matriČna analizana analiza konstrukcija fileei -6l 4l 6l 2l l -12 6l 12 6l 6l 2l 6l 4l sy k 5 9...

MATRIČNA ANALIZAMATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA

PROSTORNI NOSAČI

Prof. Mira PetronijevićProf. Mira Petronijević

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 1

6. Prostorni puni nosači Vektor pomeranja q i q* prostornog štapa

Lokalni koordinatni sistem Globalni koordinatni sistemY

Y

q4* q1

*

q5*

q2*

q*10

q*8 q*7k q*11

q*9i

*

Xq3

*q6

* q*12

Z

q 9i

*

XZ*1*2

q

q

q

*1*

* 2

q

q

q


*12q

*12q

6.1 Matrica krutosti štapaVektori sila i pomeranja u lokalnom koordinatnom sistemu:

1

2

RR

R

1

2

qq

q

Vektori sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu:

12R

12

q

Vektori sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu:

*

1

*

RR

*

1

*

*

q

q

* 2

*

R

R

R

2

*

q

q

q


12R 12q

Aksijalno naprezanjeAksijalno naprezanje

1 7

1 1EF

1 1la

K

1 7

1

7


Torzija Torzija

1 1GJ

1 1lt

K

4 10

4

10


Savijanje oko z-ose

2 2

12 6l -12 6l

2 6 8 12

2

2 2

z3

2 2

6l 4l -6l 2lEI

-12 -6l 12 -6ll

6l 2l 6l 4l

sz

K6

8

126l 2l -6l 4l 12


Savijanje oko y-ose

2 2y

12 -6l -12 -6l

EI -6l 4l 6l 2l

K

3 5 9 11

3

5y

3

2 2

-12 6l 12 6ll

-6l 2l 6l 4l

sy

K9

11


Aksijalno naprezanje: 1 1EF K

1 7

1

1,7 1 1la K

7

1 1GJ K

4 10

4

Torzija: 4, 10

S

GJ

1 1lt

K10

12 6l 12 6l 2 6 8 12

2

Savijanje oko z-ose 2,6,8,12

2 2

z3

12 6l -12 6l

6l 4l -6l 2lEI

-12 -6l 12 -6llsz

K

2

6

8

Savijanje oko y ose

2 26l 2l -6l 4l 12

12 -6l -12 -6l

3 5 9 11

3

Savijanje oko y-ose

3,5,9,112 2

y

3

2 2

EI -6l 4l 6l 2l

-12 6l 12 6ll

6l 2l 6l 4l

sy

K5

9


2 2-6l 2l 6l 4l 11

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 612 12

EF EF

l lEI EIEI EI

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

3 2 3 2

3 2 3 2

6 612 120 0 0 0 0 0 0 0

6 612 120 0 0 0 0 0 0 0

z zz z

y y y y

EI EIEI EI

l l l lEI EIEI EI

l l l lGJ GJ

2

3

2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 64 20 0 0 0 0 0 0 0

6 64 2

y y y y

GJ GJ

l lEI EIEI EI

l ll lEI EIEI EI

4

5

2 2

6 64 20 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

120 0 0 0

z zz z

z

EI EIEI EI

l ll lEF EF

l lEI

K

6 6120 0 0 0zz zEI EIEI

6

7

30 0 0 0z

l

2 3 2

3 2 3 2

0 0 0 0

6 612 120 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

zz z

y y y y

l l lEI EIEI EI

l l l lGJ GJ

8

9

10

2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 62 40 0 0 0 0 0 0 0

6 62 40 0 0 0 0 0 0 0

y y y y

z zz z

l lEI EIEI EI

l ll lEI EIEI EI

10

11

12


2 20 0 0 0 0 0 0 0

l ll l

12

6.2 Transformacija vektora *Rj

Y*2R

R

2

1

2

3 *

X

13 *1R

*3R

Z*1 1

*2 2

cos

cos

R R

R R i=1,2,3


*3 3cosR R

Transformacija vektora *iR

*

y2R i

*R i

i2

x

i1i3

R

1R i

3R i

z * *1 1 1

* *2 2 2

* *

cos

cos

cos

i i i i i

i i i i i

R R R

R R R

R R R


3 3 3cosi i i i i R R R

ij-ugao između globalne i-ose i lokalne j-ose (i,j=x,z,y)

31

32

cos( , )

cos( , )

Z x

Z y

11

12

cos( , )

cos( , )

X x

X y

21

22

cos( , )

cos( , )

Y x

Y y

32

33

cos( , )

cos( , )

Z y

Z z

12

13

cos( , )

cos( , )

