matlab sunum

8/3/2019 Matlab Sunum

1/204

BLM 99 FREKANS ALANI ANALZ

Sistemlerin frekans alan analizinde, zaman deiimiyerine frekans deiimine karlk gelen modl ve fazas deiimleri incelenir. Frekans alan cevaberilerinden sistemlerin alma frekans aralyannda kararllk durumlarnda zmlenir. Frekansalan cevabnda;

- Bode Diyagram- Nyquist Diyagram- Nichols Diyagram

yntemleri kullanlr.Frekans alan zmleme ilemi; giri sinzoidalfrekansna karlk bir transfer fonksiyonun genlik oran

ve faz as deerlerinin hesaplanmasndan ibarettir..


2/204

9.1 Bode DiyagramBode diyagram, frekans deiimine kar izilen genlik oran ve

faz as erilerinden oluur. Bunlarda genellikle frekansdeerleri yatay eksende logaritmik lekte, genlikler orannn10 tabanna gre logaritma deeri dey eksende normallekte yer alr. 10 tabanna gre genlik oran logaritmasnnok kk olmasndan dolay, genellikle bunun 20 kat olandesibel (dB) cinsinde deerler yer alr.

MATLAB da bode diyagramlarnn izilmesi iin bodefonksiyonu kullanlmaktadr. Kullanm biimi aada olduugibidir.

bode(sys)bode(sys,w)

[mag,phase,w] = bode(sys) (sys,w)


3/204

sys transfer fonksiyonu, sfr-kutup-kazan veya durum

denklemi olan bir dorusal zamanla deimeyen bir sistemdir.

w bode diyagramnn iziminde kullanlacak frekansdeikenlerinin atand vektrdr.

mag sistemin frekans cevabnn atand deikendir.

phase derece cinsinden alarn atand deiken.


4/204

rnek 1: Transfer fonksiyonu aada verilen sistemin bodediyagramn iziniz.

zm :

>> sys=tf([1],[1 1/2 1])

Transfer function:1

---------------s^2 + 0.5 s + 1

>> bode(sys)


5/204

Bode Diyagram

ekil 9.1 rnek 1deki bode fonksiyonu grafii


6/204

ekil 9.1de grld gibi stteki grafik sistemin genliini, alttakigrafik ise sistemin fazn gstermektedir. Grld gibi x eksenifrekans gstermekte logaritmik olarak artmaktadr. Faz derece

cinsinden, genlik ise olarak desibel cinsinden ifade edilmektedir.

rnek 2 : Yukarda rnek 1de verilen transfer fonksiyonunungenlik ve faz deerlerinin elde ediniz.

zm :

>> bode(sys)

>> [mag,phase]=bode(sys)

Yukardaki komut satrlarnn icras ile MATLAB 50 deerli genlik vefaz deerlerini ieren iki vektr oluturur. Aada olduu gibi.


7/204

mag(:,:,1) = mag(:,:,7) = mag(:,:,13) = mag(:,:,19) =

10.088 10.372 11.694 15.746

mag(:,:,2) = mag(:,:,8) = mag(:,:,14) = mag(:,:,20) =

10.112 10.475 12.223 16.834

mag(:,:,3) = mag(:,:,9) = mag(:,:,15) = mag(:,:,21) =

10.142 10.608 12.404 17.950

mag(:,:,4) = mag(:,:,10) = mag(:,:,16) = mag(:,:,22) =

10.180 10.781 13.065 19.003

mag(:,:,5) = mag(:,:,11) = mag(:,:,17) = mag(:,:,23) =

10.229 11.006 13.843 19.879

mag(:,:,6) = mag(:,:,12) = mag(:,:,18) = mag(:,:,24) =

10.292 11.301 14.740 20.457


8/204

mag(:,:,25) = mag(:,:,31) = mag(:,:,37) = mag(:,:,43) =

20.656 10.941 0.2633 0.0547

mag(:,:,26) = mag(:,:,32) = mag(:,:,38) = mag(:,:,44) =

20.422 0.8714 0.1990 0.0428

mag(:,:,27) = mag(:,:,33) = mag(:,:,39) = mag(:,:,45) =

19.588 0.6818 0.1518 0.0335

mag(:,:,28) = mag(:,:,34) = mag(:,:,40) = mag(:,:,46) =

18.042 0.5260 0.1167 0.0263

mag(:,:,29) = mag(:,:,35) = mag(:,:,41) = mag(:,:,47) =

15.884 0.4007 0.0903 0.0207

mag(:,:,30) = mag(:,:,36) = mag(:,:,42) = mag(:,:,48) =

13.407 0.3531 0.0702 0.0163


9/204

mag(:,:,49) = phase(:,:,5) = phase(:,:,11) = phase(:,:,41) = phase(:,:,47) =

0.0128 -47.050 -103.247 -1.710.246 -1.758.401

mag(:,:,50) = phase(:,:,6) = phase(:,:,12) = phase(:,:,42) = phase(:,:,48) =

0.0101 -53.288 -119.532 -1.721.594 -1.763.180

phase(:,:,1) = phase(:,:,7) = phase(:,:,13) = phase(:,:,43) = phase(:,:,49) =

-28.913 -60.459 -139.558 -1.731.250 -1.767.383

phase(:,:,2) = phase(:,:,8) = phase(:,:,14) = phase(:,:,44) = phase(:,:,50) =

-32.617 -68.750 -164.787 -1.739.541 -1.771.087

phase(:,:,3) = phase(:,:,9) = phase(:,:,39) = phase(:,:,45) =

-36.820 -78.406 -1.680.468 -1.746.712

phase(:,:,4) = phase(:,:,10) = phase(:,:,40) = phase(:,:,46) =

-41.599 -89.754 -1.696.753 -1.752.950


10/204

Band genilii (Bandwidth) : Sistemin genliinin 0.707 yada3dB olduu andaki frekans deerine band genilii denir.

rnek 3 : rnek 1de verilen sistemin band geniliinibulunuz. [7]

zm : ncelikle sistemin genlik ve faz deerleri bulunur.Bulunan deerlerle bir grafik izilir ve 0.707ye gelen genlikdeerinden frekans deeri elde edilir. Buda sistemin band

geniliini verir. ekil 9.3te grld gibi.

>> numG = 1;>> denG = [1 0.5 1];

>> [m,p,w]=bode(numG,denG);>> loglog(w,m);

>> axis([0.1 10 0.01 10]);

>> grid;


11/204

ekil 9.2 Kazan Paynn bode diyagram zerinde bulunmas


12/204

Kazan pay (Gain margin) : Bir sistemin giriiylek arasndaki faz farknn 180 olduuandaki genlikler oran tersidir. ekil 9.3de GMolarak ifade edilen deer kazan paydr.

Aada da grld gibi faz asnn -180olduu deerden genlik grafiine bir dikizildiinde elde edilen genlik deerininsfrdan kartlmasyla GM elde edilir.


13/204

ekil 9.3 Kazan Paynn bode diyagram zerinde bulunmas


14/204

Faz pay (Phase margin) : Bir sistemin giriiyle k arasndaki faz farknn 180olduu andaki frekans deeridir.

ekil 9.4 Faz Paynn bode diyagram zerinde bulunmas


15/204

ekil 9.4te grlen PM sistemin faz payn ifade

etmektedir. PM, genlik deerinin sfr olduu andakia deerinin, 180 a deeri ile arasndaki farktr.

rnek 4 : Transfer fonksiyonu aada verilen sisteminkazan ve faz paylarn bulunuz.

)2)(1(

1)(

ssssG


16/204

zm : >> sys=zpk([],[0 -1 -2],1)

Zero/pole/gain:1

-------------

s (s+1) (s+2)

>> [qm,pm,wcg,wcp]=margin(sys)

qm = 6.0000

pm = 53.4109

wcg = 1.4142

wcp = 0.4457

Sistemin wcg ve wcp frekanslarndaki gm(kazan pay) ve qm (faz pay) deerlerini

gsterir.Ayn sonucun grafiksek olarak bulunmas uekilde olur.

>> margin(sys)


17/204

Yukarda ki komut satr iletildiinde aadaki grafik oluur.

ekil 9.5 rnek 4teki margin fonksiyonunun grafii


18/204

Nyquit diyagram frekans deiimlerine karlk gelen modl ve faz as

deiimlerinin erisini verir. The Control System Toolboxta yer alan nyquistfonksiyonu bir frekans cevab fonksiyonu olup, bode fonksiyonundakullanlan giri argmanlarn kullanr. ki fonksiyon arasndaki fark kargmanlardr. Nyquist fonksiyonu farkl frekans deerleri iin ak dngtransfer fonksiyonunun sanal bileenine karlk gelen gerek bileeninerisini izer. Nyquist erisi genellikle kararllk zmlemesi iin kullanlr.

Kullanm biimi aada olduu gibidir.

nyquist(sys)

nyquist(sys,{wmin,wmax})

[re,im]=nyquist(sys,w)

9.2 Nyquist Diyagram


19/204

sys transfer fonksiyonu, sfr-kutup-kazan ve durumdenklemi alan bir sistem.

wmin,wmax nyquist iziminin oluturulacamaksimum ve minimum frekans deerleri

re frekans cevabn oluturan gerek (real) ksmlar

im frekans cevabn oluturan sanal (imajiner)

ksmlar

rnek 5 : Aada transfer fonksiyonu verilen sistemin nyquistdiyagramn iziniz.

