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Matrices de números reales

1.- Determinar las matrices que verifican A y B

2A − B =−4 1 76 0 −3

, A + 2B =3 −2 −43 5 1

2.- Dadas las matrices A =−1 −1 00 −1 22 3 2

y B =−2 0 13 2 −11 2 −3

Hallar la matriz (A − 3I) + B t

3.- Dadas las matrices A =0 −1 01 0 −11 1 0

y B =1 0 10 −1 1

−1 3 0 Determinar la matriz X = (A $ Bt )2

4.- Dadas las matrices A y B.

A =3 1

−2 0y B =

2 1−1 3

Hallar la matriz X que verifica la igualdadA $ B − 2X = A + 3B

5.- Dadas las matrices

A =2 1 0

−1 3 −2, B =

−1 0 12 −1 03 1 2

, C =13

−2y D =

1 −10 2

Efectuar todos los productos posibles entre dos de dichas matrices.

6.- Calcular los valores de para que la matriz verifique la ecuaciónx A =x 00 x

.A2 − 6A + 9I = 0

7.- Determinar todas las matrices tales que donde X A $ X = X $ A,

(Selectividad, 2004)A =1 11 1

8.- Determinar todas las matrices que conmuten con la matriz . Es decir, talesX A =1 2

−1 1que A $ X = X $ A

9.- Calcular la potencias n-ésimas de cada una de las siguientes matrices:

MATEMÁTICAS II PROBLEMAS

- 1 -

a) b) A =1 x0 1

B =x 10 x

10.- Calcular la potencia n-ésima de la matriz M =1 0 10 1 00 0 1

11.- Dada la matriz , prueba que se verifica y utiliza estaA =0 3 41 −4 −5

−1 3 4A3 + I = 0

igualdad para obtener .A10

12.- Explicar por qué no es cierta la regla “suma por diferencia igual a diferencia decuadrados” cuando los elementos son matrices, esto es:

(A + B) $ (A − B) = A2 − B2

13.- Sean dos matrices cuadradas de orden que verifican . DemuestraA y B n AB − BA − I = 0que para cualquier número natural , se verifica que .m m 1 AmB − BAm = mAm−1


- 2 -

Determinantes

1.- Calcular el determinante:

x 1 1 11 x 1 11 1 x 11 1 1 x

2.- Calcular el determinante:

1 1 1 11 1+ a 1 11 1 1+ b 11 1 1 1+ c

3.- Usando las propiedades de los determinantes, simplificar, sin hacer el desarrollo, el

siguiente determinante: 2a 3a − b2c 3c + b

4.- Resolver la ecuación x x + 1 x + 2

x + 3 x + 4 x + 5x + 6 x + 7 x + 8

= 0

5.- Determinar todos los números reales x para los que es positivo el determinante:3 −3 x

1 − x x + 1 −12 0 x

6.- Si el determinante de una matriz vale 3, ¿cuánto vale el determinante de la matriz ?A 4A

7.- Sea una matriz cuadrada de orden 3.A

a) Si sabemos que el determinante de la matriz es . ¿Cuánto vale el2A 2A = 8determinante de Escribe la propiedad de los determinantes que hayas usado paraA?obtener este valor

b) Calcula para qué valores de se cumple que , siendo la matrizx 2A = 8 A

A =x 1 1

x + 1 2 2x 2 − x 1

8.- Definir el concepto de rango de una matriz. Dar un ejemplo de una matriz con 3 filas ycolumnas que tenga rango 2.

9.- Escribe una matriz de rango 2, con 3 filas y 4 columnas, que no tenga ningún coeficientenulo.


- 3 -

10.- ¿Puede aumentar el rango de una matriz 3 x 3 al sustituir un coeficiente no nulo porcero?. En caso afirmativo dar un ejemplo.

11.- ¿Puede aumentar el rango de una matriz cuadrada de 3 filas al sustituir un coeficiente nonulo por cero? ¿y permanecer igual? Justificar las respuestas.

12.- Si el rango de una matriz A, de dimensión 3 x 4, es 2, ¿qué relación existe entre susvectores filas? ¿y entre sus vectores columnas?

13.- ¿Qué le puede ocurrir al rango de una matriz si le quitamos una fila? Razona larespuesta.

14.- ¿Qué le puede ocurrir al rango de una matriz A al sustituir una fila de A por otra fila deA? Justifica razonadamente la respuesta.

15.- a) Define el concepto de rango de una matriz.

b) Determina razonadamente si la tercera fila de la matriz A es combinación lineal de lasdos primeras.

A =1 1 11 2 −12 1 1

(Selectividad, Septiembre del 2008)

16.- a) Calcula el rango de la matriz según los valores del parámetro A a

A =1 2 3 a2 4 6 83 6 9 12

b) Escribe las propiedades del rango que hayas usado.

(Selectividad, Junio del 2007)

17.- Determinar el rango de la siguiente matriz según los valores de t: t 2 22 t 01 t t

18.- Determina el rango de la matriz A según los valores de b:

A =−1 2 bb b − 3 −10 2 1

(Selectividad, Junio del 2008)


- 4 -

19.- Determinar el rango máximo y mínimo que puede tener una matriz de la forma:

a 0 a0 1− a 00 1 1

20.- Hallar el rango de la matriz: cos� −sen � 0sen � cos� 0

0 0 1

21.- Si son distintos de cero, hallar el rango de la matriz:a,b y c

a −a 2a a2b −b 3b 3bc −c 2c c

22.- Calcular dos números naturales menores que 10 y tales que la siguiente matriz a,b Atenga rango 2:

A =2 2 b0 5 a3 1 b

23.- Hallar una matriz con 3 filas y 3 columnas que tenga 3 elementos nulos y tal que ningunode sus menores de orden 2 sea nulo.

24.- Determinar los valores de para los que la matriz no admite inversa y, en tales t M

casos, calcular el rango de M : M =

0 t 1 00 1 t 1t 1 0 0t 1 0 t

25.- Definir inversa de una matriz. Demostrar que la siguiente matriz no tiene inversa:

1 5 −20 3 0

−2 7 4

26.- Sea una matriz cuadrada tal que , donde es la matriz unidad. Demuestra queA A2 = A + I Ila matriz es invertible.A

27.- Calcular la matriz tal que donde X A $ X = B


- 5 -

y A =1 20 1

B =1 23 4

28.- Calcula la matriz tal que , dondeX A2X = A A =1 21 1


29.- Calcular todas las matrices tales que , donde:X A $ X + B = X

y A =1 11 1

B =1 −20 −1

30.- Determinar la matriz que verifica la ecuación . DondeX A + X $ B = I

, A =−1 0 12 1 0

−1 2 3B =

1 2 01 0 −1

−1 3 2

31.- Determinar la matriz que verifica la ecución siendo:X B $ X − A = 2X

yA =7 −73 1

B =−2 10 3


- 6 -

Sistemas de Ecuaciones

1.- Dar un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que sea compatible eindeterminado. Interpretarlo geométricamente.

(Selectividad, Septiembre de 2005. Repertorio B, ej. 1)(Selectividad, Curso 02/03. Repertorio A, ej 1)

2.- Dar un ejemplo de un sistema de 3 ecuciones lineales con 3 incógnitas que seaincompatible. Interpretarlo geométricamente.

(Selectividad, Junio de 2005. Repertorio B, ej. 1)

3.- Dar un ejemplo de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que seaincompatible.

(Selectividad, Septiembre de 2000. Repertorio B, ej. 3)

4.- Proponer un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que sea incompatible y que,al suprimir cualquier ecuación del sistema se obtenga un sistema compatible. Interpretarlogeométricamente.

