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UniversalidadMatrices Aleatorias que Varían con el Tiempo

Aplicaciones de Matrices Aleatorias en otras Áreas

Matrices Aleatoriasen Familias Gaussianas y Circulares

Parte 5:Panorámica de Tópicos más Avanzados

Eduardo Duéñez

Departmento de MatemáticasUniversidad de Texas en San Antonio

Escuela de Matrices AleatoriasCIMAT, 19–23 Noviembre 2012

Eduardo Duéñez Matrices Aleatorias en Familias Gaussianas y Circulares



Universalidad en el Grueso del EspectroUniversalidad en la Orilla del Espectro

Familias Clásicas: Parámetro de Simetría β = 1,2,4

Si w(λ) es un peso, es de interés estudiar las propiedadesestadísticas de N niveles Λ = (λ1, . . . , λN) con FDP conjunta*

ε(Λ) ∝ |Van(Λ)|βN∏

j=1

w(λj)dλj .

El método de polinomios ortogonales solamente sirve paraestudiar el caso β = 2, aunque con cambios (no triviales) lastécnicas se generalizan a β = 1,4. Se necesitan polinomiosantiortogonales (o sesquiortogonales) con respecto a unaforma hermitiana antisimétrica, así como sus núcleosmatriciales (o cuaterniónicos) asociados.

*No sólo por su conexión con matrices aleatorias, sino también conlog-gases en física.





Familias Clásicas: Parámetro de Simetría β = 2

Ciertos pesos w tales como

w(λ) = exp(−λ2) (Hermite),w(λ) = λα exp(−λ)χ[0,∞](λ) (Laguerre),

w(λ) = (1− λ)α(1 + λ)βχ[−1,1](λ) (Jacobi)

son clásicos y la teoría asintótica de los respectivos polinomiosortogonales es bien conocida.No es de sorprender que el comportamiento universal de lasestadísticas de eigenvalores haya sido demostradaprimeramente (en el grueso del espectro) en las familias con wclásica y β = 2: En todos estos casos, el núcleo-senoS(x , y) = sinπ(y − x)/(π(y − x)) dicta las estadísticas localesen el límite N →∞.





Familias Clásicas: Parámetro de Simetría β = 1,2,4

Tras décadas de avances, el trabajo de Pastur-Scherbina yBleher-Its así como Deift-Venakides-Zhou a finales de losnoventas resultó en una demostración de la universalidad parapesos w bastante generales cuando β = 2. (El métodorequiere la descripción de los polinomios ortogonales comosolución de un problema tipo Riemann-Hilbert junto contécnicas de “descenso rápido” o “punto de silla de montar”.)Las estadísticas locales en el grueso del espectro para familiascon β = 1,4 también son universales (según relataremos acontinuación), pero los tres casos β = 1,2,4 son cada unodistinto a los otros: Por ejemplo, la FDP de los huecos muestraclaramente que la repulsión entre eigenvalores es másagresiva conforme β crece (tal como se espera intuitivamente).





La Distribución β = 1 de los Huecos

Figura: La FDP p1(0; s) de los huecos consecutivos entre los nivelesrescalados de una matriz aleatoria en una familia “unitaria”(parámetro β=1). Nótese que p1 tiene un cero simple en s = 0.





La Distribución β = 2 de los Huecos

Correlaciones y HuecosLímites Semiclásicos, Localización y Universalidad

DefinicionesEl Conjunto Circular Unitario CUEUniversalidad

La Distribución ! = 2 de los Huecos

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura: La FDP p2(0; s) de los huecos consecutivos entre los nivelesrescalados de una matriz aleatoria en una familia “unitaria”(parámetro !=2). También se muestra la predicción equívoca deWigner (en verde).

Eduardo Duéñez Matrices Aleatorias: Un Minicurso Básico

Figura: La FDP p2(0; s) de los huecos consecutivos entre los nivelesrescalados de una matriz aleatoria en una familia “unitaria”(parámetro β=2). Nótese que p2 tiene un cero doble en s = 0.





Universalidad para β = 1,4

Alrededor de 2000 se probó rigurosamente la universalidad deestadísticas de eigenvalores en el grueso del espectro parafamilias con peso w clásico y β = 1,4 en el trabajo deNagao-Wadati, Adler-van Moerbecke y Forrester. El ingredientemás novedoso son los métodos de la teoría de sistemasintegrables.**.En 2004, Deift y Goyev finalmente establecieron launiversalidad de correlaciones en el grueso del espectro parafamilias con peso w arbitrario en el caso β = 1,4. Lademostración es relativamente elemental pero muy laboriosa yle da la vuelta al uso directo de polinomios sesquiortogonalespartiendo en su lugar de las fórmulas de Tracy y Widom quepermiten calcular las correlaciones sin necesidad de trabajarcon una base privilegiada de polinomios.

