1

1 MATRICAT

1.1 Regulli i mbledhjes se Ajnshtajnit.

Edhe pse nuk do te studiojme vektoret para kapitullit 2 do tju tregojme disa vektore te thjeshte keshtu do te

kuptojme rregullin e mbledhjes Ajnshtajn. Jemi mesuar ti shkruajme vektoret si shume vektoresh baze:

kAjAiAA zyx

++= (1.1)

Por do te jene me te besueshem nese i shkruajme

332211 eAeAeAA

++= (1.2)

ku perberesit ( )zyx A,A,A jane rishkruar si ( )321 A,A,A dhe vektoret baze ( )k,j,i

behen 321 e,e,e

. Kjo eshte

e natyrshme kur marrim parasysh dimensionet e reja. P.sh ne dy dimensione mund te shkruajme

2211 eAeAA

+= dhe ne 5 dimensione mund te shkruajme 5544332211 eAeAeAeAeAA

++++= . Per 10

dimensione do te na duhet te shkruajme 10 terma . Eshte me e lehte te shkruajme.

=

=N

1i

iieAA

(1.3)

ku N eshte numeri i dimensioneve. Vini re qe indeksi i shfaqet 2 here ne shprehjen iieA

Ajshtajni vuri re

kete dhe sa here qe indeksi perseritej 2 here ai nuk shqetesohej te shkruante =

N

1i

pasi e dinte qe ajo perdorej

per perseritjen e indeksit, keshtu qe ne vend qe te shkruante =

=N

1i

iieAA

do te shkruante iieAA

= duke ditur

qe ishte nje ne formule. Keshtu mbedhja Ajnshtajn percaktohet si me poshte.

i

N

i

iii yxYX = (1.4)

Le te shohim disa ushtrime

Ushtrimi 1.1.1 Kush eshte ii BA ne dy dimensione?

Zgjidhje 22111i

ii BABABAAB +==

Ushtrim 1.1.2 Kush eshte jkij BA ne tre dimensione

Zgjidhje Kemi tre tregues ketu ( )k,j,i por vetem j perseritet 2 here dhe keshtu

=

++==3

1j

k33ik22ik11ijkijjkij BABABABABA . (1.12)

1.2 Sistemi I ekuacioneve dhe matricat

Merrni ne shqyrtim 2 ekuacionet e njepasnjeshme.

0yx

2yx

=

=+

te cilat kane zgjidhje 1x = dhe 1y = . Nje menyre e te shkruarit te ketyre ekuacioneve quhet matrice.

+=

0

2

yx

yx

y

x

11

11

Shihni si dy matrica ne te majte shumezohen bashke

Rregulli i shumezimit eshte me i qarte nese quajme:

dycx

bxax

y

x

dc

ba (1.13)

2

Keshtu per shembull, 2212111111 BABAC += dhe 2122112121 BABAC += i cili mund te shkruhet ne menyre

te shkurtuar

kjikij BAC = (1.14)

e cila eshte formula e shumezimit te matrices per matricat katrore. Kjo eshte shume e lehte per tu kuptuar

ajo eshte pikerisht nje pergjithesim i (1.12) me indekst te vecante j. (Zgjidh problemat 1.2 dhe 1.3)

Shembull 1.2.1 Paraqit ekuacionin (1.14) ne formen e duhur per 21C .

Zgjidhje kjikij BAC = .Keshtu 212211211kk221 BABABAC +==

Shembulli 1.2.2

Jepet jkikij BAC = , a eshte gabim formula per shumezimin e matrices?

Zgjidhje Le te punojme me 21C : 12221121k1k221 BABABAC +== .

Krahaojme shprehjet lart ne mund te shikojme se termi i dyte eshte gabim atje.

1.3 Percaktoret dhe i anasjellti

Ne tani e ndjejme te nevojshme te diskutojme per percaktorin e matrices dhe matricen e anasjellte.

Percaktori per matricen 2x2 eshte

12212211

2221

1211AAAA

AA

AA (1.15)

dhe per matricen 3x3 eshte

233211331221132231322113312312332211

333231

232221

131211

AAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAA

AAA

AAA

++= (1.16)

Matrica njesi e [I] eshte

10

01 per matricen 2x2 ose

100

010

001

per matricen 3x3 etj. I eshte percaktuar

keshtu per te patur te vertete vetine e identitetit domethene BBIIB ku B eshte nje matrice

Ushtrim: Kontrollo nese eshte e vertete shumezimi i nje matrice 2x2 me I. I anasjellti i matrices A eshte 1

A dhe e percaktuar ne menyre te tille

IAAAA11

== (1.18).