(Selectividad, Septiembre de 1998. Repertorio A, ej 2)

5.- Si dos sistemas de 4 ecuaciones lineales con 4 incógnitas tienen laAX = B y AX = B∏

misma matriz de coeficientes A. ¿puede ser incompatible uno de los dos sistemas mientrasque el otro es compatible y determinado?


6.- Discutir y resolver, en su caso, el sistema donde:ABX = 0

, , y A =1

−2−1

B = 1 −2 2 0 =000

X =x1

x2

x3

7.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

2x − y + 5z = 0−x − 3y + z = 0x − 4y + 6z = 0

8.- Resolver por el método de Gauss el sistema:

x + 3y − z = 6−3x + y + 2z = 05x − y + z = 3


- 7 -

9.- La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es M. Hallar unsistema equivalente tal que los 3 coeficientes que están por encima de la diagonal pirncipalde la nueva matriz asociada sean nulos:

M =0 1 −1

−1 0 20 4 4

(Selectividad, Septiembre de 2002. Repertorio A, ej B)

10.- La matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales homogéneos es M.Hallar un sistema equivalente tal que todos los elementos de la diagonal principal de lanueva matriz asociada sean nulos.

M =−1 0 33 1 10 2 1

(Selectividad, Septiembre de 2000, Repertorio A, ej 2)

11.-Resolver el sistema de ecuaciones lineales

x + 2y − z = 1

x + y − z = 1

x − z = 1


12.- Resolver el sistema de ecuaciones lineales

y − x = z

x − z = y

y + z = x


13.- a) Enuncia el Teorema de Rouché-Frobenius.

b) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales, según los valores del parámetro a

(Selectividad, junio de 2007.)

ay + (a + 1)z = a

ax + z = a

x + az = a


- 8 -

14.- Discutir los siguientes sistemas de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a

a) (Selectividad, Junio de 2002. Repertorio A, ej. 2)

ay + (a + 1)z = a

ax + z = a

x + az = a

b) (Selectividad, Junio de 2001. Repert B, ej. 1)

ax − ay + az = a

(3 − 2a)z = 1

x + (a − 1)y = 0

c) (Selectividad, Junio de 2000. Repert B, ej. 2)

(a − 3)x + 4z = 2

x − 2z = −1

− x + ay + 2z = a

c) (Selectividad, Septiembre de 2008. Repert B, ej. 3)

ax + ay = 0

x + z = a

− 2y + az = a

c) (Selectividad, Junio de 2008. Repert A, ej. 3)

− x + 2y + z = 1

ax − y + 2z = 2

2x + (a − 1)z = 2

d) (Selectividad, Septiembre de 2002. Repert B, ej 2)

ay + az = 0

x + z = 0

4x − 2y + az = a

e) x + 2y − z = 2

x + (1 + b)y − bz = 2bx + by + (1 + b)z = 1

15.- Determinar un valor del parámetro para que el siguiente sistema de ecuaciones linealesasea compatible e indeterminado.

(Selectividad, Junio de 2005. Repertorio A, ej 1)

x + y + z = a

x − y + z = 1

x − 3y + z = 0


- 9 -

16.- Determinar un valor del parámetro para que las siguientes ecuaciones lineales seanalinealmente dependientes.

x + y + z = 1

3x + 2y + z = 1

y + 2z = a

(Selectivad, 2003. Repertorio A, ej. 1)

17.- Determina m para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales sea compatible y

resuélvelo en los casos en que lo sea:

2x + 3y − z = 54x − 5y + 6z = −73x − 4y + 3z = −9mx + 5y − 3z = 7

18.- Determinar los valores de para los que es incompatible el sistema t

t = tx − z

1 = 2x + ty + z

3 = x + 3z


- 10 -

Vectores

1.- Sean y dos vectores ortogonales de módulo 4 y 3 respectivamente. Calcula el→ u → vmódulo de los vectores y , indicando los resultados teóricos en que te→ u + → v → u − → vbasas para ello.

(Selectividad, Junio de 2008. Repert A, ej. 4)

2.- Sean a y b dos vectores no proporcionales del espacio real tridimensional. ¿Quérelación existe entre las direcciones de a y b y la dirección de su producto vectorial?¿Cuánto vale el módulo del producto vectorial de a y b?

(Selectividad, Junio de 2008. Repert B, ej. 4)

3.- Sabiendo que los lados de un rectángulo ABCD miden 1 y 3 metros, calcular el producto

escalar de los vectores y , y el módulo del producto vectorial de los vectores de→

CB→

AD

los y .→

CB→ BA

C B

AD

4.- Sabiendo que los lados de un rectángulo miden 2 y 5 metros, determinar todos los puntosP del lado CD tales que la suma de los cuadrados de las distancias de P a los vértices delrectángulo sea igual a la suma de los cuadrados de los lados del rectángulo.

C D

BA

5.- Si los lados de un rectángulo ABCD miden 1 cm y 4 cm, calcular el coseno del ánguloPAC, donde P es el punto medio del lado BC:

B C

DA

P

6.- En un cubo, calcular el ángulo que forma la recta BC con la recta que une B con el puntomedio del lado AD.


- 11 -

A

DB

C

7.- Si A, B y C son los puntos de coordenadas , y (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)respectivamente:

a) Calcular el área del triángulo que forman los puntos A, B y C.

b) Determinar el ángulo que forman los vectores y .→ AB

→ AC

8.- Calcular el área del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos de coordenadas , (1, 0, 1) , y .(2, 0, 2) (1, 2, 1) (3, 1, 3)

9.- La base de una pirámide es un cuadrado ABCD de 2 metros de lado y su vértice V estásituado a una altura de 3 metros sobre el centro de la base. Calcular el ángulo que formanlos plano ABV y BCV .

10.- ¿Qué ángulo deben formar dos vectores no nulos y para que ambos tengan el→ e → vmismo módulo que su diferencia ?→ e − → v

11.- Hallar dos vectores linealmente independientes que sean ortogonales al vector de→ ecoordenadas .(1, 1, 3)

12.- Escribe un vector de módulo 1 que sea ortogonal al vector de coordenadas (1,2,1).(Selectividad, junio 2007.)

13.- Calcular un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores de coordenadas (1,0,2) y(2,1,0).


- 12 -

A B

C

V

14.- Hallar un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores de coordenadas (0,1,1) y(2,1,0).

15.- Si dos vectores y forman un ángulo recto y sus módulos son ,→ e → v → e = 2 y → v = 3

calcular el módulo del producto vectorial de + y - , es decir → e → v → e → v→ e + → v %

→ e − → v

16.- Determina la relación que debe existir entre para que los puntos de coordenadas a y b estén en un plano.(1, 0, 0), (a,b, 0), (a, 0,b) y (0,a,b)

Geometria

1.- Halla la recta que pasa por el punto (1,1,1) y es perpendicular al plano que pasa por lospuntos (0,0,0) , (1,4,1) y (-1,-1,1).

2.- Halla la euación del plano que es perpendicular al plano : y que� � ∏ 2x + y + 2z + 1 = 0

contiene a la recta de ecuación: r :

x = 1 + ty = −1 + 2tz = 1 − 2t

3.-Determina el plano que pasa por el punto de coordenadas y por la recta de(1, 2, 3)ecuaciones .x + y = 1, y + z = 1

4.- Halla la ecuación del plano que pasa por el punto (1,1,1) y contiene a la recta:

r :

11x + y − 11 = 0z = 0

5.- Halla la ecuación de un plano que es perpendicular a la recta de intersección de los planos y , y que pasa por el punto (3,2,1).� : 2x + y + z = 0 � ∏ : x − y + z + 3 = 0

6.- Determina un plano que pase por los puntos de coordenadas y sea(1, 0, 0) y (0, 1, 0)paralelo a la recta

x + y + z = 2

x − y + z = 2

7.- Determina la relación que debe existir entre y para que el punto esté en ela b P = (0,a,b)plano determinado por los puntos , y . (Selectividad,A = (1, 0, 0) B = (1, 1, 1) C = (0, 2, 1)junio 2007.)

