SISTEMI DI TRAVI

ANALISI STATICA E CINEMATICA DEI SISTEMI DI TRAVI RIGIDE

Decomposizione di un moto rigido:

u = uC + ϕ× (P − C)

Centro assoluto di rotazione O:

uC + ϕ× (O − C) = 0

u = ϕ× (P −O)

Centro relativo di rotazione O12:

ϕ2× (O12 −O2)− ϕ

1× (O12 −O1) = O

Relazione tra centri di rotazione di tre corpi I, II e III:

- Se O1 = O12 6= O2 allora II e fisso.

Se un primo corpo e fisso e un secondo in moto, il centro assoluto del primocorpo non esiste mentre il centro assoluto del secondo coincide con il centrorelativo perche in tal caso il moto relativo del secondo corpo rispetto al primocoincide con il moto assoluto.

- Se O1 = O2 6= O12 allora non c’e moto relativo tra I e II.

Nel caso di moto rigido di 2 corpi con moto relativo tra i due, i tre centri, chenecessariamente esistono, sono tutti e tre distinti e allineati oppure coincidono.

- Se O1, O2, O12 sono distinti non allineati allora I e II sono fissi.

Se due corpi subiscono un moto rigido relativo viene definito anche un centrorelativo, altrimenti i due corpi si muovono come un unico corpo e i due centrinon assoluti coincidono.

- Se O12, O23, O13 sono distinti non allineati allora non c’e moto relativo tra I, IIe III.

Si dimostra l’allineamento dei centri relativi si tre corpi in moto.

- Se O12 = O13 6= O23 allora non c’e moto relativo tra II e III.

- Se i possibili centri relativi e assoluti vengono determinati in modo univoco,fissata la rotazione (traslazione) di uno dei due corpi restano automaticamentedeterminate le rotazioni (traslazioni) degli altri corpi, ossia l’insieme dei corpirigidi possiede un grado di liberta.

Se invece la posizione dei centri assoluti e relativi dipende da n parametri sihanno n+1 gradi di liberta.

Lavoro virtuale esterno:

Le = R · uC +M · ϕPrincipio dei lavori virtuali per il corpo rigido:

R = 0,M = 0 =⇒ Le = 0

Le = 0 ∀u virtuale rigido =⇒ R = 0,M = 0

Vettore degli spostamenti (generalizzati) impediti dai vincoli:

r =

8<:

r1

. . .rv

9=;

1

ri = r(h)i ∨ ri = r

(h)i + r

(k)i

Vettore degli spostamenti indipendenti del sistema svincolato (lagrangiane)

s =

8>>>><>>>>:

s(1)

. . .

s(h)

. . .

s(n)

9>>>>=>>>>;

s(h) =

8>>>>>>><>>>>>>>:

u(h)O1

u(h)O2

u(h)O3

ϕ(h)1

ϕ(h)2

ϕ(h)3

9>>>>>>>=>>>>>>>;

Matrice cinematica:

r = A s

Condizione di non labilita del sistema di travi:

A s = 0

cA = g

Vettore delle reazioni vincolari (generalizzate):

R =

8<:

R1

. . .Rv

9=;

Vettore delle forze applicate (generalizzate):

S =

8>>>><>>>>:

S(1)

. . .

S(h)

. . .

S(n)

9>>>>=>>>>;

S(h) =

8>>>>>>><>>>>>>>:

F(h)x

F(h)y

F(h)z

M(h)Ox

M(h)Oy

M(h)Oz

9>>>>>>>=>>>>>>>;

Condizione di equilibrio di un sistema di travi:

B R + S = 0

cB = C0

Dualita statico cinematica:

B = AT

EQUAZIONI DELLA TEORIA TECNICA DELLE TRAVI

Equazioni di congruenza:

θez + Kf =dϕ

dsεez + γ

c− θez × (C −G) =

du

ds− ϕ× ez

Equazioni di equiibrio:

d

ds(Nez + T ) + f = 0

d

ds(Mcez + (C −G)× T + Mf ) + m + ez × T = 0

2

Equazioni di equilibrio al contorno:

Nez + T |s=0 = −F0 Mcez + (C −G)× T + Mf

��s=0

= −M0

Nez + T |s=l = F l Mcez + (C −G)× T + Mf

��s=l

= −Ml

Equazioni di discontinuita:

(∆Nez + ∆T )i + F i = 0 (∆Mcez + (C −G)×∆T + ∆Mf )i +Mi = 0

Legami costitutivi:

�N = EAεMf = EJKf

�Mc = GJtθT = GAχ−1γ

c

Principio dei lavori virtuali:

(Le =

R l

0(f · u + m · ϕ) ds + F0 · u0 +M0 · ϕ0

+ F l · ul +Ml · ϕl+P

i(F i · ui +Mi · ϕi)

Li =R l

0

�Nε + T · γ

c+ Mcθ + Mf ·Kf

�ds

Energia elastica di deformazione:

φ =1

2

�EAε2 + EKf · JKf + GJtθ

2 + GAγc· χ−1γ

c

�

Energia complementare elastica:

ψ =1

2

�N2

EA+

1

EMf · J−1Mf +

M2c

GJt+

1

GAT · χT

�

TRAVE DI TIMOSHENKO

Equazioni di congruenza:

ε =dw

dzK =

dϕ

dzγ = ϕ +

dv

dz

Equazioni indefinite di equilibrio:

dN

dz+ p = 0

dT

dz+ q = 0

dM

dz+ m = T

Equazioni di equilibrio al contorno:

8<:

N(0) = −P0

T (0) = −Q0

M(0) = −M0

8<:

N(l) = Pl

T (l) = Ql

M(l) = Ml

Equazioni di discontinuita:

8<:

(∆N)i + Pi = 0(∆T )i + Qi = 0(∆M)i +Mi = 0

Equazioni di legame:

N = EAε M = EJK T =GA

χγ

3

Principio dei lavori virtuali:

(Le =

R l

0(pw + qv + mϕ) dz + P0w0 + Q0v0 +M0ϕ0 + Plwl + Qlvl +Mlϕl +

Pi(Piwi + Qivi +Miϕi)

Li =R l

0(Nε + MK + Tγ) dz

Energia elastica di deformazione:

φ =1

2

�EAε2 + EJK2 +

GA

χT 2

�

Energia complementare elastica:

ψ =1

2

�N2

EA+

M2

EJ+ χ

T 2

GA

�

Equazioni fondamentali:

d

dz

�EA

dw

dz

�+ p = 0

d

dz

�GA

χ

�ϕ +

dv

dz

��+ q = 0

d

dz

�EJ

dϕ

dz

�− GA

χ

�ϕ +

dv

dz

�+ m = T

Equazioni che permettono di imporre le condizioni al contorno:

N = EAdw

dz

M = EJdϕ

dz

T =GA

χ

�ϕ +

dv

dz

�

TRAVE DI EULERO-BERNOULLI

Vincolo di trave inflessa:

ϕ = − dv

dz

Equazioni di congruenza:

ε =dw

dzK =

dϕ

dz

Equazioni indefinite di equilibrio:

dN

dz+ p = 0

d2M

dz2+

dm

dz+ q = 0

Equazioni di legame:

N = EAε M = EJK

Principio dei lavori virtuali:

(Le =

R l

0(pw + qv + mϕ) dz + P0w0 + Q0v0 +M0ϕ0 + Plwl + Qlvl +Mlϕl +

Pi(Piwi + Qivi +Miϕi)

Li =R l

0(Nε + MK) dz

4

Energia elastica di deformazione:

φ =1

2

�EAε2 + EJK2�

Energia complementare elastica:

ψ =1

2

�N2

EA+

M2

EJ

�

Equazioni fondamentali:

d

dz

�EA

dw

dz

�+ p = 0

d2

dz2

�EJ

d2v

dz2

�=

�q +

dm

dz

�

Equazioni che permettono di imporre le condizioni al contorno:

T −m = − d

dz

�EJ

d2v

dz2

�M = −EJ

d2v

dz2ϕ = − dv

dzN = EA

dw

dz

Condizioni al contorno:8<:

EAw′(0) = −P0

EJv′′(0) = M0

(EJv′′)′(0) = Q0 + m0

8<:

EAw′(l) = Pl

EJv′′(l) = −M0

(EJv′′)′(l) = −(Ql + ml)

Coppie distribuite nulle:

d

dz

�EA

dw

dz

�+ p = 0

d2

dz2

�EJ

d2v

dz2

�= q

T = − d

dz

�EJ

d2v

dz2

�M = −EJ

d2v

dz2ϕ = − dv

dzN = EA

dw

dz

Coppie distribuite nulle e sezione costante:

EAd2w

dz2+ p = 0 EJ

d4v

dz4= q

5