)32()1()2(7)(

22

sssssT


20/204

zm : >> sys1=zpk(-2,[1 1],7)

Zero/pole/gain:7 (s+2)-------

(s-1)^2

>> sys2=tf(1,[1 2 3])

Transfer function:1

-------------s^2 + 2 s + 3

>> sys=sys1*sys2

Zero/pole/gain:7 (s+2)

----------------------(s-1)^2 (s^2 + 2s + 3)

>> nyquist(sys)>> grid on>> title('Nyquist diyagrami')


21/204


22/204

rnek 6 : Durum denklemi deikenleri aada verilen sistemin nyquist diyagramn

iziniz.

ekil 9.6 rnek 5deki nyquist fonksiyonunun izimi


23/204

zm :>> A=[1 -1;2 1];>> B=[0 ;1];

>> C=[1 0]; >> D=0; >> sys=ss(A,B,C,D)

a = x1 x2 x1 1 -1 x2 2 1 b =

u1 x1 0 x2 1 c = x1 x2 y1 10 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model. >> nyquist(sys)


24/204

Yukardaki komut satrlarnn icras ile ekil 9.7teki grafik izilir.

ekil 9.7 rnek 2deki nyquist fonksiyonunun izimi


25/204

Argman ilkesi : Bu ilke ile nyquist diyagramnabakarak sistemin kararl olup olmadn syleyebiliriz.

Argman ilkesi (9.1) denkleminde ifade edilmektedir.Argman ilkesine gre bir sistem iin Z = 0 (sfr) ise

sistem kararldr denir. Z 0 ise sistem kararszdr. [4]

N=Z-P

N : Nyquist diyagramnda (-1)i evreleme says . Saatynnde evreleme pozitif, tersi olan evreleme negatifalnr ve toplam Nyi verir.

Z : Kapal sistemin transfer fonksiyonunun sa yarmkredeki kutuplarnn says

P : G(s)H(s)nin ak evrim kutuplarnn says


26/204

evreleme : Bir karmak fonksiyon dzleminde eer birnokta yada blge kapal bir yolun iinde bulunuyorsao nokta yada blgeye evrelenmi denir.

Kapsama : Kapal bir yol tarafndan evrelenen noktayada dzlem iin evreleme ynnn solunda kalanblge kapsanm blgedir.

rnek 7 : Ak evrim transfer fonksiyonu aadaverilen sistemin nyquist diyagramn izin ve kararlolup olmadn bulun.

127

2410)(

2

2

ss

sssG


27/204

zm : Z = P + N denklemi yoluyla kararllk test edilecektir. Bunun iin ncesistemin ak evrim transfer fonksiyonunun kutuplar saysna baklr.

>> roots([1 -7 12])

ans = 4 3

Yukarda grld gibi N=2dir.

Bundan sonra sistemin nyquist diyagram izilir ve (-1) evreleme saysna baklr.

>> sys=tf([1 10 24],[1 -7 12])

Transfer function: s^2 + 10 s + 24 --------------- s^2 - 7 s + 12

>> nyquist(sys)


28/204

ekil 9.8 rnek 7daki nyquist fonksiyonu grafii

ekil 9.8 de de grld gibi (-1) noktas saatin tersi ynnde iki kere

evrelenmitir. Bu yzden N=-2dir.

Z=P+N denkleminden Z=0 olduu grlr. Bu sistemimizin kararlolduunu gstermektedir.


29/204

rnek 8 : Yukardaki rnekte sistemimizin kazanc 1 kabul edildiini varsayarsak kazancn100 deeri iin nyquist diyagramn elde ediniz.zm :>> nyquist(sys*100)

ekil 9.9 rnek 8deki nyquist fonksiyonu

ekil 9.9 de de grld gibi sistemin kazanc arttrldnda sisteminkararll deimemektedir.


30/204

rnek 9 : Yukardaki rnekte sistemimizin kazanc 1 kabul edildiini varsayarsakkazancn 0.5 deeri iin nyquist diyagramn elde ediniz.zm :>> nyquist(sys*0.5)

ekil 9.10 rnek 9deki nyquist fonksiyonu grafii

ekil 9.10 da da grld gibi sistemin kazanc azaltldnda sisteminkararll deimektedir.


31/204

9.3 Nichols Aba

G(jw) Nyquist yer erisinde kutupsal koordinatlardaalmann en nemli sakncas, sistemde evrim kazancnndeitirilmesi gibi basit bir ilem yapldnda, erinin ilk zgnbiimini korumamasdr. Tasarmda genellikle, evrim kazancndeitirmek gerektii gibi sisteme seri kontrolrlerde eklemekgerekebilir. Bu durumda sistemin nyquist diyagram yenidenizilmelidir. Mr ve BG ile ilgili tasarm ilemlerinde G(jw)nngenlik-faz erisi ile almak kolaylk salar, nk evrimkazanc deitirildiinde tm G(jw) erisi deiiklieuramadan yukar aa kayar. G(jw)nn faz zellii kazantanbamsz deitirildiinde ise genlik-faz yer erisi sadece yatay

dorultuda etkilenir.


32/204

MATLAB da nichols abann izimini salayan fonksiyon

nichols dur. Kullanm biimi aada olduu gibidir.

nichols(sys)

nichols(sys,w)

[mag,phase] = nichols(sys,w)

mag frekans cevab genlik deerlerinin atand deikendir

phase frekans cevab faz deerlerinin atand deikendir


33/204

rnek 10 : Transfer fonksiyonu aada verilen sistemin nichols diyagramniziniz.

zm :>> num = [-4 48 -18 250 600];>> den = [1 30 282 525 60];>> sys = tf(num,den)

Transfer function:-4 s^4 + 48 s^3 - 18 s^2 + 250 s + 600--------------------------------------s^4 + 30 s^3 + 282 s^2 + 525 s + 60

>> nichols(sys); ngrid


34/204

Yukardaki komut satrlar iletildiinde ekil 9.11 grafii izilir.

ekil 9.11 rnek 10daki nichols fonksiyonu grafii


35/204

BLM 10

10 MATLAB DA PID TASARIMI

Kapal dng denetim sistemi iki blmden olumaktadr. Birincisi denetlenensistem, ikincisi ise kontrolrdr.

R+

-

eKontrolr

uT(s)

C

Kontrolrlerde kullanlan belli bal denetim etkileri unlardr;-Orant denetim etkisi (P etki)-ntegral denetim etkisi (I etki)-Trev (Differansiyel) denetim etkisi (D etki)


36/204

Bu temel denetim etkilerinin bir yada birkann bir arada kullanlmasyla

eitli kontrolr sistemleri elde edilebilir. PID kontrolr de bunlardanbiridir. Yukarda ki denetim etkisinin birleimiyle oluan kontrolre PIDdenir. PID kontrol seri bal PI ve PD ksmlarndan oluur. PIDkontrolrnn transfer fonksiyonu aadaki ekilde yazlabilir.

: Oransal kazan

: ntegral kazanc

: Trev kazanc

s

KsKsKsK

s

KK IPDD

IP

2


37/204

10.1 P, I ve D Kontrolrlerin zellikleri

Tablo 10.1 P, I ve D denetim etkilerinin temel karakteristik zelliklerini

iermektedir. Genellikle bu tablo sistemlerde dorulanmakla beraberbazen baz sistemler farkl sonular verebilir, nk Kp, Ki ve Kd birsistemde birbirlerini etkileyen elementlerdir.

Tablo 10.1 P,I ve D karakteristik zellikleri

Kazan Ykselme zaman Am Yerleim zaman Kalc-durum hatas

Kp Azalr Artar Etkisi az Azalr

Ki Azalr Artar Artar Kaldrr

Kd Etkisi az Azalr Azalr Etkisi az


38/204

rnek 10.1 : Aada verilen sistemi MATLAB ortamnda znz. K sisteminkontrolrdr.

RK

2010

12

ss

C

zm :ncelikle, K=1 iken, yani sistemimizin kontrolr etkisi olmadan nasl bir

basamak cevab olduunu grelim

>> sys=tf([1],[1 10 20])

Transfer function:1

---------------s^2 + 10 s + 20

>> step(sys)


39/204

ekil 10.1 rnek 1deki sistemin K=1 iin birim basamak cevab

ekil 10.1de grld gibi transfer fonksiyonumuzun kazanc 0.05 dir.

Bu, girii birim basamak olan bir sistemin kdr. Sistemin kalc halhatas yaklak 0.95 dir. Ykselme zaman (the rise time) yaklak 1saniyedir. Yerleme zaman (the settling time) 1.5 saniyedir.


40/204

Oransal kontrol (P etki)

Oransal kontrolrn transfer fonksiyonu sabit bir say eklindedir ve Kp

ile gsterilir. Oransal kontrol sistemin ykselme zamann azaltr ve kalcdurum hatasn azaltr, am arttrr.

rnek 2 : Transfer fonksiyonu yukarda verilen sistemin oransal kontrolrkullanlarak birim basamak cevabn elde ediniz.

zm : ncelikle oransal kontrolrle sistem aada olduu gibidir. Oransalkontrolr kazanc Kp=300 alnr.

R+

-Kp=300

2010

12

ssC


41/204

>> G=tf([1],[1 10 20]);

>> Kp=300;

>> Gc=G*Kp;

>> sys=feedback(Gc,1,-1)

Transfer function:

300

----------------

s^2 + 10 s + 320

>> step(sys)

Yukardaki komut satrlar icra edildiinde birim basamak cevab ekil10.2de olduu gibidir. Grafie bakldnda oransal kontrolrnkarakteristikleri grlecektir.


