63 2.9.3 Desplazamiento en frecuencia ..................................................................... 66

2.10 Nota terica laboratorio de modulacin FM........................................................ 68 2.10.1 Descripcin de la modulacin FM............................................................... 68 2.10.1.1 Modulacin FM de un tono simple.......................................................... 70 2.10.1.2 Ancho de banda de una seal FM............................................................ 71 2.10.2 Demodulacin FM: discriminador en frecuencia ........................................ 72 2.10.2.1 Discriminador FM utilizando un detector de envolvente ........................ 73 2.10.2.2 Discriminador FM utilizando la envolvente compleja............................. 74 2.10.3 Demodulacin FM usando un PLL.............................................................. 75

2.11 Nota terica laboratorio de modulacin PAM ..................................................... 78 2.11.1 Descripcin de la modulacin PAM............................................................ 78 2.11.2 Criterio de Nyquist para no tener ISI........................................................... 82 2.11.3 Diagramas de ojo ......................................................................................... 83 2.11.4 Recuperacin de la frecuencia del tren de pulsos ........................................ 86

2.12 Nota terica laboratorio de modulacin QAM .................................................... 88 2.12.1 Transmisor QAM bsico.............................................................................. 88 2.12.2 Modulador QAM utilizando filtros conformadores pasabandas.................. 92

CAPTULO 3: Laboratorios .........................................................................95 3.1 Laboratorio de filtros digitales............................................................................. 96

3.1.1 Filtros digitales FIR ..................................................................................... 98 3.1.2 Filtros digitales IIR ...................................................................................... 98 3.1.3 Filtrado en SIMULINK.............................................................................. 100 3.1.3 Cuestionario ............................................................................................... 101

3.2 Laboratorio de FFT............................................................................................ 102 3.2.1 Clculo de la FFT....................................................................................... 103 3.2.2 Analizador de espectro de frecuencia en SIMULINK............................... 104 3.2.3 Cuestionario ............................................................................................... 105

3.3 Laboratorio de modulacin AM......................................................................... 106 3.3.1 Modulacin AM......................................................................................... 107 3.3.2 Detector de envolvente (Ley Cuadrtica) .................................................. 108

vii

3.3.3 Cuestionario ............................................................................................... 110 3.4 Laboratorio de modulacin DSBSC-AM........................................................... 111

3.4.1 Modulacin DSBSC-AM........................................................................... 112 3.4.2 Modulacin y demodulacin AM utilizando SIMULINK......................... 113 3.4.3 Cuestionario ............................................................................................... 113

3.5 Laboratorio de modulacin SSB........................................................................ 114 3.5.1 Modulacin SSB-AM ................................................................................ 114 3.5.2 Demodulacin SSB-AM ............................................................................ 115 3.5.3 Modulacin y demodulacin SSBAM en SIMULINK............................ 116 3.5.4 Cuestionario ............................................................................................... 117

3.6 Laboratorio de modulacin FM ......................................................................... 118 3.6.1 Modulacin FM ......................................................................................... 118 3.6.2 Modulacin y demodulacin FM utilizando SIMULINK ......................... 120 3.6.3 Cuestionario ............................................................................................... 121

3.7 Laboratorio de modulacin PAM ...................................................................... 122 3.7.1 Modulacin y demodulacin PAM en MATLAB ..................................... 123 3.7.2 Modulacin y demodulacin PAM en SIMULINK................................... 125 3.7.3 Cuestionario ............................................................................................... 126

3.8 Laboratorio de modulacin QAM...................................................................... 127 3.8.1 Modulacin y demodulacin QAM ........................................................... 129 3.8.2 Modulacin y demodulacin QAM con SIMULINK................................ 130 3.8.2 Cuestionario ............................................................................................... 131

CAPTULO 4: Conclusiones y recomendaciones .....................................132 4.1 Conclusiones ...................................................................................................... 132 4.2 Recomendaciones .............................................................................................. 134

BIBLIOGRAFA..........................................................................................135

APNDICES.................................................................................................137 APNDICE A: Cdigo fuente de los ejercicios de simulacin en MATLAB .............. 137

A.1 Cdigo fuente laboratorio de filtros digitales ................................................ 137 A.2 Cdigo fuente laboratorio de FFT.................................................................. 152 A.3 Cdigo fuente laboratorio de modulacin AM .............................................. 157 A.4 Cdigo fuente laboratorio de modulacin DSBSC-AM ................................ 167 A.5 Cdigo fuente laboratorio de modulacin SSB-AM...................................... 172 A.6 Cdigo fuente laboratorio de modulacin FM............................................... 182 A.7 Cdigo fuente laboratorio de modulacin PAM............................................ 189 A.8 Cdigo fuente laboratorio de modulacin QAM ........................................... 196

APNDICE B: Diagramas de bloques de los ejercicios de simulacin en SIMULINK204 B.1 Simulacin: laboratorio de filtros digitales.................................................... 204 B.2 Simulacin: laboratorio de FFT..................................................................... 205 B.3 Simulacin: laboratorio de modulacin AM.................................................. 206

viii

B.4 Simulacin: laboratorio de modulacin DSBSC-AM.................................... 207 B.5 Simulacin: laboratorio de modulacin SSB-AM ......................................... 208 B.6 Simulacin: laboratorio de modulacin FM .................................................. 209 B.7 Simulacin: laboratorio de modulacin PAM ............................................... 210 B.8 Simulacin: laboratorio de modulacin QAM............................................... 211

ix

NDICE DE FIGURAS

Figura 2.1 Tipos de seales: (a) Seal continua en el tiempo sin cuantificar, (b) seal discreta en el tiempo sin cuantificar................................................................................... 7 Figura 2.2 Tipos de seales: (a) Seal continua en el tiempo cuantificada, (b) seal discreta en el tiempo cuantificada...................................................................................... 8 Figura 2.3 Representacin en el dominio del tiempo de la seal peridica dada por la ecuacin (2.3-1). .............................................................................................................. 10 Figura 2.4 Representacin en el dominio de la frecuencia de la seal peridica de la ecuacin (2.3-1). (a) Espectro de Magnitud, (b) Espectro de Fase.................................. 10 Figura 2.5 Diagrama de bloques de la estructura en forma directa de un filtro FIR ....... 17 Figura 2.6 Primer paso de la estructura en forma directa tipo 1 de un filtro IIR............. 20 Figura 2.7 Diagrama de bloques de la estructura en forma directa tipo 1 de un filtro IIR.......................................................................................................................................... 21 Figura 2.8 Diagrama de bloques de la estructura en forma directa tipo 2 de un filtro IIR.......................................................................................................................................... 23 Figura 2.9 Mapeo del plano s al plano s ......................................................................... 26 Figura 2.10 Mapeo de a por medio de la transformacin bilineal. .......................... 27 Figura 2.11 Descripcin del efecto de la transformacin bilineal de Hc( j) a H'(). .... 29 Figura 2.12 Esquema de Mariposa del algoritmo FFT de diezmado en el tiempo. ......... 37 Figura 2.13 Primera etapa del algoritmo FFT de diezmado en el tiempo........................ 37 Figura 2.14 Primera etapa del algoritmo FFT de diezmado en frecuencia...................... 40 Figura 2.15 Espectro de una seal AM............................................................................ 47 Figura 2.16 Detector de envolvente (Ley Cuadrtica)..................................................... 49 Figura 2.17 Diagrama de bloques de un Receptor Coherente Ideal ................................ 52 Figura 2.18 Espectro de una seal DSBSC-AM.............................................................. 53 Figura 2.19 Diagrama de bloques del demodulador de lazo Costas ................................ 54 Figura 2.20 Diagrama de bloques del Lazo Costas linealizado ....................................... 59 Figura 2.21 Diagrama de bloques de la modulacin SSB ............................................... 61 Figura 2.22 Modulador SSB utilizando la transformada de Hilbert ................................ 63 Figura 2.23 Modulacin FM............................................................................................ 71 Figura 2.24 Diagrama de bloques elemental de un discriminador de frecuencia ............ 73 Figura 2.25 Discriminador en tiempo discreto usando la envolvente compleja .............. 75 Figura 2.26 Demodulador FM con PLL en tiempo discreto............................................ 76 Figura 2.27 Modelo linearizado del PLL......................................................................... 77 Figura 2.28 Modulacin PAM ......................................................................................... 78 Figura 2.29 Diagrama de bloques de un sistema de comunicacin PAM ....................... 79 Figura 2.30 Seal binaria antes del muestreador ............................................................. 84 Figura 2.31 Diagrama de ojos para la seal de la figura 2.30.......................................... 85 Figura 2.32 Diagrama de bloques del sistema de recuperacin de frecuencia ................ 87

x

Figura 2.33 Diagrama de bloques de un transmisor QAM bsico................................... 89 Figura 2.34 Constelaciones QAM.................................................................................... 90 Figura 2.35 Representacin de un modulador QAM en trminos de seales complejas. 92 Figura 2.36 Modulador QAM utilizando un filtro conformador pasabanda.................... 93 Figura 2.37 Diagrama de bloques expandido del nuevo modulador QAM ..................... 94 Figura 3.1 Respuesta en frecuencia de un filtro pasobajo ............................................... 96 Figura 3.3 Diagrama del principio bsico de modulacin AM...................................... 106 Figura 3.4 Detector de envolvente de Ley Cuadrtica................................................... 110 Figura 3.5 Diagrama del principio bsico de demodulacin AM.................................. 111 Figura 3.6 Modulador SSB ............................................................................................ 114

xi

NDICE DE TABLAS

Tabla 2.1 Parmetros de una seal obtenidos a partir de la ecuacin 2.3-1 ...................... 9 Tabla 3.1 Funciones ms comunes para el diseo de filtros digitales en MATLAB....... 97 Tabla 3.2 Funciones utilizadas en MATLAB para el clculo de la FFT. ...................... 102 Tabla 3.3 Funciones de MATLAB para modulacin y demodulacin AM .................. 106 Tabla 3.4 Funciones de MATLAB para modulacin y demodulacin PAM ................ 123 Tabla 3.5 Funciones de MATLAB para la modulacin y demodulacin QAM............ 128

xii

NOMENCLATURA

AM Modulacin de amplitud (Amplitude Modulation)

