mb-unidade 3 - números racionais

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Matemtica Bsica Unidade 3 1 Unidade 3 Nmeros racionais Metas Estaunidadesobreanoodenmerosracionais,conjuntonumricoqueampliao conjunto dos nmeros naturais e dos nmeros inteiros. Objetivos Ao final desta unidade voc deve: -conhecer os nmeros racionais, assim como a sua representao em notao decimal e fracionria; -conhecer a noo de ordem dos nmeros racionais; -conhecer uma representao geomtrica dos nmeros racionais; -conhecer as duas operaes bsicas entre nmeros racionais; -saber lidar com as representaes decimais dos nmeros racionais; -entender como se pode aplicar as operaes na resoluo de problemas prticos. Matemtica Bsica Unidade 3 2 Uma nova representao numrica de grandezas A quantificao da grandeza comprimento pela associao aos nmeros naturais a partir de uma unidadeestabelecida apresenta limitaes. Por exemplo, nos tringulos retngulosaseguir,podemosfacilmentemedirosdoiscatetos(noprimeiro,temos catetos de medidas 2 e 4, no segundo, temos catetos de medidas 1 e 4). Mas, sobre cada hipotenusa, s podemos dizer que o comprimento est entre 4 e 5. Com certeza,podemosdizerqueumamaiordoqueaoutra,masnopodemossermuito mais especfico do que isto (as linhas pontilhadas no desenho representam o trao de um compasso, veja como a primeira hipotenusa claramente maior). Emsituaescomoesta,almdeperdermosaprecisonareferncianumrica doobjetoemfoco,corremosoriscodeperdertodainformaosobretalobjeto. Enquantotivermosdeterminadoobjetonanossafrente,podemossempreobteras informaesqueforemnecessrias.Oproblemaquandoficamossemoobjetoe apenas com informaes parciais que no ajudem a falar sobre o objeto sumido. Porexemplo,apartirdotringulorepresentadonafiguraaseguir,podemos medir os seus lados, assim como fazer outras avaliaes que forem necessrias. Se for o caso,podemostambmmedirareadoretnguloousuaaltura,entreoutrascoisas. Mas,seformosefetivamentemedirosladosdotringuloapartirdaunidade estabelecida no prprio desenho, vamos encontrar dois lados com medida 4 (o tringulo issceles)eumladocommedidaentre3e4,esteladonotemumamedidaprecisa nesta unidade estabelecida. Matemtica Bsica Unidade 3 3

Vejaagora,leitor,comoosproblemaspodemaparecerapartirdeavaliaes imprecisas. Suponha que voc registre estas informaes de medio e suponha tambm que perca a figura acima. Ser que, com estes registros feitos, voc consegue recuperar o tringulo? Veja a figura a seguir. Temosaqui3tringuloscom2ladosmedindo4eumlado,abase,medindo entre3e4.Sotringulosqueatendemsespecificaesdosregistros,masso tringulos completamente diferentes. Por exemplo, todos tm alturas diferentes entre si. (Leitor, para no parecer que estamos falando deum problema sem interesses prticos, saibaqueestasituaomatemticapoderiaestarilustrandoumasituaoconcreta.Por exemplo,odesenhooriginaldotringulopoderiarepresentarotelhadodeumacasa. Sem o desenho e s com a informao de que as duas guas do telhado medem 2 metros e a base mede entre 3 e 4 metros, impossvel saber qual deve ser a altura da coluna de sustentaodotelhado.Isto,asimplesinformaodequeabasemedeentre3e4 metros insuficiente para o pleno conhecimento da forma do telhado) Matemtica Bsica Unidade 3 4 Atividade 1: Depossedeumcompasso,regulesuaaberturadeacordocomaunidadedo desenho e confira os valores de medida dos lados dos tringulos acima. Atividade 