E anasjellta eshte ne te vertete i llogaritur duke perdorur si objekt ate qe quhet cofaktor (minor) [3].

Marrim matricen

333231

232221

131211

AAA

AAA

AAA

A = . Minori i matrices elementare A pershembull eshte percaktuar si

)AAAA(AA

AA)()Amin( 13323312

3332

131212

21 =+ (1.19)

Menyra per te patur elementet e matrices ne dukje ne kete percaktor eshte duke fshire rreshtin 2 dhe

shtyllen 1 t 21A nga matrica A

Shembulli 1.3.1 Sa eshte minori i 22A ?

Zgjidhje 133133113331

1312122

22 AAAAAA

AA)()Amin( =

+

Perfundimisht ne mund te marrim matricen e anasjellte. Elementet e matrices se anasjellte jane dhene nga [3]

( ) ( )jiA1ij1 AminA (1.20)

Vini re qe elementi ij i matrices inverse jepet nga minori ji .

3

Shembull 1.3.2 Gjeni inversen e

11

11 dh verifikoni pergjigjen

Zgjdhje: ( ) 1AA)Amin( 222211

11 ===+

Vini re qe percaktuesi ne minor eshte thjesht nje numer i vetem per matricat 2x2. minoret e tjere jane .

( ) 1AA)Amin( 212121

12 ===+

( ) 1AA)Amin( 121212

21 ===+

( ) 1AA)Amin( 111122

22 ===+

Percaktimi i A eshte 211AAAAA 12212211 ===

Keshtu nga (1.20)

21

1121

11

1)Amin()A( =

21

2121

12

1)Amin()A( =

21

1221

21

1)Amin()A( =

21

2221

22

1)Amin()A( =

Keshtu

=

11

11A

211

Mund ta kontrollojme pergjigjen duke bere te qarte si me poshte se IAA 1 = dhe ne vazhdim,

=

=

=

=

10

01

20

02

11

11

11

11

11

11

11

11AA

21

21

211

Keshtu qe tani jemi te sigurt qe llogaritja e 1A eshte korekte.

Gjithashtu pasi kemi verifikuar se kjo na jep ne justifikim per te besuar ne te gjitha formulat per minoret

dhe inverset te dhena me lart.

1.4. Zgjidhja e sistemit te ekuacioneve.

Deri tani ne jemi ambjentuar disi me matricat por cili eshte qellimi i gjithe kesaj? Kjo na lejon ne te

zgjidhim sisteme ekuacionesh (sic eshte 1.5) me metoda matricore. Duke shkruar (1.6) si:

YAX = ku:

=

11

11A ,

=

y

xX ,

=

0

2Y

ne shohim qe zgjidhja qe ne duam eshte vlera per x dhe y. Me fjale te tjera ne duam te gjejme matricen kalon

X.

Kemi: YAX = 1.21

Keshtu YAAXA 11 = 1.22

Prandaj YAX 1= 1.23

Kemi perdorur (1.18)

Shembulli 1.4.1 Zgjidhni sistemin e ekuacioneve (1.5) me metodat e matricave

Zgjidhje ekuacioni (1.5) eshte rishkruar ne (1.6) si YAX =

me

=

11

11A ,

=

y

xX ,

=

0

2Y .

Ne kerkojme YAX 1=

=

11

11A

211 dhe

=

=

=

1

1

2

2

0

2

11

11

y

x21

21 dmth. x=1 dhe y=1

4

1.5 Permbledhje

Kjo permledh diskuimin tone mbi matricat. Thjesht per te perseritur pak se pari, eshte mese e arsyeshme,

thjesht te mendosh per matricat si menyre tjeter per te shkrajtur dhe zgjidhur sistemet e ekuacioneve, se dyti

zbulimi yne se si te shumezojme matricatne (1-2) u shpik vetem ne kete menyre qe ai te jepte zgjidhn e

ekuacionin (1.5). Per shumezimin e dy matricave katrore ekuacioni (1.14) eshte i vertete nga (1.12). Se dyti

madje mund te themi se ne nuk mund te bejme proven matematike e te anasjelltit e cila eshte dhene nga (1.20),

natyrisht ne do te besojme ne formulen sepse ne ndonjehere e gjejme te perdorur si IAA 1 =

Nuk ka rendesi se si e marrim 1A , per sa kohe qe IAA 1 = ju e dini se keni krijuar pergjigjen e drejte.