X y

X z

22

23

( , )

cos( , )

y

Y z

Komponente sile u lokalnom koordinatnom sistemu

* * *R R R R R R R 1 11 21 31 1 11 2 21 3 31

* * *2 12 22 32 1 12 2 22 3 32

* * *

R R R R R R R

R R R R R R R

R R R R R R R

* * *

3 13 23 33 1 13 2 23 3 33R R R R R R R


*1 11 12 13 1

*

R R

R R2 21 22 23 2*

3 31 32 33 3

* - vektor sila u čvoru is is i

R R

R R

R λ R*

*

*

- vektor momenata u čvoru

-

im im

is is

i

R λ R

R λ R

R λ R vektor generalisanih sila u čvoru i

im im

R λ R* *, i i k k

R t R R t R

λ

*

*, matrica transformacije i i

tλ

R t tRT

R t t*, j

Problem je odrediti !!

k k

ij

R t tR


ij

Transformacija koordinata

yYY

XY

Y

Z

x

kl

z

Z

lXi

l

Z

Z22 l

lYY

lXX ik

XZ l

lZZ

lYY

ik

ik


l

Određivanje uglova i - koordinate tačaka i i k , , , , ,i i i k k kX Y Z X Y Z

22sin

22

cos

YYl

XX ik

22cos ZZl

YY

ik

ik

sinl

2 2 2

k i k i k il X X Y Y Z Z - dužina štapa ik k i k i k il


Rotacija oko Y ose za ugao j g

Ry =RyY=YRy =Ry

x

R*

RZ

XRx

R

Rz

Z

Rx

X

Rz


Matrica

xx RR sin0cos

z

y

z

y

R

R

R

R

cos0sin

010

zz

*

R R

*RR


Rotacija oko Z za ugao

YRy

x =X

Y

R*

Ry

Rx

Ry

X

y

RzRz Rx

Z

X


Matrica

xx RR 0sincos

yy

R

R

R

R

100

0cossin

zz RR 100

R R

*RRR


Rotacija oko X za ugao

y

Y

x=X

y

R*

R

Ry

Rx=Rx

Ry

Rz

R Rz

z


Matrica transformacije

RR 001

y

x

y

x

R

R

R

R

R

R

i0

sincos0

001

zz RR cossin0

R

** tRRRRR

R R

tRRRRR


Matrica transformacije vektora

t

22

22

22

sincoscos

sincos

t

22

22

22

2222

cossinsin

cossin


Matrica transformacije za prostorni štap

t

t

T

t

t

t

12x12


Određivanje ugla

Ytačka u ravni štapa xOy

vektor položaja tačke P

P xy vektor položaja tačke P

u sistemu XZY

ppp ZYX * r

*

r*

XYp

vektor položaja tačke Pu sistemu X Z Y

ppp ZYX r

*rr

Z

X

XpZp ppp Z p


ZYXX pppp ZYXX

pppp ZYXY22

22

22

ppp ZXZ

ppp 2222


P-tačka u ravni štapa xOy

22sin p

ZY

Z

y

Y P

P

Y

pp ZY

YP

22cos p

ZY

Y

ZP

z

Z

pp ZY z


Štapovi paralelni sa X odnosno Z – osom

Y, y Y

X, x

0

0

0Xx

180o

0o

180ok i

Z, z

i ki

Y

X

Z

x k i

90o

0o

x

Y

X 00o

X

k

i

k

X

Z

270o

0o


ZZ, x 180o

Štapovi paralelni sa Y osom Y

( 0, 0) Y, x

0 X

0

270o

( 0, 0)

X

0

90X

Z

Z

i

k

Zk

xi

Matrica T je singularna – koristi se matrica

0 0

λ

*R R λ cos 0 sin

sin 0 cos

λ cos(Y,x)= ±1


sin 0 cos

6.3 Prostorne rešetke

Y q R,2 2*q R

*,5 5

x

Vektori sila i pomeranja

Y

y loka

lni

siste

m

,2 2

glob

alni

siste

m

q *6 , 6

*R

*q4 ,

,5

*4R

5

q,1 1R

si

*q *R

2 , R 2

,q *

3*

R 3

,1 1

*q * si

X

Z* *1 1* *

R q

R

globalni koordinatni sistem

lokalni koordinatni sistem2 2* *

* *3 3* *4 4* *5 5

R q

R q

R q

R q

R q

lokalni koordinatni sistem

1 1

2 2

R q

R q

R q


* *6 6R q

Matrica krutosti prostog štapa u lokalnom sistemu

11

11

lEFK

Matrica transformacije za prost štap:

000

000T

000


gde je:

l

XXx,Xcos ik l

ZZx,Zcos ik

l

YYx,Ycos ik l

l 222 ZZYYXXl ik2

ik2

ik2


Matrice krutosti

EF EFˆl

K K T

* T EF

le e

e e

K K

K K

K T Ke e

2 2

2eK


matriČna analizana analiza konstrukcija fileei -6l 4l 6l 2l l -12 6l 12 6l 6l 2l 6l 4l sy k 5 9...

Documents