mdc 2m devedia

Mecánica del Continuo Análisis de Deformaciones y Movimiento

Luis A. de Vedia 2-1

2. ANALISIS DE DEFORMACIONES Y DE MOVIMIENTO

2.1 Concepto de medio continuo, punto y partícula. Dejaremos para más adelante una discusión más detallada del concepto de

medio continuo. Por el momento, bastará considerar como medio continuo a toda porción de materia en la que podamos ignorar su naturaleza atómica o molecular. En general, esta aproximación será válida mientras consideremos elementos de volumen suficientemente grandes comparados con las dimensiones atómicas o moleculares. Esta forma de modelar la materia no es inferior ni superior a otros modelos de la naturaleza. Como todos ellos, este modelo debe ser juzgado mediante la comprobación experimental de las deducciones que a partir del mismo se efectúen.

En mecánica del continuo, una propiedad básica de un cuerpo es que puede

ocupar regiones del espacio euclideo puntual 3. Siempre es posible identificar el cuerpo con la región B del espacio euclideo que el cuerpo ocupa en un instante t dado y tomar esa región particular como la configuración de referencia del cuerpo, pero queda claro que la elección de una configuración de referencia es arbitraria y una cuestión de conveniencia.

En el estudio cinemático de los medios continuos, el término "punto" debe

ser adecuadamente interpretado dado que puede referirse tanto a un punto en el espacio como a un punto material de un continuo. Para evitar confusiones, en lo sucesivo el término punto se utilizará exclusivamente para designar una posición en el espacio. En cambio la palabra partícula denotará un punto material, es decir un elemento infinitesimal de volumen del continuo.

2.2 Configuración de un continuo. Deformación y flujo. En un instante t dado, un continuo con un volumen V y limitado por una

superficie S, ocupará una cierta región R del espacio físico. La identificación de las partículas del continuo con los puntos del espacio que ocupa en el instante t, referidos a un sistema de coordenadas adecuado, constituye la configuración del continuo en ese instante.

En lo que sigue consideraremos a un cuerpo como identificado con la región

B que ocupa en una configuración de referencia y denominaremos a B como el cuerpo de referencia y a un punto X en B como un punto material o partícula del cuerpo.

El término deformación se refiere a un cambio en la forma del continuo

entre un estado inicial de referencia (que puede considerarse como estado no deformado) y un estado posterior (deformado). El énfasis en los estudios de deformación está puesto sobre las configuraciones iniciales y finales sin prestar particular atención a las configuraciones intermedias. Por el contrario, el término



flujo será utilizado para designar la evolución continua del movimiento del medio continuo.

2.3 Vector posición y vector desplazamiento

La Fig. 2.1 muestra la configuración no deformada de un continuo en el instante t = 0, junto con la configuración deformada correspondiente a un instante posterior t = t. Para el presente análisis es conveniente referir dichas configuraciones a distintos sistemas de coordenadas.

En la configuración inicial, una partícula genérica del continuo ocupa una

posición P0 en el espacio y tiene como vector posición

con respecto a los ejes coordenados cartesianos OX1X2X3. En la configuración deformada, la partícula originariamente en P0 está en el

instante t = t ubicada en el punto P de vector posición.

referido al sistema de ejes ox1x2x3. Este sistema de ejes especifica la posición actual de P y se designa sistema de coordenadas espaciales en contraste con el sistema OX1X2X3 al que se refiere la configuración inicial y se denomina sistema de coordenadas materiales.

Fig. 2.1 – Configuración de referencia y deformada de un cuerpo.

1 1 2 3 k kˆ ˆ ˆ ˆx x x x 2 3x e e e e (2. 2)

1 1 2 3 K Kˆ ˆ ˆ ˆX X X X 2 3X i i i i (2. 1)



La orientación relativa de los sistemas de coordenadas espaciales y materiales queda determinada por los cosenos directores

que no son otra cosa que los símbolos de transformación definidos por la (1.8). La condición de ortogonalidad entre ambos sistemas toma entonces la forma

El vector u que une los puntos P0 y P se denomina vector desplazamiento.

Este vector puede expresarse

o alternativamente

en los cuales las componentes UK y uk están vinculadas a través de los cosenos directores αKk mediante la relación

El vector b se emplea para localizar el origen o con respecto a 0. Es evidente

que Muy frecuentemente en mecánica del continuo se consideran superpuestos

los sistemas de coordenadas materiales y espaciales, de modo que por ser en tal caso b = 0, resulta simplemente

o bien, en coordenadas cartesianas

k K K k Kkˆ ˆˆ ˆ e i i e (2. 3)

kK;Kk Kp kp pK kp

k kˆuu e (2. 4)

K KˆUU i (2. 5)

k Kk Ku U

u b x X

u = x X (2. 6)

k k Kk Ku x X (2. 7)



Dado que ambos sistemas se encuentran superpuestos, los triedros de vectores base son coincidentes (αKk = Kk), y la (2.7) puede simplemente escribirse

En lo que sigue, a menos que se especifique lo contrario, sólo

consideraremos sistemas espaciales y materiales superpuestos por lo que solamente utilizaremos letras minúsculas para los subíndices.