42/204

ekil 10.2 rnek 2deki sistemin Kp=300 iin birim basamak cevabekil 10.2 de grld gibi sistemin kazanc 1.3e ykselmitir. Am

artmtr. Bununla birlikte, sistemin ykselme zaman, yerleim zaman vekalc durum hatas azalmtr.


43/204

Orant-Trev Kontrol (PD etki)

Trev kontrol hatann trevini alarak bir kontrol sinyali retir. Dolaysylakalc durum hatas zerinde bir etkisi yoktur, nk sabit bir sinyalin trevisfrdr. Bu yzden, trev etki kontrolrlerde yalnz bana kullanlmaz dieretkilerle beraber kullanlr.

Orant-Trev kontrolrler her iki denetim etkisinin zelliklerini tarlar.Sistemin transfer fonksiyonu (10.2) denkleminde olduu gibidir.


44/204

rnek 3 : Transfer fonksiyonu rnek 1de verilen sistemin orant-trevkontrolr kullanlarak birim basamak cevabn elde ediniz.

zm : ncelikle orant-trev kontrolrle sistem aada olduu gibidir.Oransal kontrolr kazanc Kp=300 ve =10 alnr.

R

+

-)( sKK DP

2010

12

ss

C

Sistemin transfer fonksiyonu aada olduu gibidir.


45/204

Sistemin MATLAB da yazlm ve birim basamak cevab aada olduu gibidir.

>> Kp=300;

>> Kd=10;

>> sys=tf([Kd Kp],[1 (10+Kd) (20+Kp)])

Transfer function:

10 s + 300

----------------s^2 + 20 s + 320

>> step(sys)

Yukardaki komut satrlar icra edildiinde ekil 10.3teki grafik elde edilir.


46/204

ekil 10.3 rnek 3deki sistemin Kp=300 ve Kd=10 iin birim basamak cevab


47/204

Orant-ntegral Kontrolr (PI etki)

ntegral kontrolr, hata deeri sabit bir deerde kalmsa bu hataygidermek zere giderek artan bir kontrol sinyali reterek sistem knnreferans deere ulamasn salar. Hata sfr olduunda integral k dasfr olur.

Orant-Trev kontrolrler her iki denetim etkisinin zelliklerini tarlar.Sistemin transfer fonksiyonu (10.3) denkleminde olduu gibidir.

s

sKK PI )(


48/204


49/204


>> Kp=30;

>> Ki=70;

>> sys=tf([Kp Ki],[1 10 (20+Kp) Ki])

Transfer function:

30 s + 70

------------------------

s^3 + 10 s^2 + 50 s + 70

>> step(sys)


50/204

Yukardaki komut satrlar icra edildiinde ekil 10.4teki grafik elde edilir.

ekil 10.4 rnek 4deki sistemin Kp=30 ve =70 iin birim basamak cevab


51/204

Orant-ntegral-Trev Kontrolr (PID etki)

Orant-ntegral-Trev kontrolrler her denetim tr etkisininzelliklerini tarlar. Sistemin transfer fonksiyonu (10.1) denklemindeolduu gibidir.

rnek 5 : Transfer fonksiyonu rnek 1de verilen sistemin orant-integral-trevkontrolr kullanlarak birim basamak cevabn elde ediniz.

zm : ncelikle orant-integral kontrolrle sistem aada olduu gibidir.Orant kontrolr kazanc Kp=350 , =300 ve =50 alnr.

s

KsKsK IPD 2

2010

12

ss


52/204

Sistemin transfer fonksiyonu aada olduu gibidir.


>> Kp=350;>> Ki=300;>> Kd=50;>> sys=tf([Kd Kp Ki],[1 (10+Kd) (20+Kp) Ki])

Transfer function:50 s^2 + 350 s + 300

--------------------------

s^3 + 60 s^2 + 370 s + 300

>> step(sys

IPD

IPD

KsKsKs

KsKsKsT

)20()10()(

23

2


53/204

Yukardaki komut satrlar icra edildiinde ekil 10.5teki grafik eldeedilir.

ekil 10.5 rnek 5deki sistemin Kp=350 , =300 ve =50 iin birim basamak

cevabekil 10.5te grld gibi am ve kalc hal hatas ortadan kalkmtr.Ykselme zaman ise ok kktr.


54/204

BLM 11

11 SMULNK'E GR

11.1 Temel Bilgiler

Simulink, MATLAB'n bir uzants olup, blok diyagramlarla dorusal vedorusal olmayan dinamik sistemlerin simlasyonunda menlerle alanbir grafik arayz kullanr. Bir blok diyagram, genellikle bir giri, sistemin

kendisi ve bir ktan ibarettir. Blok diyagramnn grafik gsterimi ekil11.1de gsterilmitir.

giri, x Sistem,y=f(x) k, y

ekil 11.1 Simulinkte blok diyagram gsterimi


55/204

Simulink, kullancnn karmak sistemlerin modellerini

zahmetsizce kurmasna ve onlar dorudan bir MATLABprogram yazp hatalarn dzeltmek zorunda kalmaksznanalizine imkan tanr. Simulink, MATLAB ile birliktealtrlmasna ramen, MATLAB komutlarnn programlarnnveya programlama kurallarnn ok iyi bilinmesini gerektirmez.Simulink daha zelletirilmi bir yazlm olmas nedeniyleMATLAB kadar genel ve gl deildir; fakat dinamik analizinpek ok tipi iin kullanm ok kolaydr ve verimli kullanmakiin de genel olarak ok az bilgisayar ve programlamatecrbesi gerektirir.


56/204


57/204

Simulink, sadece MATLAB iinde kullanlabilir. Dolaysylabir MATLAB oturumu balatldktan sonra, ya alan MATLABkomut penceresinden simulink komutu girilir veya bupencerenin st ksmnda grlen Simulink Library Browsersimgesine tklanarak ulalabilir. Simulink balar balamaz

ktphane (library) isimlerini ihtiva eden ekil 11.2'dekinebenzer bir pencere alr (sizin farkl/ilave ktphane adlarnasahip olabilmeniz hali hari). Bir ktphane, dinamik modelleryapmak iin kullanlan bloklarn topluluudur.


58/204


59/204

ekil 11.3 Simulink bloklar ve alt bloklar

Simulink bloklar snflara ve alt snflara ayrlmtr. Altsnflar da baka alt snflara ayrlmaktadr. Bu alt snflanamak ve kullanmak iin bir ktphane adnn nndeki artiaretinin tklanmas gerekir. Simulink ktphanesininnndeki art iaretine basldnda blok ktphanelerimensn ieren dier bir pencere alr (ekil 11.3'e baknz).

Bu alt snflara tklandnda bir dizi blok adlar kullancyasunulur. Bu bloklar -mesela contunious (srekli zaman)- altbloklara sahiptirler ve bu alt bloklardan kullanlacaklar birsimulink model ortamna fareyle srklenerek tanabilirler.Yeni bir simulink model ortamnn almas iin SimulinkLibrary Browser penceresinden File>New>Modelseilmesigerekmektedir.


60/204


61/204

11.2.2 Ayrk Zaman Bloklar (Discrete)

: Giri sinyalinin zamana gre integralini alr.

: ok girili ve ok kl dorusal bir sistemindurum uzay modeli

: Dorusal bir sistemin transfer fonksiyonu modeli

: Dorusal bir sistemin sfr-kutup-kazan modeli


62/204

11.2.2 Ayrk Zaman Bloklar (Discrete)

: Ayrk zamanl transfer fonksiyonu modeli

: Ayrk zamanl Sfr-kutup-kazan modeli

: Ayrk zamanl durum denklemi modeli


63/204

11.2.3 Fonksiyon ve Tablolar (Functions & Tables)

: Bu blok, matematik ifadeler iin fonksiyon oluturmaya yarar, uharfi giri sinyali iin kullanlmaktadr. rnek bir ifade tan(u[l])*exp(u[2] } olabilir; burada u[l] and u [ 2 ] srasyla birinci ve ikincigiri verileri kmelerini temsil etmektedir.

: Bir MATLAB fonksiyonuna giri deerlerini aktarr. Bu fonksiyonMATLAB'n hazr bir fonksiyonu veya kullanc tarafndan yazlm bir M-fonksiyonu olabilir.

: Kullanc tarafndan tanmlanan bir bloktur. S-function, m-file,c,adayada fortran dillerinde yazlabilir fakat s-function standartlarndaolmak zorundadr. Kendisine ait drt adet deikeni vardr. stenirsekullanc deiken ekleyebilir.


64/204

11.2.4 Matematik Bloklar (Math)

: Giri deikeni olan u nun mutlak deerini alr.

: Giri deikeninin bykln ve asnhesaplar

: Giriin sanal ve gerek ksmlarn ka verir

: Giri vektrlerinin nokta arpmlarn hesaplar

: Kazan sabiti. stenilen bir deer atanabilir.


65/204

: Ve, Veya, Deil gibi bir dizi mantk ilemlerinigerekletirmek iin kullanlabilen bir blok.

: ...den kk,...e eit veya ...den byk gibi bir dizi ilikiilemlerini uygulamak iin kullanlabilen bir blok.

: Girie uygulanan byklk ve a deikenlerinibirletirerek ka verir.

: Sanal ve gerek olan iki girii birletirerek kaverir.

: exp, sin, sqrt v.s. gibi bir dizi matematik fonksiyonlar icra

etmek zere ayarlanabilen bir blok


66/204

: Girilerin minimumunu yada maksimumunuka verir.

: Bir arpma veya blme yapmak iin kullanlabilen blok (Blmeblenin tersiyle yaplan bir arpma olarak dnlmelidir).

