matrice determinanti sisteme liniare

MatriceDeterminanti

Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

1 MatriceAdunarea matricelorÎnmultirea cu scalar. Produsul

2 DeterminantiProprietati ale determinantilorRangul unei matrice

3 Sisteme liniareSisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare

Adunarea matricelorÎnmultirea cu scalar. Produsul

Notiunea de matrice

Fie Γ corpul comutativ al numerelor reale Γ = R sau complexeΓ = C .

DefinitieNumim matrice cu elemente din Γ cu m linii si n, coloane(m,n ∈ N) tabelul

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn

= (aij), i = 1,m j = 1,n.

Notam multimea matricelor cuMm,n(Γ). Daca m = n notamMn(Γ)


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Matrice particulare

Matrice linieA = ( a11 a12 · · · a1n ).

Vom nota A ∈M1,n(Γ).Matrice coloana.

A =

a11a21· · ·am1

.

Vom nota A ∈Mm,1(Γ).


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


A ∈Mn(Γ) este diagonala daca are forma:

A =

a11 0 · · · 00 a22 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · ann

= diag (a11,a22, · · · ,ann).

A ∈Mn(Γ) este triunghiulara inferior sau superior daca areforma:

A =

a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0· · · · · · · · · · · ·an1 an1 · · · ann

A =

a11 a12 · · · a1n0 a22 · · · a21· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · ann


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Egalitate si suma de matrice

Definitie

Matricele A = (aij),B = (bij) ∈Mmn(Γ), i = 1,m j = 1,n senumesc egale daca

aij = bij , i = 1,m j = 1,n

Definitie

Date matricele A = (aij),B = (bij) ∈Mmn(Γ), i = 1,m j = 1,nnumim suma, matricea A + B ∈Mmn(Γ) de forma

A + B = (aij + bij), i = 1,m j = 1,n


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


GrupulMmn(Γ)

MultimeaMmn(Γ) formeaza grup comutativ fata de adunare,adica satisface axiomele

1 ∀A,B ∈Mmn(Γ), A + B ∈Mmn(Γ)

2 ∀A,B,C ∈Mmn(Γ), (A + B) + C = A + (B + C)

3 ∃Omn ∈Mmn(Γ) astfel caA + Omn = Omn + A = A, ∀A ∈Mmn(Γ)

4 ∀A ∈Mmn(Γ), ∃ − A ∈Mmn(Γ) astfel caA + (−A) = (−A) + A = Omn

5 ∀A,B ∈Mmn(Γ), A + B = B + A


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Înmultirea cu scalar. Produsul.

Definitie

Daca A = (aij), i = 1,m j = 1,n este o matrice si α ∈ Γ,matricea α · A ∈Mmn(Γ) este prin definitie

α · A = (α · aij), i = 1,m j = 1,n.

Definitie

Daca A ∈Mmn(Γ),B ∈Mnp(Γ) atunci prin definitie produsuleste matricea A · B ∈Mmp

A · B = (n∑

k=1

aikbkj), i = 1,m, j = 1,p.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Structura de inel

Multimea matricelor patraticeMn(Γ),n ≥ 2 formeaza inel cuunitate necomutativ, adica

1 Mn(Γ) este grup aditiv comutativ2 ∀A,B,C ∈Mn(Γ), (A · B) · C = A · (B · C)

3 înmultirea este distributiva fata de adunare

A · (B + C) = A · B + A · C

(A + B) · C = A · C + B · C4 exista In element fata de înmultire


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Element neutru

Definitie

Elementul In ∈Mn(Γ) se numeste element neutru fata deînmultire daca ∀A ∈Mn(Γ) are loc

A · In = In · A = A.

Elementul neutru are forma

In =

1 0 · · · 00 1 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · 1

.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Inversa unei matrice

Definitie

Matricea A ∈Mn(Γ), se numeste inversabila daca existaA−1 ∈Mn(Γ) astfel ca

A · A−1 = A−1 · A = In


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Transpusa unei matrice

Definitie

Fie A = (aij), i = 1,m j = 1,n o matrice. Numim transpusamatricei A

At = (aji), i = 1,m j = 1,n

Obervam ca daca A ∈Mmn(Γ) atunci At ∈Mnm(Γ)Au loc

1 (A + B)t = At + Bt

2 (AB)t = BtAt

3 (At )t = A


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare

Proprietati ale determinantilorRangul unei matrice

Definitia generala

Fie A ∈Mn(Γ).

Definitie

Numim determinant al matricei A numarul∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1n· · · · · · · · ·an1 · · · ann

∣∣∣∣∣∣ =∑σ∈Pn

(−1)Inv(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n)

unde Pn este grupul permutarilor unei multimi cu n elemente,iar Inv(σ) este numarul inversiunilor permutarii σ.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Cazuri particulare

Determinant de ordin 2∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Determinant de ordin 3∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =

= a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Proprietati ale determinantilor

1 det(αA) = αndet(A), ∀A ∈Mn(Γ), α ∈ Γ

2 det(A · B) = det(A)det(B), ∀A,B ∈Mn(Γ)

3 daca schimbam doua linii sau doua coloane între ele,atunci determinantul îsi schimba semnul

4 daca la o linie (coloana) adunam o alta linie (coloana)înmultita cu un scalar valoarea determinantului nu seschimba

5 det(A) = det(At )


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Minori

Fie A ∈Mn(Γ) o matrice si 1 ≤ p ≤ n, un numar natural.