8.- Halla una ecuación continua de la recta que es paralela a los planos y � : x − 3y + z = 0 , y pasa por el punto (2,-1,5).� ∏ : 2x − y + 3z − 5 = 0


- 13 -

9.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2, 1) y corta perpendicularmente a la

recta r :

x + y − z = 1x + z = 2

10.- Halla la ecuación de la recta paralela al plano determinado por los puntos (0, 0, 0), (1,

4, 1) y (-1, -1, 1), que pasa por el punto (1, 1, 1) y corta a la recta r :

x + 2y = 1x − 3z = 5

11.- Halla el punto simétrico del respecto de la recta .A = (−3, 3, 7) r : x − 1 = y + 3 = z − 43

12.- Obtener la ecuación de la única recta que corta perpendicularmente a las rectas:

y . r : x4 =

y − 13 = z − 2

5 r ∏ : x − 42 =

y − 31 = z

−1

13.- Determinar si existe alguna recta que pase por el origen de coordenadas y corte a las

rectas : y r :

2x − 3y = 0x − 3z = 0

s :

x = 6 + ty = 4 + 2tz = 2 − t

14.- Determinar sabiendo que el plano es perpendicular a la recta a � : ax − ay + z = 2 + a

r :

x + y = 1y + z = 0

15.- Estudiar según los valores de , la posición relativa de los planos:�

�1 : �x − 2y + z − 1 = 0�2 : x − 2�y + �z − 3 = 0�3 : x − 4y + �z − � = 0

16.- Estudiar la posición relativa de las rectas y r : x − 81 =

y − 53 = z − 3

−2

s :

x + y − 13 = 0−x + 3y + z = 10

¿Existe alguna recta que corte perpendicularmente a las anteriores? Si es así, halla susecuaciones paramétricas.

17.- Dar un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incognitas que sea compatible eindeterminado. Interpretarlo geométricamente.

18.- Dar un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incognitas que seaincompatible. Interpretarlo geométricamente.

19.- ¿ Qué relación hay entre los coeficientes de las ecuaciones , ax + by + cz = d a ∏x + b ∏y + c ∏z = d∏

de dos planos paralelos? Razonar la respuesta.

20.- ¿Existe alguna recta que pase por los tres puntos: , y ?(1, 2, 3) (2, 4, 1) (1, 1, 1)


- 14 -

21.- ¿Son coplanarias las rectas y ?r :

x + 3y − 3 = 0x − y − z − 22 = 0

s : x + 73 =

y − 5−1 = z − 9

4

En caso afirmativo, determina el plano que las contiene.

22.- Halla las ecuaciones de todos los planos que pasan por los puntos .(1, 0, 0) , (2, 0, 0)

23.- Dadas las rectas y determina k parar :

3x − 2z = −33x − kz = 3 − 4k

r :

3y − 2z = −2kx − 2y = k − 4

que r y s estén en un mismo plano y buscar una ecuación de éste.

24.- a) (1 punto) Determina la recta que pasa por el punto y es perpendicular al(1, 1, 1)plano .x + y = 1

b) (0,5 puntos) Calcula el punto donde la recta obtenida corta al plano dado x + y = 1

(Selectividad, Septiembre de 2008. Repert A, ej. 4)

25.- a) (2 puntos) Determina el plano que pasa por el punto de coordenadas y corta(1, 1, 1)perpendicularmente a la recta

x − 12 =

y1 = z + 1

1 b) (0,5 puntos) Calcula el punto donde se cortan la recta y el plano.

(Selectividad, Septiembre de 2008. Repert B, ej. 4)

26.- Determinar un plano que, pasando por el origen de coordenadas, sea paralelo a la recta deecuaciones , , y también sea paralelo a la recta que pasa por los puntosx + y = 1 y + z = 2de coordenadas y .(1, 1, 0) (0, 1, 1)

27.- Determinar si el plano es perpendicular a la recta de ecuaciones 3x − 2y + z = 1 , . Determinar también si es paralelo a la recta que pasa por los−x = 3y + 3z y + 2z = −1

puntos de coordenadas y .(1,−1, 1) (−1,−1, 0)

28.- Calcular alguna recta que sea paralela al plano de ecuación y cortex + z = 2perpendicularmente a la recta de ecuaciones , .x + y = 0 y + z = 2

29.- Calcular alguna recta que sea paralela al plano de ecuación y que tambiénx − 2y + z = 1sea paralela al plano que pasa por los puntos de coordenadas (2,0,1) , (0,2,1) y (1,-1,0).

30.- Determinar una recta que sea paralela al plano de ecuación , que corte a lax + y + z = 3recta de ecuaciones , , y que también corte a la recta de ecuaciones , x = 0 z = 0 z = 1

.y = 0

31.- Determinar una recta que sea paralela al plano que pasa por los puntos de coordenadas(1,1,0), (1,0,1) y (0,1,1), que también sea paralela al plano , y que nox + 2y + 3z = 0esté contenida en ninguno de estos dos planos.

32.- Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos de coordenadas (1,0,0), (0,1,1) y(1,2,0). Determinar la distancia del punto (2,1,1) a dicho plano.


- 15 -

33.- Sean A, B y C los puntos de corte del plano con los ejes coordenados.x + 5y − z = 5

Calcula la superficie del triángulo y el volumen de la pirámide de base dicho<

ABCtriángulo y vértice el punto (3,−1, 1).

34.- Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano x + y + z = 1con los ejes coordenados. (Selectividad, septiembre 2007.)

35.- Dado el plano y el punto . Sea B el pie de la� : 2x + 2y + z − 3 = 0 A(1, 0, 2)perpendicular al plano trazada desde A, y un punto del plano. Hallar el área� C(2, 1,−2)

de .�

ABC

36.- Ángulo de recta y plano. Calcula el ángulo que forma la recta y elr : x − 12 =

y + 2−1 = z

3plano .� : x − y − z = 0

37.- Calcula el ángulo que forma el plano con la recta de ecuaciones , x + y + z = 0 x + y = 1.y + z = 1

38.- Calcula la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por los puntos , , .(1, 1, 1) (0, 1, 0) (3, 2, 1)

39.- Halla la distancia del punto a la recta P = (3, 1, 1) r :

2x − y = 0z = 0

40.- a) Determina la posición relativa del plano y la recta de ecuacionesx − y + z = 2x2 =

y + 11 = z + 2

−1

b) Calcula la distancia entre la recta y el plano anteriores.

(Selectividad, septiembre 2007.)

41.- Obtener las coordenadas del punto A perteneciente a la recta , sabiendor :

x = 1 − ty = 2 + tz = 3 + t

que el tetraedro de vértices A, , y , tiene unB = (2, 1, 0) C = (3, 4, 0) D = (5, 1, 0)volumen de .6 u3

42.- Hallar las coordenadas del punto A perteneciente a la recta que pasa por los puntos y , sabiendo que la distancia de A al punto es de tres(−1, 0, 1) (1, 2, 3) B(2,−1, 1)

unidades.

43.- Halla la ecuación del plano que contiene al eje OX y dista 6 unidades del punto (0,10,0).