: Girii yuvarlamak iin kullanlr. MATLAB da kullanlan drtyuvarlama foksiyonuda kullanlabilir.

: k deeri olarak; Pozitif giri iin l, negatif giri iin -l ve sfr giriiin 0 deerini verir. Bu MATLAB' daki sign(x) fonksiyonuna benzerdir.

: alma annda deitirilebilen kazan.


67/204

: Girilerin toplamn veya farkn veren bir blok. Girilerin says veher bir girie uygulanacak iaret, blok diyalog kutusundaayarlanabilir.

: Sins ve kosins gibi standarttrigonometrik fonksiyonlar tatbik iin kullanlabilenbir blok

11.2.5 Dorusal Olmayan Bloklar (Nonlinear)

: l-band genilii sistemin durumuna greyaplandrlr

: l-band blgesinde giri iin k sfrdr


68/204

: alma esnasnda zerine fareyle ift tklanarak konumdeitiren anahtar.

: Sinyalin alt ve st deerlerini snrlanm haliyle ka verir

: Giri sinyallerinin deiimlerini snrlar

: 2 nolu giri eikten byk yada eitse 1 nolu giriteki sinyalka verilir. Dier koullarda 3 nolu giri ka verilir.


69/204

11.2.6 Sinyaller ve Sistemler (Signals & Systems)

: Birden fazla bloun tek bir blok iinde toplanmasn salar

: Bir hafza blgesi tanmlar

: Data store memory ile tanmlanan hafza blgesindenveri okumak iin kullanlr.

: Data store memory ile tanmlanan hafza blgesine verisaklanmas iin kullanlr

: Bir giri sinyal vektrn sonlu sayda skaler k sinyallerineayran blok (De-Multiplex iin)


70/204

: Sonlu sayda skaler giri sinyallerini bir k sinyali matrisiretecek tarzda birletiren blok (Multiplex iin).

: Bir alt-sistem iin giri portu salar

: Bir alt-sistem iin k portu salar

: Bir alt-sistem ierisinde tetikleme al-sistemi oluturmak iinkullanlr

: Giri sinyalinin geniliini ka verir.


71/204

11.2.7 Kuyu Bloklar (Sinks)

Kendisine veri giren ama k olmayan bloklar burada yer alr.

: Giri sinyalinin o anki deerini gsterir.

: Skaler veya vektr sinyallerini osiloskoptakine benzer tarzdagrafik olarak gsteren bir blok.

: Giri sinyali sfrdan farkl olduunda simlasyonu udurduran blok


72/204

: Zaman MAT dosyas olarak saklar

: Bir giri sinyalini, MATLAB alma alannda, simlasyonbittikten sonra, eriilebilir bir MATLAB matrisindedepolayan blok.

: ki skaler girii kullanarak bir grafik izdiren blok.stteki giri kapsna balanan sinyal bamsz deiken(x ekseni) ve alttakine balanan ise baml deikendir(y ekseni).


73/204

11.2.8 Kaynak Bloklar (Sources)

: Rasgele ses sinyali retir

: Zamana gre artan dorusal bir sinyal retir

: Mevcut simlasyon zamanndan ibaret bir sinyalblou.

: Sabit bir saysal deer reten blok. Sabit, bir skalerveya vektr olabilir.


74/204

: alma alanndan deer okumak iin kullanlr

: Simlasyonun alma annda bir MAT dosyasndanzaman ve giri verilerini okur

: Ayrk zamanl puls jeneratr

: Srekli zamanl puls jeneratr


75/204

: Dzgn artan veya azalan bir sinyal reten blok

: Sinyal jeneratr. eitli dalga ekillerini reten blok.

: Sinyal retici. Dalga ekillerini reten blok.

: Basamak sinyali retir


76/204

11.3 Model Kurma

Bir model kurmak ve saklamak iin Simulink'in modelpenceresinin almas lazmdr. Bu ilem ya MATLAB komutpenceresinin st tarafndaki File mensnden New/Modelkomutunu seerek (ekil 1.1'e baknz) veya Simulink

Ktphane Gezgini'nin (Simulink Library Browser) stksmnda yeni bir model olutur dmesine tklayarakgerekletirilebilir. Bu ilem neticesinde aada ekil11.4'dekine benzer bir pencere alacaktr.


77/204

ekil 11.4 Simulink Model Penceresi


78/204

Kurulan modeli saklamak iin yine File mensnden Save veya SaveAs.. komutu seilebilir ve ona bir isim atanabilir.

rnek olarak bu blmde, sins fonksiyonunun grafiini elde etmeyeyneliktir model oluturulacaktr. Sins grafiini verecek bir blok

diyagramn elde etmek iin baz bloklarn bu model penceresi iinesrklenmesi gerekir.

Kaynak Bloklar, Matematik Bloklar ve Kuyu Bloklar (Sources, Math andSinks) srasyla Clock, Trigonometric Function, and Scope bloklarnkullanmaktr. Burada ayn problem iin ayn sonucu verecek bir dizikombinasyon daha olduunu kaydedelim; fakat bu kullancnn modelioluturmadaki tercihiyle ilgili bir meseledir.

Bir ktphaneden bir blou model penceresine tamak iin evvela,blok, farenin sol dmesiyle iaretlenir ve sonra model penceresinesrklenir. Bu, basit bir srkle ve brak ilemidir. Yukarda bahsedilenbloklar, birbiri ardna model penceresine srklendiinde model penceresiaada ekil 11.5'teki gibi grnr.


79/204

ekil 11.5 Baz balantsz bloklar ieren bir model


80/204

Bloklar birbirine balamak iin her bir blounkenarlarndaki kk oklar kullanlmaldr. Bir bloun kokuna farenin sol dmesiyle tklanp balant hattnn dierbir bloun giri okuna birleene kadar srklenmesi bu iki blokarasnda bir sinyal transferinin olmasyla neticelenir. Balantyapldktan sonra oklarn grntlerindeki deiiklie ekil11.6da dikkat ediniz. Bir bloun yeri onu basite farenin soldmesiyle tutup etrafta gezdirilerek deitirilebilir. Herhangibir blok veya balant hatt silinmek istenirse nce hatta veyabloa tklanr ve sonra klavyede delete tuuna baslr.


81/204

ekil 11.6 Bloklar balandktan sonraki Simulink modeli


82/204

11.4 Simlasyonlar altrma

Model bir kez kurulduktan sonra simlasyon modelpenceresinin st ksmndaki Simulation mensnden Startseilerek balatlabilir. Mevcut modelle hibir eyolmayacakm gibi grnmektedir; zira ekranda ak hibir

gsterge yoktur. Ancak, skop (scope) blouna ift tklanrsasins fonksiyonunun grafiinin izlenebilecei ekil 11.7'dekinebenzer kk bir pencere alacaktr.


83/204

ekil 11.7 Skope penceresi

ekilde grld gibi simlasyon 10 saniye sonra sona ermitir Bu sre


84/204

ekilde grld gibi simlasyon 10 saniye sonra sona ermitir. Bu sresimlasyon durma zaman iin programda seilmi (default) bir sredir,fakat bu sre Simulation mensnden alan Simulation Parameters-parametre penceresi- diyalog kutusuna girilen herhangi bir deerle

ayarlanabilir (ekil 11.8).

ekil 11.8 Simulation Parameters diyalog kutusu

BLM 12


85/204

BLM 12

12 A-KAPA TP KONTROLRN SMULNKTE MODELLENMES

Otomatik Kontrol Dersi uygulamasnn amac, gnlk hayatta veendstride kullanlan kontrol sistemlerinin uygulama becerilerininrenciye kazandrlmas olarak zetlenebilir. Dersin ieriinde a-kapa(On-Off) tipi, orant tipi, integral tipi, orant art integral tipi,orant arttrev tipi, orant art integral art trev tipi kontrol sistemleribulunmaktadr. Bu kontrol sistemleri arasda yaygn olarak kullanlanlardan

biri a-kapa tipi kontrolrdr. A-kapa tipi kontrolrler belirlenmi olan ikiseviyenin altnda veya stnde alrlar. Belirlenmi olan bu iki seviyearlna histerezis denmektedir. Yaptmz almada, histerezis genliideiimi, kontrolrn giriinde bulunan diren ile kontrol edilmektedir.Elde edilen analitik zm, deneysel olarak incelenmi ve sonuta mspetsonu alnarak, simlasyon hazrlamak amacyla matematik model

kartlmtr.


86/204

12.1 Matematiksel Modelleme

almaya konu olan sistemin nce modeli gelitirilmitir.ekil 12.1deki devre a-kapa tipi kontrolr devresidir. ekildegrld gibi A-kapa tipi kontrolr devresi, referans girii,hata girii, OP-AMP ve direnlerden meydana gelmektedir. A-kapa tipi kontrolrn giri-k karakteristiinde grlen

histerezis pozitif geri besleme ile salanmtr. zerindeallan modelde ama kontrolrn histerezis geniliini Rbdirenci ile ayarlamak tr. Bu aamadan sonra istenilendenklemleri kartabilmek iin OP-AMP n almaprensiplerinden faydalanlmtr.


87/204

ekil 12.1 A-kapa tipi kontrolr devresi

OP-AMP n zelliklerinden biri (+) ve (-) giri ularndaki potansiyel farksfrdr. Giri empedanslar ok yksek olduundan (+) ve (-) giri ularndanakan akm nanoamper seviyesindedir.

Rx10 k

Rf 10kR b47 k /50%

R 10 k

/50%

Vref

+15V R

-15V R V +12V+-12V

Vo

V I 2I b

eVb


88/204

Aadaki (1) ve (2) eitlikleri OP-AMP n alma prensipleridir.