2.4 Descripciones Lagragiana y Euleriana

Cuando un continuo sufre una deformación, las partículas que lo constituyen se mueven a lo largo de distintos caminos en el espacio. Este movimiento puede ser descripto por ecuaciones de la forma

donde las xi son las componentes del vector posición actual (x) de la partícula considerada, y X1, X2, X3, son las componentes del vector posición de la misma partícula en el instante inicial (X), es decir para t = 0 como se muestra en la Fig. 2.1, es decir Esta es la descripción o formulación denominada Lagrangiana o Material. Alternativamente, el movimiento de las partículas puede describirse como que constituye la descripción Euleriana o Espacial. Matemáticamente, es fácil ver que mientras la formulación lagrangiana es una aplicación de la configuración inicial del continuo en la configuración actual, la euleriana constituye una aplicación de la configuración actual en la configuración inicial, de modo que ambas aplicaciones son inversa una de la otra. Si aceptamos que dos partículas no pueden ocupar simultáneamente el mismo punto en el espacio (axioma de impenetrabilidad o de intercambiabilidad punto-partícula), la transformación que vincula a ambas debe existir y ser biunívoca, lo que implica la no anulación del jacobiano

k k ku x X (2. 8)

1 2 3, , , , ,i i ix x X X X t x t ó t X x x X (2. 9)

,0i ix XX (2. 10)

1 2 3, , , , ,i i iX X x x x t X t ó t x X X x (2. 11)



Si bien en la Fig. 2.1 hemos tomado para mayor generalidad dos sistemas de referencia independientes para describir las configuraciones inicial y actual del continuo, en general consideraremos superpuestos ambos sistemas y referiremos ambas configuraciones al mismo sistema de ejes.

Resulta conveniente ilustrar estos conceptos con sistemas unidimensionales. Para esto es particularmente útil considerar a título de ejemplo el movimiento longitudinal de una barra esbelta, es decir en la cual las dimensiones transversales son pequeñas comparadas con su longitud. Por otra parte, aunque admitamos que la sección transversal puede ser variable a lo largo de la barra, asumiremos que cada sección transversal se mantiene plana durante el movimiento. De manera entonces que las únicas variaciones a tener en cuenta serán longitudinales, lo que le da al problema el carácter unidimensional. Supongamos ahora que la expresión

lagrangiana de la trayectoria de una sección transversal que en el instante t 0 se

encuentra en x(A, 0) A, está dada por Resulta inmediato que la correspondiente expresión euleriana de la

trayectoria de la misma sección, será Lo que hemos hecho en este ejemplo es fijar nuestra atención sobre una

sección transversal en particular (aquella que en t 0 se encontraba en la

posición x A). Si consideramos a A también como variable, las (2.12) y (2.23) constituyen entonces las expresiones lagrangiana y euleriana respectivamente del movimiento de la barra. Consideremos ahora alguna propiedad, tal como la temperatura, que varíe a lo largo de la barra. De modo que la temperatura de la

sección que en el instante t 0 se encontraba en x A, estará dada por una expresión de la forma

que constituye la descripción lagrangiana de la temperatura de dicha sección de la barra. Para encontrar la correspondiente descripción euleriana, todo lo que hay que hacer es utilizar la (2.13) para eliminar A en (2.14), de modo que resulta.

i

j

xJ

X

x A t (2. 12)

A x t (2. 13)

A,t (2. 14)

A,t A x ,t ,t x ,t (2. 15)



donde x se refiere a la posición que ocupa en cada instante la sección considerada. Nada impide aquí considerar nuevamente a A como variable (es

decir reemplazar A por X), en cuyo caso (X, t) y (x, t) constituirían las descripciones lagrangiana y euleriana respectivamente de la distribución de

temperaturas en la barra. ). Obsérvese que escribimos y no simplemente

porque tendrá en general una forma funcional diferente que .

2.5 Gradiente de deformaciones y de desplazamientos Definimos al gradiente de deformaciones material o lagrangiano, al conjunto

de las nueve cantidades

y al gradiente de deformaciones espacial o euleriano al conjunto de las nueve cantidades

Puede demostrarse que las (2.16) y (2.17) constituyen un tensor cartesiano

de 2º orden en el espacio ordinario, estando por lo tanto sujetas a las correspondientes leyes de transformación bajo transformaciones ortogonales. Se cumple inmediatamente que

Definiendo el desplazamiento u, como

resulta

i

j

x

X

(2. 16)

i i iu x X (2. 19)

i

j

X

x

(2. 17)

j ji iik

j k j k

X xx X

X x x X

(2. 18)

i i i iij

j j j j

u x X x

X X X X

(2. 20)



que constituye el gradiente lagrangiano o material de desplazamientos. Análogamente es el gradiente euleriano o espacial de desplazamientos. Ambos gradientes de desplazamientos constituyen tensores cartesianos de 2º orden en el espacio ordinario tridimensional.

2.6 Tensor de deformaciones

En la Fig. 2.2referimos la configuración inicial (no deformada) y la configuración final (deformada) a los sistemas superpuestos OX

1X

2X

3 y ox

1x

2x

3

respectivamente. El cuadrado de la distancia elemental entre P

o y Q

o, es

y dado que es

2

i i ij i jd d d dX dX dX dX X X X (2. 22)

Fig. 2.2 – Configuración inicial y actual de un continuo

i i i iij

j j j j

u x X X

x x x x

(2. 21)



resulta

de modo que reemplazando en (2.22), queda

en donde el tensor de segundo orden

se conoce como tensor de deformaciones de Cauchy o tensor de deformaciones espacial.

En la configuración deformada, el cuadrado de la distancia elemental entre

P y Q, es

y dado que

resulta

de modo que reemplazando en (2.25), queda finalmente

1 2 3i iX X x ,x ,x ,t

0ii j

j

XdX dx ; t

x

2 k k

i j ij i j

i j

X Xd dx dx C dx dx

x x

X (2. 23)

k kij

i j

X XC

x x

(2. 24)

2

i i ij i jd d d dx dx dx dx x x x (2. 25)

1 2 3i ix x X X ,X ,t

Cte.ij

j

xd dX ; t

X

x



donde el tensor de segundo orden

se denomina tensor de deformaciones de Green o tensor de deformaciones material.

