เมทรกิซ(matrix)์ - staff.informatics.buu.ac.thbencha/886204_58/ch1matrix.pdf ·...
TRANSCRIPT
เมทรกซ(Matrix)
Computer Science, Burapha University 1
เมทรกซ(Matrix)
นยาม เมทรกซคอ กลมของจ านวนจรง หรอ จ านวนเชงซอน มาจดเรยงเปนรปสเหลยมผนผาเปน แถวตามแนวนอน (Horizontal) และ แนวตง (Vertical) ซงมแถวตามแนวนอนเรยกวา แถว (Row) และตาม แนวตงเรยกวา หลก (Column) หรอ คอลมน
2
โดยทวไปนยมใชในรปตอไปนแทน
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
ใชสญลกษณ เปน หรอ ij m nA a
nmA
3
เมทรกซทม 1 แถวและ n หลก เรยก เมทรกซแถว เชน เมทรกซทม m แถวและ 1 สดมภ เรยก เมทรกซหลก เชน
835
8
3
5
4
เมทรกซจตรส (Square Matrix) คอ เมทรกซทม จ านวนแถวเทากบจ านวนหลก (m=n) หรอเรยกวา เมทรกซอนดบ n มรปทวไปคอ
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
สมาชกทอยในต าแหนง i = j เรยก เสนทแยงมมหลก 5
เมทรกซศนย (Zero Matrix หรอ Null Matrix) คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนศนยหมด เชน
O = หรอ 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
6
เมทรกซทแยงมม(Diagonal Matrix) คอเมทรกซ จตรสทมสมาชกทกตวทไมไดอยบนเสนทแยงมมหลก มคาเปนศนยทงหมด เชน
2 0 0 0 3 0 0 0 4
4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1
หรอ
7
เมทรกซเชงสเกลาร(Scalar Matrix) คอเมทรกซ ทแยงมมทมสมาชกทกตวบนเสนทแยงมมหลกมคาเทากน ทงหมด เชน
4 0 0 0 4 0 0 0 4
5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5
หรอ
8
เมทรกซเอกลกษณ (Identity Matrix หรอ Unit Matrix) คอ เมทรกซทแยงมมทมสมาชกทกตวบน เสนทแยงมมหลกมคาเทากบ 1 ทงหมด ใชสญลกษณ I หรอ In แทนเมทรกซเอกลกษณอนดบ n เชน
I3 = หรอ I4 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
9
Ex. A =
3 2 0 1 7 1 6 4
เปนเมทรกซขนาด _________ แถว _________ หลก เขยนดวยสญลกษณ _____________
2
4
42A
10
Ex. จงบอกประเภทและมตหรออนดบของเมทรกซลกษณะ พเศษตอไปน
1. O = 0 0 0 0 0 0
2. A = 1 8
เมทรกซศนย มต 32
เมทรกซหลก มต 12
11
Ex. จงบอกประเภทและอนดบของเมทรกซลกษณะ พเศษตอไปน
3. B = 2 4 6 8 0
4. C = 2 0 0 0 3 0 0 0 4
เมทรกซแถว มต 51
เมทรกซทแยงมม อนดบ 3
12
ถา แลว เมทรกซสลบเปลยนของ A
คอ
ijm n
A a
เมทรกซสลบเปลยน (Transposed Matrix) คอเมทรกซทสลบสมาชกของแถวกบคอลมน
mnji
T aA ][
ซงเมทรกซสลบเปลยน เมอ k เปนสเกลาใดๆ มคณสมบตดงน 1. (A+B)T = AT + BT 2. (AT)T = A 3. (kA)T = kAT
4. (AB)T = BTAT
13
A = เชน a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a41 a42 a43 43