44.- Deteminar una constante para que el plano de ecuación forme un ánguloa ax + y + z = 2de radianes con el plano .�

3 z = 0

45.- Determinar las coordenadas de un punto que diste 2 unidades de la recta:


- 16 -

x − 11 =

y1 = z − 1

−1

Límite de funciones

1.- Definición de límite de una función en un punto. Dar un ejemplo de una función , definidapara todo valor real de que no tenga límite cuando (Selectividad Extremadura,x x d 2.Septiembre de 1997)

2.- Definición de límite de una función cuando Justificar, a partir de la definiciónf(x) x d +∞.anterior, que la función . (Selectividadf(x) = senx no tiene l�́mite cuandox d +∞Extemadura, Junio de 1996)

3.- Dar un ejemplo de una función que tenga límite en el punto , pero no esté definida enx = 2el punto x = 2.

4.- Si existe el límite de una función cuando , y si es positivo cuando ,f(x) x d a f(x) x < a¿podemos asegurar que tal límite es positivo? ¿y que no es negativo? Justificarrazonadamente las respuesta. (Selectividad Extremadura, Junio de 1999)

5.- Representar las gráficas de las siguientes funciones, estudiar su continuidad y calcular suslímites cuando x d ∞ y x d −∞

a) (Selectividad Extemadura, Junio de 1998)f(x) = x + 2 − xb) f(x) = 1 + x $ xc) f(x) = x

x

6.- Calcular los límites en de las siguientes funciones:+∞ y −∞

a) b) xd!∞lim 2x − 2−x

2x + 2−x xd!∞lim ex − sinx

ex + cosx

7.- Calcular los límites laterales de las siguientes funciones en los puntos que se indican.

a) en f(x) =

1 − x si x [ 0x si x > 0

x = 0

b) en f(x) = x + 1x + 1 x = −1

8.- Calcular los límites de las siguientes funciones

a) b) xd−1lim

x + (2 + x)3

−5x3 + x − 4 xd1lim 1

x − 1 − 31 − x3

c) d) xd3lim

x + 6 − 3x2 − 2x − 3 xd∞

lim x ( x + a − x )


- 17 -

e) f) xd!∞lim

2x2 + 3 x2 − x6

x(3x − 1) lim 3x + 52x + 1

parax d !∞, −5 y −1/2

h) para lim (x − 3) $ 1 + 1x−3 + 1

(x−3)2 x d 3, +∞ y −∞

9.- Calcular el valor del parámetro para que se verifique la siguiente igualdad:k

xd∞lim 3kx3 − 5x + 1

10x3 + 5 = −1

10.- Determinar el valor de los parámetros para que la función a y b

f(x) =

ax si x [ 22x − bx − 2 si x > 2

tenga límite en x = 2

11.- Discute el siguiente límite según los valores del parámetro a

xd∞lim 3x + 4 − ax

12.- a) (1 punto) Enuncia la condición que se debe cumplir para que una recta seay = lasíntota horizontal de una función .f(x) en +∞

b) (1,5 puntos) Calcula las asíntotas horizontales verticales y horizontales (en y en +∞) de la función −∞

f(x) = 3x − 1x2 − 1

(Selectividad, Junio de 2008)

13.- Calcular las asíntotas de las siguientes funciones e indicar por que lado de las asíntotas seaproxima la función:

a) b) f(x) = xx2 + 1 f(x) =

(x − 1)3

x2 − 2x

c) d) f(x) = x2 − 4x f(x) = 2 $ 2

x − 1

e) f) f(x) = 2x + (2x)−1 f(x) = x − 4 + 16x + 4

g) h) f(x) = x − ln(x2 − 1) f(x) = ln x + 1x − 3

i) j) f(x) = x $ ln(1 + x2) f(x) = ex $ x−2

k) l) f(x) = ex − ex f(x) = e2x

x2 + 1

m) n) f(x) = x1 + x f(x) = x − 2 senx


- 18 -

Continuidad y Teoremas sobre continuidad

1.- Estudiar la continuidad de las siguientes funciones, indicando cuando proceda el tipo dediscontinuidad.

a) b) f(x) =

−2 si x < −2−x2 + 4 si − 2 [ x [ 2

2 si x > 2f(x) =

2x2 + 3x − 22x2 − 5x + 2 si x ! 1/2

− 53 si x = 1/2

c) d) f(x) = x + 2 f(x) = x − 1x

e) f) f(x) = cos2�x f(x) = 1 − x sen 1

x

g) h) f(x) = e1x

1 + e1x

f(x) = x2 + ln(x − 3)

2.- Estudiar la continuidad de la función . ¿Tiene alguna asíntota vertical? ¿Esf(x) = x5 − x8

1 − x6

posible definir las imágenes de los puntos de discontinuidad de manera que la función seacontinua en esos puntos?

3.- Estudiar la continuidad de la función en el intervalo ; y demostrarf(x) = x2 − 3xx + tanx [−�,�]

que en el origen tiene una discontinuidad evitable.

4.- Dadas las funciones estudiar la continuidad de la función .f(x) = x + x2 y g(x) = x2 g ) f

5.- Calcular los valores de los parámetros para que las siguientes funciones seana y bcontinuas en todo .≠

a) b) f(x) =

senx si x [ 0−x2 + ax + b si x > 0

f(x) =

cosx si − � [ x [ 0a + x2 si 0 < x < 1

bx si 1[ x [ �

6.- La función no está definida en el punto . Hallar el valor delf(x) = x3 + x2 + x + ax − 1 x = 1

parámetro para que sea posible definir el valor de de forma que sea continua.a f(1) f

7.- Enunciar el teorema de Bolzano y determinar si el polinomio tiene alguna raízx4 − 4x2 − 1real negativa (Selectividad 2002 de Extremadura)

8.- Enunciar el teorema de Bolzano y usarlo para probar que la ecuación tienex = cosxsolución positiva. (Selectividad 2003 de Extremadura)

9.- Enunciar el teorema de Bolzano. Calcular, con un error menor que una décima, una raízpositiva del polinomio .x3 + x − 1


- 19 -

10.- Halla los valores para que se pueda aplicar el teorema de Bolzano a la siguientea y bfunción:

f(x) =

senx + 3 si − � [ x [ 0cosx

a si 0 < x < �cosx + b si � < x [ 2�

11.- Demostrar aplicando el teorema de Bolzano que todo polinomio de tercer grado tiene almenos una solución real. ¿Cabe decir lo mismo de un polinomio de cuarto grado?

12.- Aplicar el teorema de Bolzano para probar que las gráficas de f(x) = 2x+1 y g(x) = −x + 1se cortan en algún punto del semieje positivo de abscisas, y localizar dicho punto en un

intervalo de longitud menor de 0.5 .

13.- Se considera la ecuación Utilizando el teorema de Bolzano,x3 + x2 + mx − 6 = 0.demostrar que:

a) Si , entonces la ecuación tiene al menos una raíz real menor que 2.m > −3b) Si , entonces la ecuación tiene al menos una raíz real mayor que 2.m < −3

14.- Sean dos funciones continuas en tales que Demuestraf y g [a,b] f(a) < g(a) y f(b) > g(b).que sus gráficas se cortan.

15.- Comprueba que la función toma el valor 2 en el intervalo yf(x) = 3 tan2x +1 0, �4calcula el valor de de este intervalo para el cual c f(c) = 2

16.- Comprueba que la función toma el valor 10 en el intervalo .f(x) = x2 + x + 1 (−2, 3)Calcula el valor de con un error menor que 0.1 para el cual la función alcanza elc c (−2, 3)valor 10.