Utilizaremos la diferencia (dx)2 (dX)2 como medida de la deformación entre dos partículas vecinas de un continuo. Si esta diferencia resulta igual a cero para todo par de partículas vecinas del continuo, se dice que el mismo ha experimentado un desplazamiento rígido.

Teniendo en cuenta (2.23) y (2.26), resulta

donde es el tensor lagrangiano o material de deformaciones finitas. Alternativamente, podemos escribir

donde

2 2

2

k ki j i i

i j

k kij i j ij i j

i j

x xd d dX dX dX dX

X X

x xdX dX L dX dX

X X

x X

2 2

2k kij i j ij i j

i j

X Xd d dx dx E dx dx

x x

x X

2 k k

i j ij i j

i j

x xd dX dX G dX dX

X X

x (2. 26)

k kij

i j

xG

X X

(2. 27)

1

2k k

ij ij

i j

x xL

X X

(2. 28)



es el tensor euleriano o espacial de deformaciones finitas.

Una forma particularmente útil de los tensores euleriano y lagrangiano de deformaciones finitas, es aquella en la que estos tensores aparecen en función de los gradientes de desplazamientos. Si tenemos en cuenta que según (2.6), es

como hemos visto, resulta

y por lo tanto

Si en las expresiones anteriores los gradientes de los desplazamientos uk/

Xi son pequeños comparados con la unidad, el término con los productos de los

gradientes en (2.30) puede ser despreciado frente a los otros términos. De manera que si asumimos que en las expresiones anteriores se cumple

i i iu x X

i iij

j j

x u

X X

1

2k k

ij ij

i j

X XE

x x

(2. 29)

1 1

2 2

1

2

1

2

k k k kij ij ki kj ij

i j i j

k k k kkj ki ki kj ij

i j i j

jk k i

i j j i

x x u uL

X X X X

u u u u

X X X X

uu u u

X X X X

(2. 30)



podemos entonces ignorar la contribución que el primer término hace a la expresión entre paréntesis (2.30) y Lij queda entonces

donde lij es el tensor lagrangiano o material de deformaciones infinitesimales. De manera análoga podemos escribir Si asumimos nuevamente que los gradientes de desplazamiento son pequeños comparados con la unidad, la (2.33) se reduce a siendo ahora ij el tensor euleriano o espacial de deformaciones infinitesimales.

Si ocurre que tanto los gradientes de los desplazamientos como los desplazamientos mismos son pequeños, existirá muy poca diferencia entre las coordenadas espaciales y materiales de una partícula del continuo. En tal caso, los gradientes de deformaciones material y espacial serán prácticamente iguales de modo que también lo serán los correspondientes tensores de deformaciones infinitesimales euleriano y lagrangiano.

2.7 Desplazamientos relativos

En la Fig. 2.3 representamos los desplazamientos de dos puntos próximos

Po y Q

o por los vectores u

i(Po) y u

i(Qo).

1i

j

u

X

(2. 31)

1

2

jiij

j i

uul

X X

(2. 32)

1

2

jiij

j i

uu

x x

(2. 34)

1

2

ji k kij

j i i j

uu u uE

x x x x

(2. 33)



El vector

se denomina vector de desplazamiento relativo de la partícula originalmente en Q con respecto a la partícula originalmente en P

o. Suponiendo adecuadas las

condiciones de continuidad del campo de desplazamientos, puede efectuarse un desarrollo en serie de Taylor para u

i( Po ) en la vecindad de P

o. Despreciando

términos de segundo orden en adelante en la expansión en serie, nos queda que le vector desplazamiento relativo puede expresarse como en el que la derivada parcial debe ser evaluada en P

o. Estas derivadas no son otra

cosa que las componentes del tensor gradiente de desplazamientos material (lagrangiano), por lo que la expresión se llama vector desplazamiento relativo lagrangiano.

Puesto que ui/Xj puede ser descompuesto en una parte simétrica y una

antisimétrica, el vector desplazamiento relativo puede ser escrito como

o oQ P

i i idu u u

o

ii j

j P

udu dX

X(2. 35)

1

2o

j ji i ii j j

j j i j iP

u uu u udu dX dX

X X X X X(2. 36)

Fig. 2. 3 – Desplazamiento relativo.



El primer término entre paréntesis de (2.36) es el tensor lagrangiano

infinitesimal de deformaciones lij (también denominado tensor lineal de deformaciones). El segundo término entre paréntesis se conoce como tensor lagrangiano infinitesimal de rotaciones y lo denotaremos

correspondiendo este tensor a rotaciones infinitesimales de cuerpo rígido en el entorno del punto P

o. Esta rotación infinitesimal está representada por el vector

rotación

en función del cual el desplazamiento relativo (de cuerpo rígido), es

Todas las cantidades anteriores tienen su correlato euleriano, es decir es el vector desplazamiento en formulación euleriana, y por lo tanto donde

1

2

jiij

j i

uuw

X X

(2. 37)

ii j

j

udu dx

x

1 1

2 2

j ji ii j

j i j i

u uu udu dx

x x x x

(2. 40)

1

2

jiij

j i

uu

x x

(2. 41)

1

2i ijk kjw w (2. 38)

i ijk j kdu w dX dw X (2. 39)



es el tensor euleriano infinitesimal de rotación, y es el vector euleriano de rotación en función del cual es la componente infinitesimal de desplazamiento relativo.