A T =
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43 34
14
Ex. จงหาเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซตอไปน
A =
B =
C =
4 4 -1 2 3 -4 -7 2 3
1 2 3 0 -4 7
2 8 2
AT = 1 3 4
2 0 7
BT = 4 2 7
4 3 2
1 4 3
CT = 2 8 2
15
เมทรกซสามเหลยม (Triangular Matrix) เมทรกซสามเหลยมบน (Upper Triangular Matrix) คอ เมทรกซจตรสใดๆ ทมสมาชกทกตวทอยใตเสนทแยงมมหลก เปนศนยหมด
เมทรกซสามเหลยมลาง (Lower Triangular Matrix) คอ เมทรกซจตรสใดๆ ทมสมาชกทกตวทอยเหนอเสนทแยงมมหลก เปนศนยหมด
16
เมทรกซสมมาตร (Symmetric Matrix) คอ เมทรกซจตรสใดๆ ทมคณสมบต A = AT
เมทรกซเสมอนสมมาตร (Skew Symmetric Matrix) คอ เมทรกซจตรสใดๆ ทมคณสมบต A = AT
100
310
572
630
012
004
เชน
เปนเมทรกซสามเหลยมบน
เปนเมทรกซสามเหลยมลาง
17
เมทรกซเอกฐาน (Singular Multiplication)
คอ เมทรกซจตรสทไมสามารถหาเมทรกซอนมาคณ ใหเปนเมทรกซเอกลกษณได
18
เมทรกซไมเอกฐาน (Non-Singular Multiplication)
คอ เมทรกซจตรสทสามารถหาเมทรกซอนมาคณแลวได เมทรกซเอกลกษณ ซงจะเรยกวา Invertible Matrix
เมทรกซจตรส A ขนาด nn จะเปน Invertible Matrix ถามเมทรกซ B ขนาด nn ทมคณสมบตวา AB = BA = In ซงในกรณนจะเรยกเมทรกซ B วาเปน inverse ของ A แทนดวยสญลกษณ A-1
19
คณสมบตของ Invertible matrix มดงน
1. (A-1)-1 = A 2. (kA)-1 = k-1A-1 ส าหรบจ านวนสเกลาร k ทไมเทากบศนย 3. (AT)-1 = (A-1)T
4. (AB)-1 = B-1A-1
การเทากนของเมทรกซ (Equal Matrix)
ถา และ
จะได A = B กตอเมอ m = p และ n = q
และ aij = bij ทกคาของ i และ j
ij m nA a
ij p q
B b
พชคณตของเมทรกซ
20
Ex.
235.01
25.00,
65.1
5.00BA
ดงนน BA
Ex.
54
92,
54
32BA
ดงนน BA
21
การบวกลบเมทรกซ (Matrix Addition or Subtraction)
ให และ
แลว A + B = C
โดยท
ij ij ijm n m n
C c a b
nmijbB ][nmijaA ][
ซงมคณสมบตการบวกดงน 1. A+B = B+A (Commutative law) 2. A+(B+C) = (A+B)+C (Associative law) 3. A+(-A) = (-A)+A = 0 (Inverse law) 4. A+0 = A (Identity law)
22
Ex. A = -1 2 4 3 -6 10
และ B = 4 2 -3 1 7 9
จงหา C = A + B และ D = A B
วธท า
9107613
342241C
1914
143
9107613
)3(42241D
1132
705
23
การคณเมทรกซ การคณเมทรกซดวยสเกลาร (Scalar Multiplication)
ให และ k เปนสเกลาร ดงนน นนคอ เปนการน า k คณกบสมาชกทกตวในเมตรกซ เชน a b
c d ka kb kc kd k =
ijm n
A a
ijm n
kA ka
ซงมคณสมบตการคณเมทรกซดวยสเกลาร k และ k’ ดงน 1. k(A + B) = kA + kB 2. (k + k’)A = kA + k’A 3. (kk’)A = k(k’A) 4. 1A = A 24
Ex. A = 1 -5 3 4 1 0