DFT Transformada discreta de Fourier (Discrete Fourier Transform)

DSBSC-AM Modulacin de amplitud de doble banda lateral con portadora

suprimida (Double Sideband Suppressed Carrier Amplitude

Modulation)

DSP Procesamiento digital de seales (Digital Signal Processing)

FFT Transformada rpida de Fourier (Fast Fourier Transform)

FIR Respuesta de duracin finita al impulse (Finite duration Impulse

Response)

FM Modulacin en frecuencia (Frequency Modulation)

IDFT Transformada Discreta de Fourier Inversa (Inverse Discrete Fourier

Transform)

IIR Respuesta de duracin infinita al impulse (Infinite duration Impulse

Response)

LSB Banda lateral inferior (Low Sideband)

LSI Integracin a gran escala (Large Scale Integration)

MSI Integracin a media escala (Medium Scale Integration)

PLL Circuito de lazo por enganche de fase (Phase Locked Loop)

QAM Modulacin de amplitud en cuadratura (Quadrature Amplitude

Modulation)

SSB-AM Modulacin de amplitud de banda lateral nica (Single Sideband

Amplitude Modulation)

USB Banda lateral superior (Upper Sideband)

VLSI Integracin a muy gran escala (Very Large Scale Integration)

xiii

RESUMEN

La Escuela de Ingeniera Elctrica de la Universidad de Costa Rica tiene gran

inters en el Procesamiento Digital de Seales, y por eso se ha decidido desarrollar una

serie de prcticas de simulacin en los apartados que envuelve la ciencia del procesamiento

digital de seales para los sistemas de comunicacin.

Primero se presenta una investigacin terica de las tcnicas de simulacin

utilizadas en los sistemas de comunicacin. Esta investigacin terica permite reforzar y

entender con claridad los conceptos bsicos detrs de la ciencia de las comunicaciones.

Segundo se presentan los enunciados de las prcticas para los temas presentados en

el marco terico. Se inicia con una prctica sencilla de filtros digitales, luego una para

evaluar los conceptos de la transformada discreta de Fourier utilizando la transformada

rpida de Fourier, le siguen las prcticas de modulacin AM completa, DSBSC-AM, SSB-

AM y FM, despus las prcticas de modulacin digital PAM y QAM.

Por ltimo, se muestra el cdigo fuente generado para la solucin de los ejercicios

de simulacin en MATLAB planteados en cada una de las prcticas de laboratorio, as

como los diagramas de bloques de los ejercicios de simulacin en SIMULINK planteados

para cada una de ellas.

1

CAPTULO 1: Introduccin

1.1 Objetivos

1.1.1 Objetivo general

Preparar y generar prcticas para una simulacin previa a la ejecucin de

experimentos que emplearan tarjetas construidas para realizar procesamiento digital

de seales.

1.1.2 Objetivos especficos

Preparacin del manual de prcticas para simulacin.

Diseo de prcticas adicionales en el rea de comunicaciones digitales.

Introduccin de nuevas tcnicas de simulacin en el rea de sistemas de

comunicaciones digitales.

1.2 Justificacin del tema

El gran avance de la ciencia y la ingeniera, en el desarrollo de circuitos integrados,

microprocesadores y computadoras en los ltimos 30 aos, ha generado un gran inters en

el estudio del Procesamiento Digital de Seales (DSP, acrnimo para la frase en ingls

Digital Signal Processing). Este tema de estudio se ha vuelto tan indispensable que ha sido

aplicado a muchas disciplinas tanto en ingeniera como economa y desde la astronoma

hasta la biologa molecular.

2

Es por eso que este es un tema de estudio de gran inters para la Escuela de

Ingeniera Elctrica de la Universidad de Costa Rica, y por eso se ha decidido desarrollar

una serie de prcticas de simulacin en los apartados que envuelve la ciencia del

procesamiento digital de seales, las cuales se realizarn de forma previa a un laboratorio

en el cual se pondrn en prctica todos los conocimientos adquiridos en el curso de

Procesamiento Digital de Seales que imparte dicha Escuela, con tarjetas de programacin

de microprocesadores diseados para el tratamiento digital de seales.

1.3 Problema a resolver

El problema a resolver, es el de realizar el manual de prcticas para simulacin

utilizando MATLAB y SIMULINK. Este deber abarcar los temas ms importantes en el

rea del procesamiento digital de seales, como por ejemplo el diseo de filtros digitales,

anlisis del espectro de una seal digital aplicando la transformada discreta de Fourier,

modulacin y demodulacin AM, modulacin y demodulacin FM, deteccin de errores

de transmisin; y estos tan solo para mencionar algunos, los dems se deben determinar por

medio de la investigacin terica.

Las prcticas incluirn una nota terica, un procedimiento detallado de los

ejercicios que se deben realizar, y por ltimo tendrn un cuestionario para evaluar todos los

conceptos que en el experimento se incluyan.

3

1.4 Metodologa

La metodologa propuesta describe la manera en la cual va a transcurrir el proceso

de investigacin hasta alcanzar la meta establecida por medio de los objetivos

anteriormente descritos.

Primeramente se debe elaborar un marco terico, incluyendo una breve introduccin

al DSP, seguido de los temas ms importantes en el procesamiento digital de seales, los

cuales son la nota terica de cada una de las prcticas que se pretenden generar. Esta

investigacin terica se debe realizar con la revisin, obtencin, extraccin y recopilacin

de literatura proveniente de libros, revistas, artculos, bibliotecas e Internet.

El siguiente paso es el desarrollo de los ejercicios incluidos en las prcticas de

simulacin, las cuales se deben plantear y solucionar con la ayuda de MATLAB y

SIMULINK, las cuales son dos herramientas informticas muy poderosas y de gran

importancia para el desarrollo de sistemas de procesamiento digital de seales.

Por ltimo se evala cada una de las prcticas por medio de un anlisis de

resultados y el procedimiento efectuado para cada una de ellas.

4

CAPTULO 2: Desarrollo terico

2.1 Introduccin al procesamiento digital de seales

El acelerado desarrollo de circuitos integrados, comenzando con la integracin a

media escala (MSI, medium scale integration), luego con la integracin a gran escala (LSI,

large scale integration) y por ltimo, hoy en da, con la integracin a muy gran escala

(VLSI, very large scale integration) de circuitos electrnicos integrados ha estimulado el

desarrollo de ordenadores digitales ms pequeos, rpidos, y baratos y de hardware de

propsito general. Con estos circuitos digitales, se ha hecho posible construir sistemas

digitales altamente sofisticados, capaces de realizar funciones y tareas para un

procesamiento de seal digital que normalmente eran demasiado difciles y/o caras con

circuitera o sistemas de procesamiento de seales analgicas.

A travs del DSP, se han desarrollado hoy en da, sofisticados sistemas de

comunicacin, naci el Internet, se ha podido obtener valiosa informacin acerca del

cosmos a partir de las seales astronmicas, las seales ssmicas pueden ser analizadas para

determinar la magnitud de un terremoto o para predecir la estabilidad de un volcn, las

imgenes o fotografas por computador pueden ser ahora mejoradas, entre muchas otras

cosas ms.

5

2.2 Tipos de seales1

Las seales se pueden encontrar en la mayora de los campos de la ciencia y la

ingeniera, as como en la astronoma, acstica, biologa, comunicaciones, sismologa,

telemetra, y economa, tan solo como para nombrar algunos. Las seales naturalmente

provienen de los procesos fsicos o son hechas por la humanidad. Las seales astronmicas

pueden ser generadas por explosiones celestes llamadas supernovas o por una estrella

pulsante, mientras las seales ssmicas son manifestaciones de terremotos o de volcanes

que estn en actividad. Las seales en biologa son producidas por el cerebro o el corazn,

por los delfines o las ballenas para comunicarse entre ellas, o por un murcilago para poder

volar en la oscuridad o para encontrar alimento. Por otra parte, las seales hechas por la

humanidad son producidas en procesos tecnolgicos, tales como las que existen en las

computadoras, telefona y sistemas de radar, o el Internet.

