Mximo comn divisor

Mximo comn divisor

En matemticas, se define elmximo comn divisor(MCD) de dos o msnmeros enterosal mayor nmero entero que losdividesin dejar resto.

Precisiones[editar]Siaybson nmeros enteros distintos de cero y si el nmeroces de modo quec|ay a su vezc|b, a este nmerocse denominadivisor comnde los nmerosayb.1Obsrvese que dos nmeros enteros cualesquiera tienen divisores comunes. Cuando existen, nicamente, como divisores comunes 1 y -1 de los nmerosayb, estos se llamanprimos entre s.

Un nmero enterodse llamamximo comn divisor(MCD) de los nmerosaybcuando:

1. des divisor comn de los nmerosayby

2. des divisible por cualquier otro divisor comn de los nmerosayb.

Ejemplo:

12 es el mcd de 36 y 60. Pues 12|36 y 12|60; a su vez 12 es divisible por 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y -12 que son divisores comunes de 36 y 60.2Clculo del MCD[editar]Los tres mtodos ms utilizados para el clculo del mximo comn divisor de dos nmeros son:

Por descomposicin en factores primos[editar]Artculo principal:Factorizacin de enterosEl mximo comn divisor de dos nmeros puede calcularse determinando ladescomposicin en factores primosde los dos nmeros y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales ser el MCD.

Ejemplo: para calcular el mximo comn divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorizacin en factores primos.

El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

En la prctica, este mtodo solo es operativo para nmeros pequeos tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposicin en factores primos de dos nmeros cualquiera.

Usando el algoritmo de Euclides[editar]Artculo principal:Algoritmo de EuclidesUn mtodo ms eficiente es elalgoritmo de Euclides, que utiliza elalgoritmo de la divisinjunto al hecho que el MCD de dos nmeros tambin divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el ms pequeo.

Ejemplo1:

Si se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12, elMCDser por tanto divisor de 12. Despus se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el MCD. Formalmente puede describirse como:

Ejemplo2:

El MCD de 42 y 56 es 14. En efecto:

operando:

Usando el mnimo comn mltiplo[editar]El mximo comn divisor tambin puede ser calculado usando elmnimo comn mltiplo. Siaybson distintos de cero, entonces el mximo comn divisor deaybse obtiene mediante la siguiente frmula, que involucra el mnimo comn mltiplo (mcm) deayb:

MCD de tres o ms nmeros[editar]El mximo comn divisor de tres o ms nmeros se puede definir usando recursivamente:.34Propiedades[editar]1. Sientonces2. Sies un entero,3. Sies un nmero primo, entonceso bien4. Si, entonces5. Sies un divisor comn dey, entonces6. Si, entonces7. Si, entonces:

La ltima propiedad indica que el mximo comn divisor de dos nmeros resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente.

Geomtricamente, el mximo comn divisor deaybes el nmero de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).

Proposiciones[editar]Para cualquier par de nmeros enterosa0,b0, existe un nico mcd d 1.5El m.c.d. de los nmerosaybpuede ser representado en forma decombinacin linealde estos nmeros.Esto es (a, b) = ax + by

Si dos nmeros enteros sonprimos entre s, i.e. su mcd = 1 o en otra notacin (a,b) = 1, entonces cabe la representacinma+nb= 1 dondemynson nmeros enteros (Identidad de Bzout).

sia|bcy (a,b) = 1, sera|c. En otras palabras, si un nmeroadivide un producto de otros dos nmeros y escoprimocon uno de ellos, entonces divide necesariamente el otro nmero o factor.6Cuando un nmeroaes coprimo con los nmerosmyn, tambin lo es con el productomn.7(a,b) es divisor de (a, bc)8t(a,b) = (ta, tb) para todo t entero9Si (m, b)= 1 entonces (am, b)= (a, b)10Si (m,b)= 1, (am, n) = 1 entones (am, bn) = (a, b)

Para todo x, (a, b)= (b, a) = (a, -b) = (a, b + ax)11" Por definicin, (0, 0) = 0 ".12De tal modo el mcd se definira en todo x.

(a, b) = b si slo si b | a, ( O sea si a es mltiplo de b).

si (a,b)= D, entonces (an, bn) = Dn13mZ + nZ = (m,n)Z. Si sumamos sendos mltiplos de dos enteros es lo mismo que considerar los mltiplos de su mximo comn divisor.1415MCD como operacin interna[editar]EL Mcd se puede estructurar como una operacin en , de este modo a cualquier par de enteros, o sea a un elemento de x le asigna un nico elemento de . Para cualquier par de enteros (a,b) existe un entero no negativo d que es su mximo comn divisor. Esto es a*b = (a,b) = d. El MCD goza de la propiedad asociativa, como de la propiedad conmutativa. El mcd posee un elemento identidad, el cero, de modo tal que (a, 0)= (0,a)= a16 El mcd tiene un comportamiento dual que que el mnimo comn mltiplo y a los enteros no negativos a y b los liga la ecuacin ab = (a,b)[a,b]17 Propiedad de 1: (a,1) = 1 para cualquier entero a18