1

เมตริกซ์ และดีเทอร์มิเนนท์ (Matrix and Determinants)

ความหมาย เมตริกซ์ (matrix) คือ กลุม่ของตวัเลข หรือตวัคงท่ี หรือ ฟังก์ชนั (function) ซึง่จดัเรียงกนัในรูปแถว (row) และ คอลัมภ์ (column) กลุ่มของตัวเลขหรือฟังก์ชันท่ีอยู่ในเมตริกซ์ เรียกว่า สมาชิก (element) ซึง่สมาชิกทัง้หลายจะอยูใ่นวงเล็บ [ ] หรือ ( ) เมตริกซ์ จะเขียนแทนด้วยภาษาองักฤษตวัพิมพ์ใหญ่ คือ A , B , C , ….. และสมาชิกจะเขียนด้วยตวัพิมพ์เล็ก a, b, c, … ขนาดของเมตริกซ์จะบอกจ านวนแถว และจ านวนหลกั เชน่ ถ้าเมตริกซ์ มีขนาด m แถว และ n หลกั เราจะได้วา่เมตริกซ์นัน้จะมีขนาด m x n อา่นวา่ “m คณู n” นิยาม 1 ถ้า A เป็นเมตริกซ์ขนาด m x n และมี ai j เป็นสมาชิกแล้ เราสามารถเขียนเมตริกซ์ A อยูใ่นรูปส่ีเหล่ียมมมุฉากท่ีถกูปิดล้อมด้วยเคร่ืองหมาย “ [ ] “ ได้ดงันี ้ a11 a12 a13 ….. a1m a21 a22 a23 ….. a2n A = . . . ….. . . . . ….. . am1 am2 am3 …. amn เขียนยอ่ ได้ดงันี ้ A = [ a ij] m x n เม่ือ i = 1, 2, 3, …m j = 1, 2, 3, …n โดยท่ี a11 คือ สมาชิกของเมตริกซ์ A ท่ีอยูใ่นแถวท่ี 1 และคอลมัภ์ท่ี 1 a12 คือ สมาชิกของเมตริกซ์ A ท่ีอยูใ่นแถวท่ี 1 และคอลมัภ์ท่ี 2 a21 คือ สมาชิกของเมตริกซ์ A ท่ีอยูใ่นแถวท่ี 2 และคอลมัภ์ท่ี 1 a22 คือ สมาชิกของเมตริกซ์ A ท่ีอยูใ่นแถวท่ี 2 และคอลมัภ์ท่ี 2

mn

2

พีชคณิตเมตริกซ์ เป็นการปฏิบตักิารของเมตริกซ์ อนัได้แก่ การบวก การลบ และการคณูเมตริกซ์ ซึ่งมีลกัษณะดงัจะกลา่วตอ่ไปนี ้ การบวกและการลบเมตริกซ์ (Addition and Subtraction of matrix) นิยาม 2 ถ้าให้ A = [ aij ] mxn , B = [ bij ] mxn เป็นเมตริกซ์ 1. การบวกเมตริกซ์ A กบั B คือ การน าสมาชิกท่ีอยูใ่นต าแหนง่เดียวกนัของ A และ B มาบวกกนั นัน่คือ A + B = [ aij + bij ] mxn เม่ือ i = 1, 2, 3, ….m j = 1, 2, 3, …..n 2. การลบเมตริกซ์ A กบั B คือ การน าสมาชิกท่ีอยูใ่นต าแหนง่เดียวกนัของเมตริกซ์ A กบั B มาลบกนั นัน่คือ A - B = [ aij - bij ] mxn เม่ือ i = 1, 2, 3, ….m j = 1, 2, 3, …..n ตัวอย่าง 1 2 4 3 2 -1 1 1 2 3 ก าหนดให้ A = 0 1 2 , B = 4 3 2 , C = 0 1 4 -1 5 2 1 2 4 2 1 0 จงหา 1. A + B 2. A - B 3. A + B - C วิธีท า 2+2 4+(-1) 3+1 1) A + B = 0+4 1+3 2+2 -1+1 5+2 2+4 4 3 4 = 4 4 4

3

0 7 6 2-2 4-(-1) 3-1 2) A - B = 0-4 1-3 2-2 -1-1 5-2 2-4 0 5 2 = -4 -2 0 -2 3 -2 2+2-1 4+(-1)-2 3+1-3 3) A + B - C = 0+4-0 1+3-1 2+2-4 -1+1-2 5+2-1 2+4-0 3 1 1 = 4 3 0 -2 6 6 การคูณเมตริกซ์ด้วยตัวสเกลาร์ จ านวนจริงใด ๆ ท่ีน ามาปฏิบตักิารในระบบเมตริกซ์เราจะเรียกวา่ สเกลาร์ (scalar) ดงันัน้การน าจ านวนจริงใด ๆ มาคณูกบัเมตริกซ์ เราจะเรียกจ านวนจริง นัน่วา่ สเกลาร์

นิยาม 3 ให้ A = [ aij ] mxn เป็นเมตริกซ์ และ เป็นสเกลาร์ใด ๆ แล้ว A = [ aij ] เม่ือ i = 1, 2, 3, ….m j = 1, 2, 3, …..n ตัวอย่าง 2 1 2 -1 ก าหนดให้ A = 3 7 -5 4 6 8 จงหา 2A , -3A , ½A

4

วิธีท า 2(1) 2(2) 2(-1) 2 4 -2 1) 2A = 2(3) 2(7) 2(-5) = 6 14 -10 2(4) 2(6) 2(8) 8 12 16 (-3)(1) (-3)(2) (-3)(-1) -3 -6 3 2) -3A = (-3)(3) (-3)(7) (-3)(-5) = -9 -21 15 (-3)(4) (-3)(6) (-3)(8) -12 -18 -24 ½ (1) ½ (2) ½ (-1) ½ 1 -½ 3) ½A = ½ (3) ½(7) ½ (-5) = 3/2 7/2 -5/2 ½ (4) ½(6) ½ (8) 2 3 4

ตัวอย่าง 3 2 4 3 2 -1 1 1 2 3 ก าหนดให้ A = 0 1 2 , B = 4 3 2 , C = 0 1 4 -1 5 2 1 1 1 2 1 0 จงหา 1) 2A + 3B