**Zirnbauer también atacó el problema pero usando métodos desupersimetría





La “Orilla Suave” del Espectro

Para una matriz GUE típica casi todos los eigenvaloressatisfacen λ <

√2N, pero “pocos” λ >

√2N: Los

eigenvalores grandes son ≈√

2N.λ =√

2N es la “orilla suave”.La escala correcta para localización es N

16 :

x = (λ−√

2N)/(√

2N1/6).Estadísticas localizadas límite dictadas por el núcleo Airy(donde Ai es la función de Airy):

A(x , y) =Ai(x)Ai′(y)− Ai′(x)Ai(y)

x − y.

Mismas estadísticas observadas (universalidad) en orillassuaves de otras familias con β = 2 .Comportamiento universal esperado para β general. Paraβ = 1,4: variantes del núcleo Airy.





La “Orilla Dura” del Espectro

Cuando el peso w es idénticamente cero a partir de unvalor λ0 al último se le llama una orilla dura.Ejemplo: Familia Laguerre conw(λ) = λα exp(−λ)χ[0,∞](λ) tiene λ0 = 0 como orilla dura.Estadísticas localizadas límite dictadas por el núcleoBessel (donde Jα es la función de Bessel):

Bα(x , y) =Jα(√

x)√

yJ ′α(√

y)−√xJ ′α(√

x)Jα(√

y)

2(x − y).

Mismas estadísticas observadas (universalidad) en orillasduras de otras familias con β = 2 .Comportamiento universal esperado para β general. Paraβ = 1,4 variantes del núcleo Bessel describen lasestadísticas.





Densidad de Niveles en la Orilla Dura (β = 2)

Figura: Gráficas de ρ̂(a)2 (x) para a = −1/2 (el núcleo-seno “par”,sólida), a = +1/2 (el núcleo seno “impar”, punteada), y a = 0(quebrada).






Figura: Gráficas de ρ̂(a)1 (x) para a = −1/2 (sólida), a = +1/2(punteada), y a = 0 (quebrada).






Figura: Gráficas de ρ̂(a)4 (x) para a = 0 (sólida), a = 1 (punteada), ya = 2 (quebrada).



Aplicaciones de Matrices Aleatorias en otras ÁreasSistemas Cuánticos de Caloguero-Sutherland

Matrices Aleatorias Gaussianas con Parámetro

Sean H,H0 matrices hermitianas de N × N con H(0) fija y Haleatoria, con

Pτ (H | H(0)) ∝ exp

(−Tr(H − e−τH0)2

∣∣1− e−2τ∣∣

).

Aquí τ es un parámetro del cual depende la distribución de H.De hecho

H =√∣∣1− e−2τ

∣∣X + e−τH(0)

donde X es una matriz aleatoria GUE(N).Nótese que cuando τ → 0, H se vuelve la matrizdeterminista H(0).




Variación de los Parámetros

La dependencia en τ está escogida para que pτ (H | H(0))satisfaga una ecuación de Fokker-Planck (del movimientoBrowniano en un potencial armónico).Al permitir que H(0) también sea aleatoria, y promediandosobre ella, se obtiene una FDP conjunta pτ (Λ) de loseigenvalores de H que aún depende del parámetro τ ysatisface la ecuación de Fokker-Planck

∂pτ∂τ

= Lpτ

donde L es un operador diferencial de segundo orden queno involucra a τ .La ecuación de Fokker-Planck puede escribirse de maneraque L = Lβ involucra a β como parámetro formal y modelala τ -evolución de la FDP en familias con β arbitrario.




Sistemas Cuánticos de Calogero-Sutherland

Conjugación de Lβ por un operador apropiado lo convierteen el operador de Schrödinger H para un sistema cuánticode muchos cuerpos de tipo Calogero-Sutherland (C-S).Los operadores (como H) asociados a sistemas C-Sposeen muchas integrales pues están asociados asistemas de raíces de grupos de simetría.La solución general de la ecuación de Schrödinger de unsistema C-S se expresa en términos de la función deGreen Gτ (~x | ~x (0)), que juega un papel análogo al núcleoreproductivo, pero involucra a τ como tercera variable y“proyecta” hacia adelante en el tiempo.




Correlaciones Dinámicas y ...

Resultados explícitos y difíciles de la teoría de polinomiosde Jack (que son eigenfunciones de H) permiten(Forrester):

En el caso β arbitrario par, calcular la correlación dinámicade pares de niveles.En el caso β arbitrario racional, calcular la correlación(estática) de pares de niveles.




