1

MATRICES

COURS PROFESSE PAR LE PROFESSEUR AWONO ONANA

ECOLE NATIONALE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE DE YAOUNDE

Définition. On appelle matrice un tableau rectangulaire de n lignes et de m colonnes

d’éléments ija de natures diverses.

11 12 1

21 22 2

1 2

.

.

. . . .

.

m

m

n n nm

a a a

a a a

a a a

Lorsque les éléments ija sont des nombres réels (complexes), la matrice est dite réelle

(complexe). Les indices i et j indiquent que l’élément ija est situé à l’intersection de la

ligne i et de la colonne j . La matrice A constituée de n lignes et de m colonnes est dite

rectangulaire d’ordre n * m . Lorsque n m , la matrice A est dite carrée.

Définition. Une matrice dont tous les éléments sont égaux à zéro est appelée matrice

nulle, notée 0 .

Définition. Une matrice carrée A d’ordre n est symétrique si :

; , 1, 2,...,ij jia a i j n

Exemple. La matrice réelle

1 1 11

2 3

1 1 1 1

2 3 4 1

1 1 1 1

3 4 5 2

1 1 1 1

1 2 2 1

n

n

n

n n n n

H

n , est appelée matrice de Hilbert.

Définition. Un graphe est un ensemble fini de sommets reliés par des arcs.

1P

4P

2P

3P

5P

2

Exemple. Un graphe orienté est un graphe dans lequel on assigne une direction à

chaque arc.

1P

4P

2P

3P

Fig.

Définition. On définit la matrice d’incidence G d’un graphe orienté constitué de

sommets 1 2, ,.., nP P P de la façon suivante :

i j1, si il existe un arc orienté de P à P

0, dans le cas contraireijg

Exemple. La matrice d’incidence associée au graphe orienté de la figure ** est :

0 1 0 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

G

Exemple. L’ammoniac qui sert comme engrais dans l’agriculture s’obtient selon le

procédé représenté sur la figure ci-dessous :

2

2

N

O condenseur

190°C

2N

2

2

4

N

H

CH

2

2

4

N

H

CH2

2

4

N

H

CH

2

2

4

N

H

CH

2

2

3

4

N

H

NH

CH

2O

4

2

CH

H 0

4

2

2

CH

O

H 0

4

2

CH

H

4

2

CH

H

4

2

2

2

CH

H O

H

CO

2

2

H O

CO

3NH

réacteur35°C

condenseur

réacteurcondenseur

85°C

Le process est basée sur la réaction suivante :

2 2 33 2N H NH

3

Pour faire apparaître la matrice d’incidence liée à ce procédé, nous introduisons des

unités fictives dotées pour certaines seulement des sorties et pour d’autres seulement

des entrées. Ce qui donne :

2

2

N

O condenseur

190°C

2N

2

2

4

N

H

CH

2

2

4

N

H

CH2

2

4

N

H

CH

2

2

4

N

H

CH

2

2

3

4

N

H

NH

CH

2O

4

2

CH

H 0

4

2

2

CH

O

H 0

4

2

CH

H

4

2

CH

H

4

2

2

2

CH

H O

H

CO

2

2

H O

CO

3NH

réacteur35°C

condenseur

réacteurcondenseur

85°C

Nous pouvons maintenant représenter un graphe orienté associé au procédé ci-

dessus :

1

2 3 4 5 6 7

8

9

10 11 12

D’où la matrice d’incidence :

4

1

1 1

1

1

1

1 1

1

1

1

1 1

Exemple. Soit 1 2 3

e ,e ,e les vecteurs de base du repère orthonormé 1 2 3O,x ,x ,x .le

tenseur

1 2

0 0

0 0 0

0 0 0

σ e e

Est appelée tenseur uniaxial dans la direction σ et d’intensité .

Exemple. Le modèle mathématique d’un système linéaire stationnaire est donné par

des équations différentielles à coefficients constants. Ainsi le système de la figure

***

tu y t

Le système représenté ci-dessus est linéaire si :

1

1 1 01

n n

n nn n

d y t d y t dy ta a a a y t u t

dt dt dt

Où

Les coefficients 0 1, ,..., na a a sont des coefficients réels constants. Soit :

u t u

Introduisons les variables de phase suivantes :

1

1 2; ,... n

nx y x y x y

Ceci conduit aux équations de phase suivantes :

5

1 2

2 3

0 1 1

1

1 1n n

n n

x x

x x

x a t x a t x ua t a t

y x

Sous forme matricielle, on obtient :

T

t t

t

x A x B u

y C x

Où

0 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

,

1

1 0 0 0

n

nn n

T

t t

a t a t

a ta t a t

t

A B

C

Exemple. Le moment d’impulsion d’un corps solide en rotation autour de l’axe w

qui passe par le point fixe O est donné par la relation :

N = Jw

Où

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

I I I

I I I

I T I

J

La matrice J est un tenseur et ses éléments , ,xx yy zzI I I sont des moments d’inertie

autour des axes respectifs, alors que les éléments :I de la matrice sont des

produits d’inertie.

Exemple. L’énergie potentielle totale d’un système linéaire dynamique mécanique

peut être donnée par la relation :

1 1

1;

2

n n

ij i j ij ji

i j

V k q q k k

Sous forme matricielle, cette relation devient :

6

'

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

1

2

;

n

n

n n n nn

q k k k

q k k k

q k k k

V Q KQ

Q K

K est appelée matrice d’élasticité. Elle est symétrique.

L’énergie cinétique de ce même système est :

1 1

1;

2

n nji

ij ij ji

i j

dqdqT m m m

dt dt

Cette relation, sous forme matricielle devient :

1

2

TT Q MQ

Où

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

; ;

n

nii

n n n nn

q m m m

q m m mdqq

dt

q m m m

Q M

La matrice symétrique M est appelée matrice d’inertie.

Exemple. La question est d’étudier la distribution des votes dans la population en

fonction du critère de filiation. Pour prendre en compte les personnes qui

n’appartiennent à aucun parti politique reconnu, on crée un parti des sans partis. Nous

supposons que le pays compte n partis politiques. Soit ijp la probabilité que le fils

soit membre du parti i lorsque son père est du parti j . Nous définissons ainsi la

matrice carrée P qui caractérise l’état des opinions politiques dans le pays :

11 12 1

21 22

1 2

n

n

n n nn

p p p

p p p

p p p

P

7

Cette matrice est assez particulière. En effet, tous ses éléments sont positifs et la

somme des éléments d’une ligne (d’une colonne) est toujours égale à 1. Une telle

matrice est dite stochastique.

Exemple. On se propose d’étudier la distribution des palmiers dans une palmeraie

selon le critère d’âge. Pour ce faire, les palmiers sont divisés en quatre groupes selon

leur âge. Ainsi :

- a k est le nombre des jeunes plans (âgés de 0 à 9 ans)

- b k est le nombre de plans entrants en phase de grande production (de 10 à

18 ans)

- c k est le nombre de plants en phase de production optimale (de 19à 27 ans)

- d k est le nombre de plants en phase de déclin (28 ans et plus)

Le pas dans le temps est donc de 9 ans. Sachant que :

Un pourcentage connu des plants de chaque groupe meure

Les plants qui restent passent au groupe suivant et les plants en phase de déclin

demeurent dans ce groupe

Les plants morts sont remplacés par des plants du groupe 1.