จงค านวณหา 4A , -3A
วธท า
)0(4)1(4)4(4
)3(4)5(4)1(44A
0416
12204
)0(3)1(3)4(3
)3(3)5(3)1(33A
0312
9153
25
ให และ
แลว C = AB จะมขนาดเทากบ mp
โดยท
การคณเมทรกซดวยเมทรกซ (Matrix Multiplication)
pnijbB ][nmijaA ][
n
k
kiikij bac1
ซงมคณสมบตการคณเมทรกซมดงน 1. (AB)C = A(BC) (Associative law) 2. A(B+C) = AB+AC (Left Distributive law) 3. (B+C) A = BA+CA (Right Distributive law) 4. k(AB) = (kA)B = A(kB)
26
Ex. จงหาผลคณของเมทรกซ AB เมอ
วธท า
37
14
02
,
325
110
321
BA
)3)(3()1)(2()0)(5()7)(3()4)(2()2)(5(
)3)(1()1)(1()0)(0()7)(1()4)(1()2)(0(
)3)(3()1)(2()0)(1()7)(3()4)(2()2)(1(
AB
73
23
1131
27
ดเทอรมแนนท(Determinant)ของเมทรกซ
ดเทอรมแนนทของเมทรกซ คอ คาสเกลารทไดจากเมทรกซจตรสแทนดวยสญลกษณ det(A)
หรอ ซงวธค านวณหาดเทอรมแนนทมหลายวธดงน
การหาโดยตรง (ในกรณของเมทรกซขนาดเลก) เชน
A
cbadAdc
baA
)det(,
เมทรกซขนาด 11 , det(A) = | a11 | = a11 เมทรกซขนาด 22 (หาดเทอรมแนนทไดในกรณของเมทรกซจตรสเทานน)
28
+
การหาดเทอรมแนนทของเมทรกซขนาด 3 3
123123123
321321321)det(
bacacbcba
bacacbcbaA
33
22
11
333
222
111
ba
ba
ba
cba
cba
cba
A
+ + +
- - -
เมทรกซทมขนาดมากกวานจะท าวธนไมได ตองใชวธกระจาย cofactor เทานน
29
การหา Determinant โดยใชวธการกระจาย Cofactor
ไมเนอร (Minor) ของเมทรกซจตรส A เมอขนาด n 2 คอ
ดเทอรมแนนทของเมทรกซยอยของเมทรกซ A ซงตดแถวท i และ
คอลมนท j ออก โดยใชสญลกษณ Mij แทน ไมเนอรของ aij เชน
ตวอยางท 1
30
2 1 0
9 4 6
5 3 8
A
หาคา M12 ตองตดแถวท 1 และ Column ท 2 ออก จะได
2 1 0
9 4 6
5 3 8
9 6
5 8M12 = = 9(8) – 5(6) = 42
โคแฟคเตอร(Cofactor) ของเมทรกซจตรส A เมอขนาด n 2 นยามจากคาไมเนอร ดงน
Cij = (-1)i+j Mij
ดงนน คาของ C12 และ C23 หาไดดงน
31
C12 = (-1)1+2 M12 = -1(42) = -42
C23 = (-1)2+3 M23 = -1(1) = -1
2 1 0
9 4 6
5 3 8
2 1
5 3M23 = = 2(3) – 5(1) = 1
การกระจาย Cofactor สามารถเลอกวาจะใชแถวหรอ หลก ใดกได แตการค านวณจะงายขนถาเลอกแถวหรอ หลก ทมสมาชกเปน 0 อยมาก
จากคาไมเนอรและโคแฟคเตอร จะหาคา det(A) ไดจาก
จากตวอยางจะไดวา
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
= 2C11+1C12+0C13
= 2(14) +1(-42) + 0 = 28-42 = -14
32
n
k
n
k
kjkjikik CaCaA1 1
)det(
4 3 1 0
1 2 3 5
0 1 1 2
0 2 3 5
A
ตวอยางท 2 จงหา Determinant ของ Matrix
ขนท 1 เลอกแถวหรอ Column ทจะเปนหลก ในขอนจะเหนวา Column ท 1 มสมาชกเปนเลข 0 ถง 2 ตว ดงนนเราควรจะเลอก Column ท 1 เปน หลกในการกระจาย Cofactor ขนท 2 เขยนสตรกระจาย Cofactor ในทนเราใชการกระจายแบบ Column เราจะตองท าดงน