2) A – ½C วิธีท า 2 4 3 2 -1 1 1) 2A + 3B = 2 0 1 2 + 3 4 3 2 -1 5 2 1 1 1 2(2) 2(4) 2(3) 3(2) 3(-1) 3(1) = 2(0) 2(1) 2(2) + 3(4) 3(3) 3(2) 2(-1) 2(5) 2(2) 3(1) 3(1) 3(1) 4 8 6 6 -3 3 10 5 9 = 0 2 4 + 12 9 6 = 12 11 10 -2 10 4 3 3 3 1 13 7

5

2 4 3 1 2 3

2) A – ½C = 0 1 2 ½ 0 1 4 -1 5 2 2 1 0 2 4 3 ½ (1) ½ (2) ½ (3)

= 0 1 2 ½ (0) ½ (1) ½ (4) -1 5 2 ½ (2) ½ (1) ½ (0) 2 4 3 ½ 1 3/2 1½ 3 3/2

= 0 1 2 0 ½ 2 = 0 ½ 0 -1 5 2 1 ½ 0 -2 -4½ 2 การคูณเมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์ (Multiplication of Matrix) ในการคณูเมตริกซ์กบัเมตริกซ์นัน้ จ าเป็นต้องตรวจสอบก่อนวา่เมตริกซ์ทัง้สองนัน้คณูกนัได้หรือไม ่ โดยการตรวจสอบวา่ จ านวนหลกัของเมตริกซ์หน้า เทา่กบัจ านวนแถวของเมตริกซ์หลงัหรือไม ่และขนาดของผลคณูจะเกิดจากแถวของเมตริกซ์หน้ากบัหลกัของเมตริกซ์หลงั ตัวอย่าง A เป็นเมตริกซ์ท่ีมีขนาด 2x3 B เป็นเมตริกซท่ีมีขนาด 3x2 ตรวจสอบ A2x3 B3x2 = AB2x2 เทา่กนั คณูกนัได้ จะเห็นวา่ หลกัของเมตริกซ์หน้า คือ เมตริกซ์ A เทา่กบั แถวของเมตริกซ์หลงั คือ เมตริกซ์ B ขนาดของผลคณู AB จะเทา่กบั 2x2

6

ตัวอย่าง A เป็นเมตริกซ์ท่ีมีขนาด 2x2 B เป็นเมตริกซท่ีมีขนาด 3x2 ตรวจสอบ A2x2 B3x2 ไมเ่ทา่กนั คณูกนัไมไ่ด้ นิยาม 4 เมตริกซ์ A เป็นเมตริกซ์ขนาด mxp และ เมตริกซ์ B มีขนาด pxn ผลคณูของ เมตริกซ์ A กบั B คือ AB จะมีขนาด mxn โดยมีสมาชิกเป็น cij จเกิดจากผลบวก ของผลคณูสมาชิกในแถวท่ี i ของสมาชิก A กบัสมาชิกคอลมัภ์ท่ี j ของเมตริก B นัน่คือ ถ้าให้ A = [ aij ] mxp , B = [ bij ] pxn แล้ว AB = C = [ cij ] mxn โดยท่ี

cij = [ ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j +…..+ aip bpj ]

=

p

k

kjikba1

เม่ือ i = 1, 2, ….m

j = 1, 2, …..n หรือ AB = C a11 a12 a13 …. a1p b11 b12 b13 …. B1j …. b1n c11 c12 …. cij …. c1n a21 a22 a23 …. a2p b21 b22 b23 …. b2j …. b2n c21 c22 …. c2 j…. c2n

. . . . . . . . . = . . . . . ai1 ai2 ai3 …. aij bi1 bi2 bi3 …. bij …. b3n ci1 ci2 …. cij …. cin . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 am3 …. amp bp1 bp2 bp3 …. bpj …. bpn cm1 cm2 …. cmj …. cmn

7

จะเห็นวา่

b1j

cij = [ai1 ai2 …. aij …. aip] b2j . bij . bpj

= ai1 b1j + ai2 b2j ….. + bip bpj คอลมัภ์ นัน่คือ สมาชิก cij ของเมเตริกซ์ผลคณู AB = [แถวท่ี i ของ A ] x ท่ี j ของ B = ผลบวกของผลคณูของสมาชิกในแถวท่ี I ของเมตริกซ์ A กบั คอลมัภ์ท่ี j ของ เมตริกซ์ B ตัวอย่างที่ 4 2 4 3 2 -1 1 1 2 3 ก าหนดให้ A = 0 1 2 , B = 4 3 2 , C = 0 1 4 -1 5 2 1 1 1 2 1 0 จงหา 1) AB 2) BA 3) (AB)C 4) A(BC) วิธีท า ข้อ1

8

2 4 3 2 -1 1 AB = 0 1 2 4 3 2 -1 5 2 1 1 1 แถว 1 x หลกั 1 แถว 1 x หลกั 2 แถว 1 x หลกั 3 = แถว 2 x หลกั 1 แถว 2 x หลกั 2 แถว 2 x หลกั 3 แถว 3 x หลกั 1 แถว 3 x หลกั 2 แถว 3 x หลกั 3 (2)2 + (4)4 + (3)1 (2)(-1) + (4)3 + (3)1 (2)1 + (4)2 + (3)1 = (0)2 + (1)4 + (2)1 (0)(-1) + (1)3 + (2)1 (0)1 + (1)2 + ( 2)1 (-1)2 + (5)4 + (2)1 (-1)(-1) + (5)3 + (2)1 (-1)1 + (5)2 + (2)1 4 + 16 + 3 (-2) + 12 + 3 2 + 8 + 3 = 0 + 4 + 2 0 + 3 + 2 0 + 2 + 2 (-2) + 20 + 2 1 + 15 + 2 (-1) + 10 + 2 23 13 13 = 6 5 4 20 18 11 วิธีท า ข้อ2 2 -1 1 2 4 3 BA = 4 3 2 0 1 2 1 1 1 -1 5 2 (2)2 + (-1)0 + (1)-1) (2)4 + (-1)1 + (1)5 (2)3 + (-1)2 + (1)2 = (4)2 + (3)0 + (2)(-1) (4)(-1) + (3)1 + (2)5 (4)3 + (3)2 + (2)2 (1)2 + (1)0 + (1)(-1) (1)4 + (1)1 + (1)5 (1)3 + (1)2 + (1)+2