2.8 Derivada material

Sabemos que el movimiento de un continuo puede ser descripto en términos de coordenadas materiales (descripción lagrangiana) por

o por la inversa de estas ecuaciones en función de coordenadas espaciales (descripción euleriana), como

Físicamente, la descripción lagrangiana fija la atención en una partícula específica del continuo, mientras que la descripción euleriana lo hace sobre un punto en particular del espacio ocupado por el continuo. Puesto que las ecuaciones anteriores son inversas unas de otras, cualquier propiedad física del continuo que sea expresada con respecto a una partícula específica del continuo (descripción lagrangiana), podrá también ser expresada con respecto a la ubicación particular en el espacio ocupada por la partícula (descripción euleriana). Este concepto podría denominarse de intercambiabilidad punto-partícula. Por

ejemplo, si la descripción material de una propiedad tal como la densidad de un continuo está dada por

1

2i ijk kj (2. 42)

i ix x ,t X

i iX X ,t x

i,t X ,t X

i ijk j kdu dx dω x (2. 43)



hemos visto que la descripción espacial se obtendrá reemplazando X en esta ecuación por X

i (x, t). De este modo la descripción espacial de la densidad

resultará

donde el símbolo se utiliza para enfatizar que la forma funcional de la descripción euleriana no es necesariamente igual a la lagrangiana.

La velocidad de variación de cualquier propiedad con respecto a partículas

específicas del continuo en movimiento se llama derivada material de dicha propiedad. La derivada material puede ser concebida como la velocidad de variación que mediría un observador viajando junto con la partícula en consideración. La posición instantánea (x

i ) de la partícula es en sí una propiedad

de la misma. De manera que la derivada material de la posición de la partícula es su velocidad instantánea. Adoptando el símbolo d/dt o el punto (.) superpuesto para representar la operación de derivación material (algunos textos utilizan la notación D/Dt), el vector velocidad queda definido por

En general, si Pi j.... es una propiedad escalar, vectorial o tensorial de un

continuo expresada como función de las coordenadas en la descripción lagrangiana expresada en coordenadas materiales. Si llamamos derivada material de dicha propiedad a su rapidez de variación evaluada con referencia a una dada partícula, es decir para un valor fijo de la coordenada material X, resulta inmediatamente

que

i iX ,t ,t x ,t x

.... .... ,ij ijP P t X

ii i

dxv x

dt (2. 44)

.... .... ,ij ijdP P t

dt t

X(2. 45)



donde la derivada parcial implica que las coordenadas Xi se mantienen constantes,

es decir se consideran las mismas partículas al hacer la derivada. De manera que la derivada material de una propiedad expresada en coordenadas materiales (y que denotaremos siempre con el símbolo d/dt), es simplemente la derivada parcial respecto del tiempo de dicha propiedad.

Si la propiedad Pi j ....

está expresada por una descripción espacial de la forma

al evaluar la derivada temporal debemos ahora tener en cuenta que x no se mantiene constante en general y considerarla por lo tanto como variable, por lo que resulta

donde el segundo término de la derecha de (2.46) surge debido a que las

partículas consideradas se encuentran en movimiento. El primer término de la derecha representa la velocidad de cambio de la propiedad P

i j .... en una posición

particular y se denomina por ello velocidad de variación local. La derivada parcial en dicho término implica que la posición x

i del espacio permanece constante al

efectuarse la derivación. Al segundo término de la derecha se lo llama a veces velocidad de variación convectiva dado que expresa la contribución debida al movimiento de las partículas al campo de variación de la propiedad analizada.

De modo que teniendo en cuenta la (2.44), la (2.45) puede escribirse como

lo que sugiere el uso del operador derivada material

.... .... ,ij ijP P t x

.... .... ...., ,ij ij ij k

k

dP P t P t dx

dt t x dt

x x(2. 46)

... .... ...., ,ij ij ij

k

k

dP P t P tv

dt t x

x x(2. 47)



que se utiliza para tomar derivadas materiales de cantidades expresadas en coordenadas espaciales.

Retomemos el ejemplo de una barra unidimensional cuya temperatura varía

a lo largo de la misma de acuerdo a la función (x, t) en coordenadas espaciales.

En el caso en que la barra se encuentra inmóvil (vx v 0), resulta

ya que el único motivo por el cual la temperatura de un punto de la barra puede cambiar es por el calentamiento o enfriamiento local que puede ocurrir en dicho punto. En cambio, si la barra se encuentra en movimiento, habrá una contribución a la variación de la temperatura debida al material que llevado (convección) al punto considerado, es decir

2.9 Velocidad y aceleración.

Hemos definido el vector velocidad como v

i dx

i/dt. Una definición alternativa

del mismo vector surge si tenemos en cuenta que es

de modo que

dado que X es independiente del tiempo.

Si el desplazamiento está expresado en la forma lagrangiana ui u

i (X, t)

entonces

d x ,t x ,t

dt t

d x ,t x ,t x ,tv

dt t x

i i ix u X

i ii ii

d u Xdx duv

dt dt dt

(2. 49)

k

k

dv

dt t x(2. 48)



Si por el contrario, el desplazamiento está en la forma euleriana, resulta

Obsérvese que en esta última expresión, la velocidad está dada

implícitamente ya que aparece como factor en el segundo término de la derecha.

La función v

i v

i (x, t) se dice que especifica el campo de velocidades

instantáneo. La derivada material de la velocidad es la aceleración. Si la velocidad está dada en la forma lagrangiana, nos queda

En cambio, si la velocidad está dada por la forma euleriana, resulta

2.10 Velocidad de deformación. Incrementos naturales de

deformación El gradiente espacial del campo instantáneo de velocidades define el tensor

gradiente de velocidades vi/x

j, pudiendo escribirse

Es importante destacar que esta descomposición es válida aún en el caso en

que vi y v

i/x

j sean cantidades finitas. El tensor simétrico

i ii i

du ,t u ,tv u

dt t

X X(2. 50)

i ii i

dv ,t v ,ta v

dt t

X X(2. 52)

i i ii i k

k

dv ,t v ,t v ,ta v v ,t

dt t x

x x xx (2. 53)

i ii i k

k

du ,t u ,tv u v ,t

dt t x

x xx (2. 51)

1 1

2 2

j ji i iij

j j i j i

v vv v vY

x x x x x

(2. 54)



se denomina tensor de velocidades de deformación. El tensor antisimétrico

se llama tensor vorticidad.