Son muchas las razones por las que existe un gran inters en las seales. Los

astrnomos pueden obtener informacin muy importante de las estrellas, tal como su

composicin qumica, pueden determinar el tamao y la densidad de una estrella pulsante

de acuerdo a la frecuencia de radiacin de esta. Los sismlogos pueden determinar la

magnitud y el lugar de origen de un terremoto, al igual que un vulcanlogo puede predecir

cuando un volcn estar en erupcin. Los cardilogos pueden diagnosticar la condicin del

corazn, al mirar los patrones o alteraciones de los tejidos a travs de un

electrocardiograma. Se puede difundir informacin a travs del Internet, ayudar a los

1 Proakis, J. G. Tratamiento digital de seales. Tercera Edicin, Prentice Hall, Madrid, Espaa, 1998.

6

aviones a aterrizar en condiciones climticas muy malas y de poca visibilidad, o advertir a

los pilotos de la distancia entre un objeto y los aviones para evitar colisiones.

Entonces, con todo lo que se ha dicho anteriormente se puede decir que una seal es

una cantidad fsica que vara con el tiempo, el espacio o cualquier otra variable o variables

independientes. Las seales se pueden clasificar como:

Seales continuas en el tiempo (analgicas) Seales discretas en el tiempo (digitales)

Una seal continua en el tiempo est definida para todos los valores del tiempo

desde el inicio hasta el final en un intervalo de tiempo dado, por ejemplo la seal acstica

producida por un delfn. Una seal discreta en el tiempo est definida como una seal con

valores en ciertos instantes del tiempo, los cuales pueden ser cada milisegundo, segundo,

minuto, hora o da, por ejemplo las gotas de lluvia como funcin del tiempo.

Matemticamente, las seales analgicas se describen como funciones continuas de

variable continua, donde el dominio es un intervalo de valores (t1, t2), donde 1t

7

particular, tenemos Tfs 1= , la cual es conocida como la frecuencia de muestreo. Las

seales tambin se pueden clasificar como:

Sin cuantificar Cuantificada

Una seal sin cuantificar puede tomar cualquier valor en un intervalo, mientras que

una seal cuantificada slo puede tomar valores discretos, usualmente de igual longitud de

separacin. La figura 2.2a y 2.2b muestra respectivamente, a una seal cuantificada

continua en el tiempo y una seal cuantificada discreta en el tiempo.

(a) (b)

Figura 2.1 Tipos de seales: (a) Seal continua en el tiempo sin cuantificar, (b) seal

discreta en el tiempo sin cuantificar

8

(a) (b)

Figura 2.2 Tipos de seales: (a) Seal continua en el tiempo cuantificada, (b) seal

discreta en el tiempo cuantificada

2.3 Representacin frecuencial del dominio1

Las seales la mayora del tiempo son representadas por funciones en el dominio

del tiempo. Pero en algunas situaciones es de gran utilidad representar las seales con

funciones en el dominio de la frecuencia, por ejemplo un seal continua en el tiempo

compuesta por la sumatoria de las componentes sinusoidales, tal como

( )=

+=9

1sin)(

kkkk tAtx (2.3-1)

puede ser descrita completamente por dos series,

}9,,3,2,1:{)( K=== kparaAA kk (2.3-2)

y 1Antoniou, A. Digital Signal Processing: Signals, Systems and Filters. Primera edicin, McGraw Hill, New York, Estados Unidos, 2006.

9

}9,,3,2,1:{)( K=== kparakk (2.3-3)

las cuales representan las magnitudes y las fases de las componentes sinusoidales presentes

en la seal. A las series )(A y )( se les conoce respectivamente como el espectro de magnitud y el espectro de fase de la seal. Por ejemplo, si )(A y )( en la ecuacin 2.3-1, tomaran los valores dados en la tabla 2.1 asociados con cierto valor de frecuencia,

)(tx puede ser representada en el dominio del tiempo, tal y como se muestra en la figura

2.3 y en el dominio de la frecuencia en las figuras 2.4a y b.

Tabla 2.1 Parmetros de una seal obtenidos a partir de la ecuacin 2.3-1

k k kA k 1 1 0.6154 0.0579

2 2 0.7919 0.3529

3 3 0.9218 -0.8132

4 4 0.7382 0.0099

5 5 0.1763 0.1389

6 6 0.4057 -0.2028

7 7 0.9355 0.1987

8 8 0.9169 -0.6038

9 9 0.4103 -0.2722

10

Figura 2.3 Representacin en el dominio del tiempo de la seal peridica dada por la

ecuacin (2.3-1).

Figura 2.4 Representacin en el dominio de la frecuencia de la seal peridica de la

ecuacin (2.3-1). (a) Espectro de Magnitud, (b) Espectro de Fase.

11

La utilidad de representar una seal en el dominio de la frecuencia, se puede

apreciar al comparar el dominio del tiempo con el dominio de la frecuencia al analizar la

figura 2.4. La representacin en el dominio del tiempo muestra una seal ruidosa y

peridica. Lo cual implica que sta seal est compuesta por la suma de componentes

peridicos. Por otro lado, la representacin en el dominio de la frecuencia, provee una

descripcin detallada y significativa de cada una de los componentes en frecuencia, y de los

aportes en magnitud y fase de cada uno de los componentes presentes en la secuencia.

La representacin propuesta en la ecuacin 2.3, se conoce como la Serie de Fourier

de una seal )(tx y se obtiene como consecuencia, que las series de Fourier para una seal

peridica son la nica manera para obtener una representacin espectral de una seal. Los

cientficos, matemticos e ingenieros han ideado una gran variedad de herramientas

matemticas, las cuales pueden ser usadas para representar diferentes tipos de seales de

forma espectral. Otras herramientas matemticas, adems de las Series de Fourier, son la

Transformada de Fourier, la cual se aplica tanto a seales peridicas o no peridicas

continuas en el tiempo; la Transformada Z, la cual se utiliza para seales no peridicas

discretas en el tiempo; y la Transformada Discreta de Fourier, la cual es la ms adecuada

para seales peridicas discretas en el tiempo. Cada una de estas herramientas ser

retomada en los siguientes apartados.

12

2.4 Filtros analgicos y digitales1

El trmino filtro se utiliza comnmente para describir un dispositivo que discrimina,

segn algn atributo de los objetos que se aplican a su entrada, aquello que pasa a su travs.

Por ejemplo, un filtro de aire permite que el aire pase a su travs, evitando que las

partculas de polvo presentes en el aire lo atraviesen.

El filtrado se emplea en el procesamiento digital de seales de diferentes maneras,

por ejemplo, en la eliminacin de ruido indeseable de seales deseadas, en la conformacin

espectral para ecualizacin de canales de comunicaciones, en la deteccin de seales en

radar, sonar y comunicaciones, en los anlisis espectrales de seales, etc.

2.4.1 Filtros analgicos

Los filtros elctricos, desde que fueron inventados, han hecho posible el gran

desarrollo de las telecomunicaciones. Originalmente los filtros analgicos fueron

inventados para ser usados para receptores de radio y sistemas telefnicos para comunicar

personas a larga distancia, convirtindose de esta manera en elementos importantes en

todos los tipos de sistemas de comunicacin. Con el desarrollo de filtros en los ltimos

aos, estos se pueden clasificar segn su funcin, su gama de frecuencias o segn su

tecnologa y de acuerdo, con los elementos que los componen. Algunos tipos de filtros

analgicos son los siguientes:

1 Antoniou, A. Digital Signal Processing: Signals, Systems and Filters. Primera edicin, McGraw Hill, New York, Estados Unidos, 2006.

13

Filtros pasivos RLC Filtros activos RC discretos Filtros activos RC integrados

Filtros de capacitores conmutados Filtros de microondas

2.4.2 Filtros digitales

En general, un filtro digital es un sistema que recibe de entrada una seal de tiempo

discreto y produce de salida una seal de tiempo discreto, pero modificada en cierta forma

ya sea en magnitud o en frecuencia. Con el rpido avance en la tecnologa de los circuitos

integrados, el desarrollo de tecnologas digitales hizo que se construyeran sistemas ms

verstiles y de muy bajo costo.

El desarrollo de filtros digitales sigue creciendo da con da, y por ello se tiene los

siguientes ejemplos:

Filtros recursivos y no recursivos

Filtros de abanico Filtros bidimensionales

Filtros adaptativos Filtros multidimensionales Filtros Multitasa

Estos filtros digitales hoy en da, pueden ser implementados en lenguajes como

MATLAB o C++.

14

2.5 Nota terica laboratorio de filtros digitales 1

El objetivo es aprender como implementar las tcnicas de filtrado para seales de

tiempo discreto, usualmente utilizadas en el curso de Procesamiento Digital de Seales.

2.5.1 Suma convolucin y respuesta en frecuencia para tiempo discreto

La salida ][ny de un sistema lineal e invariante en el tiempo se puede expresar

como la suma convolucin de la entrada ][nx con su respuesta al impulso ][nh , por medio

de la siguiente ecuacin:

=

===

kkknxkhknhkxny ][][][][][ (2.5-1)

La transformada z de la convolucin de dos seales es igual a la multiplicacin de

las transformadas de cada una:

)()(][)( zHzXznyzYn

n == =

(2.5-2)

donde

n

nznhzH

== ][)( y

==

n

nznxzX ][)( (2.5-3)

1 Tretter, S. A. Communication System Design Using DSP Algorithms. Primera Edicin, Kluwer Academic / Plenum Publishers, New York, Estados Unidos, 2003.

15

De acuerdo con la ecuacin 2.5-1, la salida es

Tjezk

kTjnTj

k

Tknj zHnxekhCeCekhny =

=

= === )(][][][][ )( (2.5-4)

Por tanto, la salida tiene forma sinusoidal a la misma frecuencia que la entrada, pero

con su amplitud dada a partir del nmero complejo.