9

= 4 + 0 + (-1) 8 + (-1) + 5 6 + (-2) + 2 6 + 0 + (-2) 16 + 3 +10 12 + 6 +4 2 + 0 + (-1) 4 + 1 + 5 3 + 2 + 2 3 12 6 = 4 29 22 1 10 7 วิธีท า ข้อ3 หา AB ก่อน ในท่ีนีน้ ามาจากข้อ 1 จะได้วา่ 23 13 13 1 2 3 (AB)C = 6 5 4 0 1 4 20 18 1 1 2 1 0 (23)1 + (13)0 + (13)2 (23)2 + (13)1 + (13)1 (23)3 + (13)4 + (13)0 = (6)1 + (5)0 + (4)2 (6)2 + (5)1 + (4)1 (6)3 + (5)4 + (4)0 (20)1 + (18)0 + (11)2 (20)2 + (18)1 + (11)1 (20)3 + (18)4 + (11)0 49 72 121 (AB) C = 14 21 38 42 69 132 วิธีท า ข้อ4 หา BC ก่อน 2 4 3 4 4 2 A (BC) = 0 1 2 8 13 24 -1 5 2 3 4 7 (2)4 + (4)8 + (3)3 (2)4 + (4)13 + (3)4 (2)2 + (4)24 + (3)7

10

= (0)4 (1)8 + (2)3 (0)4 + (1)13 + (2)4 (0)2 (1)24 + (2)7 (-1)4 (5)8 + (2)3 (-1)4 + (5)13 + (2)4 (-1)2 (5)24 + (2)7

49 72 121 A(BC) = 14 21 38 42 69 132 ตัวอย่าง 5 2 4 3 2 -1 1 1 2 3 ก าหนดให้ A = 0 1 2 , B = 4 3 2 , C = 0 1 4 -1 5 2 1 1 1 2 1 0 จงหา 1) (A + B) C

2) AC + BC

วิธีท า 1 2 4 3 2 -1 1 4 3 4 (A + B) = 0 1 2 + 4 3 2 = 4 4 4 -1 5 2 1 1 1 0 6 3

4 3 4 1 2 3 (A+B)C = 4 4 4 0 1 4 0 6 3 2 1 0

4 + 0 +8 8 + 3 + 4 12 + 12 + 0 = 4 + 0 + 8 8 + 4 + 4 12 + 16 + 0 0 + 0 + 6 0 + 6 + 3 0 + 24 + 0

12 15 24 = 12 16 28

6 9 24

11

วิธีท า 2 2 4 3 1 2 3 2 -1 1 1 2 3 AC + BC = 0 1 2 0 1 4 + 4 3 2 0 1 4 -1 5 2 2 1 0 1 1 1 2 1 0 2+0+6 4+4+3 6+16+0 2+0+2 4+(-1)+1 6+(-4)+0 = 0+0+4 0+1+2 0+4+0 + 4+0+4 8+3+2 12+12+0 (-1)+0+4 (-2)+5+2 (-3)+20-0 1+0+2 2+1+1 3+4+0 8 11 22 4 4 2 = 4 3 4 + 8 13 24 3 5 17 3 4 7 12 15 24

= 12 16 28 6 9 24 การเท่ากันของเมตริกซ์ เมตริกซ์ 2 เมตริกซ์ จะเทา่กนัก็ตอ่เม่ือ จะต้องมีขนาดเท่ากนั และสมาชิกในต าแหน่งเดียวกนัเทา่กนัทกุต าแหนง่ นิยาม 5 ให้ A = [ aij ] mxn , B = [ bij ] mxn A = B ก็ตอ่เม่ือ aij = bij โดยท่ี i = 1, 2, 3, ….m j = 1, 2, 3, …..n

12

นัน่คือ

a11 a12 …. a1n b11 b12 …. b1n a21 a22 …. a2n b21 b22 …. b2n A = . . . . , B = . . . .

. . . . . . . . am1 am2 …. amp bm1 bm2 …. Bmn

จะได้วา่ a11 =b11 , a12 = b12 , a13 = b13 , ……. , amn = bmn ตัวอย่าง 6 ให้ 2x 8 จงหาคา่ x , y 4 y วิธีท า จะได้วา่ 2x = 8 เพราะฉะนัน้ x = 8/2 = 4 4 = y ตัวอย่าง 7 ก าหนดให้ x 4 1 4 -5 y -5 4 จงหาคา่ x , y วิธีท า x = 1 y = 4 ตัวอย่าง 8

13

ก าหนดให้ -5 8 7 -3 4 0 -12 3 48

3 2x -2 1 2 -1 = -3 2 -12 4 1 -1 -5 1 -y 3z 17 -9 จงหา x , y , z วิธีท า หา x -3 3 2x -2 x 1 = c21 = -3 [เพราะ c21 เกิดจากแถวท่ี 2 -5 ของเมตริกซ์หน้าหลกัท่ี 1 ของเมตริกซ์หลงั] -9 + 2x + 10 = -3 2x = -4 x = -2 หา y 0 4 1 -1 x -1 = -9 = c33 -y 4(0) + (1) (-1) + (-1) (-y) = 9 -1 + y = -9 y = -9+1 = -8 หา z -3 4 1 -1 x 1 = 3z = c31 -5 4(-3) + (1) (1) + (-1) (-5) = 3z

14

-12 + 1 + 5 = 3z -6 = 3z = -2 = z ดงันัน้ x = -2 , y = -8 , z = -2 คุณสมบัตทิี่ส าคัญของเมตริกซ์ 1) A(BC) = (AB)C 2) A(B+C) = AB + AC 3) (A+B)C = AC + BC

4) (AB) = (A) B = A(B)

5) ถ้า เป็นเมตริกซ์ศนูย์แล้ว A = 6) ไมมี่คณุสมบตัเิก่ียวกบัการสลบัท่ี นัน่คือ AB ไมจ่ าเป็นต้องเทา่ BA

7) ถ้า AB = แล้ว A หรือ B ไมจ่ าเป็นต้องเป็นเมตริกซ์ศนูย์ 8) ถ้า A = B แล้ว AC = BC และ CA = CB แต ่ AC และ CA ไมจ่ าเป็นต้องเทา่กนั