(1)

(2)

Eitlik (1)ve (2) yardm ile Vo, (3) eitlii elde edilir.

10

)(

10bo

b

bb

VV

R

VeV

bb

bbo

R

e

R

RVV

*10)

10*2(

(3)


89/204

OP-AMP n kazan eitliinden yola klarak VH bulunur.

b

f

R

Rn (4)

H

bsatsat

V

RVVn

])([

;n

RVVV bsatsatH

])([

f

bH

R

RVVV

]))15(15[(

f

bH

R

RV

*30 (5)


90/204

Pratikte bV tam olarak sfr olmaz ve Rx direnci zerinden kk bir akm geer

)(x

b

R

VI ve Rx zerinde gerilim dm olur. VH deerini Vref=0 olduu iin

az lde etkiler, Yaklak bR*25.0 (6)

Yukarda VH, histerezis genliindeki e ye, yani a-kapa tipi kontrolrn bal

tekabl etmektedir. Modelimizde bR direncinin deeri belirlenir

ve histerezis genilii hesaplanr.

hatasna


91/204

12.2 Deneysel Sonular

Sistemin matematiksel modeli elde edildikten sonra,

sistemin istenilen ekilde davrandn ekil 12.1dekidzenein kurulmas ve yaplan deneyler sonucunda etkin birsonu elde ettiimizi grdk. Marmara niversitesi OtomatikKontrol Laboratuarnda dzeneimiz kurulmu. Histerezisgenilii, iki kanall osilaskop yardm ile elde edilmitir.Osialskobun bir probu Vo kna dier probuda hata giriine

alndnda devrenin giri-k karakteristii ekil 12.2deolduu gibi elde edilmitir. Performans iin verimli olan bir Rbdeer aral seilerek Rb karlnda ortaya kan histerezisgenilii tespit edilmitir. Elde edilen grafiin ekil 12.3 degrld zere dorusall, birok sistemde, istenilendzeye uygun olduu grlmektedir. Yaplan deneylerde ekil

12.2deki Rb deerlerinin aasndaki ve yukarsndakideerler iin sonu alnamamtr.


92/204

ekil 12.2 Rb-Histerezis deiimi


93/204

12.3 A-Kapa Tipi Kontrolr Simlatr

Sistemin farkl denetim parametreleri altndaki davrannelde edebilmek ve retim ortamnda daha etkin bir ekildeelde edilenleri renciye aktarabilmek iin MATLAB yazlmnnSimulink modeli kullanlmtr. Matematiksel modeli ortaya

koyabilmek iin bir s-function hazrlanmtr. S-functionhazrlanrken MATLABin m-file programlama dosyalarndanfaydalanlmtr. A-kapa tipi Kontrolr Simulink modeli ekil3te grld gibidir.


94/204

ekil 12.3 A-kapa tipi kontrolr simulink modeli

Simulink modelde oluturulan s-function iin kullanlan m-file dosyasaada olduu gibidir.

function [sys x0 str ts] =


95/204

function [sys,x0,str,ts] =On_Off(t,x,u,flag,Rb,InputOn,InputOff)

%Variable block

global han global devam %/*start up condition and controlling of devam parameter if t= han) devam=1; end if (u


96/204

switch flag,

% Initialization %

% Initialize the states, sample times, and state ordering strings.

case 0

[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes(Rb,InputOn,InputOff);

% Outputs %

% Return the outputs of the S-function block.

case 3 sys=mdlOutputs(t,x,u,InputOn,InputOff,devam);

case { 1, 2, 4, 9 }

sys=[];

% Unexpected error handling

otherwise error(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]);

end

% Return the sizes, initial conditions, and sample times for the


97/204

, , pS-function.

function [sys,x0,str,ts] =mdlInitializeSizes(Rb,InputOn,InputOff)

sizes = simsizes; sizes.NumContStates = 0; sizes.NumDiscStates = 0; sizes.NumOutputs = -1;

sizes.NumInputs = -1; sizes.DirFeedthrough = 1; sizes.NumSampleTimes = 1; sys = simsizes(sizes); str = [];

x0 = []; ts = [-1 0]; % end mdlInitializeSizes


98/204

% mdlOutputs

% Return the output vector for the S-function

function sys = mdlOutputs(t,x,u,InputOn,InputOff,devam)

if (devam==1)

sys=InputOn;

end

if (devam==0) sys=InputOff;

end


99/204

Elde edilen simlasyonda Laboratuar ortamnda kullandmz Rb deerlerikullanarak modelde elde edilen sonular ekil 12.4de gsterilmitir.

Rb Direnci

ekil 12.4 Matematiksek modelle birlikte Rb-Histerezis deiimi


100/204

A-kapa tipi kontrolr simlasyonu, farkl Rb deerleri iin altrldndaekil 12.5daki sonular elde edilmitir.

a) Rb 1.3 K b) Rb 4.1 K


101/204

c) Rb 5.4 K d) Rb 7.07 K

ekil 12.5 a,b,c,d grafikleri farkl Rb deerleri iin , simlasyondan eldeedilmitir.


102/204

12.4 Sonu Ve Deerlendirme

alma sonucu A-kapa tipi Kontrolr tasarmna farkl biryaklam kazandrmtr. Kontrolrn histerezis geniliininkontrolr iinde hata sinyalinin uyguland bir deiken (devreeleman,diren) ile ayarlanmas ve istenilen deere ekilmesisalanmtr. Bu kazanm ile birlikte MATLAB/Simulink

ortamnda yaplan simlasyon sunulmutur. Simlasyon farkldeerler iin etkili sonular vermektedir. Bu ekilde devreyikurmadan, farkl deerler iin, devre analizi yaplabilir.Bununla birlikte, laboratuar uygulamalar ncesi rencilerinalmalarna grsel bir eitim imkan salanmaktadr.

t l kl i Bl 14


103/204

ntegral rnekleri Blm 14

14.1)

>> syms x

>> p = 4*x^2

p =

4*x^2

>> int(p,x,0,8)

ans =

2048/3

14.2 )

>> syms x>> p = 3*x^2

p =

3*x^2

>> int(p,x,0,10)

ans =

1000

14.3 ) 14.4)


104/204

>> syms x

>> p = 9*x^2

p =

9*x^2

>> int(p,x,0,10)

ans =

3000

>> syms x

>> p = x^2 + 1

p =

x^2 + 1

>> int(p,x,1,2)

ans =

10/3

14.5) Altrmalar


105/204

1)

>> syms x

>> p = x^2 - 1

p =

x^2 - 1

>> int(p,x,1,3)

ans =

20/3

>> syms x>> p = x^2 + 2

p =

x^2 + 2

>> int(p,x,0,1)

ans =

7/3


106/204

3) 4)

>> syms x

>> p = x^2 - 2*x

p =

x^2 - 2*x

>> int(p,x,0,2)

ans =

-4/3

>> syms x>> p = x^2 - 2

p =

x^2 - 2

>> int(p,x,2,4)

ans =

44/3

5) 6)


107/204

5) 6)

>> syms x>> p = x^2 + 2*x

p =

x^2 + 2*x

>> int(p,x,0,2)

ans =

20/3

>> syms x>> p = exp(x)

p =

exp(x)

>> int(p,x,0,3)

ans =

exp(3) - 1


108/204

7)8)

>> syms x>> p = cos(x)

p =

cos(x)

>> int(p,x,0,pi/2)

ans =

1

>> syms x>> p = sin(x)

p =

sin(x)

>> int(p,x,0,pi)

ans =

2

Blm 15 integral teknikleri15.2)


109/204

15.1)

>> syms x>> p = 3*x^2*(sqrt(x^3 + 1))

p =

3*x^2*(x^3 + 1)^(1/2)

>> int(p,x,0,2)

ans =

52/3

)

>> syms x>> p = cos(x)/sin(x) + 3

p =

cos(x)/sin(x) + 3

>> int(p,x,0,pi/2)

ans =

Inf


110/204

15.3) 15.4)

>> syms x>> int(exp(sin(x))*cos(x))

ans =

exp(sin(x))

>> syms x>> p = log(x)/x

p =

log(x)/x

>> int(p,x)

ans =

log(x)^2/2

Altrmalar


111/204

Altrmalar

1) 2)

>> syms x>> p = 3*x^2*exp(x^3) - 1

p =

3*x^2*exp(x^3) - 1

>> int(p,x)

ans =

exp(x^3) - x

>> syms x>> p = sin(x)*exp(cos(x))

p =

exp(cos(x))*sin(x)

>> int(p,x,0,pi)

ans =

exp(1) - 1/exp(1)

3) 4)


112/204

3) 4)

>> syms x

>> p = 2*x^3/5*sqrt(x^4 + 2)

p =

(2*x^3*(x^4 + 2)^(1/2))/5

>> int(p,x)

ans =

(x^4 + 2)^(3/2)/15

>> syms t>> int(cos(t)/exp(sin(t)))

ans =

-1/exp(sin(t))


113/204

5) 6)

>> syms x>> p = atan(x)/1 + x^2

p =

atan(x) + x^2

>> int(p,x,1,sqrt(3))

ans =

(pi*3 (1/2))/3 - log(2)/2 - pi/4 + 3^(1/2) -

1/3

>> syms t p>> p = exp((sqrt(t))/2*sqrt(t))

p =

exp(t/2)

>> int(p,t,0,1)

ans =

2*exp(1) (1/2) - 2


114/204

7)