Eigenvalor Máximo y Permutaciones AleatoriasMatrices Aleatorias en Teoría de Números

El Eigenvalor Máximo de Matrices GUE

Sea λmáx el eigenvalor máximo de una matriz aleatoria enGUE(N).λmáx tiene un promedio (valor esperado) E [λmáx] ≈

√2N.

Teorema (Tracy-Widom)La “fluctuación” (discrepancia) de λmáx con respecto a suesperanza

√2N, en el límite N →∞, obedece la distribución

de probabilidad de Tracy y Widom:

l«ımN→∞

Prob(

a√2N1/6

≤ λmáx −√

2N ≤ b√2N1/6

)=

∫ b

apTW(t)dt ,

donde la FDP de Tracy y Widom, pTW(t), está especificadacomo la solución de una cierta ecuación diferencial ordinariano lineal de segundo orden (Painlevé II).





El Eigenvalor Máximo de Matrices GUE

Distr µ ! S KF -1.77109 0.9018 0.224 0.093FO -1.26332 0.7789 0.329 0.225

Table 1: The mean (µ), standard deviation (!), skewness (S) and kurtosis (K) of F andFO := F 2.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2s

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f

fO

Figure 1: The probability densities f = dF/ds and fO = dFO/ds.

We show that as N ! " we have for fixed s

Prob

!"N(!) # 2

$N

22/3N1/6% s

"! F (s)2, (1.15)

where F (s) is as in (1.12).

In Table 1 we give some statistics of the distribution functions F and FO := F 2. InFigure 1 we graph their densities.

II. The integral representation for Dn

We write! = Tn(z!1), !" = Tn(z).

Thus ! is the backward shift and !" is the forward shift. It is easy to see that

Tn(z!1 f) = Tn(f) ! + f+ & #+ = ! Tn(f) + #! & f!, (2.1)

Tn(z f) = Tn(f) !" + f! & #! = !" Tn(f) + #+ & f+, (2.2)

where #± and f± were defined above and a & b denotes the matrix with j, k entry aj bk.Relation (2.1) holds for any f but (2.2) uses the fact that f!k = fk.

5

Figura: La FDP pTW (llamada f0 en la figura) de la distribución deTracy y Widom.





Máxima Subsucesión Creciente de una Permutación

DefiniciónUna permutación de N “letras” es una biyección σ del conjunto{1,2, . . . ,N} consigo mismo. Sea SN el conjunto (grupo) detodas tales σ (son N!).

Una permutación se dice aleatoria si se elige en SN conprobabilidad uniforme.Una subsucesión creciente de la permutación σ es unasucesión a1 < a2 < · · · < ak tal queσ(a1) < σ(a2) < · · · < σ(ak ).k se llama la longitud de la subsucesión creciente.Sea `(σ) la máxima longitud de toda subsucesióncreciente de la permutación σ.





Máxima Subsucesión Creciente de una Permutación

Ejemplos: En S5, sean

σ =

(1 2 3 4 51 3 2 4 5

)τ =

(1 2 3 4 54 2 5 1 3

)ρ =

(1 2 3 4 55 4 3 2 1

)

`(σ) = 4 porque σ(1) < σ(3) < σ(4) < σ(5).`(τ) = 2 porque τ(1) < τ(3) (or τ(2) < τ(3), orτ(2) < τ(5), o incluso τ(4) < τ(5).)`(ρ) = 1 porque ρ es decreciente.





La Distribución de la Máxima Longitud

Teorema (Baik-Deift-Johansson)El límite (reescalado) de la longitud de la máxima subsucesióncreciente de una permutación aleatoria en SN sigue ladistribución de Tracy y Widom:

l«ımN→∞

Probσ∈SN

(a ≤ `(σ)− 2

√N

N1/6 ≤ b

)=

∫ b

apTW(t)dt .

¡La teoría de matrices aleatorias explica una propiedad básicaacerca de permutaciones!





Más Aplicaciones Combinatorias

El estudio de ciertas familias de trayectorias que no seautointersectan es de interés en vista de su relación conmodelos de mecánica estadística. La distribución deprobabilidad de la posición final de la trayectoria puede, enciertos casos, expresarse en términos del promedio delpolinomio característico de matrices aleatorias.Ciertas estadísticas en “modelos de crecimiento” tambiénson equivalentes a promedios de polinomioscaracterísticos de matrices aleatorias.





La Función Zeta de Riemann ζ(s)

DefiniciónLa función Zeta de Riemann (de la variable compleja s) sedefine por medio de la serie

ζ(s) =∞∑

n=1

1ns =

∏

p primo

11− 1

ps

, <s > 1.

Teorema (Riemann)La función Zeta se extiende analíticamente a todo C, conun polo simple en s = 1.Los únicos ceros de la así extendida ζ(s) en lossemiplanos <(s) > 1 y <(s) < 0 están ens = −2,−4,−6, . . . .





