matris deplasaman yöntemi
TRANSCRIPT
1
Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin
Matris Metotları
2010-2011 Bahar Yarıyılı
Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞENDoç.Dr. Ercan YÜKSEL
2
BÖLÜM III
DİREKT MATRİS YERDEĞİŞTİRME YÖNTEMİ
3
Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi
4
Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi
5
Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi
6
Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi
7
10
0 50 60
50 60
P
P cos β P sinβ
P sinβ P cos βix
P
20
0 30 40
30 40
P
P cos β P sinβ
P sinβ P cos βjx
P
[k]jxix = [k]Tixjx
Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi
8
• Malzeme doğrusal-elastik davranmaktadır.• Yerdeğiştirmeler, sistem geometrisi ilekarşılaştırıldığında küçüktür. (1. Mertebe Teorisi)
Malzeme ve geometri değişimi bakımından doğrusal davranış sergilemeyen sistemler ilerleyen bölümlerde incelenecektir.
Önce rijit düğüm noktalı ve ankastre mesnetli sistemler çalışılacaktır.
Varsayımlar
9
Çözümün Sağlaması Gerekli Koşullar:
1.Denge Denklemleri• Düğüm noktası denge denklemleri• Çubuk denge denklemleri
2.Geometrik Süreklilik Koşulları• Rijit düğüm noktalarında birleşen elemanların uç
yerdeğiştirmelerinin eşitliği• Mesnetlerdeki geometrik koşullar
3.Bünye Denklemleri (İç kuvvet-şekildeğiştirme ilişkileri)
10
Uç Kuvvetleri İle Uç Yerdeğiştirmeleri Arasındaki Bağıntılar
Ortak eksen sisteminde, i-j çubuğunun uç kuvvetleri ile uç yerdeğiştirmeleri arasındaki bağıntılar
[p]ix = [k]ixix [d]ix + [k]ixjx [d]jx + [p0]ix
[p]jx = [k]jxix [d]ix + [k]jxjx [d]jx + [p0]jx
11
Bilinmeyenler
Düğüm noktasına birleşen çubukların ortak yerdeğiştirmeleridir. n düğüm noktası sayısını göstermek üzere, düzlem çubuk sistemlerde 3×n, düzlem kafes sistemlerde ise 2×n adet bilinmeyen vardır.
Ortak eksen sisteminde düğüm noktalarındaki bilinmeyenler;D1
D2
D3
12
Bilinmeyenler :
Düğüm noktasına birleşen çubukların ortak yerdeğiştirmeleridir.
D1D2
D3
13
Eleman Eksen Takımlarındaki Uç Kuvvetleri ve Uç Yerdeğiştirmeleri
14
Sistem Ortak Eksen Takımındaki Uç Kuvvetleri ve Uç Yerdeğiştirmeleri
D1D2
D3
15
Dolu Gövdeli Sistemler Kafes Sistemler
Bilinmeyenler
D1D2
D3
D1D2
D3 D1
D2
16
Bilinmeyenlerin Hesabında Kullanılan Denklemler(Düğüm noktalarının denge denklemleri)i sayılı düğüm noktasına ait denge denkleminin yazılması
00 ix
ij
ixjjx
ij
ixjxjj
ijixixix qPdkkd_
17
qPdS 0
[S] : Sistem rijitlik matrisi[d] : Bilinmeyenler vektörü[P0] : Yükleme vektörü[q] : Düğüm noktaları yük vektörü
Denge denklemleri sistemin tüm düğüm noktaları için yazılırsa
18
1
2
...
i
..
j
n
1 2 ....... i . ..... j ........... n
For Beam Elements [S]3nx3n [d]3nx1 [p0]3nx1 [q]3nx1
For Truss Elements [S]2nx2n [d]2nx1 [p0]2nx1 [q]2nx1
[k]ixix [k]ixjx
[k]jxix [k]jxjx
[d]ix [p0]ix [q]ix
[d]jx [p0]jx [q]jx
x + =
[S] [d] [P0] [q]
Bir i-j çubuğuna ait dönüştürülmüş eleman rijitlik matrisinin [S] matrisine yerleşimi
19
Bir i-j çubuğuna ait dönüştürülmüş eleman rijitlik matrisinin [S] matrisine yerleşimi (Genel Yöntem)
1.Ankastre mesnetlerin bulunduğu düğüm noktalarında denge denklemleri yazılmaz.2.Mafsallı mesnetlerde;
• Mafsallı mesnete birleşen çubukta, özel eleman rijitlik matrisi tanımlanır ve mafsallı mesnetin bulunduğu düğüm noktasında denge denklemi yazılmaz.