Le nombre total de palmiers dans le champs doit toujours demeurer constant

dans le temps

Comment évolue dans le temps la distribution du nombre de plants passant d’un âge à

l’autre ?

Solution. On obtient :

1 a b c da k a k b k c k d k

1 1

1 1

1 1 1

a

b

c d

b k a k

c k b k

d k c k d k

Les paramères a b c dα ,α ,α ,α sont positifs et inférieurs à 1. soit :

8

a k

b kk

c k

d k

x , le vecteur distribution des palmiers selon leur âge. Soit A la matrice

telle que :

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 1

a c b d

a

c

b d

A

Il en découle la relation :

1k k x Ax

Nous verrons par la suite, que cette relation définit un système dynamique linéaire.

Exemple. Les matrices s’avèrent également utiles pour modéliser les structures

chimiques, par exemples celles des hydrocarbures. Considérons par exemple la

molécule de benzène 6 6C H représentée en ci-dessous (fig. XXX), constituée

d’atomes de carbone et d’atomes d’hydrogène.

Fig XXXX. Structure type d’une molécule de benzène.

Chacun des douze atomes de la molécule est relié exactement à deux autres atomes.

La modélisation mathématique de cette structure chimique passe par la définition

d’une matrice topologique T telle que :

1, i lié à j

0, i pas lié à jij

T

Par conséquent, dans le cas d’une molécule de benzène :

1

2

3

4

5

6

9

0 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 0

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 1

1 0 0 0 1 0

T

Si la numérotation des atomes sur la structure est de type pair – impair, c’est – à dire

si tout atome de numéro impair vient après tout atome de numéro pair, et que la

numérotation dans chaque groupe est naturelle, alors on obtient la matrice suivante :

1 0 1

; 1 1 0

0 1 1

T

0 BT = B

B 0

Définition. On appelle matrice diagonale toute matrice A telle que :

0, ; 0ij iia i j a

Définition. Une matrice diagonale dont tous les éléments diagonaux sont égaux est

dite scalaire.

Exemple. La matrice

5 0 0

0 5 0

0 0 5

S est une matrice scalaire d’ordre 3.

Exemple. La matrice

1 0

0

0 1

I est appelée matrice unité. La matrice unité I est

une matrice scalaire.

Définition. Une matrice constituée de n lignes et d’une seule colonne est appelée

vecteur de dimension n *1.

Exemple. Dans l’espace 3 , tout point u peut être caractérisé sans équivoque par ses

trois coordonnées , ,x y z . On dit que

x

y

z

u . De façon plus générale, un point de

l’espace n est caractérisé par ses coordonnées 1 2, ,..., nx x x .

10

Opérations sur les matrices

Définition. Deux matrices A et B de dimension *n m sont égales si :

; 1, 2,.., ; 1, 2,...,ij ija b i n j m .

On écrit A = B .

Définition. La somme de deux matrices A et B d’ordre *n m est une matrice C de

même ordre telle que :

; , : 1, 2,.., ; 1, 2,..,ij ij ijc a b i j i n j m

Ainsi,

11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1

21 22 2 21 22 2 21 21 22 22 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

11 12 1

21 22

n n n n

n n n n

n n nn n n nn n n n n nn nn

n

a a a b b b a b a b a b

a a a b b b a b a b a b

a a a b b b a b a b a b

c c c

c c

2

1 2

n

n n nn

c

c c c

Définition. Soit A une matrice de dimension *n m et un scalaire donné. Alors, la

matrice A , produit de la matrice A par le scalaire est définie ainsi qu’il suit :

; ij ijb a A = B

Exemple. Considérons les matrices

2 1 1 2 3 3; ;

3 1 1 3

i i

i i i i

A B C = A + B =

Propriétés de l’opération d’addition de matrices et de multiplication par un

scalaire.

Soient A,B,C des matrices de dimension *n m et 0 la matrice nulle de dimension

*n m . Alors, l’addition des matrices vérifie les propriétés suivantes :

11

1) Commutativité : A +B = B + A

2) Associativité : A + B +C = A + B +C

3) Existence de l’élément neutre : A + 0 = A

4) Existence d’un opposé : A - A = 0

Ainsi, l’ensemble ,n mM des matrices de dimension *n m , muni de l’opération

d’addition est un groupe commutatif.

Propriétés du produit d’une matrice par un scalaire

Soient A et B deux matrices de même dimension et un scalaire donné. Alors,

les propriétés suivantes sont vérifiées :

5) A + B A B

6) A A A

7) A A

Définition. Le produit de deux matrices A et B d’ordre *n m et *m p respectivement

est une matrice C d’ordre *n p telle que :

1

n

ij ik kj

k

c a b

Exemple. On considère un réseau de déserte aérienne entre les villes ,A,B,C,D H avec

H comme nœud principal. Pour partir de A à B de façon optimale, on effectue une

escale à H , ce qui donne les deux trajets A H et H B .

A

B

C

D H

Lorsque l’un des deux vols est complet, on n’a d’autre possibilité que d’emprunter un

itinéraire plus complexe, qui nécessitera au moins deux escales. Dès lors,

apparaissent les questions suivantes :

12

Combien d’itinéraires menant de A à B nécessitent deux escales, trois escales,… ?

Pour résoudre ce problème, on passe par la matrice de connectivité du réseau aérien :

1, s'il existe un vol direct entre la ville et la ville 0, dans le cas contraire

ij

i jc

Dans le cas présent :

0 0 1 0 1

1 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 1 0 0 1

1 1 1 1 0

C

ikc est le nombre total de vols directs entre les villes i et K . Dans le même ordre

d’idée,, kjc est le nombre de vols directs entre les villes k et j . Dès lors, ik kjc c est le

nombre de trajets entre les villes i et j qui nécessitent deux vols avec une escale à la

ville k. ainsi, le produit 2C = CCest défini par

52

1

ik kjijk

c c

C est le nombre total de

trajets entre les villes i et j qui nécessitent deux escales. De façon similaire,

1 1 2 2

1 2

53

, 1

ik k k k jijk k

c c c

C est le nombre total d’itinéraires entre les villes i et j qui

nécessitent au moins trois escales. Dans le cas général,

1 1 2 2 1

1 2 1

5

, ,... 1

....n j

n

n

ik k k k j kijk k k

c c c c

C est le nombre total d’itinéraires entre la ville i et la ville

j qui nécessitent n vols.