TjezzHH == )()(* (2.5-5)

La expresin )(* H se le conoce como la respuesta en frecuencia del sistema. La

expresin )()( * HA = se le conoce como la amplitud de la respuesta del sistema y el

ngulo )(arg)( * H= se le conoce como la respuesta de fase del sistema. Estas funciones todas estn en funcin de con un perodo Ts 2= . En coordenadas polares la respuesta en frecuencia se ve as

)()()(* jeAH = (2.5-6)

Entonces, de acuerdo con la ecuacin 2.5-4, la salida puede ser expresada como

)]([)(][ += nTjeCAny (2.5-7)

Cuando la entrada es una seal sinusoidal real, por ejemplo

}{)cos(][ nTjj eCeenTCnx =+= (2.5-8)

La salida es de la siguiente manera

[ ] ++== )(cos)(})({][ * nTCAeCeHeny nTjj (2.5-9)

16

En otras palabras, el sistema modifica la magnitud de la seal sinusoidal de entrada

por medio de la amplitud de la respuesta y vara su fase a travs de la fase de la respuesta

en frecuencia, lo que constituye la idea bsica del filtrado digital.

2.5.2 Filtros de respuesta de duracin finita al impulso (FIR)

FIR es un acrnimo en ingls para Finite Impulse Response o Respuesta finita al

impulso. Se trata de un filtro, en el cual si la entrada es una seal impulso, la salida tendr

un nmero finito de trminos no nulos.

Los filtros FIR tienen la gran ventaja de que pueden disearse para ser de fase

lineal, lo cual hace que presenten ciertas propiedades en la simetra de los coeficientes. Este

tipo de filtros tiene especial inters en aplicaciones de audio.

Estos filtros tienen todos los polos en el origen, por lo que son estables. Los ceros se

presentan en pares de recprocos si el filtro se disea para tener fase lineal. Una de sus

desventajas es de necesitar un orden mayor respecto a los filtros IIR para cumplir las

mismas caractersticas. Esto se traduce en un mayor gasto computacional.

2.5.2.1 Estructura en forma directa de un filtro FIR

La realizacin de la estructura en forma directa se deriva directamente de la

ecuacin 2.5-1, cuando la respuesta al impulso es idnticamente a cero fuera del intervalo

de valores siguientes {0, 1,2,, N-1}, de esta manera la suma convolucin esta dada por:

17

+=

===

n

Nnk

N

kknhkxknxkhny

1

1

0][][][][][ (2.5-10)

Un filtro de este tipo se le conoce como un filtro de respuesta finita al impulso de

N-etapas (FIR), filtro no recursivo, filtro transversal, o moving average filter (filtro de

combinacin lineal ponderada). El diagrama de bloques para la realizacin de la estructura

en forma directa para construir filtros FIR se muestra en la figura 2.5. Consiste en una lnea

de retardos representada por la cadena de bloques llamados z-1 y una serie de divisiones que

salen de la lnea de retardo, las cuales son muestras de la respuesta al impulso.

Figura 2.5 Diagrama de bloques de la estructura en forma directa de un filtro FIR

18

2.5.2.2 Mtodos para el diseo de filtros FIR

Hay tres mtodos bsicos para disear este tipo de filtros:

Mtodo de las ventanas. Las ms habituales son: Ventana rectangular Ventana de Barlett Ventana de Von Hann Ventana de Hamming Ventana de Blackman Ventana de Kaiser

Muestreo en frecuencia Rizado constante (Aproximacin de Chebyshev y algoritmo de

intercambio de Remez).

2.5.3 Filtros de respuesta de duracin infinita al impulso (IIR)

Un filtro con respuesta al impulso, h(n), que tiene duracin infinita es conocido

como un filtro IIR, h(n) es la suma de varios exponenciales. En el dominio de la

transformada z, H(z), se conoce como la funcin de transferencia, y es una funcin racional

de z. Es la razn de dos polinomios de grado finito, tal y como se muestra en la siguiente

funcin racional,

)()(

1)( 2

21

10

22

110

zAzB

zazazaazbzbzbbzH MM

NN =+++++

++++=

LL (2.5-11)

19

2.5.3.1 Estructura en forma directa de un filtro IIR

La funcin de transferencia racional dada por la ecuacin 2.5-11, se puede obtener

de diferentes maneras. Una de ellas, es por medio de la estructura en forma directa. La

razn de las transformadas z entre la salida y la entrada del filtro esta dada por

)()()(

)()(

zAzBzH

zXzY == (2.5-12)

De la expresin anterior obtenemos,

)()()()( zBzXzAzY = o =

=

=

+N

k

kk

M

k

kk zbzXzazY

01)(1)( (2.5-13)

Despejando para Y(z)

=

=

=M

k

kk

N

k

kk zzYazzXbzY

10)()()( (2.5-14)

La ecuacin en diferencias es el equivalente en el dominio del tiempo

==

=M

kk

N

kk knyaknxbny

10][][][ (2.5-15)

La ecuacin anterior muestra cmo construir un filtro a partir de las N entradas y M

salidas pasadas. Un filtro implementado de esta manera se le conoce como un filtro

recursivo, dado que las salidas pasadas son utilizadas para calcular la salida actual. Se le

llama de forma directa porque los coeficientes en la funcin de transferencia aparecen en la

ecuacin en diferencias.

20

)()()()()()( zBzVzB

zAzXzY == (2.5-16)

donde

)(1)()(zA

zXzV = (2.5-17)

La expresin anterior se muestra en la siguiente figura

Figura 2.6 Primer paso de la estructura en forma directa tipo 1 de un filtro IIR

La Seal intermedia v[n] puede ser obtenida a partir de la estructura de forma

directa

=

=M

kk knvanxnv

1][][][ (2.5-18)

luego, la salida puede estar representada por

=

=N

kk knvbny

0][][ (2.5-19)

Un diagrama de bloques para las ecuaciones 2.5-18, 2.5-19 se muestra en la

siguiente figura, donde se asume que M=N. Este tipo de estructuras requieren menos

21

capacidad y se les conoce como estructura en forma directa tipo 1 y forma directa tipo 2

respectivamente.

Figura 2.7 Diagrama de bloques de la estructura en forma directa tipo 1 de un filtro

IIR

Los elementos s1[n],.,sN[n], son variables de estado para el filtro. La salida actual

y el siguiente estado pueden ser obtenidos a partir de la entrada y estado actual. La

siguiente secuencia de pasos puede ser utilizada para obtener las salidas y los estados del

filtro:

22

Paso1: Calculo de v[n]

=

=M

kk knvanxnv

1][][][

Paso 2: Calculo de la salida y[n]

=

+=N

kkk nsbnvbny

10 ][][][

Paso 3: Actualizar las variables de estado

][]1[][]1[

][]1[][]1[

1

12

21

1

nvnsnsns

nsnsnsns

NN

NN

=+=+

=+=+

M

Otra estructura, es la de forma directa tipo 2, la cual se puede obtener de la ecuacin

2.5-13. Para simplificar, sea M=N.

=

+=N

k

kkk zzYazXbzXbzY

10 )]()([)()( (2.5-20)

Un diagrama de bloques que representa la expresin anterior se muestra en la figura

siguiente.

23

Figura 2.8 Diagrama de bloques de la estructura en forma directa tipo 2 de un filtro

IIR

La secuencia de pasos siguiente es para obtener las salidas y para actualizar sus

variables de estado de este tipo de estructura.

Paso1: Clculo de la salida y[n]

][][][ 10 nsnxbny +=

24

Paso 2: Actualizar las variables de estado

][][][]1[ 2111 nsnyanxbns +=+

][][]1[][][][]1[

][][][]1[

111

3222

nyanxbnsnsnyanxbns

nsnyanxbns

NNN

NNNN

=++=+

+=+

M

2.5.4 Transformacin bilineal1

El diseo de filtros digitales a partir de filtros analgicos es un campo maduro y

bien desarrollado, as que en la mayora de las veces es de gran utilidad disear un filtro

digital en el dominio analgico y luego este se convierte al dominio digital.

Un filtro analgico se puede describir por su funcin de transferencia

=

=== Nk

kk

M

k

kk

a

s

s

sAsBsH

0

0

)()()(

(2.5-21)

donde { }k y { }k son los coeficientes del filtro, o por su respuesta al impulso, que se relaciona con Ha(s) mediante la transformada de Laplace

( ) = dtethsH sta )( (2.5-22)

1Proakis, J. G. Tratamiento digital de seales. Tercera Edicin, Prentice Hall, Madrid, Espaa, 1998. Jackson, L. B. Digital filters and Signal Processing. Tercera Edicin, Boston: Kluwer Academic Publishers, Estados Unidos, 1996.

25

Tambin, el filtro analgico que tiene la funcin de transferencia racional, H(s)

dada en (2.5-21), se puede describir mediante la ecuacin diferencial lineal con coeficientes

lineales constantes

==

=M

kk

k

k

N

kk

k

k dttxd

dttyd

00

)()( (2.5-23)

donde x(t) denota la seal de entrada e y(t) denota la salida del filtro.