>> syms x>> int(log(x)*log(x) / x*log(x))

ans =

log(x)^4/4

15.5) 15.6)


115/204

>> syms x>> p = log(x)

p =

log(x)

>> int(p,x)

ans =

x*(log(x) - 1)

>> syms x>> p = x^2*exp(3*x)

p =

x^2*exp(3*x)

>> int(p,x)

ans =

(exp(3*x)*(9*x^2 - 6*x + 2))/27

15.7) 15.8)


116/204

>> syms x>> p = x^2*log(x)

p =

x^2*log(x)

>> int(p,x)

ans =

(x^3*(log(x) - 1/3))/3

>> syms x

>> int(exp(-2*x)*(cos(3*x)))

ans =

-(2*cos(3*x) - 3*sin(3*x))/(13*exp(2*x))


117/204

15.10)

>> syms x>> int(2*x*atan(x))

ans =

2*atan(x)*(x^2/2 + 1/2) - x

15.11)

Ksmi integrasyon ile ilgili rnekler


118/204

Ksmi integrasyon ile ilgili rnekler

1)>> syms x>> int(sin(x)^3)

ans =

cos(3*x)/12 - (3*cos(x))/4

>> syms x>> int(x*sin(x))

ans =

sin(x) - x*cos(x)

2) 3)


119/204

>> syms x>> int(x*sqrt(1-x))

ans =

-(2*(3*x + 2)*(1 - x)^(3/2))/15

>> syms x>> int(x*1/cos(x)^2)

ans =

log(cos(x)) + x*tan(x)

>> syms x

>> int(x*sec(x)^2)

ans =

log(cos(x)) + x*tan(x)

4) 5)


120/204

>> syms x

>> p = x*sin(x/2)

p =

x*sin(x/2)

>> int(p,x,0,2)

ans =

4*sin(1) - 4*cos(1)

>> syms x>> int(x*cos(x))

ans =

cos(x) + x*sin(x)

6) 7)


121/204

>> syms x>> int(x^2*log(x))

ans =

(x^3*(log(x) - 1/3))/3

>> syms x>> int(sin(x)^2*3*x)

ans =

(3*sin(x)^2)/4 - (3*x*sin(2*x))/4 +(3*x^2)/4

8) 9)


122/204

>> syms x

>> p = log(x+1)/sqrt(x+1)

p =

log(x + 1)/(x + 1)^(1/2)

>> int(p,x,1,3)

ans =

8*log(2) - 2^(1/2)*(log(4) - 4) - 8

>> syms x>> int(cos(x)^3)

ans =

sin(x) - sin(x) 3/3

10) 11)


123/204

>> syms x

>> int(x^3/sqrt(1 - x^2))

ans =

-((1 - x^2) (1/2)*(x^2 + 2))/3

>> syms x

>> int(log(x+1)/x + 1)

ans =

x - polylog(2, -x)

12) 13)


124/204

>> syms x

>> p = x*exp(2*x)

p =

x*exp(2*x)

>> int(p,x,0,4)

ans =

(7*exp(8))/4 + 1/4

>> syms x

>> int(x*log(x))

ans =

(x^2*(log(x) - 1/2))/2

14) 15)


125/204

>> syms x>> int(x^3*sqrt(1 - x^2))

ans =

-(1 - x^2) (1/2)*(x^2/15 - x^4/5 + 2/15)

>> syms x

>> int(x*tan(x)^2)

ans =

x*tan(x) - log(tan(x)^2 + 1)/2 - x^2/2

16) 17)


126/204

>> syms x>> int(x^2/(1 - x^2)^2)

ans =

log(x - 1)/4 - log(x + 1)/4 - x/(2*(x^2 - 1))

>> syms x>> int(x^2/(1 - x^2)^3/2)

ans =

log(x - 1)/32 - log(x + 1)/32 + x/(16*(x^2 -1)) + x/(8*(x^2 - 1)^2)

18) 19)


127/204

18) 19)

>> syms x>> p = x*exp(x)/(1 + x)^2

p =

(x*exp(x))/(x + 1)^2

>> int(p,x,-2,2)

ans =

-Inf

>> syms x

>> int(x^2*exp(-x))

ans =

-(x^2 + 2*x + 2)/exp(x)

20) 21)


128/204

>> syms x>> int(x^2*exp(2*x))

ans =

(exp(2*x)*(4*x^2 - 4*x + 2))/8

>> syms x>> int(x^2*exp(-x))

ans =

-(x^2 + 2*x + 2)/exp(x)

22) 23)


129/204

>> syms x>> int(x^2*exp(x))

ans =

exp(x)*(x^2 - 2*x + 2)

>> syms x

>> int(exp(x)*sin(x))

ans =

-(exp(x)*(cos(x) - sin(x)))/2

24) 25)


130/204

>> syms x>> int(x^2*cos(x))

ans =

x^2*sin(x) - 2*sin(x) + 2*x*cos(x)

>> syms x>> p = exp(-x)*sin(4*x)

p =

sin(4*x)/exp(x)

26) 27)


131/204

>> syms x>> int(exp(-x)*(cos(pi*x)))

ans =

-(cos(pi*x) - pi*sin(pi*x))/(exp(x)*(pi^2 + 1))

>> syms x>> int(exp(x)*cos(x))

ans =

(exp(x)*(cos(x) + sin(x)))/2


132/204

15.20) 15.21)


133/204

>> syms x>> int(tan(x)^3)

ans =

log(cos(x)) - (cos(x)^2 - 1)/(2*cos(x)^2)

>> syms x

>> int(sin(x)^2*5)

ans =

(5*x)/2 - (5*sin(2*x))/4

15.22) 15.23)


134/204

>> syms x>> int(sin(5*x)*sin(4*x))

ans =

sin(x)/2 - sin(9*x)/18

>> syms x>> int(cos(x)^2*3)

ans =

(3*x)/2 + (3*sin(2*x))/4

15.24) 15.25)


135/204

>> syms x

>> int(cos(4*x)*cos(3*x))

ans =

sin(7*x)/14 + sin(x)/2

>> syms x

>> int(sin(3*x)*cos(3*x))

ans =

sin(3*x)^2/6

15.26) 15.27)


136/204

>> syms x

>> int(sin(5*x)*cos(4*x))

ans =

- cos(9*x)/18 - cos(x)/2

>> syms x>> int(sin(x)^5)

ans =

(5*cos(3*x))/48 - cos(5*x)/80 -(5*cos(x))/8

15.28) 15.29)


137/204

) )


ans =

(3*x)/8 - sin(2*x)/4 + sin(4*x)/32


ans =

sin(x) 5/5 - (2*sin(x)^3)/3 + sin(x)

15.30) 15.31)


138/204

) )

>> syms x>> int(('tan7')*x)

ans =

(tan7*x^2)/2


ans =

(3*x)/8 + sin(2*x)/4 + sin(4*x)/32

15 32) 15 33)


139/204

15.32) 15.33)

>> syms x>> int(sin(x)^3*cos(x)^4)

ans =

- (cos(x)^5*sin(x)^2)/7 - cos(x)/28 -

cos(3*x)/56 - cos(5*x)/280

>> syms x>> int(sin(x)^5*cos(x)^7)

ans =

sin(x)^8/8 - sin(x) 10/30 -(cos(x)^8*sin(x)^4)/12 - sin(x) 6/6 +sin(x)^4/12

15 34) 15 35)


140/204

15.34) 15.35)

>> syms x

>> int(sin(x)^2*cos(x)^4)

ans =

x/16 - (sin(x)*cos(x)^5)/6 + sin(2*x)/24 +sin(4*x)/192

>> syms x>> int(sin(x)^3*cos(x)^2 / sin(x)^2 +2*cos(x)^2)

ans =

x - cos(3*x)/12 + sin(2*x)/2 - cos(x)/4

15 36) 15 37)


141/204

15.36) 15.37)

>> syms x>> int(sin(x) / 1 + sin(x))

ans =

(-2)*cos(x)

>> syms x>> int(sin(x) / 1 + cos(x) + cos(2*x))

ans =

sin(x) - cos(x) + cos(x)*sin(x)


142/204

15.41) Altrmalar

1)


143/204

1)

>> syms x>> int(1 / 8 - 4*sin(x) + 7*cos(x))

ans =

x/8 + 4*cos(x) + 7*sin(x)

>> syms x>> int(3*cos(x) / sin(x) + 2)

ans =

2*x + 3*log(sin(x))


144/204

2) 5)

>> syms x>> int(sin(x)*2*x / 1 - sin(x)^2)

ans =

2*sin(x) - x/2 + (cos(x)*sin(x))/2 -2*x*cos(x)

>> syms x>> int(sin(5*x)*sin(4*x))

ans =

sin(x)/2 - sin(9*x)/18

7) 8)


145/204

>> syms x>> int(cos(5*x)*cos(3*x))

ans =

sin(2*x)/4 + sin(8*x)/16

>> syms x>> int(sin(3*x)*cos(3*x))

ans =

sin(3*x)^2/6

9) 10)


146/204

>> syms x>> int(sin(3*x)*cos(2*x))

ans =

- cos(5*x)/10 - cos(x)/2


ans =

cos(3*x)/12 - (3*cos(x))/4

11) 12)


147/204

11) 12)


ans =

(7*cos(3*x))/64 - (7*cos(5*x))/320 +cos(7*x)/448 - (35*cos(x))/64


ans =

x/2 - sin(2*x)/4

13) 14)


148/204

13) 14)


ans =

(3*x)/8 - sin(2*x)/4 + sin(4*x)/32

>> syms x>> int((cos(x))^5)

ans =

sin(x) 5/5 - (2*sin(x)^3)/3 + sin(x)