Ainsi, le nombre total d’itinéraires entre les villes i et j qui nécessitent n i escales

est donnée par la relation 2...

n

ijc c c

Exemple. Sachant que 1/ 3

0 1/ 3

A . Calculez la matrice nA . On a en effet,

2 3 41/ 9 2 / 3 1/ 27 / 3 1/ 81 4 / 27

; ;0 1/ 9 0 1/ 27 0 1/ 81

A A A

En général donc

13

11/ 3 / 3

0 1/ 3

n n

n

n

n

A

Définition. Une chaîne de Markov est un système qui prend un nombre fini d’états

1 2, ,..., nE E E et qui évolue selon les règles suivantes :

1. à chaque instant, le système se trouve dans un état donné ;

2. à chaque étape, le système évolue d’un état à un autre ;

3. les probabilités de passage d’un état à un autre sont des connues

Définition. Le vecteur d’état pour une chaîne de Markov est un vecteur dont le ième

élément indique la probabilité que le système se trouve à l’état iE .

Définition. La matrice de transition d’une chaîne de Markov est une matrice

stochastique M dont l’élément ijm est la probabilité que l’élément se trouvant à l’état

jE évolue à l’état iE à la prochaine étape.

Théorème. Considérons une chaîne de Markov dont p est le vecteur d’état et M la

matrice de transition à une étape donnée. Après n étapes, 1n , le vecteur d’état

devient :

n

n p M p

Exemple. Une compagnie de transport disposant de 1- bus dessert quatre villes A,

B,C, D. on sait que 8 bus se trouvent en A, 4 à B, 3 à C et 1 à D. la probabilité qu’un

bus choisi au hasard se retrouve dans l’une des quatre villes est donnée par le vecteur

d’état :

.5

.25

.1875

.0625

A

Bp

C

D

Supposons maintenant que chaque heure, chaque train se déplace d’une ville à une

autre selon le schéma ci-dessous :

14

A

BC

D

Ce qui conduit à la matrice de transition suivante :

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

A B C DA

BM

C

D

Si np désigne le vecteur d’état à l’étape n, alors :

n n

p M p

Exemple. Soit à gérer le stock d’un antibiotique donnée dans une pharmacie.

L’antibiotique est commandée en cartons une fois par semaine le samedi et mis en

vente dès lundi.

Soient :

ia la demande de la clientèle pendant la ième

semaine.

i le nombre de cartons en stock à la fin de la ième

semaine et

0 le stock initial.

La stratégie de commande du pharmacien est la suivante :

Si 1 0i , alors on commande trois cartons,

Si 1 1i , aucune nouvelle commande n’est passée.

Dans ces conditions, les états possibles du stock sont par conséquent :

0,1,2,3i

La stratégie de réapprovisionnement entraîne l’état du stock :

i-1

1 i-1

max 3 ,0 , si 1; 1, 2,3,...

max ,0 , si 1

i

i

i i

ai

a

15

Supposons que ia est une variable aléatoire qui obéit à une loi de Poison avec 1 .

Calculons la probabilité que 0i sachant que 1 0i . En effet,

1i implique que max 3 ,0i ia .

Donc, si 0i , alors 3ia et la table de la loi de poisson indique que 3 0.08tP a .

Procédant de la même façon pour calculer 10 / 1i iP . En effet,

Si 1 1i , alors max 1 ,0i ia

Comme 1 0.632tP a , alors 10 / 1i iP =0.632.

De même, on obtient 10/ 2i iP =0.264.

Pour généraliser, soit jkp la probabilité de passer de l’état 1i j à l’état 1i k . Soit :

1/jk i iP P k j

La matrice de transition s’écrit :

00 01 02 03

10 11 12 13

20 21 22 23

30 31 32 33

p p p p

p p p p

p p p p

p p p p

P

Dans ce cas précis, on a :

0.08 0.184 0.368 0.368

0.632 0.368 0 0

0.264 0.368 0.368 0

0.08 0.184 0.368 0.368

P

Remarque. Les éléments de la matrice P sont tous positifs et la somme des éléments

d’une même ligne est 1, de même que la somme des éléments d’une même colonne.

Les matrices de ce type sont dites stochastiques.

Soient i l’état probable du stock à la date i et Pri

j i j :

0 1 2 3, , ,

i i i i i

L’état probable du stock à la date 1i est une chaîne de Markov :

1i i

P

16

A la date i n , on aura :

.

i n i n

P

Et si 0i , alors :

0.

n n P

Puisque 0 3 , alors :

00,0,0,1

Ainsi, le calcul de l’état du système à l’instant 1i nécessite le calcul des puissances

de la matrice P .

Propriétés du produit de matrices

Définition. Deux matrices A et B commutent si :

AB = BA

Attention ! Le produit de deux matrices n’est en général pas commutatif, ainsi qu’on

peut le voir à travers l’exemple ci-dessous :

Exemple. Soient :

5 1 2 0 14 3 10 2; ; ;

3 2 4 3 2 6 29 2

A B AB BA

Exemple. Considérons les deux matrices :

1 21 2 1

; 0 10 1 1

1 1

A B

Alors,

1 4 32 5

; 0 1 11 2

1 3 2

AB BA

Exemple. En mécanique quantique, on utilise des opérateurs qui peuvent être des

matrices. Alors,

Définition. Soient A et B deux opérateurs.

17

1) La quantité A,B = AB- BA est appelée commutateur des opérateurs A et B. il

est évident que le commutateur est nul, alors les matrices A et B commutent.

2) la quantité AB + BA est appelée anticommutateur de A et B. s’il est nul, alors

A et B anticommutent.

Exemple. Les matrices de spin de Pauli, que l’on rencontre en mécanique quantique

permettent d’illustrer le produit de matrices anti-commutantes:

20 1 0 1 0

; ; ; 11 0 0 0 1

x y z

ii

i

σ σ σ

En effet,

, ,x y y x x z z x y z z y σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

Remarque. Le produit de matrices n’étant en général pas commutatif, comment

calculer 2?A + B .

En utilisant les propriétés de la distributivité, on obtient :

2 2 2

A + B = A + B A + B A + AB + BA + B

Soient A et B deux matrices qui commutent. Alors,

2 2 2) 2

)

)

i

ii

iv

2 2

n n n-1 n-2 n-2 n-1

A + B A + AB + BA + B A + AB + B

A - B = A + B A - B

A - B A - B A + A B + + AB + B

Par ailleurs, on a :

1

1

nk k k

k

n n n- n

nA + B = A + C A B + B

Preuve. On procède par récurrence sur n.

Pour 1n on a : 0(

1 0 0 1 1 1

1 1A + B) = A + B = C A B + C A B

Pour 2n on a : 2 2 0 0 1 1 2 2

2 2 2( ) C C C

2 2 2 2 1 0A + B A + AB + BA + B A + 2AB + B A B A B A B .

Supposons que pour un entier 1n on a 0

( )n

n k k n k

n

k

C

A + B A B . Alors

18

1

0 0

( ) ( )( )

. .

n n

n nk k n k k k n k

n n

k k

C C

A + B A + B A + B

A A B B A B

1 1

0 0

n nk k n k k k n k

n n

k k

C C

A B A B

1

0 1 1 1 0 1 1

2 2

n nn k k n k k k n k n n

n n n n n

k k

C C C C C

AB A B A B B AB

0 1 0 1 1 1 0 1 1

2 2

n nn n n k k n k k k n k n n

n n n n n n

k k

C C C C C C

0

AB A B A B A B A B AB

0 1 0 1 1 1 1 0

2

( ) ( )n

n n k k k n k n n

n n n n n n

k

C C C C C C

0

A B AB A B A B

0 1 1 1 1 1 0

1 1

1

( )n

n k k k n k n n

n n n n

k

C C C C

0

A B A B A B

Pour achever la démonstration, on utilise le Lemme suivant :

Lemme : Pour tout couple d’entiers n et k vérifiant : 1n et 0n k , on a

1

1

k k k

n n nC C C

Ceci permet d’obtenir 1

1 0 1 ( 1) 1 1 0 ( 1)

1 1 1 1

1 0

( )n n

n n k k n k n n k k n k

n n n n

k k

C C C C

0

A + B A B A B A B A B

D’où la proposition.