11 21 31 41 a a a a
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
1. เลอกสมาชกทกตวใน Column ท 1 มา จะไดวา
จากนนจงเขยนสตร
แตในกรณทเลอกแถวท 1 เปนหลก จะไดวา 1414131312121111)det( CaCaCaCaA
))det( 4141313121211111 CaCaCaCaA
ดงนนไมตองค านวณ C31 จะเหลอเพยง C11 และ C21 ทตองค านวณ ค านวณ Cofactor ตามสตรโดยไมจ าเปนตองค านวณ ถาคา aij เปน 0
และ C41
1 1
11
2 3 5
1 1 1 2
2 3 5
A
จะเหนวาในสตรของ C11 มแถวทซ ากน 2 แถว
(ดเทอรมแนนทของเมตรกซทมแถวซ ากนมคาเปน 0)
2 1
21
3 1 0
1 1 1 2 (3)( 1)(5) (1)(2)(2) (0)(1)( 3) (2)( 1)(0) (2)( 3)(3) (1)(1)(5)
2 3 5
( 15 4 0 0 18 5) 2
A
ดงนน C11 = 0
2)0()0()2)(1()0)(4()det( 4131 CCA
C11
C21
คณสมบตของ ดเทอรมแนนท
1. ถาสลบแถวหรอสลบคอลมนจะท าใหดเทอรมแนนทเปลยนเครองหมาย 2. ถามแถวเหมอนกน 2 แถว หรอคอลมนเหมอนกน 2 คอลมนจะท าให เมทรกซนนมดเทอรมแนนทเปน 0 3. det(AT ) = det (A) 4. ถา A เปนเมทรกซสามเหลยม(Triangular matrix) ดเทอรมแนนทของ A
คอ A11A22…Ann
5. det (AB) = det(A)det(B) 6. det(kA) = det(kInA)=kndet(A) 7. det(A-1) = 1/det(A)
8. ถาสมาชกของแถวใดแถวหนง หรอของคอลมนใดคอลมนหนง ถกคณดวย k จะท าใหดเทอรมแนนทเปน k เทาดวย 9. ถาสมาชกของแถวใดแถวหนง หรอของคอลมมนใดคอลมนหนงเปน 0 จะท าใหดเทอรมแนนทเปน 0 10. ถาสมาชกของแถวใดแถวหนง หรอของคอลมนใดคอมลมนหนงถก คณดวย k แลวน าไปบวกหรอลบกบแถวหรอคอลมนอนทสอดคลองกน จะท าใหดเทอรมแนนทไมเปลยนแปลง
คณสมบตของ ดเทอรมแนนท
Inverse Matrix
เมทรกซ B จะเปน Inverse ของเมทรกซ A ถา AB = BA = I
38
การหา Inverses matrix ขนาด 2x2
1A A I 8 10
3 4A
ให A-1 =
dc
ba
คณเมทรกซเขาดวยกน จะได
10
01
43
108
dc
ba
10
01
4343
108108
dbca
dbca
043
1108
ca
ca
143
0108
db
db
จงแกสมการหาคา A-1?
45.1
521A
AA-1 = I
การหาอนเวอรสเมทรกซโดยอาศยเมทรกซผกพน(Adjoint matrix)
40
1.เมทรกซผกพนของเมทรกซใด ๆ จะมเพยงเมทรกซเดยวเทานน 2.ให A และ B เปน Nonsingular matrix แลว
12.1. det det
2.2.
nadjA A
adj AB adjB adjA
คณสมบตของ Adjoint matrix
•การหา inverse ของ matrix A ท าไดโดยสลบคา a และ d เปลยนเครองหมายของ b และ c คณเมทรกซทไดเขากบ 1/det(A)
การหา Inverses matrix ขนาด 2x2
1 1
a bA
c d
d bA
c aad bc
ad-bc แทน det(A) ซงหากมคาเทากบศนยเมทรกซ A จะหา inverse ไมได
Example: จงหา inverse ของ
104
42A
24
410
)4)(4()10)(2(
1
24
410
4
1
2
11
12
5
1A
การหา Inverses matrix ขนาด 2x2