17.- Comprueba si puede aplicarse el teorema de Weiertrass a las siguientes funciones en elintervalo indicado.

a) f(x) = −x2 + 2x + 3 en[−3, 4]

b) f(x) = 5x − 2 en[0, 3]

c) f(x) = 2 x en[−1, 1]

d) f(x) = xx en[−1, 1]


- 20 -

Derivabilidad y Aplicaciones

1.- El número de personas afectadas con cierta enfermedad se ajusta a la fórmula:

f(x) = 30.0001 + 20 $ e−1,5t

donde es el número de semanas transcurridas desde el primer brote de la enfermedad.t

a) Calcula la tasa de variación media en el intervalo . ¿Cuál es su significado?[0, 3]b) ¿Cuál es la tasa de crecimiento de los afectados en el momento de cumplirse la 3ª

semana de la enfermedad?

2.- Calcular el valor de para que la derivada de la función en valga m f(x) = mx2 + 12x + m x = 1

2 1.

3.-Calcular las derivadas de las siguientes funciones.

a) b) f(x) = (2x5 − 3)3$ (2x − 1) f(x) = 2

3x3 − 3x2

2 − 5x + 0.28

c) d) f(x) = x2 − 5x + 1 + x2 − 13 x

f(x) = 5x2 − x4

1 − 2x

e) f) f(x) = 5(x8 − 10x)(2x − 1)5 f(x) = x2

2 $ e−4x

g) h) f(x) = e(2x)2+(2x)−1f(x) = 4 1 + cos(5x)

i) j) f(x) = 3 + 4ln2x

f(x) =x + 3 x

1 − x

k) l) f(x) = tag3(3 − 2x)2 f(x) = ln 1 − x1 + x

m) n) f(x) = x3

3 − ln 54

log2 x2 + 1 f(x) = sen3 x + senx3 + sen(3x) + sen 3

4.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

a) b) f(x) = x x f(x) = xcosx

c) d) f(x) = (senx)cosx f(x) = (1 + 1x )3x

5.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones implícitas:

a) b) 2x − 5y3 + 10 = 0 tagy = xy2

6.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones implícitas en los puntos que se indican.

a) (x + y)3 = 27(x − y) en el punto(2, 1)b) y $ ey = ex+1 en el punto(0, 1)


- 21 -

7.- Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones. Hallar en cada caso la funciónderivada indicando su dominio

a) b) f(x) =

x2 + 3 si x [ 24x − 1 six > 2

f(x) = 12x $ x

c) f(x) = x + 2 − x − 2

8.- Dada la función: f(x) =

x3 − x si x [ 0ax + b si x > 0

a) Calcular a y b para quef sea continua.b) Calcular a y b para quef sea derivable.

9.- Hallar para que la siguiente función sea continua y derivable en a y b x = 0

f(x) =

ln(e + senx) si x < 0x3 + ax + b si x m 0

10.- Dada la función f(x) =

5 senx si x < −�2

a senx + b si −�2 [ x [ �2

2 cosx + 3 si �2 < x

Halla para que la función sea continua en todo ¿Es derivable la función en todoa y b R.R para esos valores de .a y b

11.- Sea la función dada por . Encontrar los valores de lasf(x) f(x) =

1x + 1 si x m 0

x2 + ax + bcx2 + 1 si x < 0

constantes a, b y c que hacen quef sea continua y derivable dos veces enx = 0.

12.- Estudiar la derivabilidad de la función representada en la figura.(edebe, pag 249, 47)


- 22 -

13.- Considérese la gráfica siguiente:

correspondiente a cierta función Se pide:f(x).

a) Indicar donde es continua y derivable. Explicar por qué no lo es en los puntos donde no es continua ni derivable.

b) ¿Hay algún intervalo en el que f ∏ [ 0?c) ¿Existe algún punto P tal que ? Justifica las respuestas.f ∏(P) = 0

14.- Calcular la derivada en el punto de la función .x = 0 f(x) = x tag(x2) (Selectividad, Extremadura 1999)

15.- Calcular la derivada en el punto de la función .x = 1 f(x) = x−1/2 ln x (Selectividad, Extremdura 2000)

16.- a.) Enuncia la regla de la cadena para derivar funciones compuestas. b) Dada la función , calcula el valor de su derivada en , sabiendo que h(x) = esen(f(x)) x = 0

.f(0) = 0 y f ∏(0) = 1(Selectividad, Extremadura 2007)

17.- Dadas las funciones , calcular la derivada en de f(x) = x2 + � y g(x) = senx + cosx x = 0 las funciones .f(g(x)) y g(f(x)) (Selectividad, Extremadura 2001)

18.- Hallar la derivada en el punto de la función .x = 0 f(f(x)), dondef(x) = senx (Selectividad, Extremadura 2005)

19.- Hallar la derivada en de la función x = 0 f(f(x)), dondef(x) = (1 + x)−1. (Selectividad, Extremadura 2005)

20.- Dadas las funciones , escribir la función y f(x) = 3 x2 + x + 1 y g(x) = ln(x + 8) g ) f calcular su derivada.

21.- Dada la función f(x) = senx + sen(x + 1)cosx − cos(x + 1)

en el intervalo , calcula su derivada, simplificándola en lo posible. ¿Es constante0 < x < 2�esta función ?f(x)


- 23 -

22.- Determinar en qué puntos es negativa la derivada de la función f(x) = exx−2

(Selectividad, Extremadura 2003)

23.- Sean dos funciones derivables en todo punto. Se supone quef(x) y g(x) Calcular la derivada en de la funciónf(0) = 1, f ∏(0) = −1 y g∏(1) = 2. x = 0

f(x) = g 1f(x)

24.- Si son funciones derivables en ¿Cuánto vale la f(x) y g(x) x = a y f(a) = g(a) = 0, derivada del producto de las dos funciones en el punto Justificar la f(x)g(x) x = a? respuesta. (Selectividad, Extremadura 1996)

25.- Sea . ¿Es cierto que la derivada de la función se anula en f(x) = x7 − 3x6 + 2 sen �2 x

algún punto comprendido entre 0 y 1? Justifica la respuesta.

26.- Definir el concepto de derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica. (Selectividad, Extremadura 1998)

27.- Definir el concepto de derivada de una función en un punto y explicar su f(x) x = a relación con el crecimiento de una función. (Selectividad, Extremadura 2002)

28.- Definir el concepto de derivada de una función en un punto , y explicar su f(x) x = a relación con los máximos y mínimos de una función. (Selectividad, Extremadura 2000)

Rectas tangente y normal

29.- Averigua el ángulo que forman la recta tangente a la curva en el punto y = 3x2 − 2x + 1 P = (1, 2) y el eje de abscisas.

30.- Halla en qué punto de la curva la recta tangente forma con el eje de abscisas un y = ln x ángulo de 60º.

31.- Dada la curva , determina el punto en que la recta tangente a dicha curva es y = x2 − 4x2 + 4

horizontal.

-¿Existe algún punto de abscisa negativa en que la recta tangente a dicha curva sea paralela a la recta ? Razona tu respuesta.3x − 3y + 7 = 0

32.- Dada la función , ¿Cuál debe ser el valor de para que la pendiente mx3 + 2x2 + 3x − 1 m de la recta tangente en el punto de abscisa ?x = −1 sea 11


- 24 -

33.- Dada la curva , halla sabiendo que la recta es y = 2x3 + ax2 + bx − 1 a y b y = 7x + 2 tangente a dicha curva en el punto de abscisa x = −1.