Propriété 4. Soient A,B,C des matrices compatibles données. Alors :

a) la distributivité à gauche

A B +C = AB + AC

Preuve. Soit S = B +C . Alors, ij ij ijs b c . Alors,

A B +C AS T

On a :

1 1 1 1

; 1,2,..., ; 1,2,...,q q q q

ij ik kj ik kj kj ik kj ik kj

k k k k

t a s a b c a b a c i n j m

Sous la forme matricielle, on a :

T = AB + AC

Inversement, le calcul des produits AB et AC conduit au même résultat. La propriété

est démontrée.

b) la distributivité à droite

19

A + B C = AC+ BC

Propriété 2. Le produit des matrices est associatif :

AB C = A BC

Preuve. Supposons que les matrices A,B,C sont de dimension

* , * et *n m m p p q respectivement. Soit S = AB et T = BC . Alors,

1 1 2 2

1

1 1 2 2

1

m

ik i k i k im mk ij jk

j

p

jl j l j l jp pl jk kl

k

s a b a b a b a b

t b c b c b c b c

Multiplions maintenant A parT , ce qui revient à effectuer le produit A par BC .

L’élément de la i-ème ligne et de la l-ème colonne de AB C est :

1 1 2 2

1 1 1

q pm

i l i l iq ql ik kl ij jk kl

k k j

s c s c s c s c a c c

Multiplions maintenant S par C , ce qui revient à effectuer le produit AB par C .

L’élément de la i-ème ligne et de la l-ème colonne de A BC est :

1 1 2 2

1 1 1

pm m

i l i l im ml ij jl ij jk kl

j j k

a t a t a t a t a b c

Les deux expressions étant identiques, on conclut que la propriété est démontrée.

Dans le cas de deux réels et , lorsque le produit 0 , on tire que 0 ou alors

0 . Ceci n’est pas toujours vérifié dans le cas des matrices. En effet,

Propriété 3. Soient A et B deux matrices telles que :

AB = 0

Cette égalité n’entraîne pas forcément que l’une des matrices A ou B est nulle.

Exemple. Soit la matrice 21 0 0

. 1 0 0

i

i

A A

Pour clore cette rubrique, nous donnons une routine FORTRAN pour le calcul du

produit de deux matrices ,N MA et ,M LB

SUBROUTINE PROD(A,B,C,N,M,L)

DO i=1,N

20

DO j=1,L

Sum=0.

DO k=1,M

Sum=sum+A(i,k)*B(k,j)

END DO

C(i,j)=sum

END DO

END DO

Définition. La transposée d’une matrice A de dimension *n m est une matrice TA de

dimension *m n telle que :

ij ji

TA A

Exemple. Considérons les matrices :

1 3 2;

0 2 5

A B

Alors,

1 0

; 3 2

2 5

T TA B

La matrice transposée vérifie les propriétés suivantes :

)

)

)

)

i

ii

iii

iv

T T

T T T

T T T

TT

αA = αA

A + B = A + B

AB = B A

A = A

.

Preuve. Nous allons donner la preuve de la propriété T T T=AB B A . En effet :

* *

; ik kjm n n pa b A B

Alors

T T

* *1 1* *

n nT T T T

ik kj ik kj jk kjp n n m

k kp m p m

b a b a a b

B A

21

d’un autre côté,

* *

1 *

n

ik kj ik kjm n n pk m p

a b a b

AB

ce qui, après transposition , c'est-à-dire après permutation des indices i et j , donne :

T

1 *

n

jk ki

k p m

a b

AB

ce qui achève la démonstration.

Définition. La matrice

A , transposée conjuguée de la matrice A de dimension *m n ,

encore appelée matrice adjointe de A , est définie par la relation :

* ; ,ji

ij

i j

A A

Exemple. Considérons la matrice A telle que :

1

2 3

i

i

A ;

Alors

2

1 3

i

i

A

La matrice complexe conjuguée de A vérifie les propriétés suivantes :

)

)

)

)

i A

ii

iii

iv

- -

- - -

- - -

--

= α A

A + B = A+ B

AB = B A

A = A

Définition. La matrice conjointe de A est sa transposée conjuguée, notée *A , et se

définit par la relation :

*

ijjiA A

La matrice adjointe vérifie les propriétés suivantes :

- ** * ** * * * * *

αA = αA ; A+B = A +B ; AB = B A ; A = A

22

Définition. La matrice carrée A d’ordre n est symétrique si :

; , 1, 2,...ij jia a i j n

Ce qui signifie aussi que :

TA = A

Définition. La matrice carrée A d’ordre n est antisymétrique si :

TA = -A

Exemple. Les deux matrices suivantes sont respectivement symétrique et

antisymétrique :

0

; = 0

0

a b c a b

b d e a f

c e f b f

A B

Remarque. Les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont toujours nuls.

En effet :

0ii ii iia a a

Théorème. Toute matrice carrée A se décompose de façon unique en une somme

d’une matrice symétrique θ et d’une matrice antisymétrique ω .

Preuve. La démarche comprend plusieurs étapes :

1) prouvons que la matrice TC A + A est symétrique. En effet:

T

ij ij ij ij ji

T

ji ji ji ji ij

C A A A A

C A A A A

Donc

ij jiC C

On voit donc que la matrice C est symétrique.

2) Prouvons maintenant que la matrice TΔ A A est antisymétrique. En effet :

; ; 0ij ij ji ji ji ij ij ii Δ A A Δ A A Δ Δ

La matrice Δest donc antisymétrique.

3) il est évident que T T1 1A = A + A + A - A θ+Δ

2 2

23

Passons maintenant à l’unicité de cette décomposition. Supposons l’existence de deux

matrices symétriques1 2θ ,θ et de deux autres matrices antisymétriques

1 2Δ ,Δ . Telles

que :

2 1 1 2 2 1 1 2 1;

T T T T T T T

1 1 2θ +Δ = θ +Δ A A θ +Δ = θ +Δ θ +Δ θ +Δ

On en tire que

2 2;1 1θ = θ Δ = Δ

Ce qui achève la démonstration.

Exemple. Considérons la matrice

2 1 5

7 1 3

2 1 4

A

Alors,

2 4 3.5 0 3 1.5

1 1; 4 1 1 ; 3 0 2

2 23.5 1 4 1.5 2 0

T TA = θ+Δ θ A+A A -A

Définition. Soit A une matrice carrée dont les éléments sont des nombres complexes.