Es fácil demostrar que el tensor de velocidades de deformación es igual a la

derivada material del tensor de deformación infinitesimal euleriano. En efecto si en la ecuación

intercambiamos la derivación con respecto a las coordenadas espaciales y al tiempo, la expresión anterior toma la forma

Por el mismo procedimiento demostramos que el tensor vorticidad es la

derivada material del tensor de rotación infinitesimal euleriano, es decir

Las componentes

se denominan incrementos naturales de deformación y, como veremos más adelante, son muy importantes en teoría de plasticidad.

1

2

jiij

j i

vvD

x x

(2. 55)

1

2

jiij

j i

vvV

x x

(2. 56)

1

2

ij ji

j i

d ud u

dt dt x x

1

2

ij ji

j i

d vv

dt x x

(2. 57)

1

2

ij jiij

j i

d vvV

dt x x

(2. 58)

1

2

jiij ij

j i

dudud D dt

x x

(2. 59)



2.11 Interpretación geométrica de las componentes del tensor de deformaciones.

Para obtener una interpretación geométrica de las componentes del tensor

de deformaciones generalizamos el concepto de deformación introducido anteriormente. Para ello consideremos en la Fig. 2.4 dos elementos de línea dX y

dX' que pasan por el punto Po del continuo no deformado. Luego de la

deformación los elementos se habrán transformado en dx y dx' respectivamente

que pasan por el punto P. Definiremos como una medida de la deformación local a la variación del producto escalar de los vectores elementos de línea, es decir a

la magnitud dx.dx' dX.dX'. Procediendo de manera análoga a lo hecho anteriormente en el caso en que

dX dX' y dx dx', surge fácilmente que

donde Lij es nuevamente aquí el tensor lagrangiano de deformaciones finitas. Demostraremos ahora que las componentes de Lij interpretan cambios en las longitudes, ángulos y volúmenes del continuo.

Consideremos primero el caso especial en que los dos elementos de línea

coinciden y yacen a lo largo del eje de vector base i1. En este caso

y

Fig. 2.4 – Elementos de línea en un punto del continuo.

2i i i i ij i jdx dx dX dX L dX dX

1 1 2 2 3 3 0dX dX dX ; dX dX dX dX

i idx dx



De manera que resulta Definimos ahora la cantidad

luego

En otras palabras, 1 representa el cambio en longitud por unidad de longitud

paralela al eje X1. Teniendo en cuenta (2.60) y (2.61), podemos escribir

o bien La solución cuadrática de esta ecuación es

Dado que para L11 0 debe ser

1 también nulo, queda claro que solamente

el signo positivo del doble signo de la expresión anterior tiene sentido. Entonces

y Por otra parte, para deformaciones infinitesimales debe cumplirse

1

dx dX

dX

2 2 2

112dx dX L dx (2.60)

11dx dX (2. 61)

22 2 2 2 2 2

11 1 1 12 1 1 2L dX dX dX dX dX

2

11 1 12 2L

1

21 111 2 1L

1

21 11

1

211

1 2 1

1 2

L

dx dX L

1ijL



de modo que en tal caso nos queda

o lo que es equivalente De modo que L

11, L

22, L

33, representan los cambios en longitud por unidad de

longitud paralela a los ejes X1, X

2, X

3, respectivamente.

Analicemos ahora la deformación de elementos de linea inicialmente

ortogonales y según la dirección de dos ejes coordenados cualesquiera, es decir Resulta entonces

Introduzcamos la notación12

= (/2) , donde 12

representa entonces la

disminución en el ángulo inicialmente recto formado por los elementos de la línea. Tenemos que

y por lo tanto que para el caso de deformaciones infinitesimales, se reduce a

21 11 11

11 2 12L O L

11 1L

1 2 3 1 3 20 0dX dX ; dX dX ; dX dX ; dX dX

12Cos 2dxdx L dXdX

12 12Cos Cos Sen2

1 1

2 211 221 2 1 2dx dX L ; dx dX L

1212 1 1

2 211 22

2Cos Sen

1 2 1 2

L

L L



De modo que para deformaciones infinitesimales, cuando i j, Li j

representa

la mitad de la disminución del ángulo rector formado inicialmente por elementos de linea paralelos a los ejes coordenados ii, ij.

Habiendo introducido a través de las ecuaciones x x (X, t) la descripción material de un continuo en movimiento, podemos ahora precisar la noción consistente en que una porción especificada de material ocupe la región R(t) en el

instante t. Denotando por R(0) la región ocupada en el instante t 0 por la porción designada de material, entonces la región R(t) ocupada por dicho material en el

instante t es la imagen de R(0) en el instante t bajo la aplicación x x (X, t). Denotaremos ahora por V(t) al volumen de R(t). Entonces podemos escribir

Si hacemos un cambio de coordenadas en la segunda integral empleando el Jacobiano, resulta

donde

Empleando el teorema del valor medio, podemos escribir

donde X

1, X

2, X

3, son las coordenadas de algún punto en R(0).

