MATRINE METODE

MATRINE METODEFilip Juri

SadrajUvodNotacijaMatrica krutosti za element oprugeMatrica krutosti za dva elementa opruge u serijiMatrina analiza u tokama spojenih reetkastih konstrukcijaMatrica krutosti za homogenu greduMetoda konanih elemenata za neprekidne konstrukcijeMatrica krutosti za trokutaste konane elementeUvodStvarne zrakoplovne konstrukcije sastoje se od brojnih komponenata, najee nepravilno posloenihMogue je jedino provesti analize zamjenom stvarne konstrukcije s idealiziranom aproksimacijom ili modelomU zrakoplovnim konstrukcijama, gdje je teina konstrukcije bitan parametar, tono poznavanje optereenja na komponente i naprezanja je kljuno za dimenzioniranjeStandardne metode analize konstrukcija su neadekvatne za tako kompleksne idealizirane konstrukcijeu kasnim 40-tim i ranim 50-tim godinama 20. st. pojavom raunala dolazi do razvoja matrinih metoda u analiziUvodMatrine metode su razvijene za prikladnije numeriko rjeavanje na raunalu

Postoje 2 tipa rjeavanja jednadbi:Metoda krutosti (metoda pomaka)Metoda fleksibilnosti (metoda sila)

Jedonstavne primjene: reetkaste konstukcije, gredeSloene primjene, rjeavaju se metodom konanih elemenata: limovi, oplate zrakoplova, trup zrakoplova...

NotacijaUobiajeno, sile na konstrukciju definiramo kao Fx,1, Fy,1, Fz,1, Fx,2, Fy,2,Fz,2, ...Fx,n, Fy,n, Fz,n, gdje brojevi 1, 2, . . . , n predstavljaju vorove, a x y z predstavlja osi u ijim smjerovima su usmjerene silePomaci u x y z osi se oznaavaju u v w

Pomaci i sile su vetrikalni vektori!

NotacijaOpa poveznica izmeu sila i pomaka izraena je jednadbom:{F} = [K]{}[K] = matrica krutosti

Elementi matrice kij gdje je i broj reda, a j broj stupca u matrici nazivaju se koeficijenti krutostiKljuno svojstvo za dobivanje matrice krutosti je superpozicija

Matrica krutosti za element oprugePostavljanje globalnog koordinatnog sustavak = konstanta oprugeSuperpozicija 2 sluaja:Fx,1= ku1 za u2=0Fx,2 = ku2 = -ku1 za u1=0

Matrica krutosti za dva elementa opruge1. sluaj u2=u3=0 Fx,1 = kau1 =Fx,2Fx,3=02. sluaj u1=u3=0Fx,2 = (ka +kb)u2Fx,1 =kau2, Fx,3 =kbu23. u1=u2=0 :Fx,3 = kbu3 =Fx,2Fx,1 = 0

Matrica krutosti za dva elementa oprugeKonano rjeenje u matrinom zapisu glasi:

Matrica krutosti [K] je simetrina kvadratna matrica n x n , n odgovara broju vorova (stupnjeva slobode) Zbroj svih komponenata u redu je 0, to nam govori da su jednadbe ravnotee zadovoljeneMatrica je singularna nema inverz matricu

Matrina analiza u tokama spojenih reetkastih konstrukcija Matrina analiza u tokama spojenih reetkastih konstrukcija

Matrina analiza u tokama spojenih reetkastih konstrukcija Poto se reetke sastoje od puno elemenata koji nisu svi poloeni sa svojim osima na osi glavnog koordinatnog sustava Potrebno je modificirati matricu krutosti tako da ona sadri i utjecaj zbog zarotiranog lokalnog koordinatnog sustava. Lokalni koordinatni sustav zarotiran je za kut u odnosu na glavni koordinatni sustav

Matrina analiza u tokama spojenih reetkastih konstrukcija

Matrina analiza u tokama spojenih reetkastih konstrukcija

Matrina analiza u tokama spojenih reetkastih konstrukcija Uvrtavanjem gornjih jednadbi u matricu slinosti glavnog koordinatnog sustava dobiva se:

Sij su sile u tapovima

Matrica krutosti za homogenu greduDosadanja razmatranja su u obzir uzimala samo aksijalna optereenjaSmina optereenja + sile savijanja

Matrica krutosti za homogenu greduMatrica krutosti samo s brojevima kao elementima:

Za grede lokalnog koordinatnog sustava zarotiranog u odnosu na glavni koordinatni sustav, matrica krutosti glasi:

Matrica krutosti za homogenu greduKad postoji kontinuirano optereenje, nastoji se optereenje rastaviti na vie sila koji e po iznosi biti ekvivalentne optereenjuOvisno o broju sila na koje emo rastaviti optereenje ovisit e i tonost modela, to je vie sila, model e biti toniji

Metoda konanih elemenata za neprekidne konstrukcijeU prijanjim poglavljima primjenjivali smo matrinu metodu na konstrukcijama koje se sastoje od vie elemenata spojenih samo u vorovimaNeprekidne konstrukcije, kao to su limovi, oplata i trup zrakoplova, koje nemaju prirodnu unutarnju podjelu moraju se podjeliti na odgovarajui broj vorova

Konani elementi mogu biti:dvodimenzionalni: trokutni i kvadrilateralnitrodimenzionalni: tetrahedronalni i heksahedronalniMetoda konanih elemenata za neprekidne konstrukcijeManji elementi unutar mree se stavljaju u podruja oekivanih visokih naprezanjaIako se elementi dodiruju u beskonano mnogo toaka oko njihovih granica, pretpostavlja se da su one u dodiru samo u vorovima mreeOptereenja koja su realna pretvaramo u sile u pojedinim vorovima, ako imamo silu koja djeluje na tonoj poziciji, potrebo je na toj poziciji osigurati i vor mreeProcedura rjeavanja je ista, razlika je jedino u raunanju matrice krutosti za pojedine elemente.

Matrica krutosti za trokutaste elementeTrokutasti elementi se koriste u rjeavanju ravninski naprezanja i ravninski deformacijaNjihova prednost u odnosu na druge oblikovane elemente je jednostavna aproksimacija nepravilnih oblika i granica

Trokutasti element ima vorove koji se nazivaju i j k i uvijek se odreuju tim redom u obrnutom smjeru kazaljke na satu

Svaki vor ovog elementa ima 2 stupnja slobode, stoga e matrica krutosti biti sainjena 6x6 elemenata

Matrica krutosti za trokutaste elementeOdabiremo granine uvijete koje aproksimiramo s polinomom sa 6 koeficijenta, (broj stupnjeva slobode je 6)

U matrinom zapisu:

Matrica krutosti za trokutaste elementeDeformacije iz graninih uvijeta u matrinom zapisu:

Matrica krutosti za trokutaste elementeDeformacije iz definicije za ravninsko stanje deformacija u matrinom zapisu:

Matrica krutosti za trokutaste elementeTrodimenzionalni elementiRijetko se koriste u zrakoplovnom ininjerstvu, jer su kompliciraniji, a i u zrakoplovima vie prevladavaju limovi ili reetkaste konstrukcije

Za izgradnju matrica krutosti za takve elemente predlau se knjige:Zienkiewicz i CheungJenkins

HvALA Na Panji!