Alors la matrice A est hermitienne si elle est égale à sa transposée conjuguée.

Exemple. La matrice A ci-dessous est hermitienne :

1 1

1 1

i

i

A .

En effet, la transposée de A s’écrit :

1 1

1 1

i

i

-

A

et la conjuguée transposée de A s’écrit :

*1 1

1 1

Ti

i

-

A A A

Exemple. On montre de la même manière que la matrice

1 1 2 3

1 2

2 3 1

i i

i i

i i

A est

hermitienne.

24

Exemple. La matrice

1 4 2

4 1 3

2 3 2

A est réelle et symétrique. Par extension, on voit

bien qu’elle est hermitienne.

Exemple. Deux hermitiennes matrices de bases ,r sγ γ de l’algèbre de Clifford sont

utilisées dans les théories relativistes des particules à spin. Elles vérifient les

relations :

02 ; , 1,2r s s r rs r s γ γ γ γ γ

rs est le symbole de Kroneker et 0 est la matrice unité d’ordre 2. La relation ci-

dessus se décline ainsi qu’il suit :

2

1 0

2

2 0

1 0

1 2 2

γ γ

γ γ

γ γ + γ γ

De ces relations découlent que la trace de ces matrices est nulle. D’où la

représentation :

1 1 1 2 2 2

1 2

1 1 1 2 2 2

;a ib a ib

a ib a ib

γ γ

En plus, il apparaît que

1 2 0trace trace γ γ

Les six éléments 1 1 1 2 2 2, , , , ,a b c a b c sont tels que :

2 2 2

1 1 1

2 2 2

2 2 2

1 2 1 2 1 2

1

1

0

a b c

a b c

a a b b c c

Les équations ci-dessus impliquent par ailleurs que les déterminants des matrices 1γ et

2γ sont égaux à -1.

A titre d’illustration, les matrices

1 2

sin cos . cos sin .;

cos . sin sin . cos

i i

i i

e e

e e

γ γ

25

Obéissent aux conditions énoncées pour la modélisation des particules à spin dans

l’algèbre de Clifford. Le cas particulier 0 conduit à des formes simplifiées pour

ces matrices :

1 2

0 1 1 0;

1 0 0 1

γ γ

Théorème. Les éléments diagonaux d’une matrice hermitienne sont toujours réels.

Preuve. Ceci découle du fait que les éléments diagonaux des matrices A et *A sont

identiques. Ils sont donc réels.

Définition. Une matrice A est triangulaire supérieure (inférieure) si :

0 ( )ija si i j i j

Définition. La puissance p d’une matrice carrée est la matrice B définie ainsi qu’il

suit :

p fois

B = A* A…A

On admet que 0A I , la matrice unité.

Exemple. 1 0 0

;1 0 0

i

i

2A A

Exercice. Considérons la matrice1/ 2

0 1/ 2

A . Calculer nA .

Solution. On a 2 3 41/ 4 1/ 8 3 / 4 1/16 / 2

; ;0 1/ 4 0 1/ 8 0 1/16

A A A . On peut donc en

déduire pour généraliser que : 1

1/ 2 / 2

0 1/ 2

n n

n

n

n

A .

Théorème. Soient A une matrice carrée et ,p qdeux entiers naturels quelconques.

Alors :

1) p q p qA A A

2) ( )q

p pq q p A A A

Définition. La matrice A est involutive si :

2A = I

26

Définition. La matrice A est idempotente si

2A = A

La notion de puissance d’une matrice permet de définir le polynôme de matrices.

Définition. Soit A une matrice carrée d’ordre n . Considérons le polynôme suivant :

1

1 1 0

m m

m mp x a x a x a x a

On en déduit que le polynôme matriciel associé s’écrit :

1

1 1 0pm m

m ma a a a

A A A A I

Théorème. Soient A et B deux matrices telles que AB = Aet BA = B . Alors, A et B

sont idempotentes.

Preuve. En effet,

2

2

A = AB = A BA = AB A = AA = A

B = BA = B AB = (BA)B = BB = B

Exercice. Considérons la matrice :

1 0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3

0 1 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3

0 0 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3

0 0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3

0 0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3

0 0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3

A

Calculons la matrice 25A .

Solution. En effet, il apparaît que la matrice A peut être mise sous la forme :

1/ 3 1/ 3 1/ 3

; 1/ 3 1/ 3 1/ 3

1/ 3 1/ 3 1/ 3

3 1

1

3 1

I AA A

0 Aet 3

I et 30 sont respectivement des matrices unité et

nulle d’ordre 3. Remarquons en plus que la matrice 1A est idempotente. Dès, lors, il

est facile de montrer que :

3 125

3 1

I 25AA =

0 A

Exercice. Considérons un système composé de relais électroniques qui peuvent se

trouver soit en position ‘’ouvert’’ soit en position ‘’ fermé’’. Il est établi que, à des

27

intervalles de temps réguliers, appelés cycles de fonctionnement, 25% des relais se

trouvant en position ‘’fermé’’ passent à la position ‘’ ouvert’’ et 80% des relais se

trouvant en position ‘’ ouvert’’ passent à la position ‘’fermé’’. Il est demandé de

montrer que :

Le dispositif approche une situation d’équilibre en ce sens que les proportions

respectives des relais qui changent d’état convergent vers des constances qu’il

faut déterminer.

Indépendamment de l’état initial du dispositif, trouver le nombre minimal de

cycles de fonctionnement nécessaires pour que le dispositif devienne stable.

Solution. Soit en

ux =

zeffet le vecteur des relais, sachant que u est le vecteur des

relais ouverts et z le vecteur des relais en position ‘’fermé’’. Alors, à la situation

d’équilibre du dispositif, on aura,

.2 .25 .2 .25

.75 .8 .75 .8

u z u u 16z = u

z u z z 5

Par ailleurs, pour trouver le nombre de cycles après lequel on atteint une situation

stable du dispositif, indépendamment de l’état initial du système, il faut trouver le

plus petit entier p tel que :

1.2 .25 .2 .25

.75 .8 .75 .8

p p

Définition. La matrice A est nilpotente d’ordre p si, il existe un entier naturel p tel

que :

pA = 0

On dit que la matrice A est nilpotente d’ordre p .

Théorème. Soit A une matrice nilpotente d’ordre p . Alors, si q p : qA = 0

Définition. Une matrice réelle A est normale, si elle commute avec sa transposée :

T TAA = A A

Corollaire. Toute matrice symétrique est normale.

28

Preuve. En effet, une matrice symétrique est égale à sa transposée.

Définition. Une matrice complexe A est dite normale si elle commute avec sa

complexe conjuguée :

* *AA = A A

Propriété. Une matrice hermitienne est normale.

Définition. La matrice réelle A est orthogonale si * T

A A I

Exemple. La matrice :

cos sin

sin cos

A

est orthogonale. Nous verrons que cette matrice est une rotation.

Exemple. La matrice

0 1 0

1 0 0

0 0 1

P

est orthogonale. En fait, cette matrice est une matrice de permutation.

Exercice. Etant donnée la matrice

a b c

b x y

c y z

M , choisir a,b,c pour qu’il existe x,y,z

tels que la matrice M est orthogonale.