2: O objetivo ilustrar como informaes numricas podem ajudar a recuperar um determinado objeto. Sabe-se que um tringulo tem lados de medida 5, 10 e 12. a) Numa folha quadriculada, com o auxlio de uma rgua e um compasso, desenhe um tringulo com essas medidas. (Sugesto de roteiro: Adote o lado dos quadrados da folha quadriculadacomounidadedemedida.Emcimadeumalinha,desenhedoispontos distando12unidades.Usandoumdospontoscomocentro,comocompasso,desenhe um crculo de raio 10. Usando o outro ponto como centro desenhe um crculo de raio 5. Marqueumdospontosdeinterseodoscrculos.Verifiquequeotringuloformado pelos 3 pontos tm lados de medidas 5, 10 e 12, respectivamente.) b)Parailustrarcomoqueasinformaesdadassobreasmedidasdosladosso significativas, obtenha a medida da altura do tringulo que voc desenhou com relao basedemedida12.(Vocdeveencontrar4,aproximadamente.)Esteitemilustra comoquealgumasboasinformaesnumricaspodemservaliosasparao conhecimento de todo um objeto. Bom, sabemos que o processo de quantificao por meio dos nmeros naturais, ou mesmo dos nmeros inteiros, pode deixar a desejar, dependendo do tipo de grandeza que est sendo avaliada. Como resolver esta questo? Umaformadecontornaresteproblemaadmitirnovasunidadesdemedida. Maisprecisamente,deve-seadmitirsubmltiplosdaunidadeestabelecidainicialmente, ou seja, uma nova unidade segundo a qual a unidade inicial um mltiplo. Assim, se for precisoobterumaavaliaomelhordeumcomprimento,pode-seadotarumanova unidadedemedidaqueseja,porexemplo,umdcimodaoutra,ouseja,aunidade inicial 10 vezes a nova unidade. Nesta nova unidade, ou melhor, neste novo processo de quantificao, um comprimento pode ser avaliado com preciso 10 vezes maior. Matemtica Bsica Unidade 3 5 Porexemplo,afiguraaseguirrepresentadoissegmentosacimadeumareta graduada.Naunidadefixada,osdoissegmentosnopossuemumarepresentao numricaexata. Nessagraduao da reta s podemos dizer que os dois segmentos tm medidaentre1e2.Sequisermosdarmaisalgumdetalhe,podemosdizerqueo segmento marrom maior do que o segmento azul e est mais prximo da marca 2 do quedamarca1,enquantoosegmentoazulestmaisoumenosentreasduasmarcas. Estassoinformaesumtantoimprecisas.Porexemplo,seguardarmosestas informaese,nofuturo,quisermosrecuperarossegmentosapartirdelas,serum bastante complicado reproduzir os segmentos. Agora,seescolhermosumanovaunidadedemedida,umamaisconveniente, talvezpossamosobterumamelhorrepresentaonumricadossegmentos.Aprxima figura representa os mesmos segmentos da figura anterior, mas com a reta graduada de mododiferente.Aunidadedemedidaumdcimodaunidadeanterior,ouseja,a unidade antiga 10 vezes maior do que a nova. Comosepodevernafigura,temosagora,naunidadenova,umarepresentao numrica mais precisa, e significativa, do comprimento de cada segmento. O segmento marrom tem comprimento 18 e o segmento azul mede 16 unidades novas. Observao:Naverdade,atrocadeunidadesalgobastantecomum,enatural,no cotidianodequalquerpessoa.Porexemplo,leitor,vocselembradealgumasituao ondecostumamudardeunidades?Certamentevocjfezrefernciaadistnciaentre pontosdasuacidade,ouatentrecidades,ecertamenteescolheuoquilmetrocomo unidade de medida. Por outro lado, certamente voc j precisou medir algum espao da suacasa,oualgoparecido,e,nestecaso,dedistnciasbemmenores,certamentevoc adotouocentmetrocomounidadedemedida(ocentmetroumsubmltiploda Matemtica Bsica Unidade 