34.- Sean las funciones . Determinar para que ambas f(x) = ln x − b, g(x) = a x + b a y b funciones sean tangentes entre sí al pasar por punto .x = 1

35.- Hallar un punto de la curva de ecuación en que la recta tangente sea y = x2 − 7x + 3 paralela a la recta .y = 3 − 5x (Selectividad, Extremadura 1997)

36.- Halla los puntos de la curva de ecuación donde la recta tangente esy = x3 − 2x2 + 1paralela a la recta . y + x − 2 = 0

(Selectividad, Septiembre de 2008. Repert B, ej. 1)

37.- Determinar una recta tangente a la parábola que sea paralela a la recta de y = 2 − x2

ecuación .2x + y = 4 (Selectividad, Extremadura 2003)

38.- Determinar los puntos de la curva plana en que la recta tangente es perpendiculary3 = 2xa la recta y + 6x = 0


39.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto de abscisa 4x2 + 9y2 = 36 x = 5

40.- Determinar los puntos de la circunferencia en que la recta tangente es x2 + y2 = 4 paralela a la recta x + 2y = 3.

41.- Halla los puntos de la curva en que la recta tangente es perpendicular a la recta x = y2 + y .x + y = 2

42.- Hallar la distancia del origen de coordenadas a la recta tangente en el punto a la (1, 2)

curva de ecuación y = 8 − 4x2 .


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Problemas de Optimización

1.- Una agencia inmobiliaria tiene alquilados 200 apartamentos en una ciudad a 160 € al mescada uno. Por cada 5 euros de aumento en el alquiler pierde un inquilino, que se traslada aotro apartamento más económico. ¿Cuál es el alquiler que produce mayor beneficio a laempresa?

2.- Halla la recta que pasa por el punto y forma con los semiejes positivos deP = (3, 6)coordenadas un triángulo de área mínima.

3.- Determina los puntos de la parábola que están a mínima distancia del punto .y = x2 P(0, 1) (Selectividad, Extremadura 2007)

4.- Los vértices de un triángulo son , que es un punto cualquiera deA = (1, .1), B = (3,−1) y Cla función , definida entre . Resuelve los siguientesf(x) = −1 + −x2 + 4x − 3 x = 1 y x = 3apartados:

a) Dibuja un gráfico que represente la situación.b) Expresa el área del triángulo en función de la coordenada del punto C.c) Determina en qué caso será máxima el área del triángulo.

5.- Se desea construir un paralelepípedo rectangular de 9 litros de volumen y tal que un ladode la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes de sus lados para que el áreatotal de sus caras sea mínima. (Selectividad, 2004)

2xx

6.- Con un alambre de 2 metros se desea formar un cuadrado y un círculo. Determinar el ladodel cuadrado y el radio del círculo para que la suma de sus áreas sea mínima.

(Selectividad, 2003)

7.- Entre todos los rectángulos de área dada, ¿Cuál es el de perímetro mínimo?

8.- El perímetro de la ventana del dibujo mide 6 metros. Los dos lados superiores formanentre sí un ángulo de 90º.

Calcular las longitudes de los lados para que el áreaa y bde la ventana sea máxima.

9.- Se quiere unir el punto situado en un lado de unaMcalle de 3 m de anchura con el punto situado al otroN


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ba a

lado y 9 m más abajo mediante dos cables rectos, uno desde hasta el punto situado alM P,otro lado de la calle, y otro desde hasta siguiendo el mismo lado de la calle, según elP Nesquema siguiente:

M

N

3 m

9 m

El coste de la instalación del cable es de 12 € por metro, y el del cable , de 6 eurosMP PNpor metro. ¿Qué punto se habrá de elegir de manera que la conexión de sea lo másP M a Neconómica posible? ¿Cuál será ese coste mínimo?

10.- ¿Qué longitud ha de tener una cuerda de un círculo para que sea máximo su producto porla distancia de la cuerda al centro del círculo?(Selectividad, 1998)

11.- Se ha de construir un gran depósito cilíndrico de de volumen. La superficie81�m3

lateral ha de ser construida con un material que cuesta , y las dos bases con un30 /m2

material que cuesta €/ .45 m2

a) Determina la relación que hay entre el radio, , de las bases circulares y la altura, delr h,cilindro, y da el coste , del material necesario para construir este depósito en funciónC(r)de r

b) ¿Qué dimensiones (base y altura) ha de tener el depósito para que el coste de losmateriales necesarios para construirlo sea le mínimo posible?


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Monotonia, curvatura, extremos relativos y puntos de inflexión

1.- Determina los intervalos de monotonia y los extremos relativos de las siguientesfunciones.

a) f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 − 1

b) f(x) = 4x + ln x2

c) f(x) = 3 − xd) f(x) = ex − (1 + x)e) (Selectividad, Extremadura 2007)f(x) = x2 $ e−x

2.- Determinar la ecuación de una parábola cuyo vértice sea el punto dey = ax2 + bx + ccoordenadas (1, 1) y pase por el punto(3,−3)


3.- Se sabe que la función corta a su función derivada en y que además,f(x) = x3 + ax + b x = 1en dicho punto, tiene un extremo.f

a) Determinar los valores de a y b.b) Determinar la naturaleza del extremo que f tiene enx = 1

4.- Determinar los puntos de crecimiento de la función .f(x) = x ln(1 + x2) (Selectividad, Extremadura 1997)

5.- Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto de inflexión de la función f(x) = ln xx

6.- La figura muestra la gráfica de una función polinómica de segundo grado que pasa por elorigen de coordenadas y que es la derivada de una función f

Resuelve los siguientes apartados:

a) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de fb) Determina los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de f.c) Traza un esbozo de la gráfica de Justifícalo.f.


- 28 -

7.- Determinar los coeficientes de una función polinómica de tercer grado cuyaa, b, c y drepresentación gráfica es la que muestra la figura.

8.- Si la gráfica de una función es:f(x)

representar aproximadamente la gráfica de la derivada de .f ∏(x) (Selectividad, Extremadura 2004)

9.- Define el concepto de máximo relativo de una función y enuncia su relación con lasf(x)derivadas sucesivas de .f(x)

10.- Si una función derivable y positiva tiene un mínimo en un punto y la segundaf(x) x = aderivada no es nula. ¿Qué podemos decir del signo de las dos primeras derivadas f ∏∏(a)

en ese punto?f(x)2


- 29 -

Representación de funciones

1.- Representar la gráfica del polinomio

f(x) = 2x3 + 3x2 − 0, 2

¿Cuántas raíces reales negativas tiene este polinomio? (Selectvidad, Extremadura 2001)

2.-Representar gráficamente la función

f(x) = 2x3 − x2

2 − x + 527

¿Cuántas raíces reales positivas tiene este polinomio? (Selectividad, Extremadura 2000)

3.- Representar gráficamente la función

p(x) = x4 + 43x3 + 2x2 − 2

estudiando sus máximos y mínimos. ¿Cuántas raíces reales tiene el polinomio p(x)? (Selectividad, Extremadura 1999)

4.- Dada la curva: se pide:y = x2 − 1x2 + 1

a) Dominio de definición y puntos de corte con los ejes, si los hay.b) Asíntotas y puntos de corte con las mismas, si los hay.c) Simetrías.d) Intervalos de crecimiento y de decrimiento.e) Máximos y mínimos.f) Una representación aproximada de la misma.

5.- Representar gráficamente la función , determinando sus extremos relativosf(x) = ex − ex(máximos y mínimos relativos). ¿Estiste algún valor de ?x en quef(x) sea negativo (Selectividad, Extremadura 2004)

6.- Se considera la función definida por:f : ≠t≠

f(x) = e2x

x2 + 1

a) Calcular las asíntotas de la gráfica de fb) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los estremos

relativos de .fc) Representarla gráficamente.