Solution. La matrice sera orthogonale si :

1) ses vecteurs colonnes sont deux à deux orthogonaux

0

0

0

ab bx cy

ac by cz

bc xy yz

2) ses vecteurs colonnes sont normés

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

1

1

a b c

b x y

c y z

29

Sans entrer dans les détails fastidieux de la démonstration, on se rend rapidement

compte que un choix raisonnable est obtenu lorsque 0, 0c y . Il existe alors un

tel que :

cos , sin , sin , 1a b x z

Ce qui donne la matrice suivante

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

M

La matrice M représente une symétrie.

Définition. La matrice complexe A est unitaire si : ** A A I

Exemple. La matrice :

1

2 2

1

2 2

i

i

A

est unitaire.

Définition. A étant une matrice donnée de ,n mM , on appelle image de A l’ensemble

ImA défini ainsi qu’il suit :

Im / :n m

A y y = Ax x

Exemple. Considérons la matrice 1 1 2 3 A

Définition. Soit A une matrice carrée d’ordre n . la matrice carrée B d’ordre n telle

que :

AB = BA = I

est appelée inverse de A et notée -1B = A .

Exemple. Soit H une matrice carrée de dimension n dont les sommes en valeur

absolue des éléments de la colonne sont toutes inférieures inférieure à 1. La relation

suivante trouve des applications importantes dans diverses situations :

1( ) ( )1

k

k

I H I H

30

Dans le cadre d’une économie divisée en n secteurs qui produisent un vecteur de

production x de biens et services pour satisfaire une demande finale d et une demande

intermédiaire Cx ; où C est la matrice des coefficients techniques ; le modèle entrée-

sortie de Leontief représente l’équation de production sous forme de l’équation

linéaire suivante :

int

Quantité Demande demande

ermédiaire finaleproduite

x Cx d

D’où la relation :

-1

x = I -C d

Théorème. Si A et B sont deux matrices inversibles et un réel non nul, alors :

11

1 1

1)

2)

3)

4)

5) 1/

-1 -1 -1

-1 TT -1

-1

A A

AB = B A

A = A

I = I

A A

Définition. Une matrice inversible est dite non singulière. Une matrice non inversible

est dite singulière.

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1) A est inversible

2) rang A n

3) Ax = 0 x = 0

Matrices de transformations élémentaires.

Matrice élémentaire du 1er ordre.

C’est une matrice T d’ordre n, diagonale et dont les termes diagonaux sont

égaux à l’unité à l’exception de t tii 0.

31

1 .

. .

. . 0

1 .

. . . . . . . .

. 1

0 . .

. .

. 1

j

ligne it

colonne

T

On a det tT et 1

(1,1,..., ,...,1)diagt

-1

T

Matrice de permutation.

C’est une matrice T d’ordre n, formée à partir de la matrice unité d’ordre n

dans laquelle les lignes p et q ont été permutées.

1 . .

. . .

1 . .

. . . 0 . . . 1 . . . ligne

. 1 .

... . .

. 1 .

. . . 1 . . . 0 . . . ligne

. . 1

. . .

. . 1

ième

ième

p

q

T

On a det 1 T .

1 , 1 , 0pq qp pp qq T T T T

-1T = T

Matrice élémentaire du 2ème ordre.

C’est une matrice élémentaire T , carrée, d’ordre n, issue de la matrice unité

I du même ordre, dans laquelle on a substitué une constante s non nulle à un zéro.

32

1

0 . .

. 1 0

. .

. . . 1 . . .

0 .

. . 1

0 0 1

èmes i ligne

T

ème

j colonne

On a det 1T .

Matrice élémentaire d’élimination.

C’est une matrice élémentaire T , carrée, d’ordre n, issue de la matrice unité et

dans laquelle les éléments subdiagonaux de la k ème colonne ont été remplacés par les

réels ( 1) ( )

,...,k n

k k

L L .

1

1

0 . 0

. 1

. 1

. . .

. . .

0 1

k k k

nk

t

t

T

avec

nkkiLt i

kik ,...,2,1 , )(

.

L’inverse de cette matrice est donnée par :

33

1

1

1

0 . 0

. 1

. 1

. . .

. . .

0 1

k k k

nk

t

t

T

Théorème 1 : Soient ; 1,2,...,i i rT ; des matrices élémentaires d’élimination de

dimension n. Alors,

a)

21

31 33

1

1

1 2

1

. 0

. 1

. . . 1

. . . .

. . . . 0 .

. 0 . 1

r

i

i

r r

n n nr

t

t t

t

t t t

T

b) ( 1)k k 1 2 k 1 2

T T ...T = T + T + ... + T I

c) 1

1

( 1)k

i k

i

k

1 2T I - T - T - ... - T

Preuve. a) Procédons par récurrence sur k :

2

1 1 1

1 11T

nt t

1

O OOT T

I TO T

oùO est le vecteur nul d’ordre 1n ,

34

Tntttt 131211 ... et 32

2

1

1

0 1n

t

t

T

Supposons que

21

31 33

1

1

1 2

1

. 0

. 1

. . . 1

. . . .

. . . . 0 .

. 0 . 1

r

i

r r

n n nr

t

t t

t

t t t

iT T ,

alors,

rr

r+1 (r+1)r (r+1)

n-r r n-r

A O AI OI O A OT.T = = =

B I BI I TO T B T

1

.....

1...

1..

1..

0.

1

11

12

1

31

21

nrnrn

rr

rr

ttt

t

t

t

t

b) 1 2 k

T + T + ... + T

kttt

t

k

ktt

kt

k

nknn

kk

.0.

.0....

....

...

.

0

21

1

3331

21

= 1

1k

i

i

k

T I .

c) Il suffit de remarquer que

35

1 1

1

1

k k

i k

i i

k

k I

-1

i 1 2

1 2 k

T T 2I T + T + ... + T I + 2I

T + T + ... + T

Théorème 2 : Considérons la matrice :

1 1

1

0 . 0

. 1

. 1

0 0 .

. . .

0 0 1

k r rrm m

M

on a :

a) 1

1 1

1

0 . 0

. 1

. 1

0 0 .

. . .

0 0 1

r r rrm m

M

b) 1

( 1)r

i r

i

r

1 2M M + M + ... + M I

c) 1

1 2

1

( 1) ...r

i r

i

r

M I M M M

Preuve. a) Soit A la matrice définie par :

36

1 1

1

0 . 0

. 1

. 1

0 0 .

. . .

0 0 1

r

r rr T

n r

m m

A OA

O I

on a

r -r r -r

r T T T

n-r n-r n-r

A O A O A A OM A = =

O I O I O I

1 1 1

1 1 1

r r r

r r r r r

r r r rm m m m

I O I O I OA A A A I

d’où

r rAM = M A = I

a) On procède par récurrence sur r :

21

2

1

1

.

1

m

1 2M M = IM

Supposons que

1

1

rr

i T

i n r

B O

MO I

où

21

11 1 2

1

1

. . .

