matriz geometria analÍtica e Álgebra linear me. gilcimar bermond ruezzene
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MATRIZ
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Me. Gilcimar Bermond Ruezzene
Definição de Matrizes
Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Amxn =
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
= [aij]mxn
matriz A de m linhas e n colunas
Elemento da linha ie coluna j
Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna
TIPOS DE MATRIZES
1 2 2
1 1 3
4 1 2
Matriz quadrada
m = n (x linhas = x colunas)
Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)
Diagonais
Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas.
Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)
Elementos dadiagonal principal:
1, 1 e 2
Elementos dadiagonal secundária:
2, 1 e 4
2 1 1
0 1 2
0 0 4
Matriz triangular superior
Matrizes Triangulares
2 0 0 0
1 1 0 0
2 3 4 0
4 5 7 2
Matriz triangular inferior
Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos.
Todas as matrizes triangulares são quadradas.
Casos especiais de Matrizes Triangulares.
Matriz identidade
2 0 0
0 4 0
0 0 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz diagonal
Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero
A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da
diagonal principal são todos iguais a um.
Chamamos a matriz acima de I3
(identidade de ordem 3)
No geral, In onde n é a ordem da matriz.
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Matriz nula
Todos os elementos são nulos.
Chamamos a matriz nula de Omxn
Então essa é O3x4
A Matriz nula não precisa ser quadrada!
Igualdade de Matrizes.
Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos
correspondentes são iguais.
421
213
112
421
213
112
Transposta troca de linha por coluna (m x n => n x m )
2341
30
12
x
A
.
431
102=A
32
t
x
Matriz A transposta
Simétrica Matriz quadrada tal que At = A
2223
31
x
A
.
23
31=A
22
t
x
Matriz A transposta
Anti-Simétrica Matriz quadrada tal que At = -A
33013
102
320
x
A
.
013
102
320
=A
33
t
x
=Os elementos da transposta
são os opostos da original.
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição
01
52
40
52
04
11
53
52
31
Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.
É sempre possível somar matrizes?
Não!
Somente quando estas forem de mesma ordem.
+ =
O mesmo vale pra subtração.
Multiplicação por escalar
62
204
Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número.
31
102.2
3.21.2
10.22.2
Matriz A Matriz -2A
Multiplicação de matriz por matriz
CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.
2223
40
11.
35
24
12
xx
234.3)1(50.31.5
4.2)1(40.21.4
4.1)1(20.11.2
x
75
44
22
Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo
Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.
O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.
O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.
2223
40
11.
35
24
12
xx
75
44
222.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4
4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.4
5.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4
Observe, multiplicamos
ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o
primeiro elemento da linha com o
primeiro elemento da coluna e por aí
vai...
EXEMPLO 1
Calcule o produto das matrizes:
20
53
12
.
021
102
321
13
EXEMPLO 2
Dadas as matrizes
65
43
21
A
102
231B
calcule a matriz A – Bt é:
14
Inversão de Matrizes
nIAA 1.
Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I.
Calcule a inversa da matriz A =
EXEMPLO 3