- 30 -

7.- Para la función :f(x) = x2 $ e−x

a) Comprueba que la recta es asíntota horizontal en y = 0 +∞.b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.c) Con los datos anteriores haz una representación aproximada de la gráfica de la función .f(x) = x2 $ e−x

8.- Determinar el dominio de definición de la función y representar suf(x) = x − ln(x2 − 1)gráfica, calculando los intervalos de crecimiento y los extremos (máximos y mínimosrelativos)


9.- Se considera la función f(x) = −x ln x

a) Calcular xd0lim f(x) y

xd∞lim f(x)

b) Demostrar que presenta un máximo relativo cuando f(x) x = 1e

c) Dibujar la gráfica de esta función.

10.- Sea . Se pide:f(x) = ln x2 − 22x − 1

a) Dominio, corte con los ejes y asíntotas.b) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.c) A partir de los datos obtenidos, representar gráficamente la función.

11.- Representar gráficamente la función ,f(x) = x − 2 senx en el intervalo−� < x < �determinando sus extremos relativos (máximos y mínimos relativos)


12.- Representar gráficamente la función , determinando los intervalosf(x) = 2x + (2x)−1

donde es creciente. (Selectividad, Extremadura 2002)

13.- Representar la gráfica de la función , determinando sus extremos (máximosf(x) = x3 + x−3

y mínimos relativos) (Selectividad, Exremadura 2002)

14.- Calcula las asíntotas y determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de lafunción . A partir de los resultados obtenidos, dibuja la gráfica de laf(x) = (1 + x2)−1xfunción .f(x)

15.- Sea la función f(x) = 2 2x − 1

a) Indicar su dominio, intervalos de crecimiento y de decrimiento, puntos de inflexión y asíntotas.

b) Realizar una representación gráfica de la misma.


- 31 -

Teoremas de Rolle y del Valor Medio de Lagrange (o del cálculo diferencial)

1.- a) Enuncia el Teorema de Rolle. b) Prueba que la función satisface sus hipótesis en intervalo yf(x) = x3 + x2 − x − 1 [−1, 1]

calcula un punto del intervalo abierto cuya existencia asegura el teorema de(−1, 1)Rolle.


2.- Comprueba que la ecuación tiene una única solución en le intervalo x3 − 4x + 2 = 0 (0, 1)

3.- Demuestra que la ecuación no puede tener dos raíces reales en elx3 − 36x + 10 = 0intervalo . ¿Tiene alguna raíz en este intervalo?(−1, 2)

4.- Sea la función definida mediante g(x)

g(x) =

ax(x + 1) si x c [−1, 0]

x(x − 1)2 si x c (0, 1]

¿Para qué valores de puede aplicarse el Teorema de Rolle a la función en el intervalo a g[−1, 1]

5.- Dada , escribe la ecuación de la recta secante que une los puntos f(x) = x2 − 2x + 2x − 4

.(−2,f(−2)) y (2,f(2))

¿Existe un punto en el intervalo verificando que la tangente a la gráfica de en c [−2, 2] fes paralela a la secante que has hallado? En caso afirmativo razonar la respuesta y(c, f(c))

calcular y la recta tangente por ese punto, en caso negativo razonar por qué no existe.c

6.- Enunciar el Teorema del Valor Medio del cálculo diferencial. Usarlo para demostrar quepara cualesquiera números reales se verifica que x < y cosy − cosx [ y − x



- 32 -

Regla de L’hôpital

1.- Calcular los siguientes límites por la Regla de L’hôpital.

a) b) xd0lim x3 + 6x

x2(2 − 3x) xd∞lim 1 − 2x + 3x2

(2x − 1)2

c) d) xd0lim

(1 − cosx) $ senxx2 xd0

limln(sen 2x)ln(sen 3x)

e) f) xd∞lim (ln x)

1ex

xd1lim x

x − 1 − 1ln x

g) h) xd∞lim x 2

1x − 1

xd∞lim

x + 1ex

i) j) xd1lim 1

x − 1 ln xxd0lim arctanx − x

x − senxk)

xd0lim ex − x − cosx

sen2(x/2)

2.- Enunciar la regla de L’Hôspital y calcular el límite

xd1lim

1 − cos(2�x)(x − 1)2

3.- Enunciar la regla de L’hôspital. Calcular

xd0lim 1 − cosx

ex − 1

4.- Determinar el valor de para que la función tenga límite cuando k f(x) = 2x2 − 3kx + 5x − 2 x

tienda a 2 (es decir, exsite ) y calcular el valor de dicho límite.xd2lim f(x)

5.- Calcula

xd0lim 1 + x − ex

sen2x

6.- Calcula el siguiente límite:

xd0lim

(ex − 1)2

ex2 − 1 (Selectividad, Junio de 2008)

7.- a) (1,5 puntos) Calcula el siguiente límite xd0lim

ln(x2 + 1)x

b) (1 punto) Indica, razonadamente, el valor que debe tomar para que la siguiente afunción sea continua

f(x) =

a si x = 0ln(x+1)

x si x ! 0

Nota: ln significa logaritmo neperiano.(Selectividad, Septiembre de 2008)


- 33 -

Integral Indefinida

1.- Calcular las siguientes integrales indefinidas:

a) b) ¶(x5 − 9x3 + x + �)dx ¶2 + 3x + 4x2

x2 dx

c) d) ¶2 + x

3 xdx ¶(2 − x)30dx

e) f) ¶ 52x + 1

dx ¶ 23x + 1dx

g) h) ¶ dx3 + 3x2 ¶ dx

1 − 2x2

i) j) ¶e2x(1 + e2x )3dx ¶ ex

1 + 3ex dx

k) l)¶e5xdx ¶ x2

x3 − 1dx

m) n) ¶cosx $ sen2 x $ dx ¶cotxdx

ñ) o) ¶3 senx ecosxdx ¶x2 sen(1 − x3)dx

p) q) ¶ ln5xx dx ¶ cosx

sen3 xdx

r) s) ¶ eln x

2x dx ¶x2ex3−1dx

t) u)¶ x + 1x2 + 1dx ¶ dx

9x2 + 1

v) w) ¶ dx1 − 4x2

dx ¶ x(x2 − 3)4 dx

x) y)¶sen(2x)dx ¶ x $ cos(x2)3 dx

z) ¶ sec2xtagx

�)¶tag2 xdx

2.- Calcular las siguientes integrales racionales:

a) b) c) ¶ x2

x2 − 3x dx ¶ x3 + 4x3 + 3x2 − 4x − 12dx ¶ 2

x3 − 2x2 dx

d) e) ¶ x2 − 4(x − 1)3 dx ¶ 2x2 − 1

2x2 + 3x dx


- 34 -

3.- Resolver las siguientes integrales por partes:

a) b) ¶(1 − 2x) $ senxdx ¶x $ e−2xdx

c) d) ¶x2 $ ln x dx ¶x ln(x3 + x)dx

4.- Resolver las siguientes integrales indefinidas por cambio de variable.

a) b) ¶x5 1 − x3 dx (t2 = 1 − x3) ¶ dx2x x − 1

(t2 = x − 1)

c) d) ¶ 3x4

1 + x10 dx (t = x5) ¶(7x2 − 1)32$ xdx (t = 7x2 − 1)

e) f) ¶ x2

(cosx3)2 dx (t = x3) ¶ dxx − 4 x

(t = x4)

g) (Descomponer en sumas de integrales y hacer ¶ x2 + ln x2

x dx t = ln x2)

h) i) ¶ dxx $ (ln2x − 2 lnx)