Cada una de estas tres caracterizaciones equivalentes de un filtro analgico conduce

a mtodos alternativos para convertir el filtro al dominio digital. Recurdese que un sistema

analgico lineal invariante en el tiempo con funcin de transferencia H(s) es estable si

todos sus polos se encuentran en la mitad izquierda del plano s. Consecuentemente, si la

tcnica de conversin es efectiva debera tener las siguientes propiedades deseables:

El eje j en el plano s debera corresponderse a la circunferencia unidad en el plano z. As, habr una relacin directa entre las dos variables de

frecuencia en los dos dominios.

El semiplano izquierdo del plano s se debera corresponder con el interior de la circunferencia unidad en el plano z. As, un filtro analgico estable se

convertir en un filtro digital estable.

Uno de estos mtodos es la correspondencia del plano s al plano z, denominada

transformacin bilineal, que soluciona ciertas limitaciones que poseen otros mtodos. La

transformacin bilineal es una correspondencia conformadora que transforma el eje j en

26

la circunferencia unidad del plano z slo una vez, evitando el solapamiento de componentes

de frecuencia. Adems, todos los puntos en el semiplano izquierdo s se corresponden con el

interior de la circunferencia unidad en el plano z y todos los puntos en el semiplano

derecho de s se corresponden con puntos fuera de la circunferencia unidad del plano z.

De esta manera se necesita una transformacin de s a s, la cual contenga todo el

plano s dentro del intervalo TsT )'Im( , luego para transformarlo al plano z utilizando Tsez '= . La transformacin del plano s al plano s est descrita en la figura 2.9 y esta dada por

= 2

tan2' 1 sTT

s (2.5-24)

Figura 2.9 Mapeo del plano s al plano s

Ahora para ver el efecto de esta transformada es mejor pasar al eje j. Sustituyendo

s=j y s=j en (2.5-24), se obtiene

= 2

tan2' 1 TT

(2.5-25)

27

O equivalentemente,

= 2

tan2 1 T (2.5-26)

Por tanto, el eje esta completamente contenido en el intervalo (-, ) para .

Tambin se puede notar que la relacin entre y no es lineal, pero es aproximadamente

lineal para valores pequeos de T , tal y como se muestra en la figura 2.10.

Figura 2.10 Mapeo de a por medio de la transformacin bilineal.

Ahora, la transformacin del plano s al plano z se obtiene invirtiendo (2.5-24), as

=2'tanh2 Ts

Ts (2.5-27)

Luego a partir de Tsez '= se obtiene ( ) zTs ln1'= y sustituyendo en (2.5-27), se obtiene

28

=2

lntanh2 zT

s (2.5-28)

Recordando que:

x

x

xx

xx

ee

eeeex 2

2

11tanh

+=+

= y aplicndolo a la ecuacin (2.5-28), se obtiene

+=

1

1

112

zz

Ts (2.5-29)

Por tanto, el diseo en tiempo discreto de un filtro se obtiene a partir del diseo en

tiempo continuo a travs de la transformada bilineal.

+=

=1

1

112)()(

zz

TSc

sHzH (2.5-30)

Se puede notar que la transformada bilineal es invertible, es decir hay una

transformada inversa que se deriva a partir de (2.5-29)

sT

sT

z

21

21

+

= (2.5-31)

La relacin no-lineal que existe entre y dada por la ecuacin (2.5-26) se le

conoce como distorsin en frecuencia. De esta manera el efecto en H() relativo a Hc(j)

se obtiene a partir de (2.5-30)

==2

tan2)()(' T

c jHH (2.5-32)

29

La relacin es descrita en la siguiente figura

Figura 2.11 Descripcin del efecto de la transformacin bilineal de Hc( j) a H'().

De la figura anterior se puede notar que a partir de esta transformacin Hc(j) se

comprime en frecuencia, pero a pesar de esto, las caractersticas de Hc(j) se mantienen en

H(). Esta propiedad es la caracterstica ms importante de la transformada bilineal.

30

Para disear filtros utilizando la transformacin bilineal se utiliza el siguiente

procedimiento:

Distorsin en Frecuencia: se calculan los valores de c y r correspondientes a los

valores especificados de c y r a partir de

=2

tan2 T

(2.5-33)

Diseo en tiempo continuo: a partir de los valores de c, r, 1, 2, y N, se obtiene

las ceros y polos del filtro analgico.

Transformacin de los ceros y polos: utilizando la ecuacin (2.5-36) los ceros m

y polos sk se transforman en zm y pk. Poniendo Hc(j) en trminos de sus polos y ceros de la

siguiente manera

=

== N

k k

Mc

m mc

ss

sKsH

1

1

)(

)()(

(2.5-34)

Y aplicando la transformada bilineal se produce

( )

=

=

+= N

k k

Mc

m mMN

zp

zzzbzH c

11

11

10

)1(

)1(1)( (2.5-35)

31

donde

m

m

m T

T

z

21

21

+

= y k

k

k

sT

sT

p

21

21

+

= (2.5-36)

Calcular b0: se calcula el coeficiente de ganancia b0 igualando las ganancias

de )0()1( cHH = o las ganancias de otras frecuencias equivalentes.

Por ltimo se obtiene la funcin de transferencia del sistema H(z) la cual est dada

por (2.5-35).

32

2.6 Nota terica laboratorio de FFT1

El objetivo es repasar y utilizar algunas tcnicas importantes en el procesamiento

digital de seales. Prcticamente sera construir un analizador del espectro utilizando la

Transformada Rpida de Fourier (FFT, acrnimo en ingls de Fast Fourier Transform).

2.6.1 Muestreo en tiempo discreto utilizando la transformada de Fourier

Suponga que una seal continua en el tiempo, es muestreada con un perodo T o una

frecuencia de muestreo de Ts 2= para obtener una seal discreta en el tiempo x[n]=x(nT).

Se define en tiempo discreto la Transformada de Fourier de x[n] como la siguiente

expresin,

nTj

nenxX

== ][)( (2.6-1)

La transformada Z de la seal se obtiene sustituyendo por Tjez = . Ntese que ( )X tiene un perodo s , puesto que la sumatoria es una serie de Fourier. La seal

discreta de Fourier puede ser determinada en tiempo discreto a partir de la transformada de

Fourier, por


33

[ ] ( )

=2

2

1s

s

w

w

nTj

s

deXnx (2.6-2)

As, x[n] puede ser considerada como la suma de ondas sinusoidales muestreadas

en un intervalo de frecuencias continuas, de acuerdo al ancho de banda segn Nyquist

22 ss

34

=

=1

0

21][N

k

nkN

j

k eXNnx

para k = 0, 1,., N-1 (2.6-4)

2.6.3 La transformada rpida de Fourier1

La transformada discreta de Fourier (DFT) juega un papel importante en el anlisis,

el diseo y la realizacin de algoritmos y sistemas de procesamiento digital de seales. Una

de las razones por las que el anlisis en Fourier es de una amplia importancia en el

procesamiento digital de seales es debido a la existencia de un algoritmo eficiente para

calcular la DFT. Este algoritmo se le denomina como la Transformada Rpida de Fourier

(FFT). La FFT elimina informacin redundante que existe en la DFT, ya que esta explota

las propiedades de periodicidad y simetra del factor de fase WN. Estas propiedades son:

adPeriodicid

Simetra2k

NNk

N

kN

Nk

N

WWWW

==

+

+ (2.6-5)

Existen bsicamente dos tipos de algoritmos FFT:

Diezmado en el tiempo

Diezmado en frecuencia

1 Proakis, J. G. Tratamiento digital de seales, Tercera edicin, Prentice Hall, Madrid Espaa, 1998. Tretter, S. A. Communication System Design Using DSP Algorithms, Primera edicin, Kluwer Academic / Plenum Publishers, New York, Estados Unidos, 2003.

35

Estos algoritmos son de gran utilidad debido a que si se realiza el clculo directo de

la DFT o IDFT dadas por (2.6-3) y (2.6-4), esto supone realizar N multiplicaciones

complejas y 1N sumas complejas. En consecuencia, para calcular los N valores de de DFT necesitamos 2N multiplicaciones complejas y NN 2 sumas complejas. Por otra parte el clculo utilizando estos algoritmos reduce el nmero de sumas complejas a

NN 2log . De manera para valores de N muy grandes es de gran importancia utilizar la FFT

en lugar de calcular directamente la DFT.

El algoritmo de diezmado en el tiempo es uno de los algoritmos mas utilizados en la

actualidad, este se presenta a continuacin. Para simplificar la notacin, sea NjN eW2= ,

de esta manera de (2.6-3) obtengo

=

=

==1

0

1

0

2

][][N

n

nkN

N

n

nkN

j

k WnxenxX

(2.6-6)

Este algoritmo asume que vN 2= . Luego se separa la sumatoria en dos sumatorias, cuando n es par y otra cuando n es impar.

=+

=++=

12

0

)12(

12

0

2 ]12[]2[

N

n

knN

N

n

nkNk WnxWnxX para 1,,1,0 = Nk K (2.6-7)

Ahora sea,

]12[][]2[][+=

=nxnbnxna

para 12

,,1,0 = Nn K (2.6-8)

36

Se puede notar que 22

NN WW = . Por tanto, (2.6-7) puede escribirse como

=

=+=

12

02/

12

02/ ][][

N

n

nkN

kN

N

n

nkNk WnbWWnaX para 1,,1,0 = Nk K (2.6-9)

y definiendo kA y kB de la siguiente manera

=

=

=

=1

2

02/

12

02/

][

][

N

n

nkNk

N

n

nkNk

WnbB

WnaA para 1,,1,0 = Nn K (2.6-10)

De esta manera (2.6-9) se puede escribir como

kk

Nk BWA +=kX para 1,,1,0 = Nn K (2.6-11)

El siguiente paso muestra las ecuaciones claves para la FFT de diezmado en el

tiempo. Primero se nota que 12/ =NNW . Luego, la ecuacin anterior se puede separar en

dos nuevas ecuaciones,

kk

Nk

kk

Nk

BWABWA

=+=

+2N

k

k

X

X para 1

2,,1,0 = Nn K (2.6-12)

El clculo bsico de las dos ecuaciones anteriores se muestra en la siguiente figura,

al cual se le denomina Mariposa, dado que el diagrama de flujo recuerda a una mariposa.

