matriz, aplicaciones y formulas, word
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Folleto que detalla el cálculo de matrices, muestra formulario útil para el cálculo en álgebra lineal.Documento Word, a color.TRANSCRIPT
M A T R I Z
M A T R I Z
INTRODUCCION
Una matriz es una ordenacin rectangular de la forma:
a 11 a 12 .. a 1n 1 fila a 21 a 22 .. a 2n 2 fila
a m1 a m2 .. a mn ( m ) fila
1 columna 2 columna ( n ) columna
Cada componente de la matriz ( de orden m ( n ) es un escalar ( elemento de un campo ), cuya ubicacin est dada por sus dos subndices, el primero indica la fila y el segundo la columna.MATRIZ CUADRADA DE ORDEN DOS
Una matriz formada por dos filas y dos columnas se denomina matriz cuadrada de orden dos. El conjunto de todas estas matrices se simboliza por M 2.RELACION DE IGUALDAD EN M 2 ( = )
Definicin:
a 11 a 12 = b 11 b 12 ( a 11 = b 11 ( a 12 = b 12 ( a 21 = b 21 ( a 22 = b 22 a 21 a 22 b 21 b 22
Teorema 1: La relacin de igualdad en M 2 es una relacin de equivalencia.
ADICION EN M 2Definicin:
a 11 a 12 + b 11 b 12 = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 + b 21 a 22 + b 22
Teorema 2: La adicin en M 2 es asociativa y conmutativa.
Neutro aditivo:
0 0
0 =
0 0
Inverso aditivo:
A = a 11 a 12 ( ( A = ( a 11 ( a 12
a 21 a 22 ( a 21 ( a 22
Teorema 3: ( M 2 ; + ) es un grupo abeliano.Resta :
a 11 a 12 ( b 11 b 12 = a 11 ( b 11 a 12 ( b 12
a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 ( b 21 a 22 ( b 22
MULTIPLICACION POR UN ESCALAR EN M 2Definicin:
Sea k un escalar, entonces:
a 11 a 12 k a 11 k a 12 k = a 21 a 22 k a 21 k a 22
Propiedades:
Sean A y B matrices cuadradas de orden dos y k y m escalares, entonces:
1 ) 1 A = A
2 ) ( k m ) A = k ( m A ) = m ( k A )
3 ) ( k + m ) A = k A + m A
4 ) k ( A + B ) = k A + k B
Teorema 4: ( M 2 ; + , ) es un espacio vectorial.
MULTIPLICACION EN M 2
Definicin :
a 11 a 12 b 11 b 12 a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 =
a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22
Teorema 5: La multiplicacin en M 2 es asociativa y distributiva con respecto a la adicin, pero no es conmutativa.Neutro multiplicativo:
1 0
I =
0 1
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ EN M 2
Definicin:
a 11 a 12
= a 11 a 22 ( a 12 a 21
a 21 a 22
Observacin 1: A es singular si y slo si | A | = 0
Teorema 6: Sean A y B matrices cuadradas de orden dos y k un escalar, entonces:
a ) | k A | = k2 | A |b ) | ( A | = | A |c ) | A B | = | A | | B |MATRIZ INVERSA EN M 2 a 11 a 12 a 22 ( a 12
A = ( | A | ( 0 ( A ( 1 = | A | ( 1
a 21 a 22 ( a 21 a 11
Observacin 2: Si una matriz tiene determinante igual a cero, entonces no existe su matriz inversa.
Teorema 7: Sea A una matriz cuadrada de orden dos, entonces:
a ) A A ( 1 = A ( 1 A = Ib ) | A ( 1 | = | A | ( 1APLICACION DE DETERMINANTES
Dado el sistema:
a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2
Se definen los determinantes:
a 1 b 1 c 1 b 1 a 1 c 1 D = X = Y =
a 2 b 2 c 2 b 2 a 2 c 2
Entonces:
a ) Existe una y slo una solucin si y slo si D ( 0:
S = { ( x , y ) : x = X / D ( y = Y / D }b ) Existen infinitas soluciones si y slo si D = X = Y = 0:
S = { ( x , y ) : a 1 x + b 1 y = c 1 }
c ) No existe solucin si y slo si D = 0 , X ( 0 e Y ( 0.
S = (ANEXOS
1 ) Lo sealado en M 2 puede extenderse a matrices cuadradas de orden superior, salvo en lo referente a las definiciones de determinante y matriz inversa.
2 ) Sean A una matriz de orden n ( m y B una matriz de orden p ( q, entonces pueden definirse:
a ) A + B si y slo si n = p y m = q.
b ) A B si y slo si m = p.
Analorpe