möclöc - · pdf...

Gio vin: Trn nh Hin - Trng THPT ng Thc Ha - Ngh An
MC LC
Mc lc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Li ni u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chng 1.Gi tr nh nht, gi tr ln nht ca hm s . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.Mt s kin thc c s v o hm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.Gi tr nh nht, gi tr ln nht ca hm s . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.Mt s v d tm gi tr nh nht, gi tr ln nht ca hm s 6
Chng 2.K thut gim bin trong bi ton tm gi tr nh nht, gi tr
ln nht ca biu thc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.Bi ton tm gi tr nh nht, gi tr ln nht ca biu thc bng
phng php th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.Bi ton tm gi tr nh nht, gi tr ln nht ca biu thc i
xng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.Bi ton tm gi tr nh nht, gi tr ln nht ca biu thc th
hin tnh ng cp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.Bi ton tm gi tr nh nht, gi tr ln nht ca biu thc cha
ba bin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Kt lun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Ti liu tham kho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1
www.VNMATH.com

LI NI U
Trong sch gio khoa lp 12 Gii tch trnh by cch tm gi tr ln nht, gi
tr nh nht ca hm s. V vy mt s dng bi ton tm gi tr nh nht, gi tr
ln nht ca mt biu thc cha mt bin tr nn n gin. Bi ton tm gi tr
nh nht, gi tr ln nht l mt bi ton bt ng thc v y l mt trong nhng
dng ton kh chng trnh trung hc ph thng. Trong cc bi ton tm gi tr
ln nht, gi tr nh nht ca mt biu thc dnh cho hc sinh kh, gii th biu
thc cn tm gi tr nh nht, gi tr ln nht thng cha khng t hn hai bin.
Khng nhng th, cc bi ton kh thng c gi thit rng buc gia cc bin.
Vic chuyn bi ton tm gi tr nh nht, gi tr ln nht ca mt biu thc
khng t hn hai bin sang bi ton tm gi tr nh nht, gi tr ln nht ca hm
s cha mt bin s gip chng ta gii c bi ton tm gi tr nh nht, gi tr
ln nht ca mt biu thc. Vn t ra l nhng dng bi ton tm gi tr nh
nht, gi tr ln nht no th chuyn v c dng bi ton tm gi tr nh nht,
gi tr nh nht ca hm s cha mt n. V vy chng ti chn ti
"ng dng o hm tm gi nh nht, gi tr nh nht ca mt biu
thc".
Trong qu trnh ging dy, bi dng hc sinh gii v n thi i hc, cao ng
bn thn c rt c mt s kinh nghim. V vy trong bi vit ny chng ti
trnh by chi tit mt s dng bi ton tm gi tr nh nht, gi tr ln nht ca
mt biu thc cha hai bin m iu kin rng buc ca hai bin hoc biu thc
th hin tnh i xng hoc tnh ng cp, trnh by mt s bi ton tm gi tr
nh nht, gi tr ln nht ca mt biu thc cha ba bin m bng cch nh gi
chng ta th c hai bin qua bin cn li.
Vi mc ch nh vy, ngoi li m u, mc lc v phn ti liu tham kho, bi
vit c trnh by trong hai chng.
2
www.VNMATH.com

Chng 1. Gi tr nh nht, gi tr ln nht ca hm s. Trong chng
ny, chng ti trnh by cc kin thc c s cn thit gii bi ton tm gi tr
nh nht, gi tr ln nht ca hm s. cui chng, chng ti a ra mt s v
d minh ho.
Chng 2. K thut gim bin trong bi ton tm gi tr nh nht, gi
tr ln nht ca biu thc. Trong chng ny, chng ti trnh by chi tit cc
dng ton tm gi tr nh nht, gi tr ln nht ca mt biu thc cha hai bin
m iu kin rng buc ca hai bin hoc biu thc th hin tnh i xng hoc
tnh ng cp, trnh by mt s dng ton tm gi tr nh nht, gi tr ln nht
ca mt biu thc cha ba bin bng cch t n ph hoc th hai bin qua mt
bin cn li.
Tc gi xin gi li cm n chn thnh ti cc thy gio trong t Ton, cng cc
em hc sinh lp 12A-K30, 10C1-K33 trng THPT ng Thc Ha cng tc,
gip tc gi trong sut qu trnh nghin cu v hon thin bi bit.
Trong qu trnh thc hin bi vit ny, mc d rt c gng nhng khng th
trnh khi nhng hn ch, thiu st. Tc gi rt mong nhn c nhng kin
ng gp ca qu thy c, cc bn v cc em hc sinh bi vit c hon thin
hn.
Xin trn trng cm n!
Thanh Chng, thng 05 nm 2011
Tc gi
3
www.VNMATH.com

CHNG 1
GI TR NH NHT, GI TR LN NHT CA HM S
1.1. Mt s kin thc c s v o hm
Trong mc ny chng ti trnh by li mt s kin thc v o hm v mt s
cng thc v o hm.
1.1.1 nh l. Nu hai hm s u = u(x) v v = v(x) c o hm trn J th
1. (u+ v) = u + v;
2. (u v) = u v;
3. (uv) = uv + uv;
4. (ku) = ku;
5. (uv ) = u
vuvv2 , vi v(x) 6= 0
1.1.2 nh l. o hm ca mt s hm s thng gp.
(c) = 0(c l hng s)
(x) = 1
(xn) = nxn1(n R) (un) = nun1u
( 1x) = 1x2 (
1u) = u
u2
(x) = 1
2x(x > 0) (
u) = u
2u
(ex) = ex (eu) = euu
(lnx) = 1x(x > 0) (lnu) = u
u
(sinx) = cosx (sinu) = u cosu
(cosx) = sinx (cosu) = u sinu
(tanx) = 1 + tan2 x(x 6= 2 + k) (tanu) = u(1 + tan2 u)
(cotx) = (1 + cot2 x)(x 6= k) (cotu) = u(1 + cot2 u)
4
www.VNMATH.com