37

Figura 2.12 Esquema de Mariposa del algoritmo FFT de diezmado en el tiempo.

Un diagrama de flujo para un clculo completo de la primera etapa de este

algoritmo con N = 8, se muestra en la siguiente figura.

Figura 2.13 Primera etapa del algoritmo FFT de diezmado en el tiempo.

38

Otro algoritmo para el clculo de la FFT importante, denominado algoritmo de

diezmado en frecuencia. Esto implica un almacenamiento por columnas de la secuencia de

datos de entrada. Para deducir el algoritmo se empieza dividiendo la ecuacin (2.6-6) en

dos sumatorias, una de las cuales contiene los primeros 2N puntos de datos y el otro los

ltimos 2N puntos de datos. As se obtiene

[ ] [ ]

[ ]

=

=

=

=

++=

+=

12

2

2

12

0

1

2

12

0

2

N

Nn

knN

Nk

N

N

n

knNk

N

Nn

knN

N

n

knNk

WNnxWWnxX

WnxWnxX

(2.6-13)

Dado que ( )kkNNW 12 = , la expresin (2.6-13) puede reescribirse como

[ ] ( )

=

++=1

2

2

2

21

N

Nn

knN

kNk

Nk WNnxnxWX (2.6-14)

Ahora se diezma kX en las muestras pares e impares. De esta manera, se obtiene

[ ] 12

,,1,0para2 2

12

02 =

++=

=

NkWNnxnxX knN

N

nk K (2.6-15)

y

[ ] 12

,,1,0para2 22

12

012 =

+=

=+

NkWWNnxnxX knNknN

N

nk K (2.6-16)

39

Donde se recurre al hecho de que 2

2NN WW = . Si se definen las secuencias de 2

N

puntos ( )ng1 y ( )ng2 como

[ ] [ ][ ] [ ] 1

2,,2,1,0para

2

2

2

1

=

+=

++=NnWNnxnxng

Nnxnxng

nN K

(2.6-17)

Entonces

[ ]

[ ]

=+

=

=

=1

2

0 2212

12

0 212

N

n

knNk

N

n

knNk

WngX

WngX (2.6-18)

El clculo de las secuencias [ ]ng1 y [ ]ng2 segn (2.6-17) y el uso de estas secuencias para el clculo de la DFT de 2N puntos se muestra en la figura 2.14.

Este procedimiento computacional puede repetirse diezmando la DFT de 2N

puntos para kX 2 y 12 +kX . Consecuentemente, el clculo de la DFT de N puntos por medio

del algoritmo para la FFT de diezmado en frecuencia, requiere ( ) NN 2log2 multiplicaciones complejas y NN 2log sumas complejas, igual que el algoritmo de

diezmado en tiempo.

40

Un diagrama de flujo para un clculo completo de la primera etapa de este

algoritmo con N = 8, se muestra en la siguiente figura.

Figura 2.14 Primera etapa del algoritmo FFT de diezmado en frecuencia

Se puede observar que el clculo bsico en esta figura es la mariposa mostrada en la

figura 2.12

41

2.6.4 Uso de la FFT para determinar la densidad espectral de potencia1

Hay seales de energa finita que tienen transformada de Fourier y estn

caracterizadas en el dominio espectral por su densidad espectral de energa. Por otro lado,

la clase importante de seales caracterizadas como procesos aleatorios estacionarios no

tienen energa finita y, por lo tanto, no tienen transformada de Fourier. Tales seales estn

caracterizadas por la densidad espectral de potencia, ya que tienen potencia media finita.

Un mtodo para estimar la densidad espectral de frecuencia est basado en usar una

funcin llamada periodograma. Esta funcin de una secuencia de N puntos y[n] esta

definida por

( ) ( ) 21 YN

IN = (2.6-19)

donde

( ) =

=1

0][

N

n

nTjenyY (2.6-20)

es en tiempo discreto la transformada de Fourier de y[n]. Se puede demostrar que la

transformada inversa del periodograma es iguala a la funcin de autocorrelacin

( ) [ ] [ ] +=

=valorotrocualquier0

1para11

0

N

kNnkykny

NnR (2.6-21)

1Proakis, J. G. Tratamiento digital de seales, Tercera edicin, Prentice Hall, Madrid Espaa, 1998. Tretter, S. A. Communication System Design Using DSP Algorithms, Primera edicin, Kluwer Academic / Plenum Publishers, New York, Estados Unidos, 2003.

42

La variable, n, en la funcin de autocorrelacin se le conoce como el retardo. Para

un retardo cero

( ) [ ] ( )

=== 2/

2/2

1

0

2 110 ss

dIkyN

R NN

k

(2.6-22)

es la potencia promedio de la secuencia de puntos. Esta relacin justifica el uso de

la autocorrelacin promediada en el tiempo, como la interpretacin del periodograma como

una funcin que muestra como la potencia se distribuye en el dominio de la frecuencia.

A simple vista, se puede asumir que conforme aumenta N, el periodograma se

vuelve una mejor forma de estimar la densidad espectral de potencia para procesos

aleatorios estacionarios. Sin embargo, esto no es cierto. Conforme N aumenta, el

periodograma tiende a oscilar ms y ms rpidamente.

Una solucin a este problema es promediar los periodogramas de diferentes

segmentos de la secuencia de N puntos. Sea x[n] una secuencia de duracin M = LN y la

ventana L para cada uno de los segmentos.

[ ] [ ] [ ] =+=

otrocualquier01,...,1,0para NnkLnxnh

nyk (2.6-23)

donde h[n] es la funcin de la ventana deseada. El periodograma obtenido del

segmento ventaneado est dado por ( )kNI , . As, la densidad espectral de potencia se determina ahora por

( )=

=1

0,

1 L

kkNIL

S ) (2.6-24)

43

Cuando los segmentos de puntos son estadsticamente independientes, el promedio

de L segmentos reduce la varianza en un factor de L. Adems los segmentos de datos se

pueden ir solapando a ciertos porcentajes para intentar mejorar las ganancias de la

estimacin.

44

2.7 Nota terica laboratorio de modulacin AM1

El objetivo es examinar un mtodo muy comn de transmitir informacin conocido

como modulacin de amplitud (AM, acrnimo en ingls de Amplitude Modulation), y a su

vez conocer como se utiliza para procesar seales digitales.

2.7.1 Descripcin de la modulacin de amplitud (AM)

Las seales de informacin deben ser transportadas entre un transmisor y un

receptor sobre alguna forma de medio de transmisin. Sin embargo, las seales de

informacin pocas veces encuentran una forma adecuada para la transmisin. La

modulacin se define como el proceso de transformar informacin de su forma original a

una forma ms adecuada para la transmisin. El propsito es transformar una seal m(t) en

otra seal s(t). Este proceso debe ser reversible, de tal manera que se pueda recuperar la

seal m(t) a partir de la seal s(t) en el receptor. La seal m(t) es la seal en banda base que

se va a transmitir. Puede ser representada tanto en forma temporal como en forma de

espectro de frecuencias. La modulacin recurre a una nueva seal auxiliar de frecuencia f0.

Esta frecuencia f0 recibe el nombre de frecuencia portadora o frecuencia central.

Evidentemente la frecuencia f0 se elige de forma que se encuentre en la banda de paso del

canal de transmisin. La seal que ser transmitida s(t), es la seal llamada portadora a la

frecuencia f0.


45

Una seal AM est descrita por

( ) ( )[ ] ttmkAts cac cos1+= (2.7-1) donde

( ) tAtc cc cos= (2.7-2) es llamada la onda portadora de amplitud Ac y frecuencia )2( ccf = Hz. La

frecuencia portadora, fc, es relativamente alta de acuerdo con la amplitud de la seal

modulante (seal original). El parmetro ak es una constante positiva llamada ndice de

modulacin del modulador.

La seal

( ) ( )tmkAte ac += 1 (2.7-3) se le conoce como la envolvente de s(t). Cuando fc es relativamente alta de acuerdo

al ancho de banda de m(t), la envolvente es una seal suavizada que pasa por los picos

positivos de s(t) y puede ser vista al modular la amplitud de la onda portadora relativa a

m(t). En general, en radiodifusin AM, ( )tmka es ajustado de la siguiente manera ( ) 01 + tmka para todo t (2.7-4)

Para este caso la envolvente es

( ) ( )[ ]tmkAte ac += 1 (2.7-5)

46

Entonces m(t) se puede obtener a partir de la envolvente, a los receptores que

poseen esta propiedad se les conoce como demoduladores no coherentes, porque no se

generan frecuencias en el receptor o las frecuencias utilizadas para la demodulacin son

completamente independientes de la frecuencia o fase de la onda portadora del transmisor.