12 122L

1 2 3 1 2 3

0

0R R t

V dX dX dX ; V t dx dx dx

1 2 3 1 2 3

0R

V t J X ,X X ,t dX dX dX

1 1 1

1 2 3

2 2 21 2 3

1 2 3

3 3 3

1 2 3

x x x

X X X

x x xJ X ,X ,X

X X X

x x x

X X X

1 2 3 1 2 3 1 2 3

0

0R

V t J X ,X ,X ,t dX dX dX J X ,X ,X ,t V



Imaginemos ahora que la región R comienza a hacerse más pequeña alrededor de un punto fijo arbitrario X

1, X

2, X

3. Para precisar esta idea, apliquemos

la relación anterior a una secuencia de regiones similares Rn(0) cuyo volumen

Vn(0) tiende a cero para n ("similar" significa aquí de la misma "forma"), de

modo que cada región Rn contiene al punto fijo X

1, X

2, X

3. Resulta entonces

pero dado que la Rn son similares y tienen un volumen decreciente, resulta

De manera que si el Jacobiano es continuo en (X1, X

2, X

3), podemos escribir

De modo que el Jacobiano en el punto X representa en el instante t la

dilatación de un volumen infinitesimal inicialmente en X, donde la dilatación se define como el cociente entre el volumen ocupado por la región infinitesimal en el instante t y su volumen inicial.

Ahora bien de modo que expandiendo el último determinante de la expresión anterior y

considerando deformaciones infinitesimales, surge fácilmente que

donde lii es la traza del tensor infinitesimal de deformaciones, que representa entonces el cambio de volumen después de la deformación, por unidad de volumen inicial.

Hemos utilizado más arriba el concepto de regiones "similares", sin darle un

significado preciso. Para salvar esta situación introduciremos ahora las siguientes definiciones:

1 2 3 0n n n n

n n i nV t J X ,X ,X ,t V ; x R

1 2 3 1 2 3límn n nX ,X ,X X ,X ,X

1 2 3

lím

0

nV tJ X ,X ,X ,t

n V

ijdet det deti ii i

j j j

X ux uJ

X X X

1 iiJ l



Definición: se dice que una región cerrada R del espacio tiene forma estelada si

existe un punto O interior a R que puede conectarse con cualquier otro punto de R por un segmento recto totalmente contenido en la región.

De modo que si elegimos al punto O como origen, la región R puede

describirse en coordenadas esféricas (, , ), por las relaciones

donde asumimos que f es continua y al menos seccionalmente continua

diferenciable, con f (, O) f (, 2).

Definición: Dos regiones esteladas R(1) y R(2) se denominan similares si después

de cualquier rotación y traslación arbitraria, pueden ser descriptas por las relaciones

donde f (2) Cf (1) para alguna constante positiva C.

2.13 Ecuaciones de compatibilidad. Las ecuaciones que definen las componentes del tensor de deformaciones

infinitesimales

pueden ser consideradas como un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales para la determinación de los desplazamientos u

i cuando se

tienen a las componentes ij como funciones prescriptas de las coordenadas.

Analizaremos por lo tanto en primer lugar, una condición necesaria para la unicidad de las soluciones u

i de las (2.61) y a continuación analizaremos que

restricciones debemos imponer a las funciones ij (x

1, x

2, x

3) para asegurar la

existencia de soluciones ui continuas y univaluadas.

Está claro ante todo que la especificación de las ij no determina

unívocamente los desplazamientos ui, debido a que aquellas caracterizan según

hemos visto, la deformación pura en el entorno del punto considerado, mientras que las u

i pueden implicar movimientos de cuerpo rígido que no afecten los

valores de ij. En efecto, si uno obtiene la solución

0 0 0 2f , ; ;

0 1 2if , ; i ,

1

2ij i , j j ,iu u (2.62)



y es Po(x

1o, x

2o, x

3o) un punto arbitrario del cuerpo, entonces la adición de los

términos

representando un movimiento de cuerpo rígido, no afectarán los valores de las componentes de deformación. Resulta claro entonces que la solución del sistema (2.61) no puede ser única a menos que se especifiquen las componentes de

desplazamiento uio y de rotación ij

o en algún punto Po del medio continuo.

Considerado el problema de unicidad de la solución, analizaremos ahora las

condiciones que deben cumplir las funciones ij para que el sistema (2.61) posea

soluciones ui univaluadas y continuas. Sea Po(x

1o, x

2o, x

3o) algún punto de una

región R simplemente conexa para el cual los desplazamientos ujo(x

1o, x

2o, x

3o) y

las componentes de rotación ijo(x

1o, x

2o, x

3o) son conocidos. Veamos ahora cómo

es posible con estos datos determinar los desplazamientos uj en otro punto

cualquiera P'(x'1, x'

2, x'

3) en función de los

ij que también son datos del problema.

Para ello, teniendo en cuenta (2.34) y (2.41) podemos escribir

donde las integraciones se efectúan sobre una curva rectificable C arbitraria que une los puntos Po y P'.

Integrando por partes, nos queda (teniendo en cuenta que dx’k = 0)

1 2 3i iu u x ,x ,x

o o oj j jk k ku u x x

1 2 3o o

o o

P Po o

j j j j j ,k k

P P

P Poj jk k jk k

P P

u x ,x ,x u du u u dx

u dx dx

(2.63)

o o

o

o

o

P P

jk k jk k k

P P

PP

k k jk k k jkPP

Po o o

k k jk k k jk ,l l

P

dx d x x

x x x x d

x x x x dx

(2.64)



De modo que podemos escribir

Para expresar ahora las derivadas de las componentes de rotación en

función de las ij, tenemos

donde hemos explotado la continuidad de las derivadas parciales.