Ceros Críticos de ζ(s)

Pregunta

Qué ceros tiene ζ(s) en 0 ≤ <(s) ≤ 1 (ceros críticos)?

Se sabe que hay una infinidad de ceros críticos.

Conjetura (La Hipótesis de Riemann)

Todos los ceros críticos están en la línea <(s) = 1/2.

El primer paso (patético) en esta dirección fue:

Teorema (Hadamard y de la Vallée-Poussin)Todos los ceros críticos están en la franja 0 < <s < 1.

Sin embargo, este resultado sí que tiene un corolarioformidable, a saber el super-famoso:





El Teorema del Número Primo

Teorema (Teorema del Número Primo)

Sea π(x) el número de primos hasta x. Entonces

π(x) ∼ xlog x

, x →∞.

Note este teorema cuenta primos en un intervalo largo[0, x ] (de longitud x , donde x →∞).Si se probara la Hipótesis de Riemann, ello implicaría que|π(x)− x/ log x | no es más grande que ≈ √x .

Pregunta

¿Se pueden contar bien los primos en un intervalo más corto?





La Hipótesis GUE

El conteo de primos en intervalos cortos está íntimamenteligado al comportamiento estadístico de los ceros críticos.

Pregunta

Digamos que la Hipótesis de Riemann es cierta, y los ceroscríticos de ζ(s) son de la forma 1/2 + itj . ¿Qué más se sabesobre la sucesión {tj}?

Conjetura (La Hipótesis GUE de Montgomery-Odlyzko)

La sucesión {tj}, conforme j →∞, tiene propiedadesestadísticas indistinguibles de las de los niveles de energía deun sistema cuántico caótico sin simetría bajo inversióntemporal, o equivalentemente de los eigenvalores de unamatriz GUE grande.





Figura: Espaciado de huecos entre 70 milliones de ceros cerca del1020-ésimo de Zeta comparado con p2(0; s).





2864 J P Keating and N C Snaith

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figure 1. The two-point correlation function of 106 Riemann zeros around the height of the 1020thzero (dots) and the two-point correlation function R2(x) (smooth curve), see theorem 2, of theeigenvalues of matrices in U(N) in the large-N limit (figure courtesy of A M Odlyzko).

That theorem 1 also generalizes was proved by Hejhal for the three-point correlation function[37], and by Rudnick and Sarnak [61] for all the n-point correlations, as we will now explain.

Rudnick and Sarnak define an n-point correlation sum as follows. For a set BN of Nunfolded Riemann zeros w1 � w2 � · · · � wN and for a test function f which satisfies

f (x) ≡ f (x1, . . . , xn) is symmetric (13a)

f (x + t (1, . . . , 1)) = f (x) for t ∈ R (i.e. f (x) is a function of successive

differences of the x) and (13b)

f (x) → 0 rapidly as |x| → ∞ in the hyperplane∑

j

xj = 0 (13c)

define

Rn,ζ (BN, f ) = n!

N

∑S⊂BN|S|=n

f (S). (14)

On the random matrix side, the n-point correlation function of the eigenphases of matricesfrom U(N) is defined as

Rn(θ1, . . . , θn; N) = N!

(N − n)!

∫ 2π

0· · ·

∫ 2π

0P(θ1, · · · θN) dθn+1 · · · dθN (15)

where the joint probability density function of the eigenphases (derived from Haar measure)is given by

P(θ1, . . . , θN) = 1

N!(2π)N

∏1�m<n�N

|eiθn−eiθm |2 (16)

that is, P(θ1, . . . , θN) dθ1 · · · dθN is the probability that a matrix plucked from this ensemblehas eigenphases between θ1 and θ1 + dθ1, between θ2 and θ2 + dθ2, and so on. These n-pointcorrelation functions were evaluated by Dyson [30] and are given by

Rn(θ1, . . . , θn; N) = det[KN(θj − θk)]j,k=1,...,n (17)

Figura: Correlación de parejas entre un millón de ceros de Zeta cercadel 1020-ésimo, versus la correlación 1−

( sin πθπθ

)2de parejas de GUE.


Apéndice Referencias

Referencias

Jinho Baik, Percy Deift, and Kurt Johansson.On the distribution of the length of the longest increasingsubsequence of random permutations.J. Amer. Math. Soc., 12(4):1119–1178, 1999.

P. J. Forrester.Log gases and random matrices.To be published by Princeton University Press.

Nicholas M. Katz and Peter Sarnak.Zeroes of zeta functions and symmetry.Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 36(1):1–26, 1999.

F. Mezzadri and N. C. Snaith, editors.Recent Perspectives in Random Matrix Theory andNumber Theory.Cambridge University Press, 2005.


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