2.7.1.1 Espectro de una seal AM

Suponga que la seal de banda base m(t) tiene como transformada de Fourier ( )M y ( ) 0=M para W . Es una seal pasobajo con frecuencia de corte W. La transformada de Fourier de la seal transmitida s(t), es

( ) ( ) ( ) ( ) ( )caccaccccc MkAMkAAAS +++++= 22 (2.7-6)

En la expresin anterior se identifican seales de cuatro frecuencias diferentes, dos

de amplitud cA y frecuencia c y c , que corresponde a la portadora y cuya amplitud y frecuencia no dependen de la seal moduladora. Las otras dos seales tienen frecuencias

( )c + y ( )c , separadas por debajo y arriba de la portadora por , cada una de amplitud 2ackA .

Para frecuencias positivas la parte del espectro por encima de c y para frecuencias

negativas la parte del espectro por debajo de -c se denomina banda lateral superior (USB,

acrnimo en ingls de Upper Side Band) y para frecuencias positivas la parte del espectro

por debajo de c y para frecuencias negativas la parte del espectro por encima de -c se

47

denomina banda lateral inferior (LSB, acrnimo en ingls para Lower Side Band). La

condicin c > W asegura que las bandas laterales inferiores (la positiva y la negativa) no

se solapen.

Para frecuencias positivas, la componente frecuencial superior es ( )Wc + y la inferior ( )Wc . La diferencia entre ambas define el ancho de banda de transmisin de la seal AM que se representa mediante Br y viene dado por la siguiente ecuacin

WBr 2= (2.7-7)

Figura 2.15 Espectro de una seal AM

48

2.7.2 Demodulacin de una seal AM capturando la envolvente

Un circuito anlogo, muy simple y conocido como detector de envolvente es usado

comnmente en los radios para demodular seales AM. Este circuito esta implementado

por un diodo, capacitores y resistencias, es un seguidor de picos de la onda AM. Existen

dos mtodos para la deteccin de la envolvente de gran importancia en el procesamiento

digital de seales. El primer mtodo se conoce como ley cuadrtica y el segundo mtodo

utiliza la transformacin de Hilbert para crear algo llamado la envolvente compleja.

2.7.2.1 Demodulacin de seales AM utilizando la ley cuadrtica

El diagrama de bloques de la ley cuadrtica se muestra en la figura 2.16. La entrada

s(t) tiene la forma de una seal AM dada por (2.7-1). Se asume que la seal banda base es

una seal pasobajo con frecuencia de corte W. El primer bloque da como resultado

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ttmkAtmkAttmkAts cacaccac 2cos15.015.0cos1 222222222 +++=+= (2.7-8) El primer trmino del lado derecho de la ecuacin es una seal pasobajo excepto

que la frecuencia de corte se aument en 2W. El segundo trmino tiene un espectro

centrado en c2 . Para frecuencias positivas, este espectro se encuentra dentro del intervalo ( )WW cc 22,22 + . Para que el detector funcione correctamente, los espectros de estos dos trminos no deben solaparse. Esto se logra si

WorWW cc 2222 >< (2.7-9)

49

De acuerdo a lo anterior, la seal AM tiene la banda lateral con una frecuencia de

corte de ( )Wc +2 . Por consiguiente, la entrada s(t) debe ser muestreada a una tasa de al menos ( )Wc +4 para prevenir prdidas y el filtro pasobajo H() debe operar con muestras tomadas de la tasa de muestreo de s2(t). La salida del filtro pasobajo tiene su

banda lateral en el ancho de banda Nyquist de corte 2W .

Figura 2.16 Detector de envolvente (Ley Cuadrtica)

El filtro H() es un filtro pasobajo ideal con una frecuencia de corte 2W de manera

que su salida es ( )[ ]22 15.0 tmkA ac + . La caja final del diagrama de bloques del detector se encarga de obtener la raz cuadrada de la salida del filtro y da como resultado una seal que

es proporcional a m(t) con un nivel DC. En muchos casos, la seal que se desea transmitir

no tiene componentes de espectro cerca de la frecuencia cero y el nivel DC puede ser

eliminado utilizando un filtro pasoalto.

50

2.8 Nota terica laboratorio de modulacin DSBSC-AM1

Puesto que es indispensable que en el receptor se reinserte la portadora exactamente

a la misma frecuencia y fase de la portadora utilizada para modular la seal en el

transmisor, en el receptor slo sera necesaria una muestra o piloto de esa portadora, de

nivel suficiente para sincronizar o enganchar la frecuencia de un oscilador local. En estas

condiciones, no es necesario transmitir la portadora con toda su potencia y basta, como se

mencion con transmitir slo una muestra de ella. Esto hace posible transmitir la seal

modulada en amplitud slo con la potencia requerida para la seal de informacin y

permite reducir de manera importante la potencia del transmisor con la consiguiente

reduccin del costo de operacin. Este razonamiento da lugar a la posibilidad de transmitir

slo las dos bandas laterales con, o sin un piloto de la portadora. Si no se transmite este

piloto, la complejidad del receptor aumenta ya que el oscilador local no tiene una referencia

precisa para sincronizarse, aunque es posible, a expensas de circuitos ms complejos. A

este tipo de modulacin se le conoce como modulacin de amplitud con portadora

suprimida de doble banda lateral (DSBSC-AM, acrnimo en ingls para double-sideband

suppressed-carrier amplitude modulation).

2.8.1 Descripcin matemtica de una seal DSBSC-AM

Sea m(t) la seal que se desea transmitir. La seal DSBSC-AM obtenida a partir de

m(t) es 1 Tretter, S. A. Communication System Design Using DSP Algorithms. Primera Edicin, Kluwer Academic / Plenum Publishers, New York, Estados Unidos, 2003.

51

( ) ( ) ttmAts cc cos= (2.8-1) Esta es la misma seal AM excepto que con la componente sinusoidal de la

portadora eliminada. Usualmente la seal m(t) que se transmite posee valores positivos y

negativos que no pueden ser recuperados por medio de un detector de envolvente. Un

mtodo de demodulacin llamado demodulacin coherente es utilizado para este caso de

seales. Luego la transformada de Fourier de s(t) es

( ) ( ) ( )cccc MAMAS ++= 5.05.0 (2.8-2) De la ecuacin anterior se puede notar que es el mismo espectro de una seal AM

pero sin el valor discreto de la frecuencia de la portadora. Tal y como se muestra en la

figura 2.18, en este caso el proceso de modulacin simplemente traslada la seal

moduladora a las frecuencias c . Se tienen las dos bandas laterales sin portadora. En este caso el ancho de banda de la seal moduladora es WB 2= y la eficiencia en potencia

1= . La parte del espectro para c > se le conoce como banda lateral superior (USB,

acrnimo en ingls de Upper Sideband) y la parte del espectro para c < se le conoce

como la banda lateral inferior (LSB, acrnimo en ingls para Lower Sideband).

2.8.2 El receptor coherente ideal

El diagrama de bloques de un receptor coherente ideal se muestra en la figura 2.17.

Primero la seal recibida se pasa a travs de un filtro pasabanda centrado a la frecuencia de

52

la portadora de tal manera que pase la seal DSBSC y elimine el ruido. La salida del filtro

pasabanda luego es multiplicado por una rplica de la onda portadora. Esta replica es

generada por un dispositivo llamado oscilador local (LO, acrnimo en ingls para Local

Oscilator). Suponiendo una seal sin ruido, el producto de esa multiplicacin es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ttmAtmAttmAttsts cccccc 2coscos2cos2 21 +=== (2.8-3) El dispositivo que es capaz de obtener el resultado anterior se le conoce como

modulador balanceado.

Figura 2.17 Diagrama de bloques de un Receptor Coherente Ideal

La transformada de Fourier de la salida del modulador balanceado es

( ) ( ) ( ) ( )ccccc MAMAMAS 25.025.01 +++= (2.8-4) y se muestra en la figura 2.18(c). El primer trmino a mano derecha de la ecuacin

(2.8-3) es proporcional a la seal transmitida. El segundo trmino tiene los componentes

del espectro centrados alrededor de c2 y c2 , los cuales se pueden ver en ( )1S . Las

53

altas frecuencias no deseadas son eliminadas finalmente por el filtro pasobajo con

frecuencia de corte W.

Figura 2.18 Espectro de una seal DSBSC-AM

54

2.8.3 Lazo de Costas: tcnica prctica para demodulacin coherente

Un receptor debe tener un perfecto conocimiento de la frecuencia de portadora y la

fase de la seal DSBSC-AM, para lograr una demodulacin coherente exacta. Sin embargo,

estos parmetros pueden ser estimados con certeza por el receptor por medio de

dispositivos llamados circuito de lazo por enganche de fase (PLL, acrnimo en ingls de

phase-locked loops), y as poder obtener una demodulacin coherente. Un mtodo para

obtener un sistema receptor adecuado para demodular seales DSBSC-AM se denomina

lazo de costas, el cual es una modificacin de un tipo de PLL. Un esquema de dicho

receptor se puede ver en la figura 2.19. Esta forma est particularmente diseada para

aplicaciones de DSP, por tanto las seales que se muestran son seales discretas con un

perodo de muestreo T.

