UNIVERSIDAD NACIONAL«SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO»

CURSO : MATEMÁTICA II.

INTEGRANTES : AGUEDO LEON CRISTHIAN.RODRIGUEZ CASTILLO MARCO.

PROFESOR :

TEMA : MÉTODO DE GAUSS – JORDAN PARASISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales en donde cada ecuación es de primer grado, definidas sobre un sistema.Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

MÉTODO DE GAUSS - JORDANLlamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss - Jordan cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss - Jordan transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior y se continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz escalonada reducida.

Matriz escalonada reducida1 0 0

0 1 0

0 0 1

Carl Friedrich Gauss

Wilhelm Jordan

A. Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales con solución única.B. Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales con infinidad de

soluciones.C. Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales sin solución.D. Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales homogéneas.

MÉTODO DE GAUSS - JORDAN

MÉTODO DE GAUSS - JORDAN PARA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON SOLUCIÓN UNICA

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss-Jordán:

Matriz Aumentada:

36 16 6 4 0

64 8 0

4 16 2 4 0

64 9 8 3 0

B D E F

B D E F

B D E F

B D E F

16 6 4 36

8 64

16 2 4 4

9 8 3 64

B D E F

B D E F

B D E F

B D E F

Desarrollo:

16 6 4 1 361 8 1 1 64

16 2 4 1 49 8 3 1 64

Reduciendo:

2231 ( 1)

16 6 4 1 36 1 8 1 1 641 8 1 1 64 16 6 4 1 36

16 2 4 1 4 16 2 4 1 49 8 3 1 64 9 8 3 1 64

FC

12 23 3

1 24 4

1 2

1(8)8

( 16) ( 130)( 9) ( 80)

1 8 1 1 64 1 8 1 1 640 8 8 0 32 0 1 1 0 4

16 2 4 1 4 0 130 20 15 10209 8 3 1 64 0 80 12 8 512

F FF FF F

3

4 3 4

151

17 224

1 0 7 1 32 1 0 7 1 320 1 1 0 4 0 1 1 0 40 0 110 15 500 0 0 22 3 1000 0 68 8 192 0 0 17 2 48

F

F F F

3

4 3 4

151

17 224

1 0 7 1 32 1 0 7 1 320 1 1 0 4 0 1 1 0 40 0 110 15 500 0 0 22 3 1000 0 68 8 192 0 0 17 2 48

F

F F F

1434 4

( 1)1

(3)7

1 0 7 1 32 1 0 7 1 320 1 1 0 4 0 1 1 0 40 0 22 3 100 0 0 22 3 1000 0 0 7 644 0 0 0 1 92

FF F

13

23 3

(7)122

1 0 7 0 60 1 0 7 0 600 1 1 0 4 0 1 1 0 40 0 22 0 176 0 0 1 0 80 0 0 1 92 0 0 0 1 92

FF F

1 0 0 0 40 1 0 0 40 0 1 0 80 0 0 1 92

Interpretación del resultado:La última matriz escalonada reducida, indica que las soluciones para este sistema de ecuaciones lineales son:

4B

4D

8E 92F

, ,

.

MÉTODO DE GAUSS - JORDAN PARA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON INFINIDAD DE SOLUCIONES

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordán:5 3 2 1

2 3 2

3 2 2 3 3

2 5 5 4

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

Desarrollo:1232

2 43 2

(5)( 3)(2)

5 3 1 2 1 5 3 1 2 152 1 3 1 2 1 1 1 433 2 2 3 3 3 2 2 342 5 1 5 4 2 5 1 5

FF

F F

2231 431

(8)(7)( 1)

50 8 6 22 1 1 1 4265 261 1 1 4 0 8 6 2212 120 1 5 9 0 1 5 9

14 140 7 1 13 0 7 1 13

FCFF

42 33 2

5 51 1 1 4 1 1 1 470 700 0 34 50 0 0 34 5012 120 1 5 9 0 1 5 970 00 0 34 0 0 0 0 0

FF C

1 12 323 3

( 4)1

( 5)34

71 0 4 551 1 1 4120 1 5 9120 1 5 9352570 0 0 10 0 34 501717

00 0 0 0 00 0 0 0

F FF F

15 211 0 017 1728 290 1 017 1725 350 0 117 17

0 0 0 0 0

15 2117 1728 2917 1725 3517 17

0 0

x w

y w

z w

w

15 2117 1728 2917 1725 3517 17

x w

y w

z w

21 1517 17

29 2817 1735 2517 17

wx

y w

z w

w cSi , tenemos:

21 1517 17

29 2817 1735 2817 17

c

c

c

x

y

z

w c

, con cR

Entonces se puede decir que hay infinidad de soluciones para este sistema de ecuaciones lineales.