Surge entonces que

Reemplazando (2.65) en (2.64), nos queda

donde el integrando

es una función conocida. Ahora bien, dado que los desplazamientos u

i deben ser independientes del

camino de integración, los integrandos Ujl dx

l deben ser diferenciales exactos, es

decir que se debe cumplir

1 2 3o

Po o o o o

j j k k jk jk k k jk ,l l

P

u x ,x ,x u x x x x dx

(2.65)

1

2

1 1

2 2

1 1

2 2

jk ,l j ,k k , j

l

j ,kl k , jl l , jk l , jk

l , j j ,l k ,l l ,k

k j

u ux

u u u u

u u u ux x

jk ,l lj ,k kl , j (2.66)

1 2 3o

Po o o

j j k k jk jl l

P

u x ,x ,x u x x U dx

jl jl k k lj ,k kl , jU x x



De modo que

donde la línea superior se anula idénticamente. Dado que esta ecuación debe ser

válida para cualquier elección arbitraria (x'k x

k), surge que

Este sistema contiene 34 81 ecuaciones. Sin embargo, una vez eliminadas las que se anulan idénticamente, así como las repeticiones debidas a los índices ij y kl, sólo restan seis ecuaciones denominadas de compatibilidad.

Efectuaremos ahora una derivación alternativa de las ecuaciones de

compatibilidad, utilizando para ello toda la maquinaria de la notación tensorial. A fin de hacer esta derivación, tengamos en cuenta que el problema de la integrabilidad de las (2.61) puede reformularse de manera equivalente de la

siguiente forma: dado un tensor de deformaciones ij y un tensor antisimétrico de

rotaciones ij, cuáles son las condiciones que aseguran que exista un vector

desplazamiento univaluado ui, que satisfaga

Ahora bien, ya hemos visto en (1.109) que con un tensor antisimétrico ij

siempre es posible asociar un vector k, tal que

Pudiéndose comprobar por expansión directa y teniendo en cuenta (1.111),

que se cumple

De manera que de acuerdo con (2.67), (2.68) y (2.69), podemos reformular

una vez más el problema de integrabilidad de las (2.61), de la siguiente manera:

0ji ,l jl ,iU U

0ji ,l kl ij ,k ki , j jl ,i ki lj ,k kl , j

k k ij ,kl ki , jl lj ,ki kl , jix x

0ij ,kl kl ,ij ik , jl jl ,ik (2.67)

i , j ij iju (2.68)

ij ijk k (2.69)

10

2k ,k ijk ij ,k



dado el tensor simétrico ij y el vector

k, con

k,k 0, encontrar la condición

necesaria y suficiente para la existencia de un vector ui, tal que

Ahora bien, hemos demostrado anteriormente un teorema que nos dice que

en una región simplemente conexa existe una función univaluada tal que w

,j si y sólo si xw 0. Es decir existirá la función univaluada ui si y sólo si

x(ui) xu

i,j = 0, de manera que teniendo en cuenta (2.70) y aplicando (1.177)

dado que el gradiente de un vector es un tensor de 2° orden, obtenemos

Si ahora aplicamos a (2.71) la regla , podemos escribir

de modo que teniendo en cuenta (2.71), la condición de integrabilidad se reduce a

Aplicando una vez más el teorema de integrabilidad, pero esta vez a (2.72),

resulta finalmente que la condición necesaria y suficiente para la existencia de un vector desplazamiento univaluado, es

que es equivalente a (2.66).

Dado que como resulta Qrs Q

sr , las (2.73) constituyen sólo seis ecuaciones

independientes, las que pueden ser tomadas como

0spj ij ijk k ,p (2.71)

spj ijk k ,p spj jik k ,p

si pk sk pi k ,p

si k ,k s ,i s ,i

s ,i spj ij ,p (2.72)

0rs rmi spj ij ,pmQ (2.73)

i , j ij ijk ku (2. 70)



La condición del teorema de integrabilidad impuesta por el requerimiento de

simple conectividad de la región considerada puede ser removida mediante cortes adecuados. Obviamente los desplazamientos deberán ser univaluados también en una región múltiplemente conexa, de manera que los desplazamientos deberá ser univaluados también en los puntos sobre los cortes. No obstante, esta condición adicional sólo necesita ser verificada para un solo conjunto de cortes que convierta en simplemente conexa a la región en consideración.

2.13 Derivada material de elemento de volumen y de integral de volumen.

En el movimiento desde alguna configuración inicial (t 0) hasta la

configuración instantánea o actual (t t), las partículas del continuo que ocupaban un elemento de volumen dV

o en el estado inicial, ocupan ahora el elemento dV. Si

el elemento inicial se toma como un paralelepípedo rectangular de lados dX1, dX

2,

dX3 como lo muestra la Fig. 2.5, resulta

Debido al movimiento, este paralelepípedo se desplaza y distorsiona, pero en

virtud de la continuidad del movimiento, el mismo no se fracciona. En efecto, teniendo en cuenta la relación que vincula los elementos de línea

espaciales y materiales, la "línea de partículas" que formaba el elemento dX1,

ahora forma el elemento de línea

11 22 23 1 31 2 12 3 1

22 31 31 2 12 3 23 1 2

33 12 12 3 23 1 31 2 3

12 12 11 22 22 11

23 23 22 33 33 22

31 31 33 11 11 33

2

2

2

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , ,

, , ,

, , ,

(2. 74)

11

1

ii

xdx dX

X

1 2 3odV dX dX dX 1 2 3e e e (2.75)



Análogamente dX

2 se transforma en

y

De modo que el elemento de volumen dV es un paralelepípedo oblicuo de

lados dxi(1), dx

i(2), dx

i(3) tal como lo muestra la Fig. 2.5, cuyo volumen está dado por

Entonces podemos escribir

dado que dVo es independiente del tiempo y por lo tanto dVo/dt 0.