ท านองเดียวกนั BC ไมจ่ าเป็นต้องเทา่ CB 9) ถ้า AB = AC แล้วไมจ่ าเป็นท่ี B = C รูปแบบต่าง ๆ ของเมตริกซ์ นิยาม 6 ทรานสโพสของเมตริกซ์ (Transpose of Matrix)

ก าหนดให้ A เป็นเมตริกซ์ใด ๆ ทรานสโพสของ A เขียนแทนด้วย “At” หรือ A อ่านว่า A – transpose ซึ่ง At คือ เมตริกซ์ท่ีเปล่ียนสมาชิกของแถว A เป็นคอลมัภ์ หรือจากคอลมัภ์ไปเป็นแถว นัน่คือ ถ้า A = [ aij ] mxn แล้ว A

t = [ aij ] nxm

15

เม่ือ i = 1, 2, 3, ….m j = 1, 2, 3, …..n ตัวอย่าง 9 ก าหนดให้ A = 1 2 3 จงหา At 4 5 6 วิธีท า 1 4 จะได้ At = 2 5 3 6 คุณสมบัตขิองทรานสโพส ก าหนดให้ A , B , C เป็นเมตริกซ์ ท่ีสามารถบวกลบคณูได้ และ K เป็น สเกลาร์ จะได้วา่ 1. (At)t = A 2. (KA) t = KA t 3. (A + B) t = A t + B t (A + B + C) t = A t + B t + C t 4. (AB) t = B t A t (ABC) t = C t B t A t นิยาม 7 เมตริกซ์สมมาตร (Symmetric matrix) คือ เมตริกซ์จตรัุส ท่ีทราสโพสของเมตริกซ์ จะเทา่กบัเมตริกซ์เดมิ และถ้า B เป็นเมตริกซ์จตรัุสแล้ว B + B t จะเป็นเมตริกซ์ สมมาตร

ตัวอย่าง 10 A = 1 4

-5 4

16

A = 1 4

-5 4 จะเห็นวา่ A = At

A เป็นเมตริกซ์สมมาตร ตัวอย่าง 11 1 2 1 ให้ A = 4 3 7 -1 2 4 จงหาเมตริกซ์สมมาตรท่ีเกิดจาก A วิธีท า จากคณุสมบตั ิ A + At จะได้เมตริกซ์สมมาตร 1 2 1 1 4 -1 2 6 0 ซึง่มีคา่ 4 3 7 + 2 3 2 = 6 6 9 -1 2 4 1 7 4 0 9 8 ข้อสังเกต การคณูเมตริกซ์ A , At พบวา่ AAt หรือ AtA จะหาคา่ได้เสมอ นิยาม 8 เมตริกซ์สามเหล่ียม (Triangular matrix) คือ เมตริกซ์จตัรัุส ท่ีมีสมาชิกทกุตวั อยูข้่างบนหรือข้างลา่งแนวทแยงหลกั (main diagonal) มีคา่เป็นศนูย์ทัง้หมด เชน่ 1 0 1 0 1 2 3 1 0 0 5 2 , 0 3 , 0 4 0 , 4 5 0 0 0 7 6 7 8

17

นิยาม 9 เมตริกซ์ขัน้ (Echelon matrix) ให้ A เป็นเมตริกซ์ใด ๆ ท่ีมีขนาด mxn จะเรียก เมตริกซ์ขัน้ (Echelon matrix) ถ้ามีคณุสมบตัดิงันี ้ 1. สมาชิกตวัแรกท่ีไมใ่ช ่ 0 ในแตล่ะแถวมีคา่เป็น 1 โดยนบัจากซ้ายไปขวา สมาชิกตวัอ่ืนหลงัจากนี ้ เป็นจ านวนใดก็ได้ 2. จ านวนสมาชิกท่ีเป็น 0 ในแถวถดัลงมาก่อนท่ีจะถึงสมาชิกท่ีเป็น 1 (ตวัแรก) มีจ านวนมากกวา่

ก่อนเสมอ ตัวอย่าง 12 1) 1 4 เป็น echelon matrix 0 1 2. 1 5 7 เป็น echelon matrix 0 1 4 0 0 1 3. 1 2 3 4 เป็น echelon matrix 0 1 5 6 0 0 1 7 0 0 0 1 4. 0 1 4 9 ไมเ่ป็น เพราะสมาชิกตวัแรกในแถวท่ี 2 ไมเ่ป็น 1 0 5 6 9 0 0 1 4 0 0 0 1

18

5. 1 9 0 ไมเ่ป็น เพราะจ านวนศนูย์ท่ีอยูห่น้า 1 ในแถวท่ี 2 0 0 1 มีมากเทา่ในแถวท่ี 3 0 1 7 นิยาม 10 เมตริกซ์ยกก าลงัแล้วเทา่เดมิ (Idempotent matrix) เมตริกซ์จตรัุสใด ๆ เม่ือยกก าลงั สองแล้วคงสภาพเดมิ เรียกวา่ Idempotet matrix นัน่คือ A2 = A ซึง่มีผลสืบเน่ือง A3 = A , A4 = A , …… An = A นิยาม 11 ถ้า A เป็นเมตริกซ์จตรัุสแล้ว A1 = A และถ้า n เป็นจ านวนเตม็บวกแล้ว

An = A.A.A….A (n ครัง้) จากจะได้วา่ (Am) (An) = Am+n และ (Am)n = Amn และ (ABm) = Am Bm

เชน่ A5 = A2+3 A6 = (A2)3 , B4 = (B2) (B2) (AB)3 = A3B3 ดีเทอร์มิแนนท์เมตริกซ์ (The determinant of matrix) ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ คือ คา่หรือตวัเลขท่ีได้จากการปฏิบตักิารภายในสมาชิกของเมตริกซ์ ซึง่จะเป็นเมตริกซ์จตัรัุสเทา่นัน้ คือ จ านวนแถว และหลกัเทา่กนั ดีเทอร์มิแนนท์ของ A จะเขียนแทนด้วยสญัลกัษณ์ “det A” หรือ “|A|” 1. การหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ขนาด 1x1 ให้ A = [a11] จะได้ det(A) = a11 เชน่ A = [5] จะได้ det A = 5 2. การหาดีเทอร์มิแนนท์ขนาด 2x2