MÉTODO DE GAUSS - JORDAN PARA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SIN SOLUCIÓN

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordán:

Desarrollo:

2

2 5

3 1

2 2 2 3

x y z w

x y w

x z w

x y z w

213

14 3

1 2

( 2)( 3)( 2) ( 1)

1 1 1 1 1 1 1 12 252 1 0 1 0 3 2 3 11 53 0 1 1 0 3 2 43 12 2 2 1 0 0 0 1

FFF F

43 ( 1)

1 1 1 1 2 1 1 1 1 20 3 2 3 1 0 3 2 3 10 0 0 1 6 0 0 0 1 6

50 0 0 1 1 0 0 0 0

F

0 0 0 0 5x y z w 0 5De la cuarta fila se tiene que da la igualdad de (incorrecto) por lo tanto este sistema de ecuaciones lineales no tiene solución

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

............... 0

............... 0n n

n n

a x a x a x a x

a x a x a x a x

1 1 2 2 3 3 ............... 0m m m mn na x a x a x a x

Los sistemas homogéneos SIEMPRE tienen solución ya que:

1 2 3 ....... 0nx x x x

Esta solución es llamada la solución trivial, así un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene solución única o tiene una infinidad de soluciones. Esta solución es llamada la solución trivial, así un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene solución única o tiene una infinidad de soluciones.

MÉTODO DE GAUSS - JORDAN PARA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS

Un sistema de ecuaciones lineales se dice HOMOGÉNEO si cada una de las ecuaciones está igualada a cero es decir:

Ejemplo:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordán:

2 3 4 0

3 2 2 0

4 6 0

x y z

x y z

x y z

Desarrollo:2

11 33 1

( 3)(2)

2 3 4 0 1 4 6 03 2 2 0 3 2 2 01 4 6 0 2 3 4 0

FC F

322

11( )102

1 4 6 0 1 4 6 00 10 16 0 0 10 16 01 5 8 0 0 0 0 0

FF

12(4)

21 01 4 6 50 08 80 1 0 0 1 05 5

0 00 0 0 0 0 0

F

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES QUE INVOLUCRAN

CONSTANTES ADICIONALES PARA QUE EL SISTEMA TENGA O NO

SOLUCIÓNEn esta parte se dan ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales donde se determinan valores de constantes para que el sistema de ecuaciones lineales tenga o no solución.

Ejemplo:

Obtener el valor para que el sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordán:

k

2

3 2

2 5 4

2 5 4

x y z

x y z

x y k z k

Desarrollo:

213 3

1 2

( 1)(2) ( 1)

2 2

1 3 1 2 1 3 1 21 2 5 4 0 1 6 2

42 5 0 1 2

FF F

k kk k

2

2 2

1 3 1 2 1 3 1 21 1 6 2 0 1 6 2

2 20 0 4 0 0 4

F

k kk k

Si entonces: 24 0k

321

4

2

1 3 1 20 1 6 20 0 1 2

4

Fk

kk

3 2

6 2

1

2

x y z

y z

zk

Del sistema de ecuaciones lineales anterior se obtiene que este es un sistema de ecuaciones lineales con solución única si 2k

Pero si la cuarta matriz queda en la forma de: 2k

1 3 1 20 1 6 20 0 0 0

De esta matriz se obtiene que:

3 2

6 2

0 0

x y z

y z

z

3 2

6 2

x y z

y z

Este es un sistema de ecuaciones lineales con infinidad de soluciones.Y si la cuarta matriz se transforma en:2k

1 3 1 20 1 6 20 0 0 4

En la tercera fila se tiene que , que da la igualdad .Lo cual nos indica que el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.En conclusión:

0 0 0 4x y z 0 4

Si , este sistema de ecuaciones lineales tiene solución única Si , este sistema de ecuaciones lineales tiene infinidad de soluciones. Si , este sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.

2k

2k

2k

2k

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA HALLAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ

Ejemplo:

Obtener la inversa de la matriz mediante el método de Gauss-Jordan:2 3 4

4 3 2

0 1 0

Desarrollo:

32

2 3 4 1 0 0 2 3 4 1 0 04 3 2 0 1 0 0 1 0 0 0 10 1 0 0 0 1 4 3 2 0 1 0

CA

31 ( 2)

2 3 4 1 0 00 1 0 0 0 10 3 6 2 1 0

FA

1332

(1/2)(1/ 6)(3)

3 11 2 0 02 3 4 1 0 0 2 20 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 10 0 6 2 1 0 0 0 1 1 1 1

3 6 2

FFFA

3 1 2 313

( 3/2) ( 2)96

3 1 1 1 1 11 0 02 2 2 1 0 0 6 3 2

11 3 20 1 0 0 1 0 0 0 113 13 13

0 0 1 1 1 10 0 1 116 34 263 6 296 96 96

F F F FA

La inversa es:

1

1 1 1

6 3 20 0 1

1 1 1

3 6 2

A

Comprobando:1 *A Matriz IdentidadA

1 1 1 1 1 11 0 06 3 2 6 3 2

0 0 1 0 0 1 0 1 0

1 1 1 1 1 1 0 0 1

3 6 2 3 6 2