matriks - rofianto.files.wordpress.com · matriks inverse adalah suatu matriks yang apabila...
TRANSCRIPT
Bentuk Umum
A =
n
n
aaa
aaa
...
...
22221
11211
Matrix is a rectangular array of elements [Budnick]
MATRIKS
A =
mnmm aaa ...
............
21
m x n
� Vektor
� Matriks Bujur Sangkar (Square Matrix)
� Matriks Identitas (Identity Matrix)
� Matriks Transpose
Matriks Khusus
KAIDAH OPERASI MATRIKS
Penjumlahan/Pengurangan
Syarat : dimensinya sama
cij = aij ± bij
Contoh :
−=
24
31A
−=
40
23B
−+
−=+
40
23
24
31BA
−=
+−+
+−+=
24
52
4204
23)3(1
KAIDAH OPERASI MATRIKS
Perkalian Matriks Dengan Skalar
bij = λ aij
Contoh :
− 532
−
−=
428
532A 3=λ
×−××
×−××=
−
−=
43)2(383
53)3(323
428
5323Aλ
−
−=
12624
1596
Perkalian Antarmatrik
A . B = C
(mA x nA) (mB x nB) (mA x nB)
KAIDAH OPERASI MATRIKS
nA=mB
Contoh :
A . B = C
(2 x 2) (2 x 1) (2 x 1)
=
13
42A
−=
2
4B
−=
+−
+−=•
10
0
)2(1)4(3
)2(4)4(2BA
nA=mB
=
DETERMINAN
Determinan adalah sebuah nilai hasil kombinasi elemen-elemen matrikbujur sangkar.
Determinan A ditulis sebagai
=
2221
1211
aa
aaA
2221
1211
aa
aaA =
Determinan Matriks (1 X 1)
Jika A = (5), maka |A| = 5
Jika A = (-10), maka |A| = -10
DETERMINAN
Determinan Matriks (2 X 2)
Jika A = , maka |A| = a11a22 – a21a12
Contoh :
2221
1211
aa
aa
S
A =
Maka :
|A| = P - S
= (1)(4) – (3)(-2)
= 4 + 6 = 10
−
43
21
P
S
DETERMINAN
Determinan Matriks (3 X 3)
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
aa
aa
aa
S1 S2 S3
|A| = P1 + P2 + P3 - S1 - S2 - S3
|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12
P1 P2 P3
MINOR, KOFAKTOR & ADJOINT
|A| = MINOR Mij adalah |A| yang ditutup baris ke-idan kolom ke-j nya
M11 = = a22a33 – a32a23 , M22 = = a11a33 – a31a13
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
232221
131211
aaa
aaa
232221
131211
aaa
aaa
aaa
a’ij adalah KOFAKTOR dari aij ���� a’ij= (-1)i+j(Mij)
a’11 = (-1)1+1(M11) = M11
ADJOINT merupakan tranpose dari Matrik Kofaktor
adj. A = [ a’ij]t
333231 aaa 333231 aaa
INVERS
Matriks Inverse adalah suatu matriks yang apabila dikalikan denganMatriks aslinya menghasilkan Matriks Identitas.
Hal-hal penting berkenaan dengan invers :
1. Agar memiliki invers, suatu matriks harus berbentuk bujur sangkar
2. Invers memiliki dimensi yang sama dengan matriks aslinya
3. Tidak semua matriks bujursangkar memiliki invers3. Tidak semua matriks bujursangkar memiliki invers
A A-1 = A-1 A = I
Matriks Invers dapat dicari dengan :
A-1 = , dengan demikian A-1 ada jika |A| ≠ 0 AadjA
.||
1
EKSPANSI LAPLACE
|A| = Jumlah perkalian elemen dengan kofaktornya pada salah
satu baris atau kolom yang dipilih
Contoh :
|A| =
987
654
321
M11 = = -3 � a’11 = (-1)2(-3) = -3
M12 = = -6 � a’12 = (-1)3(-6) = 6
M13 = = -3 � a’13 = (-1)4(-3) = -3
|A| = a11a’11 + a12a’12 + a13a’13 = 1(-3) + 2(6) + 3(-3) = 0
98
65
97
64
87
54
ATURAN CRAMER
i = 1, 2, ……… , n
Contoh :
x1 + x2 – x3 = 6
3x1 - 4x2 + 2x3 = -2 �
2x1 + 5x2 + x3 = 0
A
xx
i
i =
−=
−
−
0
2
6
152
243
111
3
2
1
x
x
x
A · X = C
2x1 + 5x2 + x3 = 0
Maka :
|A| = , |x1| = , |x2| = , |x3| =
|A| = -36 |x1| = -72 |x2| = 0 |x3| = 144
152
243
111
−
−
150
242
116
−−
−
102
223
161
−
−
052
243
611
−−
236
721
1 =−
−==
A
xx 0
36
02
2 =−
−==
A
xx 4
36
1443
3 −=−
==A
xx
3