Fig. 2.5 – Deformación de un elemento de volumen.

22

2

ii

xdx dX

X

33

3

ii

xdx dX

X

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

ijk i j k

i i iijk o

dV dx dx dx dx dx dx

x x xdX dX dX JdV

X X X

(2.76)

o o

d d dJdV JdV dV

dt dt dt (2.77)



Por otra parte, si tenemos en cuenta que el Jacobiano puede expresarse como resulta entonces, de acuerdo a la regla de derivación de un producto

de manera que teniendo en cuenta que vi ix , por la regla de la cadena de la

derivación, podemos escribir Ahora bien, si recordamos que un determinante con dos filas o columnas

idénticas es nulo, resulta

o bien por lo que reemplazando en (2.77) y teniendo en cuenta (2.76), resulta

Supongamos ahora que una propiedad escalar, vectorial, o tensorial del continuo esté representada por la integral de volumen

31 2ijk

i j k

xx xJ

X X X

31 2ijk

i j k

xdJ x xJ .....

dt X X X

31 2p

ijk

p i j k

x xv xJ ......

x X X X

1ip

p

vJ .......

x

i

i

dJ vJ J

dt x

v (2.78)

i i io

i i i

d dV v v dV vJ dV J dV

dt x x J x

(2.79)



donde V es el volumen ocupado por la porción del continuo considerada en el instante t. La derivada material de (2.80), es

Dado que la derivación es sobre una porción definida del continuo, es posible

intercambiar las operaciones de derivación e integración, por lo que resulta Efectuando la derivación y teniendo en cuenta (2.79), nos queda

Una forma alternativa de llegar a la (2.81), quizás más intuitiva que el

desarrollo formal que acabamos de efectuar es teniendo en cuenta que en el intervalo dt en el cual se evalúa la derivada, la configuración de la porción de continuo cambia de ocupar un volumen V a ocupar un volumen V’ de manera tal que si llamamos S al contorno del mismo en el instante t y S’ al contorno en el instante t+dt, como se muestra en la Fig. 2.6, la derivada material es el límite del cociente incremental

ij ........ ij .......

V

P t P ,t dV x (2.80)

ij ....... ij .......

V

d dP t P ,t dV

dt dt x

ij ....... ij .......

V

d dP t P ,t dV

dt dt x

p

ij ....... ij ...... ij ......

pV

vd dP t P ,t P ,t dV

dt dt x

x x (2.81)

dP t

dtlím

tP t t dV P t dV

ij

tij ij

Vv

......

..... .....

'

* ', ' * ,b g b g b g

LNM

OQP zz

0

1x x



Es fácil ver que habrá dos contribuciones al cociente incremental. La primera es la contribución correspondiente al volumen Vo constituido por la intersección de V y V’. Dado que en Vo son x y x’ idénticos, esta contribución al límite del cociente incremental, es simplemente

La segunda contribución proviene del volumen V1 donde V y V’ difieren. Dado que el desplazamiento experimentado durante el intervalo dt por una partícula material que en el instante t se encuentra sobre el contorno S es vpdt, el volumen generado por las partículas que en el instante t ocupaban el elemento de contorno dS, es dV = vpnpdSdt, donde np es como siempre el versor normal exterior a la superficie. De manera que la contribución de este elemento de volumen al límite del cociente incremental es P*ij.....(x,t)vpnpdS. La correspondiente contribución de todo el contorno S es entonces

de manera que

Utilizando el teorema de Gauss para transformar la última integral y teniendo en cuenta que V1 es un volumen elemental lo que nos permite reemplazar Vo por V, podemos escribir

P t

tdV

ij

Vo

* ,..... xb gz

P t v n dSij p p

S

* ,..... xb gzdP t

dt

P t

tdV P t v n dS

ij ij

V

ij p p

So

...... .....

.....

* ,* ,

b g b g b g z z

xx

Fig. 2.6 – Evolución de la frontera de una región del continuo.



Utilizando el operador derivada material, resulta entonces

que es idéntica a la (2.81) antes obtenida.

Referencias

2.1. L.A. de Vedia “Mecánica del Continuo” Monografía Tecnológica N° 2, UNSAM-CNEA, Bs.As., 1997.

2.2. L.A.Santaló, "Vectores y tensores", 8a. Ed. Editorial Universitaria Buenos Aires, 1970. 2.3. D.C.Kay “Tensor Calculus” Schaum’s Outline Series in Mathematics, McGraw-Hill Book

Company, N.Y., 1988. 2.4. G.T.Mase, G.E.Mase “Continuum Mechanics for Engineers” 2

nd Ed., CRC Press, 1999.

2.5. G.E.Mase “Continuum Mechanics” Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill Book Co., N.Y., 1970.

2.6. Y.C.Fung “Foundations of Solid Mechanics” Prentice-Hall, Inc. N.J., 1965. 2.7. I.S.Sokolnikoff “Mathematical Theory of Elasticity” Mc.Graw-Hill Book Co., N.Y., 1952.

dP t

dt

P t

tdV

xP t v dV

P t

tv

P t

xP t

v

xdV

ij ij

V p

ij p

V

ij

p

ij

p

ij

p

pV

...... .....

.....

..... .....

.....

* ,[ * , ]

* , * ,* ,

b g b g b g

b g b g b g

LNMM

OQPP

z zz

xx

x xx

dP t

dt

d P t

dtP t

v

xdV

ij ij

ij

p

pV

...... ....

....

* ,* ,

b g b g b g LNMM

OQPPz x

x

(2.82)

mdc 2m devedia

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