Figura 2.19 Diagrama de bloques del demodulador de lazo Costas

55

En general, la seal despus de pasar por el filtro pasabanda tiene la forma

( ) ( ) ( )1cos += nTnTmAnTs cc (2.8-5) donde c es frecuencia nominal de la portadora y 1 es una constante o un cambio

muy lento de fase. Cuando existe una diferencia en frecuencia entre la frecuencia nominal y

las frecuencias de la portadora, ya sea por una mala calibracin en el transmisor o el

oscilador local del receptor, 1 toma la forma

+= nT1 (2.8-6)

donde es la diferencia en frecuencia y es una constante de fase.

El primer paso de este sistema, es formar la envolvente compleja

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ++ =+= nTjc cenTmAnTsjnTsnTs ) (2.8-7) Las lneas slidas y punteadas paralelas en la figura 2.19 representan seales

complejas, donde las lneas slidas corresponden a la parte real y las lneas punteadas a la

parte imaginaria.

El sistema genera un ngulo estimado ( )nT de la seal recibida, el cual puede ser expresado como

( ) ( )nTnTnT c 2 += (2.8-8) Este ngulo es luego pasado por el bloque con el exponencial complejo para dar

lugar a la seal del oscilador local ( )nTje .

56

La seal del oscilador local es multiplicada por la envolvente compleja dando como

resultado

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nTjcnTj enTmAenTsnTc 21 + == (2.8-9) Esta seal es separada en su parte real e imaginaria, tal y como se muestra

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]nTnTmAnTc

nTnTsnTnTsenTsmnTc

nTnTmAnTcnTnTsnTnTsenTsenTc

c

nTj

c

nTj

212

2

211

1

sinsincos

cossincos

===

=+==

+

+

)

)

(2.8-10)

Se dice que el lazo est enganchado cuando el error de fase 21 se mantenga pequeo. Cuando el error es exactamente cero, la seal inicial demodulada aparecer en el

punto llamado m1(nT) del diagrama de bloques, de esta manera ( ) ( )nTmnTc 11 = y ( ) 02 =nTc .

Luego cuando se multiplica la parte real por la parte imaginaria se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]{ }nTnTmAnTq

nTnTnTmAnTcnTcnTq

c

c

2122

212122

21

2sin5.0

sincos

===

(2.8-11)

Se puede notar que cuando 1 y 2 difieren en menos de 90 grados, ( )nTq tiene el mismo signo del error de fase, el cual indica en cual direccin la fase local que determina

2 se puede cambiar para reducir el error de fase hasta tender a cero. Cuando el lazo est

57

enganchado, el ngulo de aproximacin xx sin puede ser utilizado para aproximar con exactitud a ( )nTq

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 1para 212122

58

cuando existe una diferencia en frecuencia entre las frecuencias de la seal recibida y la

portadora. Este bloque junto con los dems bloques introduce un polo de segundo orden en

z = 1 en el lazo abierto el cual es equivalente a un adelanto doble en el dominio del tiempo.

El lazo Costas es un sistema no lineal y variante en el tiempo debido a los trminos

( )sin y ( )nTm2 presentes en ( )nTq . Debido a esto, el sistema no puede ser caracterizado por una funcin de transferencia. Sin embargo, cuando ( )nTm es un proceso estacionario y el lazo est enganchado, se puede aproximar con exactitud un sistema lineal e invariante en

el tiempo usando la aproximacin (2.8-12) y reemplazando ( )nTm2 por cierto valor constante. Al hacer este reemplazo se justifica el hecho de que los lazos de filtrado acten

como filtros pasobajos en ( )nTq . Entonces sea ( ){ }nTmEAk c 221 = (2.8-16)

y una aproximacin de ( )nTq por ( ) ( )[ ]nTknTq 211 (2.8-17)

Con estas ecuaciones aproximadas se puede representar el lazo linealizado en la

figura 2.20. La funcin de transferencia ahora se puede obtener, y es la siguiente

( ) ( )( )( )( )[ ] ( ) 2111

11

1

2

121

1

++

++==

zkzk

zk

zzzH

(2.8-18)

59

La respuesta en frecuencia se puede obtener por medio de Tjez = y tiene la forma de un filtro pasobajo muy estrecho para valores pequeos de y . La ganancia en lazo

cerrado con frecuencia igual a cero es ( ) 11 =H .

Figura 2.20 Diagrama de bloques del Lazo Costas linealizado

60

2.9 Nota terica laboratorio de modulacin SSB1

Los tipos de modulacin AM y DSBSC-AM no utilizan eficientemente el espectro

de frecuencia. Al analizar el espectro se encuentra que an hay redundancia ya que las dos

bandas alrededor de la frecuencia de corte son simtricas. El objetivo es demostrar que una

seal puede ser transmitida tan solo utilizando una de las dos bandas, ya sea la banda

inferior o la banda superior, y por tanto utiliza tan solo la mitad del ancho de banda

respecto a AM y DSBSC-AM. Este tipo de modulacin se le conoce como modulacin de

banda lateral nica (SSB, acrnimo en ingls para Single Sideband). Este mtodo de

modulacin es utilizado extensamente en los sistemas de comunicaciones.

2.9.1 Moduladores SSB

Un modulador SSB se muestra en la figura 2.21. Sea m(t) la seal de banda base

que se desea transmitir con una frecuencia de corte W, la cual es menor a la frecuencia de la

portadora c . La primera etapa de modelo genera una seal DSBSC-AM

( ) ( ) ttmAta cc cos= (2.9-1) a la cual se le aplica la transformada de Fourier

( ) ( ) ( )cccc MAMAA ++= 5.05.0 (2.9-2) y est centrada alrededor de la frecuencia portadora c .


61

Luego la seal DSBSC-AM se pasa a travs de un filtro ( )H que elimina o selecciona una de las bandas laterales. La banda lateral superior se selecciona utilizando un

filtro pasoalto ideal

( ) >=

otrocualquier0para1

supcH

(2.9-3)

y la banda lateral inferior se selecciona utilizando un filtro pasobajo ideal

( )

62

para el caso de la banda lateral superior. Sustituyendo ( )supH por ( )H en la ecuacin (2.9-6), se puede notar que

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

MAjMAsignjjMAS

signMAuMAS

ccc

cc

5.05.015.015.0

+=+=+==

(2.9-7)

Entonces la envolvente compleja es

( ) ( ) ( )[ ]tmjtmAts c 5.0~ += (2.9-8) Por consiguiente la seal SSB puede expresarse como

( ) ( ){ } ( ) ( ) tsentmAttmAetsets cccctj c 5.0cos5.0~ == (2.9-9) Similarmente para el caso de la banda lateral inferior, al seguir el mismo desarrollo

se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

MAjMAsignjjMAS

signMAuMAS

ccc

cc

5.05.015.015.0

====

(2.9-10)

Por consiguiente, la envolvente compleja

( ) ( ) ( )[ ]tmjtmAts c 5.0~ = (2.9-11) De esta manera la correspondiente seal SSB es

( ) ( ){ } ( ) ( ) tsentmAttmAetsets cccctj c 5.0cos5.0~ +== (2.9-12) A partir de las ecuaciones (2.9-9) y (2.9-12) se puede obtener la estructura del

modulador SSB mostrado en la figura 2.22.

63

Figura 2.22 Modulador SSB utilizando la transformada de Hilbert

2.9.2 Demodulacin coherente de seales SSB

Para demodular seales SSB, existe una tcnica conocida, la cual consiste en

multiplicar la seal por una rplica de la seal portadora. Al multiplicar la ecuacin (2.9-9)

o (2.9-12) por tccos2 se obtiene

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ttmAttmAtmAtb

tttmAttmAtb

ccccc

ccccc

2sin5.02cos5.05.0cossincos2

mm

+==

(2.9-13)

El primer trmino del lado derecho de la ecuacin anterior es proporcional a la seal

que desea transmitir. El segundo y tercer trmino tienen un espectro centrado en c2 y pueden ser removidos haciendo pasar la seal ( )tb a travs un filtro pasobajo con una frecuencia de corte W. El efecto en el dominio de la frecuencia, al multiplicar por tccos en el dominio del tiempo, es mover el espectro ( )S hacia la derecha y hacia la izquierda

64

por c . De esta manera se trasladan las bandas laterales c alrededor de la frecuencia de ( )tm , con ello se forma ( )M con el trmino deseado y tambin traslada las bandas

laterales c2 , las cuales son los trminos removidos por el filtro pasobajo. Este demodulador posee el mismo diagrama de bloques de la figura 2.21, excepto que en lugar

de la seal a transmitir ( )tm se pone la seal recibida ( )ts y el bloque ( )H por un filtro pasobajo. En la prctica, a la entrada de este sistema se coloca un filtro pasabanda para

eliminar ruido que se adhiere a la seal modulada.

Otra forma para demodular seales SSB est basado en la utilizacin de la

transformada de Hilbert. El primer paso es tomar la transformada de Hilbert de la seal

recibida ( )ts . Usando la ecuacin (2.9-8) y (2.9-11), se obtiene ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] tjctj cc etmjtmAetstsjtsts 5.0~ ==+=+ (2.9-14)

en donde el signo positivo es para el caso de la banda lateral superior y el negativo

es para el caso de la banda lateral inferior. Ahora al multiplicar la expresin por tj ce se

genera la envolvente compleja

( ) ( ) ( ) ( )[ ]tmjtmAetsts ctj c 5.0 == + (2.9-15) En el dominio del tiempo esto sign

matlab pam

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