19

ให้ A = a11 a12 a21 a22 det A = |A| = a11 a12 a21 a22 = a11 a22 - a21a12 ตัวอย่าง 12 ให้ A = 2 5 7 10 จงหา det A วิธีท า det A = 2 5 7 10 = (2) (10) - (7) (5) = 20 – 35 = -15 ตัวอย่าง 13 ให้ A = -1 -3 -5 -4 จงหา det A วิธีท า det A = -1 -3

+

-

20

-5 -4 = (-1) (-4) - (-5) (-3) = 4 – 15 = -11 ตัวอย่าง 14 ให้ A = 4 -5 3 -10 จงหา det A วิธีท า det A = 4 -5 3 -10 = (4) (-10) - (3) (-5) = -40 + 15 = -25 3. การหาดีเทอร์มิแนนท์ ขนาด 3x3 การหาดีเทอร์มิแนนท์ ขนาด 3x3 วิธีท่ีง่ายให้เตมิหลกัท่ี 1, 2 ตอ่ท้าย แล้วน าผลคณู แนวทแยงลงมาบวกกนั ลบด้วยผลคณูแนวทแยงขึน้ โดยท่ีผลคณูนัน้ต้องเกิดจากสมาชิก 3 ตวั คณูกนั ดงัข้างลา่ง a11 a12 a13 ให้ A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 + + + a11 a12 a13 a11 a12

21

det A = |A| = a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a23 – a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12 ตัวอย่าง 15 1 2 3 ก าหนดให้ A = 1 3 5 1 5 11 จงหา det A วิธีท า 1 2 3 1 2 det A = 1 3 5 1 3 1 5 12 1 5 + + + = (1)(3)(12) + (2)(5)(1) + (3)(.1)(5) - (1)(3)(3) - (5)(5)(1) – (12)(1)(2) = 36 + 10 + 15 - 9 – 25 - 24 = 3 4. การหาดีเทอร์มิแนนท์ที่ใหญ่กว่า 3x3 ในกรณีท่ีใหญ่กวา่ 3x3 จะหาเหมือน 2x2 และ 3x3 ไมไ่ด้ จ าเป็นต้องหาโดยวิธีกระจายตามแถวหรือตามหลกั ซึ่งจะต้องอาศยัการกระจายโคแฟกเตอร์ และวิธีนีส้ามารถหาดีเทอร์มิแนนท์ได้ทุกขนาดของเมตริกซ์จตัรัุส ทฤษฏีบท ก าหนดให้ A = [aij]nxn เป็นเมตริกซ์จตัรัุสดีเทอร์มิแนนท์ของ A จะมีคา่เทา่กบั ผลบวกของผลคณูของสมาชิกในแถวใดแถวหนึง่ (คอลมัภ์ใดคอลมัภ์หนึง่ก็ได้) กบัคา่ ของโคแฟกเตอร์ (cofactor) ของแถว (หรือคอลมัภ์) นัน้ ๆ นัน่คือ

22

a11 a12 a13 …. a1n ก าหนดให้ A = a21 a22 a23 …. a2n

. . . . . . . . an1 an2 an3 …. ann

กรณีใช้แถวท่ี 1 det A = a11 C11 + a12 C13 + a13 C13 + ……. ,+ a1n C1n

กรณีใช้แถวท่ี 2

det A = a21C21 + a22 C22 + a23 C23 + ……. ,+ a2n C2n กรณีใช้แถวท่ี i

det A = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ……. + ainCin

=

n

jijijCa

1

หรือกรณีใช้หลกัท่ี 1

det A = a11C11 + a21 C21 + ……. , +an1 Cn1 โดย Cij = (-1)i+j M ij จะเป็นโคแฟกเตอร์ของ aij และ M ij คือ ไมเนอร์ ซึง่คือคา่ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ท่ีตดัแถว i และหลกัท่ี j ออก ตัวอย่าง 16 1 2 4 ก าหนดให้ A = 3 6 1

23

0 1 1 จงหา โคแฟกเตอร์ ของ 2 (a11 = 2) วิธีท า c12 จะเป็นโคแฟกเตอร์ของ 2 (a12) จาก cij = (-1)i+j M ij

c12 = (-1)1+2 M 12 = (-1) 3 1 0 1 = (-1) [ (3)(1) – (0)(1) ] = (-1)(3-0) = (-1)(3) = -3 ตัวอย่าง 17 1 3 1 0 ก าหนดให้ A = 2 1 4 1 0 2 -2 1 8 12 16 0 วิธีท า หา det A โดยใช้หลกัท่ี 4 det A = a14 C14 + a24C24 + a34 C34 + a44 C44 = 0 C14 + (1)C24 + (1) C34 + 0C44 หา C24 จาก Cij = (-1)i+j M ij C24 = (-1)2+4 M 24 1 3 1 1 3 = (1) 0 2 -2 0 2

24

8 12 16 8 12 = (1) [(1) (2)(16) + (3)(-2)(8) + (1)(0)(12) – (8)(2)(1) – (12(-2)(1) - (16)(0)(3)] = (1) [32 – 48 + 0 – 16 + 24 – 0] = (1) (-8) = -8 หา C34 จาก Cij = (-1)i+j | M ij| C34 = (-1)3+4 | M 34| 1 3 1 1 3 = (-1) 2 1 4 2 1 8 12 16 8 12 = (-1) [(1) (1)(16) + (3)(4)(8) + (1)(2)(12) – (8)(1)(1) – (12(4)(1) - (16)(2)(3)] = (-1) [16 – 96 + 24 – 8 - 48 – 96] = (-1) (-16) = 16 det A = (1) (-8) + (1) (16) = 8 ข้อสังเกต 1) ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์เดียวกนัจะเทา่กนัไมว่า่จะหาด้วยแถวหรือคอลมัภ์ ใดก็ตาม 2) การกระจายตามแถวหรือคอลมัภ์ท่ีมี 0 มาก ถ้าจะท าให้ชว่ยลดการกระจาย โคแฟกเตอร์ คุณสมบัตขิองดีเทอร์มิแนนท์ 1) ถ้าคอลมัภ์ หรือแถวใดของเมตริกซ์จตัรัุส เป็น 0 หมดทกุตวั คา่ det จะเป็น 0 2) ถ้าสลบัแถว (คอลมัน์) คูใ่ดคูห่นึง่ k ครัง้แล้ว ดีเทอร์มิแนนท์จะมีเคร่ืองหมายเปล่ียนเป็น (-1)K