DefinitieNumim minor de ordinul p al matricei A determinantul matriceide ordinul p format cu elementele situate la intersectia a p liniisi p coloane ale matricei A.

DefinitieNumim minor complementar al minorului M de ordin p almatricei A determinantul Mc de ordinul n − p al matricei extrasedin A prin suprimarea celor p linii si p coloane corespunzatoarelui M.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


DefinitieNumim complement algebric al minorului M al matricei Aelementul din Γ definit de C = (−1)sMc , undes = (i1 + i2 + . . .+ ip) + ( j1 + j2 + . . .+ jp), adica suma indicilorliniilor si coloanelor matricei A utilizate în M.

Teorema(Teorema lui Laplace) Determinantul matricei A este egal cusuma produselor minorilor de ordinul p ce se pot construi cuelementele a p linii (coloane) fixate ale matricei A princomplementii lor algebrici.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Calculul inversei unei matrice

TeoremaMatricea A ∈Mn(Γ) este inversabila daca si numai dacadet(A) 6= 0.

TeoremaInversa matricei A este

A−1 =1

det(A)A∗

unde A∗ este matricea adjuncta.

Matricea adjuncta A∗ se obtine înlocuind elementele matricei At

prin complementii algebrici.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Rangul unei matrice

Definitie

Matricea nenula A ∈Mm,n(Γ) are rangul r daca exista în A celputin un minor de ordinul r diferit de zero si toti minorii de ordinmai mare decât r , daca exista, sunt egali cu zero. Notamrang(A) = r .

Pentru matricea nula, convenim ca rang(0m,n) = 0.rang A ≤ min(m,n).

TeoremaRangul produsului a doua matrice este mai mic sau egal decâtrangul fiecarei matrice.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare

Sisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)

Sisteme liniare neomogene

Forma generala estea11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

· · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn

, X =

x1x2· · ·xn

B =

b1b2· · ·bm

Sistemul se scrie

AX = B.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Matricea

A =

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn bm

se numeste matrice largita (extinsa).

Teorema(Teorema Kronecker -Capelli) Sistemul este compatibil daca sinumai daca

rang A = rang A


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Consecinte

1. Sistemul este compatibil unic determinat daca si numaidaca rangul matricei coincide cu rangul matricei largite si cunumarul de necunoscute, adica

rang A = rang A = n

2. Daca rang A = rang A < n sistemul este compatibilnedeterminat.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Presupunem ca matricea A are rangul r si fie ∆ 6= 0 un minorde ordin r .

DefinitieNumim determinant caracteristic, un determinant obtinut prinbordarea lui ∆ cu coloana termenilor liberi si cu una dintreliniile ramase.

Teorema(Teorema lui Rouche) Sistemul este compatibil daca si numaidaca toti determinantii caracteristici sunt nuli.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Regula lui Cramer

Daca m = n si rang A = rang A = n necunoscutele se potdetermina cu formulele

xi =∆i

∆

unde ∆ este determinantul sistemului, iar ∆i determinantulobtinut prin înlocuirea coloanei i cu coloana termenilor liberi.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Sisteme liniare omogene

Daca bi = 0, i = 1,n sistemul se numeste omogen. Deci formagenerala este

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0

· · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0

Un sistem omogen este totdeauna compatibil.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Consecinte

1. Sistemul omogen este compatibil unic determinat daca sinumai daca rangul matricei coincide cu numarul denecunoscute, adica

rang A = n

2. Daca rang A < n sistemul este compatibil nedeterminat.3. Daca m = n obtinem:i. Sistemul este compatibil unic determinat daca si numai daca

det(A) 6= 0

ii. Sistemul este compatibil nedeterminat daca si numai daca

det(A) = 0


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Metoda lui Gauss

Consideam sistemul liniara11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

· · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

Pas I. Daca toti aij = 0 analizam b1, · · · bm.I.1 Daca b1 = · · · = bm = 0 sistemul este compatibil

nedeterminatI.2. Daca exista bi 6= 0 sistemul este incompatibil


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Pas II Daca exista aij 6= 0Pas II.1 Alegem max

i=1,m;j=1,n|aij |. Aducem elementul pe linia

1 si coloana 1Pas II.2 Înmultim linia 1 cu −ak1

a11si adunam la linia

k = 2, · · · ,m. Sistemul devinea11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a′22x2 + · · ·+ a′2nxn = b′2· · · · · · · · · · · ·

a′m2x2 + · · ·+ a′mnxn = b′m

Pas II.3 Reluam pasul I pentru sistemula′22x2 + · · ·+ a′2nxn = b′2

· · · · · · · · · · · ·a′m2x2 + · · ·+ a′mnxn = b′m


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Dupa un numar finit de pasi se ajunge la un sistem de forma

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a′22x2 + · · ·+ a′2nxn = b′2

· · · · · · · · · · · ·a′rr xr + · · ·+ a′rnxn = b′r

0 = b′r+1· · ·

0 = b′m

I Daca cel putin unul dintre b′r+1, · · · ,b′m 6= 0 sistemul esteincompatibilII. Daca toti b′r+1 = · · · = b′m = 0 sistemul este compatibil.

II.1 Daca r = n sistemul este unic determinatII.2 Daca r < n sistemul este compatibil nedeterminat


matrice determinanti sisteme liniare

Education