(t = ln x) ¶ e2x − 3ex

ex + 1 dx (t = ex )

j) ( k) (¶ x2 + 1x dx t2 = x2 + 1 ) ¶ sen3 x

cosx t = cosx)

l) ( )¶cos5xdx t = senx

5.- Selectividad en Extremadura

a) Halla una primitiva de la función .f(x) = xex

b) Calcular una primitiva de la función que se anule en f(x) = (x + 1)2x−1/2 x = 1 (Septiembre de 2005)

c) Calcular (puede hacerse por partes) ¶1

e ln xx2 dx

(Junio de 2005)

d) Calcular (puede hacerse con el cambio de variables )¶1

2x 3 x2 − 1 dx x2 − 1 = t3

(Septiembre de 2004)

e) Calcular (puede hacerse con el cambio de variable )¶0

1 dxex + 1 t = e−x

(Junio de 2004)

f) Calcular (puede hacerse con el cambio de variable )¶e

e2 dxx(ln x) x = e t

(Junio de 2003)


- 35 -

g) Calcular una primitiva de la función que se anule en f(x) = (x2 + 1)−1x x = 2 (Septiembre de 2002)

h) ¶0

1xe−xdx

i) (¶0

1 xdxex2 t = −x2 o t = x2)

j) (¶1

6 xdxx + 3

t2 = x + 3)

k) (haciendo ¶1

e dx3x − 2x ln x t = ln x)

l) (haciendo ¶3

4 x2

x3 − 10dx t = x3 − 10)

m) Calcular el valor de la integral (Extremadura, 2007)¶3

10(x − 2)1/3dx

n) Calcular el valor de la siguiente integral (puede hacerse con el cambio de variable t = ln(x))

¶1

e 1x(1 + ln(x)) dx

(Selectividad, Junio de 2008)

6.- Calcular la función cuya gráfica pasa por el punto (es decir ) y tienef(x) (0, 1) f(0) = 1

como derivada la función f ∏(x) = 2xx2 + 1.

(Selectividad, Sept de 2008)

7.- a) (1 punto) Define el concepto de primitiva de una función. b) (!,5 puntos) Di, razonando la respuesta, si las funciones

son primitivas de una misma función.F1(x) = sen2(x) y F2(x) = − cos2(x)

(Selectividad, Sept de 2008)

8.- Dada f(x) = cosx − cos3x

a) Halle su integral indefinida

b) ¿Cuál es la primitiva de que pasa por f(x) �

2 , 0

9.- Hallar una primitiva de la función que pase por f(x) = ln(1 − x2) (1, 0)

10.- Hallar si verifica para f(x) x4f ∏(x) + x3 + 2x = 3 x ! 0


- 36 -

Integral definida y cálculo de áreas.

1.- Calcular, integrando por partes, el valor de .¶1

2x2 ln xdx

2.- Calcular, integrando por partes, el valor de .¶0

1xe2xdx

3.- Calcular, usando el cambio de variable , .2x + 1 = t ¶0

42x + 1 dx

4.- Calcular .¶2

4x − 3 dx

5.- Representar gráficamente la función y calcular .f(x) = x2 − 1 ¶0

2f(x)dx

6.- a) Enuncia el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. b) Calcula el punto al que se refiere dicho teorema para la función en el f(x) = 3x2 + 1

intervalo [0, 3]

7.- Enuncia la regla de Barrow. Representa la gráfica de la función

f(x) = ¶1

xtdt


8.- ¿Para qué valores de vale cero la integral ?a ¶0

ax cosxdx

9.- Determinar el área del recinto plano limitado por la curva de ecuación y lay = 4x − x2

recta .y = 2x

10.- a) (1 punto) Representa gráficamente el recinto plano limitado por la recta y + 2x − 6 = 0y la parábola .y = −x2 + 2x + 3

b) (1,5 puntos) Calcular su área.(Selectividad, Junio de 2008)

11.- Calcula el área limitada por las curvas e .y = x2 − 4 y = 8 − 2x2

12.- Representar gráficamente la figura plana limitada por las parábolas y y = 4 − x2

. Calcula su área.y = x2 − 4

13.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por las parábolas y = 1 − x2 e y = 2x2

y calcula su área. (Selectividad, 2007)

14.- Calcula el área limitada por la curva y el eje de abscisas.y = x3 − 2x2 − x + 2

15.- Calcula el área limitada por las gráficas de las funciones y .f(x) = x3 g(x) = x

16.- Calcular el área limitada por las parábolas e .y = x2 y2 = 2x


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17.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por la recta y por la curvax − y = 1de ecuación . Calcular su área.y = x − 1

18.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por la recta y la parábola dey = x − 2ecuación . Calcula su área.y2 = x

19.- Determina la ecuación de una parábola cuyo vértice sea el punto dey = ax2 + bx + ccoordenadas y pase por el punto . Calcula el área delimitada por esta(1, 1) (3, 3)parábola y la recta .y = −3

20. Halla el área encerrada por la curva , el eje OX y la recta .y = ln x x = e

21.- Representa la figura plana limitada por la gráfica de la función , en elf(x) = cosx

intervalo , y por la recta . Calcula su área.− �2 [ x [ �2 y = 12

22.- Halla el área encerrada por la curva y las rectas , y .y = xsenx y = 0 x = 0 x = �2

23.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por las curvas , y , yy = ex y = e−x

por la recta . Calcular su área.x = 1

24.- Representar gráficamente el recinto plano limitado, en la región donde la coordenada xes positiva, por la recta , la hipérbola , y la recta . Calcular sux = 1 xy = 1 6y − x + 1 = 0área.

25.- Representa gráficamente la figura plana limitada por la curva , su recta tangentey = 2x3

en el origen de coordenadas y la recta . Calcualr su área.x = 2 (Selectividad, 2007)

26.- Sean e las ecuaciones de una parábola p y de una recta r,y = ax2 y = ax + arespectivamente. Demostrar las siguientes afirmaciones:

a) Las abcisas de los dos puntos de corte de p y r no dependen del valor de .a b) Si se duplica el valor de , también se duplica el valor del área encerrada entre p y r.a

27.- Representa gráficamente la figura plana limitada por la parábola de ecuación y la recta . Calcula su área.x = (y − 1)2 − 1 x = 0

28.- Dibujar el recinto plano limitado por la parábola y por la recta paralela a y2 − x = 1 y = xque pasa por el punto . Calcula el área de este recinto.(1, 0)

29.- Representar gráficamente el recinto plano limitado, en la región donde la abcisa x espositiva, por la curva , y por la recta . Calcula su área.y = x3 + x y = 2x

30.- Representa gráficamente el recinto plano limitado por la curva y su rectay = x3 − xtangente en el punto de abcisa . Calcula su área.x = 1

31.- Representa gráficamente la figura plana limitada por la curva , su recta tangentey = x4

en el punto y el eje OY. Calcula su área.(1, 1)


- 38 -

32.- Representar gráficamente la figura plana limitada por la curva , su tangente en ely = ex

punto de abscisa , y la recta . Calcula su área.x = 0 x = 1

33.- Representar gráficamente la figura plana limitada en el primer cuadrante ( )x m 0, y m 0por la recta y la curva . Calcular su área.y = x x = y3

34.- Determina una constante positiva sabiendo que la figura plana limitada por la parábolaa , la recta y la recta tiene por área .y = 3ax2 + 2x y = 0 x = a (a2 − 1)2


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matrices de números realesroble.pntic.mec.es/valm0013/word pro - cuadernilo mat ii...2 4 6 8 3 6 9...

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