• Mafsallı mesnetin bulunduğu düğüm noktasında da denge denklemleri yazılır. Sıfır olan yerdeğiştirmelere ait 2 adet satır ve kolon denge denklemlerinden kaldırılır. Bu durumda mafsallı mesnette birleşen çubuk normal çubuk gibi alınır.
3.Kayıcı mesnetlerin bulunduğu düğüm noktalarında da denge denklemleri yazılır. Sıfır olan yerdeğiştirmeye ait satır ve kolon denge denklemlerinden kaldırılır. Kayıcı mesnete birleşen çubuk normal çubuk gibi alınır.
20
Kod parametreleri Yöntemi ile [S] Matrisinin Kurulması
Çubuk 1
Çubuk 2
Çubuk 3
12
3
4 5
6
7
8
Her çubukta, elemana ait yerdeğiştirme numaralarından oluşan kod parametreleri dizileri oluşturulur.
21
[S] Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması
Elemanların kod parametreleri dizileri
Sıra Uç. Kuv. 1 2 3
1 1 1 2 5
2 5 2 5 8
3 6 3 6 0
4 2 4 7 0
5 3 0 3 6
6 4 0 4 7
Çubuklar
22
l m n
I
I
I
l m n
l kii kij kik kii kij kik
m kji kjj kjk kji kjj kjk
n kki kkj kkk kki kkj kkk
l I kii kij kik
m I kji kjj kjk
n I kki kkj kkk
Eleman Eksen Takımının Sistem Ortak Eksen Takımı İle Aynı Olduğu Sistemler
l
m
n
23
Eleman Özellikleri
Çubuk I[m4] F[m2] L[m]
3-1 0.040 0.280 9.434
1-2 0.020 0.222 8.000
2-4 0.040 0.280 9.434
Örnek #1 : Dış yük etkisindeki 2D sistem
24
Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (3-1) Çubuğu
25
1 5 6
4EI/L 0 6EI/L2 16.960 0 2.697
[k]33 = 0 EF/L 0 = 0 29.680 0
6EI/L2 0 12EI/L3 2.697 0 0.572
1 0 0 1 0 0
[T2]3 = 0 -cos sin = 0 -0.848 -0.530
0 -sin -cos 0 0.530 -0.848
Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (3-1) Çubuğu
26
1 0 0
0 -0.848 0.53 [0]
0 -0.53 -0.848
1 0 0
[0] 0 0.848 -0.53
0 0.53 0.848
16.96 0 2.697 8.48 0 2.697
0 29.68 0 0 29.68 0
2.697 0 0.572 2.697 0 0.572
16.96 0 2.697
0 29.68 0
2.697 0 0.572
1 0 0 16.96 -1.429 -2.287 8.481 1.429 2.287
0 -0.848 0.53 [0] 21.504 -13.083 -1.429 -21.504 13.083
0 0.53 -0.848 8.748 -2.287 13.083 -8.748
1 0 0 16.96 1.429 2.287
[0] 0 0.848 0.53 21.504 -13.083
0 -0.53 0.848 8.748
[k]3x3x
[k]1x3x
[k]3x1x
[k]1x1x
27
1 0 0 1 0 0
[T2]1 = 0 -1 0 [T2]2 = 0 1 0
0 0 -1 0 0 1
10 0 -1.875 5 0 1.875
0 27.75 0 0 -27.75 0
0.469 -1.875 0 -0.469
10 0 1.875
27.75 0
0.469
[k]1x1x [k]1x2x
[k]2x1x [k]2x2x
=
Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (1-2) Çubuğu
28
1 0 0
0 0.848 -0.53 [0]
0 -0.53 0.848
1 0 0
[0] 0 0.848 0.53
0 -0.53 0.848
16.96 0 2.697 8.48 0 2.697
0 29.68 0 0 29.68 0
2.697 0 0.572 2.697 0 0.572
16.96 0 2.697
0 29.68 0
2.697 0 0.572
1 0 0 16.96 1.429 -2.287 8.481 -1.429 2.287
0 -0.848 0.53 [0] 21.504 13.083 1.429 -21.504 -13.083
0 -0.53 -0.848 8.748 -2.287 -13.083 -8.748