1.1.3 Nhn xt. o hm ca mt s hm phn thc hu t thng gp
1. Cho hm s y = ax+bcx+d vi a.c 6= 0, ad cb 6= 0. Ta c y = adcb
(cx+d)2.
2. Cho hm s y = ax2+bx+cmx+n vi a.m 6= 0. Ta c y
= amx2+2anx+bnmc(mx+n)2
.
3. Cho hm s y = ax2+bx+c
mx2+nx+p vi a.m 6= 0. Ta c y = (anmb)x
2+2(apmc)x+(bpnc)(mx2+nx+p)2
.
1.2. Gi tr nh nht, gi tr ln nht ca hm s
Trong mc ny chng ti trnh by li mt s kin thc v bi ton tm gi tr
nh nht, gi tr ln nht ca hm s.
1.2.1 nh ngha. Gi s hm s f xc nh trn tp hp D R.
a) Nu tn ti mt im x0 D sao cho f(x) f(x0) vi mi x D th s
M = f(x0) c gi l gi tr ln nht ca hm s f trn D, k hiu lM = maxxD
f(x).
b) Nu tn ti mt im x0 D sao cho f(x) f(x0) vi mi x D th s
m = f(x0) c gi l gi tr nh nht ca hm s f trn D, k hiu l m = minxD
f(x).
1.2.2 Nhn xt. Nh vy, mun chng t rng s M (hoc m) l gi tr ln nht
(hoc gi tr nh nht) ca hm s f trn tp hp D cn ch r:
a) f(x) M (hoc f(x) m) vi mi x D.
b) Tn ti t nht mt im x0 D sao cho f(x0) =M (hoc f(x0) = m).
1.2.3 Nhn xt. Ngi ta chng minh c rng hm s lin tc trn mt
on th t c gi tr nh nht v gi tr ln nht trn on .
Trong nhiu trng hp, c th tm gi tr ln nht v gi tr nh nht ca hm
s trn mt on m khng cn lp bng bin thin ca n.
Quy tc tm gi tr nh nht, gi tr ln nht ca hm f trn on [a; b] nh
sau:
1. Tm cc im x1, x2, ..., xn thuc khong (a; b) m ti f c o hm bng 0
hoc khng c o hm.
5
www.VNMATH.com

2. Tnh f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(a) v f(b).
3. So snh cc gi tr tm c.
S ln nht trong cc gi tr l gi tr ln nht ca f trn on [a; b], s nh
nht trong cc gi tr l gi tr nh nht ca f trn on [a; b].
1.3. Mt s v d tm gi tr nh nht, gi tr ln nht ca hm
s
Trong mc ny chng ti trnh by mt s v d tm gi tr nh nht, gi tr ln
nht ca hm s.
1.3.1 V d. Tm gi tr nh nht v gi tr ln nht ca hm s f(x) = x+4 x2
Bi lm. Tp xc nh D = [2; 2], f (x) = 1 x4x2 , f
(x) = 0 x =2. Bng
bin thin
t 22 2
f (t) + 0
f(t)
2
22
@@@R2
T bng bin thin ta c minx[2;2]
f(x) = f(2) = 2 v maxx[2;2]
f(x) = f(2) = 2
2.
1.3.2 Bi tp. Tm gi tr nh nht v gi tr ln nht ca hm s
f(x) =
1 x2 + 2 3
(1 x2)2.
Bn c t gii.
f(x) = 5 cosx cos 5x vi 4 x
4.
Bn c t gii.
6
www.VNMATH.com

f(x) =21 x4 +
1 + x2 +
1 x2 + 3
1 + x2 +1 x2 + 1
.
Hng dn. t t =1 + x2 +
1 x2,
2 t 2.
f(x) = (x+ 1)
1 x2.
Bn c t gii.
f(x) = x6 + 4(1 x2)3, vi x [1; 1].
Bn c t gii.
f(x) = sin 2x x, vi x [2;
2].
Bn c t gii.
f(x) =2x+ 3x2 + 1
.
Bn c t gii.
f(x) = x(
1 x2 + x).
Bn c t gii.
7
www.VNMATH.com

CHNG 2
K THUT GIM BIN TRONG BI TON TM GI TR
NH NHT, GI TR LN NHT CA BIU THC
T kt qu ca Chng 1 chng ta thy rng vic tm gi tr nh nht, gi tr
ln nht ca hm s kh n gin.Vic chuyn bi ton tm gi tr nh nht, gi
tr ln nht ca mt biu thc khng t hn hai bin sang bi ton tm gi tr nh
nht, gi tr ln nht ca hm s cha mt bin s gip chng ta gii c bi ton
tm gi tr nh nht, gi tr ln nht ca mt biu thc.
2.1. Bi ton tm gi tr nh nht, gi tr ln nht ca biu thc
bng phng php th
Trong phn ny chng ti trnh by mt s dng bi ton tm gi tr nh nht,
gi tr ln nht ca biu thc cha hai bin bng cch th mt bin qua bin cn
li. T xt hm s v tm gi tr nh nht, gi tr ln nht ca hm s.
2.1.1 V d. Cho x, y > 0 tho mn x+ y = 54 . Tm gi tr nh nht ca biu thc
P =4
x+
1
4y.
Bi lm. T gi thit x + y = 54 ta c y =

möclöc - · pdf...

Documents