3 6 unidadequilmetro).Aescolhadeunidadessemprefoivariadaeatrelativamente arbitrria.Porexemplo,dependendodopas,atemperaturamedidapelaunidade conhecidacomograuCelsiusoupelaunidadeconhecidacomograuFahrenheit.Na avaliaodedistncias,almdeusarmosaunidademetroeaunidadequilmetro,por exemplo,tambmpode-seusaroutrostiposdeunidadesnotocomunsparans brasileiros, como milhas, ps e polegadas, por exemplo. A possibilidade de escolha de uma unidade conveniente permite obter avaliaes mais precisas. Por outro lado, cria-se um problema, a saber, como comparar avaliaes obtidas de unidades diferentes? Vejamos a situao do exemplo anterior. Vocacabou de ver uma situao onde uma unidade,u, foifixada. Depois, por questes de convenincia, uma nova unidade, u, foi criada. Isto foi feito de modo que a unidadeinicial10vezesanovaundidade.Ouseja,u=10u.Outraformadefalar sobreestarelaodizerqueanovaunidadeumdcimodaunidadeinicial.Uma maneira de denotar isto escrevendo u = 101u. Nanovaunidade,encontramosasmedidas18ue16uparaossegmentos marromeazul,respectivamente.Parasefazerrefernciaaunidadeinicial,pode-se escrever, ento, 18101u e 16101u, ou, mais implesmente, 1018u e 1016u. Leitor, voc acompanhou esta passagem final? Na medida do segmento marrom, porexemplo,dizerqueovalor18u,somente,noajudamuito,pois,deincio,s conhecemosaunidadeu.Oqueaunidadeu?Agora,quandoseescreve 1018ua informaoficacompleta. S com esta notao, fica informado que umanova unidade foiconsiderada,queestaumdcimodaunidadeinicialequeosegmentomede18 vezes esta unidade nova. Exemplo: Vejamos uma nova situao de utilizao da notaorecm introduzida. Um segmento, representado por a, no mltiplo de uma unidade fixada, u. Mas, foi dada a informao de que a mede 47u. O que significa esta informao? Ser que conseguimos Matemtica Bsica Unidade 3 7 reproduzir o segmento com esta informao? Para responder a estas questes, considere a prxima representao de uma reta com uma unidade u estabelecida. Para encontrar a, precisamos primeiro encontrar uma unidade de media que seja umquartodaunidadedemedidau.Considere,ento,onovodesenhoaseguir.Veja como u um quarto de u, ou seja, u igual a 4 vezes u. Com a nova unidade que um quartodaunidadeinicial,marcamos7vezesaunidadenova.Osegmentocomesta extensoosegmentodecomprimentodadopelainformao 47u,representadono desenho em amarelo. Com esta nova notao fracionria, isto , com nmeros fornecidos em forma de frao,parecequepodemosregistrarqualquerobjetopormeiodeumarepresentao numrica, o que resolve o problema colocado logo no incio desta seo. Notequeestarepresentaofracionriaestendearepresentaonumricados nmeros inteiros. Por exemplo, o nmero 5 pode ser representado em forma de frao, bastaescrever 15.Defato, 15significaconsiderarumanovaunidadedemodoque unidadeinicialumavezaunidadenova.Ouseja,estanotaoindicaquedevemos considerar a mesma unidade. Pegar 5 vezes a unidade inicial significa pegar exatamente onmero5.Ouseja, 15e5representamomesmosegmento,isto,5podeser representado por 15. Matemtica Bsica Unidade 3 8 Atividade 3: A unidade dia muitas vezes usada para avaliar o tempo. Outras vezes, usamos um submltiplo desta unidade, a unidade hora. a) Quantas vezes a unidade dia maior do que a unidade hora? b) O valor fracionrio na unidade dia, 242, faz referncia a que outra unidade de medida de tempo? E equivale a quanto tempo nesta unidade? c) As pessoas dorm