คณูคา่ดีเทอร์มิแนนท์เดมิ 3) ถ้า 2 แถว หรือ 2 คอลมัภ์ของเมตริกซ์จตัรัุส A มีสมาชิกเหมือนกนัแล้ว det A = 0

25

4) ถ้า A เป็นเมตริกซ์จตัรัุสใด ๆ แล้ว det A = det (At) 5) ถ้า A เป็นเมตริกซ์จตัรัุส nxn แล้ว det (KA) = Kndet A เม่ือ K เป็นตวัสเกลาร์ 6) ถ้า B เป็นเมตริกซ์ท่ีได้จากเมตริกซ์ A โดยน าเอาจ านวนจริง K คณูสมาชิกทกุตวัในแถว (คอลมัภ์) หนึง่ของ A แล้ว |B| = K|A| 7) ถ้าเปล่ียนแถว หรือคอลมัภ์ใด ๆ โดยการน า K คณูกบัแถวใดแถวหนึง่แล้วบอกลงในอีกแถวหนึง่ ซึง่จะเกิดเป็นแถวใหม ่ แล้วดีเทอร์มิแนท์จะมีคา่เทา่เดมิ 8) ถ้า A แล B เป็นเมตริกซ์จตัรัุส ขนาด nxn แล้ว det(A) det(B) = det(AB) เมตริกซ์ผกผัน หรืออินเวอร์สของเมตริกซ์ (Inverse of a matrix)

นิยาม ถ้า A และ B เป็นเมตริกซ์จตัรัุสขนาด nxn และ AB = n = BA แล้ว B จะเป็นเมตริกซ์ผกผนัหรืออินเวอร์สเมตริกซ์ของ A และ A เป็นเมตริกซ์ผกผนัของ B ด้วยเหมือนกนัสญัลกัษณ์อินเวอร์สของ A คือ A-1 นัน่คือ B = A-1 จากนิยามหมายความวา่

A A-1 = n = A-1A ตัวอย่างเช่น 1 2 3 ก าหนดให้ A = 1 3 5 1 5 12 จงแสดงวา่

3

11 -3 3

1

3

7 3 3

2 เป็นอินเวอร์สของเมตริกซ์ A

3

2 -1 3

1

วิธีท า

26

3

11 -3 3

1

ให้ A-1 = 3

7 3 3

2

3

2 -1 3

1

จากนิยาม A A-1 = n = A-1A

3

11 -3 3

1 1 2 3 1 0 0

3

7 3 3

2 1 3 5 = 0 1 0

3

2 -1 3

1 1 5 12 0 0 1

1 2 3 3

11 -3 3

1 1 0 0

หรือ 1 3 5 3

7 3 3

2 = 0 1 0

1 5 12 3

2 -1 3

1 0 0 1

คุณสมบัตขิองอินเวอร์สเมตริกซ์ ให้ A และ B เป็นเมตริกซ์จตัรัุส ขนาด nxn

1) (A-1) -1 = A 2) (AB) -1 = B-1A-1 3) (At) -1 = (A-1) t

การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์

1) ใช้วิธีแก้สมการ 2) ใช้วิธีแปลงแถวเบือ้งต้น 3) ใช้วิธีเมตริกซ์ผกูผนั 1) การหาอินเวอร์สด้วยวิธีแก้สมการ

วิธีนีจ้ะไมเ่หมาะในกรณีท่ีเมตริกซ์ขนาดมาก ๆ เพราะจะท าให้การแก้สมการยุง่ยาก เพราะตวัแปรจะมีหลายตวั การแก้ด้วยวิธีนีต้้องก าหนดเมตริกซ์อินเวอร์สขึน้มา แล้วใช้คณุสมบตัิ

27

A . A-1 = n = A-1A ตัวอย่าง ก าหนดให้ A = 2 5 1 3 จงหา A-1 วิธีท า ก าหนดให้ A-1 = x y w z

จากนิยาม A A-1 = n จะได้วา่ 2 5 x y 1 0 1 3 w z 0 1 2x + 5w = 1 __________(1) 2y + 5z = 0 __________(2) 1x + 3w = 0 __________(3) 1y + 3z = 1 __________(4) น า (4) x 2 จะได้ 2y + 6z = 2 _____________(5) (2) – (5) ; -z = -2 z = 2 (น า -1 คณูตลอด) น า (3) x 2 จะได้ 2x + 6w = 0 _____________(6) (1) – (6) ; -w = 1 w = -1 จาก (1) แทนคา่ w = -1 ลงไป จะได้ 2x + 5(-1) = 1

28

2x = 1 + 5

x = 2

6

= 3 จาก (2) แทนคา่ z = 2 ลงไป จะได้ 2y + 5(2) = 0 2y = -10 y = -5

x y = 3 -5 = A-1 w z -1 2

เชคค าตอบ A - A-1 = 2 5 3 -5 1 0 1 3 1 2 0 1 ซึง่สามารถสรุปออกมาเป็นสตูร ดงันี ้ ก าหนดให้ A = a b c d

A-1 = bcad

1 d -b

-c a ซึง่จากตวัอยา่ง ถ้าใช้สตูรจะได้ดงันี ้ ให้ A = 2 5 1 3

A-1 = )5)(1()3)(2(

1

3 -5

-1 2

29

= 1

1 3 -5 3 -5

-1 2 -1 2 2. การหาอินเวอร์สโดยแปลงแถวเบือ้งต้น วิธีการแปลงแถวเบือ้งต้น มี 3 วิธี คือ 1) สลบัแถวท่ี i กบั แถวท่ี j ของเมตริกซ์ A Ri Rj 2) คณูแถวท่ี i ด้วยตวัคงท่ี K

KRi Rร , K 0 3) แทนแถวท่ี i ด้วยผลบวกของ r เทา่ของแถวท่ี i และ K เทา่ของแถวท่ี j

rRi + K Rj RI , r , K 0 ผลท่ีได้อยา่งใดอยา่งหนึง่ข้างต้น เรียกสมมลูเชิงแถว (row equivalent)