15) 16)


149/204

15) 16)


ans =

(3*x)/8 + sin(2*x)/4 + sin(4*x)/32

>> syms x>> int(tan(x)*3*x)

ans =

(3*i*polylog(2, -exp(2*i*x)))/2 + (3*i*x*(x+ 2*i*log(exp(2*i*x) + 1)))/2

17) 18)


150/204

>> syms x>> int(sin(x)^3 * cos(x)^4)

ans =

- (cos(x)^5*sin(x)^2)/7 - cos(x)/28 -cos(3*x)/56 - cos(5*x)/280


ans =

sin(x) 8/8 - sin(x) 10/30 -(cos(x)^8*sin(x)^4)/12 - sin(x) 6/6 +

sin(x)^4/12

19) 20)


151/204


ans =

x/16 - (sin(x)*cos(x)^5)/6 + sin(2*x)/24 +sin(4*x)/192

>> syms x>> int(sin(x)^3*cos(x)^2 / sin(x)^2 +2*cos(x)^2)

ans =

x - cos(3*x)/12 + sin(2*x)/2 - cos(x)/4

21) 22)


152/204

>> syms x e c>> int(cos(x)*e*c*x)

ans =

c*e*(cos(x) + x*sin(x))

>> syms x>> int(cot(x)^3)

ans =

- cot(x)^2/2 - log(sin(x))

23) 24)


153/204

>> syms x>> int(sin(x)/1 + sin(x))

ans =

(-2)*cos(x)

>> syms x>> int(1 / 5 - 3*cos(x))

ans =

x/5 - 3*sin(x)

25) 26)


154/204

>> syms x>> int(sin(x) / 1 + cos(x) + cos(2*x))

ans =

sin(x) - cos(x) + cos(x)*sin(x)

>> syms x>> int(1 - tan(x)/1 + tan(x))

ans =

x

27) 28)


155/204

>> syms x

>> int(sin(x)^4*cos(x)^4)

ans =

(3*x)/128 - (cos(x)^5*sin(x))/16 -(cos(x)^5*sin(x)^3)/8 + sin(2*x)/64 +

sin(4*x)/512

>> syms x

>> int(2*tan(x)*3*x)

ans =

3*i*polylog(2, -exp(2*i*x)) + 3*i*x*(x +2*i*log(exp(2*i*x) + 1))

29) 30)


156/204

>> syms x>> p = tan(x)^4p =tan(x)^4>> int(p,x,0,7/4)ans =Inf

>> syms x>> int(4*cos(2*t)-2 / sin(2*t))

ans =

2*sin(2*t) - log(tan(t))

Trigonometrik yerine koyma metodu

15.42) 15.43


157/204

15.42) 15.43

>> syms x a>> int(1/sqrt(a^2 - x^2))

ans =

atan(x/(a^2 - x^2) (1/2))

>> syms x a>> int(1/x^2 + a^2)

ans =

a^2*x - 1/x

15.44) 15.45)


158/204

>> syms x a>> int(x/sqrt(x^2 - a^2))

ans =

(x^2 - a^2)^(1/2)

>> syms x

>> int(1/x^2*sqrt(1 - x^2))

ans =

- asin(x) - (1 - x^2)^(1/2)/x

15.46) 15.47)


159/204

>> syms x

>> int(1/ (9 + x^2)^3/2)

ans =

atan(x/3)/1296 + (x*(1/(36*(x^2 + 9)^2) +3/(648*x^2 + 5832)))/2

>> syms x

>> int(1/sqrt(-x^2 + 4*x + 5))

ans =

asin(x/3 - 2/3)

15.48) 15.49)


160/204

>> syms x

>> int(x^3*sqrt(x^2 - 25))

ans =

((x^2 - 25)^(3/2)*(3*x^2 + 50))/15

>> syms x

>> p = 1/(x^2 - 6*x + 5) 3/2

p =

1/(2*(x^2 - 6*x + 5)^3)

>> int(p,x,3,6)

ans =

NaN

Altrmalar

1) 2)


161/204

) )

>> syms x>> int(1/sqrt(1 - x^2))

ans =

asin(x)

>> syms x>> int(1/x^2*sqrt(4 - x^2))

ans =

- asin(1/2*x) - (4 - x^2)^(1/2)/x

3) 4)


162/204

>> syms x>> int(1/x^2*sqrt(9 + x^2))

ans =

asinh(x/3) - (x^2 + 9)^(1/2)/x

>> syms x>> int(1/sqrt(1 + x^2))

ans =

asinh(x)

5) 6)


163/204

>> syms x

>> int(sqrt(x^2 - 1)/x)

ans =

(x^2 - 1) (1/2) - acos(1/x)

>> syms x

>> int(1/sqrt(x^2 + 4))

ans =

asinh(x/2)

7) 8)


164/204

>> syms x

>> int(sqrt(16 - x^2))

ans =

8*asin(x/4) + (x*(16 - x^2) (1/2))/2

>> syms x

>> int(sqrt(9 - x^2)/2*x^2)

ans =

(81*asin(x/3))/16 - (9 -x^2) (1/2)*((9*x)/16 - x^3/8)

9) 10)


165/204

>> syms x

>> int(5*x^3*sqrt(x^2 + 4))

ans =

(x^2 + 4) (1/2)*(x^4 + (4*x^2)/3 - 32/3)

>> syms x

>> int(1/(x^2 + 1)^3/2)

ans =

(3*atan(x))/16 + (x*(1/(4*(x^2 + 1)^2) +3/(8*x^2 + 8)))/2

11) 12)


166/204

>> syms x

>> int(1/x^3*sqrt(x^2 - 1))

ans =

acos(1/x)/2 - (x^2 - 1)^(1/2)/(2*x^2)

>> syms x>> int(sqrt(x^2 - 9) / x)

ans =

(x^2 - 9) (1/2) - 3*acos(3/x)

13) 14)


167/204

>> syms t

>> int(3/sqrt(9*t^2 - 1))

ans =

log(3*t + (9*t^2 - 1)^(1/2))

>> syms t>> int(2/2*t*sqrt(1 - 4*t^2))

ans =

(1/4 - t^2)^(1/2)*((2*t^2)/3 - 1/6)

15) 16)


168/204

>> syms x

>> int(x^3/sqrt(x^2 - 2))

ans =

((x^2 - 2)^(1/2)*(x^2 + 4))/3

>> syms x>> int(2/4*x^2*sqrt(9 + 4*x^2))

ans =

((x^2 + 9/4)^(1/2)*(x^3/2 + (9*x)/16))/2 -(81*asinh((2*x)/3))/128

15.6 Cebirsel Fonksiyonlarn ntegrali


169/204

15.49)15.50)

>> syms x>> int((x^3*sqrt(3*x-5)))

ans =

(250*(3*x - 5)^(3/2))/243 + (10*(3*x -5)^(5/2))/27 + (10*(3*x - 5)^(7/2))/189 +(2*(3*x - 5)^(9/2))/729

>> syms x>> int(1/x)*sqrt(2*x-1/x+1)

ans =

log(x)*(2*x - 1/x + 1) (1/2)

15.51) 15.52)


170/204

>> syms x>> int(sqrt(x) + 2 / sqrt(x) - 1)

ans =

x^(1/2)*((2*x)/3 - x^(1/2) + 4)

>> syms x>> int(sqrt(x) / 1 + 4*sqrt(x^3))

ans =

(8*x*(x^3)^(1/2))/5 + (2*x^(3/2))/3

15.53) 15.54)


171/204

>> syms x>> int((x + 5)/(x + 4)*sqrt(x + 2))

ans =

2*(x + 2)^(1/2) -

2*2^(1/2)*atan((2^(1/2)*(x + 2)^(1/2))/2)+ (2*(x + 2)^(3/2))/3

>> syms x>> int(x^1/6 + 1 / x^7/6 + x^5/4)

ans =

(3*x^12 + 6*x^8 - 2)/(72*x^6)

3.55) 3.56)


172/204

>> syms x>> int(1/sqrt(x + 1)+ 3*sqrt(x + 1)^2)

ans =

(3*(x + 1)^2)/2 + 2*(x + 1)^(1/2)

>> syms x>> int(1/sqrt(x + 1) + 4*sqrt(x + 1))

ans =

(2*(4*x + 7)*(x + 1)^(1/2))/3

3.57) Altrmalar

1)


173/204

>> syms x

>> int(x^1/2 / 1 + x^1/3)

ans =

(5*x^2)/12

>> syms x>> int(1/1 + sqrt(x))

ans =

x + (2*x^(3/2))/3

2) 3)


174/204

) )

>> syms x>> int(1/x-sqrt(x))

ans =

log(x) - (2*x (3/2))/3

>> syms x>> int(1/x-3*sqrt(x))

ans =

log(x) - 2*x (3/2)

4) 5)


175/204

>> syms x>> int(x/3*sqrt(1 + x))

ans =

(2*(3*x - 2)*(x + 1)^(3/2))/45

>> syms x>> int(1/sqrt(x) - 4*sqrt(x^3))

ans =

2*x^(1/2) - (8*x*(x^3) (1/2))/5

6) 7)


176/204

) )

>> syms x>> int(x/sqrt(x - 1))

ans =

(2*(x - 1)^(1/2)*(x + 2))/3

>> syms x>> int(sqrt(x^2 - 1)/x)

ans =

(x^2 - 1) (1/2) - acos(1/x)

8) 9)


