Ejemplo 1 Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector.

Sea T una transformación lineal de R3 en R2 y suponga que

Solución. Se tiene

 Entonces

Ejemplo 2 Núcleo e imagen de un operador de proyección

Sea T:R3 R3 definida por  T es el operador de proyección de R3 en el plano xy.

Entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x,y,z):x  = y = 0, zϵR}, es decir, el eje z, e Im T = {(x,y,z): z = 0}, es decir el  plano xy. Observe que dim un T = 1 y dim Im T = 2.

Ejemplo 3.  Núcleo e imagen de la transformación cero

Sea Tv = 0 para todo vϵ V(T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T = {0}.

 

Ejemplo 4   Núcleo e imagen de la transformación identidad

Sea Tv = v para vϵ V(T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T = V.