ถ้าให้ A เป็นเมตริกซ์จตรัุสใด ๆ ท่ีมีขนาดสามารถ nxn การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์ A จะท าให้อยู่

ในรูป [A | n ] แล้วกระท าแปลงแถวเบือ้งต้น ตามท่ีกลา่วมา จนได้ [ n | A-1]

นัน่คือ [A | n ] [ n | A-1]

ตัวอย่างเช่น 1 2 3 ก าหนดให้ A = 1 3 5 1 5 12 วิธีท า 1 2 3 1 0 0 1 3 5 0 1 0 1 5 12 0 0 1

1 2 3 1 0 0 (-1) R1 + R2 0 1 2 -1 1 0

30

(-1) R1 + R3 1 3 9 -1 0 1

1 0 -1 3 -2 0 -2 R2 + R1 0 1 2 -1 1 0 (-3) R2 + R3 0 0 3 2 -3 1

1 0 -1 3 -2 0

3

1 R3 0 1 2 -1 1 0

0 0 1 3

2 -1 3

1

1 0 0 3

11 -3 3

1

R3+ R1 0 1 2 -1 1 0

0 0 1 3

2 -1 3

1

1 0 0 3

11 -3 3

1

(-2) R3+ R2 0 1 0 3

7 3

3

2

0 0 1 3

2 -1 3

1

3

11 -3 3

1

A-1 = 3

7 3

3

2

3

2 -1 3

1

3. การหาอินเวอร์สด้วยเมตริกซ์ผูกพัน (Adjoint matrix) ให้ A เป็นเมตริกซ์จตัรัุส และเมตริกซ์ผกูพนัของ A เขียนแทนด้วย adj(A)

A-1 = Adet

1 adj (A) เม่ือ det A 0

โดยท่ี adj (A) = [Cij]

t nxn ซึง่ Cij = (-1)i+j Mij

31

ตัวอย่าง 1 2 3 ให้ A = 1 3 5 1 5 12 จงหา A-1 โดยใช้วิธีเมตริกซ์ผกูพนั

วิธีท า

หา | A | = (1)(3)(12) + (2)(5)(1) + (3)(1)(5) - (1) 3(3) – (5) 5(1) - (12) (1)(2) = 36 + 10 + 15 – 9 - 25 - 24 = 3 1 2 3 1 2 |A| = 1 3 5 1 3 1 5 12 1 5 + + +

ตวัอย่าง

1 2 3 ให้ A = 1 3 5 1 5 12 จงหา A-1 โดยใช้วิธีเมตริกซ์ผกูพนั วิธีท า หา |A| = (1) 3 (12) + (2) 5 (1) + (3) 1 (5) – (1) 3 (3) – (5) 5 (1) – (12) 1 (2) = 36 + 10 + 15 –9 – 25 - 24

32

หา A-1 = || A

adj A =

|| A

CoA Cij = (-1)i+j Mij

C11 = (-1)1+1 M11

= (1) 3 5 5 12 = (1) [(3) (12) – (5) (5)]

= 11

C12 = (-1)1+2 M12 = (-1) 1 5 1 12 = (-1) [1(12) – 1(5)] = -7

C13 = (-1)1+3 M13

= (1) 1 3 1 5 = (1) [1 (5) – 1(3)]

= 2 C21 = (-1)2+1 M21

= (-1) 2 3 5 12 = (-1) [2 (12) – (5) (3)]

= -9

C22 = (-1)2+2 M22 = (1) 1 3 1 12 = (1) [1(12) – 1(3)]

33

= 9 C23 = (-1)2+3 M23

= (-1) 1 2 1 5 = (-1) [1 (5) – 1(2)]

= -3

C31 = (-1)3+1 M31 = (1) 2 3 3 5 = (1) [2 (5) – 3 (3)]

= 1

C32 = (-1)3+2 M32 = (-1) 1 3 1 5 = (-1) [1(5) – 1(3)] = -2

C33 = (-1)3+3 M33

= (1) 1 2 1 3 = (1) [1 (3) – 1(2)]

= 1

A-1 = || A

adj A =

|| A

CoA

11 -7 2

34

CoA = -9 9 -3 1 -2 1 11 -9 1 tCoA = -7 9 -2 2 -3 1

3

11 3

9 3

1

A-1 =

A

CoA

det =

3

7 3

9 3

2

3

2 3

3 3

1

3

11 3

9 3

1

A-1 = 3

7 3

9 3

2

3

2 3

3 3

1

3

11 -3 3

1

A-1 = 3

7 3 3

2

3

2 1 3

1

ตรวจค าตอบ

A A-1 =

1 2 3 3

11 -3 3

1 1 0 0

1 3 5 3

7 3 3

2 = 0 1 0

1 5 12 3

2 1 3

1 0 0 1

35

ประโยชน์ของเมตริกซ์ น าไปใช้ในทฤษฎีเกม (Game Theory) การแก้โปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming) และการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (Solution of Simul taneous linear Equation) ในเลม่นีจ้ะน าเสนอเฉพาะประโยชน์ท่ีใช้ในการแก้สมการเชิงเส้น ซึง่มีอยู ่ 3 วิธี 1) การแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้อินเวอร์สของเมตริกซ์ (กฎของเครเมอร์) 2) การแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้ดีเทอร์มิแนนท์ 3) การแก้สมการเชิงเส้นโดยวิธีของเกาซ์ (Gauss – Jordan reduction) 1) การแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้อินเวอร์สของเมตริกซ์ สมการเชิงเส้น คือ สมการท่ีมีตวัแปรอยูใ่นรูปก าลงัหนึง่ การแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้อินเวอร์ส จ านวนตวัแปรท่ีไมท่ราบคา่ต้องเทา่กบัจ านวนสมการ รูปแบบ ของสมการเชิงเส้นท่ีมี n ตวัแปร n สมการ

a11 x1 + a12 x2 + …. + a1nxn = b1 a21 x1 + a22 x2 + …. + a2nxn = b2

. . .

. . . an1 x1 + an2 x2 + …. + annxn = bn

สามารถเขียนให้อยูใ่นรูปเมตริกซ์ ได้ดงันี ้

a11 a12 …. a1n x1 b1

a21 a22 …. a2n x2 b2 . . . . . = .