. 1

0 . . 0 1

r

r r r

m

m m

B

37

1 1

r rr r r r

i i r T T T

i i n r n r n r

B O A O B A O

M M MO I O I O I

1 1 11

1 11

r r rr

r r T

r rm m

I O U I OU OB A

O

1.

1.

...

1

1

121

2111

21

rrrrr

rrr

mmm

mm

m

On obtient alors (Théorème1)

1 2

1

... ( 1)r

i r

i

r

M M M M I

b) Il suffit de remarquer que

1

1 1

2r r

i i

i i

M M I .

PROPRIETES DES MATRICES ELEMENTAIRES.

Propriétés 1. Soient T une matrice élémentaire d’ordre 1 et A une matrice carrée

du même ordre. Alors :'

TA = A avec :

a a

j n k i i n

a t a

kj kj

ij ii ij

'

'

, ,... ; , ,.. , ,...

1 2 1 2 1 1

Preuve :

Soit kR le vecteur représentant la ième

ligne de la matrice T . Alors :

kk eR , si ik

iiii etR

où ke est le k-ième vecteur de la base canonique de nR .

Soit )( jA la j-ième colonne de A. On a :

ijii

j

iii

kj

j

kj

kkjatAet

ikaAeARa

)(

)(

)(

.

si ,..'

38

Propriété 2. Soit T une matrice de permutation élémentaire et A une matrice carrée

du même ordre.

La matrice 'A = TA est la matrice A dans laquelle on a permuté les p

ème et q ème lignes.

Preuve. Soit kR la i-ième ligne de la matrice T . Alors :

, si et

k k

p q

q p

e k p k q

e

e

R

R

R

Si )( jA est la j-ième colonne de A . Alors on a :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

' .

' . .

' . .

j j

kj k k ij

j j

pj p q qj

j j

qj q p pj

a e a

a e a

a e a

R A A

R A A

R A A

Donc la matrice A’ est obtenue après inversion des lignes q et p de A .

Propriété 3. Soit T une matrice élémentaire d’ordre 2 et A une matrice carrée de

même dimension. Alors, la matrice A' = TA se définit ainsi qu’il suit :

nlasaa

niikaa

jlilil

kjkj

,...,2,1;.

,...,1,1,..,2,1;'

'

Une matrice élémentaire d’élimination peut être représentée comme produit de

matrices élémentaires d’ordre 2.

Preuve : Soit kR la i-ième ligne de la matrice T . Alors :

, si

k k

i j i

k i

s

R e

R e e

Si ( )j

A est la j-ième colonne de A. Alors on a :

( ) ( )

( ) ( )

' . , si

' .

j j

kj k k kj

l l

il i j i jl il

a e a k i

a se e sa a

R A A

R A A

La postmultiplication de A par une des matrices élémentaires T , produit des

transformations analogues sur les colonnes de A .

39

Définition. On appelle trace de la matrice A , notée trA , la somme de ses éléments

diagonaux :

1

n

ii

i

tr a

A

Les relations suivantes ont lieu :

)

)

)

i tr tr

ii tr tr

iii tr tr

*

*

A A

A A

A A

Lorsque deux matrices carrées A et B sont du même ordre,

) iv tr tr tr A + B A B

Pour deux matrices A et B d’ordre *n m et *m n respectivement :

) v tr trAB BA

Preuve. Soit :

1

m

ii ij ji

j

c a b

Alors,

1 1 1 1 1 1

n n m n m n

il ij ji ij ji ii

i i j i j i

tr c a b b a d tr

AB BA

Si A, B, C sont des matrices , , , , ,p q q r r p , alors :

)vi tr trABC CAB

Preuve. Nous partons de la propriété précédente. Dans l’égalité tr AB = tr BA ,

remplaçons A par AB et B par C . On obtient le résultat recherché :

tr trABC CBA

Remarque. Dans le cas de plus de deux matrices carrées, la permutation des facteurs

change la trace.

Exemple. A titre d’illustration, considérons le cas suivant :

40

1 1 1 0 1 1, ,

1 1 1 2 1 0

6; 5tr tr

A B C

ABC ACB

Théorème. La matrice A est nulle si et seulement si :

tr *AA 0

Différentiation et intégration de matrices

Nous supposons ici que les éléments de la matrice A sont des fonctions d’une

variable t . Donc : ( )tA = A . Alors, une variation t de la variable t entraîne une

variation ija de l’élément ija . Et la variation de la matrice A s’écrit :

ija A

Dès lors, la dérivée de la matrice A par rapport à la variable t, notée .

A est définie par

la relation :

.

A =.

0 0lim lim

ij

ijt t

ada

dt t t

. A AA

Propriétés de la dérivation de matrices :

)

)

d d di

dt dt dt

d d dii

dt dt dt

A + B A B

A BAB B A

Exemple. Nous étudions un procédé d’extraction du sel à partir d’un mélange

saumâtre. Considérons un système constitué de trois réservoirs de mélange idéal

d’une contenance de V litres chacun contenant ce mélange. Les réservoirs sont

connectés en cascade ainsi que représentés sur la figure *.

On suppose que tous les robinets sont ouverts au même moment. Le premier réservoir

est alimenté en produit à raison de d litres/ sec et alimente lui-même le deuxième

réservoir avec le même débit et ainsi de suite.

41

Soit x ( )i t la quantité de sel dans le réservoir i à l’instant t. en posant :

1

2

3

x ( )

= x ( )

x ( )

t

t

t

x et 1

2

3

/

/

/

dx dtd

dx dtdt

dx dt

xAx

Où

1 0 0

1 1 0

0 1 1

r

V

A

Définition. La matrice réelle, symétrique A est définie positive si, , 0 x xAx .

Théorème. Si A est une matrice définie positive, alors A est nonsingulière.

Preuve. Nous allons plutôt démontrer que si A est singulière, alors A n’est pas

définie positive. Supposons en effet que A est singulière. Alors, il existe un vecteur

non nul ny tel que Ay = 0 . Ce qui entraîne yAy =0. Donc, A n’est pas définie

positive.

Corollaire. Si la matrice carrée A est définie positive, alors, le système d’équations

linéaires à n équations et n inconnues Au = f admet une solution unique.

Théorème. Soit M une matrice carrée d’ordre n nonsingulière. Alors, la matrice

A = TM M est définie positive.

Preuve. Montrons pour commencer que A est symétrique. En effet :

T

T T T TA = M M M M A M M . Montrons maintenant que A est telle que :

, :n T T Tx x 0 x Ax = x M Mx . Soit y = Mx . Alors, T T

x M Mx = Ty y >0. Donc, la matrice

A est définie positive.

Définition. La matrice carrée A de dimension n est dite matrice bande , si, il existe

un entier naturel l tel que :

0, si i-j

0, si i-j

ij

ij

a l

a l

L’entier naturel l est appelé largeur de la bande.