1 0 0 16.96 -1.429 2.287
[0] 0 0.848 -0.53 21.504 13.083
0 0.53 0.848 8.748
[k]3x3x
[k]1x3x
[k]3x1x
[k]1x1x
Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (2-4) Çubuğu
29
1 2 3 4 1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
3-1 Çubuğunun Yerleştirilmesinden Sonra 3-1 ve 1-2 Çubuklarının Yerleştirilmesinden
Sonra
Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması
30
1 2 3 4 1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
3-1 Çubuğunun Yerleştirilmesinden Sonra 3-1 ve 1-2 Çubuklarının Yerleştirilmesinden
Sonra
3-1, 1-2 ve 2-4 Çubuklarının Yerleştirilmesinden Sonra
Mesnetlere Karşılık Gelen 3 ve 4 Ayrıldıktan Sonra
Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması
1 2
1
2
31
1 2
26.960 1.429 0.412 5 0 1.875
1 49.254 -13.083 0 -27.750 0
9.217 -1.875 0 -0.469
26.960 1.429 -0.412
2 49.254 13.083
9.217
Sistem Rijitlik Matrisi
Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması
32
1.042 1.042
[p0]3x = -1.250 [p0]1x = -1.250
0 0
Dış Yükler İçin Yük Vektörünün Elde Edilmesi
33
-1.042
-1.250
[p0]1x 0
[p0]2x 0
0
0
=[p0]=
Dış Yükler İçin [P0] Yük Vektörünün Elde Edilmesi
34
0.0416
0.1748
[d]1x 0.2345
[d]2x -0.0031
0.1568
-0.2198
=[d]=
Dış Yükler İçin Hesap
Yerdeğiştirmelerin Hesabı
qPdS 0
35
Çubuk 3-1 1-2 2-4
2.181 -0.45 0.673
[P]3 1.77 [P]1 -0.50 [P]2 -0.497
0.941 -0.141 0.145
0.450 -0.674 0.699
[P]1 -0.350 [P]2 -0.500 [P]4 -0.497
-0.384 -0.141 0.145
= = =
= = =
Dış Yükler İçin Çubuk Kuvvetleri
36
Örnek #2 ye ait PDF dosyası ....
37 11 mxmxmxm qdS
n = 4 3n = 12 degrees of static freedom
m = 4 < 3n = 12 degrees of static freedom
n = 4 ; 3n = 12 statik serbestlik derecesi
m = 4 statik serbestlik derecesi
131333 nxnxnnx qdS
Yatay Rijitlik Matrisi(İndirgenmiş Sistem Rijitlik Matrisi)
38
The stiffness matrix
1 2 3 4
1
2
3
4
[S] Sistem Rijitlik Matrisi
D1D2
D3
39
The stiffness matrix
1 2 3 4
1
2
3
4
Mome
nt Dü
şey İzd
üşüm
Yatay
İzdüşü
m
[S]r Yeniden Dizilmiş Sistem Rijitlik Matrisi(Yerdeğiştirme Gruplamaları Yapılmış Hal)
Nasıl Yapılıyor?
40
The stiffness matrix
1 2 3 4
1
2
3
4
[ 0 ]
[ S ]
[S]r Sistem Rijitlik Matrisi(Yerdeğiştirme Gruplamaları Yapılmış Hal)
Gauss Eleme
Yöntemi İle
İndirgeme
41
The stiffness matrix
Kod Parametreleri Yönteminin Kullanılması
42
The stiffness matrix
Kod Parametreleri Yönteminin Kullanılması
Kod Parametreleri
Sıra UçKuv. 1 2 3 4 5 6 1 1 0 5 1 5 2 6 2 5 5 1 2 6 6 0 3 6 10 9 9 10 10 0 4 2 7 3 4 8 8 0 5 3 0 10 9 10 9 10 6 4 0 7 3 7 4 8
43
Kod Parametreleri Yönteminin Kullanılması
44
f11 f12
f12 f22 [F]= 1 FS
Yatay Rijitlik Matrisinin Bir Diğer Yolla Elde Edilmesi