Vertetimi i (1.20) do te behet ne lenden e matematekes

1.6 Problema

1.1 Trego se kiki xAB = jepet sipas (1.11)

1.2 Trego se kjikij BAC = jepet sipas (1.13)

1.3 Trego se shumezimi i matricave nuk gezon vetine nderuese, BAAB

1.4 Gjej te anasjelltin e

10

11 dhe kontrollo pergjigjen

1.5Gjej te anasjelltin e

102

111

111

dhe kontrollo pergjigjen

1.6 Zgjidh sistemin e ekuacioneve me metoden e matrices

=+

=+

=++

4z2x

2zy-x

4zyx

1.7 Pergjigjet

1.4

10

11

1.5

111

0

1

21

21

21

21

1.4 2z ,1y ,1x ===

1.8 Zgjidhjet

1.1 kiki xAB = . Ne thjesht vleresojme do term.

Keshtu 212111kk12 xAxAxAB +== , 222121kk22 xAxAxAB +==

1.2 kjikij BAC = Perseri vleresojme sakte cdo term.

Keshtu 211211111kk111 BABABAC +==

221212112kk112 BABABAC +==

212211211kk221 BABABAC +==

222212212kk222 BABABAC +==

1.3 Kjo mund te shikohet sapo shumezojme cdo dy matrica, themi

=

5033

2219

87

65

43

21

Kurse

=

4631

3423

43

21

87

65 shikohet se shumezimi i matricave nuk eshte nderues.

5

1.4 Le te shkruajme

=

=

10

11

AA

AAA

2221

1211. Atehere min ( ) 1AA)(A 2222

11

11 ==+ . Shikojme se

percaktori i minorit eshte nje numer tek (i vetem) per matricen 2x2. Minoret e tjere jane:

min ( ) 0AA)(A 212121

12 ==+

min ( ) 1AA)(A 121212

21 ==+

min ( ) 1AA)(A 111122

22 ==+

Percaktori i A eshte 1AAAAA 12212211 == . Keshtu nga (1.20)

( ) ( ) 1AminA 1111111

= ,

( ) ( ) 1AminA 2111121

= ,

( ) ( ) 0AminA 1211211

= ,

( ) ( ) 1AminA 2211221

=

Keshtu

=

10

11A 1

Ne mund te kontrollojme pergjigjen e nxjerre me siguri nse IAA 1 =

I10

01

10

11

10

11AA 1 =

=

=

,

Keshtu ne jemi tani te sigurt se pergjigjia eshte e sakte.

1.5 Shkruajme

=

=

102

111

111

AAA

AAA

AAA

A

333231

232221

131211

Minoret jane

( ) ( ) 101AAAAAA

AA)(Amin 23323322

3332

232211

11 ==+==+

( ) ( ) 121AAAAAA

AA)(Amin 23313321

3331

232121

12 =+===+

( ) ( ) 220AAAAAA

AA)(Amin 22313221

3231

222131

13 =+=+==+

( ) ( ) 101AAAAAA

AA)(Amin 13323312

3332

131212

21 =+===+

( ) ( ) 121AAAAAA

AA)(Amin 13313311

3331

131122

22 ==+==+

( ) ( ) 211AAAAAA

AA)(Amin 12313211

3231

121132

23 =+===+

( ) ( ) 211AAAAAA

AA)(Amin 13222312

2322

131213

31 =+=+==+

( ) ( ) 011AAAAAA

AA)(Amin 13212311

2321

131123

32 ====+

( ) ( ) 211AAAAAA

AA)(Amin 12212211

2221

121133

33 ==+==+

6

Percaktori i A eshte (shiko ekuacionin1.16) 2A = . Keshtu nga (1.20)

( ) ( )21

1121

11

1 AminA = ,

( ) ( )21

2121

12

1AminA =

,

( ) ( ) 1AminA 3121131

= ,

( ) ( )21

1221

21

1AminA =

,

( ) ( )21

2221

22

1 AminA = ,

( ) ( ) 0AminA 3221231

= ,

( ) ( ) 1AminA 1321311

= ,

( ) ( ) 1AminA 2321321

= ,

( ) ( ) 1AminA 3321331

= ,

atehetre

=

111

0

1

A21

21

21

21

1

Ne mund te kontrollojme pergjigjen e nxjerre me siguri nse IAA 1 =

I

100

010

001

111

0

1

102

111

111

AA21

21

21

21

1=

=

=

Keshtu ne jemi tani te sigurt se pergjigjia eshte e sakte.

1.6 YAX = e shkruajm si

=

4

2

4

z

y

x

102

111

111

keshtu qe YAX 1= dhe 1A e gjejme nga problemi 1.5

=

=

2

1

1

4

2

4

111

0

1

z

y

x

21

21

21

21

keshtuqe zgjidhiet e sistemit jane x=1, y=1, z=2.