42

Exemple. Les matrices bandes sont courantes dans les applications. Comme

illustration, considérons le problème aux limites suivant :

2

2,0 1

0 1 0

d uf x x

dx

u u

Soit v une fonction définie et continûment différentiable sur l’intervalle 0,1 , telle

que :

0 1 0v v

Soient ; 0,1,2,...,iv i n des fonctions de base définies et continûment

différentiables sur 0,1 . De sorte que :

0

n

i i

i

u v

Alors, en multipliant les deux membres de l’équation ** par iv , on obtient :

1 1 12

200 0 0

,

0,1,2,...,

nji i

i j i

j

dvdv dvd u duv dx dx fv dx

dx dx dx dx dx

i n

Nous obtenons de la sorte un système d’équations linéaires à matrice pleine :

Mα F

Où,

1

0

; , 0,1,2,...,j i

ij

du dum dx i j n

dx dx

1

0

; 0,1,...,i if fv dx i n

Construisons maintenant sur le segment 0,1 le maillage homogène suivant :

* ; 1/ix i h h n

43

Les fonctions de base iv x sont linéaires par morceaux et définies de la façon

suivante :

1

0;

i i

i

i j

v xv x

v x i j

De plus,

1 1

1 1

0, ,

0, ,

i i i

i i i

v x x x x

v x x x x

Ainsi définies, les fonctions iv x sont l’exemple même de fonctions à support

borné. iv x l’utilisation de telles fonctions est l’une des raisons du succès de la

méthode des éléments finis, car la matrice du M du système, en plus d’être

symétrique, devient une matrice bande de largeur 2.

11 12

21 22 23

32 33 43

1nn nn

m m

m m m

m m m

m m

M

Noyau d’une matrice. On appelle noyau d’une matrice A de dimension *m n ,

l’ensemble :

/ 0n mN x A Ax

Remarque. Il découle de la définition ci-dessus, que N A désigne l’ensemble des

vecteurs qui sont orthogonaux aux vecteurs colonnes de la matrice A .

Exemple. Considérons la matrice

1 2 1

2 4 1

3 6 1

A . Alors, 3

1 2 3/ 2 , 0N x x x A x

Remarque. Le Noyau N A introduit une incertitude dans la définition du vecteur

x partant de y = Ax . En effet :

44

Soit y = Ax et z N A . Alors : y = A x + z .

Supposons maintenant que y = Ax = Ax . On en tire simplement que

Nx = x + z,z A

Il est évident que x est déterminé de façon unique à partir de l’équation

y = Ax si et seulement si N A 0

Tout ceci a un sens physique bien précis et peut s’illustrer par un système physique

constitué d’un capteur A qui détecte des signaux x de fréquence supérieures à un

certain seuil . Dès lors,

,A x Ax

Ce qui signifie que pour ce capteur, les signaux x et x représentent un seul et

même objet.

Pour conclure, il apparaît que N A est caractéristique de la liberté que nous avons

à manipuler les données initiales, sans changer de résultat de l’observation.

Théorème. Le noyau de la matrice A de dimension *m n est un sous espace de n .

Preuve. N A est un sous ensemble de n

car la matrice A a n colonnes. Il est par

ailleurs évident que N0 A . Supposons maintenant que les deux vecteurs

( )Nu, v A . Soient , deux réels quelconques. Alors :

* *0 A u v Au Av 0 0

Ce qui montre bien que N A est un sous espace vectoriel de n .

Exemple. Caractérisons N A lorsque

1 1 2 1

1 1 2 2

1 2 2 1

A

Solution. Dans un premier temps, nous trouvons la solution générale du système

homogène Ax = 0 . Ceci nous conduit à une solution de la forme :

45

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 0

2 2 0

2 2 0

x x x x

x x x x

x x x x

Il découle de ce système que : 4 2 0x x et

4

1 3 4 2/ 2 0; 0N x x x x x A

N A est un sous espace de 4 dont le vecteur générateur est

2

0

1

0

.

Définition. A étant une matrice rectangulaire x nm , l’ensemble image de A , noté Im

A , est défini ainsi qu’il suit :

Im /m n A y y = Ax,x

Dans le même ordre d’idée,

T n mIm = R / = R A y y Ax,x

Remarque. Il découle de la définition ci-dessus que :

ImA est l’enveloppe linéaire des colonnes de A

ImA est l’ensemble des vecteurs y tels que l’équation y = Ax est

compatible.

ImT

A est l’enveloppe linéaire constitué par les lignes de T

A .

Exemple. Considérons la matrice suivante :

*1 *2 *3 *4

1 2 1 0

2 4 1 1

3 6 1 0

Im

, , ,

A

A A A A A

Mais on voit bien que

*1 *2

A 2A

Donc

46

*1 *3 *4Im

, ,

A A A A

Définition. Le rang d’une matrice rectangulaire A de dimension mn * est le nombre

maximal de colonnes indépendantes de A . Le rang de la matrice A est aussi défini

comme le nombre maximal de lignes indépendantes de A .

Corollaire. Il découle de la définition ci-dessus que min ,rang m nA .

Théorème. Les propositions suivantes sont vérifiées pour toutes matrices

rectangulaires A et B de dimensions respectives x nm et x mn :

)

) ,

Ti r r

ii r r r r

A A

AB A AB B

Preuve. Le premier résultat découle de la définition même de la notion de rang d’une

matrice. Pour ce qui est du deuxième résultat, les colonnes de AB AB sont les

combinaisons linéaires des colonnes de A. ce qui justifie que r rAB A . Par

ailleurs,

T T Tr r r r AB B A B B

Théorème. Soit A une matrice carrée d’ordre n inversible. Alors , pour toute matrice

carrée N d’ordre x n m , on a :

r rAB B

Preuve. On a en effet 1r r r r AB B A AB AB . Par conséquent,

r rAB B

Théorème. Soit A une matrice rectangulaire de dimension *n m . Alors :

dim dimIm dimrang N N n A A A A

Définition. On appelle rang de la matrice A , le nombre dimImrank A A .

Théorème. Soit A une matrice de dimension *m n . Alors, si les colonnes de A

forment un ensemble linéairement indépendant, on a :

1) ( ) 0

2) rank( )=n

N A

A

47

Théorème. Soit A une matrice de dimension *m n . Alors, les lignes de A forment

un ensemble linéairement indépendants, si et seulement si :

0

( )

TN

rank m

A

A

Théorème. La matrice carrée A de dimension n est inversible, si et seulement si :

1) les colonnes de A sont linéairement indépendantes

2) les lignes de A sont linéairement indépendantes.

3) N A 0

Théorème. Soit A une matrice de dimension *m n . Alors :

1) 0N A si et seulement si rang(A) = n

2) 0TN A si et seulement si ( )rang mA

Définition. Soient A une matrice réelle de dimension *n m . On appelle espace des

colonnes de A , noté ColA , l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des

vecteurs colonnes de A .

Remarque. ColA est un sous-espace vectoriel de m .

Matrice d’un endomorphisme

Soient 1 2, ,..., nx x x une base d’un espace vectoriel E et f un endomorphisme de E .

Alors :

1 1

n n

k k k k

k k

x x f x f x

En posant

1

n

k ki i

i

f x a f x

Alors,

Définition. La matrice ikaA est appelée matrice de l’endomorphisme f dans la

base 1 2, ,..., nx x x .

1 1 1 1

( )n n n n

k k k ki i k ki k

k k i k

f x f x a f x a x