177/204

>> syms x>> int(x/sqrt(2 - 7*x))

ans =

-(2*(2 - 7*x) (1/2)*(7*x + 4))/147

>> syms x>> int(x^2 / (4*x + 1)^5/2)

ans =

1/(192*(4*x + 1)^3) - 1/(256*(4*x + 1)^2)

- 1/(512*(4*x + 1)^4)


178/204

12) 13)


179/204

>> syms x>> int(1/x*sqrt(1 - x^2))

ans =

acosh(-(1/x^2)^(1/2)) + (1 - x^2) (1/2)

>> syms x>> int((x + 5)/(x + 4)*sqrt(x + 2))

ans =

2*(x + 2)^(1/2) -

2*2^(1/2)*atan((2^(1/2)*(x + 2)^(1/2))/2)+ (2*(x + 2)^(3/2))/3

14) 15)


180/204

>> syms x>> int((x^3/2 - x)^1/3 / 6*x^1/4)

ans =

(x^3*(3*x^2 - 10))/2160

>> syms x>> int(x^3*sqrt(1 + x))

ans =

(6*(x + 1)^(5/2))/5 - (2*(x + 1)^(3/2))/3 -

(6*(x + 1)^(7/2))/7 + (2*(x + 1)^(9/2))/9

16) 17)


181/204

>> syms x

>> p = 1/(x + 2)*sqrt(x + 1)

p =

(x + 1)^(1/2)/(x + 2)

>> int(p,x,0,3)

ans =

2 - atan(3/4)

>> syms x>> p = x^3/2 / x + 1

p =

x^2/2 + 1

>> int(p,x,0,1)

ans =

7/6

18) 19)


182/204

>> syms x>> p = 1/1 + sqrt(x)

p =

x^(1/2) + 1

>> int(p,x,0,4)

ans =

28/3

>> syms x>> p = 1/sqrt(2*x)*(9 + 3*sqrt(2*x))

p =

(2^(1/2)*(3*2^(1/2)*x^(1/2) +

9))/(2*x^(1/2))

>> int(p,x,0,1/2)

ans =

21/2

20) 21)


183/204

>> syms x>> p = x/sqrt(4*x + 2)

p =

(2^(1/2)*x)/(2*(2*x + 1)^(1/2))

>> int(p,x,1,4)

ans =

(3*2^(1/2))/2

>> syms x>> int(x^3*sqrt(2*x + 3))

ans =

(27*(2*x + 3)^(5/2))/40 - (9*(2*x +3)^(3/2))/8 - (9*(2*x + 3)^(7/2))/56 + (2*x+ 3)^(9/2)/72

22) 23)


184/204

>> syms x>> int(1/x^2*sqrt(1 - x^2))

ans =

- asin(x) - (1 - x^2)^(1/2)/x

>> syms x>> int(1/x)*sqrt(2*x-1/x+1)

ans =

log(x)*(2*x - 1/x + 1) (1/2)

24) 25)


185/204

>> syms x>> int(sqrt(x)+ 2/sqrt(x)-1)

ans =

x^(1/2)*((2*x)/3 - x^(1/2) + 4)

>> syms x>> int(x^2/sqrt(x^2)-4)

ans =

(x*(x*sign(x) - 8))/2

26) 27)


186/204

>> syms x>> int(1/(9 + x^2)^3/2)

ans =

atan(x/3)/1296 + (x*(1/(36*(x^2 + 9)^2) +

3/(648*x^2 + 5832)))/2

>> syms x>> int(1/sqrt(x^2 - 5*x + 6))

ans =

log(x + (x^2 - 5*x + 6)^(1/2) - 5/2)

28) 29)


187/204

>> syms x>> int(1/sqrt(x^2 + 4*x + 5))

ans =

log(x + (x^2 + 4*x + 5)^(1/2) + 2)

>> syms x>> int(1/sqrt(-x^2 + 4*x + 5))

ans =

asin(x/3 - 2/3)

30) 31)


188/204

>> syms x>> int(x^2 / sqrt(x^3 + 5))

ans =

(2*(x^3 + 5)^(1/2))/3

>> syms x>> int(2*x + 5 / sqrt(4*x^2 + 8*x + 9))

ans =

(5*log(2*x + (4*x^2 + 8*x + 9)^(1/2) +

2))/2 + x^2

32) 33)


189/204

>> syms x>> int(cos(2*x)/3 + 4*sin(2*x))

ans =

sin(2*x)/6 - 2*cos(2*x)

>> syms x>> int(x*sqrt(3 + 2*x))

ans =

((2*x - 2)*(2*x + 3)^(3/2))/10

34) 35)


190/204

>> syms x>> int(sqrt(x^1/2) / 1 + 4*sqrt(x^3/4))

ans =

(4*x*(x^3)^(1/2))/5 + (2^(1/2)*x^(3/2))/3

>> syms x>> int(x/3*sqrt(x - 1))

ans =

(2*(3*x + 2)*(x - 1)^(3/2))/45

36) 37)


191/204

>> syms x>> int(sqrt(9 - 4*x^2))

ans =

(9*asin((2*x)/3))/4 + x*(9/4 - x^2) (1/2)

>> syms x>> int((x + 5) / (x + 4)*sqrt(x + 2))

ans =

2*(x + 2)^(1/2) -

2*2^(1/2)*atan((2^(1/2)*(x + 2)^(1/2))/2)+ (2*(x + 2)^(3/2))/3

38)


192/204

>> syms x>> int(x^1/6 + 1 / x^4/6 + x^5/4)

ans =

(3*x^9 + 6*x^5 - 4)/(72*x^3)

Blm 16. Belirli ntegralin Uygulamalar

16.1) 16.2)


193/204

>> syms x>> p = x^2 + 1

p =

x^2 + 1

>> int(p,x,1,2)

ans =

10/3

>> syms y>> p = sqrt(y - 1)

p =

(y - 1) (1/2)

>> int(p,y,2,5)

ans =

14/3

16.3) 16.4)


194/204

>> syms x>> p = (-x^2 + 1) - (x^2 - 1)

p =

2 - 2*x^2

>> int(p,x,-1,1)

ans =

8/3

>> syms x>> p = (2*x^2 - 2*x + 2)

p =

2*x^2 - 2*x + 2

>> int(p,x,0,2)

ans =

16/3

16.5) 16.6)


195/204

>> syms x

>> p = x^2 - 4

p =

x^2 - 4

>> int(p,x,1,3)

ans =

2/3

>> syms x

>> p = (3*sqrt(x) - 3*x^2)

p =

3*x^(1/2) - 3*x^2

>> int(p,x,0,1)

ans =

1

16.7)

>> syms y

16.8)


196/204

>> syms y

>> p = (y + 4) - y^2/2

p =

y - y^2/2 + 4

>> int(p,y,-2,4)

ans =

18

>> syms x

>> p = x^4

p =

x^4

>> int(p,x,pi*0,2)

ans =

32/5

16.9)

>> syms y

16.10)

>> syms y


197/204

syms y

>> p = (2*pi)*y^3

p =

2*pi*y^3

>> int(p,y,0,2)

ans =

8*pi

syms y

>> p = (pi*y)

p =

pi*y

>> int(p,y,0,1)

ans =

pi/2

16.11) 16.12)


198/204

>> syms y

>> p = (2*pi)*y^2

p =

2*pi*y^2

>> int(p,y,0,2)

ans =

(16*pi)/3

>> syms x>> p = (2*pi)*(x - 4*x^3)

p =

2*pi*(x - 4*x^3)

>> int(p,x,0,1/2)

ans =

pi/8

16.13) 16.15)


199/204

>> syms x

>> p = sqrt(1 + 9*x/4)

p =

((9*x)/4 + 1)^(1/2)

>> int(p,x,0,4)

ans =

(80*10^(1/2))/27 - 8/27

>> syms x

>> p = sqrt((1/4*x + 1/x))^2

p =

x/4 + 1/x

>> int(p,x,1,e)

ans =

log(e) + e^2/8 - 1/8

Altrmalar

1)


200/204

>> syms x>> p = x^3/2

p =

x^3/2

>> int(p,x,0,7/3)

ans =

2401/648

4) 5)


201/204

>> syms x

>> p = 2*sqrt(x)

p =

2*x^(1/2)

>> int(p,x,0,3)

ans =

4*3^(1/2)

>> syms x

>> p = 2*exp(sqrt(x))

p =

2*exp(x^(1/2))

>> int(p,x,0,1)

ans =

4

6)


202/204

>> syms x

>> p = x^3/3 + 1/4*x

p =

x^3/3 + x/4

>> int(p,x,1,3)

ans =

23/3

16.5 Dnel Yzeyin Yanal Alan

16.16) 16.17)


203/204

>> syms y>> p = (pi)*sqrt(4*y + 1)

p =

pi*(4*y + 1)^(1/2)

>> int(p,y,0,1)

ans =

(pi*(5*5^(1/2) - 1))/6

>> syms x>> p = (8*pi)*sqrt(x + 4)

p =

8*pi*(x + 4)^(1/2)

>> int(p,x,0,16)

ans =

(128*pi*(5*5^(1/2) - 1))/3

16.6 Bir Fonksiyonun Ortalama ve Etkin(Efektif)Deerleri

16.18) zml Soru

19)


204/204

19)

>> syms v>> p = (v/pi-0)*sin(q)

p =

(v*sin(q))/pi

>> int(p,v,0,pi)

ans =

>> syms x>> p = pi*(3/2 + sin(x))^2

p =

pi*(sin(x) + 3/2)^2

>> int(p,x,0,7*pi/4)

ans =

matlab sunum

Documents