. . . . . . an1 an2 …. ann xn bn

A คือ เมตริกซ์สมัประสิทธ์ิของตวัแปร

36

X คือ เมตริกซ์ตวัแปรท่ีไมท่ราบคา่ B คือ เมตริกซ์ของตวัคงท่ีท่ีอยูข่วามือ จาก Ax = B น า A-1 คณูตลอด A-1(AX) = A-1B

n X = A-1B (เพราะ A-1A = )

X = A-1B (เพราะ n X = X) นัน่คือ เม่ือต้องการหาคา่ของเมตริกซ์ X ให้น า A ไปหา A-1 แล้วคณูกบัเมตริกซ์ตวัคงท่ีหรือเมตริกซ์ B นัน่เอง ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีอินเวอร์ส 2x – y + 3z = 1 x + y + z = 4 2x + 4y +4z = -6 วิธีท า ท าในรูป AX = B 2 -1 3 x 1 1 1 1 y = 4 2 4 4 z -6 จาก X = A-1B

0 2 2

1

หา A-1 = 4

1 4

1 8

1

4

1 4

5 8

3

x 0 2 2

1 1 11

37

ดงันัน้ y = 4

1 4

1 8

1 4 = 0

z 4

1 4

5 8

3 -6 -7

x = 11 y = 0 z = -7 2) การแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้ดีเทอร์มิแนนท์ หรือเรียกวา่ การแก้สมการโดยใช้กฎของเครเมอร์ (Cramer’s rule) จ านวนสมการเชิงเส้นต้องเทา่กบั จ านวนตวัแปร จาก AX = B

ให้ = det A

j = det (Aj) = |Aj|

โดยท่ี j คือ ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ A ท่ีเกิดจากการแทนคอลมัภ์ท่ี j ด้วยเมตริกซ์คงท่ี B เม่ือ xj , xn ,………, xn เป็นตวัแปรไมท่ราบคา่

x1 =

1 , x2 =

2 , x3 =

3 , xn =

n

หาคา่ตวัแปร เป็น x, y, z,…

x =

1

y =

2

z =

3

ตัวอย่าง จงแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้กฎของ Gramer’s rule 2x – y + 3z = 1 x + y + z = 4 2x + 4y +4z = -6

38

วิธีท า ท าในรูป AX = B 2 -1 3 x 1 1 1 1 y = 4 2 4 4 z -6 2 -1 3 x 1 โดยท่ี A = 1 1 1 , X = y , y = 4 2 4 4 z -6 2 -1 3 2 -1

= 1 1 1 1 1 2 4 4 2 4 + + + = (2)(1)(4) + (-1)(1)(2) + (3)(1)(4) - (2)(1)(3) - (4)(1)(2) - (4)(1)(-1) = 18 – 2 + 12 – 6 – 8 + 4 = 8 1 -1 3 1 -1

1 = 4 1 1 4 1 -6 4 4 -6 4 + + + = (1)(1)(4) + (-1)(1)(-6) + (3)(4)(4) - (-6)(1)(3) - (4)(1)(1) - (4)(4)(-1) = 4 + 6 + 48 + 18 – 4 + 16 = 88 2 1 3

39

2 = 1 4 1 = 0 2 -6 4

2 -1 1

3 = 1 1 4 = -56 2 4 -6

x =

1 = 888

= 11

y =

2 = 80

= 0

z =

3 = 856

= -7

จะได้ x = 11 y = 0 z = -7 3) การแก้สมการเชิงเส้นโดยวิธีของเกาซ์ (gauss)

การแก้ด้วยวิธีนีจ้ะอาศยักฎเกณฑ์ของการกระท าตามแถวเบือ้งต้น และการแก้ด้วยวิธีนี ้

จ านวนตวัแปรไมจ่ าเป็นต้องเทา่กบัจ านวนสมการก็ได้ วิธีการนีต้้องท าให้อยูใ่นรูป [AB] ซึง่เรียกวา่

เมตริกซ์แตง่เตมิ (Argumented matrix) แล้วกระท าตามแถวให้เป็น B] หรืออยูใ่นรูปเมตริกซ์ขัน้ (Echelon matrix) แล้วจงึน าตวัแปรท่ีก ากบัไว้ในแตล่ะคอลมัน์คณูกบัตวัประกอบในเมตริกซ์ตวัสดุท้ายในแตล่ะแถวแล้วน ามาบวกกนั จงึจะมีคา่เทา่กบัทางขวามือ ตัวอย่าง จงแก้สมการเชิงเส้นด้วยวิธีของเกาซ์ 2x + 3y = 10 -x + 2y = 3 วิธีท า ท าอยูใ่นรูป AX = B 2 3 x 10 -1 2 y = 3

จาก [AB] = 2 3 10

40

-1 2 3

1 23

5

21

R1 -1 2 3

1 23

5

R1 + R2 0 27

8

1 23

5

72

R2 0 1 716

A (echelon matrix) น าตวัแปรมาใส่

ตามคอลมัน์จะได้ แล้วคณูกบัคา่ในแตล่ะแถว แล้วน ามาบวกกนั มีคา่เทา่กบัทางขวามือ x y

1 23

5

0 1 716

1x + 23

y = 5 -------------(1)

0x + 1(y) = 716

-------------(2)

จาก (2) y = 716

แทนลงใน (1) จะได้

x +23

716

= 5

x + 724

= 5

x = 5 - 724

= 711

ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีของเกาซ์

41

2x – y + 3z = 1 x + y + z = 4 2x + 4y +4z = -6

วิธีท า ท าให้อยูใ่น [AB] 2 -1 3 1 1 1 1 4 2 4 4 -6

1 -2 2 -3 R1 + (-1)R2 1 1 1 4 2 4 4 -6

1 -2 2 -3

21

R3 1 1 1 4

1 2 2 -3

0 -4 0 0 R1 + (-1)R3 1 1 1 4 1 2 2 -3

1 1 1 4

R1 R2 0 -4 0 0 0 1 1 -7

1 0 0 11 R1 + (-1)R3 0 -4 0 0 0 1 1 -7

0 -4 0 0

42

R3 + (-1)R2 1 1 1 4 0 1 1 -7

1 0 0 11

-41

R2 0 1 0 0

0 1 1 -7

0 0 0 11 R3 + (-1)R2 0 1 0 0 0 0 1 -